Números complejosNúmeros complejos 6/21 Motivación Ecuaciones cúbicas Las soluciones de la...

Números complejos 1 / 21

Números complejos

Rafael Ramírez Ros

Dedicación: 3 horas


Contenidos

1 Motivación

2 Definiciones

3 Operaciones

4 Raíces


Motivación

Índice

1 Motivación

2 Definiciones

3 Operaciones

4 Raíces


Motivación

Ecuaciones cuadráticas

Las soluciones de la ecuación f (x) = ax2 + bx + c = 0 son

x =−b ±

√b2 − 4ac

2a.

Si b2 − 4ac < 0, no existe ninguna solución real: x 6∈ R,pues la parábola y = f (x) no corta al eje de abcisas y = 0.¿Existen “otras” soluciones?


Motivación

Las “otras” soluciones

Si x = i fuera una solución de x2 + 1 = 0, diríamos que ies la raíz cuadrada de menos uno: i =

√−1, x = −i sería

otra solución y i2 = −1.Con estas convenciones y las reglas aritméticas clásicas,cualquier ecuación cuadrática tiene dos soluciones.Ejemplo 1: Las soluciones de x2 + 121 = 0 son

x = ±√−121 = ±

√121(−1) = ±

√121√−1 = ±11i.

Ejemplo 2: Las soluciones de x2 − 2x + 5 = 0 son

x =2±√−16

2= 1±

√−4 = 1±

√4(−1) = 1± 2i.


Motivación

Ecuaciones cúbicas

Las soluciones de la ecuación f (x) = x3 + px + q = 0 son

x =3√−q/2 +

√∆+

3√−q/2−

√∆, ∆ = p3/27+q2/4.

Por Bolzano, sabemos que siempre existe al menos unasolución real, puesto que f (x) es continua y

limx→−∞

f (x) = −∞, limx→+∞

f (x) = +∞.

Ejemplo: Si p = −15 y q = −4, entonces x = 4 es unasolución real. Sin embargo, ∆ = −121, luego

x =3√

2 +√−121 +

3√

2−√−121 =

3√

2 + 11i +3√

2− 11i.

¿ 3√

2 + 11i + 3√

2− 11i = 4? ¿Cómo se calcula n√

a + bi?


Definiciones

Índice

1 Motivación

2 Definiciones

3 Operaciones

4 Raíces


Definiciones

Forma binómica (o cartesiana)

Un número complejo en forma binómica es una expresión de laforma

z = a + bi, a,b ∈ R,

dondei =√−1 es la unidad imaginaria,

a es la parte real de z,b es la parte imaginaria de z.

Notación: a = Re z y b = Im z.z̄ = a− bi es el conjugado de z.C es el conjunto de todos los números complejos.


Definiciones

Forma polar (o exponencial)

Un número complejo en forma polar es una expresión de laforma

z = reϕi, r > 0, ϕ ∈ R,

dondee = 2.71 . . . es el número de Euler;i =√−1 es la unidad imaginaria;

r es el módulo de z;ϕ es el argumento de z;Notación: r = |z| y ϕ = Arg z.

Atención: El argumento ϕ está determinado salvo múltiplosenteros de 2π radianes (1 vuelta = 360 grados = 2π radianes.)


Definiciones

Conversión Binómica↔ Polar

Fórmula de Euler: eθi = cos θ + i sin θ.Si tenemos un número complejo z tal que

a + bi = z = reθi = r(cos θ + i sin θ) = r cos θ + ir sin θ,

entonces:Polar a binómica: a = r cos θ y b = r sin θ.Binómica a polar: r =

√a2 + b2, cos θ = a/r y sin θ = b/r .

Los signos de a y b nos dicen en qué cuadrante está z,luego podemos determinar θ usando una de las fórmulas:

cos θ = a/r , sin θ = b/r , tan θ = b/a.


Operaciones

Índice

1 Motivación

2 Definiciones

3 Operaciones

4 Raíces


Operaciones

Operaciones en forma binómica

Sean z = a + bi y w = c + d i.Suma: z + w = (a + c) + (b + d)iResta: z − w = (a− c) + (b − d)iProducto: La propiedad distributiva y i2 = −1 implican que

z · w = ac + ad i + bci + bd i2 = (ac − bd) + (ad + bc)i.

Elemento inverso: Si z 6= 0, entonces

1z

=1

a + bi· a− bi

a− bi=

a− bia2 + b2 =

z̄|z|2

.

Cociente: Si z 6= 0, entonces

wz

=c + d ia + bi

· a− bia− bi

=ac + bd + (ad − bc)i

a2 + b2 .


Operaciones

Operaciones en forma polar

Sean z = reθi y w = ρeϕi.Suma/resta: ¡No!Conjugado: z̄ = re−θi.Producto: z · w = rρe(θ+ϕ)i.Cociente: Si z 6= 0, entonces w/z = (ρ/r)e(ϕ−θ)i.Potencias: Si n ∈ Z, entonces zn = rnenθi.

Moraleja

Para sumar y restar usaremos la forma binómica. Paramultiplicar, dividir y calcular potencias usaremos la forma polar.


Operaciones

Propiedades

C es un cuerpo con las operaciones suma y producto. Esdecir, esas operaciones son conmutativas, asociativas,cumplen la propiedad distributiva, existencia de elementoneutro de la suma: z = 0 y del producto: z = 1, existenciade elemento opuesto de la suma: −z y elemento inversodel producto: 1/z.|z · w | = |z| · |w |.z · z̄ = |z|2.z + w = z̄ + w̄ .z · w = z̄ · w̄ .


Operaciones

Las potencias de i

Calculamos las primeras potencias de la unidad imaginaria:

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = i2i = −i

i4 = (i2)2 = (−1)2 = 1

i5 = i4i = i

i6 = i4i2 = i2 = −1

i7 = i4i3 = i3 = −i

i8 = (i4)2 = 12 = 1

i9 = i8i = i

i10 = i8i2 = i2 = −1

i11 = i8i3 = i3 = −i

En general, si la división entera n/4 tiene cociente c y resto r ,entonces n = 4c + r y

in = i4c · ir = (i4)c · ir = 1c · ir = ir .

Ejemplo: i2019 = i3 = −i pues 2019 = 2016 + 3 = 4 · 504 + 3.


Operaciones

Un poco de trigonometría

Si n ∈ N, la fórmula de De Moivre dice que(cos θ + i sin θ

)n=(eθi)n

= enθi = cos(nθ) + i sin(nθ).

Esto permite deducir las fórmulas para ángulos dobles y triples:

cos(2θ) + isin(2θ) =(

cos θ + i sin θ)2

= cos2 θ + 2 cos θ i sin θ + i2 sin2 θ

= cos2 θ − sin2 θ + i2 cos θ sin θ,

cos(3θ) + isin(3θ) =(

cos θ + i sin θ)3

= cos3 θ + 3 cos2 θi sin θ + 3 cos θi2 sin2 θ + i3 sin3 θ

= cos3 θ − 3 cos θ sin2 θ + i(

3 cos2 θ sin θ − sin3 θ)

= 4 cos3 θ − 3 cos θ + i(

3 sin θ − 4 sin3 θ).


Operaciones

Más trigonometría

También podemos deducir la fórmula para el ángulo suma:

e(α+β)i = cos(α + β) + isin(α + β),

e(α+β)i = eαieβi

= (cosα + i sinα)(cosβ + i sinβ)

= cosα cosβ + i cosα sinβ + i sinα cosβ + i2 sinα sinβ= cosα cosβ − sinα sinβ + i (cosα sinβ + sinα cosβ) .

Moraleja

La forma más simple de deducir muchas fórmulastrigonométricas consiste en operar con números complejos.


Raíces

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2 Definiciones

3 Operaciones

4 Raíces


Raíces

Fórmula

Dado z = reθi 6= 0, queremos encontrar todas sus raícesn-ésimas. Es decir, queremos resolver la ecuación xn = z.Esta ecuación tiene n soluciones complejas de la forma1

xk = n√

reϕk i, ϕk =θ

n+

2πn

k , k = 0,1, . . . ,n − 1.

Estas raíces forman un polígono regular de n lados centradoen el origen, pues todas tienen el mismo módulo y susargumentos difieren en 1/n de vuelta. Además,

Suma raíces = 0, Producto raíces = (−1)n+1z.1Al imponer que x = ρeϕi cumpla la ecuación, obtenemos que

ρnenϕi = xn = z = reθi ⇒{

Módulos iguales: ρ = n√

rArgumentos congruentes: nϕ = θ + 2πk , k ∈ Z


Raíces

Ejemplo 1: Raíces cuartas de la unidad

En este caso, z = 1 y n = 4. Buscamos cuatro númeroscomplejos x0, x1, x2 y x3 tales que x4 = 1.

1 Fórmula: z = 1 tiene módulo r = 1 y argumento θ = 0,luego sus raíces cuartas son

xk =4√

1eϕk i = eikπ/2 = cos(kπ/2) + i sin(kπ/2).

Es decir, x0 = 1, x1 = i, x2 = −1 y x3 = −i.2 Geometría: Como 14 = 1, x0 = 1 es la primera raíz cuarta.

Las cuatro raíces forman un cuadrado centrado en elorigen, luego deducimos que x1 = i, x2 = −1 y x3 = −i.

3 Factorizar: x4 − 1 = (x2 + 1)(x + 1)(x − 1).


Raíces

Ejemplo 2: ¿ 3√

2 + 11i + 3√

2− 11i = 4?

Si z± = 2± 11i = re±θi, entonces

r =√

22 + 112 =√

125 = 53/2, tan θ = 11/2.

Una pareja de raíces cúbicas x± = 3√

2± 11i es

x± = 3√

re±iθ/3 =√

5 cos(θ/3)± i√

5 sin(θ/3) = 2± i,

pues mediante una calculadora podemos comprobar que√

5 cos(θ/3) =√

5 cos(

atan(11/2)/3)

= 2,√

5 sin(θ/3) =√

5 sin(

atan(11/2)/3)

= 1.

Por tanto, x+ + x− = (2 + i) + (2− i) = 4.

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