Amarilis Sagredo - Eduardo Luna

NOCIONES DE LOGICASIMBOLICA

UCMM1988

NOCIONES DE LOGICA SIMBOLICAAmarilis Sagredo - Eduardo Luna

(Sexta Edicin)

, 1988, para la Sexta Edicin,Coleccin de "Textos" UCMMDirector. Bienvenida Polanco

Impreso en la Repblica DominicanaPrinted in Dominican Republic

Taller, Isabel la Catlica 309, Santo Domingo, Repblica Dominicana

TABLA PE CONTENIDO

PAGINA

NOTADE LOS AUTORES........................................ .1VCAPITULOS

1. CALCULO PROPOSICIONAL ....... . 1

1.1 Propo~ici6n ................ 11.2 Proposiciones compuestas... ...... 61.3 Npgaci6n.................................. 81.4 Conjunci6n.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.S Disyunci6n ........... 121.6 Tablas de verdad.......................... 141.7 Equivalencia de formas proposicionales . 221.8 Bicondicional ...... 241.9 Condicional ~ .1.10 Totalidad de formas proposicionales con

Jos componentes at6mic0d .. :.

26

321.11 Clasificaci6n de las fo~as proposiciona-

les compues t..:.as . 333638

1.12 Condicionales der~vadas ........1.13 Negaci6n de proposiciones compuestas..1.14 Tautolog!as de mayor uso .... 421.15 Relaciones l6gicas ..... 431.16 Formas argumentales ...... 551.17 Argumentos 1... 601.18 Procedimientos para determinar la validez

de una forma argumental 631.19 M~todos de demostraci6n usados en

Materri tic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

2. CALCULO DE PREDICAPOS DE PRIMER ORDEN 752.1 Proposiciones abiertas.................... 752.2 Cuantificador unive~sal .. i 78

PAGINA2.3 Argumentos que contienen proposiciones

un!versales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.4 Cuantificador existencial .. 872.5 Otro cuantificador existencial 932.6 Argumentos que ~ontienen proposiciones

existenciales ... 932.7 Relaci6n entre el cuantificador universal

y el cuantificador existencial ... 962.8 Proposiciones que contienen varios

cuantificadores ... 992.9' Negaci6n de proposiciones y formas propo-

sicionales con dos o mas cuantificadores 102IND 1CE. . ~ . .'. 10 5

\

NOTA DE LOS AUTORESEN LA PRIMERA EDICION

Nociones de L6gica Simblica es una obra dirigidaa estudiantes de Escuela Secundaria y alumnos que cursanMatem~tica en el Ciclo Bsico de sus estudios universita-rios. Tiene un objetivo: proporcionar los conocimientosesenciales de Lgica Simb61ica necesarios para abordar elestudio de la Matem~tica Contempornea.

Hacemos hincapi en dos aspectos fundamentales:lenguaje sencillo y preciso, elevado monto de ejemplos yejercicios. No pretendernos agotar temas ni abultar conhistoriograf1as y referencias de autores. Esperamos quelos profesores llenen esos vac10s que, aunque no tienenmucha trascendencia para los alumnos de este nivel, sir-ven ocasionalmente para fortalecer su mundo cultural.

Queremos dejar constancia de nuestro profundoagradecimiento al profesor Apolinar NGez, a Eddy D1az,Alina Morales, Federico Velzquez, Carmen Liriano, ReinaSosa, y especialmente a la Universidad Catlica Madre yMaestra, a travs de su Vicerrector Administrativo, PedroPablo Cordero, y del Director del Departamento de Publi-caciones, Danilo de los Santos. Ellos hicieron posible laedici6n de esta obra. Nuestra labor intelectual estuvoconstantemente sosteniqa por su trabajo desinteresado ysus estimulos enaltecedores. Sie~pre estar presente ennosotros esa extraordinaria ayuda .

Los Autores

Al concepto de proposici6n nos acercaremos intuitivamente.

Recordemos que el lenguaje reconoce cuatro tipos bsicos de

oraciones: las declarativas, la~ exclamativas, las interroga-

tivas y las imperativas. De ellas, las declarativas enuncian

la conformidad o disconformidad objetiva del sujeto con el pre-

dicado, por lo cual estamos en capacidad de decidir si lo que

se dice es cierto' o no.

Definici6n 1.1 Proposici6n: Es una oraci6n declarativa

de la cual se puede .afirmar que es verdadera o falsa, pero no

que es ambas cosas al mismo tiempo.

Entendemos, que una proposici6n es verdadera, cuando lo

1.1 Proposici6n

En nuestro. lenguaj e ordinario se perciben ambigedades-:

Pienso en mi habitaci6n.

Yo nunca me sienta en un banco.

Ayer hice una operaci6n.

