MUESTREO ESTRATIFICADO dividir L subconjuntosEl muestreo estratificado consiste en dividir la...

MUESTREO ESTRATIFICADO

• El muestreo estratificado consiste en dividirdividir la población en L subconjuntosL subconjuntos o estratos, y de cada uno de ellos seleccionar una muestra probabilística; de manera independiente de un estrato a otro.

Existen tres razones importantes para utilizar este tipo de muestreo:

i. estadísticas, ii. marcos; y deiii. costos.


i. La razón estadísticarazón estadística ocurre cuando la población está constituida por unidades heterogéneasheterogéneas y podemos tener una idea previa de los grupos de unidades más homogéneas entre sí, entonces es conveniente formar estratos.

Los estratos son subconjuntos de la población que agrupan unidades homogéneasagrupan unidades homogéneas, aunque sean heterogéneas entre estratosheterogéneas entre estratos.

Cada estrato se muestrea por separado y se obtienen los estimadores de parámetros (totales, medias, proporciones) para cada estrato.


Se supone que se conocese conoce el número de unidades en cada estrato (Nh).

Aunque esto se verá después, es importante señalar que si se usan estimadores de razón o de regresión o si el muestreo se hace con probabilidad proporcional al tamaño, los estratos se forman con subconjuntossubconjuntos de unidades donde sea constante la proporcionalidad de Y a X, aunque esa proporcionalidad cambie de estrato a estrato.

MUESTREO ESTRATIFICADOComo ejemplos de la razón estadística para usar estratos, considérense:

(a)(a) En un muestreo donde interesa conocer alguna característica de los hogares en la Ciudad de México (por ejemplo: gastos en alimentos, ropa, ingresos, tipo de casa habitación, años de escolaridad del padre, número de hijos, etcétera). Se sabe que esas características dependen fuertemente del nivel socioeconómico de las familias, por lo tanto conviene hacer estratos considerando áreas de la ciudad con niveles socioeconómicos semejantes.


Así, las colonias se pueden clasificar a priori con relación al nivel socioeconómico como: muy alto, alto, medio, medio bajo y bajo, formando de esta manera cinco estratos.

La encuesta se planea para cada estratocada estrato por separado. El efecto de formación de estratos es reducir la variabilidadreducir la variabilidad de los estimadores. La variabilidad de se puede reducir mucho si los estratos son muy muy homogéneoshomogéneos dentro de cada uno de ellos y heterogéneosheterogéneos entre los mismos.

Y

(b) En un muestreo para estimar la cosecha total de café en México, se conocía que el estado fisiológico, edad y estado de sanidad de los árboles influye mucho en su producción. Entonces, se tomaron como estratos, categorías de árboles bien definidas y homogéneas en lo que respecta a edad, estados fisiológicos y de sanidad. Además, los predios se agruparon en estratos de acuerdo a la región ecológica donde estaban ubicados. Esto es porque la productividad del café varía según las condiciones ecológicas como altura sobre el nivel del mar, vientos, temperaturas extremas, etcétera.


(c) En una encuesta para estimar el consumo de energía eléctrica es conveniente agrupar las fábricas en estratos, así quedarían agrupadas en: fábricas grandes, fábricas pequeñas, empresas de producción familiar y un estrato final constituido por casa-habitación. Esto, porque sabemos que el consumo de electricidad va a ser muy variable entre estratos, y esperamos que sea menor dentro de estos.


Poblaciones de Macroalgas

• Para la estimación de la biomasa superficial de los mantos del alga gigante Macrocystis pyrifera, se encontró que los distintos mantos a lo largo de la distribución presenta una biomasa diferente.

• Por lo tanto se decidió a priori separar tres tipos de densidades: Alta, Media y Baja, y todas las áreas con un mismo tipo de densidad se agruparon en un estrato diferente.

ii. Otra razón poderosa para formar estratos es la disponibilidad de marcosmarcos.

