Nivelación Matemática Pre Universitaria

GUÍA PRÁCTICA DE

MATEMÁTICA I

VALENCIA, 2012 (Rev.1)

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 2

NÚMEROS REALES

Comprenden toda la numeración y están constituidos por los números:

naturales: 1 ... 9, 10, ...; positivos; también se incluye el cero (0) como ausencia de cantidad.

enteros: 1; 1; 9; 9; 10; 10; corresponden a los números naturales considerándolos tanto positivos como negativos, y sin decimales.

racionales: o fracciones, son los números que pueden expresarse como la división de dos números

enteros 3 4 5 3

1,5 = ; 2 = ; - 2,5 = - ; 0,75 =2 2 2 4

; son tanto positivos como negativos.

Los decimales: � pueden ser contados: 3 3 1

1,5 = ; 0,75 = ; 0,125 =2 4 8

� llevan una secuencia periódica (repetitiva):

1 1519 10,3333... = ; 15,343434 = ; 0.142857142857 =

3 99 7

irracionales: son los no racionales, es decir, que no pueden expresarse como división de dos números enteros. Los decimales no pueden contarse:

2 = 1,4142... ; 3 = 1,7320... ;π = 3,1416... ; e = 2,7182....

RECTA REAL

Representación gráfica de los números reales

Siendo el cero (0) el origen; hacia la derecha del cero se ubican los positivos (aumentando de izquierda a derecha); hacia la izquierda del cero se ubican los negativos (aumentando de derecha a izquierda).

Es de hacer notar que todo número ubicado a la derecha de otro número, es mayor; es por ello que: "–1" es mayor que "–5", "1" es mayor que "–1", etc.

OPERACIONES BÁSICAS CON NÚMEROS REALES

Se considerará el caso de los números no fraccionarios. El caso de las fracciones se tratará más adelante. Las operaciones se realizan entre números, no entre operaciones matemáticas.

SUMA DE NÚMEROS REALES

Este caso comprende tanto la suma (igual signo) como la resta (signos diferentes) y es por lo que en general se hace referencia solo a "suma".

SUMA DE NÚMEROS REALES CON IGUAL SIGNO

Cuando los números reales tienen igual signo, positivo o negativo, se realiza la suma de los números y se mantiene el signo que tengan:

(+11) + (+31) = (+42) , lo que equivale a escribir : 11+ 31 = 42

(-17) + (-7) = (-24) , lo que equivale a escribir : -17 - 7= 24

En los casos anteriores, para eliminar los paréntesis, se aplicó regla de sigo de la multiplicación.

OBSERVACIÓN CUANDO UN NÚMERO POSITIVO ESTÁ DE PRIMERO, NO SE COLOCA EL SIGNO (+).

SUMA DE NÚMEROS REALES DE SIGNOS DIFERENTES

Cuando los números reales tienen signos diferentes, se realiza la resta de los números y se mantiene el signo del número mayor:

(-15) + (+10) = (-5) , lo que equivale a escribir : -15+10 = -5

(23) + (-7) = (16) , lo que equivale a escribir : 23-7 = 16

(-15) + (+10) = (-5) , lo que equivale a escribir : -15+10 = -5

(+15) + (-10) = (+5) , lo que equivale a escribir : 15 -10 = 5

OBSERVACIÓN EN ESTA OPERACIÓN NO SE APLICA LA REGLA DE LOS SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓN PORQUE NO ES UNA MULTIPLICACIÓN

ÚNICAMENTE SE APLICA REGLA DE SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓN PARA ELIMINAR LOS PARÉNTESIS

SI SE APLICARA LA MULTIPLICACIÓN DE LOS SIGNOS, SE COMETE UN ERROR, PORQUE SE OBTIENE EL MISMO RESULTADO:

-15 +10 = -5

+15 -10 = -5

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 4

PROPIEDADES DE LA SUMA DE NÚMEROS REALES

Asociativa: permite realizar la suma de varios números, haciendo sumas parciales agrupando números, de manera de facilitar la operación sin afectar el resultado:

� a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

sin importar el orden de agrupación.

14 +17 +3 = (14 +17) +3 =14 + (17 +3) = 34

- 4 -8-7 = -4 + (-8-7) = (-4 -8) -7 = -19

11- 4 + 22 = (11- 4) + 22 =11+ (-4 + 22) = 29

⊗⊗⊗

OBSERVACIÓN ELEMENTOS DE AGRUPACIÓN: ( ) [ ] { }; ; . SE UTILIZAN PARA INDICAR

QUE LAS OPERACIONES DENTRO DE ELLOS, SE REALIZAN PRIMERO.

Conmutativa: permite cambiar de lugar los números para facilitar la operación, sin afectar el resultado:

� a + b = b + a

� d + e + f = e + d + f = d + f + e = f + d + e = f + e + d

sin importar el orden en que se coloquen. Esto permite agrupar los números de igual

signo y facilitar la operación matemática:

33+17 = 17 + 33 = 50

- 4 -8 - 7 = -8 - 4 - 7 = -4 - 7 -8 = -7 - 4 -8 = -19

11- 4 + 22 =11+ 22 - 4 = -4 +11+ 22 = 29

-5 +8- 2 +12 = -5- 2 +8 +12 = 8 +12 -5 - 2 =13

⊗⊗⊗⊗

Elemento Neutro: cero (0); ya que no altera a otro número al realizar la suma:

a 0 = 0 a = a

53 + 0 = 0 + 53 = 53

- 77 + 0 = 0 - 77 = -77

-3 - 5 - 0 = 0 - 3 - 5 = -8

⊗ ± ± ±⊗⊗⊗

Elemento Simétrico u Opuesto o Recíproco: número que al sumarlo con otro, el resultado es cero (el

elemento neutro):

3 - 3 = -3+3 = 0

a + (-a) = -a + a = 0

⊗⊗

El opuesto de (+3) es (–3) y viceversa, el opuesto de (–3)

es (+3)

MULTIPLICACIÓN DE NUMEROS REALES

En esta operación, los números pueden tener los signos iguales o diferentes, se multiplican los números, y el signo del producto está dado por la regla de los signos en la multiplicación:

multiplicación de números de signos iguales el resultado es positivo:

(+)(+)=(+) (–)(–)=(–)

(+3)(+5)=(+15) (–4)(–7)=(+28)

multiplicación de números de signos diferentes el resultado es negativo:

(+)(–)=(–) (–)(+)=(–)

(+2)(–7)=(–14) (–5)(+4)=(–20)

OBSERVACIÓN PRIMERO SE APLICA LA REGLA DE LOS SIGNOS Y LUEGO SE MULTIPLICAN LOS NÚMEROS.

