Muro Contencion

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DISEÑO MURO DE CONTENCION

MEMORIA DE CALCULO

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DICIEMBRE DE 2008

Diseño Muro de Contención

CALCULO Y DISEÑO ESTRUCTURAL DE MUROS DE CONTENCION TEORÍA DE COULOMB - DISEÑO EN ROTURA

Esquema general del muro

CONSIDERACIONES GENERALES:

i) Se consideran dos combinaciones de carga: una normal (caso estático) y una eventual (caso estático +sismo).

ii) Se analiza el muro por metro de longitud, considerándolo no restringido al movimiento y, por lo tanto,capaz de desarrollar empujes activos y pasivos.

iii) Se utilizan las fórmulas de Coulomb para la determinación de los empujes de tierra estáticos. El uso deeste métodod implica un adecuado valor para el ángulo de fricción δen la suèrficie a-b, donde β<= δ<= φ�.(En forma conservadora puede tomarse δ= 0, pero en muros altos podría resultar antieconómico.

iv) Se utiliza la fórmula de Mononobe-Okabe para la evaluación de los empujes de tierra en el caso sísmico.Por lo tanto se considera suelo seco y, además, no cohesivo.

v) Para la evaluación de seguridad al deslizamiento, se analizan los casos con y sin empuje pasivo delrelleno exterior. (Se considera δ = 0 en el caso de empuje pasivo).

vi) Para la evaluación de seguridad al volcamiento, no se considera el empuje pasivo del relleno exterior.

vii) Para la evalucaión de las tensiones máximas de suelo, no se considera el empuje pasivo del rellenoexterior.

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1.- Datos de entrada

1.1.- Definición

tonf 1000kgf:=

1.2.- Datos del muro

H 11.66m:= Altura total.

B 13.51m:= Ancho de la base. (Recomendación general: 0.4Hm a 0.7Hm)

ez 1.0m:= Espesor de la zapata. (Recomendación: H/12 a H/10)

lt 0.5m:= Longitud talón de la zapata. (Recomendación general: 2B/3 - eb)

ec 0.3m:= Espesor del muro en el coronamiento.

eb 1.0m:= Espesor del muro en la base. (Recomendación: H/12 a H/10)

α 86.243deg:= Angulo de paramento vertical de la pared interior.

γh 2.5tonf

m3:= Peso específico del hormigón.

fy 4.2tonf

cm2:= Tensión de fluencia del acero.

fc 250kgf

cm2:= Resistencia cilíndrica del hormigón.

rec 5cm:= Recubrimiento del hormigón en muro y zapata.

1.3.- Características del relleno interior

γri 1.8tonf

m3:= Peso específico.

ϕri 30deg:= Angulo de fricción interna

δri2ϕri

3:= Angulo de fricción muro relleno: vale de 1/3φ a 2/3φ para superficies

parcialmente rugosas de hormigón. vale ~φ, para piedras rugosas. Parasuperficie de muro lisa, pulida, es igual a cero.δri 20 deg⋅=

hri 11.66m:= Altura de relleno tras el muro.

β 0deg:= Angulo de inclinación relleno.

hre 1.0m:= Altura de relleno delante del muro.

1.4.- Características del suelo

γs 1.8tonf

m3:= Peso específico.

ϕs 30deg:= Angulo de fricción interna

δs2ϕs

3:= Angulo de fricción muro suelo: vale de 1/3φ a 2/3φ para superficies

parcialmente rugosas de hormigón. vale ~φ, para piedras rugosas. Parasuperficie de muro lisa, pulida, es igual a cero.δs 20 deg⋅=

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σadme 20tonf

m2:= Tensión admisible estática.

σadms 26tonf

m2:= Tensión admisible sísmica.

1.5.- Sobrecargas

qsc 2.0tonf

m2:= sobrecarga sobre relleno

ηc 0.4:= Factor de carga de compactación.

qc ηc γri⋅ 1⋅ m:= Sobrecarga de compactación.

q max qsc qc, ( ) 2tonf

m2⋅=:= Sobrecarga máxima efectiva.

1.6.- Coeficientes sísmicos

Kh 0.15:= coeficiente de aceleración horizontal

Kv 0.08:= coeficiente de aceleración vertical

2.- Cálculo de los centros de masa 2.1.- Muro de hormigón

αi 90deg α−:= αi 3.757 deg⋅=

y1 H ez−:= y1 10.66m=

x1 y1 tan αi( )⋅:= x1 0.7 m=

x2 max eb x1− ec− 0, ( ):= x2 0 m=

αe atanx2y1

:= αe 0 deg⋅=

Am B ez⋅ y1ec eb+

2⋅+:= Am 20.439 m2

=

Xgm1

AmB2 ez⋅

2x1 y1⋅

2B lt−

23

x1⋅−

⋅+ ec y1⋅ B lt− x1−ec2

−

⋅+x2 y1⋅

2B lt− eb−

23

x2⋅+

⋅+

⋅:=

Ygm1

AmB ez2

⋅

2x1 y1⋅

2y13

ez+

⋅+ ec y1⋅y12

ez+

⋅+x2 y1⋅

2y13

ez+

⋅+

⋅:=

Posición del centro de masasrespecto al punto "O":

Xgm 8.657m= Ygm 2.152m=

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2.2.- Relleno interior

c1 lt tan αi( ) hre ez−( )⋅+:= c1 0.5 m=

x1 lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+:= x1 1.2 m=

y1 hri hre−:= y1 10.66m=

y2 x1 tan β( )⋅:= y2 0 m=

Arix1 c1+

2y1⋅

x1 y2⋅

2+:= Ari 9.061m2

=

Xgri B1

Ariy1 lt2⋅

2x12 y2⋅

6+

y12 tan αi( )⋅

2y1 tan αi( )⋅

3lt+

+

−:=

Ygri1

Ariy1 lt⋅ ez

y12

+

⋅x1 y2⋅

2y23

y1+ ez+

⋅+y12 tan αi( )⋅

22y13

ez+

+

:=


Xgri 13.061 m= Ygri 7.062 m=

2.3.- Relleno exterior

x1 B lt− eb−:= x1 12.01m=

y1 if hre ez< 0, hre ez−, ( ):= y1 0 m=

x2 y1 tan αe( )⋅:= x2 0 m=

Are x1 y1⋅x2 y1⋅

2+:= Are 0 m2

=

Xgre if Are 0>1

Arex12 y1⋅

2y1 x2⋅

2x23

x1+

+

⋅, 0,

:=

Ygre if Are 0>1

Arex1 y1⋅ ez

y12

+

⋅y1 x2⋅

223

y1 ez+

⋅+

⋅, 0,

:=


Xgre 0 m= Ygre 0 m=

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Diseño Muro de Contención Determinación de propiedades de medio equivalente:

γrγri Ari⋅ γs Are⋅+

Ari Are+:= γr 1.8

tonf

m3⋅=

ϕϕri Ari⋅ ϕs Are⋅+

Ari Are+:= ϕ 30 deg⋅=

δδri Ari⋅ δs Are⋅+

Ari Are+:= δ 20 deg⋅=

3.- Análisis estático

3.1.- Pesos de elementos

Wri γri Ari⋅ 1⋅ m:= Peso propio del relleno interior.

Wri 16.31 tonf⋅=

Wre γs Are⋅ 1⋅ m:= Peso propio del relleno exterior.

Wre 0 tonf⋅=

Wm γh Am⋅ 1⋅ m:= Peso propio del muro.

Wm 51.1 tonf⋅= 3.2.- Empuje Activo

Kasin α ϕ+( )2

sin α( )2 sin α δ−( )⋅ 1sin ϕ δ+( ) sin ϕ β−( )sin α δ−( ) sin α β+( )

+

2:=

Coeficiente de empuje activo del suelo según Coulomb.

Ka 0.325=

Hab lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+[ ] tan β( )⋅ hri+:= Altura tramo a-b

Hab 11.66 m=

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Diseño Muro de ContenciónEmpuje Activo de relleno

Ea12γr⋅ Hab2

⋅ Ka⋅ 1⋅ m:=Ea 39.79 tonf⋅=

Posición del esfuerzo respecto a "O": Xa B 13.51 m=:= Ya

Hab3

3.887 m=:=

3.3.- Empuje pasivo

Kpsin 90deg ϕs−( )2

1 sin ϕs( )−( )2:= Coeficiente de empuje pasivo según Coulomb, con β = δ = 0.

Kp 3=

Ep12γs⋅ hre2

⋅ Kp⋅ 1⋅ m:= Empuje pasivo de suelo.

Ep 2.7 tonf⋅=

3.4.- Esfuerzos debidos a la sobrecarga sobre el relleno

Qv q lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+[ ]⋅ 1⋅ m 2.4 tonf⋅=:= Esfuerzo vetical sobre el talón debido a la sobrecargaefectiva.

Xqv Blt hri ez−( ) tan αi( )⋅+

2− 12.91 m=:= Posición horizontal del esfuerzo respecto al punto "O".

