New Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica, a … · 2019. 6. 20. · Ateneu...

Contrastos entre les matemàtiquesegípcia i mesopotàmica,

a través dels textos

Josep Pla i CarreraProfessor emèrit

Universitat de BarcelonaMembre numerari

Reial Acadèmia de Doctors

Ateneu BarcelonèsSala Verdaguer

Barcelona, 30 de maig del 2019

Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 1 / 40

Història de la matemàtica: Grècia i Mesopotàmia


Mesopotàmia i Egipte

MESOPOTÀMIA EGIPTE


Dues icones

La tauleta YBC 7 289 El problema 14 del papir de Moscú

Són dos textos matemàtics originals i d’autors dessconeguts.

Necessitem més imformació per a poder-los interpretar.


2. Els sistemes de numeraciómesopotàmic i egipcis


MESOPOTÀMIA


El sistema de numeració mesopotàmic

El càlam, i ús per a l’obtenció del clau , l’espiga i la rodona •.


El sistema de numeració mesopotàmic

Els seixanta primers nombres del sistema posicional mesopotàmic


Una taula de multiplicar mesopotàmica

Davant DarrereJosep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 10 / 40

El Plimpton 322


El Plimpton 322

Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4? catet b hipotenusa c fila

[1,59],00,15 1,59 2,49 1[1,56,56], 58,14,50,06,15 56,07 3, 12, 01 (V) 2[1,55,07, 4]1,15,33,45 1,16,41 1,50,49 3[1,53,10],29,32,52,16 3,31,49 5,09,01 4[1,] 48,54,01,40 1,05 1,37 [5][1,] 47,06,41,40 5,19 8,01 [6][1,] 43,11,56,28,26,40 38,11 59,01 7[1,] 41, 33, 59, 03, 45 (II) 13,19 20,49 8[1,] 38,33,56,36 9, 01 (I) 12,49 9[1,] 35,10,02,28,27,24,26,40 1,22,41 2,16,01 10[1,] 33,45 45 1,15 11[1,] 29,21,54,02,15 27,59 48,49 12[1,] 27,00,03,45 7, 12,01 (IV) 4,49 13[1,] 25,48,51,35,06,40 29,31 53,49 14[1,] 23,13,46,40 56 53 (III) 15

Transcripció en «notació Neugebauer» [Neu]projecció 39

projecció 40


EGIPTE


El sistema jeroglífic de numeració

Els guarismes del sistema jeroglífic egipci1 10 102 103 104 105 106 107

Pal Os de Pergamí Flor de Dit que Capgròs Home Solvertical taló lotus assenyala amb por


El sistema jeroglífic de numeració

Part superior: Maça de Narmer amb el botí aconseguit amb la vic-tòria. [Bur], p. 10.Part inferior: el detall que compta el botí:

400 000 bous, 1 422 000 cabres, 120 000 captiusJosep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 15 / 40

El sistema hieràtic de numeració

Els guarismes del sistema hieràtic.


El sistema hieràtic de numeració

El problema 79 del papir Rhind La transcripció jeroglífica.


La traducció del problema 79

L’inventari d’una propietat

Cases 7Gats 49

1 2 801 Ratolins 3432 5 602 Grans de civada 2 3014 11 204 Mesura (del gra civada) 16 807

Total [7] 19 607 Total 19 607Pregunta: D’on surt la suma de l’esquerra?

(∗) 7 + 72 + 73 + 74 + 75 [:=]7× (1 + 7 + 72 + 73 + 74) [:=]7× (7 + 49 + 343 + 2301) [:=]

(∗) 7× 2801 = 19 607.

És a dir, treu el 7 factor comú i suma nombres més petits.Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 18 / 40

1bis. Dues icones: una mesopotàmica i unaegípcia


MESOPOTÀMIA


La tauleta YBC 7 289

302 + 302 = 302 × 2 = diagonal2

diagonal = 30×√

2.

30× 1, 24, 51, 10 = 42, 25, 35√2 = 1, 24, 51, 10 (:= 1, 414 212 97 ' 1, 414 213 562 373).


EGIPTE


El volum d’un tronc de piràmide delpapir de Moscú o papir Golenishchev

El volum d’un tronc de pi-ràmide de bases quadrades.


El volum d’un tronc de piràmide delpapir de Moscú o papir Golenishchev

Si ens diuen: Un tronc de piràmide d’altura vertical 6, base inferior 4 ibase superior 2:

Fem el quadrat de 4. Resultat: 16.Fem el doble de 4. Resultat: 8.Fem el quadrat de 2. Resultat: 4.Sumem 16, 8 i 4. Resultat: 28.Agafem una tercera part de 6. Resultat: 2.Fem el doble de 28. Resultat: 56.

Fet! És 56. Això és correcte!De fet, l’escriba usa l’expressió, molt notable:

Vtronc de piràmide = h

3 (a2 + ab + b2).


3. La divisió numèrica a les matemàtiquesegípcia i mesopotàmica


MESOPOTÀMIA


La taula d’inversos a MesopotàmiaEn la matemàtica mesopotàmica la divisió procedeix per multiplicaciódirecta. És a dir,

a ÷ c = a × c−1.

Això fa que les taules d’inversos siguin importants i necessàries.Els inversos dels nombres regulars (mesopotàmics)

del 2 al 81, expressats en base 10.c c−1 c c−1 c c−1

2 [0; ]30 16 [0; ] 3, 45 45 [0; ] 1, 203 [0; ]20 18 [0; ] 3, 20 48 [0; ] 1, 154 [0; ]15 20 [0; ] 3 50 [0; ] 1, 125 [0; ]12 24 [0; ] 2, 30 54 [0; ] 1, 06, 406 [0; ]10 25 [0; ] 2, 24 1 [0; ] 18 [0; ] 7, 30 27 [0; ] 2, 13, 20 1, 04 [0; 0, ]56, 159 [0; ] 6, 40 30 [0; ] 2 1, 12 [0; 0, ]50

10 [0; ] 6 32 [0; ] 1, 52, 30 1, 15 [0; 0, ]4812 [0; ] 5 36 [0; ] 1, 40 1, 20 [0; 0, ]4515 [0; ] 4 40 [0; ] 1, 30 1, 21 [0; 0, ]44, 26, 40Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 27 / 40

La taula dels multiplicadors

S’han trobat moltestaules de multiplicar,semblants a la que hemvist abans. En concret,tauletes corresponentsals multiplicadors de lallista adjunta.

Els multiplicadors usatsen les taules de multiplicar

que s’han trobat.2 16 1,15 6,403 18 1,20 7, 124 20 1,30 7,305 24 1,40 8, 206 25 2, 15 12, 308 30 2,24 16, 409 36 2,30 22, 30

10 40 3,20 44,26,4012 45 3,4515 50 4, 30


EGIPTE


La divisió a EgipteEls sis primers problemes del papir Rhind —inicialment perduts i re-trobats més tard en un fragment que es conserva al Museu Metropolitàd’Art de Nova York— demanen:

Repartiu 1, 2, 6, 7, 8 o 9 pans entre 10 persones.

Són divisions que porten a nombres fraccionarisLes fraccions unitàries en jeroglífic i en hieràtic

_̂|||

_̂||||

_̂∩

_̂|∣∣

2 := 12 3 := 1

3 4 := 14 5 := 1

5 3 := 23

23

12

13

14 5̇ 6̇ 7̇ 8̇ 9̇ 1̇0

‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖15

16

17

18

19

110


La divisió a Egipte

L’escriba diu que 9 pans repartitsentre 10 persones dona 2

3+ 15+ 1

30 ,que escriurem 3 5 30.

I ho prova a l’inrevés:Multiplica 3 5 30 per 10i veu que dona 9.

1 3 5 30X 2 1 3 10 30

4 3 2 10X 8 7 5

10 9

Però, de fet, com es divideix 9 entre 10?No ho sabem!, però potencia 3.

910 = 27

30 = 2030 + 6

30 + 130 = 3 5 30.


