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RAMO: INICIACIÓN AL LENGUAJE LÓGICO MATEMÁTICO

UNIDAD I

LA MATEMÁTICA, SUS ORÍGENES Y FUNDAMENTOS EN LA PEDAGOGÍA ACTUAL

2Instituto Profesional Iplacex

CLASE 01

1. ORIGEN Y EVOLUCIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

El concepto Matemáticas tiene su origen en el idioma que surge en la antigua Grecia, aunque la actividad matemática es tan antigua como la propia humanidad, ya que probablemente los primeros hombres deben haber procurado contar los elementos que había a su alrededor, como las estrellas, las piedras o, algo que se encontraba mucho más cerca, sus propios dedos. La definición del diccionario de la Real Academia Española de la Lengua para el concepto “matemática” es:

Definición de Matemática Según el diccionario de la Real Academia Española de la Lengua el significado del

concepto “matemática” es: “Ciencia deductiva que estudia las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos, y sus relaciones”.

Los símbolos matemáticos, lo que representan y la manera de relacionarse entre ellos, surgen como un producto del consenso en las diversas culturas que han formado los seres humanos.

Por ejemplo

El símbolo “1” podría representar una letra o incluso podría carecer de significado;

como en el caso de un niño pequeño que cuyo símbolo no significa nada, siendo para él sólo una figura. Más tarde, la sociedad lo preparará para comprender que dicho símbolo representa una cantidad determinada.

En cada cultura los símbolos que representan cantidades han sido abstractos y arbitrarios, incluso algunas culturas contemporáneas utilizan sus propios símbolos para representar cantidades, ante lo cual la ciencia matemática tendrá que deducir la manera en que dichos símbolos operan, determinar las cantidades que representan y la forma en que se relacionan unos con otros.

En la figura que se presenta a continuación, se pueden observar las diversas formas

de representar las cantidades por medio de símbolos abstractos y arbitrarios, a los cuales cada cultura les asignó un significado determinado.


Figura Nº 1: Figuras que Representan Cantidades en Diversas Culturas Dentro de los estudios respecto a las matemáticas, se ha llegado a postular la

hipótesis de que la matemática sería sólo otra forma de lenguaje escrito, por lo que los números seguirían un patrón muy similar al de las letras en su composición. Sin embargo, dichos supuestos han quedado rechazados, debido a que los notables avances en el lenguaje humano, indican que las letras y los números serían parte de un lenguaje, pero dicho lenguaje tendría características y una naturaleza totalmente diferente, de manera que los han clasificado en dos tipos que son: el lenguaje natural (español, italiano, francés, etc.) y el lenguaje formal (relacionado con las matemáticas y la programación)

El comercio es la primera actividad en que, según la historia, se utilizó formalmente la matemática; curiosamente en la actualidad el mundo de las finanzas y el comercio continúa siendo una de las áreas en las que más uso se le da a esta disciplina. Otros registros históricos indican que, junto con el comercio, las matemáticas fueron utilizadas ampliamente en sus orígenes en actividades relacionadas con la geografía (medición de la tierra) y en la astronomía para predecir acontecimientos que ocurrirían en el espacio.


La disciplina que reúne los saberes implicados en las matemáticas, representa una amplia confluencia de conocimientos que se caracterizan por compartir un determinado modo de representar el mundo real. Esto se debe principalmente a que las matemáticas surgen como una necesidad de resolver algunos problemas que surgieron a partir de la relación del hombre con el mundo que le rodea. Los seres humanos comenzaron a usar las matemáticas para encontrar explicaciones, hacer predicciones, reproducir situaciones reales y lograr entregar la consistencia y el rigor que sus conocimientos científicos requerían. Las matemáticas están muy lejos de ser una disciplina rígida, ya que por el contrario, frecuentemente se reinventa y organiza de acuerdo a los acontecimientos, que le vayan afectando y a los descubrimientos que se relacionen con ella. Esta característica de las matemáticas se debe principalmente a que el saber ocupar las matemáticas es un proceso lento, que requiere de mucho estudio e investigación, para lograr descubrir las relaciones y establecer las intuiciones que permitirán descubrir la manera en que los elementos se relacionan, con lo que se podrán generalizar los conocimientos.

Son muchos los estudiosos matemáticos que indican que los aspectos conceptuales como fórmulas y reglas son sólo un pretexto para iniciar la verdadera investigación que llevará a descubrir la manera de usar las matemática en forma efectiva.

Por ejemplo

El aprender a contar de una determinada manera debiese ser solamente un instrumento para que el propio niño descubra la forma en que más le acomoda operar tal conteo, de manera que sea el propio estudiante quien genere las estrategias y transforme las matemáticas para que le sean útiles.

El entender las matemáticas como una ciencia que está a disposición del alumno y, por tanto, es adaptable a los requerimientos que éste le solicite (siempre y cuando el estudiante se preocupe por descubrir la base de las relaciones entre los componentes de las operaciones, dejando la posición cómoda en la cual repite lo que el profesor hace), le permitirá desarrollar una serie de habilidades que trascienden a la práctica de esta disciplina, como son la investigación y los patrones de resolución de problemas, los cuales podrá utilizar en cualquier situación nueva que lo requiera, tenga ésta que ver con la escuela o no.

Se puede deducir entonces que el enseñar matemáticas con sentido, es una gran

responsabilidad para el educador, ya que no sólo le está entregando al niño determinados conocimientos, sino que además le está otorgando herramientas que le permitirán desarrollar estructuras mentales y nuevas formas de enfrentarse a los problemas que su realidad demande.


Luego de detallar los principales aspectos relacionados con el concepto “matemática”, se procederá a entregar una breve descripción de la evolución de la disciplina a lo largo de la historia, partiendo desde la primera cultura que comenzó a establecer relaciones entre los símbolos hasta la manera en que se utilizan en la sociedad contemporánea.

CLASE 02

1.1. Las Matemáticas en Mesopotamia

Desde sus orígenes, el ser humano buscó ordenar la realidad que le circundaba, observó que todo lo que se encontraba a su alrededor se podía ordenar y formar grupos, los cuales poseían características y representaban cantidades determinadas, desde este punto de vista se podría llegar a afirmar que el hombre ha establecido una relación matemática con su entorno desde que se constituyó como tal, por lo que las matemáticas serían tan antiguas como el mismo ser humano.

Sin embargo, el origen del uso de figuras o símbolos que representaran cantidades, lo

que en la actualidad se conoce como número, se registra históricamente en Mesopotamia a partir del año 5000 antes de Cristo, por lo tanto, se reconoce a dicho lugar como la cuna en que fue gestado el sistema de numeración posicional, dicho sistema se sigue utilizando aún hoy en día, aunque es importante señalar que en occidente se perdió su práctica durante miles de años.

El sistema posicional que originaron los mesopotámicos, presentó dos grandes

ventajas respecto a los sistemas ideados por otras culturas (como la romana y la griega) para representar cantidades, dichas cualidades son: - La simplicidad y transparencia en la representación de su símbolo. - La forma en que se adecuan los números a la manipulación que se deba hacer de ellos.

Otro aspecto importante a considerar en el desarrollo de los números por parte de los

mesopotámicos, es que utilizaron el número 60 como base para formar todo su sistema de cifrado, por lo que se denomina “base de numeración sexagesimal”.

El sistema de numeración que se utiliza en la sociedad actual, se fundamenta sobre la

misma idea de confección ideada en la antigua Mesopotamia, ya que los números se forman a partir de la base 10, por lo que se denomina “sistema de numeración decimal”. En la cultura occidental actual, aún se aprecia la influencia Mesopotámica, ya que la forma de medir el tiempo y los ángulos, fueron heredados a partir de los trabajos en que los astrónomos babilonios fueron expertos y pioneros.


1.2. Las Matemáticas en Grecia

La cultura griega dominó fuertemente la historia de la humanidad entre los siglos IV y

II antes de Cristo; durante el transcurso de estos años, generó la mayor cantidad de conocimiento e influencia que cualquier otro pueblo haya logrado hasta ahora. Dicha influencia también se hizo notar en el desarrollo de las matemáticas.

Uno de los principales aportes de la influencia griega, específicamente de Pitágoras,

consistió en definir que el universo, se puede concebir como una realidad ordenada, la cual puede ser procesada racionalmente por los seres humanos, utilizando una herramienta muy eficaz para ello, las matemáticas. Esta forma de observar la realidad distaba mucho de la caótica concepción establecida por las antiguas culturas que influyeron el pensamiento de los hombres hasta entonces.

La perspectiva para observar la realidad a partir de las matemáticas utilizada por

Pitágoras, es el sustento de la obra de grandes e históricos científicos como Galieo, Kepler o Newton, el punto común de su trabajo consiste en que: “la matemática es un instrumento apropiado para desarrollar el estudio de la estructura del mundo que se puede observar”.

Otros grandes científicos griegos que han aportado en la formación de la consistencia

racional rigurosa del pensamiento matemático, al punto de convertirlo en la base del trabajo de todos los grandes científicos que han surgido a lo largo de la historia de la humanidad son Tales de Mileto, Euclídes, Arquímedes y Apolunio.

Otro gran aporte de los matemáticos griegos, fue descubrir que las matemáticas tienen un carácter infinito y la correspondiente utilidad que dicho conocimiento generó para el tratamiento de los números a partir de esa fecha.

Los griegos hicieron también grandes aportes en el desarrollo de la geometría, la cual es una disciplina que surge como un intento por llevar el componente racional de las matemáticas a las complejas relaciones espaciales. Durante su desarrollo los matemáticos griegos, pudieron desarrollar el modelo de ciencia deductiva, el cual posteriormente logró imponerse por sobre otras alternativas. La profundidad y el ingenio desplegados por los geómetras de la antigua Grecia resultan simplemente fascinantes.

1.3. Un Largo Interludio

Después del siglo III antes de Cristo, se vivió un fenómeno en que durante un largo período el desarrollo de las matemáticas se vio estancado, por razones que aún no se tienen lo suficientemente claras. Algunos estudiosos del tema afirman que se debió al período de transición en el dominio cultural que se produjo en el traspaso de los griegos a los romanos,


debido a que los científicos de Roma, al parecer, no habrían contado con la disposición a especular y filosofar. El gran legado de los romanos fueron las bases del derecho y la ley.

Luego el poder sobre el occidente Europeo, pasó desde los romanos a los bárbaros,

quienes no contaban con el refinamiento intelectual que les permitiera disfrutar de las matemáticas u otros que permitieran entregar un aporte sustantivo al desarrollo humano.

Debido a dichos acontecimientos, el centro desde el cual surgieron los nuevos saberes

matemáticos se situó en los pueblos del oriente, principalmente en India y Persia, donde los conocimientos afloraron con características bastante particulares y diferentes a todo lo conocido hasta ese momento, aunque sobre la gran base otorgada por los griegos del período clásico.

Cuando el imperio árabe comenzó a expandirse, llegó a tomar contacto y adquirió conocimientos por parte de los griegos, situación que fue aprovechada a cabalidad, logrando combinar lo mejor de ambas culturas. Sin embargo, sería un error pensar que los árabes sólo se dedicaron a absorber los conocimientos de la cultura griega, ya que los matemáticos árabes, durante el siglo IX de la era Cristiana, comenzaron a manipular símbolos matemáticos entregando los fundamentos de una nueva y muy importante rama de las matemáticas, el álgebra. Esta nueva rama del saber no tendría un camino expedito, lo cual queda demostrado en que sólo alcanzó su esplendor y se refinó en Europa durante los siglos XV y XVI después de Cristo.

Los siglos de espera valieron la pena, ya que el álgebra se convirtió en un factor

determinante para el desarrollo posterior de la matemática, principalmente por el enorme avance que significó en relación a la representación simbólica del número, evitando los miles de elementos o marcas que se necesitaban antes para representar una cantidad determinada, la cual fue sustituida por una combinación (suma, resta, multiplicación y división) de símbolos (números) que establecieron una analogía por medio del consenso en su significado.

1.4. Avances en el Siglo XVII Esta época se podría considerar la más prolífica en lo que a generación de talento

matemático respecta, durante este siglo entregaron las conclusiones de sus trabajos y postulados, matemáticos tan importantes como Descartes, Pascal, Newton y Kepler, sólo por nombrar algunos.

Es muy difícil que se vuelva a repetir una explosión de conocimiento como la

experimentada durante aquellos años, ya que hasta hoy se sigue utilizando el conocimiento que se desprende del impresionante trabajo de estos estudiosos. Gran parte de estos matemáticos basaron sus estudios en la filosofía de Pitágoras, por lo que para ellos lo más importante fue encontrar la relación matemática existente en el mundo que les rodeaba.


Es en esta época de la historia de las matemáticas, cuando surgen los postulados que

orientan una disciplina que recibe el nombre de “cálculo”, el cual se considera una de las creaciones matemáticas que más ha influido en la marcha de diversas ciencias. Esta herramienta fue desde el principio un potente y determinante motor de generación de conocimiento.

Durante estos años surge otra rama en el gran árbol de las matemáticas, la teoría de “la probabilidad”, la cual es postulada por Femat y Pascal, quienes explicaron las relaciones presentes en el complejo mundo del azar. Esta teoría surgió, al igual que otros grandes aportes de las matemáticas, como un juego y, al igual que ellos, con el tiempo se convirtió en una disciplina importante cuyo tratamiento se estructura en forma rigurosa, lo que le otorga aplicaciones prácticas muy trascendentes.

1.5. Situación en el Siglo XVIII Durante este siglo, destaca principalmente el aporte de matemático suizo Leonhard

Euler, este científico escribió múltiples textos relacionados con el cálculo, la mecánica y el álgebra, dichos textos se convirtieron en un legado, por lo que han sido revisados y estudiados por miles de personas interesados en estas disciplinas, convirtiéndose en modelos para experimentar y explicarse los cuestionamientos que surgen de éstas.

Pero el éxito de Euler y sus colegas contemporáneos, que refinaron el uso del cálculo

para dar respuesta a dilemas matemáticos y físicos, sólo ratifica que las ideas básicas del cálculo necesitaban un desarrollo más adecuado y que se justificaran algunas de sus propuestas. Se podría decir por tanto, que durante esta época no se generaron nuevos conocimientos y, es más, los que se generaron no pudieron competir con la efectividad de los antiguos postulados griegos, situación que fue comprendida sólo en el siglo venidero. A fines del siglo XVIII y principios del siglo XIX los matemáticos franceses hicieron grandes aportes en lo que a geometría se refiere, ya que revitalizaron esta rama de las matemáticas y provocaron el surgimiento de nuevos campos de estudio, como la geometría diferencial, la geometría descriptiva y la de tipo proyectiva, las cuales se transformaron en fuentes de influencia para continuar el desarrollo de la disciplina en los años posteriores.

1.6. Las Matemáticas en el Siglo XIX El siglo XIX tiene un eje específico, el cual está orientado al logro de la

fundamentación rigurosa de los conocimientos matemáticos que obtuvieron los estudiosos de la disciplina durante los siglos precedentes, todo esto sin perder de vista que la expansión del conocimiento en el área nunca cesa, pero surge principalmente a partir de los primeros


postulados, como es el caso de la “geometría no euclidiana”, que hace su aparición en la primera parte del siglo, cuyos construcciones geométricas contradecían los postulados de Euclides, pero tienen tanta consistencia, desde el punto de vista lógico, como la teoría generada por este científico. Este descubrimiento asombró a los científicos y a la vez abrió la puerta a la curiosidad que llevó a repensar y buscar un conocimiento más acabado de los orígenes, y fundamentos teóricos de las ciencias matemáticas.

Durante este período el dominio del área científica matemática se traslada a Alemania,

país natal de Gauss, cuyos aportes lo convierten sin discusiones en el talento más destacado y completo de este siglo. El espectro de conocimientos y teorías entregadas por este estudioso cubre todo el ámbito de la matemática básica contemporánea, influyendo en disciplinas tan diversas como el cálculo, el análisis, la geometría, el álgebra, la estadística y la teoría de números.

Lo que quedó del siglo XIX y XX se dedicó al estudio de las bases conceptuales

matemáticas con el fin de lograr volver a fundar y entregar estabilidad a la gran construcción de conocimientos que se generó durante los miles de años de aportes teóricos, fruto del estudio detallado de científicos de todas las culturas y lugares del mundo, quienes entregaron su vida a la difícil tarea de explicar la relación existente entre los elementos que conforman la realidad humana.

1.7. Las Matemáticas Actuales El hito más importante de las matemáticas contemporáneas fue establecido en el año

1900, durante la Conferencia Internacional de Matemáticos, momento en el cual el científico matemático alemán David Hilbert, planteó una serie de 23 problemas que orientaron gran parte del posterior desarrollo de las matemáticas. Estos problemas se presentaron luego de la revisión profunda que se hizo a las bases teóricas de la disciplina durante la última parte del siglo anterior, por lo que cada vez que se logra resolver uno de ellos la comunidad matemática mundial se impacienta por conocer los detalles, ya que éstos pueden ser la fuente de profundos cambios en su concepción de su área de estudio.

El conocimiento matemático, no ha estado libre de la influencia del fenómeno

expansivo de saberes que se ha generado en todas las áreas del desarrollo humano durante los últimos años. Muchas teorías que se consideraron inobjetables han sido refutadas y otras que se pensaba no podían ser relacionadas se han fusionado para dar origen a nuevas teorías más completas y/o abstractas. La explosiva generación de conocimientos está permitiendo encontrar una aplicación práctica incluso a las ramas de las matemáticas que se consideraban más abstractas.

El gran aporte a la revolución de las matemáticas y también de otras ciencias, ha sido la irrupción del computador como herramienta para facilitar el estudio, lo que ha permitido


modificar profundamente los métodos de estudio, principalmente como fruto de las múltiples posibilidades de experimentación y simulación que otorga este aparato. El uso del computador ha permitido realizar experimentos y cálculos que por su complejidad y magnitud no hubiesen sido posibles sin el apoyo de este instrumento. Algunas de las virtudes más destacadas del computador al servicio de las matemáticas son, su capacidad para realizar cálculos complejos a gran velocidad, la reproducción fiel de modelos por medio de representaciones gráficas, la facilidad para establecer relaciones de tiempo y espacio, entre otras. A partir del descubrimiento del computador, se puede esperar que por medio de su uso se desarrollen conocimientos que remezan todo lo que en un momento se dio por cierto, sólo basta esperar a ver las maravillas que el uso de esta máquina puede involucrar para la humanidad, no sólo en las matemáticas, sino en cada una de las áreas del saber hasta ahora conocidas.

CLASE 03

2. BASES NEUROLÓGICAS DE LAS MATEMÁTICAS

El cerebro humano se divide en dos hemisferios, el hemisferio derecho y el izquierdo, cada hemisferio cerebral puede trabajar en forma autónoma, como si se tratase de un cerebro independiente, aunque existen determinadas funciones que deben realizarlas en forma conjunta. Los hemisferios cerebrales se dividen tanto las tareas como las responsabilidades que tienen en el pensamiento y ejecución de las diversas actividades que realizan las personas. En una descripción bastante breve de las funciones atribuidas a uno y otro se puede señalar lo siguiente: - El Hemisferio Izquierdo: se podría considerar bajo el nombre de hemisferio “práctico y

racional”, ya que entre sus funciones más destacadas se encuentra el control de los aspectos relacionados con el pensamiento lógico, de la estructura que regula el lenguaje, la lectura y la escritura convencional.

En esta parte del cerebro, se descifran analítica y racionalmente todos los estímulos relacionados con el procesamiento de símbolos como las letras o los sonidos que forman las palabras, se encarga de almacenar los conceptos asociados a las palabras. También, se trabajan los aspectos que se relacionan con la numeración, las matemáticas y el pensamiento lógico, estableciendo habilidades como el pensamiento proporcional, el procesamiento de series, y la operatoria entre números. Además, se caracteriza por gobernar los movimientos de la parte derecha del cuerpo.


- El Hemisferio Derecho: podría recibir el nombre de hemisferio “abstracto e integrador”, porque en esta parte del cerebro humano se encuentran todas las habilidades relacionadas con la síntesis de elementos, lo que quiere decir que las personas utilizan este hemisferio cuando necesitan configurar una idea bajo una visión de conjunto o cundo se requiere trabajar con funciones y estructuras complejas.

Se considera que su principal apoyo al pensamiento, se logra cuando se requiere formar un todo a partir de la unión de las partes que conforman el conjunto, además de colaborar en aquellas tareas que requieran la utilización de conceptos superiores y el uso de abstracciones, o sea el pensar en objetos que no existen en la realidad tangible.

En esta mitad del cerebro se pueden encontrar elementos asociados a las formas

orales arcaicas, las cuales no se regulan por la sintaxis, sino por esquemas de sonidos y asociaciones. Es en este hemisferio donde se produce el pensamiento por asociación o analógico y la capacidad de utilizar el lenguaje simbólico, además de generar productos como los sueños, las fantasías y los componentes de la imaginación. En esta porción cerebral se procesan los movimientos que se efectuarán en la parte izquierda del esquema corporal.

La actividad cerebrar que realice uno u otro hemisferio dependerá de la actividad que éste realice.

Por ejemplo

En el caso de que la persona quiera leer, escribir o realizar alguna operación matemática que requiera el uso del cálculo, la porción de cerebro que más trabajará durante la ejecución de dichas actividades será el hemisferio izquierdo; mientras que si el individuo pretende apreciar una pieza musical, inventar una historia, meditar o crear una composición plástica, va a requerir preferentemente de una mayor actividad mental en la zona derecha de su estructura cerebral.

Es importante señalar, que independientemente del hemisferio que domine las acciones en una determinada actividad, en las personas que no presentan patologías, él área que no lo está haciendo de todas formas continúa funcionando, ya que debe enviar información al área dominante. Esto se debe a que hasta en los trabajos más abstractos tienen componentes lógicos, lo mismo se produce a la inversa.

Cuando las personas no presentan alteraciones a nivel cerebral, ambos hemisferios se comunican permanentemente, esto se debe a que están unidos por un cuerpo calloso que tiene la función de actuar como una unidad coordinadora.


Las conclusiones respecto a la dominancia cerebral en las distintas acciones que ejecutan los seres humanos surgen como producto de las observaciones que se han realizado en sujetos con lesiones cerebrales, las cuales han permitido comprobar que los hemisferios y sus funciones no son equivalentes.

Por ejemplo

Existen muchos informes, en los que se ha observado a individuos que presentan lesiones cerebrales en el hemisferio izquierdo, que dan testimonio de graves alteraciones en el lenguaje y los sistemas de comunicación; mientras que en pacientes con una lesión similar en el hemisferio derecho es muy poco frecuente que se manifieste dicho efecto.

El resumen y contraste entre las mitades cerebrales y su dominancia queda reflejado

en el cuadro que se presenta a continuación:

Cuadro Nº 1: Dominios Adjudicados a cada Hemisferio Cerebral

HEMISFERIO IZQUIERDO

HEMISFERIO DERECHO

Es lógico y verbal

Es intuitivo y creativo

Procesa principalmente palabras

Procesa principalmente imágenes

Divide y analiza las partes y detalles de un todo

Reúne y sintetiza las partes y detalles en un todo

El pensamiento sigue una secuencia

El pensamiento se procesa en forma simultánea

Se rige por el tiempo

Sus principios son atemporales

Aunque todas las personas usen ambos hemisferios, siempre habrá uno que domine sus acciones por sobre el otro. Siempre será importante fomentar una buena comunicación entre ambos hemisferios, de manera que se logre determinar en qué consiste una situación determinada y luego se identifique la mejor herramienta o estrategia para abordarla y superarla, sin embargo la gran mayoría de las personas prefieren quedarse cómodamente en la zona que maneja su hemisferio dominante, procesando toda la información con ésta área de su cerebro.


En la sociedad actual existe una tendencia de dominancia situada en el hemisferio cerebral izquierdo, por lo que el uso de las palabras, las mediciones y la lógica se sobreponen a la imaginación, el pensamiento divergente, la creatividad, la intuición, las sensaciones y las habilidades relacionadas con la estética y/o el arte. Generalmente, a las personas les complica el usar las habilidades relacionadas con el área cerebral derecha. Para trabajar las habilidades que se relacionan con el aspecto lógico matemático, el uso del hemisferio cerebral izquierdo debe ser quien domine las acciones, sin embargo, se recomienda desarrollar e incluir habilidades implicadas con el uso del área cerebral derecha, principalmente debido a que se requiere de la abstracción y el uso del pensamiento creativo para resolver diversos problemas de tipo matemático.

La operatoria matemática utiliza constantemente el pensamiento, que permite trabajar sobre supuestos y elementos que no se encuentran presentes en forma concreta, situación por la cual se va a requerir las habilidades que se desarrollan en el hemisferio cerebral derecho. Se puede indicar por lo tanto, que para enfrentarse en forma adecuada a las matemáticas, se requiere que ambos hemisferios cerebrales dialoguen y se relacionen para lograr un trabajo óptimo.

CLASE 04

3. PRINCIPALES CORRIENTES DIDÁCTICAS DE LAS MATEMÁTICAS A lo largo de la historia han existido muchas tendencias respecto a la mejor manera de

afrontar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, algunas de ellas están presentes en la educación contemporánea; mientras que otras han sido desechadas por considerárseles obsoletas.

A continuación, se procederá a realizar un análisis de las principales tendencias que

han dominado la didáctica de las matemáticas, presentando las características más destacadas de cada una de ellas.

3.1. El Estructuralismo

La tendencia estructuralista para la educación de las matemáticas, emerge como una respuesta natural a la dificultad que planteaba la adquisición de los conocimientos para los aprendices. Esta forma de asumir la didáctica de las matemáticas, se sustenta en las características propias de la disciplina, la cual se presenta como un cuerpo de conocimientos con verdades que no es necesario demostrar, debido a que son tan evidentes que se explican por sí mismas. Dichas verdades se conocen con el nombre de axiomas y son los elementos que construyen las teorías.


Esta forma de abordar la didáctica, que en su momento se conoció como “matemática moderna”, se sustenta sobre el método de “procesamiento de información de tipo deductivo”, por lo que primero se dedica a analizar los principios generales que regulan el conocimiento, para luego pasar a estudiar las situaciones particulares que se establecen al unir las partes componentes.

La manera de enseñar que utiliza el estructuralismo supone que “como la matemática

es un sistema de conocimientos bien estructurado, cualquier problema o situación particular debe encontrar su explicación en alguna parte del propio sistema”.

Al trabajar sobre axiomas, los pedagogos que utilizaban este método de educación

consideraban que las respuestas se encontraban en los propios axiomas y que por ser estos verdades evidentes, es decir, que no necesitan ser comprobadas, sólo se debía enseñar el axioma y dejar que el alumno descubriese la manera de relacionar los elementos, y elaborar los conceptos que le permitiesen construir sus conocimientos.

Desde la psicología del aprendizaje, el “estructuralismo” se fundamenta a partir del

siguiente enunciado: “cuando un individuo aprende, generaliza los hechos concretos para sacar conclusiones y clasificarlos”. Además, se ha demostrado que el mecanismo empleado en el funcionamiento de la memoria se basa en las asociaciones de símbolos.

A partir de estas ideas, se piensa que cuando el alumno es capaz de descubrir el

principio que regula y orienta una determinada realidad, será capaz de generalizar y aplicar dicho conocimiento a otras situaciones similares que así lo requieran, esto se puede apreciar en el caso de que a una persona le digan el nombre de otra y ésta comience a recordar aspectos relacionados con ella, como el lugar en que se conocieron, su rostro o el grado de cercanía que les une.

Para los estructuralistas, las matemáticas se rigen por el mismo principio, por lo que

piensan que si a los alumnos se les enseña o, mejor aún, descubren el principio o axioma que regula una determinada propiedad, éstos serán capaces de generalizarlo a todas las actividades u ocasiones en que lo requieran.

Por ejemplo

Si un párvulo descubre el axioma de que un cuadrado tiene cuatro lados iguales, será capaz de traspasar dicho conocimiento a cualquier experiencia en la que él identifique que tal figura.

A pesar de que a primera vista, la estructura del conocimiento general es similar a la

estructura de los conocimientos matemáticos, las hipótesis estructuralistas se vieron


afectadas cuando se descubrió que la construcción de ambos no sigue el mismo camino, ya que en el conocimiento general el camino comenzó con la observación de los fenómenos y hechos concretos, luego de mucho esfuerzo formaron conceptos para finalmente estructurar el sistema de conocimiento; mientras que en el método estructuralista se parte del análisis de hechos concretos, para luego construir imágenes intuitivas llegando a formar conceptos en el final del proceso.

3.2. El Mecanicismo

En esta tendencia educativa, se entiende que las matemáticas son un “conjunto de reglas que se deben memorizar a fin de aplicarlas luego a problemas concretos”.

En esta forma de enseñar las matemáticas el profesor entrega las formulas, luego

resuelve algunos ejercicios a modo de ejemplo, con lo cual sirve de modelo para establecer los pasos de resolución y luego entrega una serie de ejercicios nuevos que siguen el mismo principio para ser resueltos, con la finalidad de que se ejercite y se vayan memorizando tanto las formulas como los pasos a seguir para resolver situaciones similares, ya sean estas de tipo ficticias o reales, es decir, el alumno deberá ser capaz de reconocer las semejanzas de cada caso para determinar la forma de resolverlo que le sea más adecuada.

Este tipo de metodología podría parecer muy adecuada e incluso llegar a considerarse

ideal para educar a los alumnos, ya que contarían con la orientación que entrega el modelo y una serie de respuestas para enfrentar diversos desafíos, sin embargo, al analizar los supuestos beneficios, se aprecia que la estrategia, cuando se aplica en forma inflexible, en lugar de desarrollar habilidades para resolver problemas, sólo estimula las habilidades de memorización. Además, no permite que los alumnos se planteen estrategias de resolución que les permitan enfrentar problemas nuevos; sino por el contrario, sólo se orientan a que el estudiante analice, busque y resuelva problemas análogos para estudiar las estrategias con las que el profesor logró dar solución al problema modelo.

Esta metodología, cuando se emplea sin el criterio pedagógico adecuado, sólo

introducirá en las estructuras cognoscitivas de los alumnos reglas, fórmulas y problemas ya resueltos. La repetición interminable de ejercicios modelo, no permite que el estudiante encuentre estrategias creativas para resolver los problemas, situación que le afectará profundamente cuando se encuentre con dilemas cotidianos en los que no sepa cómo aplicar el conocimiento por presentar variaciones en la comparación con los problemas resueltos por el profesor.

Realice ejercicio Nº 1 al 10


La metodología mecanicista se sustenta sobre los postulados del conductismo, específicamente en la corriente relacionada con el condicionamiento operante, el cual ha demostrado ser altamente efectivo en el adiestramiento de animales, para que ellos emitan determinadas conductas con la finalidad de obtener una recompensa, pero en el caso de los seres humanos se puede considerar una forma de manipulación, lo cual puede ser muy cuestionable desde el punto de vista ético. En ella, no encuentran cabida aspectos como la motivación de los alumnos o la aplicabilidad a situaciones reales. Se puede señalar sin embargo que esta metodología al ser combinada con otras más flexibles puede llegar a convertirse en una herramienta bastante efectiva para la correcta educación de los estudiantes.

3.3. El Realismo El padre del realismo es un matemático alemán de apellido Freudenthal, quien postula la idea de que el alumno puede comprender y utilizar de mejor manera los conocimientos extraídos de esta disciplina en la medida que su aprendizaje se sustente sobre el método deductivo, lo que quiere decir que el alumno parte de la experiencia y su conocimiento de la realidad cotidiana para elaborar los modelos y teorías más amplias, es decir, el conocimiento empieza en lo particular para terminar en lo general. En este método se pone mucho énfasis en la sistematización del conocimiento.

3.4. Aspectos de las Diversas Metodologías que Favorecen el Aprendizaje Matemático

Todas las metodologías que se han planteado buscan alcanzar el mismo objetivo, que es hacer más fácil y comprensible el proceso de enseñanza-aprendizaje de los contenidos matemáticos, por ello que se puede señalar que todos (algunos en mayor medida que otros) poseen argumentos y estrategias, que pueden ser muy favorables al momento de enseñar los conceptos y habilidades relacionadas con esta disciplina.

A continuación, se analizarán las principales cualidades de las teorías y corrientes que

han demostrado ser más efectivas en este campo, de manera que el educador pueda formarse una imagen general que le permita configurar una forma personal de abordar la tarea de enseñar los saberes de esta ciencia.

Los postulados del método realista son los que, desde el punto de vista pedagógico,

se consideran más apropiados al momento de abordar el proceso de enseñar y aprender matemáticas, esto se debe a que en esta teoría el alumno asume un rol protagónico, ya que debe ser muy activo al momento de conseguir su aprendizaje, mientras que el educador asume la responsabilidad de orientar el proceso, guiando al alumno cuando se desvíe del cause regular.


El educador deberá estar muy pendiente de adecuar los términos empleados a la realidad del estudiante, ya que cuando se emplea esta metodología de enseñanza el propósito apunta a que sea el propio alumno quien elabore sus conocimientos, rechazando lo conceptos que hayan sido construidos en forma previa por otras personas. En el caso de la metodología estructuralista, se podría decir que su principal aporte consiste en que se entregan las matemáticas poniendo el énfasis en la rigurosidad como una característica propia de este cuerpo de conocimientos. En la matemática existen verdades que son innegables e inmodificables, de manera que se deben asumir sin poner cuestionamientos al respecto, en esto la metodología estructuralista se presenta como una herramienta muy útil para comprender las matemáticas, al igual que el modelo mecanicista bien entendido. Sin embargo, es muy necesario, que el tratamiento de las matemáticas bajo la metodología estructuralista se realice reproduciendo y entendiendo las características del momento histórico en el que se develaron dichas verdades incuestionables, permitiendo al alumno ser él mismo quien tenga la posibilidad de investigar y sentirse el descubridor de dichas propiedades. Para ello, el educador deberá poseer la habilidad de preparar el ambiente de conocimiento y las situaciones de aprendizaje, para que todo se encause directamente a la adquisición de dicho conocimiento.

En definitiva, el educador deberá procurar crear un ambiente similar a un laboratorio o taller, en el cual el alumno se sienta libre de experimentar para sacar sus propias conclusiones respecto a determinadas realidades.

Por ejemplo

Una clase de geometría podría comenzar exponiendo la situación que afectaba a los egipcios respecto al problema de demarcación de terrenos producto de las continuas crecidas del río Nilo.

Una vez que los estudiantes descubren la manera en que esta cultura encontró

solución a su problema, el educador solicita a los alumnos que piensen en situaciones de su vida cotidiana que podrían resolver utilizando la solución que encontraron los egipcios, o bien elaborando situaciones basadas en la realidad para que ellos experimenten y encuentren respuestas.

Lo más importante, es no olvidar el que se debe dejar atrás la tendencia a resolver

ejercicios descontextualizados, los alumnos deben descubrir que las matemáticas están


presentes en todo su entorno y que puede ser una herramienta útil para enfrentar los diversos desafíos que la vida cotidiana les pueda deparar.

El reconstruir las matemáticas, implica trasladarse en el tiempo hasta las condiciones iniciales de su surgimiento, el planteamiento concreto es que se debe estudiar la historia y las biografías de quienes hicieron aportes para el desarrollo de las matemáticas.

Este estudio muestra al estudiante que la ciencia surge y se desarrolla como una

necesidad social, al contrario del mecanicismo mal entendido que presenta las construcciones en su forma acabada, se debe llegar a redescubrir las fórmulas para que el estudiante, en lugar de memorizarlas, sea capaz de obtenerlas por medio de un proceso de reconstrucción, haciendo uso de la combinación de los métodos deductivo e inductivo.

Generalmente, al enseñar matemáticas se desprecia el error (para comprobar dicha situación sólo basta observar los grandes círculos rojos con los que se enmarcan en las pruebas) lo cual lleva a que se desestime su aporte a la didáctica.

Cuando surgieron los conocimientos matemáticos sus descubridores no lograron

alcanzarlos de manera automática y sin errores, muy por el contrario, el saber matemático surge a partir de la experimentación, cuyo proceso suele estar repleto de situaciones en que se encontraron respuestas incorrectas.

El educador por lo tanto, deberá asumir una postura de asistente y acompañante en el

camino que lleve a los alumnos a descubrir que un problema se puede resolver por múltiples vías, señalando que algunas de ellas le llevarán a cometer errores, pero que sin duda le ayudarán a construir la ruta que lo lleve al conocimiento acabado y certero.

Se deberá superar por tanto, la concepción errada del mecanicismo en la que se

evaluará como correcta una respuesta que llegue al resultado que espera el docente, utilizando el método propuesto por éste; por el contrario, se deberá incentivar al alumno a que encuentre sus propias vías de solución, poniendo el énfasis en la explicación de los procedimientos y en la creatividad al momento de buscar resultados, sin olvidar por cierto que en las matemáticas es importante llegar a un resultado determinado.

El permitir al alumno buscar maneras creativas de buscar solución a los ejercicios

influirá directamente en su motivación, ya que sentirá que las respuestas no las tiene sólo el profesor, sino que él también puede encontrar algunas que el profesor no ha descubierto. Para enfrentar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas, se sugiere que tanto el método inductivo como el deductivo dialoguen en la búsqueda de un resultado.

Según Piaget, lo más importante en la educación es la constante situación de equilibrio-desequilibrio cognitivo, en la que se encuentra el estudiante mientras aprende, ya que sobre la base de las constantes contradicciones el alumno asimila los conceptos.


Cuando un alumno se enfrenta a una situación para la que no encuentra respuesta a un determinado dilema, se encontrará en un estado de desequilibrio cognitivo, una vez que descubra la forma de resolver su cuestionamiento volverá a encontrarse en equilibrio, construyendo de paso el concepto e incorporando éste a su estructura cognitiva.

Por ejemplo

A un niño se le solicita que nombre las cuatro figuras geométricas básicas, es decir, el cuadrado, el triángulo, el rectángulo y el círculo. Si el niño conoce las figuras geométricas, se encontrará en estado de equilibrio cognitivo, por lo que no le costará resolver la tarea.

Cuando al mismo niño se le solicita que nombre las figuras con cuatro lados, se ve

desequilibrado porque no conoce aún los lados de las figuras. Se le entrega por lo tanto, el principio de que “las figuras planas poseen más de dos líneas rectas, en cambio el círculo está formado por una línea curva cerrada”.

A partir de dicha generalidad, por medio de la inducción, el alumno podrá separar

las figuras restantes en dos grupos, en el primero pondrá las figuras similares como lo son el cuadrado y el rectángulo y en otro grupo el triángulo, ya que posee tres lados.

Luego, utilizando el método deductivo, revisará si cada una de las figuras cumple

con la regla general. Una vez que el niño logre comprobar la regla volverá a encontrarse en estado de equilibrio y habrá incorporado a su estructura cognitiva el concepto de las figuras geométricas.

Es muy importante aclarar, que ninguna de las metodologías es totalmente efectiva por sí misma, ya que cada una de ella se inclina hacia el método deductivo o al inductivo, por lo que se deberá procurar tomar lo mejor de cada una de ellas para proponer y utilizar aquella que responda de mejor manera a los requerimientos del contexto en el que deba enseñar.

Por ejemplo En el caso del estructuralismo, no se deberá procurar conocer sólo la estructura de

las matemáticas, sino que se deberá también buscar las diversas formas de llegar al mismo resultado, probando múltiples métodos de resolución para un mismo problema.


Se debe volver a insistir en que tanto los ejemplos como los problemas que se empleen en la enseñanza, deben ser extraídos de situaciones relacionadas con el contexto en el que se desenvuelven los alumnos. También, se debe señalar que la tarea de elaborarlos y exponerlos no es exclusiva del educador, por el contrario, los alumnos deben participar activamente en dicha labor.

CLASE 05

4. ESTADIOS DEL DESARROLLO MATEMÁTICO Como fruto del trabajo de investigación y observación directa en el estudio de los sujetos realizado por el psicólogo experimental Jean Piaget, surge la descripción de una serie de patrones de desarrollo que son característicos de los seres humanos en las diferentes etapas, que se dividen de acuerdo a edades aproximadas y se denominan estadios del desarrollo. Una de las características de los estadios del desarrollo, es que siguen una secuencia y que aprovechan el desarrollo de las habilidades adquiridas en los estadios anteriores para completar, corregir o modificar las estructuras cognitivas en la que se organizan los conceptos.

