16 de Marzo del 2010

Tarea No: 6

Hernández Cortes Luz Del Carmen.

CUCEA

“Distribución muestral de la diferencia de medias y diferencia de proporciones”.

Este método se utiliza para comparar las medias de dos distribuciones muestrales distintas y formular una inferencia con respecto a la diferencia de estas.

Suponga que se tienen dos poblaciones distintas, la primera con media µ1 y desviación estándar σ1, y la segunda con media µ2 y desviación estándar σ2. Y después, se elige una muestra aleatoria de tamaño n1 de la primera población y una muestra independiente aleatoria de tamaño n2 de la segunda población; se calcula la media muestral para cada muestra y la diferencia entre dichas medias. La colección de todas esas diferencias se llama distribución muestral de las diferencias entre medias.

Se pueden presentar dos casos:1. Cuando se conoce la desviación estándar o la varianza2. Cuando no se conoce la desviación estándar o la varianza.

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL POR DIFERENCIAS DE MEDIAS ARITMETICAS. (distribución muestral de 1 - 2)

En el primer caso la formula que se utilizará es:

Donde:1= media de la muestra aleatoria simple 1.

2= media de la muestra aleatoria simple 2.

µ1= media de la población 1.

µ2= media de la población 2.

σ2x1 = Varianza de la muestra 1.

σ2x2 = Varianza de la muestra 2.

21

2121

n

σ

n

σ

)μ(μ)x x( z

2

2x

2

1x

EJEMPLO (caso 1): En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto

grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25 niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de 35.01 kg y su desviación estándar es de 3.1 kg, mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de 32.26 kg y su desviación estándar es de 3.5 kg. Encontrar la probabilidad de que el promedio de los pesos de los 20 niños sea al menos 5 kg más grande que el de las 25 niñas.

µ1=35.01 kg

µ2=32.26 kg

σ2x1 = (3.1) 2 = 9.61

σ2x2 = (3.5) 2= 12.25

n1 = 20 niños

n2 = 25 niñas 21

2121

n

σ

n

σ

)μ(μ)x x( z

2

2x

2

1x

Solución:P(1 - 2 ≥ 5)

1 - 0.9886 = 0.0114 P(1 - 2 ≥ 5) = 0.0114

2525.12

2061.9

32.26) (35.01 5 z

49.04805.0

2.75 5 z

9705.0

25.2 z

9851.025.2

z 9886. 2.28 z

µ1 - µ2 =

100 – 85=15

1 - 2 =5

0.0114

Este método se utiliza para comparar las proporciones o porcentajes de dos distribuciones muestrales distintas y formular una inferencia con respecto a la diferencia de estas.

Cuando se estudió a la distribución muestral de proporciones se comprobó que P= µp y que σp = , por lo que no es difícil deducir que µp1 - µp2 = P1 – P2 y que

DISTRIBUCIÓN MUESTRAL POR DIFERENCIAS DE PROPORCIONES (distribución muestral de 1 - 2)

La formula que se utilizará es:

Donde:p1= proporción de la muestra aleatoria simple 1.

p2= proporción de la muestra aleatoria simple 2.

P1= proporción de la población 1.

P2= proporción de la población 2.

q1 = proporción restante de la población 1.

q2 = proporción restante de la población 2.

2

22

1

11

2121

nqP

nqP

)P(P)pp ( z

EJEMPLO:

Los hombres y mujeres adultos radicados en una ciudad grande del norte difieren en sus opiniones sobre la promulgación de la pena de muerte para personas culpables de asesinato. Se cree que el 12% de los hombres adultos están a favor de la pena de muerte, mientras que sólo 10% de las mujeres adultas lo están. Si se pregunta a dos muestras aleatorias de 100 hombres y 100 mujeres su opinión sobre la promulgación de la pena de muerte, determine la probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor sea al menos 3% mayor que el de las mujeres.

n1= 100 hombres

n2= 100 mujeres

P1= 12% =0.12

P2= 10% =0.10

q1 = 1 - 0.12 =0.88

q2 = 1 – 0.10 =0.90

2

22

1

11

2121

nqP

nqP

)P(P)pp ( z

SOLUCIÓN: Se recuerda que se está incluyendo el factor de corrección

de 0.5 por ser una distribución binomial y se está utilizando la distribución normal.

1 – 0.5437 = 0.4563La probabilidad de que el porcentaje de hombres a favor de la

pena de muerte, al menos 3% mayor que el de mujeres es de 0.4562.

100(0.90) ) (0.10

100(0.88) (0.12)

)10.0(0.12 0.025 z

1000.090

1000.1056

0.02 0.025 z

00090.001056.

0.005 z

001956.0

0.005 z 5437.11.0

0442.00.005

z

• Canavos, G. C. (1988). Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos. México: McGraw-Hill. 238 – 240.

• Distribución Muestral de Diferencia de Medias y Distribución Muestral de Diferencia de Proporciones. Recuperado el 15 de marzo del 2010, del sitio web del Instituto Tecnológico de Chihuahua: http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap01c.html

BIBLIOGRAFIA