La divisió a EgipteNosaltres probablement no ho hauríem fet així.Molt probablement, no se’ns hauria acudit usar la fracció 2

3 .Hauríem fet:

910

= 510 + 4

10 = 12 + 2

5.

Però, la fracció 25 , com s’escriu, si només podem usar fraccions

unitàries diferents?Això ens ho diu la taula de fraccions binàries del papir Rhind.

25

= 13 + 1

15 .

Per tant,9

10= 1

2 + 13 + 1

15 ,

que és diferent del de l’escriba Ahmés.Teorema. L’escriptura d’una fracció per mitjà de fraccions contínuesno és única.


La taula de les fraccions n, amb 3 ≤ n ≤ 101 expressades com asuma de fraccions unitàries del papir Rhind

n p q r s n p q r s

3 2 6 53 30 318 7955 3 15 55 30 3307 4 28 57 38 1149 6 18 59 36 236 531

11 6 66 61 40 244 488 61013 8 52 104 63 42 12615 10 30 65 39 19517 12 51 68 67 40 335 53619 12 76 114 69 46 13821 14 42 71 40 568 71023 12 276 73 60 219 292 36525 15 75 75 50 15027 18 54 77 44 30829 24 58 174 232 79 60 237 326 79031 20 124 155 81 54 16233 22 66 83 60 332 415 49835 30 42 85 51 25537 24 111 296 87 58 17439 26 78 89 60 356 534 89041 24 246 328 91 70 13043 42 86 129 301 93 62 18645 30 60 95 60 380 57047 30 141 470 97 56 679 77649 28 196 99 66 19851 34 102 101 101 202 303 606



1 3 5 30 1 23

15

130

X 2 1 3 10 30 X 2 43

25

230

= 113

25

115

= 1 13

(13

115

) 115

= 1 23

215

= 1 23

( 110

130

)4 3 2 10 4 3

[(13

115

) 110

] 110 = 3 1

2110

X 8 7 5 X 8 7 15

10 9


La suma de fraccions a Egipte

Però encara tenim un problema que, en algunes ocasions, pot sercomplex.

Com sabem que 1 3 10 30 i 7 5 dona 9?Veiem que dona 8 3 5 10 30Com sabem que 3 5 10 30 dona 1?

Apliquem-lo a 30. És a dir, calculem: 30× 3 5 10 30. [És la maneraegípcia de treure denominadors.]

30× 3 5 10 30 = 20 + 6 + 3 + 1 = 30.

Per tant, 3 5 10 30 = 1.

No sempre és tan fàcil!!!



Fem un exemple més aclaridor:Fem la reducció de la fracció 25

26 .

Pas 1 Atès que 25 = 13 + 12, dona:

Pas 2 2526 = 13

26 + 1226 = 1

2 + 613 .

Pas 3 613 = 3× 2

13 .

Pas 4 213 = 1

8 + 152 + 1

104 .

Pas 5 3× 213 = 3×

(18 + 1

52 + 1104

)=

Pas 7 = 38 + 3

52 + 3104 = 1

4 + 18 + 1

26 + 152 + 1

52 + 1104 =

Pas 8 = 14 + 1

8 + 126 + 2

52 + 1104 = 1

4 + 18 + 2

26 + 1104 = 1

4 + 18 + 1

13 + 1104

Pas 9 i definitiu 2526 = 1

2 + 14 + 1

8 + 113 + 1

104 .Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 36 / 40

Bibliografia succinta[Bu] David M. BURTON (1985). The History of Mathematics. An introduction. Bos-

ton. Allyn and Bacon, Inc.[Cla] Marshall CLAGETT (1999). Ancient Egyptian Science: A Source Book. Vol. 3:

Ancient Egyptian Mathematics. Filadèlfia. American Philosophical Society.[Dor] Carlos DORCE POLO (2013). Història de la matemàtica. Des de Mesopotà-

mia al Renaixement. Barcelona: Edicions de la Universitat de Barcelona.[Fri] Jöran FRIBERG (2005). Unexpected Links between Egyptian and Babylonian

Mathematics. Londres: World Scientific".——— (2007). A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts. Nova

York: Springer-Verlag.[Katz] Victor J. KATZ (ed.) et alli. (2007).The Mathematics of Egypt, Mesopotamia,

China, India, and Islam: A Source Book. Princeton, Nova Jersei: Princeton Uni-versity Press.

