Números Complejos - El conjugado y el módulo de un complejo · 2017-11-29 · Álgebra...

ÁlgebraSemestre 2018-1

El Conjunto de Julia Lleno

para la función holomorfa

f(z) = z2 + c

Animación por Ted Burke

Números ComplejosEl conjugado y el módulo de un complejo

Araceli Guzmán

Guillermo Garro

Facultad de Ciencias UNAM

https://batchloaf.wordpress.com/2013/02/10/another-julia-set-animation/

Números Complejos Álgebra

El conjugado

Si z = x+ iy, el conjugado de z es el número complejo

z = x− iy.

Tenemos entonces, por definición,

Re(z) = Re(z) y Im(z) = −Im(z).

Ejemplos

1 + 3i = 1− 3i, 5− 2i = 5 + 3i, −7− i = −7 + i, 2i = −2i, 4 = 4.

Araceli Guzmán y Guillermo Garro doyouwantmektalwar.wordpress.com Facultad de Ciencias UNAM


El conjugado: Propiedades

Teorema

Si z ∈ C, entoncesz = −z si y sólo si Re(z) = 0.

Demostración.

Si z = a+ ib entonces z = a− ib y−z = −a− ib, por lo que

z = −z ⇔ a− ib = −a− ib

⇔ a = −a

⇔ 2a = 0

⇔ a = 0.




Teorema

Si z ∈ C, entoncesz = z si y sólo si Im(z) = 0

Demostración.

Si z = a+ ib entonces z = a− ib, por lo que

z = z ⇔ a+ ib = a− ib

⇔ ib = −ib

⇔ i2b = −i2b

⇔ −b = b

⇔ 2b = 0

⇔ b = 0.




Teorema

Si z ∈ C, entonces−z = −z y z = z.

Demostración.

Si z = x+ iy ∈ C,

−z = −x− iy = −x+ iy = −(x− iy) = −x+ iy = −z.

Y por otra parte,

z = a− ib = a+ ib = z.




Teorema

Si z, w ∈ C,z + w = z + w.

Demostración.

Si z = x+ iy y w = u+ iv,

z + w = (x+ iy) + (u+ iv)

= (x+ u) + i(y + v)

= (x+ u)− i(y + v)

= (x− iy) + (u− iv)

= x+ iy + u+ iv

= z + w.




Teorema

Si z, w ∈ C,zw = z w.

Demostración.

Si z = x+ iy y w = u+ iv,

zw = (x+ iy)(u+ iv)

= (xu− yv) + i(xv + yu)

= (xu− yv)− i(xv + yu)

= (xu− ixv)− (iyu+ yv)

= x(u− iv)− iy(u− iv)

= (x− iy)(u− iv)

= x+ iy u+ iv

= z w.




Teorema

Para todo z ∈ C,(z)−1 = z−1.

Demostración.

Dado que z−1 es el inverso multiplicativo de z,

zz−1 = 1,

de donde

z z−1 = zz−1 = 1 = 1.

Esto es,

z−1 =1

z= (z)−1.




Teorema

Si z, w ∈ C, ( z

w

)=

z

w.

Demostración.

( z

w

)= zw−1

= z w−1

= z (w)−1

=z

w.




Teorema

Si z ∈ C,z + z = 2 Re(z) y z − z = 2i Im(z).

Demostración.

Si z = x+ iy, entonces

z + z = x+ iy + x− iy = 2x,

en tanto que

z − z = x+ iy − x+ iy = 2iy.




Teorema

Si z ∈ C,z z = (Re(z))2 + (Im(z))2 .

Demostración.

Si z = x+ iy, entonces

zz = (x+ iy)(x− iy) = x2 − (iy)2 = x2 − i2y2 = x2 + y2.



Módulo de un número complejo

Si z ∈ C, definimos elmódulo de z, como el número real no-negativo

|z| =√z z =

√(Re(z))2 + (Im(z))2.

Observación: Si z es puramente real, entonces |z| coincide con el valor absoluto de

Re(z). En efecto, si z = Re(z) ∈ R, (i.e. Im(z) = 0), entonces |z| =√

(Re)2 = |Re(z)|.En este sentido, |z| es una generalización del valor absoluto.



Módulo de un número complejo: Propiedades

Teorema

Para todo z ∈ C,|z| = |z| y | − z| = |z|.

Demostración.

Por un lado,

|z| =√

z z =√z z =

√z z = |z|.

Y por otra lado,

| − z| =√

(−z)(−z) =√

(−z)(−z) =√zz = |z|.




