Notas algebra

Universidad Nacional Autonomade Mexico

Facultad de Ciencias

ALGEBRA PARA LA FISICA

REPORTE DE

ACTIVIDAD DOCENTE

QUE PARA OBTENER EL TITULO DE:

Matematico

P R E S E N T A:

MARCO ANTONIO ACEVEDO CARDONA

M. EN C. ERICK JAVIER LOPEZ SANCHEZ

2013

Agradecimientos

Agradezco de manera especial a mi director de este libro, Dr. Erick JavierLopez Sanchez, por el apoyo y las ensenanzas, por su paciencia al explicarme lamisma cosa hasta que las entend, sin molestarse ni quejarse; por el apoyo durantela realizacion de este material.

A mis sinodales, el Mat. Julio Cesar Guevara Bravo, el M. en C. Jose AntonioGomez Ortega, el Mat. Antonio Garca Flores y el M. en C. Sergio HernandezZapata, por la revision, comentarios y sugerencias que enriquecieron el libro.

No puedo dejar de agradecer a mis papas, Jose Luis y Norma, por el apoyomoral y economico que sin condiciones me otorgaron durante toda la licenciatura.A toda mi familia Luis Guillermo y Oscar Eduardo.

A la Dra. Bibiana Obregon, que siempre ha credo en mi y por su valiosaamistad que me ha brindado en tiempos difciles.

A mis amigos, Alberto, Ernesto, Odn, Ricardo, Beatriz y Elisa, por sus co-mentarios oportunos de algunos ejercicios descritos en este material.

Este trabajo no habra sido posible sin el apoyo de Esther Anahi, con suapoyo, preguntas sobre LATEX, ideas de redaccion y de demostraciones, fueron degran ayuda, gracias!

Por ultimo a mis amigos que laboran en el Instituto de Biologa, Daniel Juarez,Daniel Perez y Oscar Hernandez; que siempre me han alentado y brindado suapoyo en lo laboral y academico.

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Introduccion

Generalmente los alumnos que ingresan a la universidad y en particular a ca-rreras de ciencias basicas como Fsica, llegan con deficiencias en Matematicas,mas especficamente en Algebra. Los estudiantes de la licenciatura en Fsica seencuentran con el problema de que los libros y/o materiales didacticos existen-tes para la ensenanza del Algebra tienden a ser muy generales, ya que presentanresultados con demostraciones que omiten algunos pasos que los autores los con-sideran obvios, e incluyen pocos ejemplos ilustrativos, por lo que los alumnos sedesesperan, se decepcionan y llegan a abandonar la materia o/y la reprueban.

El objetivo de este trabajo es presentar un texto de apoyo en el cual se explicandetalladamente los procesos de demostracion, por mas sencillas que parezcan, parafacilitar el entendimiento sobre los mecanismos mediante los cuales se demuestranresultados, lo que le sera util al alumno para el estudio de otras materias incluidasen el tronco comun de la Facultad de Ciencias de la UNAM.

Desafortunadamente el plan de estudios 2002 de Fsica no contempla las asig-naturas de Algebra Superior I y II que s contemplaba el plan 1968. En lugar deello, se propuso mezclar algunos de los temas de las dos asignaturas en una sola,a la cual se le llamo simplemente Algebra. En esta nueva asignatura, los temascontemplados no satisfacen plenamente los requerimientos que se necesitan en ma-terias de semestres posteriores. El material presentado en las dos asignaturas deAlgebra Superior es mas completo que el de Algebra y s llega a satisfacer dichosrequerimientos. Entre los temas que se suprimieron en la nueva materia esta elde vectores y sus propiedades, necesarios para un mejor entendimiento y desem-peno del estudiante en el Algebra Lineal, asignatura en la cual los profesores quela imparten, inician suponiendo que los alumnos tienen pleno conocimiento delos espacios vectoriales; tema fundamental para el estudio del producto tensorial.Tambien estas definiciones son de gran ayuda para entender los temas presen-tados en materias posteriores propias de la Fsica, tales como Mecanica Clasica(por ejemplo, en la segunda ley de Newton F =ma, cuando la masa m no es ho-mogenea), Mecanica de Fluidos (tensor de esfuerzos, ecuaciones de Navier-Stokes,etc.), Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell) o Mecanica Cuantica (opera-

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dores, espacios duales, etc.). Por lo que, sin el tema de los espacios vectoriales, eltemario de Algebra carece de las bases teoricas para la licenciatura de Fsica.

Al escribir estas notas para el curso de Algebra para la carrera de Fsica que seimparte en la Facultad de Ciencias de la UNAM, tuve en mente los objetivos decubrir el temario de la materia poniendo ejemplos tanto numericos como aplicadosa la Fsica y desglosando algunas demostraciones que se presentan.

As que propuse ejercicios para que el estudiante al terminar cada seccion,pueda aplicar las definiciones y/o los teoremas anteriormente expuestos para re-solverlos.

Decid incluir Espacios Vectoriales porque es un tema muy importante en laFsica, ademas en los cursos de Algebra Lineal I y II suele omitirse; en ocasionespor la falta de tiempo y por lo extenso del temario, o bien, porque el profesorsuele darlo por visto, ya que debio verse en materias mas basicas como AlgebraSuperior; y en las materias de Algebra Superior I y II es parte del sus temariospero no profundizan con el pretexto de que lo veran mas adelante en AlgebraLineal.

El conjunto de las matrices, el conjunto de soluciones a los sistemas de ecua-ciones lineales, el conjunto de los numeros complejos y el de los polinomios, sonejemplos de espacios vectoriales. Este enfoque es gracias al captulo de EspaciosVectoriales. As, el estudiante podra observar que los vectores no son solo puntosen Rn.

En mi experiencia, los estudiantes suelen tener complicaciones en el tema deFunciones, que tambien se ven en otras materias como Calculo Diferencial y Geo-metra Analtica. As que en este trabajo se exponen como relaciones entre con-juntos de numeros, se analizan y se muestra su clasificacion tratando de que sevea la utilidad de entender conceptos como inyectividad, suprayectividad, etc., enFsica. Por ejemplo, la funcion exponencial tiene su dominio en todos los reales, sinembargo, en un problema de decaimiento radiactivo el dominio real es el tiempocero, que indica el momento en el que se empezo a medir la actividad radiactivadel elemento. As que el dominio fsico sera de cero a infinito.

En ese mismo ejemplo, la imagen de la funcion exponencial es en realidadlos reales positivos, o lo que es lo mismo, el intervalo abierto: (0, ). Pero conla restriccion anterior, la funcion se convierte en no suprayectiva si la imagen serestringe al intervalo (0, A], donde A es la actividad medida al tiempo cero. Esano suprayectividad puede ser removida al redefinirse el codominio como la imagen.

Algunos ejemplos que explique, estan relacionados con el Calculo Diferencial eIntegral I; la cual es uno de los cursos que se imparte en la Facultad de Ciencias,con el fin de que el estudiante vea la relacion del Algebra con otras materias oareas. Por ejemplo, con el tema de Aproximacion de Races se trata de relacionaruna aplicacion de polinomios en computacion, ya que se puede utilizar una compu-

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tadora para realizar los calculos, que aveces se complican. Pero estos ejemplos norequieren un conocimiento extenso sobre estas materias o areas.

Para muchos estudiantes el curso de Algebra constituye uno de sus primeroscursos de matematicas reales, as que como parte de la formacion, en el mis-mo material didactico se solicita a los estudiantes que no solo realicen calculosmatematicos, sino tambien que desarrollen demostraciones, con tecnicas como lainduccion matematica por ejemplo, tecnicas por construccion o directas. En estasnotas tambien intente alcanzar un equilibrio entre la practica y la teora.

Inclu una pequena seccion de Calculo Combinatorio, para ser mas especfico,Permutaciones, la cual lo utilice para dar la definicion formal de la funcion deter-minante. Con esto pretendo que el formalismo expuesto ayude al estudiante, yaque al momento de que el escribe las respuestas en un examen suele dar muchasvueltas. Sin embargo se puede omitir la seccion de Permutaciones, y se podra op-tar por mostrar una definicion equivalente del determinante, como por ejemplo,el desarrollo por menores, tomando como base el determinante de una matriz de2 2.

Decid escribir estas notas para cubrir el temario de Algebra y para que elestudiante tenga un material de consulta y apoyo. Este material podra ser util aotros profesores de la Facultad de Ciencias que imparten el curso.

Este trabajo se podran utilizar como base para los cursos de Algebra SuperiorI y II, completandolo al agregar los temas faltantes para estos cursos.

En cada captulo, las definiciones, los ejemplos, los teoremas y algunas ecua-ciones estan numeradas consecutivamente a partir del numero 1. Las referenciasa los mismos; fuera o dentro del captulo, se llevan a cabo por la notacion c.#,donde c es el captulo correspondiente y # es el lugar que ocupa en la numeracionrespectiva en el captulo c. De esta forma, el ejemplo 2 del captulo 3 tiene la nu-meracion 3.2. Ademas en la version digital, cada referencia (definicion, teorema,ejemplo, etc.) tiene una liga para que con un clic se vaya a la pagina en donde seencuentra enumerada dicha referencia.

El enfoque que utilice al hacer el trabajo pretende ser de un aprendizaje gra-dual, es decir, los dos primeros captulos tienen los conceptos basicos que se vanutilizando en los captulos posteriores. Tambien, por ejemplo, para resolver unsistemas de ecuaciones son necesarios los captulos de matrices y determinantes,los cuales tienen las definiciones y teoremas requeridos para los sistemas de ecua-ciones. As mismo para el captulo de polinomios se necesita el captulo de losnumeros complejos.

Como en la mayora de los textos, la notacion en las definiciones, teoremas,proposiciones, etc., la he resaltado con el fin de atraer la atencion del estudiantey que este sea capaz de recordarla con mayor facilidad. Ademas, en el captulode sistemas de ecuaciones desarrolle una notacion para referirme a las ecuaciones

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lineales (en), a los sistemas de ecuaciones (Em,n) y los homogeneos (Hm,n), entreotros (la notacion se explica en el apartado en el que se empieza a usar).

Indice general

1. Conjuntos 11.1. Notacion de conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Operaciones y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Conjunto potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Funciones 112.1. Relaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3. Composicion de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . . . 192.5. Funciones invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6. Cardinalidad de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7. Conjuntos finitos e infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8. Funciones entre conjuntos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Induccion matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3. Espacios Vectoriales 353.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.2. Subespacio vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3. Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4. Bases y Dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4. Matrices 574.1. Definicion y operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2. La matriz transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3. Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.4. Operaciones elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5. Matrices equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.6. Forma escalonada reducida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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x INDICE GENERAL

4.7. Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.8. Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.9. Matrices invertibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 714.10. Calculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5. Determinantes 815.1. El determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.1.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.2. Calculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.3. Calculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6. Sistemas de ecuaciones lineales 1016.1. Definiciones basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2. Soluciones de un sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1036.3. Sistemas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.4. Sistemas homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.4.1. El espacio de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.5. Sistemas no homogeneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1126.6. Criterios de existencia de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1156.7. Resolucion de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.8. La regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7. Numeros complejos 1317.1. El campo de los complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2. El conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.3. El modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1387.4. Ecuaciones de segundo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1417.5. Representacion polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.6. Teorema de Moivre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.7. Races de numeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

8. Polinomios 1518.1. Los polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1518.2. Operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1528.3. El algoritmos de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1548.4. Teorema del residuo y del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1558.5. Division sintetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1568.6. Races de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1578.7. Factorizacion de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1608.8. Aproximacion de races . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Captulo 1

Conjuntos

El concepto de conjunto como objeto abstracto no se comenzo a emplear enmatematicas sino hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobrela nocion de infinito. En los trabajos de Bernard Bolzano y Bernhard Riemann secomenzo a tener ideas relacionadas con una vision conjuntista en la matematica.Las contribuciones de Richard Dedekind al algebra estaban formuladas en termi-nos de conjuntos, que aun prevalecen en la matematica moderna; por ejemplo, enlas relaciones de equivalencia, particiones, funciones, etc., y el mismo explico lashipotesis y operaciones relativas a conjuntos que necesito en su trabajo. As, eneste captulo desarrollaremos las operaciones que Dedekind desarrollo.

