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ESTADÍSTICA ESPAÑOLAVol. 44, Núm. 149, 2002, págs. 5 a 27

Muestreo en Auditoría Contable: Unmodelo paramétrico para la obtención

de Cotas Combinadas (CAV)

porJUAN ANTONIO ZAPARDIEL LÓPEZ

Departamento de Estadística, Estructura Económica y O.E.I. Universidad de Alcalá de Henares

JOSÉ MIGUEL CASAS SÁNCHEZ


JOSÉ JAVIER NÚÑEZ VELÁZQUEZ(1)


RESUMEN

En este artículo, presentamos un modelo paramétrico que permitela obtención de cotas combinadas (CAV) para el error monetario totalde sobrevaloración en una población contable. Bajo la hipótesis deque los errores han sido generados a partir de una distribución mixtade tipo no estándar, e identificando la distribución de los errores nonulos mediante una distribución beta, se utiliza el método bootstrap dereplicación muestral en su vertiente paramétrica para aproximar ladistribución del estimador. Finalmente, se realiza un estudio de simu-lación sobre una población real de documentos contables, contamina-da mediante diversas proporciones de error y distribuido según dis-tintos modelos teóricos. Esto nos permite efectuar un análisis de la

(1) Los autores agradecen las sugerencias recibidas de dos evaluadores anónimos, quehan contribuido a mejorar la versión final del artículo.

6 ESTADÍSTICA ESPAÑOLA

distribución de la cota CAV-β obtenida, así como una comparación desu comportamiento frente a siete cotas CAV propuestas en la literatu-ra.

Palabras Clave: Auditoría Contable, Bootstrap paramétrico, Cotascombinadas de Atributos y Variables (CAV), Muestreo de Unida-des Monetarias (MUS), Mixturas de distribuciones de tipo no es-tándar

Clasificación AMS: 62D05, 62F40

1. INTRODUCCIÓN

Una de las principales aplicaciones del muestreo estadístico en Auditoría con-siste en verificar la calidad en la valoración monetaria de una población de docu-mentos contables. El auditor pretende obtener una cota superior de confianza parael error monetario total en la población, utilizando el sistema de selección muestraldenominado Muestreo de Unidades Monetarias (MUS)(2).

Los procedimientos de Muestreo Combinado de Atributos y Variables (CAV), di-rectamente relacionados con la selección tipo MUS, se han convertido en losúltimos años en herramientas de uso frecuente en la Auditoría profesional. Entreestos métodos, goza de especial preferencia la Cota de los Errores Ordenados,derivada de los comentarios de Stringer (1963) y posteriormente desarrollada en eltrabajo de Felix, Leslie y Neter (1982). Estos procedimientos no paramétricospermiten la obtención de cotas superiores para el error monetario total que mues-tran un comportamiento sensiblemente mejor que el de los estimadores clásicosutilizados en poblaciones contables reales. El principal problema de estas cotas yde otras de su misma clase, es su discordancia entre el nivel de confianza planeadoy el real, situación ya observada en el comportamiento de los estimadores clásicoscon información auxiliar(3).

Mediante simulaciones se ha comprobado que esta deficiencia se acrecientacuando los porcentajes de error en las poblaciones son bajos y los errores sonunidireccionales (sobrevaloración o infravaloración). Este problema implica cotasexcesivamente conservadoras que suelen producir ambigüedades e inseguridad enel juicio del auditor. En las cotas CAV más utilizadas en la práctica auditora, como

(2) Anderson y Teitlebaum (1973); Goodfellow, Loebbecke y Neter (1974 a y b); Leslie,Teitlebaum y Anderson, (1980).

(3) Frost y Tamura (1986).

MUESTREO EN AUDITORIA CONTABLE: UN MODELO PARAMÉTRICO PARA LA OBTENCIÓN DE COTAS COMBINADAS (CAV)... 7

la citada anteriormente, los niveles reales de confianza suelen sobrepasar a losniveles nominales de confianza, circunstancia que puede llevar al auditor a conside-rar que el error monetario total supera a un error material límite aceptable, estable-cido previamente a la investigación, lo que supone la necesidad de acciones audito-ras más profundas, con el consiguiente incremento en términos de costes.

El modelo presentado a continuación pretende crear cotas superiores de con-fianza utilizando selección muestral MUS y un procedimiento CAV de tipo paramé-trico, en el que se pueden efectuar conjeturas, a partir de la muestra, sobre ladistribución de los porcentajes de error en la población. El desconocimiento de ladistribución del estimador para la media de los errores obtenido mediante estemodelo, obliga a buscar métodos alternativos para el cálculo de una cota superiorde confianza para el error. En el presente trabajo se utiliza la metodología boots-trap-paramétrica de replicación de muestras, según la cual se explota la informa-ción suministrada por la muestra mediante la obtención de un número determinadode remuestras(4) bootstrap de una población paralela a la analizada, simulada apartir de la información de la muestra original.

2. EL MODELO PARAMÉTRICO

Consideremos una población de N documentos contables de la que se extraeuna muestra de tamaño n utilizando el método de selección del Muestreo de Uni-dades Monetarias(5). La nomenclatura para las variables es la siguiente:

Xi : Valor monetario en libros del documento i.

Yi : Valor auditado del documento i.

Ei = Xi - Yi : Error monetario en el documento i.

∑=

=N

1iix XT : Número total de unidades monetarias en la población.

Sea iD la variable que define a la proporción de error monetario, o en otras pa-labras, al error en términos de céntimos de la moneda elegida, en el documento i :

(4) A veces, se utiliza también el término submuestras, aunque obviamente no en elsentido del submuestreo clásico.

(5) La selección muestral se lleva a cabo sobre unidades monetarias, lo que equivale aun muestreo de unidades físicas con probabilidades proporcionales a los valores monetariosen libros de cada documento contable. Se utiliza MUS para la selección muestral inicial.Posteriormente el tratamiento estadístico se efectuará sobre los valores monetarios de losdocumentos contables correspondientes a las unidades monetarias incluidas en esta mues-tra.


i

i

i

iii X

EX

YXD =−=

N,,1i �=

y se aceptan las siguientes hipótesis:

I. Los errores monetarios presentes en la población son errores de sobrevalora-ción, es decir: ii YX ≥ , o bien, 0Ei ≥ , y el máximo error de sobrevaloración para undocumento contable coincide con el valor monetario en libros de ese documento.Esto implica que 1D0 i ≤≤ .

II. La variable iD es generada por una distribución mixta(6), o combinación dedos distribuciones.

En efecto, mediante muestreo de unidades monetarias (MUS) se selecciona unamuestra de n unidades de la población contable. Sea K el número de unidadesmonetarias erróneas de esa muestra, pertenecientes a sendos documentos conta-bles. En las poblaciones de tipo contable, el número total de unidades monetarias,Tx , es muy elevado con respecto a n . Ante esta situación, puede considerarse queK es una variable aleatoria que sigue una distribución binomial B(n,p). El valor de pen estas poblaciones es, por lo general, pequeño, debido en gran parte a los me-canismos de control interno puestos en práctica por los departamentos contables.

Lo anterior significa que existirá un gran número de documentos para los quelos valores de las variables iX e iY serán iguales, es decir, 0Ei = y 0Di = .

Se define la variable iZ para los valores de iD distintos de cero

( )N,,1i;0Di �=≠ :

−

=pZp10

Di

i

en la forma que se expone a continuación.

III. La variable iZ sigue una distribución continua de tipo paramétrico. Los valo-

res de iZ se consideran generados a partir de una distribución del tipo beta. Esta

(6) Kaplan (1973 a, b) expuso por vez primera que los deficientes resultados mostradospor los estimadores con información auxiliar aplicados a poblaciones contables, eran causa-dos por el hecho de no contemplar la naturaleza mixta de estas poblaciones. Aitchison (1955)sentó las bases para el análisis de mixturas de una distribución continua y otra discreta conmasa probabilística en el punto cero (distribuciones mixtas de tipo no estándar). Ver tambiénPanel on Nonstandard Mixtures of Distributions (1989).


hipótesis constituye una sensible diferencia respecto al método introducido porTamura y Frost (1986), que modeliza la distribución de los valores de iZ como

generados por una distribución:

( ) 1LLzzf −= 1z0 ≤< L0 <

Las distribuciones beta forman una familia de funciones indexadas por dos pa-rámetros, a y b , y están definidas en el intervalo (0,1) (7).

La elección de esta función se basa tanto en su versatilidad de formas, lo queconstituye un factor decisivo a la hora de aproximar otros tipos de funciones a lasque pueden ajustarse los valores, z, como en su adaptación al campo de variaciónde la variable Z.

La estructura básica del modelo propuesto queda definida de la siguiente mane-ra:

1. −

=pz

p10d

2. ( ) ( ) 1z0;z1czb,azf 1b1a ≤<−= −−

Así pues, la media poblacional para los valores de la variable, será :

( ) ( )ba

papZpEDE

+=θ===µ

Este modelo probabilístico de tres parámetros, ( b,a,p ), para una población

contable con errores de sobrevaloración, puede denominarse ( )b,a,pS .

3. PROCEDIMIENTO DE ESTIMACIÓN DE LA COTA CAV-β

El auditor, en primer lugar, tomará una muestra de n unidades monetarias, queequivaldrá al cálculo de n valores de iD de la población ( )b,a,pS , y tratará de

construir una cota superior, uµ , para la media poblacional ( )iDE=µ , basada en su

(7) En las aplicaciones prácticas, para evitar comportamientos anómalos en entornos devalores muy próximos a 0, se puede optar por utilizar una variable beta que excluya esepunto, y que guarda la siguiente relación con la beta original (β : a, b) definida en 0 ≤ X ≤ 1:

B(β : a, b) + A[1 – B(β : a, b)]

donde B valdrá 1, y A será un punto positivo suficientemente próximo a 0.


selección muestral. Finalmente, construirá una cota superior para el error monetariototal en la población a partir del total monetario en libros, Tx , mediante:

xuu TˆE µ=

La construcción de la cota se llevará a cabo en dos fases.

3.1 Fase I. Estimación de parámetros básicos del modelo

Se trata de obtener estimadores para los parámetros desconocidos surgidos enel modelo: p , a, b ,θ, µ. Los parámetros básicos son p , a y b , ya que θ y µ sederivan de ellos.

Se considera que de las n unidades monetarias, hay k unidades erróneas ykn − unidades correctas incluidas en sus correspondientes documentos contables.

Dada la función de verosimilitud para la remuestra de k unidades que se consi-deran generadas por la variable iZ :

( ) ( )[ ]∏=

−− −=k

1i

1bi

1ai

k z1zcb,a;zL

no existe una expresión algebraica para los estimadores de a y b, utilizando elmétodo de la máxima verosimilitud. Esto supone un importante inconveniente parala fluidez de todo el modelo, teniendo en cuenta el elevado número de simulacionesnecesarias para un acercamiento a la distribución de la cota objeto del mismo.Dado que lo que interesa es su operatividad, se ha optado por estimar a y b por elmétodo de los momentos, que como se mostrará al analizar la aplicación empíricadel modelo, revela un comportamiento muy eficaz, puesto que permite reducir demanera importante el sesgo de las cotas generadas.

Los momentos poblacionales de primer y segundo orden para iZ son los de unavariable distribuida beta con parámetros a y b:

( )ba

aZE i +

=

( )1ba

1aba

aZE 2

i +++⋅

+=


Así pues, aplicando el método de los momentos, se obtienen las siguientes ex-presiones de los estimadores de a y b:

( )

−−= 1

S

z1zza

2z

M ; ( ) ( )

−−−= 1

S

z1zz1b

2z

M

donde:

( )∑=

−=k

1i

2i

2z zz

k1

S

Partiendo de las expresiones de Ma y Mb ,se puede obtener un estimador para

la media de los valores de iD :

θ=µ ˆpˆ ,

donde p es la proporción muestral de documentos erróneos y θ el estimador de lamedia de Z.

3.2 Fase II. Obtención de una cota superior para µ

La idea central de esta fase consiste en adoptar el siguiente razonamiento:

Mediante la vertiente clásica del muestreo estadístico, la construcción de unacota superior para µ requeriría un conocimiento previo de la distribución muestralde µ . Sin embargo, se presenta un problema para encontrar esta distribuciónmuestral, ya que los valores de la variable D responden a una distribución mixta, loque obliga a buscar otro camino alternativo para la construcción de tal cota superiorpara µ.

3.2.1 Aplicación del procedimiento bootstrap de replicación muestral

La principal característica del método bootstrap es que produce sesgos y des-viaciones típicas de forma automática, independientemente de la complicación de la

forma funcional del estimador )F(tˆ =θ .

La única diferencia entre los procedimientos de bootstrap paramétrico y no pa-ramétrico es que, en el primer caso, las muestras son extraídas de una poblaciónen la que los parámetros desconocidos son estimados por procedimientos paramé-

tricos, en lugar de ser obtenidas de una estimación no paramétrica, F .


La metodología bootstrap presenta dos ventajas importantes con respecto a losmétodos tradicionales:

• Cuando se utiliza en modo no paramétrico, evita un análisis en el que se debanhacer hipótesis paramétricas sobre la forma de la distribución subyacente.

• Cuando se utiliza en modo paramétrico, puede ofrecer solución a problemas paralos que no existen fórmulas convencionales.

La expresión de partida es la del estimador muestral de µ :

θ=µ ˆpˆ

Utilizando el método bootstrap de replicación muestral(8), se construirá una cota

superior para µ, uµ , estableciendo la siguiente mecánica:

1. Se parte de la información recopilada hasta el momento:

• A partir de Ma y Mb , y calculando p , se puede obtener un estimador para µ:

θ=µ ˆpˆ .

2. Con esta información, se construye una población ( )b,a,pS , alternativa a

( )b,a,pS , en la que se aproximan los parámetros p , a y b , desconocidos, con

MM by a,p .

• Haciendo uso de procedimientos aleatorios, se generan N valores de una pobla-

ción beta de parámetros Ma y Mb , caracterizada por la variable β= ZZi .

• Se establece el porcentaje de documentos contables erróneos igual a p .

• Se generan N valores de una variable aleatoria uniforme en (0,1): {Ui , i= 1, 2, ..., N}.

• Con la información recogida, se genera una nueva población regida por una

variable aleatoria iD que simule a la variable iD :

≤=>

=β pUZZ

pU0D

ii

ii

donde la variable iZ seguirá una distribución beta de parámetros Ma y Mb . Es

decir, se obtiene una subpoblación que se aproxima a la población de valores de

iZ .

(8) Efron y Tibshirani (1993)


• Finalmente, a través del procedimiento expuesto, se ha originado una población

( )b,a,pS que simula a ( )b,a,pS .

3. De la población ( )b,a,pS se extraen B muestras aleatorias(9) y se calcula, para

cada muestra s , el valor de sµ . Para ello, es necesario efectuar las siguientes

estimaciones:

nk

p ss =

( )

−

−= 1

S

z1zza

2z

sssMs

s

( ) ( )

−

−−= 1

S

z1zz1b

2z

sssMs

s

donde sk es el número de unidades erróneas (equivalentes a documentos cuyo

valor ha sido simulado) , sz es la media de los valores de iZ , y 2zs

S es la varianza

de los valores iZ , todos para la muestra s -ésima. Además, para cada muestra, s :

ss

ss

ba

aˆ+

=θ

sssˆpˆ θ=µ

4. Partiendo de los resultados de las B muestras, se establece una cota superior,uµ , para µ al ( )%1100 α− de confianza, de tal modo que:

α−= 1B

m*

donde *m es el número de valores sµ inferiores a uµ ; es decir, se utiliza el método

de los percentiles.

(9) La cantidad B se corresponde con un número elevado, generalmente de 1.000 mues-tras, al menos.


5. La cota CAV-β definitiva, en términos monetarios, tendrá esta forma:

CAV-β = xu Tˆ ⋅µ

Un esquema del funcionamiento del modelo se presenta en la figura 1.

Sin embargo, en el proceso de selección de la muestra original, se observan dossituaciones para las que el modelo no ofrece una solución, y que reciben un trata-miento especial:

a) Muestras con cero unidades monetarias erróneas

El enfoque paramétrico descrito en este modelo es inapropiado cuando noexisten unidades erróneas en la muestra ( k = 0). En este caso, la cota superior

para µ , uµ , se establecerá utilizando la hipótesis conservadora de que 1=θ . De

este modo, la cota superior para µ sólo dependerá de la distribución de p , bino-mial, y no será necesario acudir a la metodología bootstrap. Así, up se obtendrá

por el conocido procedimiento:

[ ] ( ) α=−=≤ nup10kP

( ) n1uu 10pp α−==

b) Muestras con una unidad monetaria errónea

Cuando la muestra contiene sólo un valor, d, 0d ≠ , los parámetros a y b nopueden ser estimados siguiendo el presente método. En este caso, la opciónadoptada por el modelo utiliza la filosofía de la cota de ordenación de errores parala proporción(10):

( ) ( ) ( )[ ] 1uuuu z0p1p0pp2CAV

⋅−+=−

Es decir, introduce el factor de ajuste ( ) ( )0p1p uu − ,siendo ( )1pu la que se ob-

tendría de la expresión binomial:

( )[ ] ( ) ( )[ ] α=−+− −1nuu

nu 1p11np1p1

Por lo tanto, el cálculo de µ se realizaría del siguiente modo:

(10) Goodfellow, Loebbecke y Neter (1974 b)


( )

>+

=

==

=µ −

1kba

ap

1kp

0k0pp

ˆ

MM

M

u

uu

2CAV

3.3 Ventajas del modelo

• En este modelo no se tiene en cuenta la forma de la distribución de los valoresmonetarios en libros de cada cuenta, iX , por lo que, en la práctica, es indiferente el

hecho de que la población de los valores de iX haya sido generada a partir de una

distribución exponencial, beta, normal, o cualquier otro tipo. Sólo se considera laforma de la distribución de los valores de iZ , es decir, de los valores 0di ≠ de la

variable iD .

• Cualquiera que sea la distribución de Zi, el modelo planteado tenderá a aproxi-marla mediante una función de densidad de una distribución beta, combinandoadecuadamente los parámetros a y b que caracterizan a esta distribución.

• El procedimiento bootstrap permite una drástica reducción en el sesgo de lascotas, en comparación con las cotas admitidas en la práctica auditora, como la cotade ordenación de errores.

4. ANÁLISIS DE LA DISTRIBUCIÓN DE LA COTA CAV-β

A continuación, se procede a realizar un estudio sobre el comportamiento de lacota CAV-β en una población contable. Para ello se ha generado una población devalores en libros, Xi , partiendo de la información descriptiva de una de las pobla-ciones del trabajo llevado a cabo por Neter y Loebbecke (1975). La poblaciónresultante responde a los siguientes parámetros:


Tabla 1POBLACIÓN DE ESTUDIO. CARACTERÍSTICAS

DESCRIPTIVAS

Número de documentosl i l i+1

0 7.500 1.2937.501 15.000 617

15.001 30.000 67930.001 45.000 41745.001 75.000 49175.001 150.000 580

150.001 300.000 503300.001 450.000 178450.001 750.000 160750.001 1.500.000 82

5.000

Valor librosPoblación valores en libros

Posteriormente, se han obtenido seis poblaciones de valores auditados supo-niendo que el error cometido constituye una contaminación de la población correc-ta, cifrada en el 5% y el 10%, y de acuerdo con distribuciones Normal, N(0,5;0,25),Exponencial, E(λ=0,01) y Uniforme, U(0;1) (11):

(11) Estas distribuciones han sido previamente truncadas para adaptar su campo de va-riación al de la variable Z.

Total valor Libros 491.734.772Media 98.347Desviación Típica 183.648Asimetría 3,77Curtosis 17,95Mínimo 2Máximo 1.486.131

Características poblacionales


Tabla 2CONTAMINACIÓN POR ERROR

Para tratar de lograr una aproximación razonable a las propiedades distributivasde la distribución de la cota CAV-β, hemos optado por generar 500 resultados deesta cota(12) a un nivel de confianza nominal del 95%. Las 500 muestras originalesde tamaño n=100, han sido seleccionadas mediante el procedimiento MUS. Final-mente, los resultados obtenidos para la cota CAV-β se han comparado con loslogrados para siete de las cotas más representativas(13) de la literatura especiali-zada(14), para las mismas muestras:

(12) Las dificultades para la generación de cotas CAV-β se deben principalmente alenorme número de muestras que hay que seleccionar para que el método Bootstrap seaoperativo. Así, de la población simulada a partir de cada muestra original, se han selecciona-do B = 1.000 remuestras bootstrap; por lo tanto, para generar 500 estimaciones de la cotaCAV-β, ha sido necesario seleccionar un total de 500.000 remuestras bootstrap. La dificultades aún considerablemente mayor cuando se utiliza Bootstrap paramétrico, dado que paralograr cada una de las poblaciones simuladas con los datos de una muestra original, esnecesario generar números aleatorios (variable Z) procedentes de una población Beta con losparámetros estimados a partir de la muestra original.

