SEP SEIT DGIT

CENTRO NACIONAL DE INVESTIGACI~N Y DESARROLLO TECNOL~GICO

cenidet “ESTUDIO DE DIFERENTES MODELOS DE

TURBULENCIA IC - E PARA APLICACIÓN EN

PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR

T E s , I S QUE PARA OBTENER EL GRADO DE

MAESTRO EN CIENCIAS

EN INGENIERÍA MECÁNIC A P R E S E N T A:

ING. FELIPE NOH PAT

Directores de Tesis:

DRA. GABRIELA DEL SOCORRO ÁLVAREZ GARC~A

DR. LEONEL LIRA CORTÉS DR. JESÚS PERFECTO XAMÁN VILLASENOR

“““I CENIDET (CENIDET) /?NTRO DE INFOWCION

0 4 - 0 9 2 6 CUERNAVACA, MORELOS DICIEMBRE DE 2004

cenidet! Centro Nacional de Investigación

y Desanullo iecnoi¿yica

M10 ACEPTACI~N DEL DOCUMENTO DE TESIS

cilemavaca, Mor., a 26 de noviembre del 2004 P . C. M.C. CLAUDIA COR& GARCÍA

presente. Jefe del departamento de Ing. Mecánica . .

At'n C. Dr. Enrique S. GutiérreZ Wing. Presidente de la Academia de hg M M c a % - .- - , .

- I -

Nos es grato comunicarie, que conforme a los lineamientos p a la obtención del grado de Maestro en Ciencias de este Centro, y después de haber sometido a revisión d é m i c a la tesis titulada:"'ESTüDIO DE

TRANSFERENCIA DE CALOR"", realízada por el C. Felipe Noh Pat, y dirigida por Dra Gabnela Almez Gar& Dr. Leone1 Lira Cortés y Dr. Jesús P. Xamh Villaseñor y habiendo realizado las Correcciones que le fueron indicadas, acordamos ACEPTAR el dccumento final de tesis, así mismo le solicitamos tenga a bien extender el correspondente oficio de autorización de impresión

DIFERENTES MODELOS DE TURBULENCIA K - E PARA APLICACI~N EN PROBLEMAS DE

Atentamente La Comisión de Revisión de Tesis

. .

i . t c. . -- Dr. Gustavo Uquiza BeIIdn, ' _, Nombreyfinna . i. :.. N o m b r e y h a

Dm Sara Lilia oya Acosta

I , Revisor '-

= Y Revisor Revisor - . ..-

C.C.P. subdirección Aeadhica Lkp&amento de SaMcios Exolares Diredores de mis

Estudiante .,

PROLONGACIÓN AV. PALMlRA ESQ. APATZINGAN. COL PAiMlRA , A.P. 5 1 6 4 , CP. 62490. CUERNAVACA. MOR. - MEXICO TELSIFAX: ( 777 )3140637y3127613

.. .- -, . Y DESARROLLO

TECNOLOGICO DEPARTAMENTO DE

ING. MECANICA c c p SubdireCeión Académica Presidente de la Academia de ing Mecánica Depariamffno de SeMciosExolares EXpedierde

PROLONGACIÓN AV. PALMIRA ESQ. APATZINGAN. COL PALMIRA, A.P. 5164 . CP. 62490, CUERNAVACA. MOR. - MEXICO TELSIFAX: (777) 314 0637 y 312 7613

cenidet Cenlru Nacional de Invesiigaci3n

y Desamllo Tecml6gko xl fyunuuLC?TLXCU.CUE i"nmíx%K4

M11 AUTORIZACI~N DE IMPRESI~N DE TESIS

Cuemavaca, Mor., a 29 de noviembre del 2004

C. FELPE NOH PAT Candidato ai grado de Maem en Ciencias en Ingenieria Mecánica Presente.

Después de haber atendido las indicaciones sugeridas por la Comisión Revisora de la Academia de Ingeniería Mecánica, en relaci6n a su trabajo de tesis cuyo tiido es: '%STUDIO DE DIFERENTES MODELOS DE

CALOR", me es gato comunicarle que conforme a los lineamientos establecidos para la obtención del grado de Maestro en Ciencias en este centro se le concede la autorizaci6n p a que proceda con la impresión de su tesis.

TURBULENCIA 6 - E PARA APLICACI~N EN PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE

Atentamente A#

C. M.C. Claudia $ 0 ~ ~ m í a Jeh del Departamento de Ing. Mecánica

c.c.p. Subdll-ección Académica Presidente de la Academia de Ing. MecáiEca Depaitamento de Wcios Emlam E>rpediellk

S. E. P. CENTRO NACIONAL D6i

INVESTIGACION Y DESARROLLO

TECNOLOGICO DEPARTAMENTO DE

ING. MECANICA

PROiONGACldN AV. PALMIRA ESQ. APATZINGhN, COL P A M l R A , A.P. 5164, CP. 62490, CUERNAVACA, MOR. ~ MÉXICO TELSIFAX: (777) 314 0637 y312 7613

DEDICATORIAS

Dedico este trabajo:

A mi esposa: Margarita, a pesar de la distancia siempre estuviste conmigo.

Con mucho cariño:

A mi Mamá María Galdina, que sin haber conocido la extraño mucho.

A mis padres: Amada y Germán por el amor y la educación que me han dado.

A mis hermanos Rosa, Martha, Ful, Wences, Francisco, Faby, Dulce, Lulu, Victor y Santiago, con quienes he sonreído y llorado. Los quiero mucho.

A Leidy, Luis y a mis sobrinos: Chiquis, his , Yaneth, Adán, Monse y Ana.

Por nuestra amistad:

César, Geovani, Antonio, Julio, a mis cuates de la Generación 2002-2004 Cenidet (mecánica), Carlos, Efraín, Chucho, Gustavo, lalo, mike y en especial a Xaman y al Dr. Leonel.

AGRADECIMIENTOS

Quiero agradecer:

A Dios porpermitirme ver el sol cada día.

A mi esposa Margarita, por el apoyo y el amor que me brinda.

A mis suegros (Wayred y Esperanza) por el trato amable con que siempre me reciben en su hogar.

De manera muy especial a mis asesores:

Dra. Gabriela del Socorro A'lvarez Garcia Dr. Jesús Perfecto Xamán Villaseñor.

Dr. Leone1 Lira Cortés.

Por su valiosa ayuda e incondicional apoyo en el desarrollo de este trabajo.

Al jurado revisor de esta tesis por sus acertados comentarios y sugerencias: Dr. Jassón Flores, Dra. Sara Moya y Dr. Gustavo Urquiza.

A mis compañeros de Cenidet: Carlos, Efrain, Lalo, Mike, Rafa, Jorge, Onécimo, Ramón, Omar, Jesús Arce (Jesuso) y Gustavo.

AI Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (Cenidet) por brindarme la oportunidad de lograr una meta más en mi vida profesional.

AI Consejo del Sistema Nacional de Educación Tecnológica (COSNET) por el apoyo financiero recibido.

A la Secretaría de Educación Pública (SEP) por el apoyo económico brindado.

PENSAMIENTOS

Si no te quieren como tú quieres que te quieran, ¿qué importa que te quieran?

La mayor parte de los fracasos nos viene por querer adelantar la hora de los éxitos.

Amado Nervo

Nunca consideres el estudio como una obligación, sino como una oportunidad para penetrar en el bello y maravilloso mundo del saber.

Hay una fuerza motriz más poderosa que el vapor, la electricidad y la energía atómica: la voluntad.

Albert Einstein

Amor y deseo son dos cosas diferentes; que no todo io que se ama se desea, ni todo 10 que se desea se ama.

Más vale la pena en el rostro que la mancha en el corazón. Miguel de Cervantes Saavedra

Un libro abierto es un cerebro que habla; cerrado un amigo que espera; olvidado, un alma que perdona; destruido, un corazón que llora.

No basta saber, se debe también aplicar. No es suficiente querer, se debe también hacer.

Lo que sabemos es una gota de agua; lo que ignoramos es el océano.

Proverbio Indú

De Goehte

Isaac Newton

íNDlCE

Página

Lista de Figuras

Lista de Tablas

Nont enclaturn

Resunten

VI1

X

XI

xv

CAP~TULO 1. INTRODUCCIÓN

1.1 .- Importancia del estudio de la turbulencia. 1

1.2.- Revisión bibliográfica. 2

1.2.1.- Modelos de turbulencia IC-E.

1.2.2.- Modelos experimentales y numéricos para problemas en

2

8

12

1.3.- Objetivos. 13

1.4.- Estructura del presente trabajo. 13

coordenadas rectangulares.

1.2.3.- Conclusión de la revisión bibliográfica.

CAP~TULO 2. TEORÍA BÁSICA DE LA TURBULENCIA 15

15 Ecuaciones de conservación de la dinámica de fluidos y transferencia de calor. 2.1 .-

2.1.1 .- Descripción del movimiento de un fluido.

2.1.2.- Ecuación de conservación de masa o continuidad.

2.1.3.- Ecuación de conservación de momento lineal.

15

16

16

I

2.1.4.- Ecuación de conservación de energía 17

2.13- Ecuaciones simplificadas de Navier-Stokes.

2.2.- Definición de flujo turbulento.

2.3.- Escalas de turbulencia.

2.4.-

2.5.-

Estrategias para la solución de la turbulencia.

Simulación de la turbulencia con la técnica del FUNS.

2.5.1 .- Definiciones básicas para valores estadísticos.

2.5.2.- Ecuaciones de Navier-Stokes con promedios de Reynolds.

2.5.3.- Ecuación de transporte del tensor de esfuerzos de Reynolds.

2.5.4.- Modelos de turbulencia.

2.5.4.1 .- Modelos de esfuerzos de Reynolds (RSM).

2.5.4.2.- Modelos de esfuerzos algebraicos (ASM).

2.5.4.3.- Modelos de remolinos de viscosidad (EVM).

2.6.- Modelos de remolinos de viscosidad (EVM).

2.6.1.- Consideración de Boussinesq.

2.6.2.- Modelos algebraicos o de cero ecuación (EVM-O-Ecuación)

2.6.2.1.- Modelo de longitud de mezcla de Prandtl.

2.6.2.2.- Otros modelos algebraicos.

2.6.3.- Modelos de una ecuación (EVM-1-Ecuación).

2.6.3.1.- Ecuación para la energía cinética turbulenta K.

2.6.3.2.- Modelo de Baldwind - Barth.

2.6.3.3.- Modelo de Spalart - Allmaras.

2.6.4.- Modelos de dos ecuaciones (EVM-2-Ecuaciones).

2.6.4.1 .- Variables secundarias de transporte turbulento.

2.6.4.2.- Modelo Kappa-Epsilon (K-E).

17

18

19

21

23

24

25

26

28

28

29

29

30

30

31

31

32

32

33

35

35

36

36

37

I1

2.7.- Conclusiones. 40

C A P ~ T U L ~ 3. MODELOS FhICOS Y MATEMÁTICOS

3.1 Modelos tisicos y matemáticos para flujos laminares.

3.1.1 .- Convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencial mente.

3.1.1.1 .- Ecuaciones gobernantes.

3.1.1.2.- Condiciones iniciales y de frontera.

3.1.2.- Convección forzada en un canal rectangular

3.1.2.1 .- Ecuaciones gobernantes

3.1.2.2.- Condiciones iniciales y de frontera

3.1.3.- Convección forzada en un canal rectangular con expansión brusca.

3.1.3.1 . - Condiciones iniciales y de frontera

3.1.4.- Convección forzada en un flujo inyectado.

3.1.4.1 .- Condiciones in'iciales y de frontera.

3.2.- Modelos físicos y matemáticos para flujos turbulentos.

3.2.1 .- Convección natural turbulenta en una cavidad alargada calentada diferencialmente.

3.2.1.1 .- Ecuaciones gobernantes.

3.2.1.2.- Condiciones iniciales y de frontera.

3.2.2.- Convección forzada en un canal rectangular con flujo turbulento.

3.2.2.1 .- Ecuaciones gobernantes.

3.2.2.2.- Condiciones iniciales y de frontera

3.3.-

3.4.- Conclusiones.

Modelos de turbulencia: valores empíricos y condiciones de frontera.

41

41

42

43

44

44

45

46

46

41

48

49

49

50

52

53

53

54

55

5 1

CAPITULO 4. SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N

58

4.1.-

4.2.-

4.3.-

4.4.-

4.5.-

4.6.-

4.7.-

4.8.-

4.9.-

58

59

Discretization por el método de los volúmenes finitos. 60

4.3.1 .- Integración de la ecuación generalizada. 60

Consistencia, estabilidad y convergencia. ' 62

Esquemas numéricos. 62

4.5.1.- La ecuación discreta final. 63

Solución de las ecuaciones de Navier-Stokes discretizadas. 66

4.6.1.- Problemática de la solución. 66

4.6.2.- La Malla desplazada (Staggered grid). 67

68

69

Método de los volúmenes finitos.

Forma generalizada de las ecuaciones gobernantes.

4.6.2.1 .- Representación del término de gradiente de presión.

4.6.3.- Método global de cálculo.

4.6.4.- Método SIMPLE (Semi Implicit Method for Pressure-Linked 70 Eputiom).

4.6.5.- Algoritmo global del proceso iterativo. 74

76 Tratamiento de condiciones de contorno (Frontera) iniciales.

4.7.1.- Condición de Neumann. (Derivada de la variable conocida).

y condiciones

77

78

78

4.7.2.- Condición de Dirichlet. (Valor de la variable conocido).

4.7.3.- Condiciones de frontera para la ecuación de corrección de presión P'.

79 Criterios de terminación global del proceso iterativo (criterio de convergencia).

Conclusiones. 80

IV

CAPíTULO 5. VElUFlCACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark)

5.1 . - Verificación del código.

5.2.-

5.3.-

5.4.-

5.5.-

5.6.-

5.7.-

Solución de la ecuación de convección-difusión unidimensional

Conducción de calor en una placa plana bidimensional

Flujo en diagonal: variación bidimensional de una variable cp.

Flujo laminar en una cavidad isotérmica con una pared deslizante

Flujo laminar en una cavidad cuadrada por convección natural

Flujo laminar en un canal rectangular en 2-D (convección forzada).

Flujo laminar isotérmico a través de una expansión brusca (BFS: Backward Facing S/ep).

5.9.- Caso térmico del flujo laminar BFS

5. IO.- Caso laminar de flujo inyectado (Impinging Slot .let Flow)

Convección natural en una cavidad alargada calentada diferencialmente 5.11.- con flujo turbulento.

5.1 I . 1 .- Comparación del presente estudio con resultado;

5.8.-

experimentales de Daffa’alla et al. (1991) .

5.11.2.- Comparación del presente estudio con los resultados numéricos de Pérez-Segarra et al. (1995) y Xamán (2004).

5.1 1.3.- Comparación del presente estudio con los resultados numéricos del CTTC.

5.12.- Flujo turbulento en un canal rectangular en 2-D

5.13 Conclusiones.

CAP~TULO 6. RESULTADOS

6.1 .- Estudio paramétrico del flujo por convección natural en una cavidad.

6.1.1.- Variación de parámetros para el flujo en la cavidad

6.1.2.- Variables adimensionales.

81

81

82

86

87

89

92

97

101

103

105

108

108

109

109

113

116

117

117

118

119

V

6.2.-

6.3.-

6.1.3.- Distribución de temperaturas en el interior de la cavidad.

6.1.4.- Componentes de velocidad para A 4 0

6.1 Números de Nusselt promedios.

Estudio paramétrico del flujo en un canal rectangular.

6.2.1 .- Variación de parámetros para el flujo en un canal rectangular.

6.2.2.- Coeficiente de fricción en la pared del canal.

6.2.3.- Número de Nusselt en la pared del canal.

Conclusiones.

CAPíTULO 7. CONCLUSIONES GENERALES

7 1 - Conclusiones

7 2 - BIBLlOGRAFh

APÉNDICE A Ecuación de conservación de masa

Sugerencias a trabajos futuros

APÉNDICE B. Ecuación de conservación de cantidad de movimiento

APÉNDICE C: Ecuación de conservación de energía

1 I9

123

124

127

127

128

131

133

134

134

135

136

141

144

148

VI

LISTA DE FIGUIUS

LISTA DE FIGURAS

Figura Descripción Página

2.1

3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

3.6

4. I

4.2

4.3

4.4

4.5

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

Representacion de las escalas de tiempo de la variable @

Modelo fisico de la cavidad calentada diferencialmente (RUJO laminar)

Modelo fisico del canal rectangular ( ~ ~ U J O laminar)

Modelo fisico del flujo en un canal con expansión brusca.

Modelo fisico para el caso de flujo inyectado.

Modelo fisico de la cavidad calentada diferencialmente (flujo turbulento).

Modelo fisico del canal rectangular (flujo turbulento).

Volumen de control sobre una malla bidimensional

Malla centrada en 1D.

Representación de mallas superpuestas

Diagrama de flujo para el algoritmo SIMPLEC.

Volumen de control frontera para la ecuación de continuidad

Dominio unidimensional con velocidad uniforme conocida

Volúmenes de control en el dominio unidimensional.

Comparación de los resultados numéricos con el analítico para el caso 2. Comparación de los resultados numéricos con los resultados analíticos para el caso 3.

Placa bidimensional con los tres tipos de condiciones de frontera.

Problema convectivo-difusivo en 2D flujo a 45'.

23

42

44

46

48

50

53

60

68

69

75

78

82

83

85

85

86

88

VI1

-

5.7

5. x

5.9

5.10

5.11

5.12

5 13

5.14

5.15

5.16

5.17

5.18

5.19

5.20

5.21

5 22

5.23

6.1.

6.2

6.3

LISTA DE FIGURAS

Comparación cualitativa de resultados a) presente estudio y b) solución de referencia.

Modelo fisico de la cavidad con una pared deslizante.

Componentes de velocidad en el centro de la cavidad para Re=100, 400 y 1000.

Lineas de corrientes para diferentes Re.

Geometria de la cavidad cuadrada y condiciones de frontera.

Componentes de velocidad, líneas de comente e i s o f e m para: a) Ra=103, b) Ra=IO4, c) Ra=105, d) Ra= lo6.

Geometría del canal rectangular.

Perfil de velocidad en la salida del canal, para diferentes números de Reynolds.

Canal rectangular con regiones de recirculación.

Comparación de los números de Nusselt local para el caso BFS. a) Presente estudio b) Kondoh (1993).

Geometría rectangular para el caso flujo inyectado

Número de Nusselt local en la placa inferior.

Variación del coeficiente de fricción

Comparación de I(. v. Ty ,u, en el centro de la cavidad Cy=Hy/2) con el CTTC, usando el modelo JL y CH. Resultados de comparación en el centro de la cavidad í&=Hy/2) con el CTTC usando el modelo 1L y HH: u, v, Ty .u,.

Geometría del canal rectangular

Comparación de resultados a la salida del canal (u,T) para los modelos de turbulencia JL y LS.

Geometría y condiciones de fiontera de la cavidad.

Temperatura a distintas posiciones en la cavidad para Ra e 10' a 10'. A=20.

Temperatura a distintas posiciones en la cavidad para Ra e IO' a 1 O'. A=40.

89

90

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98

1 O0

1 O1

105

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107

107

111

112

113

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118

120

121

LISTA DE FIGURAS

6.4

6.5

6.6

6.7

6.8

6.9

6.10

6.11

6.12

Temperatura a distintas posiciones en la cavidad para Ra e lo2 a 10'. A=XO. Componentes de velocidad u* en el centro de la cavidad (s*=0.00625).

Componentes de velocidad Y* en el centro de la cavidad (<=0.5).

Variación del Nusselt para razones de aspecto de 20, 40 y 80.

Modelo fisico del canal rectangular.

Variación delfen la pared del canal, para los diferentes Re y Hy.

.Coeficiente de fricción promedio para Hy=O. 1 m en función del Re.

Número de Nusselt local para diferentes Re y Hy.

Nusselt promedio para Hy=O.l m en funci6n del Re.

122

123

124

126

127

129

130

132

133

IX

LISTA DE TABLAS

LISTA DE TABLAS

Tabla

3.1

3.2

3.3

4.1

4.2

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

5. x

5.9a

5.9b

5 . I O

5.11

Descripción Página

Condiciones de frontera y.constantes usadas en los modelos de turbulencia K-E.

Funciones de salto usadas en los modelos de turbulencia K-E

Términos adicionales usados en los modelos de turbulencia K-E

Equivalencias de la formulación generalizada.

Función A( 1 Pe I ).

Comparación de los resultados para el caso 1

Comparación de los resultados para el caso 2.

Comparación del presente trabajo con la solución de Versteeg y Malalasekara (1995). Comparación de la solución de flujo laminar en una cavidad bidimensional cuadrada.

Comparación de resultados defy Nuprom con las correlaciones

Comparación de la temperatura a la salida del canal para Re2300

Comparación del punto de reencuentro x,.

Comparación de los puntos: x2 y s3.

Constantes uiilizadas para el problema de cavidad alargada

Propiedades del aire para el problema de cavidad alargada.

Comparación de resultados experimentales Daffa’alla et al (1991).

Comparación con resultados de Pérez-Segarra et ai. (1995) y Xaman (2004).

56

56

56

59

66

84

84

87

95

99

99

1 03

103

108

108

108

110

X

LISTA DE TABLAS

S . 12 Comparación delfy Nu promedio para el canal rectangular.

Coeficiente de fricción promedio para distintos Re y Hy.

Número de Nusselt promedio para distintos Re y Hy.

114

6. I 130

6.2 131

XI

NOMENCLATURA

NOMENCLATURA

s Hx

Descripcih

Razón de aspecto ( H a y ) . Coeficientes de la ecuación discretizada. Calor especifico a presión constante, J/kg K. Constantes del modelo de turbulencia. Término adicional para la ecuación de K. Flujos difusivos. Término adicional para la ecuación de E. Energía del fluido, m2/sz o Jkg. Energía cinética, m2/sZ o Jkg. Energía interna, m2/s2 o J/kg. Coeficiente de fiicción. Funciones de salto en el modelo de turbulencia. Flujos convectivos, kg/(m2.s) Aceleración de la gravedad, m/s2. Ancho de la cavidad, m. Altura de la cavidad, m. Flujos totales (convectivos+difusivos). Número de Nusselt, hHx/&. Número de Nusselt promedio. Presión, Pa. Producción de energía cinética turbulenta debido a esfuerzos. Número de Prandtl da Flujo de calor, W/m . Número de Rayleigh @3A7Hx3/va=GrPr). Número de Reynolds (pHx/p). Número de Reynolds turbulento @r,J'zHx/p). Término fuente. Término fuente independiente de la variable. Término fuente dependiente de la variable. Tiempo, s. Temperatura, K. Temperatura de referencia ((T&Tc)/2), K. Temperatura de la pared fría, K. Temperatura de la pared caliente, K. Velocidad en dirección horizontal, nús. Vector de velocidad en tres direcciones, d s . Velocidad en dirección vertical, nús. Coordenada en dirección horizontal, m. Coordenada en dirección vertical, m.

\ ).

XI1

NOMENCLATURA

Abreviaturas

ASM

BFS

CFD

CH

CTTC EVM

FDM

FEL

Difusividad térmica del aire, m2/s. Factor de relajación. Coeficiente de expansión térmica, 1/K Difusividad turbulenta. Incremento de tiempo, s. Diferencia de temperatura entre la pared caliente y fría, K. Espesor de un volumen de control en dirección x, m. Espesor de un volumen de control en direccióny, m. Delta de Kronecker. Distancia entre nodos computacionales en dirección x, m. Distancia entre nodos computacionales en dirección y , m. Disipación de energía cinética turbulenta, m2/s3. Energía cinética turbulenta, mZ/s2. Conductividad térmica del aire, W/m K. Viscosidad dinámica, kg/m s. Viscosidad turbulenta, kg/m s. Viscosidad cinemática, m2/s. Densidad, kg/m3. Número de Prandtl turbulento. Número de Prandtl para K, Número de Prandtl para E.

Tensor de esfuerzos. Variable general (u, v, P, T, K, E).

Fluctuación de la variable general (u, v, P, 7). Promedio de la variable general (u, v, P, 7). Líneas de corriente. Disipación específica de la energía cinética turbulenta

Algebraic Stress Models.

Backward Facing Step.

Computational Fluid Dynamics.

Modelo de turbulencia de Chien (1982).

Centro Tecnológico de Transferencia de Calor

Eddy Viscosity Models.

Finite Difference Method.

Finite Element Method.

XI11

NOMENCLATURA

FVM

HH 1L

LS

RANS

RSM

SIMPLE

SlMPLEC

Finite Volume Method.

Modelo de turbulencia de Henkes y Hoogendoor (1992).

Modelo de turbulencia de Ince y Launder (1989).

Modelo de turbulencia de Launder,y Sharma (1974).

Reynolds Averga Navier-Stokes.

Reynolds Stress Models.

Semi Implicit Method for Pressure-Linked Equations.

Semi implicit method for Pressure-Linked Equations Consistent.

XIV

RESUMEN

RESUMEN este trabajo se describen los modelos fisicos y matemáticos Para 10s problemas de flujo

laminar: convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente, flujo en un canal rectangular, flujo en un canal con expansión brusca Y flujo inyectado sobre una placa, también para 10s casos de flujo turbulento en: una cavidad rectangular calentada diferencialmente y un canal rectangular con flujo por convección forzada. En el modelo fisico se describen las geometrias y las consideraciones para cada caso, Y el modelo matemático considera las ecuaciones promediadas de' Navier-Stokes (masa, momentum y energía). También se presentan diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E

Se presenta la metodología para la solución numérica de las ecuaciones que rigen los procesos de la Transferencia de Calor y Dinámica de Fluidos en coordenadas rectangulares. La metodología está basada en la técnica de Volúmenes Finitos. Se presenta la formulación para el acoplamiento de las ecuaciones de conservación, mediante el algoritmo SIMPLE y SlMPLEC.

Se implementaron diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E, los modelos JL, LS, CH, HH y IL para el caso de la cavidad alargada calentada diferencialmente y los modelos JL, LS, CH y IL para el caso de flujo en un canal rectangular. Se presenta la verificación del código numérico desarrollado con casos reportados en la literatura. Los casos de referencia consisten de soluciones analíticas, numéricas y experimentales. El nivel de complejidad de los casos presentados aumenta gradualmente, desde la solución de un problema unidimensional hasta los casos bidimensionales, de flujos laminares a turbulentos, Para el caso de la convección forzada con flujo turbulento en un canal rectangular se obtuvo una diferencia minima de 2.42% con el modelo JL para el coeficiente de fricción, en comparación con la correlación experimental, la diferencia mínima para el número de Nusselt promedio fue de 2.02% con el modelo IL. La diferecia mínima para el número de Nusselt promedio para el flujo turbulento por convección natural en una cavidad con razón de aspecto de 30 fue de 10.4% con el modelo TL en comparación con el dato experimental. En general, se concluye que el código desarrollado para los problemas de verificación produce resultados satisfactorios.

Se presentan los resultados del estudio paramétrico para los casos de flujo turbulento: convección natural en una cavidad rectangular y convección forzada en un canal rectangular. Para el caso de la cavidad calentada diferencialmente se varía la razón de aspecto y el número de Rayleigh, en el canal se varía la longitud de separación entre las placas que forman el canal y el número de Reynolds.

Se presentan correlaciones para el número de Nusselt promedio para los dos casos y adicionalmente una correlación para el coeficiente de fricción promedio en la pared del canal. La correlación para el número de Nusselt en la cavidad calentada diferencialmente presenta resultados con una diferencia máxima de 6.1%, para el caso de una razón de aspecto de 80, en comparación con los resultados numéricos obtenidos. La correlación para el Nusselt promedio en el canal presenta una diferencia de 1.14% y el coeficiente de fricción 1 .O%, en comparación con los resultados numéricos del presente estudio.

ABSTRACT

ABSTRACT

in this work, physical and mathematical models for laminar flow problems are described: natural convection in a squared cavity differentially heated, flow in a rectangular channel, flow within a channel with an abrupt expansion and injected flow over a plate; also, turbulent flow problems are described in: a rectangular cavity differentially heated and a rectangular channel with forced convection flow. Geometric and some considerations are described in the model for each case, and the average Navier-Stokes (mass, momentum and energy) equations are considered by the mathematical model. Different turbulent models for the K-E family are presented too.

Methodology for the numerical solution of equations that govern the flow Dynamics and the heat Transfer Processes in rectangular cookdinates are presented. This methodology is based on the finite volume technique, using the SIMPLE and SIMPLEC algorithms.

Different turbulent models of the K-E family were implemented, JL, LS, CH, HH and IL models in the case of flow in a rectangular channel. The verification of the developed numerical code versus those cases reported in literature is presented. The benchmark solutions consisted of analytical, numerical ind experimental solutions. The complexity level of the presented cases increases gradually, fiom the solution of one-dimensional problem to two-dimensional ones, from laminar to turbulent flows. In the case of forced convection with turbulent flow in a rectangular channel a minimum difference of 2.42 % compared with the experimental .correlation was obtained using the JL model for the friction coefficient and the minimum difference for the average Nusselt number was 2.02 % using IL model. The minimum difference for the average Nusselt number for turbulent flow by natural convection in a cavity with aspect ratio of 30 was 10.4 % using IL model compared with the experimental data. in general, it is concluded that the computer code for the verification problems give accurate results.

The parametric studies results for the turbulent flow for natural convection in a rectangular cavity and forced convection in a rectangular channel are presented. In the case of the differentially heated cavity the aspect ratio and the Rayleigh number are varied, in the channel the separated gap between the plates that form the channel and the Reynolds number are varied.

The correlations for the average Nusselts number for both cases and additionally one correlation for the average fnction coefficient on the channel’s wall are presented. The correlation equation for the Nusselt number in the differentially heated cavity presents results with a maximum difference of 6.1 %, for the case of an aspect ratio of 80, in comparison with the values obtained from the numerical results. The correlation equation for the average Nusselts number in the channel presents a difference of 1.14 % and a friction coefficient of 1.0 %, in comparison with the values form the numerical result presented in this study.

CAPITULO 1 INTRODUCCI~N

CAPÍTULO 1 INTRODUCCI~N

En este capítulo se presenta la revisión bibliográfica, para modelos de turbulencia K - E Y para problemas de transferencia de calor en geometrías reCtangUlareS Y se menciona el objetivo y la importancia del presente trabajo.

1.1

El estudio de los flujos en régimen turbulento es importante dentro de la mecánica de fluidos y la transferencia de calor. Basta recordar que la mayor parte de los flujos que se presentan en la naturaleza y en las aplicaciones de la ingeniería generalmente se encuentran en régimen de flujo turbulento. La turbulencia modifica significativamente parámetros tales como la resistencia a la fricción y el coeficiente de transferencia de calor.

Como ejemplos en los cuales se presentan flujos turbulentos se pueden mencionar los siguientes: flujos atmosféricos, ríos, flujos en conductos, aerodinámica de vehículos, cámaras de combustión, turbomaquinarias, calderas, tanques de almacenamiento de energía térmica, enfriamiento de dispositivos electrónicos, equipos de intercambio de calor, colectores solares, habitaciones de edificaciones, entre otros.

El estudio de los fluidos en regímenes turbulentos en los sistemas solares térmicos proporciona información muy importante para determinar la cantidad de pérdidas o ganancias de energía de algún sistema. Esta información es fundamental para optimizar el diseño de los diferentes sistemas. Por ejemplo dentro de los sistemas solares térmicos están los estudios de transferencia de calor en edificaciones que pueden proporcionar información útil en cuanto al ahorro de energía en las edificaciones.

Se sabe que el mayor consumo de energía residencial se debe a que, en regiones cálidas, se construyen edificios modernos con grandes áreas de ventanas que, atendiendo a modas arquitectónicas, no son los adecuados a las condiciones climáticas del lugar. En estas regiones debido a la alta ganancia de calor en las edificaciones es necesario introducir sistemas de aire acondicionado para mantener las condiciones de confort dentro de las habitaciones, los cuales implican un elevado costo de operación y mantenimiento. Varias instituciones tales como el Centro de investigación en Energía-UNAM en México o el Lawrence Berkeley Laboratory en EUA, realizan investigaciones para desarrollar nuevos recubrimientos en vidrios (ventanas) para controlar espectralmente la radiación solar.

En el Cenidet una de las líneas de investigación en el Área de Térmica es el ahorro y uso eficiente de la energía en sistemas térmicos solares, como son las habitaciones de edificaciones, los colectores solares y las chimeneas solares. En edificaciones se realizan estudios detallados de la convección natural considerando la habitación como una cavidad rectangular en dos y tres dimensiones, considerando los efectos de la transferencia de calor por conducción, convección y radiación, esto con el fin de tener una mejor compresión de cómo se produce el movimiento del fluido y como se distribuyen las temperaturas en el

IMPORTANCIA DEL ESTUDIO DE LA TURBULENCIA.

interior de la habitación. Para determinar correlaciones para los coeficientes de transferencia de calor que conducen a determinar las ganancias o las pérdidas de calor en habitaciones. Estos Coeficientes se requieren en paquetes de cómputo comerciales tales como el TRANSYS, D02, etc. También se realizan estudios experimentales considerando una habitación como pequeñas cajas de pruebas para evaluar térmicamente vidrios para ventanas y materiales para techos, para estos casos el comportamiento de la transferencia de calor es afectada por la convección natural o forzada.

También se han desarrollado estudios para el diseño y construcción de colectores solares de aire, en el análisis teórico se considera balances globales de energía, requiriendo para ello de correlaciones de coeficientes de transferencia de calor reportados en la literatura, los cuáles no corresponden a las condiciones locales. Para tener coeficientes más realistas se necesita modelar el movimiento del fluido el cuál es en régimen turbulento.

En todos los casos mencionados la turbulencia siempre está presente, por lo que es importante continuar con estos estudios y hacer cada vez los modelos teóricos más realistas para los problemas de interés.

1.2 REVISI~N BIBLIOGRÁFICA.

La revisión bibliográfica está enfocada principalmente a los modelos de viscosidad turbulenta de dos ecuaciones K-E y como tema secundario a la solución de problemas de transferencia de calor para geometrías en coordenadas rectangulares.

1.2.1 Modelos de Turbulencia K-E

No existe una teoría general para representar el fenómeno de la turbulencia. Durante la segunda mitad del siglo XX se inició la determinación del movimiento turbulento mediante el uso de diversos métodos: visualización de flujos, desarrollo de instrumentación adecuada y soluciones numéricas de las ecuaciones de conservación.

El origen de la aproximación del FUNS (Reynolds Average Navier - Stokes) es el resultado de las investigaciones de Reynolds (1895) en el campo de la turbulencia, la aproximación consiste en usar la representación arbitraria de una variable (Velocidad, temperatura, presión, étc.) por su valor promedio más la fluctuación de la misma durante toda la evolución temporal del fenómeno. Esta aproximación es sustituida en las ecuaciones de conservación (Masa, momento y energía), dando como resultado términos adicionales conocidos como los esfuerzos de Reynolds. Estos nuevos términos provocan que el sistema de ecuaciones gobernantes sea no cerrado, entonces se tiene la necesidad de utilizar algún tipo de aproximación para cerrar el sistema. Entre las aproximaciones para cerrar el sistema de ecuaciones se encuentran los modelos de remolinos de viscosidad de dos ecuaciones. El modelo de turbulencia de dos ecuaciones más comúnmente usado es el K - E , (Wilcox, 2000), el cuál es el objetivo del presente estudio.

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CAP~TULO I INTRODUCCIÓN

E] modelo de turbulencia K-E es el modelo mas popular de dos ecuaciones que se utiliza en aplicaciones de modelado de problemas de ingeniería. Los primeros autores en desarrollar este modelo fueron Chou (i945), Davidov (1961) y Harlow Y Nakayama (1968). Sin embargo, el trabajo de Jones y Launder (1972) es el más referenciado entre la comunidad de modelado de turbulencia de tal forma que es conocido como el modelo estándar de K - G

(Wilcox, 2000). A continuación se describen cada uno de los trabajos más relevantes en el modelado de la turbulencia.

Jones y Launder (1972). Presentaron un modelo de turbulencia en el cuál los valores locales de viscosidad turbulenta son determinados de la solución de las ecuaciones de transporte para la energía turbulenta (K) y de la cantidad de disipación de energía cinética (E). La principal contribución fue proporcionar una forma adecuada para las ecuaciones en la región cerca de la pared donde la viscosidad ejerce una influencia directa sobre la estructura de la turbulencia. Los autores destacan que para predecir el flujo dentro de la subcapa viscosa (adyacente a una pared), la forma del modelo debe considerar: incluir la difusión viscosa para la energía cinética turbulenta y su disipación, las constantes deben de depender del número de Reynolds turbulento y deben considerar términos adicionales para tomar en cuenta que el proceso es no isotrópico. Se utilizó el modelo para predecir el comportamiento de la capa límite en una placa plana en donde se tienen altas aceleraciones del fluido cerca de la pared, provocando que el flujo se revierta parcialmente a laminar. Los autores reportan que sus resultados hidrodinámicos y térmicos son consecuencias de la alta aceleración, los cuáles están en concordancia con los resultados experimentales reportados. El modelo predice mejores resultados que el modelo de longitud de mezcla.

Launder y Spalding (1974) presentaron la solución numérica del flujo turbulento para diferentes problemas: flujo en una tubería, flujo en una cavidad rectangular con entrada y salida de flujo y flujo en un ducto de sección cuadrada. Para modelar la turbulencia los autores hacen uso de las ecuaciones de transporte de energía cinética turbulenta y de la disipación de energía cinética turbulenta, estas ecuaciones fueron resueltas simultáneamente con las ecuaciones de conservación de masa y momento. El objetivo del estudio fue encontrar en el modelo de turbulencia economía computacional, el rango de aplicabilidad y realismo físico. Launder y Spalding enfatizan los aspectos del modelo cuando se tiene un flujo adyacente a una pared sólida. Los autores muestran dos formas de tratar las condiciones de frontera para las ecuaciones del modelo turbulento, las cuales son: el método de funciones de pared y el método de funciones de salto. Las funciones de pared están basadas en la longitud de escala, la cual es una función de la distancia desde la pared al primer nodo computacional. Los patrones de flujo para los diferentes problemas resueltos, desde el punto de vista de los autores muestran el rango de aplicabilidad y realismo físico. Los autores concluyen, que una extensión al trabajo sería reemplazar la relación para el cálculo de la viscosidad turbulenta isotrópica por una expresión más general que involucre los esfuerzos cortantes producidos por el flujo turbulento, esto con el fin de ampliar la gama de aplicación del modelo.

En 1981 Lam y Bremhorst propusieron nuevas relaciones para el cálculo de las funciones de salto utilizadas en el modelo de turbulencia de bajo número de Reynolds. El modelo estándar considera que la función para el cálculo de la viscosidad turbulenta es igual a uno

CAPiTULO I INTRODUCCldN

o muy cercana a la unidad, Lam y Bremhorst encontraron que estas consideraciones no son válidas dentro de la capa laminar o subcapa viscosa. Como Consecuencia ellos Propusieron una nueva ecuación para el cálculo de la viscosidad turbulenta, la cuál es una función que es influenciada directamente por una frontera sólida, la función se aproxima a cero cerca de la pared Y se aproxima a uno lejos de la pared para incrementar la turbulencia. Esta nueva formulación para el modelo de bajo-número de Reynolds K-E fue probada Para el Problema de flujo completamente desarrollado en una tubería, los resultados fueron validados con datos experimentales encontrándose concordancia con estos. La principal ventaja de este modelo es que no requiere el uso de funciones de pared.

En 1982 Chien desarrolló un modelo de turbulencia, el cuál puede aplicarse hasta una frontera sólida, Aunque la aproximación general es similar al modelo de Jones y Launder (1 972), las relaciones propuestas son completamente diferentes. Chien usó una expansión en series de Taylor para estudiar el; comportamiento de los esfuerzos cortantes turbulentos, la energía cinética turbulenta y su disipación cerca de una frontera sólida. El modelo fue aplicado para el problema de flujo desarrollado en un canal y para el problema de capa límite turbulenta en una placa plana. Los resultados fueron comparados con el modelo de Jones y Launder y con resultados experimentales. Para los casos considerados, el modelo de Chien en general esta de acuerdo con los resultados experimentales (velocidad de fricción, distribuciones de velocidades, esfuerzos cortantes turbulentos y la energía cinética turbulenta). El autor concluye, que los cálculos basados en el modelo de Jones y Launder indican que la predicción de la energía cinética turbulenta y la eficiencia numérica es infenor al modelo propuesto.

Patel, Rod¡ y Scheuerer en 1985 :presentaron una extensiva revisión de los modelos de turbulencia K-E de bajo número de Reynolds. En adición al modelo estándar K-E, presentaron en detalle ocho extensiones del modelo estándar, los cuáles fueron propuestos por diferentes autores. La diferencia entre los modelos son en las funciones de salto, las cuáles son introducidas para tomar en cuenta las zonas en las cuales el fluido se comporta en régimen laminar. Los primeros siete modelos son variantes del modelo K-E, en el cual los esfuerzos de Reynolds son relacionados con los gradientes de velocidad local por una viscosidad turbulenta, esta viscosidad turbulenta es calculada de la ecuación de energía cinética turbulenta y de la disipación de energía cinética turbulenta. El último modelo K - m de Wilcox y Rubesin (1980) que emplea una ecuación de energía cinética turbulenta en conjunto con una ecuación de transporte para una vanahle llamada seudo-vorticidad m. Cada modelo fue implementado para el problema de capa límite en una placa plana en 2-D con flujo incompresible. Los autores concluyeron que los modelos de Hassid-Poreh (1978), Hoffmann (1975), Dutoya-Michard (1981) y Reynolds (1976) fallan al tratar de reproducir los resultados, mientras que los modelos de Launder-Shama (1974), Chien (1982), Lam- Bremhorst (1 98 1) y Wilcox-Ruhesin (I 980) reproducen satisfactoriamente los resultados experimentales. A pesar del éxito obtenido por estos últimos modelos, es necesario un refinamiento del modelo si se quieren calcular fluidos a bajos números de Re, los cuáles se presentan cerca de paredes. Para lo anterior los autores sugirieron lo siguiente: a) Seleccionar una función de salto para los esfuerzos cortantes, la cual este de acuerdo con la evidencia experimental, b) Elegir una función matemáticamente consistente con el comportamiento del fluido cerca de una frontera sólida para las ecuaciones de bajo número

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CAP~TULO I INTROOUCCION

de Reynolds, C) Las funciones seleccionadas deben asegurar la reproducción de las características básicas para un fluido confinado sobre un amplio rango de gradientes de presión.

Markatos (1986) publicó una revisión de los beneficios y carencias que se ban tenido en el modelado de flujos turbulentos. Los puntos básicos enfatizados en él articulo son: LOS cálculos de turbulencia son necesitados para simulaciones prácticas de ingenieria, medio ambiente, etc ...; algunos éxitos que se han tenido con el modelo de dos ecuaciones para fenómenos hidrodinámicos simples que permiten diseñar rutinas de trabajo en aplicaciones de ingeniería; algunos problemas pueden ser encontrados en muchas aplicaciones cuando se toman en cuenta los efectos de flotación, bajos números de Reynolds, compresión o expansión rápida, reacciones químicas, etc ...; los últimos conceptos de los modelos de turbulencia prometen describir algunas de las más importantes consecuencias fisicas de la turbulencia, aunque todavía no han alcanzado su etapa final de desarrollo, desde este punto de. vista, los métodos más antiguos y simples pueden ser todavía recomendados como un punto de partida para simulaciones de ingeniería. Markatos presenta en forma detallada los modelos de ecuación cero, modelos de una ecuación, modelos de dos ecuaciones, modelos de esfuerzos de Reynolds para considerar efectos de flujo no isotrópico y por Último las simulaciones realizadas con simulación numérica directa (DNS) y simulaciones de remolinos a gran escala (LES). Entre las conclusiones del autor respecto al modelo K-E

fueron: 1) el modelo de turbulencia estándar K-E es el modelo más popular de dos ecuaciones, principalmente por dos' razones: a) la ecuación de disipación de energía cinética turbulenta puede ser derivada de las ecuaciones de Navier-Stokes, b) el número de Prandtl que aparece en la ecuación de disipación de energía cinética tiene un valor razonable que se ajusta a los datos experimentales. 2) El modelo requiere modificaciones para tomar en cuenta efectos de flotación, rápida compresión, etc., y se requieren de validaciones para flujos elípticos en 2-D y 3-D.

To y Humphrey en 1986 propusieron dos modelos de turbulencia para los cálculos de flujos turbulentos que se comportan en ciertas regiones como laminar (cerca de una frontera sólida). El primer modelo denominado KEM es un modelo de dos ecuaciones basado en el modelo estándar K-E, este modelo utiliza una ecuación para la energía cinética turbulenta y una segunda ecuación para una variable turbulenta relacionada con la disipación de energía cinética turbulenta. A diferencia del modelo K-E, el modelo KEM utiliza condiciones de frontera para su solución. El segundo modelo es un modelo de esfuerzos algebraicos (ASM), este modelo esta basado en el cálculo de expresiones algebraicas derivadas de las formas simplificadas de las ecuaciones de transporte para los flujos turbulentos. Ambos modelos aplican para fluidos con propiedades termofisicas variables, no requieren la definición de nuevas constantes para las ecuaciones, utilizan los efectos de las funciones de salto para las ecuaciones de transporte de turbulencia. Los modelos fueron probados para el problema de una placa plana vertical calentada y ambos modelos predicen satisfactoriamente la transferencia de calor, pero el modelo ASM presenta ligeramente mejores resultados que el modelo KEM.

Ince y Launder en 1989 presentaron un modelo de turbulencia K-E introduciendo un término adicional a la ecuación de transporte de la disipación de energía cinética (E), el cual

CAPiTULO 1 iNTRODUCC16N

fue propuesto por yap (1987) como resultado del estudio de flujos con separaciones de capa límite, ~1 modelo modificado fue resuelto numéricamente para la cavidad rectandar bidimensional con razones de aspecto de 30 y 5, las paredes verticales calentadas diferencialmente y las paredes horizontales aisladas. LaS eCUaCiOneS fueron Planteadas en variables primitivas y la solución numérica de estas ecuaciones fue obtenida usando el código TEAM de Huang y Leschziner (1983). Las “Funciones de Pared” fueron reemplazadas en el programa original por una condición de frontera apropiada en la pared, agregando términos adicionales a las ecuaciones del modelo turbulento con el fin de que el modelo sea válido para zonas en las cuales el fluido tiene un comportamiento laminar. La malla que utilizaron los autores fue una malla no-uniforme de 60x60. Los resultados numéricos fueron comparados los resultados experimentales de Betts y Dafa’Alla (1985), concluyendo que los modelos de turbulencia (K-E) de bajo-número-Re sobre-estiman la transferencia de calor para una cavidad infinita. Se presentan los resultados numéricos de las velocidades, temperaturas, viscosidad turbulenta y el número de Nusselt de forma gráfica y su comparación experimental.

Davidson en 1990 presentó un modelo híbrido de turbulencia para flujos de fluidos donde la consideración de isotropía para la turbulencia no reproduce correctamente el fenómeno, como lo son en flujos con fuerzas de flotación y de corriolis. El modelo es una combinación de un modelo algebraico de esfuerzos de Reynolds y el modelo estándar K - E . En este modelo el término de esfuerzos de Reynolds el cuál contiene los efectos de la fuerza de flotación es modelado con una expresión para un modelo de esfuerzo de Reynodls algebraico, mientras que la parte isotérmica es tomada del modelo K - E . La contribución del modelo de esfuerzo de Reynolds algebraico al esfuerzo de Reynolds turbulento puede ser vista como una corrección lineal desacoplada al modelo K - E . El autor verificó el modelo, comparando los resultados numéricos con los resultados experimentales para el problema de convección natural m u n a cavidad calentada diferencialmente, concluye que el modelo presenta mayor estabilidad que los modelos de esfuerzos de Reynolds y requiere menos tiempo de cómputo que éstos; predice mejores resultados que el modelo estándar K - E y considera la no isotropía en los esfuerzos de Reynolds turbulentos.

Nagano y Tagawa (1990) presentaron un modelo de turbulencia K - E para predecir flujos con gradientes adversos de presión en flujos cortantes, tales como, flujos en tuberías y capa limites sobre placas planas. La modificación que los autores hacen al modelo K - E radica en proponer funciones de salto que consideren el efecto de gradiente de presión adverso. El modelo es validado con resultados experimentales para el flujo en una tubena y flujo de capa límite turbulento en una placa plana, la técnica numérica utilizada es el método Keller’s Box, los autores afirman que el método es incondicionalmente estable y tiene una alta exactitud en los resultados. Se concluye que el modelo presenta resultados satisfactorios para los problemas seleccionados, que las ecuaciones nos son complejas y que el tiempo de cómputo es comparable con los modelos de turbulencia K - E existentes.

Thangam y Speziale (1992), resolvieron el problema del flujo de fluido en un canal rectangular con una expansión brusca para evaluar diferentes modelos de turbulencia de dos ecuaciones. Las ecuaciones son discretizadas con la técnica de volumen finito y se utiliza el algoritmo tridiagonal con bajo-relajación para la solución del sistema de ecuaciones

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cApiTuLo I INTRODUCCIÓN

algebraicas. LOS resultados obtenidos demuestran que 10s errores con el modelo K - E tienen dos ongenes principales: I ) aparecen errores numéricos debidos a su inadecuada solución y 2) una predicción inexacta de los esfuerzos turbulentos 0 de Reynolds que es debido al considerar a la viscosidad turbulenta isotrópica. LOS autores afirman que al considerar la anisotropía en la viscosidad turbulenta se pueden mejorar las predicciones en un 3%.

Abe et al., en 1994 propusieron una modificación al modelo de turbulencia I C- E de Nagano y Tagawa (1990), el cual aplica para flujos turbulentos complejos que incluyen separación del flujo principal y transferencia de calor. La principal consideración de este modelo es que usa la escala de velocidad de Kolmogorov en conjunto con la velocidad de fricción para considerar los efectos de bajo número de Reynolds y de paredes cercanas sólidas. Los autores validan el modelo con el problema del flujo en un canal con expansión brusca, comparando los resultados con los resultados experimentales reportados en la literatura. Los autores utilizan el método de diferencias finitas para la discretización de las ecuaciones gobernantes, aproximan los términos convectivos de las ecuaciones de momento con un esquema upwind, de tercer orden, un esquema upwind de primer orden para los términos convectivos de las ecuaciones de la energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética turbulenta y utilizan una aproximación de diferencias centradas de segundo orden para los términos restantes. Se concluye que el modelo predice satisfactoriamente el punto de reencuentro para el problema mencionado y que es importante conocer el comportamiento de la viscosidad turbulenta para predecir correctamente la transferencia de calor cerca del punto de reencuentro en donde tiende a ser máxima.

Murakami et al., en 1996 propusi&ron un modelo de turbulencia que considera los efectos de fuerza de flotación y fluidos con recirculaciones, para esto los autores adicionan funciones de salto a la ecuación de la viscosidad turbulenta y a la ecuación de la dif'usividad turbulenta; estas funciones de salto son deducidas de las ecuaciones diferenciales del esfuerzo de Reynolds turbulento y del flujo de calor turbulento, también proponen una modificación a la ecuación de la función de salto para la viscosidad turbulenta propuesta por Abe et al. (1993). Los autores validan el modelo con el problema de la cavidad calentada diferencialmente con una razón de aspecto de cinco, comparando los resultados numéricos con los resultados expenmentales y con los resultados numéricos de Abe et al., el modelo predice mejores resultados que el modelo de Abe et al. También comparan sus resultados con los resultados experimentales y con los resultados del modelo estándar K - E

para el problema del flujo en un canal con expansión brusca, el modelo propuesto predice mejores resultados que el modelo estándar K - E . Los autores utilizan el algoritmo SIMPLE para el acople de las ecuaciones de masa y momento y aproximan los términos convectivos de las ecuaciones de momento con el esquema QUICK de alto orden. Se concluye que el modelo propuesto predice mejores. resultados que el modelo estándar K - E y que el modelo considera la relaminarización tanto en las zonas cercanas como a las alejadas de paredes sólidas.

Huang y Lin en 1998 propusieron un modelo K-E de bajo número de Reynolds basados en resultados obtenidos de la Simulación Numérica Directa (DNS) de la capa límite en una

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CAP~TULO I INTROOUCCI~N

placa plana, la característica de este modelo es la inclusión de un término de difusión de presión en las ecuaciones de la energía cinética turbulenta y de su disipación, esto con el fin de obtener un mejor comportamiento en las zonas cercanas a paredes sólidas; para la validación del modelo, los autores resolvieron el problema de un canal rectangular con una expansión brusca y comparan los resultados numéricos con los resultados experimentales y con el resultados de DNS para el flujo desarrollado en un canal, los autores concluyen que el modelo reproduce correctamente PI coeficiente de fncción y la transferencia de calor, en las zonas cercanas a las paredes.

A partir de los conceptos y dificultades que presentan los modelos de K-E se han venido desarrollando otros modelos que tratan de corregir las dificiencias encontradas, entre ellos, los modelos no lineales de K-E. Gwang y Hyung (2000) presentaron una modificación a los modelos no lineales de bajo número de Reynolds ( E T- E - f,,), de Gatski y Speziale (1993) y Park y Sung (1996). Los autores proponen que el término no lineal para la ecuación de los esfuerzos de Reynolds turbulentos debe tener un comportamiento logantmico cerca de las paredes sólidas. Los resultados fueron validados con los resultados experimentales del problema del flujo en un canal con expansión brusca, obteniéndose resultados satisfactorios.

1.2.2 Modelos Experimentales , y Numéricos para Problemas en Coordenadas Rectangulares.

En equipos industriales y electrónicos muchas de las partes de los que están constituidos se pueden representar con geometrías rectangulares, tales como una cavidad cuadrada, un canal rectangular, un canal con una expansión brusca y un canal con flujo inyectado; al considerar estas geometrías simples y conociendo el comportamiento del flujo, así como las zonas de mayor transferencia de calor, se puede obtener información importante para el diseño y la optimización de los equipos. A continuación se describen algunos trabajos que consideran estas geometrías.

Armaly et. al., (1983) presentarch los resultados experimentales y numéricos para el problema hidrodinámico del flujo en un canal rectangular con expansión brusca (Backward Facing Step, BFS) en dos dimensiones. Se utilizó como fluido aire y un intervalo del número de Reynolds de 70 a 8000, basado en la altura total del canal. Los autores enfatizaron la comparación de 'trabajos anteriores, ellos reportan datos adicionales correspondientes a una segunda zona de recirculación que se presenta debido a la geometría del problema. Todos los resultados se presentan gráficamente como son velocidades en diferentes puntos a lo largo del canal, puntos de separación y puntos de reencuentros. Los autores concluyen que el intervalo del número de Reynolds para la transición fue de 1200 a 6600 y que el punto de reencuentro para el flujo completamente desarrollado (R06600) se mantiene constante. De los resultados numéricos se observó que para Re > 400 se presentaron efectos tridimensionales, por lo que los resultados en dos dimensiones presentan diferencias significativas con los resultados experimentales.

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CAP~TULO I INTKODUCCION

Vogel y Eaton (1985) presentaron los resultados experimentales para el Problema del BFS considerando un flujo de calor constante en la pared inferior del canal y adiabática las otras paredes, EI número de Reynolds basado en la altura del canal es considerado de 13C@o a 42000. Los autores presentan las gráficas del número de Stanton y del coeficiente de fricción para la pared inferior. Se concluye que debido a la recirculación cerca del punto de reencuentro la transferencia de calor aumenta.

Sparrow y Chuck (1987) presentaron la solución numérica para el problema BFS, usaron como fluido el aire, la solución fue obtenida con una formulación de línea de comente- vorticidad con la técnica de diferencias finitas. El flujo fue considerado forzado para un intervalo del número de Reynolds (Re) de 200 a 1200 (sin efectos de fuerzas de flotación). El número de Reynolds fue basado en la altura del escalón (step). Otro parametro que caracterizó el problema fue la altura adimensional a la salida del canal o razón de expansión (Híh), la cual fue de 2, 3 y 4. Todas las paredes que constituyen el problema físico, a excepción de la pared inferior del canal que fue considerada a una temperatura uniforme, fueron consideradas adiabáticas. Entre los resultados se presentan en forma grafica las líneas de comente y las isotermas, así como también las relaciones para el punto de re- encuentro del flujo y el número deiNusseit convectivo promedio (Nu) en función del Re y de Híh. Se concluye que el número'de Nusselt incrementa con el número de Reynolds y en la región desarrollada es independiente de él.

Lin et. al., (1990) presentaron el primer trabajo numérico para el problema BFS vertical, en el cual se consideró la convección combinada (natural-forzada) para una razón de expansión de 2 y valores para el número de Reynolds menores de 200. La solución fue obtenida por el método de volúmenes finitos usando el algoritmo SIMPLE para el acople de las ecuaciones de conservación de masa y momento. Las condiciones de frontera fueron: en la entrada del canal consideraron un perfil parabólico de velocidad y temperatura uniforme, tanto en la pared superior como en la inferior, se tiene temperatura uniforme y en el escalón se considera adiabática. Un año más tarde, los autores, como una extensión ai trabajo, publicaron la variante para el BFS, la cual consistió en inclinar el canal. Este último problema fue realizado para investigar la contribución de las componentes de flotación en el comportamiento del flujo. Entre los resultados, fue encontrado que la componente de flotación en dirección horizontal tiene un efecto despreciable sobre los perfiles de velocidad y temperatura, mientras que la componente de flotación vertical tiene influencia significativa en el comportamiento del flujo.

Al-Sanea (1992) presentó el resultado numérico de la simulación hidrodinámica y térmica para el flujo laminar inyectado sobre una placa calentada a temperatura uniforme (Impinging Slot-jet). El estudio es considerado variando la configuración geométrica y las condiciones del flujo. Para las condiciones del flujo se consideran tres casos: 1) flujo inyectado sobre una placa con condición de frontera el medio ambiente p e e jet- impingement), 2) flujo inyectado sobre una placa y en la parte superior de la geometría limitada por otra placa a temperatura del fluido de entrada (semi-confined-jet impingement), y 3) similar ai caso dos con una segunda entrada de flujo en la parte izquierda del canal (semi-confined-jet impingement with crossflow). La técnica de volumen finito fue usada para la discretización de las ecuaciones gobernantes, el algoritmo SIMPLE fue implementado para el acople de las ecuaciones de masa y momento y para la solución del

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CAPITULO I INTRODUCCIÓN

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sistema de ecuaciones algebraicas, se utilizó el método de línea Por linea. El Parametro característico fue el número de Reynolds, el cual está basado en el ancho de la boquilla por donde se inyecta el flujo, este fue considerado dentro de un intervalo de 50 a 450. De los resultados numéricos, sólo para el, primer caso fueron comparados con resultados experimentales, encontrándose resultados satisfactorios en la comparación. Entre los resultados se presentan correlaciones para el número de Nusselt promedio en función del número de Reynolds para cada caso. El autor concluye que en la zona de recirculación se tiene una mayor transferencia de calor, cuando se considera. un perfil parabólico de velocidad en la entrada comparada a la obtenida cuando se utiliza un perfil uniforme de velocidad. Los casos 1 y 2 muestran resultados prácticamente idénticos en la zona de recirculación; el Nusselt promedio aumenta al incrementar el número de Reynolds y disminuye al aumentar la separación entre la placa caliente y la salida del flujo; para el tercer caso el número de Nusselt disminuye hasta un 60%.

Kondoh et al., (1993) presentaron el estudio para el BFS sin efectos de convección natural y con la variación de tres parámetros principales del problema: razón de expansión del canal (1.25, 1.5, 1.67 y 2), número 'de Reynolds (10-500) y el número de Prandtl(0-1000). La técnica de diferencias finitas fue usada para la discretización de las ecuaciones y un esquema upwind de segundo orden para la aproximación de los términos convectivos. Todas las paredes que constituyen el problema físico, a excepción de la pared inferior del canal con temperatura uniforme, fueron consideradas adiabáticas. De este estudio fue concluido, que la transferencia de calor local depende de los tres parámetros, que el número de Nusselt local máximo no necesariamente se localiza en el punto de re-encuentro del flujo, en contraste a lo que se creía, y que si el número de Prandtl es considerablemente bajo (Pr10.001), el perfil de temperaturas es sustancialmente gobernado por pura conducción de calor.

Bejan et al. (1993) presentaron la solución analítica para el problema del canal rectangular con una fuente de calor en su interior y flujo completamente desarrollado, este estudio fue realizado con fines de aplicación a enfriamientos electrónicos. Los autores consideran tres casos: paredes del canal con temperatura constante, con flujo de calor constante y completamente aisladas. Se consideró la solución para flujo laminar para los tres casos. Los autores concluyen que con la solución propuesta se puede determinar la posición óptima de la fuente de calor.

!

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Barton (1995) presentó la solución numérica para el problema hidrodinámico del flujo laminar forzado (sin término de flotación) en un canal con expansión brusca, el objetivo del estudio fue evaluar diferentes esquemas para la aproximación de los términos convectivos sobre mallas uniformes. La solución fue obtenida por la técnica de volúmenes finitos y el algoritmo SIMPLE fue usado para el acople de las ecuaciones de masa y momento. Los parámetros estudiados fueron una razón de expansión de 2 y un intervalo para el número de Reynolds de 300 a 800. A la entrada del canal se consideró un perfil parabólico para la velocidad. Las soluciones fueron comparadas con resultados experimentales y otras soluciones numéricas existentes, encontrándose que para Re>500 el esquema híbrido tiende a fallar a menos que se usen mallas refinadas.

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CAPiTULO I INTRODUCCI~N

Shewen et al. (1996), presentaron los resultados experimentales para una cavidad rectangular alargada calentada diferencialmente, las paredes horizontales aisladas y las verticales mantenidas a diferentes temperaturas y con razones de aspecto (A=Hx/Hy) de 40, 60 y 110. Las paredes verticales las mantuvieron a 310 y 300K, se consideraron números de Rayleigh hasta IO6 basado en el ancho de la cavidad. Se presentaron los resultados gráficos para el número de Nusselt promedio en función del número de Rayleigh para cada razón de aspecto y las 'correlaciones correspondientes. Se concluye que para razones de aspecto mayores de 40 se tienen pequeñas variaciones para el número de Nusselt y que la correlación propuesta tiene una diferencia de f 1.7% con respecto a los resultados experimentales,

Cónsul et al., (2000) analizaron cuatro de los modelos turbulentos de la familia K - E con funciones de pared para verificar la exactitud con que se predicen los resultados experimentales para el problema del flujo en un canal rectangular, flujo en un canal con expansión brusca, el flujo en una tubería y el flujo inyectado (Impinging Slotjet). Los modelos utilizados fueron los modelos de Jones y Launder (1972), Launder y Sharma (1974), Ince y Launder (1989) y el modelo de Chien (1982). Se utilizó el método de volumen finito para la solución numérica de las ecuaciones gobernantes y el algoritmo SIMPLEC para el acople de las ecuaciones de masa y momento, se usó el esquema de alto orden SMART para la aproximación de los términos convectivos en las ecuaciones de momento. Los autores concluyen que para los casos del flujo en el canal y en la tubería los modelos presentan resultados similares, pero para los casos complejos del flujo en el canal con expansión y el flujo inyectado el modelo de Ince y Launder presenta los mejores resultados.

I . .

i

Colomer et ai., (2002) presentaron la solución numérica para un colector solar plano, el colector se considera como una cavidad rectangular alargada en dos dimensiones y se plantean las ecuaciones acop1adas;de masa, momento y energía para flujo laminar, en la ecuación de la energía se tienen acoplados los efectos de la radiación y la convección. Se utilizó el método ordenado discreto (DOM) para la solución de la ecuación de la energía considerando los efectos de la radiación solar. Los autores concluyen que los resultados concuerdan con sus resultados experimentales y que con la metodología implementada se pueden obtener parámetros importantes para la optimización del colector. Los autores mencionan que los resultados son preliminares a problemas más complejo como el efecto de 3-D y el efecto de la turbulencia.

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Xamán et al. (2002) presentaron la solución de las ecuaciones que gobiernan el fenómeno de convección natural en cavidades rectangulares inclinadas con el fin de analizar la transferencia de calor en colectores solares planos. El espacio de aire entre la cubierta y la placa absorbedora del colector solar fue considerado como una cavidad en dos dimensiones. En el análisis se tomó en cuenta el efecto del ángulo de inclinación de la cavidad, el número de Rayleigh y la razón de aspecto de la cavidad. Los ángulos de inclinación considerados en el tiabajo se encuentran en un rango de 15' a 35", que corresponden a las latitudes de México. Las simulaciones numéricas fueron realizadas para razones de aspecto de la cavidad de 8 y 10 las cuales corresponden a las razones de aspecto de colectores solares planos comerciales y para números de Rayleigh de lo3 y lo4. El sistema de ecuaciones con sus respectivas condiciones de frontera fueron resueltos usando

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CAPITULO I INTRODUCCI~N I

el método de volumen finito y el algoritmo SIMPLER. El sistema de ecuaciones algebraicas obtenido fue resuelto usando el método de línea por línea (TDMA). Para evitar la divergencia en la solución iterativa, se usó bajo-relajación en todas las ecuaciones discretizadas, en la cual se utilizó un factor de relajación de 0.8. Se presentaron los resultados para el número de Nusselt, las líneas de corriente y las isotermas correspondientes a los parámetros mencionados. Los autores concluyen que el código numérico desarrollado permite estudiar diferentes relaciones geométricas de la cavidad (razones de aspecto de 1 hasta lo), aunque sólo se reportaron razones de aspecto de 4, 8, y 10; los resultados muestran la transición del patrón de flujo debido al tipo de transferencia de calor que predomina en la cavidad; el trabajo es un estudio preliminar orientado al estudio de la transferencia de calor en los colectores solares planos, en el cual, a futuro se realizará el estudio para considerar flujo turbulento en las cavidades inclinadas.

Xamán (2004) presentó la solución numérica para estudiar el comportamiento térmico de una cavidad cuadrada con pared slemitransparente. Los modelos matemáticos planteados incluyen la transferencia de calor combinada (convección natural, radiación y conducción) con flujo turbulento. Se usó la técnica de volumen finito para la discretización de las ecuaciones gobernantes, se implementó el algoritmo SIMPLEC para el acople de las ecuaciones de masa y momento y utiliza esquemas de bajo orden para la aproximación de los términos convectivos. El autor concluye que el modelo convectivo-radiativo-conductivo implementado permite estudiar en detalle la transferencia de calor con flujo turbulento en una cavidad bidimensional con pared semitransparente, este modelo da información sobre los coeficientes de transferencia de calor de estos sistemas, adicionalmente permite un avance en la comprensión de lo que podría suceder en habitaciones con ventanas con y sin control óptico. i

1.2.1 Conclusión de la Revisión'bibliográfica

Los modelos de turbulencia de dos ecuaciones K - E son los más utilizados para fines de ingeniería, son los modelos más generales para diferentes casos de flujo de fluidos como son flujos de capa límites, flujos en cavidades, flujos en canales con expansiones bruscas, flujos en canales y en tuberías. Estas geometrías simples en coordenadas rectangulares representan modelos simplificados de problemas prácticos que se pueden encontrar en diferentes aplicaciones en el área 'de térmica. No se encontró en la revisión bibliográfica trabajo alguno en el que se presente en conjunto las soluciones de problemas de transferencia de calor con flujo laminar turbulento.

Para el caso de la convección natural en cavidades existe una amplia información disponible, Xamán (2004) presentó el estudio en detalle de la convección natural en una cavidad cuadrada con flujo turbulento considerando los tres modos de transferencia de calor (conducción, convección y radiaci6n). Pero no se encontró un estudio paramétrico para este caso con flujo turbulento variando la razón de aspecto y el número de Rayleigh en conjunto.

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CAPiTULO 1 ~ N T R O O U C C ~ ~ N

I

Para el caso del flujo entre placas paralelas (canal rectangular) con flujo turbulento no se encontró un estudió paramétrico variando la separación entre placas y el número de Reynolds. i

Para el caso del flujo laminar en un canal con expansión brusca, se encontraron estudios variando la razón de expansión (salida del canal entre entrada al canal) y número de Reynolds. Por lo que un estudio será realizado para este mismo caso con la diferencia en que la razón de expansión está definida como la razón entre la separación de las placas a la salida del canal y el paso en la entrada del canal.

1.3 OBJETIVO I

El objetivo es realizar un estudio en detalle de la transferencia de calor laminar y turbulenta de problemas de convección natural y forzada en coordenadas rectangulares, implementando y comparando para cada problema, diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E .

1.3.1 Objetivos Específicos

1) Modelar en 2-D la transferencia de calor con flujo laminar los siguientes problemas: Convección natural en una cavidad cuadrada, flujo en un canal rectangular, flujo en un canal rectangular con expansión brusca (Backward Facing Step) y flujo sobre una placa plana horizontal (Impinging Slot-jet Flow). Elaborar el código de cómputo para estos problemas en lenguaje de programación Fortran y realizar la verificación con trabajos previamente reportados.

2) Modelar en 2-D la transferencia de calor con flujo turbulento los siguientes problemas: convección natural en una cavidad rectangular alargada y flujo en un canal rectangular. Elaborar el código de cómputo en lenguaje Fortran, implementar para cada caso cuatro modelos de turbulencia y realizar la verificación con trabajos previamente reportados.

1.4 ESTRUCTURA DEL PRESENTE TRABAJO

A continuación se presenta una ,breve descripción del contenido de cada uno de los capítulos:

Capítulo 1: Se presenta la revisión bibliográfica, para modelos de turbulencia IC - E y para problemas de transferencia de calor en geometrías rectangulares y se menciona el objetivo del presente trabajo. Capítulo 2: En este capítulo se presenta una introducción al modelado de los flujos turbulentos con las técnicas más usuales, se enfatizará en la técnica del RANS (Reynolds Average Navier-Stokes) y de ésta, al modelo K - E .

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CAPITULO 1 INTRODUCCI~N I

Capítulo 3: Se presentan los modelos físicos y matemáticos para los problemas con flujo laminar y turbulento, se mencionan las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía y las consideraciones correspondientes para hacer válidas las ecuaciones. Se especifican la$ condiciones iniciales y de frontera para cada caso. Capítulo 4: El objetivo de este capítulo es presentar una metodología numérica para la solución general de las' ecuaciones de conservación (Masa, Momentum y Energía). La técnica que se empleará para la solución de las ecuaciones se basa en el método de los Volúmenes Finitos. Capítulo 5: En este capítulo se realiza la validación del código que consiste en realizar verificaciones parciales (por comparación con los reportados de otros autores sobre el mismo caso), para luego incrementar el nivel de complejidad de los problemas. Capítulo 6: En este capítho se presentan los resultados de la variación de parámetros para los casos c'on flujo turbulento; para la convección natural i n una cavidad se consideran númeios de Rayleigh de lo2 a 10' y razones de aspecto de 20, 40 y 80; para el flujo en un canal rectangular se varía la separación entre las placas de 0.1 m a 0.4 m y se considera número de Reynolds de 2x104 a lxlOs. Capítulo 7: En este últimb capítulo se presenta las conclusiones generales y recomendaciones para trabajos futuros.

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CAPirULO 2 TEORiA BÁSICA DE LA TURBULENCIA I

CAPÍTULO 2 TEORÍA BÁSICA DE LA TURBULENCIA

El fenómeno de turbulencia se presenta en la mayoría de los flujos existentes en la naturaleza y en las aplicaciones de ingeniería. Actualmente es una de las áreas de investigación en la comunidad científica de Dinámica de Fluidos Computacionales (Computacional Fluid Dynamics, CFD), debido a su complejidad ha sido imposible el desarrollo de modelos matemáticos universales que modelen los flujos turbulentos. Por lo tanto, dar solución a los problemas de flujos turbulentos implica introducir los efectos de turbulencia en la descripción del flujo por medio de modelos, los cuáles son típicamente una combinación de empirismo y teoría. Debido al desconocimiento fundamental que se tiene sobre la turbulencia en fluidos, resulta sumamente dificil ofrecer una descripción exacta.

En este capítulo se presenta una introducción al modelado de los flujos turbulentos con las técnicas más usuales, se enfatizará en la técnica del RANS (Reynolds Average Navier- Stokes) y de ésta, al modelo K - E ,

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2.1 ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE LA DINÁMICA DE FLUIDOS Y TRANSFERENCIA DE CALOR

Para conocer el comportamiento de cualquier problema que involucre el movimiento de un fluido, asociado o no, con la transferencia de calor por convección natural o' forzada, es necesario obtener un modelo matemático que representen con ciertas consideraciones el movimiento de los fluidos.

2.1.1 Descripción del Movimien'to de un Fluido

Se puede considerar que un fluido está compuesto por un número muy grande de partículas, cuyo movimiento debe ser descrito. Seguir la trayectoria de movimiento de cada partícula de fluido por separado (Descripción Lagrangiana) se convertiría en un enorme problema de toma de datos, es decir la descripción de partículas resultaría inmanejable. Por otro lado, existe el método de descripción de'campo o Euleriano, en el cuál se utiliza una determinada región en el espacio (volumen de control) por donde se mueve o atraviesa el fluido, para describir su movimiento. Este último método es el utilizado en el presente trabajo.

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CAPiTULO 2 I

TEOR~A BASCA DE LA TURBULENCIA.

i 2.1.2

La ecuación de continuidad se obtiene de aplicar el principio de conservación de masa. Este principio se expresa desde un punto p l e n a n o como: la variación con respecto al tiempo de la masa dentro de un volumen de control es igual al flujo másico que lo atraviesa.

En forma diferencial este principio se expresa como:

Ecuación de Conservación de Masa o Continuidad

! -+ a f v . bu)= o (2.1) at

La deducción de esta ecuación es bresentada en el. Apéndice A, así como también otras formas de expresarla.

2.1.3 Ecuación de ConservaciÓn1de Momento Lineal

El principio de conservación de cantidad de movimiento establece: La variación temporal de la cantidad de movimiento asociado a un volumen de fluido mas el flujo neto que atraviesa las superficies del volumen de control es igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él. Se conoce como la cantidad de movimiento o momentum de un elemento de masa, al producto de ésta por su velocidad.

La ecuación diferencial que resulta de este principio es:

i , por lo tanto, para las tres componentes se puede escribir:

Históricamente, las tres ecuaciones anteriores de la cantidad de movimiento para flujos viscosos han sido consideradas como las ecuaciones de Navier-Stokes. No obstante en la

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TEOR~A BASICA DE LA TURBULENCIA. CAPITULO 2

I literatura moderna de CFD se refieren a las ecuaciones de Navier-Stokes como el sistema de ecuaciones para flujos viscosos, continuidad, cantidad de movimiento y energía.

La deducción de las ecuaciones de Navier-Stokes está dada en le Apéndice B.

2.1.4 Ecuación de Conservación de Energía

La ecuación de energía es obtenida de la primera ley de la termodinámica, la cual establece que la cantidad de cambio de energja de una partícula fluida es igual a la cantidad de calor adicionado al elemento fluido más la cantidad de trabajo realizado sobre la partícula.

La deducción de la ecuación de conservación de energía está dada en el Apéndice C y se expresa de la siguiente forma: I

2.1.5 Ecuaciones Simplificadas de Navier-Stokes.

Las ecuaciones de Navier-Stokes forman un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales acopladas, y por lo tanto, presentan una complejidad en su solución. Para facilitar la solución de las ecuaciones, éstas se simplifican asumiendo ciertas hipótesis que a continuación se mencionan: I

Flujo Incompresible: La condición de incompresibilidad no implica necesariamente que la densidad sea constante, hace que la densidad pase a ser sólo una función de la temperatura, ya que para un flujo compresible la variación de la densidad es con la presión y temperatura.

Se considera que la fuerza másica que actúa sobre el fluido es la gravedad.

Hipótesis de Aproximación de Boussinesq: En convección natural la fuerza motora básica es el campo de temperaturas. La variación de temperaturas ocasiona una variación de densidades que en presencia del campo gravitatorio origina un movimiento de las partícúlas del fluido, es decir, un flujo. La hipótesis de Boussinesq considera despreciable la variación de la densidad con la presión.

Disipación Viscosa Despreciable: Este término está representado por T.VU en la ecuación de energía. La variación de la temperatura o energía interna que se produce debido a este término (fuerzas viscosas) solo puede apreciarse en sistemas con altas velocidades de flJjo, en los cuáles los gradientes de velocidad son grandes.

I

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TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA C A P h L O 2

Fluido No Participante a la Radiación: Se considera que el medio (aire) no emite, no absorbe ni dispersa la radiación térmica, es decir, es un medio transparente a la radiación.

Aplicando la consideración de flujo incompresible, propiedades constantes, fuerzas de cuerpo solo en la dirección vertical, la aproximación de Boussinesq y se desprecia la disipación viscosa para el aire no pahipante, se tienen las ecuaciones reducidas de Navier- Stokes como:

au av aw ax ih/ az -+ -+ -=o (2.4)

1 aU aU aU al ax ay

p- + pu-+ pv-+

av aV av av aP, ' a 5 p -+ pu -+ pv -+ p w - = - -+ p ' at ax ay az ay [I2

a l w a l w

axz ay2 azl aw aw aw at ax ay p - + pu -+ pv-+ -+ -+ -

aT aT aT p- + pu- + pv-+ at ax ay

(2.5a)

(2.5b)

( 2 . 5 ~ )

2.2 DEFINICIÓN DE FLUJO TURBULENTO

Definir la turbulencia no es sencillo, en 1937, Taylor y Von Karmán definieron la turbulencia como: un movimiento irregular que aparece en los fluidos, gaseosos o líquidos, cuando éstos encuentran superficies sólidas o inclusive cuando corrientes del mismo fluido se reencuentran (Pope, 2000). Hinze en 1975 define la turbulencia como: una condición de irregularidad del flujo, en la cual vaiias cantidades (u, v, T, P, etc ...) muestran una variación aleatoria con respecto a las coordenadas espaciales y temporales, así que estadísticamente distintos valores promedios pueden ser apreciados. Pero hasta la fecha no se ha aceptado ninguna como definición única de la turbulencia. Ante la dificultad de una definición precisa de la turbulencia, se opta por la enumeración de las propiedades más destacables de los movimientos turbulentos. Ha)í que tener en cuenta que la turbulencia no es una propiedad del fluido, sino del flujo:

Fluio irregular: es la característica más apreciable para cualquier observador. La irregularidad se manifiesta en la aparición de fluctuaciones de las variables fluidodinámicas (velocidad, presión, temperatura, concentración) con tamaños y tiempos muy diferentes. E\ flujo consiste de un espectro de diferentes escalas (tamaño de remolinos), donde los remolinos más grandes son del orden de la geometría del flujo, y por el otro lado del espectro, se tienen a los remolinos más

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TEORiA BÁSICA DE LA TURBULENCIA. CAPITULO 2

pequeños que pueden ser de orden molecular. Por este motivo, la hipótesis del continuo, que sólo consider4 los efectos promedios o macroscópicos de muchas moléculas, es válida, la cual permite que para números de Reynolds grandes las ecuaciones de Navier-Stokes sean válidas y describan todas las escalas del fenómeno de turbulencia. ~

Fluio altamente difusivo: en' flujos turbulentos la difusividad se incrementa. Esto significa que conforme el flujo llega a ser turbulento, este causa rápidamente mezclado e incrementa la razón de transferencia de calor y de materia. Fluio a altos Re: las fuerzas viscosas son superadas por las fuerzas inerciales, provocando que el movimiento laminar sea inestable. Fluio tri-dimensional: las fluctuaciones de los flujos son siempre en tres dimensiones. Fluio altamente disipativo: toda la energía cinética en los pequeños remolinos del flujo turbulento es transformada en energía interna (incrementando su temperatura). En estas escalas, la viscosi+ad molecular es la encargada de llevar a cabo este proceso. De aquí se extrae una conclusión importante, que para mantener la turbulencia se ha de aportar constantemente energía al sistema o de lo contrario, el flujo terminará por estabilizaf-se.

Resultados experimentales han mostrado que para bajos números de Reynolds (menor que cierto valor crítico) el flujo presenta un movimiento suave y ordenado en capas adyacentes de fluido, entonces se dice que el flujo es laminar y que la viscosidad del fluido domina. Pero por arriba del valor crítico del número de Reynolds, el estado del flujo presenta una serie de eventos mostrando más o menos fluctuaciones aleatorias sobre la dirección del flujo medio, el cual eventualmente presentará un cambio radical. Las velocidades y todas las propiedades del flujo varían d( forma aleatoria y el flujo efectivamente llega a ser turbulento conforme el momento del fluido se incrementa.

En definitiva, la turbulencia es un fenómeno complejo, gobernado por las ecuaciones de la mecánica de fluidos para un medio continuo e incluso las escalas más pequeñas que aparecen en un flujo turbulento están muy lejos de las escalas de longitud molecular, por lo que su solución analítica resulta no viable. Debido a que las ecuaciones del movimiento son no lineales, cada tipo de flujo posee ciertas características singulares que van asociadas a sus condiciones iniciales y de contorno.

2.3 ESCALAS DE TURBULENCIA

Como se mencionó en los párrafos antenores, existe un amplio rango de escalas en un flujo turbulento. Las más grandes escalas~son del orden de la geometría del flujo, por ejemplo, el espesor de la capa límite, con escalas de longitud y velocidad e y U respectivamente. Estas escalas extraen energía cinética del flujo medio, la cual tiene una escala de tiempo comparable con las grandes escalas, es decir:

l . .

n

19

~~ ~ ~

TEORiA BASICA DE LA WRBULENCIA. ! CAPiWLO 2

Las grandes escalas pierden gradualmente su energía cinética al interactuar con las escalas más pequeñas a través del proceso de energía en cascada, de esta manera, la energía cinética es pasada a las pequeñas escalas. En las escalas más pequeñas de turbulencia las fuerzas de fricción (esfuerzos viscoshs) llegan a ser demasiado grandes y la energía cinética es transformada (disipada) en energía interna, provocando un aumento en la temperatura. La disipación es simbolizada por E, la cual es energía por unidad de tiempo y unidad de masa ( ~ - [ m ~ / s ~ ] ) . La disipación es la responsable de transformar la energía cinética en las escalas pequeñas a energía interna. Las fuerzas de fkicción existen en todas las escalas, pero son mucho más grandes en los remolinos más pequeños. Entonces no es del todo cierto, que toda la energía cinética de los grandes remolinos sea gradualmente pasada a los remolinos más pequeños, puesto que también parte de su energía cinética será convertida en energía interna debido a las fuerzas de fricción pequeñas. Sin embargo, se considera que gran parte de la energía cinética (90 %) en las escalas más grandes es finalmente disipada a los

1

remolinos más pequeños. !

Las escalas más pequeñas, donde la disipación ocurre son llamadas las escalas de Kolmogorov (escalas más pequeñas .de la turbulencia): escala de velocidad, U , escala de longitud, e y escala de tiempo, 5 . Se considera que estas escalas son determinadas por la viscosidad cinemática, v y por la disipación E. Del hecho, que la energía cinética es destruida por las fuerzas viscosas, es natural pensar que la viscosidad juega una parte en determinar estas escalas. La cantidad de energía que es disipada, es E. Entre mayor sea la energía que es transformada de energía cinética a energía interna, mayor serán los gradientes de velocidad. Tomando en cuenta que la consideración de las escalas disipativas son determinadas por la viscosidad y la disipación, se puede expresar u , e y r en función de v y E, a través del análisis dimensional. Por lo tanto,. se puede escribir:

j n

Las dimensiones del lado izquierdo y lado derecho de la ecuación anterior deben ser las mismas. Entonces por análisis dimensional se pueden obtener dos ecuaciones algebraicas, una para los metros y otra para los segundos:

I

Para metros [m]:

1 = 2 a + 2 b (2.9)

20 1

~ ~~~~~~~ ~~ ~ . . . ~ 1

TEORiA B h i C A DE LA TURBULENCIA. CAP~TULO 2

Para segundos [SI: I -1 = -a - 3b (2.10) AI resolver las ecuaciones (2.9) y (2i10), da como resultado a=b=1/4. de la misma manera, se pueden obtener expresiones para y 5 . De esta forma se obtiene:

I u = ("E)'"

112 .=(;)

(2.1 la)

(2.11b)

(2.11c)

Las ecuaciones (2.11) son conocijdas como las escalas de Kolmogorov, las cuales representan las escalas más pequeñas de la turbulencia (Pope, 2000).

2.4 ESTRATEGIAS PARA LA S O L U C I ~ N DE LA TURBULENCIA

La problemática ahora es, que al ha& válidas las ecuaciones de Navier-Stokes en régimen turbulento, se tiene la necesidad de usar mallas temporales y espaciales muy refinadas para obtener soluciones fisicamente aceptables. Esta característica es coherente con la naturaleza de la turbulencia, debido a que las escalas espaciales y temporales más pequeñas de la turbulencia (escalas de Kolmogorov) deben ser consideradas. Entonces para reproducir adecuadamente la complejidad de la thrbulencia es necesario utilizar incrementos de tiempo muy pequeños y de muchos volúmenks de control, esto implica un alto costo computacional (tiempo de cálculo) e industrialmente no viable. Entonces se busca modelar la turbulencia de otra manera, en la cual los esfuerzos computacionales sean menores y que los resultados sean suficientemente buenos.

Desde el punto de vista del tiempo de cómputo, se han desarrollado diferentes estrategias matemáticas a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, para obtener un modelo más o menos sencillo que reproduzca la turbulencia. Existen dos grandes divisiones para abordar la solución a la turbulencia: !

DNS (Simulación Numérica Directa) La técnica del DNS es la aproximación más exacta al estudio de la turbulencia y consiste en resolver las ecuaciones de Navier-Stokes instantáneas (en tres dimensiones) con sus 5 incógnitas (componentes de velocidad, presión y temperatura) en todo el dombno espacial y temporal de la turbulencia. Por este motivo, es necesario reproddir mallas espaciales y temporales que abarquen las fluctuaciones que se producen con las escalas más pequeñas (escalas de Kolmogorov); los únicos errores provienen de las discretizaciones numéricas. Es útil para el caso de geometrías sencillas y números de Reynolds relativamente bajos, pero para geometrías complejas o números de Reynolds elevados el problema es

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"""I CE N I DET /ENTRO DE INFORMACiON

~ ~. .. ~ ~~ . . . . ~~

TEORiA BASICA DE LA TLRBULENCIA. CAP~TULO 2

i desbordante al requerir tiempo de cómputo excesivo. La comunidad científica considera a los resultados obienidos con DNS, equiparables con gran exactitud a los resultados experimentales.

Modelización de la Turbulen!ia Las siguientes técnicas que se presentan consisten en una aproximación estadística al fenómeno de turbulencia. Esto implica la transformación y modelización de las ecuaciones de Navier-Stokes para conseguir un sistema de ecuaciones más fácilmente tratable que presenten un ahorro computacional con respecto al DNS. Estas técnicas se describen a bontinuación:

I . LES (Simulación a Gran Escala) La filosofía de esta técnica esta basada en promediar las ecuaciones de Navier- Stokes (N-S) volumétricamedte, es decir, suponer propiedades medias en una región del espacio y unas fluctuaciones que caracterizan finalmente al fluido. Es un cálculo en general sobre 3D y es permitido usar volúmenes de control relativamente grandes. Para la solución de las escalas temporales el LES demanda de muchos incrementos de tiempo, esto permite, resolver las escalas temporales significativas de la turbulencia pero pro\;oca que el costo computacional sea grande. Una alternativa para reducir el esfuerzo computacional es resolver las escalas más pequeñas de la turbulencia promediadas en el tiempo, con el fin de usar incrementos de tiempo relativamente grandes. La técnica que permite esto, es la técnica del RANS, la cual se describe a cbntinuación.

2. RANS (Simulación de las Ecuaciones de N-S con Promedios de Reynolds) Esta técnica es las más utilizada en los casos de aplicación de elevados números de Reynolds. Consiste en resolvkr las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el tiempo, es decir, reproducir ids variables instantáneas del campo turbulento por una componente media más una componente fluctuante. Permite utilizar mallas temporales burdas, ya que no se solucionan las escalas de tiempo más pequeñas, por otro lado, se necesitan malla; espaciales refinadas sobre todo en la capa limite o zonas en donde existen fuertks gradientes de diversas variables. El RANS es la técnica más usada en el ámbito de la ingeniería y es la utilizada en el presente proyecto de tesis.

i Tanto la técnica del LES como del RANS están pensados para simular regiones con grandes números de Reynolds, es decir, zonas en las cuales la turbulencia es importante y presentan problemas en los cambios de régimen laminar a turbulento, como por ejemplo: en la capa límite donde la turbulencia aparece progresivamente a causa del cambio fenomenológico entre las fuerzas viscosas y las inerciaies.

Afortunadamente, en la mayoría de las aplicaciones el flujo medio es el de mayor interés con respecto a las fluctuaciones turbulentas, especialmente en las aplicaciones ingenieriles.

22

! CAPÍTULO 2 I TEORA BÁSICA DE LA TURBULENCIA.

2.5 SIMULACI~N DE LA TURBULENCIA CON LA TÉCNICA DEL FUNS

En aplicaciones ingenieriles, el interés se encuentra en los efectos del flujo medio y no en las fluctuaciones, por lo que se adopta una aproximación estadística, promediando las ecuaciones de conservación (“time-average”) durante un periodo de tiempo mucho mas grande que el periodo característico’ de las fluctuaciones turbulentas. Es por este motivo, que esta técnica es la más utilizada para fines prácticos en la ingeniería.

Si los valores instantáneos de las Características del fluido se descomponen en valores medios estacionarios ( q ) y fluctuahones transitorias (4 ’ ) , entonces se expresan de la siguiente manera:

(2.12) j ! @=?+@’

Donde $se define como:

(2.13)

En la integración temporal se supone que At va ser grande en comparación con la escala media de las fluctuaciones (At»t,, ti = escala temporal de la fluctuación), para no filtrar el comportamiento transitorio de las flhctuaciones de la turbulencia; pero ha de ser pequeño en comparación con la escala tempohal del flujo principal (At<<t2, t2 = escala temporal del comportamiento medio) para tener t$n cuenta el posible comportamiento transitorio de la componente media de la variable (Figura 2.1). De manera, que se puede considerar la evolución de las variables de turbulencia con el tiempo con una tendencia media más una fluctuación sobre esta.

Figura, 2.1 Representación de las escalas de tiempo de la variable q3

I

23

TEORiA BÁSICA DE LA TURBULENCIA. CAPITULO 2

En otras palabras, se puede decir que la turbulencia es en algún sentido un fenómeno permanente cuando dt+oo, aunque tenga un campo de velocidades fluctuantes, estas fluctuaciones no son muy significativas en comparación con el valor medio y se considera transitoria cuando db>t, y dt<<t~ [Pope, 20001.

A partir del concepto de la descomposición de Reynolds, se pueden deducir las ecuaciones de Navier-Stokes promediadas en el ‘tiempo por sustituir las expresiones para cada variable y realizar un promedio temporal sobre toda la ecuación, para esto es necesario algunas definiciones básicas que se dan a continuación.

2.5.1 Definiciones Básicas para V,alores Estadísticos

Sean las variables escalares f ( t ) = 7 + f’ y g ( t ) = g + g‘

En el caso de que la magnitud f ( f ) se obtenga como una función continua del tiempo (posiblemente únicamente en el caso de expresiones analíticas, ya que todo instrumento de laboratorio o cálculo numérico ofrece resultados discretos de la variable), el promedio se define como se había presentado antes en la ecuación 2.13:

- 1 o+& f = t [ f ( t ) d t cuando At -f m

Para el valor fluctuante: f ’ ; se verifica que:

(2.14)

(2.15)

Una magnitud importante en el estudio de la turbulencia es la desviación cuadrática media de la fluctuación (rms, “root mean square”), que indica la escala de variación de f ( t ) alrededor de la media, y esta definida de la siguiente manera:

(2.16)

También se verifican las siguientes igualdades, las cuáles son útiles para la manipulación algebraica:

(2.17a,b,c,d)

(2.18a,b,c,d)

24

TEORIA BÁSICA DE LA TURBULENCIA CAPITULO 2

- T'xy = 5'y.r = PU'V' T ' n 5 ' u = p U

I

V . ( v f ) = V . ( V T )

- -- (2.24) , 4 =dry = pv w I t W

(2.19)

Algunas de las igualdades antenotes también se cumplen en el caso de variables vectoriales, así como también las siguientes igualdades adicionales, sea u = U + u' una variable vectorial, entonces: I

I

(2.20a,b)

2.5.2 Ecuaciones de Navier-Stokes con Promedios de Reynolds

A continuación se muestran las ecuaciones promediadas en el tiempo en notación tensorial; que resultan de sustituir el valor de las variables instantáneas por su valor medio y fluctuante, así como también aplicando las igualdades anteriores; para flujo incompresible y propiedades físicas constantes (para más información sobre la deducción de las ecuaciones, ver el libro de Wilcox, 2000):

~ ~

p - + p u aT - -=-- aT 1 a [ A-- aT pc,T;;] at , ax, c, ax, ax,

(2.21)

(2.22)

(2.23)

Tal como se aprecia en las ecuaciones anteriores, no ban tenido gran modificación, exceptuando que las variables principales son las componentes medias (la ecuación de continuidad permanece invariante). A diferencia de la ecuación (2.5), la ecuación (2.22) tiene un término adicional, producto /de las componentes aleatorias que son diferentes de cero. Este término para la ecuación de cantidad de movimiento es un tensor simétrico que introduce 6 nuevas incógnitas y es conocido como el tensor de esfuerzos de Reynolds ( p G ) , el cual, a diferencia de tensor de esfuerzos viscosos, este se origina por la transferencia de momento a partir del campo fluctuante de las velocidades, que esta constituido por los siguientes componkntes:

I

TEOR~A BASICA DE LA TURBULENCIA. CAPiTULO 2

I

fenómeno de turbulencia. i

se indica a continuación. La energía cinética turbulenta, como se mostrará más adelante, es muy utilizada a la hora de simular las ecuaciones de turbulencia debido a su relación con el

!

(2.25)

Paralelamente, al tensor de Reynolds, aparece en la ecuación (2.23) un campo fluctuante de velocidades y temperaturas, el cual introduce 3 nuevas incógnitas ( p q ).

I

Finalmente, después del promedio temporal de las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía, han surgido 9 incógnitas adicionales a las 5 que ya se tenían (son precisamente estos 9 incógnitas que1 permiten advertir las diferencias conceptuales entre régimen laminar y turbulento, es decir, las que imponen las diferencias entre las dos regímenes). En total se tienen 14 incógnitas por sólo 5 ecuaciones y es inevitable la obtención de nuevas ecuaciones.

2.5.3 Ecuación de Transporte del Tensor de Esfuerzos de Reynolds

Para obtener nuevas ecuaciones se introducen hipótesis simplificativas para obtener los momentos de segundo orden en las ecuaciones de Navier-Stokes. Para ello, se hace uso del operador matemático dado como la jecuación (2.26) (ecuación de momento de Navier- Stokes igualada a cero), y se manipulan algebraicamente las componentes con las componentes de las velocidades fluctuantes como se expresa en la ecuación 2.27.

1

u ) M ( u , ) + U ) M ( U j ) = o

(2.26)

(2.27)

A partir de la manipulación algebraica de la ecuación (2.20) se obtiene la ecuación para el tensor de esfuerzos de Reynolds, esta ke desglosa a continuación en sus diferentes términos como:

I

C.. = d . . + p.. + 4.. - E . . ' 1 9 1 1 i 1 1 1

donde:

! (2.28)

I (Acumu/ación y transporle convedivo)

I

26

TEORfA BASICA DE LA TURBULENCIA cApiruLo 2

(producción a causa de los esfuerzos)

(Redistribución)

(Disipación)

El término 4~ es el esfuerzo de presión, el cual promueve la isotropía de la turbulencia y EO es la disipación de los esfuerzos turbulentos, la cual es la encargada de la transformación de energía mecánica en calor en las pequeñas escalas de la turbulencia.

Cuando se toma la traza del término de esfuerzo de presión, este se desvanece a cero

(@;< = 2 - 2 = O ) , debido a continuidad. Entonces, se puede decir que el término de esfuerzo

de presión en la ecuación (2.28) no agrega o destruye alguna energía cinética turbulenta, el solamente redistribuye la energía entre las componentes normales. Siguiendo el razonamiento físico de Hinze (1975), b, actúa para reducir los grandes componentes de esfuerzos normales y distribuye esta energía hacia otras componentes normales.

De la transformación matemática anterior se ban obtenido 6 . nuevas ecuaciones para el tensor de esfuerzos de Reynolds, pero también han aparecido 22 nuevas incógnitas debido a los nuevos tensores triples y a otras variables nuevas que ban surgido ( IO debido a uiujuk , 6

~

P' au: P ax,

~

I , I

- a P'U' debido a E,, y 6 debido a -A). P

Ecuaciones para la aproximación de los tensores de orden triple pueden ser deducidas, sin más que seguir el proceso anterior con las ecuaciones de Navier-Stokes, pero aplicándolo a la ecuación (2.28), pero esto involucraría un nuevo tensor de orden cuatro, y así se podría seguir indefinidamente. Este es el conocido como el problema de cerradura de las ecuaciones de la Grbulencia. De lo anterior, es evidente la imposibilidad de cerrar el problema de la turbulencia (mediante la aplicación de momentos de orden superior) debido a los términos no lineales de las ecuaciones de Navier-Stokes, ya que cada transformación incrementaría el número de nuevas incógnitas. Esto es lógico, ya que cada transformación matemática introduce un principio físico adicional (Wilcox, 2000).

27

TEOR~A BASICA DE LA TURBULENCIA. c A p i m L o 2

2.5.4 Modelos de Turbulencia

Debido a lo anterior es inevitable el uso de relaciones semi-empíricas para el cierre de las ecuaciones que surgen al aplicar el promedio de Reynolds a las ecuaciones de Navier- Stokes. Existen tres ramas para abordar el problema de turbulencia por la técnica del RANS:

Modelos de esfuerzos de Reynolds (Reynolds Stress Models) Modelos de esfuerzos algebraicos (Algebraic Stress Models) Modelos de remolinos de viscosidad (Eddy Viscosity Models).

2.5.4.1 Modelos de Esfuerzos de Reynolds (RSM)

Este método es el más complejo de los modelos clásicos (también es conocido como el modelo de cerradura de segundo momento), tal como lo indica su nombre, se caracteriza por cerrar el sistema de ecuaciones a partir de la simulación directa de cada una de las incógnitas del tensor de Reynolds (ver la ecuación (2.28)) y la resolución de las 6 ecuaciones existentes para el tensor, pero como se mencionó anteriormente, la ecuación (2.28) contiene términos adicionales desconocidos. De las ecuaciones de Navier-Stokes se podría deducir expresiones de transporte para las cantidades desconocidas, pero incrementaría el número de incógnitas al sistema de ecuaciones diferenciales parciales. En vez de derivar nuevas expresiones, se utilizan modelos para los términos desconocidos en el tensor de esfuerzos de Reynolds.

Partiendo de la ecuación de transporte del tensor de Reynolds, ecuación (2.28), se obtienen ecuaciones para energía cinética turbulenta ( K ) y para la disipación de energía cinética turbulenta ( E ) que más adelante se presentarán. Estas variables nos pueden ayudar a modelar los términos desconocidos de la ecuación de transporte del tensor de Reynolds, como por ejemplo, la expresión dada por Daly y Harlow (1970) para la triple correlación en el término de difusión de la ecuación (2.28) como:

(2.29)

Versteeg y Malalasekera (1995) señalan que la principal ventaja de los RSM es la exactitud con que se calculan las propiedades del flujo medio y todos los esfuerzos de Reynolds para flujos simples y complejos, pero los cálculos tienen un elevado costo computacional (debido al número total de ecuaciones diferenciales parciales que se resuelven) y que además los modelos de RSM no están ampliamente validados como los modelos de remolinos de viscosidad (EVM).

28

TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA. CAPiTULO 2

2.5.4.2 Modelos de Esfuerzos Aigebraicos (ASM)

De la misma manera que los modelos RSM, los modelos algebraicos resuelven las 6 ecuaciones del tensor de esfuerzos, con la diferencia de que en estos modelos transforman las ecuaciones diferenciales parciales en ecuaciones algebraicas aproximadamente equivalentes. También estos modelos requieren de ecuaciones adicionales, como la K y E por ejemplo, para aproximar los términos desconocidos.

Los modelos de esfuerzos algebraicos son una manera económica de tomar en cuenta los esfuerzos de Reynolds sin resolver todos los términos de las ecuaciones de transporte de Reynolds. El elevado costo computacional de resolver los RSM es causado por el hecho de que los gradientes de los esfuerzos de Reynolds aparecen en los términos convectivos y difusivos en la ecuación (2.21). Rodi (1984) propuso la idea de que si los términos de transporte convectivo y difusivo son removidos o modelados, las ecuaciones de esfuerzos de Reynolds pueden ser reducidas a un grupo de ecuaciones algebraicas. El método más simple es despreciar los términos convectivos y difusivos. Un método más general es considerar que los términos convectivos y difusivos de los esfuerzos de Reynolds son función de la energía cinética turbulenta y su disipación, esto es:

(2.30)

Donde CD es una constante ajustable dependiendo de las condiciones del flujo y Ci = 2.2.

Los esfuerzos de Reynolds aparecen en ambos lados de la ecuación anterior, de lado derecho de la ecuación se encuentran en los términos de producción Po, así que un grupo de seis ecuaciones algebraicas simultáneas (con seis esfuerzos de Reynolds desconocidos) se formará y podrá ser resuelto por la inversión de una matriz o alguna técnica iterativa si K y E son conocidas. Por lo tanto, en los ASM se necesita resolver en conjunto un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales con un par de ecuaciones diferenciales parciales (ecuaciones de K y E).

2.5.4.3 Modelos de Remolinos de Viscosidad (EVM)

Estos modelos son los más utilizados en problemas prácticos de ingeniería, debido a que requieren de menos tiempo de cómputo y a que han sido más ampliamente validados con diferentes problemas que los modelos anteriores. La técnica de los EVM consiste en la modelación de los esfuerzos turbulentos considerando una relación de estos con los gradientes de velocidad y la viscosidad turbulenta, la idea surge de la analogía del cálculo de esfuerzos viscosos en los flujos laminares. Esta hipótesis es conocida como la “Consideración de Boussinesq”. Estos son los modelos utilizados en el presente proyecto de tesis, los cuales serán comentados más extensamente a continuación.

29

TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA. CAPITULO 2

2.6 MODELOS DE REMOLINOS DE VISCOSIDAD (EVM)

2.6.1 Consideración de Boussinesq

Tal como se había comentado previamente, estos modelos parten de la hipótesis de la viscosidad turbulenta que de forma análoga a como se calculan los esfuerzos viscosos para un fluido Newtoniano, relaciona los esfuerzos turbulentos con los gradientes de velocidad media a través de una viscosidad turbulenta (,ul) y que queda expresada de la siguiente forma:

(2.31)

En la ecuación anterior, ,ut es la viscosidad turbulenta o remolino de viscosidad, la cual, en contraste con la viscosidad molecular (,u) no es una propiedad del fluido pero depende fuertemente del estado local de la turbulencia y puede variar significativamente desde un punto a otro en el fluido. La introducción de la ecuación (2.31) por si sola no constituye un modelo de turbulencia, pero si proporciona el marco para construir uno. El principal problema es ahora, como determinar la distribución de la viscosidad turbulenta.

En la ecuación (2.31) la parte de isotropía está representada por (2/3)~6,, (esfuerzos normales) y la parte no-isotrópica esta dada por el tensoro, =%-(2 /3)~6 , (esfuerzos tangenciales o cortantes). De acuerdo a la consideración de Boussinesq el tensor no- isotrópico es determinado por los gradientes de velocidad media (Pope, 2000):

(2.32)

En directa analogía al transporte de momento turbulento, los flujos de calor turbulentos o transporte de masa son considerados a estar relacionados a los gradientes de la cantidad transportada (analogía de Reynolds: similar a la ley de Fourier para conducción de calor o la ley de Fick para difusión molecular), esto es:

(2.33)

donde: TI es la difusividad turbulenta. Al igual que la viscosidad turbulenta, Ti no es una propiedad del fluido pero depende del estado local de la turbulencia. De hecho, la analogía de Reynolds entre el transporte de calor o masa y transporte de momento sugiere que TI este relacionada a la viscosidad turbulenta a través de:

(2.34)

30

TEOR~A BASCA DE LA TURBULENCIA C A P i r u L o 2

Donde, CTT es el número de Prandtl turbulento (transporte de calor) o número de Schmidt (transporte de masa). Resultados experimentales ban mostrado que el CTT varia ligeramente a través del flujo (Rodi, 1984). Por lo tanto, muchos modelos consideran en la ecuación (2.34) el número de Prandtl turbulento o Schmidt como una constante.