Si para una parte de la población se tiene un buen marco, éste se usa para el muestreo de esa parte y la o las otras partes de la población se muestrean usando otros marcos más imprecisos y, posiblemente distintos esquemas (diseños) de muestra.


Por ejemploPor ejemplo, en encuesta de hogares se cuenta con un buen marco para la zona urbana de construcción antigua; pero las zonas rurales y las urbanas de construcción reciente no tienen un marco adecuado.

Entonces se utilizan planos catastrales para las zonas urbanas antiguas (un estrato), se usan fotografías aéreas para zonas rurales (otro estrato) y las áreas de posible nueva urbanización (otro estrato) se delimitan como otro marco; se muestrean áreas y se investigan las nuevas urbanizaciones (muestreo en etapas o conglomerados).


iii. Otra razón más para construir estratos puede ser el costocosto de localizar y levantar la información de las unidades, por ejemplo: si en una encuesta de predios agrícolas hay una región cuyo acceso es difícil (por avión o a caballo únicamente), esa región puede constituir un estrato, que será muestreado con un tamaño de muestra pequeño.


• Lo más frecuente es que los tres criterios para formación de estratos coincidancoincidan, de modo que los estratos formen unidades homogéneas con un mismo tipo de marco y con costos de localización y captación de información semejantessemejantes.


• Se pueden utilizar diferentes formas de Se pueden utilizar diferentes formas de muestreo en los diferentes estratosmuestreo en los diferentes estratos, sin embargo, se considerará en este escrito como una introducción al tema, aquel en el cual cada estrato se muestrea usando “mas”.

Más adelante se consideran las muestras complejas, donde se amplia el uso de estratos.


• Considérese la siguiente notación:

Nh= número de unidades en estrato h-ésimo;

h=1,2,...,L;

L= número de estratos.


• Valores Poblacionales

valor de la medición en el elemento

i-ésimo del estrato h-ésimo.

total de unidades en la población.

media poblacional del estrato h-ésimo.


hiY

1

L

hh

N N

1

hN

hii

hh

YY

N

total poblacional del estrato

h-ésimo.

varianzas poblacionales del

estrato h-ésimo.


1

hN

h h h hii

Y N Y Y

2

2 1

1

hN

hi hi

hh

Y YS

N


1 1 1

hNL L

h hih h i

Y Y Y

total de toda la población.

media de los valores Yhi

en toda la población.

1

L

hhh

Y N Y

h

YY

N

proporción del tamaño del estrato h-ésimo.


hh

NW

N

1

1L

hh

W

• Valores muestrales

En esta parte se considera cualquier estrategiacualquier estrategia de muestreo probabilístico en cada estrado, incluso pueden ser diferentes de un estrato a otro.


Supóngase que de manera independiente se toman muestras de cada estrato. Sea nh el tamaño de muestra en el estrato h-ésimo.

La muestra total es


1

L

hh

n n

Supóngase que se quiere estimar el totalel total de la población, esto es

Para esto con la muestra de cada estrato se estima el total, sea el estimador insesgado o con sesgo despreciable para el caso de estimadores de razón o de regresión, su varianza , además, sea un estimador de esa varianza.


1 1 1

hNL L

h hih h i

Y Y Y

hY

ˆ( )hV Y ˆ ˆ( )hV Y

El estimador del total es

la suma de los estimadores de los totales de los estratos (es un estimador insesgado).

Esto es válido con cualquier diseñocualquier diseño de muestra y estimadores por estrato, los que pueden ser distintos en los diferentes estratos.


1

ˆ ˆL

hh

Y Y

La varianza del estimador del total es

,

que es la suma de las varianzas de los estimadores de los totales de estratos.

Esto es por tener muestras independientesmuestras independientes en los estratos.


