RADICACION Y SUS CASOS

Radicación

La radicación es la operación inversa a la potenciación .

Y consiste en que dados dos números, llamados  radicando e

índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado

al índice, sea igual al radicando.

En la raíz cuadrada  el índice es 2, aunque en este caso

se omite. Consistiría en hallar un número conocido su

cuadrado.

La raíz cuadrada  de un número, a, es exacta cuando

encontramos un número, b , que elevado al cuadrado  es igual

al radicando: b2 = a.

Raíz cuadrada exacta

La raíz cuadrada exacta tiene de resto 0.

Radicando = (Raíz exacta)2

Cuadrados perfectos

Son los números que poseen raíces cuadradas exactas .

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, ...

Raíz cuadrada entera

Si un número no es cuadrado perfecto  su raíz es entera.

Radicando = (Raíz entera)2 + Resto

Algoritmo de la raíz cuadrada

1Si el radicando tiene más de dos cifras, separamos las

cifras en grupos de dos empezando por la derecha.

2 Calculamos la raíz cuadrada entera o exacta, del

primer grupo de cifras por la izquierda.

¿Qué número elevado al cuadrado da 8?

8 no es un cuadrado perfecto pero está comprendido entre

dos cuadrados perfectos: 4 y 9, entonces tomaremos la raíz del

cuadrada del cuadrado perfecto por defecto: 2, y lo colocamos

en la casilla correspondiente.

3El cuadrado de la raíz obtenida se resta al primer

grupo de cifras que aparecen en el radicando.

  El cuadrado de 2 es 4. se lo

restamos a 8 y obtenemos 4.

4 Detrás del resto colocamos el siguiente grupo de

cifras del radicando, separando del número formado la

primera cifra a la derecha y dividiendo lo que resta por el

duplo de la raíz anterior.

Bajamos 92, siendo la cantidad operable del radicando:

492.    

49 : 4 > 9, tomamos como resultado 9.

5 El cociente que se obtenga se coloca detrás del duplo

de la raíz, multiplicando el número formado por él, y

restándolo a la cantidad operable del radicando.

Si hubiésemos obtenido un valor superior a la a la cantidad

operable del radicando, habríamos probado por 8, por 7...hasta

encontrar un valor inferior.

6 El cociente obtenido es la segunda cifra de la raíz .

7 Bajamos el siguiente par de cifras y repetimos los

pasos anteriores.

Como 5301 > 5125, probamos por 8.

Subimos el 8 a la raíz

NOTACIÓN CIENTÍFICA

 

La Notación Científica nos ayuda a poder expresar de forma más sencilla

aquellas cantidades numéricas que son demasiado grandes o por el

contrario, demasiado pequeñas.

 

Se conoce también como Notación Exponencial y puede definirse como el

Producto de un número que se encuentra en el intervalo comprendido del

1 al 10, multiplicándose por la potencia de 10.

 

Por ejemplo, tenemos la siguiente cantidad:   

                          139000000000 cm.

Ahora lo llevamos a la mínima expresión y tenemos como respuesta:

¿Cómo lo llevamos a la mínima expresión?

1. Primero, empezaremos a contar los espacios que separan a cada número de  derecha a izquierda, hasta llegar al último número entero.

2.  Antes de llegar a dicho número, separamos la cantidad con un punto dejando como compañía dos decimales más, (en éste caso 3 y 9).

3.  Por último,  multiplicamos la cantidad (1.39) por 10 (que es la base)  y lo elevamos a la potencia 11 (Ya que son 11 espacios que separan a cada número).

Veamos otro ejemplo, tenemos 0.000096784 cm.

 En éste caso, el procedimiento será de la siguiente manera:

1. Partiremos desplazando el punto de derecha a izquierda, hasta llegar al primer número diferente de cero (en éste caso 9).

2. Separamos el número seguido por dos decimales (6 y 7) multiplicado por 10 como base constante.

3. La potencia, a diferencia del primer ejemplo, será negativa ya que contamos de izquierda a derecha, tomando en cuenta únicamente los números enteros.

Es decir, que tenemos como resultado:

O bien:

Aproximado, en donde la respuesta también sigue siendo válida.

    Cabe mencionar, que se seleccionaron únicamente los números enteros,

debido a que en términos matemáticos los ceros a la izquierda no cuentan

y  no deben ser incluidos.

SUMA

Tenemos 450000 + 1270 + 530000     Tomando en cuenta los procedimientos anteriores, tenemos como resultado:     1) 4500000 =

2) 1270 =

3) 530000 =

  4) Ahora bien, para sumar tenemos que llevar las cantidades a una misma

  potencia,en éste caso nos difiere , para poder llevarlo a la potencia

de 5, corremos el punto dos cifras más, siempre de derecha a izquierda,

   obteniendo (Se agregaron las cantidades que hacían falta, siendo         siempre 0.) 5) Teniendo las cantidades a una misma potencia, procedemos a sumar:

6) Obteniendo como Respuesta En otro ejemplo tenemos, 0.0536 + 0.0456 + 0.0043 Llevándolo a la mínima expresión tenemos:

1) 0.0536 = 

2) 0.0456 = 

3) 0.0043 = 

4) Llevamos a la misma potencia todas las cantidades, así que

  

  va a ser igual a , en éste caso corrimos de derecha a izquierda    una cifra y se restaron las potencias ( -3 + 1 ) quedando de potencia -2 ya que    el número es mayor predominando el signo.                    5) Ahora  procedemos a sumar:

 

  6) Se tiene de  Respuesta o también se puede expresar como

    (Se desplaza el punto de derecha a izquierda, restando     potencias)

RESTA

 

Se tiene 0.535 – 0.021 1) Expresamos las cantidades en Notación Científica 0.535 =

0.021 =

2) Ahora, tenemos que llevar las expresiones a la misma potencia, en éste caso será la potencia de -2 a -1.

   ( Se desplazó el punto de derecha a izquierda).           3) Teniendo potencias iguales, restamos:

4)  Obtenemos como Respuesta

En el siguiente ejemplo, combinaremos Suma con Resta, así:

Empezaremos realizando las operaciones por separado:

1)

¿Por qué está respuesta? Acordémonos que las cantidades se tienen que igualar a la misma potencia y por eso, hicimos llegar 2.35 x 10 -1 a la potencia de 1 agregando dos ceros de derecha a izquierda para hacerlo positivo.  Recordemos la Gráfica de Escalas que se detalla a continuación:

 

2) Seguimos trabajando las siguientes cantidades:

, cómo en el caso anterior, hicimos llegar la potencia -1 a 1.

3) Por último procedemos a restar las dos respuestas: 3) Por último procedemos a restar las dos respuestas:

4) Teniendo como Respuesta

MULTIPLICACIÓN

 

Multiplicar 0.215 mts. x 250000 mts. 1) Desplazamos el punto al primer número entero, quedándonos potencia negativa,

así: 0.215 = 2) De igual forma, el punto se desplaza de derecha a izquierda hasta llegar al primer número entero:

250000 =

3) En el caso de la multiplicación, vamos a multiplicar las bases, con la diferencia que las potencias se sumarán.   OJO! Únicamente en la Multiplicación, así:

Multiplicamos las bases: 2.15 x 2.5 = 5.375 4) Ahora sumamos las potencias – 1+5, obteniendo como resultado potencia de  4.

4) La respuesta sería de

Multiplicar 1) En éste ejemplo es un poco más sencillo, ya que las expresiones están dadas ya en Notación Científica, empezamos a multiplicar bases: 9.2 x 6.2 = 57.04

2) Ahora sumamos potencias 12 + 15 = 27

3) Quedando en Notación Científica la expresión .

4) Pero la idea de aplicar Notación Científica, es llevarla las cantidades a la mínima expresión tenemos que:

5) Obteniendo como  respuesta 

DIVISIÓN

     Dividir 

     1) 

     2) 

     3) En la división, las potencias las vamos a restar (lo contrario de la            multiplicación), y dividimos las bases como cualquier división.

      Dividimos: 5.32  ÷  2.37  = 2.244

       Ahora restamos las potencias 0 – 5, obteniendo como resultado potencia de    -5.     

4) Obtenemos como respuesta  

     En otro ejemplo, dividamos  

      1) Dividimos bases: - 9.4 ÷ - 3.4 = 2.76, nos da cantidad positiva, ya que en la        

 Multiplicación de signos, los iguales dan signo positivo.

      2) Ahora restamos potencias -20 – (+15)= - 20 – 15= - 35. Aquí lo que hicimos

fue multiplicar signos quedando signos iguales y por ende se sumaron.

  3) Quedándonos:

      4) Obtenemos como respuesta 

PRODUCTOS NOTABLES

Son polinomios que se obtienen de la multiplicación entre 2 o mas polinomios que poseen características especiales o expresiones particulares, y cumplen ciertas reglas fijas. Su resultado puede ser escrito por simple inspección sin necesidad de efectuar la multiplicación o no verificar con la multiplicación.Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización.

Términos:*Monomio: 1 término ; ej: 2x , 4xyw.*Binomio: 2 términos ; ej: x+y , 7xy-1.*Trinomio: 3 términos ; ej: x+y+z , 2x+5y+3z.*Polinomio: 4 términos o más ; ej: 3+y+z+w , xy+xz+xw-9y.

Algunas expresiones de productos notables son:

Cuadrado del binomio:El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidas más el doble de la primera cantidas por la segunda más el cuadrado de la segunda cantidad.

Ejemplo:

También el cuadrado del binomio se presenta en cuadrado de su diferencia lo que cambiara sera solo el signo de suma por el de resta.

Ejemplo:

Cubo del binomio: El cubo de la suma de dos números es igual al cubo del primer número, más el triple del producto del cuadrado del primer número por el cuadrado del segundo, más el triple del producto del primer número por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo.

Ejemplo:También el cubo del binomio se presenta en cubo de su diferencia lo que cambiara sera solo el signo de suma por resta.

Ejemplo:

Suma por su diferencia: Es igual a la diferencia de los cuadrados de dichos monomios.

Ejemplo:

Monomio por monomio: El resultado va a ser otro monomio, se multiplican los coeficientes numericos y se suman sus partes literales siempre y cuando tengan la misma base.

Ejemplo:Si hay distintas bases se resuelve de la siguiente manera

Monomio por polinomio: Se multiplica el término que esta solo osea el monomio, por cada uno de los otros dos términos , tres términos o cuatro términos, ya sea por binomio, por trinomio o por polinomio.

Ejemplo:

Binomio por binomio:Cada uno de los dos términos en el primer binomio se multiplica por cada uno de los dos términos del segundo binomio.

Ejemplo:

Suma de cubos: En una suma de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los factores binomios son la suma de las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz menos el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

Resta de cubos: En una diferencia de cubos perfectos donde primero se extrae la raíz cúbica de cada término del binomio, Se forma un producto de dos factores donde los factores binomios son la diferencia de las raíces cúbicas de los términos del binomio y luego se resuelve el cuadrado de la primera raíz más el producto de estas raíces más el cuadrado de la segunda raíz.

Ejemplo:

FORMULA CUADRÁTICA

Ecuación cuadrática

Esto es una ecuación cuadrática:

(a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.)

La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee las Definiciones básicas de Álgebra)

Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:

En esta a=2, b=5 y c=3

Aquí hay una un poco más complicada:

¿Dónde está a? En realidad a=1, porque normalmente no escribimos "1x2"

b=-3

¿Y dónde está c? Bueno, c=0, así que no se ve.

¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática)

Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:

El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones

La parte azul (b2 - 4ac) se llama discriminante, porque sirve para "discriminar" (decidir) entre los tipos posibles de respuesta:

si es positivo, hay DOS soluciones

si es cero sólo hay UNA solución,

y si es negativo hay dos soluciones que incluyen números imaginarios .Solución

Para resolverla, sólo pon los valores de a,b y c en la fórmula cuadrática y haz los cálculos.

Ejemplo: resuelve 5x² + 6x + 1 = 0Fórmula cuadrática: x = [ -b ± √(b2-4ac) ] / 2aLos coeficientes son: a = 5, b = 6, c = 1Sustituye a,b,c: x = [ -6 ± √(62-4×5×1) ] / 2×5Resuelve: x = [ -6 ± √(36-20) ]/10 = [ -6 ± √(16) ]/10 = ( -6 ± 4 )/10Respuesta: x = -0.2 and -1(Comprobación:5×(-0.2)² + 6×(-0.2) + 1 = 5×(0.04) + 6×(-0.2) + 1 = 0.2 -1.2 + 1 = 05×(-1)² + 6×(-1) + 1 = 5×(1) + 6×(-1) + 1 = 5 - 6 + 1 = 0)

FACTORIZACION

Factor común.Para comenzar, comparemos las multiplicaciones con los factores y veamos si podemos descubrir un patrón.

 Usan la propiedad distributiva. Cuando multiplicamos, tenemos

que:  . Cuando factorizamos  . Para factorizar un binomio, debemos hallar un factor (en este caso a) que sea común a todos los términos. El primer paso para tener una expresión

completamente factorizada es seleccionar el máximo factor común,  . Aquí tenemos como hacerlo: 

Máximo factor común (MFC).- El término  , es el MFC de un polinomio sí:1. a es el máximo entero que divide cada uno de los coeficientes del

polinomio, y2. n es el mínimo exponente de x en todos los términos del polinomio.

 

De este modo para factorizar  , podríamos

escribir   

Pero no está factorizado por completo por que   puede factorizarse aún más. Aquí el mayor entero que divide a 16 y 8 es 6, y el mínimo exponente

de x en todos los términos es  . De esta manera la factorización completa

es  . Donde   es el MFC. E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar  E J E M P L O :

Factorizar  

Diferencia de cuadrados.

Aquí tenemos un producto notable   podemos utilizar esta relación para factorizar una diferencia de

cuadrados.  E J E M P L O :

Factorizar   E J E M P L O :

Factorizar  E J E M P L O :

Factorizar 

Trinomios con término de segundo grado.Del estudio de los productos notables sabemos que el cuadrado de un binomio es un trinomio; tales trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos.

Los trinomios  , son trinomios cuadrados porque son cuadrados de un binomio. Los siguientes puntos ayudan a identificar un trinomio cuadrado.

A. Dos de los términos deben de ser cuadrados   y 

B. No debe haber signo de menos en   o en C. Si multiplicamos A y B y duplicamos el resultado, obtenemos el tercer

término 2AB o su inverso aditivo -2AB. 

¿Es   un trinomio cuadrado? La respuesta es no porqué solo hay un término al cuadrado (x2) y (11) no es cuadrado de algún número. Para factorizar trinomios cuadrados podemos utilizar las siguientes relaciones:

Hay que recordar que se deben de sacar primero los factores comunes, si es posible. Suma y diferencia de cubos.

Es fácil verificar, mediante la multiplicación del segundo miembro de cada ecuación, las siguientes fórmulas de factorización para la suma y  la  diferencia de dos cubos.

 E J E M P L O :

Factorizar  , observemos primero que se puede escribir en otra

forma: Así, advertimos que se trata de la diferencia de dos cubos. Si aplicamos la fórmula de factorización y usamos los siguientes valores A=y,  y B=3, obtenemos:

 E J E M P L O :

Factorizar  E J E M P L O :

Factorizar 

Por Agrupación.Podemos utilizar la propiedad distributiva para factorizar algunos polinomios

con cuatro términos. Consideremos  . No hay ningún factor

diferente de 1. Sin embargo podemos factorizar a   y  por separado:

          

Por lo tanto  . Podemos utilizar la propiedad distributiva una vez más y sacamos el factor común: x+1

Este método se llama factorización por grupos (o por agrupación). No todas las expresiones con cuatro términos se pueden factorizar con este método. 

E J E M P L O :

 E J E M P L O :

Factorizar

 E J E M P L O :Factorizar

 E J E M P L O :Factorizar

FUNCION

Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.

No estamos en presencia de una función cuando:

De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.

De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

CLASIFICACION DE LAS FUNCIONES

Función Inyectiva:

Una función es inyectiva si cada f(x) en el recorrido es la imagen de exactamente un único elemento del dominio. En otras palabras, de todos los pares (x,y) pertenecientes a la función, las y no se repiten.

Para determinar si una función es inyectiva, graficamos la función por medio de una tabla de pares ordenados. Luego trazamos líneas horizontales para determinar si las y (las ordenadas) se repiten o no.

Ejemplo:

 

Función Sobreyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función epiyectiva (tambien llamada sobreyectiva) , si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A , bajo f .

A elementos diferentes en un conjunto de partida le corresponden elementos iguales en un conjunto de llegada. Es decir, si todo elemento R es imagen de algún elemento X del dominio.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 }

f = { ( a , 1 ) , ( e , 7 ) , ( i , 3 ) , ( o , 5 ) , ( u , 7 ) }

Simbólicamente:

f: A B es biyectiva Û f es inyectiva y f es sobreyectiva

Ejemplo:

Función Biyectiva:

Sea f una función de A en B , f es una función biyectiva , si y sólo si f es sobreyectiva e inyectiva a la vez .

Si cada elemento de B es imagen de un solo elemento de A, diremos que la función es Inyectiva. En cambio, la función es Sobreyectiva cuando todo elemento de B es imagen de, al menos, un elemento de A. Cuando se cumplen simultáneamente las dos condiciones tenemos una funciónBIYECTIVA.

Ejemplo:

A = { a , e , i , o , u }

B = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }

f = { ( a , 5 ) , ( e , 1 ) , ( i , 9 ) , ( o , 3 ) , ( u , 7 ) }

Teorema:

Si f es biyectiva , entonces su inversa f - 1 es también una función y además biyectiva.

Ejemplo:

Función Par:

Una función f: R!R es par si se verifica que

" x " R vale f(-x) = f(x)

Si f: R!R es una función par, entonces su gráfico es lateralmente simétrico respecto del eje vertical. “Simetría axial respecto de un eje o recta” (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

Se dice que una función es par si f(x) = f(-x)

Ejemplo: La función y = x2 es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x.

La función f(x)=x2 es par ya que f(-x) = (-x)2 =x2

Función Impar:

Una función f: R!R es impar si se verifica que

" x " R vale f(-x) = -f(x)

Si f: R!R es una función impar, entonces su gráfico es simétrico respecto del origen de coordenadas. “Simetría central respecto de un punto”. (el dominio tiene que ser un conjunto simetrico respecto al origen)

En el caso de que f(x) = -f(-x) se dice que la función es impar. Muchas funciones reales no son pares ni impares.

Ejemplo: La función y(x)=x es impar ya que: f(-x) = -x pero como f(x) = x entonces: f(-x) = - f(x).

Función Creciente:

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1 y x2, con la condición x1 £ x2, se verifica que

f( x1 ) < f( x2 ).

 

Se dice estrictamente creciente si de x1 < x2 se deduce que f(x1) < f(x2).

Una función f se dice que es creciente si al considerar dos puntos de su gráfica, (x1, f(x1) ) y ( x2, f(x2) ) con

x1 < x2 Se tiene que f(x1) < f(x2).

Prevalece la relación <

Una función es creciente en un punto a si existe un intervalo abierto