COLEGIO PREUNIVERSITARIO TRILCEII BIM ARITMTICA 1ER. AO

LA OPERACIN DE MULTIPLICAR

Antiguamente resultaba muy trabajosa la operacin de multiplicar, debido sobre todo al poco o ningn conocimiento o uso del valor de posicin en la escritura de los nmeros; y hasta tal punto era engorrosa que los romanos, por ejemplo, la mandaban hacer con los esclavos.

LOS EGIPCIOS

Para efectuar la multiplicacin recurrieron ellos a las duplicaciones sucesivas, las cuales eran adecuadamente seleccionadas y sumadas despus.

As, para multiplicar 32 por 27, operaban de la manera siguiente:

duplicaciones sucesivas

duplicaciones escogidas

* 1 3 2

1 6..5 1 2

* 2 6 4

8..2 5 6

* 41 2 8

2. 6 4

* 82 5 6

1. 3 2

*1 65 1 2

2 7Veces 328 6 4

El resultado de la multiplicacin es 864

OBSERVACIONES:I. En el ejemplo dado, las duplicaciones escogidas se han indicado con una asteriscoII. Despus de duplicar sucesivamente el multiplicando 32, hasta un lmite prudente, se escogen aquellas duplicaciones cuya suma de su nmero de veces, sea igual al multiplicador 27.

LOS BABILONIOS

Simplificaron un tanto, porque tenan tablas de multiplicar grabadas en arcilla cocida.

LOS GRIEGOS

Tuvieron un gran auxiliar en la tabla de doble entrada desde la poca de Pitgoras, a quien se le considera su inventor; fue sta la razn por la cual se le bautiz con su nombre.

COMO MULTIPLICABAN LOS ROMANOS

Damos a continuacin un ejemplo de como los romanos efectuaban la siguiente multiplicacin:

123 x 165 = 20,295

NOTA: El resultado final que aparece en la ltima fila, pero escrito en la forma moderna que nosotros

conocemos, es .

Se podra aclarar la anterior multiplicacin, de la siguiente manera: 1) Se escriben los factores.

2) Se escriben unos debajo de otros los respectivos productos que resultan de multiplicar las cifra V, X, L, C del multiplicador, por una de las cifras del multiplicando, ubicando adecuadamente en columna los numerales iguales.

3) Se escriben todos los resultados parciales en una sola fila.

4) Dos V se convierten en X; cuatro L en dos C (paso 4); cinco C en D (paso 5); cuatro D en dos M (paso 6).

5) El resultado final, escrito ordenadamente, es .

COMO MULTIPLICABAN EN LA EDAD MEDIA

Daremos a continuacin, un ejemplo de cmo efectuaban la multiplicacin en Europa durante la Edad Media, empleando un procedimiento hind bastante perfeccionado por los rabes.

Sea la multiplicacin:

845 x 326 = 275,470

Multiplicacin en la Edad Media:845 x 326 = 275,470 Como se puede observar, ya multiplicaban cada cifra del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando, escribiendo ntegramente cada uno de los productos de las cifras. Para obtener el resultado final sumaban oblicuamente los resultados parciales, tal como lo indican las flechas del grabado, y comenzando por la parte inferior derecha (donde dice 1).

NUESTROS ACTUAL MTODO DE MULTIPLICAR

En un tratado de PACIOLI y con una disposicin que casi no difiere de la actual, ya se encontraba la multiplicacin en la forma que se da a continuacin.

Mtodo actual

3849 x 963 = 3706.587

Concepto: Operacin aritmtica directa que consiste en repetir una cantidad denominada multiplicando tantas veces como lo indique otra, llamada multiplicador.P = a + a + a + + a + a

P = a x n

P = 5 + 5 + 5 + + 5 + 5

P = 5 x 8 = 40

M = 7 + 7 + 7 + + 7 + 7

M = ( ) x ( ) =

M = 6 + 6 + 6 + + 6 + 6

N = ( ) x ( ) = 66

LEY DE SIGNOS:

Resolver:

(4) x (-6) x (2)

PASO 1:Se multiplican los valores numricos normalmente.

4 x 6 x 2 = 48

PASO 2:

Se cuentan los signos negativos, si es un nmero par el resultado es positivo, si es impar es negativo.

