NÚMEROS (17 preguntas) - Clases Particulares de...

2016

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MT-11/12|Anual|Resumen

Resumen P.S.U. Matemática

NÚMEROS (17 preguntas)

Números Naturales (ℕ): Son los elementos del

conjunto ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … }.

o Números Primos: Números Naturales que solo

tienen dos divisores, la unidad y el mismo número.

𝑃 = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 23… }.

Recuerda: El 1 no es un número primo

o Números Compuestos: Números Naturales que

tienen más de dos divisores.

𝐶 = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,… }

Números Cardinales (ℕ0): Son los elementos del

conjunto ℕ0 = {0, 1, 2, 3, 4, … }.

Números Enteros (ℤ): Son los elementos del

conjunto ℤ = {… ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, … }.

Números Racionales (ℚ): Son los del conjunto

ℚ = {𝑎

𝑏/𝑎, 𝑏 ∈ ℤ, 𝑏 ≠ 0}.

o Las equivalencias más utilizadas entre fracciones,

decimales y porcentajes son:

1

2= 0,5 = 50%

1

3= 0, 3̅ = 33

1

3%

1

4= 0,25 = 25%

1

5= 0,2 = 20%

1

8= 0,125 = 12,5%

1

10= 0,1 = 10%

3

4= 0,75 = 75%

1

100= 0,01 = 1%

o Orden en ℚ: Una forma de comprobar cuándo una

fracción en mayor o menor que otra es

simplemente haciendo un producto en forma

cruzada. La otra posibilidad es pasar las fracciones a

decimales.

Números Irracionales (ℚ´): Son los números que no

se pueden escribir como fracción, por ejemplo √2.

Números Reales (ℝ): Son todos los números que

pertenecen a los racionales o a los irracionales.

Aproximaciones: Existen varios métodos de

aproximación siendo estos:

o Truncamiento: Se eliminan las cifras a partir de un

orden considerado. Ejemplo: Aproximar por

truncamiento el número 2,345378 a las milésimas.

Simplemente se eliminan las cifras que están

después de las milésimas, resultando 2,345.

o Redondeo: Se eliminan las cifras a partir de un

orden considerado, pero teniendo en cuenta que si

la primera cifra eliminada es 5 o más de 5 a la

última cifra decimal que se deja se le añade uno.

Ejemplo: Aproximar por redondeo el número 4,2451

a las centésimas y luego a las milésimas. En el

primer caso, resulta 4,25 y en el segundo 4,245.

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o Aproximación por defecto: Una aproximación es

por defecto si la aproximación es menor que el

número inicial. El truncamiento es siempre una

aproximación por defecto. Ejemplo: Al aproximar a

la centésima por defecto el número 2,438 resulta

2,43; donde 2,43 < 2,438.

o Aproximación por exceso: Una aproximación es por

exceso si la aproximación es mayor que el número

inicial. Ejemplo: Al aproximar a la centésima por

exceso el número 5,732 resulta 5,74; donde

5,74 > 5,732.

Números Complejos (ℂ): Son los números de la

forma 𝑎 + 𝑏𝑖, con 𝑎 y 𝑏 pertenecientes a ℝ.

Ejemplo: 5– 4𝑖

o Los Complejos también pueden ser representados

por pares ordenados. Por ejemplo: 5– 4𝑖 = (5,−4)

o Cuando un número complejo no tiene parte real, se

dice que es un imaginario puro Ejemplo: √−9 = 3𝑖

o Como 𝑖 = √−1 podemos obtener los valores de:

𝑖2 = −1

𝑖3 = −𝑖

𝑖4 = 1

o Complejo Conjugado: Sea el complejo 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖,

se denomina conjugado de 𝑧, al complejo

𝑧̅ = 𝑎 − 𝑏𝑖. Por ejemplo: Si 𝑧 = 5– 2𝑖, entonces

𝑧̅ = 5 + 2𝑖.

Operatoria de números complejos: Los números

complejos se pueden sumar, restar y multiplicar en

forma análoga a binomios algebraicos.

o Suma de Números Complejos: Se suman las partes

reales primero y luego las partes imaginarias (como

con los términos semejantes). Ejemplo:

(4 − 𝑖) + (−6 + 2𝑖) = −2 + 𝑖

o Resta de Números Complejos: Se restan las partes

reales primero y luego las partes imaginarias.

Ejemplo:

2 + 3 𝑖 − (5 − 7𝑖) = 2 + 3𝑖 − 5 + 7𝑖 = −3 + 10𝑖

o Multiplicación de Números Complejos: Para

multiplicar se debe operar como una multiplicación

de binomios. Ejemplo:

(1 − 9𝑖)(2 − 5𝑖) = 2 − 5𝑖 − 18𝑖 + 45𝑖2

= 2 − 45 − 5𝑖 − 18𝑖

= −43 − 23𝑖.

o División de Números Complejos: Para dividir

números complejos es necesario amplificar la

fracción por el conjugado del denominador.

Ejemplo: 2−3𝑖

1+𝑖→

2−3𝑖

1+𝑖∙1−𝑖

1−𝑖=

−1−5𝑖

1−𝑖2=

−1−5𝑖

1+1=

−1−5𝑖

2.

o Representación gráfica de un número complejo:

Podemos representar un número complejo en un

sistema cartesiano, haciendo coincidir el eje x

(horizontal) con la parte real del número complejo y

el eje y (vertical) con la parte imaginaria.

o Módulo de un complejo: Si 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, entonces el

módulo de 𝑧 es |𝑧|, tal que |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2

Potencias: Una potencia es el resultado de

multiplicar un número por sí mismo varias veces.

Propiedades de las potencias: Sean 𝒂, 𝒃, 𝒏 y 𝒎 números reales distintos de cero.

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1. 𝑎0 = 1 ∀ 𝑎 ≠ 0 → 00 = ∄

2. 𝑎𝑛 ∙ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚

3. 𝑎𝑛: 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛−𝑚

4. (𝑎𝑛)𝑚 = (𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑛∙𝑚

5. (𝑎

𝑏)−𝑛

= (𝑏

𝑎)𝑛

6. 𝑎−𝑛 =1

𝑎𝑛= (

1

𝑎)𝑛

7. (𝑎 ∙ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑛

8. (𝑎: 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛: 𝑏𝑛

Raíces: Las raíces son la operación contraria a las

potencias. La raíz enésima de 𝑏 se denota como √𝑎𝑛

tal que:

𝒂𝒏 = 𝒃𝒑⇔ 𝒂 = √𝒃

𝒏 Con 𝑛 ∈ ℕ

Donde 𝒏 se conoce como índice de la raíz y 𝒃 como

radical o cantidad del sub-radical.

