Multiplicar Por Tres Cifras

7/24/2019 Multiplicar Por Tres Cifras

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MULTIPLICAR POR TRES CIFRAS

Vamos a hacer una multiplicacin: 637 x 284.

Para ello tenemos que realizar 4 pasos:

1er paso:

2do paso:


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3er paso:

4 paso:


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!l resultado es:

1." Propiedad #onmutati$a

#uando $amos a multiplicar dos n%meros da i&ual el orden que utilicemos:

2 x 3 es i&ual que 3 x 2

' esta propiedad se le llama propiedad conmutati$a.

Veamos otro e(emplos

4 x 6 ) 24


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6 x 4 ) 24

2." Propiedad asociati$a

*i tenemos que multiplicar 3 o m+s numeros:

4 x , x 7

-a i&ual que empecemos:

a /ultiplicando el 1 por el 20 su resultado lo multipliquemos por el 3

4 x , ) 2 (multiplicamos el primero por el segundo)

2x 7 ) 14 multiplicamos el resultado anterior por el tercero

/ultiplicando el 2 por el 30 su resultado lo multipliquemos por el 1

, x 7 ) 3,(multiplicamos el segundo por el tercero)

3,x 4 ) 14 multiplicamos el resultado anterior por el primero

Vemos que el resultado es el mismo.

3." Propiedad distriuti$a

Para multiplicar una suma por un n%mero:

4 5 3 x 8

Podemos hacerlo de dos maneras:

a Primero resol$emos la suma su resultado lo multiplicamos por el n%mero.

4 5 3 ) 7 resol$emos la suma

7x 8 ) ,6 el resultado de la suma lo multiplicamos por el n%mero


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'plicando la PP!-'- -*9;9V'que consiste en multipicar el n%mero porcada elemento de la suma a continuacin sumar los resultados.

4 5 3 x 8 ) 4 x 8 5 3 x 8

4 x 8 ) 32 mutiplicamos el 8 por el primer miemro de la suma

3 x 8 ) 24 mutiplicamos el 8 por el se&undo miemro de la suma

325 24) ,6 sumamos los resultados de las dos multiplicaciones anteriores

Vemos que el resultado es el mismo.

!(ercicios

(En los ejercicios para ver la solucin hacer click en recuadro; doble click vuelve a la posicin original)

1." esuel$e las si&uientes multiplicaciones:


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DIVISIN

-i$idir es repartir un n%mero en &rupos i&uales (del tamao que indique el divisor).

Por e(emplo: 4, : , es repartir 4, en &rupos de ,.

-i$idendo: es el n%mero que $amos a di$idir> -i$isor: es el n%mero por el que $amos a di$idir> #ociente: es el resultado> esto: la parte que no se ha podido distriuir

Veamos una di$isin:

.

.

9omamos las dos primeras ci?ra de la izquierda del di$idendo ,7.


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.

.

mportante: las dos ci?ras tomadas ,7 tienen que ser i&ual o maor que el di$isor36. *i ?ueran menor tomar@amos tres ci?ras ,78.

(Si dividieramos por 3 cifras tomaramos las 3 primeras cifras del dividendo! siempre "

cuando fueran igual o ma"or que el divisor#

$or ejemplo% 3' % *+' tomaramos 3&'

Si las tres primeras cifras fueran menor que el divisor habra que tomar & cifras#

$or ejemplo% ,' % *+' tomaramos ,&'

*e&uimos: uscamos el n%mero que multiplicado por 36 se aproxime m+s a ,7 sinpasarse. !se n%mero es 10 porque 1 x 36 ) 36 es el que m+s se aproxima a ,7 sinpasarse.El * no nos valdra porque * - 3' . * (se pasa)

.

A#mo encuentro ese n%meroB

Cos centramos en ,7 360 en concreto en sus dos primeras ci?ras, 30 usco eln%mero de la tala del 3 que m+s se aproxime a , ese n%mero es 1.

Pero '9!C#C: ima&ina que estamos di$idiendo 67.842 entre 36. 9omamos sus dos

primeras ci?ras 67 360 en concreto nos centramos en el 6 en el 3.

ADu= numero de la tala del 3 se aproxima m+s a 6 sin pasarseB el 2.

A9omar@amos el 2B C0 porque 36 x 2 ) 720 maor que 670 por lo que no nos$ale0tendr@amos ue co&er un n%mero menor el 1.

*i&amos: multiplicamos 1 x 36 se lo restamos a ,7.

.


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.

a(amos la si&uiente ci?ra 8.

.

.

.

Vol$emos a realizar el mismo proceso. uscamos el n%mero que multiplicado por 36 m+sse aproxime a 218 sin pasarse. !se n%mero es 60 porque 6 x 36 ) 216 es el que m+sse aproxima a 218 sin pasarse.

.

.

/ultiplicamos 6 x 36 se lo restamos a 218.

.


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.

a(amos la si&uiente ci?ra 4.

.

.

9enemos ahora un prolema: 24 es menor que 36 lue&o no lo puedo di$idir. ADu=hacemosB

Ponemos un en el cociente.

.

.

E a(amos la ci?ra si&uiente 2:


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.

.

*e&uimos di$idiendo: uscamos el n%mero que multiplicado por 36 m+s se aproxime a

242 sin pasarse. !se n%mero es 60 porque 6 x 36 ) 216 es el que m+s se aproxima a242 sin pasarse.

.

.

/ultiplicamos 6 x 36 se lo restamos a 242.

.


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.

#omo a no ha m+s ci?ras del di$idendo que a(ar la di$isin ha ?inalizado.

!l cociente es 166 el resto es 26.

'9!C#C:

!l resto puede ser:

a #ero0 es decir todo el di$idendo queda distriuido per?ectamente entre el di$isor no sora nada. *e dice que la di$isin es !F'#9'.

C%mero distinto de cero0 pero *!/P! menor que el di$isor. !s la parte deldi$idendo que no se ha podido distriuir. *e dice que la di$isin es !C9!'.

1." Pruea de la di$isin:

Para comproar que una di$isin est+ ien resuelta aplicamos la si&uiente re&la:

di$isor x cociente 5 resto ) di$idendo

Vamos a $er si en la di$iin que acaamos de realizar se cumple:

3 x 1.,,G 5 ) 4.677

Vemos por tanto que la puea de la di$isin se cumple0 lue&o la di$isin est+ ienhecha.

.

2."


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a *i el resto de la di$isin inicial ?uera cero di$isin exacta se&uir+ siendo cero.

/ultiplicamos el di$idendo el di$isor por 3:

Vemos que el cociente no $ar@a que el resto si&ue siendo cero.

*i el resto de la di$isin inicial ?uera distinto de cero di$isin entera quedar+multiplicado por el mismo n%mero por el que hemos multiplicado di$idendo di$isor.


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/ultiplicamos el di$idendo el di$isor por 4:

Vemos que el cociente no $ar@a que el resto tami=n ha quedado multiplicado por 4.

!(ercicios


1." esuel$e las si&uientes operaciones:


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2." 'plicando la HPropiedad Iundamental de la -i$isinH compruea si las si&uientesoperaciones est+n ien resueltas:


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CLCULO CON VARIAS OPERACIONES

!n al&unos c+lculos ?i&uran $arias operaciones:

4 5 3 x 2 "7

Para resol$er estas operaciones ha que se&uir un orden. Para ello $amos a distin&uir

entre:


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peraciones sin par=ntesis: 4 " 2 x 3 5 2

peraciones con par=ntesis: 4 " 2 x 3 5 2

1." peraciones sin par=ntesis

!n las operaciones sin par=ntesis el orden para su resolucin es:

Primeroresol$emos las multiplicaciones J di$isiones (da igual hacer primero lamultiplicacin " luego la divisin! o viceversa)


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NMEROS DECIMALES


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Lasta ahora hemos traa(ado con n%meros enteros0 cua ci?ra m+s pequeKa es launidad:

Pero tami=n ha n%meros que tienen una parte in?erior a la unidad0 estos se llamann%meros decimales:


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a


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Hcincuenta tres coma cuarenta unoH

Hcincuenta tres con cuarenta unoH

Hcincuenta tres unidades cuarenta una cent=simasH

2." #omparacin de n%meros decimales

Para comparar n%meros decimales comenzamos comparando la parte entera: aqu=l queten&a la parte entera m+s alta0 es el maor.

23406,es maor que 136076

*i amos tienen i&ual parte entera har@a que comparar la parte decimal0 comenzandopor las d=cimas0 lue&o las cent=simas por %ltimo las mil=simas.

Veamos al&unos e(emplos:

14608G es maor que 146078(ambos tienen igual parte entera! pero el primero tiene /d0cimas mientras que el segundo tiene )#

3,70,6es maor que 3,70,3(ambos tienen igual parte entera " tambi0n las mismas

d0cimas! pero el primero tiene ' cent0simas " el segundo tan slo 3)

6340128es maor que 634012,(ambos tienen igual parte entera " tambi0n las mismasd0cimas " cent0simas! pero el primero tiene / mil0simas " el segundo tan slo +)

Veamos otros e(emplos:

Vamos a comparar un n%mero con parte decimal otro sin parte decimal:

27012es maor que 27(ambos tienen igual parte entera! pero el primero tiene ,d0cima mientras que el segundo no tiene ninguna)#

Vamos a comparar un n%mero con d=cimas cent=simas otro slo con d=cimas:

43028es maor que 4302(ambos tienen igual parte entera " las mismas d0cimas! pero elprimero tiene / cent0simas mientras que el segundo no tiene ninguna)#

Vamos a comparar un n%mero con d=cimas otro slo con cent=simas:


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7201es maor que 720G(ambos tienen igual parte entera! pero el primero tiene ,d0cima " el segundo ninguna)#

3." edondear n%meros decimales


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Por lo tanto 27031 lo redondeamos a 27.

,80721

Este n1mero se sit1a entre +/ " +#

a parte decimal es 4!*,# 5l ser esta parte decimal superior a 4!+44 redondeamos a la

unidad superior#

Por lo tanto ,80721 lo redondeamos a ,G.

edondear a la d=cima

edondear un n%mero a la d=cima implica sustituirlo por el n%mero que m+s se leaproxime que en la parte decimal tan slo ten&a d=cimas.

*i la parte centesimal es i&ual o in?erior a 0, se redondea a la d=cima in?eriorM sies maor que 0, se redondea a la d=cima superior.


220,3

Este n1mero se sit1a entre **!+ " **!'#

a parte centesimal es 4!43 (como no tiene mil0simas equivale a 4!434)# 5l ser esta parte

centesimal inferior a 4!4+4 redondeamos a la d0cima inferior#

Por lo tanto 220,3 lo redondeamos a 220,.

62027

Este n1mero se sit1a entre '*!* " '*!3#

a parte centesimal es 4!4 (como no tiene mil0simas equivale a 4!44)# 5l ser esta parte

centesimal superior a 4!4+4 redondeamos a la d0cima superior#


840662

Este n1mero se sit1a entre /&!' " /&!#


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a parte centesimal es 4!4'*# 5l ser esta parte centesimal superior a 4!4+4 redondeamos a

la d0cima superior#


c edondear a la cent=sima

edondear un n%mero a la cent=sima implica sustituirlo por el n%mero que m+s se leaproxime que en la parte decimal ten&a hasta cent=simas.

*i la parte milesimal es i&ual o in?erior a 0, se redondea a la cent=sima in?eriorMsi es maor que 0, se redondea a la cent=sima superior.


170124

Este n1mero se sit1a entre ,!,* " ,!,3#

a parte milesimal es 4!44 5l ser esta parte milesimal inferior a 4!44+ redondeamos a la

cent0sima inferior#


26033

Este n1mero se sit1a entre *'!33 " *'!3

a parte milesimal es 4!444# 5l ser esta parte milesimal inferior a 4!44+ redondeamos a la

cent0sima inferior#

Por lo tanto 26033 lo redondeamos a 26033#

7702,8

Este n1mero se sit1a entre !*+ " !*'#

a parte milesimal es 4!44/# 5l ser esta parte milesimal superior a 4!44+ redondeamos a la

cent0sima superior#

Por lo tanto 7702,8 lo redondeamos a 77026.


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!(ercicios


1." rdena los si&uientes n%meros de menor a maor:

2." edondea los si&uientes n%meros a la unidad:

3." edondea los si&uientes n%meros a la d=cima:


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4." edondea los si&uientes n%meros a la cent=sima:

SUMA Y RESTA CON DECIMALES


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;n ?allo que se suele cometer al operar con n%meros decimales es alinear todos losn%meros a la derecha:

!sta suma est+ mal escrita0 a que el 3de la primera ?ila cent=sima lo estamossumando con el 7de la se&unda ?ila d=cima con el ,de la tercera ?ila mil=sima.


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........

Puede ocurrir0 como en el e(emplo0 que en la suma o en la resta haa al&%n n%meroque no lle$e todas las ci?ras decimales por e(emplo0 el tercer n%mero del e(emplo nolle$a cent=simas0 en este caso operamos como si en su lu&ar huiera un .


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MULTIPLICACIONES CON DECIMALES

!n una multiplicacin pude haer decimales en cualquiera de los dos ?actores0 o en losdos:

a !n primer lu&ar multiplicamos sin tener en cuenta que ha decimales:

' continuacin contamos los n%meros decimales que ha en amos ?actores ser+nlas ci?ras decimales que lle$e el resultado:

.1." !mpecemos por la primera multiplicacin0


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6iene una cifra decimal en el primer factor " ninguna en el segundo% en total ,cifra

decimal#

El resultado de la multiplicacin (3**&) llevar7 , cifra decimal%

.2." *e&unda multiplicacin0

6iene dos cifras decimales en el segundo factor% en total * cifras decimales#

El resultado de la multiplicacin (+*#/,&) llevar7 * cifras decimales%

.3." 9ercera multiplicacin0


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6iene dos cifras decimales en el primer factor " una en el segundo% en total 3 cifras

decimales#

El resultado de la multiplicacin (*++#+*/) llevar7 por tanto 3 cifras decimales%

1." /ultiplicar por 10 10 1.

Por e(emplo:

4,06 x 1

23,06 x 1

780G6 x 1.

Para calcular el resultado:

a Primero escriimos en el resultado el primer ?actor.


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ADu= hacemosB


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!(ercicios


1." ealiza las si&uientes operaciones:



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DIVISIONES CON DECIMALES

1." -i$isin de un n%mero decimal

#uando el di$idendo tiene decimales operaremos de la si&uiente manera:

a Primero realizaremos al di$isin como si el di$idendo ?uera un n%mero entero0 sintener en cuenta que al&unas ci?ras son decimales.


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;na $ez resuelta la di$isin0 contaremos las ci?ras decimales que tiene el di$idendo ser+n las que lle$e el cociente.

Veamos un e(emplo:

!l di$idendo tiene 2 ci?ras decimales.

!n principio di$idimos sin tener en cuenta esto como si el di$idendo ?uera un n%meroentero


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2." #ociente con decimales

*i en una di$isin eldi$idendo es menor que el di$isorel cociente tendr+ decimales.

