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ISIS1206 – Estructuras de Datos

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NIVEL 17: ESTRUCTURAS NO LINEALES

Grafos, definiciones y tipos de problemas

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Agenda• ¿Qué son?

• Formalismo abstracto de los grafos dirigido

• Conceptos

• Ejemplo: Red de distribución de agua

• Caminos y Ciclos

• Cadenas

• Tipos de grafos

• Del análisis al diseño

• Trabajo sobre un caso

• Implementación en Cupi2Collections

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¿Qué son?

• Los grafos:

• Son estructuras de datos más generales que los árboles.

• Permiten modelar relaciones no necesariamente jerárquicas entre elementos de un conjunto.

• Se utilizan para representar mapas de rutas, organización de procesos, espacios de búsqueda para juegos, circuitos lógicos, etc.

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¿Qué son?

• Ejemplos de grafos

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Vértices: elementos del conjunto

Arcos: relaciones entre los elementos del conjunto





• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Formalismo abstracto de un grafo dirigido• G = ( V, A )

• V = { v1, …, vn }• V: Conjunto de vértices

• A: Conjunto de arcos

• Un arco es una tripleta de la forma:• ( vi, vk, cik )

• Establece: • Una relación entre los vértices vi y vk de V

• Un sentido de la relación (vi vk)

• Un valor o peso asociado (cik )

• Puede tener una información asociada

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Formalismo abstracto de un grafo dirigido

• Gráficamente, un arco es:

• A = { ( x, y, c ) | x, y V, x y, x e y están relacionados con un valor c }

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cikVi Vk



Formalismo abstracto de un grafo dirigido

• Ejemplo : Camión repartidor• Un camión repartidor debe visitar diferentes

puntos de la ciudad para dejar su producto.

• Ciudad = grafo• Vértices = puntos de la ciudad

• Arcos = tiempo que toma ir de un punto a otro

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3min5min

6min

5min

10min

7min2min

1min

9min

12min

3min



Conceptos

• Sucesor y Predecesor:

• Se dice que un vértice B es sucesor de un vértice A si existe un arco entre A y B talque A es el vértice origen y B el vértice destino. En éste mismo caso se dice que A es un predecesor de B.

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cA B





• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Conceptos

• Cada vértice Vi del grafo tiene asociados dos valores:

• Identificador: lo distingue como elemento único de V.

• Información asociada con el elemento

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Conceptos

• Restricción en un grafo dirigido:

• No puede haber más de un arco entre cualquier par de vértices en cada uno de los dos sentidos.

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vi vk

cik

cki

vi vk

cik

cki



Conceptos

• Orden de un grafo:

• Número de elementos = Cardinalidad del conjunto de vértices.

• Grafo vacío:

• Grafo de orden cero.

• Fuente:

• Vértice que no tiene predecesores.

• Sumidero:

• Vértice que no tiene sucesores.

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• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Ejemplo: Red de distribución de agua

• Modelar una red de distribución de agua entre N ciudades de una región.

• Cada ciudad tiene:

• Nombre

• Capacidad máxima de almacenamiento

• Estado actual

• Cada tubo tiene:

• Capacidad de transporte por minuto

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Modelo del grafo

• V = { v1, …, vn | vi es una ciudad}

• A = { ( x, y, c ) | hay un tubo entre x e y, con capacidad de transporte por minuto c }

• vi = [idCiudadi, infoCiudadi]

• infoCiudadi = [nombrei, capacidadi, actuali]

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• Representación Gráfica:

• El orden del grafo es 5

• No hay fuentes ni sumideros

• Los sucesores de v1

son v2 y v5 y su único predecesor es v4.

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ciudad1100.00080.000

ciudad32.0002.000

ciudad53.0002.000

ciudad25.0001.000

ciudad4500200

v1 v2

v3v4v5

50

55

10105

3




• Información asociada:

• G = ( V, A )

• V = { v1, v2 , v3 , v4 , v5 }

• A = { (v1, v2 , 50 ), (v2, v3 , 5 ), (v3, v2 , 5 ), (v4, v2 , 10 ), (v4, v1 , 10 ), (v5, v4 , 3 ), (v1, v5 , 5 ) }

• V1 = [ idv1, infov1 ]

• infov1=[“ciudad1”, 100.000, 80.000]

• V2 = [ idv2, infov2 ]

• infov2=[“ciudad3”, 2.000, 2.000]

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• Información asociada:

• V3 = [ idv3, infov3 ]

• infov3=[“ciudad4”, 500, 200]

• V4 = [ idv4, infov4 ]

• infov4=[“ciudad2”, 5.000, 1.000]

• V5 = [ idv5, infov5 ]

• infov5=[“ciudad5”, 3.000, 2.000]

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• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Caminos y Ciclos

• Camino entre un vértice v1 y un vértice v2:

• Secuencia de vértices <x1, …, xn>, con las siguientes características:

• xi V, 1 <= i <= n

• x1 = v1, xn = v2

• xi xi+1, 1 <= i <= n

• v1 = origen

• V2 = destino

• El camino pasa por los vértices x2, …, xn-1

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Caminos y Ciclos

• Longitud = n-1

• Existe camino de longitud 0: parte de cualquier vértice y termina en él mismo.

• Existen caminos infinitos: repiten un ciclo indefinidamente

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Caminos y Ciclos

• Camino simple:

• Todos los vértices por los cuales pasa son diferentes entre sí y diferentes del origen y del destino.

• Puede comenzar y terminar en el mismo vértice, pero NO puede pasar dos veces por un mismo vértice.

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V

c

Vértice con caminos < v, v > y < v >



Caminos y Ciclos

• Costo de un camino C:

• Suma de los valores asociados con los arcos que lo componen.

• Si los arcos tienen un valor asociado 1:

• Costo = Longitud

• Ciclo simple:

• Camino simple, de longitud mayor o igual a 1, que comienza y termina en el mismo vértice.

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Caminos y Ciclos

• Ciclo:

• Camino de longitud diferente de 0, cuyo origen y destino son iguales

• Grafo acíclico:

• No contiene ciclos

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Caminos y Ciclos

Camino Costo Longitud

Caminos no simples

Caminos simples

Ciclos simples

Ciclos no simples

Camino más corto de v1 a v3

Camino más barato de v1 a v3

Camino simple más largo

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• Ejemplo de caminos:4

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7 4

6

2

5

1

7

V6 V1

V5 V4

V2

V3



Caminos y Ciclos

Conceptos:

• Camino hamiltoniano: • Camino que pasa exactamente una vez por cada

uno de los vértices de un grafo.

• No siempre existe.

• No siempre es único.

• Ciclo hamiltoniano:• Ciclo que pasa exactamente una vez por cada uno

de los vértices de un grafo.

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Caminos y Ciclos

Conceptos:

• Camino de euler: • Camino que pasa exactamente una vez por cada

uno de los arcos de un grafo.

• Ciclo de euler:• Ciclo que pasa exactamente una vez por cada uno

de los arcos de un grafo.

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Caminos y Ciclos

• Ejemplo de camino Hamiltoniano:

• < v5, v3, v1, v2, v4>

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v1

v5

v3v2

v4



Caminos y Ciclos

• Ejemplo de ciclo Hamiltoniano:

• < v1, v2, v5, v4, v3, v1 >

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v1

v5

v3v2

v4



Caminos y Ciclos

• Ejemplo de camino de Euler:

• < v5, v3, v2, v5, v4, v3, v1, v2, v4 >

31

v1

v5

v3v2

v4





• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Cadenas

Conceptos:

• Vértices adyacentes:

• Existe en el grafo por lo menos un arco entre los dos, sin importar el sentido.

• Cadena:

• Secuencia < x1, …, xn > de vértices de V, tal que cualesquiera dos vértices consecutivos son adyacentes.

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Cadenas

• Ejemplo de cadena:

• < v1, v2, v3, v4, v5 >

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v1

v5

v3v2

v4





• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Tipos de grafos

• Grafo completo:

• Dos vértices diferentes cualesquiera del conjunto V son adyacentes.

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v1

v5

v3v2

v4



Tipos de grafos

• Grafo conexo:

• Para cualquier par de vértices v, w del conjunto V, existe una cadena que los une.

• Grafo fuertemente conexo:

• Para cualquier par de vértices v, w del conjunto V, existe una camino que vaya de v a w.

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Tipos de grafos

• Ejemplos

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v1

v5

v3v2

v4

v1

v5

v3v2

v4

Grafo NO conexo Grafo fuertemente conexo



Tipos de grafos• Grafo planar:

• Es posible dibujarlo en un plano sin que se crucen los arcos.

• Problema típico:

• 3 casas y 3 servicios.

• Se trata de establecer si es posible llevar las tuberías de agua, gas y electricidad, sobre un mismo plano, a 3 casas vecinas.

• El problema se reduce a determinar si el grafo que representa la solución es planar.

• Vértices: casas y servicios.

• Arcos: tuberías.

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Tipos de grafos

• Ejemplo:

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GAS AGUA ELECTRICIDAD

Se pueden dibujar sin cruces 8 de los arcos, pero está demostrado que es imposible poner los 9



Tipos de grafos

• Grafos isomorfos:

• Tienen la misma estructura, aunque tengan diferentes contenidos y/o identificadores de los vértices.

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v1

v3

v2

v4

v3 v1 v4

v2





• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Del análisis al diseño

• Diagrama de clases del análisis

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• Operaciones críticas:

• Retornar un vértice dado su id.

• Retornar un arco dados los ids de los dos vértices.

• Retornar los arcos que llevan a los sucesores de un vértice, dado su id.

• Retornar los arcos que llevan a los predecesores de un vértice, dado su id.

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• Operaciones críticas:

• Agregar un vértice al grafo, dado un id y la información relacionada con el vértice.

• Eliminar un vértice del grafo, dado su id.

• Agregar arco, dados los ids de los vértices y la información relacionada con el arco.

• Eliminar arco, dado los ids de los vértices.

• Dar el orden del grafo.

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Del análisis al diseño• Identificación de la genericidad

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K




47




48




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Del análisis al diseño• Cálculo de complejidades:

• Retornar un vértice dado su id.

• Retornar un arco dados los ids de los dos vértices.

• Retornar los arcos que llevan a los sucesores de un vértice, dado su id.

• Retornar los arcos que llevan a los predecesores de un vértice, dado su id.

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Del análisis al diseño• Cálculo de complejidades:

• Agregar un vértice al grafo, dado un id y la información relacionada con el vértice.

• Eliminar un vértice del grafo, dado su id.

• Agregar arco, dados los ids de los vértices y la información relacionada con el arco.

• Eliminar arco, dado los ids de los vértices.

• Dar el orden del grafo.

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• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




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Trabajo sobre un casoEnunciado del problema:

• Se desea realizar una aplicación para el calcular los movimientos de las tropas de soldados deun ejército. El ejército tiene divididas las tropas en diferentes ciudades estratégicas, y en casode guerra o problema interno, es necesario transportar las tropas hacia una ciudad específica,en un número de días dados.

• Para poder realizar esto, es necesario tener en cuenta que las ciudades tienen una capacidadmáxima de soldados que no puede ser sobrepasada, y que los medios de conexión entreciudades son únicamente vías férreas dirigidas (solo hacia una dirección), con una capacidadmáxima de pasajeros diarios. Se puede asumir que la ciudad destino de todo el movimientotiene capacidad infinita.

• La aplicación debe recibir por medio de un archivo XML (especificado en la sección ArchivoXML de éste documento), la información de las ciudades con sus capacidades y cantidad desoldados inicial y las vías férreas entre las ciudades con su capacidad diaria de transporte, yluego debe preguntar al usuario la ciudad destino y los días que se tienen para llevar lastropas.

• Al finalizar los cálculos, la aplicación debe mostrar en pantalla el resultado del movimiento delas tropas, informando en datos consolidados la cantidad de soldados que se pudo llevar a laciudad, y un resumen detallado con el estado de cada una de las ciudades para cada día de lasimulación.

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Trabajo sobre un caso• Clases empleadas en la solución

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• Conceptos



• Cadenas

• Tipos de grafos




55



Clase Grafo

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Llave de tipo K Valor de tipo Vertice



Clase Vértice• La información del vértice es un objeto de tipo V

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Clase Vértice• Los predecesores son un ArrayList de objetos de tipo Arco

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Clase Vértice• Los sucesores son un ArrayList de objetos de tipo Arco

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Clase Vértice• Se declara un atributo para verificar si el vértice está

marcado

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Clase Vértice

• Métodos empleados:• public K darId( )

• public V darInfoVertice( )

• public ArrayList<Arco<K, V, A>> darSucesores( )

• public ArrayList<Arco<K, V, A>> darPredecesores( )

• public Arco<K, V, A> darArco( K idDestino )

• public void eliminarArco( K idDestino )

• private void eliminarArcoPredecesor( Arco<K, V, A> arco )

• public void agregarArco( Arco<K, V, A> arco )

• private void agregarArcoPredecesor( Arco<K, V, A> arco )

• public void eliminarArcos( )

• public boolean esSucesor( K idDestino )

• public int darNumeroSucesores( )

• public int darNumeroPredecesores( )

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Clase Vértice - Métodos



Clase Arco• El vértice origen es de tipo Vertice

62



Clase Arco

• El vértice destino es de tipo Vertice

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Clase Arco• La información del arco es de tipo A

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Clase Arco

• Métodos empleados:• public A darInfoArco( )

• public Vertice<K, V, A> darVerticeDestino( )

• public Vertice<K, V, A> darVerticeOrigen( )

• public int darPeso( )

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