En la técnica del FUNS-EVM existen modelos de cero ecuación, de una ecuación y de dos ecuaciones. Esta nomenclatura se refiere a la cantidad de ecuaciones diferenciales adicionales para cerrar el problema de turbulencia. De cada grupo de modelos, existen subgrupos, pero a efecto de realizar una introducción a la turbulencia, sólo se explicarán brevemente las características básicas de cada uno de ellos para pasar posteriormente a profundizar en los modelos de 2 ecuaciones.

Es interesante comentar que cada uno de los grupos de los modelos del FUNS-EVM tiene como objetivo final, calcular o determinar la viscosidad turbulenta (,u,). Esto permitirá obtener el valor de los esfuerzos turbulentos con el fin de tener el número mínimo de expresiones para cerrar el problema de turbulencia.

2.6.2 Modelos Algebraicos o de Cero Ecuación

Estos son los modelos más simples de la familia de EVM, ya que no se resuelve ninguna ecuación diferencial, en vez de ello, se utiliza una ecuación algebraica para obtener la viscosidad turbulenta.

En los modelos de remolinos de viscosidad, la viscosidad turbulenta es proporcional a una escala de velocidad y a una longitud característica del movimiento turbulento, esto es:

(2.35)

2.6.2.1 Modelo de Longitud de Mezcla de Prandlt

Entre el desarrollo de estos modelos se encuentra la teoría de longitud de mezcla de Prandtl, la cual es desde 1925, la que dio pie al todavía popular entre ingenieros, el modelo de longitud de mezcla de Prandtl (Wilcox, 1993), representa la distancia media, perpendicular al flujo, a io largo de la cuál una partícula pierde su cantidad de movimiento extra y adquiere la velocidad media que exista en la nueva posición. Este modelo es el más simple de turbulencia y no requiere solución de ninguna ecuación de transporte de cantidades de turbulencia. En la hipótesis de longitud de mezcla, Prandtl considera que la escala de velocidad es:

31

TEOR~A BÁSICA DE LA TURBULENCIA. CAPiTULO 2

(2.36)

Entonces, sustituyendo la ecuación anterior en la ecuación (2.35) se obtiene una expresión para la viscosidad turbulenta como:

(2.37)

Donde “Y’ es la longitud de mezcla que representa la longitud de escala del flujo turbulento. Es conocido que ‘‘P. puede tener diferentes formas para diferentes tipos de flujos. Por ejemplo, en el problema de capa límite sobre una pared, la relación de la longitud de mezcla es:

e = KY (2.38)

Donde K es la constante de von Karman (0.41) y ‘‘y” es la distancia desde la pared. Aunque la hipótesis del modelo de longitud de mezcla es fácil de usar y muestra buenos resultados para algunos problemas simples, el modelo tiene las siguientes desventajas:

Es incapaz de predecir flujos con separación o recirculación, que comúnmente se encuentran en problemas de la ingeniería. Sólo calcula propiedades medias y tensiones turbulentas No toma en cuenta los efectos de convección y difusión en el modelo.

2.6.2.2 Otros Modelos Algebraicos

Van Driest (1956) estableció un factor de corrección para el modelo de longitud de mezcla de Prandtl, otros modelos modernos aún usan este factor de corrección. Para mejor predecir los flujos en capa límite, Cebeci y Smith en 1974 refinaron el concepto de viscosidad turbulenta/ longitud de mezcla. Para eliminar la dificultad en definir una escala de longitud turbulenta para el espesor de capa límite donde no son fácilmente determinados Baldwin y Lomax en 1978 propusieron un nuevo modelo algebraico. Para un mayor detalle de todos estos modelos, consultar el libro de Wilcox (2000).

2.6.3

Prandtl (1945) y Kolmogorov (1942) sugirieron que la viscosidad turbulenta podría ser determinada por una ecuación diferencial en lugar de una ecuación algebraica. En los modelos de una ecuación, las escalas de longitud son expresadas algebraicamente, mientras que las de velocidad se expresan en función de la energía cinética turbulenta ( K ) . De acuerdo con la ecuación (2.25), K es una medida directa de la intensidad de las

Modelos de Una Ecuación (EVM-1-Ecuación)

32

TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA. CAPilVLO 2

fluctuaciones de la turbulencia en las tres direcciones. Cuando la escala de velocidad, d'2, es usada, la relación para la viscosidad turbulenta queda expresada como:

.4= pcpJl;e (2.39)

Donde, C, es una constante empírica. La ecuación anterior es conocida como la expresión de Kolmogorov-Prandtl, debido a que ellos la propusieron (Rodi, 1984).

2.6.3.1 Ecuación para la Energía Cinética Turbulenta K

Estrictamente la variable K debería ser llamada energía cinética turbulenta específica (es decir por unidad de masa), pero en la literatura es llamada simplemente energía cinética turbulenta.

La energía cinética turbulenta está definida como un medio de la suma de las componentes normales del tensor de esfuerzos (ecuación (2.25)). La ecuación diferencial para esta variable se puede obtener al tomar la traza de la ecuación del tensor de esfuerzos, esto es manipular algebraicamente la ecuación (2.28) sustituyendo j = i y k = j, nótese que el término de redistribución 4u se anula por conservación de masa; de lo que se obtiene la ecuación diferencial para la energía cinética turbulenta:

C, = d , + P, - E (2.40)

donde:

aK -ah- c , = - + u . - at J axj

d , =- a [ v- - u . a K )(b]] - + - u , u , axi axj

- - aui

Pk = - u p , - ' axj

(Acumulación y iransporie convectivo) (1)

(Transporte difusivo) (11)

(Producción a cuusu de los esfuerzos iangenciales) (111)

(Disipación) (W

En donde cada término tienen los siguientes significados:

(I) Representa la variación temporal de la energía cinética y su efecto convectivo.

33

I

TEOR~A BASICA DE LA TURBULENCIA. C A P i N L O 2

(11) El segundo término representa el transporte difusivo turbulento debido a las fluctuaciones de velocidad y presión, y el primer término la difusión por efecto viscoso. Es la producción de K , Las grandes escalas de turbulencia extraen energía del flujo medio. Este término (incluyendo el signo menos) es casi siempre positivo. Este término es responsable de transformar la energía cinética turbulenta de pequeña escala a energía interna.

(111)

(IV)

La ecuación exacta de K no es usada tal como esta escrita en la ecuación (2.40) debido a que nuevas correlaciones desconocidas aparecen en los términos de difusión y disipación. Para obtener un grupo cerrado de ecuaciones, ciertas aproximaciones deben ser introducidas para estos términos. En analogía a la expresión de difusión (2.34) para una cantidad escalar, el flujo de difusión de K es a menudo considerado proporcional al gradiente de K, esto es:

. P' 1 1 P, ak - U J - + - u p , =--- ( P 2 " ) P O k a x J

(2.41)

donde, a, es una constante empírica de difusión. Realmente, el término de difusión debido a la fluctuación de la presión es muy pequeño, por lo que puede ser despreciado.

La disipación E es usualmente aproximada por la siguiente expresión:

K312 &=CD- e (2.42)

donde, CD es una constante empírica

Entonces con las aproximaciones anteriores, la ecuación para la energía cinética turbulenta se puede escribir como:

(2.43)

donde, -G viene dado por la expresión (2.31) y la viscosidad turbulenta queda:

2 IC PI = Pepc, 7 (2.44)

La ecuación (2.43) es la ecuación de transporte de la energía cinética turbulenta usada en muchos modelos de una ecuación para altos números de Reynolds. Los valores en la literatura para las constantes empíricas son: CpCD=0.08 (algunos autores escriben por

34

TEORiA BÁSICA DE LA TüRBULENCIA. CAP~TULO 2

simbología C,CD sólo como C, o Cq, englobando las constantes como una sola) y o p l (Launder y Spalding, 1972).

Los modelos de turbulencia de una ecuación con la ecuación diferencial (2.43) son restringidos para flujos con altos números de Reynolds turbulentos (Ret=pd'2t/p) y no son aplicables a la subcapa viscosa cerca de una superficie sólida, es decir, para regiones donde el fluido es de régimen laminar. Actualmente se han propuesto diferentes extensiones de la ecuación (2.43) para tomar en cuenta los efectos viscosos, la extensión de la ecuación (2.43) se describirá en las próximas secciones.

Dos de los modelos de una ecuación que recientemente se han propuesto se mencionan a continuación.

2.6.3.2 Modelo de Baldwind - Barth

Baldwind y Barth en 1990 desarrollaron un modelo de una ecuación partiendo del modelo K - E , las dos ecuaciones son combinadas y se obtiene una sola ecuación para el número de Reynolds turbulento, definido:

P K 2 Re, =- P&

(2.45)

y la viscosidad turbulenta se expresa como:

p, = c p -Re, P D,D, (2.46) P

donde c,, = 0.09 y Di son dos funciones que extienden la validez del modelo a regiones cercanas a paredes sólidas.

2.6.3.3 Modelo de Spalart - Allmaras

Spalart y Allmaras en 1992 propusieron un modelo, también en términos de la viscosidad turbulenta. Los autores derivan una ecuación diferencial para una cierta variable v', relacionada con la viscosidad turbulenta mediante:

P, = P V ' f (2.47)

con

35

TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA. CAP~TULO z

3

f = ($) 3

($) +c:’

Donde c, = 7.1 y v es la viscosidad dinámica del fluido, p / p .

2.6.4 Modelos de Dos Ecuaciones (EVM-2-Ecuaciones)

Los modelos de dos ecuaciones han sido los más populares para las simulaciones de problemas de ingeniería y de investigaciones. En estos modelos además de una ecuación para la energía cinética turbulenta, también se desarrollará una ecuación para la escala de longitud turbulenta.

Los modelos de dos ecuaciones consideran que los términos de producción y disipación que aparecen en la ecuación de la energía cinética turbulenta son aproximadamente iguales localmente, esto se conoce como la suposición de equilibrio local . Esta suposición implica que las escalas de la turbulencia son localmente proporcionales a las escalas del flujo principal.

Existen varios modelos de dos ecuaciones propuestos por diferentes autores, pero todos ellos utilizan la ecuación de la energía cinética turbulenta ( K ) , la diferencia radica en como modelar una segunda variable de transporte turbulento. Los modelos mas conocidos son:

K - E

K-W

K - 7

K - 1

(2.48a) (2.48b) (2.48~) (2.48d)

2.6.4.1 Variables Secundarias de Transporte Turbulento

De los cuatro modelos mencionados anteriormente sólo los modelos K - E y K - w son los más usados frecuentemente. La viscosidad turbulenta se relaciona con las dos variables de transporte turbulento, de la forma:

Pl = PKabb (2.49)

donde la variable 4 representa las variables secundarias de transporte turbulento, tales como:

36

TEORiA BÁSICA DE LA TURBULENCIA. CAP~TULO 2

in2

s3 w + S-'

Disipación de energía cinética turbulenta: E + -

Disipación de energía cinética turbulenta específica:

Tiempo de disipación turbulento: T + S

Longitud de disipación turbulenta: I+m

Tomando la variable de Disipación de energía cinética turbulenta ( E ) e introduciéndola en la ecuación (2.49), para determinar por análisis dimensional los coeficientes a y b:

De la igualdad de dimensiones correspondientes se obtienen las siguientes ecuaciones:

2 = 2a +2b - 1 = - 2 ~ -36

Solucionando este sistema de ecuaciones se obtiene a = 2 y b = -1.

De forma análoga con las otras variables, se obtienen las siguientes relaciones para la viscosidad turbulenta:

(2.50) K 2 K - E + P, = P y

(2.51) K K - W + & = P o

K - T + PI = P K T (2.52)

K - / + ,U, = p K " 2 / (2.53)

El modelo utilizado en el presente trabajo de tesis es el modelo conocido como K-E, el cual se detallará a continuación.

2.6.4.2 El Modelo Kappa-Epsilon (K-E)

Este es el modelo más popular en el campo de la ingeniería. Los primeros esfuerzos para desarrollar el modelo Kappa-Epsilon están basados en el modelo de Chou (1945), Davidov (1961) y Harlow y Nakayama en 1968, pero el papel central en el desarrollo del modelo K-Ees para Jones y Launder (1972), quienes hicieron la popularidad de la aproximación de

37

TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA CAPiTULO 2

Boussinesq y Reynolds en la comunidad del modelado de turbulencia (Wilcox, 1993). El modelo es conocido como el modelo standard K-E y la referencia ai artículo de Jones- Launder es a menudo omitida. Lo que caracteriza este modelo es la variable, &, la cual tiene interpretación fisica directa y es la razón de disipación de energía cinética turbulenta K.

La disipación de energía cinética turbulenta, E = “22, tiene dimensiones de ( e ) ,

depende de la viscosidad del fluido y por lo tanto es una propiedad disipativa que expresa la disipación que se lleva a cabo en las escalas más pequeñas de la turbulencia (en el rango disipativo de las escalas de Kolmogorov).

~

au’ au’ 2 3

ax, ax,

Para la formulación del modelo K-6, la idea es primero presentar la ecuación exacta para E y posteriormente comentar acerca de las aproximaciones de cerradura para los nuevos términos que aparecen en la ecuación de E. La ecuación exacta para E es obtenida ai tomar el siguiente momento de la ecuación de Navier-Stokes (Gatski et al., 1996), esto es:

ou2: a axj axj 2 “ - 7 [ M ( u j ) ] = o (2.54)

donde, M ( u ¡ ) es el operador matemático de la ecuación de Navier-stokes. Después de una considerable manipulación algebraica, resulta la siguiente ecuación para E:

A = B + C + D (2.55)

donde:

as - a E A = p - + pu . - at I axj

Donde, “A” representa la acumulación y transporte convectivo de la disipación, “B” es la producción y disipación de la disipación, “C’ es la difusión molecular de la disipación y “D” representa el transporte turbulento de la disipación.

38

TEORÍA BÁSiCA DE LA TURBULENCIA. CAP~NLO 2

Cabe mencionar que de los modelos mencionados 'anteriormente (expresión (2.48)) sólo el K - E tiene una deducción exacta de la ecuación secundaria de transporte, ecuación (2.55).

Como se puede apreciar, la ecuación (2.55) es más complicada que la ecuación de la energía cinética turbulenta e involucra nuevas correlaciones dobles y tnples de fluctuaciones de velocidad, presión y gradientes de velocidad desconocidas. Estas correlaciones son esencialmente imposibles de medir con cierto grado de exactitud, así que vanos investigadores han tratado de representar las correlaciones con razonamiento físico y análisis dimensional para hacer la ecuación de E tratable. Por lo tanto, las relaciones empíricas de cerradura para la ecuación de E, normalmente son parametrizadas con base en las escalas de los remolinos de turbulencia, lo cual se realiza a través del análisis dimensional (Wilcox, 1993).

Finalmente, las ecuaciones del modelo Standard K-Edadas por Jones y Launder son:

Ecuación de energía cinética turbulenta, K:

aK - a ~ a at ax, ax,

p-+pu,-=-

Ecuación de disipación de energía cinética turbulenta, E:

Ecuación de viscosidad turbulenta:

(2.56)

(2.57)

(2.58)

Los valores standard de todos los coeficientes de cerradura del modelo son (Rodi, 1984; Pope, 2000):

c, = 0.09

c,, = 1.44

U& =1.0 C,, = 1.92

us =1.3

(2.59)

39

TEORiA BASICA DE LA TURBULENCIA. cApiTuLo 2

2.7 CONCLUSIONES

En este capítulo se presentó una breve introducción de las tres ramas para abordar el problema de la simulación de flujos turbulentos por la técnica del RANS, éstos se describen en el orden de mayor dificultad y requerimiento de tiempo de cómputo: modelos de esfuerzos de Reynolds (RSM), modelos de esfuerzos algebraicos (ASM) y modelos de remolinos de viscosidad (EVM).

Finalmente se enfatizó en la familia de EVM, en especial, el modelo standard K-E, el cual es el modelo utilizado en la presente tesis.

40

CM~TULO 3 MODELOS F~SICOS Y MATEMATICOS

CAPÍTULO 3 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS

En este capítulo se describen los modelos fisicos para los problemas en régimen laminar: convección natural en una cavidad cuadrada, convección forzada en un canal rectangular, convección forzada en un canal con expansión brusca y el flujo inyectado en una placa horizontal; y en régimen turbulento: convección natural en una cavidad rectangular y para la convección forzada en un canal rectangular; considerando todos los problemas en dos dimensiones, se mencionan las ecuaciones de conservación de masa, momento y energía y las consideraciones correspondientes para hacer válidas las ecuaciones. Se especifican las condiciones iniciales y de frontera para cada caso.

3.1 MODELOS FÍSICOS Y MATEMÁTICOS PARA FLUJOS LAMINARES

En esta sección se describen los modelos físicos y matemáticos para los problemas de transferencia de calor con flujo laminar.

3.1.1 Convección Natural en una Cavidad Cuadrada Calentada Diferencialmente

El interés en el estudio de la convección natural en cavidades surge por la gran variedad de aplicaciones prácticas en que se pueden encontrar. La transferencia de calor en habitaciones de edificios puede ser estudiada considerando las habitaciones como cavidades con paredes calentadas diferencialmente. Otras aplicaciones son en colectores solares analizando la transferencia de calor entre la zona caliente que absorbe energía solar y su cubierta transparente; en el enfriamiento de componentes que generan calor en las industrias eléctrica y nuclear; en los procesos de fundición y solidificación en los que el efecto de la convección natural en la región líquida afecta el crecimiento de los cristales en el sólido, sólo por mencionar algunos (Bejan, 1995).

El modelo físico de la cavidad cuadrada se muestra en la Figura 3.1, se considera la transferencia de calor en una cavidad calentada diferencialmente con paredes opacas de longitudes Hx = Hy, con las paredes horizontales aisladas y las paredes verticales isotérmicas, en las fronteras las paredes tienen la condición de no-deslizamiento. Las consideraciones son:

Flujo laminar en 2-D. Flujo Incompresible. Fluido Newtoniano. Aproximación de Boussinesq en el término de fuerza de flotación. El fluido no absorbe ni emite energía. Transferencia de calor por convección natural.

41

MODELOS FíSiCOS Y MATEMÁTICOS CAP~TULO 3

FHX 4 ar/ay=o

T

Figura 3.1 Modelo Físico de la Cavidad calentada diferencialmente

3.1.1.1 Ecuaciones Gobernantes

El modelo matemático está constituido por las ecuaciones de conservación para el problema de convección natural con flujo laminar, a continuación se presentan las ecuaciones promediadas de masa, momentum y energía en forma tensorial:

donde, las expresiones para el tensor de esfuerzos y el flujo de calor son:

(3.2)

aT 4. --a- % 2 - (3.5)

42

MODELOS FiSlCOS Y MATEMÁTICOS CAP~TULO 3

Donde: xi es la coordenada cartesiana en la dirección i (X I = x, x2 =y) , t es el tiempo, U; es la velocidad en la dirección i (u, = u, uz = v), P es la presión, T es la temperatura, g; es la aceleración gravitacional en la dirección i (g~ = O, gz = -g), TO es la temperatura de referencia, p es la densidad, ,u es la viscosidad dinámica, p es el coeficiente de expansión térmica, ;1 es la conductividad térmica y C, es el calor específico a presión constante.

3.1.1.2 Condiciones Iniciales y de Frontera

Las condiciones iniciales en la cavidad son de temperatura uniforme (promedio de la temperatura de la pared fría y la pared caliente) y el aire se encuentra en reposo.

(3.6)

Las condiciones de frontera para las velocidades son de no deslizamiento. Las condiciones de frontera de temperatura son: las paredes horizontales (superior e inferior) son adiabáticas, la pared vertical izquierda se encuentra a una temperatura dada (pared isotérmica) y la pared vertical derecha también se mantiene a una temperatura uniforme:

Las condiciones de frontera hidrodinámicas son:

Las condiciones de frontera de temperatura son:

Para la pared horizontal inferior:

Para la pared horizontal superior:

Para la pared vertical izquierda:

43

MODELOS ~isicos Y MATEMATICOS CAP~TULO 3

Tlo.y,f = (3.10)

Para la pared vertical derecha:

TI"x.y,* = T2 (3.1 1)

3.1.2

En la búsqueda de mejorar la transferencia de calor en diversos dispositivos de la ingeniería, como intercambiadores de calor, conductos de aire acondicionado, componentes electrónicos, entre otros, se ha realizado el estudio de diferentes condiciones geometricas de los componentes de dichos sistemas. Dentro de estas modificaciones se puede citar el flujo por convección forzada en un canal, el cuál consiste en un canal rectangular bidimensional con flujo laminar de longitudes Hx y Hy como se muestra en la Figura 3.2. Se considera el fluido como incompresible, Newtonian0 y no emite ni absorbe energía, sólo se considera la transferencia de calor por convección forzada.

Convección Forzada en un Canal Rectangular

T w = TEMPERATURA EN LA PARED u = F o - u=ui"ic, DATOS CONOCIDOS EN L A V=O

ENTRADA E T=Ti.i,,

au iax=o I & iax=o 1~~ a r / a x = o j I

Y T I Hx 1 L X

Figura 3.2 Modelo fisico del canal rectangular

3.1.2.1 Ecuaciones Gobernantes

El modelo matemático está constituido por las ecuaciones de conservación para el problema de convección forzada con flujo laminar, a continuación se presentan las ecuaciones de masa, momentum y energía en forma tensorial.

(3.12)

44

CAF'iTULO 3 MODELOS F¡SiCOS Y MATEMATICOS

(3.13)

(3.14)

Como puede verse las ecuaciones son las mismas que para convección natural a excepción del término de flotación, que para convección forzada es nula. Las expresiones para el tensor de esfuerzos y el flujo de calor están dadas respectivamente por las ecuaciones (3.4) Y (3.5)

3.1.2.2 Condiciones Iniciales y de Frontera

Las condiciones iniciales en el canal rectangular son de temperatura uniforme (promedio de la temperatura de la pared y la del fluido que entra) y el aire se encuentra en reposo.

U(X,Y,O) = V(X,Y,O) = 0 T(X,Y,O) = Tini

Las condiciones de frontera hidrodinámicas son:

(3.15)

En las paredes sólidas se tiene la condición de no deslizamiento y en la entrada se considera un perfil uniforme constante y en la salida la salida la condición de flujo completamente desarrollado.

u(x,O,t) = u(x, Hy,,t) = O v(x,O, t ) = v(x, Hy, t ) = O

u ( 4 Y A = Uenrrnd0 40, Y, 2 ) = 0

Las condiciones de frontera de temperatura son:

Para las paredes horizontales se mantienen a una temperatura constante:

- L, -TIx,/fy,r = T w

(3.16)

(3.17)

45

MODELOS FiSlCOS Y MATEMATICOS C A P h U L 0 3

En la entrada del canal se tiene un perfil.uniforme de t.emperatura:

TI,,,, = T"k, En la salida se considera que el flujo esta térmicamente desarrollado:

= O

(3.18)

(3.19)

3.1.3

El modelo físico para el flujo en un canal rectangular con expansión brusca se muestra en la Figura 3.3, a la entrada del canal el flujo experimenta una expansión brusca, ocasionando, debido al gradiente adverso de la presión, regiones de recirculación del flujo. En la figura 3.3 se muestran las dimensiones del canal, el fluido se considera incompresible, Newtonian0 y no emite ni absorbe energía, sólo se considera la transferencia de calor por convección forzada.

Convección Forzada en un Canal Rectangular con Expansión Brusca

Y

L X

+ + h

I I

&%/&=O HY

b u=v=O T=Th u=v=o JTlJx = O 3

X I

L H x A Figura 3.3. Modelo Físico del Flujo en un Canal con Expansión

Brusca

El modelo matemático para este problema está dado por las ecuaciones gobernantes descritos en la sección 3.1.2.1, que son válidas para los casos de convección forzada y flujo laminar.

3.1.3.1 Condiciones Iniciales y de Frontera

Las condiciones iniciales son de temperatura uniforme (promedio de la temperatura de la pared y la del fluido que entra) y el aire se encuentra en reposo.

46

MODELOS F i s i c o s Y MATEMATICOS cMiTuLo 3

(3.20)

Las condiciones de frontera son de no deslizamiento en . las paredes sólidas; perfil parabólico de la velocidad y temperatura constante en la entrada del canal; se considera que el flujo en la salida es completamente desarrollado a una longitud de 40h, por lo que los gradientes de las variables son nulos; la pared superior y la pared del escalón se mantienen aisladas (adiabáticas) y la pared inferior se mantiene a una temperatura constante.

Matemáticamente esto se expresa como:

(a) A la entrada del flujo, en x=O:

para O<y<h

para h<y<Hy

aT u = ” = o , - = o

u = 6u,y(l-g) , v = O , T = r,

donde:

ax

u, =velocidad media en x = O. - y - h y =- h ’

(b) A la salida del flujo, en x=40h:

para O<ylHy

(c) Sobre la pared horizontal inferior, en y=O:

u = Y = O , T = T, para O<x<Hx=40h

(d) Sobre la pared horizontal superior, en y=Hy:

u = v = o , - = o para O<x<Hx=40h aT ay

(3.21)

(3.22)

(3.23)

(3.24)

3.1.4 Convección Forzada en un Flujo Inyectado

El modelo físico para el flujo inyectado en un canal rectangular se muestra en la Figura 3.4. En esta figura se muestran las dimensiones del canal, el fluido se considera incompresible, Newtonian0 y no emite ni absorbe energía, sólo se considera la transferencia de calor por convección forzada.

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MODELOS F~SICOS Y MATEMATICOS CAPfTULO 3

FLUJO DESARROLLADO

Figura 3.4 Modelo Físico para el caso de flujo inyectado

El modelo matemático para este caso esta dado por las ecuaciones gobernantes descritas en lasección 3.1.2.1.

3.1.4.1 Condiciones Iniciales y de Frontera

Las condiciones iniciales son de temperatura uniforme (promedio de la temperatura de la placa inferior y la del fluido que entra) y el aire se encuentra en reposo.

Las condicioiies de frontera son:

a) Lado izquierdo (x=O):

En este lado se considera por simetría las siguientes condiciones:

u = o para O<y<Hy

b) Lado derecho (x=Hx=SOw)

Se considera la condición de flujo de SOW.

m~pletamente dc

para O<y<Hy

(3.25)

(3.26)

(3.27)

irrollado para una longitud del canal

(3.28)

48

MODELOS F i s i c o s Y MATEMATICOS CAPiTULO 3

c) Lado superior (y=Hy)

En la entrada el flujo tiene velocidad y temperatura uniformes:

paraO<x<w

En la pared se tiene la condición de no deslizamiento y se mantiene adiabática

u = F o para w<x Hx

(3.29)

(3.30)

d) Lado inferior (YO)

Las velocidades son nulas en la pared y se mantiene adiabática con excepción de la longitud L(20w), que se mantiene a temperatura uniforme mayor que la de la entrada del flujo.

u=V=o paraOCxsHx

aT - = o ay

para 0 s x < L

para L<x c Hx

(3.31)

3.2 MODELOS F~SICOS Y MATEMÁTICOS PARA FLUJOS TURBULENTOS

En esta sección se describen los modelos fisicos y matemáticos para los problemas de transferencia de calor con flujo turbulento.

3.2.1 Convección Natural Turbulenta en una Cavidad Alargada Calentada Diferencialmente.

El modelo físico de la cavidad rectangular se muestra en la Figura 3.5, se considera la transferencia de calor en una cavidad calentada diferencialmente con paredes opacas de longitudes Hx y Hy, con las paredes horizontales aisladas y las paredes verticales isotérmicas, en las fronteras las paredes tienen la condición de no-deslizamiento. Las consideraciones son:

Flujo turbulento en 2-D. Flujo Incompresible.

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MODELOS FiSlCOS Y MATEMATICOS CAPiTULO 3

Fluido Newtoniano. Aproximación de Boussinesq en el término de fuerza de flotación El fluido no absorbe ni emite energía. Transferencia de calor por convección natural.

Y T=T,

L X Aire

H X

Figura 3.5 Modelo Físico de la Cavidad calentada diferencialmente

3.2.1.1 Ecuaciones Gobernantes

El modelo matemático está constituido por las ecuaciones de conservación de masa, momentum y energía para el problema de convección natural con flujo turbulento, a continuación se presentan las ecuaciones de conservación promediadas en forma tensorial, tal como reporta Pérez-Segarra et al. (I 995).

ai f% c, %

donde, las expresiones para el tensor de esfuerzos y el flujo de calor son:

(3.32)

(3.33)

(3.34)

50

MODELOS FiSlCOS Y MATEMÁTICOS CAPITULO 3

( 3 . 35 )

(3.36)

Donde: xi es la coordenada cartesiana en la dirección i (x, = x, x2 = y) , t es el tiempo, es la velocidad media en la dirección i (u, = u, u2 = v).. Las fluctuaciones turbulentas para la velocidad en la dirección xi y la temperatura son indicadas por u i y T.

En el Capítulo 2 se describieron diferentes modelos de turbulencia, entre ellos, los modelos de remolinos de viscosidad (EVM) para evaluar los esfuerzos turbulentos y los flujos de calor turbulentos, por analogía con la ley de viscosidad de Stokes y la ley de conducción de Fourier, los esfuerzos y flujos de calor turbulentos son escritos como:

(3.37)

(3.38)

Donde: ,uf es la viscosidad turbulenta, c r ~ es el número de Prandtl turbulento y S, es la delta de Kronecker. El número de Prandtl turbulento es usualmente tomado como una constante (en el presente trabajo de investigación se usó un valor or= 0.9). La viscosidad turbulenta esta relacionada a la energía cinética turbulenta ( K ) y la disipación de energía cinética turbulenta (E) por medio de la expresión empírica de Kolmorogov-Prandtl (Pope, 2000).

La energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética turbulenta son obtenidas de sus ecuaciones de transporte. Aunque la forma exacta de estas ecuaciones como resultado de las ecuaciones de Navier-Stokes, usa necesariamente expresiones empíricas en algunos términos. Las ecuaciones resultantes K-E , en conjunto con la expresión de Kolmogorov-Prandtl pueden ser escritas tomando los efectos de bajo número de Reynolds como:

(3.39)

(3.40)

51

MODELOS F~SICOS Y MATEMATICOS CAP~TULO 3

(3.41)

Donde: la variable T , definida como T = E - D / p es introducida en algunos modelos de turbulencia por conveniencia computacional para tener un valor de cero en la pared para 5. La producción cortante y la producciónídestrucción de flotación de la energía cinética turbulenta son respectivamente: P, = -pu;u)au, lax j y G, = -ppui.T'g,. En estos términos los esfuerzos y los flujos de calor turbulentos son usualmente evaluados usando las relaciones dadas por las ecuaciones (3.37) y (3.38) (una excepción es el modelo turbulento de Ince y Launder, 1989).

- -

3.2.1.2 Condiciones Iniciales y de Frontera

Las condiciones iniciales en la cavidad son de temperatura uniforme (promedio de la temperatura de la pared fría y la pared caliente) y el aire se encuentra en reposo.

(3.42)

Las condiciones de frontera para las velocidades son de no deslizamiento. Las condiciones de frontera de temperatura son: las paredes horizontales (superior e inferior) son adiabáticas, la pared vertical izquierda se encuentra a una temperatura dada (pared isotérmica) y la pared vertical derecha también se mantiene a una temperatura uniforme:

Las condiciones de frontera hidrodinámicas son:

Las condiciones de frontera de temperatura son:

Para la pared horizontal inferior:

(3.43)

(3.44)

Para la pared horizontal superior:

52

MODELOS FiSlCOS Y MATEMATICOS CAP~TULO 3

Para la pared vertical izquierda:

Tlo,y,i =

Para la pared vertical derecha:

(3.45)

(3.46)

(3.47)

3.2.2 Convección Forzada en un Canal Rectangular con Flujo Turbulento

El modelo físico del flujo en un canal rectangular bidimensional con flujo turbulento de longitudes Hx y Hy, como se muestra en la Figura 3.6, considera que el fluido es incompresible, Newtonian0 y no emite ni absorbe energía, sólo se considera la transferencia de calor por convección forzada.

T w = TEMPERATURA EN LA PARED u=v=o

T DATOS CONOCIDOS EN LA ENTRADA

Y I Hx I

4 X

Figura 3.6 Modelo físico del canal rectangular

3.2.2.1 Ecuaciones Gobernantes

El modelo matemático está constituido por las ecuaciones de conservación de masa momentum y energía para el problema de convección forzada con flujo turbulento, a continuación se presentan las ecuaciones de conservación promediadas en forma tensonal.

53

MODELOS F~SICOS Y MATEMÁTICOS CAP~TULO 3

(3.48)

(3.49)

(3.50)

Como puede verse las ecuaciones son las mismas que para convección natural a excepción del término de flotación, que para convección forzada es nulo. Por lo que las ecuaciones adicionales dadas en la sección 3.2.1.1 para cerrar el sistema de ecuaciones son también válidas para este caso.

3.2.2.2 Condiciones Iniciales y de Frontera

Las condiciones iniciales en la cavidad son de temperatura uniforme kromedio de la temperatura de la pared y la del fluido que entra) y el aire se encuentra en reposo.

U(X,Y ,O) = V(X,Y,O) = 0 W , Y , O ) = 7;,i

Las condiciones de frontera hidrodinámicas son:

(3.51)

En las paredes sólidas se tiene la condición de no deslizamiento y en la entrada se considera un perfil uniforme constante y en la salida la condición de flujo completamente desarrollado.

Las condiciones de frontera de temperatura son:

Las paredes horizontales se mantienen a una temperatura constante:

(3.52)

(3.53)

54

MODELOS FiSiCOS Y MATEMATICOS CAPiTULO 3

En la entrada del canal se tiene un perfil uniforme de tempeatura:

TIO,y,, =Tide,

En la salida se considera que el flujo esta térmicamente desarrollado:

(3.54)

(3.55)

3.3 MODELOS DE TURBULENCIA: VALORES EMP~RICOS Y CONDICIONES DE FRONTERA

Como se puede observar en las ecuaciones para la viscosidad turbulenta, la energía cinética turbulenta y para la disipación de energía cinética turbulenta, ecuaciones 3.39, 3.40 y 3.41 respectivamente, aparecen términos que no se han especificado como la D, la E y otras constantes, la especificación de estos términos son los que dan lugar a los diferentes modelos de turbulencia de la familia K-E.

