Narrativas sobre las Dificultades en el Aprendizaje de la División...
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Narrativas sobre las Dificultades en el Aprendizaje de la División en jóvenes de grado once del Colegio Juana Escobar IED Luis Alejandro Bustos Mancera Trabajo dirigido por: Omaira Tapiero Celis Especialización en Infancia, Cultura y Desarrollo Facultad de Ciencias y Educación Universidad Distrital Francisco José de Caldas Bogotá, D.C., 2020
Transcript of Narrativas sobre las Dificultades en el Aprendizaje de la División...
Narrativas sobre las Dificultades en el Aprendizaje de la División
en jóvenes de grado once del Colegio Juana Escobar IED
Luis Alejandro Bustos Mancera
Trabajo dirigido por: Omaira Tapiero Celis
Especialización en Infancia, Cultura y Desarrollo
Facultad de Ciencias y Educación
Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Bogotá, D.C., 2020
Agradecimientos
A Catalina
Un agradecimiento profundo a la profesora Omaira Tapiero
por su acompañamiento en la elaboración de este trabajo.
Su conocimiento y experiencia pudo llevar a feliz
término la integración de diferentes saberes.
Gracias por su apoyo, honestidad
y claridad a la hora de tomar decisiones.
Un agradecimiento especial a los profesores Ángela Cabrera y
Offray Luna por las lecturas previas a este documento.
Sus aportes contribuyeron a la madurez de este escrito.
A los estudiantes del curso 1103 - 2019 jornada mañana
del Colegio Juana Escobar IED. Sus voces son la inspiración
y el pilar de este trabajo.
1
Contenido
Contenido .................................................................................................................................. 1
Tabla de figuras .......................................................................................................................... 4
Índice de tablas ........................................................................................................................... 4
Resumen ..................................................................................................................................... 5
Palabras clave ............................................................................................................................. 5
Abstract ...................................................................................................................................... 6
Key words: ................................................................................................................................. 6
Introducción ............................................................................................................................... 7
CAPITULO 1: PROBLEMATIZACIÓN .................................................................................. 8
Contextualización del problema de investigación ...................................................................... 8
Problematización ...................................................................................................................... 12
Justificación .......................................................................................................................... 13
Pregunta de investigación ........................................................................................................ 14
Objetivos .................................................................................................................................. 14
General: ............................................................................................................................ 14
Específico: ........................................................................................................................ 14
Antecedentes de Investigación ................................................................................................. 15
CAPITULO 2: MARCO CONCEPTUAL ............................................................................... 26
2
Marco teórico ........................................................................................................................... 26
Infancia ................................................................................................................................. 26
Cultura .................................................................................................................................. 28
Desarrollo ............................................................................................................................. 29
Narrativa ............................................................................................................................... 33
La división y la estructura multiplicativa ......................................................................... 34
CAPITULO 3: DISEÑO METODOLÓGICO ......................................................................... 37
Diseño metodológico ............................................................................................................... 37
Paradigma de investigación .................................................................................................. 37
Enfoque ................................................................................................................................ 38
Método etnográfico .............................................................................................................. 38
Situación etnográfica del investigador ............................................................................. 39
Momentos de la etnografía ............................................................................................... 40
Técnica ................................................................................................................................. 41
Instrumentos ......................................................................................................................... 41
Población .......................................................................................................................... 42
Cronograma .............................................................................................................................. 43
CAPITULO 4: HALLAZGOS ................................................................................................. 44
Sistematización y análisis de la información ........................................................................... 44
Momento descriptivo de las sesiones ................................................................................... 44
3
Sesión 1 .................................................................................................................................... 45
Nivel estructural: .............................................................................................................. 45
Fragmentos representativos Sesión 1 ............................................................................... 46
Sesión 2 ................................................................................................................................ 58
Nivel estructural ............................................................................................................... 58
Fragmentos representativos Sesión 2 ............................................................................... 60
Sesión 3 ................................................................................................................................ 63
Nivel estructural ............................................................................................................... 63
Fragmentos representativos Sesión 3 ............................................................................... 64
Momento analítico ............................................................................................................... 69
Fragmento 1 ..................................................................................................................... 71
Fragmento 2 ..................................................................................................................... 76
Fragmento 3 ..................................................................................................................... 81
Resultados ................................................................................................................................ 87
Conclusiones ............................................................................................................................ 92
Bibliografía .............................................................................................................................. 96
Anexo 1: Encuesta prediagnóstica ......................................................................................... 100
Anexo 2: Talleres ................................................................................................................... 101
4
Tabla de figuras
Figura 1 Resultados Prueba Saber 11 Colegio Juana Escobar IED ........................................... 9
Figura 2 Resultados prediagnóstico temas difíciles curso 1103 .............................................. 13
Figura 3 Esquema del análisis asumido en la investigación basado en Tusón (2002) ............. 69
Figura 4 Esquema de las narrativas detectadas ........................................................................ 87
Índice de tablas
Tabla 1 Ejemplos de problemas de estructura aditiva. Chamorro (2003). ............................... 35
Tabla 2 Síntesis situación etnográfica del investigador. .......................................................... 39
Tabla 3 Síntesis instrumentos diseñados .................................................................................. 42
Tabla 4 Cronograma del proyecto de grado ............................................................................. 43
Tabla 5 Síntesis desarrollo del Taller 1 .................................................................................... 46
Tabla 6 Síntesis desarrollo del Taller 2 .................................................................................... 59
Tabla 7 Síntesis desarrollo del Taller 3 .................................................................................... 64
5
Resumen
El presente trabajo corresponde a un reporte de investigación dirigido a identificar las narrativas
sobre dificultades de aprendizaje alrededor de la división en estudiantes de grado once de un
colegio público de Bogotá. La metodología se inspira en la Etnografía en la escuela y el
tratamiento de los datos se soporta desde el análisis de la conversación de Tusón. A nivel
general, las narrativas detectadas se ubican dentro de las categorías Cultura y Desarrollo. El
análisis de la conversación realizado sugiere que las dificultades en el aprendizaje de la división,
reportadas en la teoría, se soportan en un entramado conversacional que incluye solapamientos,
auto-asignaciones de turno, silencios y mantenimiento de la imagen por parte de los estudiantes.
Una conclusión central mostrada es que las dificultades asociadas a la división tienen un soporte
en el lenguaje usado por los estudiantes que demanda futuras investigaciones, más allá del
estudio de categorías de carácter cognitivo.
Palabras clave
Narrativas, Infancia, Aprendizaje, División, Análisis de la conversación, Etnografía en la
escuela, Pensamiento numérico.
6
Abstract
This paper reports on a study that concerns the narratives about learning difficulties related to
division operation in a public school in Bogotá with eleventh graders. To that effect, the
methodology is based on Ethnography at school and the processing of personal data is build on
the conversational analysis of Tusón. In general, the narratives identified are placed within the
Culture and Development categories. The analysis of the conversation made, suggests that the
difficulties in learning division operation, reported in the theory, are supported in a
conversational framework which invalues overlaps, self – assignment of the turn, silences and
maintenance of the image on the part of students. One of the central findings is that difficulties in
learning division operation have a sustenance in the language used by students and it demands
further studies, apart from the study of cognitive categories.
Key words:
Narratives, Childhood, Learning Division Operation, Conversational Analysis, Ethnography
at School, Numerical Thought.
7
Introducción
Este trabajo tiene como finalidad identificar las narrativas sobre las dificultades de
aprendizaje de la división que tienen los jóvenes del curso 1103 del Colegio Juana Escobar IED.
En el documento se hace una presentación del problema de investigación, partiendo de referentes
académicos a nivel nacional e internacional, así como una presentación de la forma en que se
pretende realizar la búsqueda de las narrativas, basado en el trabajo realizado por el grupo
Lenguaje, discurso y saberes de la Especialización en Infancia, Cultura y Desarrollo.
El trabajo presenta una aproximación teórica a los referentes claves buscados por la
Especialización: Infancia, Cultura y Desarrollo. La posición teórica que persigue corresponde
con autores de reconocimiento en el campo de la infancia. Además, se posiciona desde el campo
de la Educación Matemática en torno al pensamiento numérico, que corresponde a las
operaciones aritméticas. Es importante la descripción acerca de los tipos de problemas
multiplicativos y su relación directa y de pertenencia con la división.
Luego, inspirado en la etnografía, presenta aproximaciones de cómo actuar de forma
metodológica para acceder a las narrativas de los jóvenes acerca de sus dificultades con el
aprendizaje de la división. El trabajo intenta describir tanto los momentos etnográficos, como la
posición crucial para la investigación del docente – investigador.
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CAPITULO 1: PROBLEMATIZACIÓN
Contextualización del problema de investigación
Este trabajo se enmarca en un contexto escolar de carácter oficial en la ciudad de Bogotá,
D.C., en el Colegio Juana Escobar IED, ubicado en la localidad cuarta de San Cristóbal. En esta
institución el investigador observa dificultades que afrontan los niños, niñas y adolescentes en el
aprendizaje de las matemáticas. Las razones son variadas y una hipótesis al respecto es el
predominio de ejercicios y procedimientos rutinarios que están alejados del contexto cotidiano de
los estudiantes. Sumado a esto, el investigador considera que el papel del profesor es central,
porque es de quien se demanda toda una serie de acciones y estrategias didácticas para mejorar la
comprensión de sus estudiantes.
En las reuniones de área de matemáticas que se adelantan en el colegio, el autor ha observado
que los profesores presentan a modo general las dificultades en el quehacer docente. Se resaltan
dificultades de los jóvenes en aprender matemáticas, la indisciplina y estrategias para que la
situación mejore año a año. Es normal que muchos profesores se centren en determinados
contenidos matemáticos como razón de dificultades de los estudiantes. Desde estos contenidos se
intentan fijar estrategias de enseñanza. Pero, lo que el investigador no evidencia en la institución,
es indagar a los estudiantes sobre sus dificultades y la forma en que ellos ven las clases de
matemáticas. No encontró evidencia escrita ni de producción académica de los docentes de la
institución que aborden esta situación.
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Como muestra del desempeño de los estudiantes, en la Figura 1 se muestran los desempeños
en las Prueba Saber 11 durante los últimos años en esta institución. Los resultados muestran un
bajo desempeño por parte de los estudiantes, que ronda la media en estas pruebas censales. La
preocupación por parte de directivos para mejorar los rendimientos de los estudiantes en estas
pruebas, pone un reto a los docentes de matemáticas.
Figura 1 Resultados Prueba Saber 11 Colegio Juana Escobar IED
Tratando de afrontar este reto, se observa que los profesores de matemáticas de la institución
intentan acercarse al abordaje de un objeto matemático en particular. Para ello, se miran las
dificultades casi siempre con carácter cognitivo. Se intenta comprender las dificultades
cognitivas de los estudiantes. Se consultan en algunas investigaciones recomendaciones y
sugerencias de tipo didáctico.
De esa situación, es notorio que el objeto matemático en sí mismo no se discute. Esto
significa que en las reuniones de área no hay evidencias de la necesidad de por qué introducir
cada concepto matemático. Al parecer, hay una tradición de contenidos que se sigue para diseñar
los planes de estudio de cada grado. No se pone una mirada crítica sobre la importancia de que
sea tratado en el aula. Por otro lado, lejos se encuentran las necesidades matemáticas reales de
los estudiantes frente al contexto social y cultural en que viven.
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Con este comienzo y ubicando el campo problémico de este trabajo, se introduce el Discurso
Matemático Escolar que ha venido emergiendo en el trabajo de investigadores de la educación
matemática (Gómez et al., 2014). El Discurso Matemático Escolar aborda aspectos del discurso
escrito y oral que aparecen en profesores y estudiantes y libros de textos (Castañeda, 2009). Su
estudio ubica al conocimiento matemático en prácticas socialmente situadas. Esto significa que
no atiende al aprendizaje de conceptos y procesos matemáticos en sí, sino desde una postura
social, histórica, cultural e institucional (Soto & Cantoral, 2010).
Estos investigadores (Soto & Cantoral, 2010) aclaran que el Discurso Matemático Escolar:
no se reduce a la organización de los contenidos temáticos ni a su función declarativa en el
aula (discurso escolar), sino que se extiende un tanto más allá, al llegar al establecimiento de
bases de comunicación para la conformación de consensos y la construcción de significados
compartidos. (p. 1527)
Los primeros investigadores (Gómez et al., 2014) analizan tres fenómenos asociados al
Discurso Matemático Escolar que corresponden con lo expuesto arriba. La exclusión, en la que
se encuentran estudiantes y docentes por no poder participar de la construcción del conocimiento
matemático (Soto & Cantoral, 2014). La adherencia al Discurso Matemático Escolar, que no
permite cuestionarlo, legitimando las matemáticas como conocimiento hegemónico. La opacidad
que deja de lado los argumentos matemáticos de la vida cotidiana que pueden ser desarrollados
en la escuela.
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Estos tres fenómenos confluyen en el aula, y son los objetos matemáticos el centro de las
clases usuales, opacando la voz, las opiniones, el contexto social, cultural y cotidiano de
profesores y estudiantes.
A partir de estos fenómenos se puede derivar la necesidad de sugerir situaciones significativas
de matemáticas. Lograr que los estudiantes las involucren en sus contextos cotidianos. Además,
la importancia de hacer surgir y dar relevancia a los relatos de los niños acerca de la forma como
resuelven problemas.
Esto hace importante introducir el concepto de Discurso Matemático Escolar (Soto &
Cantoral, 2010), dando un papel protagónico no sólo a los profesores sino también a los
estudiantes. Y es en este punto, que se conecta con uno de los propósitos de la línea de
investigación de Lenguaje, discurso y saberes de la Especialización en Infancia, Cultura y
Desarrollo. En particular, las relaciones entre lenguaje y saberes desde los relatos infantiles
(Documento de trabajo Grupo de investigación).
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Problematización
Se reconoce en la práctica de los docentes de matemáticas del Colegio Juana Escobar IED una
carencia ligada a la forma en cómo se piensan las clases de matemáticas. La mirada inicial
incluye alguna bibliografía de tipo didáctico que se centra en los objetos matemáticos,
dificultades y estrategias de enseñanza. Éstas aparecen como una receta con ciertos ingredientes
que se esperaría mejoren las situaciones de los estudiantes. El investigador reconoce una carencia
en cuanto se deja de lado las producciones, sentimientos y expresiones de los estudiantes. La
clase podría dar un giro pensando en sus propias necesidades y demandas de aprendizaje. No
sólo para cumplir las exigencias de planes de estudio traídas de los planes curriculares oficiales.
Ante esta carencia, esta investigación considera importante pensar en una propuesta centrada
en las narrativas de los jóvenes alrededor de la resolución de algunos problemas matemáticos.
Lograr identificar aspectos relevantes en sus narraciones que puedan ser útiles para promover a
futuro estrategias de aprendizaje. Por esto, se diseñó un prediagnóstico con los estudiantes del
curso 1103 del Colegio Juana Escobar IED. Se indagó acerca de los temas que han presentado
dificultades en su vida escolar.
Se escogió esta población porque en este semestre el investigador tiene asignado este curso
para clase de matemáticas. Era un curso conformado por 29 estudiantes de los que 13 eran niñas
y 16 eran niños. Las edades de los estudiantes estaban entre los 15 y 18 años. El prediagnóstico
arrojó los resultados que se muestran en la Figura 2:
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Figura 2 Resultados prediagnóstico temas difíciles curso 1103
La mayoría de los jóvenes señalaron la división como una fuente primordial de dificultades,
seguido de temas de trigonometría y álgebra. Por esta razón, en este trabajo se indaga como saber
matemático la división.
Justificación
Partiendo de los fenómenos exclusión, adherencia y opacidad asociados al Discurso
Matemático Escolar mencionados antes, se pueden explicar desde otra perspectiva las
dificultades de niños, niñas y adolescentes para aprender matemáticas. Para este trabajo y en el
contexto que enmarca el grupo de investigación Lenguajes, discursos y saberes, reside su
importancia en que promueve una descentración de los objetos matemáticos. Pensar un giro con
centro en las narrativas de los jóvenes, buscando ubicar el énfasis de sus producciones y lo que
para ellos resulta ser más importante.
Al hacer la búsqueda de los antecedentes de esta investigación, como se mostrará a
continuación, se puede observar la carencia de trabajos que se centren directamente en lo que los
niños piensan, sienten y dicen sobre las matemáticas, con énfasis en la división, esperando sea el
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aporte central de este trabajo. Aparte, espera contribuir a las producciones del grupo Lenguaje,
discursos y saberes, que sigue aportando en estudios desde muchas miradas en el trabajo con
adolescentes.
Pregunta de investigación
De acuerdo con la contextualización del problema realizada se considera para este trabajo la
siguiente pregunta:
¿Qué dificultades en el aprendizaje de la división expresan en sus narrativas los jóvenes de
grado once del Colegio Juana Escobar IED?
Objetivos
General:
Analizar las dificultades en el aprendizaje de la división a partir de las narrativas de jóvenes
del curso 1103 en el Colegio Juana Escobar IED
Específico:
Caracterizar las narrativas sobre las dificultades en el aprendizaje de la división de los jóvenes
del curso 1103 del Colegio Juana Escobar IED
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Antecedentes de Investigación
Hasta donde la investigación preliminar de antecedentes logró determinar, son escasas las
investigaciones que relacionen narrativas con matemáticas escolares. Sin embargo, se encuentran
algunos estudios relacionados con el análisis del discurso de estudiantes y en otros casos,
relacionados con imaginarios alrededor de la clase de matemáticas. Además, la importancia de
tener en cuenta estos estudios radica en que tienen como centro de estudio el sujeto niño, y no los
objetos matemáticos, como se planteó inicialmente en el problema. Como antecedentes, se
tuvieron en cuenta algunos de estos trabajos, para mostrar la cercanía o distancia con ellos, que
refuerza la importancia de lograr un trabajo como el que se propone.
En el rastreo específico alrededor del objetivo propuesto en este trabajo, el investigador no
encontró trabajos que relacionen directamente el estudio de las narrativas con las matemáticas
escolares, y con énfasis en las dificultades con división. El propósito que se tuvo en cuenta en
este rastreo tuvo como norte tres aspectos: 1) la relación directa entre narrativas frente a
problemas de aprendizaje y matemáticas escolares, 2) investigaciones en las que fuera explícito
recuperar la voz de los estudiantes por encima del éxito o fracaso en tareas propuestas de corte
matemático y 3) investigaciones relacionadas con la relación uso del lenguaje y matemáticas
escolares.
Frente al primer aspecto, en Salas (2015) realiza un estudio acerca de reflexiones de estudiantes
de grado sexto alrededor del consumo de agua y reciclaje. En este trabajo se hace explícito que no
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se realiza un análisis directo de las narrativas desde referentes conceptuales, sino se toman las
reflexiones de los estudiantes para establecer conexiones con algunos objetos matemáticos como
proporcionalidad, generalizaciones, inferencias y razonamiento aritmético. Esta investigación se
relaciona directamente con los objetivos propuestos con el presente trabajo, ya que de acuerdo con
referentes tomados en la contextualización del problema (Soto & Cantoral, 2010), (Gómez et al.,
2014), en el centro se encuentran las voces de los niños y niñas.
En un contexto diferente a esta investigación se encuentra el aporte de Sgreccia (2018), quien
resalta, al igual que Salas, las narrativas alrededor de la clase de matemáticas, pero en contextos
universitarios para profesores en formación. En este trabajo se propone analizar procesos de
formación inicial de profesores de matemáticas de la Universidad Nacional de Rosario en
Argentina y su interacción en procesos de formación continua. Para tal fin, como una metodología
propuesta, es analizar las narrativas que dos futuros profesores manifiestan alrededor de su
conocimiento profesional.
En sus narrativas, aparte de detallar aspectos relacionados con la práctica, la autora incluye
aspectos relacionados con las percepciones sobre la interacción con estudiante. Además, las
sensaciones que tienen los futuros docentes al enfrentarse a una práctica. Esta investigadora da un
papel central a las narrativas ya que contribuyen a que los mismos profesores se vean a sí mismos,
puedan reconocer errores para mejorar sus prácticas como profesionales. Si bien el trabajo de
Sgreccia (2018) se desarrolla en un contexto universitario y el de Salas (2015) propiamente en el
colegio, se establece una relación al rescatar las voces de quienes están inmersos en el mundo de
las matemáticas escolares.
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En cuanto al segundo aspecto, se revisaron algunas investigaciones (Inostroza, 2016), (Sierra,
2019), (Castro et al., 2013), (García et al., 2014), en las que el eje central es la visibilización de la
voz de los estudiantes alrededor de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas.
En la primera investigación (Inostroza, 2016), el interés es analizar las características que debe
tener un estudiante con buen desempeño en matemáticas. Esta investigación se realizó con dos
profesores de primaria y cuatro estudiantes en Santiago de Chile. La forma de recoger la
información fue la entrevista. Como resultados, este investigador encuentra cuatro categorías
frente a la mirada docente: habilidades innatas, racionalidad, autorregulación y procedencia de
familias bien constituidas. La autorregulación referida a la forma en que los niños asumen la
disciplina y las normas de la clase. En relación a la percepción de los niños reconoce al igual cuatro
categorías: saber las cuatro operaciones básicas, la conexión de contextos relacionados con su
cotidianidad, la autorregulación y la influencia de la vida familiar.
En la segunda investigación señalada (Sierra, 2019) estudia las emociones con las
matemáticas que presentan niños de educación media en un colegio público de Bogotá. Sierra se
posiciona desde el Dominio afectivo en matemáticas escolares y del concepto de emoción que
han venido surgiendo al interior de la educación matemática. Diseñó una serie de cuestionarios
dirigidos a once estudiantes, ocho padres de familia y a una docente. Con estos cuestionarios,
analizó las emociones positivas y negativas de los integrantes desde varias.
De manera general, esta investigadora (Sierra, 2019) encuentra como emociones positivas
destacadas por los estudiantes el uso del lenguaje que aparece en clase de matemáticas que
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involucre diferentes representaciones (verbal, gráfico y simbólico). Segundo, la importancia de
que el profesor retome los conocimientos previos de los estudiantes. La empatía del docente con
los estudiantes y la forma de explicación que sea clara permite que los estudiantes participen en
clases. Los estudiantes reconocen que los métodos tradicionales pueden dar buenos resultados y
el orden lógico y planeación de temáticas por parte del docente.
Como emociones negativas en esta investigación se destacan la insuficiencia de actividades
contextualizadas presentadas por los docentes que no permiten apreciar su utilidad. Algunas
definiciones o procedimientos presentados superan el nivel académico de los estudiantes. La
dependencia hacia la docente y compañeros aventajados, razón por la que se ve afectada su
autoestima. Además, falta de seguridad en sus compañeros y la poca variedad de formas de
evaluar por parte de los docentes.
Los resultados encontrados en estas dos investigaciones (Sierra, 2019) e (Inostroza, 2016) a
pesar de tener objetivos diferentes, tienen como punto en común que los estudiantes manifiestan
la importancia de involucrar contextos significativos en las clases de matemáticas para mejorar
su comprensión. Además, la distancia de observación de las dos investigaciones – una en Bogotá
y la otra en Santiago -, pueden sugerir que la problemática con las matemáticas escolares es
generalizada, y se conecta con los argumentos expuestos en la formulación del problema
alrededor del fenómeno de adherencia (Gómez et al., 2014).
La tercera investigación tenida en cuenta en este aspecto (Castro et al., 2013) se propuso
identificar las formas de violencia simbólica en la interacción alumno profesor. El estudio fue
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llevado a cabo en quinto de primaria en escuelas de Concepción, Chile. La violencia simbólica se
entiende como la forma en que el profesor desde su papel de autoridad, no tiene en cuenta los
razonamientos presentados por sus estudiantes.
Para la escogencia de las escuelas, los investigadores tuvieron en cuenta zonas de
vulnerabilidad social. La intención de esta escogencia fue analizar cómo en contextos
vulnerables se desarrollaban clases de matemáticas. El estudio se centró en la clase de tres
profesores en el desarrollo de tareas matemáticas. La forma de recolectar la información se basó
en grabaciones de clase, las cuales después fueron estudiadas por el equipo investigador.
En general, en esta investigación se destaca la baja importancia que dan los profesores a los
razonamientos de los estudiantes. En algunos casos cuando un estudiante comete un error, de
inmediato el profesor le pide que suspensa el procedimiento sin ningún análisis de su forma de
razonar. El profesor lo hace desde su posición de autoridad. En otros casos, se observan cómo la
profesora con algunas preguntas intenta sugerir razonamientos a sus estudiantes. Sin darse
cuenta, comienza a imponer la forma en que se debe razonar, dejando al margen las
producciones de sus alumnos.
Destacan además la pasividad de los estudiantes frente a estas situaciones de no ser tenidos en
cuenta. Los profesores mantienen interacción más fluida sólo con aquellos estudiantes que
presentan intenciones de contestar la tarea, basados en diálogos neutros centrados en el saber
matemático. La violencia simbólica se destaca en las conclusiones del estudio en la insistencia de
profesores de no tener en cuenta las producciones de sus estudiantes. Por último, y de interés
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para este estudio, como conclusión señalan la invisibilización del habitus lingüístico. El
predominio del discurso en la clase es del profesor y se subordinan las producciones lingüísticas
de los estudiantes.
La importancia de este estudio es que da cuenta de lo planteado en la contextualización del
problema. Ratifica que tanto las producciones de los estudiantes como sus relatos que se puedan
originar en la clase de matemáticas están subordinados e invisibilizados desde la autoridad del
profesor. Sus relatos no son tenidos en cuenta porque la relación entre profesor y saber
matemático está mediado por una neutralidad, que no permite que valore las producciones
estudiantiles. Esta conclusión está relacionada con el fenómeno de opacidad citado en el
planteamiento del problema (Gómez et al., 2014).
De la cuarta investigación señalada (García et al., 2014) se tiene en cuenta como antecedente
el segundo capítulo titulado “Escenarios y ambientes educativos de aprendizaje de las
matemáticas. Constitución de subjetividades en educación matemática elemental”.
El objetivo del estudio que desarrollan parte de reconocer los discursos y las prácticas de la
educación matemática que se construyen alrededor de las posibilidades de construcción de
subjetividades incluyentes en aulas de matemáticas. Realizan un planteamiento teórico para
resignificar la noción de escenarios de aprendizaje desde las situaciones (in)exclusivas
educativas y sociales y su relación con la construcción de subjetividades. Estos investigadores
advierten que la enseñanza y el aprendizaje no está exclusivamente relacionado con el
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significado de los contenidos matemáticos. Está inmerso en prácticas sociales en un tiempo
histórico dado.
Consolidan un escenario de aprendizaje llamado “Viajar” partiendo de una experiencia en un
colegio público en San José del Guaviare. Ésta se desarrolló en un curso de grado séptimo donde
los estudiantes eran repitentes. Por este motivo, se generaban rótulos alrededor de ellos como
“indisciplinados” que habían sido apropiados por los estudiantes. Sus profesores veían que sus
resultados en matemáticas obedecían a sus malos comportamientos e incumplimiento de deberes
académicos.
Como forma de relacionar el aprendizaje de los niños con sus porvenires, los investigadores
propusieron a los estudiantes preguntas centradas en sus vidas y lo que querían ser en el futuro.
En las respuestas a las preguntas, los investigadores encontraron que una de las cosas que los
niños querían hacer era viajar, como una forma de salir de la situación de pobreza, escapar a los
estigmas impuestos desde la repitencia, la indisciplina y exclusión social que sentían. Desde esta
necesidad, surge el escenario de aprendizaje “Viajar” a partir de las necesidades de los niños, y
que se puede conectar con los contenidos matemáticos escolares.
De esta forma, se tomaron en cuenta las voces y las expectativas de los estudiantes para crear
un escenario en clase matemáticas en el cual ellos se sintieran parte y sujetos comprometidos con
la situación. Partiendo de la pregunta: ¿qué tal si planeamos un viaje? y desde la realidad
económica de los estudiantes, ellos comenzaron a organizarse en grupos y plantear todas las
variables que esto conllevaría en términos de planeación, que muchas veces se salían de lo
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esperado en la clase de matemáticas, pero que fue acotado por los docentes para ligarlo a
contenidos de la clase. Los costos de un viaje y lo que enmarca desde la situación real se conectó
con el conocimiento matemático, observando la participación de los estudiantes que al comienzo
habían sido estigmatizados.
En el estudio se destacan fragmentos de interacciones entre los estudiantes que dan cuenta de
la apropiación de ellos con la actividad y la emergencia de ideas matemáticas que se deben tener
en cuenta para planear un viaje.
Como conclusión, señalan que estas nociones de escenarios de aprendizaje de las matemáticas
constituyen sujetos mediados desde la interacción en el aula. La importancia de este estudio para
este trabajo propuesto radica en que es un ejemplo en el que, al resaltar la voz de los estudiantes,
no desde una mirada neutral sino desde sus propias expectativas, las dinámicas de las clases
pueden cambiar, y descentrar el foco de atención en los objetos matemáticos y pensar en los
sujetos ubicados en un espacio e historicidad demarcados social y culturalmente.
En cuanto al tercer aspecto delimitado en este trabajo para consolidar los antecedentes,
relacionado con el uso de lenguaje y matemáticas, se incluyeron dos reportes de investigación de
Camargo (2014) y Fonseca, Ramírez y Aldabán (2018).
En el primer reporte, Camargo (2014) hace un estudio acerca de la relación del juego y la
actividad matemática. Este informe de investigación parte de la idea de que el juego debe ser
parte fundamental en el trabajo con matemáticas, y es una forma de vincularlo con las narrativas.
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El objetivo es presentar la planeación, diseño y resultados de ejecución de un juego de roles
llamado Special Agents of the Universe, en el que hay una estructura de juego donde los niños
son los personajes y un tutor que en este caso fue el docente de matemáticas.
El juego permite involucrar algunas operaciones matemáticas para su posible victoria, y
los niños deben crear e imaginar narrando verbal o por escrito sus respuestas. En el juego se
utilizan algunos materiales didácticos como billetes que permiten hacer cuentas mientras los
niños se adentran, como en una obra de teatro, en el juego.
La investigación acerca de este juego se desarrolló con cinco niños de edades entre los 9
y 12 años de un colegio público de Ciudad Bolívar. Como resultados encuentran que el juego de
roles se relaciona con la imaginación y la narrativa. Otros factores asociados como el material
manipulativo, el papel del docente para crear las situaciones y las reglas del juego que acerquen a
los niños a la necesidad de resolver problemas matemáticos. Las narrativas emergidas por los
niños surgieron más efecto con un grupo pequeño de estudiantes para poder estudiarlas.
En el segundo reporte Fonseca et. al (2018), se proponen analizar el papel del lenguaje en
la enseñanza de las matemáticas. El trabajo está centrado en la enseñanza de matemáticas en
formación inicial. Analizan episodios de una clase de primero de primaria con 35 estudiantes en
un colegio público de Bogotá. En los episodios estudian tanto el lenguaje empleado por el
docente para referirse a la actividad matemática de sus estudiantes, como el lenguaje usado por
los mismos niños.
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En contraste, al solicitar a los niños realizar la suma “12 + 21”, los niños usan un
lenguaje relacionado con “hacer grupitos” que les lleva a contestar la tarea. La docente esperaba
que los niños realizaran el algoritmo formal, porque sin éste no estaría correcta la respuesta. A
partir del episodio descrito, analizan cinco formas de lenguaje que aparecen ligados a la
enseñanza de las matemáticas. La palabra para aprender, el lenguaje como dispositivo de
mediación y no sólo como uso formal en matemáticas. La palabra para evaluar, que se limita a la
comprensión de uno de los elementos solicitados en la tarea, dejando de lado el significado y
análisis del proceso. La palabra para motivar e incluir, para el docente que debe tomar medidas
frente a la diversidad que ocurre en la clase de matemáticas. La palabra para conceptualizar,
como necesidad para pasar del lenguaje propio de las matemáticas al lenguaje que asocia
significados ligada a esquemas de diálogos.
Este trabajo de Fonseca et. al (2018) puede ser un punto central para intentar comprender
lo que ocurre con la división y las dificultades de los niños, ya que, si la palabra se centra en una
respuesta correcta ligada a conceptualizar, deja de lado la riqueza del significado que asocian los
niños.
Otro punto adicional que no puede escapar de los antecedentes, son las dificultades al resolver
el algoritmo de la división, que ya han sido estudiadas desde la resolución del algoritmo. Estas
dificultades han sido reportadas desde un enfoque cognitivo. Por mencionar algunas, Maza
(1991) citado en (Villota, 2014) reporta las siguientes: separación no adecuadas de cifras del
dividendo para iniciar la división; omitir ceros al cociente; errores en cálculos mentales de restas
25
y en las multiplicaciones parciales; no completar las cantidades máximas al ir buscando el
cociente (p. 16).
Hasta donde la revisión bibliográfica permitió detectar, los cruces de la categorías narrativas,
matemáticas escolares y dificultades con el aprendizaje de la división han sido poco estudiadas
de forma vinculada ni en contextos latinoamericanos y tampoco para el caso de Bogotá. Así, esta
investigación pretende contribuir a la recuperación de las voces de niños y niñas alrededor del
aprendizaje de la división. Además, como se mostró en este rastreo de antecedentes, las
investigaciones están inmersas con niños de primaria y grado sexto, o en contextos de formación
para futuros profesores, pero el investigador no detectó alguna con jóvenes de grado once y
menos alrededor de sus dificultades con la división.
26
CAPITULO 2: MARCO CONCEPTUAL
Marco teórico
Cinco ejes teóricos atraviesan el desarrollo de este trabajo y se articulan con los propósitos de
la Especialización en Infancia, Cultura y Desarrollo por ser los ejes conceptuales de la
Especialización. Además, los ejes de narrativa, la división y la estructura multiplicativa. De cada
uno se intenta hacer una aproximación teórica pertinente con el problema y los objetivos
planteados.
Infancia
Para efectos de este trabajo, el concepto de infancia se sustenta desde Quiceno. La elección de
esta postura obedece a la relación estrecha con el fenómeno de exclusión y opacidad referidas en
el planteamiento del problema (Gómez et al., 2014). La exclusión y la opacidad son fenómenos
en los que se deja por fuera el discurso de los estudiantes e incluso el de los profesores, en favor
de un conocimiento matemático homogenizador (Soto & Cantoral, 2010), (Gómez et al., 2014)
que no tiene en cuenta las voces de los niños y niñas. Por esta razón, el investigador atiende la
necesidad de buscar referentes en todos los sentidos, que den vida a lo que niños, niñas y jóvenes
dicen y hacen en su interacción en clases.
La escogencia de Quiceno para introducir el concepto de infancia no es fortuito. Este autor
(Quiceno, 2016) establece una diferencia entre infancia y niñez. La infancia referida a una
experiencia histórica, vivencial, un pensamiento sobre los niños que se aleja de la conducción.
La niñez, en cambio, como una condición de existencia, el niño como ser que ocupa un espacio
27
como la casa, la escuela o el jardín. La diferencia sustancial radica en que desde la infancia se
piensan los niños, es una representación que palpa en los discursos que han existido sobre los
niños y sus vidas.
Esta mirada de la niñez se relaciona con estos fenómenos de opacidad y exclusión señalados
líneas arriba. El conocimiento matemático que prevalece en la escuela se muestra intacto,
inmodificable (Gómez et al., 2014), y los estudiantes, independiente de su lugar de origen o de
sus necesidades específicas de aprendizaje, deben adaptarse sin la posibilidad de construir. Ese
desconocimiento se asocia a ese niño visto como objeto que ocupa un lugar desde la niñez.
Este autor (Quiceno, 2016) en oposición, presenta la infancia como una representación
histórica basada en discursos que designan varias miradas. Este discurso ha sido atravesado
históricamente por un privilegio del dominio del cuerpo y los actos de los niños. Por esto,
muchos discursos a lo largo de la historia estuvieron basados en prácticas de crianza y desde las
instituciones en prohibiciones y control de la vida infantil, donde han proliferado los estados de
sumisión. El discurso de infancia separado de los niños, señala este autor, hace que veamos a los
niños según como formemos las ideas de infancia y estas ideas dependen de las sociedades y
culturas que representan la infancia.
Por esta razón, si se piensa la infancia como un pensamiento sobre los niños, se puede alejar
de la visión de conducción, dirección y gobernanza de los niños y se posiciona mejor desde saber
cómo piensan los niños. Esta idea es fundamental para el desarrollo este trabajo, ya que como se
justificó anteriormente, los niños desde el discurso que impera las matemáticas escolares son
28
vistos como objetos, basados en una idea de vacíos conceptuales que la enseñanza debe poder
llenar.
Esta postura de infancia no puede desconectarse de la cultura, porque es en ella donde,
“entendemos el pensamiento que tiene una sociedad sobre los niños y sus instituciones”
(Quiceno, 2016, p. 1).
Cultura
El posicionamiento teórico acerca de cultura en este trabajo se basa en Zubiría (2013). La
razón de esta escogencia es que, al igual que se argumentó en el concepto de infancia, el
investigador determinó una fuente que pusiera en cuestionamiento la cultura única y
homogenizante como se muestra el conocimiento matemático. Además, las limitaciones de
tiempo para tener una selección más variada de autores de referencia sobre este eje conceptual.
Como ya se expuso líneas arriba en el planteamiento del problema, esta cultura homogenizante
está ligada al fenómeno de adherencia del Discurso Matemático Escolar (Gómez et al., 2014).
Desde este autor (Zubiría, 2013), la cultura en una concepción moderna tiene como función
superar la condición animalitas y naturalitas para llegar a la humanitas. Esto motiva la
importancia de la literatura y el arte, por ejemplo, para separarnos de la condición natural.
Zubiría examina cómo se ha dado un giro semiótico a esta concepción de cultura moderna.
Cuestiona si es realmente necesaria la separación del hombre de la naturaleza y la animalidad.
Esto conlleva a cuestionar incluso la mirada antropocéntrica y etnocéntrica de la cultura. La
cultura eurocéntrica se privilegia como el referente de lo superior y avanzado, y que en el
presente tiempo contemporáneo ha entrado también en crisis.
29
De igual manera Zubiría (2013), señala que en las últimas décadas se han puesto de
manifiesto corrientes basadas en la filosofía y la antropología que estudian la cultura que no se
limite a los libros y las artes, pero que los incluya. Todas estas corrientes reúnen lo cultural con
lo económico y social, haciendo la cultura parte de lo social. Como componentes fundamentales
de la cultura señala el lenguaje, la comunicación, los sistemas de clasificación y lo simbólico –
expresivo.
Su relación con la educación matemática es directa. La visión eurocéntrica en las matemáticas
occidentales predomina en la historia de muchos países (Gavarrete Villaverde, 2013). Esto
repercute en que las matemáticas sean descontextualizadas en los ámbitos escolares. Impera una
visión monocultural a todo nivel: docentes, programas educativos y estudiantes. Se excluyen por
completo la diversidad de muchos países como el nuestro. Las matemáticas sin contexto han
logrado una desvinculación de la cultura, poniendo de relieve valores que vienen heredados de la
cultura hegemónica (Gavarrete Villaverde, 2013).
Desarrollo
Para efectos de este trabajo, se ponen en consideración dos teorías del desarrollo que están
asociadas a la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas: la teoría piagetiana y vygotskyana
que se encuentran en amplia literatura (Collin, 1982), (Gómez-López, 1997), (Arce Sánchez
et al., 2019), (Navarro, 2015), (Arteaga Martínez & Macías Sánchez, 2016) por citar algunos
ejemplos.
30
En “Seis estudios sobre psicología” (Piaget, 1964) Piaget establece que el desarrollo
corresponde a un equilibrio entre una fase menor a una fase superior. El desarrollo cognitivo,
visto así, se constituye en fases que están relacionadas con la edad cronológica del individuo.
Cada fase precede a la siguiente en tanto que se van ajustando las estructuras mentales “para las
almas sanas” (Piaget, 1964, p. 12). Este ajuste exige una gran flexibilidad para dichas estructuras
que van madurando, que van incorporando nuevos avances en el desarrollo.
