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Recordemos que los números naturales N son los utilizados para contar, enumerar, etc. Los Enteros Z, son un conjunto más extenso cuyo nombre significa completos, este conjunto incluye a los números opuestos a los naturales no nulos. Los Racionales Q, compuestos de fracciones p/q, donde p y q son enteros y q distinto de cero, los cuales representan decimales finitos o aquellos que contengan cifras que se repiten indefinidamente (periódicos). Por último, tenemos a los Irracionales I, que representan decimales cuya expansión no repite indefinidamente el mismo bloque de números (No periódicos). Ej. √2 y π. De manera que, el conjunto de los números reales es el que contiene tanto a los racionales como a los irracionales.

El conjunto de los números reales además es denso y continuo, es decir, que entre dos números reales cualesquiera existen infinitos números reales y al llevarlos sobre la recta se completan.

R

Racionales (Q)

Enteros (Z)

Naturales (N)

Irracionales

(I)

Ningún número real puede ser a su vez racional e irracional

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Números naturales

Los números naturales se utilizan para contar los elementos de un conjunto (número

cardinal). O para expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto

(ordinal).

Propiedades de la suma

1.Interna: a + b

2. Asociativa: (a + b) + c = a + (b + c)

3.Conmutativa: a + b = b + a

4. Elemento neutro: a + 0 = a

Propiedades de la resta

1. No es una operación interna: 2 − 5

2. No es Conmutativa: 5 − 2 ≠ 2 − 5

Propiedades de la multiplicación

1.

Interna: a · b

2. Asociativa: (a · b) · c = a · (b · c)

3. Conmutativa: a · b = b · a

4. Elemento neutro: a · 1 = a

5. Distributiva: a · (b + c) = a · b + a ·

c

6. Sacar factor común: a · b + a · c = a

· (b + c)

Con los números imaginarios cambia por completo la faz de las

matemáticas y aumentó enormemente su potencial. El nuevo número

descubierto era la raíz cuadrada de menos 1 (√-1), lo que por

mucho tiempo había parecido imposible, ya que el cuadrado de

cualquier número siempre era positivo. Por lo tanto, se creía que

los números negativos no podían tener raíces cuadradas. Hoy en día

este número se introduce en términos de la ecuación cuadrática

x2 + 1 = 0.

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Propiedades de la división

1.División exacta: D = d · c

2. División entera : D = d · c + r

3. No es una operación interna: 2 : 6

4. No es Conmutativo: 6 : 2 ≠ 2 : 6

5. Cero dividido entre cualquier número da cero. 0 : 5 =0

6. No se puede dividir por 0.

Propiedades de las potencias

1. a0 = 1

2. a1 = a

3. Producto de potencias con la misma base: am · a n = am+n

4. Cociente de potencias con la misma base: am : a n = am – n con a no nulo

5. Potencia de una potencia: (am)n = am · n

6. Producto de potencias con el mismo exponente: an · b n = (a · b) n

7. Cociente de potencias con el mismo exponente: an : bn = (a : b)n con b no nulo

Cotas, Extremos, Máximos y Mínimos.

Definición: Sea C , C , k es cota superior de C kxCx , .

k es cota inferior de C kxCx , .

Definición: Sea C , C ,

e es extremo superior, supremo o cota superior mínima de C

kkke

Cxxe

/,

,.

e es extremo inferior, ínfimo o cota inferior máxima de C

kkke

Cxxe

/,

,.

Definición: m es máximo de C Cm y m es extremo superior de C .

m es mínimo de C Cm y m es extremo inferior de C .

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Definiciones: Si C tiene k C acotado superiormente.

Si C tiene k C acotado inferiormente.

Si C tiene k y k C acotado.

C = { kk / es cota superior de C } se llama mayorante de C .

C = { kk / es cota inferior de C } se llama minorante de C .

Teorema: a) Si C tiene e e es único.

b) Si C tiene e e es único.

Intervalos y entornos

Intervalo abierto: El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales

comprendidos entre a y b:

b<x<a|x=ba,

Intervalo cerrado: El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales

comprendidos entre a y b, incluyendo a a y a b:

bxa|x=ba,

Intervalo semiabierto o semicerrado:

bx<a|x=b](a,

b<xa|x=b)[a,

Entorno simétrico:

r+a<x<ra|x=

=r<ax|x=

=r+ar,a=ra,E

Entorno reducido:

ara,E=ra,E

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Entorno lateral a la izquierda:

ar,a=ra,E

Entorno lateral a la derecha:

r+aa,=ra,E +

Ejercicios:

1) Estudiar la acotación (cotas, supremo, ínfimo, máximo y mínimo) de los siguientes

conjuntos:

a) 83,

b) 62x |Nx

c) 62 x|Nx

d)

Nn|n

=A1

2) Escribe como intervalo a los siguientes entornos a) E(3,2)

b) E(10,5)

c) E*(4,3)

d) E+(6,2)

e) E-(3,2)

DEDUCCIÓN E INDUCCIÓN

Cuando emitimos una afirmación o proposición podemos intentar

clasificarla en el conjunto de las proposiciones generales, en donde interviene una afirmación del tipo de “para todo elemento de ...”, o

bien en el conjunto de las proposiciones particulares en donde la afirmación se refiere “al elemento tal de ...”.