Vamos a $er con un e(emplo como se hace esta di$isin.

!l di$idendo 4 es menor que el di$isor 8.

Para poder realizar la di$isin pondremos un en el di$idendo otroen el cocientese&uido de coma.

'hora se&uimos como en una di$isin normal:


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Vamos a $er otro e(emplo:

Ponemos un en el di$idendo un en el cociente se&uido de coma.

*e&uimos como en una di$isin normal:

Vamos a $er una peculiaridad de estas di$isiones:

'l no ser una di$isin exacta0 el resto es 20 podemos ponerle un a su derecha se&uir di$idiendo.

E en los sucesis$os restos0 mientras no sean 0 podemos se&uir operando de estamanera0 aKadiendo ci?ras decimales al cociente.


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3." -i$idir un n%mero entero por un n%mero decimal

Para di$idir por un n%mero decimal:

9enemos que hacer pre$iamente una trans?ormacin:

a


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4." -i$idir un n%mero decimal por otro decimal

Para di$idir por un n%mero decimal:

9enemos que hacer pre$iamente una trans?ormacin:

a


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,." -i$idir un n%mero decimal por 10 10 1.

Por e(emplo:

3207 : 1

12406 : 1.

14081 : 1.

Para calcular el resultado:

a Primero escriimos en el resultado el di$idendo.


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$rimeros escribimos en el resultado el dividendo#

,*&!' % ,#444 . ,*&!'

uego despla8aremos la coma hacia la i8quierda tres posiciones "a que hemos dividido por

,#444 que lleva 3 ceros%

,*&!' % ,44 . !,*&'

9uando la coma queda al principio de un n1mero significa que ese n1mero no tiene parte

entera# $or eso delante de la coma se pone un 4%

,*&!' % ,44 . 4!,*&'

Puede ocurrir que en el di$isor haa m+s ceros que ci?ras enteras en el di$idendo0 porlo que no podamos desplazar hacia la izquierda la coma tantas posiciones como ceros.

ADu= hacemosB


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46/169

/OC/ #/C /


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!(ercicios


1." #alcula el /#/:

2." #alcula el /#-:


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C/!* P/*

#


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!ln%mero primoes aqu=l que %nicamente tiene como di$isores exactos al di$idirlo porellos el resto es i&ual a cero el 1 si mismo.

!n camio0 el n%mero compuestoes aqu=l que tiene como di$isores exactos0 adem+sdel 1 de si mismo0 otros n%meros.

Por e(emplo:

!l n%mero 13es primoporque slo tiene como di$isores exactos el 1 el 13.

!l n%mero 8es compuestoporque tiene otros di$isores exactos: 10 20 4 8.

'l&unos n%meros primos son:

10 20 30 ,0 70 110 130 170 1G0 230 2G0 31...

'l&unos n%meros compuestos son:

40 60 80 G0 10 120 140 1,0 160 18...

!R


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c ;n n%mero es di$isile por 4cuando sus dos %ltimas ci?ras son cero o son di$isilespor 4.

Por e(emplo:

'*& % & . ,+' (resto . 4) as dos 1timas cifras (*&) son divisibles por

&4 % & . ,/+ (resto . 4) as dos 1timas cifras (&4) son divisibles por

+,' % & . ,* (resto . 4) as dos 1timas cifras (,') son divisibles por

d ;n n%mero es di$isile por , cuando termina en o en ,.Por e(emplo:

*+ % + . ,&+ (resto . 4) Este n1mero termina en +#

'+4 % + . ,34 (resto . 4) Este n1mero termina en 4#

3/+ % + . (resto . 4) Este n1mero termina en +#

e ;n n%mero es di$isile por Gsi al sumar sus ci?ras el resultado es m%ltiplo de G.

Por e(emplo:

,*' % . ,& (resto . 4) a suma de sus cifras (,*'.) es m1ltiplo de #

3' % . &, (resto . 4) a suma de sus cifras (3'.,/) es m1ltiplo de #

4* % . / (resto . 4) a suma de sus cifras (4*.) es m1ltiplo de #


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!(ercicios


1." ndica cual de los si&uientes n%meros es primo cual es compuesto:

2." esponde si es $erdadero o ?also:


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FRACCIONES


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A' cuantas unidades equi$ale una ?raccinBPara calcularlo se di$ide el numeradorentre el denominador:

Por e(emplo:

Para $er a cuantas unidades equi$ale esta ?raccin di$idimos: 2 : 8 ) 02,

!qui$ale a 02, unidades

*i una ?raccin tiene i&ual numerador denominador representa la unidad.

Por e(emplo0 di$ido una tarta en 4 partes me tomo las cuatro partes:


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Diere decir que me he tomado la totalidad de la tarta. 4 J 4 equi$ale a la unidad ala tarta. *i di$idimos 4 : 4 ) 1

1." Iracciones equi$alentes

-os ?racciones son equi$alentes cuando equi$alen a las mismas unidades.

Por e(emplo:

!stas dos ?racciones son equi$alente a que equi$alen a las mismas unidades:

4 : 8 ) 0, unidades

1 : 2 ) 0, unidades

A#mo saemos cuando dos ?racciones son equi$alentesB

Para ello di$idimos sus numeradores sus denominadores0 si &uardan la mismaproporcin es que son equi$alente:

Veamos un e(emplo:

-i$idimos sus numeradores: 6 : 2 ) 3

-i$idimos sus denominadores: G : 3 ) 3

Ruardan la misma proporcin 3 lue&o estas dos ?racciones son equi$alentes.


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Podemos comproarlo.

a primera fraccinequivale a ' % . 4!'' unidades

a segunda fraccinequivale a * % 3 . 4!'' unidades

Veamos ahora un e(emplo de dos ?racciones que no son equi$alentes:

-i$idimos sus numeradores: 2 : 3 ) 066

-i$idimos sus denominadoress: 4 : G ) 044

Co &uardan la misma proporcin lue&o estas dos ?racciones no son equi$alentes.

Podemos comproarlo.

a primera fraccinequivale a * % & . 4!+4 unidades

a segunda fraccinequivale a 3 % . 4!33 unidades

2." #omparacin de ?racciones

A#mo puedo saer si una ?raccin es maor o menor que otraB

Para ello $amos a distin&uir:

#omparar ?racciones con el mismo denominador

#omparar ?racciones con distinto denominador

a #omparar ?racciones con el mismo denominador

!s maor la ?raccin que ten&a maor el numerador.


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$odemos comprobar que * < & . 4!+ mientras que , < & . 4!*+! luego la primera fraccin es

ma"or#

6ambi0n podemos comprobar que + < . 4!++ mientras que 3 < . 4!33! luego la primera

fraccin es ma"or#

#omparar ?racciones con distinto denominador

!n este caso puede ocurrir que ten&an el mismo numerador o no.

.1." *i tienen el mismo numeradores maor la que ten&a menor denominador.

En este caso comprobamos que / < 3 . *!'' mientras que / < + . ,!'4! luego la primerafraccin es ma"or#

6ambi0n podemos ver que ' < * . 3!44 mientras que ' < & . ,!+4! luego la primera fraccin

es ma"or#

.2." *i tienen distinto numeradorentonces para poder comparalas ha queexpresarlas con el mismo denominador:

*i los dos t=rminos de una ?raccin se multiplican por el mismo n%mero la ?raccin

resultante es equi$alente.

AE por qu= n%mero multiplicamos cada ?raccinB la primera ?raccinla multiplicamos porel denominador de la se&unda0 la se&unda por el denominador de la primera.