Los modelos de turbulencia implementados en este estudio pueden ser divididos en dos categorías: i) modelo de turbulencia standard K-E con funciones de pared, ii) modelos de turbulencia K-&de bajo número de Reynolds.

i) Modelo de turbulencia estándar K-E usando funciones de pared (SWF). Los siguientes valores empíricos y condiciones de pared son normalmente usados para problemas de convección (Heyerichs y Pollard, 1996 y Henkes y Hoogendoom, 1992):

C,, = 0.09, CfE = 1.44, C2& = 1.92, C3& = tanh I v/u I o,= 1 .O, o, = 1.3, or = 0.9

f,, =fi =f2 = 1.0, D = E =o.o

K = 0.0 en la pared.

Henkes y Hoogendoom (1992) sugirieron usar una condición de primera clase en la pared para la disipación de energía cinética turbulenta ( E = a, un valor grande), modelo de turbulencia [HH].

ii) Modelos de turbulencia K-E de bajo número de Reynolds. Los siguientes modelos han sido implementados: Jones y Launder, 1972 [JL], Launder y Sbarma, 1974 [LS], Chien, 1982 [CHI, Ince y Launder, 1989 [IL]. Los modelos serán referidos con la simbología entre corchetes. La diferencia entre ellos son las funciones empíricas (funciones de salto)& ,f, ,

55

MODELOS FiSiCOS Y MATEMÁTICOS CAPiTULO I

Modelo I fu

f2 , los términos extras D, E y las constantes empíricas. Todos estos modelos especifican a K = O y

En las Tablas 3.1, 3.2 y 3.3 se muestran las condiciones de frontera, las constantes, las funciones de salto y los términos adicionales de los modelos de turbulencia IC-E usados en el presente estudio.

= O en la pared.

fi f2

Tab

- _ _ - JL LS CH IL

K- E.

exp(-2.5/( 1 +Re,/5 O)) 1.0 1 -0.3exp(-Re:) exp(-3.4/(1 +Re,/so)2) 1 .o 1-0.3exp(-Re?)

exp(-3.4/( 1 +Re/50)2) 1.0, i-0.3exp(-Re:) i-exp(-o.Oi i Sx',,) 1 .o 1 -0.222e~p(-[Re,/6]~)

Modelo HH JL LS CH IL

D E 0.0 0.0

2&%J'2/aj)2 (2PPzb)(au/aj72 2&%J'2/aj)2 (2PP,lP )(auJaj32

2pdx,2 - ~ ~ E / X , ~ ) ~ X ~ ( - O . S X ' , ) 2j@?2/aj)2 ( ~ ~ ~ , / ~ ) ( ~ U J ~ ~ ) ~ + O . S ~ ~ ~ ~ I E C ~ X ~ - I)( K'n/G2,Xn)2($/K)

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MODELOS FiSlCOS Y MATEMATICOS CAP~TULO 3

El modelo IL usa las mismas constantes empíricas, términos extras y condiciones de fiontera como el modelo LS, sin embargo introduce dos nuevas características:

i) los flujos de calor turbulentos en el termino G, son evaluados por medio de la hipótesis del gradiente de difusión generalizado (GGDH), esto es: pu$ = - c , ( K / & ) p u , i L ~ a T / ~ x , y ii) en la ecuación de disipación de energía cinética turbulenta la corrección de YAP es introducida como un término adicional. Para el modelo IL se tiene que c/=2.5 y cr(3/2)(CJJar). El valor x,, usado en alguno de los modelos representa la distancia (dirección normal) a la pared más cercana. La distancia adimensional x', es definida usualmente como x+,=pxnuJp, donde u, es la velocidad de fricción. El número de Reynolds turbulento se define como: Re,=pdlp&.

- -

3.4 CONCLUSIONES

En este capítulo se describieron los modelos fisicos y matemáticos para los problemas de flujo laminar: convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente, flujo en un canal rectangular, flujo en un canal con expansión brusca y flujo inyectado sobre una placa; también para los casos de flujo turbulento en: una cavidad rectangular calentada diferencialmente y para el flujo por convección forzada en un canal rectangular. En el modelo fisico se describieron las geometrías y las consideraciones para cada caso, y en el modelo matemático se especificaron las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes (masa, momento y energía), las condiciones iniciales y de contorno. También se presentaron diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E .

57

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N CAPITULO 4

CAPÍTULO 4

CONSERVACI~N SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE

En capítulos anteriores se expresaron las ecuaciones de conservación de la dinámica de fluidos y la transferencia de calor, hasta la fecha no se ha conseguido obtener una solución analítica general de las mismas, aunque si se disponen de soluciones analíticas en algunos casos específicos, en los que se pueden realizar una serie de hipótesis que simplifican notablemente la complejidad del sistema de ecuaciones. El objetivo de este capítulo es presentar una metodología numérica para la solución general de dichas ecuaciones. La técnica que se empleará para la solución de las ecuaciones se basa en el método de los Volúmenes Finitos propuesto por Patankar (1 972) en coordenadas rectangulares.

4.1 &TODO DE LOS VOL~MENES FINITOS

La mayoría de las técnicas numéricas empleadas para la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes son métodos de discretización. Otros métodos, como los métodos espectrules basados en la aproximación de las variables por medio de series truncadas de Fourier o senes de Chebyshev polinomiales (Versteeg y Malalasekera, 1995) están menos generalizados para este fin. En los métodos de discretización la distribución continua de valores de una varible 4 en el espacio y el tiempo se aproximan por un conjunto discreto de valores de 4 en un número finito de puntos distribuidos en el dominio de interés. Existen muchos métodos de discretización, cada uno con sus ventajas e inconvenientes. Los tres métodos más empleados en CFD son los Elementos Finitos (FEM), Diferencias Finitas (FDM) y Volúmenes Finitos (FVM), una breve discusión de estos métodos fue reportado por Xamán (2004).

En el presente trabajo se ha optado por el método de los Volúmenes Finitos debido a su relativamente sencillez de planteamiento, ya que los términos de las ecuaciones tienen un sentido fisico inmediato.

La idea básica de la formulación del método de los Volúmenes Finitos es fácil de entender y permite su interpretación fisica directa. El dominio de cálculo se divide en un número finito de volúmenes de control sin traslapamiento de manera que exista cada volumen de control rodeando los puntos donde se quiere calcular la variable (malla numérica). Las ecuaciones diferenciales se integran sobre cada uno de los volúmenes de control. El resultado es un sistema de ecuaciones discretizadas que contiene los valores de 4 para un grupo de puntos de la malla.

La ecuación discretizada resultante expresa el principio de conservación de la variable 4 para el volumen de control finito, del mismo modo que la ecuación diferencial lo expresa para un volumen de control diferencial.

58

S O L U C I ~ N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION C A P ~ T U L O ~

El mayor atractivo de esta formulación es que la solución resultante implicará que la conservación integral, como masa, momento y energía, se satisface en cualquier grupo de volúmenes de control, y por supuesto, sobre todo el dominio de cálculo. Esta característica existe para cualquier número de puntos del mallado, por lo tanto, incluso en mallas poco densas la solución cumplirá los balances integrales.

4.2

A través de una revisión global de las ecuaciones de Navier-Stokes y de las ecuaciones del modelo de turbulencia K - E , se observa que la variable dependiente cumple un principio de conservación general. Esto permite plantear, una ecuación general llamada Ecuación de Convección-Difusión, que se expresa matemáticamente como:

FORMA GENERALIZADA DE LAS ECUACIONES GOBERNANTES

(4.1)

Los cuatro términos de la ecuación anterior representan los efectos: transitorio, convectivo, difusivo y fuente. Significa que la acumulación de la variable 4 en un diferencial de volumen, más el flujo neto de 4 que sale del mismo debido a las corrientes convectivas es igual al flujo neto de 4 que sale debido a las corrientes difusivas mas la generación de 4 por unidad de volumen. En el término fuente (S) se engloban aquellos términos que no pueden ser agrupados en los términos transitorios, convectivos y difusivos

Las ecuaciones de conservación de masa, momento, energía y las ecuaciones del modelo de turbulencia K-E (modelo HH), se pueden expresar en términos generales de 4, T y S. La Tabla 4.1 muestra las equivalencias de los términos, respecto a la ecuación generalizada.

59

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE C O N S E R V A C I ~ N CAPiTULO 4

4.3 DISCRETIZACI~N POR EL &TODO DE LOS VOL~MENES FINITOS

Como ya se ha comentado, en la técnica de los Volúmenes Finitos, el dominio de estudio se divide en una serie de volúmenes de control sin traslapamiento para integrar sobre ellos las ecuaciones gobernantes. En el presente proyecto el dominio ha sido divido en volúmenes de control rectangulares, dando lugar a lo que se denomina malla rectangular. Se trata de un mallado estructurado y no adaptable. Es decir, que los nodos se encuentran distribuidos de tal forma que a cada uno de ellos les corresponde cuatro nodos vecinos, nodos norte, sur, este y oeste (mallado estructurado), y que los volúmenes de control de los contornos no se pueden adaptar a trazados curvilíneos del contorno (mallado no adaptable).

4.3.1

En la Figura 4.1 se muestra un volumen de control sobre una malla cartesiana bidimensional, esta malla se utilizará para la discretización de la ecuación generalizada. Este volumen de control representa un volumen de control genérico de la malla espacial y esta relacionado con sus nodos vecinos; norte (N), sur (9, este (E), oeste (w) por los flujos J;.

La ecuación generalizada puede escribirse para 2D en coordenadas cartesianas como:

Integración de la Ecuación Generalizada

Figura 4.1 Volumen de control sobre una malla bidimensional 60

SOLUCIÓN DE LAS ECUAClONES DE CONSERVACIÓN CAPITULO 4

Integrando espacialmente la ecuación (4.2) sobre los límites geométricos del volumen de control, se obtiene:

La integración espacial implica suponer que los flujos convectivos y difusivos son constantes en cada una de las caras del volumen de control.

Debido a que se consideran distribuciones uniformes en todo el volumen de control o en las fronteras del mismo hay un error en la aproximación espacial, pero este tiende a minimizarse a medida que los volúmenes de control se hacen más pequeños. Esta es la filosofía del método numérico cuando se usa una aproximación de volumen de control.

La ecuación (4.3) todavía no se ha integrado en el tiempo, para tomar en cuenta la variación de las qYs con el tiempo de t ( n ) a t+dt ( n + l ) , se hace uso de la siguiente expresión:

donde:

Si f =o.o, se tiene el esquema explícito

Si f =0.5, se tiene el esquema de Crank-Nicolson (4.5)

Si f =1.0, se tiene el esquema implícito

La técnica utilizada en la presente tesis considera que el instante del tiempo de evaluación de las propiedades será el n + l (método implícito). Finalmente, siguiendo la consideración f = 1 , el resultado de la integración temporal de la ecuación (4.3) en el volumen de control es:

61

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N c A P i m . 0 4

Este método presenta el inconveniente de producir sistemas de ecuaciones de solución bastante costosa en tiempo de CPU, pero presenta la ventaja de producir soluciones estables (Patankar, 1980).

4.4 CONSISTENCIA, ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA

Al utilizar una aproximación numérica con el fin de obtener las ecuaciones algebraicas debe tenerse en cuenta que un refinamiento cada vez mayor de las mallas espaciales y temporal nos llevaría, en el caso de existir solución alguna, a la solución de la ecuación diferencial. Dicho de otro modo, una aproximación numérica es consistente si al hacer mas densa la malla espacial y temporal, la solución numérica tiende a la solución de la ecuación diferencial.

Una solución numérica es estable si la solución obtenida es la solución de la ecuación discreta. Posibles errores de redondeo de la máquina, acoplamiento de las ecuaciones, errores de truncamiento al plantear las ecuaciones gobernantes pueden provocar inestabilidades u oscilaciones en las soluciones o valores numéricos irreales.

La solución será convergente cuando sea estable y tienda a la solución de las ecuaciones diferenciales a medida que se refinan las mallas. Por lo tanto, la consistencia y la estabilidad son condiciones necesarias y suficientes para obtener la convergencia.

4.5 ESQUEMAS NUMÉRICOS

AI proseguir con la solución de la ecuación discretizada (4.6) se presenta el problema de relacionar los valores de las variables en las caras con los valores nodales (valores donde se calculan las variables), para poder determinar con suficiente exactitud los flujos difusivos y convectivos en cada cara. Está demostrado analíticamente que la mejor aproximación para los términos difusivos es una diferencia centrada (Versteeg y Malalasekera, 1995). Generalmente se utiliza una diferencia de primer orden. Así por ejemplo, para la cara este:

Al aproximar los flujos convectivos con relaciones más exactas ha implicado un incremento de los problemas de convergencia. Los esquemas de aproximación conocidos como de bajo orden, son los esquemas que para simplificar la formulación relacionan directamente los valores de las variables en las caras de los volúmenes de control con los puntos nodales más

62

S O L U C I ~ N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAP~TLILO 4

cercanos (E, W, N, S). Los esquemas de bajo orden siempre utilizan uno o dos puntos nodales para la aproximación en la interface del volumen de control. Los esquemas convencionales de bajo orden son:

a) CORRIENTE ARRIBA (upwind scheme): aproxima el valor de la variable en la frontera del volumen de control con el valor nodal inmediatamente a la frontera, según el sentido de la velocidad. Presenta resultados físicamente aceptables pero con baja exactitud. Para mejorar la exactitud de los resultados se tiene que usar una malla más densa, también presenta un buen comportamiento para la convergencia, ya que no es oscilatorio.

b) CENTRADO (central diference scheme): usa el promedio de los dos valores nodales más cercanos a la frontera para aproximar a la variable. Funciona bien para problemas a bajas velocidades pero no es aconsejable para situaciones altamente convectivas, ya que no representa adecuadamente el transporte convectivo de las propiedades.

c) HÍBRIDO (hibrid scheme): combina las características del esquema centrado y del esquema de corrientes amba. Usa el esquema centrado para velocidades bajas y para velocidades elevadas utiliza las características del esquema de comente arriba.

d) EXPONENCIAL (exponential scheme): esta basado en la solución analítica unidimensional considerando propiedades constantes y estado permanente. Funciona bien para problemas en I-D pero presenta demasiado tiempo de cómputo (el cálculo del exponente puede presentar problemas). No es recomendable para problemas multidimensionales.

e) LEY DE POTENCIA bower law scheme): es una modificación del esquema híbrido con base en el esquema exponencial, presenta exactitud similar en los resultados que el esquema exponencial pero con mejora de la convergencia.

4.5.1 La Ecuación Discreta Final

Como se muestra en la Figura 4.1, los flujos tanto convectivos como difusivos, pueden incluirse en un término simbolizado con la letra J y cuyo subíndice indicará la cara a la cual está referido. J representa el flujo total a través de la cara correspondiente y puede ser sustituido en la ecuación de convección-difusión, resultando la siguiente ecuación:

(4.8)

La ecuación discretizada de la ecuación (4.8) en un volumen de control (ver la ecuación (4.6)) y tomando n = O, se tiene la forma:

(4.9)

63

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAP~TULO 4

Donde por definición, los flujos totales son:

(4.10)

El término fuente S puede depender de la variable 4, entonces para tomar en cuenta esta situación, el término se separa en dos partes, una parte que dependa de la variable y la otra que no dependa de la variable directamente. Entonces el término fuente se puede escribir como:

s = s, + SPbP (4.1 1)

En la expresión anterior, Sc es el término que no depende de la variable directamente. Bajo esta modificación, la ecuación (4.9) se expresa como:

(4.12)

La ecuación discretizada de la ecuación de continuidad puede ser tratada de igual manera obteniéndose la siguiente ecuación:

(4.13)

donde la variable F indica los flujos másicos (F = Densidad x Velocidad x Superficie de la interface del volumen de control):

(4.14)

Para asegurar una mejor convergencia en la discretización de la ecuación de convección- difusión se introduce la continuidad. De esta manera se asegura que la solución final obtenida mediante el proceso iterativo cumplirá con el principio de continuidad.

Multiplicando la ecuación (4.12) por 4p y restando la ecuación resultante a la ecuación (4.9), se obtiene la ecuación que finalmente se usara como discreta:

64

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPAULO 4

Patankar (1980) propone una formulación de esquema generalizado con el fin de expresar la variable de un nodo P en función de la variable de los nodos vecinos E, W, N, S y en función de otros parámetros que engloben el término fuente

(4.16)

Finalmente la ecuación de convección-difusión (ecuación generalizada) en notación de coeficientes agnipados, como resultado de sustituir la ecuación (4.16) en la ecuación (4.15) se puede escribir:

a r h aE4E + a w h +a&N +as# , + b (4.17a)

o también como:

donde:

a E = DcA(Pe, l )+ max [- F,,O]

aw = D,A(Pe , l )+ max [F,,O]

a,, = D,,A(Pe, ,I)+ max [- Fn,O]

a s = D , A ( P e , l ) + max [F,,O]

(4.17b)

(4.18) (4.19) (4.20) (4.21)

ap = a E +a, +aN + a , + p p o __- hAy &',&Ay (4.22) At

(4.23) O h A ? o b = pp -bP + S c h A y At

Los términos Di, Fi (Ecuación (4.14)), Pei de las expresiones anteriores representan los términos difusivos convectivos y el número de Peclet respectivamente. Estos se definen como:

65

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPiTULO4

Esquema numérico Corriente arriba

Centrado Híbrido

Exponencial Ley de potencia

Términos difusivos en las caras del volumen de control:

A(JPe1) 1

1-0.51Pe max[O,(i-0.5 Pel)] IPeJl(exp(lPe )-I)

max[O,(l-O. 1 IPel) ] 5

Números de Peclet:

Pee = F,/D, Pew = F,/D, Pen = Fn/D, Pes = F, ID,

(4.24)

(4.25)

4.6 S O L U C I ~ N DE LAS ECUACIONES DE NAVIER-STOKES DISCRETIZADAS

4.6.1 Problemática de la Solución

De las ecuaciones de masa, momentum y energía se obtiene un sistema de ecuaciones discretas cuya solución ofrece la descripción del flujo. Este sistema de ecuaciones se caracteriza por su no linealidad y acoplamiento, hecho que complica notablemente la solución. En general los problemas principales que surgen al resolver las ecuaciones son los siguientes:

66

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAP~TULO 4

No linealidad de las ecuaciones. La no linealidad de las ecuaciones se refleja claramente en los términos inerciales de las ecuaciones de conservación de momentum. En ellos la velocidad se encuentra en una relación no lineal.

Acoplamiento. El acoplamiento consiste en las dependencias de las variables que se desean calcular. Las ecuaciones se caracterizan por dos acoplamientos:

- Presión-Velocidad: La presión depende de la velocidad y la velocidad de la presión. No hay una ecuación específica para la presión. En el caso de flujo incompresible la presión representa aquel valor que hace obtener de las ecuaciones de cantidad de movimiento unas velocidades que cumplan las ecuaciones de continuidad.

- Temperatura-Velocidad: La temperatura depende de la velocidad y la velocidad de la temperatura. Este segundo acoplamiento es cierto en el caso de convección natural o mixta, donde el término de Boussinesq es representativo, o de propiedades físicas que dependan de la temperatura. En convección forzada y propiedades físicas constantes la velocidad generalmente no depende de la temperatura.

Desconocimiento del campo de presiones: La dificultad real en el cálculo del campo de velocidades radica en el desconocimiento del campo de presiones. Generalmente se desconocen las presiones a las que está sometido el dominio fisico y no debe olvidarse que el gradiente de presiones forma parte del término fuente de las ecuaciones de cantidad de movimiento. De este modo, cuando el campo de presiones correcto es sustituido dentro de las ecuaciones de cantidad de movimiento, el campo de velocidades resultantes satisface la ecuación de continuidad. Algunos métodos, especialmente los que trabajan con flujos compresibles, extraen la presión por medio de una ecuación de estado. Este tratamiento no es aplicable en casos de flujos incompresibles, donde el efecto de la presión en la velocidad es el que adopta importancia y no el efecto de la presión en la densidad. En este tipo de casos el campo de presiones se especifica indirectamente a través de la ecuación de continuidad.

4.6.2

En este punto se debe decidir la ubicación espacial de cada uno de los puntos discretos, los cuáles servirán para modelar el campo de variables que se desea hallar. Aunque a simple vista queda claro, que en cada nodo se ubicarán todos los valores de las variables que se necesitan hallar. Esto no es realrhente usado, debido principalmente a la representación del gradiente de presión, el cuál se trata a continuación.

La Malla Desplazada (Staggered Grid)

67

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N CAPiTULO 4

4.6.2.1 Representación del Término de Gradiente de Presión

Se considera una malla centrada con cinco volúmenes de control de espesor Ax y puntos nodales WW, W, P, E y EE (Figura 4.2).

Figura 4.2 Malla centrada en 1D.

La discretización de la cantidad de movimiento en dirección x sobre el nodo P, presenta el problema de la representación del término de gradiente de presión, -+//an. Integrando sobre los límites del volumen de control, el gradiente de presión queda aproximado por (pw-pe)lAx (presión en la frontera oeste menos la presión en la frontera este). En este punto se presenta el problema que no se conoce la presión en la interface de los volúmenes de control, si la malla es uniforme y considerando una interpolación lineal a partir de los valores existentes en los nodos vecinos, el gradiente de presión se puede aproximar como:

(4.26)

Se puede apreciar de la ecuación anterior que la evaluación del gradiente de presión es la diferencia de presión entre dos puntos altemantes y esto físicamente no es lógico, ya que si, se considera los valores de la distribución no-uniforme de presión mostrada en al Figura 4.2, el gradiente sería cero. Lo anterior, indicaría que en las ecuaciones de movimiento la distribución de presión sería constante o uniforme, lo cual sería una inconsistencia. Esta inconveniencia es la principal .razón de desplazar las mallas para las componentes de velocidad.

La manera de solucionar este problema es crear mallas independientes para las velocidades.

Por esta razón aparecen tres mallas diferentes (caso bidimensional): una centrada para las variables escalares (presión, temperatura, energía cinética turbulenta, etc.), una desplazada hacia el sentido positivo en la dirección x (para calcular ia componente de velocidad u) y otra desplazada hacia el sentido positivo en la dirección y (para calcular la componente de velocidad v).

Una de las ventajas de este procedimiento es que se generan las velocidades en los puntos necesarios para realizar los cálculos de transporte escalar, evitándose la interpolación para evaluar las velocidades en los volúmenes de control. Por otro lado, al evaluar las ecuaciones de movimiento no será necesario interpolar la presión, pues los valores de la

68

.)

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVAC16N CAPITULO 4

presión se tendrán justamente en las caras de cada volumen de control (en la malla utilizada para cada componente de la velocidad). En la Figura 4.3 se muestra el desplazamiento de las mallas para 2-D.

X Figura 4.3 Representación de mallas superpuestas: (a) volumen de control para variables escalares, (b) volumen de control

para velocidad u, y (c) volumen de control para la velocidad v,.

4.6.3 Método global de Cálculo

Para la solución de las ecuaciones discretizadas se empleará el procedimiento propuesto por Patankar (1972). Este procedimiento considera, en primer lugar, las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento y las resuelve de forma secuencia1 empleando el algoritmo SIMPLE (Semi Implicit method for Pressure-Linked Equations). Una vez realizado el acoplamiento entre estas ecuaciones se resuelven las ecuaciones escalares adicionales.

El algoritmo SIMPLE permite resolver las ecuaciones de continuidad y cantidad de momento superando los problemas de no linealidad, de acoplamiento de las ecuaciones y de la falta de una ecuación explícita para las presiones.

Existe toda una familia de algoritmos segregados, los cuáles se basan en los principios del algoritmo SIMPLE, éstos se diferencian por el grado de aproximación en la corrección que realizan. En este trabajo se explica el SIMPLE y su variante SIMPLEC (Semi Implicit method for Pressure-Linked Equations Consistent) este Último fue propuesto por Van Doormal y Raithby en 1984. El algoritmo SIMPLEC fue el utilizado en el presente trabajo.

69

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N CAP~TULO 4

4.6.4 Método SIMPLE (Senti Implicit Method for Pressure-Linked Equations)

El proceso del método SIMPLE descrito en la sección anterior puede expresarse de forma matemática como sigue:

PASO1

Descomponer el término fuente de las ecuaciones de cantidad de movimiento, de tal forma que la presión aparezca explícitamente.

b" =-A,(P, -P,)+b; (4.27a)

b' =-An(PN -Pp)+b; (4.27b)

donde Ai es el área de la cara i del volumen de control

Bajo la descomposición anterior, las ecuaciones discretizadas de cantidad de movimiento para dos dimensiones (en notación de coeficientes agrupados) se pueden escribir como:

a:% = Q L 5 % c j " o > -A,(P, -PP)+b; (4.28a) wcinos

PASO2

Las ecuaciones discretizadas anteriores pueden ser resueltas si el campo de presión es conocido o estimado. Para esto se supone un campo de presión P'. El campo de velocidades obtenido puede no satisfacer continuidad a menos que la distribución P' sea el correcto. Representado el nuevo campo de velocidad como u y Y*, las ecuaciones (4.28 a y b) se pueden rescribir como:

PASO3

(4.29a)

(4.29b)

Se propone que la distribución de presión correcta P es obtenida a partir de una corrección de presión P , como sigue:

70

SOLUCIÓN DE LAS ECUAClONES DE CONSERVACIÓN C A P ~ T U L O ~

P = P' i P' (4.30)

La modificación de la presión implica también una modificación sobre los campos de velocidad a través de velocidades de corrección u y Y , entonces las velocidades correctas se pueden expresar finalmente en analogía a las ecuaciones (4.28) como:

. . u = u + u v = v + Y

. . (4.3 1 a) (4.3 1 b)

PASO4

Introduciendo estas expresiones en las ecuaciones de cantidad de momento y restándoles las ecuaciones (4.29a) y (4.29b), se obtienen las siguientes ecuaciones:

(4.32a)

(4.32b)

PASO5

De estas expresiones se deducen las velocidades de corrección:

u, = d: (Pi - P i ) (4.33a)

(4.33b)

siendo de" y d,' coeficientes definidos según el algoritmo empleado. En este trabajo se presentan dos algoritmos, el SIMPLE y el SIMPLEC, que se exponen a continuación.

El algoritmo SIMPLE desprecia todo el término de sumatoria de las expresiones (4.32), es decir, que las velocidades de corrección de un nodo cualquiera P dependen sólo de la variación de la presión de corrección. Este criterio es cierto a medida que el proceso iterativo tiende a converger, cuando esto sucede las velocidades de corrección tienden a desvanecerse. Entonces las expresiones de d i y d," son:

(4.34a)

(4.34b)

71

S O L U C I ~ N OE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAP~NLO 4

El criterio anterior sobreestima el valor de la presión de corrección inicialmente y por lo tanto es necesario bajo-relajar su valor para conseguir una convergencia durante el proceso iterativo.

El algoritmo SIMPLEC, no necesita bajo-relajar las presiones y mejora relativamente el tiempo de cálculo. Esta mejora con respecto al algoritmo SIMPLE se debe a la hipótesis considerada de de y d n . En este caso se trabaja a partir de las expresiones (4.32) restándoles a ambos lados de la igualdad la sumatoria de los coeficientes de los nodos vecinos por el valor de la velocidad de corrección que está siendo calculada. De este modo se obtienen las siguientes expresiones:

(4.35a)

(4.3 5 b)

Ahora se suponen que las sumatorias de la derecha en las ecuaciones son iguales a cero. De este modo el comportamiento del algoritmo es mejor para las primeras iteraciones e igualmente cierto para las últimas, cuando prácticamente se obtiene la convergencia. La estabilidad de este algoritmo radica en no tener la inconsistencia del algoritmo SIMPLE.

(4.36a) vecinos

Por comparación entre las ecuaciones (4.36) y (4.33) se deducen las expresiones para los coeficientes d: y d,' del algoritmo SIMPLEC:

(4.37a,b)

Conociendo las velocidades de corrección se pueden calcular las velocidades a partir de las relaciones (4.3 la) y (4.3 1 b) como:

u, = u: + d: (Pi - P;)

Y , = v,' +d:(F'i -PA)

(4.38a)

(4.38b)

72

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN CAPITULO 4

PASO6

Este es el Último paso, falta determinar la información adecuada para la corrección de presión P'. Esta información será obtenida de la ecuación de continuidad integrada en un volumen de control sobre una malla centrada (malla principal).

M A J A Y + [ (pu) . - ( p " ) , b Y + [(p.), - ( P V X ~ I = o (4.39) A I

La ecuación anterior puede ser expresada en función de la presión de corrección a través de las ecuaciones (4.38a) y (4.38b) como:

.,Pi =aEPE+a,P,,+a,P~+a,PS+b (4.40)

donde:

ap =ah +aw +aN + a ,

(4.41) (4.42) (4.43) (4.44)

(4.45)

(4.46)

Las velocidades en el término b de la ecuación de corrección de presión son las velocidades supuestas, el cuál representa la ecuación de continuidad integrada en el volumen de control con signo cambiado. Si el término b es aproximado a cero, significa que las velocidades estimadas en conjunto con el valor disponible de (p j - p p ) satisfacen la ecuación de Continuidad, y por lo tanto, no se necesita la corrección de presión. El término b representa un término fuente eo la ecuación de corrección de presión, el cual debe tender a cero durante el proceso iterativo.

El valor de la densidad estará disponible solamente en los nodos de la malla principal (malla centrada), entonces las densidades en la interface del volumen de control principal tal como pe debe ser aproximado a través de alguna interpolación.

La aproximación de las propiedades físicas en las interfaces del volumen de control es descrita en Xamán (2004).

73

SOLUCIÓN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPiTULO 4

4.6.5 Algoritmo Global del Proceso Iterativo

Como se mencionó anteriormente, para resolver las ecuaciones de masa y movimiento se implemento el algoritmo SIMPLEC, a continuación se presenta un resumen del procedimiento.

. .

1. Se inicia con un campo de presión estimado: P'. 2. Se resuelven las ecuaciones de conservación de momento, para obtener: u y v . 3. Se resuelve la ecuación de corrección de presión, para obtener: P . 4. Utilizar el campo de corrección de presión P' para corregir el campo de presión

dado por: P=P'+P' 5. Calcular las componentes de velocidades con los valores de corrección de

velocidades (determinadas con P ) dadas por:

* *

* . u=u +u v=v +V

* I

6 . Resolver otras ecuaciones de conservación discretizadas (Energía, Energía cinética turbulenta, etc ...).

7. Se aplica el criterio de convergencia. Si se cumple el criterio se imprimen los resultados, en caso contrario se continua con el siguiente paso.

8. Finalmente en caso de continuar con el proceso de iteración, la presión P pasa a ser la presión estimada Pa y se repiten todos los pasos nuevamente hasta que la solución converge.

En la Figura 4.4 se muestra un diagrama de flujo del algoritmo SIMPLEC.

Se puede apreciar que la técnica del algoritmo SIMPLEC es secuencial, es decir, la solución de las ecuaciones de conservación de masa y movimiento se obtiene de manera secuencial.

Los sistemas de ecuaciones lineales, resultantes de la discretización de las ecuaciones de conservación, son resueltas utilizando el Método de línea Gauss-Seidel de direcciones altemantes implícitas (LGS-ADI), este y otros métodos se explican en el trabajo reportado por Xamán (2004).

74

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSEKVACIÓN CAPITULO 4

1 . SIMPLEC I + P', I , ' , V' , 9.

PASO I : Suponer un Campo de Presión, Velocidad y otras Variables

PASO 2: Resuelve las Ecs. de Momcnfo Discretizadas

. . u , v

PASO 3: Resuelve la Ec. de Corrección de Presión

P'

PASO 4, 5: Corregir Pres¡& y Velocidades P=P'+P

u=i,'+,' Y="'+"'

s PASO 8: Renombrar

p*=p U.=U p , u, y, (o'

PASO 6 : Resuelve Otras Ecs. de Transpone Discrctizadas

No 1

I Imprime I

Figura 4.4 Diagrama de flujo para el algoritmo SIMPLEC

cApiTuLo 4 SOLUCi6N DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION

4.7 TRATAMIENTO DE CONDICIONES CONTORNO (FRONTERA) Y CONDICIONES INICIALES

Aunque las ecuaciones de Navier-Stokes son válidas para describir el movimiento del fluido, estas por sí solas no resuelven el problema. Se necesitan datos adicionales los cuáles se obtienen a través de la información de las fronteras del problema y de su estado de partida o estado inicial.

Las condiciones iniciales están dadas por los valores que son asignados a las variables independientes en el instante de tiempo inicial, el cual implica que a partir de estos valores el flujo se desarrollará.

Las condiciones de frontera o de contorno se concretan fijando los valores de estas variables en las fronteras (condición de Dirichlet) o fijando una razón de variación de las mismas (condición de Neumann).

Son consideradas fronteras, los límites del dominio de estudio, ya sea por que el fluido está en contacto con una superficie sólida o sencillamente por tratarse de la zona de entrada o salida del fluido en el dominio.

En el caso de un fluido en contacto con un sólido habitualmente se emplea la condición de no deslizamiento, para la componente de la velocidad tangencia1 a la pared y la de impermeabilidad del sólido, con la cuál la Componente de la velocidad normal a la pared es nula. Esto es:

Ufluido = Upared "fluido = 0

Desde el punto de vista térmico las condiciones de contorno son, en general, de temperatura constante o de flujo de calor constante. Esto es:

El subíndice n indica la dirección normal. En el caso de que el flujo de calor sea nulo se establecería la condición de pared adiabática.

Si se tratase de las zonas por donde entra el fluido, generalmente se acostumbra a fijar los valores de las variables de entrada (temperatura y las componentes de la velocidad). En la salida, como los valores dependerán de lo que suceda dentro del dominio, se acostumbra a emplear la hipótesis de flujo hidráulico y térmicamente desarrollado.

ar - = o Esto es: -=o au an an

76

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACION CAPiTULO 4

Este tipo de hipótesis es la causante, en muchos casos, de dificultades en la convergencia numérica, los cuáles suceden si las dimensiones del dominio son incorrectamente seleccionadas.

4.7.1

Como un ejemplo simple, sea el caso de la frontera “Este” de un dominio. El valor de la variable no es conocido, pero sí la variación de esta en la zona. Esta variación esta relacionada con el nodo más cercano en la dirección de variación:

Condición de Neumann. (Derivada de la Variable Conocida)

aa - = A esto indica que ~ - ax ai a P - aw - A

La ecuación algebraica toma la forma:

apaP =awaw + A , &

donde:

a,=a,=a,=O a p = a w =1 b = A . &

Un caso particular de este tipo de condición es cuando el valor de la derivada es nulo, en cuyo caso el término b sena igual a cero.

Cuando la variación de la variable tiene un 4alor establecido se dice que es una condición de tercera clase, y cuando es nulo se dice que es una condición de segunda clase.

4.7.2

En este caso el valor de la variable en la frontera no tendrá relación directa con sus nodos vecinos, quedando la ecuación algebraica de la siguiente forma:

Condición de Dirichlet. (Valor de la variable conocido)

a P 4 P = A

donde: a N =a, =a, = a w = O a p =1 b = A

Estos dos casos son los típicamente tratados en las fronteras de los dominios analizados.

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN CAPiTULO 4

4.7.3 Condiciones de Frontera para la Ecuación de Corrección de Presión p'

Debido a que la ecuación de P' no es una de las ecuaciones básicas, es necesario comentar el tratamiento de SU condición de frontera, ya que de esta variable se obtiene el valor correcto de la presión P durante el proceso de iteración.

Normalmente hay dos clases de condiciones de frontera. Ya sea que la presión en la frontera es dada (velocidad desconocida) o la componente de velocidad normal a la frontera es especificada. Entonces se recomienda lo siguiente:

Dada la Dresión en la frontera: si el campo de presión estimado P' es arreglado de tal forma que en la frontera P'=PJ,~,,,,,,,, entonces el valor de P' en la frontera debe ser cero. Esto es similar al tratamiento para una condición de Dirichlet mostrada previamente.

Dada la velocidad normal a la frontera: si la malla es diseñada de tal forma que la frontera coincide con la cara del volumen de control (Figura 4.5) y la velocidad u, es prescrita; entonces, en la derivación de la ecuación P'para el volumen de control mostrado en la Figura 4.5, no será necesario que la cantidad de flujo a través de la frontera ( p u ) , ~ y sea expresada en términos de ( u ; + d , " ( f ' - ~ i ) ) , pero sí en términos de U, (la cual es conocida). Entonces, P; no aparecerá o UE será cero para la ecuación de P'. Por lo tanto se concluye, que de esta manera no se necesita información de P; en la frontera. En este caso se utiliza U, de forma directa en la ecuación de continuidad.

Velocidad especificada

Figura 4.5 Volumen de control frontera para la ecuación de continuidad.

78

SOLUCldN DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACIÓN CAPiTULO 4

4.8 CRITERIOS DE TERMINACI~N GLOBAL DEL PROCESO ITERATIVO (CRITERIO DE CONVERGENCIA)

En la utilización de los métodos iterativos para la solución de un sistema de ecuaciones, se ha de tener en cuenta que cuando la solución del problema tiende a converger, la solución se aproxima de manera asintótica a la solución real.

Los criterios seguidos para comprobar que una solución converge son el residuo másico normalizado y el residuo de las variables (también se puede calcular de forma normalizada).

El residuo másico es muy importante en cualquier problema, especialmente en los casos de convección natural debido al acoplamiento que existe en todas las ecuaciones. Normalmente, este residuo se utiliza para comprobar que se ha cumplido el principio de continuidad en cada volumen de control. Para el caso de 2-D, el residuo másico normalizado es:

(4.47)

El residuo anterior significa, que cuando las velocidades obtenidas de una presión supuesta cumplen continuidad con una precisión másica determinada, el proceso iterativo puede acabar.

Los residuos para las variables pueden ser calculados como la desviación cuadrática para todo el dominio de solución.

o en forma normalizada:

* E+

R, = ~~

a p d p Y C

(4.48a)

(4.48b)

En la solución de las ecuaciones de conservación de este estudio, se estableció que el residuo másico normalizado sea R,~~ic,$lO~10 y que el residuo no normalizado para todas las variables (velocidades, temperatura, energía cinética turbulenta y la disipación de energía cinética) fuera menor o igual a 10.''.

I 9

SOLUCION DE LAS ECUACIONES DE CONSERVACI~N CAPiNLO 4

4.9 CONCLUSIONES

Se presentó una metodología para la solución numérica de las ecuaciones que rigen los procesos de la Transferencia de Calor y Dinámica de Fluidos en coordenadas rectangulares. La metodología está basada en la técnica de Volúmenes Finitos. Se presentó la formulación para el acople de las ecuaciones de conservación, mediante el algoritmo SIMPLE y SIMPLEC, para ello, se presenta primero la discretización de la ecuación generalizada de convección-difusión, obteniéndose la discretización en notación de coeficientes agrupados. Se especificaron las condiciones de frontera y su tratamiento para obtener los coeficientes de las ecuaciones discretizadas en los contornos del dominio.

80

VERlFlCAClON DEL CODlGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benciimnrk) CAPITULO 5

CAPÍTULO 5 VERIFICACI~N DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE

REFERENCIA (Casos Benchmark)

Antes de pasar a la aplicación del código desarrollado a partir de la técnica presentada en el capítulo anterior, es necesario realizar previamente la verificación de éste. Para ello, se recurrirá a la solución de casos en los cuales se dispone de una amplia información, bien sea por que se dispone de resultados experimentales de éstos o bien por que existen resultados analíticos o numéricos bien contrastados en la bibliografía, casos benchmark.

En este capítulo se realiza la verificación del código numérico desarrollado en lenguaje de programación Fortran. La verificación del código consiste en realizar verificaciones parciales (por comparación con los reportados de otros autores sobre el mismo caso), para luego ir incrementando el nivel de complejidad con problemas más complejos. Cada caso permite la validación de código en diferentes condiciones.

Se verifica el código con casos de flujos laminares: convección natural en una cavidad cuadrada, convección forzada en un canal rectangular, flujo con expansión brusca en un canal rectangular (Backward Facing Step) y flujo inyectado (impinging Slot Jet Flow). Para casos con flujo turbulento se comparan los resultados del presente estudio: convección natural en una cavidad alargada y flujo en un canal rectangular.

Las comparaciones entre los resultados obtenidos con datos de la literatura se realizaron cualitativamente y cuantitativamente en forma gráfica y tabular.

5.1 VERIFICACI~N DEL CÓDIGO

A continuación se presentan los casos de referencia que se emplean en la verificación del código numérico:

Flujo unidimensional en estado permanente Conducción de calor en una placa plana bidimensional. Flujo diagonal, dado el campo de velocidades. Convección forzada en una cavidad cuadrada con una pared deslizante, considerando que el flujo es laminar. Convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente en las paredes verticales considerando que el flujo es laminar. Flujo laminar en una canal rectangular. Flujo laminar en un canal rectangular con expansión brusca (Backward Facing Step). Flujo laminar inyectado en una placa horizontal (Impinging Slot Jet Flow). Convección natural en una cavidad alargada considerando flujo turbulento. Flujo turbulento en un canal rectangular.

81

VERIFICACIÓN DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFEKENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO s

Como este estudio es bidimensional, el código numérico desarrollado fue adecuado a todos los problemas mencionados. Una vez adecuado el código a los casos de referencia, se compararán sus resultados a los casos reportados en la literatura.

5.2 SOLUCI~N DE LA ECUACI~N DE CONVECCI~N-DIFUSI~N UNIDIMENSIONAL.

El problema consiste en determinar la variable 4, la cual es transportada por medio de convección y difusión en un dominio unidimensional, como se muestra en la Figura 5.1. La longitud L es igual a 1.0 m, usando cinco volúmenes de control y la aproximación de esquema central, se calcula la distribución de 4 para los siguientes casos: Caso 1: u = 0.1 m í s Caso 2: u = 2.5 m/s y comparar los resultados con la solución analítica

Caso 3: recalcule la solución para u = 2.5 m/s con 20 nodos y compare los resultados con la solución analítica.

Considere que p = 1 y r = 0.1 y que estas propiedades tienen unidad congruentes en el sistema métrico internacional.

+ = 1 1 1 1 + + = o x = o x = L

Figura 5.1 Dominio unidimensional con velocidad uniforme conocida.

La ecuación de convección-difusión en una dimensión en estado permanente esta dada por:

La ecuación de conservación de masa es:

(5.3)

82

VERIFICACIÓN DEL CODIGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Beachrnork) CAPITULO 5

En la figura 2 se muestra los cinco volúmenes de control, así como la simbología utilizada en la discretización de las ecuaciones.

x = o x = L

Figura 5.2 Volúmenes de control en el dominio unidimensional

Integrando en los límites del volumen de control:

definiendo:

que representan el flujo másico convectivo por unidad de área y respectivamente.

Utilizando el esquema centrado para aproximar los términos difusivos y convectivos e introduciendo la conservación de masa, se obtiene:

el flujo difusivo

Q P ~ ~ = a ~ 4 ~ + (5.7)

donde

(5.8) F W a, = D, i- y a p =aE +aw +(FE -Fw) Fe aE = D e --, 2 2

La solución numérica para este problema será comparada con la solución analítica dada por la ecuación (5.1).

83

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Benchmark) CAPITULO 5

CASO I: r 4

u=O.lmls; F = pu=O. l ; 0=-=0.1/0.2 =0.5

En la Tabla 5.1 se muestra la comparación para el caso 1, se observa que con cinco volúmenes de control y para la velocidad de 0.1 d s , la solución numérica presenta una diferencia máxima de 4.87%, en x = 0.9. en comparación con la solución analítica.

Tab1 aso 1

CASO 2: r 4

u=2.5m/s; F = p u z 2 . 5 ; 0=-=0.1/0.2.=0.5

En la Tabla 5.2 se presentan la comparación de la solución numérica con la analítica, para el caso en que la velocidad es de 2.5 m/s y considerando cinco volúmenes de control, se observa que la solución numérica no predice buenos resultados. En la figura 5.3 se muestra el comportamiento de la solución numérica, la cuál presenta valores oscilantes con respecto a la solución analítica.

Tabla 5.2 Comparación de los resultados para el caso 2 l I Presente I Soluci6n I I

84

VERIFICACIÓN DEL CODIGO: PROBLEMAS DE RÉFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

Q> 0.6 -

0.4 -

3.0

2.5

2.0

m 1.5

1 .o

0.5

P +-Presente Estudio

-+Sol. analítica

+ Resente I titudio R + Resente

titudio x sol. anallica

0.0 -I O 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Figura 5.3 Comparación de los resultados numéricos con el analítico para el caso 2.

CASO 3: Este es el mismo caso 2, con la consideración de 20 volúmenes de control.

En la Figura 5.4 se muestran las comparaciones de las soluciones, se observa que ahora se tiene un predicción satisfactoria con la solución analítica.

r 4

U = 2.5 m/~; F = PU = 2.5; D = - = 0.1/0.05 = 2.0

0.8 1 0.0 -I

O 0.2 0.4 0.6 0.8 1

X

Figura 5.4 Comparación de los resultados numéricos con los resultados analíticos para el caso 3.

85

CAP~TULO 5 VERIFICACION DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFE&NCIA (Casos Bmchmork)

Se puede concluir que el esquema centrado presenta resultados satisfactorios cuando la velocidad es baja, pero a altas velocidades produce resultados oscilatorios respecto a los resultados de la solución exacta (caso 2), para remediar esto fue necesario incrementar los volúmenes de control. es decir la malla debe ser refinada.

En este problema simple de una dimensión se utilizó un esquema centrado en la aproximación del término convectivo, se demuestra que este esquema predice valores oscilatonos con el hecho de incrementar la velocidad. La solución de este tipo de problemas con resultados oscilatorios da origen a la construcción de diferentes esquemas (Upwind, Híbrido, etc.), los cuales fueron mencionados en el capítulo cuatro.

5.3 CONDUCCI~N DE CALOR EN UNA PLACA PLANA BIDIMENSIONAL

Versteeg y Malalasekara (1995) plantearon y presentaron la solución numérica del siguiente problema de conducción de calor en una placa plana.

El problema consiste en determinar el campo de temperaturas en una placa plana, que se mantiene con los tres tipos de condiciones de fronteras diferentes, la conductividad térmica del material es k = 1000 W/m-K, las dimensiones del volumen de control son Ax = Ay =O.Im, como se muestra en la Figura 5.5.

r O . 7 Temperatura IOO'C

Aislado

Figura 5.5 Placa bidimensional con los tres tipos de condiciones de frontera

La ecuación gobernante para la conducción de calor en estado permanente está dada por:

86

VERlFlCAClON DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos fleiichmark) CAPITULO 5

solución de Versteeg Presente

Nodo Estudio 1 260.037 2 242.275 3 205.592 4 146.322

Las condiciones de frontera son:

y Malalasekara (1995) Versteeg et ai. % diferencia

(1995) (absoluta) 260.0 0.014 242.2 0.031 205.6 0.004 146.3 0.015

a) Lado sur (y = O) -= aT o ay

b) Lado norte (y = 0.4 m) T = 100°C

c) Lado oeste (x = O): Flujo de calor constante - A- = 5000 h i m 2

d) Lado este (x = 0.3 m) - = O

aT ay

¿3T ax

Este problema fue resuelto con el fin de familiarizarse con la metodología de implementación de diferentes condiciones de fronteras. Las condiciones de frontera son de suma importancia en las soluciones de problemas con ecuaciones diferenciales parciales, ya que de ellas dependen los resultados correctos de las ecuaciones.

5.4 FLUJO EN DIAGONAL: VARIACIdN BIDIMENSIONAL DE UNA VARIABLE <p

La solución de este problema fue presentada por Versteeg y Malalasekara (1995).

Considerando el arreglo bidimensional de la Figura 5.6, en esta figura se establecen las condiciones de frontera, aquí la variable 9 puede considerarse como una variable escalar

87

VEKIFICACION DEL COUIGO: PROklLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPITULO 5

(temperatura). El campo de velocidades es conocido en todo el dominio. El problema consiste en determinar la distribución de a,.

4 = 100

$4 = 100

Y

v) . E N I1 I >

\

\ Y

\

\

\

\ \

\

\

\

4 = 0

X l $ = O + u = 2 m/s

L X

Figura 5.6 Problema Convectivo-Difusivo en 2D Flujo a 45"

La ecuación de convección-difusión para la variable l$ en dos dimensiones está dada por:

Las condiciones de frontera son:

a) Ladonorte (y=1 .5m) q 4 = i O O

c) Lado este (x= 1.5 m) l $ = O b) Lado sur ( y = O) $ = O

d) Ladooeste ( x = O) 4 = 100

(5.10)

(5.11)

En la Figura 5.7 se presenta la comparación cualitativa de la variable 4 a lo largo de la diagonal X-X con la solución dada por Versteeg y Malalasekara (1995), de la comparación

88

VERlFlCAClUN DEL CUiJICiU: PKUBLEMAS LJE KWEUNLIA (Lasos UenChiriarkJ LAPTSULU S

1W

80

60

o 40

20

O

- 5 0 x 9 1OOXWO

- 5 0 x 9 1OOXWO

O O 2 O 4 06 O 8 1 12 14

- 1 '

Distancia a lo largo de la diagonal X-X

a) b)

Figura 5.7 Comparación cualitativa de resultados a) Presente estudio y b) Solución de'referencia

5.5 FLUJO LAMINAR EN UNA CAVIDAD ISOTÉRMICA CON UNA PARED DESLIZANTE

La solución de este problema permitirá la verificación del código en situaciones de convección forzada, con acoplamiento de presión-velocidad únicamente.

El problema consiste en un dominio cuadrado que tiene una de sus fronteras (pared norte) con movimiento a velocidad constante, este efecto provoca un movimiento del fluido en el interior de la cavidad (ver Figura 5.8). Este caso es conocido en inglés como "Driven- Cavity Problem". Al tratarse de una cavidad isotérmica, sólo se resuelven las ecuaciones de cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad, a través de la cuál se obtiene el campo de presiones. En resumen el flujo es forzado, laminar e incompresible. En la Figura 5.8 se presenta la geometría y las condiciones de frontera de este problema.

Este caso ha sido ampliamente reportado en la literatura, destacándose entre ellos el trabajo, considerado como benchmark, de Ghia et al. (1982). Los resultados de Ghia et al. (1982) servirán para la verificación de los resultados obtenidos en el presente estudio.

El parámetro adimensional que define el caso es el número de Reynolds, este es:

(5.12) P

donde U,,- es la velocidad de la pared en movimiento y L es la longitud de la cavidad

89

CAPITULO 5 VERlFlCAClON DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos üencli>iiark)

L

Figura 5.8 Modelo fisico de la cavidad con una pared deslizante

Se presentarán los resultados de acuerdo con los siguientes parámetros adimensionales:

(5.13)

Como resultados representativos del flujo se presentan los valores de las velocidades u* y v., para las coordenadas en el centro de la cavidad x , y y respectivamente. Estos resultados se comparan en la Figura 5.9 con los reportados por Ghia et al. (1982).

Para la solución del problema se usó el algoritmo SIMPLEC con el esquema de ley de potencia sobre una malla uniforme. La mallas fueron de 61x61, 151x151 y 221x221 para los números de Re de 100, 400 y 1000 respectivamente. En la Figuras 5.9 se puede observar cualitativamente que se obtuvieron resultados similares a los reportados por Ghia et al. (1982), la máxima desviación se obtuvo para Re de 1000 con diferencias de 5.25 y 5.67% para u* y v* respectivamente. Por lo tanto la solución obtenida puede considerarse aceptable.

En la Figura 5.10 se presentan las gráficas de las líneas de comente para diferentes números de Reynolds, se observa que mientras más alto sea el número de Reynolds el eje de rotación del fluido se encuentra más próximo en el centro de la cavidad.

También se observa en la Figura 5.10 (c) para número de Reynolds de 1000, la existencia de dos pequeños vórtices que son empujados por el gran vórtice central en las esquinas inferiores, el vórtice mayor gira en el sentido de las manecillas del reloj y los vórtices pequeños en el sentido contrario.

I .

90

VERIFLCACIUN DEL CULJItiU: PKUBLEMAS U0 KEFIiKENCIA (Casos üemhmark) CAPllULU 5

>

Y' X'

(a) Re=100

Ghis (Nxi129)

Presente BlhJdiD (Nxi151)

o 45

3 o 25

0.05 4.2 Ghia (Nxi129)

Prsienfe estudio (Nxil51)

0.2 0.1 0.8 4.1 - 4 15

4.35 -0.5

y' X'

(b) Re=400

Ghia(Nx=129)

Presente estudio .:r,

O

Presente estudio (Nxi221)

0.2 >

-0.2 + Ghia(Nr=129)

-0.1. -

X* f

(c) Re=1000

Figura 5.9 Componentes de velocidad en el centro de la cavidad para Re=l 00,400 y 1000.

91

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE RÉFERENCIA (Casas Benchrnork) CAPiTULO 5

a) Re = 100 b) Re = 400

8 0.1 0.2 J . > , I I , , ’ , , c O O 1 02 03 0 4 0 5 0 6 O 7 O 8 O 9 1 0.8 o 8 1

c) Re = 1000

Figura 5.10 Líneas de corrientes para diferentes Re

5.6 FLUJO LAMINAR EN UNA CAVIDAD CUADRADA POR CONVECCIÓN NATURAL

La solución de este problema permite la validación del código en situaciones de convección natural, con acoplamiento de presión-velocidad y temperatura-velocidad.

Este caso corresponde a un problema de convección natural, con flujo laminar e incompresible con propiedades constantes (considerando la aproximación de Boussinesq), este problema es conocido en inglés como “Differential Heated Cavity (Cavidad calentada

92

VERFICACIÓN DEL CÓDiGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

diferencialmente)”. En la literatura existe extensa información sobre este caso, De Vahl Davis en 1983 propuso una solución de referencia (benchmark), sus resultados fueron obtenidos con el método de diferencias finitas con un esqÚema upwind.

El problema consiste en un dominio cuadradó (cavidad bidimensional con relación de aspecto (A = Hx/Hy = 1) que posee sus caras este y oeste a diferentes temperaturas, esto provoca un movimiento convectivo del fluido en el interior de la cavidad (Figura 5.1 1). Las paredes norte y sur son adiabáticas y se supone que la velocidad en los contornos del dominio es nula (condición de no deslizamiento). A diferencia del caso resuelto anteriormente, en este se resuelven la ecuación de la energía, para obtener el campo de temperaturas.

Adiabático u = v = o

, /////////////////<

yL u Adiabático

X

T2 L u = v = o

I Figura 5.11 Geometría de la cavidad cuadrada y condiciones de frontera

Este caso es más complicado que el problema anterior debido a que las ecuaciones de momento y energía también se encuentran acopladas por la variable de la temperatura.

Los parámetros adimensionales que definen el caso son el número de Prandtl y el número de Rayleigh, estos son:

Las variables calculadas se adimensionalizan con las siguientes expresiones:

Para las coordenadas:

(5.14)

. x * Y x = - Y Y =¿ L (5.15)

93

VEKIFICACION DEL COOIGO PROBLEMAS DE REFEKENCIA (Casos Benchniork) CAP~TULO s

Para las velocidades

Para la temperatura:

(5.16)

(5.17)

También se utiliza el valor del número de Nusselt, que se define como el cociente entre el flujo de calor real transferido y un flujo de calor de referencia. Su expresión es:

(5.18)

donde Ty es la temperatura del fluido en la posición y y Ax es la distancia horizontal a la cuál se calcula esta temperatura con respecto a la pared vertical fría o caliente.

Para poder comparar los resultados con el caso benchmark (De Vahl Davis) y otros reportados (Barakos,l994), se ha utilizado un Pr = 0.71, que corresponde al aire. El caso se ha calculado para los números de Ra = IO3, IO4, IO5 y IO6, como parámetros de salida representativos se incluyen los siguientes:

Valor máximo del número de Nusselt en la cara vertical caliente (Numa) y su coordenada adimensional ('y').

Valor mínimo del número de Nusselt en la cara vertical caliente (Nu,¡,) y su coordenada adimensional ('y').

Valor promedio del número de Nusselt en la cara vertical caliente (Nu,,dio) y su coordenada adimensional ('y').

Valor máximo de la velocidad horizontal adimensional en el plano vertical medio (umax*) y su coordenada adimensional ('y'),

Valor máximo de la velocidad vertical adimensional en el plano horizontal medio (vmi,,*) y su coordenada adimensional (x').

En la Tabla 5.4 se presentan los resultados obtenidos con el algoritmo SIMPLEC, para la aproximación de los términos convectivos se usó el esquema de Ley de Potencia (Patankar,

94

VERlFlCAClON DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

NUmdio Nu,., (Y’) Numix (Y’) Umar (Y) Vmr. (x’)

1980) sobre una malla no-uniforme de 61 x 61 para todos los casos, así como también se presentan los resultados reportados por Barakos (1994). Se aprecia que los presentes resultados concuerdan los reportados para todos los casos con Xamán (2004) y que presentan ligeras diferencias con los reportados por los otros autores.

(1994) (1984) (1983) (199¡) (2004) 4.510 4.430 4.819 4.646 4.514 4.509

7.636 (0.085) 7.626 (0.083) 7.717 (0.081) 7.795 (0.083) 7.714 (0.087) 7.707(0.080) 0.773 (0.999) 0.824 (0.993) 0.729 (1.000) 0.787 (1.000) 0.747 (1.000) 0.784(1.000) 0.132 (0.859) (0.857) 0.153 (0.888) 0.147 (0.885) 0.131 (0.848) 0.131(0.849) 0.258 (0.066) (0.067) 0.261 (0.066) 0.247 (0.065) 0.257 (0.065) 0.257(0.067)

Tabla 5.4 Comparación de la solución de flujo laminar en una cavidad bidimensional cuadrada. Para a) Ra = IO3, b) Ra = lo4, c) Ra = lo5, d) Ra = lo6

Ra= 1 O’ I Barakos I Markatos I De Vahl Davis I Fuseai I Xamán I Presente estudio

Ra=lO’ I Barakos I Markatos I De Vahl Davis I Fuseni I Xamán I Presente estudio

95

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO. PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Benclirnark) CAP~TULO 5

U

I u,

V Y'

a ) R a = I O 3

L A

b) Ra = IO4

c) Ra = lo5

d) Ra = lo6

T'

Figura 5.12 Componentes de velocidad, líneas de corriente e isotennas para: a) Ra=103, b) Ra=104, c) Ra=1OS, d) Ra=106.

96

VERIFICACIÓN DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmurk) CAP~TULO 5

Comparando los resultados del presente estudio en la tabla 5.4, se observa que existen pequeñas desviaciones con los reportados en la literatura, concluyéndose que el código desarrollado predice resultados satisfactorios para este caso.

En la Figura 5.12 se presentan los resultados adimensionales para las componentes de velocidad (u*,v*), líneas de corriente (Y*) e isotermas (T'). En ellas se puede ver como al aumentar el gradiente de temperaturas (es decir el número de Rayleigh) el movimiento del fluido se hace más intenso. Esto se debe a que el término motriz (el término de flotación) se hace más representativo. Cuando el gradiente es pequeño predomina la difusión sobre la convección, pero a medida que aumenta el gradiente térmico, la convección va adquiriendo mayor importancia, con lo cuál se crea un campo de temperaturas estratificado.

El aumento progresivo de la convección también incrementa el gradiente de temperatura en las paredes laterales de la cavidad, y por lo tanto se tiene un aumento notable en el número de Nusselt.

5.7 FLUJO LAMINAR EN UN CANAL RECTANGULAR EN 2D (CONVECCIÓN FORZADA)

El flujo en un canal rectangular bidimensional corresponde al caso de flujo entre dos placas paralelas infinitas en la dirección z (perpendicular a la hoja), por lo que se considera que no existen cambios de las variables en esta dirección.

Como se muestra en la Figura 5.13 las placas están separadas una distancia Hy y tienen una longitud Hx de 60 veces el diámetro hidráulico (2Hy) para asegurar que el flujo esté completamente desarrollado a esta longitud. Las placas se mantienen a una temperatura T, = 320 K y por la condición de no deslizamiento las velocidades son nulas. En la entrada del canal se tienen perfiles uniformes de temperatura (Ti, = 300 K) y de velocidad que se definen en función del número de Reynolds basado en el diámetro hidráulico. En la salida del canal se tiene la condición de segunda clase para todas las variables, es decir para x = Hx los gradientes de las variables deben ser nulos. Se considera flujo incompresible con propiedades constantes y las ecuaciones que gobiernan el flujo son las de continuidad, momento y energía (ecuaciones de Navier-Stokes).

El parámetro adimensional que define el caso es el número de Reynolds que se obtiene de la siguiente expresión:

(5.19)

donde la Ui, es la velocidad uniforme en la entrada del canal y Dh es el diámetro hidráulico equivalente a dos veces la separación entre las placas. Según experimentos realizados, para que el flujo sea laminar el número de Reynolds debe ser menor que 2300.

97

VERIFICACIÓN DEL CÓDICO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos üenelimork) CAP~TULO 5

T DATOS I I C O N O C 1 O O S b ~ PLANO DE __ - ~ ~ __ - __ EN LA 7 FLUJO ENTRADA DESARROLLADO I I

Y I Hx t I

- X

Figura 5.13 Geometría del canal rectangular

Para las soluciones de las ecuaciones de masa y momentum se utilizó el algoritmo SIMPLEC; las aproximaciones de los términos convectivos se realizaron con el esquema de ley potencia.

Para validar los resultados se dispone de la solución analítica de la velocidad y temperatura (Fox, 1995 y Oosthuizen, 1999):

u ( y ) = 6Uin HY-Y2 H 2

y para la temperatura

(5.20)

(5.21)

Para flujos completamente desarrollados, las correlaciones para el número de Nusselt promedio y del factor de fricción son (Ozisik (1985) y Shah 1987):

Nuprom = 0.023Re,0~8Pro~4 (5.22)

me,, = 24 (5.23)

dondefes el factor de fricción y Pr es el número de Prandtl

El número de Nusselt sobre la pared es calculado de Nu=qHy/hAT, donde q=-h(dT/@),,,d.

El coeficiente de fricción es definido comof= ~,/(pUi,2/2), donde el esfuerzo cortante en la pared calentada es T, , y se cálcula como T, = p(aU/@)l, y Ui. es la velocidad a la entrada del canal.

98

VERIFICACIÓN DEL CÓDICO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchniark) C A P I N L O 5

Reh I Presente I Ecuación I %

Los siguientes resultados del numero de Nusselt y factor de fnción presentados en la tabla 5.5 corresponde a una separación entre las placas de 0.4 m y por lo tanto de una longitud de 48 m para asegurar que el flujo sea completamente desarrollado. Para todos los casos se utilizó una malla de 61 x 21, el algoritmo SIMPLEC y el esquema Ley de potencia. De la comparación con las correlaciones experimentales se observa que a Reynolds mayores la diferencia con las correlaciones es mayor, esto es debido a que, a elevados números de Reynolds, los efectos tridimensionales y de turbulencia se hacen más significativos.

f 1 Presente I Ecuación I %

Tabla 5.6 Comparación .de la temperatura a la salida del canal para Re = 2300

I I I I % I

En la tabla 5.6 se presenta la comparación con la solución analítica de la temperatura a la salida del canal para Reynolds de 2300, se observa que la mayor diferencia se encuentra para el valor de la temperatura en el centro del canal, con una diferencia de 2.41% con respecto a la solución analítica.

99

VERIFICACIÓN DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPiTULO 5

O 0.001 0.002 0.003 0.004

u e n x = L

a)Reh = 100

x u analitico

0.1

O 0.05 0.1 0.15

u e n x = L

0.4

I: uanalitico x 0.2

0.1 u numérico

O 0.05 0.1

u e n x = L

b ) Reh 500

0.4

0.3

% 0.2

0.1

O

x u Anallllco -u nurnenco

O 0.05 0.1 0.15

u e n x = L

d) Reh = 1400

O 0.1 0.2 0.3

u e n x = L

e) Reh = 2300

Figura 5.14 Perfil de velocidad en la salida del canal, para diferentes números de Re yn o 1 d s

1 O0

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benclimork) CAP~TULO 5

En la Figura 5.14 se presentan los resultados de comparación de la presente solución numérica para la componente de la velocidad “u” en la salida del canal con la solución analítica para diferentes números de Reynolds. Se observa en la figura que la solución numérica predice resultados satisfactorios con una diferencia máxima de 0.1 5% con respecto a la solución analítica correspondiente a un Reynolds de 2300.

5.8 FLUJO LAMINAR ISOTÉRMICO A TRAVÉS DE UNA EXPANSI~N BRUSCA (BFS: BACKWARD FACING STEP)

Considérese un flujo laminar incompresible en 2-D por convección dentro de un canal rectangular alargado con una expansión brusca de (H-h) a (H), como se muestra en la Figura 5.15. El fluido considerado es aire con propiedades constantes, las cuales son evaluadas a una temperatura de referencia (To=(T,+Th)I2). En este problema debido a la expansión brusca se provocan gradientes adversos de presión y por lo tanto el fluido experimenta una separación del flujo principal en la zona de XI, quedándose en recirculación el fluido en esta zona. El punto donde el flujo sufre la expansión brusca se llama punto de separación y el punto en donde el flujo termina la zona de recirculación se llama punto de reencuentro.

h t

H

u Figura 5.15 Canal rectangular con regiones de recirculación

La longitud del canal a partir del punto de separación es de 40 veces la altura del escalón (h), esto se hace para asegurar la condición de flujo desarrollado en la salida del dominio.

Las condiciones de frontera se pueden expresar matemáticamente como: (a) A la entrada del flujo, en x=O:

u = v = o , para Oly<h (5.24a)

101

VERIFICACION DEL CODIGO. PROBLEMAS DE KEFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

u=6u0J( l -y ) , v = O para h<ylH donde:

- y - h u, = velocidad media en x = O y=-

(b) A la salida del flujo, en x = 40h:

h ’

au av ax ax - - 0 para OlylH

(c) Sobre la pared horizontal inferior, en y- O:

u = v = o para 0<x<40h

(d) Sobre la pared horizontal superior, en y=H:

u = v = O para O<x<40h

(5.24b)

(5.24~)

(5.24d)

(5.24e)

Para validar los resultados del código se emplearán los resultados experimentales reportados por Armaly et al. (1983). En este caso se utiliza como fluido el aire (Pr = 0.71). La altura del canal es 2h = 0.01m.

El parámetro adimensional que define el caso es el número de Reynolds:

pu,(2h) Re =

Las coordenadas se adimensionalizan con respecto a la altura del escalón H.

X x* = - H

* - y Y -- H (5.26)

Para la validación se ha elegido el valor de la posición del punto de reencuentro X I , el punto de separación xi y el punto de reencuentro superior xj.

En la tabla 5.7 y 5.8 se presentan los resultados para diferentes números de Reynolds, se comparan los resultados obtenidos con resultados experimentales y numéricos de la literatura. Sánchez (2001) utilizó la metodología de volumen finito con una malla de 40 x 80 y con un esquema SMART de alto orden para la aproximación de los términos convectivos, Barton (1995) utilizó la misma metodología que Sánchez (2001) con una malla uniforme de 250 x 128 y empleó el esquema híbrido de bajo orden. Los resultados del presente estudio se obtuvieron con una malla uniforme de 250 x 128 y utilizando el esquema híbrido.

102

VERIFICACIÓN DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPiTULO 5

x2 I 8.26(3.39)*

'Porcentaje de diferencia con respecto al presente estudio .. Porcentaje de diferencia con respecto al valor experimental

7.98

Tabla 5.8. Comparación de los puntos: x2 y x3. I Re=hOO I

Como se puede observar de la tabla 5.7 al incrementar el número de Reynolds, la diferencia con respecto a la experimental se incrementa, con excepción para Re = 100, esto es debido que al incrementarse el número de Reynolds los efectos tridimensionales y de turbulencia son mas notables. Un estudio en detalle de la transferencia de calor y el coeficiente de fricción para el flujo en esta geometría puede encontrarse en el trabajo de Noh et al. (2004).

Con las verificaciones anteriores, se puede concluir que el código de cómputo reproduce satisfactoriamente los resultados reportados en la literatura. La mayor diferencia del punto de reencuentro XI con el resultado experimental es de 11% para Re=600 y la menor de 2.95 para Re=100. Con los resultados numéricos se tiene la mayor diferencia con la solución de Sánchez (2001) para Re=100 de 2.97% y la menor con Barton (1995) para Re=300 con una diferencia de 0.85%.

5.9 CASO TÉRMICO DEL FLUJO LAMINAR BFS

En este caso, además de las ecuaciones de momento y continuidad, se resuelve la ecuación de la energía para determinar el campo de temperaturas, las condiciones de frontera para la velocidad son las mismas que para el caso anterior (ver ecuaciones 5.24 a-e), y para las temperaturas: en la entrada la temperatura es uniforme y constante (Tinlet), en la salida el

103

VERIFICACIÓN DEL C6DiGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAP~TULO 5

gradiente de la temperatura es nulo, la pared inferior se mantiene a un temperatura mayor que la de la entrada (T,) y las pared superior y el paso se mantienen aisladas (adiabáticas).

Para la verificación de este caso el número de Reynolds estará en función de la altura que causa la expansión (Step), es decir:

Re=- (5.27)

Este cambio del parámetro de dimensión característica en la definición del número de Reynolds sólo es por conveniencia para comparar los resultados con los reportados por Kondoh (1993).

El número de Nusselt esta definido de la siguiente manera:

ah N u = - a (5.28)

y /z es la - w T / i t y ) y = O T," - T,k,

Dondea es el coeficiente de transferencia de calor

conductividad térmica.

Kondoh utiliza la metodología de diferencias finitas con una malla de 60 x 30 refinando la malla en las paredes del canal y utiliza un esquema upwind de tercer orden para los términos convectivos. Los resultados que a continuación se presentan son para una malla de 81 x 41 con un esquema upwind de primer orden con la metodología de volumen finito. Las temperaturas a la entrada y de la pared inferior son de 300 y 500 K respectivamente.

El punto de separación (xi) para este caso con Re = 100 es:

Kondoh Presente estudio

La diferencia porcentual con respecto al dato experimental es de 1.64% y con respecto al numérico 3.28%. Es importante mencionar que el presente resultado se aproxima mejor al valor experimental que al resultado numérico de Kondoh.

La comparación cualitativa en la Figura 5.16 muestra que los resultados obtenidos concuerdan con los resultados de Kondoh, con excepción del Nusselt máximo donde se tiene un resultado mayor que el reportado

104

VERIFICACIÓN DEL COOIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Ilenclirnork) CAP~TULO s

2

z 1 -

O ,

- 60 x 30 Gcid

---- 120 x 60 Grid

Malla de 81x41

En conclusión, de la comparación del punto de reencuentro (xi) y la comparación cualitativa del número de Nusselt, se puede considerar que el código desarrollado predice resultados satisfactorios.

5.10 CASO LAMINAR DE FLUJO INYECTADO (ZMPZNGZNG SLOT JET FLOW)

Para este caso, las condiciones de frontera del problema son las siguientes: para la entrada se supone una velocidad y temperatura uniformes (Vini,, y TinleI), en el lado izquierdo se considera piano de simetría para todas las variables con excepción de la componente de la velocidad “u” que es nula, en el lado derecho se considera la condición de flujo desarrollado (la derivada de una variable en esa dirección es nula), en las paredes se considera la condición de no deslizamiento y aisladas con la excepción de la pared inferior de longitud L, la cual se mantiene a una temperatura constante (T,) mayor que Tinlet. Estas condiciones fueron utilizadas por Al-Sanea (1992), el cual es la referencia para la verificación de la solución del presente trabajo. La geometría para este problema se muestra en la Figura 5.17.

105

VERIFlCAClóN DEL CÓDIGO PROBLEMAS DE REFERENCIA (Cosos Benclimork) CAPiTULO 5

t W+

FLUJO DESARROLLADO I I I I

T [niu I

1 DATOSDI: ENTRADA ‘ CONOCIDO

1 L I

Figura 5.17 Geometría rectangular para el caso flujo inyectado

Para este caso el número de Reynolds está definido como:

(5.29)

Las longitudes se adimensionalizan con la longitud total (boquilla) de la entrada del fluido (2W) y las velocidades con la velocidad uniforme de entrada (V,,,,,).

Los resultados de la comparación se obtuvieron con los siguientes parámetros: Re = 200, H = 0.04 m, L = 20W, W= 0.005 m y la longitud total del canal es de 8OW. Las temperaturas en la entrada y de la placa son de 300 y 320 K respectivamente. Se utilizó el algoritmo SIMPLEC y un esquema híbrido con una malla de 81x41; el fluido utilizado es aire.

La Figura 5.18 muestra los resultados de comparación cualitativa, estos corresponden a los números de Nusselt local. Al-Sanea (1992) propuso la siguiente ecuación para el cálculo del Nusselt promedio:

Nu,, = 0.08Re0.65 (5.30)

Para Re = 200 la ecuación (5.30) predice un Nusselt promedio de 2.5 y en el presente estudio se obtiene un valor de 2.68, por lo tanto se tiene una diferencia de 6.71% con respecto a la correlación propuesta por Al-Sanea (1992).

En la Figura 5.19 se muestra la comparación cualitativa para el coeficiente de fricción local (Cf), se puede apreciar que los resultados obtenidos presentan el valor máximo del lOO*j” en x = 0.83 con un valor de 8.93, los cuales se pueden observar aproximados a los de Al- Sanea (1992). Por lo tanto, se puede concluir que se predicen resultados satisfactorios.

106

VERIFICACION DEL CÓDIGO. PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) c A p i T u L o 5

10

6

6

3 z 4

2

O

I O - , , , , I , 1 , I

.. . ----- F*C Let 'Rq vzW. h=ú-71.. , . t==. &&. "mO. ' '

wt-irrn 1- wmcyy pdilc.

U-

o 2 4 6 ' ü

Kl

8

6

4

2 2- x o r

-2

4

-6

-8

-10

Figura 5.18. Número de Nusselt local en la placa inferior a)Presente estudio y b) Resultados de Al-Sanea (1992)

. ~ ~ ~ . . ~ ~ .... ~ ...............

- 1 0 - 8 - 6 4 - 2 O 2 4 6 8 10

Figura 5.19 Variación del Coeficiente de Fricción. a) Presente estudio y b) Resultado de Al-Sanea (1993)

107

CAPITULO 5 VERlFlCACiÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark)

Ra To TH Tc A HY (K) (K) (K) (HYrnX) (m)

2.43*101" 303 323 283 30 3.0

2) Hx (m) (m/s 0.1 9.81

Ra P P A (Kg/m') (Kgims) (W/mK)

2.43* 1 O'" 1.18 1.847* 2.617*10-L

5.11.1 Comparación del Presente Estudio con Resultados Experimentales de Daffa'alla et al. (1991)

Daffa'alla et al. (1991) presentaron los resultados experimentales para la convección natural en una cavidad alargada, las propiedades del fluido y valores característicos que definen el problema están dados en las Tablas 5.9. Estos resultados serán utilizados para la verificación del presente trabajo.

En la tabla 5.10 se presentan las comparaciones del Nusselt promedio en la pared caliente, la componente de velocidad (v) máxima para y = Hy/2 y el valor de la viscosidad turbulenta. En el presente trabajo se se utilizó una malla de 81x81 no uniforme, y el esquema upwind para la aproximación de los términos convectivos.

CP B (JIKgK) (W 1006 7.958*104

Experimental

NUmcdio 149

Presente Estudio JL IL CH HH LS

191.5 164.5 178.7 283.6 207.8 (28.52) (10.4) (19.9) (90.3) (39.4)

108

V,MX

+Hy/2)

r msx

0.08408 0.09833 0.09438 0.07747 0.07529 0.09567 (1 2.12) (2.78) (1.34) (19.02) (21.29)

29.3 27.9 36.6 33.5 32.4 30.4 (3.62) (8.22) (20.5) (10.34) (6.52)

VERIFICACIÓN DEL COOIGO. PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Beitchrnork) CAPiTULO 5

El modelo HH sobrepredice el Nusselt promedio hasta en un 90% y hasta aproximadamente un 20% la componente de la velocidad (v). El modelo CH es el que presenta una mayor diferencia (20.5%) para la viscosidad turbulenta, pero es el que mejor predice (1.34%) la componente de la velocidad (v). Los modelos IL y CH son los que mejor se aproximan a la componente de la velocidad (v) y al Nusselt promedio; Los modelos LS, JL y IL son los que mejor predicen el valor de la viscosidad turbulenta máxima.

Se puede concluir que el modelo IL, es el que proporciona mejores resultados para el problema de la cavidad alargada calentada diferencialmente, en comparación con los otros modelos implementados.

5.11.2 Comparación del Presente Estudio con los Resultados Numéricos de Pérez- Segarra et al. (1995) y Xamán (2004)

Similarmente al caso anterior, se implementó el código con una malla no-uniforme de 45*45 para comparar los resultados obtenidos del número de Nusselt promedio, el Nusselt máximo en la pared caliente, las velocidades (u*, v') máximas en el centro de la cavidad, y la viscosidad turbulenta máxima (,ut*) reportados por Pérez-Segarra et al (1995) y Xamán (2004). Estas comparaciones se presentan en la tabla 5.1 1

Se aprecia que todos los modelos implementados concuerdan con los resultados numéricos de Xamán (2004) y Pérez-Segarra et al. (1995), en el presente trabajo también se implementó el modelo LS, obteniéndose resultado satisfactorios en comparación con los resultados numéricos de Pérez-Segarra et al. (1995).

De la comparación para el número de Nusselt se observa que la mayor diferencia se tiene con el modelo de turbulencia CH con un 2.55% y la menor con el modelo IL con una diferencia de 0.12%. La mayor diferencia de la comparación de la componente de velocidad v* se tiene con el modelo de turbulencia CH con un 1.72% y la menor con el modelo de turbulencia HH con una diferencia de 0.15%, las diferencias máxima y mínima para la componente de velocidad u* son de 9.43% y de 0.36% con los modelos JL y CH respectivamente, todos estos valores máximos y mínimos se dan con los resultados reportados por Xamán (2004). Para la viscosidad turbulenta la mayor diferencia se tiene con el modelo de turbulencia CH del trabajo reportado por Xamán (2004) y la mínima diferencia con los modelos de turbulencia JL y HH de un 0.0% de los resultados reportados por Pérez-Segarra et al. (1995).

5.11.3 Comparación del Presente Estudio con los Resultados Numéricos del CTTC

Esta comparación es realizada con los resultados del Laboratorio de Termotecnia y Energética del Centro Tecnológico de Transferencia de Calor (CTTC), el cual se encuentra localizado en Barcelona, España (Universidad Politécnica de Catalunya).

109

VERIFICACION DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Ilench,n<irk) CAPiTULO 5

Los resultados de comparación son presentados para los modelos JL, IL, HH y CH sobre una malla no-uniforme de 81*81. Los parámetros usados fueron los mismos que se definieron en el inciso 5.1 1 para un Ra=2.43*10'0.

Tabla 5.11 Comparación con resultados de Pérez-Segarra et al. (1995) y Xamán (2004)

En las Figuras 5.20 y 5.21 se muestran los resultados de comparación para las componentes de velocidad (u, v), la temperatura (T) y la viscosidad turbulenta (p,) en el centro de la cavidad (y=Hy/2) para todo valor de x. En estas figuras se puede apreciar que los resultados obtenidos concuerdan con los resultados numéricos del CTTC, entonces se puede concluir que los modelos de turbulencia planteados fueron implementados correctamente en el código numérico.

110

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Beiichmork) CAP~TULO s

4.E-04 estudio

I L 30 c

. CTTC I

O 0.05 0.1 O 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

x 1 4 x 1m1

a) MODELO JL

I

b) MODELOCH

Figura 5.20 Comparación de u, v, T y ,ut en el centro de la cavidad +Hy/2) con el CTTC, usando el modelo JL y CH

111

VERIFICACION DEL CODIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchmark) CAPiTULO 5

om o ,

x i m i

(a)MODELO IL O , ? ,

(b)MODELO HH

Figura 5.21 Resultados de comparación en el centro de la cavidad (y=Hy/2) con el CTTC usando el modelo IL y HH: u, v, T y .u,.

112

VERiFiCACiÓN DEL CÓOIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casas Bcnchmork) CAPiTULO 5

5.12 FLUJO TURBULENTO EN UN CANAL RECTANGULAR EN 2D

En la figura 5.22 se presenta la geometría para este caso, las condiciones de frontera en las paredes del canal son de no deslizamiento y a una temperatura constante (T, = 310K) mayor que la temperatura uniforme de entrada (Tinlet = 300K). En la entrada se considera una velocidad uniforme (Uinlel), para la energía cinética un valor de 0.07 y para la disipación de energía cinética E = C , K ' ' ~ / ( O . O ~ H / ~ ) ~ en la salida del canal se considera la condición de flujo completamente desarrollado (L/Dh = 60), donde Dh es el diámetro hidráulico equivalente a dos veces la separación entre las placas. Estas condiciones se presentan en los artículos de Heyenchs (1996) y Pérez-Segarra (2000), se tomaron éstos datos para el propósito de la verificación.

T DATOS e CONOCIDOS b- ENTRADA EN LA 7

PLANO DE SlMETRiA _ _ _ _ _ _ - - ~ FLUJO DESARROLLADO 1 I

1 Y Hx I

Figura 5.22 Geometría del canal rectangular

Heyerichs y Pérez-Segarra comparan sus resultados numéricos con las correlaciones experimentales dadas por Ozisik (1985) para la determinación del coeficiente del factor de fricción 0, la cual es:

1 ~ = 2.010g(ReDh m)- 0.8 m (5.31)

y para el número de Nusselt:

Nu = 0.023ReDh0.8 (5.32)

La separación entre las placas se consideró de 0.4 m, la temperatura del fluido a la entrada de 300K y la de las placas del canal de 310K. Se utilizó una malla de 121x121 no uniforme, el algoritmo SIMPLEC para el acople de las ecuaciones de masa y momento y el esquema upwind para la aproximación de los términos convectivos.

113

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO: PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benehmork) CAP~TULO 5

En la tabla 5.12 se presentan los resultados de diferentes modelos de turbulencia implementados en el presente trabajo, se comparan éstos con las correlaciones experimentales y con resultados numéricos de los autores mencionados. De la comparación con las correlaciones experimentales se tiene la mayor diferencia de un 8.36% con el modelo IL para el coeficiente de fricción, el modelo turbulento que mejor predice este parámetro es el LS con una diferencia de 1.57%; con respecto al número de Nusselt promedio el modelo JL bajopredice con un 7.40% el valor experimental y el modelo IL es el que mejor predice el valor experimental del número de Nusselt con una diferencia de 2.02%. En comparación con 10s resultados numéricos de Pérez-Segarra (2000) se observa que los modelos turbulentos que mejor se aproximan a sus resultados son: JL, LS y CH y el modelo IL presenta la mayor diferencia de 7.19% para el f y 3.55% para el Nu en comparación con el resultado numérico de este autor. Con los resultados numéricos de Heyerichs (1996) se observa que en general se tienen pequeñas diferencias, la diferencia máxima para elf es de 3.75% para el modelo LS y para el Nu de 5.63% con el modelo IL.

Tabla 5.12 Comparación delfy Nu promedio para el canal rectangular Modelo turbulento Coef. Fricción I % Diferencia"

I I I Presente I

.. Diferencia absoluta con respecto a la correlación en %.

* Diferencia absoluta con respecto al presente estudio en %.

114

> . . , d. .

VERIFICACIÓN DEL CÓDIGO. PROBLEMAS DE REFERENCIA (Casos Benchinark) CAPiTULO 5

En la Figura 5.23 se presenta la comparación cualitativa de los modelos de turbulencia JL y LS con los resultados del CTTC, se comparan la componente de velocidad "u" y la temperatura a la salida del canal, se puede observar que en el presente estudio se obtuvieron resultados satisfactorios en comparación con los resultados del CTTC.

2 5 2 15 O 05 1

0.4

- E 02 m

o

u ( m k )

0.4

- E 0.2 m

O

7 Resente Estudo

a) MODELO JL

0.4

E 0.2 m

. CTTC

I

L O O 0.5 1 15 2 2.5 303 304 305 306 307 306 309 3 W

T íK1 u (mis)

b)MODELO LS

Figura 5.23 Comparación de resultados a la salida del canal (u, T) para los modelos de turbulencia JL y LS.

115

VEKlFlCAClON DEL CODICIO: I’KOULEMAS DE KEFtWNCiA (casos &nch!wrk) CAI’ITULO 5

5.13 CONCLUSIONES

En este capítulo se presentó la verificación del código numérico desarrollado con casos reportados en la literatura. Los casos de referencias consisten de soluciones analíticas, numéricas y experimentales; el nivel de complejidad de los casos presentados aumenta gradualmente, desde la solución de un problema unidimensional hasta los casos bidimensionales, de flujos laminares a turbulentos para los casos de la convección natural en una cavidad alargada calentada diferencialmente y el flujo forzado en un canal rectangular.

Se implementaron diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E, los modelos JL, LS, CH, HH y IL para el caso de la cavidad alargada calentada diferencialmente y los modelos JL, LS, CH y IL para el caso de flujo en un canal rectangular. De las comparaciones para el caso de la convección natural en una cavidad alargada se concluye que el modelo IL es el que mejor se aproxima a los datos experimentales del Nusselt promedio, componente de velocidad (v) y viscosidad turbulenta máxima. En el caso del canal rectangular el modelo IL tiende a dar mejores resultados para el Nusselt promedio y el modelo LS predice mejor el coeficiente de fricción en comparación con las correlaciones experimentales,

En general se concluye que el código desarrollado produce resultados satisfactorios

116

RESULTADOS CAP~TULO 6

CAPÍTULO 6 RESULTADOS

En este capítulo se presentan los resultados del estudio paramétrico para los casos de flujo laminar y turbulento: convección natural en una cavidad rectangular y convección forzada en un canal rectangular. Para el caso de la cavidad calentada diferencialmente se varía la razón de aspecto y el número de Rayleigh, en el canal se varía la longitud de separación entre las placas que forman el canal y el número de Reynolds.

Los resultados numéricos para los dos casos se obtuvieron con el modelo de turbulencia IL, ya que de las comparaciones para estos casos en el capítulo anterior se concluye que este modelo es el que mejor se aproxima a los resultados experimentales del número de Nussetl.

Finalmente se presentan las correlaciones para el número de Nusselt promedio para los dos casos, y adicionalmente, una correlación para el coeficiente de fricción promedio en la pared del canal.

6.1 ESTUDIO PARAMÉTRICO DEL FLUJO POR CONVECCI~N NATURAL EN UNA CAVIDAD

La convección natural en cavidades ha sido ampliamente estudiada debido a las muchas aplicaciones en la ingeniería. La importancia de los procesos de transferencia de calor en ventanas con doble vidrio, colectores solares, ahorro de energía en edificios, enfnamiento de dispositivos electrónicos ha estimulado los estudios de investigación en esta geometría.

En la figura 6.1 se presenta la geometría de una cavidad en dos dimensiones, la cavidad tiene una altura de H y una longitud L. La cavidad contiene en su interior aire, el aire se considera con propiedades constantes y se usa la aproximación de Boussinesq en el término de la fuerza de flotación. Las condiciones de frontera son de no deslizamiento en las cuatro paredes, las dos paredes horizontales se mantienen adiabáticas, en la pared vertical izquierda se calienta a una temperatura Th y es enfriada en la pared vertical derecha a una temperatura T,.

117

CAPiTULO 6 RESULTADOS

Y

H

Th

artayo

I ar/ay=o

T C

& x

Figure 6.1. Geometría y condiciones de frontera de la cavidad

6.1.1 Variación de Parámetros para el Flujo en la Cavidad

El flujo por convección natural en la cavidad se considerará para régimen laminar y turbulento. Se considera la variación de la geometría de la cavidad, variando la razón de aspecto A (H/L), con razones de 20, 40 y 80. Se considera la variación del número de Rayleigh (RQ) en el intervalo de lo2 I Ra 5 10'.

El número de Rayleigh está basado en la longitud de la cavidad (L) y la diferencia de temperaturas entre la pared fría y la caliente, y esta dado por la siguiente expresión:

Los valores de las propiedades usadas en las simulaciones se dan a continuación:

Temperatura en la pared caliente (Th) = 25OC Temperatura en la pared fría (Tc) = 15°C Coeficiente de expansión térmica (p)= 3.41 1E-03 1/K Densidad (p ) = 1.2047 kg/m3 Viscosidad dinámica Número de Prandtl Gravedad (g) = 9.81m/s2

(,u) = 1.817E-05 N s/m2 (Pr) = 0.712

118

CAPITULO 6 RESULTADOS

Las longitudes (L) de la cavidad fueron obtenidas variando el número de Rayleigh y las alturas (H), las cuales fueron calculadas de la relación de la razón de aspecto.

6.1.2 Variables Adimensionales

Con el fin de simplificar la presentación de los resultados se usarán los siguientes parámetros para adimensionar las variables:

Las coordenadas se adimensionaliza con las relaciones:

X*= x/H Y Y'=y/H

La temperatura se adimensionaliza con la relación:

T* = (T-T,)/(Th-Tc)

6.1.3 Distribución de Temperaturas en el Interior de la Cavidad

En las Figuras 6.2, 6.3 y 6.4 se presentan las gráficas de las temperaturas para distintas posiciones en la cavidad, el número de Rayleigh considerado es de IO2 a IO8 y para razones de aspecto de 20, 40 y 80 respectivamente.

De las figuras se observa que para número de Rayleigh de 10' a IO4 la temperatura en el centro de la cavidad presenta un comportamiento lineal con un gradiente ( ~ V l a x ) de -1, este comportamiento indica que la transferencia de calor solo se transmite por conducción (Régimen conductivo); para números Rayleigh de IO5 y IO6 los gradientes de la temperatura son aproximadamente de - 1 en las cercanías de las paredes verticales y en el centro de la cavidad presenta un comportamiento lineal con un gradiente menor de -1 y mayor que cero, este comportamiento del campo de temperaturas se debe a que la transferencia de calor se da por conducción (en el centro de la cavidad) y por convección (cerca de la pared), en este intervalo de números Rayleigh de lo5 y lo6 se presenta el régimen de transición. Para números Rayleigh de IO' y IO8, se observa que cerca de las paredes verticales la temperatura presenta gradientes excesivos, y en el centro de la cavidad, los gradientes son cercanos a cero, en este intervalo de número de Rayleigh se presenta el régimen de capa límite.

Se puede observar que al aumentar la razón de aspecto se reducen los efectos convectivos, esto se ve claramente para el caso de números de Rayleigh de lo3, ya que como se aprecia en la Figura 6.4 (b), para el caso de razón de aspecto de 80, para las posiciones de Y' de 0.0374 y 0.9681 sólo se da la transferencia de calor por conducción; para la razón de aspecto de 40 en estas mismas posiciones la convección ya se presenta ligeramente y la convección aumenta significativamente para estas posiciones para una razón de aspecto de 20.

119

CAPITULU b RESULTADOS

a) Ra=102

c) Ra= 1 o4 <.o 0,s

0.8

0.7

O 8

0.5

o < o 1 o 2

o. I a0

'r

0.m 0.02 0.02 0.0,

X'

e) Ra=l O6

b) Ra=103

.-

d) Ra= 1 Os

'C

0 ~ ~ = 1 0 ~

Figura 6.2 Temperaturas a distintas posiciones en la cavidad para Ra de lo2 a 10'. A=20

g) Ra= 1 O'

120

CAPITULO 6 RESULTADOS

a) Ra=l O2

O 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

X.

c) Ra=l O4

1.0

o 9

0,8

0.7

0.6 g0.5

0.4

0,3 0.2

0.1

0.0 O 0.005 o o, o o t 5 0.0z 0.025

X*

e) Ra= 1 O6 ?.O o 9 0.8

0.7 0.6

k 0.5

0.4 o3

0.2 0.1 O0

o 0.005 0.01 0.015 O02 0.025

X.

g) Ra= 1 O8

" " 0 0.00s 0.0t 0.015 0.02 0.025

X .

b) Ra=lO'

1.0

0.9

0.8

0.7 05

; o s 04

0.3 02

0.. 00

0 O.MS 0.01 0 . 0 S 0.02 0.025

X.

d) Ra=105

1 0.9 0.8 0.7 0.6

F 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

0

0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0

X.

f ) ~ ~ = 1 0 ~

Figura 6.3 Temperaturas a distintas posiciones en la cavidad para Ra de I O 2 a IO8. A=40

121

CAPITULO 6 RESULTADOS

o om O M om6 am o m O012

a. . a) Ra=102

o om OM om am Om a072

X I

b) Ra=103

o om am 0.m am 0.m om X.

d) Ra= 1 Os

Figura 6.4 Temperaturas a distintas posiciones en la cavidad para Ra de lo2 a lo8. A=80

122

CAPITULO 6 RESULTADOS

Para números de Rayleigh mayores que lo6 se observa que el mayor gradiente de temperaturas se presenta en las cercanías de las paredes verticales, esto es debido a que el movimiento del fluido se concentra en la vencidad de estas paredes formándose la capa límite, y en el centro de la cavidad se mantiene una estratificación térmica.

6.1.4

En la Figura 6.5 se presenta la componente de velocidad u*, se observa claramente que esta velocidad se incrementa en las cercanías de las paredes verticales, en la posición adimensional vertical de 0.2 a 0.8 esta componente de la velocidad es prácticamente nula, evitando el moviendo del fluido en esta zona.

Componentes de velocidad para A 4 0

" 0.9

Fa=1.0E4 - Ra.1 .oe . . . . . . . Ra=1.066

Pa=I.OR - Ra-1.0E8

-

-0.01 O 0.01 0.02 0.03 -0.03 -0.02

U*

Figura 6.5. Componente de velocidad u' en el centro de la cavidad (x*=0.00625)

En la Figura 6.6 se presenta la gráfica de la componente de velocidad v* en y'=0.5 a lo largo de la cavidad en x*, se aprecia que al aumentar el número de Rayleigh esta componente de velocidad tiene su valor máximo más próximo a las paredes horizontales y es menor en las proximidades del centro de la cavidad.

De las Figuras 6.5 y 6.6 se puede apreciar que el sentido de rotación del flujo es en el sentido de Ias manecillas del reloj, esto f ie de esperarse debido a que la pared caliente se encuentra en el lado izquierdo.

123

CAPITULO 6 RESULTADOS

O 15

0.1 - Ra=l . O R - Ra=l . O B

0.05 -Ra=l.OB

- Ra=l .OM

-0.05

-0.1

-0.15

X*

Figura 6.6. Componente de velocidad 1>* en el centro de la cavidad (y*=0.5)

6.1.5 Números de Nusselt Promedios

El número de Nusselt es un parámetro importante para la cuantificación de la transferencia de calor en los sistemas térmicos. Es común expresar el número de Nusselt, cuando se analiza la transferencia de calor por convección natural, en función del número de Rayleigh, el número de Prandtl y un parámetro que caracterice fisicamente el sistema por analizar, en el caso de la cavidad la razón de aspecto. Por lo tanto, se puede expresar lo siguiente:

Nu =/(RaL, Pr, A) (6.4)

En el caso de que se considere que la variación del número de Prandtl no afecta significativamente los resultados en el intervalo de temperaturas en el que se trabaje, la relación anterior se puede reducir a:

Nu =f(RaL, A) (6.5)

En la Figura 6.7 se presentan los resultados del número de Nusselt promedio, para las razones de aspecto de 20, 40 y 80 en función del número de Rayleigh. De la figura se observa que el número de Nusselt aumenta al incrementarse la razón de aspecto y también el número de Rayleigh para el caso de flujo turbulento, pero para el caso de flujo laminar el número de Nusselt promedio aumenta al incrementarse el número de Rayleigh y disminuye al aumentar la razón de aspecto.

124

CAPITULO 6 RESULTADOS

A continuación se presentan las correlaciones obtenidas en base a los resultados numéricos para el flujo por convección natural en una cavidad, se dan las correlaciones para cada razón de aspecto en función del número de Rayleigh. Las correlaciones se obtuvieron del ajuste a una curva de forma exponencial, el valor entre paréntesis presenta la maxima diferencia que se tiene de ésta curva con los datos numéricos del presente estudio.

Régimen Laminar (lo3 I Ra I lo6):

A=20 Nu=O. 173 1 RaL (5.6%)' (6.6) 0.2617

A=40 Nu=O.l 865Ra2.245 (8.5%)'

A=8O Nu=O. 1897Ra~ (9.4%)* 0.2398

Régimen Turbulento (IO4 I Ra 5 10'):

A=20 Nu=0.0857RaL (1.4%)"

A=40 N ~ = 0 . 0 6 3 5 R a ~ ' . ~ ~ ~ (4.0%)'

(6.1%)* A=80 Nu=0.054RaL 0.3335

(6.9)

(6.10)

(6.11)

* Diferencia absoluta máxima en porcentaje de la relación con respecto a los resultados numéricos.

125

CAPITULO 6 RESULTADOS

7-

O

a) Flujo Laminar

I . , , I . , . , . , . , . , , , . I ,

08

-- A=20) -0- A=40) + A=80)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -1xIO’ 0 1x10’ 2x10’ 3x10’ 4x10’ 5x10‘ 6x10’ 7x10’ 8x10’ 9x10’ lx108 1:

RaL

b) Flujo Turbulento

Figure 6.7. Variación del número de Nusselt para razones de aspecto de 20,40 y 80

126

RESULTADOS CAPiTULO 6

6.2 ESTUDIO PARAMÉTRICO DEL FLUJO EN UN CANAL RECTANGULAR

En esta sección se presentan los resultados correspondientes al estudio paramétrico del flujo turbulento en un canal rectangular. El modelo fisico se presenta en la Figura 6.8, las condiciones de iniciales y de frontera fueron presentadas en el capítulo 3.

T DATOS i-5 / I

PLANO DE SIMETR~A CONOCIDOS b ENTRADA

FLUJO DESARROLLADO I 1 EN LA F=-

Y I Hx I

Figura 6.8. Modelo físico del canal rectangular

6.2.1 Variación de Parámetros para el Flujo en un Canal Rectangular

Para este estudio se consideró la variación de dos parámetros característicos: la separación entre las placas (Hy) y el número de Reynolds. Se consideran longitudes de separación entre placas de (Hy = 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 m) y del número de Reynolds de (ReDh= 2x104, 4x104, 6x104, 8x104, lo5, donde el número de Reynolds está definido basado en el diámetro hidráulico (Dh) definido como dos veces la separación entre las placas. La relación para el número de Reynolds es:

(6.12)

Donde Vin es la velocidad a la entrada del canal

Los valores de las propiedades usadas en las simulaciones se presentan a continuación:

Temperatura del fluido en ia entrada del canal (Th) = 300K Temperatura en las paredes del canal (T,) = 310K

Densidad (p ) = 1.2047 kg/m3 Viscosidad dinámica Número de Prandtl

Coeficiente de expansión térmica (p)= 3.41 1E-03 1PK

(,u) = 1.817E-05 N s/m2 (Pr) = 0.712

Gravedad (8) = 9.81dS2

127

CAPITULO 6 RESULTADOS

La longitud Hx se consideró de 120 veces la separación entre las placas (Hy) para asegurar la condición de flujo completamente desarrollado, la velocidad a la entrada del canal (Un) fue obtenida a partir de especificar el número de Reynolds, es decir estas dos variables se obtuvieron con las siguientes relaciones:

Hx=120Hy

u. =- / ReDh ,,I

PDh

(6.13)

(6.14)

El código de cómputo desarrollado fue implementado con las dimensiones y propiedades especificadas en esta sección. ,

En el estudio de sistemas que involucren transferencia de calor y convección forzada es común determinar dos parámetros importantes: 1) Número de Nusselt y 2) Coeficiente de Fricción.

El número de Nusselt se calcula con la siguiente relación:

Nu=qHylhAT (6.15)

El coeficiente de fncción se calcula con la siguiente relación:

f = zw/(pu,,2/2)

Donde el esfuerzo en la pared está dado por la relación:

Tw = P(aU/@)pared

(6.16)

(6.17)

(6.18)

6.2.2 En la Figura 6.9 se presentan las gráficas de la variación del coeficiente de fricción para cada longitud de separación entre placas considerado y para los diferentes números de Reynolds. Se puede observar que para un mismo número de Reynolds y para diferentes longitudes de separación entre las placas el valor del coeficiente de fncción máximo se mantiene cercano a un mismo valor, pero esto no sucede en la misma posición a lo largo de x, ya que al incrementarse la longitud de separación entre las placas el valor máximo del coeficiente de fricción tiende a desplazarse hacia el interior del canal. Este desplazamiento es debido a que el flujo se desarrolla dinámicamente a una posición mayor de x al incrementarse el número de Reynolds.

Coeficiente de Fricción en la Pared del Canal

128

CAPITULO 6 RESULTADOS

r

0.01 I 1

O 0.1 0.2 0.3 0.4

X

0.05 -Re-?OE4 . . . . . . . Rei40E4 - b R & O E 4 b R H O E 4 -Re;XIE5

0.04 r

0.03

0.02

0.01

0 0 0.2 0.4 0.6

X

a ) H y = O . l m

0.06

-Re=20€4 0.05

-Rai60E4 -R&0E4 - d - R e = W E S

0.04 ”.

0.03

0.02

0.01

O O 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

X

c) Hy = 0.3 m

0.05 i1 --RS*OE4

R B = W H

-Rs8OH -Redow

-Re=mB

. . . . . . . 0.04

r

0.03

0.02

0.01

O 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 t o 12

X

b) Hy = 0.2 m 0.07, 1

0.06

0.05 -Re=20E4

0.04 r -Re=60E4

0.03 -Re=üOE4 -Re=nES

0.02

0.01

o b , , , , . , , , , I 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.6 0.9 1.0

X

d) Hy = 0.4 m

Figura 6.9. Variación delf en la pared del canal, para los diferentes Re

Y HY.

a) Hy = 0.5 m

129

CAPiTULO 6 RESULTADOS

4.OE+04 6.OE+04 8.OE+04 1 .OE+05

También se observa de la Figura 6.9 que para una separación fija de las placas del canal, el coeficiente de fricción disminuye a medida que el número de Reynolds se incrementa. Estas características se aprecian cuantitativamente en la Tabla 6.1, la cual presenta los valores promedios del coeficiente de fricción, para cada número de Reynolds y distintos valores de separación entre las placas del canal.

0.006923 0.006923 0.006923 0.006923 0.006923 0.006247 0.006247 0.006247 0.006247 0.006247 0.005847 0.005847 0.005847 0.005847 0.005847 0.005574 0.005574 0.005574 0.005574 0.005574

9.0503

8.5E-03 -

8.OE-03 -

7.5E-03 - - 7.OE-03 -

6.5E-03 - 6.OE-03 -

5.5E-03 - 5.OE-03

De los valores de la Tabla 6.1 se puede concluir que el coeficiente de fricción promedio sólo depende del número de Reynolds, por que los valores no tienen cambios significativos para las variaciones de la separación de las placas (Hy).

En la Figura 6.10 se presenta la gráfica del coeficiente de fricción promedio para un valor de longitud de separación entre placas de 0.1 m en función del número de Reynolds. Como se observa de la figura, el coeficiente de fricción promedio disminuye ai aumentar el número de Reynolds y esta disminución es no lineal.

J.l

Figura 6.10. Coeficiente de Fricción promedio para H y 0 . l m en función del Re.

130

CAPITULO 6 RESULTADOS

A continuación se presenta la correlación obtenida en el presente estudio para el coeficiente de fncción promedio:

f= 0.1 124*Re- para 2 x 1 0 4 < ~ e < 10’ (6.19)

La ecuación (5.19) es válida para el aire con Prandtl de 0.712.

La diferencia máxima entre la correlación de la ecuación (5.19) y los resultados numéricos es de 1%.

6.2.3 Número de Nusselt en la Pared del Canal

En la Figura 6.1 1 se presentan las gráficas del número de Nusselt como función del valor de separación entre las placas para diferentes números de Reynolds. Se observa que para un número de Reynolds fijo y para diferentes valores de longitudes de separación entre placas el Nusselt máximo se mantiene próximo a un mismo valor, pero este valor máximo se va alejando de la entrada del canal, esto sucede cuando la separación entre las placas se incrementa y es debido a que el flujo se desarrolla térmicamente a una longitud mas alejada de la entrada del canal. También se observa que para una longitud de separación entre las placas fija y al incrementar el número de Reynolds el número de Nusselt aumenta, esto es debido a que se tiene una mayor transferencia de calor por presencia de una mayor convección.