Qh q Ka⋅ Hab⋅ 1⋅ m 7.583 tonf⋅=:= Esfuerzo horizontal debido a la sobrecargaefectiva.

Posición del esfuerzo respecto a "O": Xqh B:= Yqh

Hab2

5.83 m=:=

3.5.- Verificación de la estabilidad del muro

3.5.1.- Estabilidad al deslizamiento

Peso equipos sobre la zapata PE 5 20+ 20+ 5+( )tonf:=

Fuerza restauradora:

Fre Qv Wri+ Wre+ Wm+ Ea Qh+( ) sin δ( )⋅+ PE+[ ] tan23ϕ

⋅ Ep+ 52.2 tonf⋅=:=

Fuerza deslizante: Fde Ea Qh+( ) cos δ( )⋅ 44.516 tonf⋅=:=

F.S. al deslizamiento: FSDFreFde

1.173=:= < 2.0 NO CUMPLE => Agregar dienteConsidera Empuje pasivo

FSDFre Ep−

Fde1.112=:= < 1.5 NO CUMPLE => Agregar Diente

No Considera E. pasivo

3.5.2.- Estabilidad al volcamiento

MPE 2.5 11.47 7.78+( )⋅ 10 6.05 4.73+( )⋅+ 5 3.57 0.33+( )⋅+ 10 2.62 1.27+( )⋅+[ ]tonf m⋅:=

Momento restaurador:

Mre Wri Xgri⋅ Wre Xgre⋅+ Wm Xgm⋅+ Qv Xqv⋅+ Ea Xa⋅ Qh Xqh⋅+( ) sin δ( )⋅+ MPE+:=

Mre 1119.6 tonf m⋅⋅=

Momento Volcante: Mve Ea Ya⋅ Qh Yqh⋅+( ) cos δ( )⋅ 186.869 tonf m⋅⋅=:=

F.S. al volcamiento: FSVMreMve

5.991=:= > 2.0 O.K.

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3.6.- Cálculo de tensiones de suelo

3.6.1.- Excentricidad

Resultante de esfuerzos verticales:

Ne Qv Wri+ Wre+ Wm+ Ea Qh+( ) sin δ( )⋅+ 86.01 tonf⋅=:=

Me1 Ea Ya⋅ Qh Yqh⋅+( ) cos δ( )⋅ WreB2

Xgre−

⋅+ WmB2

Xgm−

⋅+:=

Me2 Wri XgriB2

−

⋅ Qv XqvB2

−

⋅+ Ea XaB2

−

⋅ Qh XqhB2

−

⋅+

sin δ( )⋅+:=

Momento resultante en el centro de la zapata.

Me Me1 Me2− 137.405− tonf m⋅⋅=:=

Excentricidad de la carga

eMeNe

1.598− m=:=

3.6.2.- Porcentaje de area comprimida

uB2

e− 8.353 m=:=

%Ac if eB6

< 1, 3 u⋅B

,

100 %⋅=:= > 80% O.K.

3.6.3.- Tensiones máxima y mínima

σ1e if eB6

<Ne

B 1⋅ m1

6eB

+

, 2 Ne⋅

3B2

e−

⋅ 1⋅ m,

:=

σ1e 1.85tonf

m2⋅= < σadme 20

tonf

m2⋅= O.K.

σ2e if eB6

<Ne

B 1⋅ m1

6eB

−

, 0,

:=

σ2e 10.88tonf

m2⋅= < σadme 20

tonf

m2⋅= O.K.

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4.- Análisis estático + sísmico

4.1.- Fuerzas inerciales del relleno interior

Fvri 1 Kv−( ) Wri⋅:= Esfuerzo sísmico inercial vertical del relleno

Fvri 15.01 tonf⋅=

Fhri Kh Wri⋅:= Esfuerzo sísmico inercial horizontal del relleno

Fhri 2.45 tonf⋅=

4.2.- Fuerzas inerciales del relleno exterior

Fvre 1 Kv−( ) Wre⋅:= Esfuerzo sísmico inercial vertical del relleno

Fvre 0 tonf⋅=

Fhre Kh Wre⋅:= Esfuerzo sísmico inercial horizontal del relleno

Fhre 0 tonf⋅=

4.3.- Fuerzas inerciales del muro

Fvm 1 Kv−( ) Wm⋅:= Esfuerzo sísmico inercial vertical del muro

Fvm 47.01 tonf⋅=

Fhm Kh Wm⋅:= Esfuerzo sísmico inercial horizontal del muro

Fhm 7.66 tonf⋅=

4.4.- Fuerzas de empuje activo sísmico

KKh

1 Kv−:= coeficiente sísmico en el aire

K 0.163=

θ atan K( ):= θ 9.26 deg⋅=

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Kassin α ϕ+ θ−( )2

cos θ( ) sin α( )2 sin α δ− θ−( )⋅ 1sin ϕ δ+( ) sin ϕ β− θ−( )sin α δ− θ−( ) sin α β+( )

+

2:=

Kas 0.451=

ΔKas Kas Ka−:= Coeficiente de incremento sísmico de empuje de suelo.