(4) x (-6) x (2) = 480 ( resultado = -480

final

( Para la divisin se procede igual (NO CONFUNDIR:

-6 7 + 5 ( -6 x 7 x 5 = (-6) (-7) (5)

RESUELVE:

i) (-5) x (-3) x (-2) x (7) =

ii) (5) x (3) x (2) x (4) =

iii) (-9) (-4) (-3) (2) =

iv) (-3) (-6) (-7) =

OBSERVACIN:

1) Par x Par = Par

2) Par x Impar = Par

3) Impar x Impar = Impar

4) Inverso multiplicativo de un nmero entero a es:

PROPIEDADES:

1) Clausura: Si a ( Z ( b ( Z ( (a x b) ( Z2) Conmutativa: Si a( Z ( b ( Z ( a x b = b x a

3) Asociativa: Si a, b ( c ( Z ( (a x b) x c = a x (b x c)

4) Elemento neutro: Si a ( Z ( a x 1 = a

5) Inverso: Si a ( Z ( ((Z / (a) = 1multiplicativo

LenguajeLenguaje

Escrito

simblicoEl duplo de

un nmero

El doble de

un nmero

aumentado en 5

Cinco veces

un nmero

El recproco

de x + 4

1. Multiplica:a) (-8) x (-7) x (6) =

b) (-5) x (-2) x (-3) x (2) =

c) (4) x (9) x (-6) x (-1) =

d) (3) x (8) x (4) x (-1) =

e) (7) x (-3) x (5) x (2) =

2. Escribe en el cuadrado el nmero que hace verdadera la igualdad y la propiedad utilizada.a) (-8) x (+12) = x (-8)

b) (-24) x = -24

c) [(-5) x (-4)] x (-6) = (-5) x [ x (-6)]

3. La diferencia de un nmero y el triple de -4 es -8. Cul es el nmero?

a) -20

b) 12

c) -12

d) 4

e) -4

4. La suma de 2 nmeros es -12 y su producto es +35. Hallar el mayor.

a) -7

b) 7

c) -5

d) 5

e) N.A.

5. El triple de un nmero aumentado en 8 es igual a -10. Cul es el nmero?

a) 6

b) -18

c) 18

d) -12

e) -6

6. El domingo nev en la ciudad de Puno, se form una capa de 78 cm. de nieve y si la capa de nieve disminuye en promedio 5 cm. Cada da. Cul ser el espesor de la capa de nieve 6 das despus?

a) 48 cm.

b) 38

c) 108

d) 58

e) 68

7. Desde hace 6 minutos, Jos esta cargando Gasolina en el tanque de un auto, a razn de 7 por minuto. En este momento el tanque tiene 31 litros, indicar la cantidad de gasolina que tendr dentro de 2 minutos.

a) 73 lts.

b) 45

c) 38

d) 49

e) 56

8. La fbrica Rylos tiene un gast diario de S/. 2300, el gasto acumulado hasta hoy S/. 18 500. Calcular el gasto acumulado que tuvo hace 4 das.

a) S/. 16 200b) 9 300c) 14 900

d) 10 300

e) 9 200

9. Tom ahorra S/. 18 semanalmente, Cunto ms tendr en 5 semanas a partir de ahora?

a) S/. 90

b) 72

c) 108

d) 81

e) 54

10. Se tiene una regla de 60 cm. que luego se parte en 2 pedazos. Si un pedazo es el doble del otro. Cunto mide el pedazo menor?

a) 10 cm.

b) 20

c) 30

d) 30

e) 50

11. Las edades de un padre y su hijo suman 95 aos. Si la edad del hijo es la cuarta parte de la de su padre. Cul es la edad del hijo?

a) 19

b) 76

c) 38

d) 57

e) 48

12. La suma de 2 nmeros es -144, uno de ellos es igual a 5 veces el otro. Cul es el mayor?

a) -24

b) 24

c) -12

d) -120

e) 120

13. Si Tito vende cada lpiz en S/. 6, ganara S/. 48 en todos los lpices que tiene. Si cada lpiz le costo S/. 3. Cuntos lpices vendi?

a) 16

b) 48

c) 32

d) 96

e) 30

14. Pepita y Rosita tienen juntas S/. 240. Si lo que tiene Rosita es 5 veces lo que tiene Pepita. Cunto tiene Rosita?a) S/. 40

b) 200

c) 160

d) 120

e) 100

15. Jorge y Lucho tienen que llenar un depsito de agua de 360 de capacidad, con baldes de 8 y 3 litros respectivamente. En cada viaje, Cuntos litros faltarn por llenar en el depsito, despus de 20 viajes?a) 220 lts.

