Notas Curso Fisica Moderna 2013

1

BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA

DE PUEBLA

INSTITUTO DE CIENCIAS

CENTRO DE INVESTIGACIONES EN

DISPOSITIVOS SEMICONDUCTORES

Posgrado en Dispositivos Semiconductores

Curso Propedeútico de:

FISICA MODERNA

Notas sobre vectores, operaciones de simetría y estructuras cristalinas

Dr. A. David Hernández de la Luz

2

Contenido

I. TRANSFORMACIONES ORTOGONALES

I.1 VECTORES

I.1.1 Definición y suma de vectores

I.1.2 Componentes de un vector

I.1.3 Producto escalar y producto vectorial

I.1.4 Símbolo de Levi-Cevita y su aplicación en vectores

I.2 ROTACIÓN DE EJES ORTOGONALES

I.2.1 Relaciones de ortogonalidad de la matriz de transformación

I.2.2 Cantidades invariantes ante una rotación

I.3 TRANSFORMACIONES ORTOGONALES

I.3.1 Matrices ortogonales

I.3.2 Rotación y reflexión de un vector

I.4 SISTEMAS OBLICUOS

I.4.1 Transformaciones de sistemas ortogonales a sistemas oblicuos

I.4.2 Métrica del espacio oblicuo

I.4.3 Volumen de una celda unitaria en el espacio oblicuo real y

Recíproco.

II. OPERACIONES DE SIMETRÍA

II.1 Operaciones de simetría

II.1.2 Definiciones

II.1.3 Operación identidad, rotación, inversión y reflexión

3

II.1.4 Rotación-inversión, rotación-reflexión

II.1.5 Grupos de rotaciones propias

II.1.6 Proyección estereográfica y estereogramas

II.1.7 Los 32 grupos puntuales

II.1.8 Ejemplos de representación matricial para el caso del grupo de

Simetría del cuadrado plano

III. SISTEMAS CRISTALINOS

III.1 Concepto de red y estructura cristalina

III.2 Sistemas cristalinos

III.2.1 Triclínico

III.2.2 Monoclínico

III.2.3 Ortorrómbico

III.2.4 Tetragonal

III.2.5 Cúbico

III.2.6 Hexagonal y trigonal

III.3 Centros de red

III.3.1 Centro de red en el cuerpo (I)

III.3.2 Centro de red en la cara (F,A,B,C)

III.3.3 Centro de red (R)

III.3.4 Celdas primitivas en las redes I, F y C

III.4 Las 14 redes de Bravais

III.4.1 Sistemas cristalinos

III.4.2 Celdas primitivas

III.4.3 Redes en dos dimensiones

4

III.5 Grupos puntuales cristalográficos en cada sistema cristalino

III.6 Estructuras simples de empaquetamiento compacto

III.7 Índices de Miller

III.8 Relación entre la densidad del material y la constante de red

III.9 Densidad de átomos en los planos cristalinos

Bibliografía

Básica

1. Mathematical Methods in the Physical Sciences, 3th Edit. Mary L. Boas,

John Wiley & Sons (2006)

2. Space group for Solid State Scientists, 2nd Edit., Gerald Burns and A.M.

Glazer, Academic Press (1990).

3. Introduction to Solid State Physics, 6th

Edit, C. Kittel (1986).

Complementaria

Mathematical Methods for Physics, 4th

Edit., George B. Arfken, Hans J.

Weber, Academic (1995).

5

Capítulo I. ALGEBRA VECTORIAL

I.1 Suma de vectores

En forma elemental, un vector se define como una cantidad que posee: magnitud y

dirección y se denota por A ; su representación geométrica es la siguiente, figura 1

Figura 1. Forma geométrica de un vector

el ángulo determina la dirección del vector, la magnitud determina su tamaño denotada

comúnmente como A siendo esta cantidad un escalar. Un escalar (un número) se define

como: una cantidad que tiene un módulo (un valor) pero no dirección.

Para todo vector A existe su negativo u opuesto denotado por A .

Figura 2. El inverso de un vector A .

Ambos vectores tiene igual magnitud: A A .

Operación básica. La suma o adición entre vectores, definida por:

C A B . (1)

La suma obedece la regla del paralelogramo que ilustra la figura 3, donde

6

C A B B A . (2)

Figura 3. Regla del paralelogramo

para la suma de vectores.

La ecuación (2) define la propiedad conmutativa en la suma de vectores. Para la suma de

tres vectores, tenemos:

D A B C . (3)

Si sumamos A B E , entonces

D E C . (4)

o también, si sumamos:

F B C , (5)

de modo que

D A F , (6)

por consiguiente,

( ) ( )A B C A B C . (7)

La ecuación (7) es la propiedad llamada asociatividad. Geométricamente se puede

representar como se ilustra en la figura 4.

Con la suma de los vectores A y B y sus negativos A y B formamos otros vectores,

figura 5.

7

Figura 4. Asociatividad en la suma de vectores.

donde: A B A B , B A A B (magnitudes iguales). Con la regla del

paralelogramo, cualquier vector A se puede descomponer como la suma de sus

componentes a lo largo de un par de ejes arbitrarios en un plano, figura 6.

Figura 5. Suma de vectores y sus negativos.

Aquí, a bA A A

Figura 6. Componentes de un vector sobre

un par de ejes arbitrarios.

8

I.2 Componentes de un vector.

a) En un plano de ejes ortogonales X Y .

Figura 7. Componentes de un vector.

Los vectores ˆ ˆ,i j , son vectores unitarios tal que ˆ 1i y ˆ 1j . A lo largo de cada eje

tenemos las componentes ˆx xA A i , ˆ

y yA A j ; entonces

ˆ ˆ

x y x yA A A A i A j (8)

donde:

cosx

y

A A

A A sen

. (9)

La magnitud del vector se obtiene del teorema de Pitágoras,

2 2

x yA A A . (10)

El ángulo de dirección está determinado por

tany

x

A

A ó

1tany

x

A

A

. (11)

En general, podemos construir un vector unitario u , ˆ 1u para cualquier vector arbitrario

0V a través de

ˆV

uV

, (12)

9

donde geométricamente se puede ver como sigue:

Figura 8. Vector unitario formado con un vector arbitrario.

Obsérvese que para el vector A tenemos, con A A

ˆ ˆ ˆ ˆˆ cos

yxAAA

u i j i sen jA A A

, (13)

por lo que 2 2ˆ cos 1u sen .

b) En el espacio, en un sistema de ejes coordenados ortogonal ( , , )x y z de mano

derecha, tenemos

Figura 9. Vector en tres dimensiones.

ˆˆ ˆ

x y z x y zA A A A A i A j A k , (14)

donde

2 2 2

x y zA A A A A . (15)

10

Si definimos los ángulos de dirección 0 0, , 0 ,180 que hace A con respecto a los

ejes ,x y y z , como se muestra en la figura 10, podemos conocer las componentes del

Figura 10. Ángulos de dirección de un vector en el espacio.

del vector, las cuales son : cosxA A , cosyA A y coszA A donde a cos ,

cos y cos se les llama los cosenos directores de A . Así, tenemos que cos xA A ,

cos yA A y cos zA A de donde podemos conocer el ángulo respectivo , y .

Puesto que u A A , entonces

ˆˆ ˆˆ cos cos cosu i j k . (16)

Si 2 2 2ˆ cos cos cos 1u , entonces tenemos la relación

2 2 2cos cos cos 1 . (17)

En términos de las componentes de un vector A y B , expresamos

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x x y y z zA B C A B i A B j A B k , (18)

ˆˆ ˆ

x y zC C i C j C k , (19)

y,

2 2 2( ) ( ) ( )x x y y z zC C A B A B A B . (20)

c) Vectores de posición.

Si tenemos un punto en el espacio , ,x y z cuyo vector de posición lo expresamos como

11

ˆˆ ˆr xi yj zk , (21)

podemos calcular la distancia entre dos puntos 1 1 1( , , )x y z y

2 2 2( , , )x y z a través de la

suma vectorial, figura 11.

Figura 11. Vector entre dos puntos en el espacio.

Si 1 1 1 1

ˆˆ ˆr x i y j z k y 2 2 2 2

ˆˆ ˆr x i y j z k , entonces 2 1r r r y

1 2r r r , por lo tanto

1 2r r r ó 2 1r r r , cuya magnitud es r r donde

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x y y z z x x y y z z . (22)

I.3 Propiedades generales de los vectores.

Sean los vectores 1 2 3 1 2 3

ˆˆ ˆ( , , )X x x x x i x j x k ; 1 2 3 1 2 3

ˆˆ ˆ( , , )Y y y y y i y j y k y

además, los escalares reales ,a b . Las siguientes propiedades se satisfacen:

a) X Y equivale a: i ix y , con 1,2,3i .

b) X Y Z , equivale a i i ix y z , 1,2,3i .

c) 1 2 3 1 2 3

ˆˆ ˆ( , , )aX ax ax ax ax i ax j ax k

d) X significa 1 2 3( , , )X x x x

e) Vector nulo o cero: (0,0,0)O

f) Conmutatividad X Y Y X

g) Asociatividad ( ) ( )X Y Z X Y Z

h) Distributividad respecto a un escalar: ( )a X Y aX aY y ( )a b X aX bX

i) Asociatividad respecto a la multiplicación por un escalar: ( ) ( )ab X a bX

j) El vector nulo O y el negativo X de cualquier vector X son únicos.

12

I.4 EL PRODUCTO PUNTO O ESCALAR Y EL PRODUCTO VECTORIAL

a) El producto escalar. Dados los vectores A y B , se define el producto escalar “ ”

entre vectores a través de

cosA B A B , 00,180 , (23)

Figura 12. Producto escalar.

de donde se obtiene inmediatamente que A B B A (conmutatividad). En particular, 2cos0A A A A A por lo que su magnitud queda determinada por

A A A . (24)

Linealidad del producto escalar. Las siguientes propiedades se satisfacen en el producto

escalar,

( )A B C A B A C (distributividad) , (25 a)

( ) ( )A aB aA B aA B (asociatividad) , (25 b)

para todo escalar a . Geométricamente, la propiedad distributiva se interpreta como se

muestra en la figura 13,

13

Figura 13. Propiedad distributiva del producto punto.

donde ( ) cos cos cos

ob oa ab

A B C A B C A B A C .

En términos de las componentes cartesianas, el producto escalar es:

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )x y z x y zA B A i A j A k B i B j B k (26)

o equivalentemente,

x x y y z zA B A B A B A B , (27)

donde las componentes ,x yA A y zA son las proyecciones de A sobre los ejes ,x y y z

dadas por ˆ cosxA A i A , ˆ cosyA A j A y ˆ coszA A k A ; de igual forma

para las componentes ˆ cosxB B i B , ˆ cosyB B j B y ˆ coszB B k B

donde ( , , ) y ( , , ) son los ángulos de dirección de ambos vectores.

Así, podemos expresar el producto escalar en términos de las componentes,

3 3

1 1

i i i i

i i

A B A B B A B A

. (28)

En particular, si B A ,

3 32 2 2 2

1 1

i i i x y z

i i

A A A A A A A A

. (29)

Por otro lado, lo vectores unitarios ortogonales ˆˆ ˆ, ,i j k , figura 14, satisfacen las relaciones

Figura 14. Vectores unitarios en el sistema

de ejes cartesianos ortogonales.

14

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 0

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 1

i j j k k i

i i j j k k

. (30)

La ecuación (23) define el producto escalar geométricamente y la ecuación (28) algebrai-

camente.

Si 0A B , con 0A y 0B entonces cos 0 , por tanto 090 , esto significa que

A y B son perpendiculares u ortogonales. Si identificamos los vectores unitarios como

1 2ˆ ˆˆ ˆ,i e j e y

3ˆ ˆk e y utilizamos la expresión,

1,

0,ij

i j

i j

(31)

que define la delta de Kronecker ij , entonces

ˆ ˆi j ije e . (32)

Como para i j los vectores ie ’s son ortogonales y para i j satisfacen que ˆ 1íe se

dice que el conjunto de vectores 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e es ortonormal. Sean los vectores A y B con

el ángulo menor entre ellos y C A B , figura 15, así

2C C C A B A B A A A B B A B B ó

2 2 2 2 22 2 cosC A B A B A B AB . (33)

Figura 15. Ángulo interno y complementario entre dos vectores.

Si cos cos( ) cos cos cossen sen , entonces:

2 2 2 2 cosC A B AB . (34)

La ecuación (34) define la ley de los cosenos.

15

b) Producto vectorial o producto cruz.

Dados los vectores A y B , definimos el producto vectorial como:

ˆA B A B sen u , 00,180 (35)

con el ángulo menor entre ellos y u el vector unitario perpendicular al plano donde están

los vectores. Geométricamente visualizamos esta operación como se muestra en la figura

16. El producto vectorial es anticonmutativo,

A B B A , (36)

con A B B A . Consideremos los vectores ,A B y C tal que en el plano la magnitud

del vector B C determina el área del paralelogramo definido por ambos vectores, figura

Figura 16. Producto vectorial entre vectores.

17 (a). En (b) el volumen es ( )V A B C ah , con cosh A .

El producto vectorial tiene las siguientes propiedades:

a) Multiplicación por un escalar a : ( ) ( ) ( ) ( )a A B aA B A aB A B a .

b) Ley distributiva: ( )A B C A B A C .

Considere los vectores A y B con el ángulo menor entre ellos, figura 18.

Se satisface que C B A por tanto, 0 ( )C C C B A C B C A , de donde

C B C A ó C B C A así, C B sen C A sen , con ; por

consiguiente,

AB

sen sen , puesto que: cos cossen sen sen sen entonces

16

AB

sen sen . (37)

a)

b)

Figura 17. Volumen del paralelepípedo. a) Área de la base

a B C BCsen . b) volumen ( )V A B C ah .

Figura 18. Geometría que determina la ley de los senos.

17

También, B A C de donde 0 ( )B B B A C B A B C por tanto,

0 B A B C A B B C , así A B sen B C sen de donde A C

sen sen

considerando la ecuación (37) deducimos que

A CB

sen sen sen . (38)

La ecuación (38) define la ley de los senos de la trigonometría elemental.

Consideremos el producto escalar:

( ) cos ( cos )( )A B C A B C sen A B C sen si identificamos cosh A y

cosa B C , entonces tenemos el volumen ( )V A B C ha del paralelepípedo con

altura h y área de la base a , figura 17.

Por otro lado, para los vectores unitarios ˆˆ ˆ, ,i j k se satisface que

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i j k

j k i

k i j

,

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

i k j

j i k

k j i

,

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

ˆ ˆ 0

i i

j j

k k

(39)

El producto vectorial de los vectores unitarios sigue el orden cíclico derecho e izquierdo

que se muestra en los diagramas (a) y (b).

a) Orden cíclico izquierdo. b) orden cíclico derecho.

Expresando los vectores A y B en términos de sus componentes cartesianas, expresamos

el producto vectorial como ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆx y z x y zA B A i A j A k B i B j B k cuyo desarrollo

algebraico nos lleva a la ecuación

ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )y z z y x z z x x y y xA B A B A B i A B A B j A B A B k . (40)

18

Si ( )x y z z yC A B A B , ( )y z x x zC A B A B y ( )z x y y xC A B A B tenemos que

ˆˆ ˆx y zA B C i C j C k y podemos deducir que

( )i j k k jC A B A B con , , , ,i j k x y z , (41)

con una permutación cíclica de los subíndices, esto es, ( , , )x y z , ( , , )y z x y ( , , )z x y en

este orden respectivo.

De la ecuación (40) podemos expresar los términos en forma de determinante

ˆˆ ˆy z x yx z

y z x yx z

A A A AA AA B i j k

B B B BB B (42)

o en forma general,

ˆˆ ˆ

x y z

x y z

i j k

A B A A A

B B B

. (43)

Finalmente, haciendo los desarrollos necesarios se puede verificar fácilmente que C es

perpendicular a A y B , esto es, 0C B y 0C A .

I.5 Símbolo de Levi-Civita

Introducimos el símbolo de Levi-Civita tridimensional ijk definido a través de las

cantidades 123 231 312 1 ,

213 132 321 1 y 0ijk para subíndices repetidos,

esto es, 311 3220, 0 , etc. Observemos que es antisimétrico con respecto a las

permutaciones en todos los pares de índices, es decir, si 123 1 entonces

132 1 ;

312 1 entonces 321 1 ;

231 1 entonces 213 1 . Concluimos que permutaciones

en el orden cíclico 1 2 3 , 1ijk y en el orden inverso 1 3 2 , 1ijk . Las

componentes de ijk son:

111 112 113

121 122 123

131 132 133

, ,

, ,

, ,

,

211 212 213

221 222 223

231 232 233

, ,

, ,

, ,

,.

311 312 313

321 322 323

331 332 333

, ,

, ,

, ,

. (44)

Recordando la ecuación para el producto vectorial (41) observamos que, por ejemplo , si

2 3 1 1 3C A B A B , e introduciendo los términos adecuados de ijk obtenemos la expresión

19

2 231 3 1 232 3 2 233 3 3 211 1 1 212 1 2 213 1 3 221 2 1 222 2 2 223 2 3C A B A B A B A B A B A B A B A B A B

Observamos que es posible completar la sumatoria sobre los subíndices, de modo que

3

,2 2

j kjjk k

C A B , generalizando el subíndice 2 al i-ésimo término,

3

, 1j ki jijk k

C A B

. (45)

Usando la delta de Kronecker ij , se satisfacen las siguientes propiedades:

a) 6ijk ijk (46 a)

b) 2 ijilm jlm (46 b)

c) ijm klm ik jl il jk (46 c)

Conviniendo que un par índices repetidos indican sumatoria, (45) se puede expresar

i jijk kC A B , (47)

siendo ( , )j k el índice repetido en el lado derecho de la igualdad, quedando como índice

libre el subíndice i . Con esta notación tenemos que por ejemplo, i iA B A B o

( ) ( )i iA B C A B C . Desarrollando esta última igualdad, tenemos que

( )i i i ijk j kA B C A B C A B C ó equivalentemente

1 2 3

1 2 3

1 2 3

i ijk j k ijk i j k

A A A

A B C A B C A B C B B B

C C C

. (48)

En esta ecuación, los pares de subíndices , ,i j k indican una triple sumatoria. Por ejemplo,

desarrollando la sumatoria para el primer índice i , obtenemos que

1 1 2 2 3( ) ( )i i jk j k jk j k jk j kA B C A B C A B C A B C B C , ahora, desarrollando la doble

sumatorias para los índices ,j k obtenemos

123 1 2 3 132 1 3 2 213 2 1 3 231 2 3 1 312 1 2 321 2 1( )A B C A B C A B C A B C A B C B C B C donde

hemos omitido los términos con subíndices repetidos que son cero . Introduciendo los

valores de los términos ijk ,

1 2 3 3 2 2 1 3 3 1 3 1 2 2 1( ) ( ) ( ) ( )A B C A B C B C A B C B C A B C B C , (49)

que es la expresión que determina la ecuación (48).

20

Otra identidad es la siguiente: ( ) ( ) ( )A B C B A C C A B , en efecto

( )

( ) ( )

( ) ( )

ijk j k ijk j klm l m

ijk klm j l m

ijk lmk j l m

il jm im jl j l mi

il jm j l m im jl j l m

m i m l l i

i i

A B C A B C

A B C

A B C

A B C A B C

A B C A B C

A B C A B C

B A C C A B

Como esto es válido para la componente i-ésima, entonces se cumple la identidad.

I.6 Rotación de los ejes coordenados

Consideremos un vector arbitrario ( , )r x y en el plano representado en dos sistemas de

ejes ortogonales rotados un ángulo y anclados en un mismo origen “O”, figura 19,

El sistema primado x y se considera como el sistema rotado original x y y donde

durante dicha rotación el vector r se mantiene fijo. Se puede deducir geométricamente

que las componentes de este vector en ambos sistemas se relacionan por la ecuación

cos

cos

x x ysen

y xsen y

(50 a)

cos

cos

x sen x

y sen y

. (50 b)

21

Figura 19. Proyección de un vector sobre ejes rotados.

En el caso de un vector arbitrario ( , )x yA A A , tenemos que

cos

cos

x x y

y x y

A A A sen

A A sen A

. (51)

Observamos que por el efecto de la rotación, sus componentes tienen una

dependencia funcional entre ellas, esto es, ( , )x x x yA A A A y ( , )y y x yA A A A . En general,

un vector se define en términos de la transformación de sus componentes bajo la ley de

transformación de la ecuación (51). Si sus componentes no satisfacen esta ley de

transformación bajo una rotación del sistema de ejes coordenados, entonces estas

componentes no forman un vector.

Por otro lado, observamos que

2 2

x yA A A 2 2( cos ) ( cos )x y y xA A sen A A sen (52)

1/ 2

2 2 2 2 2 2 2 2cos 2 cos cos 2 cosx y x y y x x yA A sen A A sen A A sen A A sen

1/ 2

2 2 2 2 2 2(cos ) (cos )x yA sen A sen

2 2

x yA A A ,

por lo que la magnitud del vector A , que es un escalar, es invariante ante una rotación del

sistema coordenado, ésta es una propiedad que caracteriza a los escalares, en general.

También, la dirección (relativa al sistema no primado) es invariante ante una rotación. La

ecuación (52) es la garantía de que A es independiente de cualquier rotación del sistema.

Retornando a la ecuación (50), identificamos:

1

2

x x

y x

, (53)

y,

11 12

21 22

cos ,

, cos

a a sen

a sen a

. (54)

Bajo esta redefinición de términos, la ecuación (50) queda como

22

1 11 1 12 2

2 12 1 22 2

x a x a x

x a x a x

. (55)

Aquí, los términos ( )ija se pueden identificar como el coseno director del ángulo entre los

ejes ix y

jx

11 1 1

12 1 2

21 2 1

22 2 2

cos( , ) cos

cos( , ) cos( 2 )

cos( , ) cos( 2 )

cos( , ) cos

a x x

a x x sen

a x x sen

a x x

. (56)

Con esta identificación de los términos ija la ecuación (55) se reescribe como

1,2,;ij jïi jx a x . (57)

Para el caso de tres dimensiones, , 1,2,3;i ji ij j

x a x . Si, ahora, tenemos un vector A sus

componentes se trasforman ante una rotación como

, 1,2,3;i ji ij j

A a A . (58)

Si i ik k

x a x , entonces tenemos las ecuaciones siguientes:

i kik ik kj ij

j j

x xa a a

x x

. (59)

Por tanto,

iij

j

xa

x

, (60)

Si, ahora, usamos la rotación en sentido inverso, esto es, obtenemos que

j ij i

x a x , j

iji

xa

x

, (61)

de donde,

jii j j

j i

xxx x x

x x

. (62)

Además,

23

j j jk i

ij ik jki i i k k

x x xx xa a

x x x x x

, (63)

Así, los cosenos directores a través de ij

a satisfacen la condición de ortogonalidad,

ecuación (63).

Por ejemplo, para el caso de dos dimensiones si elegimos 1, 2j k , obtenemos

1 2 11 12 21 22cos cos 0

i ia a a a a a sen sen , o si elegimos 2, 2j k ;

2 22 2 12 12 22 22

cos 1i i

a a a a a a sen ; y así sucesivamente. Para el caso de un vector sus

componentes i

A se transforman como

jii j j

j i

AAA A A

A A

. (64)

Dos aspectos resaltan en la representación de un vector en términos de sus componentes:

a) Las ecuaciones del vector serán independientes del sistema coordenado particular

(el sistema cartesiano es un caso particular).

b) La transformación de las coordenadas ante una rotación del sistema facilita una

generalización a una rama de las matemáticas conocida como análisis tensorial.

Para las rotaciones en 3 dimensiones de sistemas ortogonales XYZ , figura 20,

Figura 20. Rotación arbitraria del los vectores unitarios anclados en

los sistemas ortogonales Oxyz y Ox y z .

los vectores unitarios 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e satisfacen la relación de ortonormalidad, ˆ ˆ

ï j ije e .

Cualquier vector se puede escribir en términos de los vectores unitarios,

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆA Ae A e A e , 1 2 3( , , )x y zA A A A A A . La componente

iA es la proyección sobre

estos vectores, esto es, ˆ cosi i

A A e A . Si , ahora, el sistema se rota un ángulo ,

24

tenemos un sistema primado con vectores unitarios 1 2 3ˆ ˆ ˆ, ,e e e que también satisfacen

ˆ ˆi j ij

e e . Si A lo escribimos como

1 1 2 2 3 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )A A e e A e e A e e (65)

En particular, si elegimos ˆj

A e , obtenemos

ˆ ˆj ji i

e a e (66)

con ˆ ˆ( )ji j i

a e e es el coseno del ángulo entre ˆj

e y i

e . Observemos lo siguiente, si

ˆ ˆ( )i j ji

e e entonces 1 1 1 1ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( )

i i i ie e a e a e por tanto,

1 1 1 1

ˆ ˆ1 ( )i i i i i i ii

a a e e a a (67)

o también,

2 2 2

1 1 11 12 131

i ia a a a a . (68)

Similarmente, 1 2 1 2 1 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 0 ( ) ( )

i i i i i i i i i ie e a e a e a a e e a a por tanto,

11 21 12 22 13 23

0 a a a a a a . (69)

En general, tenemos que

ik jk ij

a a . (70)

Por otro lado, expresando i

e en términos de los ˆ 'i

e s ,

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( )i j i j ji j

e e e e a e (71)

por consiguiente, ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )i j ij ki k lj l ki lj k l ki lj kl ki kj

e e a e a e a a e e a a a a entonces

ki kj ija a . (72)

Con estos resultados, podemos expresar para cualquier vector A que,

ˆ ˆ

i i j jA Ae A e (73)

pero usando (71) para ˆje , tenemos que ˆ ˆ

i i j ij iAe A a e , igualando los coeficientes de

ie :

i ij jA a A . (74)

25

La transformación inversa se obtiene multiplicando iA por

ika , i ik ij ik j jk j kAa a a A A A

por tanto,

i ji jA a A . (75)

Se observa que el índice de las componentes primadas del vector, mueven el índice

de las filas de la matriz ija , mientras que las no primadas mueven el índice de las columnas

de la misma matriz. Asimismo, de la ecuación (66) los vectores unitarios primados mueven

las filas de la matriz ija , mientras que en la ecuación (71) los vectores unitarios no

primados mueven las columnas de ija . Por ejemplo,

1 11 1 12 2 13 3A a A a A a A ,

1 11 1 21 2 31 3A a A a A a A , etc.

Finalmente, vemos que la magnitud de un vector A es invariante ante una rotación del

sistema coordenado, como ya se mencionó anteriormente,

i i li l ki k li ki l kA A a Aa A a a A A (76)

kl l k k kA A A A .

De igual forma, el producto escalar entre dos vectores A y B se mantiene invariante,

( )( )i i li l ki k li ki l kA B A B a A a B a a A B (77)

kl l k l lA B A B A B

Ejemplo. Dada la transformación de las componentes de un vector al rotar los ejes X Y

un ángulo en el sentido contrario a las manecillas del reloj, que satisfacen la ecuación:

cos

cos

x x y

y x y

A A A sen

A A sen A

, (a)

Calcule, ahora, las componentes x

A y y

A en función de las componentes primadas e

interprete esta transformación tanto analíticamente como geométricamente.

Solución. De la primera ecuación en (a), obtenemos

2cos cos cosx x y

A A A sen (b)

Del asegunda ecuación en (a), obtenemos

26

2 cosy x y

A sen A sen A sen (c)

Sustituyendo (c) en (b) deducimos que:

2 2cos cosy x x x

A sen A sen A A

2 2( cos ) cosx x y

A sen A A sen

cosx x y

A A A sen . (d)

Nuevamente, de la primera ecuación en (a); cosx y x

A A sen A , de donde

2 cosx y x

A sen A sen A sen . (e)

De la segunda ecuación en (a), cosx y y

A sen A A de donde

2cos cos cosx y y

A sen A A (f)

Sustituyendo (f) en (e),

2 2cos cosx y y y

A sen A sen A A

2 2( cos ) cosy x y

A sen A sen A

cosy x y

A A sen A ; (g)

por tanto,

cos

cos

x x y

y x y

A A A sen

A A sen A

(h)

o en forma matricial,

cos

cos

x x

y y

A Asen

A Asen

. (i)

Observamos de la ecuación (a) que

11 12

21 22

cos

cos

x x x

y yy

a aA A Asen

A Aa aA sen

, (j)

de donde

27

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

x

y

A A a A a A

A A a A a A

. (k)

si identificamos

1 1 2

2 1 2

cos

cos

A A A sen

A Asen A

. (l)

de la matriz en (j) observamos que al reemplazar , cos( ) cos y

( )sen sen por tanto cos cos

cos cos

sen sen

sen sen

matriz que coincide con la de

la ecuación (i), por lo que la transformación del sistema primado al no primado se

interpreta como una rotación con un ángulo ; además, de la ecuación (i) esta

transformación en términos de la matriz de la ecuación (j) resulta,

1 111 21

2 212 22

x

y

a aAA A

a aAA A

(m)

De donde 1 11 1 21 2

A a A a A , 2 12 1 22

A a A a A o en forma compacta

i ji j

A a A . (n)

Donde en (n) el índice i mueve las columnas de ji

a de la ecuación (k) , i ij j

A a A el índice

i mueve las filas de la matriz. Por tanto, los coeficientes de la transformación del sistema

primado al no primado resultan los elementos ij

a transpuestos, esto es,

( )Ti ij j ji j

A a A a A . (ñ)

Finalmente, la transformación de la ecuación (h), geométricamente se interpreta como lo

muestra la figura 21.

28

Figura 21. Rotación inversa de los ejes coordenados.

Aquí, 1 1 1

1 1 1

cos

cos

x x y sen

y x sen y

ó

cos

cos

x x y

y x y

A A A sen

A A sen A

.

Por otro, para los vectores unitarios identificamos 1 2

ˆ ˆˆ ˆ,i e j e y 1 2

ˆ ˆˆ ˆ,i e j e , tenemos

1 1 1 1 1 2 2 11 1 12 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) cose e e e e e e a e a e e sen e ;

2 2 1 1 2 2 2 21 1 22 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) cose e e e e e e a e a e sen e e ,

de donde

ˆ ˆi ij j

e a e (o)

con 1 11 12 11

2 21 22 22

ˆ ˆˆ cos

ˆ ˆˆ cos

e a a ee sen

e a a ee sen

.

De igual forma,

1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 1 2 11 1 21 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) cose e e e e e e e e e e e e a e a e e sen e

2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 12 1 22 2 1 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) cose e e e e e e e e e e e e a e a e sen e e , de donde

tenemos la relación general,

ˆ ˆi ji j

e a e . (q)

Por tanto, ˆ ˆ( )Ti ij j

e a e . Observemos que

2 2 2 2 211 1 1 1 2 2

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ1 cos ( ) ( ) cose e e e e sen e e sen , etc.. Las ecuaciones (o) y (q) se

extienden a 3 dimensiones donde, , 1,2,3i j .

Los resultados sobre la transformación de las componentes de un vector

1 2 3( , , ) ( , , )r x y z x x x en un sistema de ejes ortogonales sobre otro sistema ortogonal

primado 1 2 3( , , )x x x que ha sido rotado un ángulo respecto del primero, se pueden

interpretar en términos de conceptos puramente vectoriales.

En efecto, sea ( , , )r x y z un vector y sea A otro vector con ángulos de dirección , y

respecto de los ejes XYZ , figura 22. Sea el ángulo entre ambos vectores. El vector A

lo podemos expresar en términos de los cosenos directores cos ,cos y cos , esto es,

ˆˆ ˆx y zA A i A j A k (78)

29

ˆˆ ˆcos cos cosA i A j A k .

Si ˆˆ ˆr xi yj zk el producto escalar entre ambos vectores resulta,

Figura 22. Vectores r y A .

cos cos cos cosA r xA yA zA r A . (79)

Si r tiene ángulos de dirección , y , entonces cosx r , cosy r y

cosz r . Por tanto, de (79) obtenemos

(cos cos cos cos cos cos ) cosrA rA (80)

de donde

cos cos cos cos cos cos cos . (81)

Si ambos vectores son ortogonales, entonces cos 0 , por tanto

cos cos cos cos cos cos 0 . (82)

La ecuación (82) determina la condición de ortogonalidad entre dos vectores en términos

de sus cosenos directores. Además, también se cumple que

2 2 2cos cos cos 1 , (83 a)

2 2 2cos cos cos 1 . (83 b)

Por otro lado, se puede obtener la proyección de r sobre el vector A , para esto definimos

el vector unitario, ˆˆ ˆˆ cos cos cosA

u i j kA

, por lo que

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ ( ) (cos cos cos )Ar r u xi yj zk i j k

30

cos cos cosx y z . (84)

La ecuación (84) determina la proyección del vector r sobre A .Consideremos dos

sistemas de ejes ortogonales1 2 3OX X X y

1 2 3O X X X (sistemas ortogonales cartesianos

derechos) que originalmente coinciden y que posteriormente 1 2 3O X X X se rota respecto al

sistema 1 2 3OX X X , figura 23.

Figura 23. Rotación de ejes coordenados.

Ahora, identifiquemos cada eje con la notación 1x x ,

2y x y3z x , además

1x x , 2y x y

3z x . Si el eje 1Ox tiene cosenos directores respecto de los ejes

1 2 3Ox x x

de la forma: 1 11cos l ,

1 12cos l , 1 13cos l . De igual forma el eje

2Ox :2 21cos l ,

2 22cos l , 2 23cos l y para

3Ox , 3 31cos l , 3 32cos l y

3 33cos l , figura 24.

Figura 24. Ejes rotados con sus ángulos de dirección.

Con esta notación podemos construir el siguiente arreglo, Tabla 1,

Tabla 1.

O

1x 2x

3x

1x 11l

12l 13l

31

2x

21l 22l

23l

3x 31l

32l 33l

donde los cosenos directores de 1Ox respecto de los ejes

1 2 3Ox x x aparecen en la primera

fila y así sucesivamente. Puesto que los ejes 1Ox , 2Ox y

3Ox son perpendiculares entre sí,

entonces de la ecuación (82) obtenemos

11 21 12 22 13 23 0l l l l l l , (85 a)

21 31 22 32 23 33 0l l l l l l , (85 b)

31 11 32 12 33 13 0l l l l l l . (85 b)

y de la ecuación (83):

2 2 2

11 12 13 1l l l , (86 a)

2 2 2

21 22 23 1l l l , (86 b)

2 2 2

31 32 33 1l l l . (86 c)

A las ecuaciones (85) y (86) se les llama las relaciones de ortogonalidad, ecuaciones

equivalentes a la ecuación (74) donde identificamos los cosenos directores ij ija l . Si ahora

consideramos los cosenos directores del eje 1Ox con respecto al sistema primado

1 2 3Ox x x

de igual forma el 2Ox y

3Ox , obtenemos:

11 1

1 21 2

31 3

cos

: cos

cos

l

Ox l

l

,

12 1

2 22 2

32 3

cos

: cos

cos

l

Ox l

l

,

13 1

3 23 2

33 3

cos

: cos

cos

l

Ox l

l

. Entonces,

observamos que los cosenos directores corresponden a las columnas en la Tabla 1, donde

de igual forma satisfacen estos cosenos directores que

11 12 21 22 31 32 0l l l l l l , (87 a)

12 13 22 23 32 33 0l l l l l l , (87 b)

13 11 23 21 33 31 0l l l l l l . (87 c)

Además,

2 2 2

11 21 31 1l l l , (88 a)

32

2 2 2

12 22 32 1l l l , (88 b)

2 2 2

13 23 33 1l l l . (88 c)

De la ecuación (85) identificamos: ik jk ijl l y de la ecuación (87), ki kj ijl l , que son las

ecuaciones encontradas para los cosenos directores ija . La matriz de transformaciones ( )ijl

satisface la condición;

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

l l l

l l l

l l l

, (89)

esto es, el determinante de los cosenos directores es uno. Esta condición es válida siempre

que los sistemas de ejes ortogonales sean de mano derecha. La ecuación (89) es la

condición fundamental que debe satisfacer la matriz de transformación al rotar los ejes

coordenados. Observe que los coeficientes que definen la transformación del sistema

primado al no primado se obtienen de las filas de la Tabla 2. El arreglo de los coeficientes

O

1x 2x 3x

1x 11l

21l 31l

2x

12l 22l

32l

3x 13l

23l 33l

Tabla 2

es el transpuesto del arreglo de la transformación del sistema no primado al primado,

ecuación (89). En términos de matrices, si

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( )ij

l l l

a l l l

l l l

entonces

11 21 31

12 22 32

13 23 33

( )T

ij

l l l

a l l l

l l l

(90)

Finalmente, aplicamos estos resultados para la transformación de coordenadas. Si

1 11 1 12 2 13 3x l x l x l x , (91 a)

2 21 1 22 2 23 3x l x l x l x , (91 b)

3 31 1 32 2 33 3x l x l x l x . (91 c)

33

o en forma compacta, i ik kx l x . Recíprocamente, si consideremos a los ejes

1 2 3Ox x x como

el sistema original y al sistema 1 2 3Ox x x , entonces las coordenadas son

1 11 1 21 2 31 3x l x l x l x , (92 a)

2 12 1 22 2 32 3x l x l x l x (92 b)

3 13 1 23 2 33 3x l x l x l x . (92 c)

o también: i ki kx l l . En forma matricial, las ecuaciones (91) y (92) se escriben:

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

x l l l x

x l l l x

x l l l x

, (93)

1 11 21 31 1

2 12 22 32 2

13 23 33 3

x l l l x

x l l l x

x l l l x

. (94)

I.7 TRANSFORMACIONES ORTOGONALES

Considere el conjunto de ecuaciones

x ax by

y cx dy

, ó

x a b x

y c d y

, (95 a)

en forma matricial:

r Mr , a b

Mc d

, x

ry

, (95 b)

donde , , ,a b c d son constantes. Para cada punto ( , )r x y , estas ecuaciones transforman

sus componentes para definir otro vector ( , )r x y en el plano xy . Si pensamos que cada

punto del plano xy se mueve a otro punto (con el origen como un punto fijo), podemos ver

que este proceso es un mapeo o transformación del plano en sí mismo. Toda la información

de esta transformación está contenida en la matriz M . Podemos decir que esta matriz es

un operador el cual mapea el plano en sí mismo.