ΔKas 0.125=

Eas12γr Hab2

⋅ 1 Kv−( )⋅ ΔKas⋅ 1⋅ m:=

Incremento de empuje activo sísmico del terrenoEas 14.126 tonf⋅=

Posición del esfuerzo respecto a "O":

Xas Xa 13.51 m=:=

Yas23

Hab⋅ 7.77 m=:=

4.5.- Fuerza de empuje pasivo sísmico

Kpscos ϕs θ−( )2

cos θ( )2 1sin ϕs( ) sin ϕs θ−( )⋅

cos θ( )−

2⋅

2.702=:=

Coeficiente de empuje pasivo sísmico

Eps12γs⋅ hre2

⋅ 1 Kv−( )⋅ Kps⋅ 1⋅ m:= Empuje pasivo sísmico

Eps 2.237 tonf⋅=

4.6.- Esfuerzos debidos a la sobrecarga sobre el relleno

4.6.1.- Carga sobre talón

Qvs q lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+[ ]⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m 2.208 tonf⋅=:=

esfuerzo vertical sobre el talón debido a la sobrecarga efectivaXqvs Xqv 12.91 m=:= posición horizontal respecto al punto "O".

Qhs q Kas⋅ Hab⋅ 1⋅ m 10.51 tonf⋅=:= esfuerzo sísmico horizontal debido a la sobrecarga

Xqhs B:= Yqhs Yqh 5.83 m=:=

4.7.- Verificación de la estabilidad del muro

4.7.1.- Estabilidad al deslizamiento

Fuerza restauradora:

Frs Qvs Fvri+ Fvre+ Fvm+ Ea Eas+ Qhs+( ) sin δ( )⋅+ PE+[ ] tan23ϕ

⋅ Eps+ 51.83 tonf⋅=:=

Fuerza deslizante: Fds Ea Eas+ Qhs+( ) cos δ( )⋅ Fhri+ Fhre+ Fhm+ 70.652 tonf⋅=:=

F.S. al deslizamiento: FSDFrsFds

0.73=:= < 1.5 NO CUMPLE => Agregar dienteConsidera Empuje pasivo

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FSDFrs Eps−

Fds0.7=:= < 1.2 CUMPLE => agregar diente

No Considera E. pasivo

4.7.2.- Estabilidad al volcamiento

MPE 2.5 11.47 7.78+( )⋅ 10 6.05 4.73+( )⋅+ 5 3.57 0.33+( )⋅+ 21 2.62 1.27+( )⋅+[ ]tonf m⋅ 257.115 tonf m⋅⋅=:=

Momento restaurador:

Mrs Fvri Xgri⋅ Fvre Xgre⋅+ Fvm Xgm⋅+ Ea Xa⋅ Eas Xas⋅+ Qhs Xqhs⋅+( ) sin δ( )⋅+ Qvs Xqvs⋅+ MPE+:=

Mrs 1186.27 tonf m⋅⋅=

MVE 10 10⋅ 40 5⋅+ 40 3⋅+ 10 7⋅+( )tonf m⋅ 490 tonf m⋅⋅=:=

Momento Volcante:

Mvs Ea Ya⋅ Eas Yas⋅+ Qhs Yqhs⋅+( ) cos δ( )⋅ Fhri Ygri⋅+ Fhre Ygre⋅+ Fhm Ygm⋅+ MVE+:=

Mvs 829.857 tonf m⋅⋅=

F.S. al volcamiento: FSVMrsMvs

1.429=:= ~ 1.5 O.K.

