Nelson Pantoja V´asquez - ::WEB DEL...

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π

= δ

√

Nelson Pantoja Vasquez

Universidad de Los AndesMerida, Venezuela

Julio, 2002

Version revisadaJunio 2005.

2 Ecuaciones Diferenciales Parciales


La Mathematique ...instrument de pensee au service de notre effort d’intelligence du monde physique

A. Lichnerowicz

Prologo

Estas son las notas de clase, corregidas y aumentadas, del ultimo curso de metodos matematicospara fısicos, dictado en repetidas ocasiones a estudiantes de la Licenciatura en la Universidad de LosAndes. Las mismas proveen de manera concisa una exposicion contemporanea sobre las EcuacionesDiferenciales Parciales (EDP’s) donde, como requisito inicial, se asume un conocimiento elementalde ecuaciones diferenciales ordinarias y funciones especiales.

Especıficamente, se trata el tema de las EDP’s lineales, introduciendo herramientas tales comofunciones de Green y expansiones ortogonales, entendidas desde el punto de vista de la teorıa dedistribuciones y desarrolladas dentro del contexto del tipo de problemas para el cual son utiles.Todos los ejemplos son tomados de la fısica. Sin embargo, se hace mas enfasis en la estructurade la EDP y las propiedades de su solucion que en los sistemas fısicos que pueden ser descritospor el ejemplo particular considerado. Por lo tanto estas notas tambien seran de utilidad paraquımicos e ingenieros. Por supuesto, un tratamiento exhaustivo del tema esta mas alla del alcancepretendido y al final de cada capıtulo el lector encontrara las referencias donde aparecen aquellasdemostraciones omitidas ası como posibles generalizaciones.

Quisiera agradecer especialmente a Alejandra Melfo, quien utilizo en varias oportunidades unaversion preliminar de estas notas como material complementario en los cursos por ella dictados, portodas las observaciones y sugerencias que en gran medida contribuyeron a mejorar la exposicion yel desarrollo de las ideas.

Julio, 2002 N. R. Pantoja

En la presente version se han corregido varios errores tipograficos, se han mejorado algunasdeducciones y se ha agregado una cantidad importante de problemas y ejercicios. Agradezco atodos los colegas y estudiantes que han tenido la gentileza de hacerme llegar sus comentarios ysugerencias a lo largo de estos anos.

Mayo, 2005 N. R. Pantoja

5

Indice General

Prologo 5

1 Operadores Diferenciales 111.1 Vectores y covectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2 La derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3 Los operadores divergencia y laplaciano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Distribuciones 232.1 Funciones de prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Multiplicacion de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Derivacion de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Sucesiones y series de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6 Producto tensorial de distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.7 El producto de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.8 Ecuaciones de convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.9 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Funciones de Green. 433.1 El problema de valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 El problema de contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.3 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Ecuaciones Diferenciales Parciales 534.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 EDP’s de primer orden en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3 EDP’s de segundo orden en dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3.1 Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3.2 Formas canonicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 EDP’s de segundo orden en n variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 El problema de Cauchy 655.1 El problema de Cauchy para las ecuaciones

hiperbolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.1 El problema para la ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.1.2 La ecuacion de ondas esfericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7


5.2 El Problema de Cauchy para las ecuacionesparabolicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.1 El problema para la ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.3 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

6 El problema de contorno y valores iniciales 856.1 Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.2 El problema para la ecuacion de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2.1 El problema homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.2.2 El problema no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 El problema para la ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.4 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 El Problema de Contorno Puro 1057.1 El problema de Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7.1.1 El problema de Dirichlet para la ecuacion de Laplace . . . . . . . . . . . . . 1057.1.2 El problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . 110

7.2 El problema de Neumann para la ecuacion de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.3 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

8 Problemas en mayor dimensionalidad 1258.1 El problema de contorno para la ecuacion de Laplace en 3 dimensiones . . . . . . . 125

8.1.1 El problema de Dirichlet para un cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.1.2 El problema de Dirichlet para un cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1278.1.3 El problema de Dirichlet para la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

8.2 El problema de contorno para la ecuacion de Poisson en 3 dimensiones . . . . . . . 1318.2.1 El problema de Dirichlet interior a la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

8.3 La funcion de Green para la ecuacion de onda en (3 + 1) dimensiones . . . . . . . . 1328.4 La funcion de Green para la ecuacion de Schrodinger . . . . . . . . . . . . . . . . . 1358.5 Problemas y ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Indice de Materias 137


Indice de Cajas

5.1 Transformadas de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.2 Transformadas de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736.1 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.2 El espacio de Hilbert L2

(r) (−π, π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.3 Bases en L2(r)(a, b) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.1 Distribuciones y transformaciones de coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2 Expansiones ortogonales y funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

9

Capıtulo 1

Operadores Diferenciales

En lo que sigue se asume un conocimiento elemental del calculo vectorial. Las ideas que des-arrollaremos en esta seccion, ademas de proveer herramientas de calculo muy eficientes, admitengeneralizaciones posteriores de utilidad en varias areas de la fısica y las matematicas.

1.1 Vectores y covectores

Sea P un punto en Rn y denotemos por ~x al vector cuyas componentes son las coordenadas(x1, · · · , xn) de P relativas al origen O de coordenadas. Un campo vectorial se define usualmentecomo un objeto cuyo comportamiento bajo transformaciones generales de coordenadas se identificacon el correspondiente comportamiento del vector ~x. A continuacion revisemos en algun detalledicha definicion.

Sean ~ei, i = 1, · · · , n y ~ei′ , i′ = 1, · · · , n dos conjuntos de vectores base para el espaciovectorial n-dimensional, este ultimo que denotaremos por Tx(Rn). Entonces

~x = xi~ei = xi′~ei′ , (1.1)

donde xi, i = 1, · · · , n y xi′ , i′ = 1, · · · , n son las componentes (la representacion) de ~x en lasbases ~ei y ~ei′ respectivamente y donde

xi′= ai

′

j xj, ai

′

j =∂xi

′

∂xj. (1.2)

Si para la transformacion considerada se tiene que los coeficientes ai′j son constantes ∀ i′, j, en-

tonces la transformacion es lineal. En este sentido, debera insistirse en que (1.2) se refiere atransformaciones generales de coordenadas. Ası, diremos que los elementos del conjunto Ai son

las componentes de un campo vectorial ~A si bajo transformaciones generales de coordenadas secumple

Ai′= ai

′

jAj, (1.3)

donde los coeficientes ai′j vienen dados por (1.2) y se sobrentiende que Ai = Ai(xj) y Ai

′= Ai

′(xj

′).

Se sigue que un campo vectorial ~A sobre Rn es la asignacion de un vector ~A(x) a cada punto x de

Rn y ~A = Ai ~ei ∈ Tx(Rn).Consideremos a continuacion la accion del operador ∂i ≡ ∂/∂xi sobre un campo escalar ϕ

definido sobre Rn. Recordemos que ϕ es un campo escalar si es invariante bajo el grupo de

11


transformaciones considerado, esto es, si se cumple ϕ′(xi′) = ϕ(xi). Se tiene

∂′iϕ′ ≡ ∂ϕ′

∂xi′=∂xj

∂xi′∂ϕ′

∂xj=∂xj

∂xi′∂ϕ

∂xj= aji′∂jϕ. (1.4)

donde hemos definido

aji′ ≡∂xj

∂xi′. (1.5)

Notese que el conjunto ∂iϕ no transforma como la componentes de un campo vectorial.Ahora

ai′

jajk′ =

∂xi′

∂xj∂xj

∂xk′=∂xi

′

∂xk′= δi

′

k′ . (1.6)

Por otro lado, de ~A = Ai~ei = Ai′~ei′ se sigue que

Ai~ei = Ai′~ei′ = ai

′

jAj ~ei′ ,

de donde se desprende que~ej = ai

′

j ~ei′

y usando (1.6) encontramos~ei′ = aji′ ~ej, (1.7)

que provee la ley de transformacion de los vectores base.Sea ~ei, i = 1, · · · , n alguna base particular en Tx(Rn). Ahora, definimos el conjunto ωi, i =

1, 2, · · · , n tal que:

1. los objetos ωi proveen la aplicacion definida sobre los vectores base ~ei dada por

(ωi, ~ej) ≡ δij (1.8)

2. y que dicha aplicacion es lineal, esto es

(ωi, α~ej1 + β~ej2) ≡ α (ωi, ~ej1) + β (ωi, ~ej2) (1.9)

con α y β constantes reales.

Considerese a continuacion el objeto

B = Bi ωi, (1.10)

donde asumiremos que el conjunto Bi transforma, bajo el conjunto de transformaciones generalesde coordenadas considerado, como lo hace el conjunto ∂iϕ, esto es,

Bi′ = aji′Bj, (1.11)

con aji′ dado por (1.5). Diremos que Bi son las componentes del covector B en la cobase ωi.Al espacio de los covectores lo denotaremos por T ∗x (Rn) y a la cobase en T ∗x (Rn) especificada porel conjunto ωi que satisface (1.8) le denominaremos base dual a ~ei.

Es claro, el objeto∇ϕ ≡ ∂iϕ ω

i, (1.12)

es un covector, esto es ∇ϕ ∈ T ∗x (Rn) y definimos ∇ϕ, ec.(1.12), como la derivada covariante de ϕ.


Ecuaciones Diferenciales Parciales 13

Sean ~ei y ωj bases duales. Entonces, dados ~A ∈ Tx(Rn) y B ∈ T ∗x (Rn), se sigue de (1.8)que

(B, ~ej) = (Biωi, ~ej) = Bi(ω

i, ~ej) = Biδij = Bj (1.13)

y(ωi, ~A) = Aj(ωi, ~ej) = δij = Ai . (1.14)

Ası, un covector es un objeto que aplica vectores a numeros y (1.13) y (1.14) proveen los valoresnumericos de Bj = Bj(x) y Ai = Ai(x) en x.

Consideremos a continuacion al objeto (B, ~A),

(B, ~A) = (Biωi, Aj~ej) = BiA

j (ωi, ~ej) = BiAi. (1.15)

Ahora, al cambio de base en Tx(Rn) dado por (1.7) le corresponde un cambio de base en T ∗x (Rn)definido por

ωi′= ai

′

jωj, (1.16)

como se sigue de B = Bi ωi = Bi′ ω

i′ . Por otro lado, de acuerdo con (1.2), (1.5) y (1.6) se tiene

Bi′Ai′ = aji′Bja

i′

iAi = aji′a

i′

iBjAi = δjiBjA

i = BiAi (1.17)

y la contraccion BiAi provee entonces un numero que es un escalar (un invariante) bajo las trans-

formaciones generales de coordenadas (1.2).Es facil verificar que

(βB + γC, ~A) = β(B, ~A) + γ(C, ~A), (1.18)

donde β y γ son constantes reales y por lo tanto una combinacion lineal de covectores es uncovector. Se sigue que el espacio de los covectores T ∗x (Rn), esto es, el espacio de las formas linealesdefinidas sobre Tx(Rn), tiene tambien estructura de espacio vectorial y se le denominara espaciovectorial dual.

Considerese la siguiente generalizacion. Denominemos tensores del tipo (pq) a objetos de la

formaS = S

i1···ipj1···jq~ei1 ⊗ · · · ⊗ ~eip ⊗ ωj1 ⊗ · · · ⊗ ωjq , (1.19)

donde el conjunto de numeros Si1···ip j1···jq = Si1···ip

j1···jq(x) (esto es los valores numericos enx ∈ Rn) transforman bajo cambios generales de coordenadas de acuerdo a

Si′1···i′p

j′1···j′q(x) = a

i′1i1· · · ai

′p

ipaj1j′1

· · · ajqj′qSi1···ip

j1···jq (1.20)

y donde ⊗ denota el producto directo (tensorial). Estos tensores aplican q vectores y p covectoresa escalares de manera lineal (diremos que los tensores son aplicaciones multilineales) y al espaciotensorial de los tensores del tipo (

pq) de la forma (1.19) lo denotaremos por ⊗pTx(Rn) ⊗q T ∗x (Rn).

Aquı el orden de los indices es esencial. Intercambiar ~ei1 y ~ei2 , por ejemplo, dara un elementobase diferente siempre que i1 6= i2. Lo mismo ocurre si intercambiamos ~ei1 y ωj1 (la multiplicaciontensorial es asociativa y distributiva con respecto a la suma, pero no es conmutativa). De loanterior se desprende que el espacio tensorial Tx ⊗ T ∗x es diferente al espacio tensorial T ∗x ⊗ Tx,

aunque los tensores en ambos espacios son del tipo (11). Es claro que un campo vectorial es un

tensor del tipo (10) y un campo covector es un tensor del tipo (

01).

Introduzcamos a continuacion el tensor g del tipo (02),

g ≡ gij ωi ⊗ ωj, (1.21)



dondeg(~ei, ~ej) = gkl(ω

k, ~ei)(ωl, ~ei) = gij

si ~ei es la base dual a ωi, congij ≡ gji .

Ahora, dados dos vectores ~A y ~B cualesquiera, g provee la aplicacion

g( ~A, ~B) = gij(ωi, ~A)(ωj, ~B) = gijB

jAi. (1.22)

Identificando esta ultima expresion con la contraccion BiAi

BiAi ≡ gijB

jAi , (1.23)

se sigue queBi = gijB

j. (1.24)

Ası, el tensor g, que denominaremos tensor metrico, permite asociar un covector B a todo vector~B a traves de

B = Bi ωi ≡ gijB

j ωi, (1.25)

de forma tal que se satisfaga (1.23). Se dice que B dado por (1.25) es el dual metrico de ~B. Porotro lado, puesto que con esta identificacion logramos asociar un invariante (escalar) a dos vectores

cualesquiera ~A y ~B, el tensor metrico g endosa al espacio vectorial Tx(Rn) con un producto interno

(escalar) ~A · ~B definido por

~A · ~B ≡ g( ~A, ~B), ∀ ~A, ~B ∈ Tx(Rn) . (1.26)

La norma ‖ ~A‖ de un vector ~A ∈ Tx(Rn) viene generada por el producto interior definido arriba atraves de

‖ ~A‖2 = g( ~A, ~A) = gij AiAj

y ‖ ~A‖ no depende entonces de la eleccion del sistema de coordenadas. En lo que sigue, denotaremospor (Rn,g) al espacio Rn equipado con tensor metrico g. Debera tenerse presente sin embargo quela definicion del dual T ∗x (Rn) de Tx(Rn) no necesita de equipamiento metrico alguno de Rn.

Consideremos a continuacion el conjunto gij tal que

gijgjk = δik, (1.27)

esto es, gij son los elementos de la inversa de la matriz cuyos elementos son las componentesgij de g en la base asociada a las coordenadas escogidas. Supondremos que por definicion,dicho conjunto existe y que esta bien definido en todo punto de la region de Rn descrita por lascoordenadas escogidas. Entonces

gijBj = gijgjkBk = δikB

k = Bi (1.28)

y tenemos una correspondencia uno a uno entre vectores y covectores. Se debe hacer enfasis enque vectores y covectores viven en espacios lineales diferentes y que es el tensor metrico el quepermite establecer dicha correspondencia entre los objetos de dichos espacios.

Ilustremos la ideas desarrolladas con un ejemplo muy sencillo. Considerese un espacio vectorial2-dimensional Tx(R2) y hagamos la descripcion en coordenadas cartesianas x1, x2. Los vectoresbase en estas coordenadas,

~ex1 ≡ ∂~x

∂x1, ~ex2 ≡ ∂~x

∂x2, (1.29)



se postulan independientes de dichas coordenadas y se tiene

~x = x1 ~ex1 + x2 ~ex2 . (1.30)

Sean ~A y ~B dos vectores cualesquiera en Tx(R2). En la base cartesiana escogida tendremos quedichos vectores pueden ser escritos como

~A = Ax1

~ex1 + Ax2

~ex2 , ~B = Bx1

~ex1 +Bx2

~ex2 . (1.31)

La cobase ωx1, ωx

2 dual a ~ex1 , ~ex2 viene especificada por

(ωx1

, ~ex1) = 1, (ωx1

, ~ex2) = 0, (ωx2

, ~ex1) = 0, (ωx2

, ~ex2) = 1 , (1.32)

y tambien se postula independiente de las coordenadas.En terminos de dicha base, el tensor metrico g viene dado por

g = gx1x1ωx1 ⊗ ωx

1

+ gx1x2ωx1 ⊗ ωx

2

+ gx2x1ωx2 ⊗ ωx

1

+ gx2x2ωx2 ⊗ ωx

2

, (1.33)

donde exigiremos gx1x2 = gx2x1 .A continuacion, tomemos como producto escalar ~A · ~B el producto escalar euclıdeo definido por

~A · ~B ≡ AxBx + AyBy. (1.34)

El producto (1.34) se preserva bajo el conjunto de transformaciones lineales

ax1′

x1 = cos ζ, ax1′

x2 = sin ζ,

ax2′

x1 = − sin ζ, ax2′

x2 = cos ζ, (1.35)

donde ζ es un parametro real tal que 0 ≤ ζ < 2π y las coordenadas cartesianas en terminosde las cuales el producto escalar es de esta forma se denominaran coordenadas euclıdeas. Lastransformaciones (1.35) forman un grupo que usualmente se denota por SO(2).

A continuacion, identificando la contraccion BiAi con el producto escalar euclıdeo entre vectores

a traves de BiAi = gijA

iBj (note que BiAi involucra a las componentes de un covector y un vector,

no a las componentes de dos vectores), se sigue que Bx1Ax1+Bx2Ax

2= Ax

1Bx1

+Ax2Bx2

. Puesto

que ~A y ~B son campos vectoriales arbitrarios, se desprende de lo anterior que Bx1 = Bx1y

Bx2 = Bx2y por lo tanto

gx1x1 = 1, gx1x2 = gx2x1 = 0, gx2x2 = 1, (1.36)

esto es, gij = δij. Ası, en coordenadas euclıdeas tenemos

g = ωx1 ⊗ ωx

1

+ ωx2 ⊗ ωx

2

(1.37)

y (1.34) viene dado por g( ~A, ~B). Al espacio vectorial R2 equipado con el tensor metrico g queen coordenadas euclıdeas viene dado por (1.37) se le denominara espacio vectorial 2-dimensionaleuclıdeo.

A continuacion, en el espacio euclıdeo (R2,g) con g en coordenadas euclıdeas dado por (1.37),introduzcamos coordenadas polares r y θ definidas a traves de las relaciones

x1 = r cos θ, x2 = r sin θ



(note que la transformacion que nos lleva de coordenadas cartesianas euclıdeas a coordenadasesfericas no es una transformacion lineal). Puesto que (r, θ) y (r, θ + 2nπ) representan el mismopunto (x1, x2), restringiremos los valores de θ a 0 ≤ θ < 2π de forma tal que a cada (x1, x2) lecorresponda un unico θ. Ahora con

~x = r cos θ ~ex1 + r sin θ ~ex2 , (1.38)

se sigue que

~er ≡∂~x

∂r= cos θ ~ex1 + sin θ ~ex2 , (1.39)

~eθ ≡∂~x

∂θ= −r sin θ ~ex1 + r cos θ ~ex2 . (1.40)

La cobase ωr, ωθ dual a ~er, ~eθ viene dada por

ωr = cos θ ωx1

+ sin θ ωx2

, (1.41)

ωθ = −1

rsin θ ωx

1

+1

rcos θ ωx

2

, (1.42)

como puede verificarse facilmente. En terminos de dicha base, el tensor metrico se escribe como

g = grrωr ⊗ ωr + grθω

r ⊗ ωθ + gθrωθ ⊗ ωr + gθθω

θ ⊗ ωθ , (1.43)

donde exigiremos que grθ = gθr. Ahora, empleando

gi′j′ = gij(ωi, ~ei′)(ω

j, ~ej′) (1.44)

para obtener directamente las componentes gi′j′ en coordenadas polares a partir de (1.37), (1.32)y (1.41) o bien, empleando (1.20) para obtener

gi′j′ = gij aii′a

jj′ , (1.45)

con aji′ dado por (1.5), encontramos

grr = 1, grθ = gθr = 0, gθθ = r2. (1.46)

Se sigue que el tensor metrico g, que en la cobase cartesiana ωx1, ωx

2 viene dado por (1.37), seescribe como

g = ωr ⊗ ωr + r2ωθ ⊗ ωθ (1.47)

en la cobase ωr, ωθ.Finalmente, en la base ~er, ~eθ tendremos ~A = Ar~er + Aθ~eθ y ~B = Br~er + Bθ~eθ, el producto

escalar ~A · ~B vendra dado por

~A · ~B ≡ g( ~A, ~B) = ArBr + r2AθBθ

y puesto que g( ~A, ~B) es por construccion un invariante (no depende del sistema de coordenadaselegido) se sigue de inmediato que AxBx + AyBy = ArBr + r2AθBθ.

¿Es posible alguna otra eleccion de producto escalar en Tx(R2)? En vez de (1.34), escojamoscomo producto escalar el definido por

~A · ~B ≡ Ax1

Bx1 − Ax2

Bx2

. (1.48)



El producto (1.48) se preserva bajo el conjunto de transformaciones lineales

ax1′

x1 = coshχ, ax1′

x2 = sinhχ,

ax2′

x1 = sinhχ, ax2′

x2 = coshχ, (1.49)

donde χ es un parametro real tal que 0 ≤ χ < ∞ y a las coordenadas cartesianas en terminosde las cuales el producto escalar es de esta forma se les denomina coordenadas pseudo-euclıdeas.Estas transformaciones forman tambien un grupo que se denota por SO(1, 1).

En estas coordenadas tendremos que

g = ωx1 ⊗ ωx

1 − ωx2 ⊗ ωx

2

(1.50)

y (1.48) viene dado por g( ~A, ~B). Al espacio pseudo-euclıdeo (R2,g), con g en coordenadas pseudo-euclıdeas dado por (1.50), se le conoce como el espacio de Minkowski 2-dimensional y el tensormetrico (1.50) se dice lorentziano.

1.2 La derivada covariante

En la seccion anterior definimos la derivada covariante de un campo escalar ϕ, esto es la derivada

covariante de un tensor del tipo (00), como el covector o tensor del tipo (

01) dado por

∇ϕ ≡ ∂iϕ ωi (1.51)

(de hecho tomamos como definicion de covector a aquellos objetos que se comportan bajo transfor-maciones generales de coordenadas como lo hace (1.51)). Es claro, este covector no debe confundirse

con el vector ~∇ϕ ≡ (gij∂jϕ)~ei que con frecuencia se denomina gradiente de ϕ. En lo que sigueveremos que es posible definir un operador derivada sobre tensores T de tipo arbitrario tal que suaccion tambien arroje como resultado un tensor.

Sea ~V un campo vectorial ∈ Tx(Rn), esto es un tensor del tipo (10) y consideremos a continuacion

el objeto ∇~V ,∇~V = ∇(V i~ei) = (∇V i)⊗ ~ei + V i(∇~ei) , (1.52)

donde hemos asumido que vale la regla de Leibniz. Ahora bien, la accion de ∇ sobre la funcion V i

es como en (1.51)

∇V i ≡ ∂V i

∂xjωj = ∂jV

iωj. (1.53)

Por otro lado, escribimos∇~ei = Γkj i ω

j ⊗ ~ek , (1.54)

donde ~ei y ωi son bases duales y donde hemos definido

Γkj i ~ek ≡∂

∂xj~ei. (1.55)

Los Γkj i se denominan coeficientes conexion o conexiones.Ası,

∇~V = ∂jViωj ⊗ ~ei + V iΓkj i ω

j ⊗ ~ek= (∂jV

i + V kΓij k) ωj ⊗ ~ei

≡ (DjVi) ωj ⊗ ~ei , (1.56)



donde

DjVi ≡ ∂jV

i + ΓijkVk . (1.57)

El tensor ∇~V del tipo (11), definido en (1.56,1.57), se conoce como la derivada covariante del campo

vectorial ~V . Notese que la accion de ∇ sobre escalares y sobre vectores es diferente. Con laidentificacion

∇ϕ ≡ (Diϕ)ωi (1.58)

se desprende que

Diϕ ≡ ∂iϕ. (1.59)

Es posible extender la nocion de derivada covariante a otros tipos de tensores. Para ellodefinimos la derivada covariante direccional ∇~u

~V de ~V en la direccion de ~u

∇~u~V ≡ uj(DjV

i)~ei (1.60)

y exigimos que cumpla la regla de Leibniz

∇~u(T⊗ S) = ∇~uT⊗ S + T⊗∇~uS (1.61)

para T y S tensores de tipo arbitrario.

Como ejemplo, consideremos a continuacion ∇T donde T es un tensor (20). En la base escogida,

T se escribe como

T ≡ T ij ~ei ⊗ ~ej. (1.62)

Ahora, con

∇~u(~ei ⊗ ~ej) = (∇~u~ei)⊗ ~ej + ~ei ⊗ (∇~u~ej) , (1.63)

se sigue que

∇~uT = ∇~u(Tij~ei ⊗ ~ej)

= (∇~uTij)~ei ⊗ ~ej + T ij(∇~u~ei)⊗ ~ej + T ij~ei ⊗ (∇~u~ej)

= (uk∂kTij)~ei ⊗ ~ej + T ij(ukΓlki~el)⊗ ~ej + T ij~ei ⊗ (ukΓlkj~el)

= uk(∂kTij + ΓiklT

lj + ΓjklTil)~ei ⊗ ~ej . (1.64)

A continuacion, comparando con

∇~uT = uk(DkTij)~ei ⊗ ~ej , (1.65)

se desprende que

DkTij ≡ ∂kT

ij + ΓiklTlj + ΓjklT

il (1.66)

y definimos ∇T como

∇T ≡ (DkTij) ωk ⊗ ~ei ⊗ ~ej . (1.67)

Es claro, ∇T es un tensor del tipo (21). En general si S es un tensor (

pq), ∇S sera un tensor (

pq+1).



1.3 Los operadores divergencia y laplaciano

Sea ~V un campo vectorial ∈ Tx(Rn) y sea ~ex1 , · · · , ~exn una base cartesiana en Tx(Rn), entonces ~V

admite la expansion ~V = V x1~ex1 + · · ·+V xn

~exn . Adicionalmente, supongamos que hemos equipadoal espacio Rn con un tensor metrico g euclıdeo.

Consideremos a continuacion el objeto DiVi que de acuerdo con (1.57) viene dado por

DiVi ≡ ∂iV

i + ΓiikVk . (1.68)

Ahora, dado que los vectores base ~ex1 , · · · , ~exn se postulan independientes de las coordenadas,tendremos

∂

∂xi~exj = 0, ∀ i, j

de donde se sigue que todos los coeficientes conexion son cero y por lo tanto

DiVi = ∂x1V x1

+ · · ·+ ∂xnV xn

=∂

∂x1V x1

+ · · ·+ ∂

∂xnV xn

. (1.69)

En (1.69) reconocemos (si las coordenadas x1, · · · , xn son euclıdeas) la expresion conocida como

la divergencia del campo vectorial ~V , que denotaremos por div ~V y que suele escribirse tambiencomo ~∇ · ~V . Por construccion (1.68) no depende del sistema de coordenadas escogido y por lo

tanto (1.68) provee la expresion a ser identificada con div ~V en cualesquiera otras coordenadas quese obtengan (a traves de transformaciones generales de coordenadas) a partir de las coordenadaseuclıdeas x1, · · · , xn. Ası definimos

div ~V ≡ DiVi . (1.70)

Por simplicidad, sea ~V un campo vectorial ∈ Tx(R2), ~ex1 , ~ex2 una base cartesiana en Tx(R2)

y supongamos equipado al espacio R2 con el tensor metrico euclıdeo g dado por (1.37). ~V admitela expansion

~V = V x1

~ex1 + V x2

~ex2 (1.71)

y tendremos

DiVi = ∂x1V x1

+ ∂x2V x2

=∂

∂x1V x1

+∂

∂x2V x2

. (1.72)

que es la expresion usual de la divergencia de un campo vectorial en coordenadas cartesianas. Porotro lado, en la base ~er, ~eθ, dada por (1.39,1.40), se tendra que

~V = V r ~er + V θ ~eθ . (1.73)

Ahora,

∂

∂r~er = 0 ⇒ Γrrr = Γθrr = 0 ,

∂

∂θ~er = − sin θ~ex1 + cos θ~ex2 =

1

r~eθ ⇒ Γrθr = 0, Γθθr =

1

r,

∂

∂r~eθ = − sin θ~ex1 + cos θ~ex2 =

1

r~eθ ⇒ Γrrθ = 0, Γθrθ =

1

r,

∂

∂θ~eθ = −r cos θ~ex1 − r sin θ~ex2 = −r~er ⇒ Γrθθ = −r, Γθθθ = 0 .



Se sigue entonces que

div~V ≡ DiVi = DrV

r +DθVθ = ∂rV

r + ΓrrkVk + ∂θV

θ + ΓθθkVk

= ∂rVr + ∂θV

θ +1

rV r

=1

r∂r(rV

r) + ∂θVθ, (1.74)

que es la expresion de la divergencia del campo vectorial ~V en coordenadas polares. Notese que(1.74) ha sido obtenida partiendo de la expansion de ~V en una base ortogonal no normalizada. Sise escoge trabajar en la base ortonormal definida como er = ~er, eθ = 1

r~eθ, entonces

~V = vrer + vθeθ = vr~er +1

rvθ~eθ = V r~er + V θ~eθ

y por lo tanto vr = V r y V θ = 1rvθ. De aquı que

div~V ≡ Divi =

1

r∂r(rv

r) +1

r∂θv

θ . (1.75)

Veamos a continuacion la accion del operador escalar DiDi sobre campos escalares y vectoriales.Sea ϕ un campo escalar definido sobre el espacio euclıdeo (Rn,g). Tendremos

DiDiϕ = Di∂iϕ , (1.76)

donde hemos hecho Diϕ = ∂iϕ, de acuerdo a (1.59). Ahora

DiDiϕ = Di∂iϕ = Digikgkj∂jϕ = gikD

igkj∂jϕ = Dkgkj∂jϕ = Dig

ij∂jϕ , (1.77)

donde hemos usado (1.27) y el hecho de que la operacion de derivacion covariante asociada a gconmuta con la contraccion de indices con las componentes de g (vease el ejercicio 3). Ahora,puesto que gij∂jϕ son las componentes de un campo vectorial, podemos emplear (??). Se sigueque

DiDiϕ = Di(gij∂jϕ) = ∂i(g

ij∂jϕ) + Γiik(gkj∂jϕ). (1.78)

Por construccion, DiDiϕ es un escalar y (1.78) define la expresion comunmente denominada la-placiano del campo escalar ϕ,

∆ϕ ≡ DiDiϕ , (1.79)

donde DiDiϕ viene dado por (1.78). Puesto que en coordenadas euclıdeas todas las conexionesson cero y gij = δij, se sigue que

DiDiϕ = ∂x1∂x1ϕ+ · · ·+ ∂xn∂xnϕ (1.80)

que es la expresion usual del laplaciano del campo escalar ϕ(x), definido sobre el espacio euclıdeo(Rn,g), en coordenadas euclıdeas.

Nuevamente, por simplicidad, consideremos un campo escalar ϕ definido sobre el espacio R2,este ultimo equipado con el tensor metrico euclıdeo g que en coordenadas cartesianas viene dadopor (1.37). En estas coordenadas tendremos

∆ϕ ≡ DiDiϕ = ∂x1∂x1ϕ+ ∂x2∂x2ϕ . (1.81)



Por otro lado, en coordenadas polares tendremos

∆ϕ ≡ DiDiϕ = ∂r(grr∂rϕ+ grθ∂θϕ) + ∂θ(g

θr∂rϕ+ gθθ∂θϕ)

+(Γrrr + Γθθr)(grr∂rϕ+ grθ∂θϕ) + (Γrrθ + Γθθθ)(g

θr∂rϕ+ gθθ∂θϕ)

= ∂r∂rϕ+1

r2∂θ∂θϕ+

1

r∂rϕ, (1.82)

esto es,

∆ϕ =1

r∂r(r∂rϕ) +

1

r2∂θ∂θϕ. (1.83)

Por ultimo, consideremos el campo vectorial (DiDiVk)~ek que definiremos como el laplaciano

del campo vectorial ~V y que denotaremos como ∆~V . Se tiene

∆~V ≡ (DiDiVk)~ek (1.84)

= Di(∂iVk + ΓkijV

j)~ek

= Di(∂iV k + gilΓkljV

j)~ek (1.85)

y usandoDiT

ik = ∂iTik + ΓiliT

lk + ΓliTil (1.86)

(que se sigue de (1.64)) se tendra

∆~V =[∂i(∂

iV k + Γkij Vj) + Γili(∂

lV k + Γklj Vj) + Γkli(∂

iV l + Γlij Vj)]~ek , (1.87)

donde Γkij ≡ Γkj lgli, etc.

Ası, para ~V ∈ Tx(R2) dado por (1.71) y R2 equipado con el tensor metrico euclıdeo que encoordenadas euclıdeas viene dado (1.37) obtenemos

∆~V = [(∂x∂x + ∂y∂y)Vx]~ex + [(∂x∂x + ∂y∂y)V

y]~ey (1.88)

y en coordenadas polares obtenemos

∆~V =

[∆V r − 1

rV r − 2

r∂θV

θ

]~er +

[∆V θ+

2

r∂rV

θ +2

r3∂θV

r

]~eθ, (1.89)

donde ∆V r y ∆V θ se obtienen a partir de (1.83) reemplazando ϕ por V r y V θ respectivamentey donde debe recordarse que ~er, ~eθ es una base ortogonal de vectores no unitarios.

1.4 Problemas y ejercicios

1. Haciendo uso de (1.8) para obtener ∇ωi, obtenga ∇B para B un campo covector y demuestreque en este caso se tiene

∇B =(∂jBi − ΓkjiBk

)ωj ⊗ ωi .

2. Obtenga ∇T para T un tensor del tipo (11).

3. Obtenga ∇T para T un tensor del tipo (02). A continuacion, muestre de manera explıcita

que ∇g = 0 para g dado por (1.47). Note que este resultado es el esperado, como se sigue delhecho de que∇g es una expresion covariante y de que∇g = 0 en coordenadas cartesianas. Sedice que ∇ es el operador derivada asociado a g y la correspondiente operacion de derivacioncovariante conmuta con la contraccion de indices con las componentes de g.



4. Usando el hecho de que la derivada covariante de un campo vectorial ∇~V (definida por

(1.56,1.57)) es un tensor del tipo (11), muestre que las conexiones Γkji definidas en (1.55) no

son las componentes de un tensor.

5. Calcule las derivadas covariantes direccionales ∇~u ~er y ∇~u ~eθ a lo largo de los vectores ~u = ~ery ~u = ~eθ, con ~er y ~eθ dados por (1.39) y (1.40) respectivamente.

Referencias

B. Felsager, Geometry, Particles and Fields. Springer Verlag. 1998.B. Schutz, Geometrical methods of mathematical Physics. Cambridge University Press. 1990.Y.Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette and M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics,Part 1. (revised edition) North Holland. 1996.B. A. Dubrovin, A. T. Fomenko and S. P. Novikov, Modern Geometry - Methods and Applications,Part 1. (2nd edition). Springer. 1992.


Capıtulo 2

Distribuciones

Este capıtulo provee una introduccion a la teorıa de distribuciones. La primera definicion de dis-tribucion en el sentido moderno, esto es como funcional, se debe a Sovolev (1936). En lo quesigue, revisaremos la teorıa de distribuciones de L. Schwartz (1950), considerada en la actualidadcomo la teorıa adecuada para tratar funciones impropias de manera matematicamente riguro-sa. Posteriormente, en los capıtulos siguientes, veremos que la teorıa de distribuciones es unaherramienta esencial en la construccion de soluciones para las Ecuaciones Diferenciales Parciales(EDP’s) lineales.

2.1 Funciones de prueba

Definicion 1 Una funcion de prueba φ(x) = φ(x1, x2, x3, · · · , xn) sobre Rn es una funcion infini-tamente derivable sobre Rn y que es identicamente nula fuera de un subconjunto cerrado K de Rn.El espacio de todas las funciones de prueba sobre Rn se denotara por D. A K se le denomina elsoporte de φ. A D se le conoce tambien como el espacio de las funciones infinitamente derivablescon soporte compacto C∞

0 (Rn).

Ejemplo 1En Rn, la funcion definida por

φ(x) =

0 si |x| ≥ 1exp

(− 1

1−x2

)si |x| < 1

es una funcion de prueba. El soporte de φ(x) es |x| ≤ 1.

Ejemplo 2Si φ1(x) y φ2(x) son funciones de prueba sobre Rn, tambien lo es c1φ1(x) + c2φ2(x) con c1 y c2reales. D es entonces un espacio vectorial.

Introduzcamos a continuacion una topologıa o nocion de convergencia en el espacio de funcionesde prueba D. Diremos que una sucesion de funciones φj ∈ D converge a φ ∈ D para j →∞ si:

1. Los soportes de las φj estan contenidos en un mismo conjunto acotado, independiente de j.

2. Las derivadas de todo orden n, φ(n)j , de las φj convergen uniformemente para j → ∞ a las

derivadas correspondientes φ(n) de φ, esto es,

|φ(n)(x)− φ(n)j (x)| ≤ ε paraj →∞, con ε tan pequeno como se quiera.

23


2.2 Distribuciones

Definicion 2 Diremos que f es un funcional lineal sobre D si existe una regla que asigna a cadaφ(x) ∈ D un numero real que denotaremos por 〈f, φ〉, tal que

〈f, α1φ1 + α2φ2〉 = α1〈f, φ1〉+ α2〈f, φ2〉

con α1 y α2 reales.

Definicion 3 Diremos que T es un funcional lineal continuo sobre el espacio vectorial D, si 〈T, φj〉converge a 〈T, φ〉 siempre que φj converja a φ en el sentido de la topologıa de D. Denominaremosdistribuciones a los funcionales lineales continuos sobre D y denotaremos por D′ al espacio de lasdistribuciones.

El espacio de las distribuciones, D′, es el dual (topologico) del espacio vectorial topologico Ddefinido en 2.1. Por otro lado, D′ es un espacio vectorial tambien, estando definida la suma T1 +T2

y el producto λT , con λ real, por

〈T1 + T2, φ〉 = 〈T1, φ〉+ 〈T2, φ〉,

y〈λT, φ〉 = λ〈T, φ〉.

Definicion 4 El soporte de una distribucion T es el conjunto cerrado mas pequeno fuera del cualT es nula.

Veamos algunos ejemplos de distribuciones.

Ejemplo 3Sea L1

loc(Rn) el espacio de las funciones localmente integrables sobre Rn, esto es, integrables sobretodo dominio acotado Ω de Rn. Sea f ∈ L1

loc(Rn), entonces f define a la distribucion f : D(Rn) → Ra traves de

φ(x) 7→∫Rn

dnxf(x)φ(x), ∀φ ∈ D(Rn)

y hacemos la identificacion

〈f, φ〉 ≡∫Rn

dnxf(x)φ(x).

Decimos que la distribucion ası definida es regular.

Ejemplo 4Sea Ω un dominio en Rn y considere el funcional sobre D definido por

〈IΩ, φ〉 ≡∫Ω

dnxφ(x).

Este funcional es una distribucion.

Ejemplo 5Introduzcamos a continuacion la distribucion δ de Dirac.



1. En R1, la distribucion δ(0) de Dirac es la distribucion definida por

〈δ(0), φ〉 = φ(0), ∀φ ∈ D(R1). (2.1)

El soporte de δ(0) es el punto 0 de R1. Con frecuencia se escribe δ(0) = δ(x).

2. La distribucion de Dirac δ(a) con soporte en el punto a de Rn, definida por

〈δ(a), φ〉 = φ(a), ∀φ ∈ D(Rn). (2.2)

Vamos a demostrar a continuacion que δ(0) es un tipo de distribucion que denominaremos singular,en contraposicion a las ya definidas distribuciones regulares. Si δ fuese regular entonces existirıauna funcion f(x) localmente integrable tal que∫

Rn

dnxf(x)φ(x) = φ(0) ∀φ ∈ D(Rn). (2.3)

Considerese la funcion de prueba dada por

φa(x) =

0, si |x| ≥ a

exp(

a2

|x|2−a2

), si |x| < a

donde

φa(0) =1

e,

|φa(x)| ≤ 1

e.

Se tiene ∣∣∣∣∣∣∫Rn

dnxf(x)φa(x)

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣∣∣∫

|x|<a

dnxf(x) exp

(a2

|x|2 − a2

)∣∣∣∣∣∣∣ ≤1

e

∫|x|<a

dnx|f(x)|.

Si f(x) es localmente integrable entonces lima→0

∫|x|<a

dnx|f(x)| = 0. Se sigue entonces que

lima→0

∫Rn

dnxf(x)φa(x) = 0,

lo que contradice nuestra suposicion inicial, ecuacion (2.3).

Ejemplo 6Si f(x) es localmente integrable, tambien lo es f(x/α), ∀α real diferente de cero. La distribucionf(x/α) : D(Rn) → R viene definida por

〈f(x/α), φ(x)〉 =

∫Rn

dnx f(x/α)φ(x), ∀φ ∈ D(Rn)



y dado que ∫Rn

dnx f(x/α)φ(x) = |α|n∫Rn

dny f(y)φ(αy),

se tendra

〈f(x/α), φ(x)〉 = |α|n〈f(x), φ(αx)〉, ∀φ ∈ D(Rn).

Ahora bien, sea (Φαf) (x) ≡ f(x/α). Entonces

〈(Φαf) (x), φ(x)〉 = |α|n〈f(x), φ(αx)〉

y ∀Tx ∈ D′(Rn) la distribucion (ΦαT )x viene definida por

〈(ΦαT )x , φ(x)〉 = |α|n〈Tx, φ(αx)〉, ∀φ ∈ D(Rn).

En R1, si δ(0) es la distribucion δ de Dirac con soporte en el origen se tendra

〈(Φαδ)(0) , φ〉 = |α|〈δ(0), φ(αx)〉 = |α|φ(0)

y por lo tanto, en R1 y con α 6= 0 se tendra

(Φαδ)(0) = |α|δ(0),

que usualmente se escribe como δ(x/α) = |α|δ(x).

2.3 Multiplicacion de distribuciones

La multiplicacion ST , de dos distribuciones arbitrarias S y T , no tiene en general sentido comodistribucion. Por ejemplo, una funcion f localmente integrable define una distribucion, sin embargof 2 no es necesariamente localmente integrable y de aquı que no necesariamente le este asociadauna distribucion. Sin embargo, es posible en algunos casos obtener una distribucion bien definidaa partir del producto de distribuciones particulares.

Definicion 5 El producto αT , con T una distribucion arbitraria y α una funcion infinitamentederivable en el sentido usual, define a la distribucion

〈αT, φ〉 ≡ 〈T, αφ〉.

Ası, en R1 se tiene

〈αδ(0), φ〉 = 〈δ(0), αφ〉 = α(0)φ(0) = 〈α(0)δ(0), φ〉,

esto es,

αδ(0) = α(0)δ(0)

y en particular

xδ(0) = 0.

Por otro lado, se puede demostrar que no es posible definir un producto de distribucionescualesquiera que tenga las propiedades usuales de asociatividad y conmutatividad.



Ejemplo 7Sea vp 1

xel valor principal de Cauchy de 1

xen R1, definido por

〈vp1

x, φ〉 ≡ lim

ε→0+

(∫ −ε

−∞dx

φ

x+

∫ ∞

ε

dxφ

x

)para φ ∈ D(R1). Tenemos

0 = (δ(0)x)vp1

x6= δ(0)(x vp

1

x) = δ(0),

que muestra claramente la no asociatividad.

2.4 Derivacion de distribuciones

Una de las razones que nos lleva a considerar la idea de distribucion es la posibilidad de extenderla nocion de derivada. Sea f(x) una funcion localmente integrable y continuamente diferenciableen Rn. A f(x) se le asocia de manera natural la distribucion regular

〈f(x), φ(x)〉x =

∫Rn

dnxf(x)φ(x), ∀φ ∈ D(Rn).

En este caso, la distribucion∂f

∂x1vendra dada por

⟨∂f

∂x1, φ(x)

⟩x

=

∫Rn

dnx∂f

∂x1φ(x) =

∫dx2

∫dx3 · · ·

∫dxn

∫dx1 ∂f

∂x1φ(x)

=

∫dx2 · · ·

∫dxn

f(x)φ(x)|∞−∞ −∞∫

−∞

dx1 f(x)∂φ

∂x1

= −

∫dx1

∫dx2 · · ·

∫dxn f(x)

∂φ

∂x1

= −⟨f(x),

∂

∂x1φ(x)

⟩x

.

Ası, en general se tendra ⟨∂f(x)

∂xi, φ(x)

⟩x

= −⟨f(x),

∂

∂xiφ(x)

⟩x

, (2.4)

lo que sugiere la siguiente definicion.

Definicion 6 ∀T ∈ D′, la distribucion ∂T∂xi viene dada por⟨

∂T

∂xi, φ(x)

⟩x

= −⟨T,

∂

∂xiφ(x)

⟩x

, ∀φ ∈ D(Rn). (2.5)



Sea D el operador diferencial de orden p en n variables independientes x1, x2, · · · , xn

D =∑|k|≤p

akDk, (2.6)

conDk = (∂1)

k1 (∂2)k2 · · · . (∂n)kn , |k| = k1 + k2 + · · ·+ kn, (2.7)

donde todos los coeficientes ak se suponen constantes. Entonces

〈DTx, φ(x)〉 = 〈Tx, D∗φ(x)〉, ∀φ ∈ D(Rn), (2.8)

donde

D∗ =∑|k|≤p

(−1)|k|akDk (2.9)

se conoce como el operador adjunto de D. Si D∗ = D, se dice que D es autoadjunto.

Ejemplo 8Sea D = ∆, con ∆ =

∑i ∂i∂i el operador laplaciano en coordenadas cartesianas. Se tiene ∗∆ = ∆

y por lo tanto ∆ es autoadjunto.

Ejemplo 9Considerese a continuacion el operador diferencial lineal de segundo orden en una variable definidopor

L ≡ d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x), (2.10)

donde p(x) y q(x) se suponen funciones infinitamente derivables. Entonces, ∀Tx ∈ D′(R1) y∀φ ∈ D(R1) se tiene

〈LTx, φ(x)〉 = 〈Tx, Lφ(x)〉. (2.11)

L dado por (2.10) es autoadjunto.

Ejemplo 10En R1, sea Θ(x) la distribucion de Heaviside, asociada a la funcion localmente integrable Θ = 1 six > 0 y Θ = 0 si x < 0. Entonces,⟨

d

dxΘ(x), φ

⟩= −

⟨Θ(x),

d

dxφ

⟩=

∞∫−∞

dxΘ(x)d

dxφ =

∞∫0

dxd

dxφ = φ(0).

Por lo tanto,d

dxΘ(x) = δ(0),

en el sentido de las distribuciones.

Ejemplo 11En R1, sea α(x) una funcion infinitamente derivable en el sentido usual de la teorıa de funcionesy sea δ = δ(0) la distribucion delta de Dirac con soporte en x = 0. Entonces,

〈αδ′, φ〉 = 〈δ′, αφ〉 = −(αφ)′|x=0 = −α′(0)φ(0)− α(0)φ′(0).



Se sigue queαδ′ = α(0)δ′ − α′(0)δ,

y en particular,

x δ′ = −δ,x2 δ′ = 0,

x δ(m) = −mδ(m−1).

Por ultimo, consideremos un ejemplo en R3 sumamente importante.

Ejemplo 12Sea ∆ el operador laplaciano. En R3 tenemos en el sentido de las distribuciones

∆1

|~x|= −4πδ(~0).

Por supuesto, r−1 = |~x|−1 no es derivable en r = 0 en el sentido usual de la teorıa de funciones.Ahora bien, en el sentido de las distribuciones se tiene⟨

∆1

r, ϕ

⟩=

⟨(∂x∂x + ∂y∂y + ∂z∂z)

1

r, ϕ

⟩= (−1)2

⟨(1

r, (∂x∂x + ∂y∂y + ∂z∂z)ϕ

⟩=

⟨1

r,∆ϕ

⟩y por lo tanto ⟨

∆1

r, ϕ

⟩= lim

ε→0

∞∫ε

dr r2

∫dΩ

1

r∆ϕ.

Esta ultima integral puede evaluarse usando la identidad de Green∫Ω

d3x(f∆g − g∆f) =

∫∂Ω

da

(f∂g

∂n− g

∂f

∂n

),

donde ∂Ω es la superficie que encierra al volumen Ω, n es la normal a ∂Ω externa a Ω y∂

∂n≡ n · ~∇

con ~∇ el operador gradiente. Tenemos,

∞∫ε

dr r2

∫dΩ

[1

r∆ϕ− ϕ

∆

1

r

]= −

∫r=ε

da

(1

r

∂ϕ

∂r− ϕ

∂

∂r

1

r

),

donde indica derivacion en el sentido usual de la teorıa de funciones. Es trivial verificar que∆1

r= 0 y por lo tanto

∞∫ε

dr r2

∫dΩ

1

r∆ϕ = −

∫r=ε

da

(1

r

∂ϕ

∂r− ϕ

∂

∂r

1

r

)

= −∫r=ε

da1

ε

∂ϕ

∂r−∫r=ε

daϕ1

ε2.



Puesto que

∣∣∣∣∂ϕ∂r∣∣∣∣ < M ∀ϕ ∈ D, entonces

∣∣∣∣∣∣∫r=ε

da1

ε

∂ϕ

∂r

∣∣∣∣∣∣ ≤ M

ε

∣∣∣∣∣∣∫r=ε

da

∣∣∣∣∣∣ =M

ε4πε2 → 0, para ε→ 0.

Se sigue entonces

∞∫ε

dr r2

∫dΩ

1

r∆ϕ = − 1

ε2

∫r=ε

daϕ(~x) = − 1

ε2

∫r=ε

da[ϕ(~0) + (ϕ(~x)− ϕ(~0))],

= − 1

ε24πε2ϕ(~0)− 1

ε2

∫r=ε

da(ϕ(~x)− ϕ(~0)).

En virtud de la continuidad de ϕ, la ultima integral del miembro derecho tiende a cero para ε→ 0(note que da ∝ ε2), entonces ⟨

∆1

r, ϕ

⟩= −4πϕ(~0)

y por lo tanto

∆1

r= −4πδ(~0).

2.5 Sucesiones y series de distribuciones

Proposicion 1 Sea fα(x) una familia de funciones localmente integrables sobre Rn tales que

limα→α0

fα(x) = f(x)

uniformemente sobre toda bola acotada en Rn, entonces fα → f en el sentido de las distribucionespara α→ α0.

Ası, una manera usual de introducir la distribucion δ de Dirac, consiste en representarla median-te sucesiones o series de funciones. Por ejemplo, si fα(x) es una familia de funciones localmenteintegrables en Rn tales que

limα→α0

∫Rn

dnxfα(x)φ(x) = φ(0) ∀φ ∈ D,

diremos que el conjunto fα(x) es una familia δ n-dimensional.Veamos algunos ejemplos de familias δ en R1.

Ejemplo 13ft(x) para t→ 0+ con

ft(x) =e−

x2

4t

√4πt

ft(x) se conoce con el nombre de kernel de Gauss.



Ejemplo 14fr(θ) para r → 1− con

fr(θ) =

12π

(1−r2

1+r2−2r cos θ

)si |θ| ≤ π

0 si |θ| > π

A fr(θ) se le conoce como el kernel de Poisson.

Ejemplo 15fk(x) para k →∞ con fk(x) el kernel de Dirichlet:

fk(x) =

k∑

m=−k

12πeimx si |x| ≤ π

0 si |x| > π

2.6 Producto tensorial de distribuciones

SeanXm y Y n dos espacios euclıdeos de dimensiones respectivasm y n. Si f(x) es una funcion sobreXm y g(y) una funcion sobre Y n, el producto tensorial f(x)⊗g(y) es una funcion h(x, y) = f(x)g(y)definida sobre Zm+n = XmY n. En particular, si f y g son localmente integrables sobre Xm y Y n,h es localmente integrable sobre Zm+n y se puede pensar en extender el producto tensorial a lasdistribuciones.

Sean Dx, Dy, Dxy los espacios D de las funciones infinitamente derivables con soporte aco-tado sobre Xm, Y n, XmY n respectivamente y D′

x,D′y,D′

xy los espacios D′ de las distribucionescorrespondientes. Es facil ver que:

Proposicion 2 Si Sx ∈ D′x y Ty ∈ D′

y, existe una distribucion Wxy ∈ D′xy bien determinada y

unica, tal que, ∀ϕ ∈ Dxy de la forma ϕ(x, y) = u(x)v(y) con u ∈ Dx y v ∈ Dy se tiene

〈Wxy, ϕ〉 = 〈Wxy, u(x)v(y)〉 = 〈S, u〉〈T, v〉.

Wxy es el producto tensorial de las distribuciones S y T : W = S⊗T . En general, para ϕ(x, y) ∈ Dxy

se puede calcular 〈W,ϕ〉 por la regla de Fubini. Fijando x, entonces ϕ(x, y) se piensa como unafuncion ϕ ∈ Dy y se tiene

θ(x) = 〈Ty, ϕ(x, y)〉,numero que depende de x. Ahora, como funcion de x, θ ∈ Dx y se tendra

〈W,ϕ〉 = 〈S, θ〉 = 〈Sx, 〈Ty, θ(x, y)〉〉.

Analogamente,〈W,ϕ〉 = 〈Ty, 〈Sx, ϕ(x, y)〉〉.

Proposicion 3 El soporte de W es el producto A×B de los soportes de S y T , esto es, el conjuntode puntos (x, y) tal que x ∈ A, y ∈ B.

Lo anterior es trivialmente extendible al caso de un numero arbitrario finito de distribuciones.Por ejemplo, es facil ver que

Rx ⊗ Sy ⊗ Tz = Rx ⊗ (Sy ⊗ Tz) = (Rx ⊗ Sy)⊗ Tz,

empleando la regla de Fubini.Consideremos a continuacion algunos ejemplos.



Ejemplo 16Una funcion g se dice independiente de x si es de la forma g = 1x ⊗ g(y). De la misma manera,diremos que una distribucion es independiente de x si es de la forma 1x ⊗ Ty:

〈1x ⊗ Ty, ϕ〉 =

∫xm

dmx〈Ty, ϕxy〉 =

⟨Ty,

∫xm

dmxϕ(x, y)

⟩

Ejemplo 17Sean Dp

x y Dqy dos operadores diferenciales con respecto a las variables x, y, respectivamente.

Entonces,DpxD

qy(Sx ⊗ Ty) = (Dp

xSx)⊗ (DqyTy)

Ejemplo 18En coordenadas cartesianas, la distribucion δ en R3 con soporte en ~x = ~0,

δ(~0) ≡ δx ⊗ δy ⊗ δz

y que escribiremos usualmente comoδ(~0) = δ(~x).

Ejemplo 19Considerese en Rn, en coordenadas cartesianas, la distribucion

Θ = Θ(x1)⊗Θ(x2)⊗Θ(x3)⊗ · · · ⊗Θ(xn)

donde Θ(xi) es la funcion de Heaviside para la variable xi. Es facil ver que

∂n

∂x1∂x2 · · · ∂xnΘ = δ(~x)

con ~x ∈ Rn.

2.7 El producto de convolucion

Definicion 7 Sean S y T dos distribuciones sobre Rn. Se llama producto de convolucion S ∗ T ala distribucion sobre Rn definida por

〈S ∗ T, ψ〉 = 〈Sξ ⊗ Tη, ψ(ξ + η)〉.

Es claro, si existe S ∗ T tambien existe T ∗ S y se satisface S ∗ T = T ∗ S.

El producto de convolucion definido arriba tiene sentido si los soportes A y B de S y T sontales que, para ξ ∈ A y η ∈ B, ξ + η acotado implica ξ y η ambos acotados. Esto garantiza quela interseccion entre el conjunto de puntos (ξ, η), soporte de Sξ ⊗ Tη y el soporte de ψ, permaneceacotado. Observese que aunque ψ(x) para x ∈ Rn sea de soporte acotado, ψ(ξ + η) no lo es.

Si f y g son dos funciones localmente integrables y sus soportes verifican las condiciones arribamencionadas, f ∗ g es una funcion h localmente integrable dada por

h(x) =

∫Rn

dnyf(x− y)g(y) =

∫Rn

dnyf(y)g(x− y) .



Esto puede verse facilmente haciendo W = f ∗ g

〈W,ψ〉 = 〈fξ ⊗ gη, ψ(ξ + η)〉 =

∫dξ

∫dηf(ξ)g(η)ψ(ξ + η)

y con el cambio de variables x = ξ + η, y = η, dξdη = dxdy se tiene

〈W,ψ〉 =

∫dx

(∫dyf(x− y)g(y)

)ψ(x) =

∫dxh(x)ψ(x).

Ejemplo 20En R1, consideremos a continuacion la distribucion Gσ definida por

Gσ =1

σ√

2πexp

(− x2

2σ2

).

Es facil demostrar queGσ ∗Gτ = G√

σ2+τ2 .

Gσ(x) considerada como densidad de probabilidad para la variable x se conoce comunmente comola distribucion de Gauss y satisface

x ≡∞∫

−∞

dx xGσ(x) = 0,

esto es, el valor medio de la variable x es cero y

x2 ≡

∞∫−∞

dx x2Gσ(x)

1/2

= σ,

de donde se desprende que σ es la desviacion cuadratica media de la variable x en torno de su

valor medio,√x2 − x2.

Si dos variables aleatorias, reales e independientes, siguen la distribucion de Gauss con desvia-ciones medias σ y τ , la suma sigue la distribucion

Gσ ∗Gτ = G√σ2+τ2 ,

que es tambien una distribucion de Gauss con desviacion√σ2 + τ 2. En particular, la suma de n

variables aleatorias independientes que siguen, cada una, la distribucion de Gauss, obedece tambienuna distribucion de Gauss con desviacion σ

√n. De aquı que la media aritmetica de los resultados

de n medidas arroje un error del orden de√nn

= 1√n.

Proposicion 4 En R1, si α(x) es una funcion infinitamente derivable (en el sentido usual de lateorıa de funciones) y T una distribucion arbitraria, T ∗α es una funcion infinitamente derivable,en el sentido usual, dada por

h(x) = (T ∗ α)(x) = 〈Ty, α(x− y)〉.



La demostracion es sencilla,

〈T ∗ α, ψ〉 = 〈Tξ ⊗ α(η), ψ(ξ + η)〉 = 〈Tξ, 〈α(η), ψ(ξ + η)〉〉

=

⟨Tξ,

∫dηα(η)ψ(ξ + η)

⟩=

⟨Tξ,

∫dxα(x− ξ)ψ(x)

⟩=

∫dx〈Tξ, α(x− ξ)〉ψ(x) =

∫dx h(x)ψ(x) = 〈h, ψ〉.

Se dice que la convolucion con α es una regularizacion de T provista por α.

En R1, si T es de soporte acotado se llama transformada de Laplace de T a la funcion devariable compleja T (s) definida por

T (s) ≡ 〈T(x), e−sx〉x.

En relacion a la transformada de Laplace del producto de convolucion S ∗ T tenemos el siguienteresultado, conocido como el teorema de convolucion para transformadas.

Proposicion 5 La transformada de Laplace de S∗T es el producto ordinario de las transformadasde Laplace de S y T ,

(S ∗ T ) = ST .

Se tiene que

〈S ∗ T, e−sx〉 = 〈S(ξ) ⊗ T(η), e−s(ξ+η)〉 = 〈S(ξ) ⊗ T(η), e

−sξe−sη〉= 〈S(ξ), e

−sξ〉ξ〈T(η), e−sη〉η

= S(s)T (s).

Veamos a continuacion algunas propiedades de la convolucion con la distribucion δ y sus deri-

vadas.

Proposicion 6 En R1, para T una distribucion cualquiera, se tiene

1. δ(0) ∗ T = T ,

2. δ(a) ∗ T = Tx−a,

3. δ′(0) ∗ T = T ′.

Pruebas:1. Partiendo de la definicion del producto de convolucion se tiene

〈δ(0) ∗ T, ψ〉 = 〈δ(ξ)⊗ Tη, ψ(ξ + η)〉 = 〈Tη, 〈δ(ξ), ψ(ξ + η)〉〉= 〈Tη, ψ(η)〉 = 〈T, ψ〉

y por lo tanto

δ(0) ∗ T = T,



δ(0) es la unidad del producto de convolucion. Con frecuencia, esto se escribe como∫dξ δ(x− ξ)T (ξ) = T (x) .

2. Para T ∈ D′ se define

〈Tx−a, ψ〉 ≡ 〈Tx, ψ(x+ a)〉,

que no es mas que la extension, para T arbitraria, de la expresion correspondiente para la distri-bucion asociada a una funcion localmente sumable. Ahora,

〈δ(a) ∗ T, ψ〉 = 〈δ(ξ − a)⊗ Tη, ψ(ξ + η)〉 = 〈Tη, 〈δ(ξ − a), ψ(ξ + η)〉〉= 〈Tη, ψ(a+ η)〉 = 〈Tx−a, ψ〉.

3. Se tiene

〈δ′(0) ∗ T, ψ〉 = 〈δ′(ξ)⊗ Tη, ψ(ξ + η)〉 = 〈Tη, 〈δ′(ξ), ψ(ξ + η)〉〉= 〈Tη,−ψ′(η)〉 = −〈T, ψ′〉= 〈T ′, ψ〉

y en general δ(n)(0) ∗ T = T (n).

Si D es un operador diferencial con coeficientes constantes en Rn y δ(0) la distribucion de Diracen Rn con soporte en el origen, entonces

(Dδ(0)) ∗ T = DT.

Ası,

D(T ∗ S) = Dδ(0) ∗ (T ∗ S) = (Dδ(0) ∗ T ) ∗ S = DT ∗ S

o bien

D(T ∗ S) = D(S ∗ T ) = Dδ(0) ∗ (S ∗ T ) = (Dδ(0) ∗ S) ∗ T = DS ∗ T

y por lo tanto

D(T ∗ S) = DT ∗ S = T ∗DS.

Ejemplo 21El producto de convolucion

Φ = ρ ∗ 1

r,

aparece en la teorıa electromagnetica clasica de Maxwell, donde Φ es el potencial electrostaticoasociado a la distribucion de carga ρ (de soporte acotado) y r = |~x|. Con ∆ el operador laplacianoen R3 se tiene

∆Φ = ∆

(ρ ∗ 1

r

)= ρ ∗∆

1

r= ρ ∗ (−4πδ(0)) = −4πρ,

que es la ecuacion de Poisson.



2.8 Ecuaciones de convolucion

Sea A′ un algebra de convolucion, es decir, un subespacio vectorial del espacio D′ tal que A′ escerrado con respecto al producto de convolucion de un numero finito de distribuciones ∈ A′, quedicho producto sea conmutativo y que δ(0) ∈ A′.

Ejemplos.

1. A′ = E ′ el algebra de convolucion de las distribuciones con soporte acotado en Rn

2. A′ = D′(R+) el algebra de convolucion de las distribuciones con soporte en la semirecta x ≥ 0en R1. Usualmente D′(R+) se denota por D′

+.

3. A′ = D′(Γ+) el algebra de convolucion de las distribuciones en R4 con soporte en el cono deluz futuro Γ+ = x ∈ R4 : (x1)2 + (x2)2 + (x3)2 ≤ (x0)2, x0 ≥ 0.

Se entendera por ecuacion de convolucion una expresion de la forma

A ∗X = B,

donde A, B y X estan en A′, A y B son conocidos y X es la incognita.

Proposicion 7 Para que A ∗ X = B tenga solucion, es necesario y suficiente que A posea unainversa A−1 ∈ A′, tal que

A−1 ∗ A = A ∗ A−1 = δ(0)

y por lo tanto X = A−1∗B. Se denominara a A−1 solucion elemental de la ecuacion de convolucionA ∗X = B.

Ejemplo 22Es crucial el hecho de estar en un algebra de convolucion para que una ecuacion de convoluciontenga una solucion unica. Por ejemplo, en R3 con ∆ el operador laplaciano y r = |~x| se tiene(ejemplo 12)

∆1

r= −4πδ(0).

Se sigue que existe una inversa (∆δ(0))−1 = −1/4πr ∈ D′(R3), pero D′(R3) no es un algebra de

convolucion. Ası, para la ecuacion de Poisson

∆Φ = −4πρ,

la solucion Φ no es unica, ya que

∆Φ = ∆δ ∗ Φ = ∆δ ∗ (Φ−X)

si X satisface∆δ ∗X = ∆X = 0.

Por otro lado, puesto que −1/4πr no es de soporte acotado, la convolucion

(∆δ)−1 ∗ (−4πρ) = (−1/4πr) ∗ (−4πρ)

tiene sentido solo si ρ es de soporte acotado. Tendremos entonces que la solucion general de laecuacion de Poisson viene dada por

Φ =1

r∗ ρ+X,

donde ρ debera ser necesariamente de soporte acotado y X una distribucion que satisface ∆X = 0pero por lo demas arbitraria.



Considerese a continuacion el algebra D′+ y sea δ = δ(0). Se tiene el siguiente resultado.

Proposicion 8 Sea D el operador diferencial de orden m con coeficientes constantes en una va-riable

D =dm

dxm+ a1

dm−1

dxm−1+ · · ·+ am−1

d

dx+ am .

Dδ es invertible en D′+ y se tiene que (Dδ)−1 = ΘZ, donde Θ es la distribucion de Heaviside y Z

es la solucion de la ecuacion homogenea DZ = 0 que verifica las condiciones iniciales

Z(0) = Z(1)(0) = · · · = Z(m−2)(0) = 0 y Z(m−1)(0) = 1.

A (Dδ)−1 se le denominara solucion elemental para el operador D.

Tenemos,

D(ΘZ) = (ΘZ(m) + δZ(m−1)(0) + · · ·+ δ(m−1)Z(0))

+a1(ΘZ(m−1) + δZ(m−2)(0) + · · ·+ δ(m−2)Z(0))

+ · · ·+ am−1(ΘZ(1) + δZ(0)) + amΘZ .

De las condiciones iniciales y con DZ = 0 se sigue que

D(ΘZ) = δ.

Ahora,D(ΘZ) = δ ∗D(ΘZ) = Dδ ∗ (ΘZ) = δ

y por lo tanto(Dδ)−1 = ΘZ.

Ejemplo 231. La solucion elemental para D =

(ddx− λ), con λ una constante real arbitraria, viene dada

por(δ′ − λδ)−1 = Θ(x)eλx.

2. La solucion elemental para D =(d2

dx2 + ω2), con ω una constante real arbitraria diferente de

cero, viene dada por

(δ′′ + ω2δ)−1 = Θ(x)sinωx

ω.


1. En R1, calcule en el sentido de las distribuciones

(a)d2

dx2|x|, (b)

d3

dx3

(Θ(x)

x2

2!

), (c)

d

dxlog |x|.

2. En R1, pruebe la identidadxδ

(m)(0) = −mδ(m−1)

(0) .



3. Sea f la distribucion definida sobre φ(x) ∈ D(R) asociada a la funcion

f(x) =

+1, (2k − 1)π

2< x < (2k + 1)π

2

−1, (2k + 1)π2< x < (2k + 3)π

2

donde k toma todos los valores enteros positivos, negativos y cero. Calcule df/dx en elsentido de las distribuciones.


(a)d2

dx2(Θ(x) cos x), (b)

d2

dx2| cosx|.


∂2

∂x∂y(Θ(x)⊗Θ(y))

6. Demuestre que en R2, 12π

log |~x|−1 satisface en el sentido de las distribuciones

∆1

2πlog |~x|−1 = −δ(~x),

donde ∆ es el operador laplaciano.

7. Pruebe que el conjunto fε(x) para ε→ 0+ es una familia δ en R1 con fε(x) dado por

fε(x) =1

π

ε

ε2 + x2

Ayuda: tenemos

limε→0+

∫ ∞

−∞dxfε(x)φ(x) = lim

ε→0+

[∫ ∞

−∞dxfε(x) (φ(x)− φ(0)) +

∫ ∞

−∞dxfε(x)φ(0)

].