Este autor distingue, entonces, seis estadios del desarrollo acordes con la edad cronológica: 1)
estadio de los reflejos; 2) primeros hábitos motores; 3) inteligencia sensorio – motriz; 4)
inteligencia intuitiva o preoperacional; 5) estadio de las operaciones concretas y 6) estadio de las
operaciones abstractas. Según su teoría, Piaget establece que los tres primeros estadios
corresponden al desarrollo en el rango de edades de 0 a 2 años; el cuarto estadio a las edades
comprendidas entre los 2 y 7 años; el quinto, entre los 7 y 12 años, y el último de 12 años hacia
adelante (Piaget, 1964).
El progreso entre cada estadio, para Piaget, depende de las múltiples necesidades que el
individuo experimente a través de la acción. Este proceso desencadena el desarrollo, y hace que
un nuevo estadio represente nuevos progresos frente al anterior. Piaget establece dos procesos
claves en su teoría del desarrollo a saber: la asimilación, relacionada con la forma en que un
individuo incorpora el mundo exterior a las estructuras ya construidas; y la acomodación, al
reajuste de las estructuras mentales en función de las transformaciones sufridas (Piaget, 1964, p.
18). El equilibrio entre los procesos de asimilación y acomodación desencadenan una adaptación
más fiel a la realidad.
31
A modo de ejemplo de la importancia que da Piaget a la edad cronológica relacionada con su
desarrollo cognitivo, este autor establece, a partir de sus experimentos, que el conteo numérico
comienza desde los siete años (Piaget, 1964). Además, a esta edad, en general los niños no
generalizan y comienzan a reconocer relaciones transitivas. Sin embargo, hoy en día algunas de
estas afirmaciones son discutibles. Frente al conteo, por ejemplo, ya se han reportado estudios
que muestran que niños menores de cuatro años pueden tener habilidades con el conteo de
números (Navarro, 2015).
En el mismo sentido, la propuesta del desarrollo de Vygotsky es también base e inspiración de
muchos trabajos acerca de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, como Gómez
(1997), Delgado Rubí (2002), Ursini (1996), Vergel (2016),Radford (2017) por citar algunos
ejemplos.
Para Vygotsky, “no podemos limitarnos simplemente a determinar los niveles evolutivos si
queremos descubrir las relaciones reales del proceso evolutivo con las aptitudes de aprendizaje”
(Vygotsky, 2009, p. 131). Vygotsky plantea, entonces, que se deben tener en cuenta dos tipos de
niveles evolutivos. Un nivel evolutivo real, por ejemplo, el que se tiene en cuenta cuando se
aplica un test para conocer las funciones mentales de un niño. Este nivel es el que, considera este
autor (Vygotsky, 2009), el que se tiene en cuenta para conocer lo que los niños por sí solos
pueden resolver. Son los únicos que se tienen en cuenta para indicar las capacidades mentales de
los niños.
32
Por otro lado, plantea el nivel evolutivo potencial, que está “determinado a través de la
resolución de un problema bajo la guía de un adulto o en colaboración con otro compañero más
capaz” (Vygotsky, 2009, p. 133). Esto significa que, para Vygotsky, el proceso de aprendizaje y
desarrollo están conectados de forma íntima, y son mediados por la interacción social. La
distancia entre el nivel de desarrollo real y el nivel potencial, es lo que denominó Vygotsky la
zona de desarrollo próximo. En esta zona, se encontrarán aquellas funciones que aún no se han
desarrollado en el niño, pero que a futuro lo harán, en la interacción.
Para el investigador, una de las ideas revolucionarias de Vygotsky en relación con la
explicación del desarrollo de los niños, es que no sólo contempla el desarrollo en términos de
niveles de desarrollos reales y actuales. De manera prospectiva (Vygotsky, 2009), se visualiza
los alcances que podrá tener un niño en su desarrollo a partir del desarrollo actual, la zona de
desarrollo próximo.
La razón de que en este trabajo de grado se priorice la visión de desarrollo vygotskyana,
radica en que, al tener en cuenta la interacción, da un papel crucial al contexto de los niños, a sus
compañeros de aula, y al adulto que acompaña el proceso de aprendizaje. Hasta donde este
estudio logró estudiar la perspectiva piagetiana, hay un énfasis en los procesos cronológicos del
desarrollo de las estructuras mentales de los niños. Esto iría en contravía de preguntarse por las
dificultades con el aprendizaje de jóvenes de grado once con edades entre los 15 y 18 años, ya
que, siguiendo estos razonamientos, ya deberían haber aprendido razonamientos numéricos de
este corte. Por esta razón, este trabajo se inspira en los aportes de Vygotsky, dado su énfasis en la
interacción y la influencia del contexto socio cultural.
33
Narrativa
Siguiendo a Rodríguez (Rodríguez, 2014), se debe distinguir entre narración y narrativa.
Narración entendida como “poner en palabras la experiencia”, “algo vivido, presenciado,
escuchado o imaginado” por un sujeto. Como complemento aparece la narrativa, que busca
“prestar atención a las narraciones” (p. 7). Este investigador distingue la narrativa que busca
hacer una lectura de las narraciones, que hace una interpretación ligando tanto a quien hace la
narración como a quien la escucha.
De esta forma, describe la narrativa como “un grado de conciencia sobre las palabras, sobre la
elaboración misma y la forma de la narración, sobre su organización y especialmente sobre el
efecto que produce” (Rodríguez, 2014). Se trata de un ejercicio de organización, por parte de
quien escucha la narración, de poner un orden y un sentido a lo que narra el narrador. Frente a la
narración, se debe precisar sobre los relatos y los discursos. Para Rodríguez (2014), el relato
presenta tres condiciones: tiene una temporalidad, refiere a la corporeidad y un grado de
alteridad. Un tiempo humano, unas referencias a un mundo físico y social, una condición de ser
otros. Para Benveniste (Genette, 1970) el relato se distingue por el uso de tiempos gramaticales.
El relato se caracteriza por el empleo de tercera persona, el pasado simple y el pluscuamperfecto.
Benveniste (Genette, 1970) diferencia además el relato y el discurso. En el discurso, el tiempo
gramatical cambia y se centra en el pronombre yo, el aquí, el ahora, el ayer, el mañana. El
discurso, para Benveniste se sitúa en el tiempo presente.
Para Calsamiglia y Tusón (Calsamiglia et al., 2012) el tiempo también es indispensable para
definir la forma en que se represente la realidad. Siguiendo a Weinrich, distinguen entre el relato
34
o el comentario, entre el mundo narrado y el mundo comentado. En el mundo comentado sólo
existe el tiempo presente, mientras que para el mundo narrado existe el pretérito y el indefinido.
El relato encaja entonces en el mundo narrado, y por eso usa formas más diversas de tiempos
gramaticales.
La división y la estructura multiplicativa
Desde los documentos curriculares oficiales (MEN, 2006), las matemáticas escolares se
dividen en cinco pensamientos: numérico, métrico, geométrico, aleatorio y variacional, que
intentan recoger la tradición matemática que se ha desarrollado a lo largo de la historia, y que
intenta tener pertinencia en los contextos escolares. Estos pensamientos están atravesados por
cinco procesos generales que son propios de la naturaleza del conocimiento matemático:
formulación, modelación, razonamiento, resolución de problemas y comunicar.
La estructura de las matemáticas escolares desde esta perspectiva intenta romper la tradición
que llevaba desde hace décadas de asignar un campo de conocimiento matemático a un
determinado grado escolar y que correspondía con una edad determinada, como hablar de
álgebra en octavo o de cálculo en once. Lo que pretende es integrar diferentes pensamientos que
se han construido de la mano históricamente en matemáticas.
Además, con la proposición de los procesos generales, intenta acercar a los estudiantes a las
prácticas habituales que hacen quienes estudian y trabajan en matemáticas, y alejar la visión de
procedimientos rutinarios y sin sentido que se tienen en general de las matemáticas escolares.
35
Dentro del pensamiento numérico se ubica el campo de las operaciones numéricas y los
problemas escolares asociados que se detalla en el siguiente apartado.
Debido a que el trabajo se centra en las narrativas de los estudiantes frente a sus dificultades
con el aprendizaje de la división, es necesario posicionar la división en el campo del pensamiento
numérico, para fundamentar las tareas y ejercicios que posibiliten generar narrativas en los
jóvenes.
Las operaciones de multiplicación y división integran un campo de la didáctica de las
matemáticas llamada estructura multiplicativa propuesta por Vergnaud (Chamorro et al., 2003).
En dicha estructura, se integran y se corresponden las operaciones de multiplicación y división
con problemas multiplicativos, que presentan unos rasgos sintácticos y semánticos, que los
diferencian de los problemas aditivos.
Por esta razón, desde la didáctica en matemáticas, no se visibiliza el algoritmo de la división
aparte de los problemas, sino que desde las recomendaciones se conecta con los tres tipos de
problemas multiplicativos a saber: isomorfismo de medidas, producto por escalar y producto de
medidas. En la Tabla 1 se presentan algunos ejemplos de problemas de cada tipo:
Tipo de problema multiplicativo Ejemplos
Isomorfismo de medidas: se establece
un isomorfismo o proporcionalidad entre
dos campos de medidas. Siempre
relacionan dos magnitudes distintas.
Una bolsa de 6 kilos de naranjas cuesta
12 euros. ¿Cuánto costarán 8 kilos de
naranjas?
Producto de medidas: Se tienen dos
campos de medidas que se componen para
formar otro de forma similar al producto
cartesiano.
Para formar el uniforme de un equipo de
fútbol, se disponen de 5 camisetas distintas
y 4 pantalones. ¿de cuántas formas
distintas se puede uniformar el equipo?
Producto por escalar o con espacio
único de medidas:
Enrique tiene 12 canicas y su hermana
cuatro veces más. ¿Cuántas canicas tiene
su hermana? Tabla 1 Ejemplos de problemas de estructura aditiva. Chamorro (2003).
36
En los análisis que se mostrarán más adelante, se intentará articular cada uno de estos ejes a
las narrativas sobre las dificultades en el aprendizaje de la división en los estudiantes de grado
once, mencionados en el planteamiento del problema. En la siguiente sección, se presentará el
enfoque metodológico con el que se recogerá y analizará la información.
37
CAPITULO 3: DISEÑO METODOLÓGICO
Diseño metodológico
A continuación, se presenta la metodología que se sigue en este trabajo. Está inspirada en la
etnografía en la escuela (Velasco & Díaz de Rada, 1997). Su elección obedece porque se
enmarca en los propósitos de la línea de investigación Lenguajes, discursos y saberes de la
Especialización en Infancia Cultura y Desarrollo. Se presenta en este capítulo el paradigma, el
enfoque y el método de investigación acogido.
Paradigma de investigación
Este trabajo se inscribe en el paradigma de investigación cualitativo (Vasilachis de Gialdino,
2006) porque busca las narrativas de los estudiantes desde sus dificultades con el aprendizaje de
la división. No está centrado en análisis de información de corte matemático, sino que busca la
experiencia que han tenido los estudiantes y sus interacciones. Por esta razón, la investigación no
pretende dar una explicación de corte cognitivo, sino intenta comprender esas dificultades desde
las experiencias vividas por estudiantes a través de sus narrativas. Siguiendo a esta autora, este
paradigma permite una flexibilidad que da cuenta de datos inesperados, que emergen y no están
configurados. Esto permite que el diseño y las preguntas planteadas anteriormente puedan sufrir
modificaciones durante el trayecto, y se presente de forma circular: ir y volver de manera circular
a las preguntas, objetivos planteados para alimentar la investigación a partir de lo observado.
Por eso, también resulta crucial, no sólo recuperar la voz de los estudiantes a través de sus
narrativas, sino el papel que juega el investigador en todos los momentos metodológicos.
38
Siguiendo a (Bonilla-Castro & Rodríguez Sehk, 1997) es necesario que el investigador principal
actúe como “coordinador, mediador y facilitador, para generar un proceso de comunicación con
el grupo que propicie que sus integrantes compartan los objetivos y el proceso global de la
investigación” (p. 149).
Enfoque
El enfoque es de corte naturalista porque la interacción con los informantes se da en su propio
ambiente (clase de matemáticas) y desde su mismo lenguaje, y no es intrusivo. El naturalismo
no se centra en un intercambio formal de preguntas y respuestas, sino predominan las
conversaciones normales en entrevistas, en una inmersión en la cultura que se vaya a estudiar.
Método etnográfico
Dentro de este paradigma de investigación, este trabajo se inspira en el método de
investigación etnográfico. Dicha metodología está sustentada en la propuesta de etnografía en la
escuela (Velasco & Díaz de Rada, 1997). Estos autores consideran la etnografía como un tipo de
investigación social. La etnografía en la escuela es el resultado de aplicar una práctica
etnográfica y una reflexión antropológica al contexto escolar. Más que pensar en un conjunto de
reglas de acción demarcadas o en un sistema formal de estructuras de conocimiento, la etnografía
es vista como un modelo de trabajo creativo de carácter social.
Dentro de las características de la etnografía situada en la escuela, estos autores (Velasco &
Díaz de Rada, 1997) resaltan que los mejores instrumentos para conocer y comprender una
cultura son la mente y la emoción humana; una cultura debe ser vista a través de quien la vive y
39
debe ser tomada como un todo. Además, insisten que quien toma el papel de investigador debe
neutralizar el sociocentrismo y etnocentrismo, es decir, considerar que su punto de vista está por
encima de aquella cultura que va a estudiar. Para el caso de la escuela, y debido a que este
estudio está relacionado con la infancia, este aspecto es central porque de forma análoga quien
haga las veces de investigador – profesor, debe atender a bloquear su adultocentrismo.
Situación etnográfica del investigador
En este trabajo, dado el rol como profesor del investigador de los estudiantes sujetos de estudio,
se tendrán en cuenta las consideraciones de corte etnográfico presentadas en la Tabla 2, debido a
la encarnación en la cultura (Velasco & Díaz de Rada, 1997).
Grado de alejamiento
Se espera salir del rol de maestro a partir de
los instrumentos y registros, que son los
recursos que permiten alejar.
Adopción de roles Rol de profesor de matemáticas titular en el
Colegio Juana Escobar IED
Aprendizaje práctico de los códigos propios
de la investigación
Situación con acceso inmediato a la vida
escolar cotidiana
Intersubjetividad
Reconocimiento de una intención dialógica.
Reconocimiento de un polo descriptico y un
polo argumental
Extrañamiento
Planteamiento de preguntas como: ¿Por qué
los estudiantes de 1103, a pesar de dificultades
con la división, presentan desempeños
aceptables con otros conceptos más
sofisticados?
Fuentes de datos
Registros de datos
Observación participante
Talleres
Formular preguntas significativas Capacidad de establecer relaciones entre los
polos descriptivo y argumental Tabla 2 Síntesis situación etnográfica del investigador.
40
Momentos de la etnografía
Velasco y Díaz de Rada (Velasco & Díaz de Rada, 1997) señalan cuatro momentos
etnográficos o procesos de elaboración de datos. Debido a la duración y alcances que tiene este
trabajo, se centrará en los dos primeros que son descripción y traducción.
Describir: Basados en Geertz, Velazco y Díaz de Rada caracterizan la descripción como
microscópica e interpretativa. Microscópica, aludiendo a que el investigador debe prestar
atención a finos detalles de la red de relaciones que se entrecruzan en los contextos.
Interpretativa, porque se busca que el etnógrafo persiga estructuras de significación: captar la
variedad de significados situándose desde el punto de vista de los actores. Esta descripción es
resultado de la interacción del investigador con los sujetos de estudio y el objeto de las
descripciones son los acontecimientos.
Traducir: tiene que ver con la capacidad de ordenar en secuencia un conjunto de
acontecimientos y comportamientos situados en un espacio y tiempo, relacionados con unos
autores. También tiene que ver la forma en que el investigador revive una experiencia de una
cultura, pero usando los valores y categorías que les son propios de su cultura. Incluso, es tratar
de hacer comprensibles estados de ánimo y del ambiente, que puede incluir lenguaje propio de la
cultura que se estudie en correspondencia con el lenguaje propio del investigador. Además,
encierra los aspectos comparados que se desprenden de la descripción.
41
Técnica
Como técnica dentro del método etnográfico descrito arriba, para los fines de este trabajo
se tendrá en cuenta la observación participante. En ella, el observador entra en escena, tratando
de no perturbar el desarrollo cotidiano, lo que resulta imposible. Esto conlleva que no sólo
observe sino que además participe, que haya un juego de proximidad pero también de distancia
con sus observados, que exista empatía pero también un extrañamiento, que pase de los
cuestionarios a las charlas íntimas, y que pase de las preguntas a las respuestas (Velasco & Díaz
de Rada, 1997). Esto trae consigo para el observador, una cierta situación de teatralidad y
simulación dramática.
Instrumentos
Como instrumentos se diseñaron tres talleres con los propósitos que se muestran en la Tabla 3
(ver Anexo 2):
Objetivo Taller Objetivos Requerimientos
técnicos
Número
de
estudiantes
participantes
Caracterizar las
narrativas sobre las
dificultades en el
aprendizaje de la
división de los
jóvenes del curso
1103 del Colegio
Juana Escobar IED
Arma una
división
Motivar narrativas
en los estudiantes del
curso 1103 alrededor
de las dificultades en la
reconstrucción de una
división.
Vincular
dificultades de
aprendizaje con la
lectura de un cuento
“De malas en
matemáticas” de
Élisabeth Brami
Fichas en cartulina
numeradas de acuerdo
a la actividad
Fotocopias
Video cámara
Grabadora
reportera
28
Caracterizar las
narrativas sobre las
dificultades en el
aprendizaje de la
división de los
jóvenes del curso
Problemas
multiplicativos
Motivar narrativas
en los estudiantes del
curso 1103 alrededor
de la resolución de
algunos problemas de
Fotocopias con
taller impreso
Video cámara
Grabadora
reportera
29
42
1103 del Colegio
Juana Escobar IED
estructura
multiplicativa.
Vincular
dificultades al resolver
problemas
multiplicativos con la
lectura del cuento “De
malas en matemáticas”
de Élisabeth Brami
Caracterizar las
narrativas sobre las
dificultades en el
aprendizaje de la
división de los
jóvenes del curso
1103 del Colegio
Juana Escobar IED
Rompecabezas
trigonométrico
Motivar narrativas
en los estudiantes del
curso 1103 alrededor
de la resolución del
algoritmo de la división
Evocar recuerdos
sobre las dificultades
de aprendizaje a partir
de la lectura del cuento
“De malas en
matemáticas” de
Élisabeth Brami
Fotocopia con
taller propuesto.
Video cámara
Grupo
focalizado
en 4
estudiantes
Tabla 3 Síntesis instrumentos diseñados
Población
Como se ha mencionado desde la pregunta de investigación, la población que se tiene en
cuenta para este trabajo son los estudiantes del curo 1103 del Colegio Juana Escobar IED. Sus
edades están comprendidas entre los 15 y 18 años. Son 13 niñas y 16 niños para un total de 29
estudiantes. Previamente el investigador diseñó y recogió los permisos informados a los padres
de familia para tener autorización a registros audiovisuales con los estudiantes.
43
Cronograma
El cronograma seguido parte de las fases metodológicas propuestas en la sección anterior, y se
ubica en los tiempos que corresponden al desarrollo de la Especialización en Infancia, Cultura y
Desarrollo se muestra en la Tabla 4:
Tabla 4 Cronograma del proyecto de grado
44
CAPITULO 4: HALLAZGOS
Sistematización y análisis de la información
De acuerdo con el enfoque metodológico descrito en la sección anterior, en esta sección se
presenta la forma en que se sistematizó y analizó la información. Tanto los momentos de
descripción y traducción descritos anteriormente en el enfoque metodológico, se entrelazan con
el análisis de la conversación desde Tusón (2002). Las tres sesiones de recolección de
información se video grabaron, y se realizaron las respectivas transcripciones de todo lo
ocurrido, como se muestra en los anexos de este trabajo.
