Muros Albañilería Armada y Confinada_Software

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Universidad Austral de Chile Facultad de Ciencias de la Ingeniería Escuela de Ingeniería Civil en Obras Civiles “CREACIÓN DE UN PROGRAMA COMPUTACIONAL EN LENGUAJE PHP PARA EL DISEÑO ASISTIDO DE MUROS DE ALBAÑILERIA ARMADA Y CONFINADA” Tesis para optar al Título de: Ingeniero Civil en Obras Civiles Profesor Patrocinante: Sr. Alejandro Niño Solís Ingeniero Civil. Profesor Informante: Sr. Adolfo Castro Bustamante Ingeniero Civil. M.Sc. en Ingeniería Civil. Especialidad Estructuras. Profesor Informante: Sr. José Soto Miranda Ingeniero Civil. M.Sc. en Ingeniería Civil. Mención Ingeniería Sísmica CARLOS ALBERTO FUENTEALBA ARIAS VALDIVIA - CHILE 2008

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  • Universidad Austral de Chile

    Facultad de Ciencias de la Ingeniera Escuela de Ingeniera Civil en Obras Civiles

    CREACIN DE UN PROGRAMA COMPUTACIONAL EN LENGUAJE PHP PARA EL DISEO ASISTIDO DE MUROS

    DE ALBAILERIA ARMADA Y CONFINADA

    Tesis para optar al Ttulo de: Ingeniero Civil en Obras Civiles Profesor Patrocinante: Sr. Alejandro Nio Sols Ingeniero Civil. Profesor Informante: Sr. Adolfo Castro Bustamante Ingeniero Civil. M.Sc. en Ingeniera Civil. Especialidad Estructuras. Profesor Informante: Sr. Jos Soto Miranda Ingeniero Civil. M.Sc. en Ingeniera Civil. Mencin Ingeniera Ssmica

    CARLOS ALBERTO FUENTEALBA ARIAS VALDIVIA - CHILE

    2008

  • AGRADECIMIENTOS

    Quiero aprovechar este pequeo segmento en esta tesis para agradecer primero que

    todo a mi familia, que me ha apoyado en todos estos aos de arduo estudio y dedicacin, que

    culminan con la presentacin de esta tesis.

    En segundo lugar quiero agradecer al Sr. Jos Torres Herrera (Ingeniero Civil Usach),

    quien en forma muy dedicada ha atendido a mis innumerables consultas en diversos mbitos

    de la Ingeniera Civil, adems de facilitarme sin problema alguno diversa bibliografa que

    utilic para desarrollar la presente tesis.

    En tercer lugar quiero agradecer al profesor Alejandro Nio (Ingeniero Civil Uach)

    por todo el tiempo invertido en consultas y el apoyo bibliogrfico que me otorg.

    Por ltimo quiero agradecer a todos los profesores de la Facultad de Ciencias de la

    Ingeniera de la Universidad Austral de Chile que me formaron como Ingeniero Civil e

    hicieron que mi sueo desde pequeo se hiciera realidad.

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    INDICE GENERAL

    ndice General

    Resumen

    Summary

    CAPITULO I INTRODUCCION

    1.1 Presentacin del problema

    1.2 Objetivos

    1.3 Metodologa

    1.4 Sobre el lenguaje PHP

    CAPITULO II GENERALIDADES

    2.1 Objetivo de un diseo estructural

    2.2 Seguridad y control de los elementos resistentes

    2.3 Resistencia de los elementos resistentes

    2.3.1 Diseo elstico de tensiones admisibles

    2.3.2 Estados de cargas para el diseo elstico

    CAPITILO III ALBAILERIA ARMADA

    3.1 Disposiciones de diseo de la NCh 1928 Of.93

    3.2 Flexin en el muro

    3.2.1. Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.2.2. Flexin simple en el plano del muro

    3.2.2.1 Flexin simple con armadura de compresin

    3.2.2.2 Flexin simple sin armadura de compresin

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    3.2.2.3 Mtodo simple por aplicacin del limitante

    3.2.2.4 Ecuaciones para el clculo directo de enfierraduras

    3.2.2.5 Limitante en balance

    3.2.2.6 Flexin simple en seccin rectangular con armadura simtrica

    3.2.3. Flexin compuesta en el plano del muro

    3.2.3.1 Flexin compuesta con armadura de compresin considerada

    3.2.3.2 Flexin compuesta sin armadura de compresin considerada

    3.2.3.3 Solicitacin de la situacin de balance

    3.2.3.4 Flexin compuesta sobre el limitante en balance

    3.2.3.5 Ecuaciones para el clculo directo de enfierraduras

    3.2.3.6 Flexin compuesta con armadura simtrica

    3.2.4. Flexin compuesta en el plano perpendicular al plano

    3.2.4.1 Vaciamiento

    3.2.4.2 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.2.4.3 Calculo de tensiones de trabajo en la seccin a considerar

    3.2.4.4 Control de vaciamiento

    3.2.4.5 Sobre la carga ssmica actuante

    3.3 Corte en el muro

    3.3.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.4 Compresin axial

    3.4.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.5 Deformaciones

    3.5.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.6 Dimensiones lmite del muro

    3.6.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.7 Armaduras

    3.7.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    3.8 Unidades

    3.8.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

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    3.9 Mortero

    3.9.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93

    CAPITULO IV ALBAILERIA CONFINADA

    4.1 Disposiciones de diseo de la NCh 2123 Of.97

    4.2 Flexin en el muro

    4.2.1 Flexin simple en el plano del muro

    4.2.2 Flexin compuesta en el plano del muro

    4.2.3 Flexin compuesta en el plano perpendicular al plano del muro

    4.3 Corte en el muro

    4.4 Compresin axial en el muro

    4.5 Deformaciones

    4.5.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    4.6 Dimensiones lmite del muro

    4.6.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    4.7 Armaduras en aberturas del muro

    4.7.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    4.8 Unidades

    4.8.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    4.9 Anlisis elemento pilar

    4.9.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    4.9.2 Armadura de refuerzo

    4.9.2.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    4.9.3 Hormign en el pilar

    4.9.3.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    5 Anlisis elemento cadena

    5.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    5.2 Calculo enfierradura longitudinal cadena

    5.2.1 Flexin simple sin armadura de compresin considerada

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    5.2.2 Vigas peraltadas y deprimidas

    5.2.3 Etapas del diseo de una viga con armadura simple

    5.3 Calculo enfierradura transversal cadena

    5.4 Deformacin en la cadena

    5.5 Hormign en la cadena

    5.5.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97

    5.5.2 Tensiones admisibles

    CAPITULO V DISEO CLASICO EN ALBAILERIA ARMADA

    SEGN LA NCh 1928 Of.93

    5.1 Diseo en albaileria armada realizado a mano

    (relleno total)

    5.2 Diseo en albaileria armada realizado a mano

    (relleno parcial)

    CAPITULO VI DISEO CLASICO EN ALBAILERIA CONFINADA

    SEGN LA NCh 2123 Of.97

    6.1 Diseo en albaileria confinada realizado a mano

    CAPITULO VII DISEO ASISTIDO EN ALBAILERIA ARMADA

    SEGN LA NCh 1928 Of.93

    7.1 Diseo asistido en albaileria armada segn la NCh 1928 Of.93

    (relleno total)

    7.2 Diseo asistido en albaileria armada segn la NCh 1928 Of.93

    (relleno parcial)

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    CAPITULO VIII DISEO ASISTIDO EN ALBAILERIA CONFINADA

    SEGN LA NCh 2123 Of.97

    8.1 Diseo asistido en albaileria confinada segn la NCh 2123 Of.97

    CAPITULO IX ANALISIS COMPARATIVO ENTRE EL PROGRAMA

    COMPUTACIONAL Y BIBLIOGRAFIA EXISTENTE

    9.1 Ejemplo extrado de bibliografa existente

    9.2 Ejemplo resuelto con programa computacional

    9.3 Tabla comparativa mostrando resultados entre bibliografa existente

    y programa computacional

    CAPITULO X CONCLUSIONES

    BIBLIOGRAFIA

    ANEXO A Sobre la NCh 1928 Of.93 y NCh 2123 Of.97

    ANEXO B Funciones necesarias para el clculo de enfierraduras

    en flexin simple y compuesta

    ANEXO C Funciones necesarias para el clculo en enfierradura

    simtrica en flexin compuesta

    ANEXO D Diagrama de flujo programa computacional CAFARC

    ANEXO E Manual de ayuda programa computacional CAFARC

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    RESUMEN

    El objetivo fundamental de esta tesis es crear un programa computacional para el

    diseo de muros de albailera, con el propsito de disminuir el tiempo utilizado en el diseo

    de stos. Esta tesis fue realizada en la Facultad de Ciencias de la Ingeniera de la Universidad

    Austral de Chile entre los aos 2007 y 2008.

    Esta tesis cuenta en primera instancia con una revisin exhaustiva del estado del arte

    en lo que respecta al diseo de muros de albailera armada y confinada basado en las normas

    NCh 1928 Of.93 y NCh 2123 Of.97. Tambin se presentan metodologas referentes al

    clculo de enfierraduras sometidas a flexo-compresin.

    En lo que respecta a la entrega de resultados, se compararon ejemplos de diseo de

    bibliografa existente con ejemplos hechos con el programa computacional implementado y

    finalmente una tabla comparativa, en donde se muestran las diferencias entre ambas

    metodologas. Finalmente se presentan las respectivas conclusiones de esta tesis, en donde

    tambin se explican las diferencias entre los resultados arrojados por el programa

    implementado y la bibliografa existente.

    SUMMARY

    The main objective of this thesis is to create a computer program for the design of

    masonry walls, with the purpose of decreasing the time used in the design of these. This

    thesis was carried out at the Faculty of Sciences of the Engineering of the Austral University

    of Chile, between the years 2007 and 2008.

    The present thesis has in first place an exhaustive revision of the state of the art of

    wall designing of reinforced masonry and confined based in the NCh 1928 Of.93 and NCh

    2123 Of.97. Also this thesis shows the methodologies relating to the calculation of the

    stresses in the bars steel.

    With regard to the delivery of results, they were compared examples of design present

    in the bibliography with examples made by the computer program implemented and finally a

    comparative table, which shows the differences between both methodologies. Finally the

    respective conclusions of this thesis are presented, where also are explained the differences

    between the results thrown by the implemented program and the existing bibliography.

  • CAPITULO I

    1

    1.1. PRESENTACION DEL PROBLEMA

    El emergente mercado de la construccin de obras y estructuras en general, obliga a

    los ingenieros civiles encargados del diseo de estos proyectos, a realizar los respectivos

    clculos (diseo de los distintos elementos resistentes que componen las estructuras, los

    cuales estn sometidos a distintos tipos de esfuerzos, e interacciones entre ellos) en periodos

    de tiempo realmente cortos. Debido a esto, los profesionales del rea recurren al uso de

    programas ampliamente difundidos para calcular los esfuerzos que solicitan a estos

    elementos, as como tambin para el respectivo diseo de los mismos. Este es el caso de

    SAP2000, ETABS, RAM ADVANCE, CYPECAD, etc. Sin embargo el uso de estos

    programas tiene sus limitaciones, por ejemplo la enorme cantidad de conceptos que debe

    manejar el usuario para poder entender los parmetros que se deben ingresar, hace de estos

    programas una suerte de caja negra en cuanto al ingreso de resultados. Otro de los

    inconvenientes de estos programas es el elevado costo que posee su licencia.

    La principal caracterstica de SAP2000 es su interfaz grfica, herramienta potente y

    amigable. Dispone tambin de herramientas para visualizacin en 3D. Sin embargo, esta

    cualidad implica quizs un menor control y menores posibilidades que otros programas

    (Calvo J. et al., 2000).

    En forma ms especfica la construccin de obras en base a albailera armada y/o

    albailera confinada ha tenido un significativo aumento en los ltimos aos. Las normas

    chilenas NCh 1928.Of. 93 y NCh 2123 Of.97, hacen referencia al diseo de muros de

    albailera armada y albailera confinada respectivamente.

    Otra de las importantes limitaciones que poseen los programas computacionales

    anteriormente mencionados, es que los mdulos de diseo de albailera solo abarcan las

    normas de pases tales como Estados Unidos, Blgica, etc., pero las normas chilenas no estn

    incluidas en estos. sea, con lo anteriormente dicho, el diseo de muros de albailera

    C A P I T U L O I

    INTRODUCCION

  • CAPITULO I

    2

    quedara fuera del alcance de los programas anteriormente mencionados segn los criterios

    de las normas chilenas. Por lo antes expuesto, se propone la elaboracin de un programa

    computacional para el diseo asistido de muros de albailera armada y albailera confinada

    segn el criterio de las normas NCh 1928.Of. 93 y NCh 2123 Of.97, respectivamente. Los

    datos sern ingresados al programa a travs de la pantalla, as como tambin los resultados de

    ste sern vistos a travs de sta. La implementacin de un programa de las caractersticas

    antes mencionadas sera de gran utilidad para los calculistas que se dedican al diseo de

    elementos estructurales en base a albailera armada y confinada, pues minimizara de forma

    considerable el tiempo que se utiliza para realizar todos los chequeos que disponen las normas

    chilenas antes sealadas. Adems, con lo anteriormente dicho se lograr que el trabajo del

    calculista sea mucho ms eficiente.

  • CAPITULO I

    3

    1.2. OBJETIVOS

    1.2.1. OBJETIVO GENERAL

    El objetivo de esta tesis, es crear un programa computacional que realice el diseo

    de muros de albailera, tanto armada como confinada en base a la NCh 1928 Of93

    Albaileria armada Requisitos para el diseo y clculo y a la NCh 2123.Of97

    Albaileria confinada Requisitos de diseo y clculo respectivamente.

    1.2.2. OBJETIVOS ESPECIFICOS

    a) Minimizar el tiempo empleado en las verificaciones que establece la normativa

    chilena, en lo que respecta al diseo de muros de albailera armada y confinada.

    b) Ayudar en la tarea del calculista, debido a que realizar a mano la gran cantidad de

    chequeos que debe cumplir un diseo en albailera, hace de esta tarea por decirlo

    menos tediosa.

    c) Crear una interface simple y amigable, con el objetivo de dotar al usuario con toda la

    informacin necesaria sobre las variables de entrada, disminuyendo as la posibilidad

    de cometer algn error debido al poco conocimiento de alguna variable.

    d) Dar la posibilidad al usuario de crear una memoria de clculo con los chequeos que

    establecen las normas chilenas para el diseo de un muro de albailera. Para ello el

    usuario cuenta con todas las herramientas que posee Internet Explorer, ya sea,

    imprimir, convertir en diferentes formatos, configurar opciones de impresin, etc.

    e) Realizar un programa en lnea, con el objetivo que cualquier persona y en cualquier

    lugar tenga acceso a este programa computacional.

  • CAPITULO I

    4

    1.3. METODOLOGIA

    1.3.1. REVISIN DE REQUERIMIENTOS GENERALES Y METODOLOGA DE DISEO PARA LA ALBAILERIA ARMADA EN BASE A LA NCh 1928

    Of.93.

    Consiste en revisar en forma exhaustiva todos los puntos que seala la norma NCh

    1928. Of93, para realizar el diseo de muros de albailera armada.

    1.3.2. REVISIN DE REQUERIMIENTOS GENERALES Y METODOLOGA DE DISEO PARA LA ALBAILERIA CONFINADA EN BASE A LA NCh 2123

    Of.97.

    Consiste en revisar en forma exhaustiva todos los puntos que seala la norma NCh

    2123. Of97, para realizar el diseo de muros de albailera confinada.

    1.3.3. ESTABLECER METODOLOGA DE DISEO.

    Una vez revisada la teora y normas de diseo, se procede a establecer la metodologa

    de diseo para los muros de albailera armada y confinada, presentada en esta tesis.

    1.3.4. VERIFICACIN DE LA METODOLOGA DE DISEO.

    En esta etapa se verificar la metodologa de diseo establecida para cada tipo de

    albailera, para ver si los resultados son coherentes. Para ello se realizarn ejemplos

    para cada uno de los casos, en forma manual, y en caso de haber errores se procede a

    corregirlos.

  • CAPITULO I

    5

    1.3.5. EJECUCIN DE LA PROGRAMACIN.

    En esta etapa se procede a la programacin de la metodologa de diseo para cada tipo

    de albailera. En esta tesis se programar en lenguaje PHP. El programa que se

    pretende realizar, ser capaz de entregar los resultados en pantalla de distintas

    verificaciones que estipulan las normas de albailera chilena, adems ser capaz de

    recomendar un cierto tipo de enfierradura para cada tipo de albailera, as como

    tambin verlas en forma grfica.

    1.3.6. REVISIN Y CORRECCIN DEL PROGRAMA.

    En esta etapa se har una comparacin entre los valores obtenidos con el programa y

    en forma manual, aplicando en cada una los criterios de las normas.

    1.3.7. EVALUACIN DEL PROGRAMA.

    En esta etapa se someter a prueba el programa realizado, comparando los resultados

    que se obtienen de ste, con el clculo manual. Tambin se ver la eficacia y el

    porcentaje de error que entregan los resultados del programa.

  • CAPITULO I

    6

    1.4. SOBRE EL LENGUAJE DE PROGRAMACION PHP

    PHP significa Hypertext Preprocessor, aunque originalmente significaba Personal Home

    Page Tools.

    PHP es un lenguaje de programacin Web, para la creacin de pginas dinmicas. A

    diferencia de otros lenguajes para la Web, PHP es un lenguaje desde el servidor, esto

    significa, que se ejecuta en el servidor donde se encuentran alojadas las pginas Web del sitio.

    Una ventaja de este tipo de aplicaciones desde el servidor, es que todas las pginas

    podrn ser vistas sin ningn problema de configuracin, independientemente de la versin

    tipo de navegador que el usuario est utilizando (Pavn, 2006).

  • CAPITULO II

    7

    2.1. OBJETIVO DE UN DISEO ESTRUCTURAL

    El objetivo fundamental de un buen diseo estructural, es dotar a la estructura de las

    caractersticas necesarias, para que sta pueda enfrentar de una forma confiable tanto las

    solicitaciones de servicio (peso propio y sobrecarga) como tambin solicitaciones eventuales

    (sismo, nieve, viento, etc.).

    El objetivo final del diseo estructural, es proveer una estructura segura y econmica

    para satisfacer una necesidad especfica. Por seguridad entendemos, la capacidad resistente

    de la estructura para servir sin fallas durante su vida til de servicio (Riddell, 1999).

    Tambin se entiende que toda estructura se ir degradando inevitablemente con el paso

    del tiempo, hasta alcanzar el final de su vida til de servicio. Esto no significa, que una vez

    alcanzado tal punto, la estructura deba ser demolida, sino que ya no compensa proceder a

    nuevas reparaciones, debido al alto costo de las mismas (Jimnez P. et al., 2000).

    C A P I T U L O II

    GENERALIDADES

  • CAPITULO II

    8

    2.2. SEGURIDAD Y CONTROL DE LOS ELEMENTOS RESISTENTES

    Toda estructura una vez construida, ofrece multitud de caractersticas, ms menos

    significativas, que difieren de las proyectadas, las armaduras no estn exactamente en la

    posicin definida por clculo, el hormign no tiene exactamente la resistencia especificada,

    las dimensiones de las piezas no coinciden con las previstas, etc.

    El grado de concordancia de la estructura real con la proyectada es un ndice de

    calidad de ejecucin de aqulla. Cuanto ms alto sea el control, mayor ser dicho ndice, ms

    fielmente se cumplirn las hiptesis supuestas por el proyectista, y, por consiguiente, los

    coeficientes de seguridad reales que presente la estructura se aproximarn ms a los tericos.

    Por el contrario, en una obra mal controlada las desviaciones sern grandes, y en

    consecuencia, se vern mermados los mrgenes reales de seguridad.

