Universidad Nacional de Salta Facultad de Ciencias Exactas CILEU 2008

Algunas Nociones de Lógica Etimológicamente, la palabra “lógica” proviene del término griego “logos” que se traduce por “palabra”, “razón”, “discurso”.El lenguaje empleado por la lógica es preciso y no es ambiguo, te ayudará a entender la estructura de un razonamiento o argumento. Con las nociones de lógica que trataremos podrás identificar en el enunciado de propiedades, teoremas, etc., formas o estructuras similares.

Ya en el siglo IV a.C., Aristóteles alude a la lógica como una teoría de la forma de razonamiento cierto. Algunos de los textos que abordan el estudio de la lógica coinciden en la siguiente aseveración:

“Lógica es una ciencia formal a la que concierne la determinación de la validez de los razonamientos”

A medida que avancemos en el tratamiento de las nociones lógicas, lograrás interpretar el verdadero significado de la expresión anterior.

En general el razonamiento se manifiesta a través de ciertas afirmaciones como por ejemplo:

“Hoy a las 17 hs vence el plazo de inscripción para el taller de música, puedo llegar recién a la 18hs. Por lo tanto no podré inscribirme”.

“El producto de dos números enteros es par, entonces alguno de los números es par”.

Podemos decir de ambos enunciados que son válidos en tanto que el siguiente razonamiento no lo es.

“Todos los alumnos de la Licenciatura en Análisis de Sistemas, cursan Introducción a la Matemática. Todos los alumnos del Profesorado en Matemática cursan Introducción a la Matemática. Por lo tanto todos los alumnos de LAS estudian PM”.

Para justificar el por qué un razonamiento es válido y otro no lo es, bastaría con analizar la forma o estructura de los enunciados dados, pero para ello, es necesario precisar algunos términos.

� Proposición y Valor de verdad Una proposición es una oración declarativa de la cual tiene sentido decir que es verdadera (V) o falsa (F). Ejercicio: Las siguientes son proposiciones. Indica el valor de verdad de cada una.

� La capital de Argentina es Buenos Aires. � El cuadrado de tres es seis

� 161

33 =

� La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 360º

� El Ing. Norberto Bonini es el actual decano de la facultad de Ciencias Exactas de la UNS.a.

� La raíz cuadrada de –1 no es un número real. � Π= 3,14

� 132

1)(

2 +−=

xxxP es un polinomio de grado 2

En cambio, de las siguientes oraciones no tiene sentido decir que son verdaderas o falsas, es decir, no son proposiciones. Por ejemplo.

� ¡Qué calor! � ¿Podrás llegar a tiempo? � Compra una bicicleta � Más vale pájaro en mano, que cien volando

Podemos designar una proposición y su valor verdad del siguiente modo: Sea la proposición

p: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 360º

cuyo valor de verdad es:

v (p)=F

Por convención usaremos las letras minúsculas p, q, r, s, t,….para representar proposiciones.

� Negación de una Proposición Siendo p: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 360º, su negación se puede expresar del siguiente modo: ~ p: No es cierto que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea 360º ~ p: La suma de los ángulos interiores de un triángulo no es 360º ~ p: No es verdad que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea 360º ~ p: Es falso que la suma de los ángulos interiores de un triángulo sea 360º

Los valores de verdad de p y ~ p son opuestos, en el ejemplo anterior tenemos, v (p)=F y v(~ p)=V. Podemos entonces decir que, dada cualquier proposición p, se pueden considerar dos casos.

p ~ p

V F

F V

La anterior es una tabla de verdad y en ella se consideran todos los casos posibles de acuerdo a los distintos valores de verdad de la o las proposiciones consideradas.

Ejercicio: Escribe una proposición y su negación indicando el valor de verdad de cada una. Ejercicio: Niega las siguientes proposiciones y determina su valor de verdad p: El agua en Salta hierve a menos de 100 ºC.

q: 743169169 =+=+=+ r: 3 > -1

� Disyunción Siendo p: Voy a ver la película Juno; q: Voy al recital de Calle 13, tiene sentido la siguiente expresión:

Voy a ver la película Juno o voy al recital de Calle 13

En esta expresión tenemos dos proposiciones vinculadas mediante el conectivo “o” y se puede simbolizar por p∨ q. Hemos obtenido una proposición compuesta. Ahora nos preguntamos: ¿Cuál es el valor de verdad de esta nueva proposición? Esta proposición compuesta se denomina disyunción y representa una alternativa. Resulta verdadera si alguna de las dos proposiciones se cumple o se cumplen las dos. En la tabla de verdad correspondiente a esta operación de disyunción hay que considerar cuatro casos:

p q p∨ q

V V V

V F V

F V V

F F F Observa que el único caso en que la disyunción resulta falsa es cuando ambas proposiciones son falsas. Por ejemplo, la siguiente proposición compuesta “2 < 3 o 2 > 3” es verdadera dado que 2 < 3 es una afirmación verdadera. La proposición “x2 < 0 o (-2)2 < 0” es falsa dado que las dos proposiciones que la componen son falsas.