A continuacion, haciendo el cambio x = εy, evalue esta ultima expresion. Haga uso del hechode que las φ(x) son funciones infinitamente derivables con continuidad y de soporte acotado.

8. Sea fλ(x) la familia de funciones localmente integrables en R1 con fλ(x) dada por

fλ(x) = exp(− exp(−λx)) .

Evalue dfλ(x)/dx en el sentido de las distribuciones. A continuacion, demuestre que

limλ→∞

dfλ(x)/dx = δ(x)

y deduzca a partir de esto que fλ(x) es una familia Heaviside para λ→∞.



9. En R1, considerese la distribucion asociada a la funcion localmente integrable f(x) = Θ(x) ln xdefinida por

〈f, φ〉 ≡ limε→0+

∫ ∞

ε

dx lnxφ(x).

Evalue df/dx en el sentido de las distribuciones y muestre que

〈 dfdx, φ〉 = lim

ε→0+

[∫ ∞

ε

dx1

xφ(x) + φ(ε) ln ε

].

A continuacion, utilizando la descomposicion φ(x) = φ(0) + [φ(x)− φ(0)], muestre que

〈 dfdx, φ〉 =

∫ A

0

dxφ(x)− φ(0)

x+ φ(0) lnA ,

donde hemos supuesto que el soporte de φ ⊂ [−A,A]. Muestre ademas que esta ultimaexpresion no depende de A. La distribucion ası definida se conoce como parte finita de 1

xy

se denota usualmente como Fp 1x.

10. Sea Ω ⊂ R2 la region interior al cuadrado cuyos vertices son los puntos (1, 1), (2, 0), (3, 1),(2, 2). Sea E(x, y) la funcion indicadora definida por

E(x, y) =

+1, (x, y) ∈ Ω,

0, (x, y) ∈ R2 y (x, y) /∈ Ω.

Calcule en el sentido de las distribuciones ∂y∂yE − ∂x∂xE.

11. Efectue los productos de convolucion que se indican a continuacion

(a) δ(x− a) ∗ δ(x− b)

(b) Θ(x) cos(x) ∗ (δ′(x) + Θ(x))

(c) Θ(x) sinx ∗Θ(x) sinh 2x

12. Demuestre

(a) Θ(x)e−ix ∗Θ(x)eix = Θ(x) sinx

(b) Θ(x)e−√

2x ∗Θ(x)e√

2x = Θ(x) sinh√

2x/√

2

13. Efectue el producto de convolucion Pa ∗ Pb con

Pa =1

π

a

x2 + a2,

donde a es una constante positiva.

En todos los problemas que siguen, δ denota a la distribucion de Dirac δ(0) en R1.

14. Encuentre en D′+ la inversa de δ′′ + 2λδ′ + ω2

0δ. Trate los casos ω2 > λ2 y ω2 < λ2.

15. Encuentre la inversa en D′+ de Dδ con D dado por

D =d4

dx4− d2

dx2− 2 =

(d

dx+ i

)(d

dx− i

)(d

dx−√

2

)(d

dx+√

2

)



16. Demuestre (δ′ −Θ(x)eλx

)∗ (δ′ − λδ) = δ′′ − λδ′ − δ

y de aquı que (δ′ −Θ(x)eλx

)−1= (δ′ − λδ) ∗ (δ′′ − λδ′ − δ)

−1.

Utilice esta ultima expresion para encontrar(δ′ −Θ(x)eλx

)−1.

17. Sea Θλ(x) ∈ D′+ definida por Θλ(x) = (δ′ − λδ)−1 = Θ(x)eλx y considerense los productos

de convolucion siguientes.

(a) i. Sea Θ2λ(x) ∈ D′

+ definida por Θ2λ(x) = Θλ(x) ∗Θλ(x). Entonces,

(δ′ − λδ)−2

= Θ2λ(x), donde (δ′ − λδ)

−2 ≡ (δ′ − λδ)−1 ∗ (δ′ − λδ)

−1.

Encuentre de manera explıcita Θ2λ(x).

ii. Sea Θ3λ(x) ∈ D′

+ definida por Θ3λ(x) = Θλ(x) ∗Θλ(x) ∗Θλ(x). Entonces,

(δ′ − λδ)−3

= Θ3λ(x),

donde(δ′ − λδ)

−3= (δ′ − λδ)

−1 ∗ (δ′ − λδ)−1 ∗ (δ′ − λδ)

−1.

Encuentre de manera explıcita Θ3λ(x).

iii. Muestre que estos resultados se pueden generalizar a

(δ′ − λδ)−m

= Θmλ (x),

donde

(δ′ − λδ)−m ≡ (δ′ − λδ)

−1 ∗ (δ′ − λδ)−1 ∗ ... ∗ (δ′ − λδ)

−1(mveces)

y

Θmλ (x) = Θ(x) eλx

xm−1

(m− 1)!.

(b) Considere a continuacion la distribucion Θαλ(x) ∈ D′

+ definida por

Θαλ(x) = Θ(x) eλx

xα−1

Γ(α),

donde Γ es la funcion gamma de Euler. Muestre que

Θ12λ (x) ∗Θ

12λ (x) = Θλ(x).

Este resultado sugiere la siguiente definicion

(δ′ − λδ)− 1

2 ≡ Θ12λ (x)

Las convoluciones de este tipo juegan un papel importante en la teorıa de derivacionde orden fraccional.



18. Considerese la ecuacion de convolucion

F +K ∗ F = G,

donde F , K y G pertenecen a D′+, con K = Θ(x)k(x), G = Θ(x)g(x) y F = Θ(x)f(x),

el ”kernel” k(x) y la funcion g(x) se suponen conocidos y localmente sumables y se deseaconocer f(x).

Si existe (δ +K)−1, se sigue que

F = (δ +K)−1 ∗G

y suponiendo valida la expansion

(δ +K)−1 = δ −K1 +K2 −K3 + ... = δ +∞∑n=1

(−1)nKn ≡ δ +H,

dondeKn ≡ K ∗K ∗ ... ∗K (n veces),

se desprende queF = (δ +H) ∗G.

Para k(x) = eλx, muestre que H viene dado por H = Θ(x)e(λ−1)x.

La ecuacion de convolucion F = G +H ∗G es un tipo particular de las denominadas ecua-ciones integrales de Volterra de segunda especie, aunque no todas las ecuaciones integralesde Volterra son ecuaciones de convolucion en el sentido de la seccion 2.7.

Referencias

L. Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences. Hermann, Paris (1968).I. Stakgold, Green’s functions and Boundary Value Problems. Wiley, New York (1979).Y.Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette and M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics,Part 1. North Holland. 1982.


Capıtulo 3

Ecuaciones diferenciales ordinarias.Funciones de Green.

En este capıtulo revisaremos la resolucion de aquellos problemas de valores iniciales y de contorno,que involucran ecuaciones diferenciales ordinarias, empleando la solucion elemental o funcion deGreen asociada al problema.

3.1 El problema de valores iniciales

Busquemos a continuacion la solucion (en el sentido de la teorıa de funciones) de la ecuaciondiferencial ordinaria no homogenea

Lxy = f(x), x > 0 , (3.1)

con Lx definido por

Lx =dm

dxm+ a1

dm−1

dxm−1+ · · ·+ am−1

d

dx+ am, (3.2)

donde los coeficientes ai, i = 1, 2, · · · ,m son todos constantes, f(x) es una funcion conocida ysobre y se imponen las condiciones iniciales

y(0) = α0, y(1)(0) = α1, . . . , y(m−1)(0) = αm−1. (3.3)

Proposicion 9 Existe una unica solucion al problema de valores iniciales (3.1,3.2,3.3) dada por

y(x) =

x∫0

dξZ(x− ξ)f(ξ) +m−1∑k=0

βkZ(k)(x), (3.4)

donde Z(x) es la solucion al problema de valores iniciales para la ecuacion homogenea

LxZ = 0, x > 0 , (3.5)

que satisface las condiciones iniciales

Z(0) = Z(1)(0) = . . . = Z(m−2)(0) = 0, Z(m−1)(0) = 1 (3.6)

y dondeβk = αm−1−k + a1αm−2−k + · · ·+ am−1−kα0. (3.7)

43


Considerese la distribucion Θ(x)y(x) ∈ D′+. Tendremos (en el sentido de las distribuciones)

Lx(Θy) = (Θym + δym−1(0) + · · ·+ δ(m−1)y(0))

+a1(Θym−1 + δym−2(0) + · · ·+ δ(m−2)y(0))

+ · · ·+ am−1(Θy(1) + δy(0)) + amΘy

= ΘLxy +m−1∑k=0

βkδ(k),

donde

βk = y(m−1−k)(0) + a1y(m−2−k)(0) + · · ·+ am−1−ky(0),

= αm−1−k + a1αm−2−k + · · ·+ am−1−kα0.

Ahora bien,Lx(Θy) = δ ∗ Lx(Θy) = Lxδ ∗ (Θy)

y con (Lxδ)−1 = ΘZ (vease Proposicion 8) se sigue que

Θy = (Lxδ)−1 ∗ Lx(Θy) = ΘZ ∗D(Θy).

Por lo tanto,

Θy = ΘZ ∗

(ΘLxy +

m−1∑k=0

βkδ(k)

),

esto es,

Θy = ΘZ ∗ΘLxy +m−1∑k=0

βkΘZ ∗ δ(k).

Puesto que Lxy = f , se tendra

〈ΘZ ∗ΘLxy, ψ〉 = 〈ΘZ ∗Θf, ψ〉

=

∫dζ

∫dηΘ(ζ)Z(ζ)Θ(η)f(η)ψ(ζ + η)

=

∞∫0

dζ

∞∫0

dη Z(ζ)f(η)ψ(ζ + η)

=

∞∫0

dx

x∫0

dξ Z(x− ξ)f(ξ)ψ(x)

donde se ha hecho el cambio de variables x = ζ + η y ξ = η. Se sigue que

ΘZ ∗ΘLxy =

x∫0

dξZ(x− ξ)f(ξ) .

Por otro lado,ΘZ ∗ δ(m) = (ΘZ)m



y se tendra

Θy =

x∫0

dξ Z(x− ξ)f(ξ) +m−1∑k=0

βk(ΘZ),(k) ,

esto es

y(x) =

x∫0

dξ Z(x− ξ)f(ξ) +m−1∑k=0

βkZ(k)(x)

para x > 0. La solucion elemental (Lxδ)

−1 = ΘZ se conoce comunmente como la funcion de Green para Lx enD′

+.

Ejemplo 24Considere el problema del oscilador armonico forzado descrito por el problema de valores iniciales

d2

dt2x(t) + ω2x(t) =

F

msin Ωt, x(0) = a,

dx

dt

∣∣∣∣t=0

= 0.

En este caso Lt = d2

dt2+ ω2 y tenemos que

(Ltδ)−1 = Θ(t)

sinωt

ω.

Por lo tanto, la solucion al problema viene dada por

x(t) =

t∫0

dτsinω(t− τ)

ω

F

msin Ωτ + a cosωt .

3.2 El problema de contorno

El problema de contorno que nos ocupara por el momento, consiste en encontrar la solucion a unaecuacion diferencial ordinaria con condiciones de contorno prescritas en dos puntos. Este difiere,de manera importante, del problema de valores iniciales para el cual existe una solucion unica quesatisface condiciones en un punto.

El problema de contorno en dos puntos lineal puede plantearse de la manera siguiente

Lxy = −f(x), a < x < b,

Uiy = αi, 1 ≤ i ≤ n,

donde Lx es un operador diferencial lineal de orden n

Lx = an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

d

dx+ a0(x), (3.8)

y Ui es el operador definido por

Uiy ≡n∑j=1

(cijy(j−1)(a) + dijy

(j−1)(b))



donde cij, dij y αi son constantes y y(j) ≡ djy

dxj. En general, el problema de contorno puede no

tener solucion y si la tiene puede no ser unica.En lo que sigue consideraremos el problema de contorno para operadores diferenciales lineales de

segundo orden autoadjuntos. Como veremos, las ecuaciones diferenciales ordinarias que aparecenal separar variables en un gran numero de ecuaciones diferenciales parciales de interes involucrana operadores de este tipo.

Considerese entonces la ecuacion diferencial ordinaria no homogenea dada por

Lxy = −f(x), (3.9)

donde Lx es el operador diferencial lineal de segundo orden autoadjunto (vease ejemplo 9)

Lx ≡d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x). (3.10)

Se dice que (3.9,3.10) esta dada en la forma de Sturm-Liouville. Notese que cualquier ecuaciondiferencial ordinaria lineal de segundo orden no homogenea

a2(x)d2

dx2y + a1(x)

d

dxy + a0(x)y = −g(x),

puede ser llevada a la forma de Sturm-Liouville multiplicando por

1

a2(x)exp

∫ x

dξa1(x)

a2(x)

.

Se deja como ejercicio propuesto.Ahora, queremos encontrar la solucion al problema

Lxy = −f(x), a < x < b, (3.11)

con Lx dado por (3.10) y que satisface las condiciones de contorno homogeneas y sin mezcla dadaspor

U1y = c1y(a) + c2y′(a) = 0, (3.12)

U2y = d1y(b) + d2y′(b) = 0, (3.13)

donde al menos unas de las ci y unas de las di son no nulas. Supondremos que p(x) y q(x) soninfinitamente derivables, que p(x) 6= 0 en [a, b] y admitiremos la posibilidad de que f sea sololocalmente integrable, esto es, que f sea una distribucion regular tal que las distribuciones Lxy y−f coincidan en (a, b). Ası, para φ(x) ∈ D(a, b) se tiene

〈Lxy, φ〉 ≡ 〈y, Lxφ〉,

donde hemos usado el hecho de que Lx es autoadjunto, y por lo tanto y debera satisfacer

〈y, Lxφ〉 = −〈f, φ〉, ∀φ ∈ D(a, b). (3.14)

Relacionado al problema de contorno no homogeneo considerado tenemos el problema de con-torno homogeneo asociado definido por

Lxy = 0, (3.15)

c1y(a) + c2y′(a) = 0, (3.16)

d1y(b) + d2y′(b) = 0. (3.17)



Proposicion 10 Si el problema de contorno homogeneo asociado (3.15,3.10,3.16,3.17) tiene comounica solucion la trivial, entonces existe una unica solucion al problema de contorno no homogeneo(3.11,3.10,3.12,3.13).

Suponiendo entonces que el problema (3.15,3.10,3.16,3.17) admite como unica solucion la trivialtenemos que

Proposicion 11 La solucion al problema de contorno (3.11,3.10,3.12,3.13) viene dada por

y(x) =

b∫a

dξ g(x, ξ)f(ξ) , (3.18)

donde g(x, ξ) satisfaceLxg(x, ξ) = −δ(x− ξ), a < x, ξ < b, (3.19)

y las condiciones de contorno homogeneas y sin mezcla

c1g(a, ξ) + c2g′(a, ξ) = 0, (3.20)

d1g(b, ξ) + d2g′(b, ξ) = 0. (3.21)

g(x, ξ) se conoce como la funcion de Green o solucion elemental asociada al problema de contorno(3.11,3.10,3.12,3.13)

La prueba es sencilla. Primero, notese que las condiciones de contorno (3.12,3.13) estan incor-poradas en (3.18) a traves de g. A continuacion, con y dada por (3.18) se tiene que

〈 y, Lxφ〉 =

b∫a

dξ 〈g(x, ξ), Lxφ(x)〉x f(ξ) =

b∫a

dξ 〈Lxg(x, ξ), φ(x)〉xf(ξ)

= −b∫

a

dξ 〈δ(x− ξ), φ(x)〉xf(ξ) = −b∫

a

φ(ξ)f(ξ) = −〈 f, φ〉,

y (3.18) satisface (3.14). Por lo tanto (3.18) es solucion al problema de contorno (3.11,3.10,3.12,3.13) en el sentido de

las distribuciones. El problema se reduce entonces al de encontrar la funcion de Green asociada.Mostraremos, por construccion, que existe una funcion de Green bien definida y unica para elproblema (3.11,3.10,3.12,3.13).

Sean y1(x) y y2(x) dos soluciones linealmente independientes de

Lxy = 0, a < x < b, (3.22)

tales quec1y1(a) + c2y

′1(a) = 0, (3.23)

d1y2(b) + d2y′2(b) = 0. (3.24)

Se sigue que u1 y1(x) y u2 y2(x), con u1 y u2 constantes, son las soluciones mas generales a(3.22,3.23) y (3.22,3.24), respectivamente. Notese que y1 y y2 deben ser linealmente indepen-dientes porque de lo contrario tendremos y1 = αy2 y y1 lograra entonces satisfacer las condiciones



de contorno en x = a y x = b, lo que contradice nuestra suposicion inicial sobre la trivialidad dedicha solucion.

A continuacion, supongamos g(x, ξ) dada por

g(x, ξ) =

u1(ξ)y1(x) para x < ξ,

u2(ξ)y2(x) para x > ξ.(3.25)

Exigiendo continuidad de g en x = ξ se tiene

u1(ξ)y1(ξ)− u2(ξ)y2(ξ) = 0 (3.26)

Ahora, integrando (3.19) en un entorno Bε de ξ

ξ+ε∫ξ−ε

dxLxg(x, ξ) =

ξ+ε∫ξ−ε

dx

[d

dx

(p(x)

d

dx

)+ q(x)

]g(x, ξ)

=

ξ+ε∫ξ−ε

dx

[d

dx

(p(x)

dg

dx

)+ q(x)g

]

= p(x)dg(x, ξ)

dx

∣∣∣∣ξ+εξ−ε

+

ξ+ε∫ξ−ε

dxq(x)g(x, ξ)

y por lo tanto

p(ξ + ε)g′(ξ + ε, ξ)− p(ξ − ε)g′(ξ − ε, ξ) +

ξ+ε∫ξ−ε

dxq(x)g(x, ξ) = −ξ+ε∫ξ−ε

dxδ(x− ξ) = −1. (3.27)

En el limite ε→ 0 tendremos

limε→0

ξ+ε∫ξ−ε

dxq(x)g(x, ξ) = 0

en virtud de la continuidad de q(x) y g(x, ξ) en x = ξ. De aquı que

p(ξ)[g′(ξ+, ξ)− g′(ξ−, ξ)] = −1 ,

de donde se sigue

g′(x, ξ)|x=ξ+

x=ξ− = − 1

p(ξ). (3.28)

De (3.25) y (3.28) se desprende

u2(ξ)y′2(ξ)− u1(ξ)y

′1(ξ) = − 1

p(ξ). (3.29)

Finalmente, resolviendo algebraicamente las ecuaciones (3.26) y (3.29) encontramos

u1(ξ) = − y2(ξ)

p(ξ)W (y1, y2, ξ)(3.30)



u2(ξ) = − y1(ξ)

p(ξ)W (y1, y2, ξ)(3.31)

donde

W (y1, y2, ξ) = y1(ξ)y′2(ξ)− y2(ξ)y

′1(ξ), (3.32)

es el Wronskiano de y1 y y2, claramente diferente de cero puesto que y1 y y2 son linealmenteindependientes.

Se sigue entonces que la funcion de Green, solucion elemental del problema de contorno(3.19,3.20,3.21) viene dada por

g(x, ξ) = Θ(ξ − x)u1(ξ) y1(x) + Θ(x− ξ)u2(ξ) y2(x), (3.33)

con Θ la funcion de Heaviside y u1 y u2 dados por (3.30) y (3.31). Por supuesto, (3.19) deberaentenderse en el sentido de las distribuciones. Ası, para φ(x) ∈ D(a, b) se tiene

〈Lxg(x, ξ), φ(x)〉 ≡ 〈g(x, ξ), Lxφ(x)〉,

donde hemos usado el hecho de que Lx es autoadjunto, y por lo tanto (3.33) sera solucion de (3.19)si y solo si

〈g(x, ξ), Lxφ(x)〉 = −φ(ξ), ∀φ(x) ∈ D(a, b).

Es facil verificar que (3.33) satisface la igualdad anterior suponiendo que y1 y y2 satisfacen Lxy1 =0 = Lxy2. Se deja como ejercicio propuesto.

Ejemplo 25Considere el problema de encontrar la funcion de Green asociada al problema de contorno

y′′ = −x , 0 < x < 1 ,

donde y satisface las condiciones de contorno y(0) = y(1) = 0.El problema homogeneo asociado es y′′ = 0 con y(0) = y(1) = 0 y es facil verificar que admite

como unica solucion y = 0.Ahora, dos soluciones linealmente independientes de y′′ = 0 son

y1 = x y y2 = x− 1,

que satisfacen y1(0) = 0 y y2(1) = 0. Se sigue que

g(x, ξ) = Θ(ξ − x)u1(ξ)x+ Θ(x− ξ)u2(ξ)(x− 1),

donde

u1(ξ) =−(ξ − 1)

ξ − (ξ − 1)= 1− ξ

y

u2(ξ) =−ξ

ξ − (ξ − 1)= −ξ.

De aquı que la funcion de Green g asociada al problema venga dada por

g(x, ξ) = Θ(ξ − x)(1− ξ)x+ Θ(x− ξ)ξ(1− x) ,



que puede ser escrita como

g(x, ξ) = x<(1− x>)

donde x> = maxx, ξ y x< = minx, ξ.Por ultimo, consideremos el problema

Lxy = −f(x) (3.34)

con Lx dado por (3.10) y las condiciones de contorno no homogeneas con mezcla

U1y = c11y(a) + c12y′(a) + d11y(b) + d12y

′(b) = α1 (3.35)

U2y = c21y(a) + c22y′(a) + d21y(b) + d22y

′(b) = α2 . (3.36)

La solucion al problema (3.34,3.10) con condiciones de contorno (3.35,3.36), para α1 = 0 = α2,viene dada por

y(x) =

b∫a

G(x, ξ)f(ξ)dξ (3.37)

con

G(x, ξ) = g(x, ξ) + Au1(x) +Bu2(x) (3.38)

donde g(x, ξ) viene dada por (3.33), u1 es una solucion no trivial de Lxu = 0 que satisface U1u = 0y u2 es una solucion no trivial de Lxu = 0 que satisface U2u = 0, con A y B constantes a serfijadas de forma tal que G(x, ξ) satisfaga U1G(x, ξ) = 0 y U2G(x, ξ) = 0. Por otra parte, puestoque el problema homogeneo

Lxv(x) = 0 ,

con condiciones generales (3.35,3.36) tiene como solucion

v(x) =α2

U2u1

u1(x) +α1

U1u2

u2(x) ,

se sigue (por superposicion) que el problema (3.34,3.10,3.35,3.36) tiene como unica solucion

y(x) =

b∫a

G(x, ξ)f(ξ)dξ +α2

U2u1

u1(x) +α1

U1u2

u2(x) . (3.39)


1. Considere el problema de valores iniciales para la ecuacion de diferencial ordinaria de segundoorden

d2

dt2x(t) + 2λ

d

dtx(t) + ω2x(t) =

F (t)

m, t > 0, x(0) = 0,

d

dtx(0) = b, (3.40)

que representa el movimiento de un oscilador armonico amortiguado bajo la accion de unafuerza externa F (t). Supondremos que F (t) = 0 para t < 0.



(a) Encuentre la inversa en D′+ del operador

d2

dt2+ 2λ

d

dt+ ω2.

Trate los casos ω2 > λ2 (subamortiguado) y ω2 < λ2 (sobreamortiguado).

(b) De la solucion al problema planteado en (3.40) en terminos de la funcion de Greenencontrada en la parte 1a.

2. Encuentre la funcion de Green asociada a los problemas de contorno siguientes

(a)

d2

dx2y(x) + κ2y(x) = −f(x), 0 < x < L, y(0) = y(L) = 0.

(b)

d

dx(x2 d

dxy)− n(n+ 1)y = −f(x), 0 < x < a, y(0) = y(a) = 0.

3. Encuentre la funcion de Green solucion al problema de contorno

d

dx(x

d

dxg) = −δ(x− ξ), 0 < x, ξ < 1,

g∣∣∣x=0

<∞, g∣∣∣x=1

= 0.

4. Encuentre la funcion de Green apropiada al problema de contorno

d

dx(x2 d

dxy) = f(x), 0 < x < 1,

y(0) <∞, y(1) = 0.

5. Encuentre la funcion de Green, g(x, ξ), solucion al problema de contorno

d

dx(x2 d

dxg)− λ2x2g = −δ(x− ξ), 0 < x, ξ <∞ ;

g(0, ξ) <∞ para x→ 0 , g(x, ξ) → 0 para x→∞ ;

donde λ es una constante real.

Referencias

L. Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences. Hermann, Paris (1968).I. Stakgold, Green’s functions and Boundary Value Problems. Wiley, New York (1979).E. Butkov, Mathematical Physics. Addison-Wesley, (1968).


Capıtulo 4

Ecuaciones Diferenciales Parciales

En los proximos capıtulos veremos que la teorıa de distribuciones y el empleo de tecnicas deespacios de Hilbert nos permitira desarrollar una teorıa bien construida de Ecuaciones DiferencialesParciales (EDP’s). En este capıtulo estableceremos la clasificacion de las EDP’s basada en sussuperficies caracterısticas.

4.1 Introduccion

Considerese la ecuacion diferencial parcial de orden p, en n variables independientes x1, x2, · · · , xn,dada por

Du = f(x), (4.1)

donde

D =∑|k|≤p

ak(x)Dk (4.2)

con

Dk = (∂1)k1 (∂2)

k2 · · · . (∂n)kn (4.3)

y

|k| = k1 + k2 + · · ·+ kn. (4.4)

Tanto los coeficientes ak(x) como la funcion f(x) se suponen conocidos.Queremos encontrar la solucion u de (4.1), bajo el requerimiento de que satisfaga ciertas condi-

ciones subsidiarias. Suponga que queremos asociar “datos iniciales” a (4.1). Para ello, asignamosvalores a u y sus derivadas normales de orden ≤ p − 1 sobre una hipersuperficie Σ. Este tipo dedatos iniciales se conoce como data de Cauchy y el problema de valores iniciales resultante como elproblema de Cauchy para D. Si lo que queremos es encontrar la solucion de (4.1) en un dominio Ωque satisface condiciones de frontera, esto es, que u y/o sus derivadas normales (o combinacionesde ambas) tengan un comportamiento prescrito en la frontera ∂Ω de Ω, entonces el problema sedice de contorno o con condiciones en la frontera.

Para problemas en los que la solucion buscada debe satisfacer ciertas condiciones, en general,deberemos considerar los siguientes puntos:

i ¿Existe al menos una solucion? (existencia)

ii ¿Hay solo una solucion? (unicidad)

53


iii ¿Depende la solucion en forma continua de la data ? Esto es, cambios pequenos en los valoresprescritos por las condiciones subsidiarias, ¿producen cambios pequenos en la solucion?

Si la respuesta a estas 3 preguntas es afirmativa se dice que el problema esta “bien planteado”.Puesto que estamos interesados en resolver el problema de Cauchy (entre otros), vamos a

introducir algunos conceptos importantes en relacion a este. Considerese un punto P ∈ Σ siendoΣ una hipersuperficie suave. Puesto que Σ es suave podemos introducir un sistema de coordenadasξ1, · · · , ξn−1, (n − 1)−dimensional para etiquetar los puntos de Σ en un entorno de P . Sea ξ0

la coordenada a lo largo de la normal a Σ en P . Tendremos que (ξ0, ξ1, · · · , ξn−1) sera entoncesun sistema de coordenadas normal para todos aquellos puntos cercanos a P . Es claro que Σ es lasuperficie coordenada ξ0 = 0 y P es el punto (0, 0, · · · , 0)

De la data de Cauchy sobre Σ se conocen

u(0, ξ1, · · · , ξn−1),∂u

∂ξ0(0, ξ1, · · · , ξn−1), · · · , ∂

p−1u

∂ξ0p−1 (0, ξ1, · · · , ξn−1).

Si Σ es lo suficientemente suave, podemos calcular sobre Σ las derivadas de cualquier orden con res-pecto a las coordenadas tangenciales y las derivadas de orden ≤ p−1 con respecto a la coordenadanormal. Retornando a las variables originales

∂u

∂xi=

∂u

∂ξj∂ξj

∂xi

y se tendra que cualquier derivada m-esima con respecto a las coordenadas x involucra solo deri-vadas de orden ≤ m con respecto a las coordenadas ξ.

Puesto que las derivadas de orden ≤ p− 1 con respecto a las coordenadas ξ se conocen a partirde la data de Cauchy, se desprende entonces, que todas las derivadas de orden ≤ p−1 con respectoa las coordenadas x se conocen a partir de la data de Cauchy. Para construir la solucion u enpuntos cercanos a P pero no sobre Σ, las derivadas ∂p/∂ξ0p en P se espera vengan determinadaspor Du = f(x), pero esto no sera posible si Du en P se puede determinar por completo a partirde la data de Cauchy.

Definicion 8 Si Du se evalua en un punto P sobre Σ a partir de la data de Cauchy unica y exclu-sivamente, la superficie Σ se dice caracterıstica para D en P . Si la superficie Σ es caracterısticapara todo P sobre Σ, se dice que Σ es una superficie caracterıstica.

En relacion al problema de Cauchy tenemos lo siguiente: Si Σ es caracterıstica en P no seespera que el problema de Cauchy este “bien planteado”, ni siquiera en un entorno de P . Por otrolado, veremos que si Σ no es caracterıstica en ningun punto el problema de Cauchy estara bienplanteado solo para ciertos tipos de EDP’s.

4.2 EDP’s de primer orden en dos variables

Sean x, y coordenadas cartesianas en R2 y sea Γ una curva suave en el plano. ParaD un operadordiferencial de primer orden, la data de Cauchy consistira en especificar u sobre Γ.

La ecuacion en derivadas parciales de primer orden en dos variables independientes

a(x, y)∂xu+ b(x, y)∂yu− g(x, y, u) = 0, (4.5)



se dice lineal si g(x, y, u) = c(x, y)u+d(x, y) y se dice semilineal si g(x, y, u) depende no-linealmentede u.

Sean P y Q dos puntos vecinos, P (x, y) y Q(x+ dx, y + dy), sobre Γ. Se sigue que

u(Q)− u(P ) = dx ∂xu|P + dy ∂yu|Pg (P, u (P )) = a(P ) ∂xu|P + b(P ) ∂yu|P

y se tendra solucion unica si y solo si

det

∣∣∣∣ dx dya(P ) b(P )

∣∣∣∣ 6= 0

ob(P )dx− a(P )dy 6= 0.

Por lo tanto, la curva Γ sera caracterıstica en P = (x, y) si y solo si

b(x, y)dx− a(x, y)dy = 0. (4.6)

Integrando la ecuacion (4.6), se obtiene una familia de curvas que son las curvas caracterısticas de(4.5).

Como una ilustracion muy sencilla, consideremos la ecuacion

∂xu+ ∂tu+ σu = 0 (4.7)

donde σ ≥ 0. Se sigue de (4.6) que (4.7) sera caracterıstica sobre la familia de curvas x−t = C, conC constante. El problema usual de Cauchy asociado a (4.7) involucra data dada sobre la “curvainicial” t = 0, que no es caracterıstica en ningun punto.

Queremos resolver (4.7) para t > 0 y −∞ < x <∞, sujetos a la condicion inicial u(x, 0) = f(x)con f(x) conocida pero arbitraria. Como lo sugieren las curvas caracterısticas de la ecuacion,haciendo el cambio de variables

α = x− t, β = x+ t,

se tiene∂βu+

σ

2u = 0,

cuya solucion viene dada poru(x, t) = F (x− t)e−σ(x+t)/2.

Finalmente, exigiendo que se cumpla la condicion inicial u(x, 0) = f(x), tendremos

u(x, t) = f(x− t)e−σt. (4.8)

4.3 EDP’s de segundo orden en dos variables

4.3.1 Clasificacion

Considerese la ecuacion de segundo orden en dos variables independientes

a(x, y)∂x∂xu+ b(x, y)∂x∂yu+ c(x, y)∂y∂yu+ F (x, y, u, ∂xu, ∂yu) = 0. (4.9)



La ecuacion se dice lineal si

F (x, y, u, ∂xu, ∂yu) = d∂xu+ e∂yu+ fu+ g, (4.10)

en caso contrario se dice que es semilineal. Aquı supondremos que u y los coeficientes son derivablescon continuidad dos veces.

La clasificacion de las ecuaciones de segundo orden se basa en la posibilidad de reducir (4.9),bajo una transformacion de coordenadas adecuada, a una forma canonica o estandar.

Consideremos a continuacion el problema de Cauchy. Entonces, u y su derivada normal sobreuna curva suave Γ son conocidas. Por lo tanto, ∂xu y ∂yu sobre Γ son conocidas. Como antes,sean P y Q dos puntos vecinos sobre Γ, entonces

∂xu|Q − ∂xu|P = dx ∂x∂xu|P + dy ∂x∂yu|P ,

∂yu|Q − ∂yu|P = dx ∂x∂yu|P + dy ∂y∂yu|Py

−F |P = a(P )∂x∂xu|P + b(P )∂x∂yu|P + c(P )∂y∂yu|P ,

donde la tercera ecuacion proviene de (4.9). Notese que los lados izquierdos se conocen a partir dela data de Cauchy. La condicion suficiente y necesaria para tener una solucion unica es

det

∣∣∣∣∣∣dx dy 00 dx dy

a(P ) b(P ) c(P )

∣∣∣∣∣∣ 6= 0 =⇒ a(dy)2 − b dx dy + c(dx)2 6= 0.

Si a(P ) 6= 0, se sigue que Γ sera caracterıstica en P = (x, y) si y solo sı la tangente a Γ en Psatisface

dy

dx=b±

√b2 − 4ac

2a. (4.11)

Las integrales de (4.11) son las curvas caracterısticas del operador diferencial considerado y quedenotaremos por

ϕ1(x, y) = c1 = const,

ϕ2(x, y) = c2 = const.

Distinguiremos tres casos:

1. b2− 4ac > 0 en P , hay por lo tanto dos direcciones caracterısticas en P y la ec. (4.9) se dicehiperbolica en P .