    Existe, por consiguiente una relacin entre la seguridad real de la estructura y el

    control ejercido durante la construccin de la misma. Si el proyectista impone para la

    ejecucin, un control cuidadoso y sistemtico, podr utilizar en sus clculos valores ms

    afinados para los coeficientes de seguridad; contrariamente, el proyectista podr tolerar

    controles de ejecucin menos cuidados si, habiendo previsto en sus clculos, se ha cubierto

    mediante el oportuno aumento de los coeficientes (Jimnez P. et al., 1978).

    Todo lo anteriormente sealado, debido a que en las normas de albailera se

    establecen los valores de las resistencias de los materiales en funcin de la inspeccin tcnica

    que se le aplique a los elementos estructurales.

    En trminos generales puede decirse que las normas enfocan el problema de seguridad

    segn dos filosofas criterios diferentes de diseo: el mtodo de diseo elstico de

    tensiones admisibles y el mtodo a la rotura de capacidad ltima (Riddell, 1999).

  • CAPITULO II

    9

    2.3. RESISTENCIA DE LOS ELEMENTOS RESISTENTES

    2.3.1. DISEO ELASTICO O DE TENSIONES ADMISIBLES

    Sea una seccin sometida al esfuerzo S, el que se ha obtenido combinando las diversas

    cargas que actan sobre la estructura, y sea R la resistencia del material correspondiente al

    esfuerzo considerado; el criterio de diseo de tensiones admisibles establece que debe

    cumplirse:

    En donde FS es el factor de seguridad convencional, y R debe interpretarse como un

    valor caracterstico de la resistencia, es decir, uno de alta probabilidad de ser satisfecho.

    Tpicamente, el criterio de las tensiones admisibles no se aplica en trminos de esfuerzos

    internos sino a nivel de tensiones internas en una seccin (Riddell, 1999).

    RSFS

  • CAPITULO II

    10

    2.3.2. ESTADOS DE CARGA PARA DISEO DE TENSIONES ADMISIBLES

    Si A representa el estado de combinacin de cargas, los estados siguientes son tpicos de

    varias normas que usan este criterio de diseo:

    A= D + L A = D + L + 0.75W A = D + L 0.75E A = D 0.75E

    En donde:

    D: Cargas permanentes E: Cargas ssmicas L: Sobrecargas W: Cargas por viento

    Combinaciones de carga para el diseo de elementos resistentes por el mtodo de las tensiones admisibles.

    (Fuente: Ridell R., 1999).

  • CAPITULO III

    11

    3.1. DISPOSICIONES DE DISEO DE LA NCh 1928 Of.93

    Consultar anexo A.1

    3.2. FLEXION EN EL MURO.

    3.2.1. Con respecto a la NCh 1928 Of.93 (para flexin simple y compuesta en el plano

    del muro)

    Consultar anexo A.2

    C A P I T U L O III

    ALBAILERIA ARMADA

  • CAPITULO III

    12

    Hmuro

    3.2.2 Flexin simple en el plano del muro.

    Fig. 1.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera armada con bloque de hormign,

    mostrando las cargas que lo solicitan en su plano. (Fuente: Propia).

    La nomenclatura utilizada para el clculo de la flexin simple ser la que se muestra en la

    siguiente figura.

    Fig. 2.- Tensiones unitarias y fuerzas sobre una seccin sometida a flexin simple. (Fuente: Lucero A.,

    1987).

    En donde:

    V: Esfuerzo de corte en el plano del muro.

    M: Momento externo en el plano del muro.

    V

    MLmuro

  • CAPITULO III

    13

    1 * * *( ) '* ' *2

    fm b kd A fs As fs+ =

    1 * * *( )*( ) '* '*( ')2 3

    kdfm b kd d A fs d d M + =

    3.2.2.1 Flexin simple con armadura de compresin considerada.

    Ecuaciones de equilibrio:

    (1*)

    (2*)

    Considerando las deformaciones unitarias , , `im is is , la hiptesis de Bernoulli de la

    conservacin de las secciones planas, se obtiene:

  • CAPITULO III

    14

    fmimEm

    = '' fsisEs

    = fsisEs

    = EsnEm

    =

    * '' (1 )

    n fm fs fskd kd d d k

    = =

    (1 )* *( )

    * * *( ) ( )' * *( ) ( )

    kfs n fmk

    n fm d k kfs n fmkd k

    = = =

    2 ( )'* * *2(1 ) (1 )k kn nk k

    + =

    2 2

    * * (1 )*(1 ) * * * * ( )k fs M M n kfmn k b d fm b d fs k

    = =

    2 2

    * ** * 1 * *M n k M

    b d fs k b d fm=

    (3*)

    Pero se sabe tambin que:

    Reemplazando las ecuaciones (4*) en las ecuaciones (3*), se obtiene lo siguiente:

    Luego se deduce lo siguiente:

    Reemplazando las ecuaciones (6*) y (7*) en las ecuaciones (1*) y (2*), se obtiene lo

    siguiente:

    De la ecuacin (1*) se obtiene:

    (8*)

    De la ecuacin (2*) se obtiene:

    (9*)

    Adems como:

    (10*)

    Reordenando la ecuacin (10*):

    (4*)

    (5*)

    (6*)

    (7*)

    ''

    im is iskd kd d d kd

    = =

    2

    1 ( )*(1 ) 1* *(1 ) '* * *2 3 *

    k k Mk nk b d fm

    + =

  • CAPITULO III

    15

    2

    2

    *(1 ) ( )*(1 ) *3 '* *2*(1 ) (1 ) * *

    kk k M nnk k b d fs

    + =

    ( )*(1 )( )

    ( )*(1 )(1 )

    ( )(1 )

    kBk

    kDk

    kFk

    DCFQE

    = = =

    =

    =

    Se obtiene la siguiente ecuacin:

    (11*)

    Definiendo las siguientes funciones:

    (12*)

    Las funciones (12*) son fciles de tabular y se entregan en el anexo B.

    2

    2

    *(1 )3

    2

    *(1 )3

    2*(1 )

    2*(1 )

    kkAo

    kkC

    kkE

    kAoJBCSE

    =

    = = =

    =

  • CAPITULO III

    16

    2'* * * *MAo n B

    b d fm+ =

    **(1 )

    n fm fskd d k

    =

    1

    1*

    k fsn fm

    =+

    En consecuencia podemos dejar establecidas las siguientes 3 ecuaciones:

    (13*)

    (14*)

    (15*)

    Anteriormente quedo establecido:

    (16*)

    De la ecuacin (16*) podemos determinar la profundidad de la fibra neutra para tensiones de

    traccin y compresin mximas ( fs y fm ) conocidas:

    (17*)

    Si se conocen las tensiones de la albailera y el acero, en general las tensiones admisibles

    (dadas por Tabla 1 Tensiones admisibles y mdulos de elasticidad en elementos de

    albailera armada de la NCh 1928. Of93.), se podr usar la ecuacin (17*) para calcular k .

    A continuacin se presentan diversos casos de clculo de fierro y tambin de verificacin de

    tensiones.

    '* * *E n F n + = (13*)

    2

    *'* ** *M nC n D

    b d fs+ =

  • CAPITULO III

    17

    , , , ', , ,b d n fs Fsadm fm Fmadm = =

    , , , , , ,b d M n fs Fsadm fm Fmadm = =

    , , , ', , ,b d M n fs Fsadm =

    Caso 1.

    Datos:

    Solucin:

    Calcular k (con Fsadm y Fmadm ) con la ecuacin (17*) Calcular las funciones E y F (ecuaciones (12*)). De la ecuacin (13*) se obtiene n

    Caso 2.

    Datos:

    Solucin:

    Calcular k (con Fsadm y Fmadm ) con la ecuacin (17*)

    Calcular las funciones Ao y B (ecuaciones (12*)). La ecuacin (14*) otorga 'n . De la ecuacin (13*) se obtiene n .

    Caso 3.

    Datos:

    Solucin:

    La ecuacin (15*) dar el valor de k . Una vez obtenido el valor de k , calcular las funciones E y F (ecuaciones (12*)). La ecuacin (13*) otorgar la armadura de traccin . De la ecuacin (14*) se obtendr la tensin de compresin en la albailera fm . Una vez obtenida fm , se deber comparar con la tensin admisible (Tabla 1

    Tensiones admisibles y mdulos de elasticidad en elementos de albailera armada de

    la NCh 1928. Of93).

  • CAPITULO III

    18

    , , , ', , ,b d M n

    2

    2

    2

    2

    ( )'* *2*(1 ) (1 )

    2* '* *( ) * *2*(1 ) 02* *( ')* 2* *( '* ) 0

    2*( '* )*( ')* 1 1*( ')

    k kn nk k

    k n k n kk n k n

    k nn

    + = + = + + + =

    + = + + +

    Caso 4.

    Datos:

    Es el caso de verificacin en lo que se busca son las tensiones de trabajo para compararlas con

    las tensiones admisibles.

    La ecuacin (13*) expresada con sus trminos en trminos de k es:

    (18*)

    Las ecuaciones (14*) y (15*), previo al clculo de la ecuacin (18*), darn las tensiones fm y

    fs . Luego de esto las tensiones fm y fs se debern comparar con las tensiones admisibles

    (Tabla 1 Tensiones admisibles y mdulos de elasticidad en elementos de albailera armada

    de la NCh 1928. Of93).

    Observacin: Los casos que necesitan de las relaciones (14*) y (15*), exigen un clculo

    de tanteos en la determinacin de k, se facilita el trabajo usando las funciones A, B,

    C.

  • CAPITULO III

    19

    2

    2

    **

    * **

    * *

    E nM nC

    b d fsM nAo

    b d fm

    ==

    =

    , , , , ,b d M n fs Fsadm =

    2

    ** *

    M nb d Fsadm

    2

    1**Mfm

    b d Ao=

    En

    =

    * *Atraccion b d=

    , , , , ,b d M n fm Fmadm =

    2

    1**M

    b d Fmadm

    3.2.2.2 Flexin simple sin armadura de compresin.

    Las ecuaciones (13*), (14*) y (15*) se convierten ahora en las siguientes ecuaciones:

    (19*)

    (20*)

    (21*)

    A continuacin se presentan algunos casos en donde se calcula la enfierradura y las tensiones

    en la albailera y el acero. En estos casos se utilizarn las tablas del anexo B.

    Caso 1.

    Datos:

    Solucin:

    Calculando el valor , luego buscando en la columna de C (

    Tabla N1B) este valor, se encontrar el valor de k .

    Con el valor de k se deber calcular el valor de Ao y E . La tensin en la albailera ser

    El acero en traccin ser :

    La seccin de acero en traccin ser :

    Caso 2.

    Datos:

    Solucin:

    Calculando el valor , luego buscando en la columna de Ao (

  • CAPITULO III

    20

    En

    =

    * *Atraccion b d=

    2

    1**Mfs

    b d C=

    Tabla N3B) este valor, se encontrar el valor de k .

    Con el valor de k se deber calcular el valor de C y E . La tensin en el acero ser

    El acero en traccin ser :

    La seccin de acero en traccin ser :

  • CAPITULO III

    21

    1

    1*

    kb Fsadmn Fmadm

    =+

    Fsadm

    Fmadm

    Aob

    Cb

    Madm

    Limites de optimizacin.

    Se entender por situacin de Optimizacin de Balance, al estado tensional y de

    deformacin de la seccin, cuando la tensin mxima de compresin de la albailera es la

    admisible, y la tensin de traccin del acero es tambin la admisible, no existiendo armadura

    por compresin.

    En la situacin de balance, la profundidad de la fibra neutra se obtiene utilizando

    k kbalance kb= =

    En donde:

    : Tensin admisible en traccin del acero.

    : Tensin admisible en compresin de la albailera.

    El momento admisible en la situacin estudiada (balance) se obtiene de las ecuaciones (20*)

    (21*). En consecuencia el momento admisible en la situacin de balance es:

    (22*)

    (23*)

    En donde:

    : Funcin Ao , pero calculada con kb .

    : Funcin Cb pero calculada con kb . : Momento admisible en balance.

    Cb

    Aob

    Madm

    2

    2

    *( )*( * )

    *( )*( * )

    Aob Fmadm b dMadmn

    Cb Fsadm b dMadmn

    =

    =

  • CAPITULO III

    22

    1 * * *( * ) '* ' *2

    Fmadm b kb d A fs A Fsadm+ =

    1 ** * *( * )*( ) '* '*( ')2 3

    kb dFmadm b kb d d A fs d d M + =

    1 * * *( * ) *2

    Fmadm b kb d Ab Fsadm=

    21 * * *( * )*(1 )2 3

    kbFmadm b kb d Mb =

    * '* ' *Ab Fsadm A fs A Fsadm+ =

    '* '*( ')Mb A fs d d M+ =

    ''*( ')M MbA

    fs d d=

    ''* fsA Ab AFsadm

    = +

    3.2.2.3 Mtodo de clculo de la flexin simple por aplicacin del limitante en balance.

    Las ecuaciones de equilibrio (ecuaciones (1*) y (2*)) en situacin de tensiones ptimas para

    el acero y albailera (tensin admisible en traccin para el acero y tensin admisible en

    compresin para la albailera), son:

    (24*)

    Si consideramos ahora la misma situacin tensional de la albailera y el acero, pero sin

    armadura en compresin, el momento que recoja la seccin ser el de balance (Mb ), y la

    seccin de acero tambin ser la de balance ( Ab ). Las ecuaciones de equilibrio sern ahora:

    (26*)

    (27*)

    Si utilizamos las ecuaciones (26*) y (27*) en las ecuaciones (24*) y (25*), formamos las

    siguientes ecuaciones:

    (28*)

    (29*)

    Luego:

    (30*)

    (31*)

    (25*)

  • CAPITULO III

    23

    '' *(1 )

    '' * / :

    ' *1

    ' *1

    ' *

    fs fskd d d k

    kd dfs fs dd kdkfs fs

    kkbfs Fsadm

    kbfs Fsadm Fb

    = =

    = =

    =

    '* *( ')

    M MbAFb Fsadm d d

    = '*A Ab A Fb= +

    2* * *Mb Fmadm b d Aob=2* ** Fsadm b dMb Cb

    n=

    M Mb

    '* *( ')

    M MbAFb Fsadm d d

    =

    '*A Ab A Fb= +* *EbAb b d

    n=

    Si recordamos:

    /en la situacin de balance.

    Luego:

    (32*)

    (33*)

    En donde:

    (34*)

    (35*)

    A continuacin se muestran dos casos, en donde el clculo del fierro a compresin queda en

    funcin de y .

    Caso 1.

    M > Mb Calcular armadura de compresin 'A , con la formula:

    Calcular armadura en traccin A , con la formula: La armadura en traccin en balance ( con ' 0A = ) es:

    /En la situacin de balance/En la situacin de balance

  • CAPITULO III

    24

    Los valores Fb y Eb se obtienen de la tabla N4, entrando con el valor de kb .

    Caso 2.

    M < Mb No se colocar armadura en compresin.

    Solo se calcular armadura en traccin de acuerdo a alguno de los casos 1 2, del prrafo 3.2.2.2.- Flexin simple sin armadura de compresin.

  • CAPITULO III

    25

    1 '* *1 '* *

    n In Q

    += +

    ( * )*MA

    I d fs=

    *' *( * )*( * )

    M b dA Jn fm B d n

    =

    3.2.2.4 Ecuaciones generales de la flexin simple dispuesta para clculo directo de

    enfierraduras.

    Caso 1. Con armadura de compresin.

    Dividiendo las ecuaciones (13*) y (15*) y reemplazando por / *A b d , se obtienen las ecuaciones:

    (36*)

    (37*)

    Estas ecuaciones llevan a la siguiente ecuacin:

    (38*)

    La ecuacin (14*), poniendo AoJB

    = lleva a la ecuacin que permite calcular la armadura en compresin:

    (39*)

    Otra ecuacin alternativa para calcular la armadura en compresin se puede obtener tomando

    la ecuacin (15*) con DC

    = , entrega la relacin:

    (40*)

    '* *'* *

    C n DIE n F

    += +

    1 *' *( * )*( * )

    M b dAfs n D d n

    =

  • CAPITULO III

    26

    ( * )*MA

    S d fs=

    CSE

    =

    2* *Mfm

    Ao b d=

    2

    ** *M nfs

    C b d=

    Caso 2. Sin armadura de compresin (armadura de traccin en el limitante)

    La armadura en traccin se obtiene de la siguiente ecuacin:

    (41*)

    En donde:

    Las tensiones en la albailera y el acero son:

    (42*)

    (43*)

    El valor /k x d= , se obtendr despejando la funcin Ao C en alguna de las ecuaciones (42*) (43*) y utilizando la tablas 1B y 3B (Ver anexo B).

  • CAPITULO III

    27

    '*A Ab A Fb= +

    ** * * *( ')

    * *** * *( ')

    Mb MA FbSb d Fsadm Fb Fsadm d d

    M Mb M Sb d FsadmASb d Fsadm M M Fsadm d d

    = + = + +

    MMb

    =

    ( ') ( * * )** * (1 )*( ')

    M d d Sb dASb d Fsadm d d

    += + 1 M

    Mb+ =

    13

    Cb KbSbEb

    = =

    ** *MA

    Sb d Fs=

    1 *(1 )3

    (1 )(1 )

    kb

    + = +

    3.2.2.5 Limitante en balance. ( A> Ab )

    Esta es una situacin en la cual el acero en traccin esta bajo su tensin admisible, por esta

    razn A> Ab .

    El momento admisible en el limitante Mb y la armadura de compresin se calcularn con las

    formulas dadas para el caso. La armadura de traccin podr determinarse con una expresin

    directa que se determinar a continuacin (en el limitante).

    Recordando la ecuacin (33*):

    Si tomamos en cuenta las ecuaciones (32*) y (41*), la ecuacin (33*) se convierte en:

    Si llamamos: , podemos deducir que:

    Con:

    Pero tambin se sabe que: , con esto A se convierte en:

    En donde:

  • CAPITULO III

    28

    A continuacin se muestran algunos valores de

    Tabla 1.- Valores de la funcin (Fuente: Lucero A., 1987).

    Obviamente se puede tomar el valor 1 = , en el mayor nmero de casos del lado de la seguridad y sin ningn peligro de dficit. Luego la armadura en traccin es:

    0.15 1.019 10.159 10.128 10.0260.3 1.000 1.000 1.000 1.0000.45 0.981 0.984 0.987 0.9910.9 0.926 0.937 0.949 0.963

    kb 0.5 = 0.4 = 0.3 = 0.2 =

    * *MA

    Sb d Fs=

  • CAPITULO III

    29

    'A A=

    '* *A A

    b h b h = =

    *A

    b d = ''

    *A

    b d =

    2

    *max*

    S Mfmb h

    =

    1*J S =

    2

    *max **

    M nfs Jb h

    =

    3.2.2.6 Flexin simple en seccin rectangular con armadura simtrica.

    De las ecuaciones (13*), (14*) y (15*), podemos deducir que:

    En donde:

    , ya que es armadura simtrica. Adems:

    , a diferencia de antes en donde

    Adems ahora '/d h = , a diferencia de antes en donde '/d d = .

    En consecuencia la tensin mxima en la albailera es:

    (44*)

    Y la tensin de traccin mxima en el acero es:

    (45*)

    En donde:

    Nota: La tabla N2 entrega los valores de y S en trminos de *n .

    Nota: Los valores de maxfm y maxfs , deben ser comparados con los valores admisibles.

    2

    2* * *(1 (2* * )) (2* * )2*

    *(1 ) 2*( )*(1 2* )*( * )3

    n n n

    Sn

    = + =

    +

  • CAPITULO III

    30

    Tabla 2.- Valores de las funciones ,S y J para flexin simple en secciones rectangulares con armadura simtrica (Fuente: Lucero A., 1987).

    Nota: La tabla N2, est hecha para 0.08 = . Esta entrega los valores adimensionales ,S y J . Con estos se podr calcular la profundidad de la fibra neutra, la tensin mxima de compresin y la tensin

    mxima de traccin.

  • CAPITULO III

    31

    N

    Hmuro

    Lmuro

    3.2.3 Flexin Compuesta en plano del muro.

    Fig. 4.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera armada con bloque de hormign,

    mostrando las cargas que lo solicitan en su plano. (Fuente: Propia).

    La nomenclatura utilizada para el clculo de la flexin compuesta ser la que se muestra en la

    siguiente figura.

    Fig. 5.- Tensiones unitarias y fuerzas sobre una seccin sometida a flexin compuesta. (Fuente: Lucero A.,

    1987).

    En donde:

    N: Esfuerzo axial externo.

    V: Esfuerzo de corte en el plano del muro.

    M: Momento en el plano del muro.

    V

    M

    N

  • CAPITULO III

    32

    *0.5*( ')Mext M N d d= +

    1 * * *( ) '* ' *2

    fm b kd A fs fs A N+ =

    1 * * *( )*( ) '* '*( ')2 3

    kdfm b kd d A fs d d Mext + =

    3.2.3.1 Flexin compuesta con armadura de compresin considerada.

    El momento exterior respecto a la armadura de traccin es:

    (46*)

    Las funciones de equilibrio son:

    (47*)

    (48*)

  • CAPITULO III

    33

    * 1*N fs A A fs+ =

    1 * * *( ) '* ' 1*2

    fm b kd A fs A fs+ =

    21 * * *( ) *(1 ) '* '*( ')2 3

    kfm b kd A fs d d Mext + =

    1A'A

    1 NA Afs

    =

    '* * ** *NE n F n

    b d fs + = +

    2'* * * *MextAo n B

    b d fm+ =

    2

    *'* ** *Mext nC n Db d fs

    + =

    1

    1*

    k fsn fm

    =+

    Si llamamos:

    , las ecuaciones (47*) y (48*) se convierten en:

    (49*)

    (50*)

    Las ecuaciones (49*) y (50*) son las mismas ecuaciones que corresponderan a flexin simple

    ((1*) y (2*)), para una seccin rectangular de armadura de traccin de armadura en

    compresin `A , sometida a un momento de flexin simple Mext ,sea:

    En la situacin estudiada (flexin compuesta), todos los estudios realizados para flexin

    simple valen, reemplazando en ellos, la armadura de traccin por ( / )A N fs+ y el momento de flexin por *0.5*( ')Mext M N d d= +

    En consecuencia las ecuaciones (13*), (14*) y (15*) se transforman en:

    (51*)

    (52*)

    (53*)

    La ecuacin (17*) se mantiene de la misma forma:

    1Aseccin

  • CAPITULO III

    34

    Ao

    Ao

    , , , , ', , ,b d n N Mext fs Fsadm =

    fm Fmadm

    A continuacin se presentan diversos casos de clculo de fierro y tambin de verificacin de

    tensiones.

    Caso 1.

    Datos: , , , ', , , ,b d n fs Fsadm fm Fmadm N = = Solucin:

    Calcular k (con Fsadm y Fmadm ) con la ecuacin (17*).

    Calcular las funciones E , F , , B , C y D (ecuaciones (12*)).

    De la ecuacin (53*) se obtiene Mext .

    De la ecuacin (52*) se obtiene .

    Caso 2.

    Datos: , , , , , , ,b d n fs Fsadm fm Fmadm N Mext = = Solucin:

    Calcular k (con Fsadm y Fmadm ) con la ecuacin (17*).

    Calcular las funciones E , F , , B , C y D (ecuaciones (12*)).

    De la ecuacin (52*) se obtiene ' .

    De la ecuacin (51*) se obtiene .

    Caso 3.

    Datos:

    Solucin:

    Calcular k con la ecuacin (17*), suponiendo .

    De la ecuacin (51*) se obtiene .

  • CAPITULO III

    35

    De la ecuacin (52*) se obtiene fm y se verifica el supuesto fm Fmadm .

    Caso 4.

    Datos: , , , , , ', ,b d n N fs Fsadm =

    Solucin:

    Reemplazando por * *

    Nb d Fsadm

    + , en la ecuacin que otorga k en el caso

    La ecuacin (53) otorga Mext .

    La ecuacin (52) otorga fm .

    4 de Flexin simple (ecuacin (18*))

    se obtiene k

  • CAPITULO III

    36

    ** *NE n

    b d fs =

    2* *MextAo

    b d fm=

    2

    ** *Mext nCb d fs

    =

    3.2.3.2 Flexin compuesta sin armadura de compresin.

    Las ecuaciones (51*), (52*) y (53*) se transforman en las siguientes ecuaciones:

    (54*)

    (55*)

    (56*)

    A continuacin se presentan diversos casos de clculo de fierro y tambin de obtencin de

    tensiones.

    Caso 1.

    Datos: , , , , , ,b d n Mext fs Fsadm N =

    Solucin:

    Calcular C con la ecuacin (56*).

    Con el valor de C se puede calcular k (Ver tabla 1B del anexo B).

    De la ecuacin (55*) se obtiene fm .

    De la ecuacin (54*) de obtiene .

    Caso 2.

    Datos: , , , , , ,b d n Mext fm Fmadm N =

    Solucin:

    Calcular Ao con la ecuacin (55*).

    Con el valor de Ao se puede calcular k (Ver tabla 3B del anexo B).

    De la ecuacin (56*) se obtiene fs .

    De la ecuacin (54*) de obtiene .

    *n

  • CAPITULO III

    37

    1

    1Kb Fsadm

    Fmadm

    =+

    2* * *Mext Aob b d Fmadm=

    2* * * FsadmMext Cb b dn

    =

    ( * )* * * FsadmN Eb n b dn

    =

    3.2.3.3 Solicitacin en la situacin de balance.

    En esta situacin, las tensiones de borde en la albailera y la tensin de traccin en el acero

    son las tensiones admisibles fm Fmadm= y fs Fsadm= ; adems ' 0 = .

    La profundidad de la fibra neutra es:

    Tambin las solicitaciones exteriores son:

    (57*)

    (58*)

    (59*)

  • CAPITULO III

    38

    1 * * *( * ) '* ' 1*2

    Fmadm b kb d A fs A Fsadm+ =

    21 * * * * * 1 '* '*( ')2 3

    kbFmadm b kb d A fs d d Mext + =

    21 * * * * * 12 3

    kbFmadm b kb d Mextbal =

    1 * * *( * ) 1 *2

    Fmadm b kb d A b Fsadm=

    Mextbal

    1 * '* ' 1*A b Fsadm A fs A Fsadm+ ='* '*( ')Mextbal A fs d d Mext+ =

    ''*( ')

    Mext MextbalAfs d d

    =

    '* '1 1 A fsA A bFsadm

    = +

    1 1 '*A A b A Fb= +

    ( 1 '* ) NA A b A FbFsadm

    = +

    3.2.3.4 Flexin compuesta sobre el limitante en balance.

    Situacin con tensiones de balance y armadura de compresin.

    (60*)

    (61*)

    Si no existe armadura en compresin, las ecuaciones (60*) y (61*) se convierten en:

    (62*)

    (63*)

    Nota: corresponde al momento exterior (c/r a la armadura en traccin) en balance para

    flexin compuesta.

    1A b corresponde a la armadura en traccin (flexiona simple) en balance

    Reemplazando las ecuaciones (62*) y (63*) en las ecuaciones (60*) y (61*), se obtiene lo

    siguiente:

    Con esto podemos determinar lo siguiente:

    (64*)

  • CAPITULO III

    39

    '1

    fs kb FbFsadm kb

    = = 'A

    '* *( ') * *( ')Mext Mextbal MA

    Fb Fsadm d d Fb Fsadm d d = =

    2* * *Mextbal Aob b d Fmadm=

    2* * * FsMextbal Cb b dn

    =

    '* *( ') * *( ')Mext Mextbal MA

    Fb Fsadm d d Fb Fsadm d d = =

    Mext Mextbal>

    CbSbEb

    = ,C E S

    Mext Mextbal

    0.5*M Mext Mextbal Mextbal =

    Si recordamos que:

    , 'A se convierte en:

    (65*)

    Resumen.

    Si

    /Armadura en compresin. (66*)

    (67*)

    / Funciones y en balance obtenidas con kb de las tablas del anexo B.

    En sentido prctico si :

    (68*)

    Si

    No se necesita armadura en compresin.

    La armadura en traccin se calcular como el caso 1, de la seccin flexin compuesta sin

    armadura de compresin.

    /Armadura en traccin

    '** *

    Mextbal NA A FbFsadm d Sb Fsadm

    = +

    * *Mext NA

    Fsadm d Sb Fsadm=

  • CAPITULO III

    40

    ( * )*Mext NA

    I d fs fs=

    1 * '**1 * '*

    nI SQ n

    += +

    CSE

    =

    *' *( * )*( * )

    Mext b dA Jn fm B d n

    =

    1 *' **( * )Mext b dA

    fs D d n =

    ( * )*Mext NA

    S d fs fs=

    2* *Mextfm

    Ao b d=

    2

    ** *

    Mext nfsC b d

    =

    , , , , , , ,S Q B J D Ao C

    3.2.3.5 Ecuaciones generales de la flexin compuesta para el clculo directo de

    enfierraduras.

    Si dividimos las ecuaciones (51*) y (53*), obtenemos:

    (69*)

    En donde:

    La ecuacin (52*) otorga:

    (70*)

    La ecuacin (53*) nos entrega:

    (71*)

    Si no existe armadura en compresin, la armadura en traccin ser:

    (72*)

    En donde:

    (73*)

    (74*)

    Nota: Las funciones , estn tabuladas en las tablas del anexo B.

  • CAPITULO III

    41

    2h

    2h

    'd

    'd

    h

    A

    A

    /fm Em

    /fs Es

    '/fs Es

    *A fs

    * 'A fs1 * * * *2

    fm b h3x 'd

    M N

    1 * * * * * ' *2

    fm b h A fs A fs N + =

    [ ]1 ** * * * * ' * '*( 2* ')2 3

    hfm b h h d A fs h d Mext + =

    3.2.3.6 Flexin compuesta con armadura simtrica para seccin rectangular.

    Fig. 6.- Tensiones unitarias y fuerzas sobre una seccin rectangular de armadura simtrica sometida a

    flexin compuesta. (Fuente: Lucero A., 1987).

    Las ecuaciones de equilibrio sern ahora:

    E.N

    *x h=

  • CAPITULO III

    42

    * ( ') ( * )

    fm fsEm Es

    h h d h = '

    ( * ) ( ') ( ') ( * )

    fs fsEs Esh d h d h =

    *(1 1 )* nfs fm =

    xh

    = '1 dh

    = EsnEm

    =

    fs 'fs1 (2* 1) 1* * * *2 *

    Nnb h fm

    + =

    2

    1 1 2* 1* * 1 1 * *( 1)*2 3 * *

    Mextnb h fm

    + =

    2

    1/ ** * *Mext N

    b h fm b h fm

    3 2 23* * 0.5 12* * * * 3* * * (1 2* 1) 2* 0e e en nh h h

    + + =

    xh

    =

    Segn la hiptesis de Bernoulli y la ley de Hooke, las deformaciones unitarias en el borde

    comprimido y el acero en traccin se cumple:

    y

    Aplicando esto, se deduce que:

    *( 1)' * nfs fm =

    En donde:

    Si introducimos los valores de fs y 'fs , en las ecuaciones de equilibrio y usando la

    nomenclatura anteriormente propuesta, las ecuaciones de equilibrio se transforman en:

    (75*)

    (76*)

    Si formamos la relacin entre las ecuaciones anteriormente

    propuestas ((75*) y (76*)) y adems reemplazamos (0.5 ')Mext M N h d= + se obtiene la siguiente ecuacin:

    (77*)

    Luego si se conoce el valor de , la ecuacin (75*) entrega el valor:

  • CAPITULO III

    43

    2

    2*** ( * )*2*(2* 1)Nfmb h n

    = +

    *(1 1)* nfs fm n =

    *fs fm =*(1 1)n n

    =

    * *fs fm nn =

    (78*)

    Y la tensin en el acero ser:

    (79*)

    La tabla 1C (Ver anexo C) entregar el valor de /*Nfmb h

    en trminos de *n y /e h , con l se podr calcular la tensin de compresin de la albailera fm .

    La tabla 2C (Ver anexo C) entregara el valor de 1 1 1n

    = en trminos de *n y

    /e h , con l se podr calcular la profundidad de la fibra neutra *x h= , con dado por: (80*)

    Y tambin la tensin del acero con la siguiente frmula:

    (81*)

    (*): Ecuaciones cuya fuente es: Lucero A., 1987.

    1 11 ( / )n

    = +

  • CAPITULO III

    44

    La simbologa que se utilizar para poder leer las tablas 1C y 2C; ser la siguiente:

    Fig. 7.- Simbologa utilizada para poder leer las tablas 1C y 2C (Ver anexo C) (Fuente: Lucero A., 1987).

    1C

    2C

  • CAPITULO III

    45

    Las tablas 1C y 2C se presentan en el anexo C, en ellas se pueden obtener los valores de

    /*Nfmb h

    y 1 1 1n

    = , respectivamente.

  • CAPITULO III

    46

    Lmuro

    Hmuro

    3.2.4 Flexin compuesta en el plano perpendicular al muro.

    Fig. 8.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera armada con bloque de hormign,

    mostrando las cargas perpendiculares que lo solicitan. (Fuente: Propia).

    En donde:

    N: Esfuerzo axial externo.

    Vp: Esfuerzo externo de corte perpendicular al plano del muro.

    Mp: Momento perpendicular al plano del muro. Vp

    Mp

    N

  • CAPITULO III

    47

    3.2.4.1 Vaciamiento

    Las fuerzas laterales que resisten los muros dependen de la intensidad de los vientos y de los

    sismos. Estas fuerzas provocan grandes momentos flectores en direccin perpendicular al

    plano del muro, que son resistidos por stos (Amrhein, 1978).

    Fig. 9.- Fuerzas perpendiculares al plano del muro (Fuente: Amrhein J., 1978).

    Tal como se mostr en la figura 9, las fuerzas provocadas por los vientos o los sismos tratarn

    de flectar el muro ubicado entre las losas de piso, en consecuencia el muro flectado se muestra

    en la siguiente figura.

  • CAPITULO III

    48

    Fig. 10.- Diagrama de tensiones producido por fuerzas perpendiculares al plano del muro (Fuente:

    Amrhein J., 1978).

    Las cargas son transmitidas desde los muros transversales hacia los muros ubicados en la

    direccin del sismo por un diafragma horizontal, el cual est ubicado en la parte superior de

    los muros (Figura 11.2).

    Fig. 11.- Distribucin de cargas perpendiculares al plano del muro a travs de un diafragma horizontal

    (Fuente: Amrhein J., 1978).

    fmc

    fsfmt

    En donde:

    fm: Tensin de compresin en la albaileria

    fs: Tensin de traccin en el acero

  • CAPITULO III

    49

    En general, el concepto de diafragma horizontal considera la losa horizontal como una gran de

    red de vigas pequeas. Esta gran red de vigas transmite las cargas laterales (sismo viento)

    sobre los muros transversales hacia los muros ubicados en la direccin de las cargas laterales.

    Las vigas de borde resisten la compresin traccin producida por las cargas laterales,

    producindose as las cargas sobre los muros ubicados en el sentido de las cargas de sismo

    viento (Amrhein, 1978).

    Fig. 12.- Distribucin de esfuerzos sobre una red de vigas, concepto de diafragma horizontal (Fuente:

    Amrhein J., 1978).

    3.2.4.2 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.3

  • CAPITULO III

    50

    3.2.4.3 Clculo de tensiones de trabajo en la seccin a considerar.

    Fig. 13.- rea considerada para el efecto de la flexin perpendicular al plano del muro, mostrando el

    nervio, el ancho y el largo de sta. (Fuente: Propia).

    En donde:

    B: Ancho de la unidad.

    Nervio: Nervio de la unidad.

    S: Distancia entre enfierraduras.

    Las propiedades geomtricas de la seccin considerada son:

    1.- El rea efectiva de la seccin es:

    2.- El eje neutro de la seccin es:

    Nervio Nervio

    Nervio

    b

    Nervio

    S

    Centroide

    centroidenervios( ) b nervio

    2

    b( ) nervio( )[ ] 2 nervio( )[ ]

    b nervio( )2

    + b 2 nervio( )[ ] nervio[ ][ ]

    nervio2

    +

    Areaefectiva:=

    Areaefectiva nervio s( ) b( ) nervio( )[ ] 2 nervio( )[ ]+ b 2 nervio( )[ ] nervio[ ]+:=

    Fierro de tramo

  • CAPITULO III

    51

    3.- La inercia con respecto al eje neutro es:

    4.- El mdulo resistente de la seccin con respecto al eje neutro es:

    Las tensiones en la seccin considerada son:

    1.- Tensin de compresin producida por el efecto combinado de la flexin + axial:

    2.- Tensin de traccin producida por el efecto combinado de la flexin + axial:

    En donde:

    Ntributario : Carga axial tributaria sobre el rea considerada por fierro.

    Areaefectiva : rea de la seccin considerada.

    Mtotaltributario : Momento flector tributario perpendicular al plano del muro.

    Wefectivo : Mdulo resistente de la seccin considerada.

    Wefectivo minInerciaperp

    b centroideInerciaperpcentroide

    , :=

    FcombtrabajoperpcompresionNtributario

    AreaefectivaMtotaltributario

    Wefectivo+:=

    FcombtrabajoperptraccionNtributario

    AreaefectivaMtotaltributario

    Wefectivo:=

  • CAPITULO III

    52

    3.2.4.4 Control de vaciamiento.

    En consecuencia el diagrama de tensiones que se produce en la seccin considerada, puede

    tener dos configuraciones, stas se muestran a continuacin.

    Fig. 14.- Casos probables de diagrama de tensiones producidos por el efecto de la flexin perpendicular al

    plano del muro. (Fuente: Propia).

    En el caso 2, el vaciamiento est controlado, ya que en el diagrama de tensiones solo se

    aprecian tensiones de compresin. En este caso solo basta con chequear que

    la tensin de trabajo mxima (Fcombtrabajoperpcompresion ) debe ser menor que la tensin

    admisible de compresin flexin de la albailera (efecto combinado de flexin + axial).

    En el caso 1, el vaciamiento se debe controlar de dos formas:

    Se debe chequear que Fcombtrabajoperpcompresion debe ser menor que la tensin de compresin flexin de la albailera (efecto combinado de flexin + axial).

    Se debe chequear que Fcombtrabajoperptraccion debe ser menor que la resistencia a la traccin del mortero, ya que la unidad de albailera no soporta esfuerzos de

    traccin. La resistencia a la traccin del mortero depende del tipo de mortero utilizado.

    A continuacin se muestra la resistencia a la traccin de un mortero ampliamente

    utilizado en construcciones de albailera.

  • CAPITULO III

    53

    Fig. 15.- Propiedades mecnicas del mortero PRESEC A 14 Pega Albaileria M10. (Fuente: Catlogo en

    lnea Lafarge morteros).

    Nota: En todos los morteros de pega para albailera armada de la marca Lafarge consultados, la resistencia a la

    traccin es de 3Kgf/cm2.

    Otro factor a considerar en el control del vaciamiento del muro, es la distancia entre

    armaduras verticales. Esto, ya que mientras ms grande es la distancia S, la tensin de

    traccin que absorber el mortero ser mayor, mientras que ms pequea es la distancia entre

    armaduras verticales, la tensin de traccin que deber absorber el mortero tender a cero. A

    continuacin se muestra una curva S v/s traccin sobre mortero para un muro con unidad

    tipo bloque de 19 cm. de ancho, 9 cm. de altura y 39 cm. de largo, para un momento flector

    Resistencia a la

    traccin del mortero

  • CAPITULO III

    54

    perpendicular al plano del muro de 0.5 Ton*m y un esfuerzo de corte de perpendicular al

    plano del muro de 0.5 Ton.