Es muy importante tener presente en todo momento, que las edades que se entregan para describir los estadios son sólo referenciales, ya que en el proceso de desarrollo de un niño o niña interactúan múltiples factores, tanto genéticos como del entorno, que influyen en que los procesos sean aproximados, pero no absolutamente idénticos.

Por tanto, no se deberá considerar un motivo de preocupación el que un individuo de

cierta edad no evidencia alguna característica descrita para el estadio evolutivo en el que se debiese encontrar. Lo más trascendental en el trabajo de Piaget, es la descripción de la secuencia de desarrollo como una sucesión ordenada de períodos.

La descripción de los estadios del desarrollo propuestos por Piaget, también hace referencia a la evolución de las habilidades matemáticas y el pensamiento lógico, las características de cada estadio en relación a dicha disciplina se procederá a revisar a continuación.

4.1. Período Sensorio-Motriz Esta etapa, se presenta en los niños desde su nacimiento hasta los dos años de edad aproximadamente. Durante este tiempo el niño vivirá experiencias que le ayudarán a conformar su pensamiento y desarrollarán habilidades que les acompañarán durante toda la vida.


Son numerosos los estudios en los que se señala que este período es crítico para el desarrollo de la inteligencia y las habilidades cognitivas, ya que son muchas las capacidades que de no ser estimuladas a esta edad, no se podrán trabajar o será difícil desarrollarlas a futuro.

Durante este período del desarrollo, los niños comienzan a modificar los reflejos heredados como una forma de responder a las pautas originadas por su contacto con la realidad y sus experiencias. Los niños pasarán gradualmente de un conocimiento y experimentación de las sensaciones corporales, a una relación con los objetos, descubriendo de paso las habilidades de manipulación que ellos pueden desarrollar.

Hacia el final de este período, logrará descubrir que los objetos siguen existiendo

aunque ya no se encuentren dentro de su campo visual o de percepción, habilidad que será muy importante para desarrollar posteriormente el principio de abstracción. Cuando el niño domina sus habilidades sensitivas y motrices, logra establecer los fundamentos sobre los cuales se desarrollarán todas sus habilidades a futuro, por lo que dependerá de lo bien que se estimulen dichas habilidades durante este período el que la persona logre desarrollar su pensamiento, sus capacidades perceptivas y las actitudes prácticas que utilizará durante toda su vida.

El tipo de inteligencia que se adquiere en esta etapa del desarrollo se denomina “inteligencia sensoriomotora” y tiene por objetivo fundamental, coordinar todos los estímulos que el cuerpo reciba por medio de los sentidos y los movimiento que el propio cuerpo genera para responder a aquellos estímulos.

Se debe señalar que en esta edad, aún no existe una visión de conjunto entre ambos

elementos, por lo que el niño aún no desarrolla patrones motrices, así como tampoco genera una visión de conjunto.

Por ejemplo

Un niño de un año aún no comprende que determinados movimientos de su cuerpo pueden generar una determinada consecuencia en su entorno, dicha concepción la adquieren por medio del ensayo y error, en una actividad tan característica como dejar caer sucesivamente un objeto para que un adulto lo recoja o empujar una pelota para hacerla rodar.

La inteligencia que se desarrolla en este estadio, tiene fines absolutamente prácticos y no busca adquirir ningún conocimiento, es por ello que se le considera una inteligencia vivida, lo que quiere decir que un niño no toma diferentes elementos con sus manos con la


intención de aprender las múltiples posibilidades de agarre que tienen sus dedos, sólo lo hacen por el placer que le provoca el tomar aquel elemento y sentir su textura.

Aunque el niño no tenga una intención de aprendizaje explícito, su contacto con el mundo le entregará mucha información y conocimientos respecto a la realidad de su entorno, a su esquema corporal y a las posibilidades que le otorga el uso de éste.

Los niños que pasan por este estadio del desarrollo, no logran distinguirse como un elemento individual, o que el universo que le rodea esté compuesto por elementos independientes, sino que se considera parte de un todo, se interpreta como un elemento ligado estrechamente con todo el resto del mundo circundante, a dicha propiedad de esta etapa del desarrollo se le denomina “egocentrismo”.

Por ejemplo

Un acto característico del pensamiento egocéntrico, se puede observar cuando los niños comienzan a llorar cuando ven a otra persona llorando, aunque ellos no tengan motivo alguno para emitir dicha conducta, esto se debe a que el niño aún no logra descubrir que es un individuo y se siente afectado por la situación que le está ocurriendo a la otra persona. De la misma manera, si le duele algo, no comprenderá que a quienes le rodean no les duela lo mismo que a él.

Los procesos fundamentales del pensamiento que se desarrollan durante los dos

primeros años de vida, son la construcción de categorías para los conocimientos relacionados con los objetos, el espacio, la noción de causa efecto y la concepción de los elementos que componen la estructura temporal. Todos estos conocimientos se incorporan como situaciones prácticas o de acción y no como elementos netamente conceptuales o del pensamiento.

4.2. Período del Pensamiento Pre-Operacional

A partir de la última parte de los dos años y hasta los siete aproximadamente, los niños comienzan a vivir el estadio del desarrollo preoperacional. En esta etapa la principal característica del pensamiento, consiste en que la actividad mental se sustenta en la representación de los objetos y en la capacidad de anticiparse a las actividades, ambas actividades se realizan a nivel mental. En este período se distinguen claramente dos subestadios, cuyas características se describen a continuación:


• Subestadio del Pensamiento Simbólico y Pre-Conceptual.

Este tipo de pensamiento se desarrolla aproximadamente a fines del segundo año de vida y se extiende hasta que el niño llega a los cuatro años.

La imitación para representar acciones o sucesos, el juego simbólico, la

representación en la imaginación y el pensamiento verbal, es decir, el origen del lenguaje con propósito, son elementos característicos de este tipo de pensamiento.

Es gracias a que las personas adquieren y aprenden a usar el lenguaje durante esta

etapa, que se logra la capacidad de volver a construir las acciones y vivencias pasadas en forma de relato o anticipar las acciones que ejecutarán mediante la representación. Esta situación, tendrá directa relación con un aspecto fundamental de la capacidad mental, el raciocinio y, por ende, será muy importante para el dominio de las habilidades relacionas con las matemáticas, dichas consecuencias son:

- Que se facilita el intercambio de experiencias, sensaciones e ideas entre los individuos,

es por ello que se considera un paso fundamental en el inicio de la socialización de las acciones.

- Sólo cuando se adquiera la habilidad del lenguaje se logrará dar paso al desarrollo del

pensamiento, ya que el pensar se considera un lenguaje interno y se sustenta sobre la base de signos y conceptos, los cuales son los elementos fundamentales en el uso de la lengua y la comunicación.

- La interiorización de la acción, la cual hasta esta edad sólo era perceptiva y se

fundamentaba en la motricidad, o sea concreta y práctica. Con la adquisición del lenguaje se logra que la acción adquiera características abstractas y conceptuales.

Por ejemplo

Antes de adquirir el lenguaje los niños sólo entendía el comer por medio de la experiencia directa o la observación, por lo que podían identificar la acción mientras observara a alguien comer o el mismo fuese quien comiera, si escuchaba la palabra comer no lograría identificar su significado.

Al desarrollar la habilidad del lenguaje cuando escuche la palabra comer, podrá

realizar una representación mental de la acción y la asociará a una idea, lo que quiere decir que podrá pensar en la acción.


• Subestadio del Pensamiento Intuitivo.

Este pensamiento, es característico de los niños que comienzan a vivir entre la última parte de sus cuatro años de vida y la primera mitad de los siete años. En esta etapa los niños y niñas no han adquirido la lógica, por lo que utilizan la intuición como medio para suplirla. En el desarrollo del pensamiento intuitivo se utilizan todos los conocimientos adquiridos por medio del trabajo sensoriomotor de los primeros años.

Esta etapa se considera pre-lógica, ya que el niño es capaz de manejar conceptos,

pero aún no logra unirlos en forma lógica para sacar conclusiones o construir los aspectos fundamentales de las nociones que conforman el pensamiento lógico. Es por eso que en el pensamiento, sigue dominando el uso de la percepción por sobre el razonamiento y por la misma razón, aún no logra manejar la idea de número y la cantidad que s asocia a ellos.

Para que los niños adquieran el concepto de número, a partir de sus aspectos de

cardinalidad y orden deberán haber adquirido antes la noción de conservación, ya que ella les ayudará a comprender que una cantidad no se modifica, aunque se manipulen los elementos que conforman su totalidad, siempre y cuando no se le agregue ni se le extraiga nada.

La noción de conservación puede ser adquirida cerca de los siete años, siempre y

cuando los niños cuenten con instancias que les permita estimular y ejercitar tempranamente los componentes que facilitan la incorporación de dichos conocimientos a la estructura cognitiva.

4.3. Período del Pensamiento Operacional Concreto

Entre los siete y los doce años se desarrolla el estadio del desarrollo denominado “de las operaciones concretas”. Durante este período, las personas son capaces de seguir las diversas transformaciones que presentan los objetos, adquiriendo la noción de conservación y el individuo consigue observar las cosas desde más de un punto de vista. Junto a esta noción, se adquieren las habilidades que permiten el desarrollo de las operaciones, que corresponden a acciones interiorizadas, susceptibles de ser reversibles y que pueden ser generalizadas.

Es importante señalar, que la ejecución de estas acciones, aún está ligada a las

experiencias observables, porque para construir las operaciones aún no se puede apelar solamente a la lógica.

En la sociedad occidental, generalmente los niños inician su proceso de educación formal a una edad que ronda los siete años de edad, esta situación marca un hito trascendental en la capacidad cognitiva y el desarrollo mental de los sujetos. Una de las habilidades más importantes que se logran durante este período es la de comenzar a


establecer las bases que conformarán la difícil construcción que les permitirá acceder a la reflexión, esto se logra gracias a que las personas a esta edad comienzan a pensar antes de actuar.

Durante esta etapa, los niños comienzan a aprender conceptos básicos para la elaboración del pensamiento lógico-matemático, entre las que se encuentran la adquisición del concepto de número, las operaciones matemáticas (sumar, restas, multiplicar y dividir, sólo será posible una vez que la persona haya adquirido el concepto de número), las nociones fundamentales de geometría y el concepto de conjunto, entre otros muchos temas.

Cuando el niño comienza a contar, generalmente no concibe los números como unidades independientes (3, 5, 8, 12…) sino que para comprenderlos deben encontrarse dentro de una serie de sucesión ordenada (1, 2, 3, 4…), incluso es posible observar que no pueden iniciar el conteo a partir de un número diferente que no sea el número uno.

Otro aspecto relacionado con el número, tiene que ver con la capacidad de formar los

números que superan el nueve (10, 11, 12, 13…) situación que puede ser altamente compleja para los niños pequeños, debido a que ellos todavía no logran establecer las complejas relaciones del sistema decimal de conteo, el que consiste en formar grupos de 10 componentes.

Los números del uno al nueve se consideran número intuitivos, ya que su secuencia y

cantidad no representan gran complejidad de comprensión para quienes comienzan a adquirir los rudimentos de las matemáticas.

4.4. Período del Pensamiento Operacional Formal

Se considera que las personas acceden a este estadio a partir de los doce años y se mantienen en él durante el resto de su vida. En esta etapa, se consolidan todas las habilidades adquiridas en los períodos anteriores y se adquieren nuevas formas de razonar respecto a los objetos, las realidades, hipótesis y proposiciones.

Si en los estadios anteriores el pensamiento se veía limitado por la acción, por lo que

sólo se tenía acceso a una realidad parcial, el pensamiento en esta etapa evoluciona y se generan múltiples posibilidades debido a que se puede sustentar sobre las ideas.

El pensamiento abstracto, permite que cuando las personas se acercan a los once o

doce años de edad, puedan usar símbolos que representen la realidad sin que se deban reproducir las condiciones en forma real o se usen manipulaciones concretas, lo cual facilita el uso de formulas y representa un avance notable para las condiciones matemáticas, ya que para resolver situaciones complejas los niños se pueden basar en hipótesis o enunciados verbales de problemas, sin requerir del apoyo de las percepciones o las experiencias concretas.


Se debe tener en cuenta que mientras más sólidas sean las bases que sustentan el desarrollo del pensamiento operacional formal, mayores serán las habilidades que se alcancen durante esta etapa del desarrollo humano.

CLASE 06

5. CONSTRUCCIÓN DEL CONCEPTO DE NÚMERO

Piaget, planteó que la adquisición y comprensión del número debe ser entendida desde su naturaleza, por lo que estableció una distinción fundamental de análisis entre la estructura y fuente de origen, por ello plantea que el número debe ser abordado a partir de los siguientes tres aspectos: “conocimiento físico, lógico-matemático y social”.

El número es un conocimiento relacionado más específicamente con el aspecto lógico-

matemático por lo que a continuación, se procederá a realizar un contraste entre este tipo de conocimientos y los otros dos que se plantearon.

5.1. Conocimiento Lógico-Matemático y Conocimiento Físico

Según Piaget, el conocimiento se encontraría dividido en dos polos que serían opuestos, aunque complementarios. Uno corresponde al conocimiento físico (relacionado con las características observables o susceptibles de ser captadas en forma tangible) y el conocimiento lógico-matemático, que sería aquel que se relaciona con la habilidad de reconocer la diferencia entre las propiedades de un elemento estableciendo relaciones y diferencias de éste respecto a otros.

Por ejemplo Un niño recibe un dado rojo y un dado verde, cuando aprecie que los dados son

duros o blandos, que tienen una forma determinada o que poseen un peso específico, estará realizando un análisis y exploración en la que se involucra el conocimiento físico; mientras que si indica que el color de un dado es diferente al otro, estará estableciendo una relación o comparación en la que utiliza el conocimiento lógico-matemático.

La diferencia entre ambos tipos de conocimiento radica en que, si bien las

características de ambos dados son perfectamente observables, la diferencia no es algo que se pueda encontrar en ausencia de uno de las dos. La diferencia entre los dados es una relación que ha sido creada en la mente del sujeto, pero que tangiblemente no existe en


ninguna parte, ya que si no se pone en relación ambos elementos la diferencia entre ellos no existe.

5.2. Conocimiento Lógico-Matemático y Conocimiento Social

Piaget estableció también una diferencia entre la enseñanza convencional del número

que reciben los niños, situación a la que denominó “conocimiento social del número” y que describe específicamente la manera en que se les enseña a los niños a contar.

Algunos casos que ejemplifican la transmisión convencional de conocimientos, serían

el celebrar año nuevo el primer día de enero, que para saludar se puede decir hola, o que no se debe hablar mientras se tenga alimento en la boca. Todos estos casos representan el conocimiento social, que tiene como principal característica el ser arbitrario, ya que se construye a partir del consenso entre las personas.

Al analizar la racionalmente los ejemplos antes expuestos, se puede llegar a

determinar que no existe ningún motivo físico ni lógico que impida celebrar año nuevo un 15 de marzo, es más el origen de las fechas y el propio calendario es el fruto de una convención social. Se concluye por lo tanto, que para adquirir el conocimiento social será indispensable que el niño recoja información de otras personas.

Se debe aclarar que el recibir la información de parte de las personas que se

encuentran en su entorno, no es el único requisito al momento de adquirir el conocimiento social por parte de un niño. El conocimiento social se debe sustentar en el marco lógico-matemático para asimilar y organizar la información, debido a que se trata de un conocimiento de contenidos.

Por ejemplo Un niño adquiere por medio del conocimiento social la idea de que el día 1 de

enero es día de año nuevo, pero necesitará de la asistencia del conocimiento lógico-matemático para determinar cuando se encuentre en dicha fecha y lograr discriminar entre ese día del calendario, y cualquier otro.

A modo de síntesis, se puede señalar que ambos tipos de conocimiento, tanto el físico como el social, requieren de la asistencia del marco lógico-matemático para lograr ser construido de manera efectiva.


CLASE 07 5.3. Aspectos a Considerar en la Didáctica de las Matemáticas

Es importante comenzar este apartado señalando que del primer contacto que tengan los alumnos con la disciplina matemática dependerá el futuro éxito o fracaso y el gusto, o el rechazo que los niños manifiesten hacia los contenidos de esta materia, por lo que se deberá prestar mucha atención en el proceso de enseñanza-aprendizaje que se lleve a cabo durante los primeros años de escolaridad. Una de las experiencias más importantes durante esta etapa es aquella que se relaciona con el aprendizaje pre-numérico.

Antes de iniciar el aprendizaje de los primeros números, el niño debe tener dominada la idea de constancia de una cantidad, es decir, ser capaz de reconocer la cantidad en cualquier estructura que se le presente. Esta capacidad surge, de acuerdo con la teoría Piagetana, en la medida que logre alcanzar ciertas conductas que subyacen a la idea de número.

Es de vital importancia, que el educador tenga un conocimiento profundo de las características psicológicas del niño en esta etapa de desarrollo, ya que ellas le permitirán justificar la importancia del uso de materiales didácticos concretos para facilitar la adquisición de conocimientos por parte de los alumnos.

Se entiende por material didáctico concreto, todos aquellos elementos que puede ser manipulado por el alumno y con el cual, interactuando directamente, se logre un aprendizaje significativo. El uso de este material en la enseñanza de la matemática, está necesariamente ligado a una didáctica activa, que corresponde a una metodología en el que el alumno se transforma en el actor principal, mientras que el material didáctico se convierte en el medio a través del cual el niño desarrolla acciones que lo llevan a identificar y alcanzar los objetivos educativos planificados por el docente.

En el cuadro que se expone a continuación, se detallan las conductas que se debe

pretender desarrollar durante los primeros años de educación matemática:


Cuadro Nº 2: Conductas a Desarrollar en los Primero años de Educación Matemática

CONDUCTA

DESCRIPCIÓN

Clasificar o hacer colecciones

Consiste en ordenar los elementos agrupándolos según una característica determinada (color, tamaño, forma, etc.)

Completar secuencias o seriar

Es completar con los elementos correspondientes loe espacios que quedan entre una secuencia siguiendo un patrón determinado o continuarla de acuerdo a un criterio preestablecido.

Establecer correspondencia término a término

Se logra formando pares ordenado de acuerdo a la similitud entre los elementos. Se sugiere que luego de formar el par se describan las características que llevaron a establecer la asociación.

Establecer relaciones espaciales

Consiste en ubicar y manejar con propiedad el espacio circundante, a través de conceptos como: abierto, cerrado; derecha, izquierda; arriba, abajo; dentro, fuera; sobre, bajo; atrás, adelante, etc.

Reconocer el principio de verificación

Corresponde a determinar si la afirmación propuesta como hipótesis o proposición es verdadera o falsa.

Establecer la relación entre el todo y las partes

Es inferir que las propiedades o características de un conjunto, o de un todo, incluyen a los subconjuntos que lo forman.

Una de las conductas más importantes a desarrollar durante los primeros contactos con los conocimientos matemáticos, corresponde al desarrollo de la habilidad para conservar cantidades continuas y discontinuas. Dicha habilidad consiste en comprender que la cantidad de elementos que componen un determinado conjunto, se conservan o mantienen aunque se cambie la forma, o la distribución en el espacio de dichos elementos componentes. En definitiva lo que se quiere expresar es que la habilidad relacionada con la conservación, se logra cuando las personas comprenden que mientras no se saquen o agreguen elementos a un conjunto, la cantidad no se modifica. Al respecto, existe un conocido experimento realizado por Piaget para determinar si los sujetos poseían o no los conocimientos que fundamentan la habilidad de conservación de


la cantidad, dicho experimento, consiste en presentar a la persona un conjunto de elementos ordenado en dos filas, de la siguiente manera:

Figura Nº 2: Elementos de un Conjunto Ordenados en Dos Filas

Los elementos, pueden ser fichas u otros objetos, siendo importante no perder de vista que, en lo posible, las características de estos deben ser similares al compararse entre sí.

Una vez presentados se pregunta cuál fila es la que tiene más objetos, ante lo que

todas las personas debiesen responder que ambas poseen la misma cantidad de elementos. Luego, se procede a mostrar una nueva forma de organizar en el espacio los

elementos que componen ambas filas, para lo cual se distribuyen como se muestra en la imagen que se expone a continuación:

Figura Nº 3: Elementos de un Conjunto Distribuidos Desordenadamente en Dos Filas

A

B

A

B


Ante esta nueva forma de distribuir los elementos en el espacio, si se vuelve a repetir la pregunta respecto a cuál es la fila que contiene más elementos, se obtendrán dos respuestas, dependiendo de que si la persona tiene incorporada o no la noción de conservación.

La respuesta de alguien que no tenga incorporada la noción de conservación, será

que la fila “B” contiene más elementos, mientras que el individuo que tenga incorporada dicha noción señalará que ambas tienen la misma cantidad de objetos. Generalmente, la primera respuesta es emitida por niños menores de seis años de edad, siendo posible que logren resolver correctamente el dilema ante cantidades pequeñas, pero que se equivoque cuando se repite el ejercicio utilizando una cantidad mayor de elementos. Gran parte del trabajo de Piaget, se centró en la observación de fenómenos como éste, al que designó bajo el nombre de “problema de conservación de la cantidad discreta”.

El autor postuló que la construcción del concepto de número, depende de que previamente se haya estructurado una serie de capacidades lógicas entre las que se encuentran el clasificar, el ordenar y comparar. Todas estas capacidades serían desarrolladas durante el estadio de las operaciones concretas, de manera que el aprender a contar sin que se posean estas capacidades se transformará en una simple memorización, lejos de convertirse en un aprendizaje significativo o una práctica con valor educativo. El proceso mediante el cual se elabora el concepto de número es muy lento, comienza cuando la persona es capaz de establecer una percepción global de la cantidad, la cual se expresa bajo términos como “muchos”, “pocos” o “algunos”, entre otros. La evolución natural de estos términos, dará paso a que se expresen términos relacionados con la comparación como “más que”, “menos que”, “igual que”, “mayor que”, “menor que”. El paso que sigue es muy importante y corresponde a la simbolización de cantidades por medio del uso de números naturales, sin requerir para ello de la capacidad de percepción (comienzan calculando pequeñas cantidades para luego avanzar hacia cantidades mayores), para ello tendrá que adquirir las nociones referidas a un sistema de numeración.

El aprendizaje del sistema de numeración decimal, no estará completamente incorporado hasta que no se alcance un desarrollo óptimo de las estructuras aditivas (suma y su proceso inverso correspondiente a la resta) y las de tipo multiplicativa (donde se encuentra la multiplicación y su proceso inverso que es la división).

El proceso de aprendizaje de los números naturales en el sistema educativo, debiese por lo tanto, seguir una secuencia similar, por lo que tendría que comenzar y acompañarse con actividades orientadas a desarrollar las capacidades lógicas por medio de ejercicios y situaciones que implican clasificación, orden y establecer correspondencia entre los elementos.


Por ejemplo Las actividades en las que se utilizan bloques lógicos son muy útiles para iniciar el

proceso de elaboración del concepto de número. Los bloques lógicos son un material didáctico que se diseña especialmente para aprender a percibir globalmente y luego desarrollar las capacidades lógicas de clasificación, seriación y correspondencia. Dicho material está compuesto por una variedad de figuras geométricas de diversos tamaños, colores, pesos, texturas, grosores, entre otras propiedades.

Por medio del uso de los bloque lógicos, los niños aprenderían a comparar los grupos que originan el problema de conservación de la cantidad a partir del número de componentes y las características que tiene uno u otro, lo cual les ayudaría a resolver situaciones como que las filas “A” y “B” contienen la misma cantidad de elementos, aunque se encuentren distribuidos de manera distinta o que la cantidad de greda no se modifica si se encuentra en forma de bolita o estirada como culebra. En la figura que viene a continuación, se puede apreciar un modelo de bloques lógicos, aunque se debe aclarar que este puede adoptar otras características, para responder de mejor manera a los requerimientos impuestos por las características del contexto en el que aplicarán. También, es importante indicar que, si bien el modelo que se expone en la figura, corresponde a un material didáctico de origen comercial, este tipo de elementos es factible de ser elaborado por el propio educador, con materiales de desecho o elementos de fácil adquisición, de manera que el factor económico no represente un obstáculo para que los niños cuente con acceso a él.

Figura Nº 4: Modelo de Bloque Lógicos


La teoría de Piaget, ha sido cuestionada por psicólogos como Gelman o Baroody. Dichos autores, sostienen que la mejor manera de enseñar los números a los niños es incentivándolos a contar. Ellos han llegado a afirmar que las mayores complicaciones que presentan los niños respecto a la habilidad de conservación de la cantidad radican en que no poseen un conocimiento acabado de cómo se debe contar, o comparar, y no en que su pensamiento no esté capacitado para procesar los datos en forma lógica.

Los niños viven en una sociedad en que desde pequeños se les pretende enseñar a contar, es por esto que algunos autores afirman que el conteo facilita el razonamiento mediante el cual se construye el concepto de número y no al revés como postula Piaget, quien piensa que el razonamiento debe preceder al conteo.

Según estos autores, cuando el niño aprende a contar, el proceso de determinar la cantidad de elementos que compone un conjunto, se aprecia como una tarea sencilla, lo que facilita también la comparación de las cantidades que contiene cada uno de ellos. Una vez que la persona aprende a contar, sólo necesitará reproducir la secuencia de palabras-números señalando que el último elemento de la secuencia corresponde a la cantidad de elementos que componen el conjunto.

Estas conclusiones, surgen a partir de la realidad en el desarrollo de los niños de la sociedad actual y otorgan sentido a las investigaciones que apoyan el desarrollo de actividades que implican conteo para adquirir el aprendizaje numérico.

Es importante señalar, que estas actividades no cuestionan la importancia del

pensamiento lógico en el desarrollo del pensamiento aritmético y la adquisición del concepto de número, pero plantean una vía alternativa digna de ser tomada en cuenta.

La capacidad de contar, según esta perspectiva, seguiría una secuencia de varias etapas la que se expone en el cuadro que se presenta a continuación:


Cuadro Nº 3: Etapas de Desarrollo del Conteo Según Steffe Nombre de la

Etapa Características

Pre-conceptual

Las palabras-números son emitidas sin seguir una secuencia y no corresponden a la cantidad de elementos que se cuentan.

Perceptual

Los niños sólo pueden contar los elementos que pueden percibir a través de los sentidos, principalmente aquello que pueden ver.

Figurativa

Los niños comienzan a contar los elementos de uno en uno, para resolver problemas de adición. El movimiento es un factor importante, generalmente apuntan hacia los objetos que cuentan. Si deben sumar los elementos de dos conjuntos, generalmente comienzan contando los elementos del grupo que tenga más componentes y siguen la serie con los que tienen menos. Si a un niño en esta etapa se le pide que cuente los elementos de un conjunto que tenga seis elementos y luego se le solicita que le sume los elementos de un segundo conjunto con dos componentes, volverá a iniciar el conteo desde el primer elemento del conjunto de seis para seguir la secuencia hasta el número ocho.

Secuencia

numérica inicial

Los niños son capaces de resolver situaciones de adición partiendo desde el último número de la secuencia anterior, sin tener que contar iniciando la secuencia en el número uno. En el caso de que ya sepa que un conjunto tiene cinco elementos podrá sumar contando lo elementos de un segundo grupo a partir de número seis.

Sucesión numérica

implícitamente anidada

Los niños pueden contar hacia delante o hacia atrás. Generalmente, prefieren contar hacia atrás cuando necesitan resolver situaciones que implican sustracción.

Sucesión numérica

explícitamente anidada

En esta etapa los niños se encuentran capacitados para suma o restar, comprenden que la resta es el proceso inverso de la suma. La adición pueden lograrla sin la necesidad del conteo. En el caso de que a un niño que se encuentre en esta etapa se le pida sumar cuatro y tres podrá hacerlo directamente sin contar uno a uno.

De acuerdo a lo expuesto en el cuadro, se puede apreciar que el acto de contar, está estrechamente ligado a las operaciones relacionadas con la adición y la sustracción, esto se debe a que el aprendizaje de los números naturales corresponde más específicamente a la adquisición de la estructura que regula los números naturales, de la cual las operaciones como la adición y la sustracción son elementos fundamentales.


Por ejemplo Para llegar a conocer la estructura del número seis, se deberá partir de la base

que entrega conocer el número cinco, para establecer que el seis es mayor que cinco (ya que es cinco más uno), es menor que siete (siete menos uno) y así se sigue el proceso con cada uno de los elementos que componen el conjunto de los números naturales.

Cuando los niños aún no han incorporado a cabalidad el concepto de los números, pueden reproducir la secuencia, pero ello no significa que hayan adquirido la capacidad de reconocer lo que implica dicha secuencia en toda su magnitud. Esto se hace evidente, cuando a un niño de aproximadamente tres años, se le pide que cuente hasta cuatro, tarea que seguramente resolverá sin complicaciones y luego se le pide que indique cuál es el número que va antes del cuatro en la secuencia. Seguramente, no responderá con tanta facilidad y tendrá que comenzar a contar desde el número uno para resolver el ejercicio. Se puede señalar que como edad promedio los niños adquieren el concepto de número, es entre los seis y los siete años de edad, encontrándose casos particulares en que dicha adquisición se provoca un poco antes o un poco después de dicha edad.

Es muy importante indicar, que mientras no adquieran el concepto de número, el pretender que comiencen a establecer operaciones de cálculo matemático fracasará, porque cognitivamente no se encuentran aptos para desarrollar dicha tarea.

CLASE 08

6. CONSTRUCTIVISMO Y APRENDIZAJE MATEMÁTICO La humanidad ha ido construyendo una red de conocimientos matemáticos como respuesta a problemas de tipo matemático. Los nuevos miembros de la sociedad deben apropiarse de ellos y también construir otros conocimientos para responder a los emergente y actual. Sabido es que cualquier aprendizaje humano se construye a partir de múltiples experiencias, pero especialmente, de aquellas que son significativas y que promueven la memorización comprensiva y la funcionalidad de lo aprendido.



Al enfrentar cualquier aprendizaje nuevo, el sujeto aporta esquemas previos tales como “conceptos, concepciones, representaciones y conocimientos que ha construido en el transcurso de sus experiencias anteriores”. En la medida que las situaciones de enseñanza-aprendizaje le provoquen al sujeto un

desequilibrio cognitivo, éste tiene la posibilidad de aprender porque: - Establece nuevas redes de relaciones. - Aprende conceptos nuevos o profundiza y amplía los que ya posee. - Aprende procedimientos y actitudes. En síntesis, al enfrentar un nuevo aprendizaje, se produce una reestructuración de

esquemas cognitivos.

La metacognición, entendida como la capacidad de tomar conciencia de los propios procesos mentales, favorece la reestructuración de esquemas y el aprendizaje significativo. La metacognición, como capacidad humana, se desarrolla primero a través de la experiencia de aprendizaje mediado para luego ser usada por el sujeto que aprende, de manera permanente. Se concibe la experiencia de aprendizaje mediado como la manera en que un estímulo

emitido por el medio se transforma, a través de un mediador humano, como lo pueden ser los profesores o padres, antes de llegar a otro ser humano, es decir el que aprende, el niño.

Es una interacción entre seres humanos, sin referirse al qué de ella, ni dónde, ni

cuándo toma lugar, sino al cómo. El agente mediador selecciona los estímulos del medio, los organiza, ordena, agrupa y estructura en función de una meta específica.

El mediador intenta enseñar al sujeto el significado de la actividad más allá de las

necesidades inmediatas. También, favorece la focalización de la atención hacia el objeto de estudio, ayuda a regular la impulsividad, orienta la acción física hacia una acción mental. Algunos de esos aspectos los puede lograr a través de preguntas claves que intencionan el aprendizaje, tales como: ¿por qué?, ¿para qué?, ¿cómo?, etc.


Figura Nº 5: Esquema de la Relación entre Aprendizaje Matemático y Constructivismo

El Ser humano

necesita

Dar sentido al mundo que lo rodea, a través

de distintos subsistemas

Construye conocimientos (conceptos, procedimientos y

actitudes)

Resolver problemas, de tipo cuántico, espacial, lógico,

causal, etc.

para ello

estos a su vez sirven de herencia para las nuevas

generaciones

¿Cómo se apropian las nuevas generaciones?

Reconstruyen lo que existe y construyen nuevos

conocimientos

para ello

Reestructuración de esquemas

Metacognición

Experiencias de aprendizaje

mediado

Desequilibrio cognitivo

Aprendizaje significativo

a través de

Estimulación directa


Desde esta perspectiva constructivista, el aprendizaje de habilidades y destrezas matemáticas debe llevar al niño y niña a ser capaz de organizar mentalmente sus impresiones referidas a las cosas en sí mismas (número), sus atributos (cantidad), y las relaciones entre ellas (comparación, correspondencia, entre otros.).

CLASE 09

7. INICIACIÓN AL PENSAMIENTO LÓGICO-MATEMÁTICO Las Bases Curriculares de la Educación Parvularia Chilena a partir del Núcleo de Aprendizaje “Relaciones Lógico-matemáticas y Cuantificación”, plantean el siguiente objetivo general:

Objetivo General

Se espera potenciar la capacidad de la niña y el niño de:

“Interpretar y explicarse la realidad estableciendo relaciones lógico-matemáticas y de causalidad, cuantificando y resolviendo diferentes problemas en que éstas se aplican”. 1

El núcleo de aprendizaje “Relaciones lógico-matemáticas y cuantificación”, se refiere a

“los diferentes procesos de carácter lógico-matemático a través de los cuales el niño intenta interpretar y explicarse el mundo. Corresponden a este núcleo los procesos de desarrollo de las dimensiones de tiempo y espacio, de interpretación de relaciones causales y aplicación de procedimientos en la resolución de problemas que se presentan en su vida cotidiana”.2

A continuación, se presenta una figura con los ejes temáticos “concepto de número y, el juicio y razonamiento”, planteados en las Bases Curriculares de la Educación Parvularia.

1 Extraídos de las Bases Curriculares de la Educación Parvularia, Ministerio de Educación, República de Chile. 2 Ibid


Figura Nº 6: Los Ejes Temáticos según las Bases Curriculares de la Educación Parvularia.

En consecuencia, la matemática es más que el resultado final de la aritmética y la geometría propias de las matemáticas escolares. La matemática es una ciencia orientada a la búsqueda, especificación y aplicación de relaciones. Descubre pautas, define órdenes, es además información acumulada y esfuerzo continuado para crear nuevos conocimientos. Por lo tanto, la matemática requiere de una comprensión y capacidad para resolver problemas.

Ejes temáticos

Concepto de Número

Juicio y razonamiento

La seriación

La clasificación

La conservación de cantidad

este requiere de la lógica elemental

para realizar

La formación de conceptos

La medición

La resolución de problemas

Las operaciones aritméticas

estos involucran

en matemática se dividen en


En definitiva, las matemáticas exigen de un esfuerzo mental, porque desemboca siempre en actividades mentales que exige un alto grado de abstracción. Se construye en forma esquemática, formal y sistemática. Se organiza a partir de axiomas, es decir a base de principios. Se comunica mediante lenguajes y códigos especiales como son los símbolos, figuras diagramas, etc., es acumulativa y está en el trasfondo de todas las materias.

Las características metodológicas generales propias del nivel de Educación

Parvularia, se definen como: - El aprendizaje de los procesos simbólicos, anclados en el lenguaje y la cultura son vitales

en el área lógico-matemática. - Hay una transacción permanente entre las significaciones escolares, las familiares y

sociales. - Debe usarse el potencial de la matemática informal. - Los conocimientos de los niños de esta edad son conocimientos en la acción, tienen

mucho que ver con el descubrimiento de procedimientos y están fuertemente contextualizados.

- Hay mucho conocimiento detrás de las acciones, hay toda una red semántica de

acciones, tan compleja y estructurada como la de los conceptos. - Importancia de incrementar la experiencia de los niños a través del trabajo en contextos

diferentes. - No hay aprendizaje si no se crean desequilibrios. Su compensación requiere

necesariamente de la acción por parte del sujeto. No hay aprendizaje sin acción. - Sin interacción con otros niños, el niño no puede construir ni su lógica ni los valores

morales y sociales.

Propósitos de la enseñanza de las matemáticas

La matemática enseña a:

“Reflexionar sobre las situaciones, asilar lo esencial de lo accesorio, desarrollar el juicio, organizar el pensamiento y a formar un espíritu científico”.


- Muchas matemáticas elementales pueden ser aprendidas significativamente a través del juego.

- Los juegos proporcionan muchas oportunidades para establecer conexiones y practicar

actividades tales como: el conteo, la comparación, la estimación, etc. - Desde el punto de vista educativo interesa el juego simbólico, pero sobre todo el juego de

reglas. - En particular, los juegos del dominio operatorio van a permitir la elaboración de

estructuras pre-numéricas, la estructuración del tiempo y del espacio y el uso de los primeros elementos de la lógica formal a través de la resolución de problemas.

Por medio del desarrollo del razonamiento lógico matemático los niños logran apoyar y

consolidar los conocimientos extraídos de otras disciplinas, y la manera de aplicarlos a situaciones relacionadas con la vida cotidiana y el contexto que les rodea.

El uso del contexto y la vida cotidiana es fundamental, ya que un conocimiento tratado

en abstracto es fácil de olvidar, mientras que uno que considere dicho aspectos, se convertirá en un aprendizaje significativo.

El alumno debe aprender a hacer matemáticas de manera que le sirva para vivir

mejor, para ello se deberá evitar el uso del aprendizaje memorístico irreflexivo, ya que éste no facilita, y en algunos casos no permite, la transferencia al contexto diario. Por ello, se deberá dar preferencia a las actividades que estimulen el pensamiento reflexivo, crítico y creativo.

La educación matemática, debiese permitir que el alumno logre desarrollarse

integralmente, adquiera estructuras de pensamiento lógico y hábitos de discernimiento, además se debiese tratar de tal manera que el niño o niña reconozca a la disciplina como fruto del pensamiento netamente humano.

Sin duda, el buen tratamiento de las matemáticas debiese despertar la curiosidad por

el mundo de los números y maravillarse ante las múltiples posibilidades que implica el análisis de los cuerpos, y figuras geométricas.

El educador está llamado a desempeñar un rol fundamental en la tarea de crear

situaciones en las que los alumnos puedan hacer matemáticas y, encontrar en los aprendizajes adquiridos el sentido y significado que les corresponde. Para lograr que los alumnos adquieran los conocimientos, los educadores deberán adaptar tanto su metodología como su didáctica, con el fin de que sus estrategias metodológicas respondan a la diversidad de estilos de aprendizajes que presenta cada uno de ellos.


Es muy importante que el educador nunca pierda de vista el uso de las acciones durante su proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que el alumno debe enfrentarse a experiencias de tipo físicas y también lógico-matemáticas, serán estas acciones las que le prepararán para afrontar la vida desde la perspectiva deductiva, lo cual es esencial para desarrollar el proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas.

Para poner en práctica el uso de las acciones, el educador deberá tener en cuenta que: - Para que el sujeto comprenda en forma real tendrá que reinventar lo que está

pretendiendo aprender. - Haciendo se aprende mucho más que verbalizando el conocimiento. - Deberá evitar entregar una enseñanza exclusivamente verbal, por lo que tendrá que dotar

de experiencias prácticas el proceso de enseñanza-aprendizaje. - Los alumnos deben aprender que existen reglas y ellas tienen una incidencia práctica, por

lo que deberá indicar sus posibilidades y límites. - Se puede descubrir la arbitrariedad que está implicada en dichas reglas, así como las

posibilidades y limitaciones al cambiarlas. - Inculcar a los alumnos un espíritu en el que se potencie siempre la búsqueda de las

mejores estrategias para enfrentar una situación específica. - El aprender matemática es parte del desarrollo personal y social de los alumnos.

Las múltiples investigaciones han puesto de manifiesto la importancia de que los educadores que enseñan matemáticas cambien algunas de sus ideas respecto a la educación en dicha disciplina.

Las matemáticas deben buscar un fin más amplio que operar números, deben

procurar enseñar valores y favorecer la filosofía de la diversidad. Por medio de su práctica se debe poner en práctica las orientaciones tendientes a crear una escuela para todos, tomando como guía el marco pedagógico para la concreción de acciones en clases.

Para enseñar matemáticas el educador deberá considerar tres ideas generadoras que regulan las opciones de enseñanza: - Considerar la diversidad como oportunidad y condición educativa - Favorecer la enseñanza constructivista en la que el alumno sea protagonista.


- La evaluación se debe realizar sobre pautas flexibles, adaptadas y compartidas.

El entregar a la diversidad un puesto destacado en la construcción metodológica, tiene consecuencias directas, entre las que se encuentran el: - Orientar la educación considerando que todas las personas son distintas, lo que las hace

valiosas. - La organización del proceso de enseñanza-aprendizaje se debe adecuar a las

posibilidades de cada alumno, teniendo como objetivo la adquisición progresiva de autonomía, para que éste aprenda a estudiar por una motivación personal y de manera independiente.

- Tomar decisiones acerca de qué matemáticas son las adecuadas en una escuela para

todos; a qué contenidos y a qué técnicas de trabajo dar más importancia. - Aceptar la diversidad, lleva al educador a considerar la importancia del ambiente de

trabajo y de ubicación social. Para ello, se deberá procurar crear un ambiente que ayude y/o favorezca el cultivo de valores, de habilidades y de destrezas que sean asumidas de común acuerdo, en especial los de cooperación, solidaridad y respeto mutuo. Es en un ambiente como ese, donde las matemáticas cobran sentido.

Un aula que valora las diferencias, se forma tomando como punto orientador el trabajo

autónomo; en el cual cada niño o niña sea capaz progresivamente de organizarse, planificarse y llevar a cabo sus responsabilidades dentro de un clima de respeto, tolerancia y colaboración.

El papel del educador, es el de ser animador en una línea determinada, propiciando la creación de esquemas de investigación que el niño, a medida que progresa, irá aplicando a situaciones distintas y a distintos niveles.

Se puede deducir que la manera de enseñar matemáticas en la escuela contemporánea, descansa en un presupuesto básico, el cual indica que todo educador junto a sus alumnos, puede ir construyendo un modo específico y propio de trabajar la matemática. Esta metodología se deberá realizar considerando las características del entorno, de los niveles y, capacidades de los niños y de la dinámica del grupo curso.

Desde esta posición, la enseñanza-aprendizaje de la matemática, se considera como una actividad de creación colectiva. El trabajo en común y la comunicación son componentes importantes para su práctica. Este objetivo es muy difícil de alcanzar, ya que se necesitan métodos didácticos variados y adaptados a cada situación o intención pedagógica.

Esta metodología requiere que el educador abandone su posición de portador del

saber, pero en cambio deberá estar mucho más presente y atento a ser un organizador y


animador, situación que exige mucha habilidad y aptitud. Junto a las características del educador es importante prestar atención a que el número de alumnos de la clase sea apropiado, siendo recomendable que su rango se encuentre entre los 20 y los 25 alumnos.

El educador deberá procurar reinventarse año a año, de manera que su metodología siga siendo atractiva y se adapte mejor a las características evolutivas que presentan los alumnos con los cuales debe realizar su trabajo.

Al igual que en otras disciplinas, en las matemáticas, es muy importante considerar tanto la forma (cómo) como el contenido (qué). Lo que más importa en la formación de alumnos no es sólo el contenido en sentido estricto, sino la manera en que se llega a ellos, las experiencias, el ambiente vivido y el esfuerzo personal en un entorno cuyas relaciones sean motivantes. En definitiva, si se pretende que los niños aprendan de manera integral y sana, se deberá optar por una metodología acorde a dicho objetivo.

Una de las tendencias generales más difundidas hoy, consiste en poner énfasis en transmitir los procesos de pensamiento propios de la matemática, más que la mera transferencia de contenidos. La matemática debe ser entendida, principalmente, como un saber hacer, o sea como una ciencia en la que el método claramente predomina sobre el contenido. Por ello, se concede una gran importancia al estudio de las preguntas, en buena parte la metodología educativa matemática se relaciona estrechamente con la psicología cognitiva, ya que ésta se vincula a los procesos mentales de resolución de problemas.

La sociedad actual se transforma y cambia constantemente, es claro que los procesos verdaderamente eficaces de pensamiento, aquellos que no se vuelven obsoletos con tanta rapidez, son lo más valioso que se pueden entregar a los alumnos.

En un mundo científico e intelectual, que cambia tan rápido, es mucho más importante

adquirir procesos de pensamiento útiles, que contenidos que rápidamente se convierten en lo que se podrían considerar "ideas inertes" o “ideas inmóviles”, las cuales no son capaces de combinarse con otras ideas para formar conjuntos de conceptos dinámicos, para abordar los problemas que genera la vida cotidiana.

Otros aspectos a considerar en la educación de las matemáticas en la sociedad

contemporánea son: • Tomar Conciencia de la Importancia de la Motivación.

Las investigaciones en el área de las matemáticas se han orientado a la búsqueda de los factores que inciden en la motivación de los alumnos desde un punto de vista más amplio, para lo cual ya no se considera sólo el interés que internamente puedan provocar las matemáticas y sus aplicaciones; se trata más bien de reconocer los impactos mutuos que han provocado la evolución de la cultura y el desarrollo de la sociedad en relación con las matemáticas.


Cada vez es más clara la importancia de los elementos afectivos en el desarrollo de la mente y el pensamiento. Gran parte de los fracasos en el área de las matemáticas tienen su origen en la manera que el sujeto reaccionó afectivamente durante la adquisición de dichos conocimientos y la introducción que efectuó el educador a la enseñanza de ellos.

Si los alumnos han sido educados de manera inadecuada, no se han valorado sus esfuerzos o no se ha logrado que ellos entiendan la importancia que tiene el conocimiento matemático para su vida cotidiana, lo más probable es que generen un rechazo hacia todos los contenidos que se relacionen con dicha disciplina. Es muy necesario humanizar la educación matemática, dejando de lado la posición fría que le otorga su carácter de ciencia.

• Modelar y Aplicar la Educación Matemática.

En la educación actual, existe una fuerte tendencia a entregar un aprendizaje que no se adquiera explorando las construcciones matemáticas en sí mismas, sino que éstas sean producto de la elaboración sobre la base del mundo real para que la motivación sea de tipo vital.

Parece obvio, que si la educación se limita a una simple presentación de los resultados, que constituyen de manera puramente teórica, dejando a un lado los orígenes en los problemas que la realidad presenta y sus aplicaciones para resolver tales problemas, se estaría ocultando una parte muy interesante y substancial de lo que la matemática verdaderamente es. Además, con ello se estaría prescindiendo del gran poder motivador que el uso de modelos y las aplicaciones poseen. • Importancia Actual de la Motivación y Presentación.

Los alumnos se encuentran intensamente bombardeados por técnicas de comunicación, muy poderosos y atrayentes, como los “multimedios”. Es necesario que se tenga en cuenta constantemente y que el sistema educativo intente aprovechar a fondo las herramientas que ofrece la tecnología actual, para ello se deberán diseñar actividades en las que se ocupen elementos como reproductores de video, televisores, radios, periódicos o diarios, revistas de historietas, entre otros.

La educación actual, se encuentra lejos de aprovechar convenientemente las posibilidades que entregan los multimedios que la tecnología entrega en la actualidad.


Por ejemplo

Son muchos los educadores a los que se les pide que dicten conferencias exponiendo la metodología mediante la cual sus clases de cálculo o geometría han sido exitosas, la manera en que ocupan los recursos, etc. para poder dictar estas conferencias, dichos educadores, se deben desplazar cubriendo grandes distancias geográficas, lo cual implica un considerable costo económico y una inversión de tiempo, situaciones que se evitarían si dichas conferencias se filmaran y distribuyeran de manera que pudiesen llegar a un número mayor de personas a un costo considerablemente menor.

• Fomentar del Gusto por la Matemática.

La actividad física es un placer para una persona sana. La actividad intelectual también lo debiese ser. Cuando la matemática se orienta como un conocimiento que se construye en forma personal, bajo una guía adecuada, es un ejercicio atrayente.

Generalmente, cuando los niños ingresan al sistema escolar sienten gusto por las

matemáticas, pero a medida que se avanza en los cursos el sistema no logra mantener el interés, debido a que se complica utilizando conocimientos de manera abstracta, que no motivan y que generalmente no responden a las características del desarrollo matemático en el que se encuentra el alumno.

El gusto por la exploración y resolución de problemas cotidianos genera una

motivación lo suficientemente importante como para superar el tedio que significa el resolver ejercicios. Es necesario enseñarles a los niños a sobreponerse a la idea de que la matemática es aburrida, inútil y muy difícil.

CLASE 10

8. LA MATEMÁTICA EN El PROGRAMA DE ARTICULACIÓN DE LA EDUCACIÓN PARVULARIA Y BÁSICA

La incorporación de la matemática en el programa de articulación, responde a la

necesidad de mejorar la calidad de los aprendizajes matemáticos de los niños de Chile. En la evaluación del conocimiento matemático, en niños chilenos, medido a través del

SIMCE3 y en la investigación referida a las prácticas pedagógicas en el nivel inicial (nivel de 3 SIMCE: sistema de medición de calidad de la educación.


transición de la Educación Parvularia y NB1) realizada por investigadores del CIDE4, se manifiesta la necesidad de generar articulación pedagógica, entre los docentes que atienden dichos niveles educativos. Esa articulación posibilitaría un aprendizaje de mejor calidad.

En la evaluación SIMCE, se aprecia que la matemática es una de las asignaturas con

más bajo nivel de logro de objetivos, tanto en 4º como en 8º año básico. Su enseñanza se realiza descontextualizada, parcelada y en forma mecánica. Toda esta situación se contradice con los planteamientos de los especialistas del Ministerio de Educación que plantean que los conocimientos matemáticos aislados carecen de sentido. La real apropiación de ellos requiere de su organización en sistemas, en los que cada conocimiento está relacionado con los demás.

Es evidente que, para que se produzca un aprendizaje de buena calidad, se requiere

una organización estructurada del contenido a aprender. Es así como, cada etapa del aprendizaje matemático, requiere de un desarrollo coherente respecto de un trabajo previo. Esta continuidad es necesaria en el trabajo, semana a semana, pero también en el cambio de un nivel educativo a otro, como sería el paso desde el segundo nivel de transición al primer año de educación básica.

Por otra parte, Cecilia Cardemil, Francisco Álvarez y Enriqueta Giaconi (1997) al

realizar un análisis diagnóstico de las prácticas pedagógicas, en los niveles de preescolar y los primeros años de educación básica, constatan que no existe articulación pedagógica entre ambos niveles educativos. Específicamente, con relación al aprendizaje lógico-matemático plantean que: - La deficiente calidad de la educación matemática inicial tiene que ver con la ausencia o

mala enseñanza de dicha área del conocimiento. - En el jardín infantil, no siempre se atiende a la importancia del desarrollo cognitivo y al

hecho que la escuela valoriza más bien el carácter asistencias del nivel preescolar. - El tiempo destinado, en el nivel preescolar a actividades de razonamiento lógico-

matemático es mínimo. - Las actividades relacionadas con el desarrollo del pensamiento lógico-matemático se

realizan, generalmente descontextualizadas, sin incorporar reflexiones ni explicaciones de los niños y usando láminas como único material didáctico.

- Existe la resistencia a introducir al párvulo al conocimiento matemático, en la creencia que

debe existir antes una maduración para dicho aprendizaje, y que ésta sucede después de los seis años de edad.

4 CIDE: Cardemil C., Alvarez F., y Giaconni E. “En búsqueda de la articulación pedagógica entre el nivel

preescolar y los primeros años de enseñanza básica”, 1997.


- Al ingresar el niño al primer año básico, se considera que los aprendizajes relevantes a adquirir en ese periodo son la lectura, la escritura y nociones matemáticas como el número y las operaciones aritméticas básicas.

A pesar de lo anterior, hay una tendencia a privilegiar habilidades parciales,

esencialmente motoras por sobre las habilidades de razonamiento y resolución de problemas matemáticos.

Es por ello, que las actuales Bases Curriculares, y los programas de NB1 y NB2,

tienen una orientación mucho más integral, dinámica, y motivadora. Las competencias asociadas al desarrollo de la educación matemática, resultan

imprescindibles para el niño, tanto promueven el desarrollo de formas de pensamiento, actitudes y valores, a través de actividades en las que alumnos, resuelven problemas y situaciones diversas en las que ponen en juego todos sus conocimientos. (Mineduc 2002)

• En Educación Parvularia.

Las Bases Curriculares, se elaboran con el propósito de relevar los aprendizajes fundamentales del nivel intencionando a la vez el facilitar la transición de las niñas y niños a la Educación Básica, mediante diferentes características organizativas curriculares y de contenido. Entre éstas se encuentran, sus objetivos planteados como “aprendizajes esperados”, sus núcleos y categorías para el segundo ciclo, que articulan con los sectores de aprendizaje de NB1. (M.V. Peralta. “Cuadernillos para reflexionar pedagógicamente”, Mineduc, 2003)

• En Educación Básica.

Los programas de NB1 y NB2 fueron reformulados de modo de explicitar con la mayor claridad y precisión los aprendizajes requeridos a lograr por los estudiantes en lectura, escritura y matemáticas, al término de cada nivel, enfatizando en estos subsectores ya que son considerados fundamentales para el proceso de construcción de conocimiento y formación personal que implica el conjunto del currículum de EGB y su logro abre posibilidades ciertas de progreso a través de los niveles siguientes del sistema. La enseñanza de las matemáticas en el Nivel Básico 1 busca: - Sistematizar y ampliar, las nociones y prácticas matemáticas que los niños ya poseen. - Promover el desarrollo de formas de pensamiento que les posibiliten conocer y enfrentar

problemas. - Procesar información acerca de la realidad y profundizar así sus conocimientos acerca de

la misma.


- Desarrollar la actitud y la capacidad de aprender progresivamente más matemáticas; adquirir herramientas que les permitan reconocer, plantear y resolver problemas, y desarrollar la confianza y la seguridad en sí mismos, al tomar conciencia de sus capacidades, intuiciones, creatividad.

En definitiva, para que se realicen actividades de articulación se plantea, el análisis de objetivos y procedimientos del nivel parvulario con el NB1, para articular las acciones pedagógicas que de allí se desprenden. También, es necesario planificar en conjunto, proyectos de aula que involucren los conceptos elegidos, los procedimientos adecuados a cada nivel y las características particulares de los niños de cada curso.

Es de suma importancia que se compartan materiales y juegos que favorecen el aprendizaje del tema, adecuando su complejidad según el nivel educativo. Además, se debe enfatizar en la convivencia de que los párvulos visiten la escuela y sus diferentes dependencias, que desarrollen actividades con los profesores y niños de NB1, y sobretodo que los educadores de ambos niveles intercambien información sobre los logros y dificultades de los niños, y de los recursos metodológicos empleados. A continuación, se presenta una figura que realiza un paralelo entre los contenidos temáticos de Educación Parvularia y NB1.


Figura Nº 7: Articulación Temática entre Educación Parvularia y NB1

Educación Parvularia

Educación Básica

Articulación Temática

Ámbitos Relación con el medio

natural y cultural

Núcleo Relaciones lógico-matemáticas

y cuantificación

Número y operaciones

Forma-espacio

Temporalidad

Resolución de problemas

tiene como eje transversal la resolución de problemas

Sector: Educación Matemática

Sub-sector matemáticas

Números

Operaciones

Forma-espacio

Comprensión del medio natural, social y cultural

tiene como eje transversal la resolución

de problemas

Resolución de problemas


En vista que la tarea es mejorar la calidad de los aprendizajes en matemática, desde el nivel inicial de la educación, se elige como estrategia la “articulación pedagógica” entre docentes que atienden estos niveles.

Los enfoques que sustentan la estrategia denominada “Programa de Articulación Pre-

básica y Básica con la Incorporación de las Familias” y que orientan la inserción metodológica de la matemática en este programa son dos: - Un enfoque acerca del aprendizaje; cómo se aprende y cómo enseñar para que el sujeto

aprenda. - El desarrollo de los contenidos matemáticos, en el contexto de la Reforma Educacional

Chilena.

CLASE 11

8.1. Estudio Comparativo entre las Competencias Matemáticas en Educación Parvularia Española y Chilena

A continuación, se presenta un análisis acabado de las competencias matemáticas en la Educación Parvularia, realizando una pequeña comparación entre el currículo que plantea el ministerio español y el chileno.

Como bien se sabe, el currículum chileno se ha guiado sobre el currículum español, es por ello, que es necesario realizar un estudio comparativo de cómo abarcan ambos los aprendizajes esperados de los párvulos.

El currículo de España, organiza los elementos de los contenidos en diferentes áreas curriculares: a) Identidad y autonomía personal. b) Descubrimiento del medio físico y social. c) Comunicación y representación. En cambio, el currículum chileno se organiza de la siguiente manera: - Formación personal y social,

- Comunicación y de

- Relación con el medio natural y cultural.


En el currículo chileno, el ámbito lógico-matemático tiene bastante identidad como

para constituir por sí misma un área de contenido. Los procesos cognitivos que le son propios son de naturaleza totalmente distinta que los que se dan en las otras áreas que le suelen acompañar (música, plástica, expresión corporal, relación con el medio, etc.), por lo que se espera que así se recoja en los nuevos currículos. A continuación, se presenta la relación existente entre los bloques del área matemática en la Educación Parvularia.

Figura Nº 8: La Relación entre Bloques del Área de las Matemáticas

Los aprendizajes esperados, relativos a las relaciones lógico-matemáticas y cuantificación, destinados para le segundo ciclo de educación parvularia son 16, según las Bases curriculares de la Educación Parvularia. Éstos, son presentados en el siguiente cuadro.

El ejercicio de la función simbólica

Desarrollo del pensamiento

lógico-relacional

Construcción del número

(preparación)

Hacia la medida de magnitudes

Construcción del espacio (hacia la

geometría)


Cuadro Nº 4: Aprendizajes Esperados para las Relaciones Lógico-Matemáticas y Cuantificación

Aprendizajes Esperados en Segundo Ciclo de Educación Parvularia (*)

1 Establecer relaciones de orientación espacial de ubicación, dirección, distancia y posición respecto a objetos, personas y lugares, nominándolas adecuadamente.

2 Orientarse temporalmente en situaciones cotidianas, utilizando diferentes nociones y relaciones tales como: secuencias (antes-después; mañana y tarde; día y noche; ayer-hoy-mañana; semana, meses, estaciones del año); duración (más menos) y velocidad (rápido-lento).

3 Establecer relaciones cada vez más complejas de semejanza y diferencia, mediante la clasificación y seriación entre objetos, sucesos y situaciones de su vida cotidiana, ampliando así la comprensión de su entorno.

4 Reconocer algunos atributos, propiedades y nociones de algunos cuerpos y figuras geométricas en dos dimensiones, en objetos, dibujos y construcciones.

5 Comprender que los objetos, personas y lugares pueden ser representados de distintas maneras, según los ángulos y posiciones desde los cuales se los observa.

6 Descubrir la posición de diferentes objetos en el espacio y las variaciones en cuanto a forma y tamaño que se pueden percibir como resultado de las diferentes ubicaciones de los observadores.

7 Identificar y reproducir patrones representados en objetos y en el medio, reconociendo los elementos estables y variables de las secuencias.

8 Emplear los números para identificar, contar, clasificar, sumar, restar, informarse y ordenar elementos de la realidad.


Los “aprendizajes esperados 8, 9 y 13” relativos a cuantificación, son de gran carencia

conceptual y están, desde luego, muy por debajo de las posibilidades de los alumnos de este ciclo.

En estos aprendizajes, se explotan poco los aspectos fenomenológicos del número:

“para qué se usa el número, para qué sirve”.

Aprendizajes Esperados en Segundo Ciclo de Educación Parvularia

9 Reconocer y nominar los números, desarrollando el lenguaje matemático para establecer relaciones, describir y cuantificar su medio y enriquecer su comunicación.

10 Iniciarse en experiencias de observación y experimentación registrando, midiendo, y cuantificando elementos y fenómenos de su entorno.

11 Reconocer relaciones de causa-efecto estableciendo asociaciones cada vez más complejas entre las acciones y los efectos que ellas producen sobre los objetos y el medio.

12 Establecer asociaciones en la búsqueda de distintas soluciones, frente a la resolución de problemas prácticos.

13 Representar gráficamente cantidades, estableciendo su relación con los números para organizar información y resolver problemas simples de la vida cotidiana.

14 Interpretar hechos y situaciones del medio empleando el lenguaje matemático y el conteo para cuantificar la realidad.

15 Iniciarse en la comprensión de la adición y sustracción, empleándolas en la resolución de problemas cotidianos y en situaciones concretas.

16 Conocer y utilizar instrumentos y técnicas de medición y cuantificación tales como: relojes, termómetros y balanzas, y otros instrumentos que le permiten expandir un conocimiento más preciso del medio.

(*) Aprendizajes Esperados en Segundo Ciclo de Educación Parvularia: extraídos de las Bases

Curriculares de la Educación Parvularia Chilena.

“Los números sirven para realizar comparaciones, para memorizar y para

anticipar”.


El “aprendizaje esperado nº 15”, señala que los alumnos deben realizar operaciones de suma y resta, lo que debería matizarse. Y deja demostrado que el paso al cálculo, a través de los distintos tipos de conteo y los procedimientos básicos tanto de cálculo escrito como pensado, están ausentes. Sin embargo, se debe considerar que contar implica las siguientes acciones:

En relación a los “aprendizajes esperados 10 y 16” de magnitudes y medición, hay

muy pocas actividades exploratorias con materiales, por lo que hay pocas posibilidades de construcción del conocimiento físico necesario para conceptualizar las nociones implicadas en el concepto de magnitud.

Sin embargo, se cree que limitar el tratamiento de las magnitudes a la cuantificación

(medición) es un error, ya que manipulando líquidos y otros materiales, recipientes y objetos, pueden aprenderse muchas cosas de la masa y la capacidad, más que usando instrumentos de medida que no están de acuerdo con la edad: reglas, termómetros, pesas, etc.

Por lo que respecta a la noción de tiempo, se realizan actividades que comporten:

- Comparar el tiempo de desplazamientos de autos (de cuerda por ejemplo), u otros objetos

que se desplacen. - Comparar el tiempo de movimientos que no supongan un desplazamiento lineal, o sucesos

que no dejen trazo. - Comparar el tiempo de intervalos sonoros, bien sean canciones o sonidos más cortos.

Contar implica:

• Decir una serie numérica. • Plantear bisecciones (enumeración) - Diseñar caminos. - Separar objetos. - Marcar objetos. - Participar de conjuntos. - Establecer orden. • Cardinalizar (principios de Gelman y gallistel)


Es trascendental que todas estos tipos de comparaciones permitan al alumno decidir los instantes de inicio de los intervalos temporales que se comparan. Consecutivamente, se deben fijar los inicios y finales, aspirando a que se presenten las siguientes posibilidades:

Con respecto a los sistemas convencionales de medida del tiempo, se realizan

actividades que comporten: - Identificar tareas cotidianas correspondientes a los intervalos de mañana, tarde y noche

dentro del ciclo diario. - Representar las rutinas diarias de manera que permitan descubrir otros acontecimientos en

relación a ellas. - Representar de las rutinas semanales de manera que permitan descubrir otros

acontecimientos en relación a ellas. - Identificar algunos acontecimientos de su entorno próximo que tengan ciclo anual. - Situar esos acontecimientos anuales en relación con ciertas partes del año (estaciones). - Identificar acciones cuyas duraciones puedan relacionarse con las distintas unidades

convencionales como día, semana, mes y año. - Construir una hoja de un mes de un calendario, reparando en la estructura de la disposición

de los números/días.

Los “aprendizajes esperados 1, 5 y 6”, dedicados a la orientación y representación en el espacio son de gran pobreza conceptual y no toman en consideración las investigaciones existentes sobre percepción y representación espacial, se limitan a repetir lo que durante mucho tiempo se ha venido haciendo en la educación parvularia.

Por ejemplo

d1

d2

d1

d2

d1

d2


En estos aprendizajes esperados, no se considera la existencia de conocimientos espaciales pre-geométricos en los menores, y su desarrollo antes (o simultáneamente) de los conceptos geométricos básicos. Por ello, parece conveniente establecer la distinción entre espacio y geometría, de manera que los conceptos fundamentales de la geometría puedan considerarse como útiles para resolver problemas espaciales.

La consideración de movimientos elementales, tales como el giro o el desplazamiento,

no aparece recogida, por lo que es muy complicado que el niño de esta edad, pueda representarse en el espacio sin ayuda del movimiento, primero realizado y después interiorizado.

La no consideración de los tres tipos de espacio, “micro, meso y microespacio”,

dificulta la planificación y articulación de actividades. El “aprendizaje esperado 5”, que alude a la representación, se ve reflejado en las

actividades de matematización que tienen que ver con la designación en el currículo de educación parvularia, por lo que se puede citar: - La designación de conjuntos y de los elementos de un conjunto. - La designación de las clases resultantes de una partición. - La designación del orden resultante de una ordenación. - La designación del número, síntesis de procesos de clasificación y ordenación. - La designación de algoritmos y de procesos que se desarrollan en el tiempo y/o espacio. - La designación en el espacio y en las geometrías que lo modelizan.

“El currículum de educación parvularia debe mejorar sus orientaciones metodológicas, e incluir más aspectos didácticos, es decir más actividades”.5

Sin embargo, no hay que dejar de lado la voluntad que ha tenido el Ministerio de

Educación, para otorgarle a la Educación Parvularia la importancia que tiene para el logro de igualdad de oportunidades de todos los niños y niñas chilenos.

5 Extraído de un Análisis de las Competencias Matemáticas en Educación Parvularia. Mª del Carmen Chamorro.

Universidad Complutense de Madrid.


CLASE 12

9. EL PAPEL DEL JUEGO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Desde sus inicios la matemática ha estado ligada a componentes lúdicos, es por estos componentes que dicha disciplina se ha reinventado, surgiendo una gran cantidad de creaciones a partir de ella.

El destacado sociólogo J. Hunizaga describe en su obra “Homo ludens” las características particulares del juego. En ella se indica que el juego es:

- Una actividad libre, lo que quiere decir que se pone en práctica sólo por el placer que

genera, porque no busca alcanza un objetivo determinado. - Una práctica que contribuye al desarrollo del ser humano. Esto se puede apreciar en que

los niños y las niñas mientras juegan adquieren patrones que le prepararán para la vida; Los adultos también juegan y al hacerlo experimentan sensaciones de libertad, se evaden y se relajan.

- Una actividad que requiere de un trato serio y sistemático; la peor forma de arruinar el

aporte que otorga el juego, es no tomarlo en serio. - Es una actividad que causa placer observándola y participando de ella. - Una práctica en la que desaparecen las relaciones espaciales o temporales

convencionales. - Una actividad que genera lazos especiales entre quienes lo practican. - Una actividad que permite a las personas desarrollar la creatividad y la fantasía. A través,

de sus reglas crea un nuevo orden, una nueva vida, llena de ritmo y armonía.

La matemática y el juego comparten muchas características en común, así como también tienen características similares en su práctica. Esto es especialmente interesante, al cuestionarse respecto a los métodos más adecuados para transmitir a los alumnos el profundo interés y el entusiasmo que las matemáticas pueden generar, proporcionando un primer acercamiento respecto a los procesos más utilizados en dicha disciplina.

Todo juego comienza entregando: una introducción, en la que se describe una serie de reglas; y un determinado número de objetos o piezas, cuya función en el juego se define de acuerdo a las reglas. De la misma manera, se puede proceder para establecer una teoría matemática cuya definición se deba deducir. En un juego se puede incluir un problema matemático, utilizando para ello una especie de historia que surja de experiencias cotidianas.


Para que un jugador llegue a dominar los principios de un juego, debe comenzar adquiriendo algunas técnicas simples, las cuales por medio de la repetición logrará refinar para llegar a dominar la práctica que éste implica. El mismo principio regula la adquisición del conocimiento matemático, correspondiendo a la fase en la que el estudiante trata de asimilar y hacer profundamente suyos, los grandes teoremas y métodos que han sido creados a través de la historia.

Más tarde, en los juegos más sofisticados, donde la reserva de problemas nunca se agota, el jugador experto trata de resolver de forma original situaciones del juego que nunca antes han sido exploradas. Esto corresponde al enfrentamiento en matemáticas con los problemas abiertos de la teoría.

Finalmente, hay unos pocos que son capaces de crear nuevos juegos, ricos en ideas interesantes y, en situaciones capaces de motivar estrategias y formas innovadoras de jugar.

La matemática y los juegos han entrelazado sus caminos de manera frecuentemente a lo largo de los siglos. Es frecuente encontrar en la historia de las matemáticas pasajes relacionados con la aparición de una observación ingeniosa, hecha de forma lúdica, que ha conducido a nuevas formas de pensamiento.

El gran experto contemporáneo en el análisis de la relación entre matemáticas y juego

es Martin Gardner, ha presentado una serie de juegos para despertar el interés de los estudiantes por la disciplina matemática. Él expone la fundamentación de su trabajo por medio del siguiente enunciado: "Con seguridad el mejor camino para despertar a un estudiante, consiste en ofrecerle un intrigante juego, un puzzle, un truco de magia, un chiste, una paradoja, pareado de naturaleza matemática o cualquiera de entre una veintena de actividades que los profesores aburridos tienden a evitar porque parecen frívolas".

El científico matemático se aproxima a su conocimiento con el mismo entusiasmo por el descubrimiento y la exploración con que un niño se acerca a un juguete, o comienza a conocer las reglas que orientan un juego. Es así como la pregunta respecto a las razones por las que no se ocupa dicho conocimiento para hacer que lo niños y niñas exploren el mundo de las matemáticas surge de manera obvia debido a que tiene fundamentos más que suficientes para justificar su práctica.

Diversas investigaciones han puesto en evidencia el beneficio que implica el

acercamiento a las matemáticas por medio del juego, cuya principal manifestación consiste en la potencia que este recurso tiene para indicar al alumno la posición correcta que debe adoptar el alumno para enfrentarse a los problemas matemáticos. Será importante, por lo tanto, que el subsector, con sus contenidos y objetivos se traten utilizando un componente lúdico considerable, ya que las matemáticas son en sí un gran y sofisticado juego.


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RAMO: INICIACIÓN AL LENGUAJE LÓGICO MATEMÁTICO

UNIDAD II

DESARROLLO DE LOS

APRENDIZAJES MATEMÁTICOS

Instituto Profesional Iplacex

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CLASE 01

1. LOS APRENDIZAJES MATEMÁTICOS

Para comenzar con claridad el estudio de los aprendizajes matemáticos, es importante tener en cuenta algunos términos asociados y estrechamente interrelacionados, que en ocasiones pueden presentar ciertas confusiones, al hacer uso de ellos.

Hablamos de la matemática, que se constituye en una ciencia lógico-deductiva en la

que, de conceptos primarios no definidos (unidad, conjunto, correspondencia; punto, recta, plano) y de proposiciones que se aceptan sin demostración (axiomas), se extrae toda una teoría por razonamientos, libre de contradicción. Aquí también podemos hablar de las matemáticas como sinónimo de lo anterior, en su concepción plural.

Cuando hablamos de la Educación Matemática, hacemos mención de uno de los subsectores de aprendizaje desarrollados en los planes y programas educativos, para la educación chilena, y que engloba todos los procesos matemáticos y su relación con la existencia humana.

El Cálculo, se refiere a las operaciones y procedimientos matemáticos que se realizan para resolver un problema, y también apunta al nombre genérico de las distintas ramas de la matemática. Todos los procesos que encierran las matemáticas, revisten gran complejidad, por lo que se hace fundamental clarificar los diversos contenidos y aprendizajes implicados en ella. Aunque las clasificaciones más habituales, suelen dividir tales aprendizajes en ocho grandes categorías (numeración, cálculo, resolución de problemas, estimulación, uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales, medida y geometría), en la medida en que éstas no son en absoluto independientes entre sí, sino que mantienen estrechas relaciones, incluso de tipo jerárquico, pueden reducirse a tres aprendizajes básicos:

• Aprendizaje de las nociones y procesos básicos que se encuentran en la base de los aprendizajes aritméticos y geométricos.

• Aprendizaje de la numeración, aprendizaje del cálculo. • Aprendizaje de la resolución de problemas.

Cuando hablamos de las nociones y procesos básicos, nos referimos a toda una serie

de conceptos y de procesos mentales que suelen caracterizar, en líneas generales, los logros matemáticos propios de la etapa infantil, aunque en muchos casos, su consolidación se retrase hasta el primer ciclo de la enseñanza básica.


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1.1. Conceptos Básicos Los conceptos básicos son denominados así, según Ann Boehm, porque constituyen nociones elementales que sirven de base para otros aprendizajes conceptuales más complejos y porque, al mismo tiempo, son expresiones verbales de uso frecuente en la interacción comunicativa en el aula, de modo que la comunicación profesor-alumno se ve gravemente interferida cuando éste último no los domina, al menos desde el punto de vista comprensivo. Aunque esa comunicación se ve favorecida u obstaculizada por todos los conceptos básicos (dimensiones espaciales, temporales, cuantificadores, etc.), en relación con los aprendizajes matemáticos se suele destacar habitualmente, el papel central de los denominados cuantificadores, o conceptos básicos de la codificación de la cantidad. En general, se trata de conceptos aproximativos (mucho/poco, nada/todo, algunos/ninguno, etc.) y comparativos (más que, menos que, tanto como, etc.), pero se incluyen también en esta categoría las transformaciones relacionadas con las operaciones manipulativas que puedan realizarse afectando a la cantidad, que podríamos denominar operaciones (poner, quitar, añadir, repartir, etc.). No obstante, los cuantificadores no son los únicos conceptos básicos relevantes en los aprendizajes matemáticos; también son fundamentales los conceptos básicos espaciales (delante/detrás, arriba/abajo, etc.), y temporales (antes/después, primero, segundo, tercero, ni primero ni último, etc.), que constituyen la expresión verbal del nivel de desarrollo de la organización espacio-temporal a partir de la cual el niño puede afrontar al menos, ciertos aspectos de la noción de número, de las operaciones aritméticas y, sobre todo, los aprendizajes relacionados con la geometría. Evidentemente, la incidencia de las dificultades de adquisición de los conceptos básicos es mucho mayor en los primeros años de la escolaridad básica que en momentos posteriores, pero no es tampoco infrecuente, en absoluto, encontrar alumnos y alumnas de niveles educativos superiores que, en el marco de otra serie de problemas, no usan de manera precisa dichos conceptos. Tanto es así, que programas de mejora del funcionamiento intelectual como el P.E.I. (Feuerestein et al., 1979), ideadas para alumnos de 12 a 14 años, incluyen como contenidos específicos, el desarrollo de la capacidad de ordenación del tiempo y el espacio, además de otros destinados a la automatización del procesamiento de las series numéricas.

1.2. Operaciones Lógico-Matemáticas Desde los modelos de enseñanza y aprendizaje derivados de las teorías psicogenéticas, se ha puesto de relieve que los problemas que a veces experimentan los


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alumnos en el desarrollo de las operaciones lógico-matemáticas (especialmente de clasificación y seriación), de la noción de conservación o de la comprensión de la reversibilidad, entre otras características del pensamiento operatorio, interfieren con la adquisición de la noción de número y del sistema de numeración, ya que se trata de adquisiciones evolutivamente previas y de base psicogenética para la posterior construcción de estos últimos aprendizajes. Como sabemos, concretamente, la tesis fundamental que se sostiene es que las operaciones lógicas de clasificación y seriación son el fundamento de la noción de número, en la medida en que ésta sería el resultado de la síntesis entre la cardinalidad y la ordinalidad; una síntesis que sólo sería posible como consecuencia de un proceso genético de construcción de la noción de conservación de la cantidad. El argumento central en este planteamiento es, por tanto, que los aprendizajes matemáticos elementales se basan en la construcción de un tipo de pensamiento lógico a partir de las formas “prelógicas” del pensamiento intuitivo, sugiriendo que los procesos mentales pre-requisitos para una correcta iniciación en las matemáticas, serían:

• La capacidad para retener mentalmente un objeto no presente o trasformado (conservación del objeto).

• La capacidad para representarse mentalmente una sustancia (masa, volumen o cantidad) cuando ésta esté ausente, estando presente, sufra variaciones con respecto a su estado inicial (conservación de la sustancia).

• La capacidad para representarse mentalmente el proceso inverso a una trasformación observada (reversible del pensamiento).

• La capacidad para formar, agrupando los objetos en función de ciertas características generales (clasificación).

• La capacidad para jerarquizar mentalmente las agrupaciones de dichas realidades (inclusión).

• La capacidad de ordenar mentalmente las realidades (seriación). • La capacidad de asociar mentalmente procesos o agrupaciones iguales

(correspondencias). • La capacidad de asociar mentalmente procesos o agrupaciones iguales,

generando una nueva (transitividad). En resumen, podemos decir que desde posiciones genéticas se afirma que la adquisición del número, está precedido por:

a) La comprensión de los conjuntos que implicaría el uso implícito, o no, del principio de correspondencia que incluirían los principios de conservación (del objeto y la substancia), clasificación e inclusión.

b) La comprensión de las relaciones de orden entre los objetos, supondría el uso

implícito, o no, del principio de seriación.


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Aunque estas adquisiciones presuntamente previas a la comprensión del número, constituyen un referente presente en la gran mayoría de las monografías sobre las dificultades del aprendizaje matemático entre los 5 y los 10 años (Mialaret, 1984; Miranda, 1988; Company, 1988, Luceño, 1986, etc.), lo cierto es que su importancia real suele ser minimizada en los planteamientos más recientes, que consideran más que discutible su valor como sustento y/o prerrequisito en la adquisición de la noción de número, ya que la adquisición de ésta, parece asociarse más bien a las experiencias infantiles de <<conteo>> y a la realización de actividades, escolares o no, que tienen que ver con la verbalización/cuantificación de la realidad que rodea a los niños.

CLASE 02

2. LA NOCIÓN DE NÚMERO Y EL SISTEMA NUMÉRICO Aunque es bastante corriente que la noción de número y el sistema numérico (noción de número, valor posicional de las cifras, etc.) se enseñe en nuestras escuelas con cierta independencia de los símbolos que expresan relaciones entre números (<,>,=,+…) y que, por tanto, tiendan a considerarse aprendizajes separados diferentes, desde esta perspectiva se trata de aprendizajes profundamente relacionados entre sí, sobre todo por el nivel de representación que exigen del sistema cognitivo.

2.1. Adquisición de la Noción de Número Frente a lo defendido por las teorías psicogenéticas, la adquisición de la noción de número no parece ser un proceso de todo o nada, producto de una reestructuración constructiva que tenga lugar gracias a la aparición de un nuevo tipo de pensamiento lógico en el desarrollo infantil (o lo que es lo mismo, resultan imprescindibles la ejecución de las llamadas operaciones “prelógicas”: conservación, correspondencia y seriación); muy al contrario, hoy existe un relativo consenso, sobre la adquisición de la noción de número, considerándose como el resultado de un proceso gradual, una adquisición progresiva relacionada con la experiencia de atender a las cantidades de las cosas a través del “conteo” y de las actividades asociadas al mismo (Deaño, 1994). Para Gelman y Gallister (1978, citado por Deaño), tales experiencias de conteo ponen de manifiesto que el aprendizaje de la numeración, implica la elaboración de 5 principios por parte del niño: 1) Principios de correspondencia uno a uno: aparece cuando el niño coordina el proceso de

participación (mantener en mente dos grupos de objetos: los contados y los aún por


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andar) y el proceso de etiquetación (utilización del nombre de los números para hacer corresponder cada nombre con un objeto contado). Aquí aparece el conocimiento del nombre de los números, pero está claro que ese nombre no conlleva el “concepto” de número.

2) Principios de orden estable: este principio, cuando aparece, establece que para contar es

indispensable establecer una secuencia de “palabras numéricas” (nombre de números) estable y coherente, no supone que la secuencia empleada sea la convencional (uno, dos, tres, cuatro, etc.), pero sí es ya, al menos, siempre la misma, cosa que no ocurría antes.

3) Principios de cardinalidad: la noción de cardinal aparece cuando el niño comprende que

la última “palabra numérica” de su secuencia de recontar, significa el número total de elementos del conjunto contado, y no sólo el nombre del último de ellos.

4) Principio de abstracción: aparece cuando, en el proceso que describimos, el niño

comprende que los números simbolizan una cualidad abstracta, que no depende en absoluto del aspecto físico de los objetos; los principios anteriores se aplican entonces, tanto a conjuntos de objetos homogéneos como heterogéneos.

5) Principios de irrelevancia de orden: El proceso culmina cuando el niño comprende que el

orden de enumeración es del todo irrelevante para determinar el cardinal de un conjunto, ese conjunto se puede enumerar de cuantos modos se desee y, pese a todo, el cardinal del conjunto será siempre el mismo. Este principio supone:

- Comprender que lo contado son cosas distintas a los números que se les aplican al

enumerarlos.

- Comprender que las “palabras numéricas” se aplican arbitrariamente a los elementos del conjunto porque son cosas distintas a ellas.

- Que el mismo cardinal resulta siempre de los distintos tipos de recuento posibles, ya

que es independiente del orden del conteo y constituye una propiedad cuantitativa del conjunto.

La mayoría de los niños de cuatro a cinco años memorizan la secuencia numérica progresivamente (0, 1, 2, 3,…) y regresivamente (10, 9, 8,….) a través de los medios informales en que se desenvuelven. Si el aprendizaje no se ha producido a esta edad, es preferible practicar en la adquisición de la habilidad de contar, que dirigir los esfuerzos al desarrollo de operaciones lógicas y los conceptos básicos, contrariamente a lo que indican los modelos piagetanos, aunque ambos procedimientos pueden ser simultáneos (Baroody 1987).


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Como señala Martínez Montero (2000:10), en su interesante monografía sobre el cálculo, existen determinados ejercicios que facilitan la comprensión de la noción de número más que otros, como pueden ser:

a) Actividades de reparto (dealing): que permiten establecer diversos tipos de correspondencia entre dos conjuntos de objetos y que irían desde la correspondencia uno a uno (por ejemplo: un lápiz para cada niño), pasando por reparto uniforme (a cada elemento le corresponde la misma cantidad, por ejemplo: 6 entre 3, entre 2, etc.), reparto irregular (por ejemplo: repartir de todas las formas posibles 4 lápices para 2 alumnos), reparto proporcional (por ejemplo: dar 2 lápices a Juan por cada uno que le demos a José), hasta el reequilibrio de repartos (por ejemplo: volver a repartir 8 lápices entre 2 alumnos, habiéndolos repartido previamente entre 4)

b) Actividades de mezcla de códigos: en este tipo, el alumno habría de cardinalizar las

cantidades de diversas maneras (por ejemplo: 2, II, @@, etc.).

c) Actividades con la cadena numérica: se trataría de identificar los números que se encuentran definidos por una posición, para lo que puede utilizarse la recta numérica (por ejemplo: cuenta hasta el 7, cuenta 5 números a partir del 3, ¿cuántos números hay entre el 4 y el 8?,…).

Aquí es importante precisar que, aun cuando en la asimilación de los conceptos examinados resulta útil, si no necesario, el uso y manipulación reiterada de materiales concretos (objetos de la vida real, bloques lógicos, reglas, etc.), no es la experiencia en sí lo que realmente parece contar: manipulación y vivenciación son útiles en la medida en que propician la formación de representaciones mentales que darán significado a las nociones aritméticas al irse elaborando por el alumno, primero en forma de “conceptos” intuitivos (a través de la representación gráfica figurativa) y luego, de auténticos conceptos matemáticos, que tienen un marcado carácter simbólico.

z Realice ejercicio n°1


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CLASE 03

2.2. La Construcción del Número: la Síntesis de Orden y la Inclusión Jerárquica

Según Piaget, el número es una síntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre los objetos (por abstracción reflexiva). Una es el Orden y la otra es la Inclusión Jerárquica.

Comenzaremos presentando lo que para Piaget significaba orden. Todos los educadores de niños pequeños, han podido observar la tendencia que manifiestan éstos al contar los objetos, saltándose uno y contando más de uno a la vez. Por ejemplo, si le damos ocho objetos a un niño, este puede recitar “uno, dos, tres, cuatro...” correctamente hasta diez cosas al “contar” como se muestra en la figura.

Figura Nº1: La forma en que cuentan muchos niños de cuatro años

Esta tendencia pone de manifiesto, que el niño no siente la necesidad lógica de

colocar los objetos en un orden para asegurarse que no se salta ninguno o que no cuenta más de uno a la vez. La única manera que tenemos de estar seguros que no nos pasamos por alto o contamos más de una vez un objeto, es ponerlo en orden. El niño, sin embargo, no necesita poner los objetos literalmente en un orden espacial para establecer entre ellos una relación de orden. Lo importante es que los ordene mentalmente como se muestra en la figura.


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Figura Nº2: Orden mental de los objetos

Si la ordenación fuera la única acción que se realizara con los objetos, los objetos no podrían cuantificarse, ya que el niño podría considerar uno cada vez, de un grupo de varios al mismo tiempo. Por ejemplo, después de contar ocho, colocamos en una relación de orden como se muestra en la primera figura, el niño afirma normalmente que hay ocho. Si le pedimos entonces que nos enseñe los ocho, señala algunas veces el último objeto (el objeto octavo). Esta conducta indica que, para este niño, las palabras uno, dos, tres, etc., son nombres de elementos individuales en la serie, como Carolina, Marcela, Eduardo...Juan. Por lo tanto, cuando le preguntamos cuántos hay, el niño dice la cantidad hasta Juan, el nombre de Juan representa al último individuo en la serie y no al grupo entero. Para cuantificar los objetos como un grupo, el niño tiene que establecer entre ellos una relación de inclusión jerárquica. Esta relación significa que el niño incluye mentalmente uno, en dos, dos en tres, tres en cuatro, etc., cuando se le presentan ocho objetos, sólo puede cuantificar el conjunto numéricamente si puede establecer entre los objetos una única relación, sintetizando el orden y la inclusión jerárquica.

La reacción de los niños pequeños ante la tarea de inclusión de clases, nos ayuda a entender lo difícil que resulta construir la estructura jerárquica.

Es importante mencionar que cuando nos referimos a objetos, estamos hablando de Inclusión de Clases y cuando aludimos a números, de Inclusión Jerárquica.

Veamos la siguiente figura, a modo de ejemplo: en la Fig. A, el término 8 es utilizado para referirse solamente al último elemento, mientras que en la Fig. B se desarrolla la idea de inclusión jerárquica, en la cual todos los números se encuentran contenidos en el 8.


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Figura A Figura B

Ahora, analicemos un ejemplo práctico:

Se le entregan al niño seis perros en miniatura y dos gatos del mismo tamaño, por ejemplo, y se le pregunta ¿Qué ves?, de modo que el experimentador pueda proceder después, a partir de cualquier palabra utilizada por el niño. Se le pide entonces al niño que muestre “todos los animales”, “todos los perros” y “todos los gatos”, con las palabras que el niño emplea (por ejemplo, perrito). Sólo después de asegurarse de que el niño comprende esas palabras, el profesor plantea la siguiente pregunta de inclusión de clases: “¿Hay más perros o más animales?”.

Un niño de cuatro años contesta normalmente: “Más perros”, después de lo cuál el adulto pregunta: “¿que qué?” la respuesta de los niños de cuatro años es: “que gatos”. En otras palabras, la pregunta que el examinador plantea es “¿Hay más perros o más gatos?”. Los niños pequeños oyen una pregunta que es diferente de la que ha planteado el adulto, porque una vez que han dividido el todo (animales) en dos partes (perros y gatos), lo único sobre lo que pueden pensar es en las dos partes. Para ellos, el todo ya no existe en ese momento.

Para comparar el todo con una parte, el niño tiene que realizar dos acciones mentales opuestas y al mismo tiempo dividir el todo en dos partes, juntando nuevamente las partes en un todo. Esto es lo que precisamente, según Piaget, un niño de cuatro años no puede hacer.

Hacia los 7 u 8 años, el pensamiento de la mayoría de los niños se hace lo suficientemente móvil como para ser reversible. La reversibilidad se refiere a la capacidad de oponer dos acciones mentalmente de forma simultánea, en este caso, dividir el todo en dos partes y reunir las partes en un todo. En las acciones físicas o materiales, no es posible hacer dos cosas opuestas simultáneamente. Sin embargo, esto es posible en nuestras mentes cuando el pensamiento se ha hecho lo bastante móvil como para ser reversible. Sólo


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cuando las partes pueden “reunirse en la mente”, es cuando el niño puede “ver” que hay más animales que perros.

Piaget explica pues, el logro de la estructura jerárquica de la inclusión de clases por el aumento de la movilidad del pensamiento de los niños. De ahí que sea tan importante que los niños sitúen toda clase de contenidos (objetos, acontecimientos, acciones) en todo tipo de relaciones. Cuando los niños establecen relaciones entre otro tipo de contenidos, su pensamiento se hace más móvil y uno de los resultados de esa movilidad es la estructura lógico-matemática del número.

Al respecto, se hace necesario tomar en cuenta las siguientes consideraciones generales:

• El primer estadio es netamente de dominio perceptivo; en el segundo, predomina la coordinación lógica no reversible y finalmente, en el tercero, la etapa reversible.

• Los números no aparecen entre sí como independientes, sino que provienen de una sucesión ordenada de elementos en relación con una reversibilidad precisa, que señala el acceso a la Noción Numérica.

• La coordinación entre los procesos ordinales y cardinales, que es lo propio del número, se irá realizando paulatinamente hasta llegar en el último estadio (operaciones formales) a una coordinación perfecta.

• Durante la primera infancia, sólo los primeros números son accesibles al niño, ya que son números intuitivos que corresponden a figuras perceptibles. La serie indefinida de los números y de las operaciones de adición (y su inversa), la multiplicación (y su inversa) no son accesibles hasta después de los siete años. Porque el niño debe poseer el concepto de número para poder operar.

• La construcción del concepto de número es correlativo con el desarrollo de la lógica y hemos visto cómo en el nivel pre-lógico, el niño no posee aún el concepto de número, siendo también un nivel pre-numérico.

• El número se va organizando etapa tras etapa, en estrecha solidaridad con la elaboración gradual de los sistemas de inclusión (jerarquía de clases lógicas) y de relaciones asimétricas (seriación cualitativa), de este modo, el número es la síntesis de la clasificación y seriación.

• Esta síntesis no se generaliza enseguida a todos los números, sino que actúa progresivamente, se trata pues, de un proceso sintético y constructivo.

• El número se construye en la medida en que los elementos se conciben como equivalentes (clase) y no equivalentes (serie) al mismo tiempo, puesto que las unidades que lo componen se adicionan en tanto son distintas unas de otras.

• El número se construye alrededor de los siete años, en el momento en que el razonamiento del niño empieza a superar el nivel pre-lógico.


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CLASE 04

Dentro de todo este proceso hay dos nociones que juegan un rol fundamental y que explicaremos a modo de síntesis, la noción de espacio y tiempo.

a) Noción de Espacio

La estructuración espacial, se inicia por la constitución de las coordenadas dadas por la estructuración del cuerpo (delante-atrás, derecha-izquierda) y con la dirección de la gravedad (arriba-abajo). Con este sistema de coordenadas, aparecen las primeras relaciones entre los objetos, desembocando y desarrollando la noción de reversibilidad de las operaciones. El lenguaje es fundamental en el acceso a estas operaciones. b) Noción de Tiempo

La noción de tiempo, es necesaria y es condición para adquirir el concepto de número. En efecto, toda transformación supone el conocimiento preciso del estado anterior a la modificación y del resultado de la misma (antes-después).

Existe un paralelismo e interdependencia en el desarrollo de la estructuración espacio-temporal en el niño. Estas estructuras no se dan en forma innata, sino que se desarrollan a través de las experiencias prácticas del niño.

Todas las actividades que involucran movimientos, conllevan un factor temporal además de espacial. El tiempo puede ser pensado con dirección, ya sea hacia el pasado o hacia el futuro. Ejemplo: si el alumno pretende ir al fondo de la sala, no sólo debe tener conciencia de un punto de partida en el “aquí” sino también en el “ahora”.

Piaget logró distinguir dos formas de tiempo en los niños. Uno, el llamado “Tiempo Intuitivo”, forma genéticamente primaria, caracterizada por una comprensión inadecuada de las relaciones temporales debido a que no se distinguen de las otras relaciones más simples. El otro tiempo, es el llamado “Tiempo Operatorio”, constituye la comprensión de las relaciones temporales, basada no en una apreciación de datos aislados, sino en la coordinación de la fase inicial de un proceso con su fase final.

En la estructuración temporal además, se distinguen tres aspectos: sincronía, ritmo y secuencia, íntimamente ligados entre sí y en relación al movimiento dirigido hacia una finalidad.


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2.3. El Sistema de Numeración Aunque las dificultades relacionadas con la adquisición de la noción de número son importantes y frecuentes durante toda la educación básica (una etapa en donde un importante número de alumnos no llegan a elaborar los principios citados de cardinalidad, abstracción e irrelevancia de orden), no son las únicas; al contrario, son aún más frecuentes las dificultades en la comprensión del carácter “ordenado” del sistema de numeración y la lógica del sistema decimal, que implica reagrupaciones a partir de unidades secundarias: decenas, centenas, etc., como lo pone de manifiesto, por ejemplo, el tipo de errores más comunes en el cálculo en estas edades. Si nos estuviésemos refiriendo a una comprensión matemática profunda de la naturaleza del sistema decimal, evidentemente, este fenómeno no sería extraño, pero lo es cuando consideramos que el problema incluye la falta de una comprensión meramente “intuitiva” de estas nociones, entendiendo por ello, que el alumno disponga de representaciones mentales concretas de estas nociones, como “imaginar” la decena como una bolsita, caja, etc. que contiene 10 unidades, la centena como una colección de diez “bolsitas” que contienen 10 unidades cada una y así, sucesivamente. Por supuesto, esta dificultad conceptual corre con otras de tipo procedimental, que se derivan directamente de no entender el valor posicional de las cifras, es decir, que 7 representa cantidades diferentes según su posición (7, 70, 700,…), como son no comenzar los cálculos escritos desde la derecha o fallar con las “reservas”, por ejemplo; asimismo, no comprender la naturaleza del sistema de numeración, lleva a dificultades en la comprensión y manejo de los decimales, las fracciones, etc. Para llegar al dominio del sistema decimal, resulta fundamental que el alumno realice y establezca particiones, agrupaciones y relaciones entre los diferentes elementos constitutivos de un número. De esta manera, las actividades que facilitarían el dominio del sistema decimal, de acuerdo con Martínez Montero (2000:25-36), serían:

a) Actividades de partición de un número

Dicho autor resalta la importancia que tiene el que las descomposiciones que se realicen tengan: - Carácter múltiple (por ejemplo: 24 se puede descomponer en: 20 + 4; en, 10 + 10 + 4;…). - Consideración simultánea de las unidades de un número (por ejemplo: ¿Cuántas

decenas existen en 3214? ¿Cuántas centenas? ¿Cuántas unidades de mil? - Descomposición de un número en sus unidades constitutivas (unidades, decenas,

centenas, …) - Consideración de una parte de un número, para encontrar la otra.


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b) Actividades de agrupación

Pretenden que el alumno componga un número a partir de sus unidades constitutivas, como:

- Composición de un número a partir de sus unidades - Operaciones Mixtas de sumar

c) Actividades de relación

Se refiere a las relaciones que se establecen entre las cifras que componen un número. Las actividades que pueden hacerse son:

- Composición de todos los números posibles. - Determinación de los números mayores y menores que pueden componerse con

cifras dadas. A las anteriores actividades, podemos añadir las relativas a diferentes sistemas de numeración, como:

- Identificar números realizados en una base diferente al decimal - Leer y escribir números en sistemas diferentes al decimal

Entre los problemas más frecuentes relacionados con la numeración, nos encontramos con los siguientes:

- Dificultad para adquirir la noción de número (comprensión) - Dificultad para reconocer y escribir algunos números. - Dificultad en la adquisición de las órdenes de unidades y el valor proposicional de

los números, por ejemplo, el número 25 se lee veinticinco, y no dos y cinco. - Dificultad en la adquisición de la regla de los ceros intermedios, por lo difícil que

resulta comprender los órdenes de unidades y las reglas para codificar y decodificar las relaciones entre dichas cifras.

A pesar de la insistencia de numerosos autores sobre la necesidad de realizar actividades diversas, como las indicadas por Martínez Montero, para la comprensión y dominio del sistema de numeración, una cuestión básica es que dichas actividades se planteen con un nivel de abstracción (manipulativo-vivencial, gráfico o simbólico) adecuado a las competencias del sujeto, ya que en caso contrario, las dificultades pueden mantenerse en lo relativo a la comprensión del mismo, aunque pueda aprender determinados algoritmos de identificación de unidades.


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Cuando se procede a evaluar el dominio de la numeración por parte de un alumno, es preciso tener en cuenta las siguientes consideraciones:

• En primer lugar, es necesario subrayar que el uso de los números (contar) no significa que se posea la noción de número, ya que la comprensión de la noción de número se pone de manifiesto a través de la ejecución correcta de actividades como:

- Completación/continuación de series ascendentes y descendentes de números - Identificación de los números “vecinos” de otro lado

• La comprensión del sistema numérico decimal no puede comprobarse mediante la

ejecución de las actividades de descomposición habituales (por ejemplo: ¿Cuántas unidades, decenas y centenas tiene el número?), ya que el alumno puede aplicar un algoritmo de identificación que no implique la comprensión del valor posicional, por ello será necesario utilizar actividades como:

- Consideración simultánea de las unidades de un número - Actividades de composición

Para finalizar, queremos resaltar el papel preponderante que tiene en el dominio del sistema de numeración, los conocimientos previos que el sujeto posea en un momento determinado.


CLASE 05

3. EL CÁLCULO NUMÉRICO

A los aprendizajes de la etapa primaria, se le deben añadir aquéllos otros que afectan específicamente a la correcta adquisición de las operaciones de cálculo aritmético, aunque es preciso distinguir distintas dificultades en relación con esta nueva faceta.

3.1. Comprensión de las Operaciones Matemáticas

Una primera dificultad, tiene que ver con la comprensión de los conceptos mismos de suma, resta, multiplicación, división, potencias, raíces, etc., que son a menudo asimiladas en


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términos puramente algorítmicos, es decir, como procedimientos mecánicos que se aplican rutinariamente para la obtención de un resultado.

Es necesario no olvidar que el propio término “operaciones” trata de expresar que nos encontramos ante “acciones interiorizadas” que conforman un sistema de relaciones lógico-matemáticas entre ellas; sólo así, es posible realizar una adquisición comprensiva de las propiedades de cada una de ellas (que suelen estudiarse de manera absolutamente desconectada de las operaciones reales mismas) y, sobre todo, emplear ese conocimiento en la resolución de problemas y, más adelante, en la realización de aprendizajes matemáticos complejos y de nivel jerárquico superior.

Lo cierto es que este aprendizaje no suele constituir motivo de consulta al profesor especialista o psicopedagogo porque, generalmente, el propio profesorado en esa etapa, no considera su enseñanza como algo importante o, al menos, al alcance de sus alumnos y alumnas; causa más preocupación, entonces, otro tipo de problemas más relacionados con una insuficiencia de cálculo, hábitos incorrectos de resolución de las operaciones escritas, etc.

3.2. La Mecánica de las Operaciones Matemáticas

Aquí podemos referirnos a uno de los problemas más frecuentes en los primeros años de la escolaridad obligatoria; concretamente, la persistente tendencia a realizar los cálculos escritos en órdenes inadecuados (sumar y restar comenzando desde la columna situada a la izquierda, multiplicar sin ordenar el producto de cada multiplicación –cuando el multiplicador tiene dos o más cifras- comenzando por dejar libre la columna de la derecha, etc.), los errores de cálculo derivados de imprecisiones en la suma, resta, multiplicación o división de dos cifras, inexistencia o imprecisión en el cálculo mental, etc. En definitiva, un conjunto de errores que suelen relacionarse con:

- Las dificultades señaladas. - La falta de una práctica bien supervisada. - La falta de atención. - La inexistencia de estrategias de verificación en el desarrollo de tareas que se

ejecutan mecánicamente, aplicando una secuencia de pasos impuestos sin explicación, solamente memorizadas.

El dominio de las cuatro operaciones básicas (sumar, restar, multiplicar y dividir) es uno de los objetivos de la enseñanza básica, al igual que otros cálculos más complejos (potencias, raíces, logaritmos, etc.) lo son de la educación matemática en la enseñanza media.


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En relación con las llamadas operaciones básicas, según algunos autores, antes de ser iniciados en el cálculo escrito de estas cuatro operaciones, los niños deben adquirir los conceptos y los símbolos de las mismas; así también, el aprendizaje de los algoritmos, es decir, procedimientos de cálculo compuestos por una secuencia ordenada de pasos que permiten llegar a la solución correcta en operaciones con multidígitos.

A partir de las experiencias informales y formales de contar, los niños van elaborando los conceptos básicos de adición, sustracción, multiplicación y división, así como los algoritmos para su resolución.

En la suma se utilizan estrategias que van desde el apoyo de los dedos u objetos físicos al uso de las combinaciones numéricas básicas, pasando por los algoritmos de cálculo escrito y por las estrategias y reglas de cálculo mental que se apoyan en la composición y descomposición de los números (por ejemplo, para calcular 5+3, se usa la estrategia de sumar 5+5 quitando 2), produciéndose los errores más frecuentes con las “reservas”, en la alineación o colocación correcta de las cifras y en los procedimientos de reserva cuando está presente el cero.

Para la sustracción, los niños también desarrollan y aplican estrategias que varían en función de los problemas a resolver, del grado de abstracción de la tarea y de la edad. En general, la sustracción, al suponer mayor nivel de complejidad y dominio de las estrategias de resolución, no es un proceso de todo o nada, sino que supone la ascensión gradual de un camino no exento de dificultades.

Si se tiene bien adquirido el concepto de adición, el de la multiplicación no presenta grandes dificultades, ya que la multiplicación se representa como la adición sucesiva del mismo número. Los errores más frecuentes están relacionados con las combinaciones básicas, con la suma de los números que se llevan, con la escritura de una hilera de ceros cuando hay un cero en el multiplicador, con los errores en la adición y al tomar el multiplicando como multiplicador.

En cuanto a la división, al ser la operación inversa a la multiplicación implica una reorganización de este concepto, cuyo resultado final debe ser una estructura de conocimiento aritmético unificada que incluya las cuatro operaciones. Ello significa la consolidación de una red de conexiones entre los diferentes conceptos aritméticos, que es la que permitirá su aplicación flexible. En todo caso, el aprendizaje de la división es el más difícil de todos los algoritmos (Gómez A., 1988):

- Porque se lleva de izquierda a derecha, al contrario de los anteriores. - Porque aporta dos resultados, cociente y resto; en los anteriores, sólo uno. - Porque requiere que los otros algoritmos estén automatizados. - Porque es un procedimiento sólo semi-automático, ya que tiene una fase de tanteo

que conlleva ciertas probabilidades como que el resto sea mayor que el cociente.


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Estos errores suelen tener un origen en un mal aprendizaje, de manera que, cuando algunos de los pasos del procedimiento no están claros, el niño inventa una regla, generalmente inadecuada, para resolver la situación (Enrig-ht 1983; Baroody 1987; Mercer 1989, entre otros, identifican algunos de estos errores). Este último, señala que los errores más frecuentes en las operaciones básicas de los alumnos con dificultades de aprendizaje en matemáticas, son:

- Operar sin tener en cuenta la posición - Operar de izquierda a derecha - Omitir el cero - Errores con las reservas

Sostienen como principio general, que la mayoría de los errores se producen por una

inadecuada o incompleta asimilación del valor posicional de los números.

Cuando las dificultades aparecen en otras operaciones matemáticas más complejas (como las potencias, raíces, logaritmos, etc.), a menudo los orígenes suelen remontarse, por un lado, a un inadecuado dominio de las operaciones básicas implicadas (estas operaciones siempre suponen el dominio de las operaciones básicas), y por otro, a un inadecuado aprendizaje del algoritmo correspondiente de otro.

3.3. Errores Conceptuales en el Cálculo

En esta tercera categoría de dificultades, se hace referencia a todos aquellos errores que se derivan de la inexistencia de los conceptos adecuados. Posiblemente, el más frecuente de ellos tenga que ver con las habitualmente denominadas “restas con reserva”, es decir, cuando en la sustracción nos encontramos con que la cifra del sustraendo en una posición dada (unidades, decenas, centenas, etc.) es mayor que la correspondiente en el minuendo; en este caso, no existen problemas si el alumno comprende, aunque sea intuitivamente, que el déficit de esa determinada posición en el minuendo desaparece cuando trasladamos a él una unidad secundaria de la posición siguiente (es decir, para restar 9 a 27, este último 7 se aumenta hasta 17, pero ello implica que ya sólo queda una decena, en lugar de dos, en la siguiente columna). Cuando tal comprensión no existe, el alumno se ve entregado a practicar un ritual incomprensible y arbitrario de “préstamos entre vecinos” sujeto a una secuencia de actos que, en cuanto falla en cualquier eslabón, condena al error.

Otro tanto, cabe decir de las dificultades para el cálculo con números fraccionarios, la obtención de porcentajes, etc. o la realización de operaciones más complejas.


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3.4. Lectura y Escritura de Símbolos Numéricos

La expresión símbolos numéricos escritos incluye, en el sentido que aquí se le da, tanto a los números propiamente dichos como a los símbolos de las operaciones numéricas (+, -, x, :) y aquellos otros que representan relaciones matemáticas esenciales (=, >, <,…). Evolutivamente, se adquiere antes el reconocimiento de estos símbolos y el acto de nombrarlos, que su escritura, siendo relativamente lento el proceso que permite al niño terminar por leer y escribir los signos y los números, lo que implica el aprendizaje, además, del valor posicional de estos últimos.

Este tipo de error ha sido investigado bastante en la historia del trabajo sobre dificultades del aprendizaje matemático, ya que es muy evidente su presencia, que ha ido asociada tanto a trastornos específicos (lesiones cerebrales con efecto sobre las adquisiciones matemáticas), como a dificultades evolutivas, que serían las más frecuentes en la escolaridad obligatoria, en la cual aparecen con abundancia –en particular en el primer ciclo de educación básica- los fallos en la identificación de los números, confusión entre números semejantes, confusión en la lectura de los signos de operación y, sobre todo, de relación, escritura “en espejo” de números, cambios posicionales de cifras, omisiones de números, etc.

Respecto a la incidencia de dificultades en este tipo de aprendizajes, hay que decir que aparecen como algo muy corriente durante la fase de iniciación de los alumnos en numeración y cálculo aritmético, persistiendo a veces hasta los 8 ó 10 años en alumnos de medios desfavorecidos e, incluso, en grupos-curso completos que han sufrido una enseñanza inicial irregular.

Se trata, pues, de un fenómeno natural en ciertos momentos del proceso de aprendizaje matemático; más allá de ese punto, sin embargo, son errores que no suelen persistir sino en personas con discalculia asociada a trastornos específicos de la lecto-escritura, así como en algunos alumnos impulsivos e hiperactivos.

En la evaluación del nivel de competencia de un individuo respecto a las operaciones aritméticas, es necesario diferenciar su comprensión de su dominio algorítmico. La evaluación de éste último, puede realizarse con una colección de ítemes relativos a cada operación y secuenciados en orden de dificultad, como por ejemplo, la siguiente referida a la suma:


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Este tipo de colecciones, que resulta fácil elaborar en el automatismo de cada operación básica, conforman lo que se denomina una prueba analítica, que nos permite chequear en poco tiempo, y de manera sistemática, los distintos logros y errores de un alumno o alumna.

• Sumas de dígitos que totalizan menos de 10 (por ej.: 7+2) • Sumas de números con dos cifras sin reserva (por ej.: 27+11) • Sumas de dos números de una y dos cifras, sin reserva (por ej.: 12+7) • Sumas de dos dígitos rebasando la decena (por ej.: 6+9) • Sumas de tres dígitos:

a) Sin rebasar la decena (por ej.: 3+4+2) b) Rebasándola en el tercer sumando (por ej.:3+5+3) c) Rebasándola en el segundo solamente

A la hora de evaluar el dominio de las operaciones aritméticas por los alumnos, es

conveniente tener en cuenta las siguientes consideraciones:

• En la valoración de cada operación es necesario diferenciar su comprensión del dominio algorítmico que se posea de la misma, ya que pudiera ocurrir que un alumno poseyera uno y no el otro.

• Se deben emplear diferentes modelos de operaciones: verticales y horizontales.


CLASE 06

4. RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

En cuanto a la resolución de problemas, aunque no lo parezca a veces, está claro que constituye uno de los objetivos finales en la enseñanza de las matemáticas en la escuela obligatoria, para cuya consecución no basta con que el alumno domine las operaciones elementales de cálculo: requiere un aprendizaje específico de ciertas habilidades de representación, reglas y estrategias generales y específicas, así como de la capacidad de traducir de unos lenguajes (modos de representación) a otros.

Además, el aprendizaje de esta capacidad incluye la comprensión de los enunciados, que exige la decodificación adecuada del mensaje verbal para formarse una representación


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mental adecuada al estado de cosas descrito en el problema, y la habilidad para establecer relaciones entre los conceptos y procedimientos implicados para, desde ahí, analizar las vías de solución posibles en cada caso y valorar cuál de ellas es la apropiada.

En cualquier caso, para entender el modo en que el alumno llega a aprender a resolver correctamente los problemas matemáticos (o por qué no llega a hacerlo), es necesario analizar el concepto mismo de problema y el conjunto de operaciones mentales implicadas en su resolución.

Así, comenzaremos señalando que un problema puede considerarse, en general, como una situación en la que a partir de un cierto estado de cosas inicial se trata de alcanzar una meta identificando y aplicando el único procedimiento adecuado o seleccionando uno entre varios posibles; en este sentido, Bransford y Stein (1988: 4) afirman que existe un problema siempre que la situación actual sea diferente de la situación (meta) deseada, por ejemplo, si queremos tomar una copa de vino de una botella cerrada, debemos resolver el problema de abrirla.

Resolver un problema, por tanto, implica pasar de una situación a otra, realizar ciertas operaciones sobre el estado inicial para alcanzar el objetivo: si queremos tomarnos esa copa de vino, una posible solución es tener un sacacorchos a mano y probar a abrir la botella.

Finalmente, en el proceso de resolución de cualquier problema es posible que tengamos que enfrentarnos a unas reglas que especifican cuáles son las operaciones que están permitidas, y que se conocen como límites o restricciones (Chi y Glaser, 1986).

Dada esta naturaleza de los problemas, en el proceso de resolución podríamos distinguir, al menos, dos partes principales, la de representación del problema, en la que debemos construir un modelo del estado de cosas que representa el enunciado, y la solución del problema propiamente dicha, que consistiría en la aplicación del procedimiento apropiado (las operaciones matemáticas) para alcanzar la meta final perseguida a partir de la situación de partida. No obstante, cada una de estas fases supone la ejecución correcta de una serie de pasos o tareas.

Como es obvio, en los diferentes tipos de problemas matemáticos que pueden plantearse, tales tareas no se dan en comportamientos siempre independientes y perfectamente distinguibles unos de otros; al contrario, los límites entre ellos suelen ser difusos durante el proceso mismo de la resolución del problema; así, la planificación y la ejecución pueden presentarse juntas dado que, en ocasiones, no podemos estar verdaderamente seguros de haber elegido la estrategia correcta hasta no haberla ejecutado y haber observado si se ha logrado hacerla funcionar.


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Problema: Juan tiene $1.000. Pedro tiene $300 más que Juan ¿Cuánto dinero tiene Pedro?

Paso

Ejemplos del problema de muestra

Representación del problema

Traducción

Integración

J = $1.000 P= $300 + J Pedro $1.000 $300 P= 1.000+300

Solución del problema

Planificación

Ejecución

Empezar con 1.000, contar 300 más ¿1.000 + 300? ¿Pedro tiene 1300 pesos?

Problema: Tres adolescentes, Carmen, Estela y Alicia, tienen en conjunto 30 prendas de vestir de las cuales 15 son blusas y el resto son faldas o pantalones. Carmen tiene 3 blusas y 3 faldas. Alicia tiene 8 prendas de vestir, de las que 4 son blusas. El número de pantalones de Carmen es igual al de blusas que tiene Alicia. Estela tiene tantos pantalones como blusas tiene Carmen. La cantidad de pantalones que posee Alicia es la misma que la de blusas de Carmen. ¿Cuántas faldas tiene Estela?

Paso

Ejemplos del problema de muestra

Representación del problema

Traducción

Integración

Hay dos variables: X= prendas; Y= adolescentes. X e Y deben considerarse conjuntamente. Debemos encontrar los valores x, que están asociados a su y, Es un problema de tablas de doble entrada


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Solución del problema

Planificación

Ejecución

Construir una tabla numérica de doble entrada (adolescentes x prendas de vestir). En ella, se colocan primero los datos que se conocen sobre las adolescentes y sus prendas de vestir y, luego, se deducen los datos que no se aportan en el enunciado del problema. Ejecutando el plan anterior, Estela tiene 1 falda

Fuente: Pasos en la resolución de problemas matemáticos (Mayer, 1986: 169)

4.1. Fases en la Resolución de Problemas

Cuando se resuelve un problema, no siempre se es consciente de que se está

procediendo mediante una secuencia lineal que respeta el orden en que aquí se presentan las diferentes tareas sino que, por ejemplo, uno puede empezar por planificar la solución del problema antes de ser consciente de la traducción del problema mismo. Para resolver el problema de las prendas de vestir es posible que alguien, que haya desarrollado antes con éxito la estrategia de construir una tabla numérica de doble entrada y completar los datos que faltan, comience aplicando dicha estrategia aún antes de que sea consciente de los términos en que está definiendo el problema.

a) La traducción del problema

De los componentes mencionados, el primero, supone definirlo; es decir, transformar cada proposición del problema en una representación interna. Cuando traducimos un problema nos valemos de las ideas y conceptos elaborados por personas que ya se han enfrentado con problemas similares o, incluso, desarrollamos nuestras propias ideas y conceptos. La creación de unidades de medida tales como litros de gasolina por cada cien kilómetros, tasa de éxito en la universidad, índice de precios al consumo, son ejemplos de ello.

Brandsford y Stein (1988:17-20), en que el problema es el siguiente:


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Un estudiante dedicó 22 horas de estudio a la preparación de sus exámenes de Lenguaje, Matemáticas e Historia. Si dedicó el doble de tiempo a Lenguaje que a Matemáticas y 3 horas menos a Historia que a Lenguaje, ¿cuánto tiempo dedicó a cada asignatura?

Señalan que al traducir el problema, el alumno considera cada una de las materias de forma independiente, es decir, define el tiempo dedicado a la preparación del examen de Lenguaje como no vinculado con el tiempo dedicado a la preparación del examen de Matemáticas o al de Historia; consecuentemente, resuelve dividiendo las 22 horas entre las tres asignaturas mencionadas y, claro es, se equivoca. Una forma diferente de traducir el problema, es a partir de proposiciones que incluyan las relaciones entre los tiempos de preparación de dos asignaturas. Así, decimos que el tiempo dedicado a Matemáticas es L/2 (la mitad que el dedicado a Lenguaje) o que el tiempo dedicado a Historia es L-3 (tres horas menos que las dedicadas a Lenguaje).

CLASE 07

b) La integración del problema

El segundo componente, implica agrupar las proposiciones textuales del problema en una representación coherente. Esa representación que hace el alumno, refleja su forma de entenderlo (por ej.: “Es un problema de regla de tres simple”) de problemas matemáticos que se le pueden plantear. El alumno, por tanto, utiliza su conocimiento esquemático para situar las proposiciones extraídas del enunciado del problema dentro de una de las categorías de problemas con las que ya ha tenido alguna experiencia previa.

Los investigadores conciben el esquema como una estructura de información modificable que representa conceptos genéricos almacenados en la memoria. En este sentido, los esquemas contienen una información prototípica sobre las situaciones experimentadas frecuentemente y se utilizan para interpretar nuevas situaciones y observaciones (Rumelhart, 1981).

Para entender cualquier situación problema, es importante considerar el conocimiento previo que las personas poseemos. Dicho conocimiento, se representa en la memoria mediante un esquema que especifica, por ejemplo, en un juego de ajedrez, las reglas que se deben observar, las funciones de cada jugador, y otros, en el transcurso del juego y el tipo de situaciones que acontecen durante la misma.

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Según Chi y Glaser (1986:313), la teoría de los esquemas supone que existen estructuras mnésicas (esquemas) en la memoria para las situaciones repetidas que se experimentan, y que una función importante de los esquemas es la de construir interpretaciones de nuevas situaciones. Para estos autores, los objetos de un esquema pueden entenderse como variables o “ranuras” en las que puede acomodarse la nueva información. Si se rellenan suficientes ranuras de un esquema determinado, éste se convierte en activo. Un esquema activo puede guiar al sujeto en la búsqueda de información para rellenar las restantes ranuras, pero, si esa información adicional no está disponible en el entorno, se rellenarán sus ranuras con la información normal de una situación determinada, se activarán sus procedimientos y se accederá a cualquier otro conocimiento que contenga.

En efecto, el esquema es una estructura prototípica que puede incorporar fenómenos observados, gracias a la cual las personas reaccionamos a menudo muy rápida y eficazmente ante nuevos estímulos. Así, en los estudios realizados por Hinsley y otros (1977) pudo comprobarse que los alumnos eran capaces de categorizar los problemas casi de forma inmediata. Después de oír las primeras palabras de un problema como “Un barco fluvial recorre 36 kms. a favor de la corriente…”, un alumno puede decir: “¡Ya está! Éste es uno de aquellos problemas de corriente de ríos”.

Robinson y Hayes (1978), por su parte, encontraron que los alumnos utilizan sus esquemas para hacer juicios acertados respecto a cuál es la información importante en un problema y cuál es la accesoria.

Si aplicáramos las conclusiones de estos investigadores a un problema como el siguiente:

Dos estaciones de ferrocarril distan 100 kilómetros. Al mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren, cada uno de los cuales se dirige hacia el otro. En el instante en que los trenes arrancan, un halcón echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren, hasta la máquina del segundo tren. Cuando el halcón alcanza el segundo tren, da media vuelta y vuela en dirección al primero. El halcón prosigue de igual forma hasta que los trenes se cruzan. Supongamos que ambos trenes viajen a la velocidad de 50 km/h. y que el halcón vuelve a la velocidad constante de 200 km/h: cuando los trenes se crucen, ¿cuántos kilómetros habrá recorrido el halcón? (Bransford y Stein, 1988:8)

Veríamos que en él resultan accesorias la mayoría de las informaciones (al mediodía del domingo arranca de cada una de las estaciones un tren, echa a volar en el sentido de la marcha del primer tren hasta la máquina del segundo tren, cuando el halcón


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alcanza el segundo tren, da media vuelta y vuela en dirección al primero, el halcón prosigue de igual modo hasta que los trenes se cruzan,…); en cambio, son relevantes las informaciones relativas a la velocidad de los trenes y del halcón o la distancia entre estaciones.

Cuando un alumno utiliza un esquema equivocado para comprender un problema, tiene bastantes dificultades para hallar la solución correcta, al igual que cuando el alumno no posee el esquema de un tipo de problema determinado, bien porque no lo conozca o porque se trate de un tipo de problema poco habitual en su experiencia previa.

Por ejemplo, consideremos el problema del reloj y la pulsera, y analicemos algunas de las dificultades que pueden planteársele al alumno cuando no conoce este tipo de problemas.

El precio de la pulsera de un reloj, es igual a la tercera parte del precio del reloj. El reloj con la pulsera cuesta 2.400 pesos ¿Cuál es el precio de la pulsera?

Una posible respuesta puede ser: 1/3 de 2.400 = 800. Por tanto, el reloj vale 1.600 y la pulsera vale 800. En este caso, no se ha interpretado correctamente la proposición “el precio de la pulsera… es igual a la tercera parte del precio del reloj, dado que el precio del reloj debería ser igual al triple del precio de la pulsera (el inverso de 3 es 1/3) y con la solución aportada no lo es (1.600 no es el triple de 800).”

Si el alumno hubiera conocido los problemas sobre múltiplos y divisores, hubiera procedido de forma diferente. Así, utilizando dicho esquema diría: “Dado que el precio de la pulsera es igual a un tercio del precio del reloj, el precio del reloj será igual al triple del precio de la pulsera; el precio total incluye el del reloj y el de la pulsera y, por tanto, el precio de la pulsera es ¼ del total. Por consiguiente ¼ + ¾ = precio total”.

Existen muchos ejemplos de aplicaciones de esquemas inadecuados para resolver problemas. Algunas de las confusiones más frecuentes al seleccionar los esquemas a utilizar son: problemas de sumas por problemas de restas; problemas de contraste, etc.

Por todo lo expuesto, cada vez está más extendida la idea de que se necesitan y, por ende, se usan esquemas cognitivos para integrar o comprender los problemas. Como vemos, esos esquemas representan modos ya experimentados de abordar un problema, que traemos de nuestra memoria para afrontar el mismo tipo de problema o


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uno similar al que alguna vez hemos resuelto. Integrar la información relativa a un problema requiere, sin duda, un conocimiento específico de los tipos de problemas.

En el ejemplo de la dedicación de un estudiante a la preparación de los exámenes, la tarea de integración requiere reunir las distintas proposiciones que afectan a las relaciones entre las horas invertidas en las asignaturas. Lo que el estudiante dedica a preparar sus exámenes, es en realidad, L + L/2 + L-3. Estamos utilizando un esquema que corresponde al de la resolución de una ecuación con una sola incógnita: x + x/2 + x-3 = 22.

c) La planificación de la solución

Un nuevo componente, la planificación de la solución, aborda el diseño de un plan para solucionar el problema, esto es, para resolver problemas se necesita poseer alguna estrategia acomodada a las propias exigencias de cada problema: tantear, hacer un dibujo que represente cosas y sus relaciones, pensar un problema más fácil, hacer una tabla o empezar por el final (se parte del resultado final y se van recorriendo los pasos, pero al revés)… son algunas de las estrategias que los alumnos ya aprenden en el último ciclo de la Educación Básica.

En matemáticas, nos valemos de estrategias generales aplicables a un sinfín de tipos de problemas (por ej.: empezar por el final) y, desde luego, aprendemos a apoyarnos en estrategias desarrolladas por otros para afrontar un tipo particular de problemas (por ej.: los que se utilizan para encontrar el área bajo la curva normal).

Consideraremos, en primer lugar, las estrategias generales que utilizamos al planificar la solución de un problema.

Una de ellas, es la conocida como pensar un problema más fácil y consiste en considerar un problema que sea parecido al que tenemos, pero que sepamos hacer. Veamos el siguiente problema tomado de Bransford y Stein (1988:24):

Es usted el director de un campeonato de tenis, que ha de celebrarse próximamente. Se han inscrito 103 participantes en el torneo, que se juega por simple eliminación (en cuanto pierda una vez, el jugador queda eliminado). Si hace falta para cada encuentro una ficha de puntuaciones e incidencias, ¿cuántas serán necesarias, suponiendo que todos los jugadores comparezcan?


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Se trata de un problema del tipo N-1 y que puede resolverse más fácilmente si probamos primero una situación concreta más sencilla como por ejemplo, N=3. De este modo, podemos comprobar que siempre se necesita un número de fichas de puntuaciones e incidencias menor (una unidad) que el total de participantes.

En el problema “El cociente de dos números es 3 y su suma 72, ¿qué números son?”, la estrategia más adecuada podría ser el tanteo; en cambio, en el problema “Teresa compra un lote de tres cuadernos en espiral tamaño folio y una mochila para ir al colegio por 1.344 pesos. La mochila cuesta 297 pesos más que el doble del lote de cuadernos ¿cuál es el precio de cada cosa?; la estrategia más adecuada podría ser la de empezar por el final (si a 1.344 le restamos 297, queda el precio de tres lotes iguales de cuadernos).

Respecto a las estrategias específicas, habría casi tantas como tipos de problemas puedan identificarse en matemáticas. Veamos como muestra, un problema en 4º básico (Ed. Santillana: 117):

Inés y Álvaro están haciendo una carretera para jugar a las chapas. Inés ha hecho 2 m y 48 cm. de carretera y Álvaro 1 m y 73 cm. ¿Cuántos centímetros de carretera han hecho en total?

Por muy elemental que nos parezca el problema, para resolverlo un alumno necesita conocer la estrategia específica que le permite situar todas las medidas en una misma unidad y, por supuesto, necesita conocer que un 1 metro equivale a 100 centímetros, Veamos ahora un problema más complicado, que puede ayudarnos a entender mejor el concepto de estrategia específica (Camacho y Martínez 1989:56):

Aplicamos una prueba de inteligencia a una muestra de 129 estudiantes universitarios de menos de 20 años y obtenemos una media de 28 y una desviación típica de 4,59. Igualmente, aplicamos la misma prueba a otra muestra de 95 estudiantes universitarios comprendidos entre los 20 y 24 años de edad, y obtenemos una media de 25,36 y una desviación tipo de 5,07 ¿Podemos afirmar a un nivel de confianza de 5% que la población de universitarios menores de 20 años es más inteligente que la de 20-24 años?

Como habrá observado, se trata de un problema de comparación entre medias en grupos independientes y, para resolverlo, el alumno debe conocer la estrategia que le


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lleva a aplicar una fórmula de comparación determinada (z =*x1 -x2 * / ss2/N1-1+s 2/N2-1), aparecen con un riesgo concreto a = 0.05 y a decidir n función del valor teórico encontrado para z.

d) La ejecución de la solución

Esta última etapa implica que el alumno efectúe una serie de operaciones, que pueden ser tan simples como los implicados en la suma o tan complejos como los asociados al cálculo infinitesimal y, contra lo que pudiera pensarse en un principio, no es en absoluto un trámite; incluso cuando todo lo anterior ha sido correcto, hasta que ponemos en práctica la solución ideada no podemos estar completamente seguros de que etapas anteriores se hayan cubierto de forma adecuada. Sólo al ejecutar la estrategia de resolución, podemos verificar la adecuación del proceso seguido.

En la muy citada obra de Holt (1977) How Children Fail, que describe las conductas de los alumnos en la escuela y el tipo de actuaciones que les llevan a suspender en determinadas materias, se destaca que con frecuencia los alumnos no piensan demasiado en la estrategia a seguir para resolver un problema, así como que una vez hecha la elección la aplican a ciegas, sin verificación de ningún tipo.

Por ejemplo, uno de los chicos que Holt describe, estaba trabajando en el siguiente problema:

Si tenemos 6 jarras y queremos verter en cada una 2/3 de litro de limonada, ¿Cuánta limonada nos hará falta? y respondió que 18 litros. Holt le preguntó entonces “¿Cuánto hay en cada jarra?”, a lo que respondió “¡Dos tercios de litro!”. A continuación, Holt le preguntó si esa cantidad era mayor o menor que un litro y, tras decir que menos, le volvió a interrogar: “¿Cuántas jarras hay?”, a lo que el chico contestó que eran 6. Cuando se le hizo observar que, si había seis jarras y todas contenían menos de un litro, la respuesta “18 litros” era absurda, el chico se limitó a encogerse de hombros: “¡Eso es lo que sale al calcularlo!”.

Otros ejemplos parecidos tienen lugar cuando el alumno obtiene como media de un conjunto de valores otro superior a cualquiera de ellos, cuando la probabilidad de un suceso aleatorio es superior a la unidad o cuando la suma de las partes supera al todo. Emplear el tanteo (cuánto puede dar esto) puede ser una estrategia adecuada para pronosticar una solución aproximada y verificar lo verosímil de la solución finalmente encontrada al problema.


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CLASE 08

4.2. Conocimientos Implicados en la Resolución de Problemas Cada uno de los componentes en la resolución de problemas, requiere de una serie de conocimientos como se muestra en el cuadro siguiente de Mayer (1986), donde vemos el problema relativo a la suma de los ahorros de Pedro y Juan, pero especificado al tipo de conocimientos asociado a cada paso a tarea. Problema de Muestra: Juan tiene $1.000. Pedro tiene $300 más que Juan ¿Cuánto dinero tiene Pedro?

PASO CONOCIMIENTO EJEMPLOS DEL PROBLEMA DE MUESTRA Representación del problema Traducción Integración

Lingüístico General Esquemas

¿Pedro tiene 300 pesos más que Juan? Significa ¿P = 3 + J? Mil pesos equivalen a 10 monedas de 100 pesos. Este es un problema de comparación, consistente en dos sub-unidades y una supra-unidad

Solución del problema Planificación Ejecución

Estratégico Algorítmico

El objeto es sumar 300 más 1.000 Procedimiento para contar

La traducción del problema requiere algún conocimiento del lenguaje por parte del alumno que le permita, por ejemplo, transformar la proposición: Juan tiene $1.000, y Pedro $300 más que Juan, en una relación cuantitativa entre las dos variables implicadas (Juan y Pedro), pero también, requiere de algún tipo de conocimiento general que permita al alumno, en el ejemplo, entender afirmaciones del tipo Juan tiene $1.000 como equivalente a Juan tiene 10 monedas de $100.


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Por su parte, la integración del problema demanda del alumno alguna forma de conocimiento estructurado que le ayude en su representación del problema, es decir, el alumno debe poseer cierto conocimiento esquemático del tipo de problemas que se le pueden presentar. Un esquema contiene una información prototipo sobre las situaciones que ya hemos experimentado con anterioridad y que, una vez recuperamos de la memoria, utilizados para interpretar nuevas situaciones y observaciones. En el ejemplo, el alumno tiene que identificar el problema como un problema de comparación, en el que deben confrontarse dos variables entre sí. En la planificación de la solución, el alumno debe poseer algún conocimiento heurístico o estratégico de la resolución de problemas. Finalmente, la ejecución de la solución demanda del alumno algún conocimiento sobre los procedimientos de solución, es decir, sobre los conocimientos algorítmicos. En nuestro ejemplo, el alumno tiene que saber sumar, de modo que pueda resolver que la suma de 1.000 + 300 es igual a 1.300. Relacionado con el tipo de conocimiento necesario para resolver un problema, está el de los distintos tipos de problemas de matemáticas a los que se enfrentan los distintos tipos de problemas de matemáticas a los que se enfrentan los escolares, como resultado de las exigencias que se derivan del propio currículum de educación básica y educación media. De cara a la intervención con alumnos que tienen dificultad en la resolución de problemas, la mayor parte de los autores y programas existentes se centran en mayor o menor medida en cada una de estas fases. En general, y frente a la práctica educativa convendrá tener en cuenta las siguientes recomendaciones:

• Que el alumno comprenda el problema, antes de pensar en la forma de resolverlo, para lo cual es necesario que se acostumbre a leerlo varias veces y desentrañar cada uno de los conceptos del mismo.

• Que preste atención a las ideas fundamentales y las ordene según su importancia o en secuencias espacio-temporales.

• Que el problema a resolver se simplifique al máximo para hacerlo más comprensible, aplicando el principio científico de la parsimonia, redactándolo de una manera más sencilla, breve y comprensible.

• Que aprenda a analizar la estructura semántica subyacente a los problemas, ya que según como sea, presentará niveles de dificultad distintos. En este sentido, generalmente se distinguen tres tipos de problemas (cambio, combinación y comparación), siendo los de cambio los más fáciles y los de comparación los más complejos. De ahí que se insista en la necesidad de enseñar al alumno en procedimientos instruccionales a través de los cuales aprenda a realizar análisis y esquemas.


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Cuando se trata de evaluar psicopedagógicamente la resolución de problemas, pueden aplicarse colecciones de problemas, del estilo de las mencionadas para cada operación de suma, una colección incluyendo:

a) Problemas que exigen los diferentes tipos anteriores de sumas para su resolución. b) Problemas en donde los elementos objeto de adición son de diferente naturaleza

(homogéneos, heterogéneos, magnitudes diversas).

c) Problemas que exigen diferentes vías de solución (una suma simple y directa, trabajo con números negativos, problemas que ofrecen distintas alternativas de solución posibles, problemas que exigen una respuesta diferente al algoritmo aritmético, problemas en donde debe invertirse un texto para una solución ofrecida, etc.).

El empleo de tipo colecciones respecto a los diferentes tipos de problemas, debe completarse con una valoración explícita de los aspectos conceptuales del aprendizaje matemático: noción de número, concepto de decena, de centena, comprensión del sentido de las operaciones aritméticas, etc. Es importante para la evaluación psicopedagógica de la resolución de problemas, averiguar en qué fase de la resolución del problema aparecen las dificultades: traducción, integración, planificación o ejecución de la solución; con la finalidad de que sirva de punto de apoyo fundamental en el ajuste correspondiente del programa educativo.


4.3. Otros Conocimientos Matemáticos

Aunque la investigación educativa se ha centrado principalmente en la numeración, cálculo y resolución de problemas, es importante considerar los contenidos de las categorías restantes relacionadas con la estimación, el uso de instrumentos tecnológicos, fracciones y decimales, medida y geometría. La estimación se refiere al ejercicio o capacidad de calcular el resultado de un problema antes de resolverlo, o mejor, es una forma de cálculo mental utilizada con frecuencia en la vida cotidiana. Además, juega un papel importante en los procesos de control de la propia actividad matemática, el poner de relieve las incoherencias entre el


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cálculo realizado y el estimado. También es necesaria cuando sólo se pueda dar una respuesta aproximada, así como para resolver situaciones que demandan una rápida respuesta y no es posible realizar los cálculos exactos. Se lleva a cabo mediante:

- El redondeo o reformulación de los números para hacerlos más manejables. - El ajuste o compensación para anular una operación, haciendo otra equivalente

en dirección contraria.

- Por selección de otra estrategia cambiando la estructura del problema, por ejemplo, si es de sumar por una multiplicación.

El dominio de las magnitudes (unidades de longitud, peso, superficie, volumen y sistema monetario) constituye uno de los aprendizajes matemáticos de mayor utilidad práctica, ya que forma parte de la vida cotidiana de manera habitual, y el alumno se va a ver condenado a su uso. En dicho dominio inciden dos tipos de dificultades: por una parte, las derivadas de la ausencia de dominio de las operaciones básicas; y por otra, las que tienen relación directa con los conocimientos que implican cada una de ellas.

CLASE 09

5. EL ROL DEL PROFESOR EN LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS

El profesor es el mediador principal en la sala de clases, siendo un factor de gran importancia en la formación de la autoestima del alumno; por ello, es fundamental reconocer cuáles son las características que lo distinguen como educador eficiente.

5.1. Características de un Educador Eficiente

Humpey, propone las cualidades necesarias que debe poseer un profesor para ser educador eficiente: optimista, entusiasta, paciente, sensitivo, organizado, inteligente e informado.

Se puede destacar, que las características de personalidad están en primer lugar y

después las habilidades cognitivas, siendo sus herramientas fundamentales su cuerpo y su voz. Mediante el cuerpo, el educador proporciona confianza, seguridad, motiva y disminuye la inquietud, ofreciendo recompensas y elogios. Es imprescindible que el educador utilice formas comunicativas no verbales, ya que muchos niños leen las expresiones faciales, la modulación de la voz y la cualidad tonal en vez de escuchar las palabras.


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La principal misión del educador es ser sincero y sensible en la interacción con sus alumnos.

El elogio es un refuerzo importantísimo para que el alumno note sus aciertos y enfrente los próximos desafíos y posibles dificultades. Algunas sugerencias o recomendaciones a seguir dentro de la sala de clases, pueden ser las siguientes:

- Crear un ambiente de seguridad con sus alumnos, con el fin de perder el miedo al ridículo y a la vergüenza.

- Promover un clima de aceptación y mutuo respeto. - Aceptar las diferentes opiniones de los alumnos. - Respetar su derecho a abstenerse de responder si no lo desea. - Acoger las respuestas confidenciales de los niños. La relación profesor-alumno es

fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje y en el desarrollo de la autoestima.

En estudios realizados por Gilmore (1974) se encontró que una alta autoestima se asocia con una elevada productividad de logros académicos, creatividad y liderazgo. Los niños de elevada autoestima se sienten seguros en su ambiente y con sus relaciones. Al verse enfrentados a problemas responden con confianza y alto grado de éxito, teniendo sentido de responsabilidad en sus actos, se fijan una meta y aprovechan los recursos que se presentan para poder cumplirlas.

5.2. La Práctica de la Enseñanza de las Matemáticas

Se ha manifestado durante mucho tiempo, que las prácticas pedagógicas no han evolucionado, como sí lo han hecho la mayoría de los otros campos profesionales. Aunque esta afirmación no deja de ser cierta, hoy más que nunca, los educadores son personas que toman en serio las innovaciones al momento de enseñar, creen y son capaces de investigar, y por sobre todo, confían en el aprendizaje significativo que pueden mediar con sus alumnos. De esta forma, podemos entender que los docentes están preocupados de mejorar y enriquecer su práctica profesional, generando los espacios y el tiempo que esto demanda, como principio ético en la formación de cada docente.

Los autores Zemelman, Daniels y Hyde, señalan que para poder explicar con precisión el consenso actual sobre lo que constituye mejores prácticas en educación matemática, se debe plantear la reforma de los contenidos y proponer un currículo desafiante, que ponga énfasis en las matemáticas como “forma de pensar”, y obligue a elevar el nivel durante su enseñanza. A continuación, se presentan algunas características de las mejores prácticas para enseñar matemáticas, según estos autores.


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a) El objetivo al enseñar matemáticas, es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática

Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos; deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas tienen sentido y son útiles para ellos. Docentes y estudiantes deben reconocer que la habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unos pocos privilegiados.

b) Enseñar la capacidad matemática, requiere ofrecer experiencias que estimulen la curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación

Se debe alentar a los alumnos a formular y resolver problemas relacionados con su entorno, para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas. Las experiencias personales y la utilización de materiales concretos, ofrecen las bases para entender conceptos y construir significados. Los estudiantes deben tratar de crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben y qué piensan de otras ideas relacionadas.

c) Qué tan bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas, es mucho más importante que el número de habilidades que puedan adquirir

Los profesores que ayudan a sus alumnos a desarrollar su capacidad matemática, dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, en cambio, realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en la aplicación de las matemáticas a situaciones reales. Esos docentes regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para mediar los aprendizajes. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones.

d) Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo integrado

La matemática es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas, con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los alumnos, aumenta a medida que entienden que varias representaciones (por ej.: física, verbal, numérica, gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo, necesitan experimentar con cada una y entender cómo ellas están conectadas.


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e) La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la capacidad matemática

Ampliamente definida, la solución de problemas de razonamiento matemático es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un conocimiento separado, la solución de problemas debería ser un proceso transversal al currículo, y proporcionar contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantes investiguen, respondan preguntas, realicen tareas y representen situaciones, que tanto ellos como el docente podrían sugerir.

f) Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar ideas matemáticas

Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas, profundiza el entendimiento en esta área. Los estudiantes aprenden a comunicarse de diferentes maneras, relacionando activamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas; reflexionando sobre ellas y clarificando su propio pensamiento; estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolos matemáticos; y discutiendo ideas matemáticas con sus compañeros. Trabajar en grupos pequeños, en proyectos de recolección de datos, construcción de gráficas y cuadros explicativos, con sus hallazgos y resolución de problemas, da a los alumnos la oportunidad para realizar un trabajo reflexivo y colaborativo con otros, lo que constituye la parte crítica de la enseñanza de las matemáticas. Las ideas matemáticas las construyen las personas; los estudiantes necesitan experimentar la interacción social y la construcción de representaciones matemáticas que tengan significado, con sus compañeros y sus profesores. En un enfoque democrático, el profesor no es el único que conoce y transmite conocimiento, ni debe ser el que siempre tiene “la respuesta”. Los estudiantes deben tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas e investigaciones que les interesen, y llevar a cabo investigaciones en forma conjunta con el docente.

g) Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas

El estudiante debe entender que las matemáticas poseen un sentido significativo, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientos que se deben memorizar. Por este motivo, necesitan experiencias en las que puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto; necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas, aplicando varios procesos de razonamiento y elaborando conclusiones. Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas entre varias ideas y sus representaciones, es tarea muy importante del profesor; como también lo es, promover en los estudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y la experimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de hacer matemáticas conlleva, que los


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alumnos discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones, defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones, todo lo anterior, con retroalimentación del docente.

h) Los conceptos de geometría y medición, se aprenden mejor mediante experiencias que involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos

Cuando los estudiantes construyen su propio conocimiento de geometría y medición, están mejor capacitados para usar su comprensión sobre su entorno físico real. Desarrollan su sentido espacial en dos o tres dimensiones por medio de la exploración con objetos reales. Los conceptos de medición se entienden mejor con experiencias concretas, realizando mediciones y estimación de medidas, construyendo su propio sentido numérico y operativo.

i) La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones del mundo real

La necesidad de tomar decisiones en base a información numérica trasciende la sociedad y motiva trabajar con datos reales. La probabilidad se desprende de la consideración realista de riesgo, azar e incertidumbre. Los estudiantes pueden desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación (gráficas, tablas) y análisis.

j) Uno de los mayores propósitos de la evaluación, es ayudar a los docentes a entender mejor qué saben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza-aprendizaje

Debe usarse una diversidad de métodos de evaluación para valorar a los estudiantes individualmente, incluyendo pruebas escritas, orales y demostraciones, las cuáles deben ser coherentes con los contenidos desarrollados durante las clases. Todos los aspectos del conocimiento matemático y sus relaciones, deben ser valorados y utilizados para ayudar al profesor a planificar actividades de enseñanza-aprendizaje.



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CLASE 10

6. EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA La reflexión pedagógica, como la actualización permanente de las prácticas docentes debe ser la razón constante que oriente la función del educador, más aún, en el momento presente en que enfrentamos algo más profundo que un mejoramiento de la calidad y equidad educativa.

Como sabemos, enfrentamos un cambio profundo en la educación, que no es causa del capricho de personas determinadas, sino la respuesta a la demanda social que desde la perspectiva de la funcionalidad, observa una absoluta divergencia entre lo que la educación postula o enseña y lo que es funcional al individuo para alcanzar su pleno desarrollo, su participación social activa y congruente a sus necesidades personales y comunitarias. Por ello, es necesario tener una visión amplia de los principios que sustentan el marco teórico de la reforma educacional, especialmente en el sub-sector de Educación Matemática, para lo cual se expone a continuación, una nueva visión empapada de los principios constructivistas, fuertemente inspiradores de la Reforma Educacional Chilena. La matemática no es una porción, fracción o parte del proceso de aprendizaje de los niños y niñas, es una ciencia presente en todas las áreas del conocimiento; llámeseles ciencias, artes, letras y/o tecnología. Aquí, desde la experiencia de educadores y personas capaces de razonar, podemos hacer la siguiente aseveración:

"La matemática se relaciona no sólo con los subsectores de la educación, formando un todo armonioso y organizado. Ésta establece una relación del ser desde su nacimiento pasando por sus ancestros primitivos, siendo la matemática una de las primeras manifestaciones racionales del ser humano sobre el planeta".

6.1. ¿Pueden los Alumnos Descubrir las Matemáticas por Sí Mismos?

Todos los polígonos con más de tres lados (Aristas) tienen diagonales. Un cuadrilátero posee 2 diagonales, un pentágono tiene 5, un hexágono tiene 9, etc. (véase figura nº 3). Una tabla de número de diagonales frente a número de lados revela un esquema numérico que puede utilizarse para ampliar la secuencia y permitir la determinación del número de


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diagonales de cualquier número dado de lados. También es posible emplear el esquema para conseguir una fórmula para el número de diagonales en término del número de lados.

Entre las actividades de ampliación, puede figurar la determinación del número de zonas que dividen las diagonales el polígono cuando:

Figura Nº 3: Polígonos

(a) El polígono es regular y (b) Cuando es irregular Número de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 Número de diagonales 0 2 5 9 14 20 27 35

Se puede confiar a los niños la realización de toda esta tarea. Cualesquiera que sean los resultados obtenidos, no constituirían un conocimiento que deban poseer todas las personas verdaderamente instruidas. Es improbable incluso que se expusiera semejante conocimiento. La tarea no sería asignada a los niños a no ser que el profesor creyese, o se convenciese, de que valía la pena tomar parte activa en una investigación matemática y descubrir quizá algo de las matemáticas. Algunos profesores de niños pequeños emplean con frecuencia reglas coloreadas para ayudarles a la hora de aprender a contar números (naturales), y en ocasiones, los defensores de este método han afirmado que la simple manipulación de las reglas lleva a los niños muy lejos por el camino que conduce al dominio de las relaciones numéricas. Descubren que un par de reglas de diferentes colores dispuestas como un "tren", equivalen de algún modo (longitud) a una tercera regla de otro color. Puede que, en definitiva, lleguen a descubrir que las reglas pueden disponerse como una escalera de peldaños iguales. Parece que existe un momento en el que las matemáticas pueden ser descubiertas y entonces, el aprendizaje, puede ser más profundo y completo; cuando se haya logrado por este medio, en lugar de la mera exposición. Sin embargo, existe también un momento en que el profesor, o alguna otra persona, necesitará quizás intervenir para introducir primeramente el lenguaje apropiado, luego para contribuir a aclarar el pensamiento y después, para introducir el simbolismo y los métodos para hacer informes; no obstante, los niños pueden ejercer un considerable control de su propio aprendizaje. Desde luego, es posible que lo que descubran sea lamentablemente poco y quizá su profesor se sienta obligado a proporcionarles una orientación muy amplia. Ciertas relaciones numéricas, por ejemplo, siguen construyendo un conocimiento que se considera esencial en una persona


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verdaderamente instruida de nuestra sociedad, así que, si nada se descubre, el profesor puede muy bien sentirse inclinado a tratar de apresurar el aprendizaje, diciéndoselo al niño de un modo directo o quizá indirecto. Es discutible, sin embargo, que un niño que no sea capaz de descubrir nada, pueda beneficiarse de los métodos docentes expositivos. Conceptos como "actividad", "descubrimiento", "investigación" y "resolución de problemas", se han convertido en parte del lenguaje que ahora se utiliza al hablar de la enseñanza de las matemáticas y del modo en que se debería educar a los alumnos en esta materia. Pero a muchos estudiantes de hoy, aún se les enseña en buena medida, por exposición y tienen escasa oportunidad de aprender a través del descubrimiento.

A la mayoría de los profesores, cuando fueron alumnos, apenas se les otorgó la posibilidad de descubrir las matemáticas, aunque en cada generación haya habido algunos educadores que creyeron que resultaba improbable que por sí sola fuese eficaz la exposición, sobre todo con los alumnos y alumnas más jóvenes. En el pasado, y con los alumnos más capaces y mayores, los profesores de matemáticas rehuían a menudo las críticas con sólo un empleo mínimo de métodos que no fuesen la exposición y la práctica de las destrezas. Ahora se ejerce una intensa presión sobre los profesores para que utilicen enfoques más activos. Existe una cierta vaguedad en torno a términos como "descubrimiento", "investigación" y "resolución de problemas" que realmente es intrascendente. Lo que en verdad cuenta y lo que ahora importa es el espíritu de la educación activa frente a la pasiva, no la definición exacta de ciertas palabras en uso. Shulman (1970) señaló respecto a la nueva psicología del aprendizaje de las matemáticas que, en un amplio grado, se basaba en el aprendizaje por descubrimiento. Bruner, hacia 1970, fue el principal defensor del aprendizaje por descubrimiento en los Estado Unidos. Shulman descubrió los orígenes de una teoría del aprendizaje por descubrimiento como "una mezcla de Piaget y Platón". El factor principal en la justificación del enfoque del descubrimiento fue la obra de Piaget que, en la educación matemática, supone un intercambio activo con el entorno, permitiendo así al individuo, la construcción del conocimiento y la comprensión.

En los Estados Unidos ésta fue una idea relativamente revolucionaria, debido al predominio anterior de la teoría conductista del aprendizaje en la práctica educativa. No obstante, vale la pena pensar si el conductismo necesitaba forzosamente descartar el descubrimiento y, desde luego, pronto se volvió a la idea del descubrimiento programado. El trabajo precursor de Bruner, estimulando en los Estados Unidos el aprendizaje por descubrimiento, fue ciertamente significativo durante un tiempo considerable y la evolución registrada en Gran Bretaña también reflejó el mismo interés por enfoques más activos. El Currículo Bulletin Nro. 1 del Schools Council (1965), contenía cierto número de referencias al aprendizaje por descubrimiento en el nivel básico, por ejemplo:


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Las matemáticas son un descubrimiento de relaciones y la expresión de dichas relaciones en forma simbólica (o abstracta). Esta no es una definición estática, sino que implica acción por parte del que aprende, sean cuales fueren su edad y capacidad. El hecho de que unas relaciones matemáticas pueden ser descubiertas y comunicadas de tan diversas maneras, es lo que sitúa a las matemáticas al alcance de niños y adultos de todas las capacidades. El principal mensaje del Currículo Bulletin es que los profesores deben enseñar las matemáticas de enseñanza básica, mediante una participación lo más activa posible, realizando actividades prácticas con el material disponible siempre que se pueda y, por este medio, los niños descubrirán sin necesidad de decírselo.

Dentro del trabajo de su autora Edith Biggs (1972), encontramos una característica interesante, que es el uso de otros conceptos como sinónimos de "descubrimiento"; éstos son la "investigación" y el “aprendizaje activo". Otro rasgo interesante, ha sido su afirmación de que los métodos de descubrimiento (investigador activo) proporcionan a los alumnos la oportunidad de pensar por sí mismos, y de que sólo de esa manera, ellos pueden advertir todo su potencial. Además, tales métodos generan un interés real por las matemáticas que, debido a la relación vinculante entre factores cognitivos y afectivos en el aprendizaje, contribuyen sin duda, al logro de un potencial pleno.

CLASE 11 Diferentes autores han tratado de clasificar los métodos de descubrimiento. Los cinco descritos por Biggs (1972) proporcionaron buenos medios para reflexionar sobre esta cuestión; éstos eran: fortuito, libre y exploratorio, guiado, dirigido y programado. En un extremo, el descubrimiento fortuito no puede ser planificado; sucede, desde luego, pero ningún programa de aprendizaje puede emplearlo. En el otro extremo, el descubrimiento programado se halla envuelto en un aire de contradicción al que ya nos hemos referido. La intención que preside la programación de una lección, es asegurarse de que, en la medida de lo posible, tenga lugar el aprendizaje. La unidad "Fracciones de Fibonacci" es un ejemplo de una tentativa de este tipo.


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Figura Nº 4: Fracciones De Fibonacci

La secuencia de Fibonacci es: 1, 2, 3, 4, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…… Los números de esta secuencia se pueden emplear para constituir fracciones de Fibonacci, por ejemplo: 1 1 2 3 5 … 1´ 2´ 3´ 5´ 8´… (1) Escribe las siguientes 10 fracciones de esta secuencia. (2) Emplea tu calculadora para convertir las 15 fracciones en decimales. (3) Traza un gráfico para mostrar el valor de decimal de cada elemento de la secuencia. (4) Describe, tan ampliamente como puedas, lo que adviertes en tu secuencia de

decimales y, en particular, lo que sucedería si prosiguieras hasta 20, 50, 100 o más elementos.

Examina ahora la secuencia alternativa de fracciones: 1 2 3 5 8 … 1´ 1´ 2´ 3´ 5´… (5) Escribe las siguientes 10 fracciones de esta secuencia. (6) Emplea tu calculadora para convertir los 15 elementos en decimales. (7) Describe, con ayuda de un gráfico si es preciso, lo que adviertas en esta

secuencia de decimales. (8) ¿Cuál es la relación entre los 15 elementos de las dos secuencias? ¿Cuál crees

que es la relación entre los límites de las dos secuencias? Hay dos relaciones, una basada en la diferencia y la otra que implica reciprocidad.

(9) Emplea tus dos relaciones para escribir una ecuación de segundo grado, cuya solución es el valor exacto del límite de una de las secuencias.

(10) Resuelve la ecuación de segundo grado para hallar el valor exacto de este límite y determina luego el límite de la otra secuencia.


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Esta lección debería proporcionar un ejemplo de un programa de descubrimiento en el

nivel del lector. No se puede garantizar la eficacia de esta unidad con un determinado alumno o estudiante, pero dicha eficacia supone descubrimiento de ciertas matemáticas. En caso de que aún no se posea ese conocimiento. El aprendizaje se haya secuenciado con demasiada rigidez para ser guiado. Está muy dirigido y cabría considerarlo, de un modo virtual, como programado aunque quizás no pasase una prueba skinneriana de lo que se entiende por aprendizaje programado. Por desgracia, la carencia de actividad implícita en la unidad la convierten en aburrida para algunos estudiantes. A otros les parecerá interesante y reveladora. Se puede aliviar el problema potencial del aburrimiento, permitiendo que los que aprenden trabajen por parejas y debatan entre dos el asunto.

No existe garantía de que en esta investigación se descubra algo que no sea una información numérica. Más aún, puede que no resulte correcta la información numérica obtenida. Además, la carga es mucho mayor aún para el profesor si resulta importante que de una actividad libre y exploratoria se obtengan conclusiones correctas. Por esta razón, con una mirada atenta en el programa de estudios y en los futuros exámenes, los profesores pueden sentirse más que felices, permitiendo la investigación libre y exploratoria si los resultados no constituyen un conocimiento esencial. Si los resultados matemáticos son importantes, muchos profesores se inclinarán indudablemente por métodos docentes que, en su opinión, garanticen que los alumnos puedan obtener el conocimiento requerido. Pese al trabajo abnegado de algunos, en tales circunstancias generalmente los profesores se muestran partidarios de la exposición.

Biggs y otros defensores del aprendizaje por investigación y descubrimiento, se han

esforzado por enseñar que los programas de examen pueden completarse y que pueden aprenderse a conciencia todos los resultados requeridos mediante métodos del aprendizaje activo, pero aún hace falta que la mayoría de los profesores de matemáticas acepten este modo de ver las cosas. Una trayectoria que parece construir un intento de integrar el aprendizaje activo con la enseñanza eficaz de un cuerpo de conocimiento fue la de Bell, Wigley y Rooke (1978). El valor del descubrimiento, ha sido tema de debate y de ciertos desacuerdos entre los psicólogos educativos. Gagné y Brown (1961) afirmaron haber demostrado que el descubrimiento guiado era el mejor método (entre los empleados) para promover el aprendizaje de ciertas reglas. No son muchos los datos de las investigaciones que apoyen una determinada perspectiva acerca del valor de los métodos de descubrimiento y no debemos dejarnos arrastrar por los resultados de un experimento. Ausubel (1963) aseguró que el descubrimiento guiado sólo parecía mejor porque generalmente sólo se le comparaba con el aprendizaje memorístico. Fue aún más allá, afirmando que no existía ninguna prueba de que el descubrimiento de cualquier tipo fuese un método docente más eficaz que una exposición plena de significado. Ausubel admitió, sin embargo, que el descubrimiento tiene importancia en la promoción del aprendizaje de niños pequeños y tanto Gagné como él, reconocieron que los métodos de aprendizaje activo son más importantes para los alumnos


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pequeños que para los mayores. No obstante el descubrimiento guiado es muy utilizado por algunos profesores que creen que los alumnos están mayormente motivados por un enfoque activo y quizá por un reto, pero que el profesor puede intervenir en cualquier momento (si es por una causa justificada), para asegurar que se logra el propósito deseado. El entusiasmo por el aprendizaje por descubrimiento generado por Bruner, condujo a un debate con Ausubel y resultan de gran interés los puntos de vista de ambos. Los principales argumentos enunciados por Bruner (1960) a favor del aprendizaje por descubrimiento, fueron en primer lugar, que el descubrimiento estimulaba un modo de aprender las matemáticas al operar con esta materia y animaba el desarrollo de una concepción de las matemáticas más como proceso que como un producto acabado; en segundo lugar, se consideraba al descubrimiento como intrínsecamente gratificante para los alumnos, de modo que los profesores que utilizaran métodos de descubrimiento deberían sentir una escasa necesidad de emplear formas extrínsecas de premio. Estas dos afirmaciones tienen gran peso. Se reconocieron las dificultades prácticas, es decir, que se podía esperar eternamente a que los alumnos descubriesen que el currículo no podía ser abierto por completo; así pues, el descubrimiento necesitaría ser, en cierta medida, guiado o dirigido. A algunos alumnos puede resultarles incluso extremadamente decepcionante su capacidad de descubrir. Desde luego correspondía al profesor elaborar el tipo de juicios necesarios para sortear estas dificultades. Tales inconvenientes prácticos no invalidaban las ventajas del aprendizaje activo; el esfuerzo por intentar utilizar métodos de descubrimiento, resultó valioso en función de lo alcanzado. Ausubel (1963) trató de templar el celo misional de Bruner, en vez de intentar poner en tela de juicio la validez de los puntos principales, porque le parecía que era probable que los profesores hicieran un uso excesivo o inapropiado del descubrimiento. En primer lugar, señaló que el descubrimiento no era el único modo mediante el cual un profesor podía generar en los alumnos motivación, seguridad en sí mismos y un deseo de aprender. La enseñanza expositiva, bajo sus mejores formas, era igualmente capaz de interesar y de inspirar a los alumnos. No todo el aprendizaje por recepción resultaba malo y no todo aprendizaje por descubrimiento era bueno.

El descubrimiento puede desmotivar seriamente cuando no se descubre nada. Además, resultaba discutible cualquier afirmación de que el aprendizaje por descubrimiento conlleva creatividad, porque los alumnos rara vez podían ser genuinamente creativos y el descubrimiento guiado, raras veces era creativo. No existían datos de investigaciones que demostrasen, de manera concluyente, que el aprendizaje por descubrimiento resultaba superior al aprendizaje expositivo, en términos de logros de aprendizaje a largo plazo. Desde luego, los métodos de descubrimiento eran necesarios en los niños pequeños, pero no parecía nada valioso en la mayor parte del aprendizaje en las etapas del pensamiento abstracto en el desarrollo cognitivo; después de todo, el descubrimiento exigía mucho tiempo.


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La práctica de las matemáticas como proceso no era la prioridad principal en el aprendizaje escolar. Resultaba mucho más importante, por ejemplo, que los alumnos aprendiesen el cuerpo sustancial de conocimientos esenciales para la supervivencia en una sociedad compleja. Como no existía posibilidad de que los alumnos pudieran crear de nuevo el conjunto de ese conocimiento, era necesaria la intervención del profesor de un modo más o menos directo. El aprendizaje por descubrimiento fue adoptado por algunos matemáticos de los años sesenta y setenta. El descubrimiento fue un rasgo importante del Proyecto Madison en los Estados Unidos de América. Davis (1966) llamó la atención sobre el lugar y el valor del descubrimiento en buena parte a través de ejemplos de descubrimientos de los alumnos. El Proyecto Madison afirmaba emplear, dentro de métodos generales de descubrimiento más ortodoxos, una técnica de descubrimiento que denominaron "torpedeo". La idea del torpedeo consistía en que, una vez que los alumnos creían haber descubierto un esquema, relación o regla, se presentaba un ejemplo que no encajaba, obligándoles a reflexionar de nuevo sobre la cuestión. En cierto sentido, este es un ejemplo de recreación deliberada de un estado de desequilibrio mental con objeto de estimular los procesos gemelos de asimilación y de acomodación. No está claro, sin embargo, que el "torpedeo" fuese lo bastante eficaz en la promoción del aprendizaje para ser seriamente postulado como técnica valiosa. En Gran Bretaña, los métodos de descubrimiento fueron, en general, activamente estimulados en la enseñanza primaria a través de los trabajos de Biggs y también por obra del Proyecto Nuffield. El Capítulo V de/Do, and/Understand (Nuffield, 1967) describió el significado y la importancia del aprendizaje por descubrimiento dentro del proyecto. En el primer Midlands Mathematical Experiment Report (1964) se constató: "Nos sorprendemos continuamente de lo que los niños pueden hacer a partir de sus experiencias peliculares. Nuestra tarea consiste en reconocer las matemáticas en las actividades de los chicos y utilizarlas". Desde 1968, la serie A-H del School Mahtematics Project, incluyó secciones de experimentos e investigación. Más recientemente, tras el informe Cockcroft (1982), se han registrado evoluciones destinadas a asegurarse de que los currículos matemáticos incluyan elementos de aprendizaje más activos.

La eficacia o inutilidad de los métodos de descubrimiento continúa siendo, por lo demás, objeto de debate. A este respecto, el descubrimiento no es diferente de la materia de muchas otras investigaciones educativas. En buena medida, los defensores del aprendizaje por descubrimiento pueden aceptar una creencia, resumida por Biggs (1972):

"Estimo que este método (el del descubrimiento) es el mejor modo de proporcionar a nuestros alumnos un interés real por las matemáticas. Creo, también, que éstos sólo realizan su pleno potencial cuando les proporcionamos una oportunidad de pensar por sí mismos".


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En cualquier caso, la investigación trata habitualmente de medir sólo la calidad del desarrollo cognitivo o lo que ha sido dominado. Los logros en actitud hacia las matemáticas y el incremento en la comprensión de la naturaleza de la materia no son fácilmente medidos ¿Quién sabe qué beneficios a largo plazo podrían acumularse si el descubrimiento se utilizase más, sobre todo en el nivel de enseñanza media, en donde el equilibrio ha estado hasta ahora mucho más a favor de los métodos pasivos de aprendizaje de las matemáticas?


CLASE 12

6.2. La Educación Matemática en la Escuela

A fin de clarificar algunos aspectos fundamentales, acerca de la Educación Matemática a nivel de escuela, a continuación revisamos temas que implican tanto una interrogante como una necesidad, en la enseñanza-aprendizaje de esta importante disciplina. a) Para qué enseñar matemática en la escuela

En este sentido, es posible señalar que se enseña matemática para dar oportunidades a todos los niños y niñas de:

- Desarrollar una forma de pensamiento. - Pensar matemáticamente, es decir, plantear y resolver problemas matemáticos (de la

vida cotidiana o de otras ramas del conocimiento). - Desarrollar la actitud y la capacidad de aprender, progresivamente, más matemáticas. - Adquirir herramientas útiles que permitan analizar los aspectos cuantitativos y

espaciales de la realidad social y natural. b) Cómo se aprende, cómo se enseña Esto se puede representar en la frase: “haciendo matemática”, ya que la actividad matemática consiste en explorar fenómenos, buscar y descubrir regularidades y patrones. En este proceso se duda, se especula, se plantean hipótesis, se comentan y corrigen errores, se enuncia, se explica, se comunica, se reconocen casos particulares, se generaliza, se ponen en juego las intuiciones, se reconocen, plantean y resuelven nuevos problemas en contextos:


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• Significativos: dan sentido a lo que las niñas y niños están aprendiendo y a lo que ya han aprendido, dentro o fuera de la escuela; ligados a sus experiencias, a otros campos del saber y a cuestiones propiamente matemáticas (construcción teórica).

• Complejos: en los que intervienen múltiples variables (no sólo matemáticas), que

invitan a buscar y obtener respuestas a problemas, a poner en juego las intuiciones, la creatividad, las experiencias y los conocimientos previos; que requieren enfrentar en forma sistemática las situaciones en las que es necesario organizar informaciones (numéricas, espaciales, geométricas) y buscar relaciones entre ellas.

• Variados: que permitan mirar los objetos, ideas y nociones matemáticas desde sus

diferentes sentidos y significados (por ejemplo, las diferentes facetas de la adición); que faciliten descubrir la pertinencia de las ideas, nociones y herramientas matemáticas en la solución de ciertos problemas y su falta de pertenencia en otros.

c) Cómo apoyar el aprendizaje de las matemáticas

En la educación matemática, es posible desarrollar una labor educativa brindando un

apoyo que puede expresarse de la siguiente manera: • Proponiendo preguntas que les lleven a ver más lejos, a hacer conjeturas, a plantear

interrogantes y dudas, a hacer conjeturas, a tomar conciencia de sus capacidades, de su intuición, a probar y reconstruir procedimientos, a detectar y corregir sus propios errores.

• Dando espacio a las discusiones, análisis y conclusiones, tanto individuales como colectivas.

• Ajustando los problemas a sus necesidades y a su nivel. Un problema no puede ser tan fácil como para desmotivar ni tan difícil como para descorazonar.

• Regulando los procesos de contextualización matemática, haciendo síntesis oportunas y pertinentes.

d) Qué Habilidades Transversales involucrar

Dentro de la Educación Matemática, se hace necesario implicar los siguientes aspectos importantes:

- Explorar y evaluar estrategias diversas para resolver problemas. - Desarrollar procesos ordenados y sistemáticos para la resolución de problemas o

desafíos matemáticos. - Sistematizar procedimientos y resultados; generalizar. - Justificar, argumentar y fundamentar, tanto resultados como procedimientos. - Buscar y establecer regularidades y patrones, tanto en el ámbito de los números como

del espacio y la geometría.


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- Recurrir a materiales concretos y/o representaciones gráficas o simbólicas para resolver problemas.

- Formular preguntas. e) Ejes temáticos

Los ejes temáticos principales en relación a los cuales gira la Educación Matemática, son los siguientes: • Números

- Uso y funciones. Vida cotidiana: incluye convenciones (decimales para expresar

grandes cantidades: 2.3 miles; o 2,3 millones). - Expresión de cantidades: sentido de la cantidad: orden de magnitud. - Sistema decimal. - Propiedades (al servicio de la comprensión de la estructura decimal tanto como de la

resolución de operaciones). - Relaciones entre diferentes tipos de números: por ejemplo, fracciones y decimales. - Incorporación progresiva de nuevos números en función de nuevos problemas y

necesidades para la expresión, comprensión de cantidades y de resultados de mediciones (y no en función de la definición de nuevos conjuntos y estructuras numéricas: naturales, racionales, enteros, irracionales, reales).

- Incorporación de la discusión sobre la convivencia (según los contextos y las necesidades del problema) de usar unos u otros para expresar resultados.

• Operaciones

- Diferentes sentidos de las operaciones. - Cálculo oral: conocimiento y uso de propiedades (de los números y de las

operaciones). - Estimaciones: controlar los cálculos con calculadora; sentido de la cantidad;

soluciones razonables y pertinentes, etc. - Aproximaciones: lo razonable, el sentido en el contexto. - Calculadora, dos usos: calcular en la resolución de problemas; investigación de

propiedades y regularidades de los números y de las operaciones. - Enriquecimiento progresivo del sentido al incorporar nuevos números (decimales,

fracciones, enteros negativos). • Espacio

- Énfasis en el primer ciclo: ubicación en el espacio. - En segundo ciclo: relacionado con geometría en relación con representación, planos y

movimientos en el espacio.


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• Geometría

- Se estudia en figuras de tres dimensiones (no directamente en el plano); cuerpos a figuras.

- Familias de figuras (versus aisladas); familias de cuerpos. - Observación de variaciones (tanto para componer o descomponer). - Medición y cálculo de perímetros, áreas y volúmenes. Tratamiento por familias

también. - Enfoque dinámico (estático enfatizando las clasificaciones).

• Relaciones proporcionales

- Enfoque dinámico: centrado en las variaciones en el cálculo de “términos

desconocidos’’ a partir de razones iguales. - Uso de tablas y de gráficos para el análisis, comprensión y resolución de situaciones.

El énfasis no está puesto en la regla de tres u otros algoritmos formales. - Los porcentajes son considerados como caso particular de relación proporcional con

un referente fijo (100). - Se enfatiza la distinción entre relaciones proporcionales y no proporcionales (directas

e inversas). Se trabaja la idea de condiciones necesarias y suficientes para describir la variación entre variables relacionadas como proporcional o no.

- Se proponen contextos (en los contenidos) tanto numéricos como geométricos. f) Tratamiento de información

El tratamiento de la información, puede girar en torno a un tema transversal. También se hace énfasis en la lectura, comprensión e interpretación de información estadística (por eso se cruza muy fácilmente con el eje de los números, el de operaciones y el de relaciones proporcionales); indicadores estadísticos al servicio de lo anterior.



1 Instituto Profesional Iplacex

RAMO: INICIACION AL LENGUAJE LÓGICO MATEMÁTICO

UNIDAD III

ASPECTOS GENERALES Y ACTIVIDADES METODOLÓGICAS PARA LA

ENSEÑANZA Y REEDUCACIÓN DE LA MATEMÁTICA


CLASE 01

1. EL ROL DEL EDUCADOR EN LA ENSEÑANZA Y REHABILITACIÓN DE LAS MATEMÁTICAS

El profesor de aula es el mediador principal en la sala de clases, constituyéndose en un factor de gran importancia en la formación de la autoestima de los alumnos y alumnas; por ello, es fundamental reconocer cuáles son las características que lo distinguen como un educador eficiente. Una de las principales características que debe poseer, es la capacidad de desarrollar un trabajo colaborativo y en equipo con el resto de los docentes, psicopedagogo o educador diferencial, además de tender a una atención integral del alumno o alumna con necesidades educativas especiales. Esto incluye su apoyo en todo el proceso de intervención psicopedagógica, es decir, desde la detección de alguna dificultad en el alumno frente a la matemática (o cualquier otra área de aprendizaje), hasta la etapa de reeducación y seguimiento, inclusive.

Esta capacidad de colaboración profesional, implica una responsabilidad compartida por parte de todos los involucrados en el proceso de intervención psicopedagógica, a fin de que el educando que presenta una dificultad determinada en su aprendizaje de la matemática, pueda alcanzar un desarrollo integral de sus potencialidades y un mejoramiento de dichas dificultades.

Tanto el psicopedagogo como el docente de aula, deben tener claro que todos los ejercicios de rehabilitación matemática deben presentar un atractivo interés para que el niño se predisponga al razonamiento; en primer término, por agrado o por curiosidad, y luego, para desarrollar el razonamiento matemático. En ausencia de trastornos orgánicos graves, hay que proceder a la reeducación, con el empleo progresivo de objetos que se ponen en relación con un símbolo numérico, para instaurar en el individuo la noción de cantidad y la exactitud del razonamiento.

“La adquisición de la destreza en el empleo de relaciones cuantitativas, es la meta de la enseñanza a niños discalcúlicos. A veces es necesario comenzar por un nivel básico no verbal, donde se enseñan los principios de la cantidad, orden, tamaño, espacio y distancia, con el empleo de material concreto. Los procesos de razonamiento, que desde el principio se requieren para obtener un pensamiento cuantitativo, se basan en la percepción visual, por bloques, tablas de clavijas y otros materiales concretos”.


Además, hay que enseñar al niño el lenguaje de la aritmética: significado de los signos, disposición de los números, secuencia de pasos en el cálculo y algunas metodologías para la resolución de problemas.

Es así, como esta tarea involucrará una adecuada coordinación entre el especialista y

los docentes que trabajan con el educando, además de la familia, que en este sentido tiene una alta responsabilidad en el aprendizaje de alumno o alumna.

1.1. Características de un Educador Eficiente En la línea de potenciar una educación eficiente, Humpey propone las cualidades necesarias que debe poseer un profesor para ser un educador eficiente: optimista, entusiasta, paciente, sensitivo, organizado, inteligente e informado. Entre las características que pueden destacar a un educador eficiente, encontramos en primer lugar su personalidad y luego, las habilidades cognitivas, siendo sus herramientas fundamentales, su cuerpo y su voz.

Mediante el cuerpo, el educador proporciona confianza, seguridad, motiva y disminuye la inquietud, ofreciendo recompensas y elogios. Es imprescindible que el educador utilice formas comunicativas no verbales, ya que muchos niños leen las expresiones faciales, la modulación de la voz y la cualidad tonal, en vez de escuchar las palabras. La principal misión del educador es ser sincero y sensible en la interacción con sus alumnos. El elogio es un refuerzo importantísimo para que el alumno note sus aciertos y enfrente los próximos desafíos y posibles dificultades.

Algunas sugerencias o recomendaciones a seguir dentro de la sala de clases, pueden ser las siguientes:

• Crear un ambiente de seguridad con los alumnos, con el fin de que éstos logren perder el miedo al ridículo y a la vergüenza.

• Promover un clima de aceptación y mutuo respeto. • Aceptar las diferentes opiniones de los alumnos. • Respetar su derecho a abstenerse de responder si no lo desean. • Acoger las respuestas confidenciales de los niños. La relación profesor-alumno es

fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje y en el desarrollo de la autoestima.

En estudios realizados por Gilmore (1974), se encontró que una alta autoestima se asocia con una elevada productividad de logros académicos, creatividad y liderazgo.


Los niños de elevada autoestima se sienten seguros en su ambiente y con sus relaciones. Al verse enfrentados a problemas responden con confianza y alto grado de éxito, teniendo sentido de responsabilidad frente a sus actos, se fijan una meta y aprovechan los recursos que se presentan para poder cumplirlas.

1.2. La Enseñanza de las Matemáticas Se ha manifestado durante mucho tiempo, que las prácticas pedagógicas no han evolucionado, como sí lo han hecho la mayoría de los otros campos profesionales.

Aunque esta afirmación no deja de ser cierta, hoy más que nunca, los educadores son personas que toman en serio las innovaciones al momento de enseñar, creen y son capaces de investigar, y por sobre todo, confían en el aprendizaje significativo que pueden mediar con sus alumnos. De esta forma, podemos entender que los docentes están preocupados de mejorar y enriquecer su práctica profesional, generando los espacios y el tiempo que esto demanda, como principio ético en la formación de cada docente. Los autores Zemelman, Daniels y Hyde, señalan que para poder explicar con precisión el consenso actual sobre lo que constituye mejores prácticas en Educación Matemática, se debe plantear la reforma de los contenidos y proponer un currículo desafiante, que ponga énfasis en las matemáticas como “forma de pensar”, y obligue a elevar el nivel durante su enseñanza. A continuación, se presentan algunas características de las mejores prácticas para enseñar matemáticas, según éstos autores. Características de las mejores prácticas para enseñar matemáticas:

a) El objetivo al enseñar matemáticas, es ayudar a que todos los estudiantes desarrollen capacidad matemática.

Los estudiantes deben desarrollar la comprensión de los conceptos y procedimientos matemáticos. Deben estar en capacidad de ver y creer que las matemáticas tienen sentido y son útiles para ellos. Docentes y estudiantes deben reconocer que la habilidad matemática es parte normal de la habilidad mental de todas las personas, no solamente de unos pocos privilegiados.

b) Enseñar capacidad matemática requiere ofrecer experiencias que estimulen la

curiosidad de los estudiantes y construyan confianza en la investigación, la solución de problemas y la comunicación.

Se debe alentar a los alumnos a formular y resolver problemas relacionados con su entorno, para que puedan ver estructuras matemáticas en cada aspecto de sus vidas. Las experiencias personales y la utilización de materiales concretos, ofrecen las bases para entender conceptos y construir significados. Los estudiantes deben tratar de


crear su propia forma de interpretar una idea, relacionarla con su propia experiencia de vida, ver cómo encaja con lo que ellos ya saben, y qué piensan de otras ideas relacionadas.

c) Qué tan bien lleguen a entender los estudiantes las ideas matemáticas, es mucho más

importante que el número de habilidades que puedan adquirir.

Los profesores que ayudan a sus alumnos a desarrollar su capacidad matemática, dedican menos tiempo a hablar sobre matemáticas, en cambio, realizan actividades que promueven la participación activa de sus estudiantes en aplicar matemáticas en situaciones reales. Esos docentes regularmente utilizan la manipulación de materiales concretos para mediar los aprendizajes. Hacen a los estudiantes preguntas que promuevan la exploración, la discusión, el cuestionamiento y las explicaciones.

d) Las matemáticas no son un conjunto de tópicos aislados, sino más bien un todo

integrado.

La matemática es la ciencia de patrones y relaciones. Entender y utilizar esos patrones constituye una gran parte de la habilidad o competencia matemática. Los estudiantes necesitan ver las conexiones entre conceptos y aplicaciones de principios generales en varias áreas. A medida que relacionan ideas matemáticas con experiencias cotidianas y situaciones del mundo real, se van dando cuenta que esas ideas son útiles y poderosas. El conocimiento matemático de los alumnos, aumenta a medida que entienden que varias representaciones (Ej.: física, verbal, numérica, gráfica) se interrelacionan. Para lograrlo necesitan experimentar con cada una y entender cómo está conectada.

e) La solución de problemas es el núcleo de un currículo que fomenta el desarrollo de la

capacidad matemática.

Ampliamente definida, la solución de problemas de razonamiento matemático es parte integral de toda actividad matemática. En lugar de considerarse cómo un conocimiento separado, la solución de problemas debería ser un proceso transversal al currículo, y proporcionar contextos en los que se aprenden conceptos y habilidades. La solución de problemas requiere que los estudiantes investiguen, respondan preguntas, realicen tareas y representen situaciones, que tanto ellos como el docente podrían sugerir.

f) Los estudiantes necesitan muchas oportunidades de usar el lenguaje para comunicar

ideas matemáticas.

Discutir, escribir, leer y escuchar ideas matemáticas profundiza el entendimiento en esta área. Los estudiantes aprenden a comunicarse de diferentes maneras relacionando activamente materiales físicos, imágenes y diagramas con ideas matemáticas; reflexionando sobre ellas y clarificando su propio pensamiento;


estableciendo relaciones entre el lenguaje cotidiano con ideas y símbolos matemáticos; y discutiendo ideas matemáticas con sus compañeros. Trabajar en grupos pequeños, en proyectos de recolección de datos, construcción de gráficas y cuadros explicativos, con sus hallazgos y resolución de problemas, da a los alumnos la oportunidad para realizar trabajo reflexivo y colaborativo con otros, lo que constituye la parte crítica de la enseñanza de las matemáticas. Las ideas matemáticas las construyen las personas; los estudiantes necesitan experimentar la interacción social y la construcción de representaciones matemáticas que tengan significado, con sus compañeros y sus profesores. En un enfoque democrático, el profesor no es el único que conoce y transmite conocimiento, ni debe ser el que siempre tiene “la respuesta”. Los estudiantes deben tomar la iniciativa en el planteamiento de preguntas e investigaciones que les interesen, y llevar a cabo investigaciones en forma conjunta con el docente.

g) Razonar es fundamental para saber y hacer matemáticas.

El estudiante debe entender que las matemáticas poseen un sentido significativo, que no son simplemente un conjunto de reglas y procedimientos que se deben memorizar. Por ese motivo necesitan experiencias en las que puedan explicar, justificar y refinar su propio pensamiento, no limitarse a repetir lo que dice un libro de texto. Necesitan plantear y justificar sus propias conjeturas, aplicando varios procesos de razonamiento y elaborando conclusiones. Ayudar a que los estudiantes se muevan por etapas entre varias ideas y sus representaciones, es tarea muy importante del educador; cómo también lo es, promover en los estudiantes de manera creciente, la abstracción y la generalización, mediante la reflexión y la experimentación, en lugar de ser él el único que explique y que exponga. Parte vital de hacer matemáticas conlleva, que los alumnos discutan, hagan conjeturas, saquen conclusiones, defiendan sus ideas y escriban sus conceptualizaciones; todo lo anterior, con retroalimentación del docente.

h) Los conceptos de geometría y medición se aprenden mejor mediante experiencias que

involucren la experimentación y el descubrimiento de relaciones con materiales concretos.

Cuando los estudiantes construyen su propio conocimiento de geometría y medición, están mejor capacitados para usar su comprensión sobre su entorno físico real. Desarrollan su sentido espacial en dos o tres dimensiones por medio de exploración con objetos reales. Los conceptos de medición se entienden mejor con experiencias concretas, realizando mediciones y estimación de medidas, construyendo su propio sentido numérico y operativo.


i) La comprensión de estadísticas, datos, azar y probabilidad se deriva de aplicaciones del mundo real.

La necesidad de tomar decisiones en base a información numérica trasciende la sociedad y motiva trabajar con datos reales. La probabilidad se desprende de la consideración realista de riesgo, azar e incertidumbre. Los estudiantes pueden desarrollar competencia matemática por medio de la formulación de problemas y soluciones que involucren decisiones basadas en recolección de datos, organización, representación (gráficas, tablas) y análisis.

j) Uno de los mayores propósitos de la evaluación, es ayudar a los educadores a entender

mejor qué saben los estudiantes y a tomar decisiones significativas sobre actividades de enseñanza y aprendizaje.

Debe usarse una diversidad de métodos de evaluación para valorar a los estudiantes individualmente, incluyendo pruebas escritas, orales y demostraciones, las cuáles deben ser coherentes con los contenidos desarrollados durante las clases. Todos los aspectos del conocimiento matemático y sus relaciones, deben ser valorados y utilizados para ayudar al profesor a planificar actividades de enseñanza-aprendizaje.

En general, todo educador y especialmente el psicopedagogo, debe sacar el máximo provecho de los recursos disponibles, para hacer de las matemáticas un elemento cotidiano en el mundo de los alumnos y alumnas. Desarrollar técnicas y metodologías que potencien la creatividad y el gusto en los educandos por enfrentar y resolver desafíos, es un aspecto fundamental dentro de la enseñanza de las matemáticas.

1.3. Rol del Educador en el manejo del niño con Dificultades de Aprendizaje Como ya es sabido, un proceso de intervención psicopedagógica involucra un rol importante de parte del educador de aula, quien luego de reconocer inicialmente las dificultades en los alumnos, buscará el apoyo del educador diferencial o psicopedagogo, a fin de que si el caso lo amerita, se realice una evaluación psicopedagógica.

Por ello, los siguientes pasos o aspectos a considerar, son esenciales y cotidianos en el actuar profesional del docente:

z Realice ejercicio n° 1


• Identificar en el educando las debilidades y potencialidades para el aprendizaje, considerando los aspectos; académico, social, emocional y conductual.

• Conversar con el niño, a objeto de detectar sus logros y frustraciones. • Bosquejar sus áreas problemáticas observando su estilo de aprendizaje y dominancia

cerebral. • Establecer instancias de entrevista con los padres a fin de clarificar el problema,

además de los objetivos y estrategias de aprendizaje.

Con respecto a este último punto, es recomendable conversar con los padres (ojalá

ambos, padres o apoderados), evitando generar sentimientos de culpabilidad o que sientan que sus hijos son los “flojos, volados, o desatinados del curso”. Nuestra actitud debe ser de acogida y apoyo frente al problema.

Es conveniente explicarles o describirles detalladamente qué vemos en su hijo, por

qué creemos que tiene un problema de aprendizaje, proponerle un plan de acción, darle a conocer algunas estrategias que se pondrán en marcha con el niño y pedir toda la colaboración posible para ello. Incluso podemos organizar una reunión con todos los apoderados cuyos niños tengan problemas, para que compartan experiencias, se apoyen y aprendan distintas maneras de enfrentar la situación. Es necesario tener siempre en cuenta que triplicaremos las ocasiones de acercamiento con los apoderados, en la medida en que seamos cálidos, claros en la información, y empáticos, pues debemos pensar que este problema tiene una dimensión afectiva dentro de la familia. Usual es que aparezcan sentimientos de “culpabilidad” y fracaso en los padres, situación que debe ser manejada con mucho cuidado.

CLASE 02

1.4. Estrategias en la Reeducación de la Matemática Desde el punto de vista psicopedagógico, se recomienda utilizar un enfoque de tratamiento “multimodal”, por cuanto no existe un tratamiento único válido para todos los casos. Cada niño o adolescente con trastornos de aprendizaje (ya sea en lectura, escritura y/o matemática), es único en su condición. La educación, entonces, necesita de paciencia y energía.

1.4.1. Estrategias Generales

Todo psicopedagogo o educador diferencial, debe desarrollar una tarea de reeducación contemplando algunas estrategias, que sin duda no sólo están enfocadas al


alumno o alumna con necesidades educativas especiales, sino con todo el curso. Éstas pueden ser las siguientes:

• Usar el refuerzo positivo como motivación primordial

Debemos recordar que el castigo no funciona y que el refuerzo positivo o premio posee mejor efecto sobre la conducta de los niños.

• Respeto de las diferencias individuales

Se trata de educar al grupo curso, para que perciban que todos los seres humanos tienen potencialidades y debilidades, es decir, nadie es bueno o malo para todo. Por ello debemos reconocer nuestras falencias y las de los otros, potenciando y resaltando las habilidades.

• Establecer un ambiente de bondad y cooperación

Es útil hacer que el niño se sienta importante dentro de su curso, poniéndolo en una situación de liderazgo efectivo o asignándole responsabilidades dentro de él.

• Determinar las potencialidades del niño

Hay que entender que todo niño tiene potencialidades y debilidades. Se trata entonces de determinar el estilo de aprendizaje dominante del niño y ajustar la enseñanza a su estilo. Por ejemplo, un niño puede ser excelente para dibujar escenas de un libro o cuento que leyó, pero tener dificultades en una prueba oral o escrita sobre la misma lectura. Hay que capitalizar sobre sus debilidades, estos niños requieren estrategias que potencien su individualización tales como organización y toma de apuntes y administración del tiempo entre otras.

• Desarrollar el sentido del humor

Todo profesor puede disfrutar junto a sus alumnos de una clase entretenida, ya que con profesores alegres se puede aprender más y mejor. Desarrollar un sentido del humor, puede salvar al niño de un menoscabo en su autoestima.

• Enfatizar la calidad y no la cantidad en el trabajo escolar

Cualquier actividad o tarea que implique un esfuerzo mayor que sobrepase la motivación, genera frustración en el niño con problemas de aprendizaje, sobre todo cuando tiene que realizar gran cantidad de trabajo escrito. Muchos pueden responder con rapidez, pero sin observar un orden y nitidez en la tarea. El asunto es que si ellos


ven que la carga es mayor a lo que pueden concentrarse, simplemente la evitan, rehúsan hacerla, la pierden o la olvidan.

Frente a esta situación, cuando hay dificultad en el manejo del volumen de trabajo, se recomienda poner énfasis en beneficio de la calidad, con el fin de iniciar nuevas motivaciones y fortalecer su autoestima.

1.4.2. Estrategias Específicas

Algunas estrategias de tipo específico que todo educador debe tener en cuenta, dentro de un trabajo de intervención psicopedagógica, encontramos las siguientes:

• Evitar objetos distractores en el aula

En lo posible se debe limitar el número de objetos que puedan distraer al niño con trastornos de aprendizaje, tanto visual como auditivamente, sobre todo en lo que se refiere a la línea visual del niño desde el asiento y el lugar en que el profesor explica o manipula material. Reducir la distancia social y contacto visual con el niño acercándose más a él (no hacer sonar las manos, llaveros o reglas para llamar la atención).

• Ubicarlo en el lugar correcto

Se recomienda sentar al niño cerca de la mesa del profesor y no tan apartado del pizarrón, sobre todo cuando se manipula material audiovisual. Es el profesor el que debe reducir la distancia social entre él y el alumno. Otra posibilidad, es sentarlo hacia el centro del aula dentro de los campos visuales y auditivos preferenciales, nunca en la parte posterior de la sala o cerca de las puertas y/o ventanas, pues ellas tienden a aislar al niño de la posibilidad de atención individual no facilitando su concentración. Además, el niño puede interpretarlo como punitivo más que como un esfuerzo del profesor por ayudarlo.

• Establecer un buen contacto visual

Para los niños que tienen dificultades para seguir instrucciones o atender a un conjunto de instrucciones, se recomienda escribir en el pizarrón y mejorar la interacción profesor-alumno pidiéndole al niño que mire, ubicándose cerca o frente al niño; sólo entonces, el docente dará las instrucciones.



• Variar el tono e inflexión de la voz

La variación del tono de la voz es un factor crítico en la interacción con el niño, hay que decir, en este sentido, que las instrucciones orales tienen que darse más de una vez, variando el control de volumen. Copeland recomienda enfatizar las partes más importantes de una presentación, tales como el título de la lección, número de página, en tonos más altos que el resto de la tarea.

• Combinar vista, sonido y claves motoras

Muchos niños presentan dificultades serias de memoria visual y discriminación auditiva, desempeñándose mejor con una combinación de instrucciones orales y/o escritas; muchos aprenden mejor haciendo uso de la tiza de color para subrayar palabras claves. Puede ser muy útil dramatizar una clase de historia o hacer las clases de ciencias al aire libre, por ejemplo. El niño es un ser muy creativo y disfruta cuando realmente se interesa en lo que está realizando.

• Crear compañeros de aprendizaje

Pasar la mayor parte del tiempo realizando un trabajo independiente es difícil para un niño, en especial, cuando éste presenta dificultades de aprendizaje. Ello crea las oportunidades para la desatención o cualquier conducta destructiva; se recomienda en estos casos, ubicar al niño con un compañero que no presente esta condición, tanto dentro del colegio como fuera de él. Muchos profesores consideran esto como más efectivo que la corrección y llamar la atención constantemente, ya que el niño lo percibe como menos negativo.

• Mantener el trabajo individual por períodos cortos

Cuando se pretende realizar una tarea individual se recomienda hacerla en unidades de tiempo corto y bien estructurado. En el caso de los niños con dificultades de aprendizaje y principalmente en los primeros años de Educación Básica, no deberán completarse más de 15 ó 20 minutos por actividad. Tratar de mantener a un niño sentado por largo tiempo y sin descanso, en gran medida exacerba problemas atencionales.

Sólo el monitoreo constante y el refuerzo por parte del profesor, sin enfatizar en la cantidad, mejora el problema realmente. Enseñarle a un niño a mejorar su propia distribución del tiempo también ayuda.

• Desarrollar el hábito de comenzar un trabajo cuando se da la orden y de terminar los

trabajos que se comienzan

Es increíble constatar, que algunos niños jamás terminan lo que empiezan, no porque no sean capaces sino porque nunca han desarrollado el hábito de hacerlo; es fundamental


que el niño se acostumbre a terminar lo que empieza. El profesor puede ayudarlo preocupándose de que los trabajos que se le asignen estén dentro de sus posibilidades de terminarlo. En este sentido nunca debería asignarse al niño tareas demasiado largas o trabajos demasiado complejos. Es un error pensar que es bueno darle muchas tareas para que, por lo menos, alcance a hacer algunas. Con esto, estamos contribuyendo a que adquiera malos hábitos de trabajo. Es preferible darle menos tareas, con la seguridad de que será capaz de terminarlas. Una forma de afianzar este hábito es reforzar al niño cada vez que termina un trabajo y dividir las tareas en varias etapas, reforzando al terminar cada una de ellas, no tanto por hacerlas bien, sino por terminarlas.

Hay algunas normas sobre hábitos de estudio que el profesor debería conocer para trasmitirlas a sus alumnos. Es bueno que cada niño tenga un lugar fijo de trabajo, y que ese lugar sea solamente para estudiar, incluso, es recomendable que, si el alumno estando allí siente deseos de hacer otra cosa, como comer, divagar, resolver un crucigrama, etc., no lo haga allí sino en otro lugar. De esta manera, se va asociando el lugar de trabajo solamente con la conducta de estudiar. Esto facilita mucho el comienzo del estudio (que es lo que más cuesta), porque uno se pone rápidamente “en ambiente”.

Esto no significa que cada niño debiera tener una sala de estudios exclusiva y privada, se trata solamente de ubicar un lugar en la casa, un rincón tranquilo, en su pieza, donde haya una mesa y luz suficiente para poder trabajar. En relación al lugar de trabajo, es importante que haya el menor número de estímulos distractores como radios, televisión, personas conversando. Estudiar con música, o con la televisión prendida sólo contribuye a distraer al que trata de estudiar o hacerlo gastar el doble de energía para concentrarse en su trabajo.

Es muy útil, también, enseñarle al niño a hacer programas de estudio. Una vez que ha dividido la materia o el trabajo, debe fijarse plazos para terminar cada etapa y cumplirlos. Incluso usando técnicas de autocontrol, el mismo niño puede proponerse refuerzos cada vez que termine una etapa. Por ejemplo: “Cuando termine el capítulo 1, voy a tomar once, cuando termine el 2 y el 3, voy a ver un programa de televisión; y cuando termine el 4, voy a salir a dar un paseo”. Así, esas actividades dejan de ser interrupciones en el trabajo, y se transforman en actividades reforzantes en la “conducta de estudiar”. • Separar al niño de la conducta inadecuada

Cuando el niño comete una conducta “inadecuada”, exprésele que si bien no le agradó su comportamiento, lo acepta y lo ama. Construya la autoestima del niño, demostrándole su amor. Algo importante es que usted sea consistente en lo que espera de él, si usted no quiere que le interrumpa, mantenga la calma en lo que dice y hace; si usted se controla manteniendo la serenidad, el niño también estará tranquilo.

Planifique un momento especial con el niño, en la medida que éste vaya logrando una meta, participe con él en una caminata, en un juego, de modo que el niño se sienta feliz.


• Realizar evaluaciones diferenciadas

La evaluación diferenciada, es un recurso curricular que emplea el profesor en una o más asignaturas al evaluar a los alumnos de acuerdo a las características de aprendizaje que cada uno presenta. Es elaborar, aplicar e interpretar procedimientos evaluativos atendiendo a las diferencias individuales. Es ver reflejada en la sala de clases una concepción importante “Educación centrada en la persona”.

Debemos comprender que los alumnos aprenden en formas diversas, es decir, con ritmos diferentes y en momentos distintos. Algunos aprenden de manera fácil con sólo leer, otros al escuchar, mientras que otros aprenden participando de experiencias directas, visual o auditivamente.

Por ello, es necesario adecuarse a las necesidades y estilos de aprendizaje de los alumnos; variar los contenidos (si es necesario), las herramientas y materiales. Con ello podemos aumentar el aprendizaje si presentamos las ideas y/o contenidos en forma variada, estimulando a los alumnos a Aprender.

1.4.3. La Evaluación Diferenciada

Al aplicar la evaluación diferenciada, se pretende que el alumno obtenga la calificación que merece, en torno a los objetivos trabajados por él, que serán los que el docente y el educando idealmente se propusieron, atendiendo a los resultados de la evaluación diagnóstica y de otros antecedentes considerados. Si pretendemos mejorar el rendimiento de los alumnos, como así también su autoestima y motivación escolar, y por ende, evitar los elevados porcentajes de repitencia y deserción escolar, es importante que los educadores y los padres tomen conciencia de los beneficios que implicaría una evaluación referida a criterios y a la vez, considerar estrategias de trabajo metodológico cooperativo que parta de una adecuada evaluación diagnóstica. Una de las tantas decisiones que el docente puede tomar, sobre la base de consideraciones estrictamente pedagógicas, es evaluar a los alumnos aplicando especialmente la referencia de “criterios”, es decir, la evaluación que se realiza al alumno, utiliza un criterio o patrón de referencia fijo (a sí mismo), sin considerar los niveles que logran los estudiantes que conforman su grupo de pares. Para aplicar la evaluación diferenciada, es necesario considerar algunos aspectos importantes como: contenido, situación y forma. a) Contenido: se refiere a que una vez aplicada la evaluación diagnóstica, el profesor está

en condiciones de determinar los objetivos y/o contenidos a trabajar, en base a las


conductas de entrada de los alumnos. Esto implicaría la confección de instrumentos evaluativos diferentes, ya que la planificación será distinta en cada nivel.

b) Situación: se refiere a la atención que recibirá el alumno al momento de ser evaluado, pudiendo ser:

• Individual: frente al grupo curso (es evaluado individualmente), fuera de la sala (si

el curso ejerce una presión negativa sobre él). • Colectiva: el alumno es evaluado con el grupo curso, otorgándole mayor tiempo

para desarrollar su evaluación con respecto al tiempo requerido por el resto del curso, con el propósito de aprender a su ritmo de trabajo.

c) Forma: con el fin de atender a las características individuales y de aprendizaje del

alumno, es recomendable la aplicación de técnicas evaluativas diferentes a las aplicadas al resto del curso, como por ejemplo:

• Evaluación oral: cuando el alumno presenta dificultades de escritura se debe

evaluar a través de interrogantes, disertaciones, entrevistas, etc., ya que el objetivo a evaluar no son las habilidades de escritura.

• Evaluación escrita: opuesta a la anterior, se utilizaría, cuando el alumno presenta dificultades para expresarse oralmente; se evaluará entonces a través de pruebas escritas de respuestas estructuradas y no estructuradas.

• De ejecución: es un recurso que el profesor puede utilizar cuando el alumno presenta dificultad de expresión oral y/o escrita. Está referida a la realización de un trabajo práctico que muestra el logro de objetivos alcanzados y que el profesor evalúa en el resto del curso, empleando otra técnica. En esta ocasión los objetivos a evaluar no son la expresión escrita ni oral.

Si luego de practicar las evaluaciones correspondientes, el alumno debe recibir apoyo especial y es derivado a la atención en el aula de recursos; debe existir posteriormente, una coordinación entre profesor de aula, padres y profesor diferencial o psicopedagogo porque es de vital importancia, al menos hasta una vez finalizado el 1° ciclo básico (1° a 4° año), que no se produzcan situaciones divergentes entre las exigencias del curso, las expectativas de los padres y el nivel de habilitación o rehabilitación que el grupo diferencial ha programado. Si bien es cierto que el profesor de aula no cuenta con herramientas técnicas adecuadas para enfrentar los problemas escolares, es efectivo que con una gran parte de voluntad se lograrán aprendizajes más significativos.



1.5. La Realización de una Clase Tipo en Reeducación Matemática Todo educador debe saber que la forma en que aborda su rol, es fundamental para el mejoramiento de las dificultades de aprendizaje. Por ello, su accionar debe regirse por unos principios fundamentales que se sintetizan a continuación.

1.5.1. Principios Generales Estudios realizados por los norteamericanos Good y Grows, señalan que “los niños aprenderían mejor matemáticas, mientras más motivados e interesados estén sus profesores en la enseñanza de éstas”. Además, estos autores establecen 4 principios fundamentales a seguir por los docentes durante el proceso de enseñanza de las matemáticas, éstos son:

• La actividad instruccional brindada por el profesor se debe realizar en base a lo que es significativo para el niño. Es decir, si el niño vive en una comuna rural del país, no es conveniente plantearle un problema donde las situaciones y los protagonistas son desconocidos, por ejemplo, viaja en metro y va de compras a un mall; será más significativo para él, que el protagonista viaje en un auto o en carretela, si la situación lo amerita.

• Los alumnos deben estudiar cada lección o materia, clase a clase, de manera de

potenciar su participación en el curso reduciendo las posibilidades de cometer errores.

• En cada clase el niño debe ejercitar el nuevo contenido aprendido, es decir, debe aprender haciendo. La secuencia de una clase tipo es la siguiente: entrega de contenidos teóricos, prácticas y repaso de la materia y por último, generalizar y realizar ejercicios durante la práctica.

• El profesor en su rol de mediador, debe procurar que la clase sea activa provocando

en el niño una “apertura cognitiva” a los nuevos contenidos entregados.

1.5.2. Organización del Trabajo en el Aula La organización del trabajo de aula, sea en el aula común con el curso o en el aula de recursos a cargo del psicopedagogo o educador diferencial, requiere de una adecuada


organización de las tareas a realizar, los espacios, recursos, etc. Por ello, el educador debe considerar los siguientes aspectos: a) Revisión diaria: ésta se realiza en los primeros 8 minutos de la clase, excepto el día

lunes. La secuencia a seguir es la siguiente:

• Revisar conceptos y destrezas asociados al nuevo contenido a pasar. Por ejemplo; si el tema es adición, se debe comenzar indagando qué tanto sabe el niño sobre términos: quitar, agregar, poner, etc.

• Recoger y comentar la tarea. • Realizar variados ejercicios de cálculo mental.

b) Desarrollo de la clase: ésta debe durar aproximadamente 20 minutos. La secuencia a

seguir es la siguiente: • Analizar brevemente las conductas (requisito para desarrollar adecuadamente las

clases). • Presentar el nuevo contenido, procurando que éste sea significativo para el niño.

Recuerde siempre que la progresión a seguir será: nivel concreto, gráfico y finalmente el abstracto respectivamente, además presente variados ejercicios e incentive la comparación y las discusiones entre los alumnos.

• Evaluar la comprensión de la materia realizando preguntas explícitas, implícitas y de establecimiento de relaciones lógicas.

• Repetir y reelaborar los contenidos de aprendizaje, cuantas veces sea necesario de manera de asegurar que el niño comprendió.

c) Trabajo de los alumnos en clases:

• Procure que todos los alumnos trabajen y otórgueles su apoyo de manera que sientan al profesor involucrado en el aprendizaje.

• Al comienzo de la actividad, déles a saber que el trabajo individual será corregido durante el período.

• Controle el trabajo de los alumnos. d) Asignación de las tareas para la casa: las tareas son válidas en el sentido que son una

continuidad de la ejercitación de la clase. Es importante el considerar los siguientes aspectos:

• El nivel de dificultad debe ser acorde a las posibilidades de resolución del niño. • Evite dar tareas aburridas, incorpóreles actividades motivadoras. • Las tareas deben ser similares a la ejercitación. • Asigne tareas diariamente, excepto el día viernes “Todos tienen derecho a descansar

el fin de semana”.


• El tiempo asignado por tarea debe ser el siguiente:

- Para 1º y 2º de Educación Básica, 15 minutos promedio - Para 3º y 4º de Educación Básica, de 20 a 30 minutos aproximadamente. - Para 5º a 8º de Educación Básica, de 30 a 40 minutos aproximadamente.

e) Trabajo individual de los alumnos en clases: el trabajo individual es aquel que se realiza

después de la práctica en clases. Éste trabajo presenta 3 principios básicos a seguir:

1º Se debe crear el ambiente propicio y acogedor donde todos se sientan involucrados en el trabajo.

2º Aliente a los estudiantes, para responsabilizarlos por el avance de su propio aprendizaje, estableciendo una especie de “contrato” entre el profesor y el curso.

3º Corrija a los alumnos en su puesto. f) Evaluaciones: el modelo de enseñanza activo permite 4 oportunidades para evaluar el

aprendizaje, las que son:

• Evaluar el trabajo individual • Evaluar las tareas diarias • Evaluación mensual; ésta se debe realizar cada 4 semanas y debe estar centrada en

las destrezas y conceptos tratados durante el último mes.

CLASE 03

2. LA FAMILIA COMO APOYO EN LA REHABILITACIÓN Y TRATAMIENTO DE LAS MATEMÁTICAS

Las matemáticas pueden ser prácticas y divertidas si no las limitamos al cálculo escolar o a los problemas escritos de cuántos caramelos tiene tal o cual. La familia juega un rol muy importante dentro de estos aspectos, el restablecimiento de las dificultades de las matemáticas, no pasa sólo dentro de los muros de las aulas y establecimientos educacionales. La casa, y la familia principalmente pueden influir de manera positiva en el aprendizaje y la rehabilitación de estos problemas. El cálculo, la geometría, las medidas, las proporciones están constantemente presentes en el hogar, el parque, la calle o los paseos. Si como adultos aprendemos a mirar y a descubrir las relaciones entre los objetos, las características y cualidades que encierran o la forma en que los utilizamos, podremos poner al alcance de nuestros hijos la magia de las matemáticas demostrándoles cómo su uso ordena y organiza nuestro mundo.


Las matemáticas organizan el mundo que nos rodea y están presentes en la mayoría de las actividades cotidianas: desde servir una taza de leche, ir a comprar algunos kilos de fruta, recorrer la distancia diaria hasta la escuela o poner la mesa para seis personas. El niño es un curioso matemático desde que empieza a explorar el mundo que lo rodea. Observa las formas de los objetos, aprecia las texturas con su boca, descubre como hay objetos que se desplazan rodando o saltando o rompiéndose en mil pedazos. Su curiosidad no tiene límites. Su necesidad de conocer, de descubrir, de interpretar el mágico y fascinante mundo en el que vive, le lleva a probar, errar y repetir, de forma incansable. Es en ese errar, donde debe hacerse presente la familia, apoyando y guiando de manera adecuada sacando el máximo provecho de las potencialidades de su hijo (a). El hogar, el jardín, la calle, el vecindario, el parque o el autobús, son espacios factibles de ser investigados, analizados, descritos, observados desde una óptica matemática. Depende de la familia; y de los padres en especial, desarrollar la sensibilidad o mejor dicho que seamos más o menos sensibles al momento de plantear preguntas que conduzcan a nuestros hijos de manera que miren a su alrededor de otro modo.

Para ello es necesario darse cuenta de que las matemáticas surgen de la experimentación con objetos reales y que debe ser a través de ellos que los estudiantes realicen muchos de los descubrimientos que les llevarán a una comprensión más profunda del medio en el que viven, a la vez que les permitirá descubrir las matemáticas como lo que son: una herramienta imprescindible en la vida de todas las culturas. Algunos ejemplos que muestran de qué manera es posible sacar partido de un paseo, una cena o una visita a casa de un pariente o amigo, son los siguientes:

Generalmente, los problemas empiezan cuando se le enfrenta con el aprendizaje abstracto de las matemáticas. Los números separados de las cantidades, las

medidas codificadas en un lenguaje extraño de metros, decímetros y decámetros, las formas reducidas al triángulo, cuadrado y círculo…


• Busquemos objetos que “vivan en parejas”: los zapatos, las mangas de las chaquetas y de las camisas, los botones de un pantalón, los cristales de las gafas, etc.

• Preguntar: ¿Quiénes van siempre juntos?: el cepillo y la pasta dental, el plato y la taza, la sopa y la cuchara, el lápiz y la goma, etc.

• Vamos a poner la mesa, seremos cinco, ¿cuántos servicios necesitamos?: cuenta las cucharas, los tenedores, los vasos, las servilletas, dos platos por cinco personas ¿cuántos platos son?

• Sobre el transcurso del tiempo: animarle a hacer diferentes estimaciones sobre el tiempo que se tarda en poner la mesa, lavarse los dientes o darse una ducha. Comprobar luego el tiempo real de duración y ver las aproximaciones.

• Salgamos a pasear y descubramos formas: en las señales de tráfico, los carteles publicitarios o los rótulos del comercio, cilindros, triángulos, óvalos, rombos, pirámides, etc.

• Busquemos figuras tridimensionales en los productos del supermercado: los bricks (acomodación en estilo de ladrillos) de leche, las latas, los paquetes de cereales o de jabón, ¿cuáles son las más utilizadas?, ¿cuáles se apilan mejor?, hablemos de aristas, los ángulos o las formas de las caras de las figuras que forman.

• Mostremos cómo nos ayudan las fracciones a la hora de partir un pastel: permitamos que nuestro hijo calcule primero los pedazos que se necesitarán y que haga un cálculo de cómo deberá dividir el pastel para que los pedazos sean iguales y cada persona reciba su parte proporcional.

• Podemos enseñar las tablas de multiplicar con botones: un botón tiene dos agujeros, dos botones cuatro, tres botones seis, etc.

• Describamos un semáforo, un autobús o un árbol y apreciemos el vocabulario utilizado: medidas, comparaciones, colores, usos, cantidades, tamaños, etc.

• ¿Cuánto mide…?: midamos el living, la habitación, la mesa o la cama utilizando el pie, la palma o una cuerda que mida un metro. Hablemos de metros lineales, cuadrados u cúbicos. Estimemos la distancia que hay hasta un punto dado tomando como unidad la acordada.

• Hablemos de lo que es un Kilómetro: recorramos la distancia en un vehículo marcando la salida y la llegada. Conversemos sobre lo que pensábamos que era un km. Y lo que realmente es.

• Apreciemos cómo se descompone un litro en vasos: si los niños son menores de seis años los vasos deben ser iguales entre sí. (un vaso es aproximadamente 200 cc.)

• Viajando en un vehículo, juguemos a sumar los dígitos de las matrículas: descubramos matrículas pares e impares, encontremos la matrícula con el número más alto…

• ¿Cuánto pesa?: con la balanza de cocina de casa o cuando compramos la fruta en el supermercado, comprobemos cuál es el peso de una fruta, cuántas frutas iguales entran en un kilo, cuántas necesitaremos para comprar dos kilos, veamos qué es medio kilo, un cuarto de kilo o 100gr. Podemos hacer lo mismo mientras preparamos los ingredientes para un pastel.

• Vayamos de compras y permitamos que nuestro hijo anote los precios de los productos que compramos: deberá utilizar multiplicaciones sencillas, restas o sumas de tal modo que comprobemos antes de llegar a la caja de pago cuál será el importante, cuánto dinero necesitaremos y cuál será nuestro cambio


Estas actividades tienen como objetivo descubrir, estimular y mejorar la concepción respecto de las matemáticas. Comprobando con ellos su utilidad, lograremos que experimenten vivencialmente esta asignatura que, en el caso de no ser comprendida, puede dar problemas a lo largo de toda la escolarización, resultando además frustrante para padres e hijos.

3. ACTIVIDADES DE APRESTO PARA LA ENSEÑANZA Y REEDUCACIÓN DE LAS

MATEMÁTICAS

3.1. Sugerencias de Actividades Metodológicas para el Apresto Las actividades de apresto contribuyen a favorecer la eficacia y eficiencia de los programas aplicados, lo que posibilitará e incrementará el rendimiento del alumno y la posibilidad de éxito al mismo tiempo. Esto intenta evitar frustraciones y pérdida de esfuerzo, ya que es inútil comenzar la enseñanza de los números sin que el niño posea los prerrequisitos previos a ello.

3.1.1. Expresiones Cuantitativas Se llama “expresiones cuantitativas” a las cantidades no definidas. Su característica es la realidad relativa, dependiendo ésta de los conjuntos en que esté utilizando términos tales como: mucho, poco, ninguno, uno, algunos, todos, etc.


“Apresto, consiste en el periodo previo al comienzo de un nuevo programa de Aprendizaje, que trata de poner al alumno en

condiciones óptimas, para iniciar y asimilar dicho programa”.


Objetivo: - Conocer, reconocer y manejar adecuadamente las expresiones cuantitativas a nivel

concreto, gráfico y abstracto. Evaluación: Los siguientes son los criterios a utilizar, para saber si el niño ha logrado o no los objetivos propuestos:

- Observación directa - Usar en forma correcta expresiones cuantitativas

Materiales:

- Utilizar materiales concretos y “contables” tales como: fichas, bolitas, lápices, monedas, etc.

Sugerencias de Actividades:

• Formar con cuerdas dos círculos sobre la mesa. • Ubicar en el interior de los círculos, la misma cantidad de fichas u otro objeto concreto a

las indicadas en un dibujo o lámina cualquiera. • Realizar correspondencia uno a uno, entre los elementos de dos conjuntos. • Realizar entre profesor y niños, con apoyo de materiales didácticos, ejercicios como los

siguientes. Poner frente a los niños distintos grupos de elementos, por ejemplo: animales y luego señalar: ¡Niños, observen muy bien y luego díganme si...! - El primer conjunto tiene la misma cantidad de elementos que el segundo.


- El primer conjunto tiene más elementos que el segundo: Sí o no. ¿Por qué? La verbalización (respuesta oral) que dé él niño es muy importante, ya que ayuda a desarrollar su lenguaje cuántico.

- El primer conjunto tiene más que el segundo: Sí o no. ¿Por qué?

• Realizar ejercicios similares con otros conjuntos. • Se pide al niño que centrando su atención en los recuadros centrales y siguiendo

instrucciones, ejecute las acciones solicitadas.

1) Dibuja menos volantines, en el recuadro de la izquierda. 2) Dibuja más jirafas en el recuadro del centro que la cantidad de caracoles que hay a la

derecha. 3) Dibuja muchos caracoles en el recuadro de la derecha.


• Seguir distintas instrucciones como las del siguiente ejercicio:

1) Dibuja muchas flores para la niña que tiene el pelo crespo y pocas para la otra niña. 2) Después pinta ambas niñas.

• Distribuir todos los útiles escolares en los estuches. En un estuche poner muchos útiles y en el otro estuche, pocos.


• Escuchar un cuento y realizar ejercicios como el siguiente:

Escucha atentamente la siguiente historia.

“Anita puso la mesa el día domingo en su casa, para ayudarle a su mamá; ella puso un cuchillo, muchos tenedores y pocas cucharas”. Ahora marca con una X lo que Anita puso en la mesa.

• Observar láminas como la siguiente y luego responder:

1) ¿Cuál tiene más y cuál tiene menos rosas? Marca el florero que tiene más flores. ¿Es verdad que hay tantas……..cómo…Por qué?

2) Marca el florero donde hay una rosa.

• Unir con una flecha o raya los elementos de estos conjuntos.


1) ¿Qué se puede observar? 2) ¿Hay tantos………..…. Como……………….?

• Ahora observa bien y responde:

¿Es verdad que hay tantos…………… como ……………..?, ¿Por qué? • La profesora pide que salga adelante de la clase, un grupo mixto de alumnos. Luego

realiza una serie de preguntas al resto del curso.


1) Qué hay más:

- ¿Niñas o niños? - ¿Niños de cabello largo o pelo corto? - ¿Niños con gorro o sin gorro?

2) Qué hay menos:

- ¿Narices o dientes? - ¿Dientes o manos? - ¿Ojos o piernas?

CLASE 04

3.1.2. Relaciones Espaciales Estas relaciones nos indican la ubicación en el espacio, su característica es la relatividad, debido a que dependen de su punto de referencia, tales como: dentro-fuera, arriba-abajo, derecha-izquierda, sobre-bajo, delante-detrás, etc. Objetivo:

- Manejar y ubicar con propiedad conceptos como: derecha-izquierda, fuera-dentro, adelante-atrás, etc., frente a situaciones de nivel concreto y gráfico.

Evaluación:

- Observación directa - Utilizar adecuadamente las relaciones espaciales entre los objetos

Materiales:

- Utilizar material manipulable como: bloques lógicos de madera, fichas, etc. Sugerencias de Actividades: a) Dentro–Fuera • Ejercitar con material concreto:

1) Formar con cuerdas 2 círculos sobre la mesa.


2) Ubicar en el interior del círculo, cinco figuras geométricas y en el exterior, otras fichas de distintas formas.

3) Nombrar las figuras que están dentro del círculo. 4) Mencionar las figuras que están fuera del círculo. 5) Formar parejas de compañeros para formar círculos y colocar los elementos dentro y

fuera de ellos. • Observar atentamente:

1) Marcara lo que está fuera 2) Pintar lo que está dentro 3)

• Seguir instrucciones:

En base a la siguiente lámina:

1) Dibujar ovejas dentro de la reja 2) Dibujar un burro fuera de la reja 3) Dibujar una flor dentro de la reja 4) Dibujar muchas flores fuera de la reja


• Observar atentamente una lámina (puede ser elaborada por el educador):

1) Encierra en un círculo lo que está dentro de: El establo; la laguna 2) Encierra en un cuadrado lo que está fuera de: El establo; la laguna

b) Arriba-Abajo • Jugar a Simón manda: Arriba las manos, abajo las manos, apuntar hacia arriba, apuntar

hacia abajo, etc. • Observar la ubicación del cielo (arriba) • Mostrar la ubicación del piso (abajo) • Observar y manipular los elementos mencionados por el profesor y nombrar su posición

(arriba–abajo). • Observar una lámina y luego:


1) Nombrar los objetos que están arriba del auto 2) Nombrar los objetos que están abajo del auto

• Observar la lámina:

1) Pintar o pegar papelitos a las mariposas que están arriba del horizonte 2) Marcar con una cruz las flores que están abajo del horizonte

• Observar la lámina y comentar:

1) Pinta de color rojo lo que está arriba de la trampa 2) Pinta de color azul lo que está abajo del pie

• Seguir la serie:


• Comentar las posiciones del sol:

1) Pintar de amarillo claro el sol que está arriba 2) Pintar más oscuro el que está abajo


1) Recortar y pegar la corona arriba de la cabeza del león 2) Recortar y pegar la humita debajo de la barba del león

• Recortar figuras variadas. Pegar la nube y el sol arriba en el cielo, el árbol y la tortuga

abajo. Comentar individual o grupalmente en forma oral, las posiciones en el espacio (arriba-abajo).


c) Derecha–Izquierda • Identificar y levantar la mano derecha. • Coger con la mano derecha, los objetos que indica el profesor (un lápiz, una goma,

estuche…). • Identificar y levantar la mano izquierda. • Tomar con la mano izquierda los objetos que indica el profesor (una regla, un

cuaderno…). • Manipular elementos nombrados por el profesor, por ejemplo: poner una ficha circular

sobre la mesa. • Utilizando un muñeco pequeño, ubicar una ficha triangular a la derecha y una ficha

cuadrada a la izquierda de él. Luego preguntar:

1) ¿Qué objetos están a la derecha del muñeco? 2) ¿Qué objetos están a la izquierda del muñeco?

• Dibujar un árbol a la derecha del pato y una reja a la izquierda de él.


• Seguir la serie de líneas de izquierda a derecha.

• Colorea los niños que llevan la flor en la maño derecha.

• Completar las flechas hacia la derecha o izquierda.

1) Terminar la dirección de las flechas de los dibujos 2) Pintar la foca que está hacia la izquierda


• Pintar, recortar y pegar.

1) Dos aviones en la pista derecha 2) Un avión en la pista izquierda

• Responder preguntas:

3) ¿Con qué mano escribes? 4) ¿Con qué mano cortas un pedazo de papel? 5) ¿Con qué mano coses? 6) ¿Con qué mano comes? 7) ¿Con qué mano te peinas? 8) ¿En qué mano llevas el reloj? 9) ¿En qué mano se usa el anillo de matrimonio? 10) ¿Con qué pie pateas la pelota? 11) ¿A qué lado está el manubrio de los autos?, Etc. 12) ¿Qué compañeros están a tu derecha? 13) ¿Qué compañeros están a tu izquierda?

CLASE 05 d) Sobre-Bajo • Manipular elementos nombrados por el profesor:

1) Ubicar una ficha triangular, sobre la mesa. 2) Poner bajo la ficha triangular, una ficha cuadrada.


• Preguntar:

1) ¿Qué figura está sobre? 2) ¿Qué figura está bajo?

• Realizar ejercicios similares. Formando parejas para que ellos realicen actividades como

las siguientes:

Un niño da instrucciones a su compañero, lo supervisa y una vez finalizada la actividad, le pone una nota. Luego se cambian los roles.


1) Pon un lápiz amarillo sobre el cuaderno 2) Bajo el mismo cuaderno, pon otro cuaderno

e) Delante-Detrás • Sacar 5 niños adelante del curso, y preguntarle al resto del grupo:

1) ¿Quién está delante de Juan?, ¿Quién detrás de Pedro? 2) ¿Quién está delante de Pedro?, ¿Quién detrás de Juan?

• Dentro del curso y los alumnos permaneciendo en el puesto, el profesor pregunta:

1) ¿Quién está delante de Inés? 2) ¿Detrás de Luis?, etc.

• Seguir instrucciones dadas por el profesor:

1) Construir objetos con fichas geométricas y otros materiales 2) Dibujar un auto; delante de él una pelota, detrás de él, un niño

• Siguiendo el ejemplo anterior. Tomar como punto de referencia el automóvil dibujado.


1) Buscar, recortar y pegar dibujos, tanto delante como detrás de él

2) Marcar con una cruz al niño que está detrás del auto

3) Marcar con una cruz la ropa que está delante de la caja

4) Dibujar una manzana delante y una flor detrás de la tortuga.


3.1.3. Nociones Matemáticas A. Noción de correspondencia Esta es una de las nociones básicas en el estudio de las matemáticas. Consiste en el pareamiento de elementos, de dos conjuntos disjuntos que se relacionan y forman un sólo par. A continuación, se da una serie de ejercicios que implican tareas de correspondencia. Materiales:

- Usar materiales manipulables para el niño. Sugerencias de actividades: • Se pide a cada niño, sentarse en su puesto respectivo y luego se pregunta: ¿hay tantos

bancos como niños?, sí o no, ¿por qué? • Cada niño sacará su estuche y dejará dentro, sólo las tijeras. Se preguntará en voz alta,

¿tengo tantos estuches como tijeras?, sí o no, ¿por qué? • Repartir tarjetas a cada uno de los alumnos para que escriban su nombre y el profesor

preguntará en voz alta: ¿hay tantos nombres como niños? • Presentar láminas para establecer correspondencia uno a uno, por ejemplo: un conjunto

de platillo con su taza, lápiz con su goma, etc. • Comparar conjuntos que son correspondientes y equivalentes, como por ejemplo: zapatos

con calcetines.

• Comparar conjuntos que no son equivalentes.


• Unir según corresponda, las estaciones del año con el elemento que las representa.

• Unir según corresponda, los animales con su alimento.

• Realizar ejercicios similares a los anteriores. B. Noción de seriación Esta noción está basada en la comparación y en la noción de transitividad. Por ejemplo, si decimos que Juanito es más alto que Pedrito y Mario es más chico que Pedrito, esto daría como resultado, de más grande a más chico.

Juanito - Pedrito - Mario


O de más chico a más grande:

Mario - Pedrito - Juanito A los alumnos, se les otorgarán dos elementos para que gradualmente comparen estos pares y relacionen adecuadamente dichos elementos. Después de haber desarrollado la noción de transitividad, podrán establecer las relaciones existentes entre un grupo de elementos que brinde el profesor. A continuación, se entrega una serie de ejercicios que implican tareas de seriación. Materiales:

- Utilizar material manipulable por el niño. Sugerencias de Actividades: • Preparar junto con los niños, trozos de madera o plástico de diferentes tamaños. Luego

observar, medir y ordenar de más pequeño a más grande y viceversa.

• Utilizar hilo y canutos de diferentes tamaños. Ensartar los canutos de mayor a menor.

• El niño observará con atención la secuencia de los canutos y verbalizará los tamaños utilizados.

• Los niños marcarán sus manos en cartulina, luego las compararán y ordenarán por tamaños, de mayor a menor y viceversa (también puede realizarse la variable de utilizar los pies).


• Se presentan al niño, una serie de dibujos desordenados y se pide que los ordene, continuando la secuencia temporal.

• Se le presenta una serie de líneas o dibujos al niño, él debe seguir el orden establecido.

• Los niños repetirán en voz alta, siguiendo la serie dada por el profesor:

1) Paloma, Colibrí, Torcaza, Cóndor, Perdiz; Paloma, Colibrí… 2) Rojo, Amarillo, Café, Verde, Azul… 3) Manzana, Pera, Plátano, Kiwi, Frutilla… 4) Pantalón, Zapato, Camisa, Chala, Falda, Bota, Vestido… 5) Flauta, tambor, oso, piano, corneta, perro…

C. Noción de clasificación La actividad de clasificar, consiste en agrupar objetos según una determinada característica, esta noción se presenta precozmente a través de un proceso genético e interno, ya que desde pequeño, el niño manipula elementos de su entorno, con los cuales establece semejanzas y diferencias. Según Piaget, la clasificación se alcanza cuando el niño es capaz de establecer una relación entre el todo y las partes, es decir, establecer relaciones de inclusión (enlace fundamental que une las subclases); por ejemplo: lápices azules y lápices rojos. La cualidad común, es ser lápices (clase), y la diferencia es el color (subclase). Sugerencias de Actividades: • Los niños recolectarán diferentes objetos con distintos colores y tamaños; una vez

agrupados se pueden realizar las siguientes actividades:

1) Formar grupos de objetos parecidos. 2) Colocar nombre a cada conjunto. 3) Preguntar sobre la pertenencia y no pertenencia de algunos elementos a sus

respectivos conjuntos.


4) Organizar con otro criterio, los conjuntos de elementos. • Juntar hojas de distintas formas, tamaños, colores, y pedirle a los niños que agrupen por

la forma u otro criterio; luego se rodeará con cuerda, el conjunto para identificarlo. Después reorganizar los conjuntos nuevamente.

• Confeccionar con los niños, un conjunto de figuras geométricas; cuadrados, rectángulos, círculos y triángulos, cada uno con tamaños y colores distintos. Luego, agrupar las figuras geométricas en diferentes conjuntos, rodeando con cuerdas cada uno.

• Los niños del curso se agruparán según diversos criterios:

1) Color de pelo 2) Color de ojos 3) Altura 4) Edad

• Presentar un conjunto a los niños, y pedirles que encuentren el criterio utilizado. • Observar los dibujos dados por el profesor:


1) Pintar y recortar los dibujos. 2) Agrupar en: niños, niñas, flores, elementos de la atmósfera, etc. 3) Buscar otros criterios a utilizar y formar los conjuntos.

• Observar los dibujos dados por el profesor. Luego:


1) Pintar y recortar la lámina. 2) Agrupar en: gatos, perros, gallina, patos, mamíferos, aves, etc. 3) Buscar otros criterios.

CLASE 06

D. Noción de conservación La noción de conservación, nos permite “saber” que a pesar de sufrir trasformaciones externas o cambios en lo físico, no varía el contenido o esencia de los elementos u objetos con que se trabaja. Esta noción es construida por el niño en “su sistema interno de regulación”, el que le permite compensar las trasformaciones externas que sufren los objetos.

A continuación, se enuncian y desarrollan las siguientes actividades:

- Ejercicios previos - Conservación de longitud - Conservación de cantidad discontinua - Conservación de cantidad continua - Conservación de peso

a) Ejercicios previos: • Utilizar dos porciones iguales de plasticina, greda o masa. Compararla. Luego cambiar

una de ellas, amasándola, volver a comparar. El profesor preguntará ¿cuál de las dos porciones tiene más masa?

b) Conservación de longitud: • Construir junto con dos alumnos, dos torres de 10 cajas de fósforo (10 unidades) de igual

altura. Observar, luego colocar una en la mesa y otra sobre la silla, posteriormente se preguntará: ¿Cuál de las dos es más alta?



• El profesor construirá con palitos de helado, dos líneas sobre la mesa. Las comparará y

después trasformará una en línea quebrada.

Se preguntará: ¿Cuál de las dos líneas es más larga? c) Conservación de cantidad discontinua: • El profesor facilitará dos vasos iguales y una bolsa con objetos pequeños (del mismo

tamaño, por ejemplo porotos). Se colocan los vasos en la mesa y se le pide al niño que vierta simultáneamente en su interior, la misma cantidad de objetos hasta la mitad del vaso.

• Se observa y se comparan ambos vasos, luego se trasvasija un vaso a otro más alto, se les pregunta: ¿dónde hay más porotos?, el profesor puede realizar esta actividad con: semillas, monedas, perlas, botones, etc.

d) Conservación de cantidad continua • El profesor utilizará dos vasos iguales, y dos vasos vacíos de diferentes tamaño y forma.

Luego, vacía agua con color en los vasos iguales. Se observa y se comparan los vasos. Luego se vierte este contenido, a los vasos diferentes y se les pregunta: ¿dónde hay más agua de color?, el profesor puede realizar esta actividad con: arena, sal, sémola, harina, etc.

ANTES DESPUÉS


e) Conservación de peso: • El profesor proporciona una balanza y dos porciones iguales de plasticina. Se realizan los

siguientes pasos:

1) Pesar ambas porciones en la balanza (A), estableciendo igualdad de peso; el niño tendrá conciencia de que ambas porciones, tienen el mismo peso.

2) Realizar trasformaciones físicas (B) (alargar, etc.) en una de las porciones. Luego preguntar al niño ¿habrá la misma cantidad de plasticina en ambas porciones? Después de la respuesta del niño, se contrasta la igualdad de peso en la balanza.

3.1.4. Lenguaje Conjuntista El lenguaje conjuntista, se compone de aquellas palabras utilizadas en un contexto lógico, donde el alumno es capaz de construir, adaptar y modificar las ideas propias y nuevas, en relación a los elementos de un conjunto.

Las ideas usadas serán:

- Universo (el profesor lo definirá) - Pertenece - No pertenece - Vacío (sin elementos) - Subconjunto - Intersección - Unión


- Igualdad - Distinto - Equivalencia - Cardinal

Algunos símbolos y su significado:

: pertenece : existe

: no pertenece : no existe

: está contenido : para todo (o cualquiera que sea)

: no está contenido : conjunto vacío

: contiene N: conjunto dos números naturales

: no contiene Z : conjunto dos números enteros

/ : tal que Q: conjunto dos números racionales

: implica que Q'= I: conjunto de números irracionales

: si, solo si R: conjunto dos números reales

Sugerencias de Actividades: a) Universo • Primero el niño deberá recolectar en una caja de zapatos, elementos pequeños

(pequeñas figuras de sorpresas, animalitos, frutas, etc.). • Luego tendrá que agrupar los objetos según las características en un sólo conjunto, éste

será el universo. • El profesor junto con los alumnos agrupará conjuntos, según propiedades en común.


• Recortar figuras nombradas por el profesor, luego armar conjuntos y pegarlos en el cuaderno.

• Nombrar los elementos del universo. • El profesor leerá un cuento; posteriormente, se les entregará una lámina para recortar y

nombrar el conjunto de personajes del cuento leído, como por ejemplo la caperucita roja. • Efectuar ejercicios similares a los anteriores. b) Pertenencia y no Pertenencia • Formar un círculo con una cuerda sobre la mesa. • Seguir instrucciones dadas por el profesor. Poner en el interior de la cuerda, fichas

cuadradas de distintos colores. El profesor debe constatar que se ha formado un conjunto de fichas cuadradas.

• Establecer relaciones de pertenencia, con ejemplos:

1) ¿Esta ficha cuadrada roja “pertenece” al conjunto de fichas cuadradas? 2) ¿Esta ficha cuadrada naranja “pertenece” al conjunto de fichas?

• Mostrar una ficha que “no pertenece” (ficha redonda, triangular, rectangular, etc.), al

conjunto de fichas cuadradas y hacer la misma pregunta. • A partir del conjunto ropa; mostrar elementos o cosas que:


1) “Pertenezcan” al conjunto de ropa. 2) “No pertenezcan” al conjunto de ropa.

• Recortar elementos o cosas que:

1) “Pertenezcan” al conjunto de las aves. 2) “No pertenezcan” al conjunto de las aves, etc.

• Realizar ejercicios de pertenencia con otros elementos. c) Conjunto Vacío • Dibujar una cuerda que no tenga elementos en su interior. Preguntar a los niños:

¿Cuántos elementos tiene en su interior este conjunto? • Realizar ejercicios similares con otros conjuntos que tengan elementos (comparar). d) Subconjunto • El Profesor mostrará a los niños, un conjunto dado con elementos concretos.

• Responder las afirmaciones:

1) ¿Cómo llamaría a este conjunto? 2) ¿Qué características tienen en común las manzanas y las guindas? (son rojas, tienen

palito y hojas) 3) ¿De acuerdo a las características que encontraste, son iguales que los plátanos? 4) ¿Podrías decir que las manzanas y guindas son un subconjunto, dentro del conjunto de

frutas?

• Realizar ejercicios similares, a nivel gráfico con otros conjuntos y subconjuntos. e) Intersección • Como material de apoyo, se pueden utilizar los bloques lógicos de Dienes. (Bloques en

forma de triángulo, círculo y cuadrado de diferentes colores). También bloques que contengan letras o figuras similares entre sí para que puedan pertenecer a más de un grupo.


Materiales: 5 rojas 2 rojas 3 amarillas 7 amarillas • Se pide al niño reunir en un conjunto A, los , y en un conjunto B, los

realizando la intersección con las figuras amarillas y luego con las rojas. • Formar dos cuerdas sobre la mesa, cada cuerda con dos colores diferentes, los conjuntos

serán C y D.

1) Observar los conjuntos respectivos 2) Enmarcar la zona que contiene elementos que pertenecen a C y que pertenecen a D

respectivamente. Marcar con color rojo.

3) ¿cuáles son los elementos que pertenecen a C y a D? 4) Completar lo siguiente:

C = {2, 4, 6,………..} D = {10,…………..} C…D = { , }

• Realizar ejercicios similares y con más conjuntos, pero partiendo siempre de ejercicios concretos y manipulados por el niño.

f) Unión El profesor debe facilitar conjuntos de materiales pequeños (sorpresas de cumpleaños).

• Formar dos círculos sobre la mesa (se puede utilizar cuerdas para ello).


1) Colocar elementos en cada conjunto, designándoles las letras F y Q para identificarlos

individualmente. 2) Nombrar los elementos de cada conjunto. 3) Juntar los elementos del conjunto F con los elementos del conjunto Q. Se obtendrá un

nuevo conjunto que se designará E; a esta unión de elementos, se le designará “U” 4) Dibujar el nuevo conjunto. 5) El conjunto E, se representará como E = F U Q 6) Cambiar el orden de los conjuntos y formar Q y F. 7) Nombrar cuáles son los elementos de Q U F.

• Propiciar ejercicios similares con más conjuntos.

CLASE 07 g) Equivalencia Es el nombre que reciben los conjuntos que al ser comparados, tienen “la misma cantidad de elementos”. • Realizar las siguientes actividades prácticas.

1) Formar dos conjuntos sobre la mesa (A y B), utilizando cuerdas. 2) Selecciona, 5 elementos para cada conjunto.

3) Asociar el primer elemento del conjunto A, con el primer elemento del conjunto B. Proseguir de igual forma. ¿Qué conjunto tiene más elementos?


4) Responder a estas afirmaciones:

- El conjunto A tiene más elementos que B. - El conjunto B tiene más elementos que A. - ¿Estos conjuntos son equivalentes?; ¿Por qué?

• Realizar ejercicios similares con más conjuntos. h) Igualdad • Realizar la siguiente actividad:

1) Seleccionar elementos para formar un conjunto y pedir a un alumno que le designe un

nombre, “P”, por ejemplo. 2) Pedir a otro niño que designe otro nombre al mismo conjunto, “G”, por ejemplo. 3) Comparar los conjuntos, observar los elementos establecer que P = G. • Realizar ejercicios similares con más conjuntos. i) Desigualdad • Un alumno seleccionará elementos para formar un conjunto R. • Otro alumno seleccionará elementos para formar otro conjunto designado L.

1) Comparar los conjuntos. 2) Observar sus elementos y establecer que R L.

• Realizar ejercicios similares con más conjuntos. • Cada alumno deberá crear 3 actividades para ejercitar la relación de desigualdad, luego

deberán intercambiar entre los compañeros. Se premiará la actividad más creativa.


j) Cardinalidad Se denomina cardinalidad a “la cantidad de elementos que posee un conjunto”. Sugerencias de Actividades: • El niño crea un conjunto denominado «M» con 4 elementos concretos (sorpresas en

miniatura). • Otro niño crea un nuevo conjunto denominado «D» con más elementos que «M».

1) Colocar los conjuntos de izquierda a derecha con sus respectivos elementos. 2) Nombrar en voz alta, cuántos elementos tiene los conjuntos. 3) Contestar las siguientes preguntas:

- ¿Cuántos elementos tiene M? - ¿Cuántos elementos tiene D? - ¿La cardinalidad de M y D, es la misma?

• Realizar ejercicios similares.

3.1.5. Conocimiento y Discriminación de figuras Geométricas Las figuras geométricas, son las formas que el niño encuentra en su medio ambiente y con las cuales interactúa diariamente. Estas formas pueden ser: circulares, triangulares, cuadradas, rectangulares, etc. El niño necesita interactuar constantemente, en forma física con las formas, asimilándolas, reconociéndolas y diferenciándolas adecuadamente. Sugerencias de Actividades: • Recolectar y coleccionar objetos de forma circular, cuadrada, triangular, rectangular, etc. • Identificar formas geométricas en objetos del medio ambiente, como rueda (circular),

ventana (cuadrado), etc. • Identificar por medio del tacto, objetos de diferentes formas geométricas colocadas en

una bolsa. • Confeccionar figuras usando formas geométricas. • Recortar de libros y revistas, dibujos de objetos de formas geométricas como: libros,

pelotas, naranja, etc.



• Copiar las formas geométricas. • Confeccionar pares de tarjetas, dibujando en una de ellas, objetos con formas

geométricas y en la otra, dibujos de la forma que le corresponde.

• Realizar junto a los niños, un dominó de figuras geométricas.


• Realizar comparaciones en forma oral, entre figuras geométricas y objetos, por ejemplo:

- ¿Qué figura geométrica hay en la puerta? - ¿Qué figura geométrica hay en la ventana? - ¿Qué figura geométrica hay en la rueda? - ¿Qué figura geométrica hay en el televisor? - ¿Qué figura geométrica hay en un cuaderno? - ¿Qué figura geométrica hay en un libro? - ¿Qué figura geométrica hay en?......etc.

4. LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO El proceso de enseñanza del número, requiere de una secuencia ordenada de ejercicios que el docente debe programar de tal manera, que el alumno no sólo memorice los numerales, sino también sea capaz de aplicarlos a todos los contextos de la vida diaria.

4.1. Aprendiendo a Contar

El contar una determina cantidad de elementos que posee un conjunto específico, es un proceso cotidiano y permanente en nuestra vida diaria. Toda persona necesita contar, por ejemplo:

- Las cuadras para llegar al colegio. - Los vueltos de las compras. - Los minutos que tardamos en micro para llegar al centro. - Etc.

Objetivo:

- Conocer, asociar número-objeto y la grafía en los dígitos. Materiales:

- Objetos para contar, tales como: tapillas, botones, monedas, semillas, etc.


Sugerencia de actividades: • Manipular elementos formando conjuntos libremente. • Formar conjuntos con la ayuda de un modelo dado por el profesor. • Formar conjuntos con más elementos que en el modelo anterior. • Confeccionar tarjetas de pares, con conjuntos de elementos y sus respectivas

cardinalidades. • Dibujar el número como lo indica una lámina. • Formar conjuntos como lo indique el número.

• Formar conjuntos equivalentes, a partir de un conjunto dado. • Dibujar conjuntos equivalentes. • Dibujar elementos de un conjunto según el número indicado. • Unir pares de láminas con dibujos y números (del 0 al 9 y después aumentando de

acuerdo a las necesidades del niño).


• Formar conjuntos libremente, con hasta 9 elementos. • Formar y dibujar conjuntos con tantos elementos, como se indique al arrojar un dado. • Realizar ejercicios con las palmas (contar). • Contar puertas, cuadras, lápices, platos, etc. • Contar y comparar conjuntos. • Escribir números en el aire. • Marcar o calcar números. • Nombrar los numerales y dibujarlos. • Rellenar números con diferentes texturas, luego cerrar los ojos y descubrir cuál es el

número. • Moldear números con plasticina, masa, greda, arcilla, etc. • Seleccionar números y agrupar elementos, luego, componer y descomponer números

hasta el 9 para luego aumentar la dificultad. • Escribir los números y descomponerlos hasta el 9.


• Contestar preguntas orales:

- ¿Cuántos años tienes? - ¿Cuántos ojos tienes? - ¿Cuántas orejas tienes? - ¿Cuántos dedos tienes en cada mano? - ¿Cuántos pies tienes? - ¿Cuántos botones tienes en tu ropa? - ¿Cuántos zapatos tienes? - ¿Cuántos cuadernos tienes? - ¿Cuántos lápices de colores tienes? - ¿A cuántas cuadras del colegio vives?

CLASE 08

4.2. Aprendiendo a Seriar Consiste en establecer una sistematización de un grupo de objetos, siguiendo un orden o secuencia previamente establecida por el profesor. Materiales:

- Objetos para contar tales como: porotos, tapitas, fósforos, etc. Sugerencias de Actividades: • Colocar y contar elementos en la mesa. Al lado, formar un nuevo conjunto agregando uno

más. Compararlo. • Contar los pasos a seguir para realizar una acción, por ejemplo:

(Sentarse) (Dar una vuelta) (Correr) (Detenerse) 1 2 3 4

Ahora aumentaremos una actividad:

(Sentarse) (Dar una vuelta) (Correr) (Detenerse) (Pararse)

1 2 3 4 5

(Es necesario que queden centrados los números, bajo la palabra)


• Dibujar en la pizarra las acciones que el niño ha realizado.

