NÚMEROS PRIMOS

Y

NÚMEROS COMPUESTOS

JHRO

Jehudá H. Rango Ochoa

Coro, octubre de 2019

Primera impresión en Venezuela por Jehudá Haleví Rango Ochoa (JHRO), octubre 2019

Hecho el Depósito de Ley

Nº de Depósito legal FA2019000036

Impreso en Coro (Estado Falcón) por JHRO.

Impreso en Venezuela – Printed in Venezuela

e-mail: jehudahro@hotmail.com

Dedicatoria

A Dios, el eterno firmamento.

Agradecimientos

A mi padre Odontólogo Marcos A. Rango G.

A mi madre Ingeniera Industrial Blanca E. Ochoa de Rango.

A mi hermano Ingeniero Industrial Marco A. Rango O.

A mi tío Ingeniero Eléctrico Carlos A. Ochoa R.

A mi tío Odontólogo Jesús A. Ochoa R.

A mi tía Licenciada en Contaduría Pública Ruth A. Ochoa R.

A mi tía Arquitecta Melba S. Ochoa R.

Acerca del autor

Jehudá H. Rango Ochoa

(Barcelona, España, 1982) es Ingeniero Civil egresado de la

Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda de Coro,

Estado Falcón, Venezuela. Fue asesor de Matemáticas en la

Universidad Nacional Experimental Francisco de Miranda en el año

2001, profesor de Matemáticas y Química en la Universidad Nacional

Experimental Francisco de Miranda en el año 2009 y profesor de

Matemáticas y Cartografía Social en el Programa Nacional para la

Formación de Grado en Construcción Civil y Gestión Social de la

Misión Sucre en el año 2012.

Índice

1 Número primo..........................................................................................................................7

1.1. Características del conjunto de los números primos................................................................7

1.1.1. Infinitud de los números primos…………………………………………………………......7

1.1.1.1. Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos...................8

1.1.2. Teorema de los números primos......................................................................................8

1.1.2.1. Expresión del teorema........................................................................................8

1.1.3. Diferencia entre dos números primos consecutivos........................................................9

2 Número compuesto...............................................................................................................17

2.1. Características de los números compuestos..........................................................................17

7

1

Número primo

En matemáticas un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene únicamente dos

divisores distintos: él mismo y el 1.1

El estudio de los números primos es una parte importante de la teoría de números, rama de las

matemáticas que trata las propiedades, básicamente aritméticas, de los números enteros.

El teorema fundamental de la aritmética establece que todo número natural tiene una representación

única como producto de factores primos salvo el orden.

Se puede considerar que los números primos son los “constituyentes fundamentales” de los números

naturales.

1.1. Características del conjunto de los números primos

1.1.1. Infinitud de los números primos

Existen infinitos números primos. Euclides realizó la primera demostración alrededor del año

300 a. C. en el libro IX de su obra Elementos. Una adaptación común de esta demostración original

sigue así: Se toma un conjunto arbitrario pero finito de números primos p1, p2, p3,..., pn, y se

considera el producto de todos ellos más uno, q = p1 * p2 * p3 *…* pn + 1. Este número es obviamente

mayor que 1 y distinto de todos los primos pi de la lista. El número q puede ser primo o compuesto. Si

es primo tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Si, por el contrario, es

compuesto, entonces existirá algún factor p que divida a q. Suponiendo que p es alguno de los pi, se

deduce entonces que p divide a la diferencia q – p1 * p2 * p3 *…* pn = 1, pero ningún número primo

divide a 1, es decir, se ha llegado a un absurdo por suponer que p está en el conjunto original. La

consecuencia es que el conjunto que se escogió no es exhaustivo, ya que existen números primos

que no pertenecen a él, y esto es independiente del conjunto finito que se tome.

Por tanto, el conjunto de los números primos es infinito.

Otros matemáticos han demostrado la infinitud de los números primos con diversos métodos

procedentes de áreas de las matemáticas tales como el álgebra conmutativa y la topología. Algunas

de estas demostraciones se basan en el uso de sucesiones infinitas con la propiedad de que cada

uno de sus términos es coprimo con todos los demás, por lo que se crea una biyección entre los

términos de la sucesión y un subconjunto (infinito) del conjunto de los primos.

Una sucesión que cumple dicha propiedad es la sucesión de Euclides – Mullin, que deriva de la

demostración euclídea de la infinitud de los números primos, ya que cada uno de sus términos se

define como el factor primo más pequeño de uno más el producto de todos los términos anteriores.

La sucesión de Sylvester se define de forma similar, puesto que cada uno de sus términos es igual a

uno más el producto de todos los anteriores. Aunque los términos de ésta última sucesión no son

8

necesariamente todos primos, cada uno de ellos es coprimo con todos los demás, por lo que se

puede escoger cualquiera de sus factores primos, por ejemplo, el menor de ellos, y el conjunto

resultante será un conjunto infinito cuyos términos son todos primos.

1.1.1.1. Otros enunciados que implican la infinitud de los números primos

Un resultado aún más fuerte, y que implica directamente la infinitud de los números primos, fue

descubierto por Euler en el siglo XVIII. Establece que la serie 1

2+

1

3+

1

5+

1

7+ … es divergente. Uno

de los teoremas de Mertens concreta más, estableciendo que

𝟏

𝒑 = 𝐥𝐧 𝐥𝐧𝒏

𝒑≤𝒏

+ 𝑶(𝟏)

donde la expresión 𝑂(1) indica que ese término está acotado entre –C y C para n mayor que n0,

donde los valores de C y n0 no están especificados.

Otro resultado es el teorema de Dirichlet, que dice así:

En toda progresión aritmética an= a + n*q, donde los enteros positivos a, q ≥ 1 son primos entre sí,

existen infinitos términos que son primos.

El postulado de Bertrand enuncia así:

Si n es un número natural mayor que 3, entonces siempre existe un número primo p tal que

n < p < 2n – 2.

Una manera más débil pero elegante de formularlo es que, si n es un número natural mayor que 1,

entonces siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n. Esto supone que, en una progresión

geométrica de primer término entero mayor que 3 y razón igual a 2, entre cada término de la

progresión y el siguiente, se tiene al menos un número primo.

1.1.2. Teorema de los números primos

El teorema de los números primos es un enunciado que describe la distribución asintótica de los

números primos. Este teorema da una descripción general de cómo están distribuidos los números

primos en el conjunto de los números naturales. Esto formaliza la idea intuitiva de que los primos son

menos comunes cuanto más grandes son.2

1.1.2.1. Expresión del teorema

Sea 𝜋 𝑥 la función contador de números primos, que denota la cantidad de primos que no exceden

a 𝑥. El teorema establece que:

𝜋 𝑥 ~ 𝑥

𝑙 𝑛 𝑥 , donde 𝑙𝑛 𝑥 es el logaritmo natural de 𝑥.

9

Esta expresión no implica que la diferencia de las dos partes de la misma para valores de 𝑥 muy

grandes sea cero; sólo implica que el cociente de éstas para valores de 𝑥 muy grandes es casi igual

a 1.

Una mejor aproximación que la anterior viene dada por la integral logarítmica desplazada:

𝜋 𝑥 ≈ 𝐿𝑖 𝑥 , donde 𝐿𝑖 𝑥 es la integral logarítmica desplazada de 𝑥.

La siguiente tabla muestra los valores de las funciones

𝜋 𝑥 , 𝜋 𝑥

𝑥,

1

𝐿𝑛𝑥,

𝑥

𝐿𝑛𝑥 para 𝑥 = 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 1010.

𝑥 𝜋 𝑥 𝜋 𝑥

𝑥

1

𝐿𝑛𝑥

𝑥

𝐿𝑛𝑥

10 4 0,4000 0,4342 4,3429 102 25 0,2500 0,2171 21,7147 103 168 0,1680 0,1447 144,7648 104 1.229 0,1229 0,1085 1.085,7362 105 9.592 0,0959 0,0868 8.685,8896 106 78.498 0,0784 0,0723 72.382,4136 107 664.579 0,0664 0,0620 620.420,6884 108 5.761.455 0,0576 0,0542 5.428.681,0237 109 50.847.534 0,0508 0,0482 48.254.942,4336 1010 455.052.511 0,0455 0,0434 434.294.481,9032

1.1.3. Diferencia entre dos números primos consecutivos

Ligado a la distribución de los números primos se encuentra el estudio de la diferencia entre dos

números primos consecutivos. Esta diferencia, con la única salvedad del que hay entre el 2 y el 3,

debe ser siempre igual o mayor que 2, ya que entre dos números primos consecutivos al menos hay

un número par y por tanto compuesto. Si dos números primos tienen por diferencia 2, se dice que

son gemelos, y con la salvedad del “triplete” formado por los números 3, 5 y 7, los números gemelos

se presentan siempre de dos en dos. Esto también es fácil de demostrar: entre tres números impares

consecutivos mayores que 3 siempre hay uno que es múltiplo de 3, y por tanto compuesto.

Por otra parte, la diferencia entre primos consecutivos puede ser tan grande como se quiera: dado un

número natural n, se denota por n! su factorial, es decir, el producto de todos los números naturales

comprendidos entre 1 y n. Los números

(n + 1)! + 2, (n + 1)! + 3,…, (n + 1)! + n + 1

son todos compuestos: si 2 ≤ i ≥ n + 1, entonces (n + 1)! + i es divisible entre i, por tanto, es

compuesto.

10

Vuelvo al problema de la determinación de todos los números primos menores o iguales que un valor

dado. He desarrollado un método que consiste en encontrar todos los números primos menores que

4 y posteriormente todos los números primos que pertenecen a los siguientes n intervalos:

[p12, p2

2], [p22, p3

2],…, [pn2, pn+1

2] donde p1, p2, p3,…, pn son los n primeros números primos.

Voy a aclarar este método, tomando como ejemplo la determinación de todos los números primos

menores que 121.

Consideremos la sucesión cuyo término general es -1 + n.

Esta sucesión contiene a todos los números primos menores que 4.

Los términos de esta sucesión que son menores que 4 son:

0, 1, 2, 3.

Consideremos ahora la sucesión cuyo término general es: 1 – n.

El término de esta sucesión que pertenece al intervalo (-2, 0) es -1.

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos

comprendidos entre 4 y 9.

vn = -1 + (n -1)*2.

Los términos de esta sucesión que son menores que 9 son:

-1, 1, 3, 5, 7.

Los términos de la sucesión -3*vn que pertenecen al intervalo [-9, 3] son:

-9, -3, 3.

Sean A el conjunto de todos los términos de -vn que pertenecen al intervalo (-6, 1), B el conjunto de

todos los enteros que pertenecen al intervalo (-9, -3) y C el conjunto de todos los enteros que

pertenecen al intervalo (-3, 3).

Esto es:

A = -5, -3, -1

B = -8, -7, -6, -5, -4

C = -2, -1, 0, 1, 2

11

Entonces:

A ∩ B = -5

A ∩ C = -1

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos

comprendidos entre 9 y 25.

x2n-1 = -5 + (n-1)*6, x2n = -1 + (n-1)*6.

Los términos de esta sucesión que son menores que 25 son:

-5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Los términos de la sucesión -5*xn que pertenecen al intervalo [-35, 5] son:

-35, -25, -5, 5.

Sean D el conjunto de todos los términos de -xn que pertenecen al intervalo (-30, 1), E el conjunto

de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-35, -25), F el conjunto de todos los enteros que

pertenecen al intervalo (-25, -5) y H el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo

(-5, 5).

Esto es:

D = -29, -25, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -5, -1

E = -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28, -27, -26

F = -24, -23, -22, -21, -20, -19, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6

H = -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4

Entonces:

D ∩ E = -29

D ∩ F = -23, -19, -17, -13, -11, -7

D ∩ H = -1

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos

comprendidos entre 25 y 49.

y1+(n-1)*8 = -29 + (n-1)*30, y2+(n-1)*8 = -23 + (n-1)*30, y3+(n-1)*8 = -19 + (n-1)*30,

y4+(n-1)*8 = -17 + (n-1)*30, y5+(n-1)*8 = -13 + (n-1)*30, y6+(n-1)*8 = -11 + (n-1)*30,

y7+(n-1)*8 = -7 + (n-1)*30, y8+(n-1)*8 = -1 + (n-1)*30.

12

Los términos de esta sucesión que son menores que 49 son:

-29, -23, -19, -17, -13, -11, -7, -1, 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

Los términos de la sucesión -7*yn que pertenecen al intervalo [-217, 7] son:

-217, -203, -161, -133, -119, -91, -77, -49, -7, 7.

Sean J el conjunto de todos los términos de -yn que pertenecen al intervalo (-210, 1), K el conjunto

de todos los enteros que pertenecen intervalo (-217, -203), L el conjunto de todos los enteros que

pertenecen al intervalo (-203, -161), M el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo

(-161, -133), O el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-133, -119), Q el

conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-119, -91), R el conjunto de todos los

enteros que pertenecen al intervalo (-91, -77), S el conjunto de todos los enteros que pertenecen al

intervalo (-77, -49), T el conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-49, -7) y U el

conjunto de todos los enteros que pertenecen al intervalo (-7, 7).

Esto es:

J===-209, -203, -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163, -161, -157, -151,

-149, -143, -139, -137, -133, -131, -127, -121, -119, -113, -109, -107, -103, -101, -97, -91, -89,

-83, -79, -77, -73, -71, -67, -61, -59, -53, -49, -47, -43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11,

-7, -1

K = -216, -215, -214, -213, -212, -211, -210, -209, -208, -207, -206, -205, -204

L = -202, -201, -200, -199, -198, -197, -196, -195, -194, -193, -192, -191, -190, -189, -188, -187,

-186, -185, -184, -183, -182, -181, -180, -179, -178, -177, -176, -175, -174, -173, -172, -171,

-170, -169, -168, -167, -166, -165, -164, -163, -162

M = -160, -159, -158, -157, -156, -155, -154, -153, -152, -151, -150, -149, -148, -147, -146, -145,

-144, -143, -142, -141, -140, -139, -138, -137, -136, -135, -134

O = -132, -131, -130, -129, -128, -127, -126, -125, -124, -123, -122, -121, -120

Q = -118, -117, -116, -115, -114, -113, -112, -111, -110, -109, -108, -107, -106, -105, -104, -103,

-102, -101, -100, -99, -98, -97, -96, -95, -94, -93, -92

R = -90, -89, -88, -87, -86, -85, -84, -83, -82, -81, -80, -79, -78

S== -76, -75, -74, -73, -72, -71, -70, -69, -68, -67, -66, -65, -64, -63, -62, -61, -60, -59, -58, -57, -56,

-55, -54, -53, -52, -51, -50

T ==-48, -47, -46, -45, -44, -43, -42, -41, -40, -39, -38, -37, -36, -35, -34, -33, -32, -31, -30, -29, -28,

-27, -26, -25, -24, -23, -22, -21, -20, -19, -18, -17, -16, -15, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8

U = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

13

Entonces:

J ∩ K = -209

J ∩ L = -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163

J ∩ M = -157, -151, -149, -143, -139, -137

J ∩ O = -131, -127, -121

J ∩ Q = -113, -109, -107, -103, -101, -97

J ∩ R = -89, -83, -79

J ∩ S = -73, -71, -67, -61, -59, -53

J ∩ T = -47, -43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11

J ∩ U = -1

14

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos

comprendidos entre 49 y 121.

z1+(n-1)*48 = -209 + (n – 1)*210, z2+(n-1)*48 = -199 + (n – 1)*210, z3+(n-1)*48 = -197 + (n – 1)*210,

z4+(n-1)*48 = -193 + (n – 1)*210, z5+(n-1)*48 = -191 + (n – 1)*210, z6+(n-1)*48 = -187 + (n – 1)*210,

z7+(n-1)*48 = -181 + (n – 1)*210, z8+(n-1)*48 = -179 + (n – 1)*210, z9+(n-1)*48 = -173 + (n – 1)*210,

z10+(n-1)*48 = -169 + (n – 1)*210, z11+(n-1)*48 = -167 + (n – 1)*210, z12+(n-1)*48 = -163 + (n – 1)*210,

z13+(n-1)*48 = -157 + (n – 1)*210, z14+(n-1)*48 = -151 + (n – 1)*210, z15+(n-1)*48 = -149 + (n – 1)*210,

z16+(n-1)*48 = -143 + (n – 1)*210, z17+(n-1)*48 = -139 + (n – 1)*210, z18+(n-1)*48 = -137 + (n – 1)*210,

z19+(n-1)*48 = -131 + (n – 1)*210, z20+(n-1)*48 = -127 + (n – 1)*210, z21+(n-1)*48 = -121 + (n – 1)*210,

z22+(n-1)*48 = -113 + (n – 1)*210, z23+(n-1)*48 = -109 + (n – 1)*210, z24+(n-1)*48 = -107 + (n – 1)*210,

z25+(n-1)*48 = -103 + (n – 1)*210, z26+(n-1)*48 = -101 + (n – 1)*210, z27+(n-1)*48 = -97 + (n – 1)*210,

z28+(n-1)*48 = -89 + (n – 1)*210, z29+(n-1)*48 = -83 + (n – 1)*210, z30+(n-1)*48 = -79 + (n – 1)*210,

z31+(n-1)*48 = -73 + (n – 1)*210, z32+(n-1)*48 = -71 + (n – 1)*210, z33+(n-1)*48 = -67 + (n – 1)*210,

z34+(n-1)*48 = -61 + (n – 1)*210, z35+(n-1)*48 = -59 + (n – 1)*210, z36+(n-1)*48 = -53 + (n – 1)*210,

z37+(n-1)*48 = -47 + (n – 1)*210, z38+(n-1)*48 = -43 + (n – 1)*210, z39+(n-1)*48 = -41 + (n – 1)*210,

z40+(n-1)*48 = -37 + (n – 1)*210, z41+(n-1)*48 = -31 + (n – 1)*210, z42+(n-1)*48 = -29 + (n – 1)*210,

z43+(n-1)*48 = -23 + (n – 1)*210, z44+(n-1)*48 = -19 + (n – 1)*210, z45+(n-1)*48 = -17 + (n – 1)*210,

z46+(n-1)*48 = -13 + (n – 1)*210, z47+(n-1)*48 = -11 + (n – 1)*210, z48+(n-1)*48 = -1 + (n – 1)*210.

Los términos de esta sucesión que son menores que 121 son:

-209, -199, -197, -193, -191, -187, -181, -179, -173, -169, -167, -163, -157, -151, -149, -143, -139,

-137, -131, -127, -121, -113, -109, -107, -103, -101, -97, -89, -83, -79, -73, -71, -67, -61, -59, -53, -47,

-43, -41, -37, -31, -29, -23, -19, -17, -13, -11, -1, 1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,

61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

Los números primos menores que 121 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53,

59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113.

15

Fórmulas para algunas sumas especiales:

𝑘

𝑛

𝑘=1

= 𝑛2

2+

𝑛

2 .

𝑣𝑘+1

𝑛

𝑘=1

= 𝑛2 .

𝑥𝑘+2

2𝑛

𝑘=1

= 6 ∗ 𝑛2 .

𝑦𝑘+8

8𝑛

𝑘=1

= 120 ∗ 𝑛2 .

𝑧𝑘+48

48𝑛

𝑘=1

= 5040 ∗ 𝑛2 .

Consideremos el producto de todos los números primos comprendidos entre 11 y 210 :

Esto es:

11* 13 = 143

Sean G el conjunto de todos los enteros positivos menores que 210 y coprimos con 210, e I el

conjunto de todos los enteros impares positivos que pertenecen al intervalo (121, 210) y son

coprimos con 143.

Esto es:

G ===1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103,

107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181,

187, 191, 193, 197, 199, 209

I= == 123, 125, 127, 129, 131, 133, 135, 137, 139, 141, 145, 147, 149, 151, 153, 155, 157, 159,

=161, 163, 167, 171, 173, 175, 177, 179, 181, 183, 185, 189, 191, 193, 197, 199, 201, 203,

=205, 207

16

Entonces:

G ∩ I es el conjunto de todos los números primos comprendidos entre 121 y 210.

Esto es:

G ∩ I = 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199

17

2

Número compuesto

Número compuesto es cualquier número natural no primo, a excepción del 1. Es decir, tiene uno o

más divisores distintos a 1 y a sí mismo.3

2.1. Características de los números compuestos

Una característica es que cada uno puede escribirse como producto de dos naturales menores que

él. Cada número compuesto se puede expresar como multiplicación de dos (o más) números primos

específicos, cuyo proceso se conoce como factorización. El número compuesto más pequeño es el

4.

Como los números primos y compuestos están entremezclados unos con otros es lógico preguntarse

si existirán secuencias de números compuestos consecutivos de longitud arbitraria. La secuencia

32, 33, 34, 35, 36 es un ejemplo de longitud 5. La respuesta es que podemos conseguir una

secuencia de números compuestos tan larga como se desee. Si deseamos una secuencia de

longitud 20, basta tomar los números 21! + 2, 21! + 3, 21! + 4,…, 21! + 21.

Consideremos la sucesión cuyo término general es -1 + n.

Esta sucesión contiene a todos los números primos menores que 4.

Los términos de esta sucesión que son menores que 4 son:

0, 1, 2, 3.

Consideremos la sucesión cuyo término general es: – 2 + 2n.

Esta sucesión contiene a todos los números semiprimos que pertenecen al intervalo (3, 6].

Los cuatro primeros términos de esta sucesión son:

0, 2, 4, 6.

Consideremos ahora la sucesión cuyo término general es: 1 – n.

El término de esta sucesión que pertenece al intervalo (-2, 0) es -1.

18

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos

comprendidos entre 4 y 9.

vn = -1 + (n -1)*2.

Los términos de esta sucesión que son menores que 9 son:

-1, 1, 3, 5, 7.

Los términos de la sucesión -2*vn que pertenecen al intervalo (-12, 2) son:

-10, -6, -2.

Los términos de la sucesión -3*vn que pertenecen al intervalo (-12, 3) son:

-9, -3.

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números semiprimos que

pertenecen al intervalo (6, 14].

x1+(n-1)*5 = -10 + (n - 1)*12, x2+(n-1)*5 = -9 + (n - 1)*12, x3+(n-1)*5 = -6 + (n - 1)*12,

x4+(n-1)*5 = -3 + (n - 1)*12, x5+(n-1)*5 = -2 + (n - 1)*12.

Los once primeros términos de esta sucesión son:

-10, -9, -6, -3, -2, 2, 3, 6, 9, 10, 14.

Los términos de la sucesión -3*vn que pertenecen al intervalo [-9, 3] son:

-9, -3, 3.

Sean A el conjunto de todos los términos de -vn que pertenecen al intervalo (-6, 1), B el conjunto de

todos los enteros que pertenecen al intervalo (-9, -3) y C el conjunto de todos los enteros que

pertenecen al intervalo (-3, 3).

Esto es:

A = -5, -3, -1

B = -8, -7, -6, -5, -4

C = -2, -1, 0, 1, 2

Entonces:

A ∩ B = -5

A ∩ C = -1

19

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números primos

comprendidos entre 9 y 25.

y2n-1 = -5 + (n-1)*6, y2n = -1 + (n-1)*6.

Los términos de esta sucesión que son menores que 25 son:

-5, -1, 1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Los términos de la sucesión -2yn que pertenecen al intervalo (-180, 2) son:

-178, -170, -166, -158, -154, -146, -142, -134, -130, -122, -118, -110, -106, -98, -94, -86, -82, -74, -70,

-62, -58, -50, -46, -38, -34, -26, -22, -14, -10, -2.

Los términos de la sucesión -3yn que pertenecen al intervalo (-180, 3) son:

-177, -165, -159, -147, -141, -129, -123, -111, -105, -93, -87, -75, -69, -57, -51, -39, -33, -21, -15, -3.

Los términos de la sucesión -5yn que pertenecen al intervalo (-180, 5) son:

-175, -155, -145, -125, -115, -95, -85, -65, -55, -35, -25, -5.

20

Definamos ahora la correspondiente sucesión que contiene a todos los números semiprimos que

pertenecen al intervalo (14, 46].

z1+(n-1)*62 = -178 + (n-1)*180, z2+(n-1)*62 = -177 + (n-1)*180, z3+(n-1)*62 = -175 + (n-1)*180,

z4+(n-1)*62 = -170 + (n-1)*180, z5+(n-1)*62 = -166 + (n-1)*180, z6+(n-1)*62 = -165 + (n-1)*180,

z7+(n-1)*62 = -159 + (n-1)*180, z8+(n-1)*62 = -158 + (n-1)*180, z9+(n-1)*62 = -155 + (n-1)*180,

z10+(n-1)*62 = -154 + (n-1)*180, z11+(n-1)*62 = -147 + (n-1)*180, z12+(n-1)*62 = -146 + (n-1)*180,

z13+(n-1)*62 = -145 + (n-1)*180, z14+(n-1)*62 = -142 + (n-1)*180, z15+(n-1)*62 = -141 + (n-1)*180,

z16+(n-1)*62 = -134 + (n-1)*180, z17+(n-1)*62 = -130 + (n-1)*180, z18+(n-1)*62 = -129 + (n-1)*180,

z19+(n-1)*62 = -125 + (n-1)*180, z20+(n-1)*62 = -123 + (n-1)*180, z21+(n-1)*62 = -122 + (n-1)*180,

z22+(n-1)*62 = -118 + (n-1)*180, z23+(n-1)*62 = -115 + (n-1)*180, z24+(n-1)*62 = -111 + (n-1)*180,

z25+(n-1)*62 = -110 + (n-1)*180, z26+(n-1)*62 = -106 + (n-1)*180, z27+(n-1)*62 = -105 + (n-1)*180,

z28+(n-1)*62 = -98 + (n-1)*180, z29+(n-1)*62 = -95 + (n-1)*180, z30+(n-1)*62 = -94 + (n-1)*180,

z31+(n-1)*62 = -93 + (n-1)*180, z32+(n-1)*62 = -87 + (n-1)*180, z33+(n-1)*62 = -86 + (n-1)*180,

z34+(n-1)*62 = -85 + (n-1)*180, z35+(n-1)*62 = -82 + (n-1)*180, z36+(n-1)*62 = -75 + (n-1)*180,

z37+(n-1)*62 = -74 + (n-1)*180, z38+(n-1)*62 = -70 + (n-1)*180, z39+(n-1)*62 = -69 + (n-1)*180,

z40+(n-1)*62 = -65 + (n-1)*180, z41+(n-1)*62 = -62 + (n-1)*180, z42+(n-1)*62 = -58 + (n-1)*180,

z43+(n-1)*62 = -57 + (n-1)*180, z44+(n-1)*62 = -55 + (n-1)*180, z45+(n-1)*62 = -51 + (n-1)*180,

z46+(n-1)*62 = -50 + (n-1)*180, z47+(n-1)*62 = -46 + (n-1)*180, z48+(n-1)*62 = -39 + (n-1)*180,

z49+(n-1)*62 = -38 + (n-1)*180, z50+(n-1)*62 = -35 + (n-1)*180, z51+(n-1)*62 = -34 + (n-1)*180,

z52+(n-1)*62 = -33 + (n-1)*180, z53+(n-1)*62 = -26 + (n-1)*180, z54+(n-1)*62 = -25 + (n-1)*180,

z55+(n-1)*62 = -22 + (n-1)*180, z56+(n-1)*62 = -21 + (n-1)*180, z57+(n-1)*62 = -15 + (n-1)*180,

z58+(n-1)*62 = -14 + (n-1)*180, z59+(n-1)*62 = -10 + (n-1)*180, z60+(n-1)*62 = -5 + (n-1)*180,

z61+(n-1)*62 = -3 + (n-1)*180, z62+(n-1)*62 = -2 + (n-1)*180.

Los setenta y ocho primeros términos de esta sucesión son:

-178, -177, -175, -170, -166, -165, -159, -158, -155, -154, -147, -146, -145, -142, -141, -134, -130,

-129, -125, -123, -122, -118, -115, -111, -110, -106, -105, -98, -95, -94, -93, -87, -86, -85, -82, -75,

-74, -70, -69, -65, -62, -58, -57, -55, -51, -50, -46, -39, -38, -35, -34, -33, -26, -25, -22, -21, -15, -14,

-10, -5, -3, -2, 2, 3, 5, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46.

21

Los dieciséis primeros números semiprimos son:

4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34, 35, 38, 39, 46.

22

Algunas curiosidades

- 22 = 2! + 2

- 32 = 3! + 3

- 53 = 5! + 5

- El último año primo fue el 2017.

- El próximo año primo será el 2027.

23

Conclusión

Se expuso un método muy importante en el estudio de los números primos ya que proporciona las

leyes que gobiernan su distribución.

Asimismo se expuso un método muy importante en el estudio de los números compuestos que toma

en cuenta las funciones 𝜔 𝑛 y Ω(𝑛).

24

Referencias

1. Colaboradores de Wikipedia. Número primo. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2019. Consultado el

= 3 de septiembre de 2019. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Número_primo

2. Colaboradores de Wikipedia. Teorema de los números primos. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre,

= 2019. Consultado el 7 de octubre de 2019. Disponible en: = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

= https://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_los_números_primos

3. Colaboradores de Wikipedia. Número compuesto. [en línea]. Wikipedia, La enciclopedia libre, 2019. = = = = =

= Consultado el 3 de septiembre de 2019. Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Número_compuesto