Geometría - 4to Sec.

Capítulo

1Ángulos

OBJETIVOS:

a Conocer el concepto de ángulo.

a Resolver operaciones referentes a ángulos.

a Identificarlosdiferentestiposdeángulos.

En el transcurso de la historia se han desarrollado notable-mente las ideas de la Matemática. Los egipcios tenían gran conocimiento de los ángulos, sobre todo de los ángulos rectos que los aplicaban en la delimitación de los terrenos; también conocían la plomada que hasta hoy en día se utiliza en las construcciones.

Introducción

El ángulo es una figura geométrica formada por dos rayos que tienen el mismo origen. A dichos rayos se les denomina lados y al origen se le denomina vértice del ángulo.

Definición

Elementos

Región exterior

Región interiorO

B

A

θ

Vértice : O Lados : OA y OB

Notación

AOB, AOB

Medida

m AOB = m AOB = θ

Bisectriz de un Ángulo

Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos de igual medida.

OX : Bisectriz del AOB.

m AOX = m XOB

Ejemplo:

Si m AOB = 20º y m BOC = 60º, calcule α. Además OX y OY son bisectrices de los ángulos AOB y BOC.

A

O

X

B

Y

C

α

A

x

B

O θθ

Geometría - 4to Sec.

α = 10º + 30ºα = 40º

X

A

O

B

Y

C

α10º10º30º30º

Resolución:

ángulo Recto: Es aquel ángulo cuya medida es igual a 90º.

Bα

A

O

α = 90º

ángulo Obtuso: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 90º y menor que 180º.

90º < α < 180º

α

O A

B

ángulo No Convexo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 180º y menor que 360º.

Un ángulo recto se representa por ( ).

Clasificación de los Ángulos

SEgúN Su MEDIDa

ángulo Agudo: Es aquel ángulo cuya medida es mayor que 0º y menor que 90º.

0º < α < 90º

B

A

αO

180º < α < 360º o

A

B

α

SEgúN la poSICIóN DE SuS laDoS

ángulos Adyacentes: Son un par de ángulos que tienen el mismo vértice y un lado en común, y uno de ellos se encuentra a continuación del otro.

C

β BO α

A

α y β son las medidas de ángulos adyacentes

ángulos Consecutivos: Son tres o más ángulos uno a continuación de otro, con un vértice común y un lado en común como mínimo. A

O

B

C

D

E

ángulos Opuestos por el Vértice: Son ángulos que tienen el mismo vértice y los lados de uno son las pro-longaciones de los lados del otro.

βθ θ = β

por la SuMa DE SuS MEDIDaS

ángulos Complementarios: Son ángulos cuya suma siempre es 90º.

α + β = 90º

Cα : complemento de α

B

β

A

O

α

P Q

R

Geometría - 4to Sec.

Ejemplo:

Calcule el complemento de 70º.

C70º = 90º - 70º C70º = 20º

Calcule el suplemento de 20º.

S20º = 180º - 20º S20º = 160º

ángulos Suplementarios: Son ángulos cuya suma siempre es 180º.

α + β = 180º

Sθ : Suplemento de θ

Resolución:

Resolución:

α

R

L

β

T

M

N

O

propiedades

θ

αβ

δ φ

α + β + θ + δ + φ = 360º

dc

ab

a + b + c + d = 180º

φ + β = 45º

φ φββ

Par lineal o ángulos adyacentes suplementarios: Son ángulos adyacentes donde la suma de sus medidas es 180º.

b a

a + b = 180º

Si al suplemento de un ángulo se le resta el complemen-to del mismo ángulo resulta siempre 90º.

Sx - Cx = 90º

S S S S … Sα=α ; “n” es par180º - α; “n” es impar

C C C C … Cα=α ; “n” es par90º - α; “n” es impar

Demostración:

Si CONSiDERAMOS QUE UN áNgULO MiDE X.⇒ SX = 180º - X CX = 90º - X

LUEgO : SX - CX

(180º - X) - (90º - X) = 90º∴ SX - CX = 90

Resolución:

α + β = 90º

αα β

β

Ejemplo:

Geometría - 4to Sec.

4. Calcule x de la figura mostrada si m POR = 100º.

Resolución:

Del gráfico : β + x + α = 100º ..... (1)

2β +x + 2α = 180º ..... (2)⇒ β + β + x + α + α = 180º

⇒ β + α = 80ºLuego en (1) : β + α + x = 100º x = 20º

N

P

BA

R

MOββ

ααx

Resolución:

N

P

BA

R

MOββ

ααx

100º

100º

80º

5. En la figura, calcule el ángulo θ si m BON = 22º, ON es bisectriz de AOX y OM es bisectriz de AOX’.

OX’

MA

BN

X

θθ

Resolución:

⇒ θ + θ + θ - 22º + θ - 22º = 180º4θ - 44º = 180º

θ = 56º

OX’

MA

BN

X

θθθ

22ºθ-22º

θ-22º

AOB - BOC = 54º

α + x - (α - x) = 54º 2x = 54º x = 27º

A

B

CO

αα

x

1. La suma del complemento más el suplemento de cierto ángulo es igual a 146º. Calcule el complemento de dicho ángulo.

Resolución:

Si el ángulo mide x ⇒ Cx = 90º - x Sx = 180º - x

Luego : 90º - x + 180º - x = 146º 270º - 146º = 2x x = 124º/2 x = 62º∴ Cx = 90º - x = 90º - 62º ⇒ Cx = 28º

2. Calcule el complemento de un ángulo sabiendo que el complemento es a su suplemento como 1 es a 4.

Resolución:

⇒ 4(90º - x) = 1(180º - x) 360º - 4x = 180º - x 180º = 3x 60º = x Sx = 180º - x

∴ Cx = 90º - x = 90º - 60º ⇒ Cx = 30º

Cx

Sx

1

4=

3. Se tienen los ángulos consecutivos AOB y BOC cuya diferencia es 54º. Calcule la medida del ángulo formado por la bisectriz del ángulo AOC y el rayo OB.

Nota

La medida del ángulo siempre se expresa en grados sexagesimales

30º

A

BO

m AOB = 30º

Geometría - 4to Sec.

Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

1) Calcula el complemento más el suplemento de un ángulo que mide 75º.

Rpta.: ____

2) Dos ángulos consecutivos AOB y BOC suman 150º. Calcula la medida del ángulo que forman sus bisectrices.

Rpta.: ____

3) En la figura mostrada, m AOC + m BOD = 240º. Calcula m BOC.

Rpta.: ____

C

A O D

B

4) En la figura mostrada, OM es bisectriz del AOC y OB es bisectriz del AOD. Calcula m COD.

Rpta.: ____

α

DO

CBM

A

5) Calcula el suplemento de la suma de dos ángulos, sabiendo que el complemento de uno de ellos más el suplemento del otro es 140º.

Rpta.: ____

6) Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se traza las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD, respectivamente. Sabiendo que m POQ =70º y m BOD = 120º, halla la medida del ángulo AOC.

Rpta.: ____

1) Calcula la medida de un ángulo, sabiendo que la suma entre su complemento y su suplemento es 142º.

2) Calcula : m MON si m BOC = 50º y m AOD = 130º.

C

N

D

A

BM

αα

O

θθ

OA D

N

E F

P

3) En el gráfico mostrado, OE es bisectriz del AON, OF es bisectriz del POD y m PON = 90º. Halla m EOF.

4) La suma de los suplementos de dos ángulos es igual a 260º y la diferencia de sus complementos es igual a 40º. Determina la medida del menor ángulo.

5) Calcula el complemento del menor de dos ángulos suplementarios, sabiendo que están en proporción de 1 a 3.

6) En la figura mostrada, m BOC = 2m COD, 2m AOC + m BOD = 410º,

calcula m BOC.

CB

A O D

Rpta.: _______Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______

Rpta.: _______ Rpta.: _______

Geometría - 4to Sec.

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

¿Cuánto le falta al complemento de un ángulo para que sea igual al suplemento de dicho ángulo?

a) 90º b) 80º c) 100º d) 120º e) 135º

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD, luego se trazan las bisectrices OM y ON de los ángulos AOB y COD, respectivamente.

Calcula m MON si m AOC = 110º, m BOD=150º.

a) 110º b) 120º c) 124º d) 130º e) 135º

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Calcula m BOD si m AOC = 100º, además, las bisectrices de los ángulos AOB y COD son perpendiculares.

a) 60º b) 50º c) 70º d) 74º e) 80º

Calcula “x”, del gráfico.

a) 95º b) 100º c) 120º d) 135º e) 140º

θθ

αα

x

Geometría - 4to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Calcula “β” en la figura mostrada ( L1 es una recta).

a) 30º b) 20º c) 18º d) 32º e) 36º

L1

3αβ4α

αα

2α

Se tiene los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD, respectivamente.

Halla m AOC si m POQ = 80º y m BOD = 100º.

a) 50º b) 40º c) 60º d) 30º e) 70º

Si a un ángulo se le resta su complemento, resulta igual a la cuarta parte de su suplemento. Halla la medida del ángulo.

a) 30º b) 40º c) 50º d) 56º e) 60º

En la figura, OM es bisectriz de AOC. Calcula el ángulo COD.

a) 90º - α/2 b) 45º + α/2 c) α d) 2α e) α/2

A O D

M

BC

α

Geometría - 4to Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Dos ángulos son adyacentes suplementarios, sus medidas se diferencian en 76º. Halla la medida del ángulo mayor.

a) 118º b) 128º c) 116º d) 124º e) 114º

Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, cuya diferencia es igual a 26º. Calcula la medida del ángulo formado por el rayo OB y la bisectriz del ángulo AOC.

a) 13º b) 14º c) 15º d) 18º e) 24º

Se tiene los ángulos consecutivos AOB y BOC, se traza OD bisectriz del AOB.

Halla m COD si m AOC + m BOC=140º.

a) 60º b) 64º c) 70º d) 72º e) 76º

Sobre una recta se considera el punto “O”, por dicho punto se trazan los rayos OA, OB, OC y OD en un mismo semiplano.

Si m AOC =m BOD = 90º y además m AOB + m COD = 20º. Halla m BOC.

a) 70º b) 80º c) 60º d) 50º e) 100º

Geometría - 4to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Dados cinco rayos OA, OB, OC, OD y OE que se encuentran alrededor de un punto y forman cinco ángulos consecutivos proporcionales a los números 1; 2; 3; 4 y 5. Determina el menor ángulo formado por las bisectrices de AOB y COD.

a) 48º b) 56º c) 68º d) 96º e) 72º

Se tienen los ángulos consecutivos AOB, BOC y COD. Se trazan las bisectrices OP y OQ de los ángulos AOB y COD, respectivamente.

Si m POQ = 70º y m BOD = 120º, halla la medida del ángulo AOC.

a) 20º b) 30º c) 40º d) 50º e) 60º

Si al mayor de dos ángulos complementarios se le quita a para agregarle al otro, ambos se igualan. Halla el mayor de dichos ángulos complementarios.

a) 50º + a b) 60º + ac) 55º + a d) 45º + a e) 48º + a

El suplemento del complemento de un ángulo es igual a los 3/2 de la diferencia entre el suplemento y el complemento del mismo ángulo. Halla la medida del ángulo.

a) 15º b) 45º c) 30º d) 75º e) 80º

Aritmética - 4to Sec.

Capítulo

1Conjuntos I

OBJETIVOS:

a Conocer los coneptos básicos de conjunto.

a Conocer los diferentes tipos de conjunto.

Conj. Potencia

Conj. Disjuntos

Conj. Iguales

Conj. Infinito

Conj. Finito

Conj. Universal

Conj. Vacío

Conj. Unitario

CONJUNTOS

Clases de Conjuntos

En matemática el concepto conjunto es aceptado como un "concepto primitivo", es decir, se acepta sin definición; nos da la idea de agrupación de objetos a los cuales llamaremos "elementos" del conjunto.

A los conjuntos generalmente se les denota por letras mayúsculas "A", "B", "C", .... etc. y a los elementos con letras minúsculas separadas por comas o por punto y coma, y encerrados entre llaves.

Notación:

A = {a , e, i, o, u}

Nombre del conjunto en mayúscula

Elementos del conjunto en minúsculas

I. Concepto

II. NotaciónEjemplos:

1. pOR EXTENSIóN O FORMA TABULAR:

III. Determinación de Conjuntos

Cuando se nombran todos los elementos que conforman el conjunto.

Existe dos formas de determinar un conjunto.

A = {a ; m ; o ; r}B = {2 ; 4 ; 6 ; 8}

Cuando se menciona una o más características comunes a todos los elementos del conjunto.

A = {x/x es una letra de la palabra MENTOR}B = {x/x ∈ N; 0 < x < 10}

2. pOR COMpRENSIóN O FORMA CONSTRUC-TIvA:

Ejemplos:

Leonardo de Pisa fue el primero que utilizó la denominación de números quebrados al llamarle números ruptus (rotos) y empleó la raya de quebrado para separar numerador y denominador. Y en el siglo XVI aparece la reducción de quebrados a un común denominador por medio del M.C.M.

Aritmética - 4to Sec.

Ejemplo:

2. IgUALDAD DE CONJUNTOS:

Ejemplo:

Ejemplos:

Ejemplos:

Iv. Relación de pertenencia ( ) Si un objeto es elemento de un conjunto, se dirá que pertenece (∈) a tal conjunto; en caso contrario se dirá que no pertenece (∉) a dicho conjunto.

A = {3 ; 8 ; 15 ; 24}4 ∉ A 12 ∉ A8 ∈ A 15 ∈ A

Es aquel conjunto que carece de elementos. Se denota por φ o {}.

A = {x/x ∈ N; 3 < x < 4}B = {x/x es un hombre vivo de 500 años}

Es aquel conjunto que tiene un solo elemento.

A = {x/x∈N ∧ 6<x<8} → A={7}B = {2 ; 2 ; 2} → B = {2}

Es aquel conjunto que se toma como referencia para un determinado problema y en el que se encuentran todos los elementos con que se está trabajando.

Si: A = {1 ; 2 ; 3} B = {0 ; 4 ; 5}Entonces: U = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}

v. Conjuntos Especiales

1. CONJUNTO vACÍO O NULO:

2. CONJUNTO UNITARIO O SINgLETON:

3. CONJUNTO UNIvERSAL (U):

Ejemplo:

Es aquel cuyo número de elementos es limitado.

A = {x/x ∈ N; 10 < x < 20}

Es aquel cuyo número de elementos es ilimitado.

B = {x/x ∈ N}

A = {4 ; 9 ; 16 ; 25} → n(A) = 4

Diremos que "A" está incluido en "B" o es subconjunto de "B", si y sólo si todos los elementos de "A" son también elementos de "B". Se denota por A ⊂ B y su negación se denota A ⊄ B.

A = {1 ; 2 ; 3 }B = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 }⇒ A ⊂ B

I. A ⊂ A ; ∀ AII. A ⊂ B y B ⊂ C → A ⊂ CIII. φ ⊂ A ; ∀ A ¡importante!

4. CONJUNTO FINITO:

5. CONJUNTO INFINITO:

Ejemplo:

Ejemplo:

Sea "A" un conjunto finito, el cardinal de un conjunto es el número de elementos diferentes que posee dicho conjunto. Se denota por n(A).

vI. Cardinal de un Conjunto

vII. Relación entre Conjuntos

1. INCLUSIóN:

Ejemplo:

pROpIEDADES:

Dos conjuntos "A" y "B" son iguales, si y sólo si tienen los mismos elementos. Se denota por A = B.

Se define:

A = B ↔ A ⊂ B ∧ B ⊂ A

A = {2 ; 3 ; 4 }B = {x/x ∈ N ; 1< x < 5}⇒ A = B

Se llama así al conjunto formado por todos los subconjuntos que es posible formar de un conjunto dado.

Halla la potencia del conjunto A, si:A = {a ; i ; u }

⇒ P(a) ={{a}; {i}; {u}; {a,i}; {a,u}; {i,u}; {a, i, u}; φ}

Fórmula:

n(P(A)) = 2n(A)

Nota:

2n(A) - 1

Subconjuntos propios:

Ejemplo:

vIII. Conjunto potencia

Ejemplo:

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Aritmética - 4to Sec.

Resolviendo en claseResolviendo en clase

Para ReforzarPara Reforzar

3) Dado el conjunto:

Q = { /x ∈ N ; 1 < x ≤ 5} indica su cardinal.

x+1x-1

1) Dado el conjunto: A = {1 ; 2 ; {3}; 4 ; {5}} indica verdadero (V) o falso (F) según corresponda.

Da como respuesta el número de proposiciones verdaderas.

1 ∈ A φ ⊂ A 2 ⊂ A {3} ∈ Α {2} ∈ A {4} ⊄ Α {5} ∈ A {2 ; 4} ∉ A {4} ∈ A {2} ∉ A

2) Halla la suma de elementos de P: P ={x2 + 1 / x ∈ Z; -2 ≤ x ≤ 4}

1) Dado el conjunto: B = {1 ; 2 ; {3, 4, 5} ; {6,7}} Indica el número de proposiciones verdaderas:

1 ∈ A φ ⊄ A {3, 4, 5} ⊂ A {1} ∈ Α {1} ⊄ A {6, 7} ∈ Α {φ} ∈ A {{2}} ⊂ A φ ∈ A {1, 2} ⊂ A

3) Dados los conjuntos: A={n2 / n∈N ; 0 < n < 20} B = {2n / n∈Z; 4 < n2 < 500} ¿Cuántos elementos tiene A x B?

2) Halla la suma de los elementos de "A" si A={2x2 + 1/ x∈Z ; -2 < x < 5}

6) Si los conjuntos A y B son unitarios, calcula "a + b".

A = {a + 5 ; 8} B = {6 ; b - 4}

4) Si se cumple que A y B son conjuntos unitarios, halla "a - b".