Para dar respuesta al objetivo específico, en un primer momento se presenta un análisis
descriptivo de lo ocurrido en las sesiones. Se intenta dar respuesta a una caracterización de las
narrativas de los estudiantes alrededor de sus dificultades con el aprendizaje de la división. El
análisis mostrado en este primer momento es más descriptivo, e intenta enlazar las categorías
descritas en el marco teórico. En un segundo momento de esta sección, y para atender al objetivo
general de este trabajo, se analizan algunas narrativas de los estudiantes en torno a esas
dificultades de una forma minuciosa y detallada.
Momento descriptivo de las sesiones
El análisis propuesto en este momento está dividido en dos partes. En primer lugar, se
presenta un nivel estructural, que muestra la forma en que se distribuyó cada una de las sesiones
y sus respectivos momentos. Luego, se presenta la selección de algunos fragmentos
45
representativos de las transcripciones, que para el investigador tienen una relevancia de acuerdo
a las categorías descritas en el marco teórico.
Sesión 1
Nivel estructural:
La sesión para recoger información se realizó el día 11 de octubre de 2019 en el primer
bloque en el horario habitual de clase de matemáticas. Los bloques de clase en esta institución
van de 6:30 a.m. a 8:30 a.m. con un espacio de 7:00 a.m. a 7:30 a.m. para tomar el desayuno. La
clase se realizó en el salón de clase 2 – 204.
La sesión estuvo dividida en cuatro momentos. En el primero de inicio, el profesor saluda, da
las condiciones de lo que se va abordar en el taller. Entrega a los estudiantes la lectura y da
tiempo en silencio para que la lean. En el segundo, luego de realizada la lectura, el profesor
asigna turnos para que los estudiantes den sus impresiones. En el tercero, comienza el desarrollo
de la sesión, cuando el profesor entrega a los estudiantes los problemas para que resuelvan. El
profesor toma la decisión de pasar por cada uno de los grupos conformados haciendo preguntas
acerca de las dificultades con la división relacionado con el taller propuesto. En el último, el
profesor hace una entrevista a una estudiante que manifiesta dificultades en matemáticas.
Los cuatro momentos de la clase quedaron divididos por tiempos, de acuerdo a la grabación
realizada, como se muestra en la Tabla 5:
46
Momento Descripción corta Tiempo
Primero (inicio) Saludo del profesor y exposición
de condiciones
Hasta el 3’
Segundo (plenaria) Intervención de estudiantes y
profesor alrededor de la lectura
Desde el 3’ hasta el 30’
Tercero (desarrollo) Por grupos, los estudiantes
resolvieron las preguntas del
taller. El profesor de manera
espontánea grabó algunas
intervenciones de los
estudiantes.
Desde 30’ hasta 1h 13’
Cuarto (cierre) Entrevista final a una estudiante Desde 1h13’ hasta 1h 15’
Tabla 5 Síntesis desarrollo del Taller 1
A nivel estructural, es de notar que el tiempo que empleó el profesor en la primera sesión
de inicio fue considerable. Al observar la transcripción, se observa que hace uso de un monólogo
extenso para explicar las condiciones en que se realizaría la grabación, y el respeto a los turnos
de la palabra.
Fragmentos representativos Sesión 1
Para ilustrar lo que ocurrió al interior de la sesión en términos de la interacción, se
presentan cinco fragmentos de la clase. En ellas se evidencian, por un lado, cómo se manifestó el
ritual de la interacción, y por el otro, la aparición explícita de dificultades con el aprendizaje de
la división.
47
Frente al tercer momento de desarrollo de la sesión, mientras los estudiantes resolvían por
grupos las tareas propuestas, el profesor recogía información con la cámara y la grabadora. En
uno de los grupos donde se encontraban los estudiantes codificados como E9, E20 y E23,
discutían la solución al problema cuando llegó el profesor, como se muestra en el siguiente
fragmento de transcripción de las líneas 717 a 742 del T1V1:
717 31’18”
718 Profesor: = si| entonces| ¿dificultades para hacer ésta?
719 E9: = nada| pa’ mi nada
720 E23: = a nosotras si:: [se refiere a E20]
721 E9: = ¿a mi sabe qué se me dificulta de esto? | las comas
722 Profesor: pero de resto| ¿no?
723 E23: = a mi se me dificulta es todo
724 Profesor: = ¿cómo?
725 E23: = pues la división profe| porque si uno no sabe primero cómo se saca acá | los
726 primeros números | uno no sabe nada [señala de 1435 las cifras 1 -4]
727 Profesor: = y E20 ¿qué?
728 E23: = ella está igual [risas]
729 E9: = ah yo también se otra| yo también se otra| es que vea que aquí | hay personas un
730 ejemplo | así [toma las tarjetas 62 y 8 y las une formando 628] es que yo| yo| yo me
731 enredo mucho | pero yo entiendo mis maricadas | hay personas que la hacen con tres
732 cifras|¿si me hago entender?| ¿me entiende?| y yo no se[E23 le hace escoger mejor la
733 ficha 962 para mejorar su explicación y lo toma como si fuera un dividendo] y yo no
48
734 entiendo porque ellos van cómo corriendo las comas acá|¿si me entiende?|Corren aquí
735 [señala primero el 9] ¡tam¡ y van corriendo.
736 E23: = y van bajando así los números [señala el espacio debajo del 962 como si fuera un
737 un dividendo]
738 E9: =entonces yo| en un cuaderno o en mi mente yo voy haciendo la tabla por ésta
739 [señala el 962] digamos ésta [962] por dos| por tres y así toda la tabla hasta que me dé el
740 resultado así [toma 962 como divisor para explicar y agrega 9620 como dividendo y
741 fichas de la segunda división del ejercicio]| ¡yo! | Así| para no complicarme tanto| porque
742 con coma si me enredo mucho| es que hay hartas maneras de hacer eso| y ya……
743 Profesor: listo…
En primer lugar, en la línea 717, la imagen muestra la división que armaron los
estudiantes E9, E20 y E23 usando el material dado. En este fragmento de la transcripción, se
observa que el papel del profesor es limitado, hace preguntas cortas y sugerentes para que los
estudiantes cuenten lo que hicieron al resolver la actividad. E20 no aparece en la conversación, la
única referencia de que participó de la resolución del problema es por E23 quien la menciona en
la línea 720 y 728. Las pausas entre una y otra intervención son cortas, y en este fragmento no
aparecen solapamientos. Intervienen tres hablantes E9, E3 y Profesor. El orden en el cambio de
turno no es fijo, así como la duración de cada intervención, y E9 es mucho más expresivo. Las
transiciones de tiempo son comunes, y no se observan pausas largas o silencios, siendo una
conversación normal y fluida.
Llama la atención en la línea 719, donde E9 manifiesta que no presenta ninguna
dificultad con el aprendizaje de la división, pero luego en la línea 721 comienza a manifestarlas,
que luego explícita entre las líneas 729 y 735, al igual que entre las líneas 738 y 742. En este
49
sentido, el investigador interpreta como una trasgresión al principio de cooperación como se
señala Tusón (2002). Esto significa que, en términos de calidad, E9 maneja una información en
sentidos contradictorios que pueden afectar el transcurso de la conversación. Sin embargo, como
se muestra en este fragmento, no se puso en riesgo la conversación, sino que transcurrió con un
hilo conductor que fueron las dificultades con la división.
En términos de las dificultades con el aprendizaje de la división, en este fragmento se
pueden caracterizar dos afirmaciones explícitas. En la línea 725 y 726, E23 manifiesta que su
dificultad para dividir está en separar las cifras en el dividendo “porque si uno no sabe cómo se
saca primero acá | los primeros números | uno no sabe nada”. Esta dificultad coincide con la
reportada en los antecedentes de investigación (Maza Gómez, 1991).
La segunda dificultad, manifiesta por E9 en la conversación, hasta donde el investigador
logró hacer rastreo de antecedentes de investigación y estudios posteriores, no hay indicios de
aparecer reportada como dificultad en el aprendizaje de la división. Colocar la coma arriba como
“ellos” la colocan y “van como corriendo” para el investigador puede sugerir dos
interpretaciones. Por un lado, un conflicto semiótico que corresponde a “interpretaciones de
expresiones matemáticas por parte de los estudiantes que no concuerdan con las pretendidas por
el profesor o investigador” (Mayén et al., 2009). Se espera que la coma sea usada como una
forma de separar las cifras de izquierda a derecha, para ir señalando en cada paso la cantidad de
cifras en el dividendo durante el proceso de la división. Pero, lo que manifiesta E9 es el sentido
que tiene colocar esa coma, como más adelante se mostrará en los análisis de la sesión 3, porque
confunde con el punto decimal en el mismo dividendo como en el divisor.
50
Por otra parte, es posible, como hipótesis hecha por el investigador, que el uso de la coma
no pueda tener el sentido que se espera en el uso en matemáticas y se confunda con la coma
gramatical, aunque no hay evidencia en las tres sesiones de que así ocurra.
Un segundo fragmento que merece un análisis detallado corresponde al cuarto momento
de la sesión. Una estudiante nombrada como E16 busca al profesor para contarle su experiencia
con las matemáticas, suscitada por la lectura propuesta en el primer momento. A continuación, se
muestra el fragmento entre las líneas 958 y 985 del T1V1:
958 E16: pues es que yo me siento identificada porque| o sea| es como la comparación con mi
959 hermano| porque con mi hermano mayor| porque él es profesor de matemáticas
960 Profesor: = ¿tu hermano mayor es profesor de matemáticas? Tu no me habías contado eso…
961 E16: [risas]
962 Profesor: = ¿cuántos años tiene él?
963 E16: veinticinco
964 Profesor: = ¿veinticinco? ¿y dónde trabaja?
965 E16: = en la universidad el Externado
966 Profesor: = ah| ¿trabaja es en universidad?
967 E16: = entonces es por eso| entonces él siempre ha sido bueno en matemáticas | entonces pues
968 a mi como que hay que usted tiene que ser igual | y esto y lo otro| entonces era como eso|
969 entonces yo le cogí odio a las matemáticas por eso
970 Profesor: ay:: yo no sabía eso| entonces te cayó de papaya la lectura esa
971 E16: = si
972 Profesor: ve:: yo nunca me imaginé que encontrar a alguien que le pasara eso| lo de la niña| ay::
973 juemadre
974 E16: = entonces por eso a mi no me gustan las matemáticas
51
975 Profesor: = o sea que él tiene veinticinco| o sea que cuando él estaba en once| ¿tu en qué curso
976 estabas? | ¿por ahí en sexto?
977 E16: = no| yo estaba como en quinto
978 Profesor: = ¿en quinto? | ¿Y siempre ha estado la presión ahí? | igual que la chinita
979 E16: si| siempre igual| entonces por ejemplo mi papá es muy bueno en matemáticas | pero a
980 mi no me gusta que él me explique porque él me explica es gritando || y pues mi
981 hermanito también es | él es bueno en matemáticas pero por lo que es niño| o sea| ya
982 aprendió a dividir y todo eso entonces por eso| y ya
983 Profesor: = ¿en qué curso está?
984 E16: = en cuarto
985 Profesor: = ya
En términos generales, este fragmento se caracteriza por la presencia de preguntas y
respuestas esperadas. A cada pregunta hecha por el profesor, aparece la respuesta de E16. En este
caso, al ser del tipo entrevista, el orden del turno se vuelve fijo, aunque la duración en cada turno
no es previa. El profesor es el que menos interviene en duración, y hace preguntas para suscitar
en E16 sensaciones alrededor de la lectura con experiencias de vida. El profesor es quien dirige
los turnos, sin solapamientos y no se observan silencios o pausas largas, por lo que es una
conversación fluida.
Llama la atención de la conversación la similitud surgida con la lectura del taller,
manifiesta desde la línea 958. Hay una identificación de E16 al hacer alusión de la comparación
que hacen en su casa de su rendimiento en matemáticas con sus hermanos hombres, uno de ellos
profesor de matemáticas. Entre las líneas 979 y 982 hay dos alusiones que pueden dar cuenta sus
dificultades con el aprendizaje de las matemáticas, sin que especifique la división. E16
manifiesta que hay una presión extra para aprender matemáticas por parte de su papá que le
52
explica “es gritando” y además, el hermanito “es bueno en matemáticas pero por lo que es
niño”. Estas afirmaciones dejan entrever que hay una brecha entre los alcances intelectuales que
pueden tener los niños a diferencia de las niñas.
Siguiendo a Pedraza (2008), esta distinción proviene del siglo pasado, donde se
consideraba que la educación para niños debía ser diferente de las niñas, debido, entre otras
razones, a que el cuerpo de las niñas, por su carácter de generador de vida, no permitiría que los
órganos se fortalecieran. “El cuerpo, que en los niños es expresión misma de la naturaleza
contenedora del germen que desplegará la razón, es en las mujeres una naturaleza inalterable”2
(Pedraza Gómez, 2008, p. 225).
Además de tener una referencia con el discurso de infancia, en este fragmento de
conversación el investigador reconoce dos elementos conceptuales del marco teórico descrito en
secciones anteriores. Por un lado, la identificación con el texto sugerido y el reconocimiento de
sentir las presiones y comparaciones con sus hermanos hombres que presentan para ella mejores
habilidades en matemáticas, puede estar relacionado con un aspecto de la cultura matemática, en
su componente homogenizador (Gavarrete Villaverde, 2013) que de manera desafortunada se
presenta como una premisa. El investigador se refiere a la inferioridad intelectual de las mujeres
2 Ahondando un poco en esta discusión, el investigador encuentra pertinente referenciar a
Perdomo (2009), quien elabora un estudio acerca de cómo a través de la historia de las
matemáticas ha tenido lugar la inferioridad intelectual de las mujeres, y las respectivas tesis para
refutar estas afirmaciones.
53
en el ámbito de las matemáticas, que ha venido acompañando el discurso homogenizador de las
matemáticas desde su historia (Perdomo, 2009). Si bien esta categoría no está contemplada en los
planteamientos teóricos de este trabajo, es importante señalarla por su aparición en el fragmento
de la conversación, a pesar de no haber lugar para un desarrollo amplio del tema.
En segundo lugar, lo narrado por la niña en la línea 980 sumado a la referencia cultural
hecha en el párrafo anterior, pone de manifiesto un aspecto relevante acerca de la postura teórica
del desarrollo asumida en este trabajo. Exigencias como gritar o sentir la presión por ser mujer
en comparación con sus hermanos hombres, pueden considerarse condiciones no aptas para que
se ambiente una zona de desarrollo próximo (Vygotsky, 2009). Si bien Vygotsky en este estudio
no examina el ambiente favorable para que se posibilite el desarrollo, el investigador considera
esencial tener estas consideraciones, que se examinarán en conjunto con otros fragmentos
relevantes en la sección de resultados.
Un tercer fragmento que se considera pertinente analizar corresponde al segundo momento de
la sesión. Luego de que el profesor entregara la lectura “El miedo y las malas notas” (Brami,
2015), se realizó una plenaria. A propósito de esta plenaria, el profesor suscitó en sus estudiantes
comentarios alrededor de la lectura, que se ve reflejado desde la línea 131:
131 Profesor: ….a ustedes le ha pasado algo así| ¿no? De pronto algún profesor o alguna profesora que haya
132 sido| insistido así terriblemente en ustedes como para que | bhhhh le generara un poquito
133 de resistencia| pues yo no se| en matemáticas si les ha pasado| ¿no? ¿o normal? Porque si
134 es normal| entonces ¿cuál es el problema con la división? ¿Y con las demás cosas? | pues si
135 no hay ningún problema||
136 E10: 20’17” pues que profe que| digamos que uno no pone de su parte para repasar y pues como
137 digamos ahora ya hay celulares y todo eso pues uno lo queda más fácil hacer la operación
54
138 en el celular y ya 20’31”
139 Profesor; ¿pero ustedes desde cuándo utilizan la calculadora? | ¿siempre? | Desde primaria| desde
140 secundaria
141 E10: ah no| pues| como desde quinto 20’46”
142 Profesor: cómo desde quinto? | y ya desde entonces ahí ya | la calculadora reemplaza eso y |se
143 acabó el miedo!
144 E10: si
145 Profesor: ¿y cuando no hay calculadora?
146 E10: es que por lo general siempre hay calculadora| entonces pues si
147 E23: 21’08” pues por ejemplo| un día| el año pasado| nos pusieron hacer una evaluación y
148 tocaba hacer la división con procedimiento| entonces a veces uno como que tiene o de mi
149 parte uno como que tiene ese miedo de que perder la evaluación y digamos eso baja
150 mucho| ¿sí? | entonces yo lo que hice fue sacar la calculadora | pero a escondiditas y hacerlo
151 con procedimiento… yo| a mi lo que me tocó hacer fue| pues como yo no sé dividir ni nada
152 y eso era una nota| pues alta | entonces lo que hice descargar una aplicación donde ya se
153 hacía la división con procedimiento 22’00”
En este fragmento se observa que es el profesor quien hace la asignación de los turnos de la
palabra por tratarse de una plenaria. En ella, además del profesor, participan los estudiantes
nombrados como E10 y E23. En el ritual, el profesor mantiene la imagen de profundizar en las
dificultades de la división, y los estudiantes se muestran con disposición para interactuar. No hay
solapamientos ni evidencia de invasión del territorio del otro. En términos de las características
de la conversación, ésta se produce de manera dialogal, se presentan transiciones normales,
aunque el profesor es quien asigna los turnos, cada estudiante participa a voluntad. La duración
55
de cada intervención no es previa y se presentan diferentes unidades formales para construir las
frases, desde una palabra hasta una narración completa, como entre las líneas 147 y 153.
En términos del análisis siguiendo las categorías teóricas expuestas, el uso de dispositivos
tecnológicos en la clase de matemáticas, puede relacionarse de dos formas. Por una parte, se
relaciona con el fenómeno de adherencia (Cordero et al., 2015) introducido desde el
planteamiento del problema. Esto significa que en la cultura de la clase de matemáticas se han
insertado dispositivos y tecnologías que resuelven y modelan una innumerable cantidad de
problemas y ejercicios matemáticos, pero su uso se limita al consumo (p. 34). Siguiendo a estos
autores, una característica como usuarios de estas tecnologías en un país del tercer mundo como
Colombia, es que se limita al uso, consumo y obediencia de lo que viene de los países del primer
mundo, que son los que “saben, inventan, fabrican” (p. 34).
Como cuarto y quinto fragmento seleccionados, corresponden al segundo momento de la
sesión. En un momento en el que los estudiantes E9, E20 y E23 resolvían el taller, el profesor se
dirigió a E9 como se muestra entre las líneas 448 y 460:
448 Profesor: me faltan || ¿cómo vamos?
449 E9: =bien profe| estoy intentando con todas || si profe| así es que yo hago| restando [muestra
450 una hoja donde están haciendo la división con restas sucesivas]
451 Profesor: =ah | mostrando todas =
452 E9: =si| es que hay unos que las hacen ya de una vez como las hace este man [señala a otro
453 compañero]
454 Profesor: ¿y en algún momento te pusieron problema por eso? | ¿por hacerlo | ¿restando?
455 E9: =¿algún problema? | No /| porque si uno sabe así | además da el mismo resultado
56
456 Profesor: ¿ningún profesor te puso problema por eso?
457 E9: =no| yo no profe| pues a veces se me dificulta además porque dicen| “hagánla rápido” si
458 uno| digamos yo así me demoro reharto | y pues hay personas que las hacen corticas |
459 entonces pero no pues el resto | yo las hago así porque yo así no se con la otra | entonces
460 |¡cómo voy hacer eso!
En este fragmento se observa una estructura de pregunta y respuesta3. El profesor pregunta a
E9 sobre el procedimiento utilizado y hay alternancia en los turnos. Este momento se vuelve del
tipo entrevista, el orden del turno se vuelve fijo. La conversación es fluida, y E9 resuelve las
preguntas del profesor de forma inmediata sin solapamientos. La duración de los turnos no es
fija, aunque el profesor provoca que E9 se extienda en la duración de su relato. Sólo en la línea
451 ocurre un solapamiento por parte del profesor, pero no transgrede la conversación.