4.8.- Cálculo de tensiones de suelo

4.8.1.- Excentricidad

Ns Fvri Fvre+ Fvm+ Ea Eas+ Qhs+( ) sin δ( )⋅+ Qvs+:=

Ns 86.258 tonf⋅= Resultante de esfuerzos verticales

Ms1 Ea Ya⋅ Eas Yas⋅+ Qhs Yqhs⋅+( ) cos δ( )⋅ Fhri Ygri⋅+ Fhre Ygre⋅+ Fhm Ygm⋅+:=

Ms1 339.86 tonf m⋅⋅=

Ms2 FvreB2

Xgre−

⋅ FvmB2

Xgm−

⋅+ Fvri XgriB2

−

⋅− Qvs XqvsB2

−

⋅−:=

Ms2 197.64− tonf m⋅⋅=

Ms3 Ea− XaB2

−

⋅ Eas XasB2

−

⋅− Qhs XqhsB2

−

⋅−

sin δ( )⋅:=

Ms3 148.85− tonf m⋅⋅=

Momento resultante en el centro de la zapata.Ms Ms1 Ms2+ Ms3+ 6.63− tonf m⋅⋅=:=

Excentricidad de lacarga:

eMsNs

0.077− m=:=

4.8.2.- Porcentaje de area comprimida

uB2

e− 6.832 m=:=

%Ac if eB6

< 1, 3 u⋅B

,

100 %⋅=:= > 80% O.K.

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Diseño Muro de Contención 4.8.3.- Tensiones máxima y mínima

σ1s if eB6

<Ns

B 1⋅ m1

6eB

+

, 2 Ns⋅

3B2

e−

⋅ 1⋅ m,

:=

σ1s 6.17tonf

m2⋅= < σadms 26

tonf

m2⋅= O.K.

σ2s if eB6

<Ns

B 1⋅ m1

6eB

−

, 0,

:=

σ2s 6.6tonf

m2⋅= < σadms 26

tonf

m2⋅= O.K.

4.9.- Momentos de flexión

4.9.1.- Cálculo del Muro en Voladizo

Cargas laterales sobre el muro:

qa1 γr Hab lt tan δ( )⋅− ez−( )⋅ Ka⋅ cos δ( )⋅ 1⋅ m 5.763tonfm

⋅=:= x1 lt hri ez−( ) tan αi( )⋅+ 1.2 m=:=

Δqas22 Eas⋅

Hab 1⋅ mcos δ( )⋅ 1⋅ m 2.277

tonfm

⋅=:= Δqas1 Δqas2lt tan δ( )⋅ ez+

Hab⋅ 0.231

tonfm

⋅=:=

qqs0 q Kas⋅ cos δ( )⋅ 1⋅ m 0.847tonfm

⋅=:= qqs1 2q Kas⋅ tan β( )⋅ cos δ( )⋅ 1⋅ m 0tonfm

⋅=:=

qr1 Kh γr⋅ lt⋅ 1⋅ m 0.135tonfm

⋅=:= qr2 Kh γr⋅ x1⋅ 1⋅ m 0.324tonfm

⋅=:=

qm1 Kh γh⋅ eb⋅ 1⋅ m 0.375tonfm

⋅=:= qm2 Kh γh⋅ ec⋅ 1⋅ m 0.113tonfm

⋅=:=

qr3 Kh γr⋅ x1⋅ tan β( )⋅ 1⋅ m 0tonfm

⋅=:= qps1 γr hre ez−( )⋅ Kps⋅ 1⋅ m 0tonfm

⋅=:=

Cargas laterales sobre el muro en función de la altura:

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qa y( ) qa1 yqa1

hri ez−

⋅−:= Empuje activo estático (0 <= y <= hri - ez)

Δqas y( )Δqas2 Δqas1−

hri ez−y⋅ Δqas1+:= Incremento sísmico del

empuje activo(0 <= y <= hri - ez)

qr y( )qr2 qr1−

hri ez−y⋅ qr1+:= Carga sísmica del terreno

sobre el talón(0 <= y <= hri - ez)

Carga sísmica del terreno restante sobreel talón con inclinación β distinta de cero.

(hri-ez-x1 <= y<= hri - ez)qrr y( )

qr3x1

hri ez− y−( )⋅:=

qqs y( ) qqs0:= Carga sísmica inducida por la sobrecarga sobre el relleno.

(0 <= y <= hri - ez)

qqss y( )qqs1x1

hri ez− y−( )⋅:= Carga sísmica del terreno restante sobreel talón inducida por la sobrecarga parauna inclinación β distinta de cero.