Teorema

Si z ∈ C, entonces

|Re(z)| ≤ |z| y |Im(z)| ≤ |z|.

Demostración.

Tenemos,

|Re(z)| =√

(Re(z))2 ≤√

(Re(z))2 + (Im(z))2 =√zz = |z|.

Análogamente,

|Im(z)| =√

(Im(z))2 ≤√

(Re(z))2 + (Im(z))2 =√zz = |z|.




Teorema

Para todo z, w ∈ C,|z w| = |z||w|.

Demostración.

Tenemos,

|zw| =√

(zw)(zw)

=√

(zw)(z w)

=√

(zz)(ww)

=√zz

√ww

= |z||w|.




Teorema

1. Para todo z ∈ C, |z| ≥ 0.

2. Para todo z ∈ C, |z| = 0 si y sólo si z = 0.

3. Desigualdad del Triángulo: Para todos z, w ∈ C,

|z + w| ≤ |z|+ |w|.

Demostración.

1. Es obvio por definición.

2. Sea z = x+ iy. Entonces

|z| = 0 ⇔ |z|2 = x2 + y2 = 0

⇔ x2 = 0 y y2 = 0

⇔ x = 0 y y = 0

⇔ z = 0.



Módulo de un número complejo:Propiedades

Prueba de la Desigualdad del Triángulo.

Tenemos,

|z + w|2 = (z + w)(z + w)

= (z + w)(z + w)

= zz + zw + zw + ww

= |z|2 + zw + zw + |w|2

= |z|2 + 2Re(zw) + |w|2

≤ |z|2 + 2|zw|+ |w|2

= |z|2 + 2|z||w|+ |w|2

= |z|2 + 2|z||w|+ |w|2

= (|z|+ |w|)2.

Por lo tanto,

|z + w| ≤ |z|+ |w|.




Teorema

Para todo z ∈ C, si z 6= 0, ∣∣z−1∣∣ = |z|−1.

Demostración.

Dado que z−1 es el inverso de z, y el módulo de un número real coincide con su valor

absoluto, tenemos,

1 = |1| = |zz−1| = |z||z−1|,

de donde

|z−1| = 1

|z| = |z|−1




Teorema

Para todo z, w ∈ C, si w 6= 0, ∣∣∣ zw

∣∣∣ = |z||w| .

Demostración.

∣∣∣ zw

∣∣∣ = |zw−1| = |z||w−1| = |z||w|−1 =|z||w| .



Módulo de un número complejo: Otras Propiedades

Teorema

Para todo z, w ∈ C,||z| − |w|| ≤ |z − w|.

Demostración.

Tenemos,

|z| = |z − w + w| ≤ |z − w|+ |w|.

De donde

|z| − |w| ≤ |z − w|.

Por otro lado,

|w| = |w − z + z| ≤ |w − z|+ |z|,

de donde

|w| − |z| ≤ |w − z| = |z − w|.




Teorema

Para todo z, w ∈ C,

|1 + zw| ≤√

1 + |z|2√

1 + |w|2 .

Primero recordemos una propiedad de números reales:

Lema

Si a y b son números reales,

2ab ≤ a2 + b2.

Demostración.

Se sigue de que 0 ≤ (a− b)2 = a2 − 2ab+ b2.




Teorema

Para todo z, w ∈ C,

|1 + zw| ≤√

1 + |z|2√

1 + |w|2 .

Demostración.

Tenemos,

|1 + zw|2 ≤ (1 + |z||w|)2

= 1 + 2|z||w|+ |z|2|w|2

≤ 1 + |z|2 + |w|2 + |z|2|w|2

= (1 + |z|2)(1 + |w|2).

Se sigue la desigualdad que queremos probar.




Corolario

Para todo zj , wj ∈ C, j = 1, 2,

|z1w1 + z2w2| ≤√

|z1|2 + |z2|2√

|w1|2 + |w2|2 .

Demostración.

Si z1 = 0 ó w1 = 0 la desigualdad es inmediata (de hecho es una igualdad).

Supongamos que z1 6= 0 6= w1. Por el teorema anterior,

∣∣∣∣1 + z2w2

z1w1

∣∣∣∣ = ∣∣∣∣1 + z2z1

w2

w1

∣∣∣∣ ≤√

1 +

∣∣∣∣z2z1∣∣∣∣2√

1 +

∣∣∣∣w1

w2

∣∣∣∣2.De donde,

|z1w1 + z2w2| = |z1w1|∣∣∣∣1 + z2w2

z1w1

∣∣∣∣ ≤ √|z1|2 + |z2|2

√|w1|2 + |w2|2 .


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