Veamos un e(emplo:


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Para comparar estas dos ?racciones0 $amos a multiplicar los dos t=rminos de laprimera ?raccin por 2 (denominador de la segunda)#

$odemos comprobar que al multiplicar numerador " denominador por el mismo n1mero la

fraccin no cambia% 3 < . 4!&*/ mientras que ' < ,& . 4!&*/#

E $amos a multiplicar los dos t=rminos de la se&unda ?raccin por 7(denominador de laprimera)#

'hora las dos ?racciones a tienen el mismo denominador0 lue&o podemos compararlas:

Vemos que la se&unda ?raccin es maor que la primera porque su numerador esmaor.

.3." *i tienen distinto numeradortami=n se pueden calcular ?raciones con el mismodenominador utilizando el m=todo del /@nimo #om%n /%ltiplo.

Vamos a $erlo con un e(emplo:

#alculamos los m%ltiplos de cada denominador:

/%ltiplos de 1: 10 20 30 40 ,0 60 7...

/%ltiplos de 1,: 1,0 30 4,0 60 7,0 G...


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Lemo seKalado en ro(o el n%mero 3 porque es un m%ltiplo com%n de amos n%meros es el menor de los m%ltiplos comunes (por ejemplo! '4 tambi0n es un m1ltiplo com1n peroes ma"or que 34)#

;tilizaremos este /%ltiplo #om%n /%ltiplo como denominador com%n de amas?racciones0 pero para que las nue$as ?racciones sean equi$alentes a las anteriorestenemos que a(ustar los numeradores A#mo lo hacemosB

!n la primera ?raccin $amos a sustituir su denominador 1 por 30 en de?initi$a0$amos a multiplicar por 3 su anti&uo denominador0 lue&o para que la ?raccin seaequi$alente a la ori&inal tendremos tami=n que multiplicar por 3 su numerador.

!n la se&unda ?raccin $amos a sustituir su denominador 1, por 30 por lo que $amosa multiplicarlo por 20 lue&o tendremos tami=n que multiplicar por 2 su numerador.

Ea podemos comparar amas ?racciones:

!(ercicios


1." #alcula las unidades a las que equi$alen las si&uientes ?racciones:


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2." ndica si los si&uientes pares de ?racciones son equi$alentes o no:


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3." #ompara los si&uientes pares de ?racciones e indica cual es maor cual esmenor:


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P!'#C!* #C I'##C!*

.

1." Iracciones de una cantidad


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Para calcular la ?raccin de una cantidad se multiplica la cantidad por el numerador se di$ide por el denominador.

Veamos un e(emplo:

/ultiplicamos 2 por el numerador: 2 x , ) 1

!l resultado lo di$idimos por el denominador: 1 : 6 ) 16066


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*umamos sus numeradores mantenemos el denominador:

Veamos otro e(emplo:

estamos sus numeradores mantenemos el denominador:

Iracciones con distinto denominador

!n este caso para sumar o restar ?racciones:


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#alculamos su numeradorde la si&uiente manera: di$idimos el denominador com%n porel denominador ori&inal de cada ?raccin. !l resultado otenido lo multiplicamos por elnumerador ori&inal0oteniendo el numerador de la ?raccin equi$alente.

!s m+s ?+cil $er todo esto con un e(emplo:

Vamos a calcular las ?racciones equi$alentes:

Primero calculamos el denominador com%n: si calculamos los m%ltiplos de 40 de 3 de

, $emos que el /#/ es 6.

'hora $amos a calcular el numerador equi$alente de cada ?raccin:

Primera ?raccin:

=ividimos el denominador com1n entre su denominador% '4 % & .,+

>ultiplicamos este resultado por su numerador% ,+ - * . 34

*e&unda ?raccin:

=ividimos el denominador com1n entre su denominador% '4 % 3 . *4

>ultiplicamos este resultado por su numerador% *4 - ' .,*4

9erecra ?raccin:

=ividimos el denominador com1n entre su denominador% '4 % + .,*

>ultiplicamos este resultado por su numerador% ,* - 3 . 3'

Ea podemos sustituir las ?racciones ori&inales por sus ?racciones equi$alentes:


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E procedemos a la suma:

!(ercicios


1." esuel$e la si&uientes operaciones:


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2." esuel$e la si&uientes operaciones:


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P!'#C!* #C I'##C!* cont.

1." /ultiplicacin de ?racciones

.


70/169

Para multiplicar ?racciones:

*e multiplican sus numeradores sus denominadores:

Vamos a $er otros e(emplos:

2." -i$isin de ?racciones

.

#uando se di$iden 2 ?racciones:


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#omo numerador: el resultado de multiplicar el n%meradorde la primera porel denominadorde la se&unda.

#omo denominador: el resultado de multiplicar el denominadorde la primera porel numeradorde la se&unda.

Vamos a $er otros e(emplos:

!(ercicios




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73/169

#;'-'- E #; -! ;C C/!

#

1." !l cuadrado

#

!le$ar un n%mero al cuadrado es multiplicarlo por s@ mismo.


74/169

!n un n%mero ele$ado al cuadrado se pueden distin&uir: ase exponente


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!(ercicios




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P9!C#' -! ;C C/!

Ea $imos en la leccin anterior el cuadrado el cuo de un n%mero. *e trata de doscasos particulares de potencia.

Pero lo mismo que se puede ele$ar un n%mero al cuadrado o al cuo0 tami=n se puedeele$ar a 40 a 70 a 1....


77/169

Potencia de un n%meroes multiplicar dicho n%mero por s@ mismo tantas $eces comoindique el exponente.


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!(ercicios




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81/169

!< P#!C9'T!

#

!l pocenta(e nos dice qu= parte de un total representa una cantidad. E lo hacerepresentando el total por el $alor 1 calculando de esos 1 cuantocorresponder@a a la cantidad que estamos analizando.

Por e(emplo:

*i ha 1 coches aparcados 3 son de colo amarillo0 ADu= porcenta(e que parte deltotal representan estos 3 cochesB

!l total los 1 coches aparcados se considera que es el 1 por cien se representapor 1 U.

Para calcular el porcenta(e que representan los 3 coches amarillos:

*e di$ide el n%mero de cohes amarillos entre el total de coches se multiplica por1 para expresarlo en porcenta(e:

3 % ,4 . 4!3

4!3 - ,44 . 34 ?


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;n equipo ha (u&ado 1, partidos ha &anado 6 ADu= porcenta(e representan lospartidos &anados sore el total

' % ,+ . 4!&

4!& - ,44 . 4U

1." #alcular el porcenta(e de una cantidad

Para calcular el porcenta(e de una cantidad se multiplica dicha cantidad por elporcenta(e se di$ide por 1.

!l 2U de , ) , x 2 J 1 ) 1


#alcular el 1,U de 2:

(*44 - ,+) < ,44 . 3

#alcular el 2,U de 8:

(/ - *+) < ,44 . 2

#alcular el 6U de 12:

(,*4 - '4) < ,44 . 72

2." 'umentar J disminuir una cantidad en un porcenta(e

Para aumentar o disminuir una cantidad en un porcenta(e se calcula cuanto representadicho porcenta(e de esa cantidad se le suma o resta a la cantidad inicial.

Por e(emplo: aumentar 6 en un 2U.

1." #alculamos cuanto representa el 2U:

('4 - *4) < ,44 . 12

2." *e lo sumamos al importe inicial:

'4 ,* . 72



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-isminuir , en un 1U.

,#@ 9alculamos cuanto representa el ,4?%

(+4 - ,4) < ,44 . ,

*#@ Se lo restamos al importe inicial%

+4 @ + . 4,

'umentar 12 en un 3U.