Las ecuaciones (95) se pueden interpretar geométricamente de dos formas:

34

a) Un sistema de ejes xy fijos. Consideremos un vector ( , )r x y que se transforma

a un vector r (con una representación diferente en el plano) cuya transformación

la determina las ecuaciones (95), figura 25,

Figura 25. Transformación de un vector r .

b) Rotación de un sistema xy a otro x y con el origen fijo, y donde el vector r

preserva su longitud, figura 26.

Figura 26. Representación de r en dos sistemas de ejes coordenados.

De particular interés, es el caso de transformaciones lineales donde se preserva la longitud

del vector, esto es, r r , esto significa que

2 2 2 2x y x y , (96)

para ambos casos de la transformación. Este requisito establece que la longitud de un vector

no cambia a través de una transformación ortogonal. La matriz M de una transformación

ortogonal es ortogonal. Una propiedad importante de M es que,

1 TM M , (97)

siendo TM la matriz transpuesta de M . Esto lo podemos probar de la siguiente manera, de

las ecuaciones (95 a) y de r r obtenemos que

2 2 2 2( ) ( )x y ax by cx dy (98)

2 2 2 2 2 2( ) 2( ) ( )a c x ab cd xy b d y

2 2x y .

35

De la ecuación (98) se exige que :

(a) 2 2 1a c ,

2 2 1b d y 0ab cd .

Bajo esta condición de los coeficientes se cumple que,

2 2

2 2

1 0

0 1

Ta c a b a c ab cd

M Mb d c d ab cd b d

. (99)

Esto significa que TM M I , donde I es la matriz unidad. Puesto que también se cumple

que TMM I esto lleva a las condiciones,

(b) 2 2 2 2 1a b c d y 0ac db . Entonces, M y TM satisfacen que 1TM M

y 1TM M . De la condición para los coeficientes, tenemos las ecuaciones:

2 2 2 2 2 2a b a c c d (I) y , 0ac db ab dc . (II)

2 2 1b d ,

De la ecuación (I) obtenemos que: 2 2a d y 2 2b c de modo que hay únicamente dos

conjuntos de soluciones de la ecuación (II), a saber,

(1) a d y b c , de donde det 1M .

(2) a d y c b , de donde det 1M .

Aunque hemos definido una transformación ortogonal en dos dimensiones, sin embargo,

una matriz cuadrada de cualquier orden ( tres o más dimensiones) llamada ortogonal, ella

satisface la ecuación (99) y la correspondiente transformación ortogonal preservará la

longitud de los vectores en sistemas de ejes ortogonales donde 1 2( , ,..., )nr x x x .

De las propiedades,

det( ) (det )(det )T TM M M M , det detTM M (100)

Tenemos que

2(det ) det( ) det( ) 1TM M M I , (101 a)

(det ) 1M , (101 b)

Tal como lo hemos ya comprobado. Estas propiedades son útiles para identificar si M

representa una rotación o rotación-reflexión de un vector. Las ecuaciones (101 ) son válidas

para cualquier orden n n de la matriz. Identificaremos que cuando det 1M , corresponde

geométricamente a una rotación y que det 1M significa que se involucra una reflexión

o una combinación de rotación-reflexión.

36

Consideremos una rotación en dos dimensiones. Sea un vector r rotado un ángulo

transformándose en el vector ( , )r x y , manteniendo los ejes coordenados fijos figura 27.

En forma elemental, tenemos que: cosx r , y rsen , además, r r , por tanto,

cos( ) cos cosx r r rsen sen ,

( ) cos cosy rsen rsen r sen ,

Figura 27. Rotación del vector r preservando la longitud.

luego,

cos

cos

x sen x

y sen y

, (102 a)

1( )r M r , (102 b)

con r el vector rotado. Por otro lado, encontramos en la ecuación (50 b) que,

cos

cos

x sen x

y sen y

, (103 a)

Si identificamos la matriz como 2

cos( )

cos

senM

sen

, entonces

2( )r M r . (103 b)

Ambas ecuaciones (102) y (103) se les identifica como ecuaciones de rotación y a 1( )M y

2 ( )M sus matrices asociadas. Para distinguir ambas matrices, a la rotación (102) se le

identifica como una transformación activa (rotación del vector) y a la (103) una

transformación pasiva (el vector fijo pero sus componentes cambian ya que los ejes son

rotados). Observamos que

1 2 2 1

1 0( ) ( ) ( ) ( )

0 1M M M M I

(104)

37

por lo que 1

1 2( ) ( )M M y 1

2 1( ) ( )M M , esto es, ambas matrices son la inversa una

de otra. Por lo tanto, podemos ver que de esta propiedad, al hacer una rotación de ejes en un

ángulo en la dirección contraria a las manecillas del reloj, esto equivale a rotar el vector

r un ángulo , esto significa que el vector se rota en sentido contrario , esto es así ya que

2 1( ) ( )M M . (105)

Observe que 1 2det ( ) det ( ) 1M M que corresponde a una matriz de rotación. En

general, cualquier matriz de 2x2, ortogonal con determinante +1 corresponde a una

rotación; y cualquier matriz de 2x2, ortogonal con determinante -1 corresponde a una

reflexión (o rotación/reflexión) a través de un eje.

Ejemplo. Encuentre a que transformación corresponde cada una de las siguientes matrices;

a) 1 31

2 3 1A

, b) 1 0

0 1B

, c) C AB , d) C BA .

Solución. Debemos mostrar que la matriz es ortogonal, esto es, 1 TA A . En efecto,

1 31

2 3 1

TA

, ahora, calculemos su inversa 1A . Sea el 1 31

det 12 3 1

A

,

además, la matriz cofactor es 1/ 2 3 / 2

3 / 2 1/ 2

CA

y su transpuesta

1/ 2 3 / 2( )

3 / 2 1/ 2

C TA

, así 11 3( ) 1

det 2 3 1

C TAA

A

, luego 1 TA A , por tanto,

A es ortogonal. Además, det 1A por tanto, concluimos que la matriz representa una

rotación. Calculemos el ángulo . Tomemos la ecuación (102 a) y comparemos la matriz

A con 1( )M .

1/ 2 3 / 2 cos

cos3 / 2 1/ 2

sen

sen

, de donde cos 1/ 2 y 3 / 2sen . Deducimos

de cos , que 0120 o 0120 y de 3 / 2sen que 060 ó 0120 de

donde tenemos una rotación con un ángulo 0120 ó 0 0 0360 120 240 . Aquí

tomamos el caso de una transformación activa, por lo que en el plano xy , A rota un vector

r arbitrario un ángulo ó , figura 28,

38

Figura 28. Rotación del vector r .

Consideremos como ejemplo que, ˆ (1,0)r i , veamos como lo transforma:

1/ 21 3 11(1,0)

02 3 / 23 1A

, entonces 1ˆ ˆ ˆ( 1/ 2, 3 / 2) ( 3 )2

r i i j ó

cos 1

cos 0

senr

sen

entonces

cosr

sen

, por tanto ˆ ˆcosr i jsen , 0240 ó

0120 .

Para el caso de elegir la transformación pasiva, ecuación (103), observamos que

2 1( ) ( )M M , por lo que 2( ) ( )M A , y por tanto, 2

cos( )

cos

senM

sen

.

Si escogemos 0120 para la transformación activa, entonces corresponde una rotación 0120 , para la transformación pasiva, lo que significa que los ejes xy son rotados

0120 donde 0 0

2 0 0

1/ 2 3 / 2cos120 120( )

120 cos120 3 / 2 1/ 2

senM

sen

. Por otro lado,

sabemos que i ij jx a x y ˆ î ij ie a e ;

1ê i ,

2ê j ;

1ê i ,

2ê j . Por ejemplo,

1 11 1 12 2

1 3ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2

i e a e a e i j . La figura 29 muestra este ejemplo.

39

Figura 29. Rotación del vector i .

B) Para la matriz B

1 0

0 1B

1 0det 1

0 1B

1 0

0 1

CB

1 0( )

0 1

C TB

, 11 0

0 1

TB B

, luego B representa una reflexión al actuar sobre

( , )r x y .

1 0

0 1

x xr Br

y y

.

Esta es una reflexión con respecto al eje x (línea de reflexión), figura 30.

Figura 30. Reflexión a través del eje x .

El eje de reflexión R lo calculamos obteniendo el vector que es invariante ante B , esto es

BR R . (106)

40

o en forma equivalente,

1 0

0 1

x x

y y

x x

y y

x x y y y , de donde, 0y y la línea

de reflexión es de la forma ˆ( ,0)R x xi que es un vector sobre el eje x tal como lo

muestra la figura 30.

c) 1 3 1 0 1 31 1

0 12 23 1 3 1C AB

. Esta matriz tiene determinante

1/ 2 3 / 2det 1

3 / 2 1/ 2C

, además, es ortogonal. Así, C representa una

reflexión. Calculemos la línea de reflexión , usando CR R ;

1/ 2 3 / 2

3 / 2 1/ 2

x x

y y

3

2 2

xy x (a)

3

2 2

yx y

(b)

de donde obtenemos 3 3

2 2y x , por tanto, 3y x . De la ecuación (b) se obtiene la

misma solución. Así, el vector es ( , ) ( , 3 )R x y x x . Por ejemplo, para 1x ,

ˆ ˆ(1, 3) 3R i j , a lo largo de este vector se define la línea de reflexión, figura 31.

Figura 31. Eje de reflexión.

41

Un vector perpendicular a ˆ ˆ3i j es ˆ ˆr xi yj tal que ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( 3 ) 0xi yj i j

entonces 3 0x y 3

33

xy x ;

3ˆ ˆ3

r xi xj . Si 1x , 3ˆ ˆ

3r i j . Al actuar

C sobre r lo refleja a través de la línea de reflexión.

Si 3x , 1 ( 3,1)r ;

1 31 13 3 2 3

2 21 1 23 1C

, por lo que

1 1

3

1Cr r

, el vector reflejado.

d) Para

3 31/ 2 1/ 2

1 0 2 2

0 1 3 31/ 2 1/ 2

2 2

D BA

, donde det 1D ( y además es

ortogonal), por lo que representa una reflexión. El eje de reflexión se encuentra de: DR R ,

31/ 2

2

31/ 2

2

x x

y y

1 3

2 2

3 1

2 2

x y x

x y y

3y x entonces ( , 3 )R x x . Por

ejemplo, para 1x , (1, 3)R , figura 32.

Si consideramos el vector (1,0)r , entonces 1 3 11

02 3 1r Dr

Figura 32. Eje de reflexión.

42

1/ 2 1 3ˆ ˆ2 23 / 2

r i j

es el vector reflejado.

Para rotaciones y reflexiones en el espacio (3 dimensiones). Considere el caso simple de

una rotación entorno al z , para un vector r , en este caso la matriz ZA es

cos 0

cos 0

0 0 1

Z

sen

A sen

(107)

Esta matriz genera una rotación de un vector r sobre el eje z a un ángulo , figura 33,

donde Zr A r .

r'

Z

Y

X

r

Figura 33. Rotación del vector r en torno al eje z.

Esta matriz se puede obtener para el caso de la matriz de rotación de los ejes xyz un

ángulo y luego reemplazar . En efecto, para la rotación de ejes en torno al eje z ,

figura 34.

La matriz es ( )ija A con cos( , )ij i ja x x ;

11 12 13

21 22 23

31 32 33

Z

a a a

A a a a

a a a

con 11 cosa ,

43

Figura 34. Rotación de ejes en torno al eje z .

12 cos( / 2 )a sen , 13 0a ;

21 cos( / 2 )a sen , 22 cosa ,

23 0a ,

31 0a , 32 0a ,

33 1a , así,

cos 0

cos 0

0 0 1

Z

sen

A sen

, si reemplazamos

obtenemos la ecuación (107).

El determinante de (107) es det 1ZA por lo que representa una rotación ; además, la

matriz es ortogonal, esto es 1 T

ZA A . Para el caso de una rotación/reflexión, tenemos la

matriz ,

cos 0

cos 0

0 0 1

sen

B sen

. (108)

Esta matriz produce una rotación en torno al eje z de un ángulo junto con una reflexión

a través del plano x y . Aquí, det 1B .

Para el caso de una rotación activa (rotación del vector) sobre el eje y , la matriz de

rotación es

cos 0

0 1 0

0 cos

Y

sen

A

sen

. (109)

Finalmente, para el caso de una rotación activa sobre el eje x la matriz de rotación es

44

1 0 0

0 cos

0 cos

XA sen

sen

. (110)

I.8 COORDENADAS OBLICUAS

Considere un sistema coordenado en el cual los vectores unitarios no-coplanares

,a b y c no son ortogonales. En el sistema ortogonal xyz estos vectores tendrán una

representación vectorial, figura 35.

Figura 35. Sistemas de ejes ortogonal xyz y oblicuo abc .

Sea un vector V arbitrario, el cual se puede escribir como

ˆˆ ˆ

x y z a b cV V i V j V k v a v b v c , (111)

donde ( , , )a b cv v v son las componentes de V en el sistema oblicuo, que definen la

representación del vector. Por ejemplo, en el plano y z , V lo podemos visualizar como

se muestra en la figura 36.

Figura 36. Componentes en el sistema ortogonal yz y oblicuo bc del vector V .

45

Aquí, cv y

bv son las proyecciones de V sobre los ejes oblicuos definidos a lo largo de b

y c tal que b cV v b v c de acuerdo a la regla del paralelogramo para la suma de vectores.

Consideremos el caso general, en donde los vectores ,a b y c que definen el sistema de

ejes oblicuos tienen coordenadas,

ˆˆ ˆ

x y za a i a j a k , (112 a)

ˆˆ ˆ

x y zb b i b j b k , (112 b)

ˆˆ ˆ

x y zc c i c j c k . (112 c)

De la ecuación (111) y (112) igualando componentes, obtenemos:

x x a x b x cV a v b v c v , (113 a)

y y a y b y cV a v b v c v , (113 b)

z z a z b z cV a v b v c v . (113 c)

La ecuación (113) permite expresar V en forma matricial, siendo este vector expresado a

través de un sistema ortogonal con vectores base ˆˆ ˆ( , , )i j k , relacionado a la vez con una

descripción en los vectores base de un sistema oblicuo ( , , )a b c , esto lo expresamos como

V Pv . (114)

donde

x x x

y y y

z z z

a b c

P a b c

a b c

. (115)

La ecuación (115) define la matriz de transformación P cuyas columnas la forman

los vectores del sistema nuevo no ortogonal (sistema oblicuo) en consecuencia, no es

ortogonal dicha matriz; lo único que sabemos de los vectores ( , , )a b c es que no son

colineales, esto es, 0a b , y además, c no es coplanar, es decir, ( ) 0c a b .

Ahora, de la ecuación (114),

1v P V . (116)

Investigaremos 1P . Definimos los vectores ,a b y c a través de

46

( )

b ca

a b c

,

( )

c ab

a b c

,

( )

a bc

a b c

, (117)

llamados vectores de espacio recíproco (o de red real recíproca en el caso de cristales).

Enfatizamos que ,a b y c no son ortogonales ni vectores unitarios. Si, por ejemplo, los

vectores ,a b y c tuvieran dimensiones , los vectores primados tendrían dimensiones

recíprocas (si las dimensiones fueran de longitud L , ,a b y c tendrían dimensiones 1L ).

Los vectores primados y no primados tienen la propiedad siguiente,

XYX Y , ( , , , )X Y a b c . (118)

Así, por ejemplo, 1a aa a , 0

a ba b

, etc., o más explícitamente, tenemos que

1a a b b c c , 0a b , 0a c , 0b a , 0b c , 0c a , 0c b .

Además,

1( )

( )a b c

a b c

, (119 a)

( )

b ca

a b c

,

( )

c ab

a b c

,

( )

a bc

a b c

. (119 b)

Con estos vectores primados, formamos la matriz Q ,

x y z

x y z

x y z

a a a

Q b b b

c c c

. (120)

De las propiedades de ( , , )a b c y ( , , )a b c dadas por las ecuaciones (117) y (119)

obtenemos que:

x x x x y z

y y y x y z

z z z x y z

a b c a a a

PQ a b c b b b

a b c c c c

, (121)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

x y z x x x

x y z y y y

x y z z z z

a a a a b c

b b b a b c

c c c a b c

.

