Muestreo y distrib muestrales de una media

Lic. David Corpus Martínez, Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.M.E.U. 11

Distribuciones Distribuciones MuestralesMuestrales


¿Qué es muestrear?¿Qué es muestrear? • Muestrear es una forma de evaluar la Muestrear es una forma de evaluar la

calidad de un producto, la opinión de calidad de un producto, la opinión de los consumidores, la eficacia de un los consumidores, la eficacia de un medicamento o de un tratamiento. medicamento o de un tratamiento. Muestra es una parte de la Muestra es una parte de la población. población.


¿Qué es Inferir?¿Qué es Inferir?

• Hacer una conclusión sobre el grupo Hacer una conclusión sobre el grupo entero (entero (poblaciónpoblación) basados en ) basados en información estadística obtenida de información estadística obtenida de un pequeño grupo (un pequeño grupo (muestramuestra) es ) es hacer una hacer una inferencia estadísticainferencia estadística..


¿Por qué muestrear?¿Por qué muestrear? A menudo no es factible estudiar la población A menudo no es factible estudiar la población

entera. Algunas de las razones por lo que es entera. Algunas de las razones por lo que es necesario muestrear son:necesario muestrear son:

1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas1. La naturaleza destructiva de algunas pruebas2. La imposibilidad física de checar todos los 2. La imposibilidad física de checar todos los elementos de la poblaciónelementos de la población3. El costo de estudiar a toda la población es 3. El costo de estudiar a toda la población es

muy muy altoalto4. El resultado de la muestra es muy similar al 4. El resultado de la muestra es muy similar al resultado de la poblaciónresultado de la población5. El tiempo para contactar a toda la población 5. El tiempo para contactar a toda la población

es es no factible.no factible.


Tipos de MuestreoTipos de Muestreo

1.1. Muestreo Aleatorio SimpleMuestreo Aleatorio Simple

2.2. Muestreo Aleatorio SistemáticoMuestreo Aleatorio Sistemático

3.3. Muestreo Aleatorio Muestreo Aleatorio EstratificadoEstratificado

4.4. Muestreo por bloqueMuestreo por bloque


Muestreo Aleatorio Muestreo Aleatorio SimpleSimple

Es cuando una muestra es formulada de tal manera Es cuando una muestra es formulada de tal manera que cada elemento en la población tiene la misma que cada elemento en la población tiene la misma oportunidad de ser incluido.oportunidad de ser incluido.

• Una forma es usar un número de identificación para cada Una forma es usar un número de identificación para cada uno de los integrantes de la población y seleccionar la uno de los integrantes de la población y seleccionar la muestra mediante una tabla de números aleatorios. Como muestra mediante una tabla de números aleatorios. Como su nombre lo indica estos números han sido generados su nombre lo indica estos números han sido generados mediante un proceso aleatorio en una computadora. Para mediante un proceso aleatorio en una computadora. Para cada dígito de un número la probabilidad es la misma. cada dígito de un número la probabilidad es la misma. Entonces la probabilidad de que el elemento 22 sea Entonces la probabilidad de que el elemento 22 sea seleccionado es igual a la del elemento 382.seleccionado es igual a la del elemento 382.


EjemploEjemplo

En una compañía con 750 trabajadores se quiere En una compañía con 750 trabajadores se quiere obtener una muestra aleatoria de 15 elementos obtener una muestra aleatoria de 15 elementos para un chequeo médico. Los trabajadores fueron para un chequeo médico. Los trabajadores fueron numerados del 1 al 750 y mediante una tabla de numerados del 1 al 750 y mediante una tabla de números aleatorios se procedió a seleccionarlos. números aleatorios se procedió a seleccionarlos. El punto de arranque en la tabla se fijó mediante El punto de arranque en la tabla se fijó mediante la hora en ese momento, 3:04, por lo tanto se la hora en ese momento, 3:04, por lo tanto se inició en la columna 3, renglón 4. Como los inició en la columna 3, renglón 4. Como los números de los trabajadores van desde 1 hasta números de los trabajadores van desde 1 hasta 750 sólo se toman en cuenta las primeras 3 cifras 750 sólo se toman en cuenta las primeras 3 cifras de cada número que se encuentren en ese rango. de cada número que se encuentren en ese rango. En seguida se muestra una parte de la tabla:En seguida se muestra una parte de la tabla:


Tabla de números Tabla de números aleatoriosaleatorios

188918893 3

072107211 1

236323634 4

752975296 6

8615861555

6583658322

2756275688

3172317277

9075907566

1426142688

6505650511

5243852438

695569553 3

487448743 3

062506254 4

730073002 2

3443344322

5573557377

8880888088

1175117555

4253425377

0229022944

6826682611

7389173891

747674762 2

131613168 8

322332235 5

575557554 4

3555355511

9890989099

6542654244

1189118922

2041204100

1633163322

8234823466

3038930389

867286729 9

671667167 7

2402409911

671671555 5

1781788800

3163165599

0280286688

6256256633

5315314444

1741749944

7951795133

5545541313

437437888 8

875487547 7

166166448 8

885388536 6

7767776788

3773773399

9543954344

1501507788

8047804733

7187184444

0270276655

9387993879

833883382 2

596159617 7

200720074 4

220022002 2

3553355366

9829982988

6352635222

3181318188

8478847844

3928392800

6419641911

3942939429


De tal forma fueron seleccionados que la muestra De tal forma fueron seleccionados que la muestra quedó integrada por los trabajadores con los quedó integrada por los trabajadores con los números:números:

240 671 178 316 28 625 531 174 554 437 166 377 150 718 27


Muestreo Aleatorio Muestreo Aleatorio SistemáticoSistemático

Los elementos de la población están Los elementos de la población están ordenados de alguna forma ordenados de alguna forma (alfabéticamente, fecha, o algún (alfabéticamente, fecha, o algún otro método). Un primer artículo es otro método). Un primer artículo es seleccionado en forma aleatoria y seleccionado en forma aleatoria y entonces cada n elementos de la entonces cada n elementos de la población son tomados para la población son tomados para la muestra.muestra.


EjemploEjemplo

• Suponga que la población de interés consiste Suponga que la población de interés consiste de 2000 expedientes en un archivo. de 2000 expedientes en un archivo.

Para seleccionar una muestra de 100 con el Para seleccionar una muestra de 100 con el método aleatorio simple primero se tendría método aleatorio simple primero se tendría que numerar todos los expedientes. En este que numerar todos los expedientes. En este método se selecciona el primer expediente método se selecciona el primer expediente de acuerdo al método aleatorio simple, luego de acuerdo al método aleatorio simple, luego como se quiere una muestra de 100, se como se quiere una muestra de 100, se divide 2000 / 100 = 20, y se selecciona un divide 2000 / 100 = 20, y se selecciona un expediente cada 20.expediente cada 20.


Muestreo Aleatorio Muestreo Aleatorio EstratificadoEstratificado

Una población es primero dividida en Una población es primero dividida en subgrupos llamados estratos y una subgrupos llamados estratos y una muestra es seleccionada muestra es seleccionada aleatoriamente de cada estrato. aleatoriamente de cada estrato.

Puede haber dos tipos de muestreo estratificado, Puede haber dos tipos de muestreo estratificado, proporcionalproporcional y y no proporcionalno proporcional. Como su nombre . Como su nombre lo indica, en un muestreo aleatorio estratificado lo indica, en un muestreo aleatorio estratificado proporcional, el número de elementos de la proporcional, el número de elementos de la muestra de cada estrato tiene la misma muestra de cada estrato tiene la misma proporción de lo encontrado en la población.proporción de lo encontrado en la población.


EjemploEjemplo

• Suponga que se quiere obtener una Suponga que se quiere obtener una muestra de 50 compañías para hacer muestra de 50 compañías para hacer un estudio sobre los gastos en un estudio sobre los gastos en publicidad de las 352 compañías más publicidad de las 352 compañías más grandes del país. Se dividió a las grandes del país. Se dividió a las compañías en 5 estratos de acuerdo compañías en 5 estratos de acuerdo a su rentabilidad, como se aprecia en a su rentabilidad, como se aprecia en la tabla siguiente:la tabla siguiente:


Estrato Rentabilidad Número de

firmas (cías.)