[Neu] Otto NEUGEBAUER i Abraham SACHS (1945). Mathematical Cuneiform Texts.New Haven: American Oriental Society.

[Pla] Josep PLA CARRERA (2016). Història de la matemàtica I: Egipte i Mesopotà-mia. Resultats, textos i contextos. Barcelona: Institut d’Estudis Catalans.


1. El Plimpton 322

a b c µ λ120 119 169 12 = 22 × 3 5 = 5

(V) 3456 3367 4825 64 = 26 27 = 33

4800 4601 6649 75 = 3 × 52 32 = 25

13.500 12.709 18 541 125 = 53 54 = 2 × 33

72 65 97 9 = 32 4 = 22

360 319 481 20 = 22 × 5 9 = 32

2700 2291 3541 54 = 2 × 33 25 = 52

(II) 960 799 1249 32 = 25 15 = 3 × 5(I) 600 481 769 25 = 52 12 = 22 × 3

6480 4961 8161 81 = 34 40 = 23 × 560 45 75 2 = 2 1 = 1

2400 1679 2929 48 = 24 × 3 25 = 52

(IV) 240 161 289 15 = 3 × 5 8 = 23

2700 1771 3229 50 = 2 × 52 27 = 33

(III) 90 56 106 9 = 32 5 = 5

a = 2λµ, b = µ2 − λ2, c = µ2 + λ2, amb λ i µ regulars sexagesimals,

i, de retruc, a2 = c2 − b2 regulars sexagesimals.Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 38 / 40

1. El Plimpton 322

L’error I. Podria ser d’escriptura, atès que, en lloc del valor 9,01, hi hauriad’haver 8,01.

L’error II. En lloc de 41,33,59,03,45, hi hauria d’haver41,33,45,14,03,45. Molt probablement, un error de càlcul o decòpia.1

L’error III. Hi trobem 53, quan hi hauria d’haver 1,46, que n’és el doble.L’error IV. En lloc de 7,12,01, hi hauria d’haver 2,41, que n’és l’arrel qua-

drada.L’error V. S’hauria de substituir 3,12,01 per 1,20,25. És força més difícil

de justificar.projecció 12

1Fixeu-vos que 45 + 14 = 59.Josep Pla i Carrera Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica 39 / 40

1. El Plimpton 322

Quin és el significat de la columna 1? ? projecció 12

��

��

��

c

a

b

C

A

BTriangle rectangle asso-sociat a la interpretaciótrigonomètrica de

Plimpton 322.

Fila sec B̂ = ca

sec2 B̂ = ( ca

)2

5 1; 20, 50 1; 48, 54, 01, 40(11 1; 15 1; 33, 45)15 1; 10, 40 1; 23, 13, 44, 40

Baixa de grau en grau amb denominadors inver-tibles sexagesimals.

Fila sec2 B̂ = ( ca

)2 Fila sec2 B̂ = ( ca

)2 Fila sec2 B̂ = ( ca

)2

1 1,98340277778 (44o 45′ 36) 6 1,78519290123 (41o 31′ 40) 11 1,5625 (36o 52′ 11)2 1,94915855209 (44o 15′ 9) 7 1,71998367627 (40o 18′ 54) 12 1,48941684028 (34o 58′ 33)3 1,91880212674 (43o 47′ 14) 8 1,6927094184 (39o 46′ 13) 13 1,45001736111 (33o 51′ 18)4 1,886247906725 (43o 16′ 16) 9 1.64266944444 (38o 43′ 4) 14 1,4302388203 (33o 15′ 42)5 1,8150077160 (42o 4’ 30) 10 1,58612256611 (37o 26′ 13) 15 1,38716049383 (31o 53′ 26)


New Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica, a … · 2019. 6. 20. · Ateneu...

Documents

Transcript of New Contrastos entre les matemàtiques egípcia i mesopotàmica, a … · 2019. 6. 20. · Ateneu...