Unidad 1

Oscar ArroyoSlideshare de la Unidad I

Notación Sigma

• Una sumatoria indica la suma de una serie de términos que corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad. La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (å), en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior.

Suma Superior e inferior• Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y

continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.

Si el área se divide en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación.

Si el rectángulo se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

• Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

Integral definida

• Si a la expresión obtenida para la suma de Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.

Propiedades

Teorema del Valor Medio para Integrales

• Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.

Teorema Fundamental del Calculo

• A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro.

• Primer teorema fundamental del cálculo:

• Segundo teorema fundamental del cálculo:

Sustitución y cambio de Variable

• No siempre tendremos una integral que se resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada. Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos.