Unidad 3: La prueba CHI- CUADRADO y el Anlisis de la Varianza.

Sesiones: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20

Estadstica Aplicada a la Administracin

El anlisis de la varianza (ANOVA) es una potente herramienta estadstica, de

gran utilidad tanto en la industria, para el control de procesos, como en el

laboratorio de anlisis, para el control de mtodos analticos.

La ANOVA es un test estadstico paramtrico que analiza la varianza de tus

muestras.

Se utiliza para comparar las medias de tres o mas grupos (3, 4,5, 6...).

Para comparar 2 grupos se utilizara la el test T.

Tanto ANOVA como t-student son dos mtodos estadsticos buenos para ver si

hay diferencias significativas entre la media de dos grupos. La nica diferencia

que creo que existe es que ANOVA se utiliza cuando hay mas de tres grupos y t

- student cuando solo hay 2 grupos que comparar.

Para que es til el ANOVA?

Por qu no evitar hacer t- tests en vez de

hacer un simple ANOVA?

El hacer mltiples t tests es que aumentaramos nuestro error tpico I ( riesgo ) y eso se evita por lo tanto utilizando el ANOVA.

ANOVA de Una Va

Esta modalidad de ANOVA puede sintetizarse en un diseo experimental, en donde se analiza un (1) factor, en mltiples niveles. Tpicamente, se llama a los niveles del factor tratamientos. De forma estricta, la ANOVA de Una Va es un OFAT. Su utilidad es de gran valor, tanto en la prctica como en el ejercicio conceptual.

ANOVA de Dos Vas

Esta modalidad de ANOVA tiene la propiedad de poder incorporar dos , factores, cada uno con a cantidad de niveles. La ANOVA de Dos Vas no es un OFAT (one-factor-at-A-Time), y es un modelo experimental ms complejo. La ANOVA de dos vas, permite entender el efecto del factor A, el factor B, adems de su interaccin AB, lo que la convierte en una herramienta muy poderosa. Igualmente, es un diseo experimental de amplia utilidad prctica.

Por ejemplo usaras una ANOVA si compararas tres clases de

alumnos en una escuela (Primero A, B y C) respecto a sus notas

finales (cada alumno tiene una nota final sobre 10).

Imagina que cada clase tiene 25 alumnos, cada uno con su

nota. Se podra hacer una media de los 25 alumnos y obtendras

un valor medio.

La ANOVA comparara las medias de las tres clases. Te da un

valor de significancia, de cuan diferentes son las tres clases. Se

considera que la diferencia es significativa cuando el valor de

significancia (P) es menor a 0.05.

Para utilizar el ANOVA de forma satisfactoria deben cumplirse tres tipos de hiptesis, aunque se aceptan ligeras desviaciones de las

condiciones ideales: 1. Cada conjunto de datos debe ser independiente del resto. 2. Los resultados obtenidos para cada conjunto deben seguir una distribucin

normal. 3. Las varianzas de cada conjunto de datos no deben diferir de forma significativa. La distribucin F tambin se usa para probar la igualdad de ms de dos medias con la tcnica llamada anlisis de variancia

(ANOVA).

Procedimiento de anlisis de varianza:

Hiptesis nula: las medias de las poblaciones son

iguales. Hiptesis alterna: al menos una de las medias es

diferente.

Estadstico de prueba: F = (variancia entre

muestras)/(variancia dentro de muestras).

Regla de decisin: para un nivel de significancia a, la hiptesis nula se rechaza si F (calculada) es

mayor que F (en tablas) con grados de libertad en el numerador y en el denominador.r

Caracterstica de la Distribucin F de

Fisher

1. Existe una familia de distribuciones F . La familia queda determinado

por 2 parmetros : Grado de libertad en el numerador y grado de

libertad en el denominador.

2. La distribucin F es continua. Puede tomar una cantidad infinita de

valores entre cero y ms infinito.

3. La distribucin F no puede ser negativa. El menor valor que puede

asumir es cero.

4. La distribucin F es positivamente sesgada: La cola larga de la

distribucin se encuentra a la derecha, conforme el nmero de

grados de libertad aumenta. La distribucin se aproxima a la

distribucin normal.

5. La distribucin F es asntota, conforme a los valores de X aumentan

la curva de la distribucin F se aproxima a X pero nunca la toca.