Ejercicio: Enuncia una disyunción verdadera tal que las dos proposiciones componentes sean verdaderas.

Se puede demostrar construyendo una tabla de verdad, que la proposición p∨ ~ p es siempre verdadera sin importar quien sea la proposición p, ni su valor de verdad.

p ~ p p ∨∨∨∨ ~ p V F V F V V

� Conjunción También podemos conectar las dos proposiciones anteriores mediante “y” resultando:

Voy a ver la película Juno y voy al recital de Calle 13

Es una proposición compuesta llamada conjunción. Se simboliza por p ∧ q y se lee “p y q”. ¿Cuándo la conjunción de dos proposiciones es verdadera? Veamos la tabla de verdad para la conjunción:

p q p∧q

V V V V F F

F V F

F F F

Observamos que la conjunción de dos proposiciones es verdadera solo si ambas proposiciones son verdaderas. La conjunción “2 es par y 2 es número primo” es verdadera pues la proposición “2 es par” es verdadera, y la proposición “2 es un número primo” también es verdadera. Ejercicio: Sea “4 es número par y 4 es un número primo”. ¿Cuál es el valor de verdad de la conjunción? Ejercicio: Demuestra construyendo una tabla de verdad que la conjunción p ∧ ~ p es siempre falsa independientemente del valor de verdad de p.

� Implicación o Condicional En la expresión “Si 2 es un número primo entonces tiene dos divisores positivos” pueden identificarse dos proposiciones simples.

p: 2 es un número primo q: 2 tiene dos divisores positivos.

Es decir la expresión tiene la forma, “Si p entonces q” por lo que la proposición se llama proposición condicional o también implicación, donde p se llama antecedente y q consecuente. Se simboliza p ⇒ q y se puede leer de diversos modos, algunos de ellos son:

a) Si p entonces q b) Si p, q c) p implica q d) q si p e) p sólo si q Es decir la proposición a) “Si 2 es un número primo entonces tiene dos divisores positivos”, se puede enunciar también de distintos modos, pero la simbolización es la misma p ⇒ q. b) “Si 2 es un número primo, tiene dos divisores positivos” c) “Que 2 sea un número primo implica que tiene dos divisores positivos” d) “2 tiene dos divisores positivos, si 2 es un número primo” e) “2 es un número primo sólo si tiene dos divisores positivos” Para analizar el valor de verdad de la implicación o condicional consideremos los siguientes enunciados: “Si el área del cuadrado es 9 cm2, entonces su perímetro es de 12 cm.” “Si 24 es impar entonces el cuadrado de -3 es negativo” “Si 24 es impar entonces 24 es un número compuesto” “Si el cuadrilátero es un rectángulo entonces la suma de los ángulos interiores es 240º”

La primera implicación es verdadera pues efectivamente del hecho que el área mida 9 cm2 se deduce que el lado mide 3 cm. y por lo tanto el perímetro 12 cm.

La segunda y tercera implicación resultan verdaderas pues si partimos de una proposición falsa es lógico pensar que podemos llegar una conclusión correcta o no. La cuarta implicación es falsa pues si el antecedente es verdadero no es posible concluir algo falso. La tabla de verdad para la implicación o condicional es:

p q p⇒ q

V V V

V F F F V V

F F V

Observe que la implicación es falsa sólo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

Ejercicio: La implicación “2 es par entonces 2+1 es impar “ es verdadera ¿Porqué?

� Implicaciones Asociadas Si la implicación dada es p ⇒ q, a quien también podemos llamar directa, las implicaciones asociadas con ella son:

p ⇒ q Dada o directa

q ⇒ p Recíproca

∼ q ⇒ ∼ p Contrarrecíproca

∼ p ⇒ ∼ q Contraria

Si la implicación dada o directa es: “Si el área del cuadrado es 9 cm2, entonces su perímetro es de 12 cm.” Llamando p: el área del cuadrado es 9 cm2; q: el perímetro del cuadrado es 12 cm.” Se simboliza p ⇒ q y las implicaciones asociadas serían:

p ⇒ q Dada o directa Si el área del cuadrado es 9 cm2, entonces su perímetro es de 12 cm

q ⇒ p Recíproca Si el perímetro de un cuadrado es 12 cm entonces el área del cuadrado es 9 cm2

∼ q ⇒ ∼ p Contrarrecíproca Si el perímetro de un cuadrado no es 12 cm entonces el área del cuadrado no es 9 cm2

∼ p ⇒ ∼ q Contraria Si el área del cuadrado no es 9 cm2, entonces su perímetro no es 12 cm

Ejemplo: Si la implicación dada es ∼ q ⇒ p las implicaciones asociadas con ella son:

∼ q ⇒ p Dada o directa

p ⇒ ~ q Recíproca

∼ p ⇒ ∼( ~ q ) Contrarrecíproca

~(∼ q ) ⇒ ~ p Contraria

Puede reemplazar ~(∼∼∼∼ q ) por q dado que sus valores de verdad coinciden. Compruébelo usted mismo mediante una tabla de verdad.

