Notación Sigma

Jenibeth PinedaC.I.: 23.485.020

La Integral Definida

Notación SigmaUna sumatoria indica la suma de una serie de

términos que corresponden a una expresión algebraica y que mediante alguna expresión se puede generalizar en un tamaño de intervalo específico, incrementándose siempre en una unidad.

La sumatoria se denota mediante la letra griega sigma (å), en cuya parte inferior y superior se especifica el tamaño del intervalo en que se desarrollará. Estos números reciben el nombre de índice inferior e índice superior.

Donde "n" es un entero y representa el índice superior. El índice inferior puede comenzar en cualquier entero y el índice superior siempre será mayor o igual que el inferior. La expresión que aparece delante del símbolo de sumatoria, siempre contendrá a la variable, en este caso es "Xk".

   El desarrollo de la expresión anterior nos queda:

Propiedades

Las siguientes propiedades de la sumatoria, constituyen teoremas cuya demostración se puede verificar en cualquiera de las literaturas citadas.

Las propiedades son muy útiles para desarrollar expresiones que nos permiten calcular áreas limitadas por curvas planas

Ejemplo:

Si queremos calcular el área bajo la curva Y = F(x)= X2 + 1, donde F(x) ³ 0 y continúa en todo el intervalo cerrado x = a, x = b y el eje "x", podemos dividirla en una serie de polígonos (rectángulos), calculamos el área de cada uno de estos rectángulos la suma nos dará un valor aproximado del área real.

Si observamos la figura 1, el área se dividió en dos rectángulos y al calcular el área de cada uno de ellos, se incluye una parte del rectángulo que no pertenece al área buscada, por lo tanto esta es una aproximación. 

En la figura 2, el número de rectángulos se ha incrementado hasta 9 y observamos que la parte que no nos interesa es menor que cuando tomamos 2 rectángulos, lo que nos conduce a concluir que a mayor número de rectángulos "n" más nos aproximamos al área real.

     Podemos finalizar que si el número de rectángulos "n" se hace muy grande, entonces el área calculada será casi exactamente el área buscada.

Suma Superior e inferior

La Integral DefinidaSi a la expresión obtenida para la suma de

Riemann le tomamos el límite ya que k =1, 2, 3, 4, 5,....,..n y existe, es decir podemos definir la integral definida de F desde a hasta b por donde "a" representa el límite inferior y "b" el límite superior de la integral.

     Observando la definición de los términos de la integral definida, observamos que F(bk) es la altura del rectángulo que llamamos partición y Dxk es el ancho del rectángulo de tal manera que su producto no es más que el área del rectángulo y después de sumar cada una de estas mismas, obtendremos dicha área bajo la curva, siendo F(x), en el intervalo dado [a, b].

Teorema del Valor Medio para Integrales

  Dada una función "f" contínua en un intervalo cerrado [a, b], existe al menos un valor dentro del mismo, tal que la derivada de la función evaluada en "c", representa dicho valor promedio, conocido también como valor medio para integrales.

Teorema Fundamental del Calculo  A grandes rasgos, el Teorema fundamental del Cálculo establece que el Diferencial y la Integral son inversos, el uno del otro.

  Primer teorema fundamental del cálculo:

  Segundo teorema fundamental del cálculo:

Sustitución y cambio de VariableNo siempre tendremos una integral que se

resuelva directamente aplicando los teoremas de la integración. Existen expresiones (funciones) que se deben modificar y expresarlas de otra forma, sin que cambie la expresión integrando, para poder encontrar su antiderivada.

Los cambios de variable se realizan cuando en el integrando existe una expresión que resulta de derivar otra parte de ella, éstos se complementan mediante aplicación de artificios matemáticos. Veamos el siguiente ejemplo:

Sea   x2 + 2 = u, entonces du = 2xdx de donde du/2 = xdx y

reemplazando nos queda: