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1

Unidad 1. Sistemas de ecuaciones.

Método de Gauss

BACHILLERATOMatemáticas aplicadas a las

Ciencias Sociales II

Resuelve

Página 33

Ecuaciones e incógnitas

1. ¿Podemos decir que las dos ecuaciones siguientes son dos “da-tos distintos”? ¿No es cierto que la segunda dice lo mismo que la primera?

x yx y

2 54 2 10

+ =+ =

*

■ Represéntalas gráficamente y observa que se trata de la mis-ma recta.

Se trata de la misma recta. 2x + y = 5

4x + 2y = 10

1

1

■ Escribe otro sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas en el que la segunda ecuación sea, en esencia, igual que la primera. Interprétalo gráficamente.

x yx y

13 3 3

+ =+ =

4 Gráficamente son la misma recta.

3x + 3y = 3

x + y = 11

1

2. Observa las ecuaciones siguientes: x yx yx y

2 51

2 4–+ =

=+ =

* La tercera ecuación se ha obtenido restando, miembro a miembro, las dos primeras:

(3.ª) = (1.ª) – (2.ª)

Por tanto, lo que dice la tercera ecuación se deduce de lo que dicen las otras dos: no aporta nada nuevo.

■ Represéntalas gráficamente y observa que las dos primeras rectas determinan un punto (con esos dos datos se responde a las dos preguntas: x = 2, y = 1). Comprueba que la tercera recta también pasa por ese punto. 2x + y = 5

x + 2y = 4 x – y = 1

1 2

(2, 1)1

■ Da otra ecuación que también sea “consecuencia” de las dos primeras.

Por ejemplo: 2 · (1.ª) + 3 · (2.ª)

Represéntala y observa que también pasa por x = 2, y = 1.

2 · 1.ª + 3 · 2.ª → 7x – y = 13

2x + y = 5

7x – y = 13

x + 2y = 4

x – y = 11 2

(2, 1)1

3. ¿Es posible que dos ecuaciones digan cosas contradictorias?

■ Escribe dos ecuaciones que se contradigan y representa las rectas correspondientes.

Sí es posible. Por ejemplo:x + y = 0x + y = 3

x + y = 3x + y = 0

2 4–4 –2

2

4

–2

BACHILLERATOUnidad 1. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

2

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

1 Sistemas de ecuaciones lineales

Página 35

1 ¿Verdadero o falso?

a) En un sistema de ecuaciones con dos incógnitas (x, y) la ecuación x + y = 4 tiene, entre otras, la solución (3, 1).

b) En un sistema con tres incógnitas (x, y, z) la ecuación x + y = 4 no tiene sentido.

c) En un sistema con tres incógnitas (x, y, z) la ecuación x + y = 4 sí tiene sentido. Representa un plano. Algunas soluciones suyas son (3, 1, 0), (3, 1, 7), (3, 1, – 4).

d) Si estamos en el plano (dos incógnitas, x, y) la ecuación y = 0 representa al eje X.

e) Si estamos en el espacio (tres incógnitas, x, y, z) la ecuación y = 0 representa al plano XZ.

a) Verdadero, porque 3 + 1 = 4 y hay más soluciones, como (4, 0).

b) Falso, (3, 1, 0) es solución de esa ecuación. Podemos poner cualquier valor en la tercera coordenada.

c) Verdadero.

d) Verdadero, porque los puntos del eje X son de la forma (a, 0).

e) Verdadero, porque los puntos del plano XZ son de la forma (a, 0, b ).

2 Sin resolverlos, explica por qué son equivalentes los siguientes pares de sistemas:

a) xx

yy2

57–

+ ==

( xx

y3

512

+ ==

)

b) xx

yy

z 57

–++

==

( x yz 2

7+==

*

c) xxx

yyy

z

z2 2

5712

–

–

+++

===

* x yz 2

7+==

*

d) xx

yy

zz2

117

––

++

==

( x y

yz 11

4–

–+ =

=)

a) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de sumar las dos que teníamos.

b) Hemos sustituido la primera ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.

c) En el primer sistema, la tercera ecuación se obtiene sumando las dos primeras. El resto es igual que en b).

d) Hemos sustituido la segunda ecuación por el resultado de restarle a la segunda ecuación la primera.


3


2 Posibles soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

Página 37

1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xxx

yyy

23 2

143

+++

===

*

b) x

x

yyy

zz

2

617

–+

+

+ ===

*

c) xxx

yy

zzz

600–

++

++

===

*

d) x y

yzzz

611

–+ + =

==

*

a)

8

8x yx yx y

y x

y x

2 13 2 4

3

2

2 2

1 2

3

–

–

+ =+ =+ =

=

=4 4 1 – 2x = 3 – x → x = –2, y = 3 – (–2) = 5

Veamos si cumple la 2.ª ecuación: 3 · (–2) + 2 · 5 = – 6 + 10 = 4 Solución: x = –2, y = 5. Son tres rectas que se cortan en el punto (–2, 5).

b)

x y zy z

x y

61

2 7

22 –

+ + ==

+ =4 La 3.ª ecuación se obtiene sumando las dos primeras; podemos prescindir de ella.

x y z

y zx z y z z zy z

61

6 6 1 5 21

– – – – – – –+ == +

= = == +4

Solución: x = 5 – 2λ, y = 1 + λ, z = λ. Son tres planos que se cortan en una recta.

c)

x y zx y zx z

600–

+ + =+ + =

=4 Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.

d)

x y zy z

z

zy zx y z

611

11 26 6 2 1 3

–– – – –

+ + ===

== + == = =

4 Solución: x = 3, y = 2, z = 1. Son tres planos que se cortan en el punto (3, 2, 1).


4


2 a) Resuelve este sistema:

xx

yy

2 34–

+ ==

*

b) Añade una tercera ecuación de modo que siga siendo compatible.

c) Añade una tercera ecuación de modo que el sistema sea incompatible.

d) Interpreta geométricamente lo que has hecho en cada caso.

a)

8 8x yx y x y

x y y y y y

x y

2 34 42 2

3 2 3 2 4 1 331

4 431

311–

– – – –

–

+ == = +

= = + = =

= + = =4 4

Solución: x = 311 , y =

31–

b) Por ejemplo: 2x + y = 7 (suma de las dos anteriores).

c) Por ejemplo: 2x + y = 9

d) En a) → Son dos rectas que se cortan en ,311

31–d n .

En b) → La nueva recta también pasa por ,311

31–d n .

En c) → La nueva recta no pasa por ,311

31–d n . No existe ningún punto común a las tres rectas.

Se cortan dos a dos.


5


3 Sistemas escalonados

Página 38

1 Reconoce como escalonados los siguientes sistemas y resuélvelos:

a) xx y

32

75–

==

* b) xxx

y zz

2

53

674–

+ +===

*

c) xxx

y zz

t

t

2

53

2 674–

–+ +

+

===

* d) xxx

yzz

2

43

3 074

–++ =

==

*

a)

xx y

x

y xy3 7

2 537

25

34

2– – –– =

=

=

= =4

Solución: x = 37 , y =

34–

b)

xx y zx z

xx zx y z

xz xy x z

2 63 7

5 43

2 65 4

3 7

35 4 117 3 7 3 33 29–

– –– – – – –

=+ + =

=

==

+ + =

== == = =

4 4 Solución: x = 3, y = –29, z = 11

c)

x tx y zx z t

x tx z tx y z

x tz x t ty x z t

2 2 63 7

5 42

2 6 25 4

3 7

35 4 11 67 3 29 19

–

–– – –

– – – –

=+ + =

+ =

= +=

+ + =

= += + = += =

4 4 Soluciones: x = 3 + λ, y = –29 – 19λ, z = 11 + 6λ, t = λ

d)

x zx y zx

xx zx y z

xz x

y x z

2 3 03 7

4 4

4 42 3 0

3 7

1

32

32

37

916

––

– –

–

+ =+ =

=

=+ =

+ =

== =

= + =

4 4

Solución: x = 1, y = 916 , z =

32–

2 ¿Son escalonados estos sistemas? Resuélvelos:

a) x

yyy

z

z

222 2

111+

+

+

===

* b) xx

y zz2

74–

+ + ==

*

c) xx

yy

z 32–

+ + ==

* d)

x

yzzzz

tt

t

32

2

2

3425–

–++

+

====

*a)

y =y zy

x y z

yy z

x y zz yx y z

2 12 12 2 1

2 2 12 12 1

21

1 2 01 2 0

–– –

+ ==

+ + =

=+ =

+ + == == =

4 4 Solución: x = 0, y =

21 , z = 0


6


b)

x y zx z

x zx y z

x z

y z x z7

2 42 4

7

22

7 523– – – – –

+ + ==

= ++ =

= +

= =4 4

Soluciones: x = 2 + λ, y = 5 – 3λ, z = 2λ

c)

x y zx y

x yx z y

x yz y y y

32

23

23 2 1 2– – – – – –

+ + ==

= ++ =

= += =4 4

Soluciones: x = 2 + λ, y = λ, z = 1 – 2λ

d)

z ty z t

zx z t

zz t

y z tx z t

zt zy z tx z t

33 2 42 2

2 5

2 23

3 2 42 5

13 24 3 2 55 2 2

–

––

–

––

–

+ =+ =

=+ =

=+ =

+ =+ =

== == + == + =

4 4 Solución: x = 2, y = 5, z = 1, t = 2

Página 39

3 Transforma en escalonados y resuelve.

a) xx

yy

23

3 214

–+

==

* b) xxx

yyy

zzz2

3 426

–

–

–++

++

===

* c) xxx

yyy

zzz3

64

8– – –+

+

+

+

===

* d)

xxxx

yyyy

zzzz

www

3 223

35 7

32

032

1826

––

–

––

–

–+

+

+

+++

====

*a)

x yx y

2 3 213 43

– =+ =

4 (1.ª)

3 · (2.ª) + (1.ª) x yx

2 3 2111 33

– ==4

x

y x3

321 2 5

–– –

=

= =

Solución: x = 3, y = –5

b)

x y zx y zx y z

3 42

2 62 3

3

2– –

–

+ =+ + =+ =

4 (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

x y z

y zy z

3 42 2 63 4 10

2– –––

+ ===4

(1.ª)

(2.ª) : 2

(3.ª)

x y z

y zy z

3 43

3 4 10

– –––

+ ===4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (2.ª)

x y zy z

z

zy zx y z

3 431

13 2

4 3 133

– –––

–

– –

+ ===

== + == + =

4 Solución: x = 1, y = 2, z = –1

c)

x y zx y zx y z

64

3 8– – –+ + =

=+ + =

4 (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

x y z

y zy z

62 2 102 2 10

– – –– – –

+ + ===

4

Podemos prescindir de la 3.ª ecuación, pues es igual que la 2.ª.

(1.ª)

(2.ª) : (–2) x y z

y z65

+ + =+ =

4 → x y z

y zx z y z zy z

65

6 6 5 15

––

– – – ––

+ ==

= = + ==4

Soluciones: x = 1, y = 5 – λ, z = λ


7


d)

x y zx y z wx y z wx y z w

3 03 2 5 7 32

2 3 183 2 26

–– – –

–– –

+ =+ =

+ + =+ + =

4

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

x y zy z wy z wy z w

3 014 7 32

3 4 3 182 2 2 26

–– ––

– – –

+ =+ =+ =+ =

4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (2.ª)

(4.ª) + 2 · (2.ª)

x y zy z w

z wz w

3 014 7 3238 18 11430 16 90

–– –

–– –

+ =+ =

=+ =

4

(1.ª)

(2.ª)

(1/2) · (3.ª)

(1/2) · (4.ª)

x y zy z w

z wz w

3 014 7 3219 9 5715 8 45

–– –

–– –

+ =+ =

=+ =

4

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

19 · (4.ª) + 15 · (3.ª)

x y zy z w

z ww

3 014 7 3219 9 57

17 0

–– –

–

+ =+ =

==

4

w

z

y zx y z

0

1957 3

32 14 103 1

––

=

= =

= + == =

Solución: x = 1, y = 10, z = 3, w = 0


8


4 Método de Gauss

Página 40

1 ¿Verdadero o falso?

a) Es posible que un sistema incompatible, al aplicar el método de Gauss, de lugar a un sistema escalonado compatible. O viceversa.

b) Al aplicar el método de Gauss, el sistema escalonado al que se llega finalmente es del mismo tipo que el sistema inicial, pues todos los pasos que se dan transforman cada sistema en otro equivalente a él.

a) Falso. Las soluciones de un sistema no dependen del método empleado para resolverlo.

b) Verdadero. Las soluciones de un sistema no dependen del método empleado para resolverlo.

Página 42

2 Resuelve estos sistemas de ecuaciones utilizando el método de Gauss:

a) xxx

yyy

zzz

32

22

242–

– –+

+

+

+

===

* b) xxx

yyy

zzz

325

43

2 125

––––

+++

===

* c) xxx

yyy

zz

22

23

5

344

––

–

–++

+===

*a)

xxx

yyy

zzz

32

22

242

––

–+

+

+

+

===4

132

121

112

242–

– –f p (1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) + 2 · (1.ª)

100

153

14

4

226

– – –f p

(1.ª)

(2.ª) · (–1)

(3.ª) · 5 + (2.ª) · 3

100

150

148

2224

f p x y

y

z

z

z

z

y z

x y z

5 42

2224

3

52 4 2

2 1

– –

– –

+ ++

===

=

= =

= =

4 Solución: x = 1, y = –2, z = 3

b)

xxx

yyy

zzz

325

43

2 125

–– –

–

+++

===4

325

431

211

125

––––

f p (1.ª) – 2 · (3.ª)

(2.ª) – (3.ª)

(3.ª)

775

221

001

935

––

–––

––f p

Las dos primeras ecuaciones son contradictorias. El sistema es incompatible.

c)

xxx

yyy

zz

22

23

5

344

––

–

–++

=+ =

=4

122

231

015

344

––

–

–f p

(1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

215

015

32

10

––

–

––f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 5 · (2.ª)

100

210

010

320

––

––f p x y

y zx yz y

2 32

3 22

––

––

––+

==

= += +4

Soluciones: x = –3 + 2λ, y = λ, z = –2 + λ


9


3 Resuelve mediante el método de Gauss.

a) xxx

yyy

zzz

32

5

237

––++

+++

===

* b)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

0000

–––– –

++

+

++

====

* c)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

911240

–––– –

++

+

++

====

*a)

xxx

yyy

zzz

32

5

237

–– +

+

+++

===4

111

131

215

237

––

f p (1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

122

233

255

–f p

x y

yzz

x y zy z

x z y

y z z223

25

2 22 5 3

2 2

25 3

25

23

– – ––

–– –

++

==

==

= +

= =4 4

x = 2 – 2z + z z25

23

29

27– –=

Soluciones: x = , ,l l ly z29 7

25 3 2– –= =

b)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

0000

–––– –

++

+ ==

+ =+ =

4

2155

1212

0111

1012

0000

–––– –

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – 2 · (1.ª)

2131

1200

0111

1000

0000

––

–

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (4.ª)

(4.ª)

2141

1200

0101

1000

0000

––

–

f p xxxx

yy z

z

w xzyw

2

42

0000

0000

––

–

++ =

===

====

4 Solución: x = 0, y = 0, z = 0, w = 0

c)

xxxx

yyyy

zzz

w

ww

2

55

2

2 2

911240

–––– –

++

+ ==

+ =+ =

4

2155

1212

0111

1012

911240

–––– –

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

(4.ª) – 2 · (1.ª)

2131

1200

0111

1000

9111518

––

– –

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (4.ª)

(4.ª)

2141

1200

0101

1000

911318

––

–––

f p xxxx

yy z

z

w2

42

911

318

––

–––

++ =

===

4 x

43–= z = x + 18 =

469 y = x z

211

411–+ = w = 9 – 2x + y =

453

Solución: , , ,x y z w43

411

469

453–= = = =


10


5 Discusión de sistemas de ecuaciones

Página 43

1 Discute, en función de k, estos sistemas de ecuaciones:

a) xx

kx

yyy

zz

k4 221

–+++ +

===

* b) xx

kx

yyy

zz

k4 220

–+++ +

===

*a)

xx

kx

yyy

zz

k4 221

–+++

==

+ =4

k

k41

211

011

21

–f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

k

k41

1

212

010

23

–+

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

k

k

k

41

3

210

010

23–

––

f p• Sik = 3, queda:

k4

10

210

010

20

–f p → 8xx

yy

z x z yx y x

y y4 2

23

24 3 2 4

3 243

2– – –

––

–++

==

== = =4 4

z = x – 2 + y = y

yy y

43 2

24

5 245

2–

–– –+ =

+= +

Sistema compatible indeterminado.

Soluciones: x = , ,l l ly z43 2

45– –= = +

• Sik ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( ) ( )

xx

k x

yy

zk

k4

32

2

3–

–

–

++

===

4 x = k

k3

3–– = –1; y = k x k k

24

24 2

2– = + = +

z = x + y – 2 = –1 + 2 + k2

– 2 = –1 + k2

Solución: x = –1, y = 2 + k2

, z = –1 + k2

b)

xx

kx

yyy

zz

k4 220

–+++ +

===4

k

k41

211

011

20

–f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

k

k41

1

212

010

22

–+

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

k

k

k

41

3

210

010

22–

––

f p• Sik = 3, queda:

410

210

010

321

––

f p El sistema es incompatible.

• Sik ≠ 3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( ) ( )

xx

k x

yy

zk

k4

32

2

2–

–

–

++

===

4 x = k

k3

2–– ; y = k x

kk k

24

2 68–

––2

= +

z = x + y – 2 = ( )k

kk

k kk

k k3

22 3

8 22 6

5 8––

–– –

––2 2

+ + = +

Solución: , ,xk

k yk

k k zk

k k3

22 6

82 6

5 8––

––

––2 2

= = + = +


11


2 Discute estos sistemas de ecuaciones en función de k :

a) kx

xx

yy

zzz k2

80

–++ +

+

===

* b) x

x

yyy

zkz

k2

11

+

+

++

===

*a)

kxxx

yy

zzz k2

80

–++

=+ =+ =

4 k

k12

110

111

80

–f p

(1.ª) – (2.ª)

(2.ª)

(3.ª)

k

k

112

010

211

80

– –f p

(1.ª) + 2 · (3.ª)

(2.ª)

(3.ª)

k k

k

312

010

011

8 20

+ +f p

• Sik = –3, queda:

012

010

011

203–

f p Sistema incompatible.

• Sik ≠ –3, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( )x

xx

y zz

k

k

k 3

2

8 20

++

=+ =+ =

+4

x = k

k3

8 2+

+

z = k – 2x = k

k k3

16– –2

+

y = –x – z = k

k k3

8– –2

++

Solución: x = k

k3

8 2+

+ , y = k

k k3

8– –2

++ , z =

kk k

316– –2

+

b)

x

x

yyy

zkz

k2

11

+

+

++

===4 k

k

101

112

1

0

11f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

kk

100

111

1

1

11

1– –f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

kk k

100

110

1

1

11

2– – –f p

• Sik = –1, queda:

100

110

110

113

––


• Sik ≠ –1, es compatible determinado. Lo resolvemos:

( )

x yy

zkz

k z k1

11

2– – –

+ + =+ =

=4

z = k

kkk

12

12

– –– –=

+

y + k 8kk y

kk k

kk k k

kk k

12 1 1

12

11 2

11– – – – –2 2 2

+= =

+=

++ + =

++d n

x = 1 – y – z = k

k kkk

kk k k k

kk k1

11

12

11 1 2

12 3– – – – – – – – –2 2 2

++

+=

++ + + =

++

Solución: x = k

k k1

2 3– – 2

++ , y =

kk k

11 – 2

++ , z =

kk

12 –

+


12


Ejercicios y problemas resueltos

Página 44

1. Método de Gauss

Hazlo tú. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x y zx y z

y z

02 2 1

1

– ––

– –

+ =+ =

+ =* b)

x y z tx y tx z tx y z t

2 52 0

3 22 0

– – –– –

– –– –

+ + ==

+ =+ + =

*

a) 110

121

121

011

– –

––

–f p

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª)

100

111

111

011

– –

––

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

100

110

110

010

– ––f p →

→ 8x y zx y

x y zy z

01 1

– ––

–+ ==

= += +

* *

Soluciones: (–1, 1 + λ, λ)

b)

1211

1101

1012

2131

5020

–

–

–

–

–––

–

–f p (1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

1000

1110

1223

2553

51075

–

–

–––

–––f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

(4.ª)

1000

1100

1203

2503

51035

–

–

– ––f p

La tercera ecuación no se puede cumplir nunca. El sistema no tiene solución.

Página 45

2. Discusión de sistemas aplicando el método de Gauss

Hazlo tú. Discute y resuelve, en función del parámetro, aplicando el método de Gauss.

a) xxx

myy

zzz

2 23

20

2

–

––

– –

+ ++

===

* b) xxx

yyy

zaz

z32

2053

+++

+++

===

*

a) m1

21

10

123

202

–

––

– –f p

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

m

121

01

321

202

–

––

– –f p

(3.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

m

100

01

34

4

24

4

––

––

––f p

(3.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

m

100

01

1

34

0

24

0

–––

––

––f p

• Sim ≠ 1, el sistema es compatible determinado.

( )

xy

m y

zz

1

34

240

––

–

––

––

===

4 Solución: x = –1, y = 0, z = 1

• Sim = 1, el sistema es compatible indeterminado.

x

yy

zz

0

34

240

––

––

––

===

4 Soluciones: x = 2 – 3λ, y = 4 – 4λ, z = λ


13


b) a132

121

1

1

053

f p (1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

a100

111

13

1

053

––

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

aa

100

110

13

2

052

– –– –

f p• Sia ≠ 2, el sistema es compatible determinado.

xxx

yyy

zazz

32

2053

+++

+++

===4 Solución: , ,x y

aa z

a3

23 4

22–

––

–= = =

Los tres planos se cortan en un punto.

• Sia = 2, la matriz queda:

100

110

110

052

– ––

f p El sistema es incompatible. Los planos se cortan dos a dos.

Página 46

3. Sistemas con más incógnitas que ecuaciones

Hazlo tú. Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) x y z

y z2 4

0–

–+ =

=* b)

x y zx y z

2 4 6 22 3 1

––

+ =+ =

*

a) Pasamos z al segundo miembro y hacemos z = λ (parámetro). Así el sistema tendrá tantas ecuaciones como incógnitas.

l

lll

8x y

y

xyz

2 42

– –==

===

* * Las soluciones del sistema son (2, λ, λ). Son dos planos que se cortan en una recta.

b) Las dos ecuaciones representan al mismo plano puesto que una es el doble de la otra. Nos quedamos solo con la segunda ecuación, pasamos y y z al segundo miembro y hacemos y = λ y z = μ.

Las soluciones del sistema son (1 + 2λ – 3μ, λ, μ). Son dos planos coincidentes.

4. Planteamiento y discusión de un problema

Hazlo tú. El dinero que tienen entre A, B y C es el 150 % del que tienen entre A y B, y es el doble del que tienen entre A y C. Si C tiene el doble que A, ¿podemos saber cuánto dinero tiene cada uno?

Llamemos x, y, z al dinero que tienen A, B y C, respectivamente.

( )x y z x y+ + = +

( ) 8x y z x zz x

x y z x yx y z x z

z x

100150

22

10 10 10 15 152 22

+ + = +=

+ + = ++ + = +

=

* * → 8x y zx y zx z

5 5 10 00

2 0

– –– –

–

+ =+ =

+ =*

→ x y zx y zx z

2 00

2 0

– –– –

–

+ =+ =

+ =* →

112

110

211

000

–––

––f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

122

233

000

– –––

f p

El sistema es compatible indeterminado, luego no podemos saber cuánto dinero tiene cada uno.


14


Ejercicios y problemas guiados

Página 47

1. Añadir una ecuación a un sistema

Añadir una ecuación al sistema xx

yy

zz

2 2 13

––++ =

=* de modo que sea:

a) incompatible.

b) compatible determinado.

c) compatible indeterminado.

a) xx

yy z

z2 2 13

––++ =

=*

Hacemos 2 · (1.ª) + (2.ª) → 5x – y + 3z = 5

Cambiamos el término independiente → 5x – y + 3z = 0

El sistema:

xxx

yyy

zzz

2 2

3

13

5 0

––

–+

+

+

===

* es incompatible.

b) xx

yy z

z2 2 13

––++ =

=* → , ,l l lx y z

34

31

35

34–= = + =

Una solución es: , ,x y z1 3 1= = =

Añadimos la ecuación x + y + z = 5.

El sistema:

xxx

yyy

zzz

2 2 135

––++ =

==+ +

* es compatible determinado.

c) Hacemos 2 · (1.ª) + 3 · (2.ª) → 7x + y + z = 11

Ponemos esta nueva ecuación que es combinación lineal de las anteriores.

El sistema:

xxx

yyy

zzz

2 2 13

7 11

––+

+

+

+

===

* es compatible indeterminado.

2. Sistemas con infinitas solucionesSean S y S' dos sistemas de ecuaciones con dos incógnitas que difieren solo en los términos indepen-dientes. Si S es compatible indeterminado, ¿lo será también S'?

Si S es compatible indeterminado significa que la columna de términos independientes es linealmente dependiente de las columnas de los coeficientes.

Al cambiar los términos independientes, cambiamos la columna correspondiente y puede que sera linealmente indepen-diente con las anteriores, luego puede que el sistema resulte ser incompatible.


15


3. Sistema compatible

Discutir el siguiente sistema de ecuaciones según los valores de a y resolverlo en todos los casos que sea posible:

x y zx y zx y zx y az a

12 2 3

2 2

–

–

+ + =+ + =+ + =

+ =

*

a a

1121

1211

121

132

–

–

f p (1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + 2 · (1.ª)

(4.ª) + (1.ª)

a a

1000

1330

133

1

144

1

–

+ +

f p → a a

100

130

13

1

14

1

–

+ +f p

• Sia = –1, el sistema es compatible indeterminado:

: , ,l

ll l

x yy

Soluciones x y z1

3 4 3 31

34– –

––

+ ==

= = =4

• Sia ≠ –1, el sistema es compatible determinado:

( ) ( )

x y zy z

a z a

13 3 4

1 1

– + + =+ =

+ = +4 Solución: x =

31 , y =

31 , z = 1

4. Sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas

Estudiar para qué valores de m el siguiente sistema tiene solución y resolverlo cuando esta sea única:

x mymx ym 1 0

1 0–

–– + =

+ + =*

mm11

11–

– ––

e o (1.ª)

(2.ª) + m · (1.ª) mm m

10 1

11

––

–– –2e o

1 – m 2 = 0 → m = 1, m = –1

• Sim ≠ ±1, el sistema es compatible determinado:

( ) ( )

: ,óx my

m y mSoluci n x

my

m1

1 1 11

11– –

– ––

––

–2== +

= =4

• Sim = 1:

x y

y1

0 2– –

–==4 Sistema incompatible.

• Sim = –1, el sistema es compatible indeterminado:

: ,l lx y

ySoluciones x y

10 0

1–

– –+ =

== =4


16


Ejercicios y problemas propuestos

Página 48

Para practicar

Resolución e interpretación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales

1 Resuelve e interpreta geométricamente los siguientes sistemas:

a) ( / )( /)

x yx yx y

2 02 5

3 2 3 03 2

––

–

+ =+ =

=* b)

xxx

yyy

32

2

4

510

–+

+

===

*

c) xxx

yyy

3 2 502

–

–+

===

* d) xxx

yyy2

2 103

+++

===

*

a) /

12

3 2

213

05

0

–

––f p

(1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(2/3) · (3.ª)

101

252

050

–

––f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (1.ª)

100

250

050

––f p

x y

yx yy

2 05 5

2 21

––

––

+ ==

= ==4

Solución: (–2, –1)

Geométricamente, son tres rectas que se cortan en el punto (–2, –1).

b) Si dividimos la 3.ª ecuación entre 2, obtenemos: x + 2y = 0. La 1.ª ecuación es x + 2y = 5. Son contradictorias, luego el sistema es incompatible.

La 1.ª y la 3.ª ecuación representan dos rectas paralelas; la 2.ª las corta.

c) 11

211

502

3 –

–f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

131

121

052

––

f p (1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

152

052

––

f p

(1.ª)

(2.ª) : 5

(3.ª) : 2

100

111

011

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

100

110

010

–f p → x y

yx yy

01

11–

––

+ ==

= ==4

Solución: (1, –1)

Son tres rectas que se cortan en el punto (1, –1).

d) 112

211

103

f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

213

111

––

–f p La 2.ª y 3.ª filas son contradictorias. No tiene solución.

Son tres rectas que se cortan dos a dos.


17


2 Resuelve e interpreta geométricamente.

a)

xxxx

yyyy

3

52 2

2141

––

+

+

====

*

b) x yx yx y

2 12 35 8

––+ =

=+ =

*

a)

3152

1112

2141

––f p

(1.ª) – 3 · (2.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 5 · (2.ª)

(4.ª) – 2 · (2.ª)

0100

4144

1111

––

––

f p Podemos prescindir de las dos últimas filas, pues coinciden con la primera. Quedaría: 4y = –1 → y =

41–

x – y = 1 → x = 1 + y = 1 – 41 =

43

Solución: ,43

41–d n

El sistema representa cuatro rectas que se cortan en el punto ,43

41–d n .

b) 125

211

138

––

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

100

259

1513

––

–f p

De la 2.a ecuación, obtenemos y = –1; de la 3.a ecuación, obtenemos y = 913– .

Luego el sistema es incompatible. El sistema representa tres rectas que se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto común a las tres.

3 Resuelve e interpreta geométricamente estos sistemas:

a) xxx

y zy z

2

530

––++

===

*

b) xx

yyy

zzz

22

130

–––

++

===

*a) 8

xxx

y zy z

y zy z

x2

530

530

–– –

–+

+===

=+ =

=*4

La 2.a ecuación contradice la opuesta de la 1.a. No tiene solución. Geométricamente, se trata de tres planos que se cortan dos a dos.

b) La 1.a y la 2.a ecuación son contradictorias. No tiene solución. Geométricamente, se trata de dos planos paralelos que son cortados por un tercero.


18


4 Razona si estos sistemas tienen solución e interprétalos geométricamente:

a) xx

yy

zz2

24 2

31

––

++

==

*

b) ( / )xx

yy

zz2 3

32

64

32

–– –+ + =

=*

a)

xx

yy

zz2

24 2

31

––

++

==4 Si dividimos la 2.a ecuación entre 2, obtenemos:

x + 2y – z = 21 , que contradice la 1.a.

El sistema es incompatible. Son dos planos paralelos.

b)

( / )xx

yy

zz2 3

32

64

32

–– –+ + =

=4 Si multiplicamos por –

32 la 1.a ecuación, obtenemos:

x y z32 2 4 2– – –= , que contradice la 2.a ecuación.

El sisgtema es incompatible. Son dos planos paralelos.

5 Resuelve los siguientes sistemas escalonados:

a) x y

yx2 7

23 6923

2–

––==

* b) x

y

y

zzz3

9123

–

–

+

+

===

*

c) x y

yz 2

5– + =

=* d)

x yy

zz

2 42

+ ++

==

*

a)

x yyx

y

xy

2 723 6923

2

3

27

2–

––

–==

=

=+

=4 4

Solución: (2, –3)

b)

x

y

y

zzz3

9123

–

–

+

+

===4 z =

92 y = z – 1 =

97– x =

y z3

332–+

=

Solución: , ,32

97

92–d n

c)

x yy

z yx z y z

25

52 7

–– –

+ ==

== + =

4

Soluciones: (7 – λ, 5, λ)

d)

x yy

zz

x y zy z

y z

xz y z z

2 42

2 42

2

24

24 2 1

––

–

– – – –+ +

+==

+ ==

=

= = + =4 4

Soluciones: (1, 2 – λ, λ)


19


6 Resuelve los siguientes sistemas escalonados:

a) xxx

y zz

2 092

–––

+===

* b) xx

yyy

z23

3

2

001

––

+ ===

*

c) x y

yzzz

ttt2

431

––

++

+

+

===

* d) x y

yy

t

tzz

241

–

–

+

++

===

*a)

xxx

y zz

2 092

–––

+===4 x = 0 z = x – 2 = –2 y = 9 + z – x = 7

Solución: (0, 7, –2)

b)

xx

yyy

z23

3

2

001

––

+ ===4 y =

21 x =

y3 6

1= z = –2x + 3y = 67

Solución: , ,61

21

67d n

c)

x yy

zzz

ttt

x y z ty z t

z t2

431

431 2

––

– –

–

++

+

+

===

+ =+ = +

=4 4

z = 1 – 2t y = 3 + t – z = 2 + 3t x = 4 – t + z – y = 3 – 6t Soluciones: (3 – 6λ, 2 + 3λ, 1 – 2λ, λ)

d) ( )

( )

x yyy

t

tzz

y zt y z z z zx y t z z z

241

41 1 4 3 22 2 4 3 2 5 3

–

–

–– – – –– – – – –

+

++

===

== + = + = += + = + = +

4 Soluciones: (–5 + 3λ, 4 – λ, λ, –3 + 2λ)

Método de Gauss

7 Resuelve aplicando el método de Gauss.

a) x

x

yy z

z

123

–+

++

==

=* b)

xxx

yyy

zzz2

34

23

000

+++

+++

===

*

c) xxx

yyy

zzz

35

23 3

111

–+++

++

===

* d) x y zx y zx y z

3 4 36 6 2 16

2 6

2

6 6

–– –– –

+ =+ =+ =

*a)

x

x

yy z

z

123

–+

++

==

=4 1

01

110

011

123–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

111

011

122––f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

100

110

012

120–f p →

→ x y

y zz

12

2 0–

+ =+ =

=4 z = 0 y = –2 – z = –2 x = 1 – y = 3

Solución: (3, –2, 0)


