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Laboratorio de física experimental IMomento de inercia

PRACTICA DE LABORATORIO N° 5

MOMENTO DE INERCIA

I. OBJETIVOS

Determinar experimentalmente el momento de inercia de los sólidos de diversas

geometrías

Determinar los errores teóricos-experimentales

II. FUNDAMENTO TEÓRICO

MOMENTO DE INERCIA

La inercia rotacional es una medida de la oposición que ofrece un cuerpo al cambio de su

estado de movimiento rotacional, el momento de inercia depende de la masa del cuerpo de

su geometría y la distribución de las masas del mismo.

El momento de inercia de un objeto depende de sus masas y de la distribución de su mas en

general, cuanto mas compacto en el objeto, menor en su momento de inercia.

MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE MASAS PUNTUALES

Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia del mismo se

define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la

distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:

Una varilla delgada de 1 m de longitud tiene una masa despreciable. Se colocan 5 masas de

1 kg cada una, situadas a 0.0, 0.25, 0.50, 0.75, y 1.0 m de uno de los extremos. Calcular el

momento de inercia del sistema respecto de un eje perpendicular a la varilla que pasa a

través de

Un extremo

De la segunda masa

Del centro de masa

UNIVERIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO E.P. INGENIERIA DE MINAS

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El momento de inercia respecto a un eje perpendicular a la

varilla y que pasa por la primera partícula es

IA=1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752+1·12=1.875 kgm2


varilla y que pasa por la segunda partícula es

IB=1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52+1·0.752=0.9375 kgm2


varilla y que pasa por la tercera partícula (centro de masas)

es

IC=1·0.52+1·0.252+1·02+1·0.252+1·0.52=0.625 kgm2

En vez de calcular de forma directa los momentos de inercia, podemos calcularlos de

forma indirecta empleando el teorema de Steiner. Conocido IC podemos calcular IA e IB,

sabiendo las distancias entre los ejes paralelos AC=0.5 m y BC=0.25 m.

La fórmula que tenemos que aplicar es

I=IC+Md2

IC es el momento de inercia del sistema respecto de un eje que pasa por el centro de

masa

I es el momento de inercia respecto de un eje paralelo al anterior

M es la masa total del sistema

d es la distancia entre los dos ejes paralelos.

IA=IC+5·0.52=0.625+1.25=1.875 kgm2.

IB=IC+5·0.252=0.625+0.3125=0.9375 kgm2.


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MOMENTO DE INERCIA DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE MASA

Pasamos de una distribución de masas puntuales a una distribución continua de masa. La

fórmula que tenemos que aplicar es

dm es un elemento de masa situado a una distancia x del eje de rotación

Resolveremos varios ejemplos divididos en dos categorías

Aplicación directa del concepto de momento de inercia

Partiendo del momento de inercia de un cuerpo conocido

Momento de inercia de una varilla

Vamos a calcular el momento de inercia de una varilla

de masa M y longitud L respecto de un eje

perpendicular a la varilla que pasa por el centro de

masas.

La masa dm del elemento de longitud de la varilla comprendido entre x y x+dx es

El momento de inercia de la varilla es

Aplicando el teorema de Steiner, podemos calcular el

momento de inercia de la varilla respecto de un eje

perpendicular a la misma que pasa por uno de sus

extremos.


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Momento de inercia de un disco

Vamos a calcular el momento de inercia de un disco de masa M y radio R respecto de un

eje perpendicular al plano del disco y que pasa por su centro.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es un anillo de

radio x y de anchura dx. Si recortamos el anillo y lo extendemos, se convierte en un

rectángulo de longitud 2x y anchura dx, cuya masa es

El momento de inercia del disco es

Momento de inercia de un cilindro

Vamos a calcular el momento de inercia de un cilindro de masa M, radio R y longitud L

respecto de su eje.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El elemento es una capa

cilíndrica cuyo radio interior es x, exterior x+dx, y de longitud L, tal como se muestra en la

figura. La masa dm que contiene esta capa es


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El momento de inercia del cilindro e

Momento de inercia de una placa rectangular

Vamos a calcular el momento de inercia de una placa rectangular

delgada de masa M de lados a y b respecto del eje que pasa por la

placa.

Tomamos un elemento de masa que dista x del eje de rotación. El

elemento es un rectángulo de longitud a de anchura dx. La masa

de este rectángulo es

El momento de inercia de la placa rectangular es

Momento de inercia de una esfera

Vamos a calcular el momento de inercia de una esfera de masa M y radio R respecto de

uno de sus diámetros


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Dividimos la esfera en discos de radio x y de espesor dz. El momento de inercia de cada

uno de los discos elementales es

La masa de cada uno de los discos es

El momento de inercia de la esfera, es la suma de los momentos de inercia de todos los

discos elementales.

Para resolver la integral tenemos que relacionar la variable x con la z. Como vemos en la

figura x2+z2=R2


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TEOREMA DE STEINER O TEOREMA DE LOS EJES PARALELOS

El teorema de Steiner (denominado en honor de Jakob Steiner) establece que el momento

de inercia con respecto a cualquier eje paralelo a un eje que pasa por el centro de masa, es

igual al momento de inercia con respecto al eje que pasa por el centro de masa más el

producto de la masa por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes:

dónde: Ieje es el momento de inercia respecto al eje que no pasa por el centro de masa;

I(CM)eje es el momento de inercia para un eje paralelo al anterior que pasa por el centro de

masa; M (Masa Total) y h (Distancia entre los dos ejes paralelos considerados).

La demostración de este teorema resulta inmediata si se considera la descomposición de

coordenadas relativa al centro de masas C inmediata:

donde el segundo término es nulo puesto que la distancia vectorial promedio de masa en

torno al centro de masa es nula, por la propia definición de centro de masa. El centro de

gravedad y el centro de masa pueden no ser coincidentes, dado que el centro de masa sólo

depende de la geometría del cuerpo, en cambio, el centro de gravedad depende del campo

gravitacional en el que está inmerso dicho cuerpo.

III. EQUIPOS Y MATERIALES

Computadora personal

Sensor de movimiento rotacional (CI-6538)

Set de masas (ME-8967)

Accesorio adaptador de base rotacional (CI-6690)

Sistema rotacional completo(ME-8990)

2.0 m de hilo negro

Balanza analógica


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Regla de nivel

Vernier

CALIBRADOR VERNIER O PIE DE REY

El calibre, también denominado cartabón de corredera o pie de rey, es un instrumento

para medir dimensiones de objetos relativamente pequeños, desde centímetros hasta

fracciones de milímetros (1/10de milímetro, 1/20 de milímetro, 1/50 de milímetro).

En la escala de las pulgadas tiene divisiones equivalentes a 1/16 de pulgada, y, en su

nonio, de 1/128 de pulgadas.

Consta de una "regla" con una escuadra en un extremo, sobre la cual se desliza otra

destinada a indicar la medida en una escala. Permite apreciar longitudes de 1/10, 1/20 y

1/50 de milímetro utilizando el nonio.

Mediante piezas especiales en la parte superior y en su extremo, permite medir

dimensiones internas y profundidades.

Posee dos escalas: la inferior milimétrica y la superior en pulgadas.

Tipos de medidas

Mediante piezas especiales colocadas en la parte móvil, en la parte superior y en su

extremo, el calibre permite realizar tres tipos de medidas:

Medidas exteriores


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Medidas interiores

Profundidades

Historia

Pedro Nunes, conocido también por su nombre latino como Petrus Nonius (Alcácer do

Sal, Portugal, 1492 - Coimbra, 1577), matemático, astrónomo y geógrafo portugués, del

siglo XVI. Inventó en 1514 el nonio, un dispositivo de medida de longitudes que

permitía, con la ayuda de un astrolabio, medir fracciones de grado de ángulos, no

indicadas en la escala de los instrumentos.

Pierre Vernier (Ornans, 1580 - Ornans, 1637) matemático francés, es conocido por la

invención en 1631 de la escala vernier para medir longitudes con gran precisión y basado

en el de Pedro Nunes.

Dada la primera invención de Pedro Nunes (1514) y el posterior desarrollo de Pierre

Vernier (1631), en la actualidad esta escala se suele denominar como nonio o vernier,

siendo empleado uno u otro termino en distintos ambientes, en la rama técnica industrial

suele ser más utilizado nonio.

Por lo tanto se puede atribuir el invento del calibre pie de rey tanto a Pedro Nunes

como a Pierre Vernier.

Partes de un pie de rey

1. Mordazas para medidas exteriores (Outside jaws: used to measure external length).

2. Mordazas para medidas interiores (Inside jaws: used to measure internal length).

3. Coliza para medida de profundidades (Depth probe: used to measure depth).

4. Escala con divisiones en centímetros y milímetros (Main scale, cm).

5. Escala con divisiones en pulgadas y fracciones de pulgada (Main scale, inch).

6. Nonio para la lectura de las fracciones de milímetros en que esté dividido (Nonio,

cm).


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7. Nonio para la lectura de las fracciones de pulgada en que esté dividido (Nonio, inch).

8. Botón de deslizamiento y freno (Retainer: used to block/release movable part).

Aplicación

Calibre de precisión utilizado en mecánica por lo general, que se emplea para la medición

de piezas que deben ser fabricadas con la tolerancia mínima posible. Las medidas que toma

pueden ser las de exteriores, interiores y de profundidad.

Lecturas:

Existen en el mercado calibres de pie de rey de tres tipos, los de lectura grabada directa,

los de lectura con reloj analógico y los de lectura digital.

Tipos especiales:

Existen diversas formas de calibres pie de rey en el mercado, según sea la utilización que

se le tenga que dar, las longitudes de las patas y de la regla son especiales y de grandes

longitudes, (hasta 2000 mm de regla y 200 mm de patas) en la siguiente lista están los

más habituales:

Con patas en escuadras hacia el interior o hacia el exterior.

Con la pata de la regla escalada cilíndrica.