2. b2− 4ac = 0 en P y solo hay una direccion caracterısticas en P , la ec (4.9) se dice parabolicaen P .

3. b2 − 4ac < 0 en P , no existe curva real que satisfaga (4.11) y no hay curva caracterıstica enP . La ec (4.9) se dice elıptica en P .

Debe hacerse enfasis en que si los coeficientes no son constantes, la ecuacion puede ser dediferentes tipos en varias partes del plano. En lo que sigue ilustraremos el uso de las curvascaracterısticas para transformar (4.9) a la denominada forma canonica.



4.3.2 Formas canonicas

Para llevar (4.9) a la forma canonica, efectuamos la transformacion de coordenadas

ξ = ϕ1(x, y), (4.12)

η = ϕ2(x, y), (4.13)

insistiendo en el hecho de que (4.11) provee en principio las tangentes de aquellas familias de curvasen el plano xy sobre las cuales ξ = c1 y η = c2 con c1 y c2 constantes. Obtenemos

A∂ξ∂ξu+B∂ξ∂ηu+ C∂η∂ηu = G1, (4.14)

donde

A = a(∂xξ)2 + b∂xξ∂yξ + c(∂yξ)

2,

B = 2a∂xξ∂xη + b (∂xξ∂yη + ∂yξ∂xη) + 2c∂yξ∂yη,

C = a(∂xη)2 + b∂xη∂yη + c(∂yη)

2,

G1 = G (ξ, η, u, ∂ξu, ∂ηu) .

Supongamos que b2 − 4ac > 0, entonces la integracion de (4.11) proveera dos familias realesdistintas de caracterısticas. Tendremos

A = a(∂xξ)2 + b(∂xξ)(∂yξ) + c(∂yξ)

2 = a(∂xϕ1)2 + b(∂xϕ1)(∂yϕ1) + c(∂xϕ1)

2

y sobre la curva ξ = ϕ1 = ϕ1(x, y) = c1 = const se tiene

dϕ1 = ∂xϕ1dx+ ∂yϕ1dy = 0,

de donde se sigue quedy

dx= −∂xϕ1

∂yϕ1

y por lo tanto

A = (∂yϕ1)2

[a

(∂xϕ1

∂yϕ1

)2

+ b

(∂xϕ1

∂yϕ1

)+ c

],

= (∂yϕ1)2

[a

(dy

dx

)2

− b

(dy

dx

)+ c

]= 0,

en virtud de (4.11). Otro tanto puede hacerse con C, esta vez utilizando ϕ2, obteniendose C = 0.Por otro lado, es facil ver que bajo la transformacion de coordenadas considerada se tiene que

B 6= 0. Ası, (4.14) se reduce a

∂ξ∂ηu = G2 ≡G1

B. (4.15)

La ecuacion (4.15) es la denominada primera forma canonica para las ecuaciones hiperbolicas. Sidefinimos dos nuevas variables independientes

α = ξ + η y β = ξ − η, (4.16)

(4.15) se transforma en∂α∂αu− ∂β∂βu = G3 (α, β, u, ∂αu, ∂βu) (4.17)

que se conoce como la segunda forma canonica de las ecuaciones hiperbolicas.



Ejemplo 26La ecuacion de onda en (1+1)-dimensiones, ∂t∂tu−∂x∂xu = 0, es una ecuacion del tipo hiperbolicoy se dice que es t-hiperbolica.

Supongamos ahora que b2 − 4ac = 0. Entonces de (4.11) solo obtenemos una familia real decaracterısticas ξ = c1 = const. y procediendo de la misma manera que en el caso anterior se tieneA = 0, de donde se sigue que

a (∂xξ)2 + b∂xξ∂yξ + c (∂yξ)

2 =(a

12∂xξ + c

12∂yξ

)2

= 0,

donde hemos usado b2 − 4ac = 0. De aquı que

B = 2a∂xξ∂xη + b (∂xξ∂yη + ∂yξ∂xη) + 2c∂yξ∂yη

= 2(a

12∂xξ + c

12∂yξ

)(a

12∂xη + c

12∂yη

)= 0,

para valores arbitrarios de η = η(x, y). Ası , (4.14) toma la forma

∂η∂ηu = G3 (ξ, η, u, ∂ξu, ∂ηu) (4.18)

donde G3 ≡ G1/C, con C 6= 0. La expresion (4.18) define la denominada forma canonica de lasecuaciones parabolicas.

Ejemplo 27La ecuacion de difusion en (1+1)-dimensiones, ∂tu − ∂x∂xu = q(x, t), es una ecuacion del tipohiperbolico y se dice que es t-parabolica.

Por ultimo, consideremos el caso b2−4ac < 0. La ec (4.11) no tiene soluciones reales, pero tienedos soluciones complejas conjugadas que son funciones complejas continuas de variables reales x, y.Ahora ξ y η son complejas e introduciendo las nuevas variables reales

α =1

2(ξ + η) y β =

1

2i(ξ − η), (4.19)

se tendraξ = α+ iβ y η = α− iβ (4.20)

y la ec (4.14) tendra la forma

A(α, β)∂α∂αu+ B(α, β)∂α∂βu+ C(α, β)∂β∂βu = D(α, β, u, ∂αu, ∂βu), (4.21)

donde

A = a (∂xα)2 + b∂xα∂yα+ c (∂yα)2

B = 2a∂xα∂xβ + b (∂xα∂yβ + ∂yα∂xβ) + 2c∂yα∂yβ

C = a (∂xβ)2 + b∂xβ∂yβ + c (∂yβ)2 .

Ahora, al igual que en el caso hiperbolico, tenemos que A = C = 0 lo que a su vez implica

(A− C) + iB = 0,

(A− C)− iB = 0,



que se satisface si y solo si A = C y B = 0. Por lo tanto, la ec (4.21) toma la forma

∂α∂αu+ ∂β∂βu = D2 (α, β, u, ∂αu, ∂βu) (4.22)

donde D2 ≡ D/A. La expresion (4.22) define a la denominada forma canonica para las ecuacioneselıpticas.

Ejemplo 28La ecuacion de Laplace en (2)-dimensiones, ∂x∂xu+ ∂y∂yu = 0, es una ecuacion del tipo elıptico.

Note que una ecuacion diferencial parcial dada, puede ser de diferentes tipos en diferentesregiones.

Ejemplo 29Considerese la ecuacion de Tricomi

∂x∂xu+ x∂y∂yu = 0,

para la cual b2 − 4ac = −4x. Por lo tanto, dicha ecuacion es hiperbolica para x < 0 con formacanonica

∂ξ∂ηu =∂ξu− ∂ηu

6 (ξ − η)

y elıptica para x > 0 con forma canonica (haciendo el cambio de variables α = 3y2

y β = −x 32 )

∂α∂αu+ ∂β∂βu = − 1

3β∂βu.

Si la forma canonica de una ecuacion diferencial parcial es simple, entonces su solucion generalpuede ser encontrada con relativa facilidad. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 30La ecuacion del tipo hiperbolico

∂x∂xu− ∂y∂yu = 0,

bajo la transformacion ξ = 12(x+ y), η = 1

2(x− y), puede ser llevada a la primera forma canonica

∂ξ∂ηu = 0.

Esta ultima puede ser integrada facilmente, obteniendose u = F (η) +G(ξ), con F y G arbitrariasy por lo tanto

u(x, y) = F (x+ y) +G(x− y) .

Ejemplo 31Considerese la ecuacion

x2∂x∂xu+ 2xy∂x∂yu+ y2∂y∂yu = 0.

Puesto queb2 − 4ac = 4x2y2 − 4x2y2 = 0,

es del tipo parabolico. De (4.11) se sigue que las tangentes caracterısticas vienen dadas por

dy

dx=y

x,



y de aquı que las curvas caracterısticas vienen dadas por

y

x= constante.

Bajo la transformacion ξ = yx

y η = x (donde la escogencia de η es arbitraria) tenemos que usatisface

∂η∂ηu = 0.

Integrando esta ultima expresion y volviendo a las variables originales, tenemos que u viene dadapor

u(x, y) = xf(y

x) + g(

y

x)

con f y g arbitrarias.

Problemas bien planteados para EDP’s de segundo orden en dos variables

El problema de Cauchy para ecuaciones hiperbolicas estara bien planteado, si la data de Cauchyse especifica sobre una curva Γ no caracterıstica. Si Γ es caracterıstica en P , la data de Cauchy yla ecuacion diferencial son, en general, incompatibles. Por otro lado, el problema de contorno purono esta bien planteado para las ecuaciones del tipo hiperbolico, aun con data dada sobre curvasno caracterısticas.

Para las ecuaciones parabolicas puede plantearse el problema de valores iniciales, dado quelas caracterısticas no juegan aquı el papel importante que tienen para las ecuaciones hiperbolicas.Para las ecuaciones elıpticas no hay caracterısticas reales, sin embargo el problema de Cauchy noesta bien planteado para este tipo de ecuaciones y es el problema de contorno puro el que esta bienplanteado.

4.4 EDP’s de segundo orden en n variables

Por simplicidad, nos restringiremos a considerar solo EDP’s lineales de segundo orden con coe-ficientes constantes y a enunciar sin demostracion algunos resultados importantes. Considereseentonces la EDP de segundo orden en n variables independientes x1, x2, · · · , xn, dada por

Du = f(x), (4.23)

donde

D =∑|k|≤2

akDk (4.24)

conDk = (∂1)

k1 (∂2)k2 · · · . (∂n)kn , |k| = k1 + k2 + · · ·+ kn. (4.25)

Todos los coeficientes ak se supone que son constantes reales conocidas y definimos la parte principalde D como ∑

|k|=2

akDk.

La hipersuperficie Σ(x) = 0 de dimension n − 1 se dice caracterıstica para el operador D sisatisface ∑

|k|=2

ak pk = 0, pk = (∂1Σ)k1 · · · (∂nΣ)kn .



Clasificacion

1. La ecuacion (4.23,4.24,4.25) se dice x1-hiperbolica si la ecuacion∑|k|=2

ak pk = 0,

tiene 2 raıces reales distintas para todo sistema de numeros reales p2.

Ejemplo 32La ecuacion de onda, u ≡ ∂1∂1u−

n∑j=2

∂j∂ju = 0 , es x1-hiperbolica.

2. La ecuacion (4.23,4.24,4.25) se dice elıptica si la ecuacion∑|k|=2

ak pk = 0,

no tiene soluciones reales diferentes de cero.

Ejemplo 33La ecuacion de Laplace, ∆u ≡

n∑j=1

∂j∂ju = 0 , es elıptica.

3. Por ultimo tenemos las ecuaciones parabolicas que no estan caracterizadas solo por la parteprincipal de D. La ecuacion (4.23,4.24,4.25) se dice x1-parabolica si puede ser escrita como

∂1u−∑|k| ≤ 2k1 = 0

akDku = f,

con∑

|k| = 2k1 = 0

ak pk > 0 , ∀p 6= 0, esto es, de forma tal que

∑|k| ≤ 2k1 = 0

akDk sea un operador

diferencial elıptico en Rn−1.

Ejemplo 34La ecuacion de difusion, ∂tu−∆u = 0, es t-parabolica.

Sobre la descripcion en terminos de EDP’s de segundo orden

Como es bien conocido, una gran cantidad de sistemas fısicos puede ser descrita en terminosde campos Φi(x), que satisfacen sistemas de EDP’s semilineales de segundo orden. Ahora bien,introduciendo campos auxiliares, siempre es posible llevar EDP’s de segundo orden a EDP’s deprimer orden. Como un ejemplo muy sencillo, considerese el espaciotiempo (1 + 1)-dimensional(R2,g), con tensor metrico g dado por

g = −ωt ⊗ ωt + ωx ⊗ ωx, ωt, ωx una cobase cartesiana, (4.26)

y sea φ(x, t) el campo definido por

(∂t∂t − ∂x∂x)φ(x, t) = 0, (t, x) ∈ R2.



Este problema puede ser reemplazado por el siguiente sistema de EDP’s de primer orden

∂iφ = Ai, ∂iAj − ∂jAi = 0, ∂iAi = 0, i, j = t, x,

como puede verificarse facilmente. Sin embargo, las EDP’s de segundo orden semilineales permitenuna caracterizacion conveniente de muchos problemas de interes. Las EDP’s hiperbolicas proveenuna descripcion causal con velocidad de propagacion <∞, mientras que las EDP’s parabolicas lohacen tambien de manera causal pero con velocidad de propagacion infinita. Por otro lado, sistemasen estado estacionario en los que no hay propagacion pueden ser representados por campos quesatisfacen EDP’s elıpticas. Por supuesto, a un nivel fundamental todas las EDP’s que aparecenen fısica son hiperbolicas y la descripcion de un sistema fısico en terminos de EDP’s elıpticas oparabolicas debe entenderse en todo caso como una aproximacion o comportamiento limite delsistema.


1. Considere la E.D.P.x2∂x∂xu− y2∂y∂yu = 0.

Encuentre la forma canonica en cada uno de los dominios donde su tipo se conserva.

2. Considerese la E.D.P.x2∂x∂xu+ 2xy∂x∂yu+ y2∂y∂yu = 0.

(a) Verifique que dicha ecuacion es parabolica en todas partes y llevela a la forma canonica.Ayuda: demuestre que las curvas caracterısticas de la ecuacion vienen dadas por ξ =yx

= const. A continuacion, haciendo el cambio de variables ξ = yx

y η = x, muestre quela ecuacion considerada puede ser llevada a la forma ∂η∂ηu = 0.

(b) Integrando la forma canonica y volviendo a las variables originales, muestre que lasolucion de dicha ecuacion viene dada por

u(x, y) = xf(y

x) + g(

y

x),

con f y g arbitrarias.

3. Demuestre que la ecuacion

sin2 x∂x∂xu− 2y sin x∂x∂yu+ y2∂y∂yu = 0,

es del tipo parabolico en todas partes y llevela a la forma canonica.

Ayuda: demuestre que las curvas caracterısticas vienen dadas por ξ = y tan x2

= const. Acontinuacion, mediante la sustitucion ξ = y tan x

2, η = y, muestre que la ecuacion considerada

se reduce a la forma canonica

∂η∂ηu−2ξ

ξ2 + η2∂ξu = 0.

4. Demuestre que la ecuacion

(1 + x2)∂x∂xu+ x∂xu+ y∂yu+ (1 + y2)∂y∂yu = 0,

es del tipo elıptico en todas partes y llevela a la forma canonica.



5. Demuestre que la ecuaciony2∂x∂xu− x2∂y∂yu = 0,

es del tipo hiperbolico en todas partes. A continuacion, haciendo el cambio de variablessugerido por las curvas caracteristicas muestre que la forma canonica viene dada por

∂ξ∂ηu+η

2(η2 − ξ2)∂ξu−

ξ

2(η2 − ξ2)∂ηu = 0.

6. Considere la E.D.P.y∂x∂xu+ x∂y∂yu = 0.

Encuentre la forma canonica en cada uno de los dominios donde su tipo se conserva.

Ayuda: en el segundo y cuarto cuadrantes la ecuacion es del tipo hiperbolico y en el primery tercer cuadrantes la ecuacion es elıptica.

Referencias

I. Stakgold, Green’s functions and Boundary Value Problems. Wiley, Interscience, New York(1979).T. Myint-U, Partial Differential Equations for Scientists and Engineers. Pearson Education POD(1987).R. Courant and D. Hilbert, Methods of Mathematical Physics, Vols. I and II, Wiley, Interscience,New York (1966).Y.Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette and M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics,Part 1. North Holland. 1982.


Capıtulo 5

El problema de Cauchy

5.1 El problema de Cauchy para las ecuaciones

hiperbolicas

En lo que sigue nos restringiremos a tratar el problema de Cauchy para la ecuacion de onda. Estenos servira para ilustrar la formulacion y resolucion del problema general de valores iniciales paralas ecuaciones hiperbolicas.

5.1.1 El problema para la ecuacion de onda

Vamos a estudiar a continuacion el problema de valores iniciales para la ecuacion de onda. Con-siderese el problema

(∂t∂t − ∂x∂x)u = q(x, t), t > 0, −∞ < x <∞ (5.1)

con condiciones iniciales

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x). (5.2)

Este problema puede ser asociado al problema de la propagacion de vibraciones en una cuerdainfinita, sujeta a una fuerza externa q(x, t) para t > 0. Entonces, u representa el desplazamientotransverso de la cuerda y a t = 0 se dan el desplazamiento inicial f1(x) y la velocidad inicial f2(x).

Comenzaremos con el caso sencillo q = 0. En una oportunidad anterior, encontramos que lasolucion general de la ecuacion homogenea venıa dada por

u(x, t) = F (x+ t) +H(x− t). (5.3)

Imponiendo las condiciones iniciales (5.2), se tiene

u(x, 0) = F (x) +H(x) = f1(x) (5.4)

∂tu(x, 0) = F ′(x)−H ′(x) = f2(x). (5.5)

De (5.5) se sigue que

F (x)−H(x) =

x∫x0

dξf2(ξ) + σ

65


y de (5.4) y (5.5) se tiene

F (x) =1

2f1(x) +

1

2

x∫x0

dξf2(ξ) +σ

2,

H(x) =1

2f1(x)−

1

2

x∫x0

dξf2(ξ)−σ

2

y la solucion de (5.1) y (5.2) con q = 0 viene dada por

u(x, t) =1

2[f1(x+ t) + f1(x− t)] +

1

2

x+t∫x−t

dξf2(ξ). (5.6)

La ec.(5.6) se conoce como la solucion de d’Alambert para el problema de Cauchy (5.1, 5.2)homogeneo, esto es, con q = 0.

Ahora bien, para el problema (5.1, 5.2) con q 6= 0 queremos encontrar una solucion que seacausal con respecto a la variable temporal t. Busquemos la solucion fundamental G, solucion alproblema

(∂t∂t − ∂x∂x)G = G = δ(t)δ(x), −∞ < x, t <∞, (5.7)

y que satisfaceG ≡ 0, ∀t < 0. (5.8)

G es la funcion de Green o propagador para el problema de valores iniciales considerado.Ahora bien, como se desprende de (5.7), para x > 0 (o x < 0) G satisface

G = 0, (5.9)

cuya solucion general nos es conocida

G = f(x+ t) + h(x− t),

con f y h funciones ordinarias derivables dos veces, pero por lo demas arbitrarias. Vamos ademostrar que G = 1

2[Θ(x+ t)−Θ(x− t)] es solucion en el sentido de las distribuciones de (5.9).

Sea ψ = ψ(x, t) ∈ D. Entonces,

〈Θ(x+ t), ψ〉 = 〈Θ(x+ t),ψ〉,

esto es,

〈Θ(x+ t), ψ〉 =

∞∫−∞

dt

∞∫−t

dx (∂t∂t − ∂x∂x)ψ(x, t).

Haciendo u = 12(t− x) y v = 1

2(t+ x), encontramos

∞∫−∞

dt

∞∫−t

dx (∂t∂t − ∂x∂x)ψ(x, t) = 2

∞∫0

dv

∞∫−∞

du ∂u∂vψ(u, v) = 0,



donde hemos usado el hecho de que ψ es de soporte acotado. Por lo tanto,

〈Θ(x+ t), ψ〉 = 0.

En forma analoga, se prueba que〈Θ(x− t), ψ〉 = 0

y por lo tanto

(1

2[Θ(x+ t)−Θ(x− t)]

)= 0,

en el sentido de las distribuciones.Lo anterior sugiere que propongamos entonces

G(x, t) =1

2Θ(t) [Θ(x+ t)−Θ(x− t)] , (5.10)

expresion que satisface automaticamente el requerimiento de causalidad impuesto en (5.8). Paraψ = ψ(x, t) ∈ D, tenemos

〈G,ψ〉 = 〈G,ψ〉 =1

2

∫dt

∫dx

t>0x+t>0

ψ − 1

2

∫dt

∫dx

t>0x−t>0

ψ ,

esto es,

〈G,ψ〉 =1

2

∞∫0

dt

t∫−t

dxψ.

Bajo el cambio u = 12(t− x), v = 1

2(x+ t) se sigue que

〈G,ψ〉 =

∞∫0

du

∞∫0

dv ∂u∂vψ = ψ(0, 0) = 〈δ(t)δ(x), ψ〉.

y por lo tanto G(x, t) dada por (5.10) satisface (5.7).Ahora bien, notese que

G(x, t) =1

2Θ(t) [Θ(x+ t)−Θ(x− t)] =

12, si −t < x < t, t > 0,

0, en el resto del plano,

(5.11)

esto es, G(x, t) tiene soporte en el interior del cono Γ+ = (x, t) : x2 ≤ t2, t ≥ 0 y es por lo tantoun elemento del algebra D′(Γ+).

Se puede verificar con facilidad que la solucion de la ecuacion inhomogenea con data inicialnula

∂t∂tω − ∂x∂xω = q(x, t), −∞ < x <∞, t > 0,

ω(x, 0) = ∂tω(x, 0) = 0,

viene dada por

ω(x, t) =

∞∫−∞

dτ

∞∫−∞

dξ G(x− ξ, t− τ) Θ(τ) q(ξ, τ), (5.12)



con G dada por (5.10). La interpretacion de G como propagador se sigue directamente de (5.12),ya que G propaga el efecto de la fuerza externa q en el punto (ξ, τ) al punto (x, t). De (5.12) y(5.11) se sigue que

ω(x, t) =1

2

t∫0

dτ

x+(t−τ)∫x−(t−τ)

dξ q(ξ, τ)

y G propaga entonces de manera causal (t− τ > 0) y con velocidad finita (|x− ξ| < t− τ) el efectode q.

Finalmente, la solucion general de (5.1, 5.2) viene dada por

u(x, t) =1

2[f1(x+ t) + f1(x− t)] +

1

2

x+t∫x−t

dξf2(ξ) +1

2

t∫0

dτ

x+(t−τ)∫x−(t−τ)

dξ q(ξ, τ). (5.13)

El problema con una condicion de contorno

Anteriormente encontramos la solucion al problema de valores iniciales para la ecuacion de ondaen la recta, −∞ < x <∞. Consideraremos a continuacion el problema en la semirecta 0 < x <∞,imponiendo una condicion de contorno en x = 0 muy sencilla. El problema de valores iniciales concondiciones de contorno generales sera tratado en el capıtulo 6.

Considerese el problema

∂t∂t − ∂x∂xu = q(x, t), 0 < x <∞, t > 0; (5.14)

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), 0 ≤ x <∞; (5.15)

u (0, t) = 0, t ≥ 0. (5.16)

Este puede ser asociado a las vibraciones de una cuerda semi-infinita con un extremo fijo.Para el problema homogeneo, q = 0, en la region x > t > 0 la solucion es la misma que para el

caso de la cuerda infinita (5.6). Para 0 < x < t, la solucion (5.6) involucra a f1 y f2 para x < 0 yde (5.15) es claro que f1 y f2 no estan prescritas para x < 0. No obstante, la solucion se obtienefacilmente extendiendo f1 y f2 como funciones impares para x < 0. Ası de (5.6) tenemos que

u(x, t) =1

2[f1(x+ t)− f(t− x)] +

1

2

x+t∫t−x

dξf2(ξ) (5.17)

es solucion de (5.14, 5.15) para q = 0, en la region x < t, como puede verificarse facilmente.La solucion de (5.14, 5.15) para q 6= 0 implica encontrar la funcion de Green G = G(x, t; ξ, τ),

kernel elemental del operador ∂t∂t − ∂x∂x,

(∂t∂t − ∂x∂x)G = δ (x− ξ) δ (t− τ) , 0 < x, ξ <∞, −∞ < t, τ <∞ (5.18)

que satisface las condiciones

G|x=0 = 0; G ≡ 0 para t < τ. (5.19)

En este caso G viene dada por

G(x, t; ξ, τ) = G(x− ξ, t− τ)−G(x+ ξ, t− τ) (5.20)



con G dada por (5.10). G dada por (5.20) puede ser obtenida por el denominado metodo de lasimagenes, esto es, notando que es posible satisfacer la condicion de contorno G|x=0 = 0 colocandofuentes imagen en x = ±ξ. De esta forma el problema (5.14, 5.15) paraf1 = f2 = 0, tiene comosolucion

u(x, t) =

∞∫0

dτ

∞∫0

dξ G (x, t; ξ, τ) q(ξ, τ). (5.21)

Finalmente, la solucion al problema no homogeneo con condiciones iniciales no nulas viene dada porla suma de la solucion al problema homogeneo con condiciones no nulas mas la solucion particularprovista por (5.21).

Otro problema interesante para la cuerda semi-infinita es el de una condicion de contornono-homogenea. Por ejemplo:

(∂t∂t − ∂x∂x)ω = 0, 0 < x <∞, t > 0 (5.22)

ω(x, 0) = ∂tω(x, 0) = 0, ω(0, t) = h(t) (5.23)

Hay muchas maneras, relacionadas entre sı, para resolver problemas de este tipo: funciones deGreen, transformadas de Fourier en la coordenada espacial, transformadas de Laplace en la coor-denada tiempo, el metodo de las caracterısticas, etc. Vamos a ilustrar el uso de las transformadasde Laplace.

.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................Caja 5.1: Transformadas de Laplace

Definicion 9 Sea f(t), 0 ≤ t <∞, una funcion O(eαt) en t→∞, esto es,

|f(t)| < ceαt para t→∞.

La transformada de Laplace de f(t) viene definida por

f(s) =

∞∫0

e−stf(t)dt, (5.24)

donde s es complejo y la integral converge para <es > α.

Ahora, veamos como obtener la inversion de (5.24). Supongamos que =ms = v y<es = 0 y definamos F (t) ≡ e−utf(t). Se sigue que

Fu(iv) =

∞∫0

dte−ute−ivtf(t) =

∞∫0

dte−(u+iv)tf(t) = f(u+ iv)

y por lo tanto

∞∫−∞

dveivt0Fu(iv) =

∞∫−∞

dveivt0 f (u+ iv) =

∞∫0

dte−utf(t)

∞∫−∞

dve−iv(t−t0). (5.25)



Ahora, haciendo uso de la expresion

∞∫−∞

dve−ivt = 2πδ(t), (5.26)

(cuya demostracion se hara mas adelante dentro del contexto de transformadas deFourier para distribuciones) se tendra

∞∫−∞

dveivt0 f (u+ iv) =

∞∫0

dte−utf(t)2πδ (t− t0) = 2πe−ut0f (t0) .

Por lo tanto,

f(t0) =1

2π

∞∫−∞

dv e(u+iv)t0 f(u+ iv) =1

2πi

u+i∞∫u−i∞

ds est0 f(s), t0 > 0. (5.27)

La ecuacion (5.27) es la inversion de (5.24) y la integral se toma sobre una lınea verticalen el semiplano derecho de analiticidad.

Para distribuciones, la expresion (5.24) sugiere la siguiente definicion.

Definicion 10 Sea T una distribucion con soporte en la semirecta t ≥ 0, esto es,T ∈ D′

+. Entonces, la transformada de Laplace de T viene dada por

Ts ≡ 〈T, e−st〉t (5.28)

y Ts tendra sentido siempre y cuando el miembro derecho de (5.28) tenga sentido.

Notese que, aunque e−st es una funcion infinitamente derivable de t, no es de soporteacotado. Esta es la razon por la cual se deben imponer restricciones adicionales sobreT para que admita transformadas de Laplace. Sobre este punto volveremos con algundetalle al considerar transformadas de Fourier de distribuciones.

A continuacion, consideremos el producto de convolucion de Θf y Θg, donde Θ es lafuncion de Heaviside,

h(t) =

∞∫−∞

dτΘ(t− τ)f(t− τ)Θ(τ)g(τ) =

t∫0

dτf(t− τ)g(τ). (5.29)

Se tiene (vease Proposicion 5)

h (s) = f (s) g (s) . (5.30)..................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................



Multiplicando ambos lados de (5.22) por e−st e integrando en t desde 0 hasta ∞ obtenemos

∞∫0

dt e−st (∂t∂tω − ∂x∂xω) =

∞∫0

dt(e−st∂t∂tω − e−st∂x∂xω

).

Ahora bien

e−st∂t∂tω = ∂t(e−st∂tω

)+ s ∂t

(e−stω

)+ s2e−stω.

De aquı que

∞∫0

dt e−st∂t∂tω =

∞∫0

dt[∂t(e−st∂tω

)+ s ∂t

(e−stω

)+ s2e−stω

],

=(e−st∂tω

)∣∣∞0

+ s(e−stω

)∣∣∞0

+ s2

∞∫0

dte−stω,

= s2ω (x, s) .

Por otro lado∞∫

0

dt e−st∂x∂xω(x, t) =d2

dx2

∞∫0

dt e−stω(x, t) =d2

dx2ω (x, s) = 0

y por lo tanto

s2ω − d2

dx2ω = 0. (5.31)

De la condicion de contorno se tiene

ω(0, s) = h(s) =

∞∫0

dte−sth(t). (5.32)

Resolviendo (5.31, 5.32) bajo los requerimientos limx→∞

ω(x, s) = 0 y <es > 0, obtenemos

ω(x, s) = h(s)e−sx. (5.33)

Queremos a continuacion invertir (5.33) para x > 0. Ahora bien, de (5.28) se sigue que

[δ(t− x)]∼s ≡ 〈δ(t− x), e−st〉t = e−sx. (5.34)

De (5.33), (5.34) y del teorema de convolucion para transformadas de Laplace (5.30), se sigue queω(x, t) viene dada por

ω(x, t) = δ(t− x) ∗ (Θ(t)h(t)) = Θ(t− x)h(t− x). (5.35)



5.1.2 La ecuacion de ondas esfericas

Consideremos a continuacion la ecuacion de onda homogenea en 3 + 1 dimensiones,

[∂t∂t −∆]u(~x, t) = 0. (5.36)

En (5.36), ∆ es el operador laplaciano 3-dimensional. Escrita en coordenadas esfericas, dichaecuacion viene dada por

∂t∂tu =1

r2∂r(r

2∂ru) +1

r2 sin2 θ∂θ(sin θ∂θu) +

1

r2 sin2 θ∂φ∂φu. (5.37)

Si u es una solucion de (5.36), que solo depende de t y r, entonces u(~x, t) = u(r, t) satisface laecuacion de onda con simetrıa esferica

∂t∂tu =1

r2∂r(r

2∂ru). (5.38)

Introduciendo una nueva funcion U(r, t) ≡ ru(r, t), de (5.38) se tiene que

∂t∂tU = ∂r∂rU . (5.39)

Notese que (5.39) es identica a la ecuacion de onda unidimensional y por lo tanto, su soluciongeneral es de la forma

U(r, t) = ϕ1(r + t) + ϕ2(r − t), (5.40)

donde ϕ1 y ϕ2 son funciones derivables dos veces en el sentido usual, pero por lo demas, arbitrarias.Se sigue entonces que la solucion de (5.38) viene dada por

u(r, t) =1

r[ϕ1(r + t) + ϕ2(r − t)]. (5.41)

Siguiendo un analisis similar al que nos llevo a la solucion (5.6) para el problema (5.1, 5.2) conq = 0, se tiene que la solucion a la ecuacion (5.38) que satisface las condiciones iniciales

u(r, 0) = f1(r), ∂tu(r, 0) = f2(r), para r ≥ 0, (5.42)

viene dada para r > t por

u(r, t) =1

2r[(r + t)f1(r + t) + (r − t)f1(r − t)] +

1

2r

r+t∫r−t

dξ ξ f2(ξ). (5.43)

Para r < t, u dada por (5.43) no es solucion de (5.38), (5.42), puesto que f1 y f2 no se conocenpara r < t . De (5.40) y (5.41) se desprende que U(0, t) ≡ 0 para que u(r, t) este acotada en r = 0para t ≥ 0. Siguiendo el razonamiento que nos llevo a (5.17), tendremos

U(r, t) =1

2[(r + t)f1(r + t)− (t− r)f1(t− r)] +

1

2

t+r∫t−r

dξ ξ f2(ξ), (5.44)

para r < t. Finalmente, obtenemos

u(r, t) =1

2r[(r + t)f1(r + t)− (t− r)f1(t− r)] +

1

2r

t+r∫t−r

dξ ξ f2(ξ), (5.45)

como la solucion para r < t al problema (5.38),(5.42).



5.2 El Problema de Cauchy para las ecuaciones

parabolicas

Nos restringiremos a considerar la ecuacion de difusion para ilustrar con un ejemplo muy sencillolos metodos que se emplean en la resolucion de problemas de valores iniciales para ecuacionesparabolicas.

5.2.1 El problema para la ecuacion de difusion

Consideremos el problema de valores iniciales

∂tu− ∂x∂xu = q(x, t), −∞ < x <∞, t > 0 (5.46)

u(x, 0) = f(x) (5.47)

donde solo el valor inicial de u es requerido puesto que la ecuacion (5.46) es de primer orden en t.El problema (5.46, 5.47) puede asociarse al problema de conduccion de calor en una barra infinitay (5.46) se conoce comunmente como ecuacion de difusion.

Para resolver (5.46, 5.47) busquemos la solucion fundamental causal G(x, t), solucion al pro-blema

∂tG− ∂x∂xG = δ(t)δ(x), −∞ < t, x <∞ (5.48)

G ≡ 0 para t < 0, G→ 0 para |x| → ∞, (5.49)

en terminos de la cual la solucion de (5.46, 5.47) viene dada por

u(x, t) =

∞∫−∞

dτ

∞∫−∞

dξ G(x− ξ, t− τ)Θ(τ)q(ξ, τ) +

∞∫−∞

dξ G(x− ξ, t)f(ξ). (5.50)

La funcion de Green o propagador, solucion al problema (5.48, 5.49), se puede encontrar facilmenteempleando transformadas de Fourier.

.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................Caja 5.2: Transformadas de Fourier

1. La transformada de Fourier para funciones.

Definicion 11 Sea f(x) una funcion con valores complejos de la variable real x,que se anula “suficientemente” rapido para |x| → ∞. Entonces,

f(x) =1

2π

∞∫−∞

dω e−iωxf(ω) (5.51)

donde

f(ω) =

∞∫−∞

dξ eiωξf(ξ) =

∞∫−∞

dx eiωxf(x), ω real. (5.52)

La expresion (5.52) define f(ω) como la transformadas de Fourier de f y (5.51)nos dice como “reconstruir” f(x) a partir de su transformada.