20


b)

xxx

yyy

zzz2

34

23

000

+++

+++

===4

112

134

123

000

f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

122

111

000

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

100

120

110

000

f p →

→ x y z

y zy z x y z z0

2 0 2 2– – – –

+ + =+ =

= = =4

Soluciones: , ,l l l2 2

– –d n

c)

xxx

yyy

zzz

35

23 3

111

–+++

++

===4

135

123

113

111

–f p

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

100

112

148

124

––

–––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

100

110

140

12

0–

––f p →

x y zy z

14 2

–– –

+ =+ =

4

y = 4z + 2 x = 1 – y + z = 1 – (4z + 2) + z = –1 – 3z z = λ Soluciones: (–1 – 3λ, 2 + 4λ, λ)

d)

x y zx y zx y z

3 4 36 6 2 16

2 6

2

6 6

–– –– –

+ =+ =+ =

4 361

461

122

3166

––

–––

f p (3.ª)

(2.ª) : 2

(1.ª)

133

134

211

68

3

––

–

––f p

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

100

107

257

61021

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) : (–5)

(3.ª) : 7

100

101

211

623

–

–

––f p →

→ x y z

zy z

2 62

3

– ––

–

+ ===4

y = 3 + z = 3 – 2 = 1 x = – 6 + y – 2z = – 6 + 1 + 4 = –1

Solución: (–1, 1, –2)

8 Resuelve aplicando el método de Gauss.

a) x yx y zx z

z

y

2 5 163 2 2

4

222 5 2

– ––+ =

+ =+ =+

* b) xxx

yyy

zzz

35

23 3

130

+++

+++

===

*

c) xxx

y

y

zz2

220–

–+ =+ =

=* d)

xxx

yy z

z

2

3

314

–+

++

===

*a)

x yx y zx z

z

y

2 5 163 2 2

4

222 5 2

– ––+ =

+ =+ =+

4 211

530

021

1624

– –f p (1.ª)

(2.ª) + 2 · (3.ª)

(3.ª)

231

530

001

1664

f p

(1.ª)

(2.ª) : 3

(3.ª)

211

510

001

1624

f p (1.ª) – 5 · (2.ª)

(2.ª)

(3.ª)

311

010

001

624

–f p →

xx yx z

xy xz x

3 624

22 44 6

– –––

=+ =

+ =

== == =

4 Solución: (–2, 4, 6)


21


b)

xxx

yyy

zzz

35

23 3

130

+++

+++

===4

351

231

131

130

f p (3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

153

132

131

031

f p

(1.ª)

(2.ª) – 5 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

100

121

122

031

––

––

f p (1.ª)

(2.ª)

–2 · (3.ª) + (2.ª)

100

120

122

031

– –f p →

→ x y z

y zz

02 2 3

2 1– –+ + =

==4 z =

21 y = z

23 2 2

––+ = x = –y – z =

23

Solución: , ,23 2

21–d n

c)

xxx

y

y

zz2

220–

–+ =+ =

=4 1

21

101

110

220

–

–f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

122

131

222

––

–––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

100

120

132

220

––

––f p

x y z

y zz

x y zy z

z

x yy

z

22 3 2

2 0

22 3 2

0

22 2

0

–– –

–

–– – – –

+ =+ =

=

+ =+ =

=

+ ===

4 4 4 z = 0 y = 1 x = 2 – y = 1

Solución: (1, 1, 0)

d)

xxx

yy z

z

2

3

314

–+

++

===4

Observamos que la 3.a ecuación es la suma de la 1.a y la 2.a: podemos prescindir de ella.

8x yx y z

x yx z y

xy

z y x yy y

2 31

2 31

23

1 12

321

23–

––

– ––

–

+ =+ =

=+ = +

=

= + = + = +*4 4

Tomamos y = 2λ.

Solución: , ,l l lx y z23 2

21 3– –= = = +d n


22


9 Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas:

a) x y zx y zx y z

2 910

2 5

22 2

2– – ––

+ + ==

+ =* b)

x y zx y z

2 32 12

2– –+ + =

+ =*

c) xxx

yyy

zzz

224 2

132

––

–+

+++

===

* d) xxx

yyy

z

z

234

3 000

––

–+

+ ===

*

a)

xxx

yyy

zzz2

2 910

5––

– –+ +

+

===

4 112

211

111

9105

––

– –f p (1.ª)

–(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

235

121

91913– – –

f p

(1.ª)

(2.ª)

(2.ª) + 2 · (3.ª)

100

237

120

9197– –

f p → x y

yy

zz

237

29197– –

+ + =+ =

=4 y = 1 z =

y2

19 38

–= x = 9 – 2y – z = –1

Solución: (–1, 1, 8)

b)

xx

yy

zz2

2 31– –

+ ++

==4 1

221

11

31– –

e o (1.ª)

–(2.ª) + 2 · (1.ª) 10

25

11

37

e o →

→ x y z

y z

y z

x z y z z z2 35 7

57

53 2 3

514

52

51

53

––

–

– – – – –

+ ==

=

= = + =4

Si tomamos z = 5λ, las soluciones son: , ,l l l51 3

57 5– –d n

c)

xxx

yyy

zzz

224 2

132

––

–+

+++

===4

121

24

1

121

132

––

–f p

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

121

14

2

121

231–

––

f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

100

16

3

100

213

– –f p (1.ª)

(2.ª) + 2 · (3.ª)

(3.ª)

100

103

100

253

f p La segunda ecuación es imposible: 0x + 0y + 0z = 5 El sistema es incompatible.

d)

xxx

yyy

z

z

234

3 000

––

–+

+ ===4

234

311

101

000

––

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (1.ª)

236

312

100

000

–––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

230

310

100

000

––f p →

x y zx y

2 3 03 0

––

+ ==4 y = 3x z = –2x + 3y = –2x + 9x = 7x x = λ

Soluciones: ( λ, 3λ, 7λ)


23


10 Estudia y resuelve por el método de Gauss.

a) x y zx y zx y z

3 24 2 52 4 7 1

23

– –––

+ + =+ =+ =

* b) y z

x yx y z

xz

11

2 3 2

2 32 3

––

–

– + ==

+ + =+*

c) xxx

yyy

zzz

52

222

3

2

43

3– –

++

+++

===

* d) xxx

yyy

zzz

ttt

23

23

335

14

6

000

–––

–+++

++

===

*a)

xxx

yyy

zzz

42

24

3

7

251

–––

–+++

+ ===4

142

124

317

251

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) + 4 · (1.ª)

(3.ª) + 2 · (1.ª)

100

166

3111

233

–

–

–––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

100

160

31112

230

–

–

––f p → Sistema compatible determinado.

Lo resolvemos:

x y

yzzz

y x y z63

1123

021 3 2

23

– –– –

+ ++

===

= = + + =4

Solución: , ,23

21 0–d n

b) x

x

yyy

z

z2 3

112

––

–+

+

+

===

_

`

a

bb

bb

011

112

103

112

––

–f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

101

112

013

112

–––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

113

013

113

–––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (2.ª)

100

110

010

110

––f p

Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

lx y

y z x y z y y1

1 1 1–

– – –=

+ = = + = =4

Soluciones: (1 + λ, λ, –1 – λ)

c)

xxx

yyy

zzz

52

222

3

2

433– –

++

+++

===4

521

222

312

433– –

f p (3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

125

222

213

334

– –f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

100

2612

237

3919

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) : 3

(3.ª) – 2 · (2.ª)

100

220

211

331

–––

–f p

Sistema compatible determinado. Lo resolvemos:

x y

yzzz

zyx y z

22

2 331

11

3 2 2 1

–––

– –

– –

+ ===

=== + =

4 Solución: (1, 1, –1)


24


d)

xxx

yyy

zzz

ttt

23

23

335

14

6

000

–––

–+++

++

===4

123

123

335

1416

000

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

100

100

334

142948

000

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª)

– 4 · (2.ª) + 3 · (3.ª)

100

100

330

142928

000

––

–f p

Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x y z

zttt

33

142928

000

––

–++

===4 t = 0 z = 0 x = y y = λ

Soluciones: (λ, λ, 0, 0)

11 Clasifica los siguientes sistemas en compatibles o incompatibles:

a) xx

yy

zzz

330

–++

+ ===

* b) xxx

yyy

zzz

2321

––

+ +++

===

*a)

xx

yy

zzz

x yx y

z

330

330

–++

+ ===

+ =+ =

=4 4 Compatible indeterminado

b)

xxx

yyy

zzz

2321

––

+ +++

===4

121

111

111

321

––

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

132

110

342

––

– ––

f p Compatible determinado

12 Estudia y resuelve por el método de Gauss:

a) x y zx y zx y z

22 3 5 11

5 6 29

2 3 6

2 –

+ + =+ + =

+ =* b)

xxx

yyy

zzz

2

4

32

000

–––

++

+ ===

*a)

x y zx y zx y z

22 3 5 11

5 6 29

2 3 6

2 –

+ + =+ + =

+ =4

121

135

156

21129–

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

116

135

2727–

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 6 · (2.ª)

100

110

1323

2769

f p → x y z

y zz

zy zx y z

23 7

23 69

37 3 22 1

– –– –

+ + =+ =

=

== == =

4 El sistema es compatible determinado, con solución (1, –2, 3).

b)

xxx

yyy

zzz

2

4

32

000

–––

++

+ ===4

214

321

111

000

–––

f p (1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

236

312

100

000

–––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

230

310

100

000

––f p →

l

x y zx y

y xz x y x x xx

2 3 03 0

32 3 2 9 7

––

– –+ =

=

== + = + ==

4

El sistema es compatible indeterminado, con soluciones (λ, 3λ, 7λ).


25


Página 49

Para resolver

Discusión de sistemas de ecuaciones

13 Discute los siguientes sistemas según los valores del parámetro m:

a) x y

yy m

2

2

31

2–

+ ===

* b) x y

yy

zzz m

2

327

30

– +++

===

*

c) x y

yzz

mz2 8

131

––+

+===

* d) ( )

xx

yz

m z3

5

000

–

–+

===

*a)

x yyy m

2

2

31

2–

+ ===

4 m

100

212

31

2–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

m

100

210

31

4–f p

• Sim = 4 → Sistema compatible determinado.• Sim ≠ 4 → Sistema incompatible.

b)

x yyy

zzz m

2

327

30

– +++

===4

m

100

213

127

30

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

m

100

210

121

30

–f p

Sistema compatible determinado para todo m.

c)

x yy

zz

mz2 8

131

––++

===4

m

100

120

18

131

––

f p •Sim = 0 → Sistema incompatible. •Sim ≠ 0 → Sistema compatible determinado.

d)

( )

xx

yz

m z3

5

000

–

–+

===4

m

130

100

01

5

000

–

–f p

•Sim = 5 → Sistema compatible indeterminado. •Sim ≠ 5 → Sistema compatible determinado con solución (0, 0, 0).

14 Discute los siguientes sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

a) /xxx

yyky

22

42

2

–– –+

+

===

* b) xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===

*a) ( / )

xxx

yyyk

22

42

2–

––+

+

===4 /

k

211

11 2

422

––

–f p (1.ª)

2 · (2.ª) + (1.ª)

2 · (3.ª) – (1.ª)

k

200

10

2 1

400

–

+f p

• Sik = – 21 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

2x – y = 4 → l

y xx

2 4–==

*

Soluciones: (λ, 2λ – 4)


26


• Sik ≠ – 21 → Sistema compatible determinado.

