NOTACION CIENTIFICA

La notación científica es una manera rápida de representar un número utilizando potencias de base diez. Esta notación se utiliza para poder expresar muy fácilmente números muy grandes o muy pequeños.

Los números se escriben como un producto:

Siendo:

un número real mayor o igual que 1 y menor que 10, que recibe el nombre de coeficiente.

un número entero, que recibe el nombre de exponente u orden de magnitud.

La notación científica utiliza un sistema llamado coma flotante, o de punto flotante en países de habla inglesa y en algunos hispanohablantes.

ESCRITURA

100 = 1 101 = 10 102 = 100 103 = 1 000 104 = 10 000 105 = 100 000 106 = 1 000 000 107 = 10 000 000 108 = 100 000 000 109 = 1 000 000 000 1010 = 10 000 000 000 1020 = 100 000 000 000 000 000 000 1030 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

10 elevado a una potencia entera negativa –n es igual a 1/10n:

10–1 = 1/10 = 0,1 10–2 = 1/100 = 0,01 10–3 = 1/1 000 = 0,001 10–9 = 1/1 000 000 000 = 0,000 000 001 10-12 = 1/1 000 000 000 000 = 0,000 000 000 001 10-15 = 1/1 000 000 000 000 000 = 0,000 000 000 000 001 10-17 = 1/ 1 000 000 000 000 000 00 = 0,000 000 000 000 000 01

Por tanto, un número como: 156 234 000 000 000 000 000 000 000 000 debe ser escrito como 1,56234×1029,

y un número pequeño como 0,000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 939 kg (masa de un electrón) debe ser escrito como 9,10939×10–31kg.

OPERACIÓNES MATEMATICAS CON NOTACION CIENTIFICA

Suma y resta

Siempre que las potencias de 10 sean las mismas, se deben sumar los coeficientes, dejando la potencia de 10 con el mismo grado. En caso de que no tengan el mismo exponente, debe convertirse el coeficiente, multiplicándolo o dividiéndolo por 10 tantas veces como se necesite para obtener el mismo exponente.

Ejemplos:

2×105 + 3×105 = 5×105

3×105 - 0.2×105 = 2.8×105

2×104 + 3 ×105 - 6 ×103 = (tomamos el exponente 5 como referencia)= 0,2 × 105 + 3 × 105 - 0,06 ×105 = 3,14 ×105

Multiplicación

Para multiplicar cantidades escritas en notación científica se multiplican los coeficientes y se suman los exponentes.

Ejemplo:

(4×1012)×(2×105) =8×1017

División

Para dividir cantidades escritas en notación científica se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

Ejemplo: .

Potenciación

Se eleva el coeficiente a la potencia y se multiplican los exponentes.

Ejemplo: (3×106)2 = 9 ×1012.

Radicación

Se debe extraer la raíz del coeficiente y se divide el exponente entre el índice de la raíz.

Ejemplos:

2 PUNTO

RADICALES

-RAIZ CUADRADA:

se llama raíz cuadrada de un número positivo a un segundo número positivo que al multiplicarlo por sí mismo resulta el valor del primero, es decir, que es un segundo número

que al elevarlo al cuadrado es igual al primero. Abreviado como raíz tiene el símbolo: . Es la radicación de índice 2 o, equivalentemente, la potenciación con exponente 1/2.

El concepto de raíz cuadrada puede extenderse a cualquier anillo algebraico, así es posible definir la raíz cuadrada de un número negativo o la raíz cuadrada de algunas matrices. En los números cuaterniónicos los reales negativos admiten un número infinito de raíces cuadradas, sin embargo el resto de cuaterniones diferentes de cero admiten solo dos raíces cuadradas.

CALCULO DE RAICES CUADRADAS:

Hoy en día existen muchos métodos para calcular la raíz cuadrada, habiendo algunos aptos para el cálculo manual y otros mejor adaptados al cálculo automático.

Algoritmo

Cuando vamos a realizar la raíz cuadrada con su método de resolución usual podemos ver las partes en las que se divide, aunque las esenciales de ésta no tienen por qué aparecer o ser usadas solamente en la operación para ser calculada la raíz cuadrada. Según esta imagen, podemos ver que las partes de las que se compone; son:

1. Radical: es el símbolo que indica que es una raíz cuadrada.2. Radicando o cantidad subradical: es el número del que se obtiene la raíz cuadrada.3. Raíz: es propiamente la raíz cuadrada del radicando.4. Renglones auxiliares: nos ayudarán a resolver la raíz cuadrada.5. Resto: es el número final del proceso para resolver la raíz cuadrada.

Utilizando logaritmos

Se simplifica el cálculo utilizando logaritmos y sus propiedades empleando la tablas de logaritmos o reglas de cálculo.

Algoritmos para máquinas

Calculadoras, hojas de cálculo y otros softwares también se usan con frecuencia para calcular raíces cuadradas. Los programas de software ponen típicamente buenas rutinas en su ejecución para computar la función exponencial y el logaritmo natural o logaritmo, computándose después la raíz cuadrada de x usando la identidad:

o

-RAIZ CUBICA:

La raíz cúbica es el resultado de la operación de radicación con índice 3. La radicación cúbica es la función inversa de la función real cubo.1

La operación de calcular la raíz cúbica de un número real admite la composición de funciones con la potenciación de un número real, con restricciones, y posee la distributiva con la multiplicación y división, pero no es asociativa ni distributiva con la suma o la resta.

Históricamente, un problema de carácter social, planteo la solución a través de la raíz cúbica de dos; ese fue el famoso problema de la duplicación del cubo, estudiado por Arquitas de Tarento. Cosa que no se resolvió con la aritmética de los racionales ni la construcción geométrica a través de compás y regla2

_DEFINICION FORMAL :

La raíz cúbica de un número es el número que satisface la igualdad3

. La raíz cúbica, algebraicamente, es una operación unaria en ℝ4

Números reales

Si x e y son reales, entonces existe una única solución tal que la ecuación tiene además una única solución, y ésta corresponde a un número real. Si se emplea esta definición, la raíz cúbica de un número negativo es también un número negativo. De esta forma el principio de la raíz cúbica de x es representada igualmente por aquí mismo:

Si x e y son ambos complejos, entonces se puede decir que posee tres soluciones (si x es no nulo) y así x tiene tres raíces cúbicas: una raíz real y dos complejas, en la forma de par conjugado. Este hecho deja interesantes resultados dentro de las matemáticas.

Por ejemplo, las raíces cúbicas del número uno son:

Estas dos raíces se relacionan con todas las otras raíces cúbicas de otros números. Si un número es raíz cúbica de un número real las raíces cúbicas pueden ser calculadas multiplicando el número por las raíces de la raíz cúbica de uno.

Números complejos

Para los números complejos, el valor principal de las raíces cúbicas se define como:

Donde r es un número real positivo y cae en el rango:

,

entonces la raíz cúbica es

.

Esto significa que en coordenadas polares al tomar la raíz cúbica de un número complejo se está tomando la raíz cúbica del radio y el ángulo polar se está dividiendo en tres partes de tal forma que define las tres raíces. Con esta definición, la raíz cúbica de un número

negativo es un número complejo, y por ejemplo no será -2, sino . En aquellos programas que aceptan resultados imaginarios (tales como Mathematica), el grafo de la raíz cúbica de x en el plano de los números reales dará como resultados valores negativos de la raíz por igual.

-RAIZ ENESIMA:

, la radicación de orden n de un número a es un número b, si existe, tal que bn = a, donde n se llama índice u orden, a se denomina radicando, y b se llama raíz enésima. La notación a seguir tiene varias formas:

n√x = x1/n.

Para todo n > 1 natural, a y b reales positivos, se tiene la equivalencia:1

a = bn ⇔ b = n√a.

La raíz de orden dos se llama raíz cuadrada y, por ser la más frecuente, se escribe sin superíndice: √x en vez de 2√x. La raíz de orden tres se llama raíz cúbica, para otros casos se acude al nombre ordinal del orden, como raíz cuarta, quinta, etc.

Dentro de los números reales ℝ+ positivos, siempre puede encontrarse una única raíz enésima también positiva. Si el número a es negativo entonces sólo existirá una raíz real cuando el índice n sea impar.1 La raíz enésima de un número negativo no es un número real (no está definida dentro de los números reales) cuando el índice n es par.

Dentro de los números complejos ℂ, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.

El cálculo efectivo de la raíz se hace mediante las funciones logaritmo y exponencial:

n√x = exp(lnx/n) = elnx/n.

Este método es empleado comúnmente en calculadoras de bolsillo y otro tipo de hardware.2

El problema es que dicho cálculo no funciona con los números negativos, porque el logaritmo usual sólo está definido en (0,+∞). De ahí una tendencia, todavía minoritaria, de restringir la definición de las raíces de orden impar 3√x, 5√x a los números positivos.

Propiedades

Como se indica con la igualdad de la raíz n√x = x1/n, la radicación es en realidad otra forma

de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente. Si existen las raíces de los factores.

n√a × b = n√a × n√bEjemplo

√32 × 24 = √32 × √24 = √9 × √16 = 3 × 4 = 12.

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

√32 × 24 = √9 × 16 = √144 = 12.

Como contraejemplo, resulta:

√-32 × -24 = √-9 × -16 = √144 = 12 ≠ √-32 × √-24.

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

Ejemplo

=

Cuando esta propiedad se aplica a números, no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sí cuando se hace con variables.

Ejemplos

=

=

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

=

Ejemplo

=

Potencia de una raíz

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia.

(n√a)m = n√am = am/n

Ejemplo

si 3 y 4

(4√x)3 = 4√x3 = x3/4

Otras propiedades

Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades interesantes, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

m√a × n√a = a1/m

+ 1/n = am + n/

mn = m × n√am + n

3 PUNTO

EXPONENTES RACIONALES

Objetivos de aprendizaje

         Convertir radicales a expresiones con exponentes racionales.

         Convertir expresiones con exponentes racionales a su equivalente radical.

         Usar las reglas de los exponentes para simplificar expresiones con exponentes racionales.

         Usar exponentes racionales para simplificar expresiones radicales.

 

Introducción

Las raíces cuadradas se escriben comúnmente usando el signo radical, así, . Pero hay otra manera de representar una raíz. Puedes usar exponentes racionales en lugar de

un radical. Un exponente racional es un exponente que es una fracción. Por ejemplo,

 puede escribirse como .

 

¿No puedes imaginarte elevando un número a un exponente racional? Puede ser difícil acostumbrarse a ellos, pero los exponentes racionales pueden ayudar a simplificar algunos problemas. Exploremos la relación entre los exponentes racionales (fraccionales) y los radicales.

 

Reescribiendo expresiones radicales usando exponentes racionales

 

Los radicales y los exponentes fraccionales son maneras alternativas de expresar lo mismo. Ya has visto cómo las raíces cuadradas pueden expresarse como un exponente a la potencia de un medio.

 

Forma Radical

Forma Exponencial

Entero

4

5

10

 

Veamos otros ejemplos, pero esta vez con raíces cúbicas. Recuerda, elevar al cubo un número es tener una potencia de tres. Observa que en estos ejemplos el denominador del exponente racional es el número 3.

 

Forma Radical

Forma Exponencial

Entero

2

5

10

 

Estos ejemplos nos ayudan a modelar la relación entre radicales y exponentes racionales:

a saber que la n-ésima raíz de un número puede escribirse como  o .

 

Forma Radical

Forma Exponencial

… …

 

Cuando nos encontramos con una expresión que contiene un exponente racional, puedes reescribirla usando un radical. En el ejemplo anterior, observa cómo el denominador del

exponente racional determina el índice de la raíz. Entonces, un exponente de  se

traduce a una raíz cuadrada, un exponente de  se traduce en una raíz quinta o y  

se traduce en una raíz octava .

Recuerda que los exponentes sólo se refieren a la cantidad inmediatamente a la izquierda a menos que haya un símbolo de agrupación. El ejemplo siguiente se ve muy similar al ejemplo anterior con una diferencia importante — !no hay paréntesis! Veamos lo que pasa.

 Sumario 

Un radical puede expresarse como una expresión con un exponente fraccional siguiendo

la convención . Reescribir radicales usando exponentes fraccionales puede ser útil para simplificar algunas expresiones radicales. Cuando trabajes con exponentes fraccionales, recuerda que están sujetos a todas las reglas de los exponentes cuando aparecen en expresiones algebraicas.