OBSERVACIÓN REPRESENTACIÓN DE LA OPERACIÓN DE MULTIPLICACIÓN:

� CON UNA "x": 3x4

� CON UN PUNTO: 3•4

� CON LOS NÚMEROS ENTRE PARÉNTESIS: (3)(4)

� CON UNO DE LOS NÚMEROS ENTRE PARÉNTESIS: 3(4) ; (3)4

� CON UN ASTERISCO: 3*4

� DOS O MÁS LETRAS SEGUIDAS: AB ; abcd

� NÚMERO SEGUIDO DE LETRAS: 3a ; 4CD

OBSERVACIÓN EN LA MULTIPLICACIÓN, A LOS NÚMEROS POSITIVOS NO SE LES COLOCA EL SIGNO, AL MENOS QUE SEA PARA ACLARATORIA.

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 6

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS REALES

Asociativa: permite realizar la multiplicación de varios números, haciendo multiplicaciones parciales agrupando números, de manera de facilitar la operación sin afectar el resultado:

a b c = (a b) c = a (b c)i i i i i i

sin importar el orden de agrupación.

4 7 3 = (4 7)3 = 4(7 3) = 84

- 4 8 2 = (-4 8)2 = -4(8 2) = -64

11 (-4) 2 = (11( 4))2 11(-4 2) = -88

⊗⊗⊗ − =

i i i i

i i i i

i i i

OBSERVACIÓN SI SE VA A MULTIPLICAR POR UN NÚMERO NEGATIVO Y ESTE NO ES EL PRIMER NÚMERO EN LA SECUENCIA DE LA MULTIPLICACIÓN, HAY QUE COLOCARLO ENTRE PARÉNTESIS, YA QUE NO PUEDEN HABER DOS OPERADORES MATEMÁTICOS SEGUIDOS, ESTO PERMITE OCULTAR EL SIGNO DE MULTIPLICACIÓN (x ; ; *i ) UTILIZADO.

Conmutativa: permite cambiar de lugar los números para facilitar la operación, sin afectar el resultado:

� (a)(b) = (b)(a)

� (d)(e)(f) = e(d)(f) = d(f)e = f(d)(e) = f(e)d

sin importar el orden en que coloquen:

3(7) = 7(3) = 21

- 4(-8) = -8(-4) = +32

11(-4)(-1) = -4(11)(-1) = -4(-1)11= 44

⊗⊗⊗

Elemento Neutro: uno (1); número que no altera a otro número al realizar la multiplicación:

a(1) =1(a) = a

53(1) =1(53) = 53

-77(1) = (1)(-77) = -77

(-3)(-5)(1) =1(-3)(-5) = +15

⊗⊗⊗⊗

OBSERVACIÓN EN LA MULTIPLICACIÓN, EL "1" NO SE ESCRIBE, PERO SIEMPRE SE

TIENE QUE TOMAR EN CUENTA. SE "SOBRE ENTIENDE" QUE ESTÁ ALLÍ.

Elemento Inverso: número que al multiplicarlo con otro el resultado es "1" (el elemento neutro):

� 1 2

2 ( ) = = 12 2

resulta en la división de números o cantidades iguales, cuyo resultado es "1".

� 1 a

a ( ) = =1a a

Multiplicación por cero (0) o elemento absorbente: todo número multiplicado por cero (0) su resultado es cero (0).

a (0) = 0 (a) = 0

3 (0) = 0 (3) = 0

- 2 (0) = 0 (-2) = 0

⊗⊗⊗

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

En realidad es: propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, y combina multiplicación y suma. Tradicionalmente pertenece a las propiedades de la suma de números reales.

a (b + c) = a(b) + a(c)

d (f - g + h) = d(f) - d(g) + d(h)

4 (23-17 +5) = 4(23) - 4(17) + 4(5)

⊗⊗⊗

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 8

DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

En esta operación, los números pueden tener los signos iguales o diferentes, se dividen los números y el signo del cociente (de la división) está dado por la regla de los signos en la división:

división de números de signos iguales el resultado es positivo:

(+) ÷ (+)=(+) (–) ÷ (–)=(–)

(+3) ÷ (+5)=(+0,6) (–18) ÷ (–6)=(+3)

división de números de signos diferentes el resultado es negativo:

(+) ÷ (–)=(–) (–) ÷ (+)=(–)

(+2) ÷ (–5)=(–0,4) (–64) ÷ (+16)=(–4)

OBSERVACIÓN PRIMERO SE APLICA LA REGLA DE LOS SIGNOS Y LUEGO SE DIVIDEN LOS NÚMEROS.

OBSERVACIÓN REPRESENTACIÓN DE LA OPERACIÓN DE DIVISIÓN:

� CON "/" O CON "÷" : 3 / 4 ; 3 ÷ 4

� EN FORMA DE FRACCIÓN: 4

5

OBSERVACIÓN EN LA DIVISIÓN, A LOS NÚMEROS POSITIVOS NO SE LES COLOCA EL SIGNO, AL MENOS QUE SEA PARA ACLARATORIA EN EJEMPLOS.

SI EL NÚMERO ES NEGATIVO Y ES EL SEGUNDO EN LA OPERACIÓN, SE COLOCA ENTRE PARÉNTESIS:

5 ÷ (-4) = 5 / (-4) = -1,25

- 3÷ (-2) = -3 / (-2) = 1,5

⊗⊗

PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN DE NÚMEROS REALES

Elemento Neutro: uno (1); número que no altera a otro número al realizar la división:

a ÷1 = a

53 /1 = 3

- 77 /1 = -77

⊗⊗⊗

OBSERVACIÓN LA DIVISIÓN POR CERO (0)

a 4 -33

; ;0 0 0

Elemento absorbente: cero (0); cero dividido por cualquier número, es cero (0):

0= 0

40

= 0-33

⊗

⊗

OPERACIONES CON FRACCIONES

Elementos de una fracción:

SUMA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

En la fracción resultante se coloca el mismo denominador; como numerador se colocan los numeradores conservando los signos que haya delante de cada numerador, y se realiza la "numeradores de acuerdo a la suma de números reales. Esto es válido para cualquier cantidad de fracciones a sumar.

En la fracción resultante, se realiza la división si el resultado es un número entero o con pocos decimales, de lo contrario se deja expresada la fracción

3 13 3+13 16+ = = = 4

4 4 4 42 4 -2 - 4 -6

- - = = = -23 3 3 34 7 4 -7 -3

- = =10 10 10 1018 25 -18+ 25 7

- + = =23 23 23 23

⊗

⊗

⊗

⊗

OBSERVACIÓN SE RECOMIENDA DEJAR EXPRESADA LA FRACCIÓN, YA QUE LA FRACCIÓN COMO NÚMERO ES UN NÚMERO EXACTO:

1 1 1 1+1+1 3

+ + = = = 13 3 3 3 30,33+ 0,33+ 0,33 = 0,99

⊗

⊗

LA DIVISIÓN POR CERO (0) NO ESTÁ DEFINIDA:

cero (0); cero dividido por cualquier número, es cero (0):

OPERACIONES CON FRACCIONES

SUMA DE FRACCIONES CON IGUAL DENOMINADOR

En la fracción resultante se coloca el mismo denominador; como numerador se colocan los numeradores conservando los signos que haya delante de cada numerador, y se realiza la "

a la suma de números reales. Esto es válido para cualquier cantidad de

En la fracción resultante, se realiza la división si el resultado es un número entero o con pocos decimales, de lo contrario se deja expresada la fracción

3 13 5 3+13+ 5 21+ + = =

4 4 4 4 42 4 7 -2 - 4 -7 -13

- - - = =3 3 3 3 34 7 13 4 - 7 -13 -16

- + = =10 10 10 10 1018 25 7 -18+ 25+ 7 14

- + + = =23 23 23 23 23

⊗

⊗

⊗

⊗

SE RECOMIENDA DEJAR EXPRESADA LA FRACCIÓN, YA QUE LA FRACCIÓN COMO NÚMERO ES UN NÚMERO EXACTO:

1 1 1 1+1+1 3+ + = = = 1

3 3 3 3 30,33+ 0,33+ 0,33 = 0,99

cero (0); cero dividido por cualquier número, es cero (0):

En la fracción resultante se coloca el mismo denominador; como numerador se colocan los numeradores conservando los signos que haya delante de cada numerador, y se realiza la "suma" de los

a la suma de números reales. Esto es válido para cualquier cantidad de

En la fracción resultante, se realiza la división si el resultado es un número entero o con pocos

3 13 5 3+13+5 21+ + = =

4 4 4 4 42 4 7 -2 - 4 - 7 -13

- - - = =3 3 3 3 34 7 13 4 - 7 -13 -16

- + = =10 10 10 10 1018 25 7 -18 + 25 + 7 14

- + + = =23 23 23 23 23

SE RECOMIENDA DEJAR EXPRESADA LA FRACCIÓN, YA QUE LA FRACCIÓN COMO NÚMERO ES UN NÚMERO EXACTO:

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 10

SUMA DE FRACCIONES CON DENOMINADORES DIFERENTES

Se puede realizar de dos formas:

(1) obteniendo el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores: en la fracción resultante, el denominador es el mcm de los denominadores. Esta forma es válida para cualquier cantidad de fracciones a sumar.

(2) en la fracción resultante, el denominador es la multiplicación de los denominadores y el numerador es un multiplicación en "x" entre los elementos de las fracciones. Esta forma es válida para dos fracciones o tomando de a dos fracciones a la vez. Esta forma es la más usada entre los estudiantes al ser más rápida de realizar.

En forma general: a d + b ca c

+ =b d b d

i i

i

3 2 + 4 133 13 6 +52 58+ = = =

4 2 4 2 8 8

-2 5-3 42 4 -10 -12 -22 22- - = = =

3 5 3 5 15 15 15

4 2 -3 74 7 8- 21 13 13 - = =3 2 3 2 6 6 6

-18 8+ 4 2518 25 -144 +100 44- + = =

4 8 4 8 32 32

⊗

⊗ = −

−⊗ = = −

⊗ =

i i

i

i i

i

i i

i

i i

i

3 2 + 4 13 58 3-8 13 13 1 1 6 +52 1 58 1 174-8 166

+ - = - = - = - =4 2 3 4 2 3 8 3 8 3 8 3 24 24

⊗ = =i i i i

i i

SUMA ENTRE UNA FRACCIÓN Y UN NÚMERO ENTERO

El número entero se reescribe en forma de fracción utilizando como denominador al elemento neutro de la división, y se realiza la operación como en el caso anterior.

7 7 3 7 +12 19+3 = + =

4 4 1 4 48 8 7 -8 - 21 -29

- -7 = - - =3 3 1 3 3

5 3 5 -12 5 -7 -3+ = - =

4 1 4 4 49 4 9 20 -9 11

4 - = - =5 1 5 5 5

⊗ =

⊗ =

+⊗ + =

⊗ =

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

En este caso, se multiplica de "forma lineal", numeradores con numeradores y denominadores con denominadores, sin importar el número de fracciones a multiplicar. Se tiene que tomar en cuenta la regla de los signos de la multiplicación.

3 13 3·13 39· = =

4 4 4·4 162 4 2·4 8

- - = + =3 3 3·3 9

4 7 4(7) 28 - = - = -10 5 10(5) 50

2 1 2 4(7)2 56 - = - = -5 3 7 10(5)7 350

⊗

⊗

⊗

⊗

MULTIPLICACIÓN ENTRE UNA FRACCIÓN Y NÚMERO ENTERO

El número entero se reescribe en forma de fracción, utilizando el elemento neutro de la división. Se tiene que tomar en cuenta la regla de los signos de la multiplicación.

7 7 3 7·3 21(3) = =

4 4 1 4·1 4

8 8 7 8(7) 56- (-7) = - - =3 3 1 3(1) 3

5 3 5 3·5 15 -3 = - = -

4 1 4 1·4 4

9 4 9 2 4(9)(2) 724 - 2 = - = -

5 1 5 1 1(5)(1) 5

⊗ =

⊗ = +

⊗ = −

⊗ = −

COMO TODA MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS, SE REALIZA PRIMERO LA REGLA DE SIGNOS Y LUEGO SE MULTIPLICAN LOS NÚMEROS.

NIVELACIÓN

DIVISIÓN DE FRACCIONES

En este caso," las fracciones se encuentran una sobre la otrade "doble c". Se procura que la línea de división sea mmanera de distinguir más claramente cuáles son las fracciones.