En términos de las dificultades del aprendizaje con la división, E9 manifestó un aspecto que
para el investigador vale la pena destacar. En la línea 457 cuando pareció manifestar una presión
para hacer las divisiones cuando le decían “háganla rápido”, se presenta un componente de
rapidez para hacer cálculos aritméticos. El investigador relaciona dicha rapidez con el fenómeno
de exclusión, que se presentó en el planteamiento del problema. ¿Por qué los cálculos
matemáticos deben realizarse con una cierta rapidez? Esta pregunta desborda los límites trazados
3 Vale la pena destacar que este fragmento se analizará en el siguiente momento propuesto
para esta sección, y que las conclusiones del análisis permiten entrever otra serie de elementos
diferenciados a lo expuesto en estos párrafos.
57
en los objetivos y la pregunta de investigación. Sin embargo, merece una especial atención, dada
su aparición en otros apartados de las transcripciones hechas durante las sesiones.
Para responder esta pregunta, se puede atender a la forma en que fue creciendo y
consolidándose el conocimiento matemático. En el libro “Aritmética Recreativa” (Perelman,
1938) este autor narra cómo en la antigüedad se consideraba a una persona “sabia” si resolvía
operaciones aritméticas con rapidez. Esto puede indicar, que esta tradición se ha mantenido
desde la antigüedad, y se mantuvo a lo largo de la historia, inserto en la cultura matemáticas.
Por otra parte, esta noción de rapidez también se puede vincular con la forma en que se
relacionan las habilidades en matemáticas y el sistema político y económico vigente (Valero
et al., 2015). Para estos autores, el fracaso escolar, que puede estar ligado con la rapidez y
agilidad de hacer cálculos, por ejemplo, es “una condición del sistema para asegurar que unos
adquieran valor mientras otros pasen a formar las filas de desvalorizados” (p. 297). Esta práctica,
entonces, se consolida en la cultura de las matemáticas escolares. En términos de los fenómenos
expuestos del Discurso Matemático Escolar, se puede vincular con la opacidad, ya que no se da
pie para discutir la necesidad de ser rápido, sólo se asume.
Otro fragmento de la conversación que muestra este mismo afán por no lograr la rapidez
esperada se observa entre las líneas 472 y 477:
472 Profesor: ¿tu alguna vez tuviste problemas con la división? | ¿en matemáticas?
473 E27: = ah| cuando son más de una cifra
58
474 Profesor: = ¿Cuándo son más de una cifra? ¿por qué?
475 E27: = no se| me enredo | es que o sea| más de dos| ya si me va bien [se refiere a las de una
476 cifra] cuando es más de dos si se me dificulta| me demoro mucho haciéndola pero la
477 respondo bien
En este fragmento se observa la estructura de pares adyacentes, del modo pregunta y
respuesta. El profesor es quien asigna el turno de la palabra, haciendo preguntas que motiven en
E27 dialogar sobre sus dificultades. La duración no es previa, aunque E27 dura un poco más en
sus turnos. En la línea 476, E27 manifestó que, a pesar que sabe dividir, su dificultad está en que
se demora mucho. La misma alusión que en el fragmento analizado antes, (…)
Sesión 2
Nivel estructural
La segunda sesión se desarrolló el día 13 de octubre de 2019, en el primer bloque de clase.
Este bloque iba desde las 6:30 a.m. hasta las 8:30 a.m. Debido a ser el primer bloque, hubo
dificultades para contar con la videocámara como se esperaba, por lo que el registro se realizó
usando la grabadora de voz, y con el celular se filmaron 18 pequeñas intervenciones alrededor
del taller propuesto. La dificultad con la videocámara radicó en que, al ser la grabadora del
colegio, la persona encargada no pudo llegar a tiempo a la institución.
La sesión estuvo dividida en dos momentos centrales. En el primer momento, el profesor
saludó a los estudiantes, dando las condiciones de la clase. Entregó la lectura y dio tiempo a los
estudiantes para que la leyeran. A continuación, dio un espacio de socialización de la lectura,
pero las intervenciones de los estudiantes fueron pocas. El profesor se extendió en ejemplos a
59
nivel metafórico para motivar el discurso de sus estudiantes, pero no logró. Por esta razón, dio
paso al segundo momento de la clase.
En este momento, entregó a los estudiantes el taller escrito. Se organizaron por parejas para
desarrollar la actividad. El profesor grabó algunas de las intervenciones de sus estudiantes
resolviendo y rastreando las dificultades de aprendizaje alrededor de la división. Al finalizar,
hizo una corta mención al desarrollo del taller para cerrar la actividad, dando las gracias y se
despidió.
Los tiempos de la segunda sesión quedaron registrados en la grabación como se muestra en la
Tabla 6:
Momento Descripción corta Tiempo
Primero (inicio y socialización
lectura)
El profesor saluda a sus estudiantes,
da las condiciones de cómo se va a
realizar el taller. Entrega la lectura
e intenta socializarla.
Hasta 7’
Segundo (desarrollo) Entrega el taller escrito a sus
estudiantes. Graba algunas
intervenciones. Realiza 18
pequeñas intervenciones de
preguntas.
Desde el 7’ hasta el 56’
Tabla 6 Síntesis desarrollo del Taller 2
Al observar la transcripción de esta sesión, se observa que el profesor durante el momento de
inicio, usa la palabra de forma extensa y continua para lograr motivar la conversación de los
estudiantes. Sin embargo, como se observa en la transcripción, son pocas las intervenciones de
60
sus estudiantes, por lo que debe pasar al segundo momento. Es de notar que, a diferencia de la
primera y tercera sesión, la cantidad de material recogido en términos de conversación es poco.
Una de las razones que el investigador advierte es que el diseño del taller no logró ser efectivo
para propiciar narrativas en los estudiantes. Esto pudo deberse a que proponer problemas
estándares de corte multiplicativo, pudo influir en la calidad de las narraciones. Sobre este
aspecto se profundizará en la sección de conclusiones.
Fragmentos representativos Sesión 2
Para lograr detallar lo que pasó al interior de la sesión, el investigador seleccionó dos
fragmentos de la conversación. Al igual que en el análisis de la primera sesión, los análisis
evidencian, por un lado, cómo se manifestó el ritual de la interacción, y por el otro, la aparición
explícita de dificultades con el aprendizaje de la división.
En la transcripción del video T2_V3, los estudiantes E23 y E9 intentan resolver la división
41466 ÷ 12 que se muestra entre las líneas 124 y 187. E23 tiene confusiones para colocar los
números en el residuo, como lo advierte E9 en el siguiente fragmento de la conversación:
166 Profesor: ¿cómo hacen?
167 E23: = porque es que yo
168 E9: pero es que lo que yo le entendí que ella dice que bajó el resultado || [señala en la
169 división el residuo 106]
170 E23: = o sea acá [señala en la división el residuo 106]
171 E9: = el más cercano es el ||
172 E23: si | le faltan diez para llegar a cuarenta y seis [en la división que efectúan señala el
173 10 de 106] entonces siempre se coloca el numerito que le falta
61
174 1’49”
175 Profesor: = siii
176 E23: = acá | y se baja el otro [señala el 6 que bajó del dividendo para formar 106]
177 Profesor: = siii
178 E23: pero es que ya son tres | ¿si me entiende? | Y eso no se puede
179 1’52”
180 E9: = si se puede
181 Profesor: = pero ||
182 E9: = porque en el doce si cabe ese número
183 E23: = no | porque ahí dice ciento seis
184 E9: = si | por eso | y doce por diez | ¿cuánto es? | Ciento veinte || ¿o no? | ¿doce por diez?
185 Profesor: jajaja [risas]
186 E23: ayyy | chitoo
En este fragmento se observa que intervienen E9, E23 y el Profesor. El profesor hizo una
pregunta muy corta y de resto interviene para hacer afirmaciones acerca de los procedimientos de
los estudiantes. El profesor así mantuvo la intención de participar dando la palabra a los
estudiantes. Entre ellos no se observan solapamientos y se conserva la imagen. E23 por su parte
manifestó que no sabe dividir, mientras que E9 intenta guiarla en el procedimiento. La
conversación ocurrió de manera dialogal, con transiciones normales en el cambio de turno. El
orden del turno no es fijo, ni la duración fue acordada con anticipación. La conversación fue
62
fluida y no hubo espacios de silencio. La duración de cada intervención no es previa y se
presentan diferentes unidades formales para construir las frases, desde una palabra hasta una
frase completa.
En términos de la pregunta de investigación, si bien en este fragmento no se aprecia una
narrativa alrededor de las dificultades con el aprendizaje de la división, si se reporta una
dificultad que merece especial atención. E9 al intentar resolver la división por dos cifras,
manifestó una confusión al colocar en el residuo un número de dos cifras, como se lee en la línea
178. Para E9 no es claro que se pueda colocar un residuo de tres cifras, y es E9 quien intenta
explicarle que eso sí es posible.
Esta dificultad con el algoritmo de la división no aparece reportada en las dificultades
expuestas en el marco teórico (Villota, 2014). El investigador tiene como hipótesis que la
dificultad obedece al control de las cantidades manejadas en divisiones por una cifra, en la que el
cociente no va a superar valores de dos cifras. Por ello la insistencia de E9 de no ser posible
colocar en el residuo un número de tres cifras. Además, como se reflejó en el análisis de la sesión
1, E9 ya había manifestado dificultades con la división de dos cifras, lo que puede explicar este
comportamiento. Es de notar que en este fragmento de la conversación, a pesar que la división
tenía con anterioridad un paso incorrecto, el profesor permitió el desarrollo de la conversación,
esperando que E9 y E23 construyeran significaciones al respecto.
En términos generales, y como ya se indicó párrafos anteriores, las tareas propuestas en la
sesión 2, no favorecieron que se hicieran explícitas narrativas alrededor de las dificultades en el
63
aprendizaje de la división. El investigador encontró que el profesor tuvo dificultades para
vincular la lectura propuesta con las vivencias personales de los estudiantes. Además, la
integración del primer momento de la clase con el taller propuesto. Esto se evidencia en que, en
la transcripción, no se observan conversaciones ligadas al problema planteado en este trabajo. En
general, los diálogos se centraron en los conceptos asociados a esos problemas del taller 2, como
área del problema 3.
Sesión 3
Nivel estructural
La sesión para recoger información se realizó el día 29 de octubre de 2019 de 10:40 a.m. a
12:00 m. en el horario habitual de clase de matemáticas. La clase se desarrolló en el salón 2 –
204. De forma estructural, la sesión se dividió en tres momentos. En un primer momento, y a raíz
de que los estudiantes venían del descanso y de perder una final de fútbol, el profesor decidió no
entregar la lectura programada. En cambio, saludó y dio a los estudiantes las indicaciones de
cómo debían realizar el taller sugerido.
En un segundo momento de desarrollo, el profesor decidió focalizar la observación en un
grupo de estudiantes que en las dos sesiones anteriores habían manifestado dificultades con el
aprendizaje de la división. Además, al hacer una primera observación de las sesiones anteriores,
decidió limitar completamente su participación oral mientras los estudiantes realizaban el taller.
La razón principal fue porque reconoció que en las primeras sesiones su participación fue
extensa, y decidió dejar por completo la responsabilidad a los estudiantes. El grupo elegido fue
64
de los estudiantes nombrados como E4, E9, E20 y E23. En el último momento, el profesor hizo
un cierre con los estudiantes y agradeció su participación en el registro y captura de información.
Los tres momentos de la sesión quedaron distribuidos en tiempo como se muestra en la Tabla
7:
Momento Descripción corta Tiempo
Primer momento (saludo) Saludo y presentación de la actividad Hasta 3’
Segundo momento
(desarrollo)
Distribución en grupo por parte de los
estudiantes y desarrollo. El profesor focaliza
la recolección de información en un grupo.
Desde 3’ hasta
55’
Tercer momento
(cierre)
Despedida y agradecimiento a estudiantes
por parte del profesor.
Desde 55’ hasta
1h
Tabla 7 Síntesis desarrollo del Taller 3
Fragmentos representativos Sesión 3
Tres aspectos se destacan del momento de desarrollo de la sesión. El primero, relacionado con
el papel del profesor en el desarrollo de la tarea propuesta. Como ya se mencionó, el profesor
tomó la decisión de guardar silencio mientras que los estudiantes E4, E9, E0 y E23 debatían la
solución del problema. En tres fragmentos del desarrollo, los estudiantes hicieron alusión
explícita a su papel como mediador y facilitador. Entre las líneas 146 y 145, aparece la primera
mención como se muestra a continuación:
146 E23: pero o sea acá está el resultado de la escalera [señala la guía donde están todos los
147 datos] y de éste ¿no? | Acá [golpea con el dedo la hoja varias veces y se dirige al profesor]
148 E9: =no | porque eso toca sacarlo
65
149 E4: =él [señala al profesor] no responde
150 E9: =y no habla
151 E23: [risas]
152 E9: =no tenemos profesor
153 E23: [risas]
154 E4: está mudo
En este fragmento no se observan solapamientos, los tres estudiantes mantienen la atención de
la conversación en el reclamo hacia la participación del profesor de forma activa. El orden de
turno para hablar no es fijo, y consta de frases muy cortas. Las transiciones del cambio de turno
son comunes y la duración de cada no es fija. No se observan pausas largas ni silencios, por lo
que los tres estudiantes mantienen una conversación fluida.
En términos de las dificultades con el aprendizaje de la división, este fragmento y los dos que
se muestran a continuación, reflejan un reclamo por parte de los estudiantes hacia su profesor.
Ellos necesitan de su experiencia para poder sacar adelante la tarea de matemáticas. En relación
con el concepto de desarrollo asumido en este trabajo, necesitan del adulto más capaz para lograr
un nivel de desarrollo por encima del actual (Vygotsky, 2009). En tres ocasiones, durante todo el
desarrollo de la sesión, el grupo de estudiantes hizo un llamado a su profesor para que rompa con
su regla de no hablar y limitarse a realizar la grabación. En las líneas 748 y 751 volvemos a
observar este reclamo:
748 E23: = profe por qué no nos da un ejemplo
749 [el profesor dice no con la cabeza]
750 E23: = aichh no || ¿qué hacemos?
751 E9: = pues hacerla
66
Esto ocurrió en un momento de la conversación en que los estudiantes creían haber agotado
todas las posibilidades para resolver la tarea. Desde la línea 114, E23 introduce la división como
forma para sacar adelante el ejercicio. Durante toda la conversación, hasta el final, ellos
estuvieron seguros de que, sean los números que sean, la tarea se resolvía de forma exitosa,
buscando qué números dividir entre ellos. Luego de realizar nuevas pruebas, y con la
participación de E20 desde la línea 166, usaron diversas hipótesis, recordando fórmulas que
alguna vez habían trabajado en clase. En todas tuvieron claro que el uso de la división era
indispensable.
Entre las líneas 1278 y 1289, al finalizar la grabación, vuelven a dirigirse al profesor, ya que
la conversación no tuvo grandes silencios ni pausas. Fue un trabajo dedicado a lanzar hipótesis,
pero que sin la ayuda del profesor no la conseguirían.
1278 E9: =ah pues hagamos eso | eh no mentiras
1279 E4: =no | es que el profesor la cagó quitando la cartelera
1280 E23: [risas]
1281 E4: =obvio
1282 E9: =no | antes nos ayudó y nos acordamos perro | ja | eso no se acuerda nadie
1283 E4: =¿cierto? | usted la cagó [se dirige al profesor] sabe que si
1284 E9: =pere ciento veinte | doce | doce no | treinta
1285 E23: [risas]
1286 E4: =que una ayuda que no yo se que | y la quitó preciso cuando nosotros íbamos hacer eso | yo nunca la
1287 utilicé y vea
1288 E23: [risas]
1289 E4: =y ahí si la caga
En este fragmento se observa que, hasta el final de la sesión, los estudiantes estuvieron
metidos de lleno en la resolución de la tarea. Los tres estudiantes mantuvieron la atención de la
67
conversación hasta el final. No se observan solapamientos ni transgresiones en la toma de la
palabra. Algo de notar es que E4, tal vez ya desesperado sin la ayuda del profesor, usa
expresiones como “la cagada” para referirse a su profesor, que puede verse como una invasión en
el territorio del otro. El profesor mantuvo su silencio hasta el final, cumpliendo con el propósito
desde el comienzo de la sesión.
Como se detallará más adelante en los resultados, el papel que juega el profesor en el
desarrollo de las habilidades en sus estudiantes, es crucial. Si bien, una de las intenciones de este
trabajo fue dar voz a los estudiantes, no desplaza la voz del profesor. Al contrario, le imprime
una fuerza que necesita para sacar adelante las dificultades en la clase de matemáticas de sus
estudiantes.
El investigador también consideró, de todo el material disponible del momento de desarrollo
de la tercera sesión, resaltar dos aspectos que se relacionan de forma directa con las dificultades
en el aprendizaje de la división. El primero de ellos tiene que ver con las dificultades cognitivas
que ya han sido reportadas en investigaciones (Villota, 2014). En el fragmento de la
conversación entre las líneas 200 y 209 se dio este diálogo:
200 E20: =¿y ya lo hicieron al revés? [señala la fórmula que habían hecho antes] o sea el treinta arriba
201 E23: =da lo mismo=
202 E20: =pues si || daría lo mismo ¿no?=
203 E4: =no| no da lo mismo=
204 E9: =no no da lo mismo=
205 E23: =¿no da lo mismo?
206 E9: =no
207 E23: [escribe en la hoja una nueva división]
68
208 9’48”
209 E4: si es un dato más grande ¿mmm?
En la conversación intervinieron todos los estudiantes. Se observan varios solapamientos, que
indican la necesidad de unos por imponer su razón sobre los otros. Esto se observa en las líneas
201 a 204. El orden en el cambio de turno no es fijo. La distribución de los turnos no es
específica, y la duración de cada turno ni es fija ni es previa. A partir de la afirmación de E23 en
la línea 201, se enmarca la conversación para refutar su afirmación.
En términos de las dificultades con el aprendizaje de la división, en la afirmación hecha en la
línea 201 por E23, aparece una dificultad usual con la división. El hecho de creer que la división
cumple con la propiedad conmutativa. Esta dificultad se reporta, a nivel general, como errores
debidos a la recuperación de esquema previo (Abrate et al., 2006). Esto significa que un
estudiante toma información de un esquema ya conocido, como la propiedad conmutativa en la
suma o multiplicación, y la intenta recuperar en un nuevo esquema, en este caso, la división.
Dificultades similares se detectaron alrededor de la resta para calcular los residuos como
aparece entre las líneas 576 a 596, entre las líneas 614 y 629 (Ver Anexo 5). Además, dificultad
frecuente en resolver divisiones con números granes, como se lee, por ejemplo, entre las líneas
694 y 697. Si bien estas dificultades son de tipo cognitivo, y ya han sido reportadas en las
investigaciones, el investigador consideró importante recalcar su aparición, para hacer énfasis en
69
las narrativas sobre dificultades de aprendizaje de la división. Dichas narrativas, como se
presenta en la sección de resultados, se analizan en conjunto desde las categorías infancia,
cultura y desarrollo, y no como simples errores o dificultades de corte cognitivo.
Momento analítico
Cuando se señala que el proceso de descripción y traducción se realiza a la luz del análisis de
la conversación de Tusón (2002), vale la pena aclarar cuatro tipos de análisis que están enlazados
para cada una de las sesiones (Ver figura 3). En primer lugar, un primer nivel de análisis al
realizar las trascripciones en totalidad de cada una de las sesiones. En estas transcripciones, el
investigador comenzó apreciando aspectos relevantes que pueden merecer un análisis detallado
de acuerdo al problema de investigación, y los objetivos general y específico planteados.
Figura 3 Esquema del análisis asumido en la investigación basado en Tusón (2002)
Un segundo nivel de análisis, en relación con lo que llama Tusón (2002), la forma en que se
va construyendo el “edificio de la conversación” (p. 136). Es decir, para cada sesión se analizan
los momentos estructurales, en relación con la gestión del profesor para distribuir los tiempos y
70
los turnos de habla, y el papel a nivel general que jugaron los estudiantes en cada momento. Por
esta razón, se inicia el análisis de cada sesión con un análisis llamado nivel estructural.
Un tercer nivel de análisis se detalla a medida que el investigador comienza a observar
detalles de algunos fragmentos de lo ocurrido en las tres sesiones. Este nivel corresponde con lo
que Tusón (2002) llama los aspectos rituales de la conversación. Es decir, de cada fragmento
seleccionado por el investigador, se detalla la forma en que se gestionó el ritual de la interacción,
caracterizada por “la no invasión del territorio del otro y por la conservación de la propia
imagen”4 (p. 136). Además, resalta algunos elementos característicos de las interacciones dadas
en términos de conversaciones normales.