Adems, en cuanto instrumento de comunicaci6n de una

comunidad, de grupos sociales, de profesionales, muchas p~la-

bras o expresiones adquieren matices significativos diferentes.

Debido a esto, en Matemtica, ha de usarse un-lenguaje

distinto, que no est~ viciado por la ambigedad y la falta de

universalidad. Para ello, se recurre a la L6gica que, aunque

maneja un lenguaje simb61ico, aporta mayor precisi6n o exacti-

tud ~ue el lenguaje ordinario. Esto se logra mediante -una

serie de reglas bien claras y definidas.

La presentaci6n de esas reglas es el prop6sito de estos

apuntes.

.CALCULO PROPOSICIONAL

CAPITULO 1

declarativas son proposiciones, puesto que para que lo ~ean es

necesario que podamos a.s qna.rLes un n co valor de verdad.Por ejemplo, la oraci6n: Esta oraci6n declarativa es

falsa, no es una proposici6n porque no tiene u~ {nico valor de

verdad. Veamos: si decimo$ que ,su valor de verdad es falso,entonces la oraci6n declarativa es verdadera, porque, precisa-

mente, lo que establece es que es una oraci6n faLaa , Tampocoes verdadera, porque en este caso no est de acuerdo con lo

establecido por la oraci6n. N?te,que este tipo de oraci6n

lleva implicita una contradicci6n en si misma.

Consideremos la oraci6n: x es ~~ n{mero par~ A esta

oraci6n no es posible asignarle un {nicovalor de verdad, puesto

qua didho valor depende del objeto por el cual sustituyamos a x.

Al susti,t~iJ:,,~,ax por eL objeto. '.'dos",por ~jemplo, la oraci6n

Es importante hacer notar que no todas las oraciones

. , . ,. ~nioso Hidalgo" Don Quijote de 'la Mancha, es una pz'oposfcfn ver--dade ra-,

Ahora b.eri, la oraci6n: Un cuadrado es una figura planaque tiene tres lados, es una proposici6n falsa, porque sabemos

que la figura a la cual se le llama cuadr-ado tiene cuatro lados

y no tres.

Por otra parte, si consideramos la oraci6n: E*isten seres

vivientes en el planeta Venus, aceptamos que es una proposici6n,puesto que es una oraci6n declarativa que es verdadera o falsa,

y no ambas'cosas' al mismo tiempo, pero tambi~n aceptamos que no

tenemos los suficientes conocimientos para asegurar su veraci-

dad o su'falsedad.

Estos ejemplos ilustran ~na situaci6n muy interesante:

que no es a a L6gica'a quien le toca informar acerca de la

veracidad o falsedad de una proposici6n, sino a la experiencia.

Definici6n 1.2 A la verdad o falsedad de una proposici6n

se le l~ama valor de verdad de la proposici6n.

que declara est en conformidad con los hechos, con la realidad.

'observemos con cuidado os sigufentes ejemplos:

La oraci6n: Miguel de Cervantes escri'bi6'la obra El Inge-

2

BjerCi'cios 1.1

1. Clasifique'las siguientes oraciones, en declarativas,interrogativas, exclamativas o imperativa.s..a) Haga fila y c'llese.b) Qui~n te pe16 que las orejas.te,d.j6?e) Los mdsicos son animales domesticado,s.,

eh) La lluvia cae y moja.d)~tC6mo me martirizas cuando no me al;>razas!e) Saque la lenq'ua.f) El ruido es un conjunto de silencios.q) Un cretense dijo: Los cretenses siempre

mienten.h) Si es capaz de razonar, entonces .es humano.------i) Cuando brilla la luna?j) x + 2 es igual a cero.k) El hombre es un animal implume.

, ,1) lOud comiste que te ensuciaste el ,bigote?

11) Hay tanto para contar.m) ,Cuanto me d~ele la cabeza!n) Esta oraci6n declarativa es verdadera.). S6 razonable frente a sus peticiones.o) No es ei~rto que 25 + 7 = 31.p) ll)(5ndepasaste las vacaciones?q) Hoyes domingo.

2. Identifique las proposiciones del ejerccio"an~tiot.

declarativa se convierte en: Dos es un nOmero par, que es una, "

oraci6n verdad~~a, pero si sust!tuimo~ a x ~r el obje~o "tres,obtenemos: Tres es un ndmero pa~, que es una oraci6n falsa.. ,En consecuencia, una oraci6n como dsta no es una.proposici6n.

Por otra parte, una oraci6n como: El mundo es as, no essusceptible de asignarsele un valor de verdad sin conocer elcontexto donde esta referida. Est.oes, por s sola es una ora-c16n que carece de sentido y, ~r t~nto, d~ valor de verdad,asf que no'es una proposici6n.