Note que aun cuando a la expresion (5.51) le estamos asociando la expresion(5.52), la primera puede no tener sentido en la teorıa de funciones. Aun si f(x) esintegrable, solo se deduce que f(ω) es acotada pero no necesariamente integrable,de forma tal que (5.51) podrıa no tener sentido. Por otro lado, no es claro como(5.51) puede recuperar f(x) para todo valor de x. Por ejemplo, un cambio en losvalores de f sobre un conjunto de medida nula no cambiara f(ω) y de aquı queno es claro en que sentido se debera entender la igualdad en (5.51).

2. La transformada de Fourier de una distribucion.

Sea f una funcion localmente integrable y ϕ una funcion cualquiera ∈ Dω yconsideremos f y f como distribuciones. Entonces

〈f , ϕ〉ξ =

∫dξϕ(ξ)

∫dx eiξxf(x) =

∫dξdx eiξxf(x)ϕ(ξ) (5.53)

que tiene perfecto sentido y por lo tanto

〈f , ϕ〉 =

∫dx f(x)

∫dξ eiξxϕ(ξ) = 〈f, ϕ〉x (5.54)

que es valida incluso si ϕ 6∈ Dω con tal que ϕ sea localmente sumable. (5.54) seconoce como la formula de Parseval y sugiere la siguiente definicion

〈T , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉. (5.55)

Es claro que (5.55) no tendra sentido para una distribucion T ∈ D′ cualquiera:si ϕ ∈ Dω, ϕ no tiene por que pertenecer a Dx (de hecho se puede demostrarque si ϕ ∈ Dx entonces ϕ ≡ 0). La transformada de Fourier de una distribucioncualquiera no existe. Consideremos entonces distribuciones particulares.

Definicion 12 Sea S el espacio de las funciones complejas ϕ definidas sobre R,infinitamente derivables y que decrecen mas rapido que cualquier potencia negativade |x| para x → ∞, lo mismo que cada una de sus derivadas. Denominaremosfunciones de prueba de decrecimiento rapido a las funciones ϕ ∈ S.

Se puede demostrar que si ϕ ∈ Sx entonces ϕ ∈ Sω. Por otro lado, de acuerdo ala definicion de S, es claro que D ⊂ S.

Definicion 13 Denominaremos distribucion atemperada (o de crecimiento lento)a una distribucion T que sea prolongable a un funcional lineal continuo sobre S.El espacio de las distibuciones atemperadas, dual del espacio S, se denotara porS ′.

Solo aquellas distribuciones T ∈ D′ que crecen muy rapido en ±∞ no puedenser prolongables como funcionales lineales continuos sobre S. Algunos ejemplosde distribuciones atemperadas: las distribuciones definidas por una funcion lo-calmente integrable, por una funcion acotada, por una distribucion con soporteacotado, las derivadas de una distribucion atemperada, etc.

Si T es una distribucion atemperada, entonces el miembro derecho de (5.55) tienesentido puesto que ϕ ∈ S y (5.55) define entonces la transformada de Fourier Tde T . Se tiene ademas que T es tambien una distribucion atemperada.



Definicion 14 Sea T ∈ S ′, entonces su transformada de Fourier T es tambienuna distribucion ∈ S ′ definida por

〈T , ϕ〉 = 〈T, ϕ〉 . (5.56)

Consideremos a continuacion la transformada de Fourier de la derivada k-esimade una distribucion atemperada. De acuerdo a (5.56)

〈(T (k)x )∧ω, ϕ(ω)〉ω = 〈T (k)

x , ϕ(x)〉x = (−1)k〈Tx, (ϕ(x))(k)〉x

ahora bien ∫dω(iω)keiξωϕ(ω) =

dk

dξk

∫dω eiξωϕ(ω),

esto es[(iω)kϕ(ω)]∧ξ = (ϕ(ξ))(k)

y por lo tanto

〈(T (k)x )∧ω, ϕ(ω)〉ω = (−1)k〈Tx, [(iω)kϕ(ω)]∧x〉x = 〈T∧ω , (−iω)kϕ(ω)〉ω

= 〈(−iω)kT∧ω , ϕ(ω)〉ω,

de donde se sigue que[T (k)]∧ω = (−iω)kT∧ω . (5.57)

De la misma manera se pueden probar las siguientes expresiones

[(ix)kT ]∧w =dk

dwkT∧, (5.58)

T∧∧x = 2πT−x, (5.59)

[Tx−a]∧ω = eiaωT∧w , (5.60)

[T−x]∧ = T∧−w, (5.61)

que se dejan como ejercicios propuestos.

Ejemplo 35Como un caso particularmente interesante, consideremos la distribucion δ. Ten-dremos

〈δξ, ϕ〉ξ = 〈δ, ϕ〉x = 〈δ,∫dξeixξϕ(ξ)〉x =

∫dξ〈δ, eixξ〉xϕ(ξ)

=

∫dξ ϕ(ξ) = 〈1, ϕ〉ξ,

de donde se sigue queδ = 1.

De lo anterior se desprende ademas que

δξ = 〈δ, eixξ〉x.

En general, si T es de soporte acotado, se tendra Tω = 〈T, eiωx〉x.



Ejemplo 36A continuacion, considerese la distribucion T = 1, que es obviamente una distri-bucion acotada. De (5.57) con k = 1 se sigue que

0 = −ix1∧.

Puesto que xT = 0 implica T = cδ con c constante, se tendra

1∧ = cδ.

La constante c viene determinada por la convencion seguida en la definicion de latransformada. Para ϕ ∈ S, de (5.52) se sigue

∞∫−∞

dω e−iωxϕ(ω) =

∞∫−∞

dω e−iωx∞∫

−∞

dξ eiωξϕ(ξ) =

∞∫−∞

dω

∞∫−∞

dξ eiω(ξ−x)ϕ(ξ),

=

∞∫−∞

dω

∞∫−∞

dy eiωyϕ(y + x) =

∞∫−∞

dω[ϕ(y + x)]∧ω,

= 〈1, [ϕ(y + x)]∧〉ω = 〈1∧, ϕ(y + x)〉y,= 〈c δy, ϕ(y + x)〉 = c ϕ(x)

y comparando con (5.51) se desprende que c = 2π. Por lo tanto

1∧ = 2πδ.

Ejemplo 37La distribucion Θ(x) puede considerarse como el lımite para ε → 0 de Θ(x)e−εx.De aquı que

−iΘ∧ = limε→0

(−iΘe−εx

)∧= lim

ε→0(−i

∞∫0

dxeiωxe−εx) = limε→0

−iω − iε

= limε→0

ω

ε2 + ω2− i lim

ε→0

ε

ε2 + ω2.

Se sigue que −iΘ∧ = vp 1ω− iπδ(ω) en el sentido de las distribuciones.

Ahora, considerese la transformacion inversa de Fourier que denotaremos por ∨.Con (ϕ∧)∨ = (ϕ∨)∧ = ϕ, ∀ϕ ∈ S, tenemos el siguiente resultado,

Proposicion 12 Sea T ∈ S ′. Entonces

〈(T∨)∧, ϕ〉 = 〈T, (ϕ∧)∨〉 = 〈T, ϕ〉 = 〈T, (ϕ∨)∧〉 = 〈(T∧)∨, ϕ〉. (5.62)

(5.62) provee la prueba rigurosa de la formula de reciprocidad de Fourier.



A continuacion, consideremos el producto de convolucion de dos distribuciones Sy T de soporte acotado. Transformando por Fourier se tiene

〈[S ∗ T ]∧, ϕ〉ω ≡ 〈[S ∗ T ], ϕ∧〉 =

⟨Sξ ⊗ Tη,

∫dω ei(ξ+η)ωϕ(ω)

⟩ξ,η

=

∫dω 〈Sξ, eiξω〉ξ〈Tη, eiηω〉ηϕ(ω)

=

∫dω Sω Tωϕ(ω) ≡ 〈S T , ϕ〉ω,

de donde se sigue que[S ∗ T ]∧ = S T . (5.63)

Asumiremos sin demostracion que (5.63) sigue siendo cierta si S es una distribu-cion atemperada y T una distribucion de soporte acotado. Por ultimo, usando laformula de reciprocidad encontramos

[S T ]∧ = S ∗ T . (5.64)

Proposicion 13 La transformada de Fourier transforma productos de convolu-cion en productos ordinarios (5.63) y productos ordinarios en productos de con-volucion (5.64).

Transformadas de Laplace y de Fourier. La definicion de transformada deLaplace de una funcion f(t) definida para 0 ≤ t < ∞ y O(eαt) para t → ∞coincide con la de la transformada de Fourier de la misma funcion si se haces ≡ −iω y la identificacion t ≡ x...................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................

Tomando transformadas de Fourier de (5.48) en la coordenada espacial o bien sustituyendo

G(x, t) =1

2π

∞∫−∞

dω e−iωxG∧(ω, t) (5.65)

y

δ(x) =1

2π

∞∫−∞

dω e−iωx (5.66)

en (5.48), se encuentrad

dtG∧(ω, t) + ω2G∧(ω, t) = δ(t). (5.67)

Por otro lado, la condicion (5.49) se transforma en

G∧(ω, t) = 0 para t < 0. (5.68)

Ası,

G∧(ω, t) = (d

dtδ(t) + ω2δ(t))−1 = Θ(t)e−ω

2t, (5.69)



e invirtiendo

G(x, t) =1

2π

∞∫−∞

dω e−iωxΘ(t)e−ω2t. (5.70)

Se sigue que

G(x, t) =1

2πΘ(t)

∞∫−∞

dω e−iωx e−ω2t =

1

2πΘ(t)e

(ix

2t1/2

)2∞∫

−∞

dω e

(ωt1/2+ ix

2t1/2

)2

=1

2πΘ(t)

e−x2

4t

t1/2

∫Γ

dz e−z2

,

donde Γ = z = u + iv : −∞ < u < ∞, v = x/(2t1/2). Ahora bien, puesto que el integrando esuna funcion analıtica se tendra que ∮

dt e−z2

= 0

y por lo tanto

R∫−R

du e−u2

+ i

R+i x

2t1/2∫−R

dv e−R2+v2 e2iRv +

−R+i x

2t1/2∫R+i x

2t1/2

du e−u2+x2

4t + i

−R∫−R+i x

2t1/2

dv e−R2+v2 ei2Rv = 0.

Para R→∞ se tiene

π1/2 + limR→∞

e−R2

i−R+i x

2t1/2∫R

dv ev2

e−i2Rv +

−R∫−R+i x

2t1/2

dv ev2

ei2Rv

+ limR→∞

−R+i x

2t1/2∫R+i x

2t1/2

du e−u2+ x

4t = 0,

esto es,

π1/2 −∫Γ

dz e−z2

= 0.

Por lo tanto,

G(x, t) = Θ(t)e−

x2

4t

√4πt

. (5.71)

G(x−ξ, t−τ), con G(x, t) dado por (5.71), es el kernel elemental en (x, t) para el operador ∂t−∂x∂xen R2 y se le conoce como el kernel de Gauss.

Definicion 15 Un kernel sobre Rn es una distribucion sobre Rn × Rn, esto es, un elemento deldual D′(Rn × Rn) de las funciones de prueba definidas sobre Rn × Rn.

Notese que esta funcion de Green es causal, sin embargo el tipo de causalidad es diferente alde (5.10): G(x, t) dada por (5.71) propaga de manera instantanea o con velocidad infinita, comose sigue del hecho de que G(x− ξ, t− τ) es diferente de cero siempre y cuando t− τ ≥ 0.



Finalmente, es interesante ver como toma (5.50) los valores iniciales. Por simplicidad supon-gamos q = 0, entonces

u(x, t) =

∞∫−∞

dξ G(x− ξ, t)f(ξ) =e−x

2/4t

√4πt

∗ f(x) (5.72)

para t > 0. Ahora, en el sentido de las distribuciones se tiene que (Ejemplo 13)

limt→0+

e−x2/4t

√4πt

= δ(x)

y por lo tantolimt→0

u(x, t) = δ(x) ∗ f(x) = f(x).

El problema con una condicion de contorno

Consideremos a continuacion el efecto de introducir condiciones de contorno. El problema deCauchy mas sencillo para la ecuacion de difusion, con una condicion de contorno, consiste enencontrar la solucion al problema

∂tu− ∂x∂xu = q(x, t), 0 < x <∞, t > 0; (5.73)

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x <∞; u(0, t) = 0, ∀t ≥ 0. (5.74)

Es claro son posibles condiciones de contorno mas complicadas que sin embargo no contemplaremospor los momentos.

Para el problema no homogeneo es necesario conseguir la funcion de Green G causal, G ≡ 0para t < τ , que satisfaga la condicion de contorno G|x=0 = 0. Por consideraciones de simetrıa(metodo de las imagenes), es facil ver que G viene dada por

G(x, ξ, t, τ) = G(x− ξ, t− τ)−G(x+ ξ, t− τ), 0 < x, ξ <∞, −∞ < t, τ <∞, (5.75)

con G(x, t) dado por (5.71). La solucion de (5.73) (5.74) vendra dada entonces por

u(x, t)

∞∫−∞

dτ

∞∫0

dξ G(x, ξ, t, τ) Θ(τ) q(ξ, τ) +

∞∫0

dξ G(x, ξ, t, 0) f(ξ). (5.76)

El problema de valores iniciales con condiciones de contorno mas generales sera tratado en elproximo capıtulo.


1. Considere el problema de valores iniciales

∂t∂tu− ∂x∂xu = 0, −∞ < x <∞, t > 0;

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), −∞ < x <∞.



(a) Empleando transformada de Laplace en la variable t obtenga

u(x, s) =1

2

∫ ∞

−∞dξ e−s|x−ξ|

[f1(ξ) +

1

sf2(ξ)

](b) A continuacion, separe la integral de acuerdo a ξ < x o ξ > x y usando el cambio

de variable x− ξ = ±τ invierta la expresion obtenida en (1a). Obtenga de esta manerala solucion de d’Alambert, ecuacion (5.6).

2. Encuentre la funcion de Green causal solucion fundamental al problema

∂t∂tG(x, t)− ∂x∂xG(x, t) = δ(t)δ(x), −∞ < x, t <∞;

G ≡ 0 para t < 0, −∞ < x <∞;

utilizando transformadas de Fourier en la variable x y de Laplace en la variable t.


∂t∂tu− ∂x∂xu− c2u = 0, −∞ < x <∞, t > 0

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), −∞ < x <∞.

(a) Empleando transformadas de Fourier en la variable x, demuestre que la solucion vienedada por

u(x, t) =1

2π

∫ ∞

−∞dω e−iωx

∫ ∞

−∞dξ f1(ξ) cos(

√ω2 − c2t)eiωξ

+1

2π

∫ ∞

−∞dω e−iωx

∫ ∞

−∞dξ f2(ξ)

sin(√ω2 − c2t)√ω2 − c2

eiωξ

(b) Encuentre la funcion de Green causal G(x, t), solucion al problema

∂t∂tG− ∂x∂xG− c2G = δ(x) δ(t), −∞ < x <∞, −∞ < t <∞;

G ≡ 0, t < 0, −∞ < x <∞;

empleando transformadas de Fourier en la variable x. Deje expresada la funcion deGreen en forma integral.

(c) Verifique que la solucion encontrada en (3a) puede ser escrita como

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dξ G(x− ξ, t)f2(ξ) +

d

dt

∫ ∞

−∞dξ G(x− ξ, t)f1(ξ),

donde G es la funcion de Green encontrada en (3b).


∂tu+ λu− ∂x∂xu = q(x, t), −∞ < x <∞, t > 0,

u(x, 0) = f(x), −∞ < x <∞.



(a) Demuestre que la funcion de Green apropiada al problema, solucion elemental de

∂tG+ λG− ∂x∂xG = δ(x)δ(t), −∞ < x <∞, −∞ < t <∞;

G ≡ 0, t < 0, −∞ < x <∞;

viene dada por

G(x, t) = Θ(t)e−λte−x

2/4t

√4πt

.

Para ello, en la ecuacion para G tome transformada de Fourier en la variable x y luegotransformada de Laplace en la variable t. A continuacion despeje algebraicamente ladoble transformada e invierta.

(b) Muestre que u(x, t) dado por

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dτ

∫ ∞

−∞dξ G(x− ξ, t− τ)Θ(τ)q(ξ, τ) +

∫ ∞

−∞dξ G(x− ξ, t)f(ξ),

es solucion al problema de valores iniciales considerado, con u tomando el valor inicialen el sentido de las distribuciones.

5. Encuentre la funcion de Green causal G(x, t), solucion fundamental al problema

∂tG− ∂x∂xG+ v ∂xG = δ(x)δ(t), −∞ < x <∞, −∞ < t <∞;

G ≡ 0, t < 0, −∞ < x <∞;

donde v es una constante. Para ello tome transformada de Laplace en t y transformada

de Fourier en x y obtengaG(ω, s). A continuacion, invierta y obtenga G(x, t) de manera

explıcita, esto es, no en forma integral.

6. Considerese el problema de valores iniciales

1

λ∂t∂tu+ ∂tu− χ∂x∂xu = q(x, t), −∞ < x <∞, t > 0;

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), −∞ < x <∞;

con λ y χ constantes positivas. Demuestre que la funcion de Green G(x, t) apropiada alproblema viene dada por

G(x, t) =1

2

√λ

χΘ(t− |x|√

χλ) e−λt/2 I0

(1

2λ

√t2 − x2

χλ

),

donde I0 es la funcion de Bessel modificada de primer tipo y orden cero. Para ello,

(a) aplique transformada de Laplace en la variable t a la ecuacion para G(x, t) y obtengaG(x, s). A continuacion invierta usando[

Θ(t− k)e−at/2I0(1

2a√t2 − k2)

]∼

s

=exp(−k

√s(s+ a))√

s(s+ a), k ≥ 0.



(b) aplique transformada de Fourier en la variable x a la ecuacion para G(x, t), obtengaG(ω, t) e invierta usando

[Θ(x− b)J0(a

√x2 − b2)

]∧ω

=exp(−b

√a2 − ω2)√

a2 − ω2,

donde J0 es la funcion de Bessel de primer tipo y orden cero y I0(ξ) ≡ J0(iξ).

7. (a) Considere el problema para la ecuacion de difusion en la semirecta

∂tw − ∂x∂xw = 0 , 0 < x <∞ , t > 0 ;

w(x, 0) = 0, 0 ≤ x <∞; w(0, t) = 1, t ≥ 0.

Empleando transformada de Laplace en la variable t muestre que w(x, s) = e−x√s/s y

luego invierta.

(b) Considere a continuacion el problema

∂tu− ∂x∂xu = 0 , 0 < x <∞ , t > 0 ;

u(x, 0) = 0, 0 ≤ x <∞; u(0, t) = f(t), t ≥ 0.

Tomando transformada de Laplace en t, usando el teorema de convolucion para trans-formadas y el resultado obtenido anteriormente, muestre que

u(x, t) = −∫ t

0

dτ f(τ)∂

∂τw(x, t− τ).

8. Demuestre que la solucion al problema (5.14-5.16) puede ser escrita completamente enterminos de la funcion de Green (5.20) en la forma

u(x, t) =

∞∫−∞

dτ

∞∫0

dξ G(x, ξ, t, τ) Θ(t)q(ξ, τ)

+

∞∫0

dξ G(x, ξ, t, 0) f2(ξ) +d

dt

∞∫0

dξ G(x, ξ, t, 0) f1(ξ).

9. Considere el problema de valores iniciales con una condicion de contorno

∂tu− ∂x∂xu+ q2u = 0, 0 < x <∞, t > 0;

u(x, 0) = 0, 0 ≤ x <∞;

∂xu(0, t) = f(t), u(x, t) acotada para x→∞,

donde q2 es una constante.



(a) Empleando transformada coseno de Fourier en la variable espacial

f(x, t) =2

π

∫ ∞

0

dν cos νxfc(ν, t),

donde

fc(ν, t) ≡∫ ∞

0

dx cos νxf(x, t),

encuentre u(ν, t) e invierta.

Ayuda: ∫ ∞

0

dν cos νx e−ν2a =

1

2

(πa

)1/2

e

−x2

4a , <ea > 0.

Puede dejar su resultado expresado en forma de una integral simple.

(b) Empleando transformada de Laplace en la variable temporal t encuentre u(x, s) e in-vierta. Deje expresado el resultado en forma de una integral simple.

10. Encuentre la funcion de Green causal G(x, ξ, t) solucion al problema

∂tG − ∂x∂xG = δ(x− ξ)δ(t), 0 < x, ξ <∞, −∞ < t <∞;

G ≡ 0, t < 0;

G|x=0 = 0, t > 0.

Para ello utilice transformada seno de Fourier en la variable x, definida por

fs(ν, t) ≡∫ ∞

0

dx sin νx f(x, t),

y la relacion inversa

f(x, t) =2

π

∫ ∞

0

dν sin νx fs(ν, t).

Puede hacer uso de la relacion espectral

δ(x− ξ) =2

π

∫ ∞

0

dν sin νx sin νξ, 0 < x, ξ <∞.

Obtenga de esta manera la solucion dada en (5.75).

11. Encuentre la funcion de Green causal G(x, ξ, t), solucion fundamental del problema

∂tG − ∂x∂xG + q2G = δ(x− ξ)δ(t), 0 < x, ξ <∞ −∞ < t <∞;

G ≡ 0, t < 0;

G|x=0 = 0, G → 0 para x→∞;

donde q2 es una constante. Para ello emplee transformada seno de Fourier. Obtenga lafuncion de Green de manera explıcita, esto es, no en forma integral.

Referencias

L. Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences. Hermann, Paris (1968).I. Stakgold, Green’s functions and Boundary Value Problems. Wiley, Interscience, New York(1979).E. Butkov, Mathematical Physics. Addison-Wesley, Reading, Mass. (1968).


Capıtulo 6

El problema de contorno y valoresiniciales

En este capıtulo consideraremos el problema de contorno y valores iniciales para las EDP’s del tipohiperbolico y parabolico. Por simplicidad, nos restringiremos a aquellos problemas que involucrana las ecuaciones de onda y de difusion en (1 + 1)-dimensiones.

6.1 Formulacion del problema

Considerese la ecuacion diferencial parcial de segundo orden, en n + 1 variables independientesx0, x1, · · · , xn, dada por

Du(x) = f(x) , (6.1)

donde

D =∑|k|≤2

ak(x)Dk , (6.2)

conDk = (∂0)

k0 (∂1)k1 · · · (∂n)kn (6.3)

y|k| = k0 + k1 + · · ·+ kn. (6.4)

Los coeficientes ak(x) y la funcion f(x) se suponen conocidos y continuos. Queremos encontrarla solucion u(x) de (6.1), en la region (n + 1)-dimensional M (esto es, para x ∈ M), sujeta acondiciones iniciales y de contorno.

Sea Ω un conjunto abierto acotado de Rn con frontera ∂Ω regular. Asumiremos que M es dela forma M = R1

+ × Ω, con x0 ∈ R1+ y (x1, · · · , xn) ∈ Ω y que x0 = 0 determina la superficie

Σ sobre la que queremos asignar datos iniciales (fig. 6.1). Ası, el problema de valores inicialesy de contorno para (6.1) en M consiste en encontrar la solucion u(x) de (6.1) en el volumenM = x ∈

(R1

+ × Ω), x0 ∈ R1

+, (x1, · · · , xn) ∈ Ω, con datos iniciales dados sobre la superficieΣ0 = x0 = 0, (x1, · · · , xn) ∈ Ω y que satisface condiciones de contorno prescritas sobre la fronteraR1

+ × ∂Ω de M.Puesto que la asignacion de datos iniciales ha sido suficientemente discutida con anterioridad, en

lo que sigue centraremos nuestra atencion sobre las condiciones de contorno. Entre las condicionesde contorno mas sencillas y frecuentes encontramos,

1. La condicion de Dirichlet: u se prescribe sobre ∂Ω, ∀x0 ∈ R1+.

85


Figura 6.1: Ejemplo de un dominio (2+1)-dimensional M = R1+ × Ω

2. La condicion de Neumann: se prescribe la derivada direccional ∂u∂n

de u a lo largo de lanormal externa n a la frontera ∂Ω sobre dicha frontera, ∀x0 ∈ R1

+.

3. La condicion mixta: se prescribe ∂u∂n

+ hu sobre la frontera ∂Ω, con h continua, ∀x0 ∈ R1+.

4. La condicion de Robin: se prescribe una condicion en una parte de la frontera y otracondicion en el resto.

Entre las tecnicas mas sencillas para resolver cierto tipo de problemas con condiciones decontorno se encuentra el metodo de separacion de variables. Introduciremos aquı dicho metodo,examinando las condiciones que se deben cumplir para su aplicabilidad en la resolucion del pro-blema de contorno que involucra a las EDP’s de segundo orden. Posteriormente, despues de haberconsiderado algunos ejemplos especıficos, se discutiran sobre bases mas rigurosas la existencia yunicidad de las soluciones obtenidas.

Consideremos la ecuacion de segundo orden en dos variables independientes

a(x, y)∂x∂x u+ b(x, y)∂x∂y u+ c(x, y)∂y∂y u+ F (∂xu, ∂yu, u, x, y) = 0 , (6.5)

que se dice lineal siF (∂xu, ∂yu, u, x, y) = d∂xu+ e∂yu+ fu+ g. (6.6)

La aplicacion del metodo de separacion de variables requiere que la EDP sea lineal y homogeneay por lo tanto F debera ser como en (6.6) con g = 0. Ademas, en general, sera necesario llevar(6.5) a la forma canonica, salvo en aquellos casos en los que los coeficientes sean constantes. Bajoestas premisas consideremos entonces la EDP lineal y homogenea de segundo orden dada por

a(x, y)∂x∂x u+ c(x, y)∂y∂y u+ d(x, y)∂xu+ e(x, y)∂yu+ fu = 0 (6.7)

que es claro sera



i) hiperbolica, si a = −c

ii) parabolica, si a = 0 o c = 0

iii) elıptica si a = c.

La idea del metodo es construir la solucion de (6.7) a partir de “soluciones basicas” de la forma

u(x, y) = X(x)Y (y) 6= 0. (6.8)

Sustituyendo (6.8) en (6.7) encontramos

aX ′′Y + cXY ′′ + dX ′Y + eXY ′ + fXY = 0, (6.9)

donde las primas indican derivacion con respecto a la variable respectiva.Supongamos a continuacion que existe una funcion p(x, y) tal que dividiendo (6.9) entre el

producto p(x, y)X(x)Y (y) se obtiene

α1X ′′

X+ α2

X ′

X+ α3 = −

(β1Y ′′

Y+ β2

Y ′

Y+ β3

), (6.10)

donde todas las αi son solo funciones de x y todas las βi son solo funciones de la variable y.Ahora, puesto que las coordenadas x, y son independientes, los miembros izquierdo y derecho

de (6.10) deberan ser iguales a la misma constante, que denotaremos por λ y que denominaremosconstante de separacion. Ası, hemos llevado entonces el problema (6.7) al problema de resolver lasdos ecuaciones diferenciales ordinarias dadas por

α1X′′ + α2X

′ + α3X = λX, (6.11)

β1Y′′ + β2Y

′ + β3Y = −λY. (6.12)

Por supuesto, (6.8) sera solucion de (6.7) siX e Y son soluciones de (6.11) y (6.12) respectivamente.Hemos establecido entonces las condiciones bajo las cuales (6.7) es separable.

Por otro lado, para que el problema de contorno sea separable es necesario que las condicionesde contorno sean separables, lo que nos obliga a elegir un sistema de coordenadas adaptado ala simetrıa del problema. Por ejemplo, coordenadas cartesianas si la region Ω (en la cual u essolucion) es un rectangulo, coordenadas polares si Ω es una region circular, etc., de forma talque la frontera ∂Ω venga determinada al fijar una de estas variables. Ademas las condiciones decontorno deberan ser tales que no involucren derivadas ni variables distintas a las escogidas bajoel criterio anterior. Por ejemplo, la condicion de contorno (u+ ∂yu)|r=r0 = 0 con x = r cosϕ yy = r sinϕ no es separable.

Si las condiciones de contorno son separables, las mismas definen junto a (6.11) (o (6.12)) unproblema de autovalores que determina los valores posibles de λ como los autovalores del espectrode autovalores correspondiente y a X(x) (o a Y (y)) como las autofunciones asociadas.

6.2 El problema para la ecuacion de onda

6.2.1 El problema homogeneo

Consideremos el siguiente problema

∂t∂tu− ∂x∂xu = 0, 0 < x < `, t > 0; (6.13)



u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), 0 ≤ x ≤ `; (6.14)

u(0, t) = u(`, t) = 0, t > 0. (6.15)

Este puede asociarse a las vibraciones de una cuerda de longitud ` con los extremos fijos.De acuerdo a (6.8), proponemos una solucion de la forma

u(x, t) = X(x)T (t). (6.16)

Sustituyendo en (6.13), se tieneXT ′′ = X ′′T, (6.17)

de donde, dividiendo entre X(x)T (t), obtenemos

X ′′

X=T ′′

T, (6.18)

esto es,

X ′′ − λX = 0, (6.19)

T ′′ − λT = 0. (6.20)

De (6.15) y (6.16) se sigue que u(0, t) = X(0)T (t) = 0 y u(`, t) = X(`)T (t) = 0 de donde sedesprende que

X(0) = 0, X(`) = 0. (6.21)

(6.19, 6.21) especifican un problema de autovalores y debemos entonces determinar los valores dela constante de separacion λ para los cuales existen soluciones no triviales.

Es facil ver que las soluciones al problema de autovalores (6.19, 6.21) vienen dadas por lasautofunciones

Xn = sin(nπx

`

)(6.22)

con autovalores

λ = λn = −(nπ`

)2

, (6.23)

donde n es un entero positivo.Para λ’s dados por (6.23), la solucion general de (6.20) puede ser escrita en la forma

Tn(t) = an cos

(nπt

`

)+ bn sin

(nπt

`

), (6.24)

donde an y bn son constantes arbitrarias. Ası, una solucion de la ecuacion diferencial (6.13) quesatisface las condiciones de contorno (6.15) viene dada por

un(x, t) =

[an cos

(nπt

`

)+ bn sin

(nπt

`

)]sin(nπx

`

), (6.25)

aunque claramente la misma no puede satisfacer las condiciones iniciales arbitrarias (6.14).Ahora bien, puesto que (6.13) es lineal y homogenea, entonces la combinacion lineal

u(x, t) =∞∑n=1

[an cos

(nπt

`

)+ bn sin

(nπt

`

)]sin(nπx

`

)(6.26)



tambien sera solucion. Dejando de lado por los momentos la convergencia de la serie de Fourier(6.26), quedan por determinar los coeficientes an y bn y exigiendo que se cumplan las condicionesiniciales (6.14) se sigue que

u(x, 0) =∞∑n=1

an sin(nπx

`

)= f1(x) (6.27)

y

∂tu(x, 0) =∞∑n=1

bnnπ

`sin(nπx

`

)= f2(x). (6.28)

Multiplicando (6.27) por sin(mπx/`) e integrando en x se tiene

∞∑n=1

an

∫ `

0

dx sin(nπx

`

)sin(mπx

`

)=

∫ `

0

dx f1(x) sin(mπx

`

). (6.29)

Ahora bien ∫ l

0

dx sin(nπx

`

)sin(mπx

`

)=`

2δm,n (6.30)

y por lo tanto

an =2

`

∫ `

0

dx f1(x) sin(nπx

`

). (6.31)

Procediendo en forma analoga, a partir de (6.28) se encuentra que

bn =2

nπ

∫ `

0

dx f2(x) sin(nπx

`

). (6.32)

Notese que an y nπbn/` son los coeficientes de la expansion de f1 y f2 en serie de Fourier.Finalmente, la solucion al problema (6.13, 6.15, 6.14) viene dada por (6.26) donde los coefi-

cientes an y bn vienen dados por (6.31) y (6.32) respectivamente.

6.2.2 El problema no homogeneo

Consideremos a continuacion el problema

∂t∂tu− ∂x∂xu = q(x, t), 0 < x < `, t > 0 (6.33)

u(x, o) = f1(x) , ∂tu(x, 0) = f2(x) , 0 ≤ x ≤ ` (6.34)

u(0, t) = u(`, t) = 0 (6.35)

Al igual que el problema (6.13) con condiciones (6.14) y (6.15), este tambien puede asociarse a lapropagacion de vibraciones en una cuerda de longitud ` con los extremos fijos, pero esta vez bajola accion de una fuerza externa q(x, t).

En la seccion anterior resolvimos el problema homogeneo por separacion de variables y encon-tramos que la solucion viene dada en terminos de las autofunciones (6.22) con autovalores (6.23).Pues bien, una alternativa para resolver (6.33) con las condiciones (6.34) y (6.35) consiste enproponer la solucion como la expansion en serie de Fourier

u(x, t) =∞∑n=1

un(t) sin(nπx

`

), (6.36)



donde debemos determinar un(t). Evidentemente (6.36) satisface las condiciones (6.35). De lamisma manera, reemplazamos q(x, t) por su expansion en serie en la misma base de funciones

q(x, t) =∞∑n=1

qn(t) sin(nπx

`

), (6.37)

donde

qn(t) =2

`

∫ `

0

dx q(x, t) sin(nπx

`

). (6.38)

Sustituyendo (6.36) y (6.37) en (6.33) se tiene

∞∑n=1

[d2

dt2un(t) +

(nπ`

)2

un(t)

]sin(nπx

`

)=

∞∑n=1

qn(t) sin(nπx

`

)(6.39)

A continuacion, multiplicando ambos miembros de (6.39) por sin(mπx/`), integrando en xdesde 0 hasta ` y usando la relacion de ortogonalidad (6.30) encontramos

d2

dt2um(t) +

(mπ`

)2

um(t) = qm(t) , (6.40)

cuya solucion viene dada por

un(t) = an cos

(nπt

`

)+ bn sin

(nπt

`

)+

`

nπ

∫ t

0

dτ qn(τ) sin

(nπ (t− τ)

`

). (6.41)

Se deja como ejercicio la verificacion de que (6.41) es la solucion general de (6.40).De aquı que la solucion de (6.33) con las condiciones de contorno (6.35) venga dada por

u(x, t) =∞∑n=1

(an cos

(nπt

`

)+ bn sin

(nπt

`

))sin(nπx

`

)+

∞∑n=1

(`

nπ

∫ t

0

dτqn(τ) sin

(nπ (t− τ)

`

))sin(nπx

`

)(6.42)

De las condiciones iniciales (6.34) se sigue que an y bn vienen dados por (6.31) y (6.32).Ahora, es oportuno hacer algunos comentarios sobre la convergencia de las soluciones obtenidas.