,#@ 9alculamos cuanto representa el 34?%

(,*4 - 34) < ,44 . 36

*#@ Se lo restamos al importe inicial%

,*4 3' . 1,6

!(ercicios


1." #alcula los si&uientes porcenta(es:


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2." esuel$e los si&uientes prolemas:



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/'RC9;-!* PP#C'

*i en una &arra?a de aceite caen 1 litros0 en , &arra?as car+ , $eces m+s.

Vemos que al aumentar el n%mero de &arra?as , $eces aumenta el n%mero de litrosen la misma proporcin tami=n , $eces.

!stos son ma&nitudes proporcionales.

-os ma&nitudes son proporcionales cuando $ar@an en la misma proporcin.

!ste comportamiento paralelo se da tanto si la cantidad aumenta como si disminue.


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1." A#mo se calculaB


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,+#444 < 3 . +#444 kilogramos

'hora a podemos prose&uir como en el punto anterior.

Si , camin transporta +#444 kilogramos Acu7ntos kilogramos transportar7n camionesB

+#444 - .3,. ilo&ramos


*i 4 liros cuestan 6 euros A#u+nto costar+n G lirosB

,#@ 9alculamos el precio de, libro%

'4 < & . ,+ euros

*#@ $roseguimos%

,+ - . 13, euros

*i en 3 cuos caen 12 litros A#u+ntos car+n en 1 cuosB

,#@ 9alculamos la capacidad de , cubo%

,* < 3 . & litros

*#@ $roseguimos%

& - ,4 . 4 litros

*i 4 niKos comen 2 caramelos A#u+ntas comer+n 7 niKosB

,#@ 9alculamos cuantas come , nio%

*4 < & . + caramelos

*#@ $roseguimos%

+ - . 3, caramelos


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!(ercicios




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UNIDADES DE MEDIDAS

1.- Medidas de lo!i"#d

Para medir lon&itudes se pueden utilizar distintas unidades de medida.


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1 dec@metro) 1 mil@metros

1 cent@metro) 1 mil@metros

1.2." ;nidades maores

9ami=n ha unidades de medidas maores que el metro que se utilizan para mediro(etos o distancias &randes: la distancia entre 2 ciudades0 la lon&itud de un r@o0 laaltura de las nues0 W.

XilmetromLectmetrohm

-ec+metrodam.


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Por e(emplo:

Para pasar de ilmetros a hectmetros ha que a(ar 1 ni$el por lo que tenemos quemultiplicar: x 1.

Para pasar de ilmetros a metros ha que a(ar 3 ni$eles por lo que tenemos quemultiplicar: x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x 1.

Para pasar de hectmetros a mil@metros ha que a(ar , ni$eles por lo que tenemosque multiplicar: x 1 x 1 x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x1.

Veamos al&unos e(emplos num=ricos:

A#uantos dec@metros son 3 ilmetrosB 3 x 1. )3.dec@metros

A#uantos mil@metros son 3 metrosB 3 x 1. ) 3.mil@metros

A#uantos cent@metros son 3 metrosB 3 x 1 )3cent@metros

A#uantos cent@metros son 7 ilmetrosB 7 x 1. ) 7.cent@metros


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A#uantos dec+metros son G ilmetrosB G x 1 )Gdec+metros

A#uantos metros son 12 dec+metrosB 12 x 1 ) 12metros

1.4." A#mo pasar de unidades menores a unidades maoresB

Para pasar de unidades menores a unidades maores ha que di$idir por 1 por cadani$el que suamos:

Por e(emplo:

Para pasar de metros a hectmetros ha que suir 2 ni$eles por lo que tenemos quedi$idir : 1 : 10 o lo que es lo mismo0 ha que di$idir : 1.

Para pasar de cent@metros a ilmetros ha que suir , ni$eles por lo que tenemos quedi$idir : 1 : 1 : 1 : 1 : 10 o lo que es lo mismo ha que di$idir : 1.

Para pasar de dec@metros a dec+metros ha que suir 2 ni$eles por lo que tenemos

que di$idir : 1 : 10 o lo que es lo mismo ha que di$idir : 1


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A#uantos metros son 7. mil@metrosB 7. : 1. )7metros

A#uantos ilmetros son 6. hectmetrosB 6. : 1 )6ilmetros

A#uantos metros son 8. cent@metrosB 8. : 1 )8metros

A#uantos hectmetros son 2 dec@metrosB 2 : 1. ) 02hectmetros

A#uantos dec@metros son ,. mil@metrosB ,. : 1 ),dec@metros

A#uantos dec+metros son 12 dec@metrosB 12 : 1 )102dec+metros


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$.- Medidas de %a&a%idad

Para medir el $olumen de un o(eto se utilizan las medidas de capacidad.


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9ami=n ha unidades de medida maores que el litro0 que se utilizan para medir el$olumen de &randes o(etos el a&ua de una piscina0 de un camin cisterna0 W.

Xilolitro lLectolitro hl-ecalitrodal


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Por e(emplo:

Para pasar de ilolitros a litros ha que a(ar 3 ni$eles por lo que tenemos quemultiplicar: x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x 1.

Para pasar de hectolitros a centilitros ha que a(ar 4 ni$eles por lo que tenemos quemultiplicar: x 1 x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x 1.

Para pasar de ilolitros a mililitros ha que a(ar 6 ni$eles por lo que tenemos quemultiplicar: x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicarx 1..


A#uantos litros son , illitrosB , x 1. ),.litros

A#uantos centilitros son 7 hectolitrosB 7 x 1. ) 7.centilitros

A#uantos decalitros son 4 hectolitrosB 4 x 1 )4decalitros

A#uantos hectolitros son 2 ilolitrosB 2 x 1 ) 2hectolitros


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A#uantos decilitros son 3 ilolitrosB 3 x 1. )3.decilitros

A#uantos mililitros son 6 decalitrosB 6 x 1. ) 6.mililitros

2. 4." A#mo pasar de unidades menores a unidades maoresB


Por e(emplo:

Para pasar de decilitros a hectolitros ha que suir 3 ni$eles por lo que tenemos quedi$idir : 1 : 1 : 10 o lo que es lo mismo0 ha que di$idir : 1.

Para pasar de mililitros a hectolitros ha que suir , ni$eles por lo que tenemos quedi$idir : 1 : 1 : 1 : 1 : 10 o lo que es lo mismo ha que di$idir : 1.

Para pasar de centilitros a litros ha que suir 2 ni$eles por lo que tenemos que

di$idir : 1 : 10 o lo que es lo mismo ha que di$idir : 1


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A#uantos decalitros son ,. centilitrosB ,. : 1. ),decalitros

A#uantos ilolitros son 2. litrosB 2. : 1. )2ilolitros

A#uantos decilitros son 6. mililitrosB 6. : 1 )6decilitros

A#uantos ilolitros son 1 dec@litrosB 1 : 1. ) 01ilolitros

A#uantos hectolitros son 1., centilitrosB 1., : 1. )01,hectolitros

A#uantos centilitros son 88 mililitrosB 88 : 1 )88centilitros


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3.1." ;nidades menores

Para pesos mu pequeKos dosis de medicina0 ?rmulas qu@micas0 W se utilizan unidadesmenores que el &ramo:

-eci&ramodenti&ramoc&/ili&ramom&


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Para &randes pesos el peso de un auto%s0 la car&a de un arco0 W se utiliza otraunidad de peso maor: la toneladat.

1 tonelada) 1. ilo&ramos

Por lo tanto:

Para pasar de toneladas a ilo&ramos ha que multiplicar por 1.

.

3.3." A#mo pasar de unidades maores a unidades menoresB

Para pasar de unidades maores a unidades menores ha que multiplicar por 1 por

cada ni$el que descendamos:

Por e(emplo:

Para pasar de ilo&ramos a deca&ramos ha que a(ar 2 ni$eles por lo que ha quemultiplicar: x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x 1


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Para pasar de deca&ramos a mili&ramos ha que a(ar 4 ni$eles por lo que ha quemultiplicar: x 1 x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x 1.

Para pasar de hecto&ramos a deci&ramos ha que a(ar 3 ni$eles por lo que ha quemultiplicar: x 1 x 1 x 10 o lo que es lo mismo0 ha que multiplicar x 1.


A#uantos &ramos son 7 hecto&ramosB 7 x 1 )7&ramos

A#uantos mili&ramos son G deca&ramosB G x 1. ) G.mili&ramos

A#uantos hecto&ramos son 6 ilo&ramosB 6 x 1 )6hecto&ramos

A#uantos ilo&ramos son 13 toneladasB 13 x 1. ) 13.ilo&ramos

A#uantos centi&ramos son 8 deca&ramosB 8 x 1. )8.centi&ramos

A#uantos deci&ramos son 3 ilo&ramosB 3 x 1. ) 3.deci&ramos

3.4." A#mo pasar de unidades menores a unidades maoresB



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Por e(emplo:

Para pasar de centi&ramos a deca&ramos ha que suir 3 ni$eles por lo que ha quedi$idir : 1 : 1 : 10 o lo que es lo mismo0 ha que di$idir : 1.

Para pasar de &ramos a hecto&ramos ha que suir 2 ni$eles por lo que ha que di$idir: 1 : 10 o lo que es lo mismo ha que di$idir : 1

Para pasar de deci&ramos a ilo&ramos ha que suir 4 ni$eles por lo que ha quedi$idir : 1 : 1 : 1 : 10 o lo que es lo mismo ha que di$idir : 1.


A#uantos hecto&ramos son , &ramosB , : 1 ),hecto&ramos

A#uantos ilo&ramos son 2. &ramosB 2. : 1. )2ilo&ramos

A#uantos &ramos son 13. mili&ramosB 13. : 1. )13&ramos

A#uantos deca&ramos son 1 &ramosB 1 : 1 ) 1deca&ramos

A#uantos deci&ramos son 1., centi&ramosB 1., : 1 )1,deci&ramos


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A#uantos hecto&ramos son 8.8 deci&ramosB 8.8 : 1. )808hecto&ramos

#uando se suman distintos pesos0 todos tienen que $enir expresadas en la mismaunidad: todos en toneladas0 todos en ilo&ramos0 todas en &ramosW

Co se pueden sumar ilo&ramos con &ramos0 toneladas con ilo&ramosW0 pre$iamenteha que con$ertirlas a la misma unidad.

Por e(emplo:

A#u+nto son G &ramos 3 mili&ramosB

$asamos los miligramos a gramos% 344 % ,#444 . 4!3 gramos

: sumamos% 4!3 . !3 gramos

9ami=n podemos pasar los &ramos a mili&ramos sumarlos

$asamos los gramos a miligramos% - ,#444 . #444 miligramos

: sumamos% #444 344 . #344 miligramos


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MEDIDAS DE SUPERFICIE

Para medir super?icies +reas se utilizan distintas unidades de medida.


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La unidades de medidas menores que se utilizan para medir +reas m+s pequeKas lasuper?icie de una loza0 de un ?olio0 de la pantalla di&ital de un tel=?ono m$il0 W.

-ec@metrocuadradodm2. !s la super?icie de un cuadrado cuo lado mide undec@metro.

#ent@metro cuadradocm2. !s la super?icie de un cuadrado cuo lado mide uncent@metro.

/il@metro cuadradomm2. !s la super?icie de un cuadrado cuo lado mide unmil@metro.


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1 cm2) 1 mm2

2." ;nidades maores

9ami=n ha unidades de medidas maores que el metro cuadrado que se utilizan paramedir &randes super?icies: la super?icie de una pro$icina0 de una ?inca0 de un la&o...

Xilmetro cuadradom2. !s la super?icie de un cuadrado cuo lado mide unilmetro.

Lectmetro cuadradohm2. !s la super?icie de un cuadrado cuo lado mide unhectmetro.

-ec+metro cuadradodam2. !s la super?icie de un cuadrado cuo lado mide undec+metro.


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3." A#mo pasar de unidades maores a unidades menoresB

Para pasar de unidades maores a unidades menores ha que multiplicar por 1 por

cada ni$el que descendamos:

Por e(emplo:

Para pasar de m2 a dam2 ha que a(ar 2 ni$eles por lo que tenemos que multiplicar:x 1 x 1 ) x 1.


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Para pasar de hm2 a dm2 ha que a(ar 3 ni$eles por lo que tenemos que multiplicar:x 1 x 1 x 1 ) x 1..


A#uantos m2 son 3 m2B 3 x 1.. )3..m2

A#uantos mm2 son , dm2B , x 1. ) ,.mm2

A#uantos cm2 son 7 dam2B 7 x 1.. )7..cm2

4." A#mo pasar de unidades menores a unidades maoresB


Por e(emplo:


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Para pasar de m2 a hm2 ha que suir 2 ni$eles por lo que tenemos que di$idir :1 : 1 ) : 1.

Para pasar de cm2 a dam2 ha que suir 3 ni$eles por lo que tenemos que di$idir :1 : 1 : 1 ) : 1..


A#uantos m2 son 6. cm2B 6. : 1. )6m2

A#uantos m2 son 8.. m2B 8.. : 1.. )8m2

A#uantos dm2 son 7,. mm2B 7,. : 1. )70,dm2

!(ercicios




111/169


!< V


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Para calcular el $olumen de este cuo multiplicamos su anchura0 por su pro?undidadpor su altura:

!l metro c%ico es la unidad de medida que utilizamos0 por e(emplo0 para medir el$olumen de a&ua que cae en una piscina0 la capacidad de transporte de un camincisterna0 el $olumen de aire que ha en una haitacin...

1." ;nidades menores

La unidades de medidas menores que se utilizan para medir $ol%menes m+s pequeKosel $olumen de una lata de re?resco0 el $olumen de (arae que ha que suministrar conuna (erin&uilla0 W.

-ec@metroc%icodm3. !s el $olumen que ocupa un cuo cuos lados miden undec@metro.

#ent@metroc%icocm3. !s el $olumen que ocupa un cuo cuos lados miden uncent@metro.

/il@metroc%icomm3. !s el $olumen que ocupa un cuo cuos lados miden unmil@metro.


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, metro c1bico . , metro - , metro - , metro

, metro . ,4 decmetros

, metro c1bico . ,4 decmetros - ,4 decmetros - ,4 decmetros . ,#444 decmetros

c1bicos

1 m3) 1.. cm3

, metro . ,44 centmetros

, metro c1bico . ,44 centmetros - ,44 centmetros - ,44 centmetros . ,#444#444

centmetros c1bicos#

1 m3) 1... mm3

, metro . ,#444 milmetros

, metro c1bico . ,#444 milmetros - ,#444 milmetros - ,#444 milmetros . ,#444#444#444

milmetros c1bicos#


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1 m3) 1... m3

1 hm3) 1.. m3

1 dam3) 1. m3


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Por e(emplo:

Para pasar de m3 a dam3 ha que a(ar 2 ni$eles por lo que tenemos que multiplicar:x 1. x 1. ) x 1..

Para pasar de dam3 a cm3 ha que a(ar 3 ni$eles por lo que tenemos que multiplicar:x 1. x 1. x 1. ) x 1...