La teora de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmentea Georg Cantor. [Eug52]

1.1. Notacion de conjunto

Definicion 1.1 (Conjunto y elementos). Un conjunto es una lista, coleccion o unaclase de objetos que estan bien definidos. A los objetos les llamaremos elementosdel conjunto. Ademas denotaremos a los conjuntos con letras mayusculas, y a suselementos (cuando estos sean letras) con minusculas.

Definicion 1.2 (Pertenencia). Diremos que un elemento x pertenece a un con-junto A si este esta en el conjunto, y lo denotaremos x A. De lo contrariodiremos que x no pertenece a A, denotado por x A.Ejemplo 1.3. A = {a, e, i, o, u}, B = {las personas que viven en la tierra}, N =los numeros naturales1, Z = los numeros enteros, Q = los numeros racionales, R =

1Aqu N = {0, 1, 2, . . .}1

2 CAPITULO 1. CONJUNTOS

los numeros reales y C = los numeros complejos, son ejemplos de conjuntos. Sepuede encontrar o construir una infinidad de conjuntos.

Definicion 1.4 (Extension y comprension). Diremos que un conjunto A esta de-finido de manera extensiva si lista a todos sus elementos explcitamente, o bien,diremos que esta definido de manera comprensiva si se especifica una propiedadque todos sus elementos poseen.

Ejemplo 1.5. Sea A = {2, 4, 6, 8} un conjunto, el cual esta definido de ma-nera extensiva, pero a su vez, tambien podemos definirlo como sigue, A = {n N n es par y n 8}, y de esta forma decimos que esta en su forma comprensiva.Observacion 1.6. Cualquier coleccion es un conjunto? Para contestar a la pre-gunta hagamos el siguiente razonamiento.

Sea C el conjunto de todos los conjuntos que no pertenecen a s mismos. Lapregunta es: C C?

Supongamos que la respuesta es s. Si C pertenece a C (C C), entonces Cpertenece a s mismo; por lo tanto no puede estar en C, que esta definido comoel conjunto de conjuntos que no estan en s mismos, por lo tanto C C.

Por otro lado, supongamos que la respuesta es no, es decir, C no pertenece a C(C C), entonces C no esta en s mismo, por lo tanto debe pertenecer al conjuntode los conjuntos que no estan en s mismos, es decir, a C, por lo que C C, y esuna contradiccion.

En este sentido el conjunto C no tiene elementos bien definidos, por lo que nocumple con la Definicion 1.1.

Por lo tanto no cualquier coleccion es un conjunto.

1.2. Subconjunto

Definicion 1.7 (Subconjunto). Sean A, B dos conjuntos. Diremos que B es unsubconjunto de A (denotado por B A), si cada elemento x B tambien x A.Si existe al menos un elemento de B que no pertenece a A, diremos que B no esun subconjunto de A (denotado por B A).Ejemplo 1.8. Sean A = {1, 3, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}. Entonces utilizando laDefinicion 1.7 tenemos que A B. Sabemos tambien que N Z y al igual queR C.Definicion 1.9 (El conjunto vaco). El conjunto que no contiene elementos esllamado vaco. Lo denotaremos con = {}.Teorema 1.10. El conjunto vaco es un subconjunto de cualquier conjunto.

1.3. OPERACIONES Y PROPIEDADES 3

Definicion 1.11 (Igualdad de conjuntos). Sean A, B dos conjuntos. Diremosque A es igual a B (denotada por A =B) si y solo si A B y B A.Definicion 1.12 (Subconjunto propio). Sean A, B . Diremos que B es unsubconjunto propio de A (denotado por B A), si B es un subconjunto de A yB no es igual a A.

Definicion 1.13 (Conjunto finito e infinito). Sea A . Diremos que A es finitosi el numero de elementos es igual a n N, de lo contrario diremos que A esinfinito.

Esta definicion es provisional, ya que en el Captulo 2 se dara una mas formal.

Ejemplo 1.14. Sea A = {los das de la semana} y B = {x N x es par} Cual delos conjuntos es finito y cual es infinito?.

Solucion de 1.14: Si contamos el numero de elementos de A, resulta que hay 7elementos, por lo que A es un conjunto finito.

Ahora si suponemos que B es finito. Entonces podemos decir que existe k Ntal que el numero mayor2 de B es de la forma 2k, pero como k + 1 N entonces2(k + 1) es par, pero 2(k + 1) B, lo cual es una contradiccion. Por lo tanto B esinfinito.

1.3. Operaciones y propiedades

En esta seccion daremos las operaciones basicas sobre los conjuntos y suspropiedades.

Definicion 1.15 (Union de dos conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos que launion de A y B (denotada por AB) es el conjunto cuyos elementos pertenecena A o B, en otras palabras, A B = {x x A o x B}.Proposicion 1.16 (Propiedades de la union). Sean A, B y C conjuntos. Laoperacion union cumple las siguientes propiedades:

1. A A B y B A B.2. A B =B A (conmutatividad).3. (A B) C =A (B C) (asociatividad).2Si a y b son numeros enteros, decimos que a es mayor que b (b a) si a b es un numero

natural.


Definicion 1.17 (Interseccion de dos conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremosque la interseccion de A y B (denotada por AB) es el conjunto cuyos elementospertenecen a A y B, en otras palabras, A B = {x x A y x B}.

De manera similar a la union de conjuntos, la interseccion tiene las siguientespropiedades.

Proposicion 1.18 (Propiedades de la interseccion). Sean A, B y C conjuntos.La operacion interseccion cumple las siguientes propiedades:

1. A B A y A B B.2. A B =B A (conmutatividad).3. (A B) C =A (B C) (asociatividad).

Definicion 1.19 (Conjuntos ajenos). Sean A, B conjuntos. Diremos que sonajenos si no tiene elementos en comun, es decir, si A B = entonces A y Bson ajenos.

Proposicion 1.20. Sean A, B y C conjuntos. Si B A y C A entonces(B C) A.Demostracion. Sea x (B C). Utilizando la Definicion 1.7 debemos llegar a quex A. As que por definicion tenemos que x B o x C. Si x B entonces x Aporque B A. Si x C entonces x A porque C A. Por lo tanto (BC) A.

La Proposicion 1.20 se puede esquematizar con el diagrama de Venn mostradoen la Figura 1.1.

Figura 1.1: Esquematizacion de la Proposicion 1.20.

Proposicion 1.21. Sean A, B y C conjuntos. Si A B y A C entoncesA (B C).


Demostracion. Sea x A, entonces x B ya que A B, ademas x C porqueA C, lo que nos lleva a que x B y x C, por la Definicion 1.17 tenemos quex (B C). Por lo tanto A (B C).

La Proposicion 1.21 tambien se puede esquematizar con el diagrama mostradoen la Figura 1.2.

Figura 1.2: Esquematizacion de la Proposicion 1.21.

Proposicion 1.22 (Distribucion de la union e interseccion). Sean A, B y Cconjuntos. Entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. A (B C) = (A B) (A C).2. A (B C) = (A B) (A C).

Demostracion. La idea para la demostracion de este inciso es probar la doblecontencion, es decir, para 1, que A(BC) (AB)(AC) y (AB)(AC) A (B C) y por la Definicion 1.11 tendremos la igualdad.

1. ). Sea x (A (B C)), entonces x A y x (B C), pero por definicionx B o x C, con esto tenemos dos casos:a) Si x B y x A entonces x (A B). Luego x ((A B) (cualquier

conjunto)), en particular con (AC) tenemos que x ((AB)(AC)).b) Si x C y como x A entonces x (AC). Luego x ((AC)(cualquier

conjunto)), en particular con (AB) tenemos que x ((AB)(AC)).Por lo tanto (A (B C)) (A B) (A C).). Del inciso 1 de la Proposicion 1.18 tenemos que (AB) A y (AC) A;y aplicando la Proposicion 1.20 tenemos que (AB)(AC) A. Por otrolado, (A B) B, y en general, (A B) (B (cualquier conjunto));en particular para el conjunto C, es decir, (A B) (B C), y de igual


manera (A C) C, y en general (A C) (B C); por lo que tenemos(A B) (A C) A y (A B) (A C) (B C), as aplicando laProposicion 1.21, tenemos que (A B) (A C) (A (B C)).Por lo tanto A (B C) = (A B) (A C).

2. Dado que la demostracion es muy similar a la del inciso anterior, se quedacomo ejercicios para el estudiante.

Definicion 1.23 (Complemento de un conjunto). Sea X el conjunto universal ysea A un conjunto. Diremos que el complemento de A (denotado por Ac), es elconjunto de todos los elementos x X y x A; es decir, Ac = {x x X y x A}.

Notemos que el complemento de un conjunto se define respecto a un conjuntouniversal del cual se estan tomando los conjuntos, en este caso, el conjunto A. Estoes, que el conjunto X contiene a cualquier conjunto, en particular al conjunto A,es decir, A X.Proposicion 1.24 (Propiedades del complemento). Sea A un conjunto, X elconjunto universal, entonces se cumplen las siguientes propiedades:

1. (Ac)c =A. 2. A Ac =X. 3. A Ac = .Demostracion. 1. Por demostrar (Ac)c = A. Sea x (Ac)c si y solo si x Ac

por definicion de complemento, si solo si x A por definicion de pertenencia.Por lo tanto (Ac)c = A.

2. Por demostrar A Ac = X. La demostracion se deja al estudiante, y solodebe utilizar la definicion de complemento y union de conjuntos.

3. Por demostrar A Ac = . Sea x A Ac entonces x A y x Ac pordefinicion de interseccion, pero esto nos lleva a una contradiccion, con loque podemos concluir que x . Por lo tanto AAc . Ademas AAcpor la definicion.

Ahora, teniendo ya las operaciones de union, interseccion de conjuntos y elcomplemento, podemos unir estas operaciones y obtener una proposicion, que seutiliza para muchos conceptos del algebra.

Proposicion 1.25 (Leyes de DMorgan). Sean A y B conjuntos. Entonces secumplen las siguientes propiedades:


1. (A B)c =Ac Bc. 2. (A B)c =Ac Bc.Demostracion. La demostracion la haremos por doble contencion, para poder usarla Definicion 1.11.

1. ). Sea x (Ac Bc), entonces x Ac y x Bc por la Definicion 1.17,entonces x A o x B por la Definicion 1.23, entonces x (A B) por laDefinicion 1.15, y por ultimo tenemos que x (A B)c por la Definicion1.23.). Ahora, sabemos que A AB y que B AB por la Proposicion 1.16,entonces (A B)c Ac y (A B)c Bc (la demostracion de estas conse-cuencias es sencilla, por lo que se queda como ejercicio para el estudiante),aplicando la Proposicion 1.21 tenemos que (A B)c (Ac Bc).Por lo tanto (A B)c = Ac Bc.

2. Demostrar que dos conjuntos son iguales se puede hacer no solo por doblecontencion, se puede hacer utilizando las proposiciones ya vistas. La demos-tracion de este inciso se queda como ejercicio para el estudiante.

Definicion 1.26 (Diferencia entre conjuntos). Sean A, B conjuntos. Diremos quela diferencia entre A y B (denotada por A B) es el conjunto cuyos elementosx tales que x A y x B; es decir, A B = {x x A y x B}.Observacion 1.27. Notemos que el orden en como se escriben los conjuntosinfluye en el resultado, esto es, que la diferencia entre conjuntos no es conmutativa.En otras palabras A B B A. El estudiante puede verificar que esto pasautilizando la definicion.

Observacion 1.28. Notemos que si utilizamos la Definicion 1.23 en la Definicion1.26 tenemos que A B = A Bc. Esto es muy util en la siguiente proposicion.Proposicion 1.29. Sean A, B y C conjuntos. Entonces A(BC) = (AB)(A C).

La demostracion se efectuara por medio de igualdades de conjuntos, dado quelas proposiciones que se utilizaran ya fueron demostradas por doble contencion.Pero tambien se puede hacer la demostracion usando la doble contencion.


Demostracion. Sean A, B y C conjuntos.

A (B C) = A (B C)c Definicion 1.28.= A (Bc Cc) Proposicion 1.25.= (A Bc) (A Cc) Proposicion 1.22.= (A B) (A C) Definicion 1.26.Por lo tanto se vale la igualdad.

Ejercicios

1. De tres conjuntos cualesquiera y muestre que la Proposicion 1.25 se vale conlos conjuntos dados.

2. De conjuntos cualesquiera y obtenga los conjuntos de acuerdo a las opera-ciones definidas.

3. Demuestre que la Observacion 1.29 se cumple. Hint: demuestre la doblecontencion.

1.4. Conjunto potencia

Definicion 1.30 (Conjunto potencia). Sea A un conjunto. El conjunto potenciade A (denotado por P (A) o bien, 2A), es el que esta formado por todos lossubconjuntos posibles de A.

Ejemplo 1.31. Sean A = {a, b} y B = {1, 2, 3}.Entonces

P (A) = {{a, b}, {a}, {b}, }.Y para B

P (B) = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, }.Observacion 1.32. Si A posee n elementos, entonces P (A) tendra 2n elementos.Pero si es infinito entonces P (A) sera infinito. La demostracion de este hecho serealizara como un ejemplo de la seccion 2.9 del Captulo 2.

Observacion 1.33. Del ejemplo 1.31, observamos que A, B son subconjuntos desus conjuntos potencia, respectivamente. Esto es porque A = A y por la Definicion1.11 tenemos que A A; es decir, A es un subconjunto de P (A). Por lo tantoA P (A).

1.4. CONJUNTO POTENCIA 9

Ejercicios

1. Demostrar el inciso 2 de la Proposicion 1.22.



4. Sean A, B conjuntos. Demostrar que (AB)c Ac. Hint: considere el hechode que A (A B).

5. Sean A, B conjuntos. Demostrar que Ac (AB)c. Hint: considere el hechode que (A B) A.

6. Calcule el conjunto potencia de A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Captulo 2

Funciones

El concepto de funcion como un objeto matematico independiente, capaz de serestudiado por s solo, surgio hasta los inicios del calculo en el siglo XVII. Rene Des-cartes, Isaac Newton y Gottfried Leibniz establecieron la idea de funcion comouna dependencia entre dos cantidades variables. Leibniz en particular creo losterminos funcion, variable, constante y parametro. La notacion f(x) seutilizo por primera vez con Clairaut, y por Euler en la obra Commentarii impresaen San Petersburgo en 1736. [CR96]

2.1. Relaciones entre conjuntos

Definicion 2.1 (Pareja ordenada (Kuratowski)). Sean a y b A. Diremos queuna pareja formada por los elementos a y b es el conjunto {{a}, {a, b}} = (a, b).Observacion 2.2. De la definicion anterior podemos concluir que si dos parejasson iguales, entonces sus elementos son iguales de acuerdo a sus posiciones; esdecir, si (a, b) = (c, d) entonces a = c y b = d. El estudiante debe ser capaz dehacer la demostracion.

Ahora con los pares ordenados ya definidas, podemos enunciar ternas ordena-das o triadas ordenadas de la manera siguiente:

(a, b, c) = ((a, b), c) = (a, (b, c)) = {{a}, {a, b}, {a, b, c}}y as, se pueden construir las nadas ordenadas.Observacion 2.3. Si A = {a, b} entonces (a, b) = {{a}, {a, b}} P (A) y tambien(b, a) = {{b}, {a, b}} P (A). Ahora bien si B = {x, y, z} entonces (x, y, z) ={{x}, {x, y}, {x, y, z}} P (B) y as con cualquier triada que se pueda generar.

11

12 CAPITULO 2. FUNCIONES

Por lo que una pareja o triada ordena de un conjunto A es un subconjunto delconjunto potencia de A.

Ejemplo 2.4. Sean C = {1, 9, 72}, D = {{72}, {72, 1}, {72, 1, 9}} P (C) yE = {{72}, {9, 1}, {72, 1, 9}} P (C). Que triadas ordenadas son los conjuntosD y E? D es la triada (72, 1, 9), por definicion. E no es una triada porque ningunode estos tres elementos: 72, 1, 9; aparece tres veces en los elementos de E paradefinir al primer elemento de la triada, y ninguno aparece solo una vez para definiral tercer elemento.

Definicion 2.5 (Producto cartesiano). Sean A y B conjuntos. El producto car-tesiano de A con B (denotadas por A B), es el conjunto de todas las parejasordenadas, tales que la primer entrada es un elemento de A y la segunda es unelemento de B, es decir, AB = {(a, b) a A y b B}. Se denota a AA =A2.Observacion 2.6. As como el conjunto potencia tiene 2n elementos, donde n es elnumero de elementos de un conjunto. El producto cartesiano de A con el mismotiene n2 parejas ordenas, el producto A3 tiene n3 parejas, y as sucesivamente,donde n es el numero de elementos de A.

Para mostrar que A2 tiene n2 parejas supongamos que A = {a1, . . . , an}, en-tonces las parejas ordena que podemos formar son (a1, ), . . . , (an, ), y hay nparejas con a1 como primer elemento, n con a2 como primer elemento, etc.

Entonces, sumando el numero total de las parejas tenemos:

n + + n = n(1 + + 1udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodnsumandos

) = n(n) = n2.Por lo tanto hay n2 parejas ordenadas.

Ahora para mostrar que hay n3 triadas ordenadas en A3, utilicemos que unatriada ordenada la podemos definir como (a, (b, c)) = (a, b, c) como ya se habadicho y ademas aplicaremos la idea anterior.

Como ya mostramos que hay n2 para A2 entonces tenemos que las triadas quepodemos formar con los elementos de A son (a1, ( , )), . . . , (an, ( , )), y hay n2triadas ordenadas con a1 como primer elemento, n2 con a2 como primer elemento,etc.

As, sumando el numero total de las triadas ordenadas tenemos:

n2 + + n2 = n2(1 + + 1udcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodudcurlymodnsumandos

) = n2(n) = n3.Por lo tanto hay n3 triadas ordenadas.

Si el conjunto A es infinito, entonces el numero de parejas ordenadas tambiensera infinito.

2.1. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 13

Por ejemplo, sea A = {1, 2}, el A2 tiene 4 parejas ordenas, las cuales son(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2).Ejemplo 2.7. En este ejemplo veremos un conjunto que es utilizado en otrasareas de las matematicas, el plano cartesiano.

1. Sea A = {1, 2} y B = {a, b, c}, entoncesA B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}.

2. Sea N el conjunto de los numeros naturales, entonces

N N = {(a, b) a, b N} = N2.3. Sea R el conjunto de numeros reales, entonces

R R = {(a, b) a, b R} = R2,a este conjunto lo definimos como el plano cartesiano.

Definicion 2.8 (Relacion). Sean A y B conjuntos. Una relacion entre A y B esun subconjunto R del producto cartesiano A B.Ejemplo 2.9. En este ejemplo veremos que es lo que sucede cuando uno de losconjuntos es vaco.

1. Sean A = y B un conjunto cualquiera. Entonces A B = por lo quela unica relacion posible es R = . Esto sucede porque el conjunto vaco notiene elementos, si fuera diferente del vaco entonces la Definicion 2.5 no seracorrecta, y ademas porque el vaco es subconjunto de cualquier conjunto.

2. Sean A = {a} y B = {b}. Entonces A B = {(a, b)} con lo que tenemos dosrelaciones, las cuales son R1 = y R2 = {(a, b)}.

3. Sean A = {1, 2} y B = {a, b}. EntoncesA B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}

con lo que hay 16 relaciones posibles entre A y B, cada relacion Ri P (A B). Como ejercicios, el estudiante debera obtener las 16 relacionesaqu mencionadas.

4. Sea Z Z. Entonces una relacion del producto cartesiano anterior sera R ={(m, n) m n es divisible por 3}. Diremos que a se divisible por b, cona, b Z, si existe k Z tal que a = bk.


Definicion 2.10 (Dominio, codominio e imagen). Sea R A B una relacion.El dominio de R (denotado por DR), es el conjunto de todos los elementos deA para los que existe un elemento en B de tal forma que (a, b) R; es decir,DR = {a A b B tal que (a, b) R}.

El codominio (o contradominio) de R (denotado por CR), es el conjunto B.La imagen de R (denotado por ImR), es el conjunto de todos los elementos

de B tales que existe un elemento en A de forma tal que (a, b) R; es decir,ImR = {b B a A tal que (a, b) R}.Ejemplo 2.11. Sean A = {a, b} y B = {1, 2, 3}. Sea R = {(a, 1), (a, 3)} unarelacion, entonces el dominio de R es DR = {a} y la imagen ImR = {1, 3}.Definicion 2.12 (Relacion de equivalencia). Sean R una relacion de A A.Diremos que R es de equivalencia si se cumplen:

1. Para todo a A la pareja (a, a) R (reflexiva).2. Si (a, b) R entonces (b, a) R (simetrica).3. Si (a, b) y (b, c) R entonces (a, c) R (transitiva).

Ejemplo 2.13. Sean A = N.1. Sea R = {(x, y) x = y}, R es reflexiva porque x = y, que es lo mismo quex = x por lo que (x, x) R. Tambien es simetrica porque si (x, y) Rimplica que x = y pero y = x con lo que implica que (y, x) R. Y por ultimoes transitiva ya que si (x, y) R y (y, z) R, por una parte implica quex = y y por la otra y = z con lo que tenemos que x = z, entonces (x, z) R.Por lo tanto R es de equivalencia.

2. Sea R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}, R no es reflexiva porque (x,x) R,con x 1,2. No es simetrica porque (x, y) R para x, y 1,2. No estransitiva porque (x, y) R para x, y 1,2.

Ejercicios

1. Utilizando solo la Definicion 2.1, demostrar que (a, b) = (c, d) si y solo sia = c y b = d.

2. Obtenga las 16 relaciones del inciso 3 del Ejemplo 2.9 .

3. Demuestre que la R relacion del inciso 4 del Ejemplo 2.9 es de equivalencia.

4. Obtenga el dominio e imagen de la relacion del inciso 4 del Ejemplo 2.9.

2.2. FUNCIONES 15

2.2. Funciones

A grandes rasgos, una funcion es una regla de correspondencia que asigna acada elemento de un conjunto, un elemento de otro. Pero con el paso de estaseccion veremos las definiciones correctas para el concepto de funcion. Mientrasveamos un pequeno ejemplo, para una regla de correspondencia. [Mic93]

Ejemplo 2.14. 1. La regla que asigna a todo numero su cuadrado.

2. La regla que le asigna a cada x un numero y = x + 1x + 2.

Definicion 2.15 (Funcion). Sean A y B conjuntos distintos del . Diremos queuna relacion f es una funcion que va de A hacia B (denotada por f A B)si:

1. Para todo x A existe y B tal que (x, y) f , y2. A cada elemento x A le corresponde uno y solo un elemento y B; es

decir, si (x, y1) y (x, y2) f implica que y1 = y2.Existen varias definiciones para el concepto de funcion, como la que enun-

ciaremos a continuacion.

Definicion 2.16. Una funcion f es una coleccion de pares ordenados (nume-ros), los cuales deben cumplir que, si (x, y1) y (x, y2) f con x, y1, y2 en unconjunto, entonces y1 = y2.

Con la definicion de lo que es una funcion y con la Definicion 2.10 podemosdecir que el conjunto A es el dominio y B es el codominio de f . Pero daremos unadefinicion mas formal del dominio de f .

Definicion 2.17 (Dominio de una funcion). Si f es una funcion, el dominio def (denotado por Df ; o bien, Domf), es el conjunto de todos los a A para losque existe algun b B tal que f(a) = b esta bien definido.Ejemplo 2.18. La funcion

h(x) = 1x+ 1x + 1 ,

tiene sentido si se hace la restriccion de que x debe ser distinto de 0,1; o bien,podemos escribir de una manera mas explcita h R {1,0} R.

Si no se hiciera la restriccion diramos que f no es un una funcion.

Ejemplo 2.19. Sean f, g, h R R dadas por las reglas de correspondencia,f(x) = x2 2x + 4, g(x) = x y h(x) = 1

x.


Solucion de 2.19: De las tres reglas dadas solo f es funcion, ya que g no esta de-finida para los numeros negativos y h no tiene sentido cuando x = 0.

Para que g fuese una funcion bien definida, se debera restringir el dominiocomo sigue g [0, ) R.

De la misma manera se debe hacer para h y debera de quedar como h R {0} R.

As, las tres reglas son ahora funciones.

Definicion 2.20 (Imagen de una funcion). Sea f una funcion; la imagen de f(denotada por Imf) es el conjunto de todos los elementos en B tales que existea A con f(a) = b; es decir, Imf = {b B a A, tal que f(a) = b} B.Ejemplo 2.21. Del Ejemplo 2.19 podemos ver que la funcion g tiene el dominioDg = [0, ) y una imagen Img = [0, ). As mismo la funcion h tiene Dh = R{0}y Imh = R {0}.Definicion 2.22 (Igualdad de funciones). Sean f A B y g C D dosfunciones. Diremos que f y g son iguales si y solo si se cumple lo siguiente

1. A =C y B =D, 2. f(x) = g(x) para toda x A.Ejemplo 2.23. Sean f [0, 2pi] [1, 1] con la regla f(x) = sin(x + pi

2) y

g [0, 2pi] [1, 1] con la regla g(x) = cos(x).Es facil ver que f = g, por lo que se queda como ejercicio para el estudiante.

Definicion 2.24 (Suma, resta, multiplicacion y division de funciones). Sean f AB y g C D funciones, definimos las siguientes operaciones:

1. (f + g)(x) = f(x) + g(x),2. (f g)(x) = f(x) g(x),

3. (f g)(x) = f(x) g(x),4. (f

g)(x) = f(x)

g(x) con g(x) 0.Observacion 2.25. De las operaciones anteriores y de la Definicion 2.15 podemosconcluir que x debe estar tanto en A como en C; es decir, Df+g = Dfg = Df g =A C, as Df/g = (A C) {x g(x) = 0}.Ejercicios

1. Demuestre que las funciones f y g del Ejemplo 2.23 son iguales.

2. Como en la Observacion 2.25, piense y discuta cual puede ser el codominiopara las operaciones de la Definicion 2.24.

2.3. COMPOSICION DE FUNCIONES 17

2.3. Composicion de funciones

Otra operacion entre funciones que es igual de importante como las definidasanteriormente, es la composicion de funciones, la cual es la aplicacion sucesiva defunciones a ciertos elementos de un conjunto; es decir, elementos del domino paraser precisos.

Definicion 2.26 (Composicion de funciones). Sean f A B y g B Cfunciones. Diremos que la composicion de g con f (denotado por g f) es lafuncion (g f)(x) = g(f(x)) para toda x A. Leeremos el smbolo g f como fseguida de g.

Ejemplo 2.27. Sean f R R con f(x) = x2 + 1 y g R R con g(x) = 3x + 2.Obtener la composicion de f g y g f .Solucion de 2.27: Lo primero es ver si la composicion de las funciones es posible,esto es, utilizar la Definicion 2.26. Resulta que las funciones estan definidas enR, tanto en el dominio como en el codominio, por lo que s se puede realizar lacomposicion.

Ahora procedemos a obtener las reglas de correspondencias para cada compo-sicion.

Sea x R, entonces(g f)(x) = g(f(x)) Definicion 2.26= g(x2 + 1) sustituyendo el valor de f(x)= 3(x2 + 1) + 2 sustituyendo el valor de g(x)= 3x2 + 5 aritmetica.

Por lo tanto (g f)(x) = 3x2 + 5.Se queda como ejercicio para el estudiante obtener la regla de correspondencia

para (f g)(x).Observacion 2.28. Sea f A B una funcion, donde A,B son conjuntos finitos.Dado que son conjunto finitos podemos listar las correspondencias de los elementosde A con los elementos de B, esto lo representaremos como sigue:

f = (a1 a2 . . . anb1 b2 . . . bm

) .


Ejemplo 2.29. Sean A = {a1, a2, a3}, B = {b1, b2} y C = {c1, c2, c3} conjuntos,sean f A B y g B C, dadas por

f = (a1 a2 a3b1 b1 b2

) , g = (b1 b2c2 c3

) ,entonces la composicion g f A C esta dada por

g f = (a1 a2 a3c2 c2 c3

) .Definicion 2.30 (La funcion identidad). Sea A . Diremos que la funcionidentidad IA AA esta dada por IA(x) = x para toda x A.Teorema 2.31. Sea f A B una funcion. Entonces f IA = f y IB f = fcon IA, IB las funciones identidades en A y B, respectivamente.

Demostracion. Sean f A B, IA A A y IB B B funciones, con IA(x) =x A, IB(y) = y B y f(z) B.

Es facil ver que, las funciones f IA = f y IB f = f tiene los mismos dominiosy codominios. Solo falta ver que las reglas de correspondencias son las mismas(por la Definicion 2.22). Sea x A, entonces

(IB f)(x) = IB(f(x)) Definicion 2.26.= f(x) definicion de IB.Ahora tenemos

(f IA)(x) = f(IA(x)) Definicion 2.26.= f(x) definicion de IA.Por lo tanto son las mismas funciones.

Proposicion 2.32 (Asociatividad de la composicion). Sean A, B, C y D ,conjuntos y sean f A B, g B C y h C D funciones. Entoncesh (g f) = (h g) f .Demostracion. El estudiante debe ser capaz de hacer la demostracion, y se puedebasar en la anterior, por lo que se queda como ejercicio.

2.4. FUNCIONES INYECTIVAS, SUPRAYECTIVAS Y BIYECTIVAS 19

Ejercicios

1. Obtener la regla de correspondencia para la composicion f g del Ejemplo2.27.

2. Demuestre la Proposicion 2.32, utilizando las Definiciones 2.22 y 2.26.

2.4. Funciones inyectivas, suprayectivas y biyec-

tivas

Las funciones pueden ser clasificadas, segun ciertas propiedades que cumplan.La clasificacion de funciones son tres, las inyectivas, suprayectivas y biyectivas.Daremos las definiciones de cada una a continuacion.

Definicion 2.33 (Funcion inyectiva). Sea f A B una funcion. Diremos quef es inyectiva, si f(x) = f(y) con f(x) y f(y) B entonces x = y con x yy A; o bien, si x, y A tales que x y, se sigue que f(x) f(y).Definicion 2.34 (Funcion suprayectiva). Sea f A B una funcion. Diremosque f es suprayectiva, si para todo y B existe un x A tal que f(x) = y; obien, si Imf =B.Definicion 2.35 (Funcion biyectiva). Sea f A B una funcion. Diremos quef es biyectiva, si es inyectiva y suprayectiva.

Ejemplo 2.36. Sea f R R una funcion dada por f(x) = x2. Es biyectiva lafuncion f(x)?Solucion de 2.36: Por la Definicion 2.35, hay que ver si f es inyectiva y supra-yectiva.

Por un lado, f no es inyectiva, ya que f(1) = f(1) = 1 pero 1 1.Por otro lado, f no es suprayectiva, ya que no existe un x R tal que f(x) =1 R; es decir, Imf = [0,) R.Por lo tanto f no es biyectiva.

Ejemplo 2.37. Sea f R R una funcion dada por f(x) = ax + b con a, b R ya 0. Es biyectiva la funcion f(x)?Solucion de 2.37: Hay que mostrar que f(x) es inyectiva y suprayectiva, paramostrar que es una funcion biyectiva.


Demostracion. Por un lado, f es inyectiva.Sea x1, x2 R y f(x1) = f(x2). Por demostrar que x1 = x2. Tenemos:

f(x1) = ax1 + b Sustitucion de f(x1).= ax2 + b = f(x2) Hipotesis y sustitucion de f(x2).ax1 + b = ax2 + b Transitividad de la igualdad.

Por lo tanto

x1 = x2 Aritmetica.Por otro lado, f es suprayectiva.

Sea y R. Por demostrar que existe x R tal que f(x) = y. Procedemosa encontrar al elemento x, ayudandonos con lo que debe cumplir, por lo quetenemos:

y = f(x)= ax + b Sustitucion de f(x).y = ax + b Transitividad de la igualdad.

Despejando x, tenemos

x = y ba

Aritmetica.

La fracciony ba

esta bien definida, porque a, b R y ademas a 0. Por lo tantof es suprayectiva, con lo que nos lleva a que f es biyectiva.

Observacion 2.38. Sea A un conjunto. Es facil ver que la funcion IA esbiyectiva, lo cual el estudiante puede hacer la demostracion.

Proposicion 2.39. Sean f A B y g B C dos funciones inyectivas.Entonces g f AC es inyectiva.Demostracion. Sea f A B y g B C funciones inyectivas. Sea g f A Cuna funcion y sean a1, a2 A.

Supongamos que g(f(a1)) = g(f(a2)). Por demostrar que a1 = a2.Como g es inyectiva (es decir, si g(b1) = g(b2) entonces b1 = b2) tenemos que

f(a1) = f(a2), pero ademas f es inyectiva, entonces a1 = a2.Por lo tanto g f es inyectiva.

2.5. FUNCIONES INVERTIBLES 21

Proposicion 2.40. Sean f A B y g B C dos funciones suprayectivas.Entonces g f AC es suprayectiva.Demostracion. Sean f A B y g B C dos funciones suprayectivas. Pordemostrar que g f A C es suprayectiva, es decir, para toda c C existe a Atal que (g f)(a) = c.

Sea c C. Por demostrar que existe a A tal que (g f)(a) = c.Como g es una funcion suprayectiva, entonces existe b B tal que g(b) = c.

Por otro lado, f es tambien una funcion suprayectiva, entonces para toda b Bexiste a A tal que f(a) = b.

Por lo tanto, sustituyendo b = f(a) en g(b) = c, tenemos que g(b) = g(f(a)) = cy por la Definicion 2.26 tenemos que g(f(a)) = c = (g f)(a).

Por lo tanto existe a A tal que (g f)(a) = c.Ejercicios

1. Demuestre la Observacion 2.38 utilizando las definiciones correspondientes.

2. Demuestre que si f, g son dos funciones biyectivas, entonces gf es biyectiva.3. Sean f A B y g B C funciones tales que g f es inyectiva. Demuestre

que f es inyectiva.

4. Sean f A B y g B C funciones tales que g f es suprayectiva.Demuestre que g es suprayectiva.

2.5. Funciones invertibles

De la clasificacion de las funciones, se puede desprender una clasificacion mas,las que son invertibles. Las funciones que tienen inversa, cumplen que son biyec-tivas. As que daremos la teora de las funciones invertibles a continuacion.

Definicion 2.41 (Inverso derecho). Sea f A B una funcion. Si existe unafuncion g B A tal que g f = IA diremos que g es inverso derecho de f .Definicion 2.42 (Inverso izquierdo). Sea f A B una funcion. Si existe unafuncion h B A tal que f h = IB diremos que h es inverso izquierdo de f .Definicion 2.43 (Funcion invertible). Sea f una funcion. Diremos que f esinvertible si posee inverso izquierdo y derecho.


Teorema 2.44 (Unicidad de la funcion inversa). Sea f A B una funcioninvertible. Si g y h son funciones de B en A inversas derechas e izquierdas,entonces g = h.Demostracion. Sean g B A tal que g f = IA y h B A tal que f h = IB,es obvio que h y g tiene los mismos dominios y codominios. Entonces veamos quetienen la misma regla de correspondencia. Tenemos:

g = g IB Teorema 2.31.= g (f h) sustitucion de IB.= (g f) h Proposicion 2.32.= IA h sustitucion de IA.= h Teorema 2.31.Por lo tanto g = h.Definicion 2.45 (La funcion inversa). Sea f A B una funcion invertible.Por el Teorema 2.44 diremos que g B A es la funcion inversa de f y ladenotaremos con f1 = g.

En ocasiones el Teorema 2.44 no se cumple, esto es porque la funcion dadano tiene inversa izquierda o derecha, pero tambien se puede ver porque la dichafuncion no es biyectiva, lo cual veremos en los siguientes teoremas, pero antes,tenemos los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.46. Sea f N N dada por f(n) = n2 y g N N dada por g(n) =n (donde n es la funcion mayor entero). Entonces tenemos que g f = IZ,sin embargo, f g IZ. Veamos por que.

Por un lado, tenemos:

(g f)(n) = g(f(n)) = g(n2) = n2 = n = n = IZ.Observese que

n2 = n, por la definicion del valor absoluto, y ademas como n 0

tenemos que n = n.Por otro lado:

(f g)(n) = f(g(n)) = f (n) = (n)2 ;es decir, si n = 2 entonces (f g)(n) = 22 = 4 n.Ejemplo 2.47. Sea f [0,) [0,) dada por f(x) = x2. Verificar que f1 [0,) [0,) dada por f1(x) = x es la funcion inversa de f .

2.5. FUNCIONES INVERTIBLES 23

Solucion de 2.47: Por la Definicion 2.45 tenemos que probar que f f1 = I[0,)y que f1 f = I[0,).

Por un lado, sea x [0,), entonces (f f1)(x) = f(f1(x)) = f(x) =(x)2 = x; as que f f1 = I[0,).Por otro lado, sea x [0,), entonces (f1 f)(x) = f1(f(x)) = f1(x2) =x2 = x; pero como 0 x, entonces x = x; es decir (f1 f)(x) = x, as que

f1 f = I[0,).Ahora, los siguientes teoremas nos ayudaran a ver si una funcion dada tie-

ne inversa izquierda, derecha o ambas, como lo hemos mencionado arriba, y laexistencia de la inversa dependera de si es biyectiva.

Teorema 2.48. Sea f AB una funcion. f tiene inverso derecho si y solo sies inyectiva.

Demostracion. ) Sea f A B una funcion inyectiva. Por demostrar que ftiene inverso derecho.

Como f es inyectiva tenemos que si b = f(a1) = f(a2) B entonces a1 = a2 A.Definamos ahora g B A tal que para algun b B g(b) = a1. Entonces a1 =g(b) = g(f(a1)) = (g f)(a1), pero tambien a2 = g(b) = g(f(a2)) = (g f)(a2),con lo que g esta bien definida, por lo que g es el inverso derecho de f , ya queg f = IA.) Sea g B A el inverso derecho de f y sea f(a1) = f(a2) B. Pordemostrar que a1 = a2 A.

Entonces tenemos:

a1 = IA(a1) Definicion 2.30.= g(f(a1)) Definicion 2.41.= g(f(a2)) hipotesis.= IA(a2) Definicion 2.41.= a2 Definicion 2.30.As a1 = a2. Por lo tanto f es inyectiva.Teorema 2.49. Sea f A B una funcion. f tiene inverso izquierdo si y solosi es suprayectiva.

Demostracion. ) Sea f A B una funcion, sea g B A la inversa izquierdade f y sea b B tal que g(b) = a para algun a A. Por demostrar que f essuprayectiva, es decir, existe a A tal que f(a) = b para toda b B.


Como g es la inversa izquierda de f , tenemos que f g = IB. Entonces b =IB(b) = (f g)(b) = f(g(b)) = f(a), por lo que f(a) = b. Por lo tanto f essuprayectiva.) Sea f A B suprayectiva, es decir, para toda b B existe a A tal quef(a) = b. Por demostrar que f tiene inverso izquierdo.

Sea g B A una funcion tal que g(b) = a para alguna b B y a A. Entoncestenemos que b = f(a) = f(g(b)) = (f g)(b), por lo tanto f g = IB. As que g esla inversa izquierda de f .

Corolario 2.50. Sea f A B una funcion. f es invertible si y solo si esbiyectiva.

Demostracion. La demostracion se deja al estudiante y solo debe aplicar algunosteoremas de esta seccion.

Ejercicios

1. Para cada uno de los siguientes incisos, muestre que la funcion g es la inversade f .

a) Sea f (,0] [0,) dada por f(x) = x2; g [0,) (,0] dadapor g(x) = x.

b) Sea f R R dada por f(x) = ax+ b; g R R dada por g(x) = x ba

.

c) Sea f (0,) R dada por f(x) = log2 x; g R (0,) dada porg(x) = 2x.

2. Demuestre el Corolario 2.50.

2.6. Cardinalidad de un conjunto

En secciones anteriores, hemos hablado implcitamente del numero de elemen-tos de un conjunto, como en la Observacion 1.32. Saber el numero de elementoses de gran utilidad, por ejemplo; el conjunto solucion de un sistema de ecuacioneslineales puede tener mas de una solucion, y como se vera en el Captulo 6, a partirde dos soluciones se podra describir el resto de los elementos del conjunto.

Definicion 2.51 (Cardinalidad de un conjunto). Sea A . Diremos que lacardinalidad o el numero cardinal de A (denotado por #A) es el n N, para elcual existe una funcion biyectiva f In A donde In = {1, 2, . . . , n}.

2.7. CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS 25

Definicion 2.52 (Conjuntos equipotentes). Sean A y B conjuntos distintos del. Diremos que A y B son equipotentes o que tienen la misma cardinalidad siexiste una funcion f AB; o bien, f B A biyectiva.Ejemplo 2.53. Sea A = N y B = {3x x N}. Entonces, el conjunto A tienela misma cardinalidad que B, ya que existe una funcion f A B dada porf(x) = 3x, la cual es biyectiva, como ya se haba mostrado.Ejercicios

1. Demuestre que los siguientes conjuntos tienen la misma cardinalidad

a) N,b) Z,

c) {n2 n Z},d) {2n n Z}.

2.7. Conjuntos finitos e infinitos

En el Captulo 1 se dio la Definicion 1.13, la cual define a un conjunto finitoe infinito. Ahora ampliaremos esa definicion y separaremos esa idea muy generalen definiciones mas precisas.

Definicion 2.54 (Conjunto finito). Sea A . Diremos que A es finito (denotadopor #A


Ahora sea B = {b1, . . . , bm} con bi distintas con #B =m.Como f es suprayectiva tenemos que existen ai A tales que f(ai) = bi, los m

elementos ai son distintos entre s, ya que si ai = aj tendramos que f(ai) = f(aj);es decir, bi = bj, lo que nos llevara a una contradiccion por la construccion de B.Por lo tanto A tiene al menos m elementos.

Ejemplo 2.59. Es facil ver que el conjunto N es infinito numerable, ya que existeuna funcion biyectiva que es IN N N con la regla IN(n) = n.Ejercicios

1. Demuestre que los siguientes conjuntos son infinitos numerables.

a) Z = {. . . , 1, 0, 1, . . .}, b) Q = {pqp Z ,0 q N}.

2. Piense y comente como podra mostrar que el conjunto I (el conjunto denumeros irracionales) es infinito no numerable.

2.8. Funciones entre conjuntos finitos

Como se menciono en la Observacion 2.28, escribir funciones entre conjuntosfinitos, es basicamente escribir quien esta relacionado con quien. Tambien lasfunciones entre conjuntos finitos cumple las mismas operaciones, propiedades yteoremas que las funciones entre conjuntos infinitos.

Tomando las bases ya vistas en las secciones previas solo queda hacer ejerciciospara afirmar los conocimientos adquiridos, pero ahora sera tomando en cuenta alos conjuntos finitos, as sera mas facil entender lo que se ha visto hasta ahora.

Ejercicios

Para los siguientes incisos, considere A, B y C conjuntos finitos y distintos delvaco. Sean f A B y g B C dos funciones, y sea g f A C el resultadode la composicion de f con g. De las reglas de correspondencia de f y g tales que:

1. f es inyectiva y g f no sea inyectiva.2. g es suprayectiva y g f no sea suprayectiva.3. f es inyectiva, g es suprayectiva y g f no es inyectiva ni suprayectiva.

2.9. INDUCCION MATEMATICA 27

4. f no es suprayectiva, g no es inyectiva y g f es biyectiva.Hint: recuerde la notacion utilizada en la Observacion 2.28 y que los conjuntosson finitos.

2.9. Induccion matematica

Cuando un enunciado requiere ser demostrado y estan involucrados los nume-ros naturales, hay un tipo de tecnica para demostrar dicho enunciado, se llamainduccion matematica.

Definicion 2.60 (Principio de induccion). Sea M N tal que se cumplen losiguiente:

1. 1 M , 2. Si n M entonces n + 1 M .Entonces M = N.En otras palabras lo que nos dice el principio es que si un subconjunto M N

contienen al 1 y contiene a n + 1 cada vez que n M , entonces M es todo elconjunto de numeros naturales.

Este principio lo utilizaremos para demostrar enunciados en los cuales inter-vengan los numeros naturales. As, el principio de induccion lo podemos traduciren lo siguiente:

Definicion 2.61 (Equivalencia del principio de induccion). Sea P (n) un enun-ciado, con n N. Los siguientes pasos son necesarios y suficientes para efectuarla demostracion:

1. Se demuestra la validez de P (1),2. Supongase que P (n) es valida (hipotesis de induccion), por demostrar P (n+

1) es valido.Habiendo establecido la teora veamos unos pequenos ejemplos.

Ejemplo 2.62. Demostrar por induccion matematica que P (n) = ni=1 i = n(n + 1)2 .

Solucion de 2.62: Como demostraremos el enunciado por induccion matematica,el segundo paso se puede dividir en dos para que se tenga mas claro que es lo quese esta haciendo.


1. Por demostrar para P (1), lo cual es claro, ya que 1i=1 i = 1 = 1(1 + 1)2 .

2. Supongamos que el enunciado P (n) es valido, es decir; ni=1 i = n(n + 1)2 .

3. Ahora debemos mostrar que se cumple para P (n + 1). En este ejemplo em-pezamos por la hipotesis de induccion, tenemos:

ni=1 i + (n + 1) = n+1i=1 i sumar n + 1 a la H.I.= n(n + 1)

2+ (n + 1) igualdad de la H.I.

= n(n + 1)2

+ 2(n + 1)2= n(n + 1) + 2(n + 1)

2= (n + 1)[(n + 1) + 1]2= (n + 1)(n + 2)

2por aritmetica.

Por lo tanto se cumple P (n + 1).Con esto se termina la demostracion del enunciado P (n).Ejemplo 2.63. Sea P (n) = 1 + nx (1 + x)n; con 1 x R. Demuestre queP (n) es valido para cualquier n NSolucion de 2.63: La demostracion se hara con induccion matematica.

1. Por demostrar que P (1), lo cual es claro, ya que 1 + 1x = (1 + x)1.2. Supongamos que el enunciado P (n) es valido, es decir; 1 + nx (1 + x)n.3. Ahora debemos mostrar que se cumple para P (n + 1). Empezamos por la

hipotesis de induccion, tenemos:(1 + x)n(1 + x) = (1 + x)n+1 multiplicar a la H.I por (1 + x). (1 + x)(1 + nx) porque 0 1 + x.= 1 + nx + x + nx2 por aritmetica. 1 + nx + x porque 0 nx2.= 1 + (n + 1)x por aritmetica.


y tenemos que:

(1 + x)n+1 1 + (n + 1)x, transitividad.por lo tanto se cumple el enunciado P (n + 1).

Con esto se termina la demostracion del enunciado P (n).Ahora vamos a demostrar lo que se afirmo en la Observacion 1.32 y la demos-

tracion se realizara por induccion sobre el numero de elementos del conjunto.

Ejemplo 2.64. Sea A un conjunto con n elementos. Por demostrar que P (A)tiene 2n elementos.

Solucion de 2.64:

1. Por demostrar que si A tiene un elemento, entonces P (A) = 2.Supongamos que A = {a1}, entonces P (A) = {, {a1}}, con lo que P (A)posee 2 = 21 elementos.

2. Supongamos que la afirmacion es valido para un conjunto A = {a1, . . . , an}de n elementos.

3. Debemos mostrar que se cumple para un conjunto A = {a1, . . . , an+1} den + 1 elementos.Sea ai A un elemento arbitrario. Es claro que A{ai} posee n elementos ypor la hipotesis tenemos que P (A{ai}) posee 2n elementos. Sea N P (A)cualquier subconjunto. Para el subconjunto N , N P (A {ai}) si y solo sipasa una de las dos cosas siguientes:

a) N permanecio igual en A {ai}, es decir; ai no era elemento de N ,b) N proviene de cierto conjunto N = N{ai}, es decir; ai era un elemento

de N .

Conforme se hace variar a los subconjuntos de A y de acuerdo con las op-ciones anteriores obtendremos a todos los subconjuntos de A {ai}. Por loque P (A) tendra 2 por el numero de elementos de P (A {ai}), es decir,2 2n = 2n+1.

Por lo tanto se cumple la afirmacion dada en la Observacion 1.32.


Ejercicios

Demostrar los siguientes ejercicios:

1. P (n) = ni=1 6i = 3n(n + 1).

2. P (n) = ni=1

1(2i 1)(2i + 1) = n2n + 1.3. P (n) = n1

i=0(a + id) = n[2a + (n 1)d]2 ; con a, b R.4. P (n) = n1

i=0 5i = 5n 14 .5. P (n) = n

i=1 i2 = n(n + 1)(2n + 1)6 .6. P (n) = n

i=11

n(n + 1) = nn + 1.7. P (n) = n

i=1 i3 = [n(n + 1)2 ]2

.

8. P (n) = 2n < n2 + 29. P (n) = n! 2n; donde n! = 1n es el factorial de un numero y 0! = 1.

10. P (n) = zn = (r(cos + i sin ))n = rn(cos(n) + i sin(n)), donde i2 = 1.11. P (n) = n

i=1 ai = (a1 + an)n2 ; donde ai+1 ai = r para toda i, con ai R.12. P (n) = n1

i=0 xi = xn 1x 1 ; donde 1 x R.Aplicacion hacia la Fsica

Ejemplo 2.65. Supongamos que la respiracion de un corredor se puede modelarcomo una funcion seno, donde la inhalacion es la parte positiva de la funcion y laexhalacion es la parte negativa. Si se coloca un sensor de flujo de aire en la bocay nariz del corredor, solo se registrara que el aire paso por el sensor, pero no se


sabra si inhalo o exhalo, as que solo se veran en el registro valores positivos. Sehace la medicion durante 18.85s ( 6pis). La grafica de estos resultados (mostradaen un osciloscopo) se puede ver como la grafica de la composicion de dos funciones:la del seno con la de valor absoluto.

1. Realiza esa composicion definiendo adecuadamente esa funcion composicion(resultado de componer las dos funciones, seno y valor absoluto) y esbozala grafica correspondiente, donde la amplitud es de 1.5lt de aire.

2. Cual es el dominio, la imagen y el codominio de la funcion composicion, esdecir, la que se registra en el osciloscopio?

3. Cuales deben ser los dominios y las imagenes de las funciones que se recu-peran a partir de los datos obtenidos?

Solucion de 2.65:

1. Para realizar la composicion de las funciones sin(x) y el x, debemos definirlos dominios y codominios de cada una. As tenemos, f(x) = sin(x) esta de-finida como f [0, 6pi] [1, 1], la funcion g(x) = 32 x esta definida comog [1, 1] [0, 32]. Observamos que el 1.5 que aparece en la funcion g es laamplitud solicitada por el problema.

Ya definidas las funciones, podemos realizar la composicion, la cual esg(f(x)) = 32 sin(x) y esta definida por g f [0, 6pi] [0, 32].La grafica correspondiente se muestra en la Figura 2.1.

2. El dominio de la composicion es Dgf = [0, 6pi], aunque el dominio pudohaber sido R, pero no se puede hablar de un tiempo negativo.El codominio de la composicion es Cgf = [0, 32], e igual que el domino, estepudo haber sido R.La imagen de la composicion es Imgf = [0, 32], y como se puede observar,el codominio e imagen son iguales, pero no necesariamente debe ocurrir.

3. El dominio e imagen de la funcion f son: Df = [0, 6pi] y Imf = [1, 1], y eldominio e imagen de la funcion g son: Dg = [1, 1] e Img = [0, 6pi].

Ejemplo 2.66. En cierta region siberiana de cultivo de hortalizas se encontro queuna roca contiene un material radiactivo y esta afectando a una poblacion debacterias haciendolas mutar, y con ello se altera un ciclo de vida para plantas


y animales que ah habitan. El material radiactivo tiene una constante de de-caimiento de 4/da, y su actividad al tiempo que la descubrieron era de 50mr(mili-roentgen). Se sabe que las bacterias dejan de mutar cuando la radiacion quereciben es menor a 10mr.

1. Cuanto tiempo debe transcurrir para que las bacterias dejen de mutar?(La actividad de la roca radioactiva se puede expresar como una funcion deltiempo f(t) = 50e4t).

2. Les conviene seguir considerando a esa region como cultivable? Justifiquesu respuesta.

3. Encuentre el dominio e imagen de f(t) y f1(t).Solucion de 2.66:

1. Dado que las bacterias dejan de mutar cuando reciben menos de 10mr, portanto, la funcion que nos fue proporcionada la igualamos a esa cantidad.Entonces tenemos 10 = 50e4t. Por lo que tenemos que despejar al tiempode la ecuacion. As, utilizamos la funcion inversa, que es ln(t). Por lo tantot = 14 ln (15) 0.4023594781. La Figura 2.2 muestra la solucion que se obtu-vo.

2. Es conveniente seguir considerando la region cultivable, ya que el tiemponecesario para que las bacterias dejen de mutar es de 0.4023594781 dasque es aproximadamente 9.6566274744 hrs, por lo que, la region no que-dara danada.

3. Tomando a f(t) = 50e4t, tenemos que el dominio es Df = [0, ) y laimagen es Imf = (0, 50]. La funcion inversa de f esta dada por f1(t) =14 ln ( t50), entonces tenemos que el dominio Df1 = (0, 50] y la imagen esImf1 = [0, ).


Figura 2.1: Grafica g(f(x)) = 1.5 sin(x) para el Ejemplo 2.65.

Figura 2.2: Grafica f(t) = 50e4t para el Ejemplo 2.66.

Captulo 3

Espacios Vectoriales

Muchos conceptos comunes de la fsica, tales como la fuerza, la velocidad yaceleraciones, involucran una magnitud (el valor de la fuerza, velocidad o ace-leracion) y una direccion. Cualquier entidad que involucre magnitud y direcciones comunmente llamada vector, y en su mayora estan representadas por flechas.[Har04]

Pero veremos que en ocasiones no se representaran como flechas, esto dependemucho del conjunto que se este considerando. Con base en lo anterior surge laidea de espacio vectorial.

3.1. Definiciones basicas

En todas las definiciones, trataremos con conjuntos que son distintos del vaco,y le daremos operaciones binarias que se pueden tomar como funciones del pro-ducto cartesiano sobre el mismo conjunto.

Definicion 3.1 (Espacio vectorial, vectores). Sea V con la suma (denotadapor +) definida como + V V V con +(u,v) = u + v y una multiplicacionescalar (denotada por ) definida como R V V con (c,u) = cu donde ces un numero real. Diremos que V es un espacio vectorial sobre R (denotado por(V,+, )) si se cumple lo siguiente:

Para todo u, v y w vectores en V , a y b ecalares en R

1. Si u, v V , entonces u + v V (cerradura de la suma).2. Si u V y c R, entonces cu V (cerradura de la multiplicacion escalar).3. u + v = v +u (conmutatividad).4. (u + v) +w = u + (v +w) (asociatividad de la suma).

35

36 CAPITULO 3. ESPACIOS VECTORIALES

5. Existe un elemento en V , denotado 0, tal que u + 0 = 0 + u = u (neutroaditivo).

6. Existe un elemento en V , denotado u, tal que u + (u) = (u) + u = 0(inverso aditivo).

7. (a + b)u = au + au (distributividad).8. a(u + v) = au + av (distributividad).9. (ab)u = a(bu) (asociatividad del producto).

10. 1u = u.A los elementos de V les llamaremos vectores, y a los elementos que estan en Rles llamaremos escalares.

Para mostrar que un conjunto con dos operaciones es un espacio vectorial,necesitamos conocer como estan dadas las operaciones, es decir, su regla de co-rrespondencia.

Ejemplo 3.2. Sea S = {0, 1}, y sea la suma y la multiplicacion escalar la de losnumeros reales. Surgen las preguntas es la suma es cerrada? es la multiplicacionescalar cerrada?

Solucion de 3.2: Para ver si la suma es cerrada en el conjunto S, consideramostodos los posibles casos que son: 0+ 0 = 0, 0+ 1 = 1 y 1+ 1 = 2. Ya que 1+ 1 = 2 noes un elemento de S, entonces la suma no es cerrada en S.

Para determinar si la multiplicacion escalar es cerrada, con la misma idea quecon la suma, tomamos los casos posibles que son: 0 0 = 0, 0 1 = 0 y 1 1 = 1. Porlo tanto la multiplicacion escalar es cerrada en S.

Con el paso del captulo, veremos mas ejemplos de espacios vectoriales. Enotros captulos, como el de matrices o sistemas de ecuaciones, veremos que esosobjetos son tambien un espacio sobre los numeros reales. Mientras consideremosotros que son clasicos en matematicas.

Ejemplo 3.3. Sea V = {0}, el cual consta solo del numero real cero. V es unespacio vectorial bajo las operaciones comunes de los numeros reales como lasuma y la multiplicacion. Al conjunto V se le llama el espacio vectorial trivial.

El siguiente ejemplo involucra el conjunto de todas las funciones que va delos numeros reales a los reales (ver [Mic93]), este conjunto es extremadamenteimportante en muchas areas de las matematicas, como por ejemplo, en el analisismatematico.

3.1. DEFINICIONES BASICAS 37

Ejemplo 3.4. Sea F el conjunto de todas las funciones que van de los reales alos reales, es decir, F = {f f R R}. Entonces F es un espacio vectorial sobrelos numeros reales.

Solucion de 3.4: Para mostrar que F es un espacio vectorial hay que utilizar laDefinicion 3.1

1. Hay que mostrar que la suma de funciones es cerrada. La suma de funcioneses la funcion definida como (f + g)(x) = f(x) + g(x) para todo x R.Sean f, g F . Entonces f + g F ya que para cualquier x R tenemos quef(x), g(x) R, por lo que f(x) + g(x) R, por lo que (f + g)(x) esta biendefinida.

2. Hay que mostrar que la multiplicacion escalar es cerrada. El producto deun real c por f F es la funcion definida como (cf)(x) = c[f(x)] para todox R.Sea f F . Entonces cf F ya que para cualquier x R tenemos quef(x) R, por lo que c[f(x)] R, por lo que (cf)(x) esta bien definida.

3. Ahora hay que mostrar que para cualquier f y g F tenemos que f+g = g+f .Sea x R. Tomando la definicion de la suma de funciones, tenemos quef(x) + g(x) = g(x) + f(x), ya que f(x), g(x) R, y los numeros reales sonconmutativos, por lo tanto f + g = g + f .

4. Ahora debemos mostrar la asociatividad de la suma, es decir, para cualquierf , g y h F tenemos que (f + g) + h = f + (g + h).Sea x R. Tomando la definicion de la suma de funciones, tenemos que; porun lado [(f + g) + h](x) = (f + g)(x) + h(x) = [f(x) + g(x)] + h(x), por elotro [f +(g+h)](x) = f(x)+(g+h)(x) = f(x)+ [g(x)+h(x)], ademas comof(x), g(x) y h(x) R, y los numeros reales son asociativos, por lo tanto(f + g) + h = f + (g + h).

5. Debemos mostrar que existe una funcion f F tal que f +g = g = f +g; paraalguna g F .Proponemos que la funcion f sea la funcion cero, 0; es decir, f(x) = 0(x) = 0,para toda x R, ademas 0(x) R. Por lo tanto para cualquier funcion g Ftenemos que (0 + g)(x) = 0(x) + g(x) = g(x) = g(x) + 0(x) = (g + 0)(x).

6. Aqu hay que mostrar que existe una funcion f F tal que g + f = 0 = f + g;para alguna g F , donde 0(x) = 0 en los numeros reales.


Proponemos que la funcion f sea la funcion g; definida como g(x) =[g(x)], para toda x R, ademas [g(x)] R. Por lo tanto para cualquierfuncion g F tenemos que [g+(g)](x) = g(x)g(x) = 0(x) = g(x)+g(x) =[g + g](x).

7. Ahora hay que mostrar una de las dos propiedades de la distributividad, esdecir, para a y b R, y para f F se tiene que (a + b)f = af + bf .Sea x R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalar, tenemos que[(a+b)f](x) = (a+b)f(x), ademas f(x) R y como los numeros reales tienela propiedad distributiva, entonces (a+ b)f(x) = af(x)+ bf(x). Por lo tanto(a + b)f = af + bf .

8. Ahora hay que mostrar la otra propiedad de la distributividad, es decir, paraa R, y para f y g F se tiene que a(f + g) = af + ag.Sea x R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalar, tenemos que[a(f + g)](x) = a[(f + g)(x)], ahora aplicando la definicion de la suma defunciones tenemos, a[(f + g)(x)] = a[f(x) + g(x)], como f(x) y g(x) R ylos numeros reales tiene la propiedad distributiva, entonces a[f(x)+g(x)] =af(x) + ag(x). Por lo tanto a(f + g) = af + ag.

9. Casi para terminar, hay que mostrar la asociatividad de la multiplicacionescalar, es decir, para a y b R, y para f F se tiene que (ab)f = a(bf).Sea x R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalar, tenemosque [(ab)f](x) = (ab)f(x) y como f(x) R, y como los numeros reales sonasociativos con el producto, entonces (ab)f(x) = a(bf(x)) = [a(bf)](x). Porlo tanto (ab)f = a(bf).

10. Para terminar, hay que mostrar que para cualquier f F y para 1 R setiene que 1f = f .Sea x R. Utilizando la definicion de la multiplicacion escalas, tenemosque (1f)(x) = 1f(x) y como f(x) R entonces 1f(x) = f(x). Por lo tanto1f = f .

Por lo tanto (F,+, ) es un espacio vectorial sobre R.Ejemplo 3.5. Sea el C[0, 1] el conjunto de todas las funciones continuas1 defi-nidas en el intervalo cerrado [0,1]. Entonces C[0, 1] es un espacio vectorial. Lademostracion es practicamente la misma que en el ejemplo anterior.

1La continuidad de una funcion, puede pensarse como la grafica de f en el plano cartesianoque no tiene hoyos. Se puede ver la definicion forma de continuidad en [Mic93].

3.1. DEFINICIONES BASICAS 39

Ejemplo 3.6. Sea V = {x x = (x,x2), x R}. Es V un espacio vectorial con lasuma de dos elementos de V como un elemento de la forma (x + y, x2 + y2) y lamultiplicacion escalar de un elemento de R con uno de V es un elemento de laforma (ax, ax2)?Solucion de 3.6:

1. La suma definida en V no es cerrada, ya que para cualesquiera x = (x, x2)y y = (y, y2) en V , el elemento x + y = (x + y, x2 + y2) no esta en V porque(x + y)2 x2 + y2.

2. La multiplicacion escalar definida en V no es cerrada, ya que para cualquierx = (x, x2) en V y a R, el elemento ax = (ax, ax2) no esta en V porque(ax)2 ax2.

3. La suma es conmutativa porque para cualesquiera x = (x, x2) y y = (y, y2)en V , tenemos que (x + y, x2 + y2) = (y + x, y2 + x2), ya que x y y R.

4. La suma es asociativa porque para cualesquiera x = (x, x2), y = (y, y2) y z =(z, z2) en V , tenemos que (x+[y+z], x2+[y2+z2]) = ([x+y]+z, [x2+y2]+z2),ya que x, y y z R.

5. El elemento neutro aditivo esta en V , el cual es 0 = (0, 0).6. El elemento inverso aditivo no esta en V , porque x debera ser (x, x2),

pero (x)2 x2.7. La primera de las dos propiedades distributivas se cumple, porque para

cualquier x = (x, x2) en V y para a y b R tenemos que ([a+b]x, [a+b]x2) =(ax + bx, ax2 + bx2) = (ax, ax2) + (bx, bx2).8. La otra de las propiedades distributivas se cumple, porque para cualesquierax y y en V y para a R tenemos que (a[x + y], a[x2 + y2]) = (ax + ay, ax2 +ay2) = (ax, ax2) + (ay, ay2).

9. La asociatividad de la multiplicacion escalar se cumple, porque para cual-quier x en V y a y b R tenemos que ([ab]x, [ab]x2) = (a[bx], a[bx2]), porla asociatividad de los numeros reales.

10. Por ultimo, 1x = x para cualquier x = (x, x2) en V , porque 1x = x y 1x2 = x2.Pero como la suma y la multiplicacion escalar definida en V no es cerrada entonces(V, +, ) no es un espacio vectorial.


Antes de seguir viendo ejemplos de espacios vectoriales, enunciemos un teoremaque nos dara algunas propiedades elementales de los vectores.

Teorema 3.7. Sea v V un espacio vectorial y Sea c R. Entonces:a) 0u = 0.b) c0 = 0.

c) Si cu = 0, entonces c = 0 o u = 0.d) (1)u = u.

Demostracion. Sea u V un espacio vectorial y c R.a) Por el inciso 7 de la Definicion 3.1 tenemos que 0u + 0u = (0 + 0)u = 0u. Como

0u tiene inverso aditivo, 0u, entonces 0u + (0u + (0u)) = (0 + 0)u + (0u) =0u + (0u) = 0. Por lo tanto 0u = 0.

b) Por el inciso 8 de la Definicion 3.1 tenemos que c0 = c(0 + 0) = c0 + c0. Comoc0 tiene inverso aditivo, entonces c0 + (c0) = c0 + (c0 + (c0)) = 0.

c) Sea c R y sea u V . Supongamos que cu = 0. Si c = 0 ya no hay nada quedemostrar porque se reduce al inciso anterior, por lo que supongamos que c 0.Por demostrar que u = 0.Por el inciso 10 de la Definicion 3.1 y por el inciso a), tenemos que

u = 1u = (c1c)u = (1

c) (cu) = (1

c)0 = 0.

Por lo tanto u = 0.d) Ahora por el inciso 10 de la Definicion 3.1 tenemos que 1u = u, entonces

u + (1u) = 1u + (1u) = (1 + (1))u = 0u = 0. Por lo tanto (1)u es el inversode u. Supongamos que v es un inverso de u. Entonces u + v = u + (1)u = 0.Agregando v en ambos lados, tenemos que (v+u)+v = (v+u)+(1)u; es decir,0+ v = 0+ (1)u, por lo tanto v = (1)u. Por lo tanto, (1)u es el inverso de uy (1)u = u.Para aplicar el teorema anterior veamos un ejemplo.

Ejemplo 3.8. Sea u un vector en el espacio vectorial V , y sean a, b R. Demuestreque si au = bu con u 0, entonces a = b.

3.2. SUBESPACIO VECTORIALES 41

Solucion de 3.8: Sean u V un espacio vectorial, y sean a, b R. Supongamos queau = bu con u 0. Por el inciso 6 de la Definicion 3.1, el elemento bu tiene inversoaditivo bu. Tenemos au + (bu) = au + (1)bu = au + (b)u, por el inciso 8, elinciso d) del Teorema 3.7, tenemos (a + (b))u = (a b)u. Ahora, agregamos bua ambos lados de la ecuacion au = bu nos da au+ (bu) = (a b)u = bu+ (bu) = 0.Por lo tanto (a b)u = 0 y como u 0 entonces (a b) = 0. Por lo tanto a = b.Ejercicios

1. Demuestre que C[0, 1] definido en el Ejemplo 3.5 es un espacio vectorial.2. Sea V = {0}. Demuestre que V es un espacio vectorial con la multiplicacion

escalar y suma definida como los numeros reales.

3. Existen espacios vectoriales sobre R con exactamente dos y tres elementos?

4. Demuestre que R2 es un espacio vectorial sobre R. Con la suma definida como(a1, a2) + (b1, b2) = (a1 + b1, a2 + b2), y la multiplicacion escalar (a1, a2) =(a1, a2).3.2. Subespacio vectoriales

El concepto de espacio vectorial esta aplicado a conjuntos, pero en los conjuntostenemos subconjuntos. Entonces que sucedera con el concepto de espacio vectorialsi se aplica a un subconjunto? Bueno, surgira el concepto de subespacio vectorialy desarrollaremos toda la teora sobre el en esta seccion. Tambien veremos queen la mayora de los caso, es conveniente mostrar que un conjunto V distinto delvaco es un subespacio en lugar de mostrar que es un espacio vectorial.

Definicion 3.9 (Subespacio vectorial). Sea V un espacio vectorial. Sea S Vcon S . Decimos que S es un subespacio vectorial de V , si bajo las mismasoperaciones de V , S es un espacio vectorial.

Antes de considerar unos ejemplos de subespacios vectoriales, unas observa-ciones simplificaran el trabajo, ya que son muchas propiedades a demostrar paraun espacio vectorial. As, tenemos el siguiente teorema y en la demostracion delmismo, solo mostraremos las propiedades 5 y 6, ya que si u + v pertenecen a S,entonces, ya que u+v = v+u estan en V entonces u+v representan el mismo vectoren S, es decir, se cumple la propiedad 3. Por lo que, de manera similar, podemos


ver que u+ (v+w) = (u+v)+w en S, se cumple la propiedad 4 y de 7 a la 10. Porlo que en realidad solo habra que mostrar cuatro de las diez propiedades; que sonla 1, 2, 5 y 6.

Teorema 3.10. Sea V un espacio vectorial sobre R y S V con S . EntoncesS es un subespacio de V si y solo si se cumplen las siguientes condiciones:

a) 0 S.b) Si u y v S, entonces u + v S. c) Si c R y u S, entonces cu S.Demostracion. Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S V con S .) Sea S un subespacio de V . Como S es un subespacio de V , entonces secumplen las diez propiedades de la Definicion 3.1, por lo que las condiciones a),b) y c) quedan demostradas.) Supongamos que cualquier u, v S y c R se cumplen las condiciones a),b) y c). Como ya lo habamos notado, necesitamos solo mostrar la propiedad 6,ya que la 1, 2 y 5 son nuestra hipotesis.

P6. Por demostrar que para cada u S, existe un elemento u S tal queu + (u) = 0.Sea u S. Entonces (1)u S por c). Pero por el Teorema 3.7 tenemos que(1)u = u. Por lo tanto, u S y por b) tenemos que u + (u) = 0 conu + (u) S.

Por lo tanto S es un subespacio vectorial de V .

Ejemplo 3.11. Cualquier espacio vectorial V , es un subespacio de s mismo y elconjunto {0} es tambien un subespacio de V . Pero estos subespacios no son muyinteresantes.

Definicion 3.12 (Subespacio vectorial propio). Sea S un subespacio vectorial deV . Decimos que S es un subespacio propio si S V y S {0}.

Ahora veamos unos ejemplos de espacios vectoriales propios.

Ejemplo 3.13. Sea V = R2 y S = {x x = (x, nx) con x R y para algun n Z}.Es S un subespacio vectorial de V bajo las operaciones definidas en el ejercicio4 de la seccion anterior?

Solucion de 3.13: Para mostrar que S es un subespacio vectorial utilizaremos elTeorema 3.10.

a) El 0 S, ya que 0 = (0, 0) = (0, n0) para alguna n Z.

3.2. SUBESPACIO VECTORIALES 43

b) Sean x y y S. Por demostrar que x + y S.Sean x = (x, nx) y y = (y, ny) para alguna n Z, entonces x + y = (x + y, nx +ny) = (x + y, n[x + y]) con x + y R, por lo que x + y S.

c) Sea x S y a R. Por demostrar que ax S.Sea x = (x, nx) para alguna n Z, entonces ax = (ax, anx) = (ax, n[ax]) conax R, por lo que ax S.Por lo tanto S es un subespacio vectorial de V .

Ejemplo 3.14. Sea D[0, 1] el conjunto de todas las funciones que son derivable enel intervalo [0, 1]. Como sabemos, toda funcion que es derivable es continua (ver[Mic93]), por lo que D[0, 1] C[0, 1]. Demostrar que D[0, 1] es un subespaciode C[0, 1].Solucion de 3.14: Sea x [0, 1]. El conjunto D[0, 1] no es vaco, ya que 0(x) = 0esta en el.

Sean f(x), g(x) D[0, 1]. Debemos mostrar que f(x)+g(x) y cf(x) pertene-cen a D[0, 1] para algun c R.

Como sabemos, [f(x)+g(x)] = f (x)+g(x) y [cf(x)] = cf (x) (ver [Mic93])donde la coma (prima) denota la derivada de una funcion. Vemos que, tantof(x) + g(x) como cf(x) son derivables, entonces f(x) + g(x), cf(x) D[0, 1].

Por lo tanto D[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].Ejemplo 3.15. Sea I[0, 1] el conjunto de todas funciones f C[0, 1] tales que 10f(x)dx = 0. Demuestre que I[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].

Solucion de 3.15: Sea x [0, 1]. Si f es continua, entonces 10f(x)dx existe.

Por lo tanto, I[0, 1] es un subconjunto de C[0, 1]. Ademas, I[0, 1] no es vaco,ya que y = f(x) = 2x 1 I[0, 1].

Primero, 0 I[0, 1] ya que 10

0(x)dx = 10

0dx = 0.Ahora, sean f(x) y g(x) I[0, 1] y sea c R. Entonces 1

0f(x)dx = 1

0g(x) = 0.

Como sabemos, 10

[f(x) + g(x)]dx = 10f(x)dx + 1

0g(x) = 0 + 0 = 0 y

tambien 10cf(x)dx = c 1

0f(x)dx = c0 = 0 (ver [Mic93]). Vemos que, tanto

f(x) + g(x), cf(x) I[0, 1]. Por lo tanto I[0, 1] es un subespacio de C[0, 1].


Ejercicios

1. El conjunto de todas las funciones f(x) C[0, 1] tal que 10f(x)dx = 1

es un subespacio de C[0, 1]? Justifique su respuesta.3.3. Generadores

En ocasiones nos podemos encontrar preguntas como cual es espacio o subes-pacio vectorial mas pequeno, en cuestion del numero de elementos, sin considerarel V = {0}? Para ello podremos considerar los que estan formados por un ciertoconjunto y escribir al resto en funcion del conjunto. Para ello tenemos la siguientedefinicion.

Definicion 3.16 (Combinacion lineal). Sean u1, . . . , un vectores del espacio vec-torial V sobre R y c1, . . . , cn escalares, donde n N. Una combinacion linea delos vectores ui y los escalares ci tiene la forma c1u1 + + cnun.Ejemplo 3.17. Sean f(x) = x2 + 1, g(x) = 4x 3 y h(x) = 2x2 + 4x 1, y paracualquier c1, c2 R, tenemos que h(x) = c1f(x) + c2g(x); es decir, h(x) es unacombinacion lineal de los vectores f(x) y g(x) del espacio vectorial C[0, 1]; y eneste caso c1 = 2 y c2 = 1.Definicion 3.18 (El espacio generado). Sean u1, . . . , un vectores del espacio vec-torial V . Diremos que el espacio generado por ui (denotado por S{u1, . . . , un})es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores ui.

As, por definicion, todo miembro del conjunto S{u1, . . . , un} se puede escribircomo una combinacion lineal de los vectores ui y escalares ci R.

Antes de considerar algunos ejemplos mas, mostraremos que si u1, . . . , , un sonvectores de un espacio vectorial V , entonces S{ui} es un subespacio de V .Teorema 3.19. Sea {u1, . . . , un} un conjunto de vectores de V , con V unespacio vectorial. Entonces

a) S{u1, . . . , un} es un subespacio de V , yb) S{u1, . . . , un} es el subespacio vectorial con al menos n + 1 elementos de V

que contiene a u1, . . . , un.

Demostracion. Sean ui V , con V un espacio vectorial sobre R. S{u1, . . . , un}no es vaco, ya que cada ui esta en el conjunto; es decir, como 1 ui = ui entoncescada ui pertenece a S{u1, . . . , un}, por definicion.

3.3. GENERADORES 45

a) El vector 0 pertenece a S{u1, . . . , un} porque por el Teorema 3.7 inciso a)tenemos que 0 = 0 u1 + + 0 un, es decir, 0 es una combinacion lineal de losvectores ui.

Por demostrar, si u, v S{u1, . . . , un}, entonces u + v S{u1, . . . , un}.Sean u, v S{u1, . . . , un}, entonces por definicion u = a1u1 + + anun y v =b1u1++bnun. Sumando ambos vectores tenemos u+v = (a1+b1)u1++(an+bn)un. Por lo que u + v es una combinacion lineal de u1, . . . , un. Por lo tantou + v S{u1, . . . , un}.Ahora, por demostrar que, si u S{u1, . . . , un} y c R, entonces cu S{u1, . . . ,un}.Sea u S{u1, . . . , un} y sea c R, entonces por definicion, u = a1u1 + +anun. Multiplicando tenemos que cu = c(a1u1 + + anun) = (ca1)u1 + +(can)un. Por lo que cu es una combinacion lineal de u1, . . . , un. Por lo tantocu S{u1, . . . , un}. Por lo tanto S{u1, . . . , un} es un espacio vectorial.

b) Ahora vamos a mostrar que S{u1, . . . , un} es el subespacio con al menos n+ 1elementos de V .

Podemos ver que S{u1, . . . , un} contiene a los vectores 0 y ui para todo i {1, . . . , n}. Sea U un espacio vectorial que contiene a ui. Como U es cerradobajo la suma y multiplicacion escalar, U contienen a todas las combinacioneslineales a1u1 + + anun de ui.Por lo tanto S{u1, . . . , un} U . As S{u1, . . . , un} es el subespacio con almenos n + 1 elementos de V .

Por lo tanto se cumple el teorema.

Ejemplo 3.20. Sea f(x) = x2 + 1 y g(x) = 4x 3. Entonces S{f(x), g(x)} ={h(x) h(x) = ax2 + bx+ c; a, b, c R}, que es el espacio generado por las funcionesf(x) y g(x) C[0, 1].Ejemplo 3.21. Sea h(x) = 12x + 3 C[0, 1]. Determinar si h(x) esta o no enS{f(x), g(x)} donde f(x) = 2x2 1 y g(x) = x2 + 2x + 1 C[0, 1].Solucion de 3.21: Para determinar si h(x) S{f(x), g(x)} debemos determinarsi existen escalares a, b R tales que 12x + 3 = a(2x2 1) + b(x2 + 2x + 1).

Pero esto es equivalente a

12x + 3 = (2a b)x2 + 2bx + (a + b).


Igualando los terminos del mismo grado, tenemos que

2a b = 02b = 12a + b = 3

As, tenemos que b = 6 y a = 3. Por lo tanto h(x) = 3f(x) + 6g(x).Ejercicios

1. Exprese las siguientes funciones como una combinacion lineal de f(x) =x2 3x + 1, g(x) = 3x2 5

a) h1(x) = 4x2 7x 2,b) h2(x) = 4x + 11, c) h3(x) = 18x

2 8x 8,d) h4(x) = 19x2 + 5x 10.

2. Sean U y V dos subespacios del espacio vectorial W , tales que U V .Demuestre que U V es un subespacio vectorial de W .

3. Demuestre que S = {(1, 0), (0, 1)} es un generador para R2.3.4. Bases y Dimensiones

Los conceptos de independencia y dependencia lineal, as como las de base ydimension, son tan importantes para cualquier espacio vectorial. As, desarrolla-remos la teora de estos conceptos, pero primero veamos la definicion de indepen-dencia lineal.

Definicion 3.22 (Linealmente independientes). Sea B = {u1, . . . , un} un con-junto de vectores del espacio vectorial V sobre R. Diremos que el conjunto B es li-nealmente independiente, si c1u1++cnun = 0, se tiene que c1 = = cn = 0 R.

Si el conjunto B de la Definicion 3.22 no es linealmente independiente, es decir,si existe ci 0, entonces diremos que el conjunto es linealmente dependiente.Ejemplo 3.23. Consideremos las funciones descritas en el Ejemplo 3.20. Lascuales son f(x) = x2+1 y g(x) = 4x3 C[0, 1]. Demostremos que son linealmenteindependiente.

3.4. BASES Y DIMENSIONES 47

Solucion de 3.23: Sea la funcion cero h(x) = 0. Sean a, b R. Entonces porla Definicion 3.22, tenemos af(x) + bg(x) = 0, entonces desarrollando tenemos(a)x2 + (4b)x + (a 3b) = 0. A h(x) se puede ver como h(x) = 0x2 + 0x + 0, por loque obtenemos

a =04b =0

a 3b =0Por lo tanto a = b = 0. As el conjunto f(x) y g(x) es linealmenteindependiente.

Ejemplo 3.24. Sea B = {a = (1, 0), b = (0, 1), c = (2, 3)}. Es claro que, si(0, 0) = a + b + c entonces, = 2, = 3 y = 1. Por lo tanto B eslinealm

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