Índice general

Introducción 1Notación 3

Capítulo 1. Espacios Vectoriales 51.1 Espacios vectoriales 51.2 Span y bases lineales 121.3 Operadores y funcionales lineales 171.4 Aplicaciones multilineales y producto tensorial 29

Capítulo 2. Espacios métricos 352.1 Espacios metricos y su topología 352.2 Aplicaciones continuas 452.3 Completitud 482.4 Los espacios (`p, dp), 1 ≤ p ≤ +∞ 56

Capítulo 3. Espacios normados 673.1 Normas vectoriales 673.2 Los espacios (Lp, dp), 1 ≤ p < +∞ 713.3 Bases de Schauder 783.4 Espacios normados �nitodimensionales 80

Capítulo 4. Espacios de Hilbert 834.1 Espacios de Hilbert 834.2 Ortogonalidad 884.3 Mejores aproximaciones y proyecciones ortogonales 904.4 Bases ortogonales y coe�cientes de Fourier 944.5 Series de Fourier y polinomios ortogonales 101

Capítulo 5. Operadores en espacios normados 1035.1 Operadores continuos 1035.2 Espacios de operadores continuos 1125.3 Operadores en espacios de Hilbert 116

Capítulo 6. Introducción a la teoría espectral 1256.1 Resolvente y espectro 1266.2 Autovectores y sucesiones de Weyl 1336.3 Principales resultados de teoría espectral 139

6.4 T. espectral de operadores autoadjuntos y unitarios 1416.5 El operador posición en L2[a, b] 150

Apéndice A. Notación de Dirac 155A.1 Dos productos escalares 155A.2 Dualidad y notación de Dirac 157A.3 Cálculos matriciales 159A.4 Notación ∗ de la conjugación compleja 159

Apéndice B. Técnicas de demostración 161B.1 Demostraciones ε - δ 161B.2 El Principio de Inducción 163

Apéndice C. Contenidos de ampliación 165C.1 Espacios cociente 165C.2 Cardinalidad 168C.3 Medida e integral de Lebesgue 170

Apéndice D. Ejercicios resueltos 181

Bibliografía 215

Índice alfabético 217

2 Espacios métricos

Día 5

Adicional a la estructura de espacio vectorial, los espacios de Hilbert estándotados de un producto escalar. Esta estructura está muy relacionada con otrasdos: la de norma y la de distancia. Las tres se introdujeron en el curso de Álgebrapara los espacios Rn.

En este capítulo nos ocuparemos de la última de ellas. Ésta es independientede la estructura de espacio vectorial, por lo que la veremos desde el punto de vistamás general de espacios métricos. La distancia es la que nos permitirá hablar deconjuntos abiertos y cerrados, de convergencia de sucesiones, de continuidad defunciones, y de completitud de espacios.

La mayor parte de los contenidos son sólo una generalización de los ya vistosen las asignaturas Análisis Matemático I y II y Métodos Matemáticos I. El únicoconcepto realmente novedoso de este capítulo es el de completitud.

2.1 Espacios metricos y su topología

2.1.1 Distancia y espacios métricos

Una distancia en un conjunto cualquiera es una asignación a cada par de puntosde un valor real, con unos requerimientos mínimos de sentido común para cualquiercosa que pueda llamarse distancia: la distancia de un punto a otro será igual quela del segundo punto al primero, será siempre positiva salvo que hablemos de ladistancia de un punto a sí mismo (en cuyo caso será 0) y la distancia de ir deun punto a otro será siempre menor que si pasamos por un tercero de camino(propiedad llamada desigualdad triangular). Formalmente, tenemos la siguientede�nición.

35

2.1 ESPACIOS METRICOS Y SU TOPOLOGÍA

De�nición 2.1.1 (Distancia, espacio métrico) Dado un conjunto no vacío X,diremos que d ∶X ×X → R es una distancia1 o métrica en X si

EM a) es simétrica: d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈X,EM b) es positiva: d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈X,EM c) es no degenerada: d(x, y) = 0 ⇐⇒ x = y , yEM d) veri�ca la desigualdad triangular: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈X.

Dado un conjunto no vacío X, diremos que (X,d) es un espacio2 métrico sid es una distancia en X.