A#uantos dam3 son , m3B , x 1.. ),..dam3

A#uantos cm3 son 7 dam3B 7 x 1... ) 7...cm3

A#uantos dm3 son 8 m3B 8 x 1. )8.m3

4." A#mo pasar de unidades menores a unidades maoresB

Para pasar de unidades menores a unidades maores ha que di$idir por 1. porcada ni$el que suamos:


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Por e(emplo:

Para pasar de m3 a hm3 ha que suir 2 ni$eles por lo que tenemos que di$idir :1. : 1. ) : 1..

Para pasar de dm3 a hm3 ha que suir 3 ni$eles por lo que tenemos que di$idir :1. : 1. : 1. ) : 1...


A#uantos dm3 son 7.. mm3B 7.. : 1.. )7dm3

A#uantos m3 son 11. dm3B 11. : 1. )11m3

A#uantos m3 son 2.. dam3B 2.. : 1.. )2m3

!(ercicios


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118/169

LOS N(ULOS

!l +n&ulo $iene limitado por un $=rtice dos lados.


119/169


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'&udomenos de G &rados

ectoG &rados

tusom+s de G &rados


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2." elacin entre dos +n&ulos

!ntre 2 +n&ulos se pueden estalecer distintas relaciones:

a Qn&ulos consecuti$os: *on aquellos que tienen en com%n el $=rtice uno de los

lados.

Qn&ulos complementarios:*on dos +n&ulos consecuti$os que suman G &rados0?ormando su unin un +n&ulo recto.


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3." tras unidades de medida de los +n&ulos

Para medir un +n&ulo con maor precisin ha unidades de medida menores que el&rado:

/inuto: un &rado tiene 6 minutos. *e representa con una Y

*e&undo: un minuto tiene 6 se&undos. *e representa con dos Y Y

Por e(emplo:

;n +n&ulo de ampitud: 6 3, Y 4 YY 6 &rados0 3, minutos 4 se&undos

Para pasar de unidades maores a menores:

Para pasar de unidades menores a maores:


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A#uantos minutos son , &radosB , x 6 )3minutos

A#uantos se&undos son 1 &radosB 1 x 6 x 6) 36.se&undos

A#uantos &rados son 42 minutosB 42 : 6 )7&rados

A#uantos &rados son 7.2 se&undosB 7.2 : 6 : 6 ) 2&rados


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2" #alculamos los &rados: di$idimos los minutos entre 6: el cociente ser+n los&rados el resto los minutos:

3' % '4 . ' (resto )

6enemos ' grados " minutos

Ea tenemos la equi$alencia:

22.1,, YY ) 6 G Y 1, YY

,." A#mo con$ertimos una expresin comple(a en una incomple(aB


126/169

Vamos a $er la suma de +n&ulos con un e(emplo.

Dueremos sumar estos dos +n&ulos:

12 4, Y ,3 YY

23 32 Y 41 YY

..........

*e suman los &rados con los &rados0 los minutos con los minutos los se&undos con losse&undos.

*i los se&undos sorepasan 60 cada loque de 6 lo con$ertiremos en minutos.

*i los minutos sorepasan 60 cada loque de 6 lo con$ertiremos en &rados.

*i&amos con el e(emplo:

!mpezamos analizando los se&undos% cada bloque de '4 segundos lo convertimos enminutos%

& segundos supera a '4 (, minuto) pero no llega a ,*4 (* minutos)# os primeros '4

segundos los convertimos en , minuto#

& segundos . , minuto 3& segundos

5 los minutos le sumamos este minuto! por lo que son / minutos#


127/169

*e&uimos analizado los minutos%

/ minutos supera a '4 (, grado) pero no llega a ,*4 (* grados)# os primeros '4 minutos

los convertimos en , grado#

/ minutos . , grado ,/ minutos

5 las 3+ grados le sumamos este grado! por lo que son 3' grados#

En definitiva! la suma sera% 36 18 Y 34 YY

2." esta de +n&ulos

Veamos un e(emplo:

Dueremos restar dos +n&ulos:

2, 32 Y 17 YY

12 43 Y 3, YY

..........

*e restan los &rados con los &rados0 los minutos con los minutos los se&undos con losse&undos.


128/169

*i la resta de los se&undos da ne&ati$o0 tomaremos 1 minuto del minuendo lopasaremos a los se&undos.

*i la resta de los minutos da ne&ati$o0 tomaremos 1 &rado del minuendo lopasaremos a los minutos.

*i&amos con el e(emplo:

!mpezamos analizando los se&undos% como la resta es negativa (@,/ DD) a los segundos lepasamos un minuto#

$or lo tanto! le restamos , a la columna de los minutos " se lo sumamos (, minuto . '4

segundos) a la columna de los segundos#

a resta de los segundos "a da positivo#

*e&uimos analizado los minutos% como la resta es negativa (@ ,* D) a los minutos le pasamos

un grado%


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$or lo tanto! le restamos , a la columna de los grados " se lo sumamos (, grado . '4

minutos) a la columna de los minutos#

a resta de los minutos "a da positivo#

En definitiva! la resta sera% 12 48 Y 42 YY

!(ercicios




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FI(URAS PLANAS

;n pol@&onoest+ ?ormado por una l@nea poli&onal cerrada la super?icie interior.

9odos sus lados tienen que ser l@neas rectas.


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Veamos ahora 2 ?i&uras que no son pol@&onos:

Porque son l@neas aiertas

porqueal&uno de sus lados no es una l@nea recta

..................

!n un pol@&ono se pueden distin&uir:


132/169


133/169

.

9ri+n&ulo re&ular #uadril+tero re&ular

.

.

Pent+&ono re&ular Lex+&ono re&ular

Lept+&ono re&ular ct&ono re&ular

#omo todos sus lados son i&uales0 su per@metro se puede calcular multiplicando lalon&itud de un lado por el n%mero de lados:


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Por e(emplo0 el lado de este hex+&ono re&ular mide , cm0 por lo que su per@metroser+:

Per@metro) , x 6 n de lados ) 3 cm

1." !l tri+n&ulo


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Co paralelo&ramos: aquellos que no cumplen esta condicin.


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9rapecio: 9iene 2 lados paralelos los otros 2 no.9rapezoide: Cin&uno de sus lados es paralelo

.

9rapecio 9rapezoide

!l trapecio se puede clasi?icar en:

9rapecio rect+n&ulo: 2 de sus +n&ulos son rectos

9rapecio issceles: tiene 2 lados opuestos i&uales sus +n&ulos son i&uales 2 a 2.

9rapecio escaleno: todos sus lados sus +n&ulos son di?erentes


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#on independencia de la ?orma que tan&a el cuadril+tero siempre se cumple lasi&uiente propiedad:


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a Qrea de un tri+n&ulo

!l +rea de un tri+n&ulo ) ase x altura J 2

Veamos un e(emplo:


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141/169

Veamos un e(emplo:


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Veamos un e(emplo:


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!l area de este pent+&ono re&ular ) 2 x 3 J 2 x ,) 1, m2 (2emos multiplicadopor + "a qe el pent7gono tiene + lados)

Veamos otro e(emplo:

!l area de este hex+&ono re&ular ) 2 x 3 J 2 x 6) 18 m2 (2emos multiplicado por' "a qe el he-7gono tiene ' lados)

!(ercicios


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1." #alcula las si&uientes +reas:

LA CIRCUNFERENCIA Y EL C)RCULO


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adio: !s la l@nea recta que $a desde el centro del c@rculo hasta la circun?erencia.

#uerda: !s la l@nea recta que $a de lado a lado de la circun?erencia sin pasar por elcentro del c@rculo.


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;na seccin del c@rculo limitada por una cuerda la circun?erencia se llama se&mentocircular.


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1." Posicin de rectas circun?erencias

;na recta puede tener respecto a una circun?erencia las si&uientes posiciones:

-os circun?erencias pueden tener las si&uientes posiciones:


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LON(ITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y REA DEL C)RCULO

1."


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!n este e(emplo conocemos la lon&itud del radio


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Vamos a calcular el +rea de este c@rculo:

Qrea del c@rculo ) , x , x 3014 ) 780, m2

!(ercicios




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CUERPOS (EOM*TRICOS

1." Poliedros

*on cuerpos &eom=tricos cuas caras son todos pol@&onos0 re&ulares o irre&ulares.


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Pir+mide: 9iene 1 sla ase caras laterales con ?orma de tri+n&ulos.

tros poliedros: sus caras son pol@&onos de di?erentes ?ormas.

1.a." Poliedros re&ulares

*on aquellos que tienen todas sus caras i&uales0 con ?orma de pol@&ono re&ular.


9etraedro: tiene 4 caras con ?orma de tri+n&ulo

#uo: tiene 6 caras con ?orma de cuadrado

ctaedro: tiene 8 caras con ?orma de tri+n&ulo

-odecaedro: tiene 12 caras con ?orma de pent+&ono

cosaedro: tiene 2 caras con ?orma de tri+n&ulo

.

1.." Prismas

*on poliedros que tienen dos pol@&onos i&uales opuestos que ?orman las dos ases delmismo caras laterales que son paralelo&ramos.


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*e&%n la ?orma de las ases se pueden clasi?icar en:

Prisma trian&ular: sus ases son tri+n&ulos 3 caras laterales con ?orma derect+n&ulo.

Prisma cuadran&ular: sus ases son cuadrados 4 caras laterales con ?orma derect+n&ulo.

Prisma penta&onal: sus ases son pent+&onos , caras laterales con ?orma derect+n&ulo.

Prisma hexa&onal: sus ases son hex+&onos 6 caras laterales con ?orma derect+n&ulo.

!tc.

......... ..........

.

1.c." Pir+mides

*on poliedros. 9ienen una sola ase con ?orma de pol@&ono que puede ser un tri+n&ulo0un cuadril+tero0 un pent+&ono0 W..


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*us caras laterales tienen ?orma de tri+n&ulo se unen en un $=rtice llamado c%spide.

*e&%n la ?orma de la ase:

Pir+mide trian&ular: ase en ?orma de tri+n&ulo 3 caras laterales.

Pir+mide cuadran&ular: ase en ?orma de cuadrado 4 caras laterales. Pir+midepenta&onal: ase en ?orma de pent+&ono , caras laterales.!tc.

1.d." tros poliedros

*us caras son pol@&onos de di?erentes ?ormas.


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2." #ilindro cono

#ilindro: tiene dos ases paralelas en ?orma de c@rculo una cara lateral cur$a.

#ono: tiene una sola ase en ?orma de c@rculo una cara lateral cur$a que ?inaliza enun punto llamado $=rtice o c%spide

............

3." !s?era


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*emies?era: es la mitad de una es?era.

#asquete es?=rico: es una seccin de la es?era menor que la semies?era.

LA ESTADISTICA


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Para analizar esta in?ormacin ha $arias medidas que nos interesa conocer:

9amaKo de la muestra: cuantos datos tenemos.

!n este e(emplo el tamaKo de la muestra es 31 (tenemos 3, registros)

Valor m+ximo: !s el $alor m+ximo que toman los datos.


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!n este e(emplo el $alor m+ximo es 46 &rados (dia )

Valor m@nimo: !s el $alor m@nimo que toman los datos.

!n este e(emplo el $alor m@nimo es 32 (da &)

Irecuencias: nos dice las $eces que se repite un mismo dato.

Irecuencia asoluta: n de $eces que se repite un dato.

Irecuencia relati$a: porcenta(e que cada ?recuencia asoluta representa sore eltotal.

!l re&istro que m+s $eces se repite tiene la maor ?recuencia se denomina/oda.

!n este e(emplo la moda es 3G &rados (+ das hace esa temperatura)


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!n este e(emplo sumamos todos los &rados que han hecho durante el mes 1.183&rados lo di$idimos entre el n%mero de d@as.

/edia) 1.183 J 31 ) 38016 &rados

ADu= representa la mediaB si todos los &rados 1.183 se repartieran de ?ormahomo&=nea entre los 31 d@as es decir0 todos los d@as huiera hecho la mismatemperatura0 la temperatura de cada d@a huiera sido 38016 &rados.

Para interpretar la in?ormacin es mu %til utilizar &r+?icos. La muchos tipos de&r+?icos:

Rr+?ico de arras: la altura de cada arra representa la ?recuencia con la que serepite cada dato.


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*e puede $er claramente0 como la arra del 3Ges la m+s alta0 al ser el $alor m+srepetido.

Rr+?ico circular: la super?icie de cada sector de la es?era representa la ?recuenciacon la que se repite cada dato.

9ami=n aqu@ se puede $er claramente como la super?icie del sector que representa latemperatura3Ges la maor.

Rr+?ico de l@neas: este &r+?ico se utiliza principalmente para $er como e$oluciona un$alor a lo lar&o del tiempo.


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P'


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Por e(emplo: la proailidad mide la posiilidad de que sal&a HcaraH cuando lanzamosuna moneda0 o la posiilidad de que sal&a , cuando lanzamos un dado.

1." *ucesos


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Por e(emplo: en una olsa con 1 olitas0 GG lanca 1 ne&ra0 el suceso Hsacar laolsa ne&raH tiene pocas proailidades de ocurrir.

3." #+lculo de proailidades

Para calcular proailidades se utiliza la si&uiente ?rmula:

Proailidad ) #asos ?a$orales J #asos posiles

!l resultado se multiplica por 1 para expresarlo en porcenta(e.


a #alcular la proailidad de que sal&a HcaraH al lanzar una moneda:

9asos favorables% , (que salga cara)

9asos posibles% * (puede salir cara o cru8)

Proailidad ) 1 J 2 Z 1 ) , U

#alcular la proailidad de que sal&a H3H al lanzar un dado:

9asos favorables% , (que salga 3)

9asos posibles% ' (puede salir ,! *! 3! &! + o ')

Proailidad ) 1 J 6 Z 1 ) 1606 U

c #alcular la proailidad de que sal&a Hun n%mero entre 1 4 H al lanzar un dado:

9asos favorables% & (sera v7lido cualquiera de los siguientes resultados ,! *! 3! o &)

9asos posibles% ' (puede salir ,! *! 3! &! + o ')



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d #alcular la proailidad de que sal&a el n%mero 76 al sacar una olita de una olsacon 1 olitas numeradas del 1 al 1:

9asos favorables% , (sacar el n1mero ')

9asos posibles% ,44 (ha" ,44 n1meros en la bolsa)


e #alcular la proailidad de que sal&a Hun n%mero entre 1 G8H al sacar una olitade una olsa con 1 olitas numeradas del 1 al 1:

9asos favorables% / (valdra cualquier n1mero entre , " /)

9asos posibles% ,44 (ha" ,44 n1meros en la bolsa)

Proailidad ) G8 J 1 Z 1 ) G8 U

!(ercicios


1." #alcula la proailidad de que al lanzar un dado sal&a un n%mero par:


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2." #alcula la proailidad de que al lanzar una moneda sal&a HcaraH o HcruzH:

3." #alcular la proailidad de que sal&a Hun n%mero entre 1 4H al sacar una olitade una olsa con 1 olitas numeradas del 1 al 1:

Multiplicar Por Tres Cifras

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