En la Tabla 6.2 se presentan los resultados del estudio paramétrico para el número de Nusselt promedio en la pared del canal.

De los valores de la Tabla 6.2 se concluye que la separación entre las placas no influye en el valor del número de Nússelt promedio, y que a números de Reynolds mayores los valores del número de Nusselt promedio aumentan.

En la Figura 6.12 se presentan los valores del número de Nusselt promedio para Hy = 0.1 m en función del número de Reynolds. En la figura se observa que al aumentar el número de Reynolds el número de Nusselt promedio también aumenta en una forma casi lineal.

131

CAPiTULO 6 RESULTADOS

250 1

O.OE+OO 2.OE+04 4.OE+04 6.OE+04 8.OE+04 1 .OE+05

Re

Figura 6.12. Número de Nusselt Promedio para HyO.1 m en función del Re.

De los resultados del presente estudio, a continuación se presenta una correlación para el número de Nusselt promedio en función del número de Reynolds:

Nupro= O. 023 7 para2.OE4SReS 1.OE5 (6.20)

Los resultados de la correlación obtenida por la ecuación (5.20) tiene una diferencia máxima de 1.14% en comparación con los resultados numéricos del presente estudio.

6.3 CONCLUSIONES

En este capítulo se presentaron los resultados del estudio paramétrico para los casos de flujo laminar y turbulento: convección natural en una cavidad rectangular y convección forzada en un canal rectangular. Para el caso de la cavidad calentada diferencialmente la razón de aspecto y el número de Rayleigh fueron variados, en el canal la longitud de separación entre las placas que forman el canal y el número de Reynolds fueron variados.

Se presentaron las correlaciones para el número de Nusselt promedio para los dos casos y adicionalmente se presentó una correlación para el coeficiente de fricción promedio en la pared del canal. La correlación para el número de Nusselt en la cavidad calentada diferencialmente presenta resultados con una diferencia máxima de 6.1%, para el caso de una razón de aspecto de 80, en comparación con los resultados numéricos obtenidos. La correlación para el número de Nusselt promedio en el canal presenta una diferencia de 1.14% y el coeficiente de Fricción 1.0%, en comparación con los resultados numéricos.

133

CONCLUSIONES GENERALES CAP~TULO 7

CAPÍTULO 7 CONCLUSIONES GENERALES

7.1 CONCLUSIONES

En este trabajo se describieron los modelos físicos y matemáticos para los problemas de flujo laminar: convección natural en una cavidad cuadrada calentada diferencialmente, flujo en un canal rectangular, flujo en un canal con expansión brusca y flujo inyectado sobre una placa; también para los casos de flujo turbulento en: una cavidad rectangular calentada diferencialmente y para el flujo por convección forzada en un canal rectangular. En el modelo fisico se describieron las geometrías y las consideraciones para cada caso, y en el modelo matemático se especificaron las ecuaciones promediadas de Navier-Stokes (masa, momentum y energía), las condiciones iniciales y de .contomo. También se presentaron diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E .

Se presentó una metodología para la solución numérica de las ecuaciones que rigen los procesos de la transferencia de calor y dinámica de fluidos en coordenadas rectangulares. La metodología está basada en la técnica de volúmenes finitos. Se presentó la formulación para el acople de las ecuaciones de conservación, mediante el algoritmo SIMPLE y SIMPLEC.

Se presentó la verificación del código numérico desarrollado con casos reportados en la literatura. Los casos de referencia consisten de soluciones analíticas, numéricas y experimentales; el nivel de complejidad de los casos presentados se incrementan gradualmente, desde la solución de un problema unidimensional hasta los casos bidimensionales, de flujos laminares a turbulentos para los casos de la convección natural en una cavidad alargada calentada diferencialmente y el flujo forzado en un canal rectangular. En general, se concluye que el código desarrollado para los problemas de verificación produce resultados satisfactorios.

Se implementaron diferentes modelos de turbulencia de la familia K - E, los modelos JL, LS, CH, HH y IL para el caso de la cavidad alargada calentada diferencialmente y los modelos JL, LS, CH y IL para el caso de flujo en un canal rectangular. De las comparaciones para el caso de la convección natural en una cavidad alargada se concluye que el modelo IL es el que mejor se aproxima a los datos experimentales del Nusselt promedio con una diferencia de 10.4%, la componente de velocidad v con una diferencia de 2.78% y la viscosidad turbulenta máxima con una diferencia de 8.22%. En el caso del canal rectangular el modelo IL tiende a dar mejores resultados para el Nusselt promedio con una diferencia de 2.02% y el modelo LS predice mejor el coeficiente de fricción en comparación con las correlaciones experimentales con una diferencia de 1.57%.

Se presentaron los resultados de los números de Nusselt local y promedios del estudio paramétrico para los casos de flujo laminar y turbulento de la convección natural en una cavidad rectangular y para el flujo turbulento de la convección forzada en un canal rectangular se presentaron los resultados de los números de Nusselt y coeficientes de

134

CONCLUSIONES GENERALES CAPITULO I

fricción. Para el caso de la cavidad calentada diferencialmente la razón de aspecto se consideró de 20, 40 y 80 y el número de Rayleigh de 10’ a lo8, en el canal la longitud de separación entre las placas ue forman el canal fue variada de 0.1 a 0.5 m y el número de Reynolds de 20x104 a 10 . Se presentaron correlaciones para el número de Nusselt promedio para los dos casos y adicionalmente una correlación para el coeficiente de fricción promedio en la pared del canal. La correlación para el número de Nusselt en la cavidad calentada diferencialmente presenta resultados con una diferencia máxima de 6.1%, para el caso de una razón de aspecto de 80, en comparación con los resultados numéricos obtenidos. La correlación para el Nusselt promedio en el canal presenta una diferencia de 1.14% y el coeficiente de Fricción 1 .O%, en comparación con los resultados numéricos. La diferencia de la comparación de las correlaciones propuestas en el presente trabajo con los resultados numéricos es debido a que se ajustó una curva a los valores obtenidos.

Por lo anteriormente expuesto, se considera haber cubierto satisfactoriamente los objetivos planteados en este trabajo.

9

7.2 SUGERENCIAS A TRABAJOS FUTUROS

Como extensión del presente trabajo se pueden sugerir los siguientes estudios:

1. Se recomienda la implementación al código desarrollado, para flujos en régimen laminar y turbulentos, las subrutinas necesarias para considerar propiedades variables del fluido, con el fin de considerar flujos compresibles.

2. El estudio con flujo turbulento en 2D del flujo en un canal rectangular con expansión brusca y el flujo inyectado en una placa.

3. Extender los casos estudiados en dos dimensiones a tres dimensiones, resolviendo las ecuaciones gobernantes en 3D, para analizar la contribución tridimensional y hacer más real la modelación.

4. Se deben realizar estudios experimentales en cavidades con dimensiones realistas para validar los diferentes modelos numéricos desarrollados para el caso de la cavidad rectangular.

5. Se deben implementar otros modelos de turbulencia como los algebraicos (ASM) o los de esfuerzos Reynolds (RSM) para cuantificar diferencias con los modelos de turbulencia implementados en la presente tesis (EVM) y con posibles resultados experimentales.

6. Considerar el desarrollo numérico con flujo laminar para geometrías complejas, como por ejemplo cavidades triangulares, cavidades en otros sistemas coordenados (cilíndricas Ó esféricas), etc.

135

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140

ECUACI~N DE CONSERVACI~N DE MASA APÉNDICE A

APÉNDICE A

ECUACI~N DE CONSERVACI~N DE MASA

Esta ecuación se deriva al aplicar el principio de conservación de masa. Este principio se expresa como: la variación con respecto ai tiempo de la masa dentro de un volumen de control es igual al flujo másico que lo atraviesa. La ecuación resultante es conocida como la ecuación de conservación de masa.

Al considerar el fluido como un medio continuo, todas las propiedades físicas (densidad, viscosidad, etc.) o variables (velocidad, temperatura, etc.) se consideran descritas por funciones que varían uniformemente con el tiempo y la posición, tal como q$(x,y,z,t). Entonces si 4 es una variable o propiedad física del fluido entrante en la cara izquierda del volumen infinitesimal de la figura A.l , la cara derecha deberá tener una q5 ligeramente diferente, q$+(a@&)dx . Para la conservación de masa, si pu es conocido en la cara izquierda, el valor de este producto en la cara derecha es pu + (apu/aX)dx.

Figura A.l Volumen de control infinitesimal en coordenadas cartesianas mostrando los flujos másicos de entrada y salida en la cara perpendicular al eje x.

141

APENDICE A ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

De una misma manera se pueden expresar los flujos másicos de entrada y salida del volumen de control en las otras direcciones, éstas se expresan en la tabla A.l.

Tabla A.l Flujos másicos en las caras del volumen de control Caras Flujo másico de entrada Flujo másico de salida

pu dydz X

Y pv dxdz [ pv + $(pv)dy]drdz

Z pw dxdy -

El flujo másico total que atraviesa el volumen de control resulta de la diferencia de los flujos másicos de salida menos los de entrada, obteniéndose:

Flujo másico total = (ab) ~ + ~ + d 0 ) d x d y d z dx dy dz

La masa total dentro del volumen de control (V.C) se puede expresar como p(dxdydz) , por lo tanto la variación temporal es:

('4.2) Variación temporal de la masa en el V.C =-dxdydz aP

at

Aplicando el principio de conservación de masa, se tiene de las ecuaciones (A.l) y (A.2):

La ecuación (A.3) también se puede escribir en forma indicia] como sigue

-~ + = 0 para i=x,y,z at ax:

o también:

(A.3a)

-+v.(pu)=o aP at (A.3b)

142

E C U A C I ~ N DE CONSERVACI~N DE MASA APENDICE A

Las ecuaciones (A.3) expresan el principio de conservación de masa para un volumen de control infinitesimal. A menudo se le llama ecuación de continuidad por que no requiere más que la consideración de continuidad del producto de las funciones de densidad y velocidad. Esto es, el flujo puede ser estacionario o no, viscoso o sin fricción, compresible o incompresible. Sin embargo, la ecuación no tiene en cuenta ninguna singularidad del tipo fuente o sumidero dentro del volumen de control. Un caso en el que la ecuación de continuidad podría necesitar de un cuidado especial es el Jlujo con dos fuses, donde la densidad es discontinua entre las fases (White, 2000).

El primer término del lado izquierdo de la ecuación (A.3) representa la variación de la densidad en el tiempo y el segundo término describe el flujo neto de masa saliendo del VC a través de sus fronteras.

143

APÉNDICE A ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

APÉNDICE B

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La ecuación de cantidad de movimiento en un volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton, la cual establece que un pequeño elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él, es decir, masa x aceleración = suma de fuerzas.

En otras palabras el principio de conservación de cantidad de movimiento establece: La variación temporal de la cantidad de movimiento asociado a un volumen de fluido mas el flujo neto que atraviesa las superficies del volumen de control es igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él. Se conoce como la cantidad de movimiento o momentum de un elemento de masa, al producto de ésta por su velocidad.

A continuación se hace el análisis de cada término considerando el principio de conservación de momento, solamente para la componente x:

Variación temporal de la cantidad de momento lineal (CML)

Se ha mencionado que la cantidad de movimiento se define como el producto de un elemento de masa por su velocidad, por lo tanto para el volumen de control de la figura A.l se obtiene: Variación temporal de la CML en x = a o d r d y d z at (B.1)

Flujo neto de CML en x

Se calcula como el producto del flujo másico total a través del volumen de control dado por la ecuación (A.l), la cuál también se puede escribir como v . (&r)dxdydz por la componente de la velocidad en x:

Flujo neto de CML en x = V.(pU)dxdydz (B.2)

Suma de fuerzas másicas

Las fuerzas externas que actúan sobre el VC son de dos tipos: las fuerzas másicas o de cuerpo y las fuerzas superficiales.

Las fuerzas másicas actúan directamente sobre la masa volumétrica del VC, entre ellas la fuerza de la gavedad, centrífuga, conolis, eléctrica y magnética. Englobando las fuerzas másicas como f y expresando la componente en x como f,, obtenemos:

144

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA APENDICE A

Suma de fuerzas másicas en dirección x = pf,(dxdydz) 03.3) Suma de fuerza superficiales

Las fuerzas superficiales actúan directamente sobre la superficie del VC del fluido, como son la presión ejercida sobre la superficie impuesta por el fluido exterior al VC y las fuerzas causadas por las tensiones viscosas (normales y tangenciales) actuando sobre la superficie del VC también causado por el fluido exterior al VC por contacto directo.

r,dydz

Z

Figura B.1 Volumen de control infinitesimal en coordenadas cartesianas mostrando sólo la componente x de las fuerzas de superficie.

En la figuara B.1 se muestra un esquema de las fuerzas (calculadas según la definición de esfuerzo, fuerza por unidad de superficie) que actúan superficialmente sobre el volumen de control en la dirección x, de las fuerzas viscosas normales y tangenciales. En la cara dydz también actúa a compresión la fuerza debido a la presión pdydz y en la otra cara la fuerza

p+- dx dydz. ( 3 AI hacer la suma de las todas las fuerzas que actúan en la dirección x, se obtiene la fuerza total que actúa en esa dirección:

(B.4) Fuerza neta debido a las fuerzas superficiales = dx dx dy dz

145

APÉNDICE A E C U A C I ~ N DE CONSERVACIÓN DE MASA

AI aplicar el principio de conservación de momento l'neal I se obtiene, de las ecuaciones (B.l) - (B.4) la ecuación de conservación de momento para la componente x I

ap arm ar,, a r alpu) + v . (p.+ - - + - + - + 3 + P f x at dx dx dy dz

De forma análoga se obtienen las otras dos ecuaciones en dirección y y z:

~ +v. bu)= - - + - +- +% +pfv ap a*, ab)

at dy dx dy dz

at 03.7)

Matemáticamente estas tres ecuaciones se puede expresar en forma tensorial de la siguiente forma:

o también en forma vectorial:

+ v .(puv) = -VP+ v. (r)+ 3 (B.8a) at

El primer término de la ecuación (B.8) representa la rapidez de cambio de movimiento, el segundo término es el incremento de movimiento por convección, el tercer término representa las fuerzas de presión que actúan sobre el volumen de control, el cuarto término es la ganancia de movimiento por transporte viscoso y el último término representa la fuerza de cuerpo que actúa sobre el elemento de volumen de control.

A finales del siglo XVII, Newton demostró que en ciertos fluidos las tensiones viscosas son proporcionales a los gradientes de velocidad, entre ellos el aire, estos son conocidos como fluidos Newtonianos.

La relación entre el tensor de los esfuerzos viscosos ( G,) y los gradientes de velocidad es conocida como la ley de viscosidad de Newton, la cual se expresa en forma tensorial como:

ou. auj au r.. = p -+- + < A s . . * [axj axi j axr * 03.9)

El segundo término, Únicamente afecta a los esfuerzos normales con el segundo coeficiente de viscosidad, 4 el cual se define como:

146

AFÉNDICE A ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

2 3

< = k - - p (B.lO)

donde k es conocida como la viscosidad de expansión, la cual es la responsable de incluir esfuerzos normales en el fluido causadas por variaciones de volumen.

Sin embargo, se ha demostrado que esta viscosidad es despreciable en la mayoría de las ocasiones. La hipótesis de Stokes considera despreciable la viscosidad de expansión (Hoffmann, 1996) . Suponiendo k = O, la ecuación (B.9) se reduce a:

(B.l l)

Para flujos incompresibles el segundo término de la ecuación anterior (la divergencia de la velocidad) es cero.

Sustituyendo la ecuación (B.11) en la ecuación (B.8) se obtiene la expresión en notación índicial de la cantidad de movimiento para fluidos Newtonianos:

por lo tanto, para las tres componentes se puede escribir:

-+v.(puu)=--+- p J(P) at

(B.12a) ax ax

+- p - +- +pf, at )] iZ[ [:: 31

~ . (B. 12b)

(B. 12c)

(B.12)

La ecuación (B.12) es la ecuación de conservación de cantidad de momento lineal para flujos viscosos, también se les conoce como las ecuaciones de Navier-Stokes.

147

APÉNDICE A ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

APÉNDICE c E C U A C I ~ N DE CONSERVACI~N DE ENERGÍA

La ecuación de conservación de energía es obtenida de la primera ley de la termodinámica, la cual establece que la cantidad de cambio de energía de una partícula fluida es igual a la cantidad de calor adicionado ai elemento fluido más la cantidad de trabajo realizado sobre la partícula.

En otras palabras, el flujo neto de salida de energía interna más cinética, más el incremento temporal de energía interna más cinética al interior del VC, debe ser igual al trabajo realizado sobre el VC tanto por fuerzas volumétricas como superficiales, más el flujo neto de calor entrante al VC (transferencia de calor a través de las caras del VC debido a los gradientes de temperatura), más la energía neta aportada al VC (este término es debido a la absorción o emisión de calor, energía absorbida ondas electromagnéticas, este será agrupado como 0). La energía del fluido se define como la suma de la energía interna (e¡,,,), energía cinética (e,iH=i/2(u2+v2+w2) y ia energía potencial gravitacionai. La energía potencial será incluida en la fuerza gravitacional como una fuerza de cuerpo.

A continuación se evaluarán por separado cada uno de los diferentes téminos que se involucran en el principio de conservación de la energía:

Flujo neto de energía

Este es el producto del flujo másico total a través del VC por la energía por unidad de masa (E), por lo tanto de la ecuación (A. I ) :

Flujo neto de energía = v . )drdydr (C.1)

Variación temporal de la energía por unidad de masa

La energía del VC se puede expresar como pE(dxdyfz), por lo tanto la variación temporal será:

Variación temporal de la energía = -(pE)dxdydz (C.2) a at

Trabajo realizado sobre el VC por las fuerzas másicas

El trabajo realizado por unidad de tiempo de todas las fuerzas másicas f, se puede calcular como el producto de la fuerza por la velocidad en que se aplica, se obtiene:

Trabajo debido a las fuerzas másicas por unidad de tiempo = pf U(dxdydz) (C.3)

148

APÉNDICE A ECUAC16N DE CONSERVACION DE MASA

Trabajo realizado sobre el VC por las fuerzas superficiales

Para las fuerzas superficiales se realizará el análisis sólo para la componente en la dirección x de las fuerzas, para las otras componentes se obtienen de forma análoga. La fuerza superficial neta en la componente x está dada por la ecuación (B.4), entonces el trabajo por unidad de tiempo debido a esta fuerza se calcula como el producto de la fuerza por su velocidad, obteniéndose:

Trabajo realizado por unidad de tiempo sobre el VC uor las fuerzas superficiales en la dirección x =

Teniendo en cuenta las fuerzas superficiales en todas las direcciones se obtiene el trabajo por unidad de tiempo total debido a las fuerzas superficiales en el VC:

Flujo neto de calor

Este término es debido al flujo de calor transmitido a través de las caras del VC como consecuencia de un gradiente de temperatura. Definiendo q como el flujo de calor por unidad de superficie y tiempo, para el cálculo de los flujos entrantes y salientes en las caras del VC se prosigue de manera análoga al cálculo del flujo másico. Así el flujo de calor por conducción en cada cara, en notación tensorial es:

dQi = qidAi para i = x, y, z

para i = x, y, z

El flujo neto de calor a través del VC:

C ( d Q i - dQ,+di = - dxdydz = -(V. qjdxdydz i=x.y,z

149

E C U A C I ~ N DE CONSERVACI~N DE MASA

El calor por conducción se puede expresar en función de la temperatura en base a la Ley de Fourier, la cuál establece una relación lineal entre el calor por conducción y el gradiente de temperaturas, relacionadas con una propiedad fisica llamada conductividad térmica /z , en coordenadas cartesianas se tiene:

APÉNDICE A

aT q =-A- az aT q =-A- aT ay Y

q =-A- ax (C.9)

Finalmente se puede expresar el flujo neto de calor a través del VC como:

Flujodecalorneto= dxdydz=-V.(ñVTJdrdydz (C.10)

Energía neta aportada al volumen de control

Este término es debido a efectos de absorción o emisión de calor, energía absorbida por radiación, ondas electromagnéticas, etc. y quedan englobadas en un término @ por unidad de tiempo y volumen:

Energía neta aportada al VC = @ dxdydz (C.1 I )

Ecuación de Conservación de Energía:

Agrupando todos los términos obtenidos en las ecuaciones (C.l), (C.2), (C.3), (C.5), (C.lo), y (C.11), y de acuerdo al principio de conservación de la energía, se obtiene en forma vectorial:

+ v . @u) = -v. (P(i)+ v. (. . u)+ v. ( A V T ) + @ + d . u al

o en forma de indicia1 o tensorial:

(C.12)

(C.12a)

En la ecuación (C.12) no se sustituyeron los esfuerzos viscosos (ley de viscosidad de Newton) como en la ecuación de cantidad de movimiento. Por conveniencia, aunque la ecuación (C.12) es la ecuación de la energía adecuada, es útil extraer los cambios de energía cinética (mecánica) para obtener una ecuación de la energía interna (e:",) o temperatura (T) (ecuación de conservación de energía térmica). La parte de la ecuación de

150

ECUACI~N DE CONSERVACIÓN DE MASA AF'ENDICE A

energía (C.12) atribuible a la energía cinética puede ser encontrada por multiplicar la ecuación de momento-x (B.12a) por la componente de velocidad u, la ecuación de momento-y (B.12b) por la componente de velocidad v, la ecuación de momento-z (B.12~) por la componente de velocidad w y sumar los resultados de las tres ecuaciones resultantes, el cual esta dado como (ecuación de conservación de energía mecánica):

(C. 13)

o también en forma vectorial: I

(C.13a)

De acuerdo a la definición de la energía ' específica (E=ein,+eei,,), restando la ecuación (C.13) de la ecuación ('2.12) se obtiene la bcuación de conservación de energía térmica o interna (einl):

I o también: I

(C.14)

(C.14a)

Para el caso especial de un flujo incompresible, la energía interna se puede escribir como:

eint = C,T (C.15) 1 donde C, es el calor específico del fluido a presión constante.

Sustituyendo la ecuación (C.15) en la ~ ecuación (C.14) se obtiene la ecuación de conservación de energía térmica en términbs de la temperatura:

I

o también: I I

V.bC,TU)= r . V u + V . ( a V í - ) + p at

(C.16)

(C.16a)

151

APENDICE A ECUACION DE CONSERVACIÓN DE MASA

APÉNDICE A

ECUACIóN DE CON. ERVACIóN DE MASA i Esta ecuación se deriva al aplicar el principio de conservación de masa. Este principio se expresa como: la variación con respecto al tiempo de la masa dentro de un volumen de control es igual al flujo másico que lo atraviiesa. La ecuación resultante es conocida como la ecuación de conservación de masa.

AI considerar el fluido como un medio continuo, todas las propiedades físicas (densidad, viscosidad, etc.) o variables (velocidad, temperatura, etc.) se consideran descritas por funciones que varían uniformemente con el tiempo y la posición, tal como $(x,y,z,t) ,

Entonces si des una variable o propiedad fisica del fluido entrante en la cara izquierda del volumen infinitesimal de la figura A. l , 1; cara derecha deberá tener una 4 ligeramente diferente, $+(a@&)dx . Para la consedación de masa, si pu es conocido en la cara izquierda, el valor de este producto en la cala derecha es pu + (dpul&)dx .

I

I Figura A.1 Volumen de control infinitesimal en coordenadas cartesianas mostrando los flujos másicos de entrada y salida en la cara perpendicular al eje x.

141

APÉNDICE A E C U A C I ~ N DE CONSERVACI~N DE MASA

De una misma manera se pueden expresar los flujos másicos de entrada y salida del volumen de control en las otras direcciones, iéstas se expresan en la tabla A. 1.

Tabla A.l Flu-'os Caras X

Y

Z

másicos en las caras del volumen de control Flujo másico de entrada

p? dydz

pv dxdz

Flujo másico de salida

I

I

I

I

El flujo másico total que atraviesa el volumen de control resulta de la diferencia de los flujos másicos de salida menos los de entrada, obteniéndose:

[ + ab) + &dydz Flujo másico total = ~ ~

dx dy .) La masa total dentro del volumen de contrch (V.C) se puede expresar como p(dxdydz), por lo tanto la variación temporal es:

Variación temporal de la masa en el V.C = ( A 4

Aplicando el principio de conservación de masa, se tiene de las ecuaciones (A. 1) y (A.2):

dt dw dy dz

La ecuación (A.3) también se puede escribt en forma indicia1 como sigue I

o también:

para i=x,y,z I i

(A.3)

(A.3a)

aP - + v . (pu)= o at (A.3b)

142

ECUACIÓN DE CONSERVACION DE MASA

I 143

APÉNDICE A

I I

APÉNDICE A ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

I

APÉNDICE B

ECUACIóN DE CONSE&ACIóN DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La ecuación de cantidad de movimiento en un volumen de control se deriva de la segunda ley de Newton, la cual establece que un pequeño elemento de volumen que se mueve con el fluido es acelerado por las fuerzas que actúan sobre él, es decir, masa x aceleración = suma de fuerzas.

En otras palabras el principio de conservación de cantidad de movimiento establece: La variación temporal de la cantidad de movimiento asociado a un volumen de fluido mas el f lujo neto que atraviesa las superficies del volumen de control es igual a la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre él. /Se conoce como la cantidad de movimiento o momentum de un elemento de masa, al producto de ésta por su velocidad.

A continuación se hace el análisis de! cada término considerando el principio de conservación de momento, solamente para la componente x:

Variación temporal de la cantidad de momento lineal (CML) I

Se ha mencionado que la cantidad de mbvimiento se define como el producto de un elemento de masa por su velocidad, por lo ianto para el volumen de control de la figura A.l se obtiene:

(B.1) Variación temporal de ia CML en x =--dxdydr a b )

at

1 Flujo neto de CML en x

de la velocidad en x:

Las fuerzas externas que actúan sobre el iVC son de dos tipos: las fuerzas másicas o de cuerpo y las fuerzas superficiales.

Las fuerzas másicas actúan directamente sobre la masa volumétnca del VC, entre ellas la fuerza de la gravedad, centrífuga, Coriolis, eléctrica y magnética. Englobando las fuerzas másicas como f y expresando la componente en x como f,, obtenemos:

I 144 I

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA I APÉNDICE A

Suma de fuerzas másicas en dirección x = pf,(dxdydz) I 03.3) Suma de fuerza superficiales I

Las fuerzas superficiales actúan directamente sobre la superficie del VC del fluido, como son la presión ejercida sobre la superficie idpuesta por el fluido exterior al VC y las fuerzas causadas por las tensiones viscosas (normales y tangenciales) actuando sobre la superficie del VC también causado por el fluido exterior al VC por contacto directo.

r,dydz

Z

Figura B.l Volumen de control infinitesimal en coordenadas cartesianas mostrando sólo la componeyte x de las fuerzas de superficie.

En la figuara B. 1 se muestra un esquema de las fuerzas (calculadas según la definición de esfuerzo, fuerza por unidad de superficie) bue actúan superficialmente sobre el volumen de control en la dirección x, de las fuerzas vjscosas normales y tangenciales. En la cara dydz también actúa a compresión la fuerza debido a la presión pdydz y en la otra cara la fuerza

( p + dx)dy&

Al hacer la suma de las todas las fuerzas que actúan en la dirección x, se obtiene la fuerza total que actúa en esa dirección:

03.4) + 37, ar, 87, dXdYdZ dx dx dy +-I dz

Fuerza neta debido a las fuerzas

145

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

I De forma análoga se obtienen las otras dos ecuaciones en dirección y y z:

APENDICE A

(B.7)

Matemáticamente estas tres ecuaciones se quede expresar en forma tensorial de la siguiente forma:

I

~ a b , ) , ~- ab.,.,) aP + 2 4 7 . 1 + pf, para i=x,y,z y toda j=x,y,z - -- ai axj ax¡ ax,

~

o también en forma vectorial:

+ v . (puu) = -VP + v . (7). f ai

(B.8a)

El primer término de la ecuación (B.8) redresenta la rapidez de cambio de movimiento, el segundo término es el incremento de movimiento por convección, el tercer término representa las fuerzas de presión que actúan sobre el volumen de control, el cuarto término es la ganancia de movimiento por transporte viscoso y el último término representa la fuerza de cuerpo que actúa sobre el elemedo de volumen de control.

A finales del siglo XVII, Newton demostró que en ciertos fluidos las tensiones viscosas son proporcionales a los gradientes de velocidad, entre ellos el aire, estos son conocidos como fluidos Newtonianos.

La relación entre el tensor de los esfuerzos viscosos ( ~ j ) y los gradientes de velocidad es conocida como la ley de viscosidad de Newton, la cual se expresa en forma tensorial como:

I

i El segundo término, Únicamente afecta a los esfuerzos normales con el segundo coeficiente de viscosidad, 6, el cual se define como:

! 146

APÉNDICE A ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

2 3

c = k - - p (B.lO)

donde k es conocida como la viscosidad de #expansión, la cual es la responsable de incluir esfuerzos normales en el fluido causadas por variaciones de volumen.

Sin embargo, se ha demostrado que esta viscosidad es despreciable en la mayoría de las ocasiones. La hipótesis de Stokes considera despreciable la viscosidad de expansión (Hoffmann, 1996) . Suponiendo k = O, la ecliación (B.9) se reduce a:

. < I s i

6.. = 'I [ o si i+j

(B.l I)

Para flujos incompresibles el segundo término de la ecuación anterior (la divergencia de la velocidad) es cero.

Sustituyendo la ecuación (B. l l ) en la ecuación (B.8) se obtiene la expresión en notación indicia1 de la cantidad de movimiento para fluidos Newtonianos:

I (B.12)

por lo tanto, para las tres componentes se piede escribir:

at ax ax (B.12a)

i

(B.12b) !

La ecuación (B.12) es la ecuación de conservación de cantidad de momento lineal para flujos viscosos, también se les conoce comA las ecuaciones de Navier-Stokes.

I

147 I

i

ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA APENDICE A

APÉNDICE c

agrupado como In). La energía del fluido se energía cinética (ec,,=i/2(u +v +w2) y la potencial será incluida en la fuerza gravitacional

A continuación se evaluarán por separado involucran en el principio de conservación de

2 2

Flujo neto de energía

Este es el producto del flujo másico total a (E), por lo tanto de la ecuación (A. 1):

Flujo neto de energía = v . ( p ~ ~ ) d x d y d z

Variación temporal de la energía por

La energía del VC se puede expresar como será:

Vanación temporal de la energía = -(pE)dxdydz a at

Trabajo realizado sobre el VC por las

El trabajo realizado por unidad de tiempo de

E C U A C I ~ N DE CONSERVACI~N DE ENERGÍA

hefine como la suma de la energía interna (ej.,), energía potencial gravitacional. La energía

como una fuerza de cuerpo.

cada uno de los diferentes términos que se la energía:

través del VC por la energía por unidad de masa

(C.1)

unidad de masa

pE(dxdydz), por lo tanto la variación temporal

(C.2)

fuerzas másicas

todas las fuerzas másicas f, se puede calcular

Trabajo debido a las fuerzas másicas por unidad de tiempo = pf U(dxdydz) (C.3)

148

ECUACION DE CONSERVACIÓN DE MASA I APÉNDICE A

dQi = qidAi para i =

para i =

Trabajo realizado sobre el VC por las' fuerzas superficiales

I , . . Para las fuerzas superficiales se realizará el Inalisis sólo para la componente en la dirección x de las fuerzas, para las otras componentes se obtienen de forma análoga. La fuerza superficial neta en la componente x está dadh por la ecuación (B.4), entonces el trabajo por unidad de tiempo debido a esta fuerza se Calcula como el producto de la fuerza por su velocidad, obteniéndose:

x, y, z (C.6)

x, y, z (C.7)

Trabajo realizado por unidad de tiempo sobre el VC por las fuerzas superficiales en la direccion x =

c ( d Q i = - dxdydz i=*yz

dxdydz (C.4)

las direcciones se obtiene el trabajo

dY dz

Teniendo en cuenta las fuerzas por unidad de tiempo total debido a las fuedas superficiales en el VC:

a(tir,) + a(vr,) %vrw) d(vr,) + ~ ( w s , ) a(wr,) +- -+- +- -+- dz dx dY dz dx dY dz

= -(V qjdxdydz

I

i El flujo neto de calor a través del VC:

149 I

APÉNDICE A

El calor por conducción se puede expresar en función de la temperatura en base a la Ley de Fourier, la cuál establece una relación lineal entre el calor por conducción y el gradiente de temperaturas, relacionadas con una propiedad física llamada conductividad térmica A, en coordenadas cartesianas se tiene:

I E C U A C I ~ N DE CONSERVACI~N DE MASA

Energía neta aportada al VC = @ dxdydz

! Finalmente se puede expresar el flujo neto de calor a través del VC como:

1

(C.11)

Flujodecalorneto= dxdydz=-V.(LVT)dxdydz (C.10)

+ v. (@u) = -v. (N)+ v. (T. u) + v. (LVT) G al + 2. u at

I l

o en forma de indicia1 o tensorial:

((2.12)

(C.12a)

En la ecuación (C.12) no se sustituyeron l b esfuerzos viscosos (ley de viscosidad de Newton) como en la ecuación de cantidad de movimiento. Por conveniencia, aunque la ecuación ((2.12) es la ecuación de la energía adecuada, es útil extraer los cambios de energía cinética (mecánica) para obtener &a ecuación de la energía interna (e,,,,) o temperatura (T) (ecuación de conservación dd energía térmica). La parte de la ecuación de

I

1 150

I ECUACIÓN DE CONSERVACIÓN DE MASA

1 APÉNDICE A

I 1

I I

I l

energía ((2.12) atribuible a la energía cindtica puede ser encontrada por multiplicar la ecuación de momento-n (B.12a) por la componente de velocidad u, la ecuación de momento-y (B.12b) por la componente de velocidad u, la ecuación de momento-z (B.12~) por la componente de velocidad w y sumar 10s resultados de las tres ecuaciones resultantes, el cual esta dado como (ecuación de conservación de energía mecánica):

I

(C.13) I

l o también en forma vectorial:

! 1

De acuerdo a la definición de la energía Jspecífica (E=e,,,+e,i,J, restando la ecuación (C.13) de la ecuación (C.12) se obtiene la ecuación de conservación de energía térmica o interna (ein,):

I

o también:

+ v. cpe,,,u) = -PV. (u)+r. vu+ v . (AV&)+ Q> (C.14a) i at 1

Para el caso especial de un flujo incompresible, la energía interna se puede escribir como: i

(C.15) ! 1 I eint = C,T

donde C, es el calor específico del fluido a presión I constante.

Sustituyendo la ecuación (C.15) en la ecuación I I I !

(C.14) se obtiene la ecuación de I conservación de energía térmica en términos de, la temperatura:

o también:

(C.16) 1

1 i