De la certeza de una proposición general se puede pasar a la certeza

de las correspondientes proposiciones particulares, y, al revés, de la

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certeza de una o varias proposiciones particulares se puede pasar a la

certeza de la correspondiente proposición general o generalización.

El paso de un tipo de proposición a otra requiere un proceso de

razonamiento lógico que en general se denomina deducción si se trata del paso de una proposición general a una o más proposiciones

particulares, o inducción, cuando realizamos el paso de una o varias proposiciones particulares a una proposición general.

Si decimos que “todos los números enteros pares son divisibles por 2”

estamos exponiendo una proposición general, de la que es particularización, por ejemplo, la proposición “el número 246 es

divisible por 2”.

El proceso por el cual, conocida la verificación de la proposición general, inferimos que se verifica la proposición particular

correspondiente, es lo que entendemos por deducción o proceso deductivo.

Por otra parte, cuando desde la verificación de una o varias proposiciones particulares inferimos que se verifica una proposición

general que las engloba, entendemos que estamos realizando un proceso de inducción o proceso inductivo.

Si, por ejemplo, aceptamos como cierta la proposición general de que

“todos los suecos son rubios”, la veracidad de la afirmación correspondiente a la particularización: “Gustav es sueco y por

consiguiente rubio” es un proceso de deducción. Evidentemente, la certeza depende de que sea cierta la proposición general de la que se

ha partido.

En cambio, el proceso contrario, en el que partiríamos de la veracidad de la afirmación “Gustav es sueco y rubio” no nos permitiría afirmar la

veracidad de la proposición general “Todos los suecos son rubios”. Ni

tampoco negarla.

En general, pues, el proceso de inducción, por el que pasamos de una o varias afirmaciones particulares a una afirmación generalizadora, no

es tan sencillo. ¿Cómo podríamos realizarlo de una forma segura?.

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LOS CONJUNTOS INDUCTIVOS:

Peano (Giuseppe Peano, Cuneo-Piamonte, 1858 – Turín, 1932) introdujo los números naturales mediante un sencillo teorema

consistente en cinco afirmaciones denominadas Postulado de Peano o Axiomas de Peano para los números naturales, que permiten, pues,

estructurar algébricamente el conjunto N. Así, puede definirse el conjunto N como un conjunto que verifica las siguientes condiciones

axiomáticas:

1) Existe al menos un número natural, que llamaremos cero y designaremos por 0.

N0

2) Existe una aplicación NNs : llamada aplicación siguiente

que aplica todo elemento n de N en otro elemento n* de

N, llamado sucesor o siguiente de n.

NnnsNnNNs *)(,/:

3) El cero no es sucesor de ningún otro elemento de N.

0*)(, nnsNn

4) Dos elementos de N distintos no tienen igual sucesor, o sea, la aplicación siguiente es inyectiva.

')'()(,', nnnsnsNnn

5) Todo subconjunto N’ de N, para el cual se verifique que

contenga al cero, y que el sucesor de cualquier elemento

de N’ está en N’, coincide con N. (Axioma de la Inducción Completa).

NNNaNaNNN ''*''0'

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EL METODO DE INDUCCIÓN:

La última afirmación del Teorema Peano, también llamada Axioma de

la Inducción Completa permite probar resultados con los números

naturales generalizando situaciones particulares.

Si, en efecto, logramos evidenciar que una propiedad que se verifica para un número natural n se verifica también para su sucesor, s(n),

cualquiera que sea n, entonces podemos afirmar que tal propiedad se verifica desde e incluyendo n hasta el infinito. Si sabemos, además,

que se verifica para el cero, el primero de los números naturales, que no es sucesor de ningún otro, entonces hay que concluir que la

propiedad se verifica en todo N. Es decir, para probar que algo, una propiedad, se cumple en todos los números naturales, basta

comprobar primero que se cumple para el 0, y, a continuación, suponer que se cumple para un natural n, y, desde aquí, deducir que se ha de

cumplir para el natural siguiente, n+1.