( )x y

yyxk

2 42 1 0

02

– =+ =

==

4

Solución: (2, 0)

b)

xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===4

m

215

125

112

13–

–

–f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

m

125

215

112

31

–

––f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

m

100

255

133

3515

–––

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

m

100

250

130

3510

–– –

–f p

• Sim = 10 → Sistema compatible indeterminado. Lo resolvemos:

x y z z3 2 3 2 1– – –= + = + = +

y 1–= = +x y zy z

z z

z z2 35 3 5

55 3

53

56

5

–– –

–+ =

=

+4

Tomamos z = 5λ.

Soluciones: (1 + λ, –1 + 3λ, 5λ)

• Sim ≠ 10 → Sistema incompatible.

15 Resuelve cada uno de los siguientes sistemas para los valores de m que lo hacen compatible:

a) xxx

yyy m

24

2

3

31–

+

+

===

* b)

xxxx

yy

y

zzzz m

23

2

23

5

213

– –+

+

+++

===

=

*a)

xxx

yyy m

24

2

3

31–

+

+

===4

m

124

213

31–f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 4 · (1.ª)

m

100

255

3512

––

––

f p

(1.ª)

(2.ª) : (–5)

(3.ª) – (2.ª)

m

100

210

31

7–f p

• Sim = 7 → Sistema compatible determinado.

x y

y2 3

1+ =

=4 x = 3 – 2y = 1

Solución: (1, 1)

• Sim ≠ 7 → Sistema incompatible.

b)

xxxx

yy

y

zzzz m

23

2

23

5

213

– –+

+

+++

====

_

`

a

bb

bb

m

1231

1102

2315

213

– –

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

(4.ª) – (1.ª)

m

1000

1333

2777

233

2

– ––––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

(4.ª) – (2.ª)

m

1000

1300

2700

230

1

– ––

+

f p


27


• Sim = –1 → Sistema compatible indeterminado.

x y z z2 2 2 1 2 1– – –= + + = + =

y 1– –= =x y zy z

z z

z z2 2

3 7 33

3 737

37

3

– ––

– –=

+ =4

Tomamos z = 3λ.

Soluciones: (1 – λ, –1 – 7λ, 3λ)

• Sim ≠ –1 → Sistema incompatible.

16 Discute estos sistemas y resuélvelos cuando sea posible:

a) xxx

yky

y

zzz

2

5

3

23

000

–– –

–+

+ ===

* b) xxx

y

y

zz

kz

3

2

2

2

110

––

+

+ +

===

*a)

xxx

ykyy

zzz

2

5

3

23

000

–– –

–+

+ ===4 k

215

3

2

131

000

–– –

–f p

(1.ª)

2 · (2.ª) – (1.ª)

2 · (3.ª) – 5 · (1.ª)

k200

32 319

177

000

–– –

–+f p

(1.ª)

(2.ª) – (3.ª)

(3.ª)

k200

32 16

19

107

000

–– –

–f p → –2k – 16 = 0 → k = – 8

• Sik ≠ – 8 → el sistema es compatible determinado; como es un sistema homogéneo, solo tiene la solución trivial: (0, 0, 0).

• Sik = – 8 → el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 2.a ecuación y lo resolvemos en función de z = λ:

x y z

y z2 3

19 7– –=

=4 Soluciones: , ,l l l

191

197d n

b)

xxx

y

y

zz

kz

3

2

2

2

110

––

+

+ +

===4 Cambiamos el orden de las dos primeras ecuaciones:

k

132

022

11

110

––f p

(1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

k

100

022

12

2

122

–––+

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

k

100

020

12

12

0

––f p → k = 0

• Sik ≠ 0 → el sistema es compatible determinado. Lo resolvemos:

x z

y zkz

zyx

12 2 2

0

01

1

–– –

=+ =

=

===

4• Sik = 0 → el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la 3.a ecuación para resolverlo:

x z

y zx zy z

12 2 2

11

–– – –

=+ =

= +=4

Soluciones: (1 + λ, –1 – λ, λ)


28


17 Discute los siguientes sistemas de ecuaciones:

a) xxx

yyy

zz

kz

k

22 1

0

––

–

+++

===

* b) xxx

yy

ay

zzz3

34

000

–+++

++

===

*

c) x y z

mx y zx y z

m 2 11

3 4 2 3

22 2

––– –

+ =+ =+ =

* d) xxx

yyy

azzz

35

23 3

121–

+++

++

===

*a)

xxx

yyy

zz

kz

k

22 1

0

––

–

+++

===4

k

k112

111

12 1

0

––

–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

k

kkk

100

103

13

21

2

– ––

–+f p

Sistema compatible determinado para todo k.

b)

xxx

yy

ay

zzz3

34

000

–+++

++

===4

a

113

13

114

000

–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

a

100

12

3

127

000–

–f p

(1.ª)

(2.ª) : 2

(3.ª)

a

100

11

3

117

000–

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 7 · (2.ª)

a

100

1110

110

000–

–f p

•Sia = 10 → Sistema compatible indeterminado. •Sia ≠ 10 → Sistema compatible determinado.

c)

x y zmx y z

x y z

m 2 11

3 4 2 3

22 2

––– –

+ =+ =+ =

4 m1

3

214

112

113

––– –

f p (1.ª)

(3.ª)

(2.ª)

m

13

241

121

131

–––

–f p

(1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) + (1.ª)

m

15

1

201

100

112

–

––

+f p

Compatible determinado para todo m.

d)

xxx

yyy

azzz

35

23 3

121–

+++

++

===4

a351

231

31

121–

f p (3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

a

153

132

13

121

–f p

(1.ª)

(2.ª) – 5 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

a

100

121

18

3

132

––

–––+

f p (1.ª)

(2.ª)

–2 · (3.ª) + (2.ª)

a

100

120

18

2 2

131

––

––f p

2 – 2a = 0 → a = 1 •Sia = 1 → Sistema incompatible. •Sia ≠ 1 → Sistema compatible determinado.


29


18 Discute y resuelve en función del parámetro:

a) x my zx y zx z

mmy

22 2 0

3 2

2––

– – ––

+ + =+ =

=* b)

xxx

yyy

zaz

z32

2053

+++

+++

===

*

a)

x my zx y zx z

mmy

22 2 0

3 2

2––

– – ––

+ + =+ =

=4

m121

10

123

202

–

––

– –f p

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

m

121

01

321

202

–

––

– –f p

(1.ª)

(2.ª) + 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

m

100

01

34

4

24

4

––

––

––f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

m

100

01

1

34

0

24

0

–––

––

––f p

• Sim ≠ 1 → el sistema es compatible determinado.

( )

xy

m y

zz

1

34

24

0

––

–

––

––

===

4 Solución: (–1, 0, 1)

• Sim = 1 → el sistema es compatible indeterminado.

x

yy

zz

0

34

24

0

––

––

––

===

4 Soluciones: (2 – 3λ, 4 – 4λ, λ)

b)

xxx

yyy

zazz

32

2053

+++

+++

===4 a

132

121

1

1

053

f p (1.ª)

(2.ª) – 3 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

a100

111

13

1

053

––

––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

aa

100

110

13

2

052

– –– –

f p

• Sia ≠ 2 → el sistema es compatible determinado.

( )( )

x yy

za z

a z3

2

05

2– –

– –

+ ++

===4 Solución: , ,

aa

a3

23 4

22–

––

–d n

• Sia = 2, la matriz queda:

100

110

110

052

– ––

f p

El sistema es incompatible.


30


19 Estudia los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos cuando sean compatibles e interpreta geométricamente las soluciones obtenidas.

a) xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===

* b) ( )x

mxx

yy

my

zm z

z m1

12–

+++

+++

===

*a)

xxx

yyy

zzz m

2

525 2

13–

–

–+++

===4

m

215

125

112

13–

–

–f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

m

125

215

112

31

–

––f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

m

100

255

133

3515

–––

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

m

100

250

130

3510

–– –

–f p

• Sim = 10 → el sistema es compatible indeterminado.

x y z

y z

x y z z

y z2 35 3 5

2 35

5

53 5

–– –

–

–+ =

=

= + = +

=4

Tomamos z = 5λ.

Soluciones: (λ + 1, 3λ – 1, 5λ)

Son tres planos que se cortan en una recta.

• Sim ≠ 10 → el sistema es incompatible.

Son tres planos que se cortan dos a dos.

b)

( )x

mxx

yy

my

zm z

z m1

12–

+++

+++

===4 m

mm

m

1

1

11

11

1

12–f p

(1.ª)

(2.ª) – m · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

mm

mm

100

11

1

110

12

1––

– ––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

m m100

11

0

111

12

1– –

––f p

De la 3.ª ecuación se deduce que z = –1. El sistema quedaría así:

( )

x ym y m

21 1– –

+ ==

4• Sim = 1 → el sistema es compatible indeterminado.

x y

y2

0 0+ =

=4

Soluciones: (2 – λ, λ, –1)

Son tres planos que se cortan en una recta.

• Sim ≠ 1 → el sistema es compatible determinado.

( )

x ym y m

ymm x

21 1 1

1 1 2 1 1– – –

– –+ =

== = = =4

Solución: (1, 1, –1)

Son tres planos que se cortan en un punto.


31


20 Discute los siguientes sistemas según los valores de α e interprétalos geométricamente:

a) a

a aa

ax yx y

12 1

–– –

==

* b) a

x yx y zx y z

z 12 3 5 16

0

2 2 5

2 5

–– ––

– =+ =+ =

*a)

aa aa

ax yx y

12 1

–– –

==

4 aa a11 1

2 1–– –

e o (1.ª)

(2.ª) · α – (1.ª) a

a a a01

11

2 1–– – –2 2e o

α ≠ 0• Siα = 1, queda:

10

10

10

–e o Sistema compatible indeterminado. Son dos rectas coincidentes.

• Siα = –1, queda:

10

10

12

– –e o Sistema incompatible. Son dos rectas paralelas.

• Siα ≠ 1 y α ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son dos rectas secantes.

b)

a

x yx y zx y z

z 12 3 5 16

0

2 2 5

2 5

–– ––

– =+ =+ =

4 a

121

13

051

1160

–––

–f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

a

100

15

1

051

1181

–––

––+

f p

(1.ª)

(2.ª)

5 · (3.ª) – (2.ª)

a

100

15

5

050

11813

–– –f p

• Siα ≠ 0 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.• Siα = 0 → Sistema incompatible. Los planos se cortan dos a dos, pero no hay ningún punto

común a los tres.

21 Considera el siguiente sistema de ecuaciones:

xxx

yyy

zz

az25

36

4000

+++

+++

===

*a) Deduce para qué valores de a el sistema solo tiene la solución (0, 0, 0).

b) Resuelve el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones.

xxx

yyy

zz

az25

36

4000

+++

+++

===4

a

125

136

14

000

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 5 · (1.ª)

a

100

111

12

5

000–

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

a

100

110

12

7

000–

f p

a) Como el sistema es homogéneo, si a ≠ 7 solo tiene la solución trivial (0, 0, 0).b) Si a = 7 → el sistema es compatible indeterminado.

x y z

y z0

2 0+ + =

+ =4 z = λ y = –2λ x = λ

Soluciones: (λ, –2λ, λ)


32


22 Una tienda ha vendido 225 memorias USB de tres modelos diferentes, A, B, C, y ha ingresado un total de 10 500 €. La memoria A cuesta 50 €, y los modelos B y C son, respectivamente, un 10 % y un 40 % más baratos que el modelo A. La suma de las unidades vendidas de los modelos B y C es la mitad de las vendidas del modelo A. Calcula cuántas unidades se han vendido de cada modelo.

x = n.º de memorias vendidas del modelo A

y = n.º de memorias vendidas del modelo B

z = n.º de memorias vendidas del modelo C

, ,x y z

x y z

y z x

22550 0 9 50 0 6 50 10 500

2

· ·+ + =

+ + =

+ =4

x y zx y zx y z

22550 45 30 10 500

2 2 0– –

+ + =+ + =

=4

x y zx y zx y z

2252 2 0

10 9 6 2100–

+ + =+ + =+ + =

4

11

10

129

126

2250

2100–f p

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – 10 · (1.ª)

100

131

134

225225150– – –

f p

(1.ª)

(2.ª)

3 · (3.ª) + (2.ª)

100

130

139

225225225– –

f p → x y z

y zz

2257525

+ + =+ =

=*

Se han vendido 150 memorias del modelo A, 50 del modelo B y 25 del modelo C.

23 Un barco transporta 400 vehículos (coches, camiones y motos). Por cada 2 motos hay 5 camio-nes. Los coches representan las 9/7 partes de los otros vehículos. ¿Cuántos vehículos de cada tipo transporta el barco?

x = n.º de coches

y = n.º de camiones

z = n.º de motos

( )

x y z

z y

x y z

x y zy z

x y z

400

2 5

79

4002 5 0

7 9 9 0–

– –

+ + =

=

= +

+ + ===

4 4 107

129

159

40000–

––

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 7 · (1.ª)

100

1216

1516

4000

2 800––– –

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 8 · (2.ª)

100

120

1556

4000

2 800–– –

f p → x y z

y zz

4002 5 0

50–

+ + ===

*El barco transporta 225 coches, 125 camiones y 50 motos.


33


24 a) Halla un número de tres cifras tal que la suma de las centenas y las unidades con el doble de las decenas es 23; la diferencia entre el doble de las centenas y la suma de las decenas más las unidades es 9 y la media de las centenas y decenas más el doble de las unidades es 15.

b) ¿Es posible encontrar un número de tres cifras si cambiamos la tercera condición por “el triple de las centenas más las decenas es 25”?

a) El número buscado es xyz. El sistema que expresa las condiciones del problema es:

( )x y zx y z

x yz

2 232 9

22 15

–+ + =

+ =+

+ =4

x y zx y zx y z

2 232 9

4 30

121

211

114

23930

– – – –+ + =

=+ + =

f p4 (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

251

133

23377

––

– –f p

(1.ª)

(2.ª)

5 · (3.ª) – (2.ª)

100

250

13

18

233772

– – –f p → x y z

y zz

2 235 3 37

4– – –+ + =

==

* El número es 954.b) El sistema resultante es:

( )x y zx y zx y

2 232 93 25

–+ + =

+ =+ =

4 x y zx y zx y

2 232 93 25

– –+ + =

=+ =

4 123

211

110

23925

– –f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

100

255

133

233744

––

––

––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

100

250

130

23377

– – ––

f p Este sistema no tiene solución, luego no hay ningún número que verifique esas condiciones.

Página 50

25 Las toneladas de combustible consumidas en una fábrica en el turno de mañana son igual a m veces las toneladas consumidas en el turno de tarde.

Además, se sabe que el turno de tarde consume m toneladas menos que el turno de mañana.

a) Plantea y discute el problema en función de m.

b) ¿Es posible que el turno de mañana consuma el doble de combustible que el de tarde?

c) Si se supone que m = 2, ¿cuánto consume el turno de tarde?

x = n.º de toneladas de combustible consumidas en el turno de mañana.y = n.º de toneladas de combustible consumidas en el turno de tarde.a)

x myy x m

x myx y m

0–

––

==

==

4 4 m

m11 1

0––

e o (1.ª)

(2.ª) – (1.ª) m

m m10 1

0–– +

e o

• Sim ≠ 1, se pueden despejar todas las incógnitas, luego el problema tiene solución única.

( )x my

m y mx

mm y

mm0

1 1 1–

– – –2=

+ == =4

Solución: ,mm

mm

1 1– –2e o

• Sim = 1, la segunda ecuación sería 0y = 1, que es una expresión imposible, luego el sistema no tiene solución.

b) Sí, porque x = 2y para m = 2.

c) Si m = 2 → y = m

m1 2 1

2 2– –

= = . El turno de tarde consume 2 toneladas de combustible.


34


26 Una panadería utiliza tres ingredientes A, B y C para elaborar tres tipos de tarta.

La tarta T1 se hace con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C.

La tarta T2 lleva 4 unidades de A, 1 de B y 1 de C.

Y la T3, necesita 2 unidades de A, 1 de B y 2 de C.

Los precios de venta al público son 7,50 € la T1; 6,50 € la T2 y 7 € la T3.

Sabiendo que el beneficio que se obtiene con la venta de cada tarta es de 2 €, calcula cuánto le cuesta a la panadería cada unidad de A, B y C.

x = precio por unidad de A

y = precio por unidad de B

z = precio por unidad de C

,,

,,

x y zx y zx y z

2 2 5 504 4 502 2 5

142

211

212

5 504 50

5

+ + =+ + =+ + =

f p4 (1.ª)

(2.ª) – 4 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

,,

100

273

272

5 5017 50

6––

––

––

f p

(1.ª)

(2.ª)

7 · (3.ª) – 3 · (2.ª)

,,,

100

270

277

5 5017 5010 5

– – –f p → ,

,,

x y zy z

z

2 2 5 507 7 17 50

1 50– – –+ + =

==

*La unidad de A cuesta 0,50 €, la unidad de B cuesta 1 € y la unidad de C cuesta 1,50 €.

27 Tres comerciantes invierten en la compra de ordenadores de los modelos A, B y C de la siguiente forma:

El primero invierte 50 000 € en los de tipo A, 25 000 € en los de tipo B y 25 000 € en los de tipo C.

El segundo dedica 12 500 € a los de tipo A, 25 000 € a los de tipo B y 12 500 € a los de tipo C.

Y el tercero, 10 000 €, 10 000 € y 20 000 €, respectivamente, en los modelos A, B y C.

Después de venderlos todos, la rentabilidad que obtiene el primero es el 15 %, el segundo el 12 % y el tercero el 10 %. Determina la rentabilidad de cada uno de los modelos vendidos.

x = rentabilidad del modelo A

y = rentabilidad del modelo B

z = rentabilidad del modelo C

, ·, ·, ·

, ,x y zx y zx y z

x y zx y zx y z

50 000 25 000 25 000 0 15 100 00012 500 25 000 12 500 0 12 50 00010 000 10 000 20 000 0 10 40 000

50 25 25 1512 5 25 12 5 6

10 10 20 4

+ + =+ + =+ + =

+ + =+ + =+ + =

4 4

, ,50

12 510

252510

2512 520

1564

f p (1.ª)

50 · (2.ª) – 12,5 · (1.ª)

5 · (3.ª) – (1.ª)

, , ,5000

25937 5

25

25312 5

75

15112 5

5f p

(1.ª)

(3.ª)

25 · (2.ª) – 937,5 · (3.ª)

5000

25250

2575

62 500

155

1875– –f p →

,

x y zy z

z

50 25 25 1525 75 5

0 03

+ + =+ =

=*

La rentabilidad del modelo A es del 23 %, la rentabilidad del modelo B es del 11 % y la rentabilidad del modelo C es del 3 %.


35


28 La suma de las tres cifras de un número es 13. Si se intercambian la cifra de las unidades y la de las centenas, el número aumenta en 495. La cifra de las centenas excede en m unidades a la de las decenas.

a) Plantea un sistema de ecuaciones y razona para qué valores de m es compatible determinado.

b) ¿Qué valores puede tomar m para que el problema tenga solución? Calcula la solución para m = 4.

Número: xyz = 100x + 10y + z

Si intercambiamos unidades y centenas, el número es: zxy = 100z + 10y + x

a)

x y zz y x x y z

x y m

x y zx zx y m

x y zx zx y m

13100 10 100 10 495

1399 99 495

135–

––

–

+ + =+ + = + + +

= +

+ + =+ =

=

+ + =+ =

=4 4 4

m

111

101

110

135–

–f p

(1.ª)

(2.ª) + (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

m

100

112

121

1318

13– – –f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 2 · (2.ª)

m

100

110

123

1318

23– +f p →

x y zy z

z m

132 183 23–

+ + =+ =

= +*

El sistema es siempre compatible determinado porque se pueden despejar todas las incógnitas.

La solución sería: x = , ,m y m z m3

83

8 23

23–+ = = +

b) Como las cifras tienen que ser números naturales entre 0 y 9, debe verificarse que m ≤ 4 para que y > 0. Por tanto, los posibles valores de m serán:

m = 1, se obtienen números naturales → x = 3, y = 2, z = 8

m = 2 o m = 3, no se obtienen números naturales. No sirven.

m = 4, se obtienen números naturales → x = 4, y = 0, z = 9

Si m = 4, el número buscado es 409.

29 Nos cobran 200 € por dos chaquetas y una blusa. Si compramos una chaqueta y un pantalón y devolvemos la blusa, nos cobran 100 €.

¿Cuánto nos cobrarán por cinco chaquetas, un pantalón y una blusa?

x = precio de una chaqueta

y = precio de una blusa

z = precio de un pantalón

( )( )

x yx z y

y xz x y

2 200100

12

200 2100–

––

+ =+ =

== +4

Sustituyendo (1) en (2), z = 100 – x + 200 – 2x → z = 300 – 3x

Por tanto:

5x + z + y = 5x + 300 – 3x + 200 – 2x = 500 euros


36


30 Un país importa 21 000 vehículos de tres marcas, A, B y C, al precio de 10 000, 15 000 y 20 000 euros. El total de la importación es de 322 millones de euros. Se sabe que hay 21 000 vehículos contando los de la marca B y k veces los de la A.

a) Plantea un sistema con las condiciones del problema en función del número de vehículos de cada marca.

b) Resuelve el sistema en el caso k = 3.

c) Comprueba que el sistema no tiene solución en el caso k = 2.

a) x = n.º de vehículos de la marca A

y = n.º de vehículos de la marca B

z = n.º de vehículos de la marca C

x y z

x y zkx y

2100010 000 15 000 20 000 322 000 000

21000

+ + =+ + =

+ =*

b) Si k = 3:

x y zx y zx y

210002 3 4 64 4003 21000

+ + =+ + =+ =

4 123

131

140

2100064 40021000

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 3 · (1.ª)

100

112

123

2100022 40042 000– – –

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + 2 · (2.ª)

100

110

121

2100022 4002 800

f p →

→ 8 88 8

zy z y yx y z x x

2 8002 22 400 22 400 5 600 16 800

21000 21000 16 800 2 800 1 400–

– –

=+ = = =+ + = = =

* Se importaron 1 400 vehículos de la marca A, 16 800 de la marca B y 2 800 de la marca C.

c) Si k = 2:

122

131

140

2100064 40021000

f p (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

100

111

122

2100022 40021000– – –

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (2.ª)

100

110

120

2100022 4001 400


Cuestiones teóricas

31 ¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas y pon ejemplos.

a) A un sistema con dos ecuaciones y dos incógnitas que es compatible indeterminado, podemos añadirle una ecuación que lo transforme en incompatible.

b) Si S y S' son dos sistemas equivalentes con solución única que tienen iguales los términos inde-pendientes, entonces los coeficientes de las incógnitas también son iguales.

c) El sistema x y z ax y z a

22 4 2 2 12 2–

–+ =+ = +

* es incompatible cualquiera que sea el valor de a.

d) El sistema xx

yy

ab

3 2–+ =

=* es compatible indeterminado para cualesquiera valores de a y b.

e) A un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que es compatible determinado podemos aña-dirle una ecuación que lo transforme en compatible indeterminado.


37


a) Verdadero.

Tenemos el sistema:

x yx yz

22 2 4

––

==4 → Compatible indeterminado.

Le añadimos la ecuación: x – y = 3.

x yx yz

x y

22 2 4

3

––

–

==

=4 → Incompatible.

b) Falso. Los siguientes sistemas son equivalentes, tienen iguales los términos independientes y no tienen los mismos coeficientes en las incógnitas.

,8x yx y x y

31 2 1–

+ == = =4 ,8

yx x y

3 3

22 1

== =

1= 4

c) a

a12

24

12 2 1

–– +

e o (1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª) a1

020

10 1–e o

Verdadero. La última fila indica que el sistema siempre es incompatible.

d) ab

31

21–

e o (1.ª) – 3 · (2.ª)

(2.ª) a b

b01

51

3–

–e o → y a b

x y b5 3–

–==

4 x = ,a b y a b52

53–+ =

Falso. En todos los casos el sistema es compatible determinado.

e) Falso. Si añadimos una ecuación más, puede pasar que la ecuación sea incompatible con las anterio-res o que no aporte más información. En el primer caso, el sistema se transforma en incompatible y en el segundo, sigue siendo compatible determinado.

32 ¿Es posible convertir este sistema en compatible indeterminado cambiando un signo?

x y zx y zx y z

111

––

+ + =+ =

+ =*

Sí. Si cambiamos la 2.a ecuación por x + y + z = 1, o bien, si cambiamos la 3.a ecuación por x + y + z = 1, el sistema resultante será compatible indeterminado.

33 Define cuándo dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes. Justifica si son equivalentes o no los siguientes sistemas:

xx

yy

zz

24–

++

+ ==

* xyz

21

1–

===

*

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes cuando todas las soluciones del 1.er sistema lo son también del 2.°, y al revés.

Los dos sistemas dados no son equivalentes, puesto que el 1.° es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones) y el 2.° es determinado (solo tiene una solución).


38


34 Comprueba que la solución del sistema de ecuaciones

axx

yay

aa2 2

1––

++

==

* es (x, y) = ,aa

aa

12 1

12– –

+ ++c m si a ≠ ±1.

¿Podemos decir que el sistema es compatible indeterminado si a ≠ ±1?

Sustituimos la solución que nos dan en las ecuaciones:

a )

( ) ( ) ( )aa

aa

aa a a

aa

aa aa

12 1

12

12 2

12 1

12 1 1 2 2– – – – – – –

2 2

++

++ =

++ + =

+=

++ =

( ) ( )aa a

aa

aa a a

aa

aa a a

12 1

12

12 1 2

11

11 1 1– – – – – – –

2 2

+ ++ =

++ + =

+=

++ =+

No. El sistema es compatible determinado si a ≠ ±1.

Página 51

Para profundizar

35 ¿Para qué valor de a este sistema es incompatible?

( )

( )

xa x

x

y z

za z

12

32

0120

–

–

+ +

+

====

*• ¿Puedesercompatibleindeterminadoparaelvalora = 2?

•Resuélvelosia = 2.

• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, ¿puede ser compatible determinado?

Para estudiar la compatibilidad de este sistema, nos fijamos en la última ecuación. Si a ≠ 2, entonces z = 0. Y, por tanto, de la tercera ecuación se obtiene que x = 2. Pero de la segunda ecuación se deduce

que x = a 1

1–

. Igualando obtenemos:

8a

a1

1 223

–= =

En resumen, si a ≠ 2 y a ≠ 23 , el sistema es incomaptible. Y si a ≠ 2 y a =

23 , el sistema es com-

patible determinado.

• Sia = 2, la última ecuación no da información, luego se puede suprimir. El sistema queda:

x y zxx z

2 01

3 2

+ + ==

+ =*

Es un sistema escalonado, por tanto, compatible determinado. No puede ser compatible indetermi-nado.

•Resolvemoselsistemaanteriorparaa = 2:

x = 1, y = – 53

, z = 31

• Sia ≠ 1 y a ≠ 2, como ya hemos visto al principio, es un sistema compatible determinado solo en

el caso de a = 23 .


39


36 Discute estos sistemas en función de a y resuélvelos en el caso en que sean compatibles inde-terminados.

a) x y z ax y az ax ay z

a aa

a

12

1

2

2

–+ + =+ + =+ + =

* b) ax

xx

yay

z

z2

021–

–++

+

===

*a)

x y z ax y az ax ay z

a aa

a

12

1

2

2

–+ + =+ + =+ + =

4 a

aa

a121

11

1

1

1

1

–f p

(1.ª)

(2.ª) – 2 · (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

a

aaa

a

100

111

12

0

12

2––

––

––+f p

• Sia = 1, queda:

100

110

110

011

– –f p → Sistema incompatible.

• Sia = 2, queda:

100

111

100

100

–f p (1.ª)

(2.ª) + (3.ª)

(3.ª)

100

101

100

100

f p → Sistema compatible indeterminado.

Lo resolvemos en este caso:

8

l

x y zy

x z x zyz

10

1 10

–+ + ==

+ = ===

4 Soluciones: (1 – λ, 0, λ)• Sia ≠ 1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado.

b)

axxx

yay

z

z2

021–

–++

+

===4

aa2

1

1

0

101

021–

–f p

(3.ª)

(2.ª)

(1.ª)

a

a12

0

1

101

120

–

–f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) + (1.ª)

a

a12

1

0

1

100

121

–

–f p

(1.ª)

(2.ª)

–a · (3.ª) + (2.ª)

a a

aa

12

2

0

0

100

12

2

–

– –2 + +f p

–a 2 + a + 2 = 0 → a = ± ±2

1 1 82

1 3–

– –+ = aa

12–=

=

• Sia = –1, queda:

120

010

100

123

––f p → Sistema incompatible.

• Sia = 2, queda:

120

020

100

120

–f p

(1.ª)

(2.ª) : 2

(3.ª)

l

x zx y

z xy xx

110

010

100

110

11

11

– ––

+ =+ =

= +==

f p 4

Sistema compatible indeterminado. Soluciones: (λ, 1 – λ, 1 + λ)• Sia ≠ –1 y a ≠ 2 → Sistema compatible determinado.


40


37 Encuentra razonadamente dos valores del parámetro a para los cuales el siguiente sistema sea incompatible:

xax

xx

yy

zzz

az2

223

0123

+ ++ +

++

====

*x

axxx

yy

zzz

az2

223

0123

+ ++ +

++

====

4 a

a

1

12

1100

223

0123

f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª)

(4.ª)

a

a

11

12

1000

203

0123

–f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª)

(4.ª) – 2 · (3.ª)

a

a

11

10

1000

203

6

0121

–

– –

f pSi a = 1 o a = 6, el sistema es incompatible.

38 Resuelve el siguiente sistema:

xxxx

yyy

y

zz

zz

t

ttt

wwww

1716151414

+++

++

++

+

+++

++++

=====

* Si sumas las cinco igualdades, obtendrás otra con la que se te pueden simplificar mucho los cálculos.

xxxx

yyy

y

zz

zz

t

ttt

wwww

1716151414

+++

++

++

+

+++

++++

=====

4 Sumando las cinco igualdades, obtenemos:

4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 76, es decir: 4(x + y + z + t + w) = 76, o bien: x + y + z + t + w = 19

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 17 + w = 19 → w = 2

(x + y + z + w) + t = 16 + t = 19 → t = 3

(x + y + t + w) + z = 15 + z = 19 → z = 4

(x + z + t + w) + y = 14 + y = 19 → y = 5

(y + z + t + w) + x = 14 + x = 19 → x = 5

39 Una cuadrilla de cinco jardineros debía podar una plantación trabajando de lunes a viernes. Cada día, cuatro podaban y el otro les ayudaba.

Cada jardinero podó el mismo número de árboles cada día. Los resultados de la poda fueron:

— Lunes, 35 árboles podados. — Martes, 36.

— Miércoles, 38. — Jueves, 39

— Y el viernes no sabemos si fueron 36 o 38.

Calcula cuántos árboles diarios podó cada uno, sabiendo que fueron números enteros y que ninguno podó los cinco días.

Llamamos:w = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el lunes.t = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el martes.z = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el miércoles.y = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el jueves.x = n.° de árboles diarios que poda el jardinero que descansa el viernes.


41


x y z tx y z wx y t wx z t w

y z t w k

35363839

+ + + =+ + + =+ + + =

+ + + =+ + + =

4Sumando las cinco igualdades, obtenemos: 4x + 4y + 4z + 4t + 4w = 148 + k, es decir: 4(x + y + z + t + w) = 148 + k, o bien:

x + y + z + t + w = 37 + k4

Si x, y, z, t, w son números enteros, su suma también lo será; luego, k debe ser múltiplo de 4. Como nos dicen que vale 36 o 38, tenemos que ha de ser k = 36 (pues 38 no es múltiplo de 4).Resolvemoselsistema,ahoraquesabemosquek = 36:La suma de las cinco igualdades dará lugar a:

x + y + z + t + w = 37 + 436 = 37 + 9 = 46

Por tanto: (x + y + z + t) + w = 35 + w = 46 → w = 11 (x + y + z + w) + t = 36 + t = 46 → t = 10 (x + y + t + w) + z = 38 + z = 46 → z = 8 (x + z + t + w) + y = 39 + y = 46 → y = 7 (y + z + t + w) + x = 36 + x = 46 → x = 10Así, el jardinero que descansa el lunes poda 11 árboles; el que descansa el martes, 10; el que descansa el miércoles, 8; el que descansa el jueves, 7, y el que descansa el viernes, 10.


42


Autoevaluación

Página 51


a) xxx

yyy

23

623

011

0–

–

+

+

===

*

b) x y

y z2 5

3–

–==

*

a)

x yx yx y

2 6 03 2 11

3 0–

–

+ ==

+ =4 Sumando la 1.a fila con 3 veces la 2.a:

x yx y

2 6 09 6 33–

+ ==

11x = 33 → x = 3 → y = –1

Comprobamos en la 3.a ecuación:

–3 + 3(–1) ≠ 0

El sistema es incompatible. Son tres rectas que se cortan dos a dos.

b)

x yy z

2 53

––

==4 Hacemos y = λ:

l 8 l

l

x x

z

2 525

23–

= + = +

=*

El sistema es compatible indeterminado.

Solución: , ,l l l25

23–+ +d n

Representadosplanosquesecortanenunarecta.

2 La suma de las tres cifras de un número es 9. Si al número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198 y la suma de las cifras de las unidades y las centenas es el doble de las decenas. ¿Cuál es el número?