    Fig. 16.- Curva S v/s traccin sobre mortero de pega para un caso en particular. (Fuente: Propia)

    Nota: Se debe tener claro que este grfico pertenece a un ejemplo en particular y no tiene carcter de general, sin

    embargo la forma de esta curva es la misma en todos los casos posibles de muros con cargas perpendiculares a

    ste.

    3.2.4.5 Sobre la carga ssmica actuante en forma perpendicular al plano del muro.

    Consultar anexo A.4

  • CAPITULO III

    55

    Lmuro

    Hmuro

    3.3 CORTE EN EL MURO.

    Fig. 17.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera armada con bloque de hormign,

    sometido a una carga lateral de corte en su plano. (Fuente: Propia).

    3.3.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.5

    V: Esfuerzo externo de corte

    en el plano del muro.

    V

  • CAPITULO III

    56

    Lmuro

    Hmuro

    3.4 COMPRESION AXIAL EN EL MURO.

    Fig. 18.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera armada con bloque de hormign,

    sometido a una carga de compresin axial. (Fuente: Propia).

    3.4.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.6

    N: Esfuerzo externo de

    compresin axial.

    N

  • CAPITULO III

    57

    3.5 DEFORMACIONES.

    Fig. 19.-Muro deformado debido a la aplicacin de una carga lateral V. (Fuente: Propia).

    Para el clculo de deformaciones, se utilizara la siguiente frmula:

    (Chopra. A, 2000)

    En donde:

    fs : Fuerza lateral que solicita al muro.

    K : Matriz de rigidez del muro.

    u : Desplazamiento lateral

    De la ecuacin anterior de deduce que:

    Para calcular la rigidez del muro, primero se calcular la flexibilidad del muro y luego la

    rigidez de ste, de la siguiente forma:

    (Chopra. A, 2000)

    V

    V: Esfuerzo de corte

    en el plano del muro.

    *fs K u=

    fsuK

    =

    1f KHEGAA

    =

  • CAPITULO III

    58

    En donde:

    f : Flexibilidad del muro.

    K : Rigidez del muro.

    Para el clculo de la flexibilidad del muro, se utilizar la siguiente frmula:

    Flexibilidad de un muro considerando el efecto de la flexin y del corte. (Fuente: GARCES F. et al., 2003).

    En donde:

    H : Altura del muro.

    E : Mdulo de elasticidad del muro.

    I : Inercia del muro en el sentido del plano del muro.

    G : Mdulo de corte.

    A : rea de la seccin sometida a corte.

    ( )kGA : Rigidez en corte del muro en el nivel k .

    Debido a que las deformaciones por flexin son de poco valor en comparacin con las

    deformaciones por cortante, la flexibilidad del muro se convierte en:

    Flexibilidad de un muro considerando solo el efecto del corte. (Fuente: GARCES F. et al., 2003).

  • CAPITULO III

    59

    3.5.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.7

    3.6 DIMENSIONES LMITE DEL MURO.

    3.6.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.8

    3.7 ARMADURAS.

    3.7.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.9

    3.8 UNIDADES

    3.8.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.10

    3.9 MORTERO.

    3.9.1 Con respecto a la NCh 1928 Of.93.

    Consultar anexo A.11

  • CAPITULO IV

    60

    Lmuro

    Hmuro

    4.1. DISPOSICIONES DE DISEO DE LA NCh 2123 Of.97

    Consultar anexo A.12

    4.2. FLEXION EN EL MURO.

    4.2.1 Flexin simple en el plano del muro.

    Fig. 20.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera confinada mostrando las cargas que lo

    solicitan en su plano (flexin simple). (Fuente: Propia).

    Las cargas mostradas son:

    V: Esfuerzo de corte en el plano del muro.

    M: Momento externo en el plano del

    V

    M

    Pilar de H.A

    Cadena de H.A

    C A P I T U L O IV

    ALBAILERIA CONFINADA

  • CAPITULO IV

    61

    'd

    As

    Lmuro

    El momento admisible en flexin simple se calcula con la siguiente expresin:

    0.9* * * '/ 3

    Moa As fs dN Na

    => /Momento admisible en flexin simple (***)

    En donde:

    As : rea de la armadura de refuerzo longitudinal de cada pilar colocado en los extremos del muro. (***)

    fs : Tensin admisible de la armadura de refuerzo, se tomar igual a 0.5* fy . (***)

    fy : Tensin de fluencia nominal de la armadura de refuerzo. (***)

    'd : Distancia entre centroides de pilares colocados en extremos del muro. (***)

    Para tener una mejor idea de los trminos anteriormente descritos se presenta la siguiente

    figura.

    Fig. 21.-Distancia entre centroides 'd y armadura de un pilar. (Fuente: Propia).

    Nota: La expresin tpilar corresponde al ancho del pilar y est definido como la dimensin

    transversal del pilar medida segn el plano del pao de albailera. La expresin epilar corresponde

    al espesor del pilar y est definido como la dimensin transversal del pilar medida perpendicularmente

    al plano del pao de albailera.

    (***):FormulascuyafuenteeslaNCh2123Of.97

    Centroidepilar

    eunidadepilar

    tpilar

    C.G

  • CAPITULO IV

    62

    Lmuro

    Hmuro

    4.2.2 Flexin compuesta en el plano del muro.

    Fig. 22.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera confinada mostrando las cargas que lo

    solicitan en su plano (flexin compuesta). (Fuente: Propia).

    El momento admisible en flexin compuesta se calcula con la siguiente expresin:

    0.20* *Ma Moa N d= + si / 3N Na (***) [ ](1,5* ) (0.10* * )*(1 / )Ma Moa Na d N Na= + si / 3N Na> (***)

    En donde:

    N : Esfuerzo axial de compresin que acta sobre el muro.

    d : Altura til de la seccin transversal del muro. Se define como la distancia entre el centro de gravedad de la armadura longitudinal del pilar ubicado en el borde

    traccionado del muro y la fibra extrema de la zona comprimida.

    En donde:

    V: Esfuerzo externo de corte en el plano del muro.

    M: Momento externo en el plano del muro.

    V

    M

    Pilar de H.A Cadena de H.A N

  • CAPITULO IV

    63

    dLmuro

    tpilar

    Na : Esfuerzo axial admisible del muro (ver punto 4.4 de la seccin albailera confinada).

    Para tener una mejor idea del trmino d , se presenta la siguiente figura.

    Fig. 23.-Corte transversal del muro mostrando la distancia d . (Fuente: Propia).

    Si las cargas que solicitan al muro provienen de una combinacin en donde est involucrada

    la solicitacin ssmica, el diseo del muro debe hacerse con el 50% de las solicitaciones

    ssmicas establecidas en la NCh 433 ( lo que es lo mismo, a las cargas que provienen de la

    solicitacin ssmica se les debe hacer una minoracin del 50%).

    (***): Formulas cuya fuente es la NCh 2123 Of.97

    Centroide armadura pilar

    Fibra extrema en compresin E.N

    Zona comprimida Zona traccionada

    eunidad epilar

  • CAPITULO IV

    64

    Lmuro

    Hmuro

    4.2.3 Flexin compuesta en el plano perpendicular al plano del muro.

    Fig. 24.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera confinada mostrando las cargas

    perpendiculares a su plano (flexin compuesta). (Fuente: Propia).

    En lo que respecta a la flexo-compresin para solicitaciones producidas por acciones

    perpendiculares al plano del muro la NCh 2123 Of.97, seala lo siguiente:

    Los muros del piso k deben verificarse como placas simplemente apoyadas en los pilares y cadenas, para una aceleracin ssmica horizontal igual a 1 1/k kF P+ + , de modo

    que la tensin de traccin que resulta por efecto del momento de flexin y del esfuerzo

    axial de compresin solicitante sea igual menor que el 50% de la resistencia a la

    traccin por flexin btF . La situacin que sucede es la siguiente:

    En donde:

    Vp: Esfuerzo externo de corte perpendicular plano del muro.

    Mp: Momento externo N : Esfuerzo axial

    Mp

    PilardeH.ACadenadeH.A

    N

    Vp

  • CAPITULO IV

    65

    + =

    Lmuro

    tpilar

    En el caso 1, no existe traccin en la seccin, en este caso, no se deber efectuar ninguna

    verificacin. En cambio en el caso 2, existe traccin en la seccin, en este caso se deber

    efectuar la comparacin entre esta tensin de trabajo en traccin con la admisible que

    establece la NCh 2123 Of.97 (0.5 btF ). Para el clculo de los diagramas de tensiones que se

    muestran en los casos 1 y 2, se utilizar una aproximacin del rea bruta de la seccin

    transversal del muro (ver Fig.26). Esta aproximacin del rea bruta de la sesin transversal

    del muro se muestra en la siguiente figura:

    Fig. 26.-Aproximacion del rea bruta de la seccin transversal del muro, utilizada para el clculo de

    propiedades geomtricas para efecto de solicitaciones perpendiculares al plano del muro. (Fuente:

    Propia).

    Teniendo en cuenta lo anteriormente dicho, la tensin de traccin producida por la flexin

    perpendicular al plano del muro, se debe calcular con la siguiente frmula:

    Diagrama tensiones por efecto de la carga axial N

    Diagrama tensiones por efecto del momento Mp+Vp*Hmuro

    Caso 1 Caso 2

    eunidad

    epilar

    Fig. 25.- Diagramas de tensiones posibles para solicitacin perpendicular al plano. (Fuente: Propia).

  • CAPITULO IV

    66

    *N MA W

    = (Riddell R., 1999), en donde: N : Es la carga axial que solicita al muro.

    A : Es el rea que se muestra en la figura 26.

    W : Es el mdulo resistente del rea mostrada en la figura 26.

    2

    *6

    eunidadW Lmuro= (Riddell, 1999).

    *M : Es el momento producido por las cargas perpendiculares al plano del muro.

    * *P P MUROM M V H= + .

    Nota: La tensin debe ser una tensin de traccin, sea debe ser menor que 0.