Propiedades de las raíces: Considere que 𝒂, 𝒃, 𝒌, 𝒎, y

𝒏 son números reales distintos de cero y 𝑎 > 0

1. √ √𝑎

𝑚𝑛

= √𝑎𝑛∙𝑚

2. √𝑎𝑛

∙ √𝑏𝑛

= √𝑎 ∙ 𝑏𝑛

3. √𝑎𝑛

: √𝑏𝑛

= √𝑎 ÷ 𝑏𝑛

4. √𝑎𝑛 ∙ 𝑏𝑚𝑛= 𝑎√𝑏𝑚𝑛

5. √𝑎𝑚𝑛= √𝑎𝑚⋅𝑘𝑛∙𝑘

6. √𝑎𝑚𝑛= √𝑎𝑚:𝑘𝑛:𝑘

7. √𝑎𝑛𝑛= 𝑎

8. √𝑎𝑚𝑛= (√𝑎

𝑛)𝑚

Logaritmos: Exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado. Si se escribiera como ecuación, 𝐥𝐨𝐠𝐛𝒂 = 𝒙, donde 𝒃 es la base del logaritmo y 𝒂 es su argumento, con 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, 𝑎 > 0 corresponde a resolver 𝒃𝒙 = 𝒂. Es decir:

𝐥𝐨𝐠𝐛 𝐚 = 𝐱 ⇔ 𝐛𝐱 = 𝐚

Propiedades de los logaritmos: Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐 números reales y positivos, 𝑏 ≠ 1 1. Logaritmo de la base

log𝑏 𝑏 = 1

2. Logaritmo de la unidad

log𝑏 1 = 0

3. Logaritmo de un producto

log𝑏(𝑎 ∙ 𝑐) = log𝑏 𝑎 + log𝑏 𝑐

4. Logaritmo de un cociente

log𝑏 (𝑎

𝑐)= log𝑏 𝑎 − log𝑏 𝑐

5. Logaritmo de una potencia

log𝑏 𝑎𝑐 = 𝑐 ∙ log𝑏 𝑎

6. Logaritmo de una raíz

log𝑏 √𝑎𝑛

=log𝑏 𝑎

𝑛

7. Cambio de base

log𝑏 𝑎 =log𝑐 𝑎

log𝑐 𝑏

8. Propiedad especial

𝑏log𝑏(𝑥) = 𝑥

Algunos valores de logaritmos:

log 10 = 1 log 100 = 2 log 0,1 = −1 log 0,01 = −2

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ÁLGEBRA Y FUNCIONES (19 preguntas)

Lenguaje algebraico: Hay diversas palabras que

tienen un significado matemático cuando forman

parte de una situación problemática. Aprender su

significado es fundamental para resolver

problemas. A continuación se muestra un listado

de la relación entre palabras y a que es lo que se

hace referencia:

Palabras Hace referencia

Agregar, añadir, aumentar Adición (Suma)

diferencia, disminuir,

exceso Sustracción (Resta)

veces, factor, de, del,

producto Multiplicación

razón, cociente División

doble, duplo, múltiplo de 2,

número par 2𝑛

Observación:

o El cuidado principal debe estar en el orden en que

se leen las expresiones, ya que debe hacerse

comenzando por lo que afecta a toda la expresión.

Ejemplo 2𝑥3: El doble del cubo de un número.

(2𝑥)3: El cubo del doble de un número.

Productos Notables: Los productos notables son casos de interés de multiplicaciones de expresiones algebraicas. Estos permiten conocer su resultado con anticipación. Su utilización logra ahorrar tiempo en la resolución de ejercicios y permite comprender de mejor forma los casos de factorización. 1. Cuadrado de binomio:

2 2 2a b a 2ab b

2. Multiplicación de binomios con término común:

2x a x b x x a b ab

3. Suma por diferencia:

2 2a b a b a b

4. Cubo de Binomio:

3223333 babbaaba

5. Cuadrado de Trinomio:

(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 = 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑏𝑐 + 2𝑎𝑐

6. Suma de Cubos:

2233 yxyxyxyx

7. Diferencia de Cubos:

2233 yxyxyxyx

Factorización: Proceso contrario a los productos

notables. Ejemplos de Factorización:

1. Factor Común

12𝑥 − 18𝑥2 = 6𝑥(2 − 3𝑥)

2. Factor Común Compuesto

𝑎𝑝 − 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 − 𝑏𝑞 = 𝑎(𝑝 − 𝑞) + 𝑏(𝑝 − 𝑞)

= (𝑎 + 𝑏)(𝑝 − 𝑞)

3. Trinomios

o Caso 1: Binomios con Término Común

𝑢2 + 8𝑢 − 20 = (𝑢 + 10)(𝑢 − 2)

o Caso 2: Cuadrado Perfecto

16 + 40𝑥2 + 25𝑥4 = 42 + 2 ∙ 4 ∙ 5𝑥2 + (5𝑥2)2 = (4 + 5𝑥2)2

o Caso 3: Caso Especial 5𝑥2 + 2𝑥 − 3 = 25𝑥2 + 2𝑥 ∙ 5 − 15

5

=

(5𝑥 + 5)(5𝑥 − 3)

5

=

5(𝑥 + 1)(5𝑥 − 3)

5

= (𝑥 + 1)(5𝑥 − 3)

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Suma de Cubos

8 + 27𝑦3 = (23 + 33𝑦3)

= (2 + 3𝑦)(22 − 2 ∙ 3𝑦 + 32𝑦2)

= (2 + 3𝑦)(4 − 6𝑦 + 9𝑦2)

Diferencia de Cubos

125 − 𝑦6 = (53 − (𝑦2)3)

= (5 − 𝑦2)(52 + 5 ∙ 𝑦2 + (𝑦2)2)

= (5 − 𝑦2)(25 + 5𝑦2 + 𝑦4)

Diferencia de Cuadrados

𝑛2 − 81 = 𝑛2 − 92 = (𝑛 − 9)(𝑛 + 9)

Ecuaciones Lineales: Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1. Toda ecuación de primer grado en una variable puede reducirse a la forma: 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:

Ax + By = C Dx + Ey = F

Donde A, B, C, D, E y F son números reales.

Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución, igualación y reducción.

o Método De Sustitución: Se debe despejar una de

las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.

o Método De Igualación: Se debe despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.

o Método De Reducción: Se deben igualar los

coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

o Desigualdades: En los números reales se cumple

que dos números x e y son 𝑥 > 𝑦, 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 = 𝑦. Las desigualdades corresponden a expresiones relacionadas por los signos <, >, ≤, ≥.

o Una desigualdad no cambia al sumarle o restarle una cantidad a ambos lados de ella. Tampoco cambia al multiplicarla o dividirla por un real positivo, pero CAMBIA al multiplicarla o dividirla por un número negativo. Ejemplo:

28 > 14 /: −7 28: (−7) < 14: (−7)

−4 < −2 o Un intervalo es un subconjunto de los números

reales. Existen cuatro tipos de intervalos, los cuales son:

o Cerrado: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Ejemplo: [−4,1]

o Abierto: bxaIRxba /,

Por ejemplo: ]−3,3[

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o Abierto por la izquierda: bxaIRxba /,

Por ejemplo: ]−3,3]

o Abierto por la derecha: bxaIRxba /,

Por ejemplo: [−2,5[

Inecuaciones de Primer Grado: Es una desigualdad que contiene una o más incógnitas la cual se resuelve aplicando las propiedades de las desigualdades. Ejemplo:

4𝑥 – 1 > 7 4𝑥 > 8 𝑥 > 2

Solución: 𝑥 ∈ ]2,∞+[

Resolución Sistemas de Inecuaciones: Si se tiene un sistema de inecuaciones lineales conformado por 2 o más inecuaciones, se debe resolver cada una de estas como una inecuación simple (aplicando las propiedades de las desigualdades); luego, al tener las respectivas soluciones de cada una, la solución final del sistema será la intersección de estas. Es conveniente realizar un gráfico para visualizar la intersección; si esta no existe, entonces la solución del sistema de inecuaciones será vacía.

Funciones: Una función matemática es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto X le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto Y.

Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Codominio. Dentro del codominio está el Recorrido, que corresponde a todos los elementos que son imagen de algún elemento de X.

A la variable X se le llama variable independiente, mientras que a la variable Y se le denomina variable dependiente.

Para determinar si un gráfico corresponde a una función, recomiendo utilizar el método de las verticales que consiste en trazar líneas verticales sobre la figura, si estás líneas intersectan a la figura en dos o más puntos NO es función. Ejemplo:

Al trazar verticales concluimos que no son funciones los grafico 3 y 5.

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva (o 1 a 1) si para todo par de elementos distintos del dominio, sus imágenes son diferentes, es decir, ningún elemento del conjunto 𝐵 es imagen de dos elementos distintos del conjunto 𝐴. Algebraicamente, esto se puede representar como: ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟺ 𝑥1 = 𝑥2

Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es epiyectiva (o sobreyectiva) si y solo si todo elemento del conjunto B es imagen de algún elemento del conjunto A, es decir:

∀ 𝑦 ∈ 𝐵, ∃ 𝑥 ∈ 𝐴/𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑜 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝐵

Función Afin: Su forma principal es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛.

Donde 𝑚 corresponde a la pendiente de la recta y 𝑛 es el coeficiente de posición.

o Si 𝑚 > 0 la recta se “inclina” a la derecha. o Si 𝑚 < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda. o Si 𝑚 = 0, la recta es paralela al eje x. o Si 𝑚 = ∞, la recta es paralela al eje y. El valor 𝑛 corresponde al punto (0, 𝑛) que es la intersección de la recta con el eje y.

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o Cuando 𝑛 = 0, recibe el nombre de Función Lineal

y la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas.

o Forma General: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, donde la

pendiente 𝑚 = −𝑎

𝑏 y el coeficiente de posición

𝑛 = −𝑐

𝑏

Función Cuadrática: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0. Su gráfica corresponde a una parábola.

Concavidad: El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (𝑎 > 0) o hacia abajo (𝑎 < 0).

Vértice: Para determinar el vértice es conveniente

determinar primero 𝒙 = −𝒃

𝟐𝒂, posteriormente se

reemplaza el valor obtenido en la función para calcular el valor 𝑦.

Eje de simetría de la parábola: Corresponde a la

recta 𝑥 = −𝑏

2𝑎, paralela al eje y.

o Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.

o Si 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.

o Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.

o Si 𝑎 < 0 y 𝑏 < 0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.

Intersección con los ejes: o La intersección con el eje y la da el coeficiente c y

corresponde al punto (0, 𝑐). o La intersección con el eje x está determinada por el

valor del discriminante 𝑏2 − 4𝑎𝑐 o Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la parábola intersecta en dos

puntos al eje x. o Si𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la parábola intersecta en un

punto al eje x. o Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la parábola no intersecta al eje

x.

Ecuación de segundo grado: Para resolver ecuaciones de segundo grado podemos usar cuatro métodos. 1. Por inspección: Se utiliza para resolver

ecuaciones cuadráticas incompletas. Ejemplo: 4𝑥2 = 0 /: 4 𝑥2 = 0 /±√𝑎 𝑥 = 0

2. Factorización: Se usa cuando la ecuación

cuadrática es factorizable. Ejemplo: 𝑥2 − 2𝑥 − 35 = 0 −7 ∙ 5 = −35

(𝑥 − 7) ∙ (𝑥 + 5) = 0 −7 + 5 = −2 Cuando un producto es 0, entonces uno de los factores es cero.

∴ 𝑥 − 7 = 0 ó 𝑥 + 5 = 0 Despejando 𝑥 𝑥1 = 7 ó 𝑥2 = −5

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3. Método de Completación del Cuadrado Perfecto: Transformaremos el trinomio dado, en una expresión que contenga un cuadrado de binomio. Con esto conseguiremos una ecuación que se puede reducir a ecuaciones lineales. Ejemplo:

𝑥2 − 2𝑥 − 1 = 0 /+1 𝑥2 − 2𝑥 + 1 − 1 = 1 /+1

𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 2 Factorizamos (𝑥 − 1)2 = 2 /√

𝑥 − 1 = √2 ó 𝑥 − 1 = −√2 Despejando 𝑥

𝑥1 = √2 + 1 y 𝑥2 = −√2 + 1

4. Fórmula General: Se recomienda utilizar

cuando la factorización no es simple.

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Suma de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

𝑥1 + 𝑥2 = −𝑏

𝑎

Producto de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

𝑥1 ∙ 𝑥2 =𝑐

𝑎

Traslación de funciones: Se refiere a la traslación de una función 𝑓(𝑥), la cual puede hacerse en forma horizontal 𝑓(𝑥 ± 𝑎) y/o vertical 𝑓(𝑥) ± 𝑎, con 𝑎 > 0.

Función Potencia: Una función Potencia es una

función de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥𝑛, donde 𝑎 es un número real, distinto de cero y 𝑛 es un número natural, distinto de uno.

La gráfica de la función 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝒏 depende de si 𝒏 es par o impar.

𝒏 impar

𝒏 par

Función Raíz: Si 𝒙 es un número real no negativo, se

define la función raíz cuadrada de 𝒙 por: 𝒇(𝒙) = √𝒙

Función Parte Entera (o función escalonada): La

parte entera de un número es el entero menor más cercano al número. A la función 𝑓(𝑥) = [𝑥], se la llama Función Parte Entera. Ejemplo: [3,7] = 3 [−2,7] = −3

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o La gráfica de una función parte entera es:

Función Valor Absoluto: El valor absoluto de un

número 𝒙 ∈ ℝ, denotado por |𝒙| es siempre un número real no negativo. La función valor absoluto queda definida como:

𝒇(𝒙) = 𝒂|𝒙| = {−𝒂𝒙, 𝑥 < 0

𝒂𝒙, 𝑥 ≥ 0

o Representaciones gráficas:

𝒇(𝒙) = |𝒙| , con 𝒂 > 0

𝒇(𝒙) = −|𝒙|, con 𝒂 < 0

Función Exponencial: Toda función cuya variable se encuentre sólo en el exponente de una potencia. Su representación algebraica es:

𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙, 𝑠𝑖 𝑎 > 0, 𝑥 ∈ ℝ, 𝑎 ≠ 1

Propiedades: o La gráfica intersecta al eje Y en (0, 1). o La gráfica no intersecta al eje de las abscisas. o Si 𝑎 > 1, entonces la función es creciente. o Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.

Función logarítmica: Toda función cuya variable se encuentra en el argumento de un logaritmo, por ejemplo, de la forma

𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒙 , 𝑐𝑜𝑛 𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, 𝑥 > 0

Propiedades: o La gráfica intersecta al eje de las abscisas en (1, 0). o La gráfica no intersecta al eje de las ordenadas. o Si 𝑎 > 1, entonces la función es creciente. o Si 0 < 𝑎 < 1 la función es decreciente.

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Geometría (22 preguntas)

Triángulos: Polígono de tres lados. Se pueden clasificar según sus lados y/o ángulos.

Elementos secundarios de un triángulo.

Altura: Es la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación.

o Teorema: En todo triángulo el producto entre la longitud de cada lado por su altura correspondiente, es constante.

Bisectriz: Es el trazo que divide al ángulo en dos

partes congruentes.

Transversal de Gravedad: es el segmento que une al

vértice con el punto medio del lado opuesto. G es el punto de intersección de las transversales, el cual las divide en la razón 2:1.

o Teorema: En todo triángulo, las tres transversales de gravedad determinan 6 triángulos de áreas equivalentes.

Simetral: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.

Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo. Cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de dicho lado. Además se forman 4 triángulos iguales (congruentes) y semejantes al original.

Teoremas relativos al Triángulo Isósceles y

Equilátero. o Teorema 1: En todo triángulo isósceles coinciden

los elementos secundarios correspondientes al lado distinto.

o Teorema 2: en todo triángulo equilátero coinciden

los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.

ℎ∆𝐸𝑞𝑢𝑖𝑙á𝑡𝑒𝑟𝑜 =(𝑙𝑎𝑑𝑜)√3

2

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Teorema Transversal de Gravedad y Triángulo Rectángulo: En todo triángulo rectángulo, la transversal de gravedad trazada desde el ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.

Sea el ∆ABC rectángulo en C y CH̅̅ ̅̅ la altura que cae del vértice C, se cumplen los siguientes Teoremas:

Teorema de Pitágoras: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

Teorema de Euclides o 𝑎2 = 𝑝 ∙ 𝑐 o 𝑐 = 𝑝 + 𝑞

o 𝑏2 = 𝑞 ∙ 𝑐 o ℎ =𝑎∙𝑏

𝑐

o ℎ2 = 𝑝 ∙ 𝑞 o 𝑎2

𝑏2 =𝑝

𝑞

Triángulos congruentes: Un ΔABC es congruente con otro ΔDEF si sus lados respectivos (homólogos) son congruentes y sus ángulos respectivos (homólogos) también los son. Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas para esto se conocen como criterios de congruencia.

Criterio LAL (Lado – Ángulo – Lado): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.

∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐷𝐸𝐹 porque, 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐸̅̅ ̅̅ ; ∡𝐴𝐵𝐶 ≅ ∡𝐷𝐸𝐹 y

𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ .

Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente.

∆𝐺𝐻𝐼 ≅ ∆𝐽𝐾𝐿 porque, ∡𝐺𝐻𝐼 ≅ ∡𝐽𝐾𝐿; 𝐻𝐼̅̅̅̅ ≅ 𝐾𝐿̅̅ ̅̅ y ∡𝐻𝐼𝐺 ≅ ∡𝐾𝐿𝐽.

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.

∆𝑀𝑁𝑂 ≅ ∆𝑃𝑄𝑅 porque, 𝑀𝑁̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ ; 𝑁𝑂̅̅ ̅̅ ≅ 𝑄𝑅̅̅ ̅̅ y 𝑂𝑀̅̅ ̅̅ ̅ ≅ 𝑅𝑃̅̅ ̅̅ . Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo Mayor): Dos

triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.

∆𝐴𝐶𝐸 ≅ ∆𝐵𝐷𝐹 porque, 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ≅ 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ ; 𝐶𝐸̅̅ ̅̅ ≅ 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ y ∡𝐶𝐸𝐴 ≅ ∡𝐷𝐹𝐵, siendo AC y BD los lados de mayor medida.

𝑡𝑐 =𝐴𝐵̅̅ ̅̅

2↔ 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐷̅̅ ̅̅ = 𝐴𝐷̅̅ ̅̅

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Semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales. Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes:

Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Este criterio es el que más se ocupa en la PSU.

Lado Proporcional-Ángulo-Lado Proporcional (LAL): Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman.

Lado Proporcional – Lado P. – Lado P. (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

Teorema de Thales: Se usa cuando dos rectas son paralelas

Teorema de Apolonio:

BC AC a b

u vDB AD

o El ángulo del centro mide el doble que todos aquellos ángulos inscritos que subtienden el mismo arco.

∡𝐴𝑂𝐶 = 2∡𝐴𝐵𝐶

o Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco, miden lo mismo.

o Todo ángulo inscrito en

una semicircunferencia es recto.

o La intersección de un radio y la tangente a la circunferencia forman un ángulo recto.

o Todo ángulo semi-

inscrito en una circunferencia tiene medida igual a la mitad de la medida del ángulo del centro, que subtiende el mismo arco.

o Si desde un punto se trazan dos tangentes a una circunferencia, los trazos formados son congruentes.

o La medida de un

ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos correspondientes.

∡𝐴𝐸𝐵 =𝐴�̂�+𝐶�̂�

2

A B

C

D

a

b

u v

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Proporcionalidad en la circunferencia. o Teorema de las cuerdas

𝑨𝑷̅̅ ̅̅ ∙ 𝑩𝑷̅̅ ̅̅ = 𝑪𝑷̅̅ ̅̅ ∙ 𝑫𝑷̅̅̅̅̅

o Teorema del radio y la cuerda

CBACODAB

o Teorema de las secantes

𝑷𝑨 ̅̅ ̅̅ ̅ · 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ = 𝑷𝑪 ̅̅ ̅̅ ̅ · 𝑷𝑫̅̅̅̅̅

o Teorema de la tangente y la secante

𝑨𝑷̅̅ ̅̅ 𝟐 = 𝑷𝑩̅̅ ̅̅ ∙ 𝑷𝑪̅̅ ̅̅

Área y Perímetro de figuras geométricas: o El perímetro de una figura es la medida total de su

frontera o contorno, expresada en unidad de longitud. Lo simbolizamos con la letra P.

o El área es la medida de la superficie que ocupa una figura. Lo simbolizamos con la letra A

∡𝐶𝐴𝐷 =𝐶�̂� − 𝐵�̂�

2

o La medida de un ángulo exterior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos correspondientes.

Cuadrado 𝑃 = 4𝑎

𝐴 = 𝑎2 o 𝐴 =𝑑2

2

Rectángulo 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏

𝐴 = 𝑎 ∙ 𝑏

Rombo 𝑃 = 4𝑎

𝐴 =𝑑1∙𝑑2

2 o 𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ1

Romboide 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏

𝐴 = 𝑎 ∙ ℎ1 o 𝐴 = 𝑏 ∙ ℎ2

Triángulo 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝐴 =𝑏𝑎𝑠𝑒 ∙ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎

2

Triángulo equilátero

𝑃 = 3𝑎

𝐴 =𝑎2√3

4

Trapecio

𝑃 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑏1 + 𝑏2 𝐴 = 𝑚 ∙ ℎ

Con 𝑚 =(𝑏1+𝑏2)

2

Deltoide 𝑃 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑

𝐴 =𝑑1 ∙ 𝑑2

2

a=b; c=d

Circunferencia y Círculo 𝑃 = 2𝜋𝑟 𝐴 = 𝜋𝑟2

a

b

b

a

a

a

a

a

ℎ1

a

b

b

a

a

c

b

a

b2

b1

c m

h

r

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Sector circular

rr

PAOB 2º360

2

º360

2

rAAOB

Volumen de cuerpos geométricos: El volumen es la cantidad de espacio que ocupa un cuerpo (capacidad). Lo simbolizamos con la letra V

Cubo o Hexaedro Regular 𝐴 = 6𝑎2 𝑉 = 𝑎3

Prisma de base rectangular o

Paralelepípedo 𝐴 = 2(𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 + 𝑏𝑐)

𝑉 = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐

Cilindro 𝐴 = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ)

𝑉 = 𝜋𝑟2 ∙ ℎ

Cono 𝐴 = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟𝑔

𝑉 =𝜋𝑟2 ∙ ℎ

3

Esfera 𝐴 = 4𝜋𝑟2

𝑉 =4

3𝜋𝑟3

Ecuación de la recta: Para hallar la ecuación de la

recta podemos usar las siguientes fórmulas: o Ecuación Punto – Pendiente: Si se tiene un punto

),( 11 yxA y una pendiente conocida, se define la

ecuación punto-pendiente como:

)( 11 xxmyy

o Ecuación Punto – Punto: Si se tienen dos puntos

),( 11 yxA y ),( 22 yxB , se define la ecuación punto

– punto como:

𝑦 − 𝑦1 =𝑦2 − 𝑦1

x2 − x(𝑥 − 𝑥1)

1

o Distancia entre dos puntos: Sean ),( 11 yxA y

),( 22 yxB dos puntos, la distancia entre ellos es

𝑑(𝐴𝐵) = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2. o Punto Medio: Sean ),( 11 yxA y ),( 22 yxB dos

puntos, las coordenadas del punto medio son

𝑀 = (𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2)

Posiciones relativas entre rectas o Dos rectas serán paralelas cuando sus pendientes

sean iguales y sus coeficientes de posición sean

distintos. Entonces 212121 // nnmmLL

o Dos rectas serán perpendiculares cuando la

multiplicación de sus pendientes sea igual a -1.

Entonces 12121 mmLL

o Dos rectas serán coincidentes siempre y cuando sus

pendientes y coeficientes de posición sean iguales.

Entonces 212121 nnmmCLL

a

a

b c

h

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Vectores: Un vector fijo es un segmento orientado. Se

representa por 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗. El punto O es el origen y el punto A es el extremo.

Componentes de un vector: El vector definido por dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) es el que se obtiene al restar el vector de posición del extremo menos el del origen.

𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ − 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗

Sus componentes son: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 – 𝑦1)

Características de un vector:

o El módulo o magnitud: es la longitud. Se representa

por |𝑂𝐴⃗⃗ ⃗⃗ ⃗|. Para calcularlo se usa el teorema de

Pitágoras. Si 𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩, entonces:

|�⃗⃗� | = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 o La dirección: es la dirección de la recta que lo

contiene. o El sentido: es el que va del origen al extremo.

Vector opuesto: Analíticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; y geométricamente, es el que tiene el mismo módulo y dirección pero sentido contrario. Ejemplo: El vector opuesto de 𝑣 = ⟨−5, 2⟩ es −𝑣 = ⟨5,−2⟩.

Suma y resta de vectores: Para sumar y restar vectores analíticamente, se suman o restan sus componentes. Por ejemplo, sean los vectores �⃗� = ⟨6, 2⟩ y 𝑣 = ⟨3, 4⟩.

�⃗� + 𝑣 = ⟨6, 2⟩ + ⟨3, 4⟩ = ⟨9, 6⟩ �⃗� − 𝑣 = ⟨6, 2⟩ − ⟨3, 4⟩ = ⟨3,−2⟩

Regla del paralelogramo: Para sumar y restar vectores geométricamente, se forma un paralelogramo uniendo por el origen los vectores �⃗� y 𝑣 . Luego se se desplazan los vectores para unir sus “colas” y se completa el paralelogramo

La diagonal que parte del origen es el vector suma �⃗� + 𝑣 ; y la diagonal que parte del extremo de v es el vector resta �⃗� − 𝑣 .

Producto de un vector por un escalar: En general,

cuando se calcula el producto de un escalar por un vector, se obtiene un nuevo vector, que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor por el cual fue multiplicado. Ejemplo: Consideremos el

vector 𝑓 = ⟨2,3⟩ y el escalar 𝜆 = −1. El producto por un escalar queda definido como:

−1𝑓 = −1 ∙ (2,3) = (−1 ∙ 2, −1 ∙ 3) = (−2,−3)

Vector director: Un vector de una recta es un vector paralelo a la recta, es decir, tiene la misma dirección que la recta. Para hallar el vector director de una recta se toman dos puntos de la recta y se calculan sus componentes.

Ecuación vectorial de la recta: La ecuación de una recta es una expresión analítica que permite identificar todos los puntos de la recta. Dados un punto 𝑃 de la recta y un vector de dirección �⃗� , un punto genérico de la recta X tendrá como vector

de posición 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗.

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Es claro que 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗, como el vector 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ y �⃗� están en la misma dirección existe un número 𝜆 tal

que 𝑃𝑋⃗⃗⃗⃗ ⃗ = 𝜆�⃗� , por tanto 𝑂𝑋⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ = 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗ + 𝜆�⃗� . Si 𝑑 es el vector director y 𝑝 es su vector posición, la ecuación vectorial de la recta es: ⟨𝒙, 𝒚⟩ = ⟨𝒙𝟏, 𝒚𝟏⟩ + 𝝀⟨𝒅𝟏, 𝒅𝟐⟩ con 𝜆 ∈ ℝ, o bien ⟨𝒙, 𝒚⟩ = ⟨𝒙𝟏, 𝒚𝟐⟩ + ⟨𝝀𝒅𝟏, 𝝀𝒅𝟐⟩ con 𝜆 ∈ ℝ.

o Ecuación Paramétrica de la recta: Para encontrar las ecuaciones paramétricas se deben igualar sus componentes, es decir:

⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥1, 𝑦1⟩ + ⟨𝜆𝑑1, 𝜆𝑑2⟩ ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥1 + 𝜆𝑑1, 𝑦1 + 𝜆𝑑2⟩

𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑑1

𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑑2} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ

o Ecuación continua de la recta: Si en las expresiones

anteriores 𝑑1 y 𝑑2 son distintos de cero, se puede despejar el parámetro 𝜆 de cada ecuación e igualar:

𝑥 = 𝑥1 + 𝜆𝑑1

𝑦 = 𝑦1 + 𝜆𝑑2} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ

𝑥−𝑥1

𝑑1= 𝜆

𝑦−𝑦1

𝑑2= 𝜆

} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ

𝑥 − 𝑥1

𝑑1=

𝑦 − 𝑦1

𝑑2

Geometría Espacial: Los ejes son X (Abscisas), Y (Ordenadas), Z (Cotas) mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendiculares XY, XZ, y el YZ. Ejemplo: El punto A está ubicado en el plano tridimensional y sus coordenadas son: (𝑎, 𝑏, 𝑐).

Distancia entre dos puntos en el espacio: Sean los puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). La distancia entre dos puntos en el espacio está dada por:

𝑑 = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2 + (𝑧2 − 𝑧1)2

o Ecuación vectorial de la recta en el espacio: Como ya hemos determinado la ecuación vectorial de la recta en el plano, resulta fácil establecer en forma equivalente las del espacio. ⟨𝒙, 𝒚, 𝒛⟩ = ⟨𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎⟩ + 𝝀⟨𝒅𝟏, 𝒅𝟐, 𝒅𝟑⟩. O también ⟨𝒙, 𝒚, 𝒛⟩ = ⟨𝒙𝟎 + 𝝀𝒅𝟏, 𝒚𝟎 + 𝝀𝒅𝟐, 𝒛𝟎 + 𝝀𝒅𝟑⟩, con 𝜆 ∈ ℝ.

o Ecuación paramétrica de la recta en el espacio:

Igualando los componentes, se obtienen sus ecuaciones paramétricas:

𝑥 = 𝑥0 + 𝜆𝑑1

𝑦 = 𝑦0 + 𝜆𝑑2

𝑧 = 𝑧0 + 𝜆𝑑3

} 𝑐𝑜𝑛 𝜆 ∈ ℝ

o Ecuación continua de la recta en el espacio: 𝑥 − 𝑥0

𝑑1=

𝑦 − 𝑦0

𝑑2=

𝑧 − 𝑧0

𝑑3

Transformaciones Isométricas: Son aquellas transformaciones en el plano que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura.

o Traslación: Las componentes del vector de

traslación indican si la traslación es hacia la izquierda o la derecha (abscisa del vector) y si la traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del vector).

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o Rotaciones de un punto (𝒙, 𝒚) respecto al origen (𝟎, 𝟎): Al rotar en sentido antihorario (rotación positiva) es posible usar la siguiente tabla:

Punto Inicial (x, y)

R(0, 90°) (-y, x) R(0, 180°) (-x, -y) R(0, 270°) (y, -x) R(0, 360°) (x, y)

Ejemplo: A continuación se muestra una rotación positiva del triángulo ABC en 90º.

o Simetrías (o reflexiones) o Axial: Simetría con respecto a un eje. La reflexión de

un punto A en torno a una recta L, es un punto A` tal

que 𝐴𝐴`̅̅ ̅̅ ̅ ⊥ 𝐿 y 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃𝐴`̅̅ ̅̅ ̅.

Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al eje x, obtenemos el punto A’(x, -y). Si reflejamos A(x, y) en torno al eje y, obtenemos el punto A’(-x, y).

o Central: Simetría con respecto a un punto. La

reflexión de un punto A en torno a un punto P, es un

punto A’ tal que A, P y A’ son colineales y 𝐴𝑃̅̅ ̅̅ ≅ 𝑃𝐴`̅̅ ̅̅ ̅. Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al origen (0,0), se obtiene el punto A’(-x, -y)

Teselación: Para teselar el plano al unir las figuras y que no queden huecos entre ellas, debe cumplirse que la suma de sus ángulos en la unión de los vértices debe ser 360º.

Homotecia: Se llama homotecia de centro O y

razón 𝑘 ≠ 0, a la transformación del plano que hace corresponder a un punto P otro P`, alineado con O y con P, tal que cada punto P` cumple que

𝑂𝑃`̅̅ ̅̅ ̅ = 𝑘 ∙ 𝑂𝑃̅̅ ̅̅ . Al punto P` se denomina homólogo de P.

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Datos y Azar (22 preguntas)

Principios Fundamentales del conteo

Regla de la suma: Si se puede realizar una primera tarea de 𝑚 maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de 𝑛 maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio de 𝑚 + 𝑛 maneras de realizar una tarea. Ejemplo: Si se desea escoger un alumno entre 2 grupos escolares disponibles, el primero con 25 alumnos y el segundo con 30, entonces se puede seleccionar al alumno de 25+30=55 maneras diferentes.

Regla del producto: Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay 𝑚 posibles resultados para la primera etapa y 𝑛 para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de 𝑚 · 𝑛 maneras. Ejemplo: Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6∙8 = 48 formas.

Combinatoria

Factorial: Sea 𝑛 un número natural 𝑛! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙∙∙∙∙ (𝑛 − 1) ∙ 𝑛

Definiéndose 0! = 1. Ejemplo: 4! = 4∙3∙2∙1 = 24

Variación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos de 𝑘 elementos, donde 𝑘 < 𝑛. Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9, sin repetir ninguno de ellos?

𝑉 =5!

(5 − 4!)=

5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1

1= 120

Se pueden formar 120 números de 4 cifras.

Permutación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos de 𝑘 elementos, donde 𝑘 = 𝑛.

𝑃 = 𝑛! Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras podemos escribir con los dígitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se repita?

𝑃 = 4! = 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 24 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠

o Combinación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos de 𝑘 elementos, con 𝑘 < 𝑛, en que los elementos de cada grupo no pueden estar en otro orden en algún otro grupo.

𝐶 =𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Ejemplo: En un curso de 20 alumnos se quiere formar una comisión de 3 alumnos. ¿De cuántas maneras distintas se puede formar dicha comisión?

𝐶 =20!

3! ∙(20−3)!=

20∙19∙18∙17!

2∙1∙17!= 3420 maneras

o Cálculo de Probabilidades: Para calcular la probabilidad teórica de un evento 𝐴 se utiliza la expresión:

𝑃(𝐴) =𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠

𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠

o Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su

complementario (o equivalente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:

𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐴𝑐) = 1 ⇒ 𝑃(𝐴𝑐) = 1 − 𝑃(𝐴) Donde 𝐴𝑐

denota al suceso contrario o suceso complementario de A

Probabilidad de eventos. o Si A y B son dos sucesos incluyentes, la

probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

𝐏(𝐀 𝐨 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁) − 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) o Si A y B son dos sucesos excluyentes, la

probabilidad de que ocurra A o B está dada por: 𝐏(𝐀 𝐨 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∪ 𝐁) = 𝐏(𝐀) + 𝐏(𝐁)

o Los sucesos 𝐴 y 𝐵 se consideran independientes

cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

𝐏(𝐀 𝐲 𝐁) = 𝐏(𝐀 ∩ 𝐁) = 𝐏(𝐀) ⋅ 𝐏(𝐁)

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o Probabilidad Condicionada: Sean A y B dos sucesos dependientes de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el suceso B ha ocurrido.

𝐏(𝐀/𝐁) =𝐏(𝐀 ∩ 𝐁)

𝐏(𝐁)

Función de probabilidad: La función de probabilidad es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor particular.

𝑓(𝑥) = 𝑃(𝑋 = 𝑥)

Funcion de distribución de probabilidad: La función de distribución es la probabilidad de que la variable tome valores iguales o inferiores a 𝑥:

𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥)

Tanto la Función de Probabilidad como la de distribución pueden ser representadas gráficamente con el diagrama de barras.

Distribución Normal (o Gaussiana): Si se repite una experiencia un gran número de veces, los resultados tienden a agruparse simétricamente en torno a un valor medio. Cuantas más veces se repita la experiencia, más se acercan los resultados a una curva ideal correspondiente a una distribución normal.

Propiedades de la distribución normal: 1. Tiene una única moda, que coincide con su media y

su mediana. 2. La curva normal tiene forma de campana y por eso

recibe el nombre de Campana de Gauss y depende

de los parámetros y . Es asintótica al eje de abscisas.

3. La distancia entre la línea trazada en la media y el punto de inflexión de la curva es igual a una desviación típica (𝜎).

4. 4. El área total bajo la curva es igual a 1. El área comprendida entre los valores situados aproximadamente a una desviación estándar de la media es 0,68 y a dos desviaciones estándar es 0.95.

5. Es simétrica con respecto a su media. O sea, existe una probabilidad de un 50% de observar un dato mayor que la media, y un 50% de observar un dato menor.

6. La media indica la posición de la campana y la desviación típica o estándar determina el grado de

apuntamiento de la curva. Cuanto mayor sea , más aplanada será la curva.

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A partir de cualquier variable X que siga una distribución 𝑁(𝜇, 𝜎), se puede obtener otra característica Z con una distribución normal estándar, sin más que efectuar la transformación:

𝑍 =𝑋 − 𝜇

𝜎

De modo que ahora Z distribuye 𝑁(0, 1). A este proceso se le conoce como tipificación.

Manejo de la tabla normal

1. Cuando la probabilidad pedida se encuentra

directamente en las tablas. Ejemplo: Hallar la probabilidad p(z ≤ 1,15). Vemos directamente en la tabla p (z ≤ 1,15) = 0,875.

2. Probabilidad de un valor positivo. Ejemplo: Hallar la

probabilidad p(z > 1,64) En este caso la probabilidad pedida no está en la tabla, sin embargo, si tenemos en cuenta que el área total bajo la gráfica ha de ser 1, deducimos que: p(z > 1,64) = 1 - p(z ≤ 1,64) = 1 – 0,950 = 0.050.

3. Probabilidad de un valor negativo Ejemplo: Hallar la probabilidad p(z ≤ -0,67) Como la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, p(z ≤ - 0,67) = p(z ≥ +0,67) Y calculamos p(z ≥ +0,67) igual que el caso anterior.

4. Probabilidad entre dos valores positivos. Ejemplo Hallar la probabilidad p (0,67 ≤ z ≤ 2,17) Leemos directamente en la tabla la p(z ≤ 2,17) y la p(z ≤ 0,67). La diferencia entre ellas es la probabilidad que nos piden.

5. Probabilidad entre dos valores negativos. Ejemplo: Hallar la probabilidad p (-1,15 ≤ z ≤ -2,32) Por simetría cambiamos los dos valores negativos a positivos y calculamos la diferencia de sus probabilidades, igual que el caso anterior.

6. Probabilidad entre un valor positivo y uno negativo. Ejemplo: Hallar la probabilidad p(-0,67 ≤ z ≤ 2,32) p(-0,67 ≤ z ≤ 2,32) = p(z ≤ 2,32) - p(z ≤ -0,67) p(z ≤ -0,67) = p(z ≥ 0,67) = 1 - p(z < 0,67)= 1 - 0,749 = 0,251 p(-0,67 ≤ z ≤ 2,32) = p(z ≤ 2,32) - p(z ≤ - 0,67) = 0,990 - 0,251 = 0,739.

Intervalos de Confianza: Intervalo que con cierto nivel de confianza, nos asegura que dentro del él se encuentra la media poblacional.

[𝑥 − 𝑧(𝛼2)∙

𝜎

√𝑛; 𝑥 + 𝑧

(𝛼2)∙

𝜎

√𝑛 ]

Distribución Binomial: Una distribución binomial tiene las siguientes características:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: éxito y fracaso.

2. La probabilidad de éxito es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3. La probabilidad de fracaso también es constante,

Se representa por q, donde q = 1 − p

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o El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

o La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en las n pruebas. Por tanto, los valores que puede tomar X son: 0, 1, 2, 3, 4, ..., n. La distribución binomial se expresa por 𝐵(𝑛, 𝑝)

𝑝(𝑋 = 𝑘) = (𝑛𝑘) ∙ 𝑝𝑘 ∙ 𝑞𝑛−𝑘 con (𝑛

𝑘) =

𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!

Donde 𝑛 es el número de pruebas, 𝑘 es el número de éxitos, 𝑝 es la probabilidad de éxito y 𝑞 la probabilidad de fracaso.

o Estadística o Media Aritmética: La media se calcula al sumar los

valores de un conjunto y al dividir el valor de su suma entre el número de valores del mismo.

o Datos no agrupados: Si 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son los valores de una variable en 𝑛 observaciones, la media aritmética 𝑥 es:

𝑥 =𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯+ 𝑥𝑛

𝑛=

∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1

𝑛

o Datos agrupados en tabla de frecuencia: Si los datos son; 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛, y las frecuencias respectivas son 𝑓1, 𝑓2, 𝑓3, … , 𝑓𝑛, entonces la media aritmética es:

𝑥 =∑ 𝑥𝑖 ∙ 𝑓𝑖

𝑛𝑖=1

∑ 𝑓𝑖𝑛𝑖=1

o Mediana: Dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según magnitud (decreciente o creciente). Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales.

o Moda: La moda de un conjunto de datos es el valor que presenta mayor frecuencia. Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8. La Moda corresponde al valor que más se repite (con mayor frecuencia), en este caso, el 7. (Puede haber más de un valor que sea moda)

Medida de Dispersión: Nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

Rango: Diferencia entre el mayor valor y menos valor de una distribución de datos.

Desviación estándar: Representa el grado de dispersión de los datos respecto a la media.

𝜎 = √∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛

𝑖=1

𝑛

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

𝜎 = √∑ 𝑓𝑖 ∙ (𝑐𝑖 − 𝑥)2𝑛

𝑖=1

𝑛

Varianza: Es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

𝜎2 =∑ (𝑥𝑖 − 𝑥)2𝑛

𝑖=1

𝑛

Para datos agrupados:

𝜎2 =∑ 𝑓𝑖 ∙ (𝑐𝑖 − 𝑥)2𝑛

𝑖=1

𝑛

Propiedades de la varianza 1. La varianza será siempre un valor positivo o cero,

en el caso de que las puntuaciones sean iguales.

2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía.

3. Si todos los valores de la variable se multiplican

por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número.

4. Si tenemos varias distribuciones con la misma

media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

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Correlación

Gráfico de Dispersión (Nube de puntos): Es una herramienta de análisis la cual representa en forma gráfica la relación existente entre dos variables pudiendo observar la dependencia o influencia que tiene una variable sobre la otra, permitiendo visualizar de forma gráfica su posible correlación. En general, al observar un gráfico de dispersión, se puede apreciar si los puntos se agrupan o no.

o Si la agrupación es creciente, se dice que la

correlación es positiva, si es decreciente, la correlación es negativa y si no existe relación, se dice que su correlación es nula. Si el valor determinado está entre 0,8 y 1 o entre -0,8 y -1, se dice generalmente que la relación entre las variables es muy fuerte. Entre 0,6 y 0,8 o entre -0,6 y -0,8 es fuerte. Entre 0,4 y 0,6 o -0,4 y -0,6 es una relación moderada. Menos de 0,4 o menos de -0,4, débil o inexistente si se aproxima mucho a 0.

Medidas de Posición

Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. 𝑄1, 𝑄2 y 𝑄3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente, donde 𝑄2 coincide con la mediana. Ejemplo: Calcular los cuartiles de 10 niños cuyas edades son 5, 4, 4, 8, 14, 10, 9, 11, 13 y 11 años. Primero ordenar los datos de menor a mayor.

Calcular la posición aproximada del cuartil 𝑄𝑖 =𝑖𝑛

4.

Si dio un número entero, el cuartil será el promedio

de los datos en las posiciones 𝑖𝑛

4 y

𝑖𝑛

4+ 1.

Si dio un decimal, el cuartil será el dato que se ubica en la posición inmediatamente superior al

valor de 𝑖𝑛

4

Deciles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 10 partes iguales. Así 𝐷1 es el valor de la variable que agrupa el 10% de los datos. 𝐷2 agrupa el 20% de los datos. 𝐷3 el 30%, etc.

Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.

NÚMEROS (17 preguntas) - Clases Particulares de...

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