(13) En el Apéndice se describe cada una de estas cotas.

(14) Para un estudio más detallado de estas cotas, ver Casas, Núñez y Zapardiel (1999).

Población Auditada

Distribución Error di Proporción Error p

1 E(l =0,01) 5%

2 E(l =0,01) 10%

3 N(0,5;0,25) 5%

4 N(0,5;0,25) 10%

5 U(0;1) 5%

6 U(0;1) 10%


Tabla 3RESULTADOS OBTENIDOS SOBRE 500 MUESTRAS

Cotas Media Desv. Típica

Coef. Variac.

Precisión (Sesgo)

Nivel Real de Confianza

CAV-β 28.282.759 8.152.646 0,29 2,60 100,0%

CAV-1 50.943.821 14.976.027 0,29 4,69 100,0%

CAV-2 30.671.062 8.588.793 0,28 2,82 100,0%

CAV-3 21.457.713 9.555.210 0,45 1,98 87,0%

CAV-4 36.264.779 9.179.231 0,25 3,34 100,0%

CAV-5 31.422.625 8.905.180 0,28 2,89 100,0%

CAV-6 19.311.202 9.180.357 0,48 1,78 81,6%

CAV-7 23.183.982 9.787.574 0,42 2,13 91,2%

Error EXPONENCIAL E(l=0,01) ; p = 0,05


Coef. Variac.

Precisión (Sesgo)


CAV-β 42.465.021 13.434.541 0,32 1,96 92,4%

CAV-1 77.396.988 19.687.722 0,25 3,57 100,0%

CAV-2 44.651.639 10.706.999 0,24 2,06 100,0%

CAV-3 35.077.535 10.810.796 0,31 1,62 91,8%

CAV-4 51.678.838 11.210.513 0,22 2,39 100,0%

CAV-5 45.973.753 11.200.168 0,24 2,12 100,0%

CAV-6 33.838.050 10.900.741 0,32 1,56 89,4%

CAV-7 37.756.758 10.883.575 0,29 1,74 97,6%

Error EXPONENCIAL E(l=0,01) ; p = 0,1


Tabla 3 (Continuación)RESULTADOS OBTENIDOS SOBRE 500 MUESTRAS


Coef. Variac.

Precisión (Sesgo)


CAV-β 26.616.577 6.599.096 0,25 2,44 100,0%

CAV-1 48.393.291 12.515.582 0,26 4,44 100,0%

CAV-2 30.832.686 5.852.156 0,19 2,83 100,0%

CAV-3 22.896.466 5.779.501 0,25 2,10 99,8%

CAV-4 35.993.778 7.049.365 0,20 3,30 100,0%

CAV-5 31.595.829 6.086.923 0,19 2,90 100,0%

CAV-6 19.339.735 5.995.176 0,31 1,78 93,4%

CAV-7 23.401.056 5.898.630 0,25 2,15 99,8%

Error NORMAL N(0,5;0,25) ; p = 0,05


Coef. Variac.

Precisión (Sesgo)


CAV-β 40.691.467 9.068.347 0,22 1,75 98,6%

CAV-1 79.924.210 16.111.361 0,20 3,45 100,0%

CAV-2 47.321.722 8.883.493 0,19 2,04 100,0%

CAV-3 38.814.607 8.932.213 0,23 1,67 98,4%

CAV-4 54.779.677 9.632.403 0,18 2,36 100,0%

CAV-5 48.820.981 9.323.443 0,19 2,11 100,0%

CAV-6 36.111.560 9.044.051 0,25 1,56 93,0%

CAV-7 39.753.387 8.955.651 0,23 1,71 98,8%

Error NORMAL N(0,5;0,25) ; p = 0,1


Tabla 3 (Conclusión)RESULTADOS OBTENIDOS SOBRE 500 MUESTRAS

donde la medida de la precisión comparativa de cada cota CAV y su aproximaciónal nivel de confianza real, se obtienen del modo siguiente:

Precisión = realError

promedioCota

( )100

1.000

TTCotasNº%NCR yx ⋅

−>=


Coef. Variac.

Precisión (Sesgo)


CAV-β 25.367.992 6.992.476 0,28 1,66 94,8%

CAV-1 54.453.627 15.269.925 0,28 3,56 100,0%

CAV-2 36.599.408 10.149.275 0,28 2,39 99,8%

CAV-3 28.834.162 11.117.650 0,39 1,88 87,6%

CAV-4 41.283.053 10.570.637 0,26 2,70 100,0%

CAV-5 37.571.866 10.544.683 0,28 2,45 99,8%

CAV-6 25.741.267 10.745.119 0,42 1,68 84,6%

CAV-7 30.319.478 11.184.160 0,37 1,98 90,0%

Error UNIFORME ; p = 0,05


Coef. Variac.

Precisión (Sesgo)


CAV-β 39.799.378 10.296.357 0,26 1,41 94,2%

CAV-1 85.699.536 17.090.033 0,20 3,04 99,8%

CAV-2 54.019.770 10.035.380 0,19 1,92 98,0%

CAV-3 45.374.365 10.279.746 0,23 1,61 94,0%

CAV-4 60.315.901 10.309.877 0,17 2,14 98,4%

CAV-5 55.753.139 10.494.763 0,19 1,98 98,0%

CAV-6 43.595.153 10.344.401 0,24 1,55 92,6%

CAV-7 47.794.423 10.396.832 0,22 1,70 95,0%

Error UNIFORME ; p = 0,1


siendo Ty el total monetario poblacional posterior a la auditoría, y %NCR el nivelreal de confianza en términos porcentuales.

5. CONCLUSIONES FINALES

A lo largo de este trabajo, se ha desarrollado un modelo que permite generarcotas CAV a través de un proceso bootstrap paramétrico, con selección muestralMUS. La utilización de una distribución beta para la identificación del error diferentede cero en la mixtura no estándar, se debe a su versatilidad de formas mostrada através de los parámetros de indexación, y a la perfecta adaptación de su campo devariación al de la variable de error, Z.

Por otra parte, la elección de los modelos distribucionales N(0,5;0,25), E(0,01) yU(0;1), para la contaminación por error de la población real de documentos conta-bles, permite analizar el comportamiento de las cotas CAV en un amplio abanico deposibilidades. Entendemos que este marco, junto con la elección de porcentajes decontaminación del 5% y el 10%, proporciona un buen banco de pruebas sobre elque desarrollar el análisis de las características de la cota CAV-β. Además, laobtención de 500 estimaciones de la cota CAV-β en cada escenario, proporcionauna buena aproximación al estudio de su distribución; sobre todo, teniendo encuenta los comentarios ya descritos sobre la complejidad de su generación.

Así, en primer lugar, debemos destacar la excelente congruencia que muestra lacota CAV-β entre los niveles de confianza nominales y reales, donde sólo se apre-cia un ligero desfase en el caso de contaminación por error E(0,01) con un 10% demagnitud. Sin embargo, merece destacarse la mejora general de su comporta-miento a medida que disminuye el porcentaje de error, lo cuál es particularmenteinteresante en el campo de la Auditoría para el que se ha diseñado, donde lohabitual es trabajar con poblaciones que presentan bajos porcentajes de docu-mentos erróneos.

En cuanto a la comparación con el resto de cotas CAV utilizadas en la literatura,debe mencionarse su magnífico comportamiento en todos los escenarios, desta-cando particularmente en el caso de contaminación uniforme.

En un análisis más detallado, puede observarse el excesivo conservadurismopuesto de manifiesto por las cotas CAV-1, CAV-4 y CAV-5, que dan como resultadounas medias excesivamente altas, lo que las coloca directamente en situación deinferioridad a efectos de comparación con el resto. En cuanto a las cotas CAV-3 yCAV-6, se observa una baja fiabilidad general, dada la escasa concordancia quemuestran entre los niveles de confianza nominal y real, si se consideran todos losescenarios en conjunto.


Quedan, pues, como casos de comparación más interesantes, la cota CAV-2 yla CAV-7, que constituye un refinamiento de la cota CAV-6. Con respecto a laprimera de ellas, la cota CAV-β proporciona unos resultados similares en relacióncon su variabilidad, mientras que en la comparación entre niveles reales y nomina-les de confianza, CAV-β se afianza como una alternativa razonable para superar elfuerte conservadurismo de CAV-2, que hace que sus medias sean notablementesuperiores a las de CAV-β. Por esta razón, entendemos que las propiedades de lacota CAV-β propuesta, presentan un mejor balance comparativo, incluyendo loreferente al sesgo o precisión, en los términos definidos en el artículo. Con respectoa la cota CAV-7, el análisis puede basarse en las mismas directrices expuestaspara CAV-2 aunque, en este caso, las mejoras observadas en CAV-β resultan seralgo más modestas.