Un cuarto nivel de análisis incluye, para cada fragmento seleccionado, su relación tanto con el
problema de investigación y los objetivos trazados. Es decir, su relación explícita con las
narrativas sobre dificultades de aprendizaje de la división en la población objeto de estudio. En
este nivel, se intenta dar cuenta de su vinculación con los elementos del marco teórico expuestos
con anterioridad. Además, incluye nuevas categorías que son de interés de resaltar para el
investigador dado el problema planteado.
Para realizar este análisis, se seleccionaron tres fragmentos representativos, algunos fueron
descritos en el momento anterior. En estos fragmentos se reflejan algunas dificultades de los
estudiantes con el aprendizaje de la división.
4 Un enfoque que atraviesa todo el análisis de forma transversal, a pesar de no estar citado ni en el marco teórico
ni en otra sección, es el aporte de Goffman (1959) relacionado con la disposición que tenemos como sujetos al
presentarnos en la vida cotidiana e interactuar. Goffman es una referencia crucial para Tusón (2002) y su propuesta
de análisis de la conversación. Para el investigador este enfoque es fundamental, porque dio luces para mirar “más
allá de los datos numéricos” la interacción en clases de matemáticas. Este enfoque fue introducido en los Seminarios
de Investigación durante el transcurso de la Especialización. Goffman, E. (2001). La presentación de la persona en la
vida cotidiana. Primera edición. 3° reimpresión. Buenos Aires. Amorrortu.280 p.
71
Fragmento 1
Un primer fragmento correspondió en el momento de desarrollo de la sesión 1 entre las líneas
448 y 465. Los estudiantes E9, E20 y E23 resolvían la tarea cuando se dio la siguiente
conversación con apertura del profesor:
448 Profesor: me faltan || ¿cómo vamos?
449 E9: =bien profe| estoy intentando con todas || si profe| así es que yo hago| restando
450 [muestra una hoja donde están haciendo la división con restas sucesivas]
[179 ÷ 8 = 2225]
451 Profesor: =ah | mostrando todas =
452 E9: =si| es que hay unos que las hacen ya de una vez como las hace este man [señala a
453 otro compañero]
454 Profesor: ¿y en algún momento te pusieron problema por eso? | ¿por hacerlo | ¿restando?
[tapa con la mano la hoja]
455 E9: = ¿algún problema? | No /| porque si uno sabe así | pues además da el mismo resultado
456 Profesor: ¿ningún profesor te puso problema por eso?
457 E9: =no| yo no profe| pues a veces se me dificulta además porque dicen| “háganla rápido”
458 si uno| digamos yo así me demoro reharto | y pues hay personas que las hacen corticas|
459 entonces pero no pues el resto | yo las hago así porque yo así no se con la otra | entonces
460 | ¡cómo voy hacer eso!
461 Profesor: = y ustedes | ¿cómo intentan hacerla? | ¿también con restas?
462 E9: =de ninguna forma= [risa hacia E23 y E20]
463 E23: = yo | pues se me olvidó ya [risas]
72
464 E9: = directamente el resultado= [continúa haciendo la división]
465 Profesor: entonces ya vengo… muy bien
En el fragmento de conversación mostrado intervinieron el Profesor junto a E9, E20 y E23.
En primer lugar, se presenta un análisis de cómo se construye la trama de la conversación. En el
siguiente esquema se ilustra este nivel de análisis:
448 -----------→ Profesor: hace apertura de la conversación – pregunta
E20 -------→ no atiende la pregunta
E23 -------→ no atiende la pregunta
449 – 450 ---------------→ E9 ---------→ responde
451 -----------→ Profesor: afirmación
452 – 453 -------------------→ E9 ------→ responde, continúa explicando la pregunta
454 -------------→ Profesor: pregunta
455 ------------------------------→ E9 --------→responde
456 -----------------→ Profesor: pregunta
457-458-459-460 ------------------→ E9 responde
461 -------------------→ Profesor: vuelve hacer apertura para incluir – pregunta
E20 no atiende la pregunta en el turno
E23 no atiende la pregunta
462 --------------------------------→ E9 solapa el turno - responde
463 ------------------------------------ → E23 toma el turno para responder la pregunta
464 ---------------------------------------→ E9 solapa el turno - responde la pregunta
465 -----------------→ Profesor: coda para cerrar
En la línea 448 el profesor hizo una apertura de la conversación con una pregunta, invitando a
participar a E9, E20 y E23. E20 y E23 no responden, mientras que E9 es quien tomó el turno de
la palabra, en las líneas 449 y 450. El nuevo turno lo volvió a tomar el profesor, quien preguntó a
E9, quien respondió en las líneas 452 y 453. El profesor de nuevo volvió a tomar el turno en la
73
línea 454, dirigiéndose a E9, quien respondió en las líneas 455. En la línea 456 el profesor volvió
a preguntar a E9 para darle el turno, quien respondió en las líneas 457, 458, 459 y 460. Como
E20 y E23 no toman partido en los turnos, el profesor les volvió a dirigir una pregunta, en la
línea 461. Quien tomó el turno solapadamente fue E9 en la línea 462, aunque E23 tomó el turno
en 463, con un solapamiento de E9 en la línea 464. Finalmente, el profesor cerró con una coda en
la línea 465.
En esta secuencia se observan algunos rasgos característicos a nivel estructural (Tusón Valls,
2002). Se produjo un cambio de hablante, siendo una conversación de tipo dialogal entre el
profesor, E9, E20 y E23. No habló más de una persona a la vez. Hubo dos solapamientos en el
turno por parte de E9 en las líneas 462 y 464, pero fueron breves. Las transiciones en el turno de
palabra fueron comunes, se produjeron, en general, sin intervalos ni pausas. Fue el profesor
quien asignó los turnos de palabra con sus preguntas, aunque éstos no se especificaron
previamente, como en las preguntas de las líneas 448 y 461, a la espera que alguno tomara el
turno. El discurso en general fue continuo, sin pausas ni silencios.
Usando un esquema similar al anterior, en la siguiente página se muestra la forma en que se
organiza la conversación en términos de pares adyacentes (Tusón Valls, 2002). Se observa que,
de los cinco turnos asignados por el profesor, la primera parte corresponde a aperturas de
interacción del tipo petición o pregunta. Por su parte, en las segundas partes de cada turno, E9
responde de manera preferida, es decir, sus intervenciones aceptaron las demandas hechas en la
primera parte. Por su parte E20 evitó responder, por lo que la segunda parte es no preferida,
mientras que E23 toma el turno y aceptó la petición del profesor en una ocasión.
74
448 -----------→ Profesor: pregunta (primera parte)
E20 -------→ no responde (no preferida)
E23 -------→ no responde (no preferida)
449 – 450 ---------------→ E9 --------- responde (preferida)
451 -----------→ Profesor: petición (primera parte)
452 – 453 -------------------→ E9 ------→ aceptación (preferida)
454 -------------→ Profesor: pregunta (primera parte)
455 ------------------------------→ E9 --------→responde (preferida)
456 -----------------→ Profesor: pregunta (primera parte)
457-458-459-460 ------------------→ E9 responde (preferida)
461 -------------------→ Profesor: pregunta (primera parte)
E20 no responde (no preferida)
E23 no responde (no preferida)
462 --------------------------------→ E9 responde (preferida)
463 ------------------------------------ → E23 aceptación (preferida)
464 ---------------------------------------→ E9 aceptación (preferida)
465 -----------------→ Profesor: evaluación (cierre)
En la descripción de la organización estructural de la conversación (Tusón Valls, 2002), el
modo de gestión de los turnos señala las maneras como los hablantes construyen, en interacción
situada y local, el significado que comparten. En este caso, cuando el profesor pregunta y dirige
el turno de habla, pero la persona a quien se le asignó el turno no lo toma (E20, por ejemplo), o
su turno es solapado por otro estudiante, lo que señala en la afirmación de la línea 462 es la
dificultad que tienen estos tres estudiantes respecto a la división. Es decir, la estructura
organizacional de esta conversación, los solapamientos presentes en el turno de palabra, reflejan
que hay una dificultad presente en el aprendizaje de esta operación.
75
Uno de los elementos a destacar en términos del ritual de la interacción (Herrera Gómez &
Soriano Miras, 2004), consiste en la presentación de sí mismo. En este ejemplo, quien llama la
atención es E9, quien, ante las peticiones del profesor por obtener información, se mostró
conocedor del tema de la división. En el primer turno en la línea 449 y 450, respondió la
pregunta del profesor, aceptando que todo iba bien, mostrándose de comienzo conocedor del
tema. Aceptó un procedimiento para resolver la división usando la resta.
En el segundo turno en las líneas 452 y 453, evitó reconocer una dificultad: dividir de forma
directa sin necesidad de usar las restas en el cociente. Este evitamiento se puede ver reflejado en
la expresión “es que hay unos que las hacen de una vez” (línea 452). Además, viene acompañado
de un movimiento de su mano para tapar a la cámara el procedimiento que estaba realizando. Por
su parte, el rechazo de E20 frente a los turnos de palabra que el profesor le cedió, refleja que
tienen dificultades con la división. Su silencio puede interpretarse como una forma de evitar que
el profesor descubra que no sabe dividir. En el caso de E23, aprovecha que E9 tomó el lugar de
los turnos, para evitar las dificultades que tiene con esta operación, y lo manifiesta en la línea
463.
Esta dificultad, de la que se evita en la conversación por parte de estos estudiantes, y que se
esconde en las líneas 457 y 460 por parte de E9, está relacionada con lo que Maza denomina
errores en cálculos mentales de restas y en las multiplicaciones parciales, así como no completar
las cantidades máximas al ir buscando el cociente (Villota, 2014). Es decir, la referencia a que
los otros estudiantes la hacen rápido, mientras que E9 la hace a su ritmo, esconde las dificultades
que, efectivamente presenta para completar los cálculos y controlar los residuos en la división.
76
Fragmento 2
En este mismo sentido, el investigador seleccionó un fragmento del momento de desarrollo de
la sesión 1, donde volvieron a intervenir E9, E20 y E23. Luego de que lograran armar la división
1453 ÷ 8, el profesor los entrevista como se muestra a continuación:
717 31’18”
718 Profesor: = si| entonces| ¿dificultades para hacer ésta?
719 E9: = nada| pa’ mi nada
720 E23: = a nosotras si:: [se refiere a E20]
721 E9: = ¿a mi sabe qué se me dificulta de esto? | las comas
722 Profesor: pero de resto| ¿no?
723 E23: = a mi se me dificulta es todo
724 Profesor: = ¿cómo?
725 E23: = pues la división profe| porque si uno no sabe primero cómo se saca acá | los
726 primeros números | uno no sabe nada [señala de 1435 las cifras 1 -4]
727 Profesor: = y E20 ¿qué?
728 E23: = ella está igual [risas]
729 E9: = ah yo también se otra| yo también se otra| es que vea que aquí | hay personas un
730 ejemplo | así [toma las tarjetas 62 y 8 y las une formando 628] es que yo| yo| yo me
731 enredo mucho | pero yo entiendo mis maricadas | hay personas que la hacen con tres
732 cifras|¿si me hago entender?| ¿me entiende?| y yo no se[E23 le hace escoger mejor la
733 ficha 962 para mejorar su explicación y lo toma como si fuera un dividendo] y yo no
734 entiendo porque ellos van cómo corriendo las comas acá|¿si me entiende?|Corren aquí
735 [señala primero el 9] ¡tam¡ y van corriendo.
77
736 E23: = y van bajando así los números [señala el espacio debajo del 962 como si fuera un
737 un dividendo]
738 E9: =entonces yo| en un cuaderno o en mi mente yo voy haciendo la tabla por ésta
739 [señala el 962] digamos ésta [962] por dos| por tres y así toda la tabla hasta que me dé el
740 resultado así [toma 962 como divisor para explicar y agrega 9620 como dividendo y
741 fichas de la segunda división del ejercicio]| ¡yo! | Así| para no complicarme tanto| porque
742 con coma si me enredo mucho| es que hay hartas maneras de hacer eso| y ya……
743 Profesor: listo…
A propósito de la línea 717, en el fragmento de conversación entre las líneas 718 y 746,
intervinieron E9, E23, E20 y el Profesor. El esquema de la trama de cómo se construyó la
conversación es el siguiente:
718 ------------------------→ Profesor: apertura con pregunta
E20 -------→ no atiende la pregunta
E23 --------→ no atiende la pregunta
719 ----------------------------------------→ E9 ----------→ responde
720 ----------------------------------------→ E23 ----------→ atiende la pregunta
721 ---------------------------------------→ E9 -----------→ responde, continúa explicando la pregunta
722 ------------------------------→ Profesor: pregunta
E20 -------→ no atiende la pregunta
E9 --------→ no atiende la pregunta
723----------------------------------------------→ E23 -------→ responde
724 ------------------------------→ Profesor: pregunta
725 - 726------------------------------→ E23 ----------→responde
727 ------------------------------------→ Profesor: pregunta
E20 ------------→ no atiende la pregunta
728 -----------------------------------------------------→E23 -----------→responde
729 -735------------------------------------------------→ E9 ----------→ responde
736 -737 ------------------------------------------------→E23 ---------→continua explicación de E9
738 - 742----------------------------------------------------→E9 --------→ termina explicación
743 --------------------------------------→Profesor: coda de cierre.
78
En la línea 718 el profesor hizo una pregunta a E9, E20 y E23 como apertura de la
conversación. En el siguiente turno, E20 y E23 no atienden la pregunta, mientras que E9 si lo
hizo, en la línea 719. E23 tomó el turno de palabra, y responde la pregunta en la línea 720.
Luego, E9 volvió a tomar el turno de palabra para responder la pregunta del profesor, en la línea
721. El profesor volvió a tomar el turno de palabra, y dirigió otra pregunta invitando a E9, E20 y
E23. E20 y E9 no atienden la pregunta en el turno, pero sí lo hace E23 en la línea 723. El
profesor volvió a dirigir el turno, con una pregunta directa a E20, quien no atendió la pregunta,
mientras que E23 lo solapó y respondió, en la línea 723. El profesor volvió a dirigir una pregunta
directa a E23, quien tomó el turno de palabra en la línea 728. Luego E9 volvió a tomar el turno
de palabra para responder la pregunta inicial del profesor, en las líneas 729 a 735. E23 solapó el
turno y continuó la explicación que hacía E9, en la línea 736 y 737. E9 volvió a retomar el turno,
para terminar su explicación en las líneas 738 y 742. Por último, el profesor cerró la
conversación con una coda en la línea 743.
De igual forma que se observó en el fragmento anterior, a nivel estructural aparecen algunos
rasgos característicos de esta conversación. El cambio de hablante fue recurrente, lo que es típico
de una conversación dialogal. No habló más de una persona a la vez. Los solapamientos
presentados fueron comunes pero breves. Hubo transiciones comunes entre turnos de palabras,
sin intervalos ni pausas. La forma en que se distribuyeron los turnos no se especificó
previamente. El discurso fue continuo, no se presentaron silencios. El profesor fue quien, en
general, asignó los turnos de la palabra.
79
De manera similar, para este fragmento se realizó el siguiente esquema para mostrar la forma
en que se organizó la conversación en pares adyacentes:
718 ------------------------→ Profesor: pregunta (primera parte)
E20 ----→ no responde (no preferida)
E23 ----→ no responde (no preferida)
719 ----------------------------------------→ E9 ----------→ responde (preferida)
720 ----------------------------------------→ E23 ----------→ responde (preferida)
721 ---------------------------------------→ E9 -----------→ responde (preferida)
722 ------------------------------→ Profesor: pregunta (primera parte)
E20 -------→ no responde (no preferida)
E9 --------→ no responde (no preferida)
723----------------------------------------------→ E23 ---→ responde (preferida)
724 ------------------------------→ Profesor: pregunta (primera parte)
725 - 726------------------------------→ E23 -----→responde (preferida)
727 -------------------------------→ Profesor: invitación (primera parte)
E20 ---------→ rechazo (no preferida)
728 -----------------------------------------------------→E23 ---→responde (preferida)
729 -735------------------------------------------------→ E9 -----→ responde (preferida)
736 -737 ------------------------------------------------→E23 ---------→ responde (preferida)
738 - 742----------------------------------------------------→E9 --------→ responde (preferida)
743 --------------------------------------→Profesor: coda de cierre.
Se observa que, de los cuatro turnos asignados por el profesor, la primera parte correspondió a
aperturas de interacción del tipo pregunta o invitación. Mientras tanto, en la segunda parte, E20
rechazó todas las invitaciones y no respondió ninguna pregunta. E23, en cambio, tomó su lugar
en el turno, aceptando todas preguntas del profesor, al igual que E9.
Al igual que se analizó en el fragmento anterior, el modo de gestión de los turnos por parte de
los participantes, señala la forma en que los hablantes comparten el significado. En este caso, E9
80
y E23 se auto-asignan el turno de habla en las líneas 728 y 729 a 735. E20 nuevamente rechaza
todas las invitaciones que hace el profesor para que manifieste sus dificultades, pero evita
cualquier interacción. Este silencio, otra vez, vuelve a interpretarse como la forma de manifestar
las dificultades que presenta con la división. Por su parte E9, quien hace explícita su dificultad
entre las líneas 729 y 735, es apoyado por E23 en las líneas 736 y 737; volvió a tomar el turno de
palabra E9 para continuar su explicación, y E23 volvió a tomar el turno, para apoyar la
explicación de E9. Esto significa que, el significado que tienen respecto a la dificultad con la
división es compartida por ambos. Otra vez, la estructura organizacional de la conversación pone
de manifiesto las dificultades de estos estudiantes con la división.
En términos del ritual de interacción y de la imagen mostrada por cada estudiante en este
fragmento, llama la atención del investigador el estudiante E9. En la línea 719 atiende la
pregunta del profesor, pero en su respuesta manifestó que no tenía ninguna dificultad con la
división. Sin embargo, al escuchar la declaración de E23 en la línea 720, decidió mostrar
realmente sus dificultades, las que explica a lo largo de la conversación. Como ya se había
comentado en el momento descriptivo de este fragmento en la sección anterior, se insiste en que
E9 puso en riesgo el principio de cooperación (Tusón Valls, 2002, p. 143). Esto que significa
que, su imagen mostrada ante los otros en la línea 719, era de un estudiante conocedor del tema y
sin dificultades. Ante la sinceridad de E23 en el siguiente turno, E9 decidió quitar su fachada, y
expresar sus dificultades. Sin embargo, a lo largo de las líneas, E9 mantuvo un interés por
comunicar sus dificultades, lo que en general no puso en riesgo la conversación.
81
Por su parte E20, al igual que en el fragmento anterior, no respondió al turno que le propuso
el profesor, lo que vuelve a interpretarse como una forma de evitar que conozcan sus dificultades
al dividir: su imagen se ve menos afectada si no habla, a que si habla y sus dificultades pueden
llevar a represalias por los otros hablantes. E23 mantiene una imagen de atención y sinceridad
frente al manejo de esta operación.
En términos de dificultades de aprendizaje con la división, E23 en las líneas 725 y 726
manifestó una dificultad que se corresponde con el marco teórico descrito (Villota, 2014), y es la
separación de las cifras en el dividendo. En el mismo sentido E9 entre las líneas 729 y 735. Si
bien en el momento descriptivo de la sección anterior, el investigador había reportado la
dificultad con el manejo de la coma en el dividendo por parte de E9, este momento analítico
presenta otro enfoque. Lo que significa la dificultad con el manejo de la coma, es la dificultad de
E9 para separar en el dividendo las cantidades necesarias de acuerdo al tamaño del divisor.
Fragmento 3
Un tercer fragmento seleccionado para el análisis sugiere una de las dificultades insistentes en
el manejo de operaciones vinculadas a la división. En este caso, las dificultades con la resta para
efectuar el cálculo de los cocientes durante una división. En el siguiente fragmento, durante el
desarrollo de la sesión 3, intervinieron E4, E9, E20 y E23, entre las líneas 574 y 593. Los
estudiantes resolvían la división 464,68 ÷ 420. Para calcular el primer residuo, estaban
discutiendo la forma de restar 464 – 420:
574 2’51”
575 E9: =éste por éste [escribe en la hoja una operación]
82
576 3’02”
577 E9: = hágala| haga la cuenta | cuatro por cero cero /
578 E4: = ¿cuál cuatro por cero? / | es una resta bobo /
579 E20: = ¿luego no es una resta?=
580 E9: = yo se | por eso tan bobo /=
581 E4: = hágala /
582 E9: =por eso
583 E4: = hágala /
584 E23: [risas]
585 E20: = ¿por qué resta? No entiendo
586 E9: = es que yo hago resta | ¿si me entiende?
587 E4: = haga la resta
588 E9: = vea | pues no ve que estoy cansado de estar parado | véala véala | se me olvidó [risas] |
589 E4: = hágala hágala
590 E9: = por eso vea | acá queda cero [señala 4 – 0 = 0] acá queda cuatro [señala 6 – 2 = 4] y acá queda
591 cero [señala 4 – 4 = 0 dando como resultado 40]
592 E23: [risas]
593 E9: =siii / | si obvio / | ¿o no? /
El esquema de la trama de cómo se construyó la conversación se muestra en la siguiente
página. Debido a que el profesor decidió no tomar la palabra a lo largo de la sesión 3, se observa
que los turnos no son asignados previamente. E9 inició la conversación a propósito de la resta
que comenzaban a resolver. E9 realiza una afirmación, de la cual se desprende una reacción de
E4, que incluye pregunta y una afirmación. E20 toma luego el turno, en la línea 579, con una
pregunta, y quien tomó el turno fue E20 para pedir una explicación a E9. E9 responde la
pregunta, a lo que vino una serie de órdenes por parte de E4 a E9 para que resolviera la
operación. E9 en las líneas 590 y 591 dio respuesta al procedimiento, que fue seguido de la risa
de E23.
83
575 -576-577----------------------→E9: apertura con orden
578 -----------------------------------------E4: responde con pregunta y afirmación
579 -----------------------------E20: pregunta
E4: no responde
E23: no responde
580 ------------------------------------→ E9: responde
581 ------------------------------------------ → E4: orden
582 -------------------------------------------------------- → E9: respuesta
583 --------------------------------------------------→ E4: orden a E9
584 -------------------------------------------------------------→ E23: risas
585 -------------------------------------------------------------------E20: pregunta
586 -------------------------------------------------------------------- E9: responde
587 -------------------------------------------------------------------------→ E4: orden
588 ---------------------------------------------------------------------------- E9: responde
589 ---------------------------------------------------------------------- E4: orden
590 - 591------------------------------------------------------------------------ E9: responde
592 ----------------------------------------------------------------------------------- E23: risas
593 -----------------------------------------------------------------------------------E9: respuesta
A nivel estructural, se presentan algunos rasgos característicos de esta conversación. Hubo
cambio de hablante y fue recurrente, es decir, una conversación de tipo dialogal. No habló más
de una persona a la vez, hubo solapamientos pero fueron breves. Las transiciones más comunes
entre los turnos de palabra se produjeron sin intervalos ni pausas, siendo una conversación
continua y fluida. Los turnos de palabra no se especificaron previamente.
Al igual que en los fragmentos analizados con anterioridad, en la siguiente página se presenta
un esquema para mostrar la forma en que se organizó la conversación en términos de pares
adyacentes. Incluye la respectiva tipología de primera y segunda parte.
84
575 -576-577----------------------→E9: invitación / pregunta (primera parte)
578 -----------------------------------------E4: responde (preferida)
579 -----------------------------E20: pregunta (primera parte)
E4: no responde (no preferida)
E23: no responde (no preferida)
580 ------------------------------------→ E9: responde (preferida)
581 ------------------------------------------- → E4: petición (primera parte)
582 -------------------------------------------------------- → E9: respuesta (preferida)
583 --------------------------------------------------→ E4: petición (primera parte)
584 -------------------------------------------------------------→ E23: respuesta inesperada (no preferida)
585 -------------------------------------------------------------------E20: pregunta (primera parte)
586 -------------------------------------------------------------------- E9: responde (preferida)
587 -------------------------------------------------------------------------→ E4: petición (primera parte)
588 ---------------------------------------------------------------------------- E9: responde (preferida)
589 ---------------------------------------------------------------------- E4: petición (primera parte)
590 - 591------------------------------------------------------------------------ E9: respuesta inesperada (no preferida)
592 ------------------------------------------------------------------ E23: respuesta inesperada (no preferida)
593 -----------------------------------------------------------------------------------E9: respuesta (preferida)
En términos de la gestión de los turnos, se puede observar que, si bien E9 inició la
conversación, con la iniciativa de resolver la operación, en los cinco turnos restantes pasó a
responder preguntas y aceptar la invitación de sus compañeros para seguir en el turno de palabra.
Por su parte E4, dirigió gran parte de la conversación, pidiendo a E9 que resolviera la operación,
pero sin ofrecer ningún tipo de ayuda. E23 se limitó a reírse, siendo sus intervenciones de la
forma no esperada. E20, por su parte, tomó dos turnos de palabra con dos preguntas, pero sin
aportar respuestas como segunda parte de la interacción.
Este esquema muestra que, si bien E9 es quien toma el turno de palabra para responder las
preguntas, dos de sus respuestas fueron inesperadas, ya que la operación efectuada es incorrecta,
en las líneas 577 y 590. Sin embargo, al analizar la toma de turnos de sus compañeros, se
85
observa que todos tienen dificultades con la operación. E4 se autoasigna el turno al hacer una
petición en la línea 581, y sigue haciendo la misma petición a E9 para que resuelva la operación.
La forma en que lo hace es con una orden, pero sin mostrar una forma de ayudar en la
construcción de significado, sino esperando la respuesta de E9. E20 participó con preguntas en
dos turnos, pero tampoco tomó turno para dirigir el desarrollo de la operación de forma
adecuada. E23, si bien tomó un turno de palabra, en dos ocasiones, respondió de forma no
preferida con risas, ante las peticiones de E4 a E9, lo que se puede interpretar como una forma de
disminuir la tensión en las órdenes dadas de uno al otro. Además, puede interpretarse como
reflejo de las dificultades que tiene al resolver las operaciones aritméticas, ya que no participa de
forma esperada.
En relación con el ritual de interacción, y la presentación de la imagen de cada estudiante, se
pueden apreciar algunos rasgos característicos. E9 es quien tomó la iniciativa de resolver la
operación. A pesar que algunos cálculos no eran correctos, mantuvo su imagen de conocedor del
tema, hasta el final de la conversación. E4 se mantuvo como el cuestionador de la situación,
dando la orden a E9 para que resolviera la operación, pero se observa que evitó mostrar la forma
en que resolvería él mismo la resta, tal vez evitando ser señalado si cometía algún error. E20 se
mostró muy inquieta por saber qué le aportaba esta resta al desarrollo de la división, y su
participación se limitó a tomar el turno de palabra, pero no aportando a resolver la misma. E20,
por su parte, si bien tomó un turno de palabra para preguntar, luego, de forma inesperada, se rió
de las órdenes de E4 a E9, sin mostrar también si sabía o no cómo resolver el procedimiento.
A nivel general, se observa en este fragmento cómo aparece un evitamiento por mostrar las
dificultades al resolver la división y la resta, en el que se emplean las risas y las órdenes, a quien
86
lo intentó, pero con errores. Esta imagen deja clara la relación que existe entre el esquema
estructural de la conversación y las dificultades cognitivas reportadas teóricamente alrededor del
aprendizaje de la división. En este caso, la dificultad relacionada con errores en cálculos de
restas y multiplicaciones parciales durante el proceso de la división (Maza Gómez, 1991). Este
último análisis alrededor de la relación entre el análisis de la conversación y las dificultades con
el aprendizaje de la división, será fundamental para la siguiente sección de resultados.
87
Resultados
En esta sección se presenta de manera global, los hallazgos encontrados en la sección anterior
de sistematización y análisis. Como se presentó en la sección anterior, el análisis se realizó en
dos momentos: uno general, llamada descriptiva, y uno de corte analítico. Para dar una idea de
cómo concibió el investigador los resultados, en la siguiente figura se esquematiza la manera en
que orbitan las narrativas de los jóvenes de grado once de esta institución, alrededor con sus
dificultades con el aprendizaje de la división:
Figura 4 Esquema de las narrativas detectadas
El esquema mostrado en la Figura 4 simula un sistema solar. En el centro, como se ha querido
presentar desde el planteamiento del problema, corresponde a las narrativas de los jóvenes
alrededor de sus dificultades con el aprendizaje de la división. Orbitando de una forma más
lejana, se ubica la categoría Infancia. La razón de este hecho es que se reconocieron muy pocas
narrativas alrededor de esta categoría. Al revisar el análisis descriptivo de la sección anterior, se
detectó una narrativa alrededor del cuerpo. Es decir, hay evidencia de que influye ser niño o niña
88
para el aprendizaje de las matemáticas desde la mirada de los niños, y en las relaciones de poder,
influye el ejercicio de autoridad del docente.
Un poco más cerca, aparecen la categoría Cultura, que, como se presentó en el análisis
descriptivo, está relacionada con narrativas que giran sobre: 1) el uso de la calculadora y las
nuevas tecnologías; 2) la rapidez para hacer los cálculos como indicador para definir la habilidad
para hacer operaciones aritméticas; 3) una desafortunada diferencia entre los ritmos de ser niño y
niña en el aprendizaje de las operaciones aritméticas.
En cuanto a la categoría Desarrollo, se evidenciaron algunas narrativas relacionadas con las
condiciones necesarias para que se pudiera dar una zona de desarrollo próximo, siguiendo la
postura vygotskyana. En este sentido, algunos niños manifestaron su inconformidad en que
algunos de sus profesores o padres los gritan o se ponen de mal genio porque no pueden aprender
al ritmo que esperan los adultos. Además, la forma en que estudiantes del mismo curso, sus
pares, hacen burlas que impiden que hayan podido superar sus dificultades.
Lo anterior, de manera general intenta recoger lo observado en el análisis descriptivo de la
sección anterior. Es decir, para el investigador y la forma en que realizó el análisis, estas
dificultades orbitan alrededor de un análisis minucioso de las narrativas sobre las dificultades
con el aprendizaje de la división. Este análisis descriptivo intentó dar cuenta del objetivo
específico trazado en este trabajo.
89
Siguiendo con la interpretación de la Figura 4, más cerca del centro aparecen las dificultades
propias con el aprendizaje de la división. Del análisis descriptivo, se tomaron tres fragmentos de
clase con una intencionalidad clara. Ejemplifican las dificultades reportadas en la teoría
alrededor de las dificultades típicas sobre el aprendizaje de la división. La distinción fundamental
con las otras categorías expuestas arriba, radica en el análisis mostrado para estos fragmentos.
Los análisis de las conversaciones dan cuenta de tres dificultades centrales para el objetivo
general de este trabajo.
En primer lugar, el análisis de la conversación realizado sobre el Fragmento 1 en la sección
anterior, se relaciona con la dificultad de separar las unidades de valor posicional en el dividendo
para realizar una división. Pero no es sólo la evidencia de dificultad cognitiva. En el análisis
estructural del Fragmento 1, se observó que el modo de gestión de los turnos y los
solapamientos, dan indicios de dificultades. Uno de los estudiantes evitó reconocer la dificultad
con el argumento que los demás lo hacen rápido; las otras estudiantes evitan reconocer la
dificultad y ceden el turno al otro compañero. Además, la risa aparece en momentos en que el
profesor las cuestionó sobre sus dificultades. En la transcripción se observó la imagen de uno de
los estudiantes tapando la hoja de manera intencional para que el profesor no viera el
procedimiento que estaba realizando. Todos estos elementos se complementan con las
dificultades cognitivas para hacer el procedimiento.
Por otra parte, en el Fragmento 2, uno de los estudiantes puso de manifiesto la dificultad de
comprender el uso de una coma para separar las unidades de valor posicional. Si bien en el
análisis descriptivo se hizo reporte como si fuera una nueva dificultad, el análisis de la
90
conversación mostró otros aspectos. Dicho análisis estructural mostró que se trató de una forma
de evitar reconocer sus propias dificultades al resolver divisiones. Una de las estudiantes, en su
intervención y autoasignación de turno, aportó al significado de esta dificultad; la otra estudiante,
en silencio, se adhiere y evidenció la misma dificultad. Una vez más, estos elementos de la
conversación complementan la propia dificultad cognitiva.
En el Fragmento 3, se reporta la aparición de otra de las dificultades que coinciden con los
planteamientos teóricos. Se espera que los niños tengan un control de las operaciones
multiplicación y resta para encontrar resultados parciales en la división. Además, el control sobre
números grandes para realizar una división. En este fragmento, se evidenció que los cuatro
estudiantes que intervinieron en la conversación, presentaron esta dificultad. Pero ésta vino
acompañada de la forma en que se gestionaron los turnos y los solapamientos. Además, las
preguntas que recayeron sobre un estudiante, evidenciaron que los estudiantes presentan
dificultades, pero las evitan con nuevas preguntas, y con peticiones al estudiante que toma la
iniciativa, pero no argumentos matemáticos para resolver la operación en cuestión.
Se puede establecer, para el momento analítico expuesto en la sección anterior, que se
reportaron tres de las dificultades reportadas por Maza (1991). Pero su visualización se
acompañó de un análisis de la conversación que trajo nuevas explicaciones discursivas. El modo
en que los estudiantes gestionan los turnos, se los auto asignan con nuevas preguntas pero sin
ofrecer argumentos que ayuden resolver la tarea propuesta, ofrece una mirada que complementa
la dificultad cognitiva estudiada y acompaña la construcción de significado. Además, el papel de
la imagen y la presentación de sí mismo en las conversaciones alrededor de un tema en
91
particular, mostraron que los estudiantes utilizan recursos para salvar su imagen y evitar
reconocer sus dificultades.
92
Conclusiones
El presente trabajo logró poner de manifiesto una relación íntima entre las dificultades
cognitivas en el aprendizaje de la división, y su vinculación con la estructura conversacional que
se dio en unas interacciones de clase. De dicha estructura conversacional se destacan cuatro
elementos sugerentes para futuros estudios similares. La gestión de turnos por parte de los
estudiantes, da cuenta la forma en que van construyendo significado de acuerdo a sus
conocimientos, o evitar el reconocimiento de sus dificultades. La importancia de este hallazgo,
amplia en el investigador la forma en que se pueden reconocer las dificultades de los estudiantes
en clase de matemáticas, más allá de una prueba escrita numérica o de encontrar una hoja sin
respuestas.
Por otro lado, la comprensión acerca de los solapamientos y la auto asignación de turnos en
una conversación alrededor de un tema específico de la clase. Dichos solapamientos aportan
elementos para comprender recursos que usan los estudiantes para evitar ser confrontados por el
profesor o por sus pares, y la entrega de turnos a otros compañeros puede garantizar reconocer
las dificultades propias. Un análisis de la conversación de las características mostradas en este
trabajo, muestran la complejidad de la interacción social en clases de matemáticas, que no se
pueden reducir a cálculos exactos ni respuestas esperadas.
Además, la posibilidad que este trabajo conllevó a examinar con detenimiento la imagen que
mantienen los estudiantes en las conversaciones alrededor de resolución de tareas matemáticas.
La necesidad de salvar la imagen trae consigo recursos de evasión como nuevas preguntas, risas
93
y silencios, para que los otros no invadan el territorio propio del que tiene dificultades. Estos
aspectos no hubieran sido posibles de visibilizar si el investigador no reconoce un giro
lingüístico, de pasar de objeto central los objetos matemáticos a las narrativas que tienen los
estudiantes acerca de sus dificultades.
Como se presentó en el análisis y la sistematización de la información, la caracterización de
las narrativas de los estudiantes sobre sus dificultades con el aprendizaje de la división gira en
torno a ciertas categorías. La Infancia, la Cultura y el Desarrollo se vinculan a estas narrativas en
un examen descriptivo. Como se presentó en los resultados, algunas narrativas están relacionadas
con el uso de la calculadora, la relación con el docente o adulto que acompañe el proceso de
desarrollo, y la rapidez para hacer cálculos. De manera especial, como se presentó en la sección
anterior, vale la pena destacar la aparición de una de las narrativas: el cuerpo. Para el
investigador que hace las veces de profesor, resulta un aspecto sorprendente. La condición de ser
niño o niña que influye en el aprendizaje de las matemáticas pareciera no ser un factor decisivo
en la población del colegio donde se realizó la intervención. Pero su aparición sugiere el estudio
para futuras investigaciones que se puedan inspirar en este reporte. ¿Se mantienen los prejuicios
de género en el aprendizaje de las matemáticas? una pregunta que el investigador no tuvo tiempo
de profundizar en este trabajo, pero que queda abierta para nuevos estudios.
Además, en el examen analítico mostrado en los tres fragmentos estudiados, aparecen las
mismas dificultades reportadas en los planteamientos teóricos, complementado con los aspectos
analíticos propios del análisis de la conversación. En este punto, el investigador considera que se
cumplió con la expectativa de aportar a la discusión del grupo Lenguaje, Discurso y Saberes de
94
la Especialización, desde un mundo de la infancia que, como se mostró desde la revisión de
antecedentes, no ha sido muy explorado. El mundo de las matemáticas escolares, que
usualmente, desde la perspectiva del investigador y su experiencia profesional, ha estado
centrado en referentes cognitivos que lo permean de un estudio juicioso sobre el uso del lenguaje
y la importancia de la interacción.
Como conclusión adicional, el investigador sugiere la ampliación del análisis de problemas de
forma interdisciplinaria. En este caso, la sola mirada desde los referentes de la educación
matemática con que contó el investigador fueron insuficientes. El aporte de tipo lingüístico que
pudo hacer este trabajo al estudio de las dificultades con el aprendizaje de la división así lo
evidenciaron. Las herramientas de análisis de la conversación sugieren nuevos estudios en
variados ámbitos de las prácticas de aula con las matemáticas. Invita a ampliar la formación
docente integrando aspectos formativos del lenguaje matemático, con la cultura literaria y
herramientas del análisis del lenguaje. El investigador considera que, en el ejercicio de la
práctica como profesor de matemáticas, es necesaria la formación del docente en relación con el
lenguaje, para comprender las interacciones con sus estudiantes.
Por último, en el diseño e implementación de los talleres, la búsqueda de las narrativas a partir
de la lectura resultó un hecho destacable. Fue necesaria su vinculación para que los estudiantes
evocaran recuerdos y se tendiera un puente entre la actividad propuestas y sus vivencias. El
investigador reconoce que las narrativas no emergen con el sólo hecho de la presentación de
problemas rutinarios alrededor de un objeto matemático: se debe integrar tanto con lecturas
sugerentes, como con juegos en los que los niños se logren alejar de ejercicios mecánicos y
95
puedan expresar a través de ellas emociones, sentimientos, alegrías o frustraciones. En este
aspecto cobra importancia el rol del docente. El diseño de sus clases, la forma en que asigna los
turnos en la clase, las interacciones que mantiene día a día con sus estudiantes, influyen de forma
decisiva en el desarrollo de sus estudiantes.
96
Bibliografía
Abrate, R., Pochulu, M., & Vargas, J. (2006). Errores y dificultades en matemáticas.
Universidad Nacional de Villa María.
Arce Sánchez, M., Conejo, L., & Muñoz Escolano, J. M. (2019). Aprendizaje y enseñanza de las
matemáticas. Síntesis.
Arteaga Martínez, B., & Macías Sánchez, J. (2016). Didáctica de las matemáticas en Educación
Infantil: Aprender para enseñar. UNIR Editorial.
Bonilla-Castro, E., & Rodríguez Sehk, P. (1997). Más allá del dilema de los métodos: La
investigación en ciencias sociales (3.a ed.). Edición uniandes - Grupo Editorial Norma.
Brami, É. (2015). ¡Me duelen las matemáticas! Panamericana.
Calsamiglia, H., Tusón, A., & Dijk, T. A. van. (2012). Las cosas del decir: Manual de análisis
del discurso. Ariel.
Castañeda, A. (2009). Aspectos que fundamentan el análisis del discurso matemático escolar.
Acta Latinoamericana de Matemática Educativa, 1379-1387.
Castro, A., Mardones, E., Ortiz, A., & Quiroga, F. (2013). Interacciones Alumnos-Profesor en
Contextos de vulnerabilidad respecto de la ocurrencia de episodios de violencia simbólica
en clases de matemáticas. Formación Universitaria, 6(1), 29-40.
Chamorro, M. del C., Belmonte, J. M., Llinares, S., Ruiz, M. L., & Vecino, F. (2003). Didáctica
de las Matemáticas para primaria. Pearson Prentice Hall.
Collin, K. (1982). La matemática escolar y los estadios de desarrollo. Infancia y Aprendizaje:
Journal for the Study of Education and Development, 19-20, 39-74.
97
Cordero, F., Gómez, K., Silva-Crocci, H., & Soto, D. (2015). El discurso matemático escolar: La
adherencia, la exclusión y la opacidad (Primera). Gedisa editorial.
García, G., Valero, P., & Salazar, C. (2014). Procesos de inclusión/exclusión, subjetividades en
educación matemática elemental. Universidad Pedagógica Nacional: Fondo Editorial.
Gavarrete Villaverde, M. E. (2013). La Etnomatemática como campo de investigación y acción
didáctica: Su evolución y recursos para la formación de profesores de equidad. Revista
Latinoamericana de Etnomatemática, 6(1), 127-149.
Genette, G. (1970). Fronteras del relato. En Análisis estructural del relato (Roland Barthes(ed)).
Tiempo Contemporáneo.
Gómez, K., Silva, H., Cordero, F., & Soto, D. (2014). Exclusión, opacidad y adherencia. Tres
fenómenos del discurso matemático escolar. En Acta Latinoamericana de Matemática
Educativa (Lestón, Patricia (Eds)). Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.
Gómez-López, L. F. (1997). La enseñanza de las matemáticas desde la perspectiva sociocultural
del desarrollo congnoscitivo. Iteso: Cuadernos de divulgación académica.
https://core.ac.uk/download/pdf/47243573.pdf
Herrera Gómez, M., & Soriano Miras, R. M. (2004). La teoría de la acción social en Erving
Gofman. Papers: revista de sociología, 73, 59-79.
Inostroza, F. (2016). Análisis crítico del discurso de profesores de matemáticas y sus estudiantes:
Subjetividades y saberes en aulas heterogéneas. Estudios Pedagógicos, XLII(3), 223-241.
Mayén, S., Díaz, C., & Batanero, C. (2009). Conflictos semióticos de estudiantes con el concepto
de mediana. Statistics Education Research Journal, 8(2), 74-93.
Maza Gómez, C. (1991). Enseñanza de la multiplicación y la división. Síntesis.
98
MEN. (2006). Estándares básicos de competencias en matemáticas. Ministerio de Educación
Nacional.
Navarro, J. I. (2015). Aspectos críticos de la concepción de Piaget sobre los números. Pensando
Psicología, 10(17). https://doi.org/10.16925/pe.v10i17.788
Perdomo, I. (2009). Matemáticas y género. Una aproximación histórica. Organización de
Estados Iberoamericanos, 1-30.
Perelman, Y. (1938). Aritmética recreativa.
http://www.librosmaravillosos.com/aritmeticarecreativa/pdf/Aritmetica%20recreativa%2
0-%20Yakov%20Perelman.pdf
Piaget, J. (1964). Seis estudios de psicología. Labor S.A.
Quiceno, H. (2016). Experiencia, infancia y cultura. Infancias, Imágenes, 15(2), i-ix.
Rodríguez, J. (2014). Para el estudio y disfrute de las narraciones. Módulo de narratología
(Primera). Centro Universidad Abierta. Universidad Javeriana.
Sierra, S. (2019). Emociones al interior de la clase de matemáticas. Tesis para optar al título de
Magíster en Educación. Universidad Externado de Colombia.
Soto, D., & Cantoral, R. (2010). ¿Fracaso o exclusión en el campo de la matemática? En Acta
Latinoamericana de Matemática Educativa (pp. 839-848). Comité Latinoamericano de
Matemática Educativa.
Soto, D., & Cantoral, R. (2014). Discurso Matemático Escolar y exclusión: Una visión socio
epistemológica. Boletim de Educacao Matemática, 48(28), 1525-1544.
Tusón Valls, A. (2002). El análisis de la conversación: Entre el sentido y la estructura. Estudios
de Sociolingüística, 3(1), 133-153.
99
Valero, P., Andrade-Molina, M., & Montecino, A. (2015). Lo político en la educación
matemática: De la educación matemática crítica a la política cultural de la educación
matemática. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 18(3),
287-300.
Vasilachis de Gialdino, I. (Ed.). (2006). Estrategias de investigación cualitativa (1. ed). Gedisa
Ed.
Velasco, H., & Díaz de Rada, Á. (1997). La lógica de la investigación etnográfica (Sexta).
Trotta.
Villota, J. L. (2014). División, errores y soluciones metodológicas [Trabajo de grado para optar
al título de Licenciado en matemáticas]. Universidad de Nariño.
Vygotsky, L. (2009). El desarrollo de los procesos psicológicos superiores (Tercera). Crítica.
https://saberespsi.files.wordpress.com/2016/09/vygostki-el-desarrollo-de-los-procesos-
psicolc3b3gicos-superiores.pdf
Zubiría, S. (2013). La dimensión cultural como potencia política. En Universidad, cultura y
Emancipación en América Latina (Izquierda Viva, pp. 79-108).
100
Anexo 1: Encuesta prediagnóstica
Nombre: __________________________________________________ Edad: _______
Esta encuesta obedece a una investigación que estoy realizando de carácter académico. A
continuación, se presentan una serie de preguntas que te agradezco contestes de la forma más
sincera posible:
¿Recuerdas los temas de matemáticas que más se te han dificultado durante tu vida escolar?
Te invito a que escribas en la siguiente tabla aquellos temas en cada grado:
Grado Temas difíciles
Primaria
Sexto
Séptimo
Octavo
Noveno
Décimo
¿Cuáles crees que han sido las razones por lo que esos temas fueron difíciles? Escribe todas
las razones que consideres:
____________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
___________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
Muchas gracias por tu información.
101
Anexo 2: Talleres
TALLER 1
Objetivo: Motivar narrativas en los estudiantes del
curso 1103 alrededor de las dificultades en la
reconstrucción de una división.
Materiales: Guías de trabajo grupal. Tarjetas
numeradas.
Actividad: Grupal Tiempo: 1 hora
Técnica de recolección de
información:
Taller, grabación de audio y video.
Esquema de grabación:
En un primer momento A grabando el
grupo en general. En un segundo momento
B, la cámara grabará las producciones de
cada grupo.
Instrucciones: Se dividirá la clase en grupos de cuatro integrantes. En un primer momento, se
entregará a los estudiantes el capítulo “El miedo y las malas notas” del libro “Me duelen las
matemáticas” de Elisabeth Brami para que lo lean de forma grupal. Seguido, se hará una plenaria
para escuchar los comentarios que tienen y sienten los estudiantes alrededor de la lectura.
Las preguntas orientadoras para este momento serán:
¿Crees que lo que ha vivido la niña del cuento se relaciona con tu relación con las
matemáticas?
¿Alguna vez te has sentido como la niña del cuento? ¿En qué situaciones?
¿Recuerdas algún momento con algún profesor que te haya hecho sentir como la niña del
cuento?
102
Luego, a cada grupo se le entregarán unas tarjetas marcadas con números, que corresponden a
los diferentes elementos de una división. Serán en total tres divisiones. Los estudiantes deben
organizar las tarjetas para formar cada una.
Por ejemplo:
Al momento que cada grupo esté realizando la actividad, el profesor grabará las intervenciones
de algunos de los estudiantes con respecto a la actividad.
Se realizará una plenaria donde cada uno de los grupos exprese las dificultades que tuvieron
para armar cada una de las divisiones.
Para este momento, las preguntas orientadoras serán:
¿Qué dificultades tienen para resolver la división?
¿Recuerdan algún momento que haya marcado su aprendizaje de la división?
¿Por qué será tan difícil dividir?
103
El miedo y las malas notas
No sé por qué siempre les tuve miedo a las matemáticas. Desde que veía un número, una
operación o el enunciado de un problema – ya fuera en mi cuaderno o en el tablero de la clase -,
una neblina de ideas llenaba mi cabeza y se ponía frente a mis ojos. No entendía nada. O, quizá,
tenía tanto miedo que ni siquiera intentaba entender.
Eso me hacía sentir como una tonta. Mientras que los demás levantaban la mano como si
quisieran alcanzar el techo, retorciéndose y gritando “¡Yo profesora!” para ser interrogados, yo
sólo deseaba una cosa: desaparecer. Soñaba con que me llevaran al hospital o me tragara la tierra.
Me imaginaba desapareciendo en un largo túnel que me sacaba del colegio, como en Alicia en el
país de las maravillas. No les tengo miedo a los túneles. Conozco el que atravesamos cuando
vamos donde la abuela, incluso los que hay en el metro. Cuando nos quedamos atascadas entre dos
estaciones, mi mamá comienza a sentirse enferma: se ahoga y pide que abran las ventanas. Siempre
hay un viajero que protesta, entonces mamá comienza a discutir con él. Mamá es alegona y parece
que heredé eso. A mi papá no le gusta eso, pero a mamá sí. No veo el día en que se pongan de
acuerdo.
Regresemos a mi miedo a las matemáticas. Creía que desaparecería en segundo grado, que al
crecer lo comprendería todo. Pensé que tendría muy buenas notas como Santiago, mi primo, quien
tenía mi edad y era el genio de la familia.
¡Sólo era un sueño! La pesadilla iba de mal en peor: preescolar, primero, segundo…
Todo el mundo decía que era una boba, una fracasada, una buena para nada, una incurable
(parece que eso quería decir “sin remedio”). Eso era lo que decía mi papá cuando se enojaba porque
no comprendía lo suficientemente rápido. Siempre se angustiaba los domingos en la noche. “Ven
104
dos minutos, Tamara. Quiero revisar tu cuaderno”. De hecho, los dos minutos se convertían en un
terrible cuarto de hora que terminaba con gritos (de él) y lágrimas (mías).
Todos los sábados pensaba en su “ven, Tamara”, y eso me arruinaba el fin de semana. Además,
siempre había un cero, una mala nota, que no le comentaba y él descubría. No se cómo hacen mis
padres para adivinar cuando estamos mintiendo mi hermano y yo. Alejandro tienen once años y
debería tener ya una estrategia. Pues bien, no es así. Siempre se sonroja cuando mi mamá le
pregunta mirándolo a los ojos: “¿Me estás diciendo la verdad?”. Él se quiebra y confiesa todo.
Alejo es como el personaje de ese libro que la abuela le regaló cuando pasó a sexto grado,
Marcellin Caillou, el niño que siempre se sonroja. A mí no me habría gustado ese regalo. Pero él
haría lo que fuera por seguir siendo el consentido de la abuela…
Tomado de “Me duelen las matemáticas” de Élisabeth Brami (2015)
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TALLER 2
Objetivo: Motivar narrativas en los
estudiantes del curso 1103 alrededor
de la resolución de algunos problemas
de estructura multiplicativa. Materiales: Guías de trabajo individual, pliego
de cartulina, marcadores. Actividad: Grupal e individual Tiempo: 1 hora
Técnica de recolección de
información:
Taller, grabación de audio y video.
Esquema de grabación:
En un primer momento A grabando el
grupo en general. En un segundo momento
B, la cámara grabará las producciones de
cada grupo.
Instrucciones: En un primer momento, se entregará a los estudiantes el capítulo
“¿Examen? ¡Qué dolor!” del libro “Me duelen las matemáticas” de Elisabeth
Brami.
Las preguntas orientadoras para este momento serán:
¿Qué experiencias han tenido con sus exámenes en matemáticas?
¿Qué relación tiene las anécdotas de la niña del cuento con tu vida escolar en
matemáticas?
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A continuación, a cada estudiante se le entregará una guía con problemas de
estructura multiplicativa, que en primer momento deberán resolver de forma
individual. Posteriormente, de manera individual los estudiantes deberán resolver
cada uno de los cuatro problemas planteados en un lapso de 15 minutos. Al cabo de
este tiempo, se organizarán en grupos de cuatro estudiantes.
Luego, a cada grupo se entregará un pliego de cartulina donde deberán pegar sus
hojas de respuestas a los problemas, y deberán acordar una respuesta en común a los
problemas.
Luego, se realizará una plenaria para escuchar los comentarios de los estudiantes
acerca de la lectura y conocer los avances y las dificultades que tuvieron con el
ejercicio.
Nombre: ___________________________________
Resuelve cada problema usando la estrategia que consideres más adecuada.
Nota: Escribe todas las operaciones y cálculos que usaste para resolver cada
problema
1. En una casa de cambio de moneda, por comprar 12 dólares me cobraron
$41466. ¿Cuánto cuesta un dólar?
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2. ¿Cuántos caramelos vienen en una bolsa, si en 8 bolsas vienen 104?
3. Un salón rectangular tiene de área 96 m2. Si uno de los lados mide 12
m, ¿cuánto mide el otro lado?
4. En un juego por puntos, Laura tiene 105 puntos y Adriana cinco veces
menos puntos que Laura. ¿Cuántos puntos tiene Adriana?
Las preguntas orientadoras para este momento serán:
¿Qué dificultades tuvieron para realizar cada problema?
¿Funciona la división para resolver los problemas?
¿Recuerdan alguna dificultad que hayan tenido para resolver estos problemas
en su vida escolar?
¿Examen? ¡Qué dolor!
Pierdo tiempo buscando soluciones mágicas. Lo mejor sería hacer mis ejercicios
y repasar las tablas de multiplicación. Con respecto a los problemas… ¡en verdad
tengo problemas! Siempre me dan más espectadores que sillas en el cine, nunca es
suficiente el dinero en la caja del vendedor y hay demasiada agua en la piscina.
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Además, manejo el arte de sumar cosas que no tienen nada que ver. Eso hace que la
señorita Laverde grite bastante: “¡NO SE MEZCLAN PERAS CON NARANJAS”!
Creí haber comprendido. En el último examen, debía calcular la suma de las
compras en un carrito de supermercado. Escribí: “No hay necesidad de sumar porque
los objetos no son los mismos”. Mi hoja permaneció en blanco. La señorita Laverde
me trató de insolente y perezosa delante de toda la clase, tuve un cero y una nota en
el cuaderno. ¡No es justo! ¡No hay necesidad de hacer todo un drama!
Los amigos de mis papás o los familiares solo saben preguntar: “¿Cómo vas en el
colegio?”. Es lo único que les importa a los adultos cuando ven a un niño: saber si
tiene buenas notas, jamás si está bien. Me gustaría gritarles: “¡ME DUELEN LAS
MATEMÁTICAS!”, pero pensarían que estoy loca. Así que me quedo callada.
Necesito lograrlo, debo encontrar una forma de “desfracasar” mi vida. Lo sé, esa
palabra no existe, acabo de inventarla, pues soy una “literata” y tengo el derecho.
Además, se asemeja a decepcionar, y estoy cansada de decepcionar y ser la tonta de
la familia.
A veces, por las mañanas, me gustaría enfermarme de verdad: vomitar, tener
cuarenta y tres grados de fiebre, sarpullido en el cuerpo y las orejas, sentir
palpitaciones. Pero mis deseos jamás se cumplen.
Tomado de “Me duelen las matemáticas” de Élisabeth Brami (2015)
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TALLER 3
Objetivo: Motivar narrativas en los estudiantes del
curso 1103 alrededor de sus dificultades
con la división al resolver problemas
clásicos del pensum de bachillerato.
Materiales: fotocopias que contengan los problemas
sugeridos con sus soluciones, tijeras,
pegante, octavos de cartulina.
Actividad: Grupal
Tiempo: 1 hora
Técnica de recolección de
información:
Taller, grabación de audio y video. De
forma focalizada en un grupo de trabajo.
Esquema de grabación:
Instrucciones: En un primer momento, se entregará a los estudiantes el capítulo “Alejo y la
guerra de los sexos” del libro “Me duelen las matemáticas” de Elisabeth Brami. Se realizará una
plenaria acerca de lo que sienten y les genera la lectura.
Las preguntas orientadoras de este momento serán:
¿Creen ustedes existe un marcado sexismo sobre el rendimiento en clases de matemáticas?
¿Han visto o han sentido alguna vez discriminación por su rendimiento en matemáticas?
¿En qué situaciones?
A continuación, se entregarán a los estudiantes dos diapositivas en físico que contienen dos
procedimientos que se espera clásicamente hayan visto en su vida escolar. El primer problema
sobre la resolución de triángulos, y la segundo sobre el cálculo de la pendiente. En la diapositiva
aparecerán toda la información que resuelve la situación incluidos los resultados. A manera de
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concurso, los estudiantes armarán cada uno de los procedimientos y los pegarán en el octavo de
cartulina. Se socializarán al final de la sesión, y se les dará un premio a los ganadores.
Las diapositivas contendrán la siguiente información:
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Las preguntas orientadoras para este momento serán:
¿Cómo hiciste para resolver esta tarea propuesta si implica el uso de la división?
¿De qué forma conseguiste superar las dificultades con la división que estas tareas exigen?
¿Qué opinas de la expresión: “Debes aprender las cuatro operaciones básicas porque son
la base de todas las matemáticas”? ¿Qué ocurrió entonces si no llegaste a aprenderlas bien?
Alejo y la guerra de los sexos
Sin embargo, toda la vida no debí ser tan mala en Matemáticas. Cuando estaba en la guardería,
tenía un ábaco multicolor con grandes bolas de madera. Me encantaba pasar horas organizándolas.
También me gustaba presionar todos los botones del ascensor, desde el cero hasta el nueve
(vivíamos en el último piso). Mamá, furiosa, alegaba cada vez que se detenía en cada piso. Me
hacía prometerle que no volvería a hacerlo.
Incluso un día escuché presumir ante la vecina de que yo era bastante avanzada para mi edad,
pues sabía contar hasta nueve, mientras que otros niños apenas sabían hacerlo hasta tres.
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Por lo tanto, cuando era pequeña, no estaba enojada con los números: me encantaba contar,
calcular, recontar y recalcular mis peluches, mis bombones, mi colección de libros, las arvejas en
el tenedor y los rayos de sol que entraban por la persiana cuando no podía hacer la siesta.
Ahora cuento, sí, pero el tiempo para salir corriendo. Mis papás se vuelven locos con mis notas
de Matemáticas. Y si me va bien en las otras materias, seguramente dirán que las Matemáticas son
lo más importante. Sobre todo para papá. Mi mamá intenta calmarlo, y eso lo enfurece más:
“¡Tamara también es tu hija!”, le dice a la cara, como si él no tuviera nada que ver con mi
nacimiento (menos mal me parezco a él, si no tendría mis dudas). Mamá, furiosa, le responde que
soy una “literata” como ella, y que eso está bien, que todo el mundo no puede ser una bestia y
estudiar Matemáticas en el politécnico, cómo él y su familia. Y agrega, al hablar de Alejandro (el
consentido de mi papá): “¿Por qué piensas que las mujeres somos de nacimiento malas para las
Matemáticas, o que los hombres llevan una calculadora pegada al cerebro? No presiones tanto a
Alejo. Tiene derecho a no ser tan bueno en Ciencias y Tamara puede llegar a descubrir que es una
excelente matemática. ¡Además, no todo son ciencias en la vida! Alejo no está obligado a
convertirse en un matemático iletrado. ¡Leer libros es indispensable para la salud de todo el
mundo!”
Al comienzo, no entendía sus peleas. Creía que el politécnico era un hospital, pues lo confundía
con el “policlínico”, donde me llevaron cuando un bruto del colegio me machucó un dedo con una
puerta. Pero es una universidad a la que vas cuando terminas el bachillerato. Y según lo que
entendí, Alejo debe ir, ¡si no será un infierno para él!
Tomado de “Me duelen las matemáticas” de Élisabeth Brami (2015)