1

ˆ ˆ( ) ( )L

hh

V Y V Y

Además el estimador de la varianza del varianza del estimador del totalestimador del total es:


1

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )L

hh

V Y V Y

Suponiendo distribución normaldistribución normal de se tiene:


Y

ˆ ˆ1.96 ( ) .95

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1.96 ( ) 1.96 ( ) .95

P Y Y V Y

P Y V Y Y Y V Y

Si no se puede suponer normalidadno se puede suponer normalidad úsese el valor 4.4 en lugar de 1.96 (T. Tchebycheff).

• Estas expresiones para son válidas para cualquier formacualquier forma de muestrear estratos.


Y

• La primera aproximación al uso de estratos es considerar que se usa “mas” en cada estrato entonces:

donde yhi son los valores observados en la unidad i-ésima de la muestra (tamaño nh) del estrato h-ésimo.


1 ˆˆ

hn

hii

h h h h h hh

yY N y N N Y

n

El estimador del total poblacionaltotal poblacional es:

(6.1)


1 1

ˆ ˆL L

h h hh h

Y Y N y

1 1

1 1

ˆ

h

h

nLhi

hh i h

nLh

hih i h

yY N

n

Ny

n

donde corresponde al factor de ponderación, de las unidades obtenidas en cada estrato.

h

h

N

n

Su varianza teórica es:

(6.2)

Esta varianza se estima al sustituir S2h por

su estimador en cada estrato.


2 2

1 1

22

1

ˆ ˆ( ) ( ) ( )

1

L L

h h hh h

Lh h

hh h h

V Y V Y N V y

n SN

N n

El estimador insesgadoestimador insesgado de S2h es

.

Nótese que es la misma expresión que S2

h, pero la primera es con valores de la muestra y la segunda con los valores de todo el estrato h-ésimo.


2ˆhS

22

11

hn

hih

h

i h

yy

nS

Recurriendo al Teorema central del límiteTeorema central del límite, para cada estrato , se tendrá que

.

Esto es mucho más factible aunque cada no tenga distribución normal, si se tienen muchos estratos. Se puede decir que los errores de estimación tienden a cancelarse tienden a cancelarse de un estrato a otro.


~ [ , ( )]h h hy N Y V y

ˆ ˆ~N [ , ( )]Y Y V Y

hy

Si se estima , se puede construir un intervalo de confianza aproximado para el total de la población:

Al dividir cada término de (6.3) entre , tenemos el intervalo de confianza para

, la media de la población.


ˆ( )V Y

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1.96 ( ) 1.96 ( ) 0.95[ ]P Y V Y Y Y V Y (6.3)

hN N

Y

Si se considera que la muestra es grande en cada estrato, la muestra total será mayor aún. Esto justificajustifica el uso del valor 1.96 en lugar del valor de las tablas de t. Nótese que:

(6.4)


22

1

ˆˆ ˆ( ) 1

Lh h

hh h h

n SV Y N

N n

Si lo que se quiere estimar es , se tendrá que,

(6.5)

donde proporción del tamaño de estrato h-ésimo.


Y

1

1 1

ˆˆ

L

h h L Lh h

h h hh h

N yNY

Y y W yN N N

h

h

NW

N

Nótese que (6.5) es un promedio ponderadopromedio ponderado de los promedios muestrales y su varianza es:

(6.6)

la que se estima con:

(6.6a)


2

2

1

ˆ 1L

h hh

h h h

n SV Y W

N n

22

1

ˆˆˆ( ) 1L

h hh

h h h

n SV Y W

N n

De manera semejante, el intervalo de confianza aproximado para es el siguiente:

Aún con muestras chicas en cada estrato (nh = 2,3,4) si se tienen mas de 10 estratos se puede tener normalidadpuede tener normalidad para , esto en virtud de la compensación de errores.


Y

Y

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1.96 ( ) 1.96 ( ) 0.95P Y V Y Y Y V Y

• Proporciones

Si lo que se requiere estimar es P, la proporción de elementos de la población que tienen una característica determinada, se usan las equivalencias dadas por


1

ˆ ,L

h hh

P W p

,h hY P ,h hy p

2

1

1ˆˆ ˆ ˆ( ) ( ) 1L

h hhh

h h h

p pnV Y V P W

N n

Estas equivalencias surgen al considerar que

1 Si la unidad i-ésima del estrato h

Yhi= tiene la característica

0 De otro modo


• Sólo si las Ph son muy diferentesmuy diferentes de estrato

a estrato, vale la pena estratificar.

• Si , no conviene usar los estratos.


.2 .8hP h

Distribución (afijación) de la Muestra a los Estratos

Antes de considerar el problema de la determinación del tamaño de muestra, se discute la forma de distribuirdistribuir el tamaño de muestra total, n, a los diferentes estratos.

• Un criterio es lo que se le llama distribución distribución (afijación) proporcional(afijación) proporcional,, donde la muestra se divide de manera proporcional a los tamaños de los estratos Nh.

Distribución Proporcional

Se busca que se cumpla la relación:

De esta relación se tiene:

(6.7)


.h hh

n NW

n N

hh h

Nn n nW

N

Esta distribución de la muestra total se usa cuando no se tiene informaciónno se tiene información sobre la magnitud de las S2

h, o que esas S2h sean

semejantes; se usa además cuando los costoscostos de muestrear las unidades en los diferentes estratos son semejantesson semejantes.


También se emplea cuando el muestreo o encuesta va a determinar varias varias características (varias mediciones)características (varias mediciones) en cada unidad de la población, incluso cuando se quiere que sea “autoponderado”, es decir, todos los elementos de la muestra tienen un mismo factor de expansión


.h

h

N N

n n

Con esta distribución proporcional se tiene:

donde


1 1 1 1

1 1

ˆ ˆ

h

h

nL L Lh

h h h hih h h ih

nL

hih i

NY Y N y y

n

k y

.h h

hh

N N Nk

Nn nnN

• Cuando se tienen costos muy diferentes para el muestreo de unidades en los diferentes estratos, se usa la distribución (afijación) óptimadistribución (afijación) óptima.

Si el costo para obtener información de una unidad en el estrato h-ésimo es Ch, el costo total será:

(6.8)

C0 es costo administrativocosto administrativo, de instalación, etcétera, general.

Distribución Óptima

01

L

h hh

C C C n

La minimización (variando las nh, sin cambiar otras condiciones), de la varianza del estimador (6.2) con costo fijo (6.8) o viceversa, produce la distribución óptimadistribución óptima que es:

(6.9)

Esto es para muestreo “mas”muestreo “mas” en todos los estratos.


1

1

Lh h h h

hhh h

N S N Sn n

C C

h hh

h

N Sn

C

• Para cualquier diseño de muestreo en los estratos, la varianza del estimador del totalvarianza del estimador del total se podrá expresar como:

Entonces la distribución óptima esdistribución óptima es:


ˆ( ) ( )hh h

h

AV Y n

n cte. que no involucra

1

1

,L

h h hh h

hh h h

A A An n n

C C C

• Si lo que se quiere es encontrar aquel valor de n que produce la mínima varianza produce la mínima varianza para un costo total fijo Ccosto total fijo C00, se deberá usar la expresión

(6.9) y sustituir en (6.8).

Tamaño de Muestra Total

Entonces tenemos:

Esto es usando la distribución óptima.

Los valores de Sh se deberán obtener con base en muestras piloto de cada estratomuestras piloto de cada estrato, o bien por conocimiento previo de la forma de la distribución en cada estrato y el rango de variación.

01

1

Lh h

h hL

h h hh

N SC C

Cn

N S C

(6.10)


Si lo que se quiere es encontrar el valor de n que produce el costo mínimocosto mínimo para un error de estimación determinado, entre el estimador del total y el verdadero total, entonces se tiene .

