ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO

ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOPresentan la forma general:

Esta ecuacin es: Compatible indeterminado si:

Incompatible si:

Compatible determinado si:

Solucin de una ecuacin de Segundo grado:La ecuacin: ax2 + bx + c = 0, se puede resolver por:Factorizacin:Resolver:

Nottita

Al resolver expresiones de la forma:

3 es una raz de multiplicidad 2 pues se reitera dos veces, entonces:

Por Formula (Baskara)La ecuacin: ax2+bx+c=0, se puede resolver por la formula de Baskara donde:

Resolver:Solucin:

Discriminante ()Se llama as a la cantidad sub radical expresada por.

En la ecuacin:

ax2 +bx + c = 0Se cumple:

Posee races reales y diferentes

Posee races reales e iguales

Posee races complejas conjugadas

Suma de races:

Producto de races:

Diferencia races:

relacin de legendre:

Nottita

Si las races y son simtricas:

Si las races y son reciprocas:

Formacin de una ecuacin cuadrtica

Dada una ecuacin de races y la ecuacin a formarse ser:

Dos ecuaciones cuadrticas: Ax2 + Bx + C = 0Mx2 + Nx + P = 0Son EQUIVALENTES si estas presentan las mismas soluciones o el mismo conjunto solucin entonces se cumple:

ECUACIONES BICUADRADASLas ecuaciones bicuadraticas son de la siguiente forma:

Donde las races son:

1 NIVEL01. Hallar cuantas de las siguientes expresiones son verdaderas, respecto de la ecuacin:

I. Si entonces la ecuacin presenta 2 races reales e igualesII. La ecuacin, es indeterminada si: III. Tiene races simtricas si se cumple la relacin: IV.

Si: , entonces se verificara que:

a) 2b) 3 c) 1d) 4e) 0

02. Un valor de x que satisface a la ecuacin:

, es:

a) b) c)

d) e)

03. Calcular n si la suma de races es 8.

a) 2b) 6c) 4d) 10e) 14

04. Hallar m si el producto de races es 6 en la ecuacin:

a) 10b) 12c) 13d) 11e) 16

05. Hallar m si una raz de la ecuacin es 2.

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

06.

Calcular a y b si estas son races de: , indicar el valor de:

a) 9b) c)

d) 0e) 07. Determinar la menor raz de la siguiente ecuacin mnica de segundo grado:

a) 5b) c) 4

d) e)

08. calcule el valor de si se sabe que -6 es una raz de la ecuacin .a) 2b) 5c) 1d) 4e) 0

09. las races de la ecuacin de segundo grado son: ; dicha ecuacin es:a) b) c) d) e)

010.

La ecuacin: , tiene por races a , calcular:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

2 NIVEL011. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

I.-Si y son races de la ecuacin , entonces:

II.-Si y son races de la ecuacin , entonces las races son complejas.

III.-Si y son races de la ecuacin , entonces el valor de es 2.a) VVFb) VFVc) VVVd) FVVe) FVF

012.

Sean y races de: , hallar k si:

a) 6b) 8c)

d) e) 4

013. Hallar el producto de las races de la dcima ecuacin: ; ; ,a) 729b) 1000c) -1000d) -729e) 812014.

Si y son las races de: , calcular:

a) 0,25b) 0,5c)

d) 2e)

015. si es el conjunto solucin de la ecuacin , calcule el valor de: .a) 85b) 96c) 110d) 100e) 136

Si: son races de la ecuacin:

, el valor de:

; es:

a) b) c)

d) e)

016. Siendo: , siendo m y n races, reduzca:

a) 7b) 9c) 12d) 11e) 5

017.

Si las races de la ecuacin: ; admiten como races a tal que: , encontrar el valor de n:a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

018. En la ecuacin: . Hallar el valor positivo de n para que las races difieran en 1.a) 10b) 11c) 1d) 8e) 12

019. Dadas las ecuaciones:

de races y

de races m y n

Calcular: a) 0b) 1c) 2d) 3e) 4

020.

Las races de la ecuacin de segundo grado son: ; , encontrar la ecuacin de segundo grado:

a)

b)

c)

d)

e)

3 NIVEL021. La ecuacin:

Indicar el valor de verdad de:

I.-Si: , entonces existe una nica solucin.

II.-Si: , tiene races no reales.

III.-Si: , tiene dos races distintas y reales.a) VVFb) VFVc) VVVd) FVFe) FFV

022.

Si y son races de: , calcular:

a) 12b) 18c) 20d) 21e) 17023.

La ecuacin: tiene dos races y , calcular:

a) b) c) 8d) 3e) 2

024. Si las siguientes ecuaciones:

Son equivalentes, entonces la ecuacin de segundo grado que tiene como races a m y n es:

a)

b)

c)

d)

e)

025.

Dada la ecuacin: cuyas races son y , calcular el valor de n tal que se cumpla:

a) 13b) 14c) 15d) 16e) 17026. Dada la ecuacin. ; si la suma de los cuadrados de sus races es 40. Hallar m

a) 100b) c)

d) e)

027. Halle para que la ecuacin:

; tenga 2 races iguales:

a) 1b) c)

d) e) 028. Si las races de la ecuacin:

Son iguales, calcular m.

a) 12 y 9b) 12 y c) 16 y d) 16 y 9 e) 24 y

029.

Si y son las races de la ecuacin: , calcular el valor numrico de:

a) 29b) 61c) 69d) 51e) 44

030.

Si es una raz de la ecuacin: , calcular:

a) 5b) c) 3

d) e) 1

4 NIVEL031. siendo: las races de la ecuacin .Hallar: a) b) c) d)e) 032. Hallar el valor si las ecuaciones:

Son equivalentesa) 11b) 12c) 13d) 14e) 15

033.

Si: es el conjunto solucin de la ecuacin: de modo que: , Cul es el valor de n?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

034.

Si es una raz de la ecuacin: , calcule usted el valor de: a) 1,5b) 2c) 1

d) 0,5e)

035. Determine el mayor valor que asume m para que una de las races de la ecuacin:

Sea tambin raz de la ecuacin:

a) 17b) 51c)

d) 2e) 036.

La ecuacin: , tiene por races a , calcular:

a) 102b) 103c) 104d) 105e) 108

037.

Si: m y n, son las races de la ecuacin: , el valor de: , es:

a) b) c)

d) e)

038. Sea la ecuacin:

De races y , determinar el valor de:

a) b) c)

d) e)

039.

Las races de: son nmeros positivos y diferentes en 3 unidades, calcular el valor de: , siendo las races.

a) b) 20c)

d) e) 30

040. En la ecuacin:

Determinar el valor de n de manera que x posee infinitas soluciones.

a) 3b) c)

d) 2e)

5 NIVEL041. Resolver:

Siendo y sus soluciones.

Indique ( es menor que )

a) b) c)

d) e) 4042.

Si: es el conjunto solucin de la ecuacin: , determine m para que se verifique:

a) 5b) 7c) 11d) 3e) 1043.

Siendo y son races de la ecuacin:

Calcular:

a) b) c) 4

d) e) 1

044. La ecuacin:

Tiene como conjunto solucin , calcule

a) b) 16c)

d) e)

045. Halle el valor de m sabiendo que una raz excede a la otra en 4 unidades.

a) b) c)

d) e)

046. Hallar la ecuacin de segundo grado cuyas races sean:

;

Donde: son races de la ecuacin: . Dar como respuesta el coeficiente entero del trmino lineal:

a) b) c)

d) e)

047.

Hallar , si la ecuacin cuadrtica ; tiene races simtricas y recprocas.

a) b)

c) d)

e)

048. Hallar el valor de m+n si las ecuaciones son equivalentes:

a) 7b) 2 c) 8d) 4e) 6

049. Si: son races de la ecuacin:

; calcular: .

a) b) c)

d) e)

050.

En la ecuacin cuadrtica de races se cumple que:

Indique la relacin que existe entre a; b; c para que se cumpla esta condicin.

a) b)

c) d)

e) 051. Determinar m y n tales que las ecuaciones:

Tengan el mismo conjunto solucin:a) 9 y 7b) 11 y 7c) 7 y 8d) 10 y 9e) 12 y 8