33·4 12 2·3 64 = = = + =

13 44·13 52 3·4 124 34 2

4(5) 20 2(7) 1410 5 = - = - = - = -7 210(7) 70 5(2) 10-5 7

⊗ ⊗

⊗ ⊗

DIVISIÓN DE UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO ENTERO

El número entero se reescribe en forma de fracción, y se

7 7 5 57(1) 7 8(1) 8 5(1) 54 4 4 4= = = = = + = = = - = -

3 7 33 4(3) 12 -7 3(7) 21 -3 4(3) 121 1 1

⊗ ⊗ ⊗

DIVISIÓN DE UN NÚMERO ENTERO POR UNA FRACCIÓN

3 7 43 3(4) 12 -7 7(3) 21 4 4(5) 201 1 1= = = = = + = = = - = -7 7 8 8 9 91(7) 7 1(8) 8 1(9) 94 4 3 3 5 5

⊗ ⊗ ⊗

COMO TODA DIVISIÓN DE NÚMEROS, SE REALIZA PRIMERO LA REGLA DE LOS SIGNOS Y LUEGO LA DIVISIÓN DE LOS NÚM

las fracciones se encuentran una sobre la otra", por lo que se realiza la conocida regla ". Se procura que la línea de división sea más larga que la línea de las fracciones, de tal

manera de distinguir más claramente cuáles son las fracciones.

2-3·4 12 2·3 63= = = + =

13 44·13 52 3·4 12-4 34 2

4(5) 20 2(7) 1410 5 = - = - = - = -7 210(7) 70 5(2) 105 7

⊗ ⊗

−⊗ ⊗

DIVISIÓN DE UNA FRACCIÓN POR UN NÚMERO ENTERO

El número entero se reescribe en forma de fracción, y se realiza la operación como en el caso anterior.

8 87 7 5 5- -7(1) 7 8(1) 8 5(1) 53 34 4 4 4= = = = = + = = = - = -

3 7 33 4(3) 12 -7 3(7) 21 -3 4(3) 12- -1 1 1

⊗ ⊗ ⊗

DIVISIÓN DE UN NÚMERO ENTERO POR UNA FRACCIÓN

3 7 4-3 3(4) 12 -7 7(3) 21 4 4(5) 201 1 1= = = = = + = = = - = -

7 7 8 8 9 91(7) 7 1(8) 8 1(9) 9- - - -4 4 3 3 5 5

⊗ ⊗ ⊗

COMO TODA DIVISIÓN DE NÚMEROS, SE REALIZA PRIMERO LA REGLA DE LOS SIGNOS Y LUEGO LA DIVISIÓN DE LOS NÚMEROS.

MATEMÁTICA I

12

", por lo que se realiza la conocida regla ás larga que la línea de las fracciones, de tal

realiza la operación como en el caso anterior.

7(1) 7 8(1) 8 5(1) 5= = = = = + = = = - = -

3 4(3) 12 -7 3(7) 21 -3 4(3) 12

3 7 43 3(4) 12 -7 7(3) 21 4 4(5) 201 1 1= = = = = + = = = - = -7 7 8 8 9 91(7) 7 1(8) 8 1(9) 9- - - -4 4 3 3 5 5

COMO TODA DIVISIÓN DE NÚMEROS, SE REALIZA PRIMERO LA REGLA DE LOS SIGNOS Y

SIGNOS DE AGRUPACIÓN

( ) [ ] { } , ,

Se colocan y se eliminan en ése mismo orden.

Es común el usar solo los paréntesis.

Se utilizan para indicar el orden que se realizan las operaciones matemática.

( )

( ) ( )

3+ 7 -11 = 3-77 = -74

1 5 45 9 -2 - = 9 - = -

2 2 2

2 1 5 1 7 7- + - -1 = - - =3 2 2 6 2 12

1 1 3 1 3 3 100- + +5 = + 5 = +5 =3 2 2 6 2 12 12

5 7-3+ 2 4 - + 2 5+3 - 2(-3) = -1 +

3 3

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

2 5 +3 + 6 =

7 1 5 4 22= - + 2 5+ 3 + 6 = - 5+ 3 + 6 = - +3 + 6 = + 6 =

3 3 3 3 3

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 14

EJERCICIOS: realizar las operaciones indicadas.

74 +

3 5

- 28(-9 + 5-7)3

1

5-4

7 12+ 4 215 5 + -5 3 25

31 17 4 21 7 14 + - - + +11 8 11 8 8 113 1·

5 5 7 7

+ 4 21 5

+4 4 4 4

+9 3

3 5 4- · ·8 2 9

-8+15 9 -12·

2 517 - 21 34 -113- 2 5-9

-1+11 5- 7

3 5

-24 -11 23+ 3 2·7 + -

9 5+ 4 5

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

33- 41 7 + 22 6 +13+

5(-3) 7 -5 4 + 3

15-12 54 +12·

8 -9 8

1 3- + 7 + 2 93 2

1 7 3 1 1 3- + + - -3 3 2 6 2 2

1 2- + 2 2 45 5+ -1

1-2 2 52

2 5 3 2- +1 -1- 2 (-1) + -3 3 2 7 -5

1 5 2 1- + 2 - - + 75 2 5 7

1 1- +2 4

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗ 5 5

· +34 2 +18

54 --3 5+3 53- - (-3+ )

5 -9 2 9 -6 4

1 5 2 1- + 2 - - + 7(-1)5 2 5 7

11-37 -3 3 4 2· +

1 1 9 32 8- -3 2 2 2

⊗

⊗

⊗

( )2 1 11 17 -3+ 3 + (-3)1 1 7 5 33 7+ + - -1- 4

1 12 4 4 21- 24 2

⊗

POTENCIACIÓN

Representa la multiplicación abreviada de un mismo número varias veces.

na *a *a *a *... n veces = a

431*31*31*31 = 31

Elementos de la potenciación:

Siendo la base el número que se repite y el exponente el número de veces que se repite la base.

El resultado "b" de la operación de multiplicar varias veces la

OBSERVACIÓN LA POTENCIACIÓN

EXPONENTE:

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

Potencia de la multiplicación: (a *b) = a *b

Potencia de la división: nc c

=d

4 4 -5 (-5)

21 21 ⊗ ⊗

Estas dos propiedades se utilizan al momento de "las otras propiedades de la potenciación.

Representa la multiplicación abreviada de un mismo número varias veces.


" de la operación de multiplicar varias veces la base, es la "potencia

LA POTENCIACIÓN NO ES LA MULTIPLICACIÓN DE LA BASE POR EL

EXPONENTE: 104 no es 4(10)

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

n nn(a *b) = a *b

5 5 5

5 5 5

5 5 5 5

(7*21) 7 *21

[9( 11)] 9 *( 11)

(7*21*67) 7 *21 *67

⊗ =

⊗ − = −

⊗ =

n

nc c

=d

5 115 11

5 54 4 -5 (-5)

= =21 2121 21

⊗ ⊗

Estas dos propiedades se utilizan al momento de "simplificar" expresiones, al poder ser utilizadas con las otras propiedades de la potenciación.


potencia".