Admitiendo que los datos iniciales f1 y f2 sean continuamente derivables al menos una vez, lasseries de Fourier (6.27) y (6.28) son uniformemente convergentes, aunque esto no nos dice nadasobre la convergencia de (6.26) y (6.42) ni de la derivabilidad de u respecto a x y t hasta segundoorden. Mas adelante veremos que las dificultades mencionadas estan totalmente ausentes si seconsideran las convergencia y las derivadas en el sentido de las distribuciones o tambien si seproponen funciones f1 y f2 suficientemente derivables.

Consideremos a continuacion otros tipos de condiciones de contorno. El problema de Cauchy(6.13), (6.14) con condiciones de contorno

∂xu(0, t) = ∂xu(`, t) = 0 (6.43)



puede asociarse a las vibraciones longitudinales de un gas contenido en un tubo de longitud ` conlos extremos abiertos. Este se resuelve de la misma manera que el problema anterior, pero estavez las condiciones (6.43) imponen soluciones de la forma

Xn(x) = Cn(x) cos(nπx

`

), (6.44)

autofunciones de (6.19) con autovalores

λn = −(nπ`

)2

. (6.45)

El desarrollo posterior es completamente analogo al seguido para el problema (6.13), (6.14), y(6.15). Por supuesto, f1 y f2 deben ser expandidas en serie de Fourier de cos (nπx/`).

Otro problema interesante es el problema (6.13), (6.14) con condiciones de contorno

u(0, t) = ∂xu(`, t) = 0, (6.46)

que impone soluciones a (6.19) de la forma

Xn(x) = sin

((2n+ 1) πx

2`

), (6.47)

autofunciones del problema

X ′′(x)− λX = 0 , X(0) = X ′(`) = 0 (6.48)

con autovalores

λn = −[(2n+ 1) π

2`

]2

. (6.49)

La solucion al problema (6.13, 6.14, 6.46) se obtiene siguiendo los pasos dados al resolver elproblema (6.13, 6.14, 6.15), pero esta vez desarrollando las funciones f1 y f2 en la base de funciones(6.47). Todo lo anterior es facilmente extendible al problema no homogeneo.

Consideremos de nuevo el problema (6.33, 6.34, 6.35), esta vez empleando un tratamientodistribucional. La funcion de Green asociada es la solucion elemental del problema

(∂t∂t − ∂x∂x)G(x, t; ξ) = δ(x− ξ)δ(t) , −` < x, ξ < ` , t > 0, (6.50)

G = 0 para t < 0 , (6.51)

G|x=0 = G|x=` = 0 (6.52)

y la solucion de (6.33, 6.34, 6.35) viene dada por

u(x, t) =

∫ ∞

−∞dτ

∫ `

0

dξ G(x, t; ξ, τ)Θ(τ)q(ξ, τ) +d

dt

∫ `

−`dξ G(x, t, ξ, 0)f o1 (ξ)

+

∫ `

−`dξG(x, t, ξ, 0)f o2 (ξ) (6.53)

donde G(x, t; ξ, τ) = G(x, t−τ ; ξ) y f o1 y f o2 son las extensiones impares de f1 y f2 respectivamente.El primer termino del miembro derecho de (6.53) es la solucion del problema no homogeneo concondiciones iniciales homogeneas, el segundo y tercer termino proveen la solucion al problemahomogeneo con condiciones iniciales no homogeneas.



.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................Caja 6.1: Series de Fourier

Sea f(x) una funcion periodica definida sobre R1 con periodo 2π. Su serie de Fourierviene dada por

∞∑n=−∞

cn exp (inx) (6.54)

o pora0

2+

∞∑n=1

(an cos (nx) + bn sin (nx)) (6.55)

donde los coeficientes cn, an y bn estan relacionados por

a0 = 2c0, an = cn + c−n, bn = i (cn − c−n) , n > 0

y vienen dados por

cn =1

2π

∫ π

−πdx e−inxf (x) ; n = 0,±1,±2... (6.56)

an =1

π

∫ π

−πdx cosnx f(x) ; n = 1, 2... (6.57)

bn =1

π

∫ π

−πdx sinnx f(x) ; n = 1, 2... (6.58)

Para funciones periodicas f(x) definidas sobre R1 y con periodo τ la serie de Fourierse define como

∞∑n=−∞

cn exp(i2nπx/τ), (6.59)

donde

cn =1

τ

∫ τ/2

−τ/2dx f(x) exp(−i2nπx/τ). (6.60)

Ahora, debera notarse que la serie de Fourier de una funcion localmente integrablef(x) no converge a f(x) en todo punto x. Esto es evidente, ya que una modificacionde f sobre un conjunto de medida nula no cambia los coeficientes de la serie de Fourierasociada. Se puede demostrar que tampoco son posibles convergencia en la media (casien todas partes) y que aun suponiendo f(x) continua no hay convergencia en todopunto x.

Considerese la funcion f (x) = x − π para 0 ≤ x < 2π, con f (x+ 2π) = f (x) paraotros valores de x. La serie de Fourier de f (x) viene dada por

− 2∞∑n=1

1

nsinnx = i

∑n6=0

einx

n. (6.61)



Se puede demostrar que (6.61) no converge uniformemente a f .

Sea ϕ ∈ D. Entonces

f(x) = −2∞∑n=1

1

nsinnx, (6.62)

se entendera como

〈f, ϕ〉 = 〈−2∞∑n=1

1

nsinnx, ϕ〉, ∀ϕ ∈ D, (6.63)

esto es, (6.62) es una igualdad en el sentido de las distribuciones y la convergencia dela serie (6.61) a f es una convergencia distribucional como en (6.63).

Derivando f(x) en el sentido de las distribuciones (seccion 2.4 del capıtulo 2) se tiene

f ′(x) = 1−∞∑

n=−∞

2πδ (x− n2π) (6.64)

y derivando la serie de Fourier (6.62) de f(x) se tiene

f ′(x) = −2∞∑n=1

cosnx. (6.65)

De (6.64) y (6.65) se desprende que

∞∑n=−∞

δ (x− n2π) =1

2π+

1

π

∞∑n=1

cosnx (6.66)

o bien∞∑

n=−∞

δ (x− n2π) =1

2π

∞∑n=−∞

e−inx (6.67)

De (6.66) se tiene

∞∑n=−∞

δ (x− ξ − n2π) =1

2π+

1

π

∞∑n=1

(cosnξ cosnx+ sinnξ sinnx) (6.68)

y de (6.67) se sigue

∞∑n=−∞

δ (x− ξ − n2π) =1

2π

∞∑n=−∞

e−in(x−ξ) (6.69)

Sea ϕ(x) ∈ D(−π, π), con D(−π, π) el espacio de las funciones de prueba con soportecompacto en (−π, π). Entonces

〈∞∑

n=−∞

δ (x− ξ − 2nπ) , ϕ (ξ)〉ξ = 〈 1

2π+

1

π

∞∑n=1

(cosnξ cosnx+ sinnξ sinnx) , ϕ (ξ)〉ξ



y se sigue que

ϕ(x) =1

2π

∫ π

−πdξ ϕ(ξ) +

∞∑n=1

[(1

π

∫ π

−πdξ cosnξ ϕ(ξ)

)cosnx

+

(1

π

∫ π

−πdξ sinnξ ϕ(ξ)

)sinnx

]. (6.70)

En (6.70) reconocemos la serie de Fourier asociada a ϕ(x).

Hemos mostrado rigurosamente que la identidad en el sentido de las distribuciones(6.68) expresa el hecho de que el conjunto de funciones sinnx, cosnx; n = 0, 1, 2, . . . es base en D(−π, π). Lo mismo puede decirse de la identidad (6.69) con respecto alconjunto de funciones einx; n = 0,±1, . . . y a las expresiones (6.68) y (6.69) se lesconoce como relaciones de cierre o completitud. Estos resultados pueden extenderse alespacio de Hilbert L2

(r) (−π, π): el espacio de todas las funciones reales f(x) de cuadradointegrable definidas en el intervalo acotado −π ≤ x ≤ π...................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................

Sea

G (x, ξ; t) =∞∑n=0

(Gsn (ξ; t) sin

(nπx`

)+Gc

n (ξ; t) cos(nπx

`

))(6.71)

y con

δ (x− ξ) =1

2`+

1

`

∞∑n=1

(cos

nπξ

`cos

nπx

`+ sin

nπξ

`sin

nπx

`

), (6.72)

esta ultima obtenida de la identidad (6.68) para −` ≤ x, ξ ≤ `, se sigue de (6.53) que

∞∑n=1

(d2

dt2+(nπ`

)2)(

Gsn (ξ; t) sin

nπx

`+Gc

n (ξ; t) cosnπx

`

)=(

1

2`+

1

`

∞∑n=1

cosnπξ

`cos

nπx

`+ sin

nπξ

`sin

nπx

`

)δ(t). (6.73)

A continuacion, multiplicando (6.73) por sin (mπx/`), integrando en x entre −` y ` y usandola relacion de ortogonalidad (6.30) obtenemos[

d2

dt2+(nπ`

)2]Gsn (ξ; t) =

1

`sin

nπξ

`δ (t) , (6.74)

cuya solucion viene dada por

Gsn (ξ; t) =

1

`sin

nπξ

`Θ (t)

sin nπt`

nπ`

. (6.75)

Ahora bien, solo las partes Gsn(ξ; t) sinnπx/` de (6.71) satisfacen las condiciones de contorno (6.52)

y por lo tanto la solucion al problema (6.50-6.52) viene dada por

G (x, ξ; t) = Θ (t)∞∑n=1

1

nπsin

nπξ

`sin

nπx

`sin

nπt

`. (6.76)



Hasta ahora hemos considerado problemas con condiciones de contorno homogeneas. Consi-deremos a continuacion el problema de contorno y valores iniciales para la ecuacion de onda concondiciones de contorno no homogeneas,

∂t∂tu− ∂x∂xu = q (x, t) , 0 < x < ` , t > 0 (6.77)

u (x, 0) = f1 (x) , ∂tu (x, 0) = f2 (x) , 0 ≤ x ≤ ` (6.78)

u (0, t) = h1 (t) , u (`, t) = h2 (t) , t ≥ 0 (6.79)

Es posible llevar el problema (6.77, 6.78, 6.79) a uno con condiciones de contorno homogeneas.Para ello, supongamos una solucion de la forma

u (x, t) = v (x, t) + U (x, t) . (6.80)

Sustituyendo (6.80) en (6.77) se tiene

∂t∂tv − ∂x∂xv = q (x, t)− ∂t∂tU (x, t) + ∂x∂xU (x, t) (6.81)

De las condiciones iniciales (6.78) y las condiciones de contorno (6.79) se desprende que

v (x, 0) = f1 (x)− U (x, 0) , ∂tv (x, 0) = f2 (x)− ∂tU (x, 0)

v (0, t) = h1 (t)− U (0, t) , v (`, t) = h2 (x)− U (`, t) .(6.82)

De (6.82) se sigue que haciendoU(0, t) = h1(t)

U(`, t) = h2(t)

se obtendran condiciones de contorno homogeneas para v. Entonces, escogiendo U(x, t) de la forma

U(x, t) = h1(t) +x

`(h2(t)− h1(t)) (6.83)

el problema se reduce al de encontrar v(x, t) que satisface

∂t∂tv − ∂x∂xv = q(x, t)− ∂t∂tU(x, t) ≡ Q(x, t) (6.84)

v(x, 0) = f1(x)− U(x, 0) = F1(x)

∂tv(x, 0) = f2(x)− ∂tU(x, 0) = F2(x) (6.85)

0 ≤ x ≤ `

v(0, t) = v(`, t)0, t ≥ 0 (6.86)

que resulta ser un problema del mismo tipo que (6.33, 6.34, 6.35).



.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................

Caja 6.2: El espacio de Hilbert L2(r) (−π, π)

Definicion 16 Se denota por L2(r) (−π, π) al espacio vectorial de todas las funciones

reales f(x) de cuadrado integrable definidas en el intervalo acotado −π ≤ x ≤ π, conmetrica

d2(f, g) =‖ f − g ‖2=

[∫ π

−πdx| f(x)− g(x) |2

]1/2

, (6.87)

definida por la norma

‖ f ‖2= (f, f)1/2 =

[∫ π

−πdx| f (x) |2

]1/2

, (6.88)

donde

(f, g) ≡∫ π

−πdx f(x)g(x) (6.89)

se toma como el producto interior (escalar).

L2(r) (−π, π) es un espacio vectorial metrico completo con metrica tal que es un espacio

de Hilbert .

Definicion 17 Un conjunto X= u, v, w, · · · se dice que es un espacio metrico si acada par de elementos u, v le esta asociado un numero d(u, v) tal que

1. d(u, v) ≥ 0,

2. d(u, v) = 0 si y solo si u = v,

3. d(u, v) = d(v, u),

4. d(u,w) ≤ d(u, v) + d(v, w).

Definicion 18 Una sucesion fundamental o de Cauchy en un espacio metrico X esuna sucesion uk de X tal que

limn,m→∞

d(um, un) = 0,

esto es, ∃N tal que para m, p > N , d(um, up) < ε, ∀ε > 0.

Definicion 19 Un espacio metrico X se dice completo en d si toda sucesion funda-mental o de Cauchy uk, k = 1, 2... de X converge a un lımite en X.

Definicion 20 Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial sobre el que se ha definidoun producto interior (escalar), siendo el espacio completo en la metrica generada porel producto interior.



Espacios de Hilbert de dimension finita e infinita.Los espacios vectoriales n-dimensionales con producto interior y norma definida positivase denominan espacios euclıdeos. Todo espacio euclıdeo es un espacio de Hilbert.

Como se sigue de su definicion, todos los espacios de Hilbert disfrutan de propiedadesalgebraicas y geometricas equivalentes a las de los espacios euclıdeos. Sin embargo,no todos los espacios vectoriales infinito-dimensionales con producto interior definidopositivo son automaticamente espacios de Hilbert, requiriendo ser completados paraconvertirlos en espacios de Hilbert.

Considerese el espacio vectorial de todas las funciones continuas y acotadas en (−π, π),que se denota por C0(−π, π), y tomese como metrica la metrica uniforme d∞ definidapor

d∞(u, v) = max−π≤x≤π

|u(x)− v(x)|,

que genera la denominada norma uniforme

‖ u ‖∞= max−π≤x≤π

|u(x)|.

Ahora bien, toda sucesion de Cauchy uk, k = 1, 2... de C0(−π, π) converge a unlımite en C0(−π, π), esto es

d∞(um, up) < ε, m, p > N

(criterio de Cauchy para convergencia uniforme) y por lo tanto C0(−π, π) es un espaciometrico completo en d∞. Sin embargo, la norma uniforme no puede ser generada apartir de un producto interno.

A continuacion, considerese de nuevo C0(−π, π) y tomese como metrica la generada porel producto interior (7.105), esto es, d2 dada por(6.97). Es facil verificar que C0(−π, π)es un espacio metrico en d2. Por otro lado, sea uk la sucesion de Cauchy en d2 conuk ∈ C0(−π, π) dada por

uk(x) =1

πarctan kx, −π ≤ x ≤ π.

Tenemoslimk→∞

d2(uk, u) = 0,

donde u(x) = 12sgnx y u 6∈ C0(−π, π). Puesto que no existe funcion v ∈ C0(−π, π)

para la cual d2(u, v) = 0, no existe v ∈ C0(−π, π) para la cual limk→∞ d2(uk, v) = 0.C0(−π, π) no es completo en la metrica d2.

Ahora bien, el espacio de Hilbert L2(r) (−π, π) puede ser entendido como la completa-

cion o clausura de C0(−π, π) en la metrica (6.97). Del ejemplo anterior, es claro queL2

(r) (−π, π) contiene entonces elementos asociados con sucesiones de Cauchy no conver-

gentes en C0(−π, π). Cabe destacar que L2(r) (−π, π) puede ser entendido ademas como

la completacion en la metrica (6.97) del conjunto C1(−π, π) de las funciones derivablesuna vez en (−π, π) o tambien de D(−π, π), entre otras. Ası, C0(−π, π), C1(−π, π) yD(−π, π) son densos en L2

(r) (−π, π), esto es, todo elemento de L2(r) (−π, π) puede ser

aproximado con precision arbitraria por elementos de dichos conjuntos.

Por ultimo enunciemos (sin demostracion) el teorema de representacion de Riesz, queestablece la relacion entre los vectores de un espacio de Hilbert y su dual.



Teorema 1 Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores de un espacio deHilbert H y su dual H′, definida por

u ∈ H 7→ (u, ) ∈ H′.

Esto es, a cada forma lineal continua sobre H le corresponde un unico vector definidoa traves del producto escalar con un elemento de H

〈u, v〉 = (u, v).

Ası, el dual de L2(r) (−π, π) es (o puede ser identificado con) L2

(r) (−π, π) y se tienen lassiguientes inclusiones

D(−π, π) ⊂ L2(r)(−π, π)

L2(r)(−π, π) ⊂ D′(−π, π)

..................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................

6.3 El problema para la ecuacion de difusion

Consideremos a continuacion el problema de contorno y valores iniciales para la ecuacion de difusion

∂tu− ∂x∂xu = q (x, t) , 0 < x < ` , t > 0 (6.90)

u (x, 0) = f (x) , 0 ≤ x ≤ ` (6.91)

u (0, t) = u (`, t) = 0 , t ≥ 0 (6.92)

El problema (6.90, 6.91, 6.92) se puede resolver empleando las mismas tecnicas usadas en6.2.1. Para el problema homogeneo, esto es, con q = 0, se puede usar el metodo de separacionde variables. Para el problema no homogeneo, q 6= 0, la solucion se puede encontrar proponiendouna expansion en las autofunciones espaciales sinnπx/` para u (x, t) directamente, o bien para lafuncion de Green g (x, t; ξ, 0) apropiada a (6.90, 6.91, 6.92), esta ultima, la solucion elemental de

∂tg − ∂x∂xg = δ (x− ξ) δ (t) , −` < x, ξ < ` , −∞ < t <∞ (6.93)

g ≡ 0 , t < 0 ; g |x=0= g |x=`= 0 , t > 0. (6.94)

La solucion de (6.90, 6.91, 6.92) en terminos de la funcion de Green viene dada por

u (x, t) =

∫ ∞

−∞dτ

∫ `

0

dξ g (x, t; ξ, τ) Θ(τ)q(ξ, τ) +

∫ `

−`dξ g (x, t; ξ, 0) f o(ξ), (6.95)

donde f o es la extension impar de f y g (x, t; ξ, τ) = g (x, t− τ ; ξ, 0), con g (x, t; ξ, 0) dada por

g (x, t; ξ, 0) = Θ(t)1

`

∞∑n=1

e−n2π2t/`2sin

nπξ

`sin

nπx

`, (6.96)

que es la solucion a (6.93, 6.94). Se deja como ejercicio propuesto la obtencion de (6.96).



.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................Caja 6.3: Bases en L2

(r)(a, b)

Los conjuntos de funciones einx; n = 0,±1, . . . y cosx, sinnx ; n = 0, 1, 2, . . . ,que expanden bases en L2

(r) (−π, π), aparecen como las autofunciones del problema

d2

dx2f = λf, −π < x < π;

U1f = c1f(−π) + c2f′(−π) = 0, U2f = d1f(π) + d2f

′(π) = 0;

asociadas al autovalor λ = −n2. Para establecer sobre bases rigurosas esta relacion ysus posibles generalizaciones, en lo que sigue daremos algunas definiciones y mostra-remos unos pocos resultados fundamentales de la teorıa de operadores lineales sobreespacios vectoriales normados y metrizables. Nos restringiremos a considerar solo elcaso de los denominados operadores Hilbert-Schmidt autoadjuntos (a los cuales se ex-tienden muchas de las propiedades de los operadores lineales sobre espacios euclıdeos)y mostraremos que la existencia de la funcion de Green para el problema de contorno(autoadjunto) implica entonces la existencia de bases ortogonales en L2

(r).

Definicion 21 Denotaremos por L2(r) (a, b) al espacio vectorial de todas las funciones

reales f(x) de cuadrado integrable definidas en el intervalo acotado a ≤ x ≤ b, conmetrica

d2(f, g) =‖ f − g ‖2=

[∫ b

a

dx| f(x)− g(x) |2]1/2

, (6.97)

definida por la norma

‖ f ‖2= (f, f)1/2 =

[∫ b

a

dx| f (x) |2]1/2

, (6.98)

donde

(f, g) ≡∫ b

a

dx f(x)g(x) (6.99)

se toma como el producto interior (escalar). L2(r) (a, b) es un espacio de Hilbert.

Definicion 22 Sea Ω el intervalo cerrado [a, b] en R1 y sea K el operador lineal sobreL2

(r)(Ω)

K : f ∈ L2(r)(Ω) 7→ h ∈ L2

(r)(Ω)

definido por

h(x) =

∫ b

a

dξ k(x, ξ) f(ξ), a ≤ x ≤ b, (6.100)

donde k(x, ξ) es una funcion continua sobre L2(r)(Ω × Ω). Se dice que k(x, ξ) es un

kernel Hilbert-Schmidt y por tanto que K es un operador Hilbert-Schmidt.



Considerese a continuacion la ecuacion integral (conocida como ecuacion de Fredholmdel primer tipo) ∫ b

a

dξ k(x, ξ) f(ξ) = −γf(x), a ≤ x ≤ b, (6.101)

que interpretamos como un problema de autovalores para el operador integral K ge-nerado por el kernel k(x, ξ), esto es, queremos encontrar los autovalores γ para loscuales

Kf = −γf (6.102)

tiene soluciones f no triviales.

Definicion 23 El operador lineal K∗ sobre L2(r)(Ω)

K∗f = −γf

definido por ∫ b

a

dξ k(ξ, x)f(ξ) = −γf(x), a ≤ x ≤ b,

se dice el adjunto del operador K, que aparece en (6.102), definido por (6.101). Sik(ξ, x) = k(x, ξ), entonces K es autoadjunto.

Proposicion 14 Sea K un operador Hilbert-Schmidt autoadjunto definido sobre el es-pacio de Hilbert L2

(r)(Ω), entonces las autofunciones de K correspondientes a autovalores

γ 6= 0 expanden una base ortogonal para L2(r)(Ω) si y solo si γ = 0 no es un autovalor

de K.

Considerese entonces el problema de autovalores

Lxf = −λf, a < x < b, U1f = 0 = U2f, (6.103)

con Lx el operador diferencial de segundo orden autoadjunto dado por (3.10) y U1f = 0,U2f = 0, condiciones de contorno homogeneas y sin mezcla del tipo (3.12,3.13).

Primero, notese que para f y h funciones arbitrarias, derivables dos veces en a < x < by que satisfacen U1f = 0 = U2f y U1h = 0 = U2h, se encuentra∫ b

a

dx (Lxf)h =

∫ b

a

dx f(Lxh), (6.104)

como puede verificarse facilmente integrando por partes.

A continuacion, sean fi y fj soluciones de (6.103) correspondientes a los autovalores λiy λj, respectivamente, se tiene

0 =

∫ b

a

dx (Lxfi) fj −∫ b

a

dx fi(Lxfj) = (λi − λj)

∫ b

a

dx fi(x)fj(x),

de donde se sigue que si λi 6= λj entonces fi y fj son ortogonales en L2(r)(a, b). Fi-

nalmente, puede probarse que los autovalores de (6.103) son simples y que pueden serlistados como

λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·



con λn → +∞ para n→∞.

Supongamos ahora que λ = 0 no es un autovalor de (6.103). En terminos de la funcionde Green g0(x, ξ) definida por

Lxg0 = −δ(x− ξ), a < x, ξ < b, U1g0 = 0 = U2g0, (6.105)

el problema (6.103) puede ser planteado como la ecuacion integral

f(x) = −λ∫ b

a

dξ g0(x, ξ) f(ξ), a < x < b,

que es de la forma

Gf = −γf, γ = λ−1.

Ası, las autofunciones de (6.103) son las autofunciones de G y puesto que la funcion deGreen es simetrica, g0(ξ, x) = g0(x, ξ), se sigue que el operador integral G es un operadorHilbert-Schmidt autoadjunto . Por otro lado, dado que el problema de contorno

Lxy = −f, a < x < b, U1y = 0 = U2y, (6.106)

tiene una unica solucion

y = G f,

tendremos que y = 0 implica f = 0 y de aquı que γ = 0 no es un autovalor de G. Ası,de acuerdo al teorema 14, las autofunciones de G y por lo tanto las autofunciones de(6.103) expanden una base ortogonal en L2

(r)(a, b)...................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................


1. Encuentre la solucion a los problemas de contorno y valores iniciales siguientes

(a)

∂t∂tω − ∂x∂xω = 0, 0 < x < l, t > 0

ω(0, t) = ∂xω(l, t) = 0, t ≥ 0

ω(x, 0) = f1(x), ∂tω(x, 0) = f2(x), 0 ≤ x ≤ l.

(b)

∂t∂tu− ∂x∂xu = q(x, t), 0 < x < l, t > 0

∂xu(0, t) = ∂xu(l, t) = 0, t ≥ 0

u(x, 0) = ∂tu(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l.



(c)

∂t∂tu− ∂x∂xu = A sinh x, 0 < x < l, t > 0

u(0, t) = h, u(l, t) = k, t ≥ 0

u(x, 0) = ∂tu(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ l,

donde A, h y k son constantes.

(d)

∂t∂tu+ a∂tu− ∂x∂xu = 0, 0 < x < l, t > 0

u(0, t) = u(l, t) = 0, t ≥ 0

u(x, 0) = 0, ∂tu(x, 0) = f2(x), 0 ≤ x ≤ l.

(e)

∂t∂tu+ 2x∂xu− (1− x2)∂x∂xu = 0, 0 < x < 1, t > 0

u(0, t) = 0, u(1, t) <∞, t > 0

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), 0 ≤ x ≤ 1

(f)

∂tu−1

x∂x(x∂xu) = 0, 0 < x < a, t > 0

u(0, t) <∞, u(a, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ a

(g)

∂tu− ∂x∂xu = q(x, t), 0 < x < l, t > 0

u(0, t) = h1(t), ∂xu(l, t) = h2(t), t ≥ 0

u(x, 0) = f(x), 0 ≤ x ≤ l.

Indicaciones: lleve el problema a uno con condiciones de contorno homogeneas y propon-ga la solucion a este ultimo como una expansion en serie de Fourier de sin[(2n+ 1)πx/2l].

(h)

∂t∂tu− a∂x(x∂xu)− ω2u = 0, 0 < x < l, t > 0

u(0, t) <∞, u(l, t) = 0, t > 0

u(x, 0) = f1(x), ∂tu(x, 0) = f2(x), 0 ≤ x ≤ l.

2. Verifique que la ec.(6.53) es la solucion para el problema planteado en las ecs.(6.33, 6.34,6.35).

3. (a) Verifique que la ec.(6.95) es la solucion para el problema planteado en las ecs.(6.90, 6.91,6.92).



(b) Obtenga la funcion de Green dada por ec.(6.96), solucion fundamental al problemaplanteado en las ecs.(6.93, 6.94).

4. Obtenga la funcion de Green G(x, ξ, t), solucion elemental causal al problema de contorno yvalores iniciales

∂tG− ∂x∂xG+ hG = δ(x− ξ)δ(t), 0 < x, ξ < 1, −∞ < t <∞;

G ≡ 0 para t < 0;

G|x=0 = 0, ∂xG|x=1 = 0;

donde h es una constante positiva.

Referencias

L. Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences. Hermann, Paris (1968).I. Stakgold, Green’s functions and Boundary Value Problems. Wiley, New York (1979).E. Butkov, Mathematical Physics. Addison-Wesley, (1968).Y.Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette and M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics,Part 1. North Holland. 1982.


Capıtulo 7

El Problema de Contorno Puro

Las EDP’s elıpticas no tienen caracterısticas reales. Sin embargo, el problema de Cauchy no es elindicado para estas ecuaciones ya que se obtienen existencia y unicidad solo en dominios pequenosy en situaciones en las que todo es analıtico; ademas no hay dependencia continua con la data. Esel problema de contorno puro el que esta bien planteado para las ecuaciones elıpticas.

Ahora bien, sea Ω un conjunto abierto acotado de Rn con frontera ∂Ω regular y supongamosque queremos encontrar la solucion a un problema en Ω con condiciones de contorno prescritassobre ∂Ω. En (6.1) mencionamos las condiciones de contorno mas simples y usuales,

1. La condicion de Dirichlet: u se prescribe sobre la frontera ∂Ω del dominio Ω donde sebusca la solucion.

2. La condicion de Neumann: se prescribe la derivada normal ∂u∂n

sobre ∂Ω.

3. Condicion mixta: se prescribe ∂u∂n

+ hu sobre ∂Ω, con h continua.

4. La condicion de Robin: se prescribe una condicion en una parte de ∂Ω y otra condicionen el resto.

A continuacion estudiaremos algunos problemas de contorno que involucran condiciones de Diri-chlet y de Neumann para las denominadas ecuaciones de Laplace y de Poisson. Por simplicidadnos restringiremos al caso de dos variables independientes.

7.1 El problema de Dirichlet

7.1.1 El problema de Dirichlet para la ecuacion de Laplace

Sea ∆ el operador Laplaciano. Una distribucion que satisfaga

∆u = 0

en un dominio Ω se dice armonica en Ω y dicha ecuacion se conoce comunmente como la ecuacionde Laplace.

105


El problema interior de Dirichlet para el disco

Supongamos a continuacion que Ωa es un disco de radio a. Queremos encontrar una funcionu armonica en Ωa con valores prescritos sobre el circulo ∂Ωa frontera de Ωa. El laplaciano endos dimensiones y en coordenadas cartesianas viene dado por ∆ ≡ ∂x∂x + ∂y∂y. Sin embargo,es conveniente emplear coordenadas adaptadas a la simetrıa de Ωa, esto es coordenadas polaresx = r cosϕ, y = r sinϕ con 0 ≤ r ≤ a y −π ≤ ϕ ≤ π. Es claro r = 0, ϕ = π y ϕ = −π nocorresponden a ninguna frontera real y deberemos asegurarnos que la solucion buscada u (r, ϕ)tenga un comportamiento ”razonable”en r = 0 y sobre las lıneas ϕ = π y ϕ = −π que deben seridentificadas.

Ası, el problema interior de Dirichlet para el disco viene especificado por

∆u =1

r∂r (r∂ru) +

1

r2∂ϕ∂ϕu = 0, 0 ≤ r ≤ a, −π ≤ ϕ < π; (7.1)

u (a, ϕ) = f (ϕ) , f (−π) = f (π) , (7.2)

con f continua.El problema (7.1,7.2) puede ser resuelto por separacion de variables. Proponiendo una solucion

de la formau (r, ϕ) = R (r) Φ (ϕ) (7.3)

y sustituyendo (7.3) en (7.1), se obtiene despues de dividir entre RΦ

r

R

d

dr

(rdR

dr

)= − 1

Φ

d2Φ

dϕ2= λ (7.4)

donde λ es la constante de separacion. Tenemos entonces dos ecuaciones diferenciales ordinarias

− d2Φ

dϕ2= λΦ , −π ≤ ϕ ≤ π (7.5)

y

rd

dr

(rdR

dr

)= λR , 0 < r < a (7.6)

Para que u sea armonica en Ωa, u y sus derivadas deben ser continuas y de aquı que paraasegurar continuidad en la recta ϕ = −π que es la misma que ϕ = π, deberemos asociar a (7.5)condiciones de contorno periodicas

Φ (−π) = Φ (π) , Φ′ (−π) = Φ′ (π) (7.7)

Para la ecuacion radial (7.6) exigiremos R(0) < ∞. La ecuacion (7.5) junto con las condiciones(7.7) define un problema de autovalores, con autovalores λ = n2 y autofunciones

Φn = C sinnϕ+D cosnϕ , n = 0, 1, 2...

oΦn = Aeinϕ , n ∈ Z

De (7.6) con λ = n2 se tiene

Rn(x) =

Crn +Dr−n, n 6= 0

E + F log r, n = 0



Exigiendo que R este acotada en el origen, se sigue que

Rn = r|n| , n ∈ Z,

y tenemos entonces que

un (r, ϕ) = r|n|einϕ , n ∈ Z,

es armonica en el plano entero. Por supuesto, tambien lo es cualquier combinacion lineal finita dedichas funciones. Sin embargo, como veremos a continuacion, a fin de satisfacer la condicion (7.2)sera necesario considerar una combinacion lineal infinita.

Supongamos que

u(r, ϕ) =∞∑

n=−∞

an

(ra

)|n|einϕ ,

r

a< 1. (7.8)

De (7.2) tenemos

f(ϕ) =∞∑

n=−∞

aneinϕ, (7.9)

de donde se sigue que

an =1

2π

∫ π

−πdϕ e−inϕf(ϕ). (7.10)

La solucion al problema (7.1,7.2) viene dada entonces por (7.8), donde los an (7.10) son los coefi-cientes de la expansion de f(ϕ) en serie de Fourier.

