1EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

1. Determinar la deformación total del sistema de la figura.DATOS: E=2.1x106 kg/cm2

P=2000 kg

SOLUCION

i. Por semejanza de triángulos obtendremos el área:

Del triángulo tenemos que:

y15

= x45→ y= x∗15

45→ y=¿

Despejamos el área:

Ax=π4

[ (2 y+30 )2− (2 y+30−0.35∗2 )2 ]

z=(2 y+30 )→Ax=π4

[ ( z )2−( z−0.35∗2 )2 ]

2EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

z=(2 y+30 )→Ax=π4

[ z2−z2+1.4 z−0.49 ]

z=(2 y+30 )→Ax=π4

[1.4 z−0.49 ]

Ax=π4

[1.4 (2 y+30 )−0.49 ]

Ax=π4 [1.4( 2 x3 +30)−0.49 ]Ax=π

4 [ 2 .8 x3 +41.51]

ii. Secciones:

Sección 1 – 1:

∑ F X=0→σ1∗A1−P=0→σ1=PA1

(Compresión )

x=0→σ1=PAx→σ 1=

Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]

→σ1=4 P

π [ 2.8 x3 +41.51]→σ1=

4 Pπ (41.51)

x=45→σ 1=PAx→σ1=

Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]

→σ1=4 P

π [ 2.8x3 +41.51]→σ1=

4 Pπ (83.51)

3EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

Sección 2 – 2:

∑ F X=0→σ2∗A2−P=0→σ2=PA2

(Compresión)

x=45→σ 1=PAx→σ1=

Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]

→σ1=4 P

π [ 2.8x3 +41.51]→σ1=

4 Pπ (83.51)

x=90→σ1=PAx→σ 1=

Pπ4 [ 2.8 x3 +41.51]

→σ1=4 P

π [ 2.8 x3 +41.51]→σ 1=

4 Pπ (83.51)

iii. La deformación total:

δ=∫ σ X∗dXE

→δ= P∗LE∗A

→δ=σ∗LE

δT=δ1+δ 2……. (1)

Reemplazando las ecuaciones de las secciones en (1):

δ T=σ 1∗LE

+σ 2∗LE

δT∗E=∫0

45P∗dXA1

+∫45

90P∗dXA2

δT∗E=∫0

45P∗dX

π4 [ 2.8 x3 +41.51]

+∫45

90P∗dX

π4 [ 2.8 x3 +41.51]

δT∗E=0.954∗P+0.556∗P

δT=(0.954+0.556)P

E

δT=(0.954+0.556)(2000)

2.1∗106

δT=1.438∗10−3

2. La barra maciza mostrada consta de un tramo tronco cónico y otro cilíndrico. Determinar la deformación total del sistema siendo el material el mismo para ambos tramos.

4EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

SOLUCION

i. Secciones:

Sección 1 – 1:

∑ F X=0→σ1∗A1+2 P=0→σ1=−2 PA1

(Tracción)

Sección 2 – 2:

∑ F X=0→σ2∗A2+2 P−P=0→σ2=−PA2

(Tracción )

D2=d+X∗(D−d )

L

Sección 3 – 3:

∑ F X=0→σ3∗A3+2P−P+3P=0→σ3=−4 PA3

(Tracción)

5EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

D3=d+X∗(D−d )

L

ii. La deformación total:

δ=∫ σ X∗dXE

→δ= P∗LE∗A

→δ=σ∗LE

δT=δ1+δ 2+δ 3……. (1)

Reemplazando las ecuaciones de las secciones en (1):

δT=σ 1∗LE

+σ 2∗LE

+σ 3∗LE

δT∗E=σ1∗L+σ 2∗L+σ3∗L

δT∗E=2 Pπ4∗d2

∗L+∫0

LP∗dX

π4∗(d+ X∗(D−d )

L )2+∫

0

L4 P∗dX

π4∗(d+ X∗(D−d)

L )2

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L+∫0

L4∗P∗dX

π∗(d+ X∗(D−d)L )

2+∫0

LP∗dX

π∗(d+ X∗(D−d )L )

2

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L+∫0

L20∗P∗dX

π∗(d+ X∗(D−d)L )

2

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L+ 20∗Pπ

∫0

LdX

(d+ X∗(D−d )L )

2

Para integrar cambiamos datos:

u=d+X∗(D−d )

L→dudX

=d+X∗(D−d )

L

du=[d+ X∗(D−d )L ]dX

du=(D−dL )dX

( LD−d )du=dX

Reemplazando:

6EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L+ 20∗Pπ

∫0

LL∗du

(D−d )∗(u )2

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L+ 20∗P∗Lπ∗(D−d )∫d

Ddu(u )2

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L+ 20∗P∗Lπ∗(D−d ) ( 1D− 1

d )δT∗E=

8∗Pπ∗d2

∗L+ 20∗P∗Lπ∗(D−d ) ( d−DD∗d )

δT∗E=8∗Pπ∗d2

∗L− 20∗P∗Lπ∗(D−d ) ( D−d

D∗d )δT∗E=

8∗Pπ∗d2

∗L−20∗P∗Lπ∗D∗d

δT=4∗P∗Lπ∗d∗E ( 2d− 5

D )

3. Determinar la expresión para calcular la deformación total de la barra que tiene una perforación que produce una pared de espesor constante "t" , la barra se encuentra sometida a la acción de las cargas respectivas.

SOLUCION

i. Por semejanza de triángulos obtendremos el área:

7EJERCICIOS PROPUESTOS

RESISTENCIA DE MATERIALES I

Del triángulo tenemos que:

D−2 zL

=2 yx→ y=

(D−2 z )x2L