47

Esto es,

PQ QP I . (122)

Siendo, ( )ijI la matriz identidad, de donde obtenemos que

1Q P ó 1P Q . (123)

De la ecuación (116) y (123) obtenemos que

x y z x

x y z y

x y z z

a a a V

v QV b b b V

c c c V

, (124)

o en notación matricial, si ( )ijQ Q , 1 2 3( , , )v v v v ,

1 2 3( , , )a b cv v v v v v y

1 2 3( , , )V V V V , 1 2 3( , , )x y zV V V V V V , entonces

i ij jv Q V , (125)

define las componentes del vector v . Las componentes iv son las componentes de V en el

sistema oblicuo, esto es,

i iV v a , (126)

con 1a a ,

2a b y 3a c . Tomando la transpuesta de (114),

( )T T T TV Pv v P (127)

donde TV y Tv corresponden a vectores fila (considerando que V y v son originalmente

vectores columnas). Denotaremos con TV V el vector fila y, con V el vector

columna en notación matricial para cualquier vector V . Así, en (127) tenemos,

1 2 3( , , ) TV V V V v P (128)

1 2 3( , , )

x y z

x y z

x y z

a a a

v v v b b b

c c c

.

48

Ahora, V puede resolverse en el espacio ,a b y c , esto es, se puede obtener su

representación de cada componente. Esto se obtiene planteando las ecuaciones análogas a

la ecuación (114), pero ahora en las componentes de v en el espacio de ,a b y c .

Tenemos que

TV Q v , (129)

y por la ecuación (124), su análoga es,

Tv P V . (130)

En forma matricial, ( )ijQ Q , ( ) ( ) ( )T T T

ij ij jiQ Q Q Q ; ( )ijP P ,

( ) ( ) ( )T T T

ij ij jiP P P P entonces

T

i ij jV Q v , (131)

T

i ij jv P V , (132)

donde,

i iV a v . (133)

Tomando el transpuesto de (129) y (130),

( ) ( )T T T T T TV Q v v Q v Q , V v Q

. (134)

1 2 3 1 2 3, , ( , , )

x y z

x y z

x y z

a a a

V V V v v v b b b

c c c

. (135)

Además,

( ) ( )T T T T T T Tv v P V V P V P , (136 )

v V P

(137 a)

1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )

x x x

y y y

z z z

a b c

v v v V V V a b c

a b c

. (137 b)

49

En términos del producto de matrices, podemos calcular el producto escalar de dos vectores

V y U ,

U V U V u QP v

, (138 a)

1 1

1 2 3 2 1 2 3 2

3 3

( , , ) ( , , )

V v

U U U V u u u I v

V v

(138 b)

1

1 2 3 2

3

( , , )

v

u u u v

v

,

de donde

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3U V U V U V u v u v u v , (138 c)

donde 1 2 3( , , )u u u u es la representación de U en el espacio primado. Expresando en

notación ordinaria de producto escalar,

i iU V u v . (139)

Si U V , i iu v entonces

2

i iV v v . (140)

La ecuación (140) nos da el cuadrado de un vector en el sistema oblicuo,

observamos que en este caso no tenemos la suma del cuadrado de sus componentes como

en el caso de un sistema ortogonal ( donde 2 2 2 2

i i x y zV VV V V V ), sino que ahora es la

suma del producto de una componente oblicua (la no primada iv ) y su correspondiente

representación en el espacio recíproco ( la componente primada iv ).

Finalmente, podemos expresar las relaciones entre componentes primadas de v y

no primadas v de V . De la ecuación (130) y (114),

T Tv P V P Pv , (141)

o en términos de sus componentes,

T

i ij jk kv P P v , (142)

y de la ecuación (124) y (129) obtenemos que

50

Tv QV QQ v , (143)

con componentes

T

i ij jk kv Q Q v . (144)

Las ecuaciones (143) y (144) determinan las relaciones entre las componentes de V en el

sistema oblicuo ( , , )a b c y sus correspondientes componentes en el espacio recíproco

( , , )a b c .

Calculemos la métrica del espacio oblicuo que permite expresar el segmento de longitud de

un elemento diferencial ( , , )dr dx dy dz , con 2 2 2 2dr dr dx dy dz .

De la ecuación (138 b), identificamos que el producto escalar para los vectores U dR y

V dR , es: T TU V U V U V dR dR ; además, usando la ecuación (114) para

V dR Pdr con ( , , )dR dX dY dZ el vector diferencial en el espacio real ortogonal y el

vector diferencial ( , , )dr dx dy dz que son sus componentes en el espacio oblicuo real, por

lo que tenemos

2 T T TdR dR dR dR dR dr P Pdr (145 a)

Con ( , , )Tdr dr dx dy dz , y

dx

dr dr dy

dz

, ( , , )T

dX

dR dR dX dY dZ dY

dZ

, por tanto

2 2 2 2 ( , , ) T

dx

dR dX dY dZ dx dy dz P P dy

dz

, (145 b)

donde la matriz ( )T

ijP P G g es la métrica que caracteriza el espacio oblicuo real.

Calculando dicha matriz,

x y z x x x

T

x y z y y y

x y z z z z

a a a b a ca a a a b c

P P b b b a b c a b b b b c

c c c a b c a c c b c c

G , (146)

51

donde ij i jg a a , , 1, 2, 3i j y 1a a ,

2a b , 3a c . Si identificamos,

1dx dx , 2dx dy

y 3dx dz , reescribimos (145 b) como

2 2 2 2 ( )( )( )i ij idR dX dY dZ dx g dx

( )( )i ij jdx g dx

i ij j ij i jdx g dx g dx dx . (147)

La matriz ijg define la métrica del espacio oblicuo, similar al caso de cuando se hace una

transformación de coordenadas del espacio cartesiano 1 2 3( , , )x x x al espacio coordenado

1 2 3( , , )q q q mediante la relación funcional 1 1 1 2 3( , , )x x q q q ,

2 2 1 2 3( , , )x x q q q y

3 3 1 2 3( , , )x x q q q . Si 1x x ,

2x y , 3x z tenemos que:

i

i

xdx dq

q

, i

i

ydy dq

q

,

i

i

zdz dq

q

; por tanto,

2 2 2 2

i j

i j i j i j

x x y y z zdr dx dy dz dq dq

q q q q q q

ij i jg dq dq (148)

siendo ijg la métrica del espacio 1 2 3( , , )q q q .

Retornando a la ecuación (147), cuando ( , , )a b c son ortogonales, 0ijg si i j y

2

11g a , 2

22g b , 2

33g c , así

2

2

2

0 0

( ) 0 0

0 0

ij

a

g G b

c

. (149)

Observemos que de (145) 2 T

l lm mk k lk l kdR dx P P dx g dx dx , con T

lk lm mkg P P . En el caso

particular de un sistema ortogonal a lo largo de vectores unitarios ( , , )a b c , la métrica se

reduce a lk klg , que sería la matriz identidad en (149) y en este caso

2 2 2 2 2 2 2 2dR dX dY dZ dr dx dy dx , esto es, el vector diferencial tanto en el

espacio ortogonal como oblicuo son iguales puesto que estamos en el mismo sistema

coordenado ortogonal.

Ahora, consideremos un vector r en el espacio real oblicuo tal que,

52

r xa yb zc . (150)

Expresando el producto escalar 2Tr r r r r en términos de la métrica G ,

2 ( , , )T

x

r r r r r x y z G y

z

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( , , )

g g g x

x y z g g g y

g g g z

, (151 a)

o equivalentemente,

11 12 13

2

21 22 23

31 32 33

( , , )

g x g y g z

r x y z g x g y g z

g x g y g z

2 2 2

11 22 33 12 21 23 32 13 31( ) ( ) ( )x g y g z g xy g g yz g g xz g g . (151 b)

Observemos que de (148) hemos hecho la identificación 2 2dR r , i idx x tal que

2

lk l kr g x x como lo indica (151 a). En (151 b), si identificamos 12 21g g a b ,

13 31g g c a , 23 32g g c b ,

2

11g a a a , 2

22g b b b , 2

33g c c c , así,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2r x a y b z c xya b yzc b xzc a . (152)

Si es el ángulo inter-axial entre a y b , entre b y c , y entre a y c , obtenemos

2 2 2 2 2 2 2 2 cosr x a y b z c xyab (153)

2 cos 2 cosxzca yzcb .

La ecuación (153) determina la distancia del origen al punto ( , , )x y z en el espacio oblicuo

real con vectores base ( , , )a b c . Consideremos el vector r xa yb zc en el espacio

oblicuo real, el cual expresamos como

( , , )

x

r a b c y

z

(154)

53

cuyo vector transpuesto ( , , ) ( , , )

T T

T T

x x

r a b c y y a b c

z z

es,

( , , )T

a

r x y z b

c

. (155)

Un vector en el espacio recíproco ( o primado) con vectores base a a , b b y c c ,

se expresa como

( , , )

h

r ha kb lc a b c k

l

, (156)

donde los vectores ( , , )a b c y ( , , )a b c están determinados por la relación (117) y (118).

Calculamos, ahora, el producto escalar r r mediante la ecuación

( , , ) ( , , )T

a h

r r r r x y z b a b c k

c l

( , , )

a a a b a b h

x y z b a b b b c k

lc a c b c c

1 0 0

( , , ) 0 1 0 ( , , )

0 0 1

h h

x y z k x y z k

l l

xh yk zl . (157)

Observemos para el espacio recíproco, la expresión para 2r r r , donde el producto

escalar es, para *r ha kb lc , de la forma

2 Tr r r r r r r

54

( , , ) , ,

a h

h k l b a b c k

c l

( , , )

a a a b a c h

h k l b a b b b c k

lc a c b c c

( , , )

h

h k l G k

l

(158)

donde G es la matriz que define la métrica en el espacio recíproco, con elementos de la

matriz 11g a a ,

12g a b , etc. De (158) podemos escribir la expresión análoga a 2r en el espacio oblicuo real , ecuación (152) , ahora en el espacio recíproco como

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2r h a k b l c hka b klc b hlc a (158 a)

De la expresión para G observemos que (identificando 1 2 3( , , )a a a a , etc.) la podemos

expresar en términos de Q (dada en la ecuación (120)) como

1 2 3 1 1 1

1 2 3 2 2 2

1 2 3 3 3 3

T

a a a a b c

G b b b a b c QQ

c c c a b c

. (159)

La ecuación (159) es de utilidad para calcular 2dR en el espacio oblicuo primado, en

efecto, de la ecuación (129) identificamos que TdR Q dr por tanto

( )T TdR Q dr dr Q , de donde 2 TdR dR dR dr QQ dr dr G dr

con

dr en el espacio oblicuo recíproco (o primado).

Con (159) podemos calcular 1( )( ) ( )T T T TGG P P QQ P Q Q Q

1( )( ) ( )T T T TGG P P QQ P Q Q Q

T T T TP IQ P Q

55

1 1 1

2 2 2

3 3 3

x y z

x y z

x y z

a a a a b c

b b b a b c

c c c a b c

1 0 0

0 1 0 ( )

0 0 1

ij

a a a b a c

b a b b b c I

c a c b c c

. (160)

Se puede demostrar que el volumen de la celda unitaria en el espacio oblicuo real definido

por los vectores ( , , )a b c es,

detV G , (161)

de donde

1/ 2

2 2 21 cos cos cos 2cos cos cosV abc . (162)

Además, en el espacio recíproco se cumple que 2 detV G con V , el volumen de la

celda unitaria en el espacio recíproco definido por los vectores ( , , )a b c . Finalmente, Se

puede demostrar que el volumen del espacio real y recíproco satisfacen que

1V V . (163)

Capítulo II. Operaciones de Simetría puntuales

II.1 Definiciones

La simetría de un cuerpo se describe a través del conjunto de todas aquellas

transformaciones las cuales preservan las distancias entre todos los pares de puntos del

cuerpo y traen a éste a coincidir consigo mismo. Cualquier transformación u operación se le

llama una transformación u operación de simetría. Este conjunto de transformaciones

forman un grupo, el grupo de simetría del cuerpo. Las transformaciones que preserven las

distancias entre pares de puntos se pueden construir a partir de tipos fundamentales de ellas,

a saber:

a) Rotación a través de un ángulo finito alrededor de un eje.

b) Reflexiones a través de un plano.

c) Desplazamientos paralelos (traslaciones).

56

Las traslaciones se pueden dar únicamente si el cuerpo es de extensión infinita (por

ejemplo, redes cristalinas infinitas). Por ahora, sólo consideraremos las operaciones del tipo

(a) y (b).

Las operaciones de simetría se realizan en torno a un punto fijo en el espacio. Estas

operaciones incluyen rotaciones en torno a un eje que pasa por ese punto, reflexiones a

través de planos y centros de inversión que contienen también dicho punto. Como objeto de

estudio, consideraremos principalmente a los cristales ( un sólido con un arreglo periódico

de átomos), figura 1.

Figura 1. Esquema periódico de un arreglo de átomos.

El cristal presenta dos características principales: a) simetría traslacional y b) es

invariante ante un desplazamiento paralelo. En la naturaleza se encuentran diversos

sistemas que presentan esta simetría traslacional, figura 2.

a)

57

Figura 2. Sistemas que presentan arreglos periódicos.

Antes de tratar la simetría traslacional de un cristal, revisaremos las operaciones de

simetría puntuales básicas.

Definición de operación de simetría. Acción sobre un objeto, la cual intercambia las

posiciones de los distintos puntos (o átomos) en el cristal u objeto, dando como resultado

que el cristal u objeto se observa exactamente igual que antes de la operación (permanece

indistinguible en su apariencia aunque sus puntos han sido movidos). Por tanto, los átomos

(o puntos) están en posiciones equivalentes (posiciones relacionadas por la simetría) pero

no en las posiciones originales. La figura 3 muestra ejemplos de la acción de una operación

de simetría.

a)

58

b)

c)

d)

59

e)

f)

Figura 3. Diversos ejemplos de operaciones de simetría.

II.2 Operación de simetría puntual.

Definición. Una operación de simetría puntual , es una operación realizada con respecto a

un punto en el espacio, el cual permanece fijo durante la operación.

Descripción matemática. Sean tres vectores ( , , )a b c , ambos ubicados en un origen común.

Aquí, se pide que a y b no sean colineales y c no sea coplanar al plano donde están los

vectores ,a b . Se adopta la convención que el sistema de ejes formado por los tres vectores

sea de mano derecha, figura 4.

Figura 4. Sistema de ejes formado a través de la tríada de vectores

( , , )a b c .

En general, se tiene dos formas de describir el efecto de la operación de simetría.

60

a) El operador de simetría mueve los puntos del espacio (vectores de posición) y los ejes

permanecen fijos (operador activo), figura 5.

Figura 5. Rotación del vector de posición, manteniendo fijos los ejes.

b) Operador de simetría que mueve los ejes de referencia y deja fijos los vectores de

posición (operador pasivo), figura 6.

Figura 6. Rotación de los ejes manteniendo fijo el vector de posición.

En general, el operador de simetría, digamos R , actúa sobre el vector de posición r bajo el

esquema siguiente: R

r r Rr o en forma matricial,

11 11 11

11 11 11

11 11 11

x a a a x

r y a a a y

z a a a z

. (1)

La matriz representa la acción del operador, ésta refleja el efecto de la operación de

simetría puntual. A continuación definimos las diferentes operaciones de simetría

puntuales.

1. IDENTIDAD. La operación que deja intacto al objeto.

61

Notación Internacional (Hermann-Mauguin) (N.I): 1

Notación de Shoenflies (N.Sh): E (de la palabra einheit),

esta operación deja un objeto fijo o rotado por 2 entorno a un eje fijo.

1( )( , , ) ( , , )E x y z x y z

2. ROTACIONES. Rotación respecto a un eje por un ángulo (2 / )n , con n el orden de

rotación.

Notación Internacional (N.I): n

Notación de Shoenflies (N.SH.): nC

En forma compacta se denota por: ( )nn C . Estas son rotaciones puras o propias y

para el caso de cristales se tienen solamente los órdenes de rotación 1,2,3,4,6n en virtud

de que se debe preservar la simetría de traslación, para cualquier otro objeto pueden

aparecer otros órdenes de rotación. Para las rotaciones es necesario definir un eje de

rotación como una cantidad vectorial, esto se puede hacer mediante la ecuación,

S ua vb wc (2)

con ( , , )u v w enteros cualesquiera, figura 7.

Figura 7. Eje de rotación S .

Por conveniencia se adopta la notación uvw para denotar un eje de rotación. Por tanto, en

la notación Internacional, una rotación pura se expresa como , ,n u v w y en la notación de

Shoenflies, nC uvw . Por ejemplo, una rotación en torno al eje c , tenemos 001nC o

001n . La figura 8, muestra los diagramas para el caso de rotaciones.

62

Figura 8. Símbolos para las rotaciones propias o puras.

Si cada rotación se hace a lo largo de un eje perpendicular al plano de la hoja, su efecto

sobre un punto del espacio lo podemos visualizar usando el símbolo , figura 9 a) y b).

a)

b)

Figura 9. Operación de rotación 2C . A) Rotación que mueve el objeto sobre el plano, donde el

punto permanece por encima del plano, b) Rotación que mueve el objeto por debajo del plano,

aquí la rotación la denotamos por 2 001C o 2 001 .

Para el caso en que el objeto (punto del espacio) se coloca por debajo del plano de

la hoja, usaremos el símbolo del inciso (b).

En la figura 10, mostramos el diagrama para una rotación 3 001C o 3 001 actuando

sobre la posición de un objeto, la rotación se hace en sentido contrario a las manecillas del

reloj.

63

Figura 10. Rotación 3 001C .

Observe que existe otra operación de simetría que se puede generar, 3 333( )C C o

2 2

33 ( )C , donde 3 3

33 ( ) 1( )C E . Debido a esto, convenimos que si tenemos 2 operaciones

sucesivas AB, éstas son aplicadas actuando primero B seguida de A. En la figura 11

tenemos el diagrama para una rotación de orden 4, con un ángulo de 2 / 4 .

Figura 11. Operación de rotación 4 001C .

También, en este caso podemos generar las operaciones 2 3 4

4 4 4, ,C C C E . La figura

12 muestra el diagrama para una rotación de orden 6n , o 6C . Para esta operación de

rotación generamos las operaciones 2 3 4 5 6

6 6 6 6 6 6, , , , ,C C C C C C E . Enfatizamos que todas las

rotaciones descritas son en torno a un eje perpendicular al plano de la hoja. Después de la

rotación los puntos del espacio están relacionados simétricamente y resultan en un conjunto

de posiciones equivalentes generales.

64

Figura 12. Rotación 6 100C .

Consideremos una rotación 2 001C utilizando un sistema de ejes ortogonales xyz donde

el eje de rotación está sobre el eje z y veamos como transforma un punto del espacio

ˆˆ ˆr xi yj zk , donde el efecto de la rotación se da sobre sus componentes o coordenadas

( , , )x y z , figura 13.

Figura 13. Rotación 2C en torno al eje z.

En esta rotación, el efecto sobre las coordenadas es,

2Cx x

y y

z z

Que se puede expresar en forma matricial como

65

2

1 0 0

001 ( , , ) ( , , ) 0 1 0

0 0 1

x

C x y z x y z y

z

. (3)

Ya que esta es una rotación activa (movemos el vector de posición) su efecto se puede

deducir de la matriz que describe este tipo de rotación, con .

2

cos 0

( ) cos 0

0 0 1

C

sen

M sen

(3 a)

II.3. Inversión. Operación de simetría respecto a un centro de inversión (un punto fijo).

Se define a través de:

1( )( , , ) ( , , )i x y z x y z (4)

Por convención, escribimos ( , , ) ( , , )x y z x y z . Esta operación se representa en el

diagrama de la figura 14.

Figura 14. Diagrama que representa la inversión a través de un centro.

II.4. Reflexión a través de un plano. La transformación de un punto en el espacio bajo

esta operación se da invirtiendo la coordenada ubicada a lo largo del eje coordenado

perpendicular al plano. La figura 15 muestra un plano con el eje perpendicular coordenado

Y .

66

Figura 15. Plano de reflexión con eje perpendicular a lo largo de Y.

La notación para esta operación es: 010m o 010 , que en forma compacta se puede

denotar como ( ) 010m . Al actuar sobre un punto del espacio lo transforma como,

( ) 010 ( , , ) ( , , )m x y z x y z . (5)

En términos del diagrama , dos notaciones observamos para la reflexión, a)

reflexión paralela, cuando el plano m es perpendicular al plano de la hoja, figura 16.

Figura 16. Reflexión paralela al plano de la hoja,

donde el punto se mantiene por arriba de este plano.

b) Reflexión perpendicular, cuando el plano m es paralelo al plano de la hoja donde el

punto reflejado se ubica por debajo de este plano, su diagrama se muestra en la figura 17.

Figura 17. Reflexión perpendicular, donde el punto reflejado

se ubica por debajo del plano de la hoja.

II.5. Rotación impropia.

Esta es una operación de simetría compuesta.

A) en la notación internacional, esta operación es una rotación-inversión,

B) en el esquema de Shoenflies, la operación es una rotación-reflexión. Cada operación

individual no es una operación de simetría por sí misma. Su notación es, a) en la notación

Internacional, la rotación-inversión es

67

1n ó n (6 a)

en la notación de Shoenflies,

niC (6 b)

B) La rotación-reflexión es

n nS C (7)

La figura 18 muestra el diagrama para el caso de la operación 44( )iC ,

Figura 18. Rotación impropia: rotación-inversión 44( )iC .

El efecto de esta operación sobre un punto ( , , )x y z es una rotación 4C que podemos

considerar en torno al eje de rotación a lo largo del eje z, 4 001C , seguida de una

inversión tomando el origen del sistema coordenado como el centro de inversión. La figura

19 ilustra el efecto de esta rotación impropia sobre la coordenada x , efecto similar se da

sobre las coordenadas y y para z sólo se tiene el efecto de inversión.

Figura 19. Efecto de la operación 4iC sobre x .

El efecto total sobre las coordenadas es,

68

4 001 ( , , ) ( , , )iC x y z y x z . (8)

A través de esta operación podemos generar la operación 2 2

4 24 ( ) 2( )iC C , donde

su efecto de transformación es:

4

4001 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )

i iC x y z y x z y x z x y z x y z (9)

y para la operación 22( ) 001C ,

2 001 ( , , ) ( , , )C x y z x y z

. (10)

Por tanto, 2 2

4 24 ( ) 2( )iC C . Otra operación es 33( )iC y

66( )iC que se ilustra con los

diagramas de la figura 20.

a)

b)

Figura 20. A) Diagrama que ilustra la rotación impropia 3 ,

b) Diagrama para la operación 6 .

69

Con estas rotaciones impropias, generamos las operaciones 2 3 4 5 63, 3 , 3 , 3 , 3 , 3 1 y

2 3 4 2 5 66,6 3,6 ,6 3 ,6 ,6 1 . Finalmente, un plano de reflexión se puede generar

mediante una rotación impropia, 2iC o 2 , para lo cual se necesita un centro de inversión

contenido en el eje de rotación, dicho plano de reflexión será perpendicular a este eje, ver

figura 21. En este caso el eje de rotación es el eje x .

Figura 21. Plano generado por una rotación impropia 2 100iC m .

II.6. Esquema de Shoenflies.

En este esquema, las rotaciones impropias se denotan por

n n nS C C (11)

Para este caso el eje de rotación es perpendicular al plano de reflexión, esto es, nC .

Esta rotación impropia es una operación compuesta, actuando primero la rotación seguida

de la reflexión o viceversa, ver figura 22.

Figura 22. Rotación impropia n nS C .

70

Al plano de reflexión se le identifica como un plano horizontal considerando que el

eje de rotación es vertical, por lo que h

, así

nCn h

S . (12)

Aplicaciones sucesivas de nS se identifican como operaciones realizadas de derecha

a izquierda, por ejemplo, si se aplica m veces, entonces

( )( )... ( )m

n h n h n h n

m

m veces

S C C C

. (13)

Se observa que la rotación alrededor de un eje y la reflexión a través del plano

perpendicular conmutan una a otra. Para la rotación impropia nS se satisface que

n n n n

S C Cn h n n h (13 a)

puesto que n

nC E , 2 E , entonces tenemos que para n par, se satisface que n

nS E

y para n impar n

n hS . Así, para n impar, si un objeto tiene la simetría nS , él también

tiene las simetrías h y

nC como elementos de simetría independientes.

Se puede demostrar que las siguientes rotaciones impropias dan el mismo efecto de

transformación: 3

44 S , figura 18; 5

63 S y 5

36 S , figura 20 a) y b).

Otras operaciones se pueden generar relacionando rotaciones puras con rotaciones

impropias, por ejemplo para 4 4hS C tenemos 4 2 3

4 4 4 2 4, , ,S E S S C S , también,

5 2 4 3 3 4 2 2 2 5 6 6

6 6 3 6 6 3 6 63 , 3 3, 3 1, 3 3 , 3, 3 1S S C S i S C S S E

5 2 2 4 4 3 3 4 2 2 5 6 6

3 3 3 3 3 3 3 36 , 6 6 , 6 , 6 6 , 6, 6 1h hS S C S S C S S E

II.7. Operación inversa.

Cada operación de simetría tiene su operación inversa la cual deshace el efecto que genera

la operación original.

Definición. Si , , ,...A B C son operaciones de simetría, y si por ejemplo, AC E con E la

operación identidad, entonces A es la inversa de C o viceversa. La inversa de A se

denota como 1A . Por ejemplo, si 3A C , su inversa es 1 3

3 2C C ya que

1 2 3

3 3 3 3 3C C C C C E , o a la inversa, 1 2 3

3 3 3 3 3C C C C C E . La figura 23 muestra el

efecto de la operación inversa.

71

Figura 23. Efecto de la operación inversa 1

3C.

La siguiente tabla muestra las operaciones de rotación nC y rotaciones impropias

nS con

sus respectivas operaciones inversas,

donde, m m

n nS C para n impar, y m par. Para el caso de , ,E i , estas operaciones son su

propia operación inversa. Puesto que 1i i y 2h iC entonces 1 1

2 2h hi i i iC C

y por tanto,

2 hC i (13b)

además, de esta ecuación obtenemos que 2hC i entonces

2 2hi S C (13 c)

A continuación enfatizamos algunas notaciones para los planos de reflexión;

a) h : reflexión en un plano horizontal, este plano es perpendicular al eje de rotación

principal (el de mayor orden) y contiene el origen, figura 24.

b) v : reflexión en plano vertical donde dicho plano contiene el eje de rotación principal,

figura 25.

Operación de Simetría Operación inversa

m

nC 0n m

nC

m

nS 0n m

nS , ,m n par

m

nS 2 0n m

nS , ,m n impar

72

c) d : reflexión en un plano diagonal que contiene el eje de rotación principal y bisecta el

ángulo entre ejes 2C perpendiculares al eje principal. Usualmente a estos ejes se les denota

con una (’) para distinguirlos del eje principal de mayor orden, figura 26.

Figura 24. Plano horizontal perpendicular al eje principal.

Figura 25. Plano vertical que contiene al eje principal.

Figura 26. Plano diagonal que bisecta los

Los ejes 2C y contiene el eje principal.

Consideremos algunas propiedades de las reflexiones sucesivas en diferentes

planos o rotaciones respecto de diferentes ejes. Primero, sea el producto de reflexiones en

73

dos planos intersectándose en una línea. La figura 27 muestra las trazas de las líneas de

intersección de los planos verticales v y v con O la traza de su línea de intersección.

Figura 27. Proyección de los planos verticales v y 'v

que se intersectan en la línea O.

Sea el ángulo entre los planos v y 'v

, haciendo primero la reflexión en 'v

y luego

en v , vemos que P se mueve a P y luego a P , donde ' ''OP OP OP . De la

construcción de la figura, el ángulo entre OP y ''OP es igual a 2 , por tanto tenemos

que

' 2

Cvv

, (13 d)

donde 2

C

es una rotación con un ángulo 2 respecto de la línea de intersección de los

dos planos verticales en la dirección de 'v

a v . Similarmente, 'v v es una rotación de

igual ángulo pero en sentido opuesto. Enfatizamos que v y 'v

no conmutan excepto en

el caso cuando 2

, generándose la rotación propia

2C , y , cuando 'vv (

2

1v C E ). También, multiplicando (13 d) por la izquierda por v encontramos que

' 2C

v v . Así, tenemos tres elementos dependiendo mutuamente, donde cualesquiera dos

de los elementos de simetría de 2,

', Cv v

implican la presencia del tercero.

Otra propiedad importante se obtiene usando la figura 28, en ella OP es vertical en

tanto que las líneas oa y ob están en el plano horizontal. Consideremos el efecto de

rotaciones sucesivas en un ángulo , primero respecto a oa y luego a ob . Al rotar en

oa deja invariante a ésta línea y mueve P a 'P ( 'OP OP ).

74

Figura 28. Rotación sobre las líneas oa y ob ubicadas

en el plano horizontal a la línea OP .

Posteriormente, rotamos respecto de ob , entonces 'P retorna a P y así el producto

debe ser una rotación respecto de 'POP . De la rotación respecto de ob , a se mueve a 'a

(como se muestra en la figura) generándose el ángulo ( ') 2aba , la rotación sucesiva,

ahora respecto de oa genera también ( ') 2bab , por lo que el efecto neto de las

rotaciones sucesivas respecto de dos ejes que hacen un ángulo entre ellos resulta en una

rotación de 2 respecto de un eje perpendicular a los dos primeros. Por ejemplo, si en

los ejes cartesianos tenemos un eje 2C en X y otro

2C en Y , entonces tendremos un

tercero 2C a lo largo de Z , es decir,

2 2 2 2 2C C C C C .

II.8. Proyección estereográfica

El método más simple para describir un cristal es indicar en la superficie de una

esfera unitaria los polos de un poliedro, es decir, los puntos en los cuales las normales a las

caras del cristal intersectan la superficie de la esfera. Para obtener la forma del cristal del

diagrama de polos, se dibujan los planos tangentes a la esfera unitaria en todos los polos y

se obtiene un poliedro cerrado. Para presentar la figura de polos en dos dimensiones

hacemos uso de las proyecciones estereográficas y con esto obtenemos diagramas útiles

para visualizar los efectos de las operaciones de simetría puntuales, figura 29.

75

a)

b)

Figura 29. a) Objeto en la esfera unitaria,

b) Proyección sobre el plano x y .

En este esquema, los círculos huecos denotan un objeto sobre el plano circular

bisector de la esfera, en z , y los círculos negros indican un objeto por debajo del mismo

plano, en z . Estos puntos representan puntos equivalentes generales de átomos u objetos.

Ya que los estereogramas son para puntos generales, hay tantos puntos como operaciones

de simetría existen. Haremos la descripción del estereograma de la figura 30, que muestra

la molécula de agua 2H O . El grupo de operaciones de simetría puntuales es 2 2, ,2E C .

76

a)

b)

Figura 30. a) Molécula 2H O con su eje y planos de simetría.

b) Estereograma de la molécula de agua.

Se inicia en un círculo en la posición (1) , que al aplicarle la operación identidad

permanece invariable, esto es, (1) (1)E ; si sobre el mismo aplicamos la rotación 2C ,

tenemos que resulta el círculo 2, 2(1) (2)C . Aplicando un plano de reflexión obtenemos,

(1) (3)v ; finalmente, aplicando el otro plano de reflexión, (1) (4)v . Las líneas

gruesas indican la presencia de los planos verticales que contienen el eje de rotación 2C

indicado por su símbolo correspondiente.

La figura 31 indica la estructura de la molécula 3NH y su correspondiente estereograma.

77

a)

b)

Figura 31. A) Molécula 3NH y b) su estereograma.

El grupo de operación de simetría puntual es 2

3 3, , ,3E C C . El efecto de transformación

de cada operación partiendo del círculo (1) es: (1) (1)E , 3(1) (2) (3)C ,

2

3 (1) (3)C ; Con los planos verticales de reflexión, el efecto sobre:

3

(1), (2), (3) (4),(5), (6)v

. Las líneas gruesas representan los planos verticales, y la rotación

3C se denota con su símbolo correspondiente en el centro del círculo. La figura 32 muestra

la molécula 3 2PF Cl y su correspondiente estereograma.

Observamos que la presencia del plano horizontal h se manifiesta por el contorno

grueso del círculo. El símbolo en el centro representa la presencia de la operación 3S ,

además, los ejes de rotación 2C perpendiculares al eje principal

3C se denotan con su

símbolo sobre la periferia del círculo, de igual manera los 3 planos de

78

a)

b)

Figura 32. A) Molécula 3 2PF Cl y b) su estereograma.

reflexión verticales v se señalan por las líneas gruesas. El grupo de operaciones de

simetría de la molécula es 2 5

3 3 2 3 3, , ,3 , ,3 , ,h vE C C C S S . Finalmente, la figura 33 muestra

el estereograma de un objeto con el grupo de simetría dado por

3 3

4 2 4 2 2 4 4, , , ,2 ,2 , , , , ,2 ,2h v dE C C C C C i S S .

79

Figura 33. Estereograma del objeto con eje de rotación 4C .

Los ejes de rotación 2C están contenidos en los planos v , y los ejes

2C en los

d

’s. La línea gruesa en el contorno del círculo unitario indica la presencia de un plano h

. A

manera de resumen, podemos comparar las notaciones de Schoenflies y Hermann-Mauguin

en la siguiente tabla 1.

Tabla 1. Comparación entre la notación de Schoenflies y de Hermann-

Mauguin.

Schoenflies

Hermann-Mauguin

Rotación nC n

Rotación-inversión niC n

Plano de reflexión m

Plano de reflexión

Horizontal a un eje

de rotación n

h /n m

Plano de reflexión

vertical conteniendo

un eje de rotación n

V nm

Dos planos de reflexión

verticales no equivalentes

conteniendo un eje de

rotación n

V nmm

A manera de resumen, podemos establecer algunas relaciones útiles sobre la

conmutatividad de las operaciones de simetría:

80

a) La inversión conmuta con todas las operaciones de simetría puntuales.

b) Todas las rotaciones respecto a un mismo eje, conmutan.

c) Todas las rotaciones respecto a un eje de rotación arbitrario, conmuta con las reflexiones

a través de un plano perpendicular a este eje.

d) Dos rotaciones 2C respecto a ejes perpendiculares, conmutan.

e) Dos reflexiones en planos perpendiculares, conmutan.

f) Cualesquiera dos de los elementos de simetría , ,h n nS C ( n par), implican el tercero.

II.9. Grupos puntuales.

De las operaciones de rotación propias, podemos generar los primeros 5 grupos puntuales

de simetría.

a) 1C E o 1 1C

b) 2 2C E C , o 2 1 2C ,

c) 2

3 3 3C E C C , , o 2

3 1 3 3C , ,

d) 2 3

4 4 4 2 4C E C C C C , , , o 2 3

4 1 4 4 4C , , ,

e) 2 3 2 4 5

6 6 6 3 6 3 6 2 6C E C C C C C C C C , , , , , o 2 3 2 4 5

6 1 6 6 3 6 3 6 2 6C , , , , ,

Los objetos, moléculas o átomos que tienen algunos de estos grupos puntuales de simetría

se dice que tienen la simetría puntual nC n( ) . En forma resumida, revisaremos algunos de

los 32 grupos puntuales de simetría. Estos son generados de hacer el producto entre los

grupos de rotación nC n( ) y grupos que contienen planos de reflexión y centros de

inversión. Así, el primer grupo1hC m( ) lo generamos a través de

SC m( ) usando el producto

entre dos grupos cuyos elementos conmutan entre sí y tengan como único elemento en

común a la identidad E ó 1. Así, tenemos

a) 1h h h hC E E EE E E , , ,

b) 2 2 2 2 22h h h h hC m E C E E C EE EC E C i ( / ) , , , , , ,

81

2, , ,hE C i

c) 2 2 2 5 1

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 36( ) , , , , , , , , ,h h h h h hC E C E E C C E C C C S C S S

3 32 2, , ,hE C S

d) 2 3 2 3 3 3

4 4 4 4 2 4 4 4 2 4 4 4 2 4 44h i hC m C C E C C C C E i E C C C C i iC S iC iC S ( / ) , , , , , , , , , , ,

4 2 42 2, , , , , hE C C i S

e) 2 3 4 2 5

6 6 6 3 6 2 6 3 66( / ) , , , , , ,h hC m E E C C C C C C C C

2 3 4 2 5 2 5

6 6 3 6 2 6 3 6 6 3 2 3 6, , , , , , , , , , ,h h h h h hE C C C C C C C C C C C i C C

2 5 1 2 5 5

6 3 2 3 6 6 6 3 3 3 3 6 6, , , , , , , , , , ,h h h h hE C C C C C S C S C i S C S C

6 3 2 3 62 2 2 2, , , , , , , hE C C C i S S

Hasta aquí, se han generado los grupos: 1 2 3 4 62 6 4 6( ); ( / ); ( ), ( / ), ( / )h h h h hC m C m C C m C m .

Enfatizamos que la notación “ /n m ” significa que el plano m es perpendicular al eje nC

(notación Internacional de Hermann-Mauguin).

Por otro lado, con la presencia de un plano vertical v podemos generar otros

grupos mediante la multiplicación del grupo ,E v con los grupos de rotación propias nC ,

es decir, ,n vC E . Identificamos que el grupo 1 ,h hC E y 1 ,v vC E son

indistinguibles, puesto que no hay diferencia en tomar el plano como vertical u horizontal.

Los grupos generados son:

a) 2 2 2 22( ) , , , , ,v v v vvC mm E C E E C C

b) 2 2 2

3 3 3 3 3 3 333 2 3( ) , , , , , , , , , ,v v v v vv

C m E C C E E C C C C E C

c) 2 3 2 3 3

4 4 2 4 4 4 2 4 4 2 443( ) , , , , , , , , , , ,v v v v vv

C mm E C C C C E E C C C C C C C

82

3

4 2 2 4 4 4

2 2

2 2 2 2, , , , , , , , ,

v d

v v v v v dE C C C C C E C

d) 2 3 4 2 5

6 6 6 3 6 2 6 3 66( ) , , , , , ,v vC mm E C C C C C C C C E

2 5 2 5

6 3 2 3 6 6 3 3 2 6, , , , , , , , , , ,v v v v d vE C C C C C C C C C C

6 3 22 2 3 3, , , , ,v dE C C C

Observamos que la notación “ nm ” sin la presencia de “/” significa que el eje de

rotación nC contiene al plano m .

Otros tres grupos son:

a) 2 1( ) , ( )i iC S E i C

b) 3 3 3

4 2 4 4 2 4 2 4 2 44 2( ) , , , , , , ,S E C E S E S C S C S E C S

c) 2 2 5 2

6 3 3 3 3 3 6 3 63( ) , , , , , , , ,S E i E C C E C C i iC S iC S

2 5

3 3 6 6 3 62 2, , , , , , , ,E C C i S S E C i S

Otros 4 grupos identificados como “nD ” son generados agregando un eje

2C perpendicular

al eje principal nC , esto es, 2,n nD C E C .

a) 1 2 2, ,D E E C E C

b) 2 2 2 2 2 2 2 2 2222 3( ) , , , , , ,D E C E C E C C C C C E C

c) 2 2 2

3 3 3 2 3 3 2 3 2 3 2 3 232 2 3( ) , , , , , , , , , ,D E C C E C E C C C C C C C E C C

d) 3 3 3

4 4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 2 2 4 2422( ) , , , , , , , , , , ,D E C C C E C E C C C C C C C C C C

4 2 2 22 2 2, , , ,E C C C C

e) 2 5

6 6 3 2 3 6 2622( ) , , , , , ,D E C C C C C E C

83

2 5 2 5

6 3 2 3 6 2 6 2 3 2 3 2 6 2 6 3 2 2 22 2 3 3, , , , , , , , , , , , , , ,E C C C C C C C C C C C C C C E C C C C C

Otros grupos se pueden generar a través de 2,nh nhD C E C , denotados por 2 ( )hD mmm ,

3 6 2( )hD m , 4 4( / )hD mmm y

6 6( / )hD mmm .

II.10. Sistema de ejes hexagonales

La figura 34 muestra un sistema de ejes hexagonales donde el vector c es

perpendicular al plano de la hoja donde está el plano de los vectores a y b los cuales

hacen un ángulo interaxial de 0120 .

a)

b)

Figura 34. Posiciones equivalentes en un sistema de ejes hexagonales.

El eje 6 001C es perpendicular al plano de los vectores a

y b donde b a .

84

El propósito de esta figura es mostrar las coordenadas de los puntos generales que

resultan en un sistema hexagonal ante las operaciones de rotación 3

mC o 6

mC .

Consideremos como punto de partida al punto con coordenadas ( , , )x y z a lo largo de los

ejes ,a b y c . El ángulo que el vector a b hace con a y b es de 060 . De la figura 34

observamos que al aplicar la rotación 6C obtenemos:

6 ( , , ) ( , , ) ( , , )C x y z x y z x y x z (14)

de igual forma, tenemos que la siguiente rotación genera la transformación

2

6 6 6 6 3( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )C x y z x y z C C x y z C x y x z y x y z C x y z (15)

Se acostumbra a denotar las coordenadas negativas como y y , por lo que

6 ( , , ) ( , , )C x y z y x y z . También observamos que

3

6 ( , , ) ( , , )C x y z x y z (16)

De igual forma

4 2

6 3( , , ) ( , , ) ( , , )C x y z y x x z C x y z . (17)

Finalmente, las siguientes rotaciones son

5

6 ( , , ) ( , , )C x y z y y x z , (18)

y, 6

6 ( , , ) ( , , ) ( , , )C x y z x y z E x y z .

Representando estas rotaciones en forma matricial, tenemos que:

6

1 1 0

1 0 0

0 0 1

( , , )

x y x

C x y z x y

z z

, (19)

2

6

0 1 0

1 1 0

0 0 1

( , , )

y x

C x y z x y y

z z

, (20)

3

6

1 0 0

0 1 0

0 0 1

( , , )

x x

C x y z y y

z z

, (21)

85

4

6

1 1 0

1 0 0

0 0 1

( , , )

y x x

C x y z x y

z z

, (22)

5

6

0 1 0

1 1 0

0 0 1

( , , )

y x

C x y z y x y

z z

. (23)

Observamos que 3

6 2001 001C C con el eje 2C perpendicular al plano de los vectores

a y b . También, observamos que 2

6 3C C y 4 2

6 3C C en el mismo sistema de ejes

hexagonales. Identifiquemos algunas operaciones equivalentes.

a) Si 5

6 ( , , ) ( , , )C x y z y y x z entonces 5

6 ( , , ) ( , , ) ( , ( ), ) ( , , )iC x y z i y y x z y y x z y y x z


5

6

0 1 0

1 1 0

0 0 1

( , , )

yx

iC x y z y y x

z z

. (24)

También,

3 3 001h hS x y z C x y z y x y z y y x z ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) , (25)


3

0 1 0

1 1 0

0 0 1

S

(26)

Por tanto,

5 5

6 36iC S . (27)

Por otro lado, tenemos también que 6 001 ( , , ) ( , , )C x y z x y x z entonces

6 001 6iC x y z x y z i x y x z x y x z ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) o en forma matricial,

1 1 0

6 1 0 0

0 0 1

x y x

x y z x y

z z

( , , ) , (28)

Pero, 3 ( , , ) ( , , )S x y z y x y z , 2

3 3( , , ) ( , , ) ( , , )S x y z S y x y z y x x z ,

3

3 3( , , ) ( , , ) ( , , )S x y z S y x x z x y x , 4

3 3( , , ) ( , , ) ( , , )S x y z S x y x y x y z ; finalmente

5

3 3( , , ) ( , , ) ( , , )S x y z S y x y z x y x z o en forma matricial

86

5

3

1 1 0

1 0 0

0 0 1

( , , )

x x y

S x y z y x

z z

(29)

Por lo que

5

6 36iC S . (30)

La tabla 2 muestra los 32 grupos puntuales cristalográficos derivados de los 7 sistemas

cristalinos

Tabla 2. Los 32 grupos puntuales cristalográficos. Parte 1

Schoenflies Internacional Internacional

completa

Elementos de

Simetría Elementos

generadores

Triclínico

1C 1 1 E E

2 1( )S C 1 1 ,E i i

Monoclínico

2C 2 2 2,E C

2C

1 ( )h SC C m m hE

h

2hC 2/m 2

m 2, , , hE C i

2iC

Ortorrómbico

2 ( )D V 222 222 2 2 2, , ,E C C C

2 2,yC C

2VC 2mm 2mm 2, , ,V VE C

2 ,Y

VC

2 ( )h hD V mmm 2 2 2, ,

m m m 2 2 2, , , , , , ,h V VE C C C i

2, ,y

Vi C

Tetragonal

4C 4 4 4 22, ,E C C

4C

4S 4 4 4 22, ,E S C 3

4S

4hC 4/m 4

m 4 2 42 2, , , , , hE C C i S

4,i C

4D 422 422 4 2 2 22 2 2, , , ,E C C C C 2 4,yC C

4VC 4mm 4mm 4 22 2 2, , , ,V dE C C

4,y

V C

2 ( )d dD V 42m 42m 2 2 42 2 2, , , ,dE C C S 3

2 4,yC S

4hD 4/mmm 4 2 2, ,

m m m 4 2 2 22 2 2, , , ,E C C C C

42 2 2, , , ,h V di S 2 4, ,yi C C

87

Tabla 2. Los 32 grupos puntuales cristalográficos. Parte 2

Schoenflies Internacional Internacional

completa Elementos de simetría

Elementos

generadores

Trigonal

(Rombohedral)

3C 3 3 32,E C

3C

6 3( )iS C 3 3 3 62 2, , ,E C i S 3,i C

3D 32 32 3 22 3, ,E C C

2 3,yC C

3VC 3m 3m 32 3, , VE C

3,y

V C

3dD 3m 23,

m 3 2 62 3 2 3, , , , , VE C C i S

2 3, ,yi C C

Hexagonal

6C 6 6 6 3 22 2, , ,E C C C

2 3,C C

3hC 6 6 3 32 2, , ,hE C S

3,h C

6hC 6/m 6

m 6 3 2 3 62 2 2 2, , , , , , , hE C C C i S S

2 3, ,i C C

6D 622 622 6 3 2 2 22 2 3 3, , , , ,E C C C C C

2 2 3, ,yC C C

6VC 6mm 6mm 6 3 22 2 3 3, , , , ,V dE C C C

2 3, ,y

VC C

3hD 6 2m 6 2m 3 2 32 3 2 3, , , , ,h VE C C S 2 3, ,y

hC C

6hD 6/mmm 6 2 2, ,

m m m 6 3 2 2 22 2 3 3, , , , ,E C C C C C

3 62 2 3 3, , , , ,h V di S S 2 2 3, , ,yi C C C

Cúbico

T 23 23 3 28 3, ,E C C 2 3 111,C C

hT 3m 23,

m 3 2 68 3 8 3, , , , , hE C C i S 2 3 111, ,i C C

O 432 432 3 2 2 48 3 6 6, , , ,E C C C C 4 3 111,C C

dT 43m 43m 3 2 48 3 6 6, , , ,dE C C S 3

4 3 111,S C

hO 3m m 4 23

m m 3 2 2 48 3 6 6, , , ,E C C C C

6 48 3 6 6, , , ,h di S S

4 3 111, ,i C C

88

II.11. Rotación sobre un eje arbitrario.

Dado un eje de rotación arbitrario S , se puede realizar una rotación activa de mano

derecha por un ángulo alrededor del mismo, figura 35. Esta rotación se puede describir

mediante una matriz. Consideremos que el eje tiene cosenos de dirección ,x yn n y zn en el

sistema cartesiano Oxyz , por tanto la matriz viene dada por

z

y

x

S

Figura 35. Eje de rotación arbitrario en el

Sistema de ejes Cartesianos.

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( )

m m m

M m m m

m m m

, (31)

donde: 2

11 cos (1 cos )xm n , 12 (1 cos )x y zm n n n sen ,

13 (1 cos )x z ym n n n sen ; 21 (1 cos )x y zm n n n sen , 2

22 cos (1 cos )ym n ,

23 (1 cos )y z xm n n n sen ; 31 (1 cos )z x ym n n n sen , 32 (1 cos )z y xm n n n sen

, 2

33 (1 cos ) coszm n . Siendo los cosenos de dirección, cosxn , cosyn y

coszn . Con esta matriz podemos describir la rotación de cualquier punto con vector de

posición ( , , )r x y z en el espacio.

A continuación se da un listado de matrices para las operaciones activas a través de

rotaciones propias o impropias. Las matrices están agrupadas de acuerdo a las direcciones

respecto de las cuales ellas operan. Las direcciones que se usan son aquellas que

89

generalmente se utilizan en la simetría de los cristales. Las matrices que se aplican

específicamente a los sistemas hexagonal ( y trigonal) se señalan con la letra H.

a) Dirección 000

1(E)

1 0 0

0 1 0

0 0 1

;

1 0 0

1( ) 0 1 0

0 0 1

i

b) Dirección 100

2

1 0 0

2( ) 0 1 0

0 0 1

C

;

1 0 0

2 ( ) 0 1 0

0 0 1

m

H: 2

1 1 0

2( ) 0 1 0

0 0 1

C

;

1 1 0

2 ( ) 0 1 0

0 0 1

m

4

1 0 0

4( ) 0 0 1

0 1 0

C

; 3

4

1 0 0

4( ) 0 0 1

0 1 0

S

2 2

4 24 ( ) 2( )C C , 2 2

4 24 ( ) 2( )S C

3 3

4

1 0 0

4 ( ) 0 0 1

0 1 0

C

; 3

4

1 0 0

4 ( ) 0 0 1

0 1 0

S

c) Dirección 010

2

1 0 0

2( ) 0 1 0

0 0 1

C

;

1 0 0

2 ( ) 0 1 0

0 0 1

m

90

H: 2

1 0 0

2( ) 1 1 0

0 0 1

C

;

1 0 0

2 ( ) 1 1 0

0 0 1

m

4

0 0 1

4( ) 0 1 0

1 0 0

C

; 3

4

0 0 1

4( ) 0 1 0

1 0 0

S

2 2

4 24 ( ) 2( )C C ; 2 2

4 24 ( ) 2( )S C

3 3

4

0 0 1

4 ( ) 0 1 0

1 0 0

C

; 3

4

0 0 1

4 ( ) 0 1 0

1 0 0

S

d) Dirección 001

2

1 0 0

2( ) 0 1 0

1 0 0

C

;

1 0 0

2 ( ) 0 1 0

0 0 1

m

H: 3

0 1 0

3( ) 1 1 0

0 0 1

C

; 5

6

0 1 0

3( ) 1 1 0

0 0 1

S

H: 2 2

3

1 1 0

3 ( ) 1 0 0

0 0 1

C

; 5

6

1 1 0

3 ( ) 1 0 0

0 0 1

S

H: 2 4 2 2

6 33 ( ) 3 ( )S C

H: 3 3

63 ( ) 1( )S i

H: 4 2

6 33 ( ) 3( )S C

4

0 1 0

4( ) 1 0 0

0 0 1

C

; 3

4

0 1 0

4( ) 1 0 0

0 0 1

S

91

2 2

4 24 ( ) 2( )C C ; 2 2

4 24 ( ) 2( )S C

3 3

4

0 1 0

4 ( ) 1 0 0

0 0 1

C

; 3

4

0 1 0

4 ( ) 1 0 0

0 0 1

S

H: 6

1 1 0

6( ) 1 0 0

0 0 1

C

, 5

3

1 1 0

6( ) 1 0 0

0 0 1

S

H: 2 2

6 36 ( ) 3( )C C ; 2 4

3 36 ( ) 3( )S C

H: 3 3

6 26 ( ) 2( )C C ; 3

36( ) ( )S m

H: 4 4 2 2

6 36 ( ) 3 ( )C C ; 4 2 2 2

3 36 ( ) 3 ( )S C

H: 5 5

6

0 1 0

6 ( ) 1 1 0

0 0 1

C

; 5

3

0 1 0

6 ( ) 1 1 0

0 0 1

S

e) Dirección 110

2

0 1 0

2( ) 1 0 0

0 0 1

C

;

0 1 0

2 ( ) 1 0 0

0 0 1

m

f) Dirección 101

2

0 0 1

2( ) 0 1 0

1 0 0

C

;

0 0 1

2 ( ) 0 1 0

1 0 0

m

g) Dirección 011

2

1 0 1

2( ) 0 0 1

0 1 0

C

;

1 0 0

2 ( ) 0 0 1

0 1 0

m

92

h) Dirección 110

2

0 1 0

2( ) 1 0 0

0 0 1

C

;

0 1 0

2 ( ) 1 0 0

0 0 1

m

i) Dirección 101

2

0 0 1

2( ) 0 1 0

1 0 0

C

;

0 0 1

2 ( ) 0 1 0

1 0 0

m

j) Dirección 011

2

1 0 0

2( ) 0 0 1

0 1 0

C

;

1 0 0

2 ( ) 0 0 1

0 1 0

m

k) Dirección 111

3

0 0 1

3( ) 1 0 0

0 1 0

C

; 5

6

0 0 1

3( ) 1 0 0

0 1 0

S

2 2

3

0 1 0

3 ( ) 0 0 1

1 0 0

C

; 5

6

0 1 0

3 ( ) 0 0 1

1 0 0

S

2 4 2 2

6 33 ( ) 3 ( )S C ; 3 3

63 ( ) 1( )S i ; 4 2

6 33 ( ) 3( )S C

l) Dirección 111

3

0 1 0

3( ) 0 0 1

1 0 0

C

; 5

6

0 1 0

3( ) 0 0 1

1 0 0

S

93

2 2

3

0 0 1

3 ( ) 1 0 0

0 1 0

C

; 5

6

0 0 1

3 ( ) 1 0 0

0 1 0

S

2 4 2 2

6 33 ( ) 3 ( )S C ; 3 3

63 ( ) 1( )S i ; 4 2

6 33 ( ) 3( )S C

m) Dirección 111

3

0 1 0

3( ) 0 0 1

1 0 0

C

; 5

6

0 1 0

3( ) 0 0 1

1 0 0

S

2 2

3

0 0 1

3 ( ) 1 0 0

0 1 0

C

; 5

6

0 0 1

3 ( ) 1 0 0

0 1 0

S

2 4 2 2

6 33 ( ) 3 ( )S C ; 3 3

63 ( ) 1( )S i ; 4 2

6 33 ( ) 3( )S C

n) Dirección 111

3

0 1 0

3( ) 0 0 1

1 0 0

C

; 5

6

0 1 0

3( ) 0 0 1

1 0 0

S

2 2

3

0 0 1

3 ( ) 1 0 0

0 1 0

C

; 5

6

0 0 1

3 ( ) 1 0 0

0 1 0

S

2 4 2 2

6 33 ( ) 3 ( )S C ; 3 3

63 ( ) 1( )S i ; 4 2

6 33 ( ) 3( )S C

ñ) Dirección 210

H: 2

1 0 0

2( ) 1 1 0

0 0 1

C

;

1 0 0

2 ( ) 1 1 0

0 0 1

m

o) Dirección 120

94

H: 2

1 1 0

2( ) 0 1 0

0 0 1

C

;

1 1 0

2 ( ) 0 1 0

0 0 1

m

II.12 Elementos de simetría del cuadrado plano.

Para el grupo de simetría del cuadrado plano, obtengamos las representaciones

matriciales de cada una de sus operaciones de simetría en el espacio bidimensional. La

figura 36 muestra los elementos de simetría del cuadrado en el cual los puntos de referencia

externos (1,2,3,4,5,6,7,8) permanecen fijos ante cada operción de simetría.

Figura 36. Cuadrado plano con las trazas de los planos

de reflexión. En el centro del cuadrado pasan

los ejes de rotación.

Los elementos de simetría que dejan invariante el cuadrado son:

a) E : identidad

b) 4C : rotación de 090 .

c) 2

4C : rotación de 0180 .

d) 3

4C : rotación de 0270 .

e) xm : reflexión en la línea 5-7.

f) ym : reflexión en la línea 6-8.

g) u : reflexión en la línea 1-3.

h) v : reflexión en la línea 2-4.

95

Las rotaciones son en el sentido de las manecillas del reloj, a través de un eje que

pasa por el centro de la figura. La matriz que determina una rotación activa (mueve el

vector de posición) en el sentido contrario al movimiento de las manecillas de reloj es,

cos

cos

senA

sen

, por lo que para nuestro caso debemos sustituir para la

descripción correcta de las rotaciones. Para las reflexiones, usaremos la matriz

cos 2 2

2 cos 2

senB

sen

, donde es el ángulo que hace la línea de reflexión respecto al eje

x . Así, para xm , 0 ;

ym , 090 ; u , 0135 ;

v , 045 . Luego las matrices para

cada operación son:

a) E 1 0

0 1

; b) 4C

0 1

1 0

; c) 2

4C1 0

0 1

; d) 3

4C0 1

1 0

; e) xm

1 0

0 1

; f)

ym1 0

0 1

; g) v

0 1

1 0

; h) u

0 1

1 0

.

Podemos esquematizar el efecto de cada operación en el cuadrado, así por ejemplo, 4C al

actuar en la figura original genera la transformación que se muestra en la figura 37.

4C :

Figura 37. Efecto de la rotación 4C .

En términos de la transformación de coordenadas de un punto ( , )x y en el cuadrado, el

efecto de 4C está dado por,

4

0 1( , ) ( , ) ( , )

1 0

xC x y x y y x

y

.

96

Para el efecto de una reflexión, por ejemplo, u observemos la figura 38.

u :

Figura 38. Efecto de la reflexión u .

En términos de la transformación de coordenadas de un punto ( , )x y en el cuadrado, el

efecto de u está dado por,

0 1( , ) ( , ) ( , )

1 0u

xx y x y y x

y

.

Observemos que la operación compuesta de dos elementos de simetría del grupo

genera siempre otro elemento del grupo, por ejemplo, 4 x uC m , etc., en la siguiente tabla

encontramos todas las posibles combinaciones binarias entre elementos del grupo, donde la

acción de cada operación es de izquierda a derecha al formar los productos.

1ro

2d0

E 4C 2

4C 3

4C xmym u v

nE

4C

2

4C

3

4C

xm

ym

u

v

E 4C 2

4C 3

4C xmym u v

4C 2

4C 3

4C E u v ym xm

2

4C 3

4C E 4Cym xm v u

3

4C E 4C 2

4C v u xmym

xm v ym u E 2

4C 3

4C 4C

ym u xm v2

4C E 4C 3

4C

u xm v ym 4C 3

4C E 2

4C

v ym u xm 3

4C 4C 2

4C E

97

III. Sistemas cristalinos

Usaremos las operaciones de simetría para clasificar y caracterizar los cristales. Las

operaciones de simetría básicas imponen restricciones en la longitud de la celda unitaria y

los ángulos interaxiales que dan origen a los 7 sistemas cristalinos.

III.1 Concepto de red

Definición. Entendemos por red al arreglo de puntos de extensión infinita en el espacio en

el cual cada punto tiene un entorno idéntico a todos los demás. Esta es una construcción

matemática , figura 1.

Figura 1. Arreglo periódico infinito de puntos en el espacio

El arreglo periódico de puntos se genera invocando la propiedad de INVARIANCIA

TRASLACIONAL (característica fundamental de los cristales). Para la construcción de los

puntos de red, se usa el vector de traslación primitivo el cual se define por

1 2 3t n a n b n c (1)

donde 1 2,n n y

3n son enteros. Los vectores ,a b y c son tales que los dos primeros no son

colineales y el tercero no es coplanar al plano donde están ,a b . Los tres vectores parten de

un mismo origen y definen los ejes de referencia. Los puntos de red son generados por t

no importa donde elijamos el origen, figura 2.

98

a)

b)

Figura 2. a) Vectores base que definen el arreglo periódico

de puntos en el espacio. b) Proyección en el plano.

III.2 Celda unitaria primitiva

Con los vectores ,a b y c , llamados vectores base primitivos, generamos un

volumen en el espacio ( )V a b c el cual al trasladarse paralelamente a lo largo de los

ejes definidos por los vectores base a través de t , llena todo el espacio y genera la red de

puntos con un arreglo periódico de extensión infinita en el espacio.

Definición. Celda unitaria: región del espacio con volumen ( )V a b c .

Si únicamente esta celda contiene un solo punto de red, diremos que se tiene una

celda unitaria primitiva, por tanto, una celda unitaria primitiva P (c.u.p.) contiene un solo

punto de red. En general, se puede usar una celda primita o no primitiva NP (con más de

un punto) para describir una red, figura 3.

99

Figura 3. Celda unitaria primitiva y no primitiva.

Definición. Estructura cristalina: arreglo periódico de átomos en el espacio que se

extienden en forma infinita y que dan forma a un cristal.

Es posible definir una base, como el grupo de átomos asociados a los puntos de la red. Así,

tenemos que: estructura cristalina = red + base, figura 4.

Figura 4. Puntos de red con una base de dos átomos.

En general, el número de átomos en una base puede ser uno o más de uno.

Enfatizamos que la c.u.p. es la celda más pequeña que genera la estructura cristalina. En

una estructura cristalina, la simetría de la misma involucra la simetría de la celda

(geometría) y su contenido, esto es, no únicamente con la forma de la celda generada por

los puntos de red sino también con los átomos. Por tanto, la red está formada de puntos de

red (construcción matemática) + átomos de la red (objetos físicos).

III.3 Sistemas cristalinos

Sean ,a b y c vectores base primitivos que definen los ejes (vectores que siguen

el orden de la mano derecha) y , y los ángulos interaxiales, figura 5.

100

Figura 5. Vectores base que definen una celda unitaria

con sus ángulos interaxiales.

Estos vectores definen una celda unitaria primitiva de volumen V en un sistema de ejes

oblicuos en general. Los 7 sistemas cristalinos se obtienen de considerar el efecto de las

operaciones de simetría sobre esta celda unitaria. Consideremos el vector de posición,

r xa yb zc , (2)

siendo el origen un punto de red; ( , , )x y z son las componentes a lo largo de los vectores

que definen la celda unitaria y representan las fracciones de las longitudes axiales a lo largo

de cada vector de la celda, suele a veces identificarse estas componentes como parámetros

de posición atómica. El efecto de aplicar cualquier operación de simetría identificada como

R sobre r , es: R

r r Rr con

r x a y b z c (3)

donde,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

x a a a x

y a a a y

z a a a z

. (4)

Los vectores r y r están definidos con referencia a los ejes determinados por los

vectores ,a b y c los cuales están fijos en el espacio. En los sistemas cristalinos, que son

invariantes ante una rotación, el orden para las rotaciones (ejes de rotación) sólo admite

los valores 1,2,3,4,6n . Esto se puede demostrar de la siguiente forma, considere un

101

arreglo de punto de red con ejes de rotación nC que efectúan una rotación en un ángulo ,

Figura 6.

Figura 6. Rotación en un arreglo periódico de puntos.

En la figura 7 los puntos A A están separados por una traslación n t , con n un

entero que define la distancia entre los 2 puntos de la red. Las posiciones B y B se

obtiene al rotar t un ángulo sobre el eje nC perpendicular al plano de la hoja y

representan puntos de red por lo que su distancia es un número entero de la unidad t , así,

tenemos que t mt . Estamos buscando ejes de rotación que sean compatibles con la

simetría traslacional, por lo que los puntos de red están relacionados por rotaciones puras y

traslaciones y se busca la compatibilidad de ambas en nC .

Figura 7. Efecto de la rotación nC en el arreglo periódico

de puntos que definen una red.

Observamos que

2 cost n t t con

2 cos( )n t t

102

2 cosmt n t t

( ) 2 cosm n t t (5 a)

de donde,

cos2

n m

. (5 b)

Como n y m son enteros, entonces definen un nuevo entero M n m , además,

cos 1 , por tanto 12

M de donde 2M cuya solución a esta desigualdad es

2, 1,0,1,2M obteniendo así las soluciones cos 1, 1/ 2,0,1/ 2,1 por lo que el

ángulo toma los valores

2

n

, (6)

con . Por consiguiente, las rotaciones permitidas son rotación de ,

rotación de , rotación de , rotación de y rotación de

todos estos ejes de rotación son compatibles con la simetría traslacional de la red

cristalina. A continuación revisemos las celdas unitarias primitivas que definen los sistemas

cristalinos ideales.

III.4 Sistema triclínico

La celda unitaria no tiene simetría rotacional, las operaciones que la generan son

E o i , esto significa que, por ejemplo, al usar el elemento de simetría E y aplicarlo

sobre un punto en el espacio definido a través de los vectores base primitivos tenemos que

Er r x a y b z c

xa yb zc , (7)

por tanto, x x , y y y z z . Ya que demandamos que E sea una operación de

simetría, esto es, el cristal permanece indistinguible después de aplicar la operación,

entonces debe satisfacerse que xa yb x a y b xa yb , esto es así en virtud de que los

productos escalares permanecen invariantes ante cualquier operación de simetría, de

1 2 3 4 6n , , , , 1C 2

2C 3C2

3

4C

2

4

6C

2

6,

nC

103

donde cos cosyx a b yx a b , puesto que yx son arbitrarios entonces se cumple que

cos cos para cualquier con a y b arbitrarios. Similarmente para los productos

escalares, yb zc y xa zc conducen a cos cos y cos cos para c arbitrario.

Así, bajo esta operación de simetría no se tienen restricciones en cuanto a los ángulos

interaxiales y la magnitud de los vectores base. Aplicando la inversión i obtenemos las

mismas condiciones, en efecto,

( )i r r x a y b z c xa yb zc , (8)

de donde obtenemos que ( )xa yb xa y b xya b , ( )yb zc yb z c yzb c

y ( )xa zc xa z c xza c generando la misma información que antes. Así,

concluimos que el sistema triclínico tiene una celda unitaria con las características

siguientes,

a b c

. (9)

En la figura 8 se muestra la celda unitaria triclínica.

Figura 8. Celda unitaria triclínica.

III.5 Sistema monoclínico.

Los elementos de simetría que definen su celda unitaria son 2 ,C m ó 2, .

Consideremos la rotación 2C actuando sobre los vectores en el plano c a , figura (9 a).

EL eje de rotación está a lo largo del vector c , este caso se conoce como la primera

elección. Al rotar el plano a pasa a a , pero si 2C es una operación de simetría que debe

imponerse entonces se tiene la restricción de que 2a C y a a de donde se desprende

104

que 090 . De igual forma para el vector b , figura (9 b), al rotar se debe tener que

b b y por tanto 090 .

a)

b)

Figura 9. Efecto de la rotación 2C en los vectores a y b .

Por otro lado, los vectores a y b , en general, no son perpendiculares formando un

ángulo interaxial oblicuo que se elige como 090 . En forma equivalente podemos ver el

efecto de la rotación al aplicarla a un punto arbitrario tal que 2C r xa yb zc de

modo que ( )xa yb x a y b xa yb xya b por tanto,

cos cosxy a b xy a b resultando que cos cos no habiendo restricción para el

valor de ni para las magnitudes de los vectores. Por otro lado, de las ecuaciones

xa zc x a z c xa zc y yb zc y b z c yb zc obtenemos que cos 0 y

cos 0 y por tanto 090 y 090 pero sin ninguna restricción sobre la magnitud de

todos los vectores. Así, en el sistema monoclínico su celda unitaria se define por la

condición

0 0

,

90 , 90

a b c

(10)

La celda unitaria monoclínica en la primera elección se muestra en la figura 10.

105

Con la aplicación del plano de reflexión 001m obtenemos los mismos resultados. La

celda unitaria se muestra en la figura 10.

Figura 10. Celda unitaria monoclínica en la primera

Elección.

Para la segunda elección en donde ubicamos el eje 2C a lo largo b siguiendo el

mismo procedimiento que el anterior obtenemos que

0 0

,

90 , 90

a b c

. (11)

La celda unitaria para la segunda elección se muestra en la figura 11.

Figura 11. Celda unitaria monoclínica en la

Segunda elección.

III.6 Sistema ortorrómbico

Este sistema se genera de considerar 2 ejes 2C o 2 planos de reflexión 2 .

Consideremos la presencia de los dos ejes de rotación, uno a lo largo de a , 2 100C y otro

a lo largo de b , 2 010C y veamos su aplicación sobre r . En efecto,

2 100C r xa yb zc , (12 a)

106

2 010C r xa yb zc , (12 b)

como la presencia de estos dos ejes genera un tercero 2 2 2100 010 001C C C

entonces

2 001C r xa yb zc . (12 c)

Fácilmente se obtiene que xa yb xya b , xa zc xza c y yb zc yzb c de

donde 090 y ninguna restricción se impone sobre la longitud de los vectores.

Ahora, si usamos los planos de reflexión perpendiculares entre sí, por ejemplo, los

planos 1 010m y 2 001m se obtienen los mismos resultados. Así, la celda unitaria

ortorrómbica, figura 12, tiene las siguientes características

0 0 090 , 90 , 90

a b c

. (13)

Figura 12. Celda unitaria ortorrómbica

III.7 Sistema tetragonal

Las operaciones de simetría que generan la celda unitaria son una rotación 4C o una

rotación impropia 3

44( )S . Consideremos la rotación propia

4 001C r ya xb zc , (14 a)

2

4 001C r xa yb zc , (14 b)

3

4 001C r ya xb zc . (14 c)

Observamos que el libre intercambio de x y y sobre los ejes vectoriales demanda

que a b , sobre c no se tienen restricciones. De las ecuaciones (14 a,b,c) es fácil

obtener que de la aplicación de 4C obtenemos xa yb yxa b esto implica que 090

, y de xa zc ya zc y de la aplicación de (14 c) tenemos que xa zc ya zc de

107

donde 090 ; finalmente, de (14 a) y (14 c) tenemos que yb zc xb zc y

yb zc xb zc de donde 2 0yzb c y 090 . Así, la celda unitaria tetragonal,

figura 13, queda definida por

0

,

90

a b c

. (15)

Figura 13. Celda unitaria tetragonal.

III.8 Sistema cúbico

Este sistema es el de más alta simetría. Los elementos de simetría más importantes

son los cuatro ejes de rotación 3C a los largo de las diagonales 111 .

La notación 111 significa 8 direcciones diferentes de ejes 3C dadas por

111 , 111 , 111 , 111 , 111 , 111 , 111 , 111 . Veamos que la presencia de

los ejes 3C dan origen a la celda unitaria cúbica. De la figura 14 observamos la ubicación

de los ejes de rotación, si elegimos el eje 3 111C en (1), vemos que al aplicarlo sobre

r xa yb zc obtenemos que

3C r za xb yc , (16 a)

2

3C r ya zb xc . (16 b)

108

Figura 14. Conjunto de ejes de rotaciones

3C en las direcciones

111 que definen la celda cúbica.

Observamos de (16 a, b) que el libre intercambio de las coordenadas ( , , )x y z sobre cada

eje definido por los vectores base ( , , )a b c impone la restricción de que a b c . Si

ahora elegimos el eje 3 111C en (2) en la figura 14, obtenemos que al aplicarlo sobre r

obtenemos las transformaciones

3C r ya zb xc , (17 a)

2

3C r za xb yc . (17 b)

De la ecuaciones (17 a) y (17 b) obtenemos que, ( )xa yb ya zb y

( )xa yb za xb de donde se infiere que ( ) 0x y a b lo que conduce a 090 .

De igual forma de ambas ecuaciones obtenemos las ecuaciones, ( )xa zc ya xc y

( )xa zc za yc , también ( )yb zc zb xc y ( )yb zc xb yc de donde

obtenemos ( ) 0x z a c , ( ) 0y z b c infiriéndose que 090 y 090 . Así, la

celda cúbica, figura 15, se define por

0

,

90

a b c

. (18)

109

Figura 15. Celda unitaria cúbica

III.9 Sistema hexagonal y trigonal

a) Sistema hexagonal. La operación de simetría es la rotación 6C o 5

36( )S .

Consideremos el eje 6 001C usando el sistema de ejes de la figura 16 donde el eje de

rotación está a lo largo del vector c que es perpendicular al plano de los vectores ,a b .

Figura 16. Sistema de ejes hexagonal.

Al aplicar la rotación sobre r xa yb zc obtenemos

6 ( )C r x a b ya zc (19)

( )x y a xb zc

Además,

2

6 ( )C r xb y a b zc (20)

( )ya x y b zc .

Observamos que el libre intercambio de coordenadas x y y con respecto a los ejes a y b

impone que a b . Respecto a c no se tiene restricción alguna excepto que por

construcción de la celda él es perpendicular a los vectores a y b . De (19) obtenemos que

( ) ( )xa yb x a b yb de donde se infiere que 1

cos2

por tanto 0120 , además,

110

por construcción de los ejes, 090 . Por tanto, la celda unitaria hexagonal, figura 17,

está definida por

0 0

,

120 , 90

a b c

. (21)

Figura 17. Celda unitaria hexagonal.

Además de los ejes a y b , en el sistema hexagonal, existe el eje a b que hace

también 0120 con respecto a ellos. Algunas veces se usan los cuatro ejes , , ,a b c a b

para hacer referencia al sistema hexagonal. Por conveniencia, en ocasiones se usa un

prisma hexagonal como la celda unitaria convencional del sistema hexagonal el cual

contiene 3 celdas unitarias primitivas, figura 18.

III.10 Sistema trigonal

La operación de simetría para esta celda unitaria trigonal es la rotación 3C ,

considerada como un caso especial del sistema hexagonal, la cual se construye sobre el

mismo arreglo de vectores de este sistema. Aplicando 3 001C sobre r xa yb zc

obtenemos,

111

Figura 18. Las tres celdas hexagonales forman un

prisma hexagonal para generar la celda

convencional unitaria.

3 ( )C r y a b xb zc (22)

( )ya b x y zc .

Además,

2

3 ( )C r x a b ya zc (23)

( )a y x xb zc .

El libre intercambio de coordenadas x y y sobre a y b exige que a b . De

igual manera que en el caso hexagonal, considerando la ecuación (23), tenemos que

( )xa yb x a b ya de donde se deduce que cos 1/ 2 y por tanto 0120 . Así,

para la celda unitaria trigonal construida en el sistema de ejes hexagonal, deducimos que su

celda unitaria está caracterizada por

0 0

,

120 ; 90

a b c

. (24)

Como caso especial del sistema trigonal, se considera el sistema romboédrico,

generado a través de colocar centros de red (como más adelante se verá) en la celda unitaria

hexagonal generándose una celda unitaria con simetría 3C , figura 19, definida por:

,a b c

. (25)

112

Figura 19. Celda unitaria romboédrica con eje de rotación

3C a lo largo de la diagonal.

Resumiendo los sistemas cristalinos, la tabla1 muestras las características de cada sistema.

Tabla 1. Sistemas cristalinos

Sistema

Cristalino

Elemento de simetría Características

Triclínico E ó i a b c ,

Monoclínico 2C ó

2( )m iC a) Primera elección: a b c

090 , 090 ,

b) Segunda elección: ,a b c

0 090 , 90

Ortorrómbico 3 ejes 2C 's ó

2 planos 'm s

a b c , 0 0 090 , 90 , 90

Tetragonal Eje 4C ó 3

44( )S ,a b c 090

Cúbico 4 ejes 3C ó 3 ,a b c 090

Hexagonal Eje 6C ó 5

36( )S ,a b c 0 0120 , 90

Trigonal

Romboédrico

Eje 3C ó 5

63( )S

a) En el sistema hexagonal

b) En el sistema

romboédrico.

a) ,a b c 0 0120 , 90

b) ; r r ra b c

III.11 Centros de red

A cada una de las celdas unitarias primitivas que corresponden a los 7 sistemas

cristalinos se les etiqueta como “ P ” (primitivas). A partir de estas celdas primitivas se

pueden generar otras celdas a través de colocar puntos de red en las celdas primitivas en

113

lugares adecuados llamados centros de red. Dos propiedades básicas se deben satisfacer al

agregar nuevos centros en cada primitiva, a saber: a

a) Que este nuevo arreglo siga definiendo una red,

b) Identificar una nueva celda unitaria diferente de la original pero manteniendo la misma

simetría del sistema.

III.11.1 Centro de red en el centro del cuerpo ( I ).

Al colocar puntos de red en el cuerpo de la celda primitiva, se debe tener cuidado de

que la condición de red aún se mantiene y que el sistema cristalino no se altere. Para formar

la celda unitaria ( I ) se coloca un centro de red en la posición

1 1 1

2 2 2r a b c . (26)

La figura 20 muestra la celda unitaria con centro de red en el centro del cuerpo.

a)

b)

Figura 20. A) Centro de red en el cuerpo y los vértices de la celda

Unitaria. B) Puntos de red equivalentes.

La celda unitaria I (del alemán Innenzentrierung) contiene 2 puntos de red:

1( ) 1( ) 2contribución vértices centro o en una configuración equivalente, figura (20 b),

uno en el origen (0,0,0) y otro en (1/ 2,1/ 2,1/ 2) .

114

III.11.2 Centros de red en una cara ( F ).

Aquí, los centros de red se colocan en el centro de cada cara de la celda primitiva a

través de los vectores de posición: 1

1 1

2 2r a b ,

2

1 1

2 2r a c y

3

1 1

2 2r b c y en las

caras paralelas, figura 21. La celda unitaria se denota como celda “ F ”. Esta celda unitaria

original contiene 4 puntos de red; a saber, 1 1

8( ) (6) 48 2 o usando la celda equivalente

identificamos los puntos de red como se muestra en la figura (21 b) en las posiciones

(0,0,0),(1/ 2,1/ 2,0),(1/ 2,0,1/ 2),(0,1/ 2,1/ 2) .

a)

b)

Figura 21. A) Centros de red en los centros de cada cara.

B) Puntos de red equivalentes

III.11.3 Centros de red en una sola cara

En este caso se pone un centro de red en una sola cara, aquí se presentan diversos

casos:

a) Celda unitaria “C”. El centro de red se coloca en el plano a b en la posición

1 1

2 2r a b y en la cara paralela en

1 1

2 2r a b c , figura 22.

115

a)

b)

Figura 22. Celda unitaria C. A) Centro de red en la cara del plano b a

y en su cara paralela. B) Centros de red equivalentes.

b) Celda unitaria “A”. EL centro de red se coloca en el plano b c en la posición

1 1

2 2r b c y en su cara paralela en

1 1

2 2r b c a , figura 23.

a)

b)

116

Figura 23. Celda unitaria A. a) centro de red en la cara del plano c b

y su cara paralela, b) centros de red equivalentes.

Los puntos de red asociados a esta celda unitaria son:

11( ) (2 ) 2

2contribuciones vértices caras .

c) Celda unitaria “B”. El centro de red se coloca en el centro de la cara del plano a c en

la posición 1 1

2 2r a c y en la cara paralela en

1 1

2 2r a c b , figura 24.

a)

b)

Figura 24. Celda unitaria B. A) Centro de red en la cara del plano

a c y su cara paralela. B) Puntos de red equivalentes.

III.11.4 Centros de red en 2 caras.

En el caso de colocar centros de red simultáneamente en un par de caras

independientes, se provoca que la red de puntos generada pierda la simetría traslacional y

por lo tanto ya no se tiene un arreglo periódico de puntos en el espacio, en la figura 25 se

ilustra el caso de una celda unitaria donde se colocan centros de red en las caras de los

planos a c y b c en las posiciones 1 1

2 2r a c y

1 1

2 2r b c y en sus respectivas

caras paralelas en las posiciones 1 1

2 2r a c b y

1 1

2 2r b c a .

117

a)

b)

Figura 25. A) Celda unitaria con centros de red A y B en caras

paralelas. B) En el plano de proyección se observa la

ausencia de los centros de red con lo cual se rompe

la simetría traslacional.

Para celdas unitarias con centros de red en dos caras se rompe la simetría

traslacional. De la figura se observa en (a) que la ausencia de los centros de red en el centro

de las caras hace que los centros en A no tengan el mismo entorno que los de B con lo cual

es imposible generar un arreglo periódico de puntos en el espacio.

III.11.5 Centros de red en la celda hexagonal.

Tomando la celda hexagonal y colocando centros de red en las posiciones

2 1 1

3 3 3Br a b c y

1 2 2

3 3 3Cr a b c podemos circunscribir una nueva celda unitaria

llamada romboédrica , figura 26. En caso de elegir como punto de partida el centro de red

en la posición Br y mediante aplicaciones de

6C generamos los vectores base que se

muestran en la figura 26 (a) denotados por AB , AD y AF cuyas proyecciones se

muestran en la parte (b). La celda unitaria romboédrica con vectores primitivos ra , rb y

rc

se muestra en (c). Esta celda tiene como elemento de simetría rotaciones 3C a lo largo del

eje diagonal AA . En el plano de proyección, figura (27 a), los vectores hexagonales ,a b

definen la celda unitaria hexagonal y los vectores ra , rb la romboédrica. Por medio de

118

rotaciones 6C los puntos en B y C generan las posiciones de los puntos subsecuentes D, E,

F, y G de la figura en (b).

a)

b)

c)

Figura 27. A) Proyección de la celda unitaria hexagonal con

centros de red en B y C. b) Proyección en el plano

de la celda unitaria romboédrica. C) Celda rombo-

édrica generada a partir de los centros B y C.

119

La celda unitaria romboédrica generada con los centros de red en la celda hexagonal

tiene la simetría de rotación 3C a lo largo del eje de rotación sobre la diagonal AA , figura

27 (c). Los vectores primitivos de esta celda son ,r ra b y rc tales que

r r ra b c y sus

ángulos interaxiales satisfacen que . En la celda romboédrica o trigonal-R se

pueden colocar centros de red en las caras, celda F figura (28 a), y en el centro del cuerpo,

celda I figura (28 b), pero en ambos casos se genera otra celda romboédrica por lo que no

se obtiene con los centros de red otra celda unitaria de geometría diferente a la primitiva

original tal como lo muestra la figura 28 con la celda de líneas continuas.

a)

b)

Figura 28. A) Celda romboédrica F. B) Celda romboédrica I.

En ambos casos se genera una celda romboédrica.

III.12 Las 14 redes de Bravais.

III.12.1 Triclínica

El sistema triclínico es el sistema de más baja simetría. En este sistema, se encontró

que no hay restricciones tanto en la magnitud como en el ángulo interaxial de los vectores

base de su celda unitaria primitiva. En esta celda al colocar centros de red, las nuevas

120

celdas generadas satisfacen las mismas condiciones que la celda primitiva triclínica por lo

que nada nuevo se genera. Por tanto, en este sistema se tiene sólo la celda unitaria primitiva

P, figura 29.

Figura 29. Celda triclínica primitiva P.

III.12.2 Monoclínica.

En el primer arreglo (primera elección), el eje 2C es paralelo al vector c . Al

colocar centros de red en la cara del plano a b ( celda “C”) se obtiene la misma celda

unitaria primitiva etiquetada como P, figura 30 a.

a)

b)

121

c)

Figura 30. A) Monoclínica primitiva P. B) Celda C se reduce a P ( C P ).

C) Centros de red en el centro de las caras en el plano a c (celda B) generan una nueva primitiva.

Centros de red en los centros de las caras en el plano a c (celda B) generan una

nueva primitiva en este sistema. Además, centros de red en los centros de las caras en los

planos b c (celda A), en el centro del cuerpo ( celda I) y en todas las caras (celda F) se

reducen al caso de centros de red en las celda B. Por tanto, en este sistema se tienen sólo

dos celdas unitarias, la primitiva P y la celda B, figura 31.

a)

b)

Figura 31. A) Celda monoclínica primitva P.

B) Celda monoclínica B.

122

En la segunda elección, el eje de rotación 2C paralelo a b , se encuentra que al colocar

centros de red en las caras y centro del cuerpo en forma análoga al primer caso, sólo se

genera la misma celda primitiva y una nueva primitiva con la celda C, por lo que para la

segunda elección se tienen las celda unitarias P y C similares a las de la figura 31.

III.12.3 Ortorrómbica

En este sistema, una nueva primitiva se genera al colocar centros de red en los

centros de las caras paralelas al plano a b , celda “C”. Se encuentra que centros de red en

las caras paralelas al plano a c , celda “B”, y al plano c b , celda “A”, se reducen al caso

de la celda “C”. Centros en todas las caras (celda F) y en el centro del cuerpo (I) generan

nuevas celdas primitivas diferentes de la ortorrómbica original. Por tanto, en este sistema

se tiene las celdas P, C, I y F, figura 32 (a), (b) y (c).

a)

b)

c)

123

d)

Figura 32. Sistema ortorrómbico. A) Celda primitiva P.

B) Celda C, c) celda I y d) celda F.

III.12.4 Tetragonal.

En este caso, centros de red en las caras paralelas a los planos c b (celda A) y

c a (celda B) rompen la simetría traslacional del sistema tetragonal y nada nuevo se

puede hacer. Por otro lado, centros de red en las caras paralelas al plano a b (celda C)

generan una primitiva que se reduce a la original en sus características geométricas, figura

(33 a). También, al colocar centros de red en todas las caras (celda F) se reduce a la celda

I, figura (33 b), por consiguiente, en este sistema sólo se tienen dos celdas, la primitiva P y

centrada en el cuerpo I, figura 34.

a)

b)

Figura 33. A) Celda primitiva generada en la celda C.

B) Celda F se reduce a la celda I.

124

a)

b)

Figura 34. Celdas unitarias en el sistema tetragonal,

(a) primitiva P y (b) celda I.

III.12.5 Cúbico

En este sistema, al colocar centros de red en el centro del cuerpo (celda I) que en

este caso se le llama celda “bbc” se genera una nueva primitiva. Para centros de red en

todas las caras (celda F), identificada ahora como celda “fcc” también se genera una nueva

primitiva. Para los casos restantes de centros de red en las caras, celda B, C y A se rompe la

simetría cúbica por lo que es imposible generar nuevas primitivas. Por tanto, las celdas

unitarias que se tienen en el sistema cúbico son la P, I y F, figura 35.

a)

125

b)

c)

Figura 35. Celdas unitarias en el sistema cúbico.

(a) cúbica simple o P, (b) bbc y (c) fcc.

III.12.6 Hexagonal y trigonal R (romboédrica).

Ya analizamos anteriormente en el apartado III.11.5 que centros de red en la celda

hexagonal en la posición adecuada 2 1 1

3 3 3Br a b c generan una celda de simetría

3C

llamada romboédrica, figura 27, cuya simetría es relativa a sus propios ejes definidos por

los vectores base ,r ra b y rc que aunque son construidos en el sistema hexagonal a partir de

los vectores ,h ha b y hc son ahora independientes y por tanto la celda romboédrica es

independiente de la hexagonal.

Se ha visto también, que considerando los ejes del sistema hexagonal relativo a ellos

podemos construir una celda unitaria de simetría 3C que tiene las mismas características

que la celda hexagonal. En ambos casos podemos identificar la celda unitaria como celda R

identificada como una celda trigonal sin importar a que ejes se hace referencia,

romboédricos o hexagonales. Aunque la celda unitaria romboédrica primitiva tiene la

ventaja de contener un solo punto de red, en la práctica es más simple considerar la celda

romboédrica con referencia a los ejes hexagonales en virtud de que las coordenadas

hexagonales son más fáciles de tratar que las romboédricas, particularmente cuando se está

tratando de visualizar la estructura cristalina.

Por otro lado, hay dos formas de orientar los ejes romboédricos relativos al conjunto

de ejes hexagonales. Una es considerando la generación de los vectores base romboédricos

126

a partir del centro de red en 2 1 1

3 3 3Br a b c , como ya lo hicimos, y la otra es

considerando el centro de red en '

1 2 1

3 3 3Br a b c , la celda generada con este último

centro de red difiere en que está rotada respecto de la primera en 0180 . Al primer centrado

de red se le conoce como OBVERSE y al segundo como REVERSE. Consideraremos el

primer centrado, obverse, para ver algunas relaciones importantes entre ejes y coordenadas

hexagonales y romboédricas.

En el sistema hexagonal, se considera una sola celda unitaria, la primitiva P, que en

algunos casos por razones de conveniencia se toma un prisma hexagonal como la celda

unitaria la cual realmente contiene tres celdas primitivas, figura (36 a). La celda unitaria

trigonal R o romboédrica independiente del sistema hexagonal se muestra en la figura (36

b) y como ya se demostró anteriormente sólo hay un celda en este sistema.

a)

b)

Figura 36. A) Prisma hexagonal que contiene 3 celdas primitivas.

B) Celda romboédrica o trigonal R.

127

Consideremos la red obverse , donde tenemos la relación entre ejes hexagonales y

romboédricos mediante la ecuación matricial,

2 / 3 1/ 3 1/ 3

1/ 3 1/ 3 1/ 3

1/ 3 2 / 3 1/ 3

r h h

r h h

r h h

a a a

b b A b

c c c

. (27)

Por lo tanto, la relación inversa es,

1 1 0

0 1 1

1 1 1

h r r

h r r

h r r

a a a

b b B b

c c c

, (28)

donde 1B A . Por otro lado, se puede demostrar que la relación de coordenadas en ambos

sistemas rombohédrico y hexagonal está dada por

r h

r h

r h

x x

y C y

z z

, (29)

con la matriz 1( )TC A , siendo TA la transpuesta de la matriz A . La correspondiente

relación inversa es obviamente,

1

h r

h r

h r

x x

y C y

z z

. (30)

III.13 Celdas primitivas de las 14 redes de Bravais

Es posible formar celdas unitarias primitivas a partir de las celdas tipo I, F o C en

los sistemas cristalinos. Estas celdas primitivas se construyen a partir de los ejes de cada

sistema cristalino preservando la simetría del mismo. Cabe señalar que las celdas primitivas

por sí mismas (aisladas) no presentan la simetría completa del sistema original. Veamos

cómo construir la celda primitiva para cada caso.

a) Red F. Aquí, los vectores primitivos se construyen mediante las ecuaciones

( ) / 2pa a c , (31 a)

( ) / 2pb a b , (31 b)

( ) / 2pc b c , (31 c)

128

con ,a b y c vectores base del sistema en el cual sea posible generar estos nuevos vectores.

La figura 37 muestra la geometría de esta celda primitiva.

Figura 37. Celda primitiva construida en una

celda tipo F.

b) Red I. Las ecuaciones para construir los vectores de la celda primitiva son,

( ) / 2pa a b c , (32 a)

( ) / 2pb a b c , (32 b)

( ) / 2pc a b c . (32 c)

La geometría de la celda se muestra en la figura 38.


celda tipo I.

c) Red C. Las ecuaciones correspondientes son,

( ) / 2pa a b , (33 a)

129

( ) / 2pb a b , (33 b)

pc c . (33 c)

La geometría de la celda se muestra en la figura 39. Estas celdas primitivas generan

redes de puntos en el espacio con simetría traslacional (arreglos periódicos). En el caso del

sistema cúbico, la celda F genera una celda primitiva que por sí misma (celda aislada)

presenta una simetría romboédrica.


celda tipo C.

III.14 Redes en dos dimensiones

Las redes en dos dimensiones (bidimensionales) se derivan de las proyecciones de

las celdas tridimensionales sobre un plano. A las celdas bidimensionales primitivas se les

etiqueta como: “p” y “c”. De las 14