� Doble Implicación, Bicondicional o Equivalencia La doble implicación es la proposición p ⇔ q que se lee “p si y solo sí q”. La doble implicación es verdadera solo cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad es decir, son ambas verdaderas o ambas falsas. Su tabla de verdad es:

p q p ⇔ q

V V V V F F F V F F F V

p ⇔ q puede también definirse como ( p ⇒ q ) ∧ ( q ⇒ p) Ejemplos: “Un triángulo es equilátero si y sólo sí sus tres lados son congruentes” “3x3 = 6 ⇔ 2.2 = 4” “-2 2 = 4 ⇔ -32 = 9 “x=0 ⇔ x2=0” “x 2=1⇔ x=1” La negación, disyunción, conjunción, implicación puede usarse para formar proposiciones compuestas como la siguiente: ~ p ∧ q ⇒ r ∨ t Pero para precisar la jerarquía de las operaciones (disyunción, conjunción, etc.), se hace necesario el uso de paréntesis y corchetes: ~ (p ∧ q) ⇒ (r ∨ t) es una implicación ~ [(p ∧ q) ⇒ (r ∨ t)] es una negación ~ [(p ∧ q) ⇒ r] ∨ t es una disyunción (~ p) ∧ [q ⇒ ( r ∨ t )] es una conjunción Observe que en todos los casos, por haber colocado en diferentes posiciones los paréntesis y los corchetes, se obtienen distintas proposiciones compuestas.

� Proposiciones lógicamente equivalentes Observa la tabla de verdad de la proposición (p ∧ q )⇔ (q ∧ p )

p q (p ∧∧∧∧ q ) (q ∧∧∧∧ p ) (p ∧ q )⇔ (q ∧ p )

V V V V V

V F F F V

F V F F V

F F F F V

La tercera y cuarta columna ponen en evidencia que (p ∧ q ) tiene igual valor de verdad que (q ∧ p ), por lo tanto (p ∧ q ) ⇔ (q ∧ p ) es siempre verdadera . Podemos decir entonces que (p ∧ q ) es lógicamente equivalente a (q ∧ p ), es decir tienen el mismo valor de verdad. Otras proposiciones equivalentes de mucha utilidad son ( p ⇒ q ) con ( ~ q ⇒ ~ p ) , es decir, la implicación directa es lógicamente equivalente con la contrarrecíproca., tienen el mimo valor de verdad. Se demuestra con la siguiente tabla de valores:

p ~ p q ~ q ( p ⇒⇒⇒⇒ q ) ( ~ q ⇒⇒⇒⇒ ~ p ) ( p ⇒ q )⇔ ( ~ q ⇒ ~ p )

V F V F V V V

V F F V F F V

F V V F V V V

F V F V V V V

� Método Directo de Demostración En este método se asume la verdad del antecedente y se prueba la verdad del consecuente para que la implicación resulte verdadera (recuerde de la tabla asociada a la implicación que esta era verdadera cuando tanto antecedente como consecuente son verdaderos) Demostremos el siguiente enunciado

La suma de dos números impares es un número par.

Para identificar claramente antecedente y consecuente podemos enunciar así

Si x e y son dos números impares entonces x+y es par

Recordando que un número par se puede simbolizar con 2n, 2p,…, y un número impar con 2m+1, 2s+1,…resulta:

x = 2n+1 con n є Z, y = 2m+1 con m є Z ⇒ x+y = 2p con p є Z Demostración: Partimos del antecedente Si x = 2n+1 con n є Z, y = 2m+1 con m є Z Podemos sumar miembro a miembro

x = 2n+1 y = 2m+1

resulta x+y = 2n+1+2m+1 = 2n + 2m + 2 y por propiedad distributiva x+y = 2( n +m + 1) se demuestra que x+y = 2p con p = n+m+1 є Z ( el consecuente )

Bibliografía � “Elementos de lógica simbólica”. Nudler, Telma. Editorial Kapelusz � “Con un poco de lógica”. Bueno María. UPSA � Notas de Introducción a la Matemática. Hibbard, Puga, Valdez. UNSa. � .Algebra I. Rojo Armando Editorial El Ateneo.