ES LA MULTIPLICACIÓN DE LA BASE POR EL

" expresiones, al poder ser utilizadas con

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 16

OBSERVACIÓN LAS BASES NEGATIVAS LLEVAN PARÉNTESIS, YA QUE NO ES IGUAL

ESCRIBIR (–2)3 QUE – 23.

Multiplicación de potencias de igual base: n n+mm(a )(a ) = a

n p n+m+pm(a )(a )(a ) = a⊗

5 10 5+7+107(2 )(2 )(2 ) = 2⊗

División de potencias de igual base: n

n-ma= a

ma

1010-5 5

5

55-7 -2

7

2= 2 = 2

2

2= 2 = 2

2

⊗

⊗

El caso del exponente negativo se resuelve con la siguiente propiedad.

Potenciación con exponente negativo (conocida como "inversa"): -m 1a

ma=

-5 12 =

52⊗

Potencia de una potencia: n n·m n p n·m·pm m(a ) = a [(a ) ] = a⊗ ⊗

7 7·3 21 5 7 5·2·7 703 2(25 ) = 25 = 25 [(17 ) ] =17 =17⊗ ⊗

Potenciación con exponente cero: 0a = 1

0

0

7 = 1

(-3) = 1

⊗

⊗

Potenciación con exponente "1":

Potenciación de base "1": n1 = 1

Potenciación de base "0": n0 = 0

REGLA DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN

� Base positiva con exponente par/impar, el resultado es positivo: (+)

� Base negativa con exponente par, el resultado es positivo: (

� Base negativa con exponente impar, el resultado es negativo: (

El resultado de las reglas de la base negativa, es debido a la regla de lopor ser la potenciación una multiplicación abreviada.

RADICACIÓN

Elementos de la radicación:

"b" es raíz de "a" si se cumple que "

2

3 3

4 4

3 3

5 5

4 4

4 = 2 2 = 4

8 = 2 2 = 8

81 = 3 3 = 81

- 27 = -3 (-3) = -27

-32 = -2 (-2) = -32

10000 = 10 10 = 10000

⊗ →

⊗ →

⊗ →

⊗ →

⊗ →

⊗ →

OBSERVACIÓN EL ÍNDICE SIEMPRE

1a = a SE "SOBRE ENTIENDE" QUE HAY UN UNO

1 = 1

0 = 0

REGLA DE LOS SIGNOS EN LA POTENCIACIÓN

Base positiva con exponente par/impar, el resultado es positivo: (+)p = (+) ; (+)

Base negativa con exponente par, el resultado es positivo: (–)p = (+)

(–3)4 = 34 = 81

Base negativa con exponente impar, el resultado es negativo: (–)i = (–)

(–4)3 = –(43

El resultado de las reglas de la base negativa, es debido a la regla de los signos de la multiplicaciónpor ser la potenciación una multiplicación abreviada.

" si se cumple que "bn = a"

10000 = 10 10 = 10000

SIEMPRE ES UN NÚMERO NATURAL

HAY UN UNO

= (+) ; (+)i = (+)

81

3) = – 64

s signos de la multiplicación,

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 18

OBSERVACIÓN EL ÍNDICE "2" NO SE ESCRIBE

OBSERVACIÓN NO EXISTE EL RADICAL DE ÍNDICE PAR DE UN NÚMERO NEGATIVO: 4 10- 4 ; -16 ; -100

OBSERVACIÓN LA RADICACIÓN ES UN CASO ESPECIAL DE POTENCIACIÓN, SIENDO EL

EXPONENTE UNA FRACCIÓN:

1

nn a = a .

EN GENERAL:

m

nn ma = a

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

Raíz de una multiplicación Raíz de una división

n n na·b = a b

8 = 4·2 = 4 · 2 = 2· 2 ⊗

nn

n

33

3

aa =

b b

2727 =

8 8⊗

Raíz de una raíz Multiplicación de radicales

n m n·m

3 2·3 6

a = a

64 = 64 = 64 = 2⊗

n·mn m m n

3·4 123 4 4 3 4 3

a b = a ·b

- 27 16 = (-27) ·16 = (-27) ·16 ⊗

como se observará, la cantidad subradical es (+) y el índice es par, por lo que se puede calcular el radical

Potencia de una raíz o raíz de una potencia

( )( )

( )

m nn m

3 3

3

a = a

4 = 4

2 = 64

⊗

Caso particular cuando el índice del radical y el exponente son iguales:

( )nn na = a

n

n n n a o también a = a=n

( )33 3

= a

4 = 4⊗3

3 3 3 = 4 o también 4 4=3

4=

Esta propiedad es útil en relaciones de igualdad y desigualdad, ya que permite, eliminar un radical utilizando un exponente, y viceversa, se puede eliminar un exponente utilizando un radical.

Introducción de un elemento en un radical

( ) ( )( ) ( )

n nn nn n

3 33 3 3 33 3

b a b a a·b

4 2 = 4 2 = 4·2 = 4·8 = 32

→ →

⊗

Esta característica hace uso de la propiedades: potencia de una raíz y raíz de una multiplicación

SIMPLIFICACIÓN Se utiliza para expresar un resultado lo más simple posible. Solo se puede realizar sin tanto en el numerador como en el denominador hay elementos similares y que se encuentren en forma de multiplicación.

b( c ⊗ )

c

b 4( 2=

a(a)⊗ )

2

24 b( d=

3(3)⊗

2

)

c( d

3(4b +1) (c + f )b=

c)⊗

3(c + f )

4b +1=

5a(5a)

f( e + 2 ⊗ )

( e + 2

f b( 4 + c=

g)g⊗ )

( 4 + c

b (b + 4)( -h -1=

b +1)(b +1)⊗ )

( -h -1

b + 4=

b + 7)(b + 7)

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 20

EJERCICIOS simplificar las expresiones dadas.

( )( )

2

3

2 23 02 1/2 3 3 46

3 3 2 1/3 2 2 3

22/5 3 22 4 55

4 3 7-3 1/4

1/31/322

3 2/3

-1/3

ad

4 375 8bb b

ab 15 2d

a 1 e e f (8p q )e

ge a b a (16p q )

a b ca b10 7mn p10

15 21m npa b c b

cd

3 ed4

4 e

c

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

⊗ ⊗ ⊗

⊗ ⊗ ⊗

⊗ ⊗

( )

( ) ( )

( )

3 3

2 4

1203 27 34 5 7

2 0 5 8520

3

-2

43

3

1/3 32 -1 33

3 2

3 2 3

3 2 3

(12mn )

(18m n)

5 3 d121a c d4 11c d a3

35d

a 81a

c 3 27 9a

a b a d e a e

abab db

3a b ac b3 2 -2 3 3a 3 27

ab a cb

⊗

⊗ ⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗ ⊗ ⊗

NOTACIÓN ALGEBRAICA

Simbología utilizada para representar cantidades conocidas (números) y/o desconocidas (letras)

SÍMBOLOS ALGEBRAICOS

Operaciones: n+ ; ;× ; ÷ ; ; ()−

Relación: = ; ; ; < ; > ≥ ≤

EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Representada por un símbolo algebraico:

( )3 25x ; ab ; 3a ; 4ax ; 3+ax

OBSERVACIÓN UNA FORMA DE REPRESENTAR LA MULTICACIÓN ES NÚMEROS Y LETRAS SEGUIDOS O LETRAS SEGUIDAS COMO: "5 por x

TÉRMINO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Expresión algebraica de uno o más símbolos algebraicos

Elementos de un término algebraico:

OBSERVACIÓN EL COEFICIENTE "1" NO SE ESCRIBE, ES EL ELEMENTO NEUTRO DE LA MULTIPLICACIÓN


n

Representada por un símbolo algebraico: 3 ; x ; o por operaciones algebraicas:

UNA FORMA DE REPRESENTAR LA MULTICACIÓN ES NÚMEROS Y LETRAS SEGUIDOS O LETRAS SEGUIDAS 5x ;

5 por x" , "a por b", etc.

TÉRMINO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA

Expresión algebraica de uno o más símbolos algebraicos no separados entre por los signos "

Elementos de un término algebraico:

EL COEFICIENTE "1" NO SE ESCRIBE, ES EL ELEMENTO NEUTRO DE LA MULTIPLICACIÓN


; o por operaciones algebraicas:

UNA FORMA DE REPRESENTAR LA MULTICACIÓN ES NÚMEROS Y ; ab , LO QUE SE LEE

separados entre por los signos "+" o "–".

EL COEFICIENTE "1" NO SE ESCRIBE, ES EL ELEMENTO NEUTRO DE LA

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 22

Tipos de expresiones algebraicas

Monomios: constan de un sólo término: ( ) 310 2ab 7a-5x ; ; 11dy ; ; ax

7 4c

Polinomios: constan de más de un término: x ab

-5+ x ; + -8y ; 2a + 4b -c3 7

Binomios: constan de dos términos: ( )103ab-5+ x ; -8y ; 3x + 11dy ; a + b

7

OPERACIONES CON POLINOMIOS

SUMA: solo se puede realizar entre términos semejantes; realizando la operación de suma entre los coeficientes, manteniéndose la parte literal y el grado.

OBSERVACIÓN ´TERMINO SEMEJANTE: AQUELLOS QUE TIENEN IGUAL PARTE LITERAL CON IGUAL GRADO

3 3 3 3

2 2 2 2

2 2

2 2

3 2 2 3 2 3 2

3a -5a = (3-5)a = -2a

-11x -13x = (-11-13)x = -24x

(3ab - 4c + d) + (4c - 7ab + 5d) = 3ab - 4c + d + 4c - 7ab + 5d

= 3ab -7ab - 4c + 4c + d +5d

= (3- 7)ab + (-4 + 4)c + (1+ 5)d = -4ab + 0c + 6d

4 (a b - 4x + 3y ) - ( x -37a b +5y) = a b - 4x + 3

3

⊗

⊗

⊗

⊗ 2 3 2

3 2 3 2 2 3 2 2

3 2 2

4y - x + 37a b -5y

34 4

= a b +37a b - 4x - x +3y -5y = (1+ 37)a b + (-4 - )x +3y -5y3 3

16 = 38a b - x +3y -5y

3

� (-5x +3a) + (d -10) , en este caso, no se puede realizar la suma, ya que no hay términos semejantes.

OBSERVACIÓN PARA AGRUPAR LOS TÉRMINOS SEMEJANTES, HAY QUE APLICAR LA REGLA DE LOS SIGNOS DE LA MULTIPLICACIÓN, PARA ELIMINAR LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN.

MUTIPLICACIÓN

Se multiplican los coeficientes y las partes literales; con las partes literales hay que tomar en cuenta la potenciación. También hay que tomar en cuenta la regla de los signo de la multiplicación.

Caso monomios:

3 3 3 3 6

2 2 2 2 2 4

(3a)(5x) = 3·5ax = 15ax

(-11x )(3x ) = -11·3x x = +33x

(-3ab )(-7ab x) = -3(-7)aab b x = +21a b x

⊗

⊗

⊗

Caso polinomio por monomio: se aplica la propiedad distributiva

3 2 3 3 3 2 3 3 6 5 3

(3a + c)(5x) = 3·5ax +1·5cx = 15ax +5cx

(-x + x -3)(3ax ) = -1·3ax x +1·3ax x -3·3ax = -3ax+3ax -9ax

⊗

⊗

Caso binomios: es una doble propiedad distributiva: cada término de un binomio multiplica a cada término del otro binomio, y luego se suman los términos semejantes.

Este es el caso de los Productos Notables más utilizados.

3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 6

(3a +1)(5x + 2) = 3·5ax +3·2a +1·5x +1·2 =15ax + 6a +5x + 2

(2 -11x )(-2 +3x ) = -2·2 + 2·3x +11·2x -11·3x x = -4 + 6x + 22x -33x -4 + 28x -33x

⊗

⊗ =

Productos Notables: (más utilizados)

� ( )2 2 2a + b = (a + b)(a + b) = a + 2ab +b cuadrado de la suma

� ( )2 2 2c -d = (c -d)(c -d) = c - 2cd +d cuadrado de la diferencia (resta)

� 2 2(a + b)(a -b) = a -b producto de la suma por la diferencia

� ( )3 3 2 2 3a + b = (a + b)(a + b)(a + b) = a +3a b +3ab + b cubo de la suma

� ( )3 3 2 2 3c -d = (c -d)(c -d)(c -d) = c -3c d +3cd -d cubo de la diferencia (resta)

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 24

FACTORIZACIÓN

Forma de expresar un polinomio como multiplicación de polinomios. Los casos más comunes son los Productos Notables: a la derecha de la igualdad se tiene un polinomio y a la izquierda su factorización.

Caso Factor Común: elemento o término que se repite en un polinomio. Es el caso contrario a la propiedad distributiva.

� 3a -3b = 3(a - b) , "3" es el factor común

� 15a -5x = 5·3a -5x = 5(3a - x) , "5" es el factor común

� -3ab -9ax = -3ab -3·3ax = -3a(b + 3x) , "-3a" es el factor común.

� 3 2 2 2 21x + x = x x + x = x (x +1) , "x2" es el factor común

EN ESTOS CASOS SE TOMA EN CUENTA EL QUE TENGA MENOR EXPONENTE, REESCRIBIENDO LOS OTROS TÉRMINOS COMO MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE.

� 2 3 2 264d e -16df + 4d =16·4dde -4·4df + 4dd = 4d(16de -4f +d ) , "4d" es el factor común

LAS OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS SE UTILIZAN PARA EXPRESAR UNA SOLUCIÓN MATEMÁTICA, EN LA FORMA MÁS RESUMIDA POSIBLE (SIMPLIFICADA).

� 2 2 2(3+a) - (6a +9) = 9+6a +a -6a -9 = a +6a -6a+9-9 2= a

�

( )22 2 2 4 22 2 4 2 4 2 2 4 2

4 4 2 2 2

x - 2x a + a + 3x -a(x - a) + 3x -a x - 2x a + a +3x - a

2 2 2

x +3x - 2x a +a - a=

= =

4 2 4 24x - 2x a 2·2x - 2x a 2= = =

2 2 2

4 2(2x - x a)

24 2= 2x - x a

Factorización del polinomio de 2do grado.

El polinomio de segundo es un polinomio cuyo mayor exponente es 2, siendo la forma más común:

2a x + b x + c (de forma similar 2a y + b y + c), en donde a , b y c son números.

El polinomio 2a x + b x + c se factoriza como 1 2

( ) ( )x s x s− −

en donde los valores "s" se calculan con la relación: 2- b ± b - 4ac

s =2a

en donde a , b y c tienen el signo que esté delante de ellos en el polinomio. De la relación se obtienen dos soluciones:

s1 cuando se suma el radical y

s2 cuando se resta el radical

1

2

2

2

3 2 1 3 2

2 1 13 3 4(1)(2) 2 9 8 2 1 2 1 2 2

2 1 32(1) 2 2 2

2 2

x x a b c

ss

s

⊗ + + → = = =− + − = =− ± − − ± − − ± − ± = = = = → − − − = =

siendo la factorización del polinomio: -1 - 3 1 3

2 2 2 2x x x x − − = + +

1

2

2

2

2 7 3 2 7 3

7 5 123

( 7) ( 7) 4(2)(3) 7 49 24 7 25 7 5 4 4 7 5 2 12(2) 4 4 4

4 4 2

x x a b c

ss

s

+ +

⊗ − + → = = − =+ = = =− − ± − − ± − ± ± = = = = → − = = =

siendo la factorización del polinomio: ( ) 13

2x x − −

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 26

El polinomio se segundo grado será incompleto si llega a faltar alguno de los términos: b x o c ,

siendo en esos casos "b" y "c" iguales a cero .

1

2

2 2

2

4 4 1 4 0

4 4 84

( 4) ( 4) 4(1)(0) 4 16 0 4 16 4 4 2 2 4 4 02(1) 2

0

2 20

2 2

x x x x a b c

ss

s

⊗ − = − → = = − =+ = = =− − ± − − ± − ± ± = =

+

+ += = → − = = =

siendo la factorización del polinomio: ( ) ( )4 0 ( 4)x x x x− − = −

forma de factor común.

1

2

2 2

2

16 16 1 0 16

84

0 0 4(1)( 16) 64 8 2 82(1) 2 2

42

0x x a b c

ss

s

x⊗ − = − → = = = −+ = =− ± − − ± ± = = = =→

+

+ − = = −

siendo la factorización del polinomio: ( ) ( ) ( )4 ( 4) ( 4) 4x x x x− − − = − +

EJERCICIOS simplificar las expresiones dadas.

2 2

2 2

2 2

a + 2ab + b a + 7 2 -

a + b (a +5) (a + 5)

b -c b + 21 c + 21 -

b(ac + b) - (ab + c)c b - c b - c

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗2 2

2 2 2

2 2

d 4 d(d + 2e) + e-

d + 2 d + 2 d + e

f + f f +1 2cb + (a + c) - (c + b) -+

(f +1) (f +1)

⊗

⊗ ⊗2

2 2 2 2

2 2

2ac

a(c + a) - b -ac

6a -12 5a -8 x - y-

a - 2 a - 2 x - y

(e + a) - 2ae - 2a 2 -c(c -3) +

e -a

⊗ ⊗

⊗ ⊗2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

(c -1)

18 + (c +3)(c -3)

x y (c - 6) - c(c -13) - 29-

x - y x - y (c +5)(c -5) - 24

5ad + 4a +3d -3a - 2d -3ad

a -d

⊗ ⊗

⊗4 2 2 2 2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2 2

2

-c + (d -c ) + c (2d - c )

d -c

d -8cd + d + 2cd -c -d + 4cd + 2c

3c - 4d - 2c + 3d

4a(b + a) - 2b(a + b) + 3b -3a

3af -5bf - af + 7bf

4a +3c -5ac - 2c -3a + 3ac

a - c

x + xy y + xy+

y + x x + y

3ad -3a

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗

⊗2 2 2

2 2

e +3bd -3be

(d + e)(10a - 4c - b +3c - 7a + 4b + c)

c(d + c) - 2d - d(2d + c) + 3c

3ac -3c(a -1) - d(c + 3) + cd⊗

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 28

ECUACIÓN

Relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas, donde hay una o varias cantidades desconocidas (incógnitas).

� 5x = 3a

� 2 23x +1 = x + x

Grado de una ecuación

Cuando se tiene una sola incógnita: el mayor exponente de la incógnita

� 2 23x +1 = x + x : grado 2

� 2 53x +1 = x + x : grado 5

Cuando se tiene más de una incógnita: mayor valor obtenido al sumar los exponentes de los monomios.

� 2 2yx + x = y + x : grado 3

� 2 2yx + x = y + xy : grado 3

� 2 2 2 2 2 0 0 0 2y x +1= x y x +1y x = y x→ : grado 4

Principios fundamentales de las Ecuaciones:

� la ecuación no se altera si se suma, multiplica o divide, una misma cantidad a ambos lados de la igualdad:

2 2 2

22

5x = 3a 5x + 5 = 3a +5

3a = c 3(3a ) = 3c 9a = 3c

21ay -3d 21ay = -3d =

5 5

⊕ ≅

⊕ ≅ ≅

⊕ ≅

� la ecuación no se altera si se suma y resta, se multiplica y divide; una misma cantidad a un lado de la igualdad: .