Ejemplo 2.1.2 (AMI, MMI) El valor absoluto en R y el módulo enC son distancias.

Ejemplo 2.1.3 (ALG) En Rn y en Cn, la métrica usual es unadistancia:

du(v,w) = d2(v,w) = (n

∑k=1

(vk −wk)2)

1/2

.

Figura 1. Distancia du en el plano real R2, visto como conjunto depuntos (d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)) y como espacio vectorial (d(u,w) ≤

d(u, v) + d(v,w)).

1En ocasiones, se permite que las distancias estén de�nidas en R+∪{+∞}. Haría falta,por ejemplo, si quiséramos extender las distancias del ejercicio 2.1.8 al espacio C(R) defunciones continuas en R.

2Recordemos que aunque tengan nombre de espacio no tienen por qué ser espaciosvectoriales.

36

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS

Ejemplo 2.1.4 En S1r = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 = r2}, la circunferencia

de centro (0,0) y radio r en R2, la distancia intrínseca3 de la circunferen-cia, determinada por la longitud del menor arco de circunferencia4 entrelos dos puntos, di(x, y) = r ang(x, y), con al ángulo medido en radianesy siempre en [0, π], es una distancia.

En S1r, la restricción de la métrica usual de R2, du∣S1r también es una

métrica.

Figura 2. Distancias intrínseca y usual de R2 en una circunferencia.

Ejemplo 2.1.5 Una matriz A ∈Mn×n(R) se dice de�nida positivasi A = At y para todo x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn − {0} el producto

( x1 x2 ⋯ xn )A

⎛⎜⎜⎜⎝

x1

x2

⋮

xn

⎞⎟⎟⎟⎠

es siempre un número estrictamente positivo.Entonces, si A es una matriz de�nida positiva, la función

dA(x, y) =

⎛⎜⎜⎜⎝

( x1 − y1 x2 − y2 ⋯ xn − yn )A

⎛⎜⎜⎜⎝

x1 − y1

x2 − y2

⋮

xn − yn

⎞⎟⎟⎟⎠

⎞⎟⎟⎟⎠

1/2

es una distancia en Rn. Si A es la matriz identidad, dA es la distanciaeuclídea en Rn.

3Las métricas intrínsecas de curvas, super�cies y variedades en general se verán enmás profundidad en la asignatura Métodos Matemáticos IV.

4Nótese que para puntos antipodales no existe un menor arco de circunferencia, perocomo los dos arcos de circunferencia entre los puntos miden lo mismo no hay ningúnproblema de de�nición.

37

2.1 ESPACIOS METRICOS Y SU TOPOLOGÍA

Este tipo de distancias son las que darán estructura de espacio deHilbert a Rn. Además, se verán más a fondo en la asignatura MétodosMatemáticos IV, al estudiar los tensores métricos de super�cies.

Ejercicio 2.1.6 Demostrar que, en Kn,

d1 ∶ Kn ×Kn → R(v,w) ↦ ∑

nk=1 ∣vk −wk ∣

es una distancia. Calcular d1((2i,2i,1−3i), (0,4i,1)). Calcular d1((2,3), (3,1))e ilustrar grá�camente que d1 en R2 es la distancia que tendríamos querecorrer de un punto a otro si únicamente se nos permite movernos porsegmentos rectos paralelos a los ejes coordenados.

Ejercicio 2.1.7 Demostrar que, en Kn,

d∞ ∶ Kn ×Kn → R(v,w) ↦ max{∣vk −wk ∣, k = 1, . . . , n}

es una distancia. Calcular d∞((2i,2i,1 − 3i), (0,4i,1)). Demostrar qued∞ ≤ d1.

Ejercicio 2.1.8 Demostrar que en C[a, b], el conjunto de funcionesreales y continuas de�nidas en [a, b], las funciones

d1(f, g) = ∫b

a∣f(x) − g(x)∣dx y d∞(f, g) = max

x∈[a,b]∣f(x) − g(x)∣

son distancias. Calcular d1(f, g) y d∞(f, g) para f(x) = x y g(x) = 1.Relacionar estas distancias con las grá�cas de las funciones. Obsérveseque, en este caso, d∞ no es menor que d1.

