Tarea 1 de Aplicaciones a la Computacion

Diego Carvajal

29 de Marzo 2015

1 Introduccion

En este trabajo veremos demostraciones de 8 propiedades que salen de la definicion del conjunto detodas las funciones dominadas por una cota superior llamada comunmente como Big O o la Notacionde Landau, que es ocupada para la comparacion asintotica de funciones.

2 Notacion de Landau

Definicion: Sea f : N [0,). Se define el conjunto de funciones de orden O (Omicron) de fcomo:

O(f) = {g : N [0,) : (c R+)(n0 N), g(n) cf(n) n n0}

Diremos que una funcion t : N [0,) es de orden O de f si t O(f).

2.1 Propiedades

1. Para cualquier funcion f se tiene que f O(f).

2. f O(g) O(f) O(g).

3. O(f) = O(g) f O(g) y g O(f).

4. Si f O(g) y g O(h) f O(h).

5. Si f O(g) y f O(h) f O(min(g, h)).

6. Regla de la suma: Si f1 O(g) y f2 O(h) f1 + f2 O(max(g, h)).

7. Regla del producto: Si f1 O(g) y f2 O(h) f1f2 O(gh).

8. Si existe limnf(n)g(n) = k, dependiendo de los valores que tome k obtenemos:

a) Si k 6= 0 y k

2. Si f : N [0,) esta en O(g), entonces existe un c R mayor que cero tal que f(n) cg(n)n n0. Tomemos c = 1d , entonces

f(n) g(n)d n n0

df(n) g(n) n n0 f(n) df(n) g(n) n n0 f(n) g(n) n n0

Por lo tanto, O(f) O(g).

3. Afirmacion: Si O(f) = O(g) f O(g) y g O(f). En efecto, como O(f) = O(g), entoncesexisten c y d R mayores que cero tales que

dg(n) f(n) cg(n) n n0

Luego como existe un c tal que f(n) cg(n) n n0, entonces f O(g), de manera analoga se tienepara g O(f).

Afirmacion: Si f O(g) y g O(f) O(f) = O(g). En efecto, como f O(g), entonces ex-iste un real c > 0 tal que f(n) cg(n) n n0 y de forma analoga se tendra un real c0 > 0 tal queg(n) c0f(n) n n1, esto implica que

g(n) c0f(n) cc0g(n) n max(n0, n1)

De esto se deduce que O(f) = O(g).

4. Como f O(g) y g O(h), entonces de forma analoga propiedad 3, existiran c0 y c realespositivos tales que

1cf(n) g(n) c0h(n) n max(n0, n1)

1cf(n) c0h(n) n max(n0, n1)

f(n) cc0h(n) n max(n0, n1)

Por lo tanto, f O(h).

5. Si f O(g) y f O(h), entonces existen reales positivos c0 y c1

f(n) c0g(n) n n0 f(n) c1h(n) n n1

Como el conjunto O se encarga de tener todas las funciones que esten mas abajo de una cota superior,a nosotros nos interesa la menor de las cotas superiores, por lo tanto f O(min(g, h))

6. Si f1 O(g) y f2 O(h), entonces existen reales positivos c1 y c2 tales que

f1(n) c1g(n) n n1 f2(n) c2h(n) n n2

f1(n) + f2(n) c1g(n) + c2h(n) n max(n1, n2)

Necesitamos que f1(n) + f2(n) este acotado superiormente por una funcion con una constante paratodo n mayor o igual que max(n1, n2), entonces tenemos que acotar aun mas la funcion con la funcionde mayor crecimiento para as para estar a la par con la definicion de O, lo que implica que

f1(n) + f2(n) kmax(g(n), h(n)) n max(n1, n2)

Donde k es una constante igual que 2c1 o 2c2, dependiendo de cual sea el maximo.

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7. Para este caso, nosotros tendremos

f1(n)f2(n) c1c2g(n)h(n) n max(n1, n2)

Por lo tanto, f1f2 O(gh).

8. Suponiendo que existe limnf(n)g(n) = k, veamos el primer caso

a) k 6= 0 y k < . Entonces, por definicion de lmite, dado un > 0, existe un n0 N, n n0 talque f(n)g(n) k

< < f(n)g(n) k <

g(n) < f(n) kg(n) < g(n)

g(n) + kg(n) < f(n) < g(n) + kg(n)

(+ k)g(n) < f(n) < (+ k)g(n)

Ahora bien, el lo podemos tomar tan pequeno como queramos y aparte k es mayor que cero, yaque es el resultado de dos funciones con recorrido en [0,), entonces de la ultima desigualdad al igualque en las demostraciones anteriores, podemos concluir que O(f) = O(g).

b) Si k = 0, entoncesg(n) < f(n) < g(n)

De la desigualdad de la derecha y por la propiedad 2, podemos concluir que O(f) O(g), pero parala parte izquierda, tendremos una constante menor que cero, por lo tanto no se cumple la definicionpara el conjunto O(f), luego g / O(f).

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