Una técnica muy sencilla consiste en definir un conjunto N’,

subconjunto de N, formado por los elementos que verifican la propiedad a demostrar. Si logramos demostrar que para cualquier

elemento aN’ se cumple que su sucesor s(a)N’, y que el cero, 0N’,

es decir, se cumple (en el argot del sistema N-B-G-Q) que N’ es

inductivo, entonces habrá de concluirse que se verifica la propiedad en todo N, esto es, que N’ = N

El método, en definitiva, consta de dos partes o teoremas parciales:

Teorema 1, o base de la demostración: es la demostración deductiva

de que la proposición se verifica para algún número natural dado a:

Proposición---- f(a) cierta

Teorema 2, o paso de inducción, que es la demostración, de carácter

también deductivo, de que si la proposición se supone cierta para un número natural n, también ha de ser cierta para el número sucesor de

n, es decir, para el número n + 1.

Proposición ---- f(n) cierta f(n+1) cierta

De lo cual se infiere que la proposición es cierta para el número natural a y para todos los números naturales siguientes al número a, es decir

es cierta para el conjunto de los números naturales [a, ).

Evidentemente, si a es el primero de los números naturales, la

proposición será cierta para todo el conjunto N.

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Ambos pasos parciales son, en último término, procesos deductivos,

por lo que cabría decir que, realmente, el método de inducción matemática es, en realidad, un proceso de deducción.

En realidad, el nombre que le damos de “inducción matemática” se debe simplemente a que lo asociamos en nuestra consciencia con los

razonamientos inductivos basados en las experiencias de verosimilitud de las ciencias naturales y sociales, a pesar de que el paso inductivo

de la demostración es una proposición general que se demuestra como un riguroso proceso deductivo, sin necesidad de ninguna hipótesis

particular. Es por esto por lo que también se le denomina “inducción perfecta” o “inducción completa”.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN DEL MÉTODO:

Demostración de que la suma de los n primeros números

naturales viene dada por la expresión 2

)1( nn , o sea:

2

)1(...321

nnn Suma de Gauss

Proceso:

Teorema 1(base inductiva):

Para n=1: 12

)11(11

, se verifica

Para n=2: 32

6

2

)12.(221

, se verifica

Teorema 2 (paso inductivo):

Sea cierta la expresión para n = k: 2

)1(...321

kkk ,

a este enunciado le decimos HIPOTESIS (H) Y veamos que, entonces, ha de ser cierta para n = k+1:

A este enunciado le decimos TESIS (T)

2

)2)(1(1...210

kkkk

Demostracion (Dmt):

2

)2)(1(

2

)1(2)1(1

2

)1()1(...321

kkkkkk

kkkk

Verificamos la veracidad de la T, partiendo de que la H es cierta

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Ejercicios:

1) Demostrar por inducción completa que: a) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛. (𝑛 + 1)

para todo n, n natural no nulo

b) 1.3 + 2.4 + 3.5 + 4.6 + ⋯ + 𝑛. (𝑛 + 2) =𝑛.(𝑛+1).(2𝑛+7)

6 ∀𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁

c) 𝑛. (𝑛 + 1). (𝑛 + 2) = 6̇ ∀𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁+

d) 1 + 4 + 9 + 16 +25 + ….. +n2= 𝑛.(𝑛+1).(2𝑛+1)

6

e) 1+8+27+64+….+ n3=𝑛2(𝑛+1)2

4

2) Hallar el primer natural n0 que verifica las siguientes desigualdades,

luego demostrar su validez para todo n, n natural mayor o igual a n0

a) 𝑛2 − 4𝑛 ≥ 6

b) −𝑛2 + 4𝑛 < 0

SUMATORIAS

EL símbolo

n

k

ka1

es una representación concisa de la suma de términos

naaaa ...321 es decir: n

n

k

k aaaaa

...321

1

Esto se llama notación de la suma y se lee “la suma de términos de la forma ka desde

k=1 hasta n términos”. El termino k se conoce como el índice de la suma, y toma todos

los valores desde 1 hasta n. Al símbolo se le llama sigma y es una letra griega

equivalente a la S nuestra.

Ejemplos:

n

k

n

n

k

k

K

k

aaaaaa

k

k

1

1

4321

1

20

1

22224

1

2

1...1)3

61...10741203...133123113)13()2

4321)1

Observación: el índice de la sumatoria es arbitrario, pero las letras utilizadas mas

usualmente son la k, la i y la j.

En algunas ocasiones de la sumatoria se tienen claro los términos pero no el termino

general por lo que se hace necesario encontrarlo para poder expresar la suma como una

sumatoria.

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256

1...

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

1

1

Esta sumatoria podría quedar expresada como sumatoria si se tiene claro cuál es la

expresión que representa a todos los valores de la misma, es decir el termino general.

En este caso en particular seria k2

1 luego se tiene la sumatoria

256

1...

32

1

16

1

8

1

4

1

2

1

1

1

2

18

1

k

k

Propiedades de las sumatorias

1)

n

k

k

n

k

k

n

k

kk baba111

2)

n

k

k

n

k

k acac11

3) cncn

k

1

4) 11

1

1 aaaa n

n

k

kk

(propiedad telescópica)

5) 2

)1(

1

nnk

n

k

6) 6

)12)(1(

1

2

nnnk

n

k

7)

23

1 2

)1(

nnk

n

k

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Ejemplos:

Calcular la suma de términos

1)

674360

1604200172206615002082

212020

6

4121206

2

212015

820615820615)43)(25(

2

20

1

20

1

20

1

220

1

20

1

32320

1

2

kkkk kk

kkkkkkkk

2)

15228360024002550010302000162562500

50482

515020

6

1015150240

2

5150100

48202401004820240100)125)(420(

2

50

1

50

1

50

1

250

1

50

1

32350

1

2

kkkk kk

kkkkkkkk

3) Calcular la suma de los términos 101...171395

En este caso se observa que los términos van de 4 en 4 por lo que son de la forma

4k + o - algo. (recordemos que los múltiplos de 4 como 4, 8, 12, 16, 20… son de la forma

4k de manera exacta por lo que esta suma de términos solo debe estar desplazada en una

cantidad entera). Como comienza en 5 debe ser de la forma (4k + 1)

Todos los términos de esta sumatoria tienen la forma escrita anteriormente incluido el

ultimo termino, es decir en algún momento

25

1004

10114

k

k

dondedek

Luego se tiene la sumatoria

13251252

26254101...171395

1414101...17139525

1

25

1

25

1

decires

kkk kk

4) Calcular la suma de los términos 297199...211515119733

Se tiene que los primeros elementos de cada termino van de 4 en 4, luego son de la forma

desplazada de los múltiplos de 4. Los segundos elementos de cada uno de los términos

van de 6 en 6 luego son de la forma desplazada de los múltiplos de 6.

Como el primer elemento del primer tipo de factores de cada termino es 3 quiere decir

que su forma general es (4k - 1), y el primer elemento del segundo tipo de factores de

cada termino es 3 quiere decir que su forma general es (6k - 3).

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Por otro lado la forma 4k -1 es para cualquier primer factor de cada termino en particular

también para el ultimo por lo que:

50

2004

199)14(

k

k

k

Si se hubiese elegido la forma 6k – 3 quedaría la igualdad

50

3006

297)36(

k

k

k

Es decir de cualquier forma la cantidad de términos es 50.

Luego la forma de la sumatoria es:

1053300

1502295010302005032

515018

6

101515024

31824)31824(

3614297199...211515119733

50

1

50

1

50

1

250

1

2

50

1

kkkk

k

kkkk

kk

5) Calcular la suma de términos 16778...232214157821

En este caso se tiene que el primer factor de cada termino va de 7 en 7, luego es alguna

expresión desplazada de los múltiplos de 7. Como comienza en 1 debe ser de la forma

(7k – 6). Hasta en el ultimo termino hay uno de esa forma que vale 78. Luego se cumple

que:

12

847

78)67(

k

k

k

El segundo factor no tiene una diferencia constante por lo que no debe ser un factor lineal.

Debe ser, entonces, un factor cuadrático o uno cubico. Por la forma en que crecen los

términos debe ser un factor cuadrático. Si seguimos la lógica

169...2516941

167...231472

cuadradoslosconncomparacioen

Notamos un desplazamiento de un lugar, además de una resta de 2 unidades en cada caso,

luego este factor cuadrático debe tener la forma

(k + 1)2 – 2 = k2 + 2k + 1 – 2 = k2 + 2k – 1

Como estos factores terminan en el valor 167 se tiene la igualdad

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positivovalorelsirvesoloPero

kok

luegokk

kk

kk

1214

0)12)(14(

01682

167)12(

2

2

Luego k =12, lo que nos indica que efectivamente hay 12 términos en esta sumatoria

46378721482520042588

1262

131219

6

2513128

2

13127

6198761987

126716778...232214157821

2

12

1

12

1

12

1

212

1

32312

1

12

1

2

kkkkk

k

kkkkkk

kkk

6) Calcular la sumatoria doble

976502104652

2120465465

2

3130)()(

20

1

20

1

30

1

20

1

30

1

20

1

i

ijiji

i

ijiij

7) Calcular la sumatoria doble

3200102102

11102021020

210202

212020

10

1

10

1

10

1

10

1

10

1

20

1

20

1

10

1

20

1

ii

i ii jji j

i

iijiji