LICEO PARTICULAR LOS ANDES

Matemática/2°Medio B A.Gutiérrez / C. Antilef

NUMEROS RACIONALES

¿Qué conjuntos conoces?

Los Números Naturales (N) se representan por N = {1, 2, 3,…,}.

Estos son los números que utilizamos para contar elementos.

Los Números Enteros (Z) se representan por Z= {…–2, –1, 0, 1, 2…}.

Este conjunto está compuesto por los números negativos, el cero y los números positivos (o Naturales)

Luego, ¿Cuál es definición del conjunto de Números Racionales?

¿Pero, qué significa? En palabras simples:

“Los números racionales, son todos aquellos números que puedo expresar como una fracción, donde

tanto el numerador (a) como denominador (b) son números enteros, y donde siempre el denominador (b)

debe ser distinto de cero”

Responde: ¿Por qué b o el denominador de una fracción debe ser distinto de cero?

Nombre:

Curso: Fecha:

Unidad 1:Aplicación de raíces y potencias

Objetivos: Caracterizar el conjunto de los números racionales e irracionales

Instrucciones: 1. Lea atentamente los contenidos e instrucciones de cada ítem y de cada ejercicio. 2. Para poder llevar un registro del trabajo realizado, recuerda guardar muy bien el material que

se te ha entregado, se recomienda para ello que armes una carpeta o desarrolles las guías en tu cuaderno, ya que al momento de reintegrarte al establecimiento se te pedirá que las entregues.

3. Será tu responsabilidad presentar todo el material que se ha puesto a tu disposición en ésta asignatura.

4. Si tienes alguna duda puedes contactame al número telefónico 961793036 (de 11:00 a 12:00 hrs. estaré en línea, luego responderé de forma diferida). Es muy importante que consideres que solo responderé dudas respecto del material entregado para la asignatura, los demás temas debes conversarlos con tu profesor o profesora jefe.

5. Una vez que termines tus guías de trabajo deberás fotografiar tu avance y enviar al correo agutierrezmelladolla@gmail.com.

6. El nombre del asunto del correo debe redactarse de la siguiente forma: Guia4_ Matemática_GutiérrezAngélica. Apellido paterno y nombre de cada estudiante.

RECUERDA AÚN NO ESTÁS DE VACACIONES Y EN ÉSTE MOMENTO ES CUANDO DEBES DAR LO MEJOR DE TI.

22/Junio

GUÍA DE APRENDIZAJE Nº4: “Números Racionales e Irracionales”

RECORDEMOS… ¿QUÉ NÚMEROS SON RACIONALES?

1. Las fracciones. Obviamente por definición todas son racionales [Siempre y cuando el numerador

y denominador sean números enteros y el denominador distinto de cero]

Ejemplo : 𝟏

𝟑,

−𝟓

𝟏𝟏 , 𝟓

𝟏

𝟐

1.1 ¿Qué tipo de número es 𝟓𝟏

𝟐?

1.2 En relación a la pregunta anterior, ¿por qué razón crees que se le denomina de esa forma?

1.3 Utiliza una representación distinta para mostrar el número 𝟓𝟏

𝟐

1.4 ¿Cómo se podía transformar a fracción impropia?

1.5 Transforma 𝟓𝟏

𝟐 a número decimal

2. Los números enteros. Pues puedo escribirlos como fracción dividiéndolos por 1.

Ejemplo:

2 es racional pues lo puedo escribir como 2

1

- 3 es racional pues lo puedo escribir como −3

1

0 es racional pues lo puedo escribir como 0

1

3. Los decimales finitos. Pues se pueden transformar a fracción. Ejemplo: Transformar 1,52 a fracción

1,52 =152

100=

152:4

100:4 =38

25

Pasos:

1º Escribo el número completo sin coma

2º Lo divido por una potencia de 10, o sea escribo un 1 y tantos ceros como cifras decimales

tenga el número.

3º Si es posible, simplifico hasta conseguir una fracción irreductible

Si aún tienes dudas revisa: https://www.youtube.com/watch?v=a2QefNNcLEI

Ejercicios propuestos: Transforma los siguientes decimales finitos a fracción

3.1) 2,25 =

3.2) 10,75 =

3.3) 0,35 =

4. Los decimales infinitos periódicos. Pues también se puede transformar a fracción. Se llaman así porque su parte decimal se repite infinitamente y se pueden abreviar escribiendo una “rayita” sobre estos números. Ejemplo:

4,77777777777777…. = 4, 7̅ el 7 corresponde al Periodo del número decimal.

12,45454545454545… = 12, 45̅̅̅̅ el 45 corresponde al Periodo del número decimal.

¿Cómo se transforman a fracción estos números?

Ejemplo: Transformar 3, 2̅ y 0, 45̅̅̅̅ a fracción

3, 2̅ =32−3

9=

29

9 0, 45̅̅̅̅ =

45−0

99=

45

99=

45:9

99:9 =5

11

Si aún tienes dudas revisa: https://www.youtube.com/watch?v=f5l_lpb5nUo

Ejercicios propuestos: Transforma los decimales finitos periódicos a fracción.

4.1) 3,1111111… =

4.2) 5,7575757575…=

4.3) 10,125125125…=

4.4) 0,4444444444…=

Pasos:

1º En el numerador escribo el número completo sin coma menos la parte entera del decimal.

2º Lo divido por tantos 9 como cifras tenga el periodo.

3º Resuelvo la resta del numerador

4º Si es posible, simplifico la fracción hasta conseguir una fracción irreducible.

5. Los decimales infinitos semiperiódicos. Pues también se pueden transformar a fracción.

Se llaman así porque en su parte decimal tienen un anteperiodo (número que no se repite después de la coma) y luego tienen un periodo o sea un número que se repite infinitamente y se puede abreviar escribiendo una “rayita” sobre el periodo. Ejemplo:

4,437777777777777…. = 4,437̅ el 43 corresponde al Anteperiodo y 7 al Periodo.

12,345454545454545… = 12,345̅̅̅̅ el 3 corresponde al Anteperiodo y el 45 al Periodo.

¿Cómo se transforman a fracción estos números?

Ejemplo: Transformar 1,32̅ y 0,745̅̅̅̅ a fracción

1,132̅ =1132−113

900=

1019

900 0,745̅̅̅̅ =

745−7

990=

738

990=

738:18

990:18 =41

55

Pasos:

1º En el numerador escribo el número completo sin coma menos todo lo que no está bajo el

periodo (O sea resta la parte decimal y anteperiodo)

2º Lo divido y escribo tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos 0 como cifras tenga el

anteperiodo.

3º Resuelvo la resta del numerador

4º Si es posible, simplifico la fracción.

Si aún tienes dudas revisa: https://www.youtube.com/watch?v=IJm0Kk2vjyI

Ejercicios propuestos: Identifica el anteperiodo y el periodo, luego transforma los decimales

infinitos semiperiódicos a fracción.

5.1) 3,15252525… =

Anteperiodo corresponde a

Periodo corresponde a

5.2) 5,075757575… =

Anteperiodo corresponde a

Periodo corresponde a

5.3) 10,2502020202…=

Anteperiodo corresponde a

Periodo corresponde a

5.4) 0,4444444444…=

Anteperiodo corresponde a

Periodo corresponde a

6. Las raíces cuadradas exactas. Recordemos que una forma de encontrar la raíz cuadrada exacta de un número “a” es buscar otro número “b” tal que al elevar al cuadrado el número “b” se obtenga como resultado el número “a” , es decir:

b2 = a ; con a ≥ 𝟎

Al calcular raíces cuadradas exactas su resultado serán números enteros y ya sabemos que todos lo enteros son racionales. Por lo anterior las raíces cuadradas exactas son números racionales. Ejemplos:

a) Debemos encontrar √16 , para encontrar este número debemos encontrar otro número “b” que elevado al cuadrado de como resultado 16, es decir:

b2 = 16 Sabemos que 42 = 16, luego la √16 = 4

b) Debemos encontrar √36 , para encontrar este número debemos encontrar otro número “b” que elevado al cuadrado de como resultado 36, es decir:

b2 = 36 Sabemos que 62 = 36, luego la √36 = 6

6.1) Ejercicios propuestos: Completa la siguiente tabla:

1º Dibuja los cuadrados necesarios,

2º Cuenta la cantidad de cuadrados

3º Escribe la cantidad de cuadrados como una potencia

4º Calcula la raíz cuadrada de la cantidad de cuadrados.

Figura obtenida

Cantidad de cuadrados utilizados.

Notación de potencia de la cantidad de

cuadrados utilizados.

Raíz cuadrada de la

cantidad de cuadrados utilizados.

1 12 √12

= √1 = 1

22

9 √92

= √9 = 3

42

Figura obtenida

Cantidad de cuadrados utilizados.

Notación de potencia de la cantidad de cuadrados utilizados.

Raíz cuadrada de la

cantidad de cuadrados utilizados.

25

√362

= √36 = 6

82

6.2) Ejercicios propuestos: Inicia en la partida y calcula las raíces cuadradas de cuadrados

perfectos. Intenta llegar a la meta. ¡Buena suerte! (Observación: es posible que no uses todos

los cuadrados.)

ACTIVIDADES 1. Anota si el número pertenece al conjunto numérico, en caso contrario anota que significa No

Pertenece.

a) 2,5 ____ Z b) 125 ____ N c) -4 ____ N

d) −2

7 ____ Z e) 4,2 ____ Q f) −2, 5̅ ____ Q

2. Observa el siguiente diagrama. Luego, ubica los elementos en el menor conjunto numérico al

que corresponda.

Q: Racionales Z: Enteros N: Naturales

3. Representa los siguientes números decimales como una fracción e identifica a qué tipo de decimal

corresponde.

a) 3,25̅ =

b) 8,35353535 … =

c) 6,4 =

d) 9, 9̅ =

LOS NÚMEROS IRRACIONALES

1. Decimales infinitos No periódicos: Son aquellos números infinitos en los cuales no se repite

ninguna cifra infinitamente.

Ejemplo: 3,47852198653907… 768,4179839641331…

2. Números especiales. Estos números son utilizados en matemática en fórmulas y cada uno de

ellos se denota con una letra griega. Estos son:

𝜋 = 3,14159265359 … (Pi)

𝜑 = 1,6180339887 … (Phi, “Fi”; también llamado “Número Áureo”)

𝑒 = 2,71828182845 … (Número de Euler)

¿Dudas? Revisa: https://www.youtube.com/watch?v=dylOlnnL5FI

3. Raíces no exactas: Son aquellas cuyos resultados no son racionales.

Ejemplo: √7 ≈ 2,64575131 … √20 ≈ 4,47213595 … √43

≈ 1,587401052 …

ACTIVIDADES

1. Desarrolla los ítems 4 y 5 de la página 6 de tu Cuaderno de Ejercicios. Puedes hacer el desarrollo en tu Cuaderno de Ejercicios (libro delgado) o copiar en tu cuaderno.

2. Marca con una X todos los conjuntos numéricos a los cuales pertenecen los siguientes elementos. Recuerda: N: Naturales Z: Enteros Q: Racionales I: Irracionales

¿Cuáles son los números irracionales? Son todos aquellos números que NO SE PUEDEN ESCRIBIR COMO FRACCION Y QUE CORRESPONDEN A DECIMALES INFINITOS NO PERIODICOS.

Este conjunto se denotan con la letra I o bien agregándole un asterisco a la letra Q de la siguiente

forma Q*