MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (mas) identificarEste esquema de muestreo es el más usado...
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MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
• Este esquema de muestreo es el más usado cuando se tiene un marco de muestreo que especifique la manera de identificaridentificar cada unidad en la población.
• Además no se tiene conocimiento a priori sobre los posibles valores de Yi ni otras mediciones asociadas a Yi.
• En este caso cada unidad se extrae con igual igual probabilidadprobabilidad, por etapas, y sin reemplazo, hasta tener las n unidades de la muestra.
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• En la primera extracción, la probabilidad de que se seleccione una de las n unidades es .
• En la segunda extracción la probabilidad de que se seleccione una de las restantes n-1 unidades es: y así sucesivamente.
• En la selección k, la probabilidad de una unidad l es .
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
n
N
1
1
n
N
1
1
n k
N k
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• Para estimar se obtiene el
promedio de la muestra:
• Este es un estimador insesgado ( , el promedio de los posibles valores al tomar muchas muestras es ).
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
1
/N
ii
Y Y N
1
ˆ /n
ii
y Y y n
(5.1)
E y Yy
Y
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• La varianza de es:
donde
• Nótese que si N es infinito, , es el resultado que se obtiene para poblaciones infinitas.
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
2
2( ) 1 ySnV y E y Y
N n
2 2
1
1( )
1
N
y ii
S Y YN
y
2
( ) ySV yn
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• es la fracción de muestreo o proporción de la población que se muestrea, y
• es el factor de corrección por finitud (fcf).
• Se puede demostrar que con este proceso de selección, la probabilidad de que cualquier unidad ui esté en la muestra es
y la de que ambas una ui y una uj estén en la muestra es
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
n
N
1n
N
i
n
N
( 1)
( 1)ij
n n
N N
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• Para estimar el total
tenemos:
• Además si , entonces:
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
N
ii
Y NY Y ˆY NY Ny
ˆ ˆ~N[ ,V( )]
ˆ ˆ ˆ ˆ1.96 V( ) 1.96 V( ) 0.95[ ]P
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• Si no conocemos tenemos que estimarla:
• En el caso particular del “mas” tenemos:
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
ˆ( )V
ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1.96 V( ) 1.96 V( ) 0.95[ ]P
2
ˆ ˆ, y 1 ySnY y V V y
N n
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• En el caso particular del “mas” tenemos:
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
2
ˆ ˆ, y 1 ySnY y V V y
N n
2 2n n
1.96 1- 1.96 1- 0.95N N
y yS SP y Y y
n n
0.95P y Y = error absoluto.
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• Despejando n de se tiene:
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
1.96 ( )V y
2 2
2 2
2 2
1.961
1
1.96
y
y
Sn
NS
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• Recordemos que:
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE SIN REEMPLAZO (“mas”)
2
22 2
2
2 2 2
( )
,1 1
N
ii
i i i y
i
y y y
Y YE y E y E y Y
N
Y YNS S
N N
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• El valor de S2y ó 2
y se estima con una prueba prueba
pilotopiloto o bien se “adivina”“adivina” usando tablas (ver Tabla 1), y el conocimiento previo sobre la población.
• Si se considera que no se ajusta a la distribución normal, se usa el criterio de fijar la magnitud de la varianza o del coeficiente de variación de .
Se determina n para que produzca un coeficiente de variación dado (CV0) usando estimaciones
“gruesas” de y de S2y .
5.1 Tamaño de la Muestra (“mas”)
y
y
y
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• Así
Despejando n, se obtiene:
Tamaño de la Muestra (“mas”)
12 2
12
0
1( )
( )
ySnN nV y
CVE y Y
2
22 2
0( )
y
y
Sn
SCV Y
N
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• Si n es "grande” se espera que el teorema Central del Límite dé una buena aproximación de la distribución de .
5.1 Tamaño de la Muestra (“mas”)
y
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• Así:
Tamaño de la Muestra (“mas”)
~N Y,V yy
2 2( ) ( ) 1P y z V y Y y z V y
si 1 .95
2 2
1.96 (1 ) 1.96 (1 ) 0.95n S n S
P y Y yN n N n
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• Entonces se distribuye
aproximadamente como una normal estandarizada (media cero y varianza uno), donde
Tamaño de la Muestra (“mas”)
12( )
y Y
V y
2
1 ySnV y
N n
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• Si se desea un tamaño de muestra tal que el error de estimación sea inferior a con una probabilidad de 1-, esto es:
Tamaño de la Muestra (“mas”)
| | 1[ ]P y Y 2
ˆ( )z V y ,
diviendo entre 1
2V y
1 12 2
1[ ( )] [ ( )]
y YPV y V y
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• De las tablas de la normal estándar, Z~N(0,1), se obtiene un valor z/2 tal que
(z/2 es el valor de Z obtenido en las tablas que
deja un área de /2 a la derecha de él).
Tamaño de la Muestra (“mas”)
/ 2 1[ ]P Z z
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• Como , hacemos que
sea un valor arbitrario de Z y que:
Tamaño de la Muestra (“mas”)
1
2~ (0,1)
y YN
V y
1
2
y Y
V y
/ 2 1 22
1y
zS nV yn N
(a)
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• De aquí (a) se despeja n:
si = 0.05 entonces:
Tamaño de la Muestra (“mas”)
2 2/ 2
2 2
2 2/ 2
1
1y
y
z Sn
z S N
2 2
2
(1.96) ySn
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• Se puede usar como una primera
aproximación y luego corregir usando
• Si no se puede suponer normalidad de la distribución del estimador, se recurre a la desigualdad de Tchebycheffdesigualdad de Tchebycheff.
Tamaño de la Muestra (“mas”)2 2
/ 2
2' yz Sn
''
1
nn
nN
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• Desigualdad de TchebycheffDesigualdad de Tchebycheff
Sea U una variable aleatoria con cualquier distribución y
Tamaño de la Muestra (“mas”)
2( ) , ( )U UE U V U
2
1U UP U
2
11U UP U
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2
11U U UP U U
Tamaño de la Muestra (“mas”)
2
1( ) ( ) 1P y V y Y y V y
2
12 1 .75
2
13 1 .889
2
14.4 1 .95
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• En las expresiones anteriores, si tanto como S se expresan en por ciento de la media,
Tamaño de la Muestra (“mas”)
2
2 2
14.4 ( ) .
1(4.4)
V y n
S N
(5.4a)
' 100y
, 100S
CVy
la expresión (5.4) se
2 2/ 2
2 2
2 2/ 2
( )1.
' '1( )
z CVn
Z CV N
transforma a:
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• Si no se supone normalidad para la distribución de y con confianza del 95%, por la desigualdad de TchebycheffTchebycheff, entonces (5.4a) se transforma a:
Tamaño de la Muestra (“mas”)
y
2
2 2
2 2
1 (4.4)( )
( ) 1 ( )(4.4) ( )
CVn
CV N
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• Y(ui) es una medida o indicador de la presencia o presencia o ausencia de una característicaausencia de una característica en la unidad ui con valor 1 si la característica está presente y 0 si no es así. En este caso
= proporciónproporción de unidades en la poblaciónpoblación que tienen la característica
Estimación de Proporciones
Y P
.
N
ii
YY P
N
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• que es la proporciónproporción de unidades en la muestramuestra con la característica.
• El valor de S2y en términos de P resulta:
Estimación de Proporciones
p y
2
2 11
1 1
N
ii
Y
Y YS NP P
N N
21 , (1 )1
NP P P P
N
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con estimador
Con este nuevo valor la expresión (5.3) resulta:
Estimación de Proporciones
2
2 2ˆ
ˆ ˆ(1 ).1 1
n
ii
y y
y ynP
S s Pn n
22
00
1 111
1
NP PNnP P CVCV P
N
(5.5)
Para usar esta expresión, se estima a prioria priori o con una prueba piloto el valor de P y se fija el CVo que se desea.
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• Si utilizamos la desigualdad de TchebycheffTchebycheff tenemos:
Estimación de Proporciones
2
2 2
2
(4.4) (1 )1 11
(4.4) (1 )1
NP P
Nn
N NP PN
2
2 2
(4.4)54n
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• Nótese que si P está cercano a cero, el valor de n aumentaaumenta.
Esto indica que para estimar la proporción de unidades con una característica rara se requieren muchas unidadesmuchas unidades en la muestra.
Estimación de Proporciones
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Esto es lo contrario de lo que sucede si se usa la aproximación a la normal, en cuyo caso se usa la expresión (5.4) con
Estimación de Proporciones
2 11Y
NPS P
N
2 2
22 2
2 2
2
1 .
1
y
y
z Sn
z S N
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• Si se quiere conocer P, las Yi son 0 ó 1.
Estimación de Proporciones
2 (1 ) (1 )1y
NS P P P P
N
2/ 2
2
(1 )
z P Pn
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• Si , además como
la varianza de es máxima cuando P = 0.5, se usa P(1-P)=(.5)(.5)=0.25 como margen de seguridad
Estimación de Proporciones
2.05 1.96 2z
P
2
2 2
2 (.25) 1 n
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• Entonces se debe dar que nP>5 y n(1-P)>5 para que se tenga buena cercaníabuena cercanía a la normalidad.
• Al variar se tienen los siguientes tamaños de muestra:
Estimación de Proporciones
n
.001 1,000,000
.01 10,000
.02 2,500
.025 1,600
.3 1,111
.035 816
.4 625
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Además, si entonces se debedebe reportar el resultado de la estimación de P con un intervalo de confianza aproximado dado por:
Estimación de Proporciones
ˆ ˆ~ ( , ( ))P N P V P
ˆ ˆ1.96 ( ) 1.96 ( ) .95,P p V p P p V p
ˆ ˆ(1 )ˆ ˆ( ) 1
1
n Np pV p
N N n