2 2

2 2

5x = 3a 5x +5 -5 = 3a

5x = 3a 5x = 3a -1+1

11 3a = c (3a ) = c

1123

3a = c (3a ) = c23

⊕ ≅⊕ ≅

⊕ ≅

⊕ ≅

� la ecuación no se altera si se afectan ambos lados de la igualdad por el mismo exponente o radical:

7 7

41 41

5x = 3a 5x = 3a

5x = 3a (5x) = (3a)

⊕ ≅

⊕ ≅

Soluciones (raíces) de una Ecuación

Valores de las incógnitas que cumplen con la ecuación.

Caso: Ecuación de primer grado (exponente 1) con una incógnita

La solución se obtiene por despeje simple.

3 5x = 3 x =

5 x - 23 = 8 x = 8+ 23 x = 31

-17 17 -3a +17 = 0 3x = 0 -17 x = x = +

3 3x x

+3 = -7 = -7 -3 x =11(-7 -3) x = -11011 11

⊕ →

⊕ → →

⊕ → − → →−

⊕ → → →

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 30

Caso: Ecuación de segundo grado (exponente 2) con una incógnita

Es de la forma: ax2+bx+c=0

Se deben respetar los signos que se tengan en la ecuación dada. En lo posible se tratará que "a x2" sea siempre positivo.

Será incompleta si no aparecen los términos "bx" o "c"

La solución se obtiene por la relación: 2 4

2

b b acx

a

− ± −=

en donde a , b y c tienen el signo que esté delante de ellos en la ecuación. De la relación se obtienen dos soluciones: x1 cuando se suma el radical y

x2 cuando se resta el radical

El Caso es similar al del polinomio de segundo grado.

1

2

1

2

2 2

2

2 2

2

2 2

3x -7x = -2 3x -7x + 2 = 0

a = 3; b = -7; c = 2

x = 2-(-7) (-7) - 4(3)(2) 7 5x =

x = 1/ 32(3) 6

2x + ax -3a = 0

a = 2; b = a; c = -3a

x = 2a-a (a) - 4(2)(-3a ) -a 5ax =

x = -3a2(2) 2

⊕ →

± ± = =

⊕

± ± = =

Sistemas de Ecuaciones de primer grado: varias ecuaciones con una o más incógnitas

La solución se obtiene por los métodos de: IGUALACIÓN, SUSTITUCIÓN O REDUCCIÓN.

No se tendrá solución si: (1) hay más incógnitas que ecuaciones (2) una ecuación es múltiplo de otra (3) una ecuación es la suma o resta de otras ecuaciones.

Cualquiera de los tres métodos de resolución busca despejar una de las incógnitas de las ecuaciones,

quedando una ecuación de una incógnita. Luego de encontrado el valor de una incógnita, se sustituye

en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita. El procedimiento

será más laborioso si se tienen más de dos incógnitas-ecuaciones.

RESOLUCIÓN POR IGUALACIÓN

3 47 4 37

1 25 2 1

53 4 1 2

se eliminarán los denominadores y se aplicará la propiedad distributiva:7 5

5(3 4 ) 7(1 2 ) 15 20 7 14 agrupando términos semejantes:

15 7 14 20 8 34 d

yx y x

yxx y

y yx x

y y y y

y y y

−+ = =⊕ → + =− =

− += → =

− = + → − = +− = + → = espejando:

8este valor se va a sustituir en cualquiera de las "" despejadas:

34

8 703 43 4 7034 34 0,2941

7 7 7 238

utilizando la otra " " despejada:

8 501 21 2 5034 34 0,2941

5 5 5 170

y x

yx x

x

yx x

=

− − = = = → = =

+ + = = = → = =

MATEMÁTICA I

NIVELACIÓN 32

RESOLUCIÓN POR SUSTITUCIÓN

3 47 4 3

7 la " " despejada se sutituye en la otra ecuación:

5 2 1

3 45( ) 2 1 eliminando denominador "7" y aplicando propiedad distributiva:

75(3 4 ) 7(2 ) 7(1) 15 20 14 7 agrupando térmi

yx y x

x

x y

yy

y y y y

−+ = =⊕ → − =

− − =

− − = → − − = nos semejantes:

20 14 7 15 34 8 despejando:

8 8este valor se va a sustituir en la " " despejada:

34 34

8 703 43 4 7034 34 0,2941

7 7 7 238

y y y

y y x

yx x

− − = − → − = −

−= → =−

− − = = = → = =

RESOLUCIÓN POR REDUCCIÓN

Está metodología busca eliminar una de las incógnitas por suma simple de términos semejantes, para lo cual, idealmente, una misma incógnita deberá tener signos contrarios y coeficientes (números) iguales, de tal manera que al hacer la suma de términos, se simplifique (elimine) esa incógnita.

7 4 3 se elige la " " por tener signos contrarios, los coeficientes se igualan

5 2 1 al multpilicar la segunda ecuación por "2" :

7 4 3 7 4 3 se suman los términos d

5 2 1 10 4 2(2)

x y y

x y

x y x y

x y x y

+ =⊕ − =

+ = + = → → − = − = e ambas ecuaciones:

17 + 0 = 5 quedando una ecuación de una incógnita, despejando:

50,2941

17

este valor se sutituye en cualquiera de las ecuaciones originales, pa

x

x = =

ra determinar la otra incógnita:

5 255( ) 2 1 2 1 agrupando términos semejantes:

17 17

25 8 8 82 1 2

17 17 2(17) 34

y y

y y y y

− = → − =

− −− = − → − = → = → =−

EJERCICIOS factorizar los polinomios dados.

4 3 2 3 2

2 6 3

5 3 6 3

6 5 4 2 2

x + x -6x x + 4x + 4x

x +8x +16 x + 6x +9

x -9x x + 6x +9

9 x x 15x -10x + 25x 5x - + - 4x + -

2 2 2 2-7x

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ + 5 9x -7 2x -5 -2x +8+ = -1 - = x

7 8 3 7⊗

EJERCICIOS resolver las ecuaciones dadas.

2 2

2

x x 13x - (2x -1) = 7x - (3-5x) = -

2 6 4

x - 4 = 0 x -5x + 6 = 0

8x + 5 = 36x

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗ 2 2

2 2 4 2 2

2 2

2 -3x + 4x = 4x + x

x - b x - 2b = 0 4c -3ac -a = 0

3 x + 4x = + 2 = x + 4

x x

5x x 13 x 25x 14- - = + +

2 2 3 2 2 3

⊗ ⊗

⊗ ⊗

⊗ x -1 x -5 =

2 xx

+ 3y = 5-c -d = 4 2 y2c +3d = -11

-3x + = -25

x - y = -1 4a -5b = 2

2x -3y = 5 5a + 3b = 21

⊗

⊗ ⊗

⊗ ⊗

Nivelación Matemática Pre Universitaria

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