3

Nos interesa ,trabajar con representaciones simb6liqas de

las proposiciones ms que con pro.posiciones especficas, parauu

fi~usaremos letras minsculas, tales como p, q, r, etc. Ahora

bien, en estos casos nos enfrentarnos a un problema de termino-

loga ya que,dichos smbolos, por s solos, no constituyen una:.

proposici6n, pues-ce.que no,son susoept.i.bLes de asignrseles unvalor de verdad cornorequiere la definici6n de'proposici6n, sin

antes conocer la oraci6n que representan. Sin embargo, dichos

smbolos se conv erten en proposiciones en el momento en que sereemplazan por proposiciones especficas.

Definici6n 1.3 Un smbolo p que puede ser sus~itu!do

por..una proposici6n 'cualquiera recibe el nombre de,forma pro-

posicional.

La importancia de trabajar con for~as proposicionales

estriba en que pueden establecerse propiedades de ellas, que

seguirn siendo vlidas no importando' qu proposici6n repre-. "

'senten, y sin Los problemas de inte.rpretaci6n que acarreara el

cono.cer dichas proposiciones.

g) Un rectngulo es un con un

ngulo

h) El orden de los f ac'coz-e s .,i) La intersecci6n de

f) Si el tringulo ABe es congruente con el tringulo

A'B'C', entonces

d) El nmero uno es menor .que

e) Un nmero entero compuesto se puede expresar-----

c) Los ngulos son congruentes.

9h) Los tringulos con igual base y altura

es un nmero par.b) La suma de

3,.Complete ..las siguientes .proposiciones:a) El nmero es par y

4

Ejercicios 1.2

1. Cules de las siguientes expresiones son proposiciones?

a) s cauteloso.

b) Juan fue mordido por un perro.

c) l-1aratiene 16 aos y Elena es rubia"ch) El profesor de Biologa no es simptico.

d) Cundo viene tu hermano?

e) Pedro me acompaar o Antonio se enfadar.

f) Me gusta ese cantante~

g) Hay ~uchas butacas vacas en el cine.

'h) Dej de ver televisi6n y lo acompa a la fiesta.

i) Deja de ver televisi6n y acompame a la fiesta.

j) (85 + 78) 2 =' 852 + 2 (85) (78) + 782k) Si te esfuerzas, no repetirs el curso.

1) Compraste un'auto?

11) C6mprate un auto.

m) Todos los ratones le temen a los gatos.

n) Qu obra tan noble~

) x2 + 1.o) Asunci6n s~be jugar canasta o tiene mucha suerte.

p) Si vas a casa de Julia, entonces encontrars a

Virginia.

q) No es verdad que los leones comen queso.

r) Existen seres vivientes en Marte.

s) Crist6bal Co16n cultiv6 el estudio de la Matemtica.

2. Escriba tres proposiciones que tengan valor de verdad

Ejemplos: q: La colecci6n de los ndmeros primos es

infinita.

r: El agua del mar es dulce.

s: HaY'perros que muerden.

t: 4 + 6 = 10.En estos ejemplos: v(q)= V, v(r)= F, v(s)= V y v(t)= V

Si P denota una proposici6n o una forma proposicional~

escribiremos v(p) para indicar el ~alor de verdad de p.'.

5

* De manera anloga podemos definir las f0r..mas_.proposicio-nales simples y compuestas.

d) Cuatro es el cuadrado de dos.

1. Indique si las proposiciones siguientes. son simples ocompuestas.

a) El 25 por ciento de $200 es $50.

b) Veintiuno es un ndmero impar y es m6ltiplo de.siete.e) El afio 1979 es bisiesto.

eh) Tres tercios es un entero o dos monedas de veinticinco

centavos valen lo mismo que Ullade cincuenta.

Ejercicios 1.s

"no", "y", "o", "si Y s6lo si", "si , entonces ", conse-guimos nuevas proposiciones a partir de 'las proposiciones 's~-

pIes. Las proposiciones as formadas se llaman proposiciones

compuestas. *

Las oraciones: Siete es un ndmero primo, Pepe estudia

ingeniera, El profesor me cae mal, son llamadas proposicionessimples 0at6micas. Pero este tipo de proposici6n es insufi-

ciente para expresar la terminologa matemtica.

'.Ejemplos: 1) Seis no es un divisor de trece.

2) Dos es un n6mero primo y par.

3) Un ndmero entero es par o impar.4) Un tringulo es is6sceles si y,s6lo si

tiene dos lados congruentes.

5) Si un paralelogramo tiene un ngulo recto,

entonces es un rectngulo.

Definici6n 1.4 Usando los llamados conectivos l6gicoS2

1.2 Proposiciones Compuestas

verdadero y tres proposiciones cuyo valor de verdad seafalso.