Modelo de Distribucin F de Fisher

Manejo de la Tabla de Fisher

Supuestos del ANOVA

1. Observaciones Independientes.

2. Varianzas Homogneas de los

residuos.

3. Distribucin Normal de los

residuos.

1.- Independencia de las

Observaciones

Con el fin de obtener inferencias vlidas, resulta

importante determinar si los errores se encuentran

correlacionados.

El supuesto ms importante es la independencia de

las observaciones, pues si no hubo asignacin

aleatoria de tratamientos a unidades experimentales,

entonces los resultados pueden incluir un efecto

persistente de factores no considerados en el

anlisis.

Esto invalida el experimento

Comparacin de 2 Variables Poblacionales

La distribucin F se utiliza para probar la Hiptesis de que la

Varianza de una poblacin normal es igual a la varianza de otra

poblacin normal.

La distribucin F tambin se utiliza para validar los supuestos para

alguna pruebas estadsticas.

Se tiene que demostrar que:

Si se tiene una poblacin P y de ella se sacan dos muestras random

(aleatorio) , se tiene que demostrar que estas dos muestra son

iguales o no son iguales. Este paso es una tarea de investigacin y

de anlisis.

Grados de Libertad

Aplicacin

Supongamos que estamos haciendo un estudio estadstico

acerca de medir dos rutas exactas para ir de un lugar a otro y lo

hacemos por diferentes vas y por lo tanto tambin tendremos

diferentes tiempos. Por la Ruta # 1 tengo valores en minutos y

por la Ruta # 2 tambin tengo valores en minutos . Utilizando un

nivel de significancia de 0.10 existe alguna diferencia en la

variacin de los tiempos de recorrido por ambas rutas? Todo

esto se muestra en la siguiente tabla:

X Y

Ruta # 1

Ruta # 2

Comparacin de 2 Varianzas Poblacionales

Todo esto se muestra en la siguiente tabla:

Ruta # 1 Ruta # 2

52 59

67 60

56 61

45 51

70 56

54 63

64 57

65

Asumir un Nivel de Significancia del 0.10

Solucin:

Clculos adicionales:

Ruta # 1 Ruta # 2

52 59

67 60

56 61

45 51

70 56

54 63

64 57

65

408 472

Clculo de la las Medias:

1

40858.29

7X

2

47259.00

8X

Clculo de las Desviaciones Standard:

Ruta # 1 ( X1 )

Ruta # 2 ( X2 )

52 59 2704 3481

67 60 4489 3600

56 61 3136 3721

45 51 2025 2601

70 56 4900 3136

54 63 2916 3969

64 57 4096 3249

65 4225

408 472 24.266 27.982

2

1X2

2X

Para Ruta # 1:

2(408)24266

7 8,9977 1

18,997x

Frmula :

Clculo de las Desviaciones Standard:

Para Ruta # 2 :

2

2(472)27982

8 4,3758 1

x

24,375x

Pasos : los usados en Hiptesis

1er Paso: Formulacin de las Hiptesis Nula y Alternativa

Ho :

H1 :

2 2

1 2

2 2

2 2

2do. Paso : Se elige el Nivel de Significancia ; para

nuestro caso:

= 0.10

3er Paso : Se establece el estadstico de prueba.

Para este caso el la Distribucin de FISHER ( F )

4to. Paso : Calculo del valor crtico o tabla de FISHER (F)

previo clculo de los respectivos grados de libertad.

Como se esta realizando una prueba de dos colas el

nivel de significancia que se busca en la tabla es de

0.05 que se obtiene de : / 2 = 0.10 / 2 = 0.05

Continuacin////

Calculando los Grados de Libertad:

gl= n - 1

gl1 = 7 1 = 6 en el numerador (Ruta # 1)

gl2 = 8 1 = 7 en el denominador ( Ruta # 2 )

(grado de libertad)

Se debe revisar la tabla de la Distribucin F y as

podremos encontrar el valor de F(tab=Crtica) = 3.87

As, la regla de decisin es : si la razn de las varianzas

es mayor que 3.87, se rechaza la hiptesis nula.

gl2

gl1

Ftab

numerador

d

e

n

o

m

i

n

a

d

o

r

Segn tabla de Distribucin de Fisher ,

tenemos :

Fisher Calculada (Fcal ) :

2 2

1

2 2

2

(8,997) 80,9464,2289 4,23

(4,375) 19,141cal

SF

S

Pero: Fcal > Ftab

4,23 > 3,87

Conclusin: Se rechaza la Ho y se acepta la H1

Interpretacin: La ruta # 2 parece haber tenido mayor

congestin por mayor trfico , mayor semforos , etc., que

han dado mayor dificultad para trasladarse de X a Y.

5to. Paso : Clculo de Fcal y tomar decisin final

ANOVA

Suposiciones para el ANOVA

Otro uso para la Distribucin de F de Fisher es la tcnica

del anlisis de la Varianza ANOVA con las que se comparten tres ms medias poblacionales para

determinar si son iguales.

Tambin se debe cumplir los siguientes parmetros:

1. Las poblaciones estn distribuidas normalmente.

2. Las poblaciones tienen desviaciones standards iguales.

3. Las muestras se seleccionan independientemente.

Anlisis de la Varianza

( ANVA ANOVA )

Prueba ANOVA

La estrategia es calcular la varianza poblacional

(desviacin standard al cuadrado) en dos formas y despus

encontrar la razn de esas dos estimaciones.

Si esta razn es aproximadamente igual a , entonces las

dos estimaciones son iguales, y se concluye tambin que

las medias poblacionales son iguales, caso contrario se

rechazaran.

Aplicacin:

Un profesor del curso de Mercadotecnia pidi a los alumnos de uno de

sus grupos que evaluarn su desempeo como excelente, bueno,

regular, o deficiente. Un estudiante egresado recopil las evaluaciones y

asegur a los estudiantes que el profesor los recibira hasta que las

calificaciones del curso se hubieran enviado a la oficina de registros. La

evaluacin (es decir, el tratamiento) que cada alumno asign al profesor

se compar con la calificacin, que poda ir de 0 a 100, que obtuvo el

estudiante en el curso. A continuacin se presenta la informacin de la

muestra .Existe diferencias entre los promedios de las calificaciones de

los alumnos en cada una de las cuatro categoras de evaluacin?. Utilice

un = 0.01

Excelente Bueneo Regular Deficiente

94 75 70 68

90 68 73 70

85 77 76 72

80 83 78 65

88 80 74

68 65

65

Tabla de Valores de la aplicacin :

Tener presente que si se escoge R B E D , reflejen el mismo

resultado.

Calificaciones del Curso

Solucin :

1er. Paso : Formulacin de las hiptesis.

Si no se rechaza la hiptesis nula, se concluye que

no hay diferencia en los promedios de las

calificaciones del curso con base en las

evaluaciones al profesor.

Si se rechaza Ho se concluye que hay diferencia

en al menos un par de promedios de

calificaciones, pero por el momento no se sabe

qu par o cuantos pares difieren.

2do. Paso : Seleccionar el Nivel de Significancia.

Se elige el Nivel de Significancia de = 0.01

3er. Paso : Determinar el Estadstico de Prueba

El estadstico de prueba sigue la distribucin

de F de FISHER

Hallando el valor de Ftabla = crtico gl1

gl2

F tab = crt

5to. Paso : Seleccionar la muestra, realizar los clculos y tomar una decisin.

Es conveniente resumir los clculos estadsticos F en una

tabla ANOVA , cuyo formato a utilizar despus de algunos

clculos es:

Formato

Fuente de

Variacin

Suma de

Cuadrados

Grado de

Libertad

Media de

Cuadrados

F

Tratamiento SST K - 1 SST/(k-1)= MST MST/MSE

Error SSE n - k SSE/(n-k)= MSE

Total SS Total n - 1

Construccin de la Tabla de ANOVA

Excelente Bueno Regular Deficiente

X X X X

94 8836 75 5625 70 4900 68 4624

90 8100 68 4624 73 5329 70 4900

85 7225 77 5929 76 5776 72 5184

80 6400 83 6889 78 6084 65 4225

88 7744 80 6400 74 5476

68 4624 65 4225

65 4225

349 30561 391 30811 510 37338 414 28634

n= 4 n= 5 n= 7 n= 6

2x

Hallando las sumatorias totales :

2

349 391 510 414 1.664

4 5 7 6 22

30561 30811 37338 28634 127.344

X

n

x

Luego desarrollamos la prueba del ANOVA, pero tambin tenemos

que ver que parmetros contiene esta tabla.

Frmulas a utilizar :

2

2( )

( )xtratamientos

SSTn n

Nomenclatura :

1. SStotal : Sumatoria de

cuadrados, total

2. MST : Cuadrado medio

Tratamiento

3. SST : Suma cuadrados

tratamiento.

4. SSE: suma cuadrados error

5. MSE: Cuadrado Medio Error

6. F : Fisher

SSE= SStotal - SST

2

2( )X

SStotal Xn

( 1)

SSTMST

k

( )

SSEMSE

n k

MST

FMSE

Desarrollando las frmulas :

2 2 2 2 2(349) (391) (510) (414) (1664)890.68

4 5 7 6 22SST

2(1664)127344 1485.09

22SStotal

1485.09 890.68 594.41SSE

Los grados de libertad son:

gltratamiento = k-1 = 3 y glerror = (n k ) 18 gltotal = 3+18= 21

Calculando los cuadrados medios respectivamente:

890.68296.89

3MST

594.4133.02

18MSE

Calculamos el valor F de Fisher:

296,898,99

33,02ValorF

MSTValorF

MSE

Tabla ANOVA

Componentes de la tabla ANOVA : Fuente de Variacin Suma de Cuadrados Grados de Libertad

Cuadrado Medio Fisher

Fuente de

Variacin

Suma de

Cuadrados

Grado de

Libertad

Media de

Cuadrados

F

Tratamiento SST K - 1 SST/(k-1)= MST MST/MSE

Error SSE n - k SSE/(n-k)= MSE

Total SS Total n - 1

Tabla de la Varianza ANOVA completado.

F.V SStotal gl MS Valor F

Tratamiento 890,68 3 296,89 8,99

Error 594,41 18 33,02

Total 1485,09 21

Conclusin : se rechaza Ho

(F cal) 8,99 > 5,09 (F tab)

Pero: gl tratamiento = K 1 = 4 -1 = 3

gl Error = n K = 22 4 = 18

gl Total = n 1 = 22 1 = 21 tambin : gl Total = 3 + 18 = 21

Interpretacin:

Se concluye que las medias poblacionales no son

iguales. Las calificaciones promedio no son iguales en

los cuatro grupos de evaluacin.

Es probable que las calificaciones que obtuvieron los

estudiantes en el curso estn relacionadas con la

opinin que tienen de la capacidad y desempeo del

profesor en el aula. Por ahora slo se puede concluir

que hay diferencias entre las medias de tratamiento.

No se puede determinar cul o cuantos grupos de

tratamiento difieren.

Anlisis de la Varianza en Dos

Direcciones La organizacin Warren Area Regional Transit Authority (WARTA), en

USA, realiza la ampliacin del servicio de autobuses desde el suburbio de

Starbrick, hasta el distrito central de Warren. Hay cuatro rutas a

considerar: Va U.S. 6; va West End ; va la Calle Hickory y; va la Ruta

59.

Se tiene que WARTA realiz varios recorridos de prueba para determinar

si haba diferencias entre los tiempos en las cuatro rutas. Como habr una

gran cantidad de conductores, la prueba se realiz de manera que cada

uno de los conductores recorriera cada una de las cuatro rutas. A

continuacin se muestra los tiempos del recorrido, en minutos, de cada

combinacin conductor-ruta.

Tiempo del recorrido de Starbrick a Warren

( minutos)

Conductor U.S. 6 West End Calle

Hickory

Ruta 59

Deans 18 20 20 22

Snaverly 21 22 24 24

Ormson 20 23 25 23

Zollaco 25 21 28 25

Filbeck 26 24 28 25

Al nivel de significancia de 0,05. Existe alguna

diferencia en el tiempo medio de viaje a lo largo de

las 4 rutas? Si se elimina el efecto de los

conductores, Existir alguna diferencia en el

tiempo promedio de viaje?

Solucin :

Para empezar, se realiza una prueba de hiptesis usando

un ANOVA en una direccin. Es decir, se consideran slo

las cuatro rutas. En estas condiciones la variacin se

debe a los tratamientos o al azar.

La hiptesis nula y la alternativa para comparar el tiempo

medio de recorrido a lo largo de las cuatro rutas son.

1er. Paso : Formulacin de las Hiptesis:

0 1 2 3 4:H H 1 : No todas las medias de tratamiento son

iguales.

2do. Paso : El Nivel de Significancia.

Este es = 0,05.

3er. Paso: Estadgrafo de Prueba.

El estadstico de prueba sigue la

distribucin de F de FISHER

4to. Paso : Establecer la Regla de Decisin.

Hay cuatro rutas, as que los grados d

libertad son:

gl = K 1 = 4-1= 3 para el numerador

gl = n k = 20 4 = 16 para el denominador

Si adems = 0,05

Luego el valor de tabla o crtico es :

F (tabla = crtico) = 3,24

F tab = crit

Trabajando con la tabla de Fisher F.

Hallamos los grados de libertad:

gl1 = K-1 = 4-1 = 3

gl2 = n k = 20 -4 = 16

La regla de decisin es rechazar la hiptesis nula si

el valor F calculado es mayor que F tabla 0 crtica

(3,24)

F cal > F tab

Se rechaza la hiptesis nula

Clculos necesarios para un ANOVA en una

direccin y en dos direcciones

Tiempo de recorrido de Starbrick a Warren (minutos)

Conductor U.S. 6 West End Calle

Hickory

Ruta 59 Suma

reglones

Deans 18 20 20 22 80 Snaverly 21 22 24 24 91 Ormson 20 23 25 23 91 Zollaco 25 21 28 25 99 Filbeck 26 24 28 25 103 Total de columnas Tc

110 110 125 119 464

Suma de Cuadrados

2466 2430 3169 2839 10904

Los clculos se realizan con las frmulas , como sigue

2 22

( ) (464)10904 139,2

20

XSStotal X

n

Despus, se calcula la variacin de tratamiento:

22 2 2 2 2 2( ) 110 110 125 119 464( ) 32.4

5 5 5 5 20

c

c

XTSST

n n

Se determina la variacin del error.

139.2 32.4 106.8SSE SStotal SST

Al introducir estos datos en la tabla ANOVA

tenemos:

F . V. SS total gl MS F

Tratamiento 32.4 3 10.8 1.618

Error 106.8 16 6.675

Total 139.2 19

Conclusin

Debido a que el valor de F calculado = 1.618; es menor

que el valor crtico 3.24, no se rechaza la hiptesis

nula.

Interpretacin:

WARTA puede concluir que no hay diferencia

en el tiempo medio del recorrido a lo largo de

las 4 rutas. No hay razn para indicar que una

de ellas es ms rpida que las otras.

En el ejemplo anterior se consider la variacin debida

a los tratamientos (rutas) y se supuso que toda la

variacin restante era random. Sin embargo, no se

establecieron pruebas considerando que cada uno de

los 5 conductores recorri cada una de las 4 rutas. Si se

pudiera considerar el efecto de los diversos conductores

,esto permitira reducir el trmino SSE, lo que llevara a

un valor F ms grande. La segunda variable de

tratamiento los conductores en este caso se conoce como variable de bloqueo

Variable de Bloqueo.- Una segunda variable de

tratamiento , que al ser considerada en el ANOVA , tiene el

efecto de reducir al trmino SSE.

En nuestro caso , los conductores son la variable de

Bloqueo.

Suma de Cuadrados en Bloque: ( SSB )

2

2

tXB

SSBK n

Nomenclatura:

1.- SSB : suma de cuadrados de

bloqueo.

2.- B t : total del bloque 3.- K : es el # de elementos en cada

bloque

Suma de Cuadrados del Error, dos direcciones:

SSE = SS total SST - SSB

Fuente

Variacin

SST g l MS F

Tratamientos SST K 1 SST/(K-1) = MST MST/MSE

Bloque SSB B 1 SSB/(B-1) = MSB MSB/MSE

Error SSE (k-1) (b-1) SSE/(K-1) (B-1) = MSE

Total SS total n-1

Elaboracin de la Tabla de Anova

Hallando SSB, tenemos:

2 2 2 2 2 280 91 91 99 103 46478.2

4 4 4 4 4 20SSB

Hallando el SSE tenemos.

SSE = 139.20- - 32.4 78.2 = 28.6

F.V SST g l MS

Tratamientos 32.40 3 10.80

Bloques 78.20 4 19.55

Error 28.60 12 2.38

Total 139.20

Calculando Fisher ( F ) .-

10.804.54

2.38

MSTF

MSE

19.558.21

2.38

MSBF

MSE

Ho se rechaza y se acepta H1 El tiempo medio de viaje no es el mismo en todas las rutas

Ho se rechaza y se acepta H1

E tiempo medio no es igual para todos los conductores