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NOTA IMPORTANTE

• La segunda mitad de las páginas corresponden a las soluciones de la

primera mitad.

Manuel Balcázar Elvira

ÁNGULOS Y

SISTEMA

SEXAGESIMAL


ANGULO

Fíjate en el siguiente dibujo formado por dos semirrectas de origen el punto O.

Todo ángulo está formado por 2 lados que son las semirrectas que lo forman y un vértice que es el punto

común de los dos lados. En nuestro dibujo los lados serían OA y OB y el vértice el punto O. La unidad fundamental de medida de ángulos es el grado sexagesimal, pero para dar mayor precisión se utilizan otras unidades más pequeñas que son el minuto y el segundo, se representan así:

1 grado = 1º 1 minuto = 1' 1 segundo = 1"

La equivalencia entre estas unidades es que 1º esta formado por 60' y 1' está formado por 60", para pasar de unas unidades a otras podemos utilizar el siguiente esquema:

x 3600

x 60 x 60 Grados Minutos Segundos

: 60 : 60

: 3600

� Expresa en segundos:

62 º = 223200" 46 ' = 2760" 20 º = 72000" 61 ' = 3660"

� Expresa en minutos:

7 º = 420' 1500 " = 25' 27 º = 1620' 300 " =

� Expresa en grados:

3120 ' = 52º 216000 " = 60º 4500 ' = 75º 176400 " =

A

B O

1


PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO Y VICEVERSA

Fíjate como expresamos en grados minutos y segundos 55428"

55428" 60 142 923' 60 228 323 15º 48" Luego 55428" son 15º 23' 48"

Fíjate como expresamos 12º 30' 42"

12º = 12 x 3600 = 43200" 30' = 30 x 60 = 1800' 42" = 42"

45042" Luego 12º 30' 42" son 45042"

� Expresa en grados, minutos y segundos 72418" 20º 6' 58"



� Expresa en segundos 8º 6' 48" Expresa en segundos 15º 53' 51" 57231"

Expresa en segundos 3º 29' 29" �� Expresa en segundos 20º 55' 2" 75302"

2


8 º 52 ' 50 " + 13 º 22 ' 58 " 22 º 15 ' 48 " 19 º 2 ' 44 " + 10 º 2 ' 36 " 29 º 5 ' 20 "

15 º 10 ' 30 " + 7 º 4 ' 46 " 22 º 15 ' 16 " 18 º 11 ' 26 " + 3 º 19 ' 51 " 21 º 31 ' 17 "

3 º 56 ' 32 " + 10 º 41 ' 29 " 14 º 38 ' 1 " 3 º 43 ' 51 " + 2 º 49 ' 23 " 6 º 33 ' 14 "

18 º 10 ' 5 " + 8 º 24 ' 47 " 26 º 34 ' 52 " 19 º 18 ' 13 " + 16 º 12 ' 40 " 35 º 30 ' 53 "

8 º 58 ' 16 " + 15 º 16 ' 46 " 24 º 15 ' 2 " 17 º 8 ' 28 " + 8 º 52 ' 30 " 26 º 0 ' 58 "

SUMA DE ÁNGULOS

Para sumar dos o más ángulos se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos; después por cada 60" aumentamos 1' y por cada 60' aumentamos 1º

Ejemplo : Si A = 14º 45' 32" y B = 23º 34' 40" calcula A + B

A = 14º 45' 32"

B = 23º 34' 40"

A + B = 37º 79' 72" 37º = 37º 79' = 1º 19' 72" = 1' 12"

A + B = 38º 20' 12"

�� Calcula:

3


RESTA DE ANGULOS

Para restar dos ángulos, se restan grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos; si hay alguna cantidad que no se pude restar se convierte 1º en 60' o 1' en 60" según convenga.

Ejemplo : Si A = 32º 22' 36" y B = 14º 36' 42" calcula A - B

32º = 31º 60' A = 31º 81' 96"

22' = 21' 60" B = 14º 36' 42"

36" = 36" A - B = 17º 45' 54" 31º 81' 96"

Ejemplo : Si A = 57º y B = 20º 15' 30" calcula A - B

57º = 56º 60' = 56º 59' 60" A = 56º 59' 60"

B = 20º 15' 30"

A - B = 36º 44' 30" �� Calcula:

12º 16' 16" - 6º 52' 52" 5º 23' 24" 20º 55' 22" - 6º 52' 19" 14º 3' 3"

16º 51' 25" - 6º 57' 22" 9º 54' 3" 12º 48' 32" - 4º 20' 45" 8º 27' 47"

15º 24' 52" - 5º 55' 52" 9º 29' 0" 15º 47' 20" - 4º 21' 17" 11º 26' 3"

16º 15' 33" - 8º 50' 25" 7º 25' 8" 17º 29' 38" - 8º 27' 35" 9º 2' 3"

4


PRODUCTO DE UN ANGULO POR UN NUMERO

Para multiplicar un ángulo por un número se multiplican los grados minutos y segundos por el número; después por cada 60' formamos 1º y por cada 60" formamos 1'.

Ejemplo :

�� Calcula:

( 8º 31' 45" ) x 6 51º 10' 30" ( 6º 55' 46" ) x 7 48º 30' 22"

( 3º 41' 44" ) x 7 25º 52' 8" ( 6º 15' 27" ) x 4 25º 1' 48"

( 9º 51' 50" ) x 4 39º 27' 20" ( 5º 22' 25" ) x 6 32º 14' 30"

( 7º 34' 28" ) x 7 52º 61' 16" ( 3º 50' 46" ) x 6 23º 4' 36"

( 6 º 34 ' 38 " ) x 3 � 6 º 34 ' 38 " � 18 º = 18 º

x 3 102 ' = 1 º 42 '

18 º 102 ' 114 " 114 " = 1 ' 54 "

19 º 43' 54 "

5


DIVISIÓN DE UN ÁNGULO ENTRE UN NÚMERO

Para dividir un ángulo entre un número, se dividen primero los grados y si la división no es exacta el resto se convierte en minutos y se suman con los minutos del ángulo, después se dividen los minutos y si la división no es exacta se convierte el resto en segundos y se suman con los segundos del ángulo y por último se dividen los segundos.

Ejemplo :

�� Calcula:

(11º 36' 30") : 4 2º 54' 7" (17º 54' 19") : 2 8º 57' 9"

(31º 29' 41") : 3 10º 29' 53" (37º 55' 51") : 2 18º 57' 55"

(28º 37' 31") : 7 4º 5' 21" (17º 43' 50") : 6 2º 57' 18"

(28º 47' 28") : 3 9º 35' 49" (15º 37' 24") : 7 2º 13' 54"

(18º 36' 27") : 5 � 18 º 36 ' 27 " 5

- 15 3 º 43 ' 17 "

3 º x 60 = + 180 '

216 '

- 215 '

1 ' x 60 = +60 "

87 "

- 85 "

2 "

6


ÁNGULOS Y

SISTEMA

SEXAGESIMAL

SOLUCIONARIO


ANGULO

Fíjate en el siguiente dibujo formado por dos semirrectas de origen el punto O.

Todo ángulo está formado por 2 lados que son las semirrectas que lo forman y un vértice que es el punto

común de los dos lados. En nuestro dibujo los lados serían OA y OB y el vértice el punto O. La unidad fundamental de medida de ángulos es el grado sexagesimal, pero para dar mayor precisión se utilizan otras unidades más pequeñas que son el minuto y el segundo, se representan así:

1 grado = 1º 1 minuto = 1' 1 segundo = 1"

La equivalencia entre estas unidades es que 1º esta formado por 60' y 1' está formado por 60", para pasar de unas unidades a otras podemos utilizar el siguiente esquema:

x 3600

x 60 x 60 Grados Minutos Segundos

: 60 : 60

: 3600

� Expresa en segundos:

62 º = 223200" 46 ' = 2760" 20 º = 72000" 61 ' = 3660"

� Expresa en minutos:

7 º = 420' 1500 " = 25' 27 º = 1620' 300 " = 5'

� Expresa en grados:

3120 ' = 52º 216000 " = 60º 4500 ' = 75º 176400 " = 49º

A

B O

1


PASO DE COMPLEJO A INCOMPLEJO Y VICEVERSA

Fíjate como expresamos en grados minutos y segundos 55428"

55428" 60 142 923' 60 228 323 15º 48" Luego 55428" son 15º 23' 48"

Fíjate como expresamos 12º 30' 42"

12º = 12 x 3600 = 43200" 30' = 30 x 60 = 1800' 42" = 42"

45042" Luego 12º 30' 42" son 45042"




� Expresa en segundos 8º 6' 48" 29208" Expresa en segundos 15º 53' 51" 57231"

Expresa en segundos 3º 29' 29" �� 12569" Expresa en segundos 20º 55' 2" 75302"

2


SUMA DE ÁNGULOS

Para sumar dos o más ángulos se suman grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos; después por cada 60" aumentamos 1' y por cada 60' aumentamos 1º

Ejemplo : Si A = 14º 45' 32" y B = 23º 34' 40" calcula A + B

A = 14º 45' 32"

B = 23º 34' 40"

A + B = 37º 79' 72" 37º = 37º 79' = 1º 19' 72" = 1' 12"

A + B = 38º 20' 12"

�� Calcula: 8 º 52 ' 50 " + 13 º 22 ' 58 " 22 º 15 ' 48 " 19 º 2 ' 44 " + 10 º 2 ' 36 " 29 º 5 ' 20 "

15 º 10 ' 30 " + 7 º 4 ' 46 " 22 º 15 ' 16 " 18 º 11 ' 26 " + 3 º 19 ' 51 " 21 º 31 ' 17 "

3 º 56 ' 32 " + 10 º 41 ' 29 " 14 º 38 ' 1 " 3 º 43 ' 51 " + 2 º 49 ' 23 " 6 º 33 ' 14 "

18 º 10 ' 5 " + 8 º 24 ' 47 " 26 º 34 ' 52 " 19 º 18 ' 13 " + 16 º 12 ' 40 " 35 º 30 ' 53 "

8 º 58 ' 16 " + 15 º 16 ' 46 " 24 º 15 ' 2 " 17 º 8 ' 28 " + 8 º 52 ' 30 " 26 º 0 ' 58 "

3


RESTA DE ANGULOS

Para restar dos ángulos, se restan grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos; si hay alguna cantidad que no se pude restar se convierte 1º en 60' o 1' en 60" según convenga.

Ejemplo : Si A = 32º 22' 36" y B = 14º 36' 42" calcula A - B

32º = 31º 60' A = 31º 81' 96"

22' = 21' 60" B = 14º 36' 42"

36" = 36" A - B = 17º 45' 54" 31º 81' 96"

Ejemplo : Si A = 57º y B = 20º 15' 30" calcula A - B

57º = 56º 60' = 56º 59' 60" A = 56º 59' 60"

B = 20º 15' 30"

A - B = 36º 44' 30"

�� Calcula:

12º 16' 16" - 6º 52' 52" 5º 23' 24" 20º 55' 22" - 6º 52' 19" 14º 3' 3"

16º 51' 25" - 6º 57' 22" 9º 54' 3" 12º 48' 32" - 4º 20' 45" 8º 27' 47"

15º 24' 52" - 5º 55' 52" 9º 29' 0" 15º 47' 20" - 4º 21' 17" 11º 26' 3"

16º 15' 33" - 8º 50' 25" 7º 25' 8" 17º 29' 38" - 8º 27' 35" 9º 2' 3"

4


PRODUCTO DE UN ANGULO POR UN NUMERO

Para multiplicar un ángulo por un número se multiplican los grados minutos y segundos por el número; después por cada 60' formamos 1º y por cada 60" formamos 1'.

Ejemplo :

�� Calcula:

( 8º 31' 45" ) x 6 51º 10' 30" ( 6º 55' 46" ) x 7 48º 30' 22"

( 3º 41' 44" ) x 7 25º 52' 8" ( 6º 15' 27" ) x 4 25º 1' 48"

( 9º 51' 50" ) x 4 39º 27' 20" ( 5º 22' 25" ) x 6 32º 14' 30"

( 7º 34' 28" ) x 7 52º 61' 16" ( 3º 50' 46" ) x 6 23º 4' 36"

( 6 º 34 ' 38 " ) x 3 � 6 º 34 ' 38 " � 18 º = 18 º

x 3 102 ' = 1 º 42 '

18 º 102 ' 114 " 114 " = 1 ' 54 "

19 º 43' 54 "

5


DIVISIÓN DE UN ÁNGULO ENTRE UN NÚMERO

Para dividir un ángulo entre un número, se dividen primero los grados y si la división no es exacta el resto se convierte en minutos y se suman con los minutos del ángulo, después se dividen los minutos y si la división no es exacta se convierte el resto en segundos y se suman con los segundos del ángulo y por último se dividen los segundos. Ejemplo :

�� Calcula:

(11º 36' 30") : 4 2º 54' 7" (17º 54' 19") : 2 8º 57' 9"

(31º 29' 41") : 3 10º 29' 53" (37º 55' 51") : 2 18º 57' 55"

(28º 37' 31") : 7 4º 5' 21" (17º 43' 50") : 6 2º 57' 18"

(28º 47' 28") : 3 9º 35' 49" (15º 37' 24") : 7 2º 13' 54"

(18º 36' 27") : 5 � 18 º 36 ' 27 " 5

- 15 3 º 43 ' 17 "

3 º x 60 = + 180 '

216 '

- 215 '

1 ' x 60 = +60 "

87 "

- 85 "

2 "

6

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