Si se sustituye la varianza de la expresión (6.2) con distribución óptima, se obtiene:


ˆ1.96 ( )V Y

1 1

22

211.96

L Lh h

h h hh h h

L

h hh

N SN S C

Cn

N S

(6.11)

• Las expresiones (6.10) y (6.11) se refieren a la estimación del total. Para estimar un promedio, , la expresión (6.10) sigue siendo válida pero la (6.11) debe modificarse:


Y

ˆ ˆ ˆ ˆ1.96 ( ) 1.96 ( ) .95

ˆ1.96

P Y V Y Y Y V Y

V Y

Sustituyendo la varianza por la expresión (6.6) y con nh óptimo se tiene:


(6.11´)2

1 1

22

2 21

1(1.96)

L Lh h h

h hh h h

L

h hh

N N SS C

N Cn

N SN

Y Y

Donde ahora es el error máximo permisible, con confianza del 95%, entre el estimador del promedio , y el promedio poblacional . Nótese que las en expresiones (6.11) y (6.11’) son muy diferentesmuy diferentes.

• Las expresiones (6.10), (6.11) y (6.11’) se usan cuando se quiere optimizar algo que optimizar algo que involucra el costoinvolucra el costo.

• Si el costo no es determinantecosto no es determinante y si se usa la distribución óptima para CChh constante constante, (6.10)(6.10) no deberá usarseno deberá usarse.

• Es importante enfatizar que en (6.10), (6.11) y (6.11’) se usa la distribución óptima.se usa la distribución óptima.


• Si se va a usar la distribución proporcional se puede recurrir a la expresión de la varianza que es:

Si se sustituye se tiene:


22 2

1

ˆ( )L

hh h h

h h

NV Y S N S

n

(6.12)

(6.12)´

hh

Nn n

N

2 2

1

ˆ( )L

h h h hh

NV Y N S N S

n

Con este valor en lugar de las S2, se pueden usar las expresiones (5.3) y (5.4) para obtener n.

• Si se quiere tener un coeficiente de variación fijo (CVo), sin tomar en cuenta el tipo de distribución

del estimador , se tendrá :


Y1

2

0

ˆ( ),

V YCV

Y

de donde:


2

1

22 20

1

L

h hh

L

h hh

N N Sn

Y CV N S

(6.13)

• Si se considera que y se desea tener:

de aquí se tiene que


ˆ ˆ~ , ( )[ ]Y Y V Y

ˆ | | 1 ,[ ]P Y Y

/ 2 12ˆ( )

zV Y

de donde a partir de se obtiene que n debe de ser:


ˆ( )V Y

/ 2

2

12

22

1

L

h hh

L

h hh

N N Sn

N Sz

(6.14)

• Es relativamente sencillo modificar las expresiones (6.13) y (6.14) para considerar la estimación de . El cambio fundamental está en que se debe sustituir por que es , entonces:


Y

Y Y Y

N

2 22 2

1 1

1 1 1ˆ ˆ( ) ( ) .L L

h h h hh h

V Y V Y N S N SN nN N

• Si se considera que el costo es importanteel costo es importante, esto es, hay costos diferenciales en los estratos, conviene usar la distribución óptima (6.9) y determinar el tamaño de muestra con expresiones (6.10), (6.11) o (6.11’).

• Si no hay costos diferenciales muy marcadosno hay costos diferenciales muy marcados y se decide usar la distribución proporcional (6.7) para determinar el tamaño de muestra total, se usará (6.13), si se quiere fijar el coeficiente de variación, sin consideraciones sobre la distribución de los estimadores.

Conclusiones

• Si se quiere fijar la precisión ( ) y la confiabilidad (1-) considerando distribución normal para el estimador, se usará la expresión (6.14).

Debe tenerse cuidado al señalar que todas las expresiones anteriores determinan el tamaño de muestra para estimadores globales de toda la población. Las inferencias no son Las inferencias no son para cada estrato con esas muestraspara cada estrato con esas muestras..

Conclusiones

Si lo que se desea es estimar media o totales en cada estrato, las expresiones anteriores no se deben usar, lo que se debe emplear son fórmulas (5.3) y (5.4) para cada estrato para cada estrato por separadopor separado y así determinar las nh a usarse en cada uno de ellos. Por supuesto que en este último caso la muestra total n es mucho más grande. Esto es de esperarse, puesto que ahora se están haciendo inferencias por separado para L poblaciones.

Conclusiones

Construcción de estratos

• Cual es la mejor característica para la construcción de estratos

• Como se determinan los límites de los estratos

• Cuantos estratos debería haber

• Para una sola característica o variable y, la mejor característica es, por supuesto, la distribución de frecuencias de y. La siguiente mejor es probablemente la distribución de frecuencia de alguna otra cantidad altamente correlacionada con y

• El problema es encontrar límites intermedios entre estratos tales que la varianza de la media estratificada sea mínima.

Construcción de estratos

• Igualación de los productos de los tamaños o pesos de cada estrato por alguna medida d su variabilidad (generalmente S2. Criterio de Ekman-Dalenius.

• Criterio de equpartición: División en partes iguales de la suma de las raíces de las frecuencias de alguna variable de estratificación (regla de CUM √ f )

Construcción de estratos• Igualación de los totales conjeturados para

los diferentes estratos, o sea, de los productos de los tamaños relativos de los estratos por su valor medio.

• Aplicación a la población en estudio de los puntos de estratificación (límite) correspondientes a la distribución teórica que se ajuste satisfactoriamente a la distribución de frecuencia poblacional.

Intervalo de Longitudes f (y) CUM √f (y)

0-5 3467 58.9

5-10 2516 109.1

10-15 2157 155.5

15-20 1581 195.3

20-25 1142 229.1

25-30 746 256.4

30-45 265 314.7

45-50 207 329.1

50-55 126 340.3

55-60 107 350.6

60-65 82 359.7

65-70 50 366.8

70-75 39 373.0

75-80 25 378.0

80-85 16 282.0

85-90 19 386.4

90-95 2 387.8

95-100 3 389.5

Ejemplo: Regla de CUM

Si deseamos 5 estratos: 389.5/5 = 77.9

De aquí 155.8, 233.7, 311.6, 389.5

Los límites se encuentran entre los valores mas cercanos:

Resumen de las ecuaciones básicas

La función de costo:

C = L Cs + n Cn + Co

Donde:

L = Numero de estratos

n = Numero de muestras

Cs y Cn = Constantes asociadas con el numero de estaciones y el numero de estratos

Co = Costo inicial

Media estratificada

1

L

hstWhYhY

Varianza

S2 (yst)

h = 1

L

Wh2 Sh2

nh

-Wh2 Sh2

N

[V (yst) ]

Termino de cpf

Límites de confianza

Media de la población: Yst + t S ( yst)

Total de la población: NYst + t N S ( yst)

Ejemplo• Mediante fotografía aérea y muestreo de campo se ha

obtenido la siguiente información para los mantos de algas gigantes en la zona de la Isla de Cedros. Calcule la biomasa total con su intervalo de confianza al 95%

Densidad alta (Kg/m2): 7.5, 10.5, 11, 12, 8.5, 7.5, 6.5, 5.5, 10, 11.5, 3.5, 6.5, 13.5, 12, 12, 10, 4, 5, 12.5, 13.5. N = 2,201,732 m2

Densidad media: (Kg/m2): 8, 6, 7.5, 4, 6, 5, 6.75, 7.5, 8, 9, 8.5, 7.5, 7, 3.5, 7. N = 557,915 m2

Densidad baja: (Kg/m2): 3.75, 5, 4.5, 3.25, 4, 3, 3.5, 3, 4, 2.5. N = 537,414 m2

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