  • CAPITULO IV

    67

    Lmuro

    Hmuro

    4.3. CORTE EN EL MURO.

    Fig. 27.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera confinada sometido a una carga lateral

    de corte en su plano. (Fuente: Propia).

    El esfuerzo de corte admisible para solicitaciones contenidas en el plano de un muro, se debe

    calcular con la siguiente expresin:

    (0.23* 0.12* )*m o mVa A = + /Esfuerzo de corte admisible segn NCh 2123 Of.97. (***) En donde:

    mo

    A : rea bruta de la seccin transversal del muro, incluido los pilares (no se debe usar

    seccin transformada).

    V

    Pilar de H.A

    Cadena de H.A

    En donde:

    V: Esfuerzo externo de corte en el plano del muro.

  • CAPITULO IV

    68

    Lmuro

    epilar

    tpilar

    m : Resistencia bsica de corte de la albailera medida sobre el rea bruta (ver tensiones de diseo)

    o : Tensin media de compresin producida por el esfuerzo axial que acta sobre la seccin. (***)

    En ningn caso el valor de Va ser mayor que 0.35* *m mA .

    A continuacin se presenta una figura en donde se puede ver el rea bruta de un muro de

    albailera confinada.

    Fig. 28.-Area bruta considerada para el clculo del esfuerzo de corte admisible de un muro de albailera

    confinada. (Fuente: Propia).

    (***): Formulas cuya fuente es la NCh 2123 Of.97.

    t

  • CAPITULO IV

    69

    Lmuro

    Hmuro

    4.4. COMPRESION AXIAL EN EL MURO

    Fig. 29.- Vista en perspectiva isomtrica de un muro de albailera confinada sometido a una carga de

    compresin axial. (Fuente: Propia).

    El esfuerzo axial de compresin admisible en un muro se debe calcular con la siguiente

    expresin:

    0.4* '* *e mNa fm A= /Esfuerzo axial de compresin admisible segn NCh 2123 Of.97. (***)

    En donde:

    'fm : Resistencia bsica a la compresin de la albailera medida sobre el rea bruta de la seccin.

    e : Factor de reduccin por esbeltez (***), definido por la expresin:

    3

    140*e

    ht

    = , en donde:

    N

    Pilar de H.A

    Cadena de H.A

    En donde:

    N: Esfuerzo externo de compresin

  • CAPITULO IV

    70

    t : Espesor del muro (espesor unidad).

    h : Es el menor valor entre la distancia entre los pilares de confinamiento ( Lmuro ) y la distancia entre las cadenas de confinamiento ( Hmuro ).

  • CAPITULO IV

    71

    Lmuro

    4.5. DEFORMACIONES.

    Fig. 30.- Muro de albaileria confinada deformado debido a una carga lateral V. (Fuente: Propia).

    Para el clculo de deformaciones, se utilizara la siguiente frmula:

    (Chopra. A, 2000)

    En donde:

    fs : Fuerza lateral que solicita al muro.

    K : Matriz de rigidez del muro.

    u : Desplazamiento lateral.

    De la ecuacin anterior de deduce que:

    Para calcular la rigidez del muro, primero se calcular la flexibilidad del muro y luego la

    rigidez de ste, de la siguiente forma:

    (Chopra. A, 2000)

    Pilar de H.A

    Cadena de H.A V

    Hmuro

    *fs K u=

    fsuK

    =

    1f K =

  • CAPITULO IV

    72

    En donde:

    f : Flexibilidad del muro.

    K : Rigidez del muro.

    Para el clculo de la flexibilidad del muro, se utilizar la siguiente frmula:

    Flexibilidad de un muro considerando el efecto de la flexin y del corte. (Fuente: GARCES F. et al., 2003).

    En donde:

    H : Altura del muro.

    E : Mdulo de elasticidad del muro.

    I : Inercia del muro en el sentido del plano del muro.

    G : Mdulo de corte.

    A : rea de la seccin sometida a corte.

    ( )kGA : Rigidez en corte del muro en el nivel k .

    Debido a que las deformaciones por flexin son de poco valor en comparacin con las

    deformaciones por cortante, la flexibilidad del muro se convierte en:

    Flexibilidad de un muro considerando solo el efecto del corte. (Fuente: GARCES F. et al., 2003).

  • CAPITULO IV

    73

    4.5.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.13

    4.6. DIMENSIONES LMITE DEL MURO.

    4.6.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.14

    4.7. ARMADURAS EN ABERTURAS DEL MURO.

    4.7.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.15

    4.8. UNIDADES

    4.8.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.16

    4.9. ANALISIS ELEMENTO PILAR.

    4.9.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.17

  • CAPITULO IV

    74

    4.9.2 Armadura de refuerzo.

    4.9.2.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.18

    4.9.3 Hormign en el pilar.

    4.9.3.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.19

  • CAPITULO IV

    75

    4.10. ANALISIS ELEMENTO CADENA.

    4.10.1 Con respecto a la NCh 2123 Of.97.

    Consultar anexo A.20

    4.10.2 Clculo enfierradura longitudinal cadena.

    La nomenclatura utilizada para el clculo de la flexin simple en la cadena ser la que se

    muestra en la siguiente figura.

    Fig. 31.- Tensiones unitarias y fuerzas sobre una seccin sometida a flexin simple. (Fuente: Riddell R.,

    1999).

    h

    dAs

    kd

    d kd

    y

    maxmax cc

    Ec =

    ssEs =

    maxc

    sn

    max1 * * *2

    C c kd b=

    *T As s=

    jd

  • CAPITULO IV

    76

    4.10.2.1 Flexin simple sin armadura de compresin considerada.

    Ecuaciones de equilibrio:

    (11)

    (21)

    Adems de la figura 31, se puede establecer la siguiente relacin:

    (31)

    0F C T= =

    max1 * * * *2

    c kd b As s =

    maxs

    c nkd d kd

    =

  • CAPITULO IV

    77

    Si reemplazamos la ecuacin (31) en la ecuacin (21), se establece la siguiente ecuacin:

    (41)

    Si se define la cuanta de refuerzo como: (51)

    Se puede definir la expresin para el trmino que define la posicin del eje neutro:

    (61)

    (71)

    Por otra parte, el equilibrio de momentos en la seccin permite calcular las tensiones en el

    acero y mxima en el hormign. Si se aplica la condicin 0M = con respecto al punto de aplicacin de la resultante de las tensiones de compresin en el hormign, se obtiene:

    (81)

    En donde:

    (91)

    Si se escribe la ecuacin de equilibrio de momentos con respecto al punto de aplicacin de T , se obtiene:

    (101)

    (1): Ecuaciones cuya fuente es: Ridell R., 1999.

    2 2* * * *2* * *(1 )

    s k d b As sn d k

    =

    *As

    b d =

    2 2* * *(1 ) 0k n k =2* ( * ) (2* * )k n n n = + +

    *T jd M=

    3kdjd d=

    max2

    2** * *

    Mcb k j d

    =

  • CAPITULO IV

    78

    4.10.2.2 Vigas Peraltadas y Deprimidas.

    Es comn que en un diseo los materiales acero y hormign no trabajen simultneamente a

    nivel de sus tensiones admisibles adms y admc . La capacidad en flexin de la seccin, representada por el momento admisible de la viga depender de cul de los dos materiales

    alcanza primero su tensin admisible (Riddell, 1999). Si es el hormign el ms solicitado:

    (111)

    Si es el acero el ms solicitado:

    (121)

    El momento admisible admM es entonces el menor valor entre admcM y admsM . Puede darse una de las tres situaciones siguientes:

    Si admcM = admsM , entonces adms s = y max admc c = . Se dice que es un diseo elstico balanceado (Riddell, 1999).

    Si adm adms cM M< , entonces adms s = y max admc c < . Se dice que la viga es peraltada (generosa altura de hormign) sub-armada (menos acero que para diseo

    elstico balanceado). Es importante hacer notar que, salvo casos muy extremos el

    trmino sub-armada no tiene en esta situacin la implicancia de condicin deficitaria

    de refuerzo. Por el contrario, cabe anticipar que esta es la condicin deseable de un

    diseo: primero porque adms s = y esto significa que se est usando eficientemente el acero, que es el componente ms caro, y segundo, desde el punto de vista del

    comportamiento, por la gran conveniencia de mantener aliviado al hormign

    ( max admc c < ), lo que aleja de una eventual fractura a este material eminentemente frgil, logrndose por lo tanto un comportamiento dctil de la seccin en flexin

    (Riddell, 1999).

    21 * * * *2

    adm adm admc cM M b k j d = =

    * * *adm adm adms s sM M j d A = =

  • CAPITULO IV

    79

    Si adm admc sM M< , entonces max admc c = y adms s < . Se dice que la viga es deprimida (falta altura de hormign) o sobre-armada (ms acero que para diseo

    elstico balanceado). En esta situacin el posible que se produzca una falla frgil

    (Riddell, 1999).

    Para determinar en qu situacin se encuentra un determinado diseo para elegir una forma

    de diseo, es til considerar la condicin de tensiones balanceadas, en la cual ambos

    materiales alcanzan simultneamente su tensin admisible. El anlisis de la figura 32, permite

    escribir:

    En donde:

    (131)

    Fig. 32.-Condiciones de tensiones elsticas balanceadas. (Fuente: Riddell R., 1999).

    Adems por equilibrio:

    1 * * * * *2

    adm admc bal s sC T k d b A = = =

    Por lo tanto la cuanta de acero para obtener un diseo elstico balanceado es:

    *balk d

    *bald k d

    admc

    adms

    n

    1

    1*

    bal adms

    admc

    k

    n

    =+

    *1* *

    admbal c

    admbals

    k dd k d

    n

    =

  • CAPITULO IV

    80

    (141)

    (1): Ecuaciones cuya fuente es: Ridell R., 1999.

    1*2* 1

    *

    admc

    bal admadmss

    admcn

    =+

    ** 2*

    adms c

    bal baladms

    A kb d

    = =

  • CAPITULO IV

    81

    4.10.2.3 Etapas del diseo de una viga con armadura simple.

    Se conoce M y