Es posible, en este caso, reducir la solucion a una integral simple. Sustituyendo (7.10) en (7.8)tenemos

u(r, ϕ) =

∫ π

−πdϕf(ϕ)

[1

2π

∞∑n=−∞

(ra

)|n|ein(ϕ−ψ)

],

r

a< 1

Ahora,

∞∑n=−∞

z|n|eina = 1 +∞∑n=1

zneina +∞∑n=1

zne−ina

= 1 +∞∑n=1

(zeia

)n+

∞∑n=1

(ze−ia

)n= 1 +

zeia

1− zeia+

ze−ia

1− ze−ia

=1− z2

1− 2z cos a+ z2

y por lo tanto

u(r, ϕ) =1

2π

∫ π

−πdψf(ψ)

1−(ra

)21− 2 r

acos (ϕ− ψ) +

(ra

)2 ,r

a< 1 (7.11)

La funcion

k(ρ, ϕ) =1

2π

1− ρ2

1− 2ρ cosϕ+ ρ2(7.12)



se conoce como el kernel de Poisson y puede demostrarse que (Ejemplo 14)

limρ→1−

k(ρ, ϕ) = δ(ϕ) , | ϕ |≤ π (7.13)

en el sentido de las distribuciones. De aquı que u satisface la condicion de contorno en el sentidode las distribuciones como se sigue de manera directa de (7.11) y (7.13).

El problema exterior de Dirichlet para el disco

El problema exterior de Dirichlet para el disco, que consiste en encontrar una funcion ue armonicaen el dominio no acotado Ω = (r, ϕ) ∈ R2, r > a, −π < ϕ < π, con condiciones prescritas sobrela frontera r = a y con ue → 0 para r →∞, tiene como solucion

ue(r, ϕ) =∞∑

=−∞

an

(ar

)|n|einϕ ,

a

r< 1 (7.14)

con

an =1

2π

∫ π

−πdϕe−inϕf(ϕ) (7.15)

y que puede ser re-escrita como

ue(r, ϕ) =1

2π

∫ π

−πdψf(ψ)

(ra

)2 − 1

1− 2 racos (ϕ− ψ) +

(ra

)2 ,r

a> 1. (7.16)

El problema de Dirichlet para un rectangulo

Retomemos de nuevo el problema de Dirichlet, esta vez para un dominio rectangular. Consideremosel problema

∆u = ∂x∂xu+ ∂y∂yu = 0, 0 < x < a, 0 < y < b; (7.17)

u(x, 0) = f(x), u(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a,u(0, y) = 0 = u(a, y), 0 ≤ y ≤ b.

(7.18)

El problema planteado se puede resolver por el metodo de separacion de variables. Ası, proponiendo

u(x, y) = X(x)Y (y) (7.19)

y sustituyendo en (7.17) se tiene

X ′′ − λX = 0, (7.20)

Y ′′ + λY = 0. (7.21)

Las condiciones de contorno (7.18) imponen a su vez las condiciones

X(0) = X(a) = 0. (7.22)

(7.20) y (7.22) especifican un problema de autovalores con autofunciones

Xn(x) = sinnπx

a(7.23)



y autovalores

λ = −(nπa

)2

, n = 1, 2, . . . (7.24)

La solucion de (7.21) es entonces

Yn(y) = sinh(nπa

(y + α))

(7.25)

y la condicion u(x, b) = 0 nos lleva a exigir que Yn(b) = 0, de donde se desprende que α = −b ypor lo tanto

Yn(y) = sinh(nπa

(y − b)). (7.26)

Ası, la solucion de (7.17) es de la forma

u(x, y) =∞∑n=1

An sinh(nπa

(y − b))

sinnπx

a(7.27)

y la condicion u(x, 0) = f(x) nos lleva a

f(x) = −∞∑n=1

An sinhnπb

asin

nπx

a. (7.28)

En (7.28) reconocemos los coeficientes −An sinh nπba

como los coeficientes de la expansion en seriede Fourier de senos de f(x),

− An sinhnπb

a=

2

a

∫ a

0

dx f(x) sinnπx

a(7.29)

y con

an =2

a

∫ a

0

dx f(x) sinnπx

a(7.30)

de (7.27) se tiene

u(x, y) = −∞∑n=1

ansinh

[nπa

(y − b)]

sinh(nπba

) sinnπx

a. (7.31)

La solucion al problema de Dirichlet con condiciones de contorno no homogeneas general

∆u = 0 , 0 < x < a , 0 < y < b (7.32)

u(x, 0) = f1(x) , u(x, b) = f2(x) , 0 ≤ x ≤ a (7.33)

u(0, y) = f3(y) , u(a, y) = f4(y) , 0 ≤ y ≤ b (7.34)

se resuelve separando el problema en cuatro sub-problemas, cada uno con solo una condicion decontorno no homogenea y las restantes homogeneas. Determinando las soluciones de cada unode estos sub-problemas como en el caso tratado, la solucion de (7.32,7.33,7.34) viene dada por lasuma de estas soluciones.



7.1.2 El problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson

El problema de Dirichlet interior al disco

Consideremos a continuacion el problema de Dirichlet interior al disco para la ecuacion de Pois-son. Teniendo en cuenta que siempre es posible anadir la solucion del problema (7.1,7.2), nosrestringiremos el caso con condiciones de contorno homogeneas. Tenemos entonces

−∆v = q(r, ϕ), 0 < r < 1, −π < ϕ < π; (7.35)

v(1, ϕ) = 0, −π ≤ ϕ < π. (7.36)

Este problema se puede resolver directamente proponiendo la solucion como una expansion en seriede Fourier

v(r, ϕ) =∞∑

n=−∞

vn(r)einϕ, (7.37)

expandiendo tambien q(r, ϕ) en serie de Fourier

q(r, ϕ) =∞∑

n=−∞

qn(r)einϕ, (7.38)

con

qn(r) =1

2π

∫ π

−πdϕe−inϕq(r, ϕ). (7.39)

Sustituyendo (7.37) y (7.38) en (7.35) se tiene

∞∑−∞

(1

r

d

dr

(rd

drvn(r)

)− n2

r2vn(r)

)einϕ =

∞∑n=−∞

qn(r)einϕ, (7.40)

de donde se sigue que vn satisface

−(

1

r

d

dr

(rd

drvn

)− n2

r2vn

)= qn(r) , vn(1) = 0 (7.41)

Resolveremos (7.41) usando funciones de Green.

.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................Caja 7.1: Distribuciones y transformaciones de coordenadas

Sea xi, i = 1, 2, . . . , n un conjunto de coordenadas cartesianas en Rn. Sea φ ∈ D(Rn).A toda funcion localmente integrable f(x) = f(x1, . . . , xn) se le asocia una distribuciona traves de la regla

〈f, ϕ〉 ≡∫

Rn

dnxf(x)φ(x) ,

donde dnx = dx1dx2dx3 . . . dxn.

Veamos como expresar esta distribucion en otros sistemas de coordenadas. Seanyi, i = 1, 2, . . . , n las coordenadas que se obtienen de xi, i = 1, 2, . . . , n a traves de



la transformacion y = Φ(x), esto es Φ asocia las coordenadas (y1, · · · , yn) con las coor-denadas (x1, · · · , xn) del mismo punto. Supondremos ademas que la transformacion essuave. Si el Jacobiano J de la transformacion es positivo en todas partes, entonces Φfes la distribucion definida por

〈f, φ〉x =

∫Rn

x

dnx f(x)φ(x)

=

∫Rn

y

dny Jf(x(y))φ(x(y)) =

∫Rn

y

dny (Φf) (y)ψ(y)

= 〈(Φf) , ψ〉y , (7.42)

donde (Φf) (y) = f(x(y)) y ψ(y) ≡ J φ(x(y)). Usaremos (7.42) para definir cambiosde coordenadas en distribuciones no necesariamente regulares.

Seaδ(x0) ≡ δ(x1 − x1

0)δ(x2 − x2

0) . . . δ(xn − xn0 )

la distribucion delta de Dirac con soporte en x0 ∈ Rn, entonces⟨δ(x0), φ(x)

⟩x

= φ(x0) (7.43)

Por otro lado, con y0 = y(x0), la consistencia con (7.42) requiere que

φ(x0) = φ(y0) =⟨(Φδ)(y0) , ψ(y)

⟩y

(7.44)

y por lo tanto(Φδ)(y0) = J−1δ(y0) , (7.45)

dondeδ(y0) ≡ δ(y1 − y1

0)δ(y2 − y2

0) . . . δ(yn − yn0 )

Consideremos a continuacion algunas transformaciones particulares.

1. Dilataciones. En Rn, sea Φα la transformacion x 7→ α y, α > 0 y sea δ(0) ladistribucion δ de Dirac con soporte en el origen. Entonces (vease el ejemplo 6)

(Φαδ)(0) = αnδ(0).

2. Coordenadas esfericas en R3. Sean r, θ, ϕ las coordenadas esfericas usualesen R3. Al punto con coordenadas cartesianas x0 = (x1

0, x20, x

30) le corresponde

el punto con coordenadas esfericas (r0, θ0, ϕ0), donde x10 = r0 sin θ0 cosϕ0, x

20 =

r0 sin θ0 sinϕ0 y x30 = r0 cos θ0. Ası, la distribucion δ(x0) con soporte en x0, que en

coordenadas cartesianas se escribe como

δ(x0) ≡ δ(x1 − x10)δ(x

2 − x20)δ(x

3 − x30)

se escribe en coordenadas esfericas como

(Φδ)(r0,θ0,ϕ0) =δ(r − r0)δ(θ − θ0)δ(ϕ− ϕ0)

r2 sin θ, r0 6= 0, θ0 6= 0, π, (7.46)



donde r2 sin θ es el jacobiano J de la transformacion. Si r0 = 0 o θ0 = 0, π, latransformacion de coordenadas es singular, J = 0 y (7.46) debera modificarse.

Supongamos que θ0 = 0 y r0 > 0, la manera mas sencilla de obtener la distribuciondelta con soporte en dicho punto consiste en suponer que el soporte de la mismaesta sobre el anillo intercepcion de la esfera r = r0 y el cono θ = θ0 y luego hacerθ0 → 0. La distribucion δ con soporte sobre el anillo viene dada por

δ(r − r0)δ(θ − θ0)

2πr sin θ. (7.47)

Para θ0 → 0, el anillo tiende a un punto en r = r0, θ = 0 y la distribucion δ consoporte en dicho punto vendra dada por

limθ0→0

δ(r − r0)δ(θ − θ0)

2πr sin θ=δ(r − r0)δ(θ)

2πr sin θ. (7.48)

Si necesitamos la distribucion δ con soporte en r0 = 0, podemos pensar en unadistribucion con soporte sobre una esfera de radio r = r0 y luego hacer r0 → 0.La distribucion δ con soporte sobre la superficie de la esfera viene dada por

δ(r − r0)

4πr2, (7.49)

como se puede verificar facilmente, y de aquı que la distribucion δ con soporte enel origen se escriba en coordenadas esfericas como

limr0→0

δ(r − r0)

4πr2=δ(r)

4πr2. (7.50)

Debemos enfatizar que los miembros derechos de (7.48) y (7.50) deben entendersesiempre como resultado de un limite.

..................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................

La funcion de Green asociada al problema (7.41) satisface

−(

1

r

d

dr

(rd

drGn

)− n2

r2Gn

)=

1

2πrδ(r − r0) , 0 < r, r0 < 1 (7.51)

junto con la condicionGn|r=1 = 0. (7.52)

Exigiremos ademas que Gn sea acotada en r = 0.De (7.51) multiplicando por r se tendra

d

dr

(rd

drgn

)− n2

rgn = −δ(r − r0) , 0 < r, r0 < 1

gn|r=1 = 0 , gn|r=0 = acotada,

donde hemos definido gn = 2πGn. Ahora bien,



1. para n 6= 0, con y1(0) = r|n| y y2 = r|n| − r−|n| soluciones linealmente independientes de laecuacion homogenea (n 6= 0) y que satisfacen

y1(0) = 0 <∞ , y2(1) = 0 (7.53)

se tiene W (r0) = +|n|r−10 y con p(r) = r

gn(r, r0) =

− 1

2|n|(r|n| − r−|n|) r

|n|0 , 0 < r0 < r

− 12|n|r

|n|(r|n|0 − r

−|n|0 ), r < r0 < 1

(7.54)

que escribimos como

gn(r, r0) = − 1

2|n|r|n|<

(r|n|> − r

−|n|>

), n 6= 0 (7.55)

donde hemos definido r< = minr, r0 y r> = maxr, r0;

2. para n = 0, con y1 = 1 y y2 = log r, tales que

y1(0) = 0 , y2(1) = 0

se tieneg0(r, r0) = − log r>. (7.56)

De lo anterior se sigue que

Gn(r, r0) =

−1

4π|n|r|n|<

(r|n|> − r

−|n|>

), n 6= 0

− 12π

log r>, n = 0

(7.57)

La solucion de (7.41) viene dada por

vn(r) = 2π

∫ 1

0

dr0 r0Gn(r, r0) qn(r0) . (7.58)

Notese la presencia del factor r0 en la integral, que proviene del Jacobiano de la transformacion.Finalmente, la solucion de (7.35,7.36) viene dada por (7.37) con vn dado por (7.58), esto es

v(r, ϕ) =∞∑

n=−∞

vn(r) einϕ =

∞∑n=−∞

∫ 1

0

dr0 2πr0Gn(r, r0) qn(r0) einϕ

=∞∑

n=−∞

∫ 1

0

dr0r0Gn(r, r0) einϕ

∫ π

−πdϕ0 e

−inϕ0q(r0, ϕ0)

=

∫ π

−πdϕ0

∫ 1

0

dr0 r0G(r, ϕ; r0, ϕ0)q(r0, ϕ0) (7.59)

donde G(r, ϕ; r0, ϕ0) viene dado por

G(r, ϕ; r0, ϕ0) ≡∞∑

n=−∞

ein(ϕ−ϕ0)Gn(r, r0)

= − 1

2πlog r> −

1

4π

∞∑n=−∞

ein(ϕ−ϕ0)

|n|r|n|<

(r|n|> − r

−|n|>

), (7.60)



o alternativamente por

G(r, ϕ; r0, ϕ0) ≡ − 1

2πlog r> −

1

2π

∞∑n=1

cosn(ϕ− ϕ0)

nrn<(rn> − r−n>

). (7.61)

Notese que (7.60) (o bien (7.61)) es la solucion elemental de

1

r∂r (r∂rG) +

1

r2∂ϕ∂ϕG = −δ(r − r0)δ(ϕ− ϕ0)

r, 0 < r, r0 < 1 , −π < ϕ, ϕ0 < π; (7.62)

G|r=1 = 0; (7.63)

esto es, la funcion de Green asociada al problema (7.35,7.36). Por otro lado, partiendo de(7.62,7.63) es facil obtener (7.60) (o (7.61)). Se deja como ejercicio propuesto.

La solucion al problema de Dirichlet interior al disco para la ecuacion de Laplace con condicionesde contorno no homogeneas, puede tambien ser expresada en terminos de la funcion de Green como

u(r, ϕ) = −∫ π

−πdϕ0 r0

∂G(r, ϕ; r0, ϕ0)

∂r0

∣∣∣∣r0=1

f(ϕ0) (7.64)

como puede verificarse facilmente. Ası, la solucion al problema de Dirichlet interior al disco parala ecuacion de Poisson con condiciones de contorno no homogeneas

∆u = −q(r, ϕ) , 0 ≤ r < 1 , −π ≤ ϕ ≤ π; (7.65)

u(1, ϕ) = f(ϕ) (7.66)

viene entonces dada por

u(r, ϕ) =

∫ π

−πdϕ0

∫ 1

0

dr0 r0G(r, ϕ; r0, ϕ0)q(r0, ϕ0)−∫ π

−πdϕ0 r0

∂G

∂r0

∣∣∣∣r0=1

f(ϕ0)

=

∫Ω

d2x0G(x;x0)q(x0)−∫∂Ω

ds0∂G

∂n0

f(ϕ0) (7.67)

donde Ω es la region interior al disco, ∂Ω la frontera del mismo y ∂G/∂n0 es la derivada de G conrespecto a la normal externa al disco.

El problema de Dirichlet para la ecuacion de Poisson en terminos de la funcion deGreen

La expresion (7.67) es un caso particular de un resultado general que puede obtenerse partiendode la segunda identidad de Green∫

Ω

dnx(v∆u− u∆v) =

∫∂Ω

ds n.(v~∇u− u~∇v), (7.68)

donde Ω es un conjunto abierto en Rn con frontera ∂Ω diferenciable.Sea v(x′) = G(x;x′) el kernel sobre Ω× Ω definido por

∆G(x;x′) = −δ(x− x′), x ∈ Ω, x′ ∈ Ω; (7.69)

G(x;x′) = 0 para x ∈ ∂Ω, x′ ∈ Ω, (7.70)



esto es, G(x;x′) es la funcion de Green o kernel elemental para el operador ∆ en x ∈ Ω que satisfacecondiciones de contorno de Dirichlet sobre ∂Ω. Por otro lado, sea u(x′) la solucion al problema

∆x′u(x′) = −q(x′), x ∈ Ω; (7.71)

u(x′) = f(x′), x′ ∈ ∂Ω. (7.72)

De (7.68) se sigue que∫Ω

dnx′ (−G(x;x′) q(x′) + u(x′) δ(x− x′)) = −∫∂Ω

ds′ f(x′) n′ · ~∇x′G(x;x′) .

De aquı que

u(x) =

∫Ω

dnx′G(x;x′) q(x′)−∫∂Ω

ds′ f(x′)∂G

∂n′, (7.73)

donde∂G

∂n′≡ n′ · ~∇x′G(x;x′) .

Aquı las integrales representan simbolicamente convoluciones de distribuciones en el sentido deVolterra.

Definicion 24 La convolucion de Volterra del kernel K(x, x′) con la distribucion S(x′), si existe,es la distribucion h(x) definida por

〈h(x), φ(x)〉x ≡ 〈S(x′), 〈K(x, x′), φ(x)〉x〉x′ , ∀φ ∈ D,

que simbolicamente escribimos como

h(x) =

∫dnx′K(x, x′)S(x′).

Notese que la convolucion T ∗ S en el sentido de la seccion 2.7 puede ser considerada como laconvolucion en el sentido de Volterra de la distribucion S(x′) con un kernel T (x;x′) invariante bajotraslaciones T (x;x′) = T (x− x′), simbolicamente

∫dnx′ T (x− x′)S(x′).

Especializando (7.73) al caso 2-dimensional con u la solucion de (7.65,7.66), obtenemos (7.67).

Funciones de Green para el operador laplaciano y expansiones bilineales

Hemos visto que las funciones de Green pueden ser escritas como una expansion en un conjuntode funciones base conveniente. Veamos a continuacion otro tipo de expansion que se obtiene alemplear como funciones base el conjunto de autofunciones del denominado problema de autovaloresasociado.

Sea Ω un dominio acotado en Rn con frontera ∂Ω regular y considerese el problema de autova-lores para el operador laplaciano

∆ϕ(x) + λϕ(x) = 0 , x ∈ Ω; (7.74)

ϕ|∂Ω = 0. (7.75)

Las autofunciones ϕn de (7.74,7.75) forman una base ortogonal (que asumiremos ademas nor-malizada) ∫

Ω

d2xϕn′(x)ϕn(x) = δn′n, (7.76)



para el espacio de las funciones ψ ∈ L2(r)(Ω) tales que ψ|∂Ω = 0 y por lo tanto

ψ(x) =∑n

(∫Ω

d2x′ ϕn(x′)ψ(x′)

)ϕn(x). (7.77)

Sea G(x, x′) la funcion de Green (o kernel elemental) del operador ∆ en Ω,

∆G(x;x′) = −δ(x− x′), x, x′ ∈ Ω , (7.78)

que satisface condiciones de contorno de Dirichlet sobre ∂Ω,

G|∂Ω = 0 . (7.79)

Expandiendo G(x;x′) en la base ϕn, se tiene

G(x;x′) =∑n

Gn(x′)ϕn(x). (7.80)

A continuacion, sustituyendo (7.80) en (7.78) y usando (7.74), obtenemos∑n

λnGn(x′)ϕn(x) = δ(x− x′). (7.81)

Multiplicando (7.81) por ϕn′(x), integrando sobre las variables x en la region Ω y usando (7.76)encontramos

λnGn(x′) = ϕn(x

′) (7.82)

y la funcion de Green solucion elemental de (7.78,7.87) vendra dada entonces por la serie bilineal

G(x;x′) =∑n

1

λnϕn(x

′)ϕn(x). (7.83)

Notese que G(x, x′) tendra singularidades para λn = 0.En particular, para el dominio rectangular 0 < x < a, 0 < y < b, el problema de autovalores

∆ϕ+ λϕ = 0, 0 < x < a, 0 < y < b;

ϕ(0, y) = ϕ(a, y) = 0, 0 ≤ y ≤ b; ϕ(x, 0) = ϕ(x, b) = 0, 0 ≤ x ≤ a;

tiene como soluciones las autofunciones

ϕmn =

√2

asin

mπx

a

√2

bsin

nπy

b, (7.84)

con autovalores

λmn = π2

(m2

a2+n2

b2

), (7.85)

como puede verificarse facilmente usando separacion de variables.De (7.83) y (7.84) se sigue que la funcion de Green definida por

∆G = −δ(x− ξ)δ(y − η), 0 < x, ξ < a, 0 < y, η < b; (7.86)



G|∂Ω = 0; (7.87)

donde ∂Ω es la frontera del rectangulo, viene dada por

G(x, y; ξ, η) =4ab

π2

∞∑m=1

∞∑n=1

1

(m2b2 + n2a2)sin

mπx

asin

mπξ

asin

nπy

bsin

nπη

b. (7.88)

La solucion al problema de Dirichlet no homogeneo para la ecuacion de Poisson, en el interiorde un rectangulo y con condiciones de contorno no homogeneas

∆u = −q(x, y) , 0 < x < a , 0 < y < b (7.89)

u(x, 0) = f1(x) , u(x, b) = f2(x) 0 ≤ x ≤ a (7.90)

u(0, y) = f3(y) , u(a, y) = f4(y) , 0 ≤ y ≤ b (7.91)

viene dada por la version 2-dimensional de (7.73) con G dado por (7.88). Notese que si q = 0,obtenemos la solucion al problema (7.32,7.33,7.34).

7.2 El problema de Neumann para la ecuacion de Poisson

A continuacion consideremos el problema de Neumann

∆u = −q(x), x ∈ Ω; (7.92)

∂u

∂n

∣∣∣∣∂Ω

= f (7.93)

donde Ω es un conjunto abierto en Rn con frontera ∂Ω diferenciable. En este caso la funcion deGreen es la solucion elemental del problema

∆G(x;x′) = −δ(x− x′), x ∈ Ω, x′ ∈ Ω , (7.94)

∂G

∂n

∣∣∣∣∂Ω

= − 1

S, S = area total de ∂Ω. (7.95)

Debera notarse que no es posible exigir ∂G/∂n|∂Ω = 0 debido a

∆G = ~∇ · ~∇G→∫

Ω

dnx ~∇.~∇G =

−∫

Ωdnx δ(x− x′) = −1∫

∂Ωds ∂G/∂n, (por el teorema de la divergencia).

Con v(x′) = G(x;x′) la solucion elemental de (7.94,7.95) y u(x) la solucion al problema(7.92,7.93), de (7.68) se sigue∫

Ω

dnx′ [−G(x;x′)q(x′) + u(x′)δ(x− x′)] =

∫∂Ω

ds′[G∂u

∂n′+ u

(1

S

)]y la solucion de (7.92,7.93) viene dada por

u(x) =1

S

∫∂Ω

ds u+

∫Ω

dnx′G(x;x′) q(x′) +

∫∂Ω

ds′G(x;x′) f(x′), (7.96)

donde el primer termino del miembro derecho de (7.96) es una constante igual al valor promediode u sobre ∂Ω. (7.96) es la solucion unica de (7.92,7.93), modulo una constante aditiva.



El Problema de Neumann para el disco

Consideremos el problema interior de Neumann para el disco unitario

∆u = −q(r, ϕ), 0 ≤ r < 1, −π ≤ ϕ ≤ π; (7.97)

∂ru|r=1 = f(ϕ) , −π ≤ ϕ ≤ π. (7.98)

La funcion de Green asociada al problema (7.97,7.98) es la solucion elemental de

1

r∂r (r∂rG) +

1

r2∂ϕ∂ϕG = −δ(r − r0)δ(ϕ− ϕ0)

r, 0 < r, r0 < 1, −π ≤ ϕ, ϕ0 < π ; (7.99)

∂rG|r=1 = − 1

2π. (7.100)

Siguiendo pasos analogos a los que nos llevaron a (7.60) obtenemos en este caso

G(r, ϕ; r0, ϕ0) =∞∑

n=−∞

ein(ϕ−ϕ0)Gn(r, ro) (7.101)

con

Gn(r, r0) =

1

4π|n|

(r|n|> + r

−|n|>

)r|n|< , n 6= 0

− 12π

log r>, n = 0,

(7.102)

donde r< = minr, r0 y r> = maxr, r0. La solucion de (7.97,7.98) viene dada por la version2-dimensional de (7.96) con G dada por (7.101,7.102). Se deja como ejercicio la verificacion de loanterior.

.........................................................................

.......... ......... ......... ......... ....................................Caja 7.2: Expansiones ortogonales y funciones de Green

Con frecuencia las ecuaciones diferenciales ordinarias que aparecen al separar variablesen coordenadas curvilıneas, en EDP’s que involucran al operador laplaciano, tienen laforma

Lxu = −λ s(x)u, a < x < b; U1u = 0 = U2u; (7.103)

con Lx el operador diferencial de segundo orden autoadjunto dado por (3.10), U1u = 0y U2u = 0 condiciones de contorno homogeneas y sin mezcla del tipo (3.12,3.13) y suna funcion real, continua y positiva en a < x < b.

Denotemos a continuacion por Hs(a, b) al espacio vectorial de todas las funciones realesu(x) definidas en el intervalo acotado a ≤ x ≤ b, con norma definida por

‖ u ‖s= (u, u)1/2s =

[∫ b

a

dx s(x) |u (x) |2]1/2

<∞ , (7.104)

donde

(u, v)s ≡∫ b

a

dx s(x)u(x) v(x) (7.105)



se toma como el producto interior (escalar). Hs(a, b) es un espacio de Hilbert.

Veremos a continuacion que, aun cuando (7.103) no tiene la forma estandar de unproblema de autovalores, el problema (7.103) tiene enHs(a, b) propiedades equivalentesa las del problema de autovalores (6.103) en L2

(r)(a, b).

Primero, notese que para u, v funciones arbitrarias, derivables dos veces en a < x < by que satisfacen U1u = 0 = U2u y U1v = 0 = U2v, se tiene(

1

sLxu, v

)s

=

∫ b

a

dx (Lxu) v =

∫ b

a

dx u(Lxv) =

(u,

1

sLxv

)s

,

donde hemos usado (6.104).

A continuacion, sean ui y uj soluciones de (7.103) correspondientes a los autovaloresλi y λj, respectivamente, entonces

0 =

(1

sLxui, uj

)s

−(ui,

1

sLxuj

)s

= (λi − λj) (ui, uj)s ,

de donde se sigue que si λi 6= λj entonces ui y uj son ortogonales en Hs(a, b) (se dicetambien que

√s ui y

√s uj son ortogonales en L2

(r)(a, b)). Por otro lado, puede probarse

que los autovalores de (7.103) son simples y que pueden ser listados como

λ1 < λ2 < · · · < λn < · · ·

con λn → +∞ para n→∞.

Ahora, en terminos de la funcion de Green (6.105), el problema (7.103) es equivalentea la ecuacion integral

u(x) = −λ∫ b

a

dξ s(ξ) g0(x, ξ)u(ξ),

que puede ser reescrita como

−γ f(x) =

∫ b

a

dξ k(x, ξ) f(ξ) = K f,

donde hemos definido k(x, ξ) =√s(x) g0(x, ξ)

√s(ξ), γ = λ−1 y f(x) =

√s(x)u(x). El

operador integral K generado por el kernel k(x, ξ) ası definido, es un operador Hilbert-Schmidt autoadjunto sobre las funciones f(x) ∈ L2

(r)(a, b). De acuerdo al teorema 14,

las autofunciones f(x) de K correspondientes a γ 6= 0 expanden una base ortogonal enL2

(r)(a, b). Se sigue entonces que las autofunciones u(x) de (7.103) expanden una baseortogonal en Hs y escribimos

δ(x− ξ)

s(x)=∑n

un(ξ)un(x), (7.106)

donde hemos supuesto que ‖ un ‖s= 1.

Considerese a continuacion la funcion de Green g(x, ξ;λ) definida por

Lxg + λ s(x) g = −δ(x− ξ), a < x, ξ < b; U1g = 0 = U2g. (7.107)



Puesto que el conjunto un(x) de las autofunciones de (7.103) es una base ortogonalen Hs, g admite la expansion

g(x, ξ;λ) =∑n

gn(ξ, λ)un(x), (7.108)

donde

gn(ξ, λ) = (g, un)s =

∫ b

a

dx s(x) g(x, ξ;λ)un(x).

Sustituyendo (7.108) y (7.106) en (7.107), multiplicando el resultado por um(x) e inte-grando en x entre a y b encontramos

gn(ξ, λ) =un(ξ)

λ− λn

y por lo tanto g(x, ξ;λ) viene dada por la expansion bilineal

g(x, ξ;λ) =∑n

un(ξ)un(x)

λ− λn. (7.109)

Finalmente, notese que la expansion (7.109) como funcion del parametro complejo λtiene polos simples reales en λ = λn con residuos un(ξ)un(x). Esto sugiere entonces larelacion

1

2πi

∮dλ g(x, ξ;λ) =

∑n

un(ξ)un(x), (7.110)

donde la integral en el plano complejo λ se toma sobre un circulo de radio infinito, quepermite generar las autofunciones normalizadas y los correspondientes autovalores delproblema (7.103) una vez conocida g(x, ξ;λ)...................................... ......... ......... ......... .........

.........................................................................


1. Muestre que en el problema de Neumann

∆u = −q en Ω con∂u

∂n

∣∣∣∣∂Ω

= f ,

se debe satisfacer la condicion de compatibilidad∫Ω

dξdη q =

∫∂Ω

ds f .

2. Encuentre la solucion al problema de contorno de Dirichlet para la ecuacion de Laplace, enel interior de la region bidimensional con forma de anillo comprendida entre r = a y r = b

∆u = 0 , a < r < b , 0 < θ < 2π

u(a, θ) = f(θ) , u(b, θ) = g(θ) 0 ≤ θ ≤ 2π



3. Encuentre la solucion al problema de contorno de Neumann para la ecuacion de Laplace, enel interior de la region bidimensional con forma de anillo comprendida entre r = a y r = b

∆u = 0 , a < r < b , 0 < θ < 2π

∂ru(a, θ) = f(θ) , ∂ru(b, θ) = g(θ) , 0 ≤ θ ≤ 2π

donde ∫r=a

ds f +

∫r=b

ds g = 0

4. Encuentre la solucion al problema de contorno de Dirichlet

∆u = 0 , 0 < x < 1 , 0 < y < 1

u(x, 0) = x(x− 1) , u(x, 1) = 0 , 0 ≤ x ≤ 1

u(0, y) = u(1, y) = 0 , 0 ≤ y ≤ 1

5. Encuentre la solucion al problema de contorno de Dirichlet

∆u+ u = 0 , 0 < r < a , 0 < θ < α

u(r, 0) = u(r, α) = 0 , 0 ≤ r ≤ a

u(0, θ) <∞ , u(a, θ) = f(θ) , 0 ≤ θ ≤ α

Solucion:

u(r, θ) =∞∑n=1

2

αJν(a)

[∫ α

0

dψf(ψ) sinnπψ

α

]Jν(r) sin

nπθ

α

con ν = nπα

y Jν la funcion de Bessel de primer tipo de orden ν, solucion regular de laecuacion de Bessel

x2y′′ + xy′ + x2y = ν2y , ν2 > 0.

6. En lo que sigue nos proponemos encontrar de tres maneras diferentes la funcion de GreenG(x, y, ξ, η), solucion elemental al problema de contorno

∆G(x, y, ξ, η) = δ(x− ξ)δ(y − η), 0 < x < π, 0 < y <∞,

G|x=0 = G|x=π = G|y=0 = 0

(a) Empleando transformada seno de Fourier en la variable y obtenga

G(x, y, ξ, η) = − 2

π

∫ ∞

0

dν sin νy sin νηsinh(νx<) sinh(ν(x> − π))

ν sinh νπ,

donde x< ≡ minx, ξ y x> ≡ maxx, ξ.(b) Proponiendo una espansion apropiada en serie de Fourier en la variable x obtenga

G(x, y, ξ, η) = − 2

π

∞∑n=1

1

nsinnx sinnξ e−ny> sinhny<,

donde y< ≡ miny, η y y> ≡ maxy, η.



(c) Usando las soluciones del problema de autovalores asociado

∆Φ + λΦ = 0, 0 < x < π, 0 < y <∞,

Φ|x=0 = Φ|x=π = Φ|y=0 = 0,

obtenga

G(x, y, ξ, η) = − 4

π

∞∑n=1

∫ ∞

0

dνsinnx sinnξ sin νy sin νη

ν2 + n2.

7. En coordenadas cilındricas ρ, ϕ, z, muestre que

(a) la distribucion δ de Dirac con soporte en (ρ0, ϕ0, z0) viene descrita por

1

ρδ(ρ− ρ0)δ(ϕ− ϕ0)δ(z − z0), ρ0 > 0.

(b) la distribucion δ de Dirac con soporte en el anillo interseccion del cilindro ρ = ρ0 y elplano z = 0 viene dada por

δ(ρ− ρ0)δ(z)

2πρ.

(c) la distribucion δ de Dirac con soporte en el origen viene dada por

δ(ρ)δ(z)

2πρ.

8. Encuentre la solucion al problema de contorno de Dirichlet para la ecuacion de Poisson, enel interior de la region bidimensional con forma de anillo comprendida entre r = a y r = b

4u = −q(r, ϕ), a < r < b, 0 ≤ ϕ < 2π;

u(a, ϕ) = f1(ϕ), u(b, ϕ) = f2(ϕ), 0 ≤ ϕ < 2π.

9. Encuentre la funcion de Green para el operador laplaciano en el interior de la region bidi-mensional limitada por ϕ = 0, ϕ = β y ρ = a y que satisface condiciones de contorno deDirichlet.

Ayuda: proponga una expansion en serie de Fourier en la variable ϕ y utilice la relacion

1

2β+

1

β

∞∑n=1

cosnπϕ

βcos

nπϕ′

β+ sin

nπϕ

βsin

nπϕ′

β= δ(ϕ− ϕ′), 0 < ϕ,ϕ′ < β.

10. Usando los autovalores y autofunciones del problema bidimensional

∆Φ + λΦ = 0, 0 < r < 1, −π < ϕ < π

Φ|r=1 = 0, Φ|r=0 acotada,

obtenga una expresion para la solucion elemental G al problema

∆G = −1

rδ(r − r′)δ(ϕ− ϕ′), 0 < r, r′ < 1, −π < ϕ, ϕ′ < π

G|r=1 = 0, G|r=0 acotada.

Discuta la relacion entre la expansion encontrada para G (con la doble suma) y la dada por(7.60) (o (7.61).



11. Obtenga la funcion de Green, solucion elemental del problema bidimensional

∆G+G = −1

ρδ(ρ− ρ′)δ(ϕ− ϕ′), 0 ≤ ρ, ρ′ ≤ a, 0 ≤ ϕ, ϕ′ ≤ β

G|ρ=a = G|ϕ=0 = G|ϕ=β = 0, G acotada en ρ = 0.

Ayuda: proponga una expansion en serie de Fourier de sin nπϕβ

para G.

Referencias

I. Stakgold, Green’s functions and Boundary Value Problems. Wiley, New York (1979).E. Butkov, Mathematical Physics. Addison-Wesley, (1968).Y.Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette and M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics,Part 1. North Holland. 1982.


Capıtulo 8

Problemas en mayor dimensionalidad

Aquellos problemas que involucran mas de dos variables independientes pueden ser tratados conlas mismas tecnicas desarrolladas en los capıtulos anteriores, las cuales se extienden con facilidadal caso de n variables independientes.

8.1 El problema de contorno para la ecuacion de Laplace

en 3 dimensiones

8.1.1 El problema de Dirichlet para un cubo

Consideremos a continuacion el problema de encontrar la solucion a la ecuacion de Laplace en elinterior de un cubo con condiciones de contorno de Dirichlet sobre las paredes,

∆u = ∂x∂xu+ ∂y∂yu+ ∂z∂zu = 0, 0 < x < π, 0 < y < π, 0 < z < π; (8.1)

u(0, y, z) = u(π, y, z) = 0 , 0 ≤ y ≤ π , 0 ≤ z ≤ π, (8.2)

u(x, 0, z) = u(x, π, z) = 0 , 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ z ≤ π, (8.3)

u(x, y, 0) = f(x, y) , u(x, y, π) = 0 , 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ π. (8.4)

Proponiendo una solucion de la forma (separacion de variables)

u(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z) (8.5)

se obtiene de (8.1)X ′′

X+Y ′′

Y= −Z

′′

Z,

de donde se sigue queX ′′

X+Y ′′

Y= λ, (8.6)

Z ′′

Z= −λ (8.7)

donde λ es una constante de separacion. En forma analoga, de (8.6) se desprende que

X ′′

X= −Y

′′

Y+ λ = µ,

125


donde µ es otra constante de separacion y por lo tanto

X ′′

X= µ, (8.8)

Y ′′

Y= λ− µ. (8.9)

De las condiciones (8.2) y (8.3), se desprende que

X(0) = X(π) = 0, Y (0) = Y (π) = 0. (8.10)

y las ecuaciones (8.8), (8.9) junto con las condiciones (8.10) definen problemas de autovalores conautofunciones y autovalores

Xm = Am sinmx, µ = µm = −m2, m = 1, 2, 3 . . . (8.11)

Yn = An sinnx, λ− µm = −n2, n = 1, 2, 3 . . . (8.12)

respectivamente. La solucion de (8.7) es entonces

Z(z) = Cmn sinh[(m2 + n2

) 12 (π − z)

], (8.13)

donde hemos escogido las constantes de integracion en forma tal que (8.5) satisfaga u(x, y, π) = 0de acuerdo a (8.4). La solucion de (8.1), que satisface las condiciones de contorno homogeneasespecificadas en (8.4), es la superposicion

u(x, y, z) =∞∑m=1

∞∑n=1

amn sinh[(m2 + n2

) 12 (π − z)

]sinmx sinny (8.14)

De la condicion de frontera no homogenea en (8.4) se desprende que

amn sinh[(m2 + n2

)π]

=2

π

∫ π

0

dx sinmx2

π

∫ π

0

dy sinnyf(x, y)

y por lo tanto los coeficientes amn sinh (m2 + n2)π son los coeficientes de la serie de Fourier doblede f(x, y). La solucion al problema (8.1-8.4) viene dada entonces por

u(x, y, z) =∞∑m=1

∞∑n=1

bmnsinh

[(m2 + n2)

12 (π − z)

]sinh

[(m2 + n2)

12 π] sinmx sinny, (8.15)

donde

bmn =

(2

π

)2 ∫ π

0

dx

∫ π

0

dyf(x, y) sinmx sinny. (8.16)

La solucion al problema con condiciones de contorno mas generales se puede obtener por su-perposicion.



8.1.2 El problema de Dirichlet para un cilindro

Consideremos a continuacion el problema de encontrar la solucion a la ecuacion de Laplace en elinterior de un cilindro de altura ` y radio a,

∆u = ∂r∂ru+1

r∂ru+

1

r2∂ϕ∂ϕu+ ∂z∂zu = 0, 0 ≤ r < a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 < z < `, (8.17)

con condiciones de contorno de Dirichlet

u(a, ϕ, z) = 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, 0 ≤ z ≤ ` (8.18)

u(r, ϕ, `) = 0, u(r, ϕ, 0) = f(r, ϕ), 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ ≤ 2π (8.19)

donde f(a, ϕ) ≡ 0.Proponiendo una solucion de la forma

u(r, ϕ, z) = R(r)Φ(ϕ)Z(z)

y sustituyendo en (8.17) se tiene

R′′ + r−1R′

R+

1

r2

Φ′′

Φ= −Z

′′

Z= λ (8.20)

de donde se desprende queZ ′′ + λZ = 0. (8.21)

De la misma manera se tiener2R′′ + rR′

R− r2λ = −Φ′′

Φ= µ

y por lo tanto

r2R′′ + rR′ − (λr2 + µ)R = 0, (8.22)

Φ′′ + µΦ = 0. (8.23)

Puesto que ϕ = 0 y ϕ = 2π no son fronteras reales, imponemos condiciones de contornoperiodicas

Φ(0) = Φ(2π) , Φ′(0) = Φ′(2π). (8.24)

Ası, (8.23,8.24) define un problema de autovalores con autofunciones y autovalores

Φn(ϕ) = A cosnϕ+B sinnϕ (8.25)

µ = n2 , n = 0, 1, 2 . . . (8.26)

Suponiendo λ = −β2 con β > 0, la condicion u(r, ϕ, `) = 0 implica que Z(`) = 0 y la solucionde (8.21) apropiada viene dada por

Z(z) = C sinh β(`− z). (8.27)

Haciendo βr = ζ en (8.22) se tiene

ζ2d2R

dζ2+ ζ

dR

dζ+ (ζ2 − n2)R = 0, (8.28)



que es la ecuacion de Bessel de orden n y cuya solucion general viene dada por

Rn(ζ) = DJn(ζ) + ENn(ζ), (8.29)

donde Jn y Nn son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (Nn se conoce tambien comola funcion de Neumann).

Exigiendo que limr→0 u(r, ϕ, z) < ∞ llegamos a la conclusion de que E = 0, ya que Nn noesta acotada en el origen. Por otro lado, u(a, ϕ, z) = 0 implica que R(a) = 0 y de aquı queJn(βa) = 0, de donde se desprende que βnm = αnm/a, donde los αnm son las raıces de Jn, estoes, Jn(αnm) = 0. Por lo tanto se tendra que

Rn(r) = DJn (αnmr/a) (8.30)

La solucion de (8.17) viene dada entonces por

u(r, ϕ, z) =∞∑n=0

∞∑m=1

Jn(αnmr

a)[ anm cosnϕ+ bnm sinnϕ ] sinh

(αnm

(`− z)

a

). (8.31)

De la condicion de contorno no homogenea (8.19) se desprende que

f(r, ϕ) =∞∑n=0

∞∑m=1

Jn

(αnm

r

a

)[ anm cosnϕ+ bnm sinnϕ ] sinh

(αnm

`

a

), (8.32)

que reconocemos como una serie de Fourier en ϕ y una serie de Fourier-Bessel en r para f(r, ϕ).Usando ∫ a

0

dr rJn

(αnm′

r

a

)Jn

(αnm

r

a

)=a′

2[Jn+1(αnm)]2 δm′m, (8.33)

de (8.32) se sigue∫ a

0

dr rJ0

(α0m

r

a

)∫ 2π

0

dϕf(r, ϕ) = a0m sinh

(α0m

`

a

)2πa2

2[J1(α0m)]2 ,

de donde obtenemos

a0m =1

πa2 sinh(α0m

à

)[J1(α0m)]2

∫ a

0

dr

∫ 2π

0

dϕ rJ0

(α0m

r

a

)f(r, ϕ). (8.34)

De la misma manera obtenemos

anm =2

πa2 sinh(αnm

à

)[Jn+1(αnm)]2

∫ a

0

dr

∫ 2π

0

dϕ rJn

(αnm

r

a

)cosnϕ f(r, ϕ) (8.35)

y

bnm =2

πa2 sinh(αnm

à

)[Jn+1(αnm)]2

∫ a

0

dr

∫ 2π

0

dϕ rJn

(αnm

r

a

)sinnϕ f(r, ϕ). (8.36)



8.1.3 El problema de Dirichlet para la esfera

Consideremos a continuacion el problema de Dirichlet homogeneo para el operador laplaciano concondiciones de contorno impuestas sobre una esfera de radio a,

1

r2∂r(r

2∂ru) +1

r2 sin θ∂θ(sin θ∂θu) +

1

r2 sin2 θ∂ϕ∂ϕu = 0, 0 ≤ r < a, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π,

(8.37)u(a, θ, ϕ) = f(θ, ϕ). (8.38)

Proponiendo una solucion de la forma

u(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) (8.39)

y sustituyendola en (8.37) se sigue que R y Y satisfacen

d

dr

(r2dR

dr

)= λR (8.40)

y1

sin θ∂θ(sin θ ∂θY ) +

1

sin2 θ∂ϕ∂ϕY = −λY, (8.41)

donde λ es una constante de separacion. Proponiendo tambien separacion de variables para (8.41)

Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ), (8.42)

obtenemos

sin θd

dθ

(sin θ

dΘ

dθ

)+ λ sin2 θΘ = m2Θ (8.43)

yd2Φ

dϕ2+m2Φ = 0, (8.44)

donde m2 es otra constante de separacion.La solucion general de (8.44) es

Φ = Aeimϕ +Be−imϕ (8.45)

e imponiendoΦ(ϕ) = Φ(ϕ+ 2π), Φ′(ϕ) = Φ′(ϕ+ 2π), (8.46)

se tiene queΦm(ϕ) = Ceimϕ, m = 0,±1,±2, . . . (8.47)

Puesto que la ecuacion (8.40) es del tipo de Euler, la solucion es de la forma

R(r) = r` (8.48)

y sustituyendo (8.48) en (8.40) se tiene

`(`+ 1)− λ = 0,

de donde se sigue que r−(`+1) es tambien solucion. La solucion general de (8.40) es entonces

R`(r) = Dr` + Er−(1+`), (8.49)



con ` arbitrario. Para resolver (8.43) es conveniente hacer el cambio x = cos θ, con −1 ≤ x ≤ 1.Ası, (8.43) se reescribe como

d

dx

[(1− x2)

dΘ

dx

]+

(`(`+ 1)− m2

1− x2

)Θ = 0. (8.50)

La ecuacion (8.50) admite como solucion la funcion de Legendre Pm` de grado ` y orden m, con

|m| ≤ ` y ` entero tal que ` ≥ 0. (En realidad (8.50) admite tambien como solucion a la funcionde Legendre de segundo tipo Qm

` (x), pero esta no esta acotada en x = ±1). La solucion de (8.50)es entonces

Θ = Pm` (cos θ). (8.51)

De lo anterior se desprende que la solucion de (8.41) viene dada por

Y m` (θ, ϕ) =

[(2`+ 1)(`−m)!

4π(`+m)!

] 12

(−1)meimϕPm` (cos θ), (8.52)

donde

m ≤ ` , m > 0

y

Y m` (θ, ϕ) = (−1)mY −m

`∗(θ, ϕ) , |m| ≤ ` , m < 0. (8.53)

El coeficiente de (8.52) se ha escogido de forma tal que∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin θY m′

`′∗(θ, ϕ)Y m

` (θ, ϕ) = δm′mδ``′ . (8.54)

Los Y `m son los conocidos armonicos esfericos y constituyen un conjunto ortonormal completo como

veremos mas adelante en la seccion 8.2.Ası, la solucion a la ecuacion de Laplace (8.37) viene dada por

u(r, θ, ϕ) =∞∑`=0

∑m=−`

[A`mr

` +B`mr−(`+1)

]Y m` (θ, ϕ). (8.55)

Exigiendo que u(r, θ, ϕ) este acotada en r = 0 se sigue que B`m = 0,∀`. Finalmente, de (8.38) sedesprende que

f(θ, ϕ) =∞∑`=0

∑n=−`

A`na`Y n` (θ, ϕ) (8.56)

y por lo tanto

A` a` =

∫ 2π

0

dϕ

∫ π

0

dθ sin θY m`∗(θ, ϕ)f(θ, ϕ). (8.57)

Entonces, la solucion al problema (8.37, 8.38) viene dada por

u(r, θ, ϕ)=∞∑`=0

∑m=−`

[∫ 2π

0

dϕ′∫ π

0

dθ′ sin θ′Y n`∗(θ′, ϕ′)f(θ′, ϕ′)

](ra

)`Y n` (θ, ϕ). (8.58)



8.2 El problema de contorno para la ecuacion de Poisson

en 3 dimensiones

8.2.1 El problema de Dirichlet interior a la esfera

Considerese el siguiente problema

∆ψ = −ρ(r, θ, ϕ), 0 < r < a, 0 < θ < π, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, (8.59)

con la condicion de contornoψ(a, θ, ϕ) = f(θ, ϕ). (8.60)

La solucion de (8.59, 8.60) viene dada en terminos de la funcion de Green G por la expresion

ψ(r, θ, ϕ) =

∫ a

0

dr′ r′2∫ π

0

dθ′ sin θ′∫ 2π

0

dϕ′G(r, θ, ϕ; r′, θ′, ϕ′)ρ(r′, θ′, ϕ′)

−∫Sa

ds′f(θ′, ϕ′)∂G

∂n′(8.61)

donde ds′ = a2 sin θ′dθ′dϕ′ es el elemento infinitesimal de area de la esfera Sa de radio a y ∂G∂n′

esla derivada normal externa de G

∂G

∂n′=∂G

∂r′

∣∣∣∣r′=a

. (8.62)

La funcion de Green es la solucion elemental de

∆r,θ,ϕG(r, θ, ϕ; r′, θ′, ϕ′) = − 1

r2 sin θδ(r − r′)δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′), (8.63)

donde 0 < r, r′ < a, 0 < θ, θ′ < π y 0 < ϕ,ϕ′ < 2π, que satisface la condicion de contorno deDirichlet

G|r=a = 0. (8.64)

El problema se reduce entonces al de encontrar G.Haciendo uso del hecho que los armonicos esfericos (8.52-8.54) son un conjunto ortonormal

completo∞∑`=0

∑m=−`

Y m`∗(θ′, ϕ′)Y m

` (θ, ϕ) =1

sin θδ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′), (8.65)

podemos proponer una expansion para G en la base de los Y m` ,

G (~x, ~x′) =∞∑`=0

∑m=−`

G`m(r; r′, θ′, ϕ′)Y m` (θ, ϕ). (8.66)

Sustituyendo (8.66) en (8.63), obtenemos

∞∑`

∑m=−`

(1

r2

d

dr(r2G`m)− 1

r2`(`+ 1)G`m

)Y m` (θ, ϕ) =

−∞∑`=0

∑m=−`

δ(r − r′)

r2Y m`∗(θ′, ϕ′)Y m

` (θ, ϕ), (8.67)



donde hemos usado (8.41), esto es,

1

sin θ∂θ [sin θ∂θY

m` (θ, ϕ)] +

1

sin2 θ∂ϕ∂ϕY

m` (θ, ϕ) = −`(`+ 1)Y m

` (θ, ϕ).

Multiplicando (8.67) por Y m′

`′∗(θ, ϕ) e integrando en los angulos θ y ϕ se tiene, usando (8.54),

1

r2

d

dr

(r2 d

drG`m

)− 1

r2`(`+ 1)G`m = − 1

r2δ(r − r′)Y m

`∗(θ′, ϕ′). (8.68)

Definiendo

G`m(r; r′, θ′, ϕ′) ≡ g`(r; r′)Y m

`∗(θ′, ϕ′), (8.69)

se sigue de (8.68) que g satisface

d

dr

(r2 d

drg`

)− `(`+ 1)g` = −δ(r − r′). (8.70)

Por otro lado, de (8.64), se desprende que

g`|r=a = 0 (8.71)

La solucion de (8.70, 8.71) viene dada por

g`(r, r′) =

1

(2`+ 1)r`<

(r−(`+1)> − a−(2`+1)r`>

)(8.72)

donde r< = minr, r′, r> = maxr, r′. Finalmente, de (8.66), (8.69) y (8.72) obtenemos

G (r, θ, ϕ; r′, θ′, ϕ′)=∞∑`=0

∑m=−`

Y m`∗(θ′, ϕ′)Y m

` (θ, ϕ)

2`+ 1r`<

(1

r`+1>

− r`>a2`+1

)(8.73)

Se deja como ejercicio verificar que la integral de superficie en(8.61) es en efecto la soluciondada en (8.58) para el problema homogeneo.

8.3 La funcion de Green para la ecuacion de onda en (3+1)

dimensiones

Considerese el problema para la ecuacion de onda

(∂t∂t −∆)Φ(~x, t) = F (~x, t), −∞ < t <∞, ~x ∈ R3, (8.74)

donde ∆ es el operador laplaciano 3-dimensional, con condiciones en el “pasado remoto”

limt→−∞

Φ(~x, t) → Φ0(~x, t), (8.75)

donde Φ0 es solucion al problema homogeneo (F = 0). Supondremos ademas que Φ esta acotadaen todas partes, |Φ(~x, t)| <∞ ∀~x ∈ R3, y que F (~x, t) es de soporte acotado.



Puesto que (8.74) es lineal, la solucion de (8.74, 8.75) es la suma de la solucion al problemahomogeneo Φ0 mas la solucion al problema no homogeneo

(∂t∂t −∆)Φp(~x, t) = F (~x, t), −∞ < t <∞, ~x ∈ R3, (8.76)

que satisface las condiciones

limt→−∞

Φp(~x, t) = 0, limt→−∞

∂tΦp(~x, t) = 0. (8.77)

La solucion de (8.76, 8.77) viene dada por

Φp(~x, t) =

∫d3x′dt′Gret(~x− ~x′, t− t′)F (~x′, t′), (8.78)

donde el propagador Gret satisface

(∂t∂t −∆)Gret = δ(~x− ~x′)δ(t− t′), (8.79)

y las condicioneslimt→−∞

Gret = 0, lim|~x|→−∞

Gret = 0. (8.80)

Por los momentos, vamos a restringirnos a la busqueda de soluciones de

(∂t∂t −∆)G = δ(~x)δ(t). (8.81)

La manera mas conveniente de encontrarG es empleando transformadas de Fourier. Introduzcamoslas transformadas de Fourier 4-dimensionales

G(~x, t) =1

(2π)4

∫d3kdω ei(

~k.~x−ωt)G(~k, ω), (8.82)

G(~k, ω) =

∫d3xdt e−i(

~k.~x−ωt)G(~x, t), (8.83)

donde

δ(~x)δ(t) =1

(2π)4

∫d3kdω ei(

~k.~x−ωt). (8.84)

Sustituyendo (8.82) y (8.84) en (8.81) se sigue que

G(~k, ω) =1

~k2 − ω2. (8.85)

Notese que G(~k, ω) depende de ~k solo a traves de |~k|. Tenemos entonces que

G(~x, t) =1

(2π)4

∫d3kdω ei(

~k.~x−ωt) 1

~k2 − ω2. (8.86)

Pasando a coordenadas esfericas, rotando los ejes en el espacio ~k de forma tal que ~k.~x = |~k| |~x| cos θcon θ el angulo polar e integrando en las variables angulares se tiene

G(~x, t) = − 1

4π3r

∫ ∞

0

dk k sin kr

∫ ∞

−∞dωe−iωt

1

(ω − k)(ω + k), (8.87)



donde k = |~k| y r = |~x|. La evaluacion explıcita de (8.87) requiere de alguna prescripcion para

manejar los polos en ω = ±|~k|, esta ultima viene determinada por el tipo de causalidad impuestaen (8.80).

Para obtener Gret, para t > 0, desplazamos los polos de forma tal que ω = −k → −k − iε yω = k → k − iε, con ε→ 0+. Entonces

Gret(~x, t) = −Θ(t)1

4π3r

∫ ∞

0

dk k sin kr

∫ ∞

−∞dωe−iωt

1

(ω − (k − iε))(ω + (k + iε)). (8.88)

Considerando ω como variable compleja, cerrando el contorno de integracion por debajo del ejereal y usando el teorema del residuo se tiene

Gret(~x, t) = Θ(t)1

4π3r

∫ ∞

0

dk k sin kr

[−2πiRes

(exp(−iωt)

(ω − (k − iε))(ω + (k + iε))

)]= Θ(t)

1

2π2r

∫ ∞

0

dk sin kr sin kt, (8.89)

de donde se obtiene finalmente

Gret(~x, t) = Θ(t)1

4πrδ(t− r). (8.90)

Gret(~x, t) es un elemento del algebra de convolucionD′(Γ+), donde Γ+ es el cono t2−|~x|2 ≥ 0, t ≥ 0.Todas las ecuaciones del tipo hiperbolico con coeficientes constantes tienen soluciones elementalesen D′(Γ+). Por otro lado, el que Gret(~x, t) tenga soporte sobre la superficie del cono Γ juega unpapel determinante en las teorıas relativistas.

De (8.90) se sigue

Gret(~x− ~x′, t− t′) = Θ(t− t′)1

4π|~x− ~x′|δ(t− t′ − |~x− ~x′|). (8.91)

Esta funcion de Green se denomina retardada porque propaga el efecto de una fuente en el punto(~x′, t′) al punto (~x, t), siempre y cuando t− t′ = |~x− ~x′| > 0, esto es, solo para t posterior a t′. Esclaro, t− t′ debe ser igual a la distancia |~x− ~x′|, lo que nos dice que dicho efecto se propaga convelocidad 1 (velocidad de propagacion finita).

Es posible encontrar otras funciones de Green para el operador (∂t∂t − ∆) que propagan conuna causalidad diferente. Por ejemplo, para t < 0, si desplazamos los polos del eje real anadiendouna pequena parte imaginaria positiva y cerramos el contorno por encima del eje real, calculosanalogos a los de arriba nos proveen la funcion de Green avanzada

Gav(~x− ~x′, t− t′) = Θ(t′ − t)1

4π|~x− ~x′|δ(t− t′ + |~x− ~x′|), (8.92)

que propaga con velocidad 1 para t− t′ = −|~x− ~x′| < 0.En teorıa de campos se define el propagador de Feynman

GF (~x− ~x′, t− t′) =1

(2π)4

∫d3kdω ei(

~k.(~x−~x′)−ω(t−t′)) 1

~k2 − ω2 − iε, (8.93)

con ε → 0+. Si interpretamos (8.93) como representando la onda producida en (~x, t) por unafuente unidad localizada en (~x′, t′), entonces (8.93) propaga (con velocidad 1) las partes de la ondacon frecuencias ω > 0 hacia adelante en el tiempo y las de frecuencias ω < 0 hacia atras en eltiempo.



8.4 La funcion de Green para la ecuacion de Schrodinger

Consideremos a continuacion la ecuacion de Schrodinger en (3 + 1)-dimensiones

(i∂t +1

2m∆)Ψ(~x, t) = V (~x, t)Ψ(~x, t), (8.94)

donde supondremos que V (~x, t) es de soporte acotado. Veamos como emplear en la resolucion de(8.94) algunas de las tecnicas desarrolladas con anterioridad.

Supongase que imponemos como condicion “inicial” Ψ(~x, t) → Ψ0(~x, t) para t → −∞, dondeΨ0(~x, t) es solucion de (8.94) para V (~x, t) = 0. Entonces la solucion formal de (8.94) viene dadapor

Ψ(~x, t) = Ψ0(~x, t) +

∫d3x′dt′G(~x− ~x′, t− t′)V (~x′, t′)Ψ(~x′, t′), (8.95)

donde la funcion de Green G satisface

(i∂t +1

2m∆)G(~x, t) = δ(~x)δ(t), (8.96)

junto con la condicion de borde

G ≡ 0, t < 0. (8.97)

Sustituyendo (8.82) y (8.84) en (8.96) se sigue que

G(~k, ω) =1

ω − ~k2/(2m). (8.98)

Note que (8.98) tiene singularidades en ω = ~k2/(2m) y por lo tanto, al igual que en (8.87),

requeriremos alguna prescripcion para manejar el polo ω = ~k2/(2m) en la integral

G(~x, t) =1

(2π)4

∫d3k dω ei(

~k.~x−ωt) 1

ω − ~k2/(2m). (8.99)

Esta prescripcion se sigue de la condicion (8.97) y en este caso se tiene

G(~x, t) =1

(2π)4

∫d3k dω ei(

~k.~x−ωt) 1

ω − ~k2/(2m) + iε, (8.100)

donde ε → 0+. Considerando ω como variable compleja, cerrando el contorno de integracion pordebajo del eje real y usando el teorema del residuo se tiene

G(~x, t) =−i

(2π)3Θ(t)

∫d3kei(

~k.~x−~k2t/2m)

= −iΘ(t)( m

2π it

) 32eim~x

2/2t, (8.101)

que es esencialmente el propagador en (3 + 1)-dimensiones para la ecuacion de difusion bajo elreemplazo t→ −it, el mismo que transforma a la ecuacion de Schrodinger libre en la ecuacion dedifusion.



Por ultimo, note que la solucion (8.95) permite establecer un esquema iterativo por medio delcual obtener una solucion de (8.94) en teorıa de perturbaciones. Ası,

Ψ(~x, t) = Ψ0(~x, t) +

∫d3x′dt′G(~x− ~x′, t− t′)V (~x′, t′)Ψ(~x′, t′),

= Ψ0(~x, t) +

∫d3x′dt′G(~x− ~x′, t− t′)V (~x′, t′)Ψ0(~x′, t

′)

+

∫d3x′dt′G(~x− ~x′, t− t′)V (~x′, t′)

∫d3x′′dt′′G(~x′ − ~x′′, t′ − t′′)V ( ~x′′, t′′)Ψ( ~x′′, t′′)

= Ψ0(~x, t) +

∫d3x′dt′G(~x− ~x′, t− t′)V (~x′, t′)Ψ0(~x′, t

′)

+

∫d3x′dt′

∫d3x′′dt′′G(~x− ~x′, t− t′)V (~x′, t′)G(~x′ − ~x′′, t′ − t′′)V ( ~x′′, t′′)Ψ0( ~x′′, t

′′) · · ·


1. Encuentre la solucion al problema para la ecuacion de onda en (2 + 1)-dimensiones

∂t∂tu−1

r∂r(r∂ru)−

1

r2∂ϕ∂ϕu = 0, 0 < r < a, 0 < ϕ < 2π, t > 0,

con condiciones de contorno de Dirichlet

u(a, ϕ, t) = 0, 0 ≤ ϕ ≤ 2π, t ≥ 0,

y condiciones iniciales

u(r, ϕ, 0) = f(r, ϕ), ∂tu(r, ϕ, 0) = 0, 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ ϕ < 2π.

Puede dejar los coeficientes de la expansion expresados en forma integral.

2. Encuentre la solucion a la ecuacion de difusion

∂tu−1

r∂r(r∂ru)−

1

r2∂ϕ∂ϕu = 0, 0 < r < a, 0 < ϕ < 2π, t > 0,

independiente de ϕ, esto es u(r, ϕ, t) = u(r, t), que satisface condiciones de contorno deDirichlet

u(a, t) = 0, t ≥ 0,

y condiciones inicialesu(r, 0) = u0 = constante, 0 ≤ r ≤ a.

Puede dejar los coeficientes de la expansion expresados en forma integral.

3. Encuentre la solucion a la ecuacion de Laplace

1

r2∂r(r

2∂ru) +1

r2 sin θ∂θ(sin θ ∂θu) +

1

r2 sin2 θ∂ϕ∂ϕu = 0,

0 < r < a, 0 < θ < π, 0 < ϕ < 2π,



independiente de ϕ, esto es u(r, θ, ϕ) = u(r, θ), que satisface condiciones de contorno deDirichlet

u(a, θ) =

+u0 si 0 ≤ θ < π

2,

−u0 si π2< θ ≤ π,

donde u0 es una constante positiva. Puede dejar los coeficientes de la expansion expresadosen forma integral.

4. Siguiendo pasos analogos a los dados en la obtencion de (8.73), obtenga la funcion de Greensolucion elemental de

∆r,θ,ϕG(r, θ, ϕ; r′, θ′, ϕ′) = − 1

r2 sin θδ(r − r′)δ(θ − θ′)δ(ϕ− ϕ′),

a < r, r′ < b, 0 < θ, θ′ < π, 0 < ϕ,ϕ′ < 2π,

que satisface las condiciones de contorno de Dirichlet

G|r=a = 0 = G|r=b .

5. De acuerdo a los resultados obtenidos en la seccion 8.1.2, la funcion de Green solucion alproblema

∂r∂rG+1

r∂rG+

1

r2∂ϕ∂ϕG+ ∂z∂zG =

1

rδ(r − r′) δ(ϕ− ϕ′) δ(z − z′),

0 < r, r′ < a, 0 ≤ ϕ, ϕ′ ≤ 2π, 0 < z, z′ < `,

G|r=a = 0, G|z=0 = 0, G|z=`,

admite la expansion

G(r, ϕ, z; r′, ϕ′, z′) =∞∑n=0

∞∑m=1

Jn(αnmr

a) [Gc

nm(z; r′, ϕ′, z′) cosnϕ+Gsnm(z; r′, ϕ′, z′) sinnϕ] .

Obtenga los coeficientes Gcnm y Gs

nm.

Referencias

E. Butkov, Mathematical Physics. Addison-Wesley, (1968).J. D. Jackson, Classical Electrodynamics (third edition). Wiley, (1999).Y.Choquet-Bruhat, C. De Witt-Morette and M. Dillard-Bleick, Analysis, Manifolds and Physics,Part 1. North Holland. 1982.Y.Choquet-Bruhat and C. De Witt-Morette, Analysis, Manifolds and Physics, Part 2. NorthHolland. 2000.


Indice de Materias

Algebrade convolucion, 36

Armonicos Esfericos, 130, 131

Base(s)en el espacio de Hilbert L2

(r) (−π, π), 94,99

en espacios vectoriales de dimension n, 11dual, 12

Besselecuacion de, 121, 128funcion de, 121, 128

Cauchyproblema(s) de, 53–56, 60, 65, 66, 73, 105

para la ecuacion de difusion, 73, 79para la ecuacion de onda, 65, 68, 90

valor principal de, 27Conexiones, 17Convergencia

de la serie de Fourier, 89, 90, 92, 93sobre D, 23

Convolucion, 32de Volterra, 115ecuaciones de, 36, 41en D′, algebra de, 36producto de, 32, 34, 36, 39, 70, 77propiedades de la, 34, 35, 71

Derivadacovariante, 17, 18covariante direccional, 18de distribuciones, 27

Difusion, ecuacion de, 73, 135Dirichlet

kernel de, 31condiciones de contorno de, 85, 105, 110,

114Distribuciones, 5, 23, 24

δ de Dirac, 24, 25atemperadas, 74derivacion de, 27, 37–39ejemplos de, 24, 25, 33

derivadas de, 28, 29multiplicacion de, 26producto de convolucion, 32producto tensorial, 31producto tensorial de, 31, 32series de, 30soporte de, 24sucesiones de, 30transformacion de coordenadas de, 110,

111Divergencia, de un campo vectorial, 19

Ecuaciones en Derivadas Parciales, 53clasificacion, 55, 57elıpticas, 56, 105hiperbolicas, 56, 65, 85parabolicas, 56, 73, 85

Espacio(s)L2

(r) (−π, π), 94, 96, 97, 99

L2(r) (a, b), 99

de funciones de pruebade decrecimiento rapido, S, 74de soporte acotado, D, 23

de Hilbert, 96, 99, 119de las distribuciones

sobre D, D′, 24sobre S (atemperadas), S ′, 74

Euclıdeos, 15, 97vectorial de dimension n, 11

Fourierseries de, 89, 92transformadas de, 69, 73, 74, 83

y de Laplace, 77multiplicacion y convolucion de, 77

Funcional lineal, 24

138


continuo, 24

Gauss, kernel de, 30, 78Green, funciones de

para EDO’sproblema de contorno, 45, 47, 49problema de valores iniciales, 43, 45

para la ecuacion de difusion, 73, 78, 98para la ecuacion de onda, 66, 68, 91, 132para la ecuacion de Poisson, 114, 116, 117,

131para la ecuacion de Schrodinger, 135

Hilbert, espacio de, 96

Kernel, 78de Gauss, 78

Laplaceecuacion de, 105transformadas de, 34, 69, 70

y convolucion, 71y de Fourier, 77

Laplaciano, 20, 21Legendre

funciones de, 130

Neumanncondiciones de contorno de, 86, 105, 117,

118funciones de, 128

Ondas, ecuacion de lasen (1 + 1) dimensiones, 65, 87en (3 + 1) dimensiones

esfericas, 72funciones de Green, 132

Poissonkernel de, 31, 108ecuacion de, 35, 36, 110

Tensor, 13metrico, 13


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