(hri-ez-x1 <=y

<= hri - ez)qm y( ) qm1

qm1 qm2−

hri ez−y⋅−:= Carga sísmica de inercia del

muro(0 <= y <= H - ez)

qps y( ) qps1qps1

hre ez−y⋅−:= Carga sísmica de empuje

pasivo.(0 <= y <= hre - ez)

Momentosflectores:Mm1 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥

hri ez− y−( )2

6qa y( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mm2 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥ Δqas2 Δqas y( )−( )hri ez− y−( )2

3⋅ Δqas y( )

hri ez− y−( )2

2⋅+, 0,

, 0,

:=

Mm3 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥ qr2 qr y( )−( )hri ez− y−( )2

3⋅ qr y( )

hri ez− y−( )2

2⋅+, 0,

, 0,

:=

Mm4a y( ) if y hri ez−≤ if y hri ez− x1−≥ qrr y( )hri ez− y−( )2

6⋅, qr3

x12

⋅ hri ez− 2x13

⋅− y−

⋅,

, 0,

:=

Mm4 y( ) if y 0≥ Mm4a y( ), 0, ( ):=

Mm5 y( ) if y hri ez−≤ if y 0≥ qqs y( )hri ez− y−( )2

2, 0,

, 0,

:=

Mm6a y( ) if y hri ez−≤ if y hri ez− x1−≥ qqss y( )hri ez− y−( )2

6⋅, qqs1

x12

⋅ hri ez− 2x13

⋅− y−

⋅,

, 0,

:=

Mm6 y( ) if y 0≥ Mm6a y( ), 0, ( ):=

Mm7 y( ) if y H ez−≤ if y 0≥ qm y( ) qm2−( )H ez− y−( )2

6⋅ qm2

H ez− y−( )2

2⋅+, 0,

, 0,

:=

Mm8 y( ) if y hre ez−≤ if y 0≥ qps y( )−hre ez− y−( )2

6, 0,

, 0,

:=

Momento total sobre el muro en voladizo:

Mm y( ) Mm1 y( ) Mm2 y( )+ Mm3 y( )+ Mm4 y( )+ Mm5 y( )+ Mm6 y( )+ Mm7 y( )+ Mm8 y( )+:=

j 0 10..:= Yj H ez−H ez−( )

10j⋅−:= Y10 0 m=

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4.9.2.- Resumen de Flexión para muro en Voladizo Mbasal Mm Y10( ) 274.087 tonf m⋅⋅=:=

0 100 200 3000

1.2

2.4

3.6

4.8

6

7.2

8.4

9.6

10.8

12Flexión en la altura del muro

Momento flector sin mayoración

Altu

ra Yj

m

Mm Yj( )tonf m⋅

Yj

10.79.6

8.5

7.5

6.4

5.3

4.3

3.2

2.1

1.1

0

m

= Mm Yj( )0

2.1

8.7

20.1

37

59.5

88.3

123.7

166.2

216.2

274.1

tonf m⋅⋅

=

4.9.3.- Cálculo de flexión en la zapata

qa1 γr Hab ez−( )⋅ Ka⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:= qa2 γr Hab ez− lt tan δ( )⋅−( )⋅ Ka⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:=

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Diseño Muro de Contenciónqm1 γh ez⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:= qqs0 q 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:=

Δqas1 ez 2⋅Eas

Hab2 1⋅ m⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:= Δqas2 lt tan δ( )⋅ ez+( ) 2⋅

Eas

Hab2 1⋅ m⋅ 1⋅ m:=

qre1 γr hre ez−( )⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:= qqs1 q Kas⋅ sin δ( )⋅ 1⋅ m:=

qri1 γr Hab ez−( )⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:= qri2 γr hri ez− hri ez−( ) tan αi( )⋅ tan β( )⋅+[ ]⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m:=

Cargas Sobre la zapata en función de la posición

qa x( ) qa1 xqa1 qa2−

lt⋅−:= Componente vertical de empuje activo

estático sobre el talón.(0 <= x <= lt)

Δqas x( ) xΔqas2 Δqas1−

lt⋅ Δqas1+:= Componente vertical de empuje activo

adicional por sismo sobre el talón.(0 <= x <= lt)

qri x( ) qri1 xqri1 qri2−

lt⋅−:= Carga del relleno sobre el talón. (0 <= x <= lt)

qm x( ) qm1:= Carga de peso propio de la zapata. (0 <= x <= lt) ^(lt+ec <= x <= B)

qqs x( ) 0.25qqs0:= Carga debida a la sobrecarga sísmicareactiva (25% de la sobrecarga) sobre eltalón.

(0 <= x <= lt)

qqss x( ) 0.25qqs1:= Componente vertical de la carga lateralinducida por la sobrecarga sobre el talón.

(0 <= x <= lt)

qre x( ) qre1:= Carga del relleno sobre la punta de lazapata.

lt+eb <= x <= B

σsT x( ) xσ1s σ2s−

B⋅ σ2s+:= Compresión de suelo para el caso en

que e <= B/6 (100% A. comp.)(0 <= x <= B)

σsP x( ) x B 3u−( )−[ ]σ1s3u

⋅:= Compresión de suelo para el caso enque e > B/6 (100% Area comp.)