Porcentaje Muestra

A 30% o más 8 2 1 B 20 – 30% 35 10 5 C 10 – 20% 189 54 27 D 0 – 10% 115 33 16 E Con pérdida 5 1 1

Total 352 100 50

El muestro estratificado tiene la ventaja de reflejar con más exactitud las características de la población.


Muestreo por bloqueMuestreo por bloque

• Este método de muestro es empleado para reducir el costo Este método de muestro es empleado para reducir el costo de muestrear una población cuando está dispersa sobre de muestrear una población cuando está dispersa sobre una gran área geográfica. El muestreo por bloque consiste una gran área geográfica. El muestreo por bloque consiste en dividir el área geográfica en sectores, seleccionar una en dividir el área geográfica en sectores, seleccionar una muestra aleatoria de esos sectores, y finalmente obtener muestra aleatoria de esos sectores, y finalmente obtener una muestra aleatoria de cada uno de los sectores una muestra aleatoria de cada uno de los sectores seleccionados.seleccionados.


Error de MuestreoError de Muestreo

• Es la diferencia entre un estadístico Es la diferencia entre un estadístico muestral y su correspondiente muestral y su correspondiente parámetro poblacional parámetro poblacional


Distribución Muestral de las Distribución Muestral de las MediasMedias

• Es una distribución de probabilidad Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias de todas las posibles medias muestrales, de un tamaño de muestrales, de un tamaño de muestra dado, seleccionadas de una muestra dado, seleccionadas de una población. población.


EjemploEjemplo

• Tortas “Don Toto” tiene 5 parrilleros (población), Tortas “Don Toto” tiene 5 parrilleros (población), a los cuales se les paga por hora según su trabajo. a los cuales se les paga por hora según su trabajo. Las percepciones de los parrilleros son las Las percepciones de los parrilleros son las siguientessiguientes::

Parrillero Percepción

por hora Adrián $ 9.00 Bitia $ 8.00

Carmen $ 8.00 Diana $ 8.00

Enrique $ 7.00


PREGUNTASPREGUNTAS

1. ¿Cuál es la media poblacional?1. ¿Cuál es la media poblacional?

2. ¿Cuál es la distribución muestral de las 2. ¿Cuál es la distribución muestral de las

medias para una muestra de tamaño 2?medias para una muestra de tamaño 2?

3. ¿Cuál es la media de la distribución 3. ¿Cuál es la media de la distribución

muestral?muestral?

4. ¿Qué observaciones se pueden hacer con 4. ¿Qué observaciones se pueden hacer con

respecto a la población y a la distribución respecto a la población y a la distribución

muestral?muestral?


SoluciónSolución

1. La media poblacional es:1. La media poblacional es:

9 + 8 + 8 + 8 + 7 µ =

5 = 8.0


2. 2. Para construir la distribución muestral de las medias, Para construir la distribución muestral de las medias, se calculan las medias de todas las posibles muestras de se calculan las medias de todas las posibles muestras de tamaño 2:tamaño 2:

Muestra Parrilleros percepciones Media de la muestra

1 A – B 9.00 8.00 8.50 2 A – C 9.00 8.00 8.50 3 A – D 9.00 8.00 8.50 4 A – E 9.00 7.00 8.00 5 B – C 8.00 8.00 8.00 6 B – D 8.00 8.00 8.00 7 B – E 8.00 7.00 7.50 8 C – D 8.00 8.00 8.00 9 C – E 8.00 7.00 7.50 10 D - E 8.00 7.00 7.50


DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE LAS MEDIAS

para n = 2 Media

muestral Número de

medias Probabilidad

7.50 3 0.3 8.00 4 0.4 8.50 3 0.3

Σ 10 1.0


3. La media de la distribución muestral de 3. La media de la distribución muestral de medias es: medias es:


Los histogramas de la distribución de probabilidad de la población y Los histogramas de la distribución de probabilidad de la población y de la distribución muestral de medias son:de la distribución muestral de medias son:


4. Se pueden hacer las siguientes 4. Se pueden hacer las siguientes

observaciones:observaciones:

a. La media de las medias muestrales es a. La media de las medias muestrales es igual a igual a

la media de la población. la media de la población. b. La dispersión de las medias muestrales es b. La dispersión de las medias muestrales es menor que la dispersión en la poblaciónmenor que la dispersión en la poblaciónc. La forma de la distribución muestral c. La forma de la distribución muestral

presenta presenta un cambio respecto a la forma de la un cambio respecto a la forma de la

población.población.


EjerciciosEjercicios 1. Los tiempos de terminación, en 1. Los tiempos de terminación, en

minutos, de un examen final de mate II minutos, de un examen final de mate II con el maestro Corpus, son los con el maestro Corpus, son los siguientes:siguientes:

niñ@ Minutos Edgar 1 10 Ale 9 Edgar II 10 Ingrid 8 Stephany 8 Cecy 9


PreguntasPreguntas

a) ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 2 se pueden a) ¿Cuántas muestras diferentes de tamaño 2 se pueden seleccionar de esta población?seleccionar de esta población?b) Construya la distribución muestral de las medias de b) Construya la distribución muestral de las medias de muestras tamaño 2muestras tamaño 2c) Compare la media de la población con la media de la c) Compare la media de la población con la media de la distribución muestraldistribución muestrald) Compare la desviación estándar de la población con la d) Compare la desviación estándar de la población con la desviación estándar de la distribución muestral de las desviación estándar de la distribución muestral de las mediasmediase) Compare los histogramas de la población y de la e) Compare los histogramas de la población y de la distribución muestral de las medias.distribución muestral de las medias.


¿Qué es una Distribución ¿Qué es una Distribución muestral de medias?muestral de medias?

• Es una distribución de probabilidad Es una distribución de probabilidad de todas las posibles medias de de todas las posibles medias de tamaño n de una población.tamaño n de una población.


¿Qué es el Valor Esperado?¿Qué es el Valor Esperado?

• El Valor Esperado de la distribución El Valor Esperado de la distribución muestral de medias, es igual al promedio muestral de medias, es igual al promedio de todas las medias de la distribución.de todas las medias de la distribución.

• Se simboliza como E( )Se simboliza como E( )

• Y su fórmula es E( )= Y su fórmula es E( )=

x

x


Desviación Estándar de las Desviación Estándar de las mediasmedias

• Es el error al calcular la desviación Es el error al calcular la desviación estándar de cada muestra de tamaño estándar de cada muestra de tamaño n.n.

• Se simboliza comoSe simboliza comox


Fórmulas para Fórmulas para

x

σσ =

n

x

σσ =

n

N n

N 1

• Si la población es infinita:

También se utiliza para poblaciones finitas pero “muy grandes”

• Si la población es finita:

Esta última fórmula se utiliza cuando:

La población es finita, pero además: n/N > 0.05

El factor del paréntesis es conocido como “Factor finito de corrección”.

xσ


NotasNotas

• Se entenderá lo siguiente:Se entenderá lo siguiente:

1.1. Muestra pequeña es aquélla donde Muestra pequeña es aquélla donde n<30n<30

2.2. Muestra grande, donde n>=30Muestra grande, donde n>=30


Teorema del Límite CentralTeorema del Límite Central

• Si la población es normal, entonces la Si la población es normal, entonces la distribución muestral de medias, también distribución muestral de medias, también lo es, sin importar el tamaño de las lo es, sin importar el tamaño de las muestras.muestras.

• Si la población no es normal, pero las Si la población no es normal, pero las muestras de la distribución muestral son muestras de la distribución muestral son grandes, entonces la distribución muestral grandes, entonces la distribución muestral es aproximadamente normal.es aproximadamente normal.


Ejemplos (Ejemplos (pág. 263pág. 263))1. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar 1. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar

de 50. Se tomará una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y de 50. Se tomará una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y se usará la media muestral para estimar la media poblacional.se usará la media muestral para estimar la media poblacional.

a) ¿Cuál es el valor esperado de xm?a) ¿Cuál es el valor esperado de xm?

b) ¿Cuál es la desviación estándar de xm?b) ¿Cuál es la desviación estándar de xm?

2. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar 2. Una población tiene una media de 200 y una desviación estándar de 50. Suponga que se tomará una muestra aleatoria simple de de 50. Suponga que se tomará una muestra aleatoria simple de tamaño 100 y se usará la media muestral para estimar la media tamaño 100 y se usará la media muestral para estimar la media poblacional.poblacional.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral quede a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral quede dentro de 5 de la media de la población?dentro de 5 de la media de la población?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral quede b) ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral quede dentro de 10 de la media de la población?dentro de 10 de la media de la población?


Continuación de los Continuación de los ejemplosejemplos

3. Suponga que la desviación estándar de la población es 3. Suponga que la desviación estándar de la población es σσ=25. =25. Calcule el error estándar de la media para tamaños de muestra Calcule el error estándar de la media para tamaños de muestra de 50, 100, 150 y 200. ¿Qué se puede decir acerca del tamaño de 50, 100, 150 y 200. ¿Qué se puede decir acerca del tamaño del error estándar de la media cuando aumenta el tamaño de la del error estándar de la media cuando aumenta el tamaño de la muestra?muestra?

4. Una muestra aleatoria simple de tamaño 50 se selecciona de una 4. Una muestra aleatoria simple de tamaño 50 se selecciona de una población con población con σσ=10. Calcule el valor del error estándar de la =10. Calcule el valor del error estándar de la media en cada uno de los siguientes casos (si es necesario, media en cada uno de los siguientes casos (si es necesario, aplique el factor finito de corrección):aplique el factor finito de corrección):

a) El tamaño de la población es infinitoa) El tamaño de la población es infinito

b) El tamaño de la población es 50,000b) El tamaño de la población es 50,000

c) El tamaño de la población es 5,000c) El tamaño de la población es 5,000

d) El tamaño de la población es 500d) El tamaño de la población es 500


5. Una población tiene una media de 400 y una desviación estándar de 50. 5. Una población tiene una media de 400 y una desviación estándar de 50. La distribución de probabilidad se desconoce.La distribución de probabilidad se desconoce.

a)a) Un investigador empleará muestras aleatorias simples de 10, 20 , 30 ó Un investigador empleará muestras aleatorias simples de 10, 20 , 30 ó 40 artículos para reunir datos sobre la población. ¿Con cuál de estas 40 artículos para reunir datos sobre la población. ¿Con cuál de estas alternativas de tamaño de muestra podrá usar una distribución normal alternativas de tamaño de muestra podrá usar una distribución normal para describir la distribución muestral de medias? Explique su para describir la distribución muestral de medias? Explique su respuesta.respuesta.

b)b) Indique la diastribución muestral de medias para los casos en los que Indique la diastribución muestral de medias para los casos en los que sea adecuada la distribución de probabilidad normal. sea adecuada la distribución de probabilidad normal.

6.6. Una población tiene una media de 100 y una desviación estándar de 16. Una población tiene una media de 100 y una desviación estándar de 16. ¿Cuál es la probabilidad de que una media muestral quede a ¿Cuál es la probabilidad de que una media muestral quede a ±2 ó ±2 ó menos de la media poblacional en cada uno de los siguientes tamaños menos de la media poblacional en cada uno de los siguientes tamaños muestrales:muestrales:

a)a) 5050b)b) 100100c)c) 200200d)d) 400400e)e) ¿Cuál es la ventaja de un tamaño grande de muestra?¿Cuál es la ventaja de un tamaño grande de muestra?