( )x y z

x y z z y xx z y

x y zx zx y z

x y zx zx y z

9100 10 100 10 198

2

999 99 198

2 0

92

2 0– –

––

–

+ + =+ + + + =

+ =

+ + ===

+ + ==

+ =+4 4 4

111

102

111

920–

–f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

113

120

979

––

– ––

f p → x y z

y zy

92 7

3 9– – –– –

+ + ===

*Sistema escalonado cuya solución es x = 4, y = 3, z = 2.

El número es el 432.


43


3 Discute este sistema y resuélvelo cuando sea posible:

x y zy z

x my zx m

2 32

3 7

33

+ + =+ =

+ + =+*

x y zy z

x my zx m

2 32

3 7

33

+ + =+ =

+ + =+ 4

m

10

21

113

3271

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

m

100

21

2

112

324–

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

m

100

21

4

110

320–

f p → ( )

x y zy z

m y

2 32

4 0–

+ + =+ =

=*

• Sim ≠ 4 → Sistema compatible determinado. Solución: (1, 0, 2)

• Sim = 4 → Sistema compatible indeterminado. Pasamos z al segundo miembro como parámetro:

ll

x yy

2 32

––

+ ==

*

Soluciones: (λ – 1, 2 – λ, λ)

4 Una persona ha obtenido 6 000 € de beneficio por invertir un total de 60 000 € en tres empresas: A, B y C. Lo invertido en A y B fue m veces lo invertido en C, y los beneficios fueron el 5 % en A, el 10 % en B y el 20 % en C.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa.

b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado, y resuélvelo para m = 5.

a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema:

, , , , , ,

xxx

yyy

z

zmz

xxx

yyy

zmz

z0 05 0 1 0 2

60 000

6 000 0 05 0 1 0 2

60 00006 000

–+++

+ ==

+ =

+++

+

+

===

4 4

b) , , ,

m11

0 05

11

0 1

1

0 2

60 0000

6 000–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 0,05 · (1.ª)

, ,

m100

10

0 05

11

0 15

60 00060 0003 000

– – –f p• Sim = –1 → El sistema es incompatible.

• Sim ≠ –1 → El sistema es compatible determinado.

Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.

Para m = 5 la solución es la siguiente: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.


44


5 Sean las ecuaciones: x y zx y z

3 2 52 3 4

–– –

+ =+ =

* .

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.

b) Añade una ecuación para que sea compatible determinado.

c) Añade una ecuación para que sea compatible indeterminado.

Justifica en cada caso el procedimiento seguido.

a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma: a(3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k, con k ≠ 5a – 4b Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda: 3x – 2y + z = 1 Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:

x y zx y z

y

x zx z

y

xyz

3 2 52 3 4

0

3 52 4

0

9022

–– – –

–

+ =+ =

=

+ =+ =

=

===

4 4 4 Compatible determinado

c) El sistema será compatible indeterminado si añadimos una ecuación proporcional a una de las exis-tentes. Por ejemplo, añadimos la 2.ª ecuación multiplicada por (–1):

x y zx y zx y z

3 2 52 3 42 3 4

–– –

– –

+ =+ =

+ =4

6 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

( )

xxx

yay

a y

zzz2

2

2

336

123

+++

++

+ +

===

*a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.

b) Discute si existe algún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.

c) Resuelve el sistema para a = 0.

( )

xxx

yay

a y

zzz2

2

2

336

123

+++

++

+ +

===4

( )a

a

112

2

2

336

123+

f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

aa

100

222

300

111

––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

a100

22

0

300

110

–f p

a) Si a = 2, la 2.a ecuación no tiene solución: 0y = 1. El sistema es incompatible.b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado, porque la 3.a ecuación

se puede suprimir (0x + 0y + 0z = 0) y el sistema queda con dos ecuaciones y tres incógnitas.c) Si a = 0, queda:

/

8l

x y zy

yx z x zz

2 3 12 1

1 21 3 1 2 3

–

–– –

+ + ==

=+ = =

=4

Soluciones: , ,l l2 321– –d n


45


7 Discute este sistema según los valores de a. Interprétalo geométricamente:

axxx

yy

ay

zzz

4 01 01 0–

–

–

++

+++

+===

*axxx

yy

ay

zzz

4 01 01 0–

–

–

++

+++

+===4

ax y zx y zx ay z

41

1–

–

+ + =+ + =

+ =4

a

a11

11

111

411––f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

aa

1

1

11

111

141–

–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

aa

11

0

10

1

100

152

–– –

–f p

• Sia = 1, queda:

100

102

100

152–

–f p → Sistema incompatible.

Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.• Sia = –1, queda:

120

100

100

152

––

f p → Sistema incompatible.

Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.• Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.


42


Autoevaluación

Página 51


a) xxx

yyy

23

623

011

0–

–

+

+

===

*

b) x y

y z2 5

3–

–==

*

a)

x yx yx y

2 6 03 2 11

3 0–

–

+ ==

+ =4 Sumando la 1.a fila con 3 veces la 2.a:

x yx y

2 6 09 6 33–

+ ==

11x = 33 → x = 3 → y = –1

Comprobamos en la 3.a ecuación:

–3 + 3(–1) ≠ 0

El sistema es incompatible. Son tres rectas que se cortan dos a dos.

b)

x yy z

2 53

––

==4 Hacemos y = λ:

l 8 l

l

x x

z

2 525

23–

= + = +

=*

El sistema es compatible indeterminado.

Solución: , ,l l l25

23–+ +d n

Representadosplanosquesecortanenunarecta.

2 La suma de las tres cifras de un número es 9. Si al número se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es 198 y la suma de las cifras de las unidades y las centenas es el doble de las decenas. ¿Cuál es el número?

( )x y z

x y z z y xx z y

x y zx zx y z

x y zx zx y z

9100 10 100 10 198

2

999 99 198

2 0

92

2 0– –

––

–

+ + =+ + + + =

+ =

+ + ===

+ + ==

+ =+4 4 4

111

102

111

920–

–f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

100

113

120

979

––

– ––

f p → x y z

y zy

92 7

3 9– – –– –

+ + ===

*Sistema escalonado cuya solución es x = 4, y = 3, z = 2.

El número es el 432.


43


3 Discute este sistema y resuélvelo cuando sea posible:

x y zy z

x my zx m

2 32

3 7

33

+ + =+ =

+ + =+*

x y zy z

x my zx m

2 32

3 7

33

+ + =+ =

+ + =+ 4

m

10

21

113

3271

f p (1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (1.ª)

m

100

21

2

112

324–

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – 2 · (2.ª)

m

100

21

4

110

320–

f p → ( )

x y zy z

m y

2 32

4 0–

+ + =+ =

=*

• Sim ≠ 4 → Sistema compatible determinado. Solución: (1, 0, 2)

• Sim = 4 → Sistema compatible indeterminado. Pasamos z al segundo miembro como parámetro:

ll

x yy

2 32

––

+ ==

*

Soluciones: (λ – 1, 2 – λ, λ)

4 Una persona ha obtenido 6 000 € de beneficio por invertir un total de 60 000 € en tres empresas: A, B y C. Lo invertido en A y B fue m veces lo invertido en C, y los beneficios fueron el 5 % en A, el 10 % en B y el 20 % en C.

a) Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar la cantidad invertida en cada empresa.

b) Prueba que si m > 0, el sistema es compatible determinado, y resuélvelo para m = 5.

a) Sean x, y, z las cantidades invertidas en A, B y C, respectivamente. Planteamos el sistema:

, , , , , ,

xxx

yyy

z

zmz

xxx

yyy

zmz

z0 05 0 1 0 2

60 000

6 000 0 05 0 1 0 2

60 00006 000

–+++

+ ==

+ =

+++

+

+

===

4 4

b) , , ,

m11

0 05

11

0 1

1

0 2

60 0000

6 000–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 0,05 · (1.ª)

, ,

m100

10

0 05

11

0 15

60 00060 0003 000

– – –f p• Sim = –1 → El sistema es incompatible.

• Sim ≠ –1 → El sistema es compatible determinado.

Por tanto, si m > 0, el sistema es compatible determinado.

Para m = 5 la solución es la siguiente: x = 20 000 €, y = 30 000 €, z = 10 000 €.


44


5 Sean las ecuaciones: x y zx y z

3 2 52 3 4

–– –

+ =+ =

* .

a) Añade una ecuación para que el sistema sea incompatible.

b) Añade una ecuación para que sea compatible determinado.

c) Añade una ecuación para que sea compatible indeterminado.

Justifica en cada caso el procedimiento seguido.

a) Para que sea incompatible, la ecuación que añadamos ha de ser de la forma: a(3x – 2y + z) + b (2x – 3y + z) = k, con k ≠ 5a – 4b Si tomamos, por ejemplo, a = 1, b = 0, k = 1, queda: 3x – 2y + z = 1 Añadiendo esta ecuación, el sistema sería incompatible.b) Por ejemplo, añadiendo y = 0, queda:

x y zx y z

y

x zx z

y

xyz

3 2 52 3 4

0

3 52 4

0

9022

–– – –

–

+ =+ =

=

+ =+ =

=

===

4 4 4 Compatible determinado

c) El sistema será compatible indeterminado si añadimos una ecuación proporcional a una de las exis-tentes. Por ejemplo, añadimos la 2.ª ecuación multiplicada por (–1):

x y zx y zx y z

3 2 52 3 42 3 4

–– –

– –

+ =+ =

+ =4

6 Se considera el sistema de ecuaciones lineales:

( )

xxx

yay

a y

zzz2

2

2

336

123

+++

++

+ +

===

*a) Encuentra un valor de a para el cual el sistema sea incompatible.

b) Discute si existe algún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado.

c) Resuelve el sistema para a = 0.

( )

xxx

yay

a y

zzz2

2

2

336

123

+++

++

+ +

===4

( )a

a

112

2

2

336

123+

f p (1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – 2 · (1.ª)

aa

100

222

300

111

––

f p

(1.ª)

(2.ª)

(3.ª) – (2.ª)

a100

22

0

300

110

–f p

a) Si a = 2, la 2.a ecuación no tiene solución: 0y = 1. El sistema es incompatible.b) No existe ningún valor de a para el cual el sistema sea compatible determinado, porque la 3.a ecuación

se puede suprimir (0x + 0y + 0z = 0) y el sistema queda con dos ecuaciones y tres incógnitas.c) Si a = 0, queda:

/

8l

x y zy

yx z x zz

2 3 12 1

1 21 3 1 2 3

–

–– –

+ + ==

=+ = =

=4

Soluciones: , ,l l2 321– –d n


45


7 Discute este sistema según los valores de a. Interprétalo geométricamente:

axxx

yy

ay

zzz

4 01 01 0–

–

–

++

+++

+===

*axxx

yy

ay

zzz

4 01 01 0–

–

–

++

+++

+===4

ax y zx y zx ay z

41

1–

–

+ + =+ + =

+ =4

a

a11

11

111

411––f p

(2.ª)

(1.ª)

(3.ª)

aa

1

1

11

111

141–

–f p

(1.ª)

(2.ª) – (1.ª)

(3.ª) – (1.ª)

aa

11

0

10

1

100

152

–– –

–f p

• Sia = 1, queda:

100

102

100

152–

–f p → Sistema incompatible.

Los dos primeros planos son paralelos y el tercero los corta.• Sia = –1, queda:

120

100

100

152

––

f p → Sistema incompatible.

Los dos últimos planos son paralelos y el primero los corta.• Sia ≠ 1 y a ≠ –1 → Sistema compatible determinado. Son tres planos que se cortan en un punto.

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