Con las patas paralelas largas y estrechas.

Con la pata de la regla escalada desplazable.

Con puntas en la escuadra hacia el exterior.

Para trazar.

Con reloj e indicador de precisión constantes.

Con partas terminadas en punta o puntas cónicas.

Calibre para zurdos.

Con la pata de la corredera, girable o inclinable.

Tornero normal y de patas largas (no el tornero).

Para medición de 3 y 5 labios, que se utiliza para la medición de fresas,

escariadores, brocas y ejes de cuñas por ejemplo.

Con patas intercambiables.


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Para controlar los discos de freno de los vehículos.

Para pedidas de ranuras.

IV. PROCEDIMIENTO Y ACTIVIDADES

a. Encienda el computador, ingrese al data studio e instale el sensor de la

rotación y apertura los graficos de aceleración angular y anate el las tablas

correspondientes.

MASAS(gr) LONGITUD(cm)

Masa eje rodante 250 Radio del eje solo 0.65

Masa de plataforma de aluminio 585 Radio del disco 11.40

Masa de disco 1444 Radio interno del cilindro hueco R1 5.37

Masa del cilindro hueco 1427 Radio externo del cilindro hueco R2 6.39

Masa del elemento puntual 272 Longitud de la varilla 24.00

Diametro de la polea(m) 5.23x10-2 otras variables -

b. Instale el equipo de acuerdo a la figura

PRIMERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL EJE ROTANTE)

EVENTO Aceleracion angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento

respecto al centro de giro(cm)

1 0.29 55 65

2 0.32 60 65

3 0.44 65 65

SEGUNDA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DE LA VARILLA Y EJE ROTANTE)

EVENTO Aceleración angular( α) Masa aplicada(gr)Distancia del elemento


1 0.29 55 24

2 0.32 60 24

3 0.44 65 24

TERCERA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DE LA MASA PUNTUAL, VARILA Y EJE ROTANTE)


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1 0.16 55 20

2 0.20 60 20

3 0.20 65 20

CUARTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL DISCO Y EJE ROTANTE)



1 0.43 55 11.4

2 0.60 60 11.4

3 0.83 65 11.4

QUINTA ACTIVIDAD (MOMENTO DE INERCIA DEL CILINDRO HUECO DISCO Y EJE ROTANTE)



1 0.37 55 6.39

2 0.66 60 6.39

3 1.04 65 6.39

V. CUESTIONARIO

1. Determine el momento de inercia teórico para cada elemento empleado

2. Determine el momento de inercia experimental para el eje solo para cada

evento y estime el promedio aritmético como resultado final.

3. Determine el momento de inercia experimental de la varilla para cada

evento y estime el promedio aritmético como resultado final.

4. Determine el momento de inercia experimental de la masa puntual y estime

el promedio aritmético como resultado final.

5. Determine el momento de inercia experimental del disco y estime el

promedio aritmético como resultado final.


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6. Determine el momento de inercia experimental del cilindro hueco y estime

el promedio aritmético como resultado final.

7. Calcule el error relativo porcentual de los resultados de inercia para cada

elemento con los resultados experimentales de las preguntas 2, 3, 4, 5, 6 y el

teórico calculando en la pregunta 1.

8. Aplicando el razonamiento similar al aplicado para el caso del cilindro y el

disco calcule el momento de inercia de la placa rectangular delgada de la

masa M de lados a y b respecto al eje que pasa por la placa.

9. ¿Cuál es la di9ferencia entre la aceleración angular, tangencial y la

aceleración lineal?

10. Simule el experimento realizado, empleando el software interactivee

physics 5.0 y adjunte el grafico como prueba de ello, asumiendo los datos

tomados en laboratorio.


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VI. CONCLUSIONES

Este trabajo ayudó a entender mejor la ley de la inercia, en todos los aspectos; también a aplicar lo aprendido de velocidad angular y momento angular.

Además nos ayudó a comprender mejor que son las fuerzas de inercia o momento de inercia, para su posterior estudio y comprensión ya que es parte fundamental del estudio de la física.

También comprendimos y entendimos mejor el comportamiento de las fuerzas de inercia en los ejemplos prácticos donde nos muestra que con diferentes materiales y formas físicas tienes menor o mayor velocidad, ya sea en el momento del disco, el cilindro o una masa puntual.

VII. BIBLIOGRAFIA

-(Física, Serway, Raymond A, edit. Interamericana, México (1985).

-(Física, Resnick, Robert; Holliday, David; Krane, Kenneth S, edit. CECSA) (1993)

-(Física I, Mecánica, Alonso, M y Finn E. J., Edit. Fondo Educativo Interamericano)

-http://www.monografias.com/trabajos98/momento-inercia-y-conservacion-del-momento-angular/momento-inercia-y-conservacion-del-momento-angular.shtml#ixzz389p15uZ7


http://www.monografias.com/trabajos98/momento-inercia-y-conservacion-del-momento-angular/momento-inercia-y-conservacion-del-momento-angular.shtml#ixzz389p15uZ7



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