Métodos Numéricos para Ecuaciones Diferenciales

• El principio consiste en utilizar los valores previamente calculados de y y/o y' para construir un polinomio que aproxime la derivada de la función y extrapolarlo para el siguiente paso o intervalo.

• La mayoría de los métodos multipaso utilizan valores de puntos equidistantes.

• El número de puntos anteriores que se utilizan determinan el grado de el polinomio.

• Un método multipaso para resolver el problema de valor inicial: es aquél cuya ecuación de diferencia para encontrar la aproximación yi+1 puede representarse con la siguiente ecuación:

para i = m-1, m,...N-1, donde los valores iniciales y0 = 0, y1 = 1, y2 = 2, ..., ym-1 = m-1 están especificados y h = (b - a)/N

• Cuando bm = 0 el método se denomina explícito o abierto.

• Cuando bm 0 el método se denomina implícito o cerrado, ya que yi+1 aparece en ambos lados de la ecuación

mimiiimiim

miimimi

yxfbyxfbyxfbh

yayayay

110111

101211

,...,,

...

• De dos pasos y0 = 0 y1 = 1 , para i = 1,2,...,N-1

• De tres pasos y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2

para i = 2,3,...,N-1

11 32

nnni ffh

yy 2

1 '''2

5hy nn

211 5162312

nnnnn fffh

yy

3

18

3hy n

iV

n

• 4 pasos, y0= 0 y1= 1 y2= 2 y3= 3

• 5 pasos y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3 y4 = 4

3211 937595524

nnnnnn ffffh

yy 4

1720

251hy n

V

n

43211 2511274261627741901720

nnnnnnn fffffh

yy

5

1288

95hy n

Vi

n

• De dos pasos: y0 = 0 y1 = 1

• De tres pasos: y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2

111 8512

nnnnn fffh

yy 3

124

1hy n

iV

n

2111 519924

nnnnnn ffffh

yy

4

1720

19hy n

V

n

• De cuatro pasos: y0 = 0 y1 = 1 y2 = 2 y3 = 3

32111 19106264646251720

nnnnnnn fffffh

yy

5

160

3hy n

Vi

n

• Dado a que los coeficientes de los términos que involucran a f son más pequeños para los métodos implícitos éstos son más estables y tienen errores de redondeo menores.

• Generalmente, los métodos implícitos dan mejores resultados, sin embargo, requieren convertir el método, algebraicamente a una representación explícita para yn+1, y esto puede ser difícil.

• En la práctica los modelos multipaso implícitos se usan para mejorar las aproximaciones obtenidas por los métodos explícitos. A la combinación de una técnica explícita con una implícita se le llama método predictor-corrector.

• Método predictor de Milne

• Método corrector de Simpson (1/3)

2131 223

4 iiiii fffhyy i

V

i yh 4

115

14

1111 43

iiiii fffh

yy iV

i yh 4

190

1

• A pesar de que el error de truncamiento local es pequeño, no es muy común su uso porque es propenso a presentar problemas de estabilidad.

• El método de Milne obtienen la primera aproximación de yi+1 extrapolando valores para la derivada. Este método difiere de las formulas de Adams en que la integración se hace en más de un intervalo.

• Para la deducción de la fórmula se emplean fórmulas cuadráticas de integración. La fórmula de integración que se emplea para la deducción de la corrección es la regla de Simpson 1/3.

• Cuando los valores obtenidos por el predictor y el corrector son iguales en un número considerable de decimales se pueden ahorrar recursos computacionales incrementando h.

• Cuando la diferencia entre predictor y corrector excede el criterio de error se deberá disminuir el tamaño de paso.

• La eficiencia de los métodos Adams-Milne se considera al doble de los métodos Runge-Kutta, debido a que sólo se requieren dos evaluaciones de la función por paso.

• Todos tienen términos de error similares, sin embargo cambiar h con los métodos multipaso es más laborioso.