(B-3u <= x <=B)

Momentos flectores:

Mz1 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qa1 qa x( )−( )x2

3⋅ qa x( )

x2

2⋅+

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz2 x( ) if x 0≥ if x lt≤ Δqas x( ) Δqas1−( )x2

6⋅ Δqas1

x2

2⋅+

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz3 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qri1 qri x( )−( )x2

3⋅ qri x( )

x2

2⋅+

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz4 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qm x( )x2

2⋅

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz5 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qqs x( )x2

2⋅

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz6 x( ) if x 0≥ if x lt≤ qqss x( )x2

2⋅

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz7 x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ qre B x−( )B x−( )2

2⋅

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

15/19


0 1.4 2.8 4.2 5.6 7 8.4 9.8 11.2 12.6 1450−

18.18−13.6445.4577.27

109.09140.91172.73204.55236.36268.18

300Flexión a lo largo de la zapata

Momento

Posi

ción Mz Xk( )

tonf m⋅

Xk

m

Mz8 x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ qm B x−( )B x−( )2

2⋅

1−( )⋅, 0,

, 0,

:=

Mz9Ta x( ) if x 0≥ if x lt≤ σsT x( ) σ2s−( )x2

6⋅ σ2s

x2

2⋅+, 0,

, 0,

:=

Mz9Tb x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ σ1s σsT x( )−( )B x−( )2

3⋅ σsT x( )

B x−( )2

2⋅+, 0,

, 0,

:=

Mz9T x( ) Mz9Ta x( ) Mz9Tb x( )+:=

Mz9Pa x( ) if x B 3u−≥ if x lt≤ σsP x( )x B 3u−( )−[ ]2

6⋅, 0,

, 0,

:=

Mz9Pb x( ) if x lt eb+≥ if x B≤ σ1s σsP x( )−( )B x−( )2

3⋅ σsP x( )

B x−( )2

2⋅+, 0,

, 0,

:=

Mz9P x( ) Mz9Pa x( ) Mz9Pb x( )+:=

Mz9 x( ) if eB6

≤ Mz9T x( ), Mz9P x( ),

1⋅ m:=

Mz x( ) Mz1 x( ) Mz2 x( )+ Mz3 x( )+ Mz4 x( )+ Mz5 x( )+ Mz6 x( )+ Mz7 x( )+ Mz8 x( )+ Mz9 x( )+:=

k 0 13..:= Xk if k 6≤lt6

k⋅, lt eb+B lt− eb−

4k 9−( )⋅+,

:=

X7 X6 0.0001m+:= X8 X9 0.00001m−:=

h 0 11..:= xh if h 6≤ Xh, if h 11≤ Xh 2+, 0, ( ), ( ):=

4.9.4.- Resumen de flexión en la zapata

Md Mz X6( ) 2.018− tonf m⋅⋅=:=

Mc Mz X9( ) 288.19 tonf m⋅⋅=:=xh

m0

0.1

0.2

0.3

0.3

0.4

0.5

1.5

4.5

7.5

10.5

13.5

=Mz xh( )tonf m⋅

0-0.1

-0.2

-0.5

-0.9

-1.4

-2

288.2

160.8

70.9

17.6

0

=

16/19

Diseño Muro de Contención 4.10.- Cálculo de armadura interior para el muro en voladizo.

Para efectos prácticos se tomará en el cálculo en rotura un factor de mayoración de momento, para determinar el momento último, igual a:

γmay 1.5:=

em y( ) ec H ez− y−( ) tan αi( ) tan αe( )+( )⋅+:= Espesor a la altura "y"

αj0.9 fy2

⋅

1.7 fc⋅ 1.0⋅:= βj 0.9 fy⋅ em Yj( ) rec−( )⋅:= γj γmay

Mm Yj( )1m

⋅:=

Asnecj

βj βj( )2 4 αj⋅ γj⋅−−

2 αj⋅:= Armadura necesaria por cálculo

Asminf j14fy

em Yj( ) rec−( )⋅kgf

cm2⋅:= Armadura mínima en flexión.

Asretj23

0.0018⋅ em Yj( ) rec−( )⋅:= Armadura mínima de retracción.

As1j if Asnecj Asminf j< if 1.33 Asnecj Asminf j< 1.33 Asnecj, Asminf j, ( ), Asnecj, ( ):=

Asj if As1j Asretj< Asretj, As1j, ( ):= Armadura definitiva de diseño.