Ampliación

Para cualquier p en [1,+∞) se puede de�nir la distancia

dp(v,w) = p

¿ÁÁÀ

n

∑k=1

∣vk −wk∣p

en Kn y la distancia dp(f, g) =p√

∫ba ∣f(x) − g(x)∣p dx en C[a, b]. El nombre de d∞

proviene de que d∞ = lımp→+∞ dp en ambos casos.

38

2.1 ESPACIOS METRICOS Y SU TOPOLOGÍA

Ejercicio 2.1.12 Describir y dibujar, en R2, Bd1(0, r), Bd1(0, r),Bd∞(0, r) y Bd∞(0, r) para las distancias de los ejercicios 2.1.6 y 2.1.7.

En (C[a, b], d∞), describir grá�camente Bd∞(f,1) para f = x.

Ejercicio 2.1.13 En la circunferencia de radio unidad de R2, de-terminar las bolas centradas en el polo sur (0,−1) y de radio

√2 para

las distancias intrínseca y heredada del plano del ejemplo 2.1.4.

Las bolas nos permiten hablar de convergencia de sucesiones. Una sucesiónconverge a un punto si, a partir de cierto índice, los elementos de la sucesión sevan acercando, aunque quizás dando pequeños pasos atrás, a ese punto. Más for-malmente, si para todo entorno del punto hay una cola de la sucesión enteramentecontenida en ese entorno.

De�nición 2.1.14 (Convergencia, límite) (AMI, AMII, MMI) Dado un espa-cio métrico (X,d), y una sucesión (xn)

∞n=1 en X. Diremos que la sucesión con-

verge a x ∈X, o tiene como límite x, o que tiende a x, si para todo r > 0, existeun número natural N (N dependerá de r, por lo que podríamos decir Nr ∈ N) talque xm ∈ B(x, r)∀m > N :

x = lımn→∞

xn ⇐⇒ ∀r > 0,∃N ∈ N, d(xm, x) < r∀m > N .

Por tanto, tenemos que x = lımn→∞ xn ⇐⇒ lımn→∞ d(xn, x) = 0.

Se puede probar, de manera análoga a lo visto en cursos anteriores, que si unasucesión tiene límite este es único.

Notación. Muchas veces, en lugar de escribir x = lımn→∞ xn escribiremos

xn → x. Cuando necesitemos explicitar la distancia, escribiremos xnd→ x, y cuando

necesitemos indicar el íncide que marca la convergencia (por ejemplo, si hay dobles

índices y sólo está variando uno) escribiremos xnn→∞→ x (o xn,m

n→∞→ xm).

Ejemplo 2.1.15 Observar lo dicho antes de �quizá dando pequeñospasos atrás� en la convergencia de la sucesión 1 − 1

n+

(−1)n2n

en R.

Ejercicio 2.1.16 Demostrar que, en C, ηn → 0 si ∣η∣ < 1 y ηn no esconvergente si ∣η∣ > 1.

40

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS

Ejercicio 2.1.17 Considerando las distancias d1 y d∞ en Cn, de-mostrar que

xkd1→ y ⇐⇒ xk

d∞→ y ⇐⇒ xk,m

du→ ym, ∀m = 1, . . . , n ,

siendo xkm la m-ésima coordenada de xk e ym la m-ésima coordenadade y.

Ejercicio 2.1.18 Considerando las distancias d1 y d∞ en C[0,1],demostrar que

fnd∞→ f ⇒ fn

d1→ f .

Demostrar que la a�rmación recíproca no es cierta, usando para ellolas funciones fn(x) = xn. La distancia d∞ es llamada la distancia de laconvergencia uniforme.

Día 6

Además, las bolas nos permiten determinar la topología de un espacio métrico:sus subconjuntos abiertos y cerrados6.

De�nición 2.1.19 (Abierto, cerrado) Dado un espacio métrico (X,d), dire-mos que un subconjunto A ⊆ X es abierto si para todo punto x de A podemosencontrar alguna bola centrada en ese punto x y enteramente contenida en A:

A ⊂X es abierto ⇐⇒ ∀x ∈ A, ∃r > 0 ,B(x, r) ⊆ A.

Además, diremos que el conjunto vacío es abierto7.

Diremos que un subconjunto B ⊆X es cerrado si su complementario (X −B,X/B o Bc) es abierto. El conjunto total X es cerrado.

Ejemplo 2.1.20 Los intervalos abiertos de R son abiertos. Dadoun intervalo (a, b) y un punto x ∈ (a, b), podemos encontrar un r =

mın{∣a − x∣, ∣b − x∣} > 0 tal que B(x, r) = (x − r, x + r) ⊆ (a, b).Los intervalos cerrados de R son cerrados. Dado un intervalo cerrado

[a, b], su complementario es (−∞, a) ∪ (b,+∞), del que hay que probarque es abierto. Dado un punto x ∈ R− [a, b], o bien x < a y B(x, ∣a−x∣) ⊆R − [a, b], o bien x > b y B(x, ∣b − x∣) ⊆ R − [a, b].

6Para de�nir una topología no es necesario tener una distancia. Basta con de�niruna familia de subconjuntos, llamados abiertos, que veri�quen ciertas propiedades; o,equivalentemente, de�nir una familia de subconjuntos, llamados cerrados, que veri�quenotras propiedades; las recogemos en la proposición 2.1.25. No todas las topologías sepueden obtener a partir de una distancia, tan sólo las llamadas metrizables. En estecurso este sí será el caso.

7En realidad, esta de�nición es super�ua después de lo dicho anteriormente. Dado queel conjunto es vacío, no existe ningún elemento del conjunto que contradiga la a�rmaciónanterior, por lo que el vacío es abierto.

41

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS

Ejercicio 2.1.23 Demostrar que en el espacio métrico [0,1] con ladistancia usual, el intervalo [0,1/2) es abierto.

Ejercicio 2.1.24 Demostrar que la grá�ca de cualquier función con-tinua f ∶ R→ R es cerrada en R2 (con la distancia euclídea).

Ampliación

Las propiedades básicas de los abiertos y cerrados, con las cuales se puedede�nir una topología8, son las siguientes.

Proposición 2.1.25 Dado un espacio métrico (X,d), entonces

AB a) dada una familia �nita de abiertos de X, {Aj , j = 1, . . . , n}, su intersec-cion, ⋂nj=1Aj, es otro abierto,

AB b) dada una familia arbitraria de abiertos de X, {Aj , j ∈ J}, su unión,

⋃j∈J Aj, es otro abierto,

y las versiones correspondiente para cerrados,

CE a) dada una familia �nita de cerrados de X, {Cj , j = 1, . . . , n}, su unión,

⋃nj=1Cj, es otro cerrado,

CE b) dada una familia arbitraria de cerrados de X, {Cj , j ∈ J}, su intersección,

⋂j∈J Cj, es otro cerrado.

Una caracterización muy importante y útil de los conjuntos cerrados es lasiguiente.

Proposición 2.1.26 Dado un espacio métrico (X,d), un conjunto C ⊆ X escerrado si y sólo si para toda sucesión (xn)

∞n=1 convergente, con x = lımn→∞ xn

sucede que si la sucesión está contenida en C entonces también el límite x estáen C:

C ⊂X es cerrado ⇐⇒ [∀(xn)∞n=1 ⊆ C,x = lım

n→∞xn ⇒ x ∈ C] .

Dado un conjunto arbitrario D ⊆ X, se puede distinguir entre tres tipos depuntos de X: los que están �muy metidos� en D, los que están �lejos� de D y losque están en su �borde�.

8Junto con que el vacío y el total sean abiertos y cerrados.

43

CAPÍTULO 2 ESPACIOS MÉTRICOS

La clausura de un conjunto D se puede describir como la intersección de todoslos cerrados que contienen a D, o, de forma más sencilla, como la unión de suinterior y su frontera.

Proposición 2.1.30 Dado un espacio métrico (X,d) y un subconjunto D ⊆X,entonces D = int(D)⋃ fr(D).

La clausura de un conjunto cerrado es el propio conjunto. Por tanto, un conjun-to cerrado siempre contiene a su frontera. Además, las caracterizaciones anterioresen términos de sucesiones permite la siguiente caracterización

x ∈ D ⇐⇒ ∃(xn)∞n=1 ⊂D tal que xn → x .

Nótese que, aunque rara vez sucede y no tiene mucha importancia, la bolacerrada B(x, r) no es siempre la clausura B(x, r) de la bola abierta. Por ejemplo,si consideramos X = [0,1] ∪ [2,3] con la distancia usual, tenemos que B(0,2) =

[0,1] = B(0,2), mientras que B(0,2) = [0,1] ∪ {2}.

Ejercicio 2.1.31 Dado X el conjunto de funciones f ∶ [0,2] → Rque son integrables y absolutamente integrables (es decir, ∣f ∣ es tambiénintegrable9) en sentido de Riemann, con la distancia d1, demostrar queC[0,2] no es cerrado, probando que

f(x) = {0 si x ≤ 11 si x > 1

está en su adherencia. Puede ser útil para ello recordar el ejercicio 2.1.18.

Ejercicio 2.1.32 Demuéstrese que Q ×Q = Q2 es denso en R2 conla distancia euclídea.

2.2 Aplicaciones continuas

La existencia de topología, abiertos, cerrados y convergencia de sucesiones,nos permite hablar de continuidad de funciones entre dos espacios métricos, ex-tendiendo las nociones ya vistas en las asignaturas de Análisis Matemático I y IIy de Métodos Matemáticos I.

De�nición 2.2.1 (Continuidad) (AMI, AMII, MMI) Dados dos espacios mé-tricos X e Y , una función f ∶ X → Y es continua en un punto x0 ∈ X siveri�ca cualquiera de las cuatro siguientes condiciones, que son equivalentes:

9La función f(x) = 1 si x ∈ [0,1] ∩ Q, f(x) = −1 si x ∈ [0,1] − Q es absolutamenteintegrable en el sentido de Riemann pero no integrable. La función g(x) = (−1)nn six ∈ (1/(n + 1),1/n] (n ∈ N) es integrable (impropiamente) en sentido de Riemann perono absolutamente integrable.

45

2.2 APLICACIONES CONTINUAS

Cp a) ∀ε > 0,∃δ > 0, [dX(x,x0) < δ⇒ dY (f(x), f(x0)) < ε],Cp b) ∀(xn)

∞n=1, lım

n→∞xn = x0 ⇒ lım

n→∞f(xn) = f(x0),

Diremos que una función f ∶X → Y es continua, si es continua en todo puntode X.

Ampliación

Se puede ver, además, que una función f ∶ X → Y es continua si y sólo sicumple cualquiera de las siguientes dos condiciones equivalentes:

C a) Si A es un abierto de Y , entonces f−1(A) es un abierto de X,C b) Si C es un cerrado de Y , entonces f−1(C) es un cerrado de X.

Ejemplo 2.2.2 (AMI) f(x) = x2 en R es una función continua.

Ejemplo 2.2.3 (MMI) f(z) = e1/z es una función continua en todoel plano complejo menos en el 0, donde no está de�nida. Por tanto,

f ∶ C − {0} → Cz ↦ e1/z

sí sería una función continua.Ninguna extensión f a todo el plano complejo, con f(z) = f(z) si

z ≠ 0 y f(0) = a ∈ C, puede ser continua, ya que la singularidad que fpresenta en ese punto no es evitable.

Ejemplo 2.2.4 En Rn con la distancia usual du, d1 o d∞, todos losfuncionales lineales e∗j (x1, . . . , xn) = xj , j = 1, . . . , n, son continuos.

Probémoslo para la distancia d1. Tomemos x0 = (x0,1, . . . , x0,n) ∈ Rny un ε > 0. Si elegimos δ = ε, ∀x con d1(x,x0) < δ tenemos que

d(e∗j (x), e∗j (x0)) = ∣xj − x0,j ∣ ≤

n

∑k=1

∣xk − x0,k ∣ = d1(x,x0) < ε .

De forma análoga se prueba el resultado para du y d∞.Por tanto, como en Rn todo funcional lineal es combinación lineal

de los e∗j , y como la suma de funciones continuas es continua y el pro-ducto de una función continua por un escalar es otra función continua,tenemos que todos los funcionales lineales sobre Rn son continuos paralas distancias anteriores.

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