6

Utilizando las formas proposicionales suelen representarse

los posibles valores de v~rdad de las proposiciones compuestas

entonces

si y s610 si

oc)ch) Si

}i)

~entonces-------------------

f) Dos rectas son paralelas si y s6lo si

y estn en un mismo plano.

g) Dos rectas coinciden si y s6lo si

en comn.

h) Si un nmero es primo entonces, _

son s6lo uno y l mismo.

i) Si un paralelogramo es

sus diagonales 'son congruentes.

3. Construya proposiciones llenando los espacios en blanco:a) nob) y

d)'Un cuadrado

e) Un nmero impar

ngulos aguds.

cornodivi~or.

och) Un nmero entero positivo es

o acutngulo oc~ Un tringulo es

yb) Un tringulo is6sceles tiene

e) El nmero seis no es menor que el nmero tr.es.

f) El inverso multiplicativo de un nmero real es nico.'

'g) Si dos rectas son perpendiculares, entonces forman

cuatro ngulos rectos.

h) La suma de las medidas de los ngulos de un cuadri~

ltero es 360.

i) q~ p'aralelogramo es un rectngulo si y s6lo si tieneun ngulo recto~

2. Construya proposiciones llenando los espacios en planco:

a) Un cuadrado es un y un

7

Definici6n 1.5 Dada una proposici6n, su negaci6n se

forma anteponiendo a la proposici6n las expresiones: Es

falso que, no es verdad que. Tambin, siempre que sea posi-

ble, Ln se'r tiando la partcula "no" en la proposici6n.

Ejemplos: 1) Venezuela es un pas petrolero, es

una proposici6n, y su negaci6n puede ser escrita:

Es falso que Venezuela es un pas petrolero.

No "esverdad que Venezuela es un pas petrolero.

Venezuela no es un pas petrolero.

2) La ~egaci6n de: Los n~ulos de un tringulo

equiltero son congruentes, es: Los ngulos de un trin-

gulo equiltero no son congruentes.

3) La negaci6n de: El nmero dos es el primer nmero

primo, es: El nmero dos no es el primer nmero primo.

4) La negaci6n de: Los lados correspondientes en

tri~gulos semejantes son congruentes, es: Los lados

correspondientes en tringulos semejantes no son con-

gruentes.

~) Pedro no sembr6 esa mata de guineo, es la negaci6n

de la proposici6n: Pedro sembr6 esa mata de guineo ..

6) Es falso que Juan es antiptico, es una de lak fbr-

mas en que se puede escribir la negaci6n de la proposici6n:

Juan es antiptico.

7) La negaci6n de: Felipe vive en Egipt~ es: No es ver-

dad que Felipe vive en Egipto.

1.3 Negaci6n

. ,sibes combinaciones de valores de verdad de los componentes

at6micos de las proposiciones compuestas, y el valor de ver- -

dad en cada combinaci6n, de dichas proposiciones.

Veamos, a continuaci6n, los nombres y caracterstias de

las proposiciones compuestas.

en las llamadas tablas .de verdad. Estas no son ms que'

arreglos de filas y columnas donde 'se contemplan todas las po-

8

Def i nic i6 n 1.6 Al unir dos pro pos ic i ones medi ant e el

conectiv o y , obte nemos ia conj unc i6n de dic has pro posi ci opes .

Ej empl os : 1) lo es un s at lite n atura l de Jpi te r ,

La gal li na es un mamfer o, son p r opos i c i ones . La conju nc i6n

.de ellas 05:

1.4 Conj unci 6n

e) Una or ac i 6n dec l ara t iva es una pro posi c i 6n .

f) Una oraci6n int err oga t iva p uede s er una pr oposic i 6n .

g) Un cuadrad o es un rect ngulo .

h) Un ro mbo es u n c uadr ado .

i ) La suma de nmer os enteros es con muta tiva .

1. Esc riba la negac i6n de las s i guient es pr oposic i ones e

indi que su v alor de ver dad.

a) Una pro posici6n t iene un ni co va lo r d e verda d.

b) La n egaci6n de una prop osic i 6n fals a es una propo

sici6 n fals a.

c ) Una fo rma pro posici ona l es un a pr opos ici 6n.

ch) La e xpr esi6n " p es un a f or ma p-ro pos i ci onal .

d) Las pr oposiciones compuesta s se f orman util izando los

con ecti~os l 6gic os .

Ejercicio 1. 4

Col . 2Col. 1

Fila 1:

Fi la 2:

F

V

V

F

Notaci 6n: Sea:p una propo~ici6n, entonc es sU nega ci6n se

denota -cp. Es decir , la notaci6 n para el conectivo " no" , es : -v ,

Valor o e verdad : La negaci6 n de una proposici6n ve rdader a

es una proposici6n falsa y la n egaci 6n de una proposici 6n fa l- "sa es una p r oposici6n verdadera .

Tabla de verdad 1.1: Uti l i zando l as formas proposi cionales ,I

podemos re sumir l o ant er ior e n una tabla de verdad d e la maner a

sig uiente:

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