b) 140

c) 160

d) 100

e) 150

1. Efectuar:

A = (2 + 2 + 2 + 2 + + 2) (3 + 3 + + 3)

a) 200

b) 240

c) 100

d) 150

e) 120

2. Efectuar:

B = [(-3) + (-3) + (-3) + + (-3)] x [(-2) (5)]

a) -33

b) -10

c) 330

d) -330

e) -110

3. Entre Too y Jorge tienen S/. 126. Si la cantidad que tiene Too es 17 veces la que tiene Jorge. Cunto ms tiene Too que Jorge?

a) 129

b) 112

c) 17

d) 34

e) 68

4. Las edades de Olinda y Manuela suman 78 aos. Si la edad de Olinda es el doble que la de Manuela. Cul es la edad de Olinda?

a) 26 aos

b) 52

c) 13

d) 39

e) 42

5. Entre dos personas tienen S/. 400 si la cantidad que tiene una de ellas es el triple de lo que tiene la otra. Hallar la cantidad mayor.

a) S/. 100

b) 200

c) 150

d) 250

e) 300

6. Alberto tiene 10 aos y Lucho tiene el triple de su edad. En cunto se diferencian sus edades?

a) 20 aos

b) 40

c) 15

d) 25

e) 30

7. Cecilia va de compras, y gasta el triple de lo que gast Paco ms S/. 10. Si Paco gasto S/. 30, Cunto gast Cecilia?

a) S/. 60

b) 70

c) 80

d) 100

e) 80

8. Carola compra 6 polos y Susan la tercera parte de la que compr Paula que fueron el doble de las que compr Carola. Cuntos polos compraron en total?

a) 20

b) 16

c) 12

d) 14

e) 22

9. Francisco tiene S/. 30 y Luca tiene el doble de lo que tiene el menos S/. 10. Calcular la diferencia de dinero que tienen.

a) S/. 60

b) 70

c) 50

d) 20

e) 30

10. Le preguntan a Juan Pablo por su edad y este responde si el doble de mi edad le suman 8, obtienen 40 aos. Cul es la edad de Juan Pablo?a) 48 aos

b) 50

c) 32

d) 24

e) 18

11. Un teniente quiere formar a sus soldados en 6 filas de 7 cada, pero observa que le faltaran 4 soldados, entonces la forma en 7 filas de 5. Cuntos soldados le sobran ahora?

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

12. Se tiene una multiplicacin de 2 factores. Si se triplica uno de ellos y se duplica el otro. En cunto vara el producto inicial?

a) 5 veces

b) 6

c) 2

d) 3

e) 4

13. El producto de 2 nmeros es 396, si se aaden 3 unidades al multiplicador, el producto aumenta en 66 unidades. Hallar el factor mayor.

a) 25

b) 18

c) 7

d) 22

e) 66

14. Si a 2 nmeros enteros se le aumenta y disminuye 6 unidades respectivamente. El producto de ellos aumenta en 204 unidades. Hallar la diferencia de los nmeros.

a) 60

b) 80

c) 40

d) 50

e) 100

15. En qu cifra termina el resultado de multiplicar:

E = 2(2 + 1) (22 + 1) (23 + 1) (24 + 1) (224 + 1)

a) 1

b) 4

c) 2

d) 5

e) 01234567892468101214161836912151821242748121620242832365101520253035404561218243036424854718212835424956638162432404856647291827364554637281

m

mmmmm

mmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmm

mmmmmmmmmmmmmmmmmm

cxxiii

clxv

d ll vvv

cc xxx

dd lll

ccc

ddd ccccc lllll xxx vvv

ccccccc l xxxx v

dddd

mm

mm cc l xxxx v

1

2

3

4

5

6

7

2 4 5 x

1 2

4 9 0

- -

0

6a

8

5a

4

4a

5

3

2

6

3a

2a

1a

2

7

5

2

4

1

6

4

8

1

2

8

2

4

1

5

1

0

3

0

4

7

0

3 8 4 9 x

9 6 3

1 1 5 4 7

2 3 0 9 4

3 4 6 4 1

3 7 0 6 5 8 7

NIVEL: SECUNDARIASEMANA N 5PRIMER AO

MULTIPLICACIN EN Z

n veces

producto

multiplicador

multiplicando

8 veces

12 veces

" veces

1 es impar

Un solo signo negativo

multiplicacin

Adicin y sustraccin

EJERCICIOS DE APLICACIN

TAREA DOMICILIARIA N 5

5 veces

8 veces

11 veces

PAGE 64COLEGIOS TRILCE: SAN MIGUEL FAUCETT MAGDALENADpto. de Publicaciones 2003

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