A : 1 2 3 4 B : 1 2 3 4 5 • Realizar actividades similares a la anterior. • Colocar 5 cajas, en hilera sobra la mesa, ir introduciendo en cada caja, distintas

cantidades de objetos. El profesor realizará preguntas sobre las cantidades en las cajas, como por ejemplo: ¿Cuántos objetos hay en cada caja?

• Ordenar los números.

1) Dibuja la recta numérica, anota y repasa sus números en voz alta. 2) Dibuja la recta numérica en el suelo, da pasos sobre ella y cuenta.

• Completar sucesiones, de 1 en 1, con números del 0 al 20. Por ejemplo. 5 – 6 – 7………….10 – 11 – 12…… 15 –……….18 – 20…..23 – 24…… 8 – 9………14 – 15……………….. • Comparar cantidades de conjuntos. • Ordenar números móviles. • Escribir números al dictado. • Comparar los signos, reconocerlos y dibujarlos: >, < o =. • Escribir el signo adecuado: • Realizar ejercicios orales de mayor, menor e igual que. • Colocar sucesor y antecesor, según corresponda. • Agrupar conjuntos de 10 elementos y combinarlos por decenas. • Escribir las unidades y decenas de los números:

3 ______ 10 20 ______ 19 0 ______ 0 16 ______ 13 9 ______ 0 1 ______ 0 3 ______ 4 3 ______ (4 - 1) 7 ______ 7 (6 + 3) ______ 3 1 ______ 9 (3 + 6) ______ 9

10 ______ 3 (3 + 1) ______ 5 8 ______ 8 4 ______ (7 - 3)


• Completar secuencias numéricas en forma oral, como por ejemplo: ¿Cuál sigue?

4.3. Los Números Ordinales Es importante hacerle saber al niño, que cuando hablamos de números ordinales nos estamos refiriendo a la posición o lugar que ocupa un elemento en un conjunto. Materiales:

- Utilizar objetos manipulables por el niño. Sugerencias de Actividades: • Colocar sobre la mesa una fila de elementos. El profesor preguntará: ¿Cuál de estos

objetos ocupa el quinto lugar?, y así sucesivamente. • Realizar carreras de niños. El profesor preguntará ¿Quién llegó primero?, ¿Quién

segundo, tercero?

Decenas Unidades 13 = 1 3 27 = 2 7 38 = ___ ___ 91 = ___ ___

1, 2 ,3…. 9, 8, 7…. 1, 3, 7…. 2, 4, 6…. 10, 8, 6… 3, 6, 9…. 2, 1, 2, 1… 3, 4, 5, 3, 4, 5…. 4, 3, 2, 1, 4, 3, 2, 1….etc.


• Dar una cantidad de instrucciones a seguir por el niño. Luego preguntarle ¿Cuál de ellas hizo primero?, etc.

• Seguir las instrucciones: observa y pinta de color rojo la tercera figura, y de color amarillo, la última.

• Copiar el abecedario y asignarle un lugar a cada letra.

• Cada niño con la ayuda del abecedario ya visto, realizará mensajes en clave, reemplaza

el número ordinal por la letra que corresponda. Por ejemplo.

• El profesor pedirá al niño que enumere las cosas que:

1) Hace antes de ir a acostarse 2) Hace antes de ir al colegio 3) Hace antes de ir a una fiesta 4) etc.

4.4. Números Cardinales Éstos consisten en el aspecto cuantitativo de un conjunto de objetos, el cual nos muestra cuántos elementos tienen dichos conjuntos.

A B C D E F G H I ... etc. 1º 2º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º ... etc.

2º 5º 3º 1° B ____ ____ ____


Materiales: Utilizar material manipulable por el niño. Sugerencias de Actividades: • Formar conjuntos sobre la mesa. Determinar cuántos elementos tienen los conjuntos. • Asignarle el signo gráfico adecuado. • Dictar una cardinalidad al niño, para que éste dibuje la cantidad solicitada de elementos. • Dibujar conjuntos para que el niño coloque el cardinal respectivo. • Asociar el numeral con el conjunto correspondiente. • Utilizar tarjetas par e impar, para estudiar los elementos del conjunto (éstas se pueden

realizar en cartón, de manera que cada niño tenga un set. Este juego le permite al niño, “caracterizar” la idea de número; además, es muy útil para estudiar y reforzar la adición y sustracción.

• Confeccionar monedas y billetes de papel, como ayuda para componer y descomponer numerales.

• Elegir un número y encontrar todas las agrupaciones aditivas que se puedan realizar con elementos del conjunto.

5. ACTIVIDADES DE OPERATORIA BÁSICA

Dentro de estas actividades, se incluyen las cuatro operaciones de las matemáticas, como son: adición, sustracción, multiplicación y división, las cuales se describen a continuación.


5.1. Suma o Adición Sugerencias de Actividades: • Unir conjuntos finitos disjuntos, formados por elementos concretos. • Nombrar y contar el número de elementos del conjunto unión. • Unir conjuntos formados por elementos gráficos. • Escribir el número de elementos en el conjunto unión. • Resolver adiciones según diagrama de unión de conjuntos, tanto horizontal como

verticalmente. • Graficar la recta numérica, repasarla y resolver ejercicios de adición. • Realizar sumas simples, utilizando el número antecesor de un cardinal determinado (n +

1). Ejemplo: 0+1= 3+1= 1+1= 4+1= 2+1= 5+1= • Junto con el profesor, confeccionar un dominó identificando los números de éste y

efectuando las adiciones correspondientes.

• Realizar las adiciones y pintar.


• Realizar adición y pintar.

• Ejercitar el conteo por unidades, decenas. • Realizar ejercicios de adición de unidades con decenas. • A través de la propiedad conmutativa y asociativa, resolver ejercicios de adición. 2 + 3 = 3 + 2 5 + 2 =………. 8 + 1 =………. 2 + (5 + 1) = (2 + 5) + 1 =……….. • Ejercitar la descomposición y composición de números. 16 = 6 + 10 16 = 7 + 9 2 + 14 = 16 etc. • Realizar adición entre:

- 1 dígito: 4 + 3= - 1 dígito y 2 dígitos: 5+ 21= - 2 dígitos y 1 dígito: 21+ 5= - 2 dígitos + 2 dígitos: 23 + 36= - 1 dígito + 1 dígito + 1 dígito: 3 + 5 + 3= - 1 dígito + 2 dígitos + 1 dígito: 6 + 23 + 3 =

• Luego, seguir sumando sucesivamente, aumentando dígitos. • Realizar juego de adiciones mentales, como por ejemplo: “Juanito, ¿cuánto es 2 + 3?

Responde rápidamente”.


CLASE 09

5.2. Resta o Sustracción

Sugerencia de Actividades: • Realizar ejercicios de resta simples, con la ayuda de conjuntos concretos. • Representar concretamente una sustracción.

5 - 3 = 2

• Realizar la recta numérica; pedir que el niño repase los números, luego realizar restas

simples. (Con números del 0 al 10 y después aumentando la dificultad de acuerdo a las necesidades del niño).

• Reconocer las partes de la resta. • Realizar ejercicios combinados de sustracción de dígitos. • Ejercitar la habilidad de descontar 1 en 1, 2 en 2, 5 en 5, etc.

a) Desde 9 al 0 (1 en 1) b) Desde 100 al 70 (5 en 5) c) Desde 32 al 22 (2 en 2)

• Realizar grupos, ejercitando la habilidad de expresar un número en distintas formas,

usando la sustracción.


• Desarrollar ejercicios de sustracción vertical y horizontal. Comenzar con ejercicios sin reserva.

38 – 5 = 38 44 30 89 100 – 8 = - 5 -11 -10 -17

• Resolver sustracciones, usando tarjetas par-impar, identificar la tarjeta que representa al minuendo. Otra forma de utilizar las tarjetas, es que la 2º tarjeta (sustraendo) se sobrepase, inversa, sobre la primera (minuendo). Esta se sobrepone sobre la primera tarjeta. El resultado son las pelotitas azules.

10 – 8 = 99 – 9 =

• Realizar sustracción y pintar, según el resultado. = 5 = 8 = 6 = 4 34 84 100 9 - 30 - 78 - 95 - 1 • Realizar secuencias, utilizando la sustracción. 10 – 8 – 6………. 12 – 8…………… 25 – 20………….


5.3. Multiplicación Materiales:

- Tarjetas par–impar - Utilizar material contable

Sugerencias de Actividades: • Presentar el signo “X” en tarjetas o material diverso para establecer una presentación

previa a la enseñanza o rehabilitación del concepto. • Manipular elementos concretos, formando conjuntos, como se indica. Ejemplo:

4 x 2 = es decir, 4 veces, grupos de 2

• Formar grupos y aumentar al doble o al triple. • Confeccionar junto con el profesor, tarjetas par impar, para realizar y apoyar ejercicios

anteriores. • Practicar la habilidad de contar agrupando 2, 3, 4 y 5 elementos. • Dibujar el doble, triple y cuádruple de los dibujos dados.


• Colocar el número, según corresponda.

Número Doble Triple Cuádruple

• Realizar multiplicación simple oral, utilizando para ello, las ideas de:

1) Doblar 2) Triplicar 3) Quintuplicar

• Ejercitar las propiedades conmutativas y asociativas de la multiplicación, en ejercicios

diversos. Ejemplo: Conmutativa Asociativa


4 x 2 = 2 x 4; (2 x 3) x 4 = 2 x (3 x 4) 3 x 4 =…….. (8 x 1) x 2 =…………. 6 x 5 =…….. (7 x 5) x 5 =…………. • Realizar la multiplicación desarrollando la operación: 4 x 2 = 2 + 2 + 2 + 2 (4 veces 2) = 8 5 x 6 =…………….. ( ) =….. 9 x 9 =…………….. ( ) =….. • Realizar ejercicios de multiplicación de:

1) 2 cifras por 1 cifra 45 x 3 2) 3 cifras por 1 cifra 164 x 2 3) 2 cifras por 2 cifras 64 x 55

• Utilizar esta notación, para realizar el ejercicio de multiplicación: 35 x 28

240 (8 x 5) 240 (8 x 30) 100 (20 x 5) + 600

• Realizar otros ejercicios:

(20 x 30) 980

9 x 5 8 x 30 18 x 30 15 x 4 20 x 5 16 x 6

También se puede abreviar: 35 x 28

(8 x 35) 280 (20x 35) +700

980


• Aprender las tablas memorísticamente, de la siguiente manera:

Tabla del 2

Tabla del 3

Tabla del 4

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

3 6 9

12 15 18 21 24 27 30

4 8 12 16 20 24 28 32 36 40

5.4. División Materiales: - Usar objetos contables - Utilizar tarjetas par-impar

Sugerencias de Actividades:

• Presentar el signo ( : ) en una tarjeta • Presentar partes de la división • Formar conjuntos, luego agrupar tantos elementos como indica el dividendo • Formar subconjuntos con los elementos que indica el divisor • Contar los subconjuntos formados y recordarlos como el cuociente


• Observar e identificar lo que representa el dividendo. La idea es que acá, el niño verbalice y entregue sus observaciones.

• Ejercitar la habilidad de contar y descontar de: 2 en 2, 3 en 3, 4 en 4, etc. • Realizar diagramas o gráficos de torta: a) La mitad b) La cuarta parte

• Dibujar la mitad y la cuarta parte de cada lámina.


• Colocar el número según corresponda.

Mitad Número Las tres cuartas

partes

4 12 8 6

• Realizar restas sucesivas de un número determinado, para ver los subconjuntos de este

conjunto. Ejemplo: 16: 4 = 16 8 - 4 1 vez - 4 3 veces 12 4 12 4 - 4 2 veces - 4 0 veces 8 0


• Realizar otros ejercicios: 81:9= 64:8= • Realizar divisiones en forma oral, practicar la estimación de resultados (Actividad muy

importante).

CLASE 10

6. ACTIVIDADES DE RAZONAMIENTO MATEMÁTICO Debido a que al niño le cuesta enfrentar los problemas, es necesario que se le guíe en sus primeras incursiones con ayuda y apoyo constante, ya que la resolución de los problemas es una actividad intelectual en que se organizan los datos y se realiza una ordenación de los números y las operaciones, que se relacionan entre sí para obtener un resultado. A continuación, se exponen ejercicios simples para enfrentar los problemas adecuadamente.

Para resolver un problema cualquiera, es necesario determinar:

1) Los datos 2) El esquema general o estrategia a aplicar 3) Operación a utilizar 4) Verificación o comprobación de los resultados

Cada uno de estos pasos, se relaciona secuencialmente para poder llegar a la solución del problema.

6.1. Problemas que se Resuelven Mediante la Suma • Realizar ejercicios con elementos concretos usando expresiones cuantitativas como

agrupar, juntar, agregar, etc. • Completar proposiciones que expresen una situación planteada. • Crear problemas que se resuelvan por medio de una operación (adición). • Según el siguiente enunciado: resolver ejercicios con elementos concretos, usando

expresiones cuantitativas como; sacar, quitar, disminuir, etc. • Identificar situaciones fundamentales:


“Juan tiene 6 lápices y Luisa 3, ¿Cuántos tienen entre los dos?”

1) Graficar

Juan y Luisa

Juan

Luisa

2) Responder las siguientes preguntas:

- ¿Cuántos lápices tiene Juan? - ¿Cuántos lápices tiene Luisa? - ¿Cuántos lápices tienen entre los dos? - ¿Tienen más o menos, que cada uno solo? - ¿Tienes que sumar o restar? - ¿Da lo mismo empezar por sumar los lápices de Juan que de los Luisa? - Sumemos: ¿Cuánto es el resultado?

3) Realizar problemas del mismo tipo, en los que participe el niño.

6.2. Problemas que se Resuelven Mediante la Resta • Buscar el resto • Se busca lo que le falta a una cantidad a igualar (complemento) • Se comparan magnitudes • Según el siguiente enunciado:

“Carlos tiene 10 queques, pero María se come 5 ¿cuántos queques le quedan a Carlos?”


1) Graficar

Tenía

Comió

Quedan

2) Responder las siguientes preguntas.

- ¿Cuántos queques tenía Carlos? - ¿Cuántos queques se comió María? - ¿Quedaron más o menos queques? - ¿Tienes que sumar o restar?

• Realizar ejercicios similares. • Inventar junto con el niño problemas en que se utilice la resta. • Discutir y establecer el orden para realizar la resta.

6.3. Problemas que se Resuelven Mediante la Multiplicación • Se busca el número total de objetos de conjuntos. • Luego se busca el número de combinaciones que se pueden realizar con los elementos

de dos conjuntos. Sugerencia de Actividades: • Realizar ejercicios con elementos concretos, usando expresiones cuantitativas, tales

como: agrupar, aumentar, doblar, triplicar, etc. • Según el siguiente enunciado:

“Valentina tiene cuatro cajas de lápices de colores y cada una tiene seis lápices respectivamente.”

1) Graficar


Cajas Lápices en cada caja

Total lápices

2) Responder las siguientes preguntas.

- ¿Cuántas cajas tiene Valentina? - ¿Cuántos lápices tiene cada caja? - ¿Cuántos lápices tiene en total Valentina? - ¿Qué operación se requiere? - Multipliquemos ¿Cuál es el resultado?

• Inventar ejercicios con situaciones similares.

6.4. Problemas que se Resuelven Mediante la División

Se distinguen perspectivas psicológicas diferentes tales como:

1) División de repartición 2) División por medición

Sugerencia de Actividades: • Crear junto con los niños ejercicios de ambas formas. • Identificar a qué forma, se refieren los problemas planteados por el profesor. • Realizar ejercicios con elementos concretos, usando las expresiones cuantitativas. • Según el siguiente enunciado:

“Enrique tiene 25 tarros de miel. Les reparte a sus 5 hermanos en cantidades iguales, ¿Cuántos tarros le toca a cada hermano?” 1) Graficar


Repartir

Total de tarros

2) Responder las siguientes preguntas:

- ¿Cuántos tarros de miel tiene Enrique? - ¿Cuántos hermanos tiene Enrique? - ¿Tienes que multiplicar o Dividir? - Dividamos ¿Cuál es el resultado?

• Realizar ejercicios similares al anterior.

7. MEDICIÓN La medición está presente, al establecer comparaciones entre objetos, como por ejemplo: “esto es tan largo como”, “éste es más corto que”, etc. Los tamaños de los objetos, se pueden determinar mediante dos procesos: • Contar • Medir La medición, nos da la posibilidad de determinar el tamaño de un conjunto y se expresa mediante un método arbitrario, asignando un número a un objeto o conjunto de objetos. El contar, nos permite establecer los elementos del conjunto.

A continuación, se aclaran algunos conceptos necesarios: • Medición: estimación de la cantidad de longitudes, áreas o volúmenes de líquidos, sólidos

o gases. Ejemplo: algunas unidades de medida son: metro, litro, gramo, hora, etc.

• Magnitud: es todo lo que puede medir. Ejemplo: longitud, superficie, peso, etc.

• Medida de Magnitud: se refiere al número de veces, que está contenida en la magnitud, elegida como una unidad.


Propiedades de la Medida

- La medida del conjunto, debe ser igual a la medida que poseen las partes. - La medida de “nada”, es cero. - La medida de una parte, no es mayor que el todo.

Cabe señalar que para realizar la medición, es necesario contar con una medida estándar para obtener los mismos resultados, con una misma unidad de medida. Actualmente, este sistema métrico es obligatorio en la mayoría de los países, excepto Estados Unidos y algunos países de habla inglesa. El niño en educación básica, pasa por distintas etapas durante su proceso escolar. Al principio de éste, se establecen comparaciones y se identifican las unidades de medición más utilizadas dentro de la vida diaria. Luego, se establece una unión más profunda para determinar equivalencias entre las unidades de magnitud estudiadas. A continuación, se entregará una serie de actividades para adquirir el sistema de medición. Sugerencias de Actividades: • Observar y manipular objetos personales, utilizando elementos sencillos para medirlos,

tales como: fósforos, palitos de helados, lápices, etc. • El profesor y los alumnos, medirán con objetos (fósforos. lápices, gomas) su entorno

natural. • Del ejemplo anterior, comparar las medidas de los elementos:

1) Ordenar objetos de acuerdo a su longitud (mayor a menor / menor a mayor). 2) Mostrar ilustraciones iguales y/o distintas de objetos. El alumno medirá con fósforos u

otro elemento, los diversos dibujos presentados por el profesor. 3) Ordenar láminas de acuerdo a la longitud. 4) Registrar en tablas, los resultados de las medidas hechas, utilizando diversas unidades

no estandarizadas.


TABLA DE MEDICIONES

Elemento Unidad de medida Fósforo P. Helado Pies Porotos

• Utilizar tablas de mediciones:

1) Medir el ancho o largo de lugares del colegio, utilizando pasos u otra medida arbitraria de tipo natural.

2) Medir el ancho o largo de otros lugares, como casa, plaza, cine, hospital, etc. 3) Construir en decímetros una huincha con el papel de envolver. 4) Medir los objetos de su ambiente con un decímetro. 5) Dividir el decímetro en 10 partes iguales (10 centímetros). 6) Comparar el decímetro, con la regla cuidadosamente, observe los milímetros (mm.),

(1cm…10 mm.). 7) Construir un metro con (m, cm., dm…) y medir objetos. 8) Establecer equivalencias con las medidas de longitud (metro, decímetro, centímetro y

milímetro).

• Realizar registros de resultados de las mediciones hechas, como por ejemplo.

TABLA DE MEDICIONES

Elemento Unidad de medida Gramos Kilogramos Centímetros Metros

1) Medir con un cordel; la cintura, el cuello, la cabeza, etc. 2) Transformar las medidas anteriores en centímetros.

• Medir el contorno de objetos dados. • Medir longitudes mayores de un metro.


• Para apoyar la medición de edificios, casas y árboles de gran altura, se recomienda seguir los siguientes pasos:

Por ejemplo: “un árbol”

1) Ubicar al niño junto al árbol. Se le pasará un espejo no muy grande. 2) El niño deberá caminar en sentido contrario al árbol, arrastrando el espejo por el suelo

hasta que logre ver en él la punta del árbol. 3) Luego, con una huincha se debe medir la distancia entre el tronco y el espejo. 4) El resultado será la altura exacta del árbol.

El ejercicio anterior, se puede realizar con los edificios que tienen una gran altura y no es posible medirlos de otra forma, salvo que se consigan los planos del arquitecto.

• Establecer equivalencias entre medidas de longitud. • Identificar en el papel el cm2 y el dm2, como unidades para medir superficies. • Establecer equivalencias entre cm2 – dm2 – m2.

1) Calcular superficies de regiones cuadradas y rectangulares. 2) Expresar el resultado de la medición, utilizando los decimales y centésimos.

• Medir la capacidad de los recipientes, con envases como por ejemplo: 1 bol lleno es igual

a 53 vasos de yogurt etc. • Medir la capacidad de los recipientes, usando el litro, medio litro, cuarto litro, etc. • Comparar la capacidad de los recipientes usados. • Conocer la balanza y sus partes. • Usar adecuadamente la balanza. • Reconocer la balanza como instrumento para medir peso. • Reconocer o identificar el kilogramo y el gramo, como unidades de peso. • Establecer equivalencias entre kilogramos y gramos. • Pesar kilos de diversas cantidades, ya sean continuas o discontinuas, como: harina,

azúcar, porotos, etc. • Medir pesos expresados en kilogramos, medio kilogramo, cuarto kilogramo o su

equivalente en gramos. • Ejercitar la operatoria referente a adición o sustracción de decimales. • Solucionar situaciones problemáticas relacionadas con la medición.


CLASE 11

8. GEOMETRÍA En los primeros años de Educación Básica, existe un déficit en la adquisición de formas geométricas, lo que ha hecho necesario otorgar una mayor dedicación a esta importante área de la Educación Matemática. La matemática explora en el niño, la lógica y la creatividad que están presentes en la vida diaria de éste. Los niños investigan constantemente su ambiente, descubren y experimentan las variadas formas que lo envuelven. El aprendizaje de la geometría, requiere de dos principios fundamentales; por una parte, el desarrollo de las relaciones espaciales, y por otra parte, los conocimientos específicos que implica. Éstos requieren ser atendidos con una metodología adecuada, además de una asesoría constante, ya que son necesarios para el aprendizaje de la geometría. A continuación, se entregará una visión breve con sugerencias metodológicas para el tratamiento de este tema. a) Orígenes de la geometría La geometría ha sido la primera ciencia construida por el hombre, es la única ciencia iniciada a partir de las primitivas técnicas de agrimensura y que se desarrolló en la antigua Grecia. Alcanzó con Euclides (siglo III), una formulación altamente formalizada y deductiva; por ello, los griegos le rendían un verdadero culto, llevándola a tal perfección que la consideraron una ciencia formativa que acostumbraba a hacer razonar al hombre, en honor de la mente humana. Platón el filósofo, hizo escribir encima de las puertas “No entre el que no sea geómetra”. También decía que, “Dios mismo geometriza”, ya que el universo está construido según formas y leyes geométricas. Galileo Galilei escribió, “a este grandísimo libro que continuamente tenemos abierto ante los ojos (habla del universo), no se puede entrar, si antes no se aprende a entender la lengua y a conocer los caracteres en los cuáles está escrito. Este lenguaje es matemático y los caracteres son los triángulos, círculos, etc.”


A principios del siglo III a.C. se fue enriqueciendo el concepto, con la aparición de los trece libros de Euclides, titulados “Elementos de Geometría”. El sistema de Euclides, consta de las nociones primarias y un conjunto de cinco postulados o axiomas. Este gran filósofo y matemático griego, con sus obras, aportó la base de los textos de nuestros días. Más adelante, Lobatscheswkij (Ruso) en 1935, realizó una publicación diferente de Euclides, titulada “Nuevos elementos de Geometría”. En geometría, como en otras áreas, se realizan divisiones como son: euclidianas, no euclidianas. Posteriormente Bolilla, (húngaro) analizó la geometría llamada “Geometría Absoluta”. Cabe señalar, que para comprender, tanto la matemática como la geometría, es necesario e indispensable, el dominio de la geometría euclidiana básica. b) Conceptos geométricos Euclidianos Los cuerpos geométricos, ocupan una cierta parte en el espacio y delimitan el interior y exterior, por medio de una superficie sólida. Están en todo nuestro entorno y en cada figura que nos rodea.

Los cuerpos geométricos son variados y numerosos. Algunos de sus exponentes más conocidos son:


Algunos conceptos básicos son los siguientes: • Arista: en la geometría, es la línea que resulta de la intersección de dos planos.

• Vértice: es el punto de intersección de dos o más aristas. En pocas palabras podríamos

decir que también son las esquinas. • Recta: es una línea formada por infinitos puntos que siguen una misma dirección

horizontal, vertical u oblicua. • Espacio: es un lugar con infinitos puntos. • Punto geométrico: es un punto que tiene una ubicación cualquiera dentro del espacio. • Segmento o trazo: es el subconjunto de la línea recta y está limitado en sus dos

extremos, lo que hace posible el medir su longitud.

• Plano: también es infinito, en él se pueden encontrar infinitos puntos.

• Largo y ancho: son las dos dimensiones que se encuentran dentro de cualquier subconjunto del plano y con ambas se puede calcular el área de una figura.

• Polígono: es la figura geométrica formada por segmentos de recta que se intersectan dejando encerrada una región.

Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse tres dimensiones: largo, ancho y alto. Con éstas, se puede calcular el volumen del mismo cuerpo geométrico. Otros cuerpos son de forma irregular y necesitan otro método para determinar su volumen. Poliedros regulares:

Los poliedros se caracterizan por tener todas sus superficies planas. En cualquier cuerpo poliedro podemos observar tres elementos básicos: caras, aristas y vértices.

Caras, son superficies planas que forman el poliedro; corresponden siempre a polígonos que se intersectan entre sí, separando el interior y exterior del cuerpo. En un polígono encontramos caras basales y caras laterales.

Se llaman caras basales a aquellas superficies que sirven de base al apoyar un cuerpo en un plano. Las caras laterales quedan en dirección oblicua o perpendicular a una cara basal. El número de caras laterales depende del polígono que actúa como base.


Aristas, es el segmento que se forma con la intersección de 2 caras. Hay aristas basales y artistas laterales. Los cuerpos poliedros se clasifican de acuerdo a sus caras basales, en prismas y pirámides. Los prismas tienen dos caras basales congruentes y paralelas, por lo tanto sus caras laterales corresponden a paralelogramos.

Prisma recto Prisma oblicuo

Las caras basales de un prisma corresponden a un polígono; dicho polígono sirve para

nombrarlo. Por ejemplo, si decimos: prisma de base triangular, quiere decir que sus bases son triángulos; en cambio, si nos referimos a prisma de base pentagonal, es que sus bases son pentágonos. Las pirámides tienen una sola cara basal, que puede ser cualquier polígono; y sus caras laterales son siempre triángulos, que tienen un vértice común llamado cúspide. El nombre de la pirámide identifica al polígono base. Por ejemplo, este dibujo muestra una pirámide de base rectangular.


Poliedro Irregular: Estos poliedros tienen diversas formas. Polígono: Figura plana limitada por rectas, tienen tantos vértices como lados. Por ejemplo: el polígono más simple es el triángulo. El hexágono, es un polígono regular de seis lados. Se llama polígono, a la curva cerrada que une los segmentos de la recta del plano. Los segmentos de la recta que forman el polígono, se denominan lados del polígono. El punto de intersección de los lados, se llama vértice del polígono. Los lados y los vértices de un polígono, son subconjuntos del polígono. La unión de la curva o recta simple y su interior, es llamada región del plano. La unión del polígono y su interior, se llaman región poligonal.

Dependiendo de los lados, los polígonos reciben los siguientes nombres:


Nombre

Número de lados

Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono Eneágono Decágono Endecágono Dodecágono

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

CLASE 12

c) Conceptualización de Elementos Básicos La geometría como todas las ciencias, está fundamentada en conceptos primitivos que no se definen según su existencia, sino por sus características; éstos son:

- Punto - Recta - Plano

Algunos conceptos importantes son: • Segmento: porción de recta comprendida entre dos de sus puntos. Uno de ellos es el

origen del segmento y otro es el extremo del segmento.

• Semirrecta: porción de recta comprendida entre un punto cualquiera de la recta y el infinito.

• Ángulo: es el conjunto de puntos formados por dos rayos que tienen un origen común llamado vértice. Los ángulos son escritos por las letras minúsculas del alfabeto griego, éstas son: alpha, beta, gamma, delta, épsilón, zeta.

A continuación, se presentan algunas actividades para el desarrollo e la geometría.


Objetivos: Dadas las instrucciones y el material, el alumno deberá:

- Reconocer cuerpos geométricos - Reconocer cuerpos poliedros y cuerpos redondos - Reconocer y construir polígonos

Materiales:

- Usar materiales manipulables como plasticina, macilla, greda, etc. - Usar materiales de desecho, trozos de madera, cajas vacías, frascos, botellas, etc.

Sugerencias de Actividades: • Identificar dentro de la sala o casa, los objetos que sean cuerpos geométricos. • Recolectar y seleccionar objetos de desecho para construir: robot, payasos, casas, autos,

etc. • Realizar una exposición con todos los objetos construidos. • Asociar cuerpos geométricos a objetos del medio ambiente del niño. • Realizar figuras geométricas con materiales manipulables como: plasticina, masa, greda u

otro material. Éstas, más una tarjeta que identifique a cada una, definiéndola, también participa en la exposición.

• Con ayuda de los padres o profesores, realizar los cuerpos geométricos con madera. • Verbalizar lo realizado en el ejercicio anterior. • Entregar una caja que contenga cuerpos geométricos, con poliedros regulares y cuerpos

redondos. El alumno los deberá clasificar, dependiendo de sus características. • Describir los cuerpos geométricos utilizados anteriormente. • Nominar los cuerpos geométricos. • Juntar los cuerpos geométricos anteriores y formar una figura. • Observar el grupo de poliedros y realizar el siguiente trabajo. • Describir verbalmente cada uno de los poliedros:

1) Identificar su nombre. 2) Identificar sus partes. 3) Colocar una venda en los ojos de cualquier alumno y mediante el tacto, preguntarle de

qué figura se trata. • Observar el grupo de los cuerpos redondos y realizar el siguiente trabajo:

1) Observar con atención los modelos redondos. 2) Identificar la cara curva de los cuerpos geométricos. 3) Nominar los cuerpos geométricos.


4) Dibujar los cuerpos geométricos. • Confeccionar los cinco poliedros regulares y realizar las siguientes actividades:

1) Palpar figuras y describir verbalmente. 2) Contar las caras de los cuerpos geométricos. 3) Ordenar los cuerpos geométricos según el número de caras, de mayor a menor o

viceversa. 4) Observar atentamente los cuerpos geométricos y encontrar el vértice, y las aristas

existentes en él. 5) Nombrar a qué grupo de poliedros (regular o irregular) pertenecen los cuerpos.

• Armar un cubo del conjunto de figuras, marcando las partes que son necesarias para

armar este objeto. • Forma un polígono con la ayuda de cuerdas y figuras. Luego dibújalo en tu cuaderno. • Identificar regiones cuadradas, rectangulares, circulares y triangulares que se encuentren

en el medio ambiente. • Identificar regiones cuadradas, rectangulares y circulares en representaciones gráficas. • Dibujar polígonos con reglas. • Identificar los polígonos en un conjunto de figuras dadas.

9. ACTIVIDADES DE TRATAMIENTO A continuación, se presenta una serie de sugerencias de actividades que tienen la finalidad de ayudar en la reeducación de las dificultades o alteraciones en las matemáticas. Estas actividades pueden ser llevadas a cabo tanto por el psicopedagogo y profesores como por la propia familia.

Es necesario señalar que su finalidad no está dirigida a lograr una mejoría inmediata; conlleva un proceso lento, donde sin embargo, si se tiene especial cuidado en su aprovechamiento, dichas actividades pueden llegar a facilitar en gran medida el aprendizaje de los niños y niñas, en lo que respecta a sus dificultades. a) Actividades con fichas de dominó

Éstas pueden ser un excelente recurso didáctico para el aprendizaje de los niños; tienen una gran utilidad en las sumas y restas porque van creando imágenes visuales muy apropiadas para los estudiantes. A continuación, entregaremos una serie de actividades que usted puede utilizar para mejorar y afianzar los aprendizajes en los niños con problemas en matemáticas:


• Serpientes: se reparten las fichas del dominó; un niño sale por la blanca doble. Los demás, por turno, han de continuar colocando fichas a uno y otro lado, de tal modo que al final de una coincida con el inicio de la siguiente.

• Memoria de fichas: enseñar brevemente una ficha y pedir al niño que la identifique

por su forma. En la realización del ejercicio, interviene la memoria inmediata y el reconocimiento visual de números.

• Reconocimiento de números: dar una ficha cualquiera y que el niño identifique los

números de cada una de las mitades, así como el que completan entre las dos. Implica el reconocimiento mediante formas nemotécnicas de los primeros dígitos, activa el aprendizaje para iniciar el alumno y favorece su automatización por su fuerte incidencia nemotécnica.

• Buscar fichas: que su suma sea siempre superior a la que precede. El ejercicio

implica la habilidad para contar y el reconocimiento nemotécnico del número; de la misma forma favorece el aprendizaje y automatización de sumas sencillas.

b) Asociación número-imagen

Otro recurso didáctico que es muy útil, es que los niños aprendan a asociar el número

con determinadas imágenes, por ejemplo:

- Con la nariz (1 nariz) - Con los ojos (2 ojos) - Con las hojas de un trébol (3 hojas) - Con las patas de un animal (4 patas) - Con los dedos de la mano (5 dedos) - Con una media docena de huevos (6 huevos) - Con los siete enanitos (7 enanos) - Con las ocho puntas de la rosa de los vientos (8 puntas) - Con una bandada de aves (9 aves) - Con los diez dedos de la mano (10 dedos)

c) Resolver problemas

Otra buena actividad, es plantear dentro de la clase, problemas sencillos que se

desarrollarán como preguntas directas. Ejemplos:

• En un bote hay un lápiz. Si meten otro lápiz al bote, ¿cuántos habrá? • En un patio estaban jugando Andrés y Pedro. Andrés se va a su sala, ¿quién queda

en el patio?


• Luis y Julia están pintando un mural, Ana se une a ellos para ayudarles, ¿cuántos niños hay pintando el mural?

• En un estacionamiento hay dos buses, luego llegan 3 autos y después 4 camiones, ¿cuántos vehículos hay en total?

d) La sala de clases

Otra actividad propuesta podría ser la siguiente: las propias mesas en las que están distribuidos los estudiantes pueden ser la base de sencillas operaciones aritméticas; sobre ellas girarán algunos ejercicios.

• Contarse los niños en cada mesa. • ¿Todas las mesas tienen el mismo número de niños? • Clasificar las mesas por él número de niños. • ¿Qué mesa es la que tiene más alumnos?, ¿Y la que tiene menos? • Situar a los alumnos de una mesa en el centro de la clase y luego:

- Contarse - Descomponer el grupo (tres niños y dos niñas, cuatro con pelo oscuro y uno de

pelo rubio, tres con camisa y dos con chaqueta. - Descomponer el número en todas sus posibilidades, sin atender a ninguna

clasificación: 1+4, 2+3, 3+2, 4+1.

• Unir dos mesas y averiguar cuantos niños la forman. • Elegir dos mesas y averiguar cual de ellas tiene más alumnos. • Averiguar los niños que han faltado, sumando las ausencias de todas las mesas.

e) Palillos y piedras

Una actividad interesante, es la utilización de palillos y piedras como recursos didácticos sin embargo, a pesar de que en el primer momento ambos recursos tienen un mismo valor didáctico son preferibles los palillos, cuando las cifras superan la decena para su mejor manipulación y posibilidades didácticas. En pequeñas cantidades, tanto los palillos como las piedras pueden ser utilizados indistintamente. Los ejercicios pueden estar resumidos en los siguientes:

• Hacer dos montoncitos de piedras. Decir en cuál de ellos hay más o menos. Contarlos y autocomprobar.

• Hacer dos montones de palillos. Contarlos. Apuntar las cantidades. Juntarlos todos y volver a enumerarlos. Escribir la cantidad resultante. Posteriormente realizar la operación aritmética.

• Formar dos montones diferentes de piedras. Colocar el grande en un lugar más alejado del sujeto y el más pequeño junto al niño. Contar ambos conjuntos y escribir


las cantidades una debajo de la otra. A continuación ir sacando las piedras de una y otra fila, al tiempo que se retiran, hasta concluir con las piedras del conjunto inferior. Enumerar las piedras sobrantes. Efectuar a continuación la operación de aritmética.

• Formar series ascendentes o descendentes que vayan aumentando de uno en uno, de dos en dos, etc.

• Descomponer un número cualquiera en todas las combinaciones posibles. Representarlo gráficamente o mediante una expresión aritmética.

f) Actividades para la clasificación

• Agrupar en dos montones los elementos de los siguientes conjuntos como:

- Botones con las mismas características, excepto color (dos colores). - Juguetes de dos tipos (con ruedas, sin ruedas, de plástico, de madera, etc.).

• Objetos que el niño conoce el nombre y que les conoce el nombre • Objetos que flotan y no flotan en el agua • Objetos ásperos y lisos • Objetos de dos tamaños (longitud, área y volumen) • Objetos pesados y livianos • Objetos de dos formas diferentes

g) Actividades para la seriación

• Comparar dos palitos de diferente largo y establecer cuál de ellos es más corto. • Comparar dos esferas de plasticina, del mismo tamaño y de diferente peso, y

establecer cuál pesa más o cuál pesa menos. • Colocar dos objetos no familiares en una bolsa, palpar sin mirar y comparar para

establecer diferencias entre ellos. • Ordenar un material que no posea una propiedad obvia. Por ejemplo: círculos

pintados de un color, pero con intensidad decreciente (propiedad cualitativa). • Colocar cuatro objetos de diferente valor pero de una misma magnitud, ordenados

en forma lineal. Dar al niño objetos del mismo tipo y pedir que los ordene en círculo o invirtiendo el orden, etc.

• Ordenar envases que contengan agua o arena de modo que el primero sea el que contiene más, el siguiente un poco menos, hasta el último que no contiene agua o arena.

• Ordenar tarjetas con ilustraciones de hechos con acciones sucesivas. h) Actividades para trabajar con estudiantes discalcúlicos

• Anime a los estudiantes a “visualizar” los problemas de matemáticas y déles tiempo suficiente para ello mismo.


• Haga que el estudiante lea problemas en voz alta y escuche con mucha atención. A menudo, las dificultades surgen debido a que una persona discalcúlica no comprende bien los problemas de matemáticas.

• Dé ejemplos e intente relacionar los problemas a situaciones de la vida real. • Proporcione hojas de trabajo que no tengan amontonamiento visual. • Los estudiantes discalcúlicos deben invertir tiempo extra en la memorización de

hechos matemáticos. La repetición es muy importante. Use ritmo o música para ayudar con la memorización.

• Permita al estudiante hacer el examen de manera personalizada en presencia del maestro.

• No regañe al estudiante ni le tenga lástima. Pórtese con él como con cualquiera otra persona.

• Vivencie con el cuerpo y con los objetos. • Aplicar actividades variadas multisensoriales. • Favorecer la ejecución y verbalización simultánea. • Aplicación en forma práctica y en diferentes niveles (concreto, gráfico). • Sondear el nivel semántico (vocabulario). • Procurar conocer capacidades, diferencias y estilos de aprendizaje. • Tener en cuenta algunas variables en los estilos de aprendizaje. • Intervenir por las características de las actividades en:

- Motivación: por su ritmo de aprendizaje y ejecución, por los refuerzos elegidos. - Autocorrección: por lo que se le dice, por lo que él cree. - Fatiga: por la duración de la actividad, por el momento del día, por la constancia

del que aprende.

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