Continuación de los Continuación de los ejemplosejemplos


Ejercicios (Ejercicios (pág. 264pág. 264))

26. La media del precio por galón de gasolina regular vendida 26. La media del precio por galón de gasolina regular vendida en EU es de 1.20 dólares (reporte del año 1997). Suponga en EU es de 1.20 dólares (reporte del año 1997). Suponga que la media de la población del precio por galón de que la media de la población del precio por galón de gasolina es 1.20 dólares, y que la desviación estándar de gasolina es 1.20 dólares, y que la desviación estándar de la población es de 0.10 dólares. Además suponga que se la población es de 0.10 dólares. Además suponga que se selecciona una muestra aleatoria de 50 gasolinerías y que selecciona una muestra aleatoria de 50 gasolinerías y que se calcula un precio de la media muestral con los datos allí se calcula un precio de la media muestral con los datos allí reunidos.reunidos.

a)a) Exprese la distribución de muestreo de la media para las Exprese la distribución de muestreo de la media para las 50 gasolinerías50 gasolinerías

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media muestral a menos de 0.02 dólares de produzca una media muestral a menos de 0.02 dólares de la media poblacional?la media poblacional?

c)c) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra aleatoria simple produzca una media muestral a menos de 0.01 dólares de produzca una media muestral a menos de 0.01 dólares de la media poblacional?la media poblacional?


Continuación de los Continuación de los ejerciciosejercicios27. El Programa de Pruebas Universitario de la 27. El Programa de Pruebas Universitario de la

oficina universitaria estadounidense reportó una oficina universitaria estadounidense reportó una calificación SAT de la media de la población de calificación SAT de la media de la población de µ=1017. Suponga que la desviación estándar de µ=1017. Suponga que la desviación estándar de la población es la población es σσ=100.=100.

a)a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media aleatoria de 75 estudiantes produzca una media muestral de calificación SAT que quede a menos muestral de calificación SAT que quede a menos de 10 de la media de la población?de 10 de la media de la población?

b)b) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 75 estudiantes produzca una media aleatoria de 75 estudiantes produzca una media muestral de calificación SAT que quede a menos muestral de calificación SAT que quede a menos de 20 de la media de la población?de 20 de la media de la población?


28. El salario inicial promedio anual para expertos en 28. El salario inicial promedio anual para expertos en comercialización es de 34,000 dólares (Time, 8 de comercialización es de 34,000 dólares (Time, 8 de mayo del 2000). Suponga que para una población de mayo del 2000). Suponga que para una población de graduados con especialidad en comercialización el graduados con especialidad en comercialización el salario inicial promedio anual es 34,000 y que la salario inicial promedio anual es 34,000 y que la desviación estándar es 2,000.desviación estándar es 2,000.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra a) ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de expertos en comercialización aleatoria simple de expertos en comercialización tenga una media muestral dentro de tenga una media muestral dentro de ±250 dólares ±250 dólares de la media poblacional para cada uno de los de la media poblacional para cada uno de los siguientes tamaños de muestra: 30, 50, 100, 200 y siguientes tamaños de muestra: 30, 50, 100, 200 y 400?400?

b) ¿Cuál es la ventaja de un tamaño de muestra más b) ¿Cuál es la ventaja de un tamaño de muestra más grande al intentar estimar la media poblacional?grande al intentar estimar la media poblacional?

Continuación de los Continuación de los ejerciciosejercicios


TareaTarea

• Problemas 28 al 32 de la página 264 y Problemas 28 al 32 de la página 264 y 265 del libro:265 del libro:

• Estadística para Administración y Estadística para Administración y EconomíaEconomía

• Autores: Anderson, Sweeney y Autores: Anderson, Sweeney y WilliamsWilliams

• Editorial: ThomsonEditorial: Thomson

• NOTA: Anexo las páginas escaneadas.NOTA: Anexo las páginas escaneadas.


Z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3151 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3561 .3554 .3577 .3599 .3621 .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952

.00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09

2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4957 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4988 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990

Tabla de la Normal Estándar

Tabla de la Normal Estándar

Lic. David Corpus Martínez, Lic. David Corpus Martínez, M.E.U.M.E.U. 4343Tabla t de Student

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Student

Muestreo y distrib muestrales de una media

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