Del análisis efectuado, y a la luz de su comparación con el resto de cotas CAV,puede concluirse que la cota CAV-β constituye una interesante herramienta esta-dística alternativa para el auditor. Como ocurre con la mayoría de los nuevosmodelos propuestos, es necesario incrementar los esfuerzos de investigación enesta cota, sobre todo desde un punto de vista empírico, donde podemos adelantarla posibilidad de utilizar un número superior de muestras para mejorar el estudio desimulación presentado, así como una mayor variedad de escenarios en términos dedistribución del error y de porcentaje de contaminación en las poblaciones. Final-mente, la utilización de técnicas alternativas para la estimación de los parámetros,entre las que merece destacarse el algoritmo EM(15), podría abrir nuevas posibili-dades para la obtención de estimadores más eficientes.

(15) Ver, por ejemplo, McLachlan y Krishnan (1997).


Figura 1PROCESO DE ELABORACIÓN DE LA COTA CAV-β

Población valores en libros

xi

Población valores auditados

yi

Muestra MUS tamaño n

xi

Muestra paralela tamaño n

yi

n-k unidades correctas

di = 0

k unidades erróneas di = zi

Cota superior para el error monetario total

COTA CAV-β

Proporción documentos erróneos en muestra

Errores de sobrevaloración di

Estimación Método Momentos

Cota superior para la media

Bootstrap B = 1000 muestras

B resultados

p

MaMb

sp Msa Msb

sµ

uµ

xu Tˆ ⋅µ

( )MMi b;abetaz ⇒


APÉNDICE

COTAS CAV UTILIZADAS EN EL ESTUDIO

Método de los Máximos Errores (CAV-1)

)1;k(pT1CAV ux α−=

Método de los Errores Ordenados (CAV-2)

[ ]∑=

⋅α−−−α−+α−=k

1iiuuxux d)1;1i(p)1;i(pT)1;0(pT2CAV

k21 ddd ≥≥≥ �

Método del Error Medio (CAV-3)

d)1;k(pT3CAV ux α−=

=

>=

∑=

0k1

0kdk1

d

k

1ii

Método de Goodfellow, Loebbecke y Neter (CAV-4)

( ) ( )∑=

⋅−−α−=n

1iii

xux vd1

nT

1;kpT4CAV

≠=

=1t11t0

v kvn

1ii =∑

=

Método de Stringer (CAV-5)

[ ] i

k

1iuu

xu

x d)1;1i()1;i(nT

)1;0(nT

5CAV ⋅α−−λ−α−λ+α−λ= ∑=


k21 ddd ≥≥≥ �

Método de la Media Muestral para MUS (CAV-6)

( )MUS1MUS ESzE6CAV α−+=

∑=

=n

1ii

xMUS d

nT

E ( ) ( )∑=

′−−

−=

n

1i

2i

x

2x

MUS2 dd

1n1

Tn

1nT

ES

∑=

=′n

1iid

n1

d

Método de la Media Muestral Múltiple Expandida (CAV-7)

( )MUSMUS ECSE7CAV +=

21

u

knkn

1k

)k;1(npC

−

−

α−=

REFERENCIAS

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AUDIT SAMPLING: A PARAMETRIC MODEL OF SETTING `CAV´BOUNDS IN ACCOUNTING POPULATIONS

SUMMARY

This paper presents a parametric model of setting a CAV bound forthe overstatement total error amount in accounting populations. As-suming that the errors have been generated from a nonstandard mix-ture of distributions, and identifying the nonzero error distributionthrough a beta distribution, the parametric bootstrap method is used toapproximate the sampling distribution of the estimator. Finally, weperform a simulation study on a real accounting population containingdifferent error rates, when the error distribution is assigned accordingto several theoretical models. This allows carrying out a distributionanalysis of the CAV-β bound obtained, comparing its behavior toseven CAV bounds proposed in the auditing literature.

Key words: auditing, accounting, parametric bootstrap, combined at-tribute and variable (CAV) bounds, monetary unit sampling (MUS),nonstandard mixtures of distributions

AMS Classification: 62D05, 62F40

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