0 30 60 90 120 1500

5

10

15Armadura requerida muro

Armadura

Altu

ra Yj

m

Asj

cm2

m

Asj

33.8

12

18.1

29.3

42.3

57.1

73.6

91.7

111.4

132.8

cm2

m⋅

=Yj

10.79.6

8.5

7.5

6.4

5.3

4.3

3.2

2.1

1.1

0

m

=

4.11.- Cálculo de armaduras en zapatas

Para efectos prácticos se tomará en el cálculo en rotura un factor de mayoración de momento, para determinar el momento último, igual a:

γmay 1.5:=

αk0.9 fy2

⋅

1.7 fc⋅ 1.0⋅:= βk 0.9 fy⋅ ez rec−( )⋅:= γk γmay

Mz Xk( )1m

⋅:=

17/19


Asneck

βk βk( )2 4 αk⋅ γk⋅−−

2 αk⋅:= Armadura necesaria por cálculo

Asminf k14fy

ez rec−( )⋅kgf

cm2⋅:= Armadura mínima en flexión.

Asretk23

0.0018⋅ ez rec−( )⋅:= Armadura mínima de retracción.

Asr1k if Asneck Asminf k< if 1.33 Asneck Asminf k< 1.33 Asneck, Asminf k, ( ), Asneck, ( ):=

Asrk if Asr1k Asretk< Asretk, Asr1k, ( ):= Armadura definitiva de diseño.

Asr7 0cm2

m:= Asr8 0

cm2

m:=

h 0 11..:= xh if h 6≤ Xh, if h 11≤ Xh 2+, 0, ( ), ( ):=

Ash if h 6≤ Asrh, if h 11≤ Asrh 2+, 0, ( ), ( ):=

Ash

11.411.4

11.4

11.4

11.4

11.4

11.4

141.1

72.7

31.7

11.4

11.4

cm2

m⋅

=xh

00.1

0.2

0.3

0.3

0.4

0.5

1.5

4.5

7.5

10.5

13.5

m

=

0 2.7 5.4 8.11 10.81 13.510

163248648096

112128144160

Armadura requerida zapata

Armadura

Posi

ción Asrk

cm2

m

Xk

m

18/19


4.12.- Diseño diente de hormigón para control de deslizamiento

4.12.1.- Esfuerzos sobre el diente

Máxima fuerza deslizante estática: FDEp 1.5Fde Fre Ep−( )− 17.27 tonf⋅=:=

Máxima fuerza deslizante dinámica: FDSp 1.2Fds Frs Eps−( )− 35.19 tonf⋅=:=

Esfuerzo máximo sobre el diente: FD max FDEp FDSp, ( ) 35.19 tonf⋅=:=

Esfuerzo de corte último: Vu 1.7 FD⋅ 59.82 tonf⋅=:=

4.12.2.- Diseño al corte

Resistencia reducida al corte del hormigón:ϕvc 0.8516

fc⋅ MPa0.5⋅ 7.15

kgf

cm2⋅=:=

Espesor mínimo requerido del diente: edVu

100cm ϕvc⋅rec+ 0.886 m=:=

Se adopta espesor de diente de 100 cm para dar continuidad al muro en la vertical.

4.12.3.- Cálculo de la Altura del diente

Empuje estático sobre el diente: EEd FDEp 17.27 tonf⋅=:=

Empuje dinámico sobre el diente: ESd FDSp 35.19 tonf⋅=:=

Altura mínima requerida: hdreq max2EEd

γs Kp⋅ 1⋅ m2ESd

γs Kps⋅ 1 Kv−( )⋅ 1⋅ m,

3.97 m=:=

Se adopta altura de diente de 150 cm.

4.12.4.- Diseño a Flexión del diente

Momento último sobre el diente: Mud Vu23

⋅ 1.5⋅ m 59.82 tonf m⋅⋅=:=

α10.9 fy2

⋅

1.7 fc⋅ 1.0⋅37.36

tonf

cm2⋅=:= β1 0.9 fy⋅ 100cm rec−( )⋅ 35910

tonfm

⋅=:= γ1Mud1m

:=

Asnec1β1 β12 4 α1⋅ γ1⋅−−

2 α1⋅16.96

cm2

m⋅=:= Armadura necesaria por cálculo

Asminf114fy

100cm rec−( )⋅kgf

cm2⋅ 31.67

cm2

m⋅=:= Armadura mínima en flexión.

Asret1 0.0018 100cm rec−( )⋅ 17.1cm2

m⋅=:= Armadura mínima de retracción.

Asr11 if Asnec1 Asminf1< if 1.33Asnec1 Asminf1< 1.33Asnec1, Asminf1, ( ), Asnec1, ( ):=

Asr12 max Asr11 Asret1, ( ) 22.55cm2

m⋅=:= Armadura definitiva de diseño.

19/19

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