Notas Clase 4

1.4. CLASES DE CONJUGACION, CENTRALIZADOR, NORMALIZADOR. ECUACION DE CLASES25

1.4. Clases de Conjugacion, Centralizador, Normalizador.

Ecuacion de Clases

Definicion 1.4.1. Sea G un grupo, x, g ∈ G y ∅ 6= X ⊆ G.

(a) xg = g−1xg es el elemento conjugado de x por g.

(b) Xg = {xg / x ∈ X} es el conjunto conjugado de X por g.

Observacion 1.4.2. Sea G un grupo. Para x, y, g, h ∈ G y ∅ 6=X, Y ⊆ G valen:

(i) xgh = (xg)h y (xy)g = xgyg.

(ii) Xgh = (Xg)h y (XY )g = XgY g y (X−1)g = (Xg)−1.

Definicion 1.4.3. Sean G un grupo y ∅ 6= X ⊆ G y H ≤ G.

(a) NH(X) = {g ∈ H / Xg = X} se llama el normalizador de X en H.

(b) CH(X) = {g ∈ H / xg = x ∀ x ∈ X} se llama el centralizador de

X en H.

Particularmente, si H = G tendremos NG(X) es el normalizador y

CG(X) es el centralizador de X en G y si X = G, entonces

CG(G) = Z(G) es el centro de G.

A partir de la definicion se tiene que

NH(X) = H ∩NG(X) y CH(X) = H ∩CG(X)

26 1. DEFINICIONES BASICAS: GRUPOS, SUBGRUPOS, EJEMPLOS

Observacion 1.4.4. Sea G un grupo, H ≤ G, g ∈ G. Entonces

(1) Hg ≤ G.

(2) NG(Hg) = (NG(H))g y CG(Hg) = (CG(H))g.

Demostracion. Ejercicio. �

Definicion 1.4.5. Sea G un grupo. Un subconjunto ∅ 6= X ⊆ G se

dice

(a) normal en G si y solamente si NG(X) = G.

(b) central en G si y solmante si CG(X) = G.

Observacion 1.4.6. Sea G un grupo. Para ∅ 6= X ⊆ G y H ≤ G

son equivalentes:

1. H ⊆ NG(X)

2. Xg = X para todo g ∈ H

3. Xg = gX para todo g ∈ H

4. Xg ⊆ X para todo g ∈ H

5. Xg ⊆ gX para todo g ∈ H

Demostracion. Las equivalencias en la observacion son evidentes. A

modo de ejemplo, probemos una de ellas.

Si Xg ⊆ X fuera verdad para todo g ∈ H, podemos sustituir g por

g−1 y vemos que Xg−1 ⊆ X. Concluımos X ⊆ Xg y finalmente Xg = X

para todo g ∈ H. �


Ejemplo 1.4.7. ( Cuidado)

Para ∅ 6= X ⊆ G y | X | = ∞, es posible que para algun g ∈ G

individual se tenga g 6∈ NG(X), pero Xg � X.

Como ejemplo consideremos el grupo simetrico sobre los numeros reales

G = SR y para todo n ∈ Z la permutacion cn ∈ G definida por

xcn = x+ n para todo x ∈ R. Considere el subgrupo de G dado por

X = {cn / n ∈ Z} ∼= (Z,+)

Sea g ∈ G definida como xg = 2x ∀ x ∈ R. Entonces g−1 es la

permutacion

xg−1 =1

2x ∀ x ∈ R y vale

g−1cng : x→ x+ 2n ∀ x ∈ R

por lo tanto

Xg = {cgn | n ∈ Z} = {c2n | n ∈ Z} � X

Observamos que claramente Xg−1 6⊆ X.

Proposicion 1.4.8. Sea G un grupo. Para ∅ 6= X ⊆ G y H ≤ G valen:

1. NH(X) = NH(X−1) y CH(X) = CH(X−1).

2. H ∩X ⊆ NH(X), para X ≤ G.

3. CH(X) ≤ NH(X) ≤ H.

Demostracion. (1) y (2) las dejamos como ejercicio.

(3) Es claro que 1 ∈ CH(X) ⊆ NH(X). Para g, h ∈ CH(X) tenemos

xgh−1

= (xg)h−1

= xh−1

= x ∀ x ∈ X. Por lo tanto gh−1 ∈ CH(X).


Para g, h ∈ NH(X) tenemos Xgh−1

= (Xg)h−1

= Xh−1

= X. Por lo tanto

gh−1 ∈ NH(X). Luego, CH(X) y NH(X) son subgrupos de H. �

Definicion 1.4.9. Sea G un grupo. Sean ∅ 6= X ⊆ G y H ≤ G.

{Xg | g ∈ H}, el conjunto de los conjugados de X por los elementos de H

se llama la clase de conjugacion de X bajo H. Particularmente para

X = {x} y H = G, tenemos que xG = {xg / g ∈ G} es la clase de

conjugacion del elemento x por G.

Proposicion 1.4.10. Sea G un grupo. Sean ∅ 6= X ⊆ G y H ≤ G.

Entre {Xg | g ∈ H}, la clase de conjugacion de X bajo H y

H : NH(X) = {NH(X)g / g ∈ H}, el conjunto de las clases laterales (

a la derecha) de NH(X) en H, existe una correspondencia biunıvoca.

Particularmente, si |H : NH(X) | es finito, entonces este ındice indica

la cantidad de los conjugados distintos de X bajo H.

Demostracion. A cada Xg con g ∈ H le podemos asociar NH(X)g.

Esto nos da una aplicacion biyectiva entre los dos conjuntos indicados:

Para cualesquiera g1, g2 ∈ H tenemos

Xg1 = Xg2 ⇐⇒ Xg1g−12 = X ⇐⇒ g1g

−12 ∈ NH(X) ⇐⇒

⇐⇒ g1 ∈ NH(X)g2 ⇐⇒ NH(X)g1 = NH(X)g2 .

�

Corolario 1.4.11. Sea G un grupo. Si X = {x} es un conjunto

unitario y H ≤ G, entonces como CH(x) = NH(x) en este caso,

tenemos que existe una correspondencia biunıvoca entre

xH = {xg | g ∈ H} y H : CH(x) = {CH(x)g | g ∈ H} .

Por lo tanto: La cardinalidad de la clase de conjugacion xH del elemento

x ∈ G bajo el subgrupo H de G es dado por el ındice |H : CH(x) | .


Particularmente: | xH | es finito ⇐⇒ |H : CH(x) | es finito.

Corolario 1.4.12. Sea G un grupo y H ≤ G un subgrupo de ındice

|G : H | finito. Entonces ∣∣∣∣∣∣G :⋂g∈G

Hg

∣∣∣∣∣∣ <∞.

Demostracion. Tenemos H ≤ NG(H) y por lo tanto tambien r =

| G : NG(H) | = | {Hg | g ∈ G} | es finito. Sean g1, g2, . . . , gr ∈ G

tales que Hg1, Hg2, . . . , Hgr sean los conjugados distintos de H en G.

Entonces ∣∣∣∣∣∣G :⋂g∈G

Hg

∣∣∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣G :r⋂i=1

Hgi

∣∣∣∣∣ <∞�

Proposicion 1.4.13. Sea G un grupo. Entonces

1. Para cada par de elementos x, y ∈ G la relacion

x ∼ y si y solo si existe g ∈ G tal que y = g−1xg (y es conjugado de x)

es una relacion de equivalencia en G.

2. Se tiene que xG = {x} si y solo si x ∈ Z(G) si y solo si G = CG(x).

3. Si |G| <∞ y x1 = 1, x2, ..., xn ∈ G es un conjunto de representantes

de las distintas clases de conjugacion de elementos de G, entonces

|G | =n∑i=1

|G : CG(xi)| = 1 +n∑i=2

|G : CG(xi)|.

llamada ecuacion de clases de G.


Demostracion. Evidente �

La siguiente proposicion es una importante propiedad de una clase especial

de grupos finitos.

Proposicion 1.4.14. Sea p un numero primo y sea G un grupo tal

que |G | = p n, para algun n ∈ N. Entonces Z(G) 6= 1.

Demostracion. Sean x1 = 1, x2, ..., xk ∈ G representantes de las

distintas clases de conjugacion de elementos de G. Se tiene que

|G | =k∑i=1

|G : CG(xi)| = 1 +k∑i=2

|G : CG(xi)|.

Desde que para cada i = 2, ..., k se tiene que | G : CG(xi)| = psi sigue

que

p n = 1 +k∑i=2

psi.

Luego, existe i ∈ {2, ..., k} tal que si = 0. Es decir |G : CG(xi)| = 1 o

equivalentemente xi ∈ Z(G). �

Ejercicios 1.4.15. Resolver los siguientes problemas

1. Considere el grupo de las aplicaciones afines sobre R

G = {fa,b | a, b ∈ R, a 6= 0}

Determinar los normalizadores de

K = {f1,b / b ∈ Z} y L = {f1,b / b ∈ Q}

.

2. Sean C = 〈c〉 un grupo cıclico de orden n ( 2 ≤ n ≤ ∞) y A = 〈a〉un grupo de orden 2.

En el producto cartesiano Dn = {(ck, am) / k, m ∈ Z} definamos


la multiplicacion por

(ck1, am1)(ck2, am2) = (ck1+(−1)m1k2, am1+m2)

para todo k1, k2,m1,m2 ∈ Z. Demuestre que:

a) Esta multiplicacion esta bien definida.

b) Dn es un grupo con esta multiplicacion.

Dn se llama el grupo diedral-n.

c) |Dn| ={

2n si n <∞∞ si n =∞

N = {(ck, 1) / k ∈ Z} es un subgrupo de Dn de ındice 2.

H = {(1, am) / m ∈ Z} es un subgrupo de Dn de orden 2.

Vale Dn = NH y N ∩H = {(1, 1)}.

d) Determine NDn(N).

3. Sea Dn el grupo diedral-n ( 2 ≤ n ≤ ∞). Pruebe que

a) Dn es abeliano si solo si n = 2.

b) Para 3 ≤ n ≤ ∞ tenemos que |Z(Dn)| ≤ 2 y vale |Z(Dn)| = 2

si solo si n es finito y par.

4. Sea Dn el grupo diedral-n ( 2 ≤ n ≤ ∞).

a) Determine los elementos de orden 2 de Dn.


b) Pruebe que para n impar todos los elementos de orden 2 (las

involuciones) de Dn son conjugados.

c) Pruebe que para n par, existen 3 clases de conjugacion de in-

voluciones en Dn.

d) Pruebe que en D∞ existen 2 clases de conjugacion de involuciones.

Notas Clase 4

Documents

Transcript of Notas Clase 4