A = {2a + 5 ; 13} B = {b + 2 ; 3a - b}

5) Si los conjuntos A y B son iguales. A = {m2 - 1 ; 2} B = {18 - p2 ; 8} halla "m + p", siendo m y p positivos.

6) Dados los conjuntos unitarios A y B: A = {a + b ; 16} B = {a - b ; 4} Halla a . b

5) Si los conjuntos A y B son iguales, halla a x b si a y b son naturales.

A={a2 + 2a ; b3 - b} B = {2a ; 15}

4) Dado el conjunto unitario: A={a + b ; a + 2b - 3 ; 12} halla a2 + b2

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

Rpta: ________

PROBLEMAS PARA CLASE N° 1

Aritmética - 4to Sec.

Clave:

1

Clave:

1

Clave:

2

Clave:

2

Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:

Dados los conjuntos unitarios: P y Q: P = {x2 + 3 ; 28} Q = {y + 5 ; 6} halla x - y

a) 6 b) 8 c) 5 d) 1 e) 4

Si los conjuntos M y N son iguales: M = {x2 + 3 ; -6} N = {2 - y ; 12} calcula el mínimo valor de (x+y).

a) 5 b) 8 c) 11 d) -5 e) -11

Si los conjuntos M y N son unitarios, calcula "x - y". M = {x2 - 1 ; 24} N = {y - 3 ; 2}

a) 5 b) 0 c) 2 d) 3 e) 7

Si los conjuntos A y B son iguales, halla el máximo valor de (m+n).

A = {n2 + 1; -6} B = {2 - m ; 10}

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Aritmética - 4to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

3

4

3

4

Dado el conjunto "B": B = {x2+1/ x ∈ Z ∧ -3 ≤ x ≤ 4} indica el número de subconjuntos propios del con-

junto "A":

a) 1 b) 3 c) 15 d) 31 e) 255

Sea:

A={ /x, y, ∈N∧ x<4; y<4}

¿cuántos subconjuntos propios tiene A?

a) 31 b) 63 c) 127 d) 255 e) 511

x-yx+y

Si: n[P(A)] = 128 ∧ n[P(B)] = 32 calcula n(A) + n(B)

a) 5 b) 7 c) 12 d) 15 e) 16

Si A es un conjunto con dos elementos y B un con-junto con tres elementos, el número de elementos de P(A) × P(B) es:

a) 12 b) 24 c) 48 d) 32 e) 64

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Aritmética - 4to Sec.

5

6

5

6

Clave:Clave:

Clave:Clave:

Dados los conjuntos: U={x/x ∈ N ; 5< x < 16} A = {x/x ∈ Z ; x < 6} B = {x/x ∈ N ; 3 < x < 26 } C = {x/x ∈ N ; x > 10} hallar: n(A) + n(B) + n(C)

a) 6 b) 7 c) 8 d) 10 e) 12

Dado el conjunto: P={5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} y los con-juntos:

M = {x∈P / x2 > 50 ∧ x < 9} N = {x∈P / x es impar ∧ 6 < x} Determina n(M) + n (N)

a) 3 b) 4 c) 2 d) 1 e) 5

Si: A={x/x=(4m-1)2;m∈N;2≤ m≤5} entonces el conjunto A escrito por extensión es:

a) {7 ; 11; 15; 19} b) {49 ; 121; 225; 361} c) {3 ; 4; 7; 9} d) {4 ; 6; 16; 25} e) {2 ; 3; 4; 5}

Halla n(A) + n(B) si se tiene: A= {2x / x ∈ N ; x < 9}

B = { / x ∈ A }

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

x + 43

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Aritmética - 4to Sec.

Clave:Clave:

Clave:Clave:

7

Sello y Firma del Profesor

7

8 8

NOTA

Calcula el número de elementos del conjunto "E"

E={x/x ∈ Z ; 4 < < 12}

a) 18 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16

x + 32

Dado el conjunto: B= {x2 + 4 / x ∈ N ; 2 ≤ x ≤ 6} y las proposiciones: I. "B" tiene 32 subconjuntos II. La suma de elementos es 110. III. 10 y 13 son elementos de B ¿qué proposiciones son verdaderas?

a) Sólo I b) Sólo II c) I y II d) I y III e) Todas

Los conjuntos "A" y "B" son tales que: n(A∪B) = 30 n (A-B) = 12 n(B - A) = 10 Halla n(A) + n(B)

a) 22 b) 38 c) 36 d) 25 e) 37

Los conjuntos "A" y "B" son tales que:n(A∩B) = 2

n(A∪B) = 14 Halla n(A) + n(B)

a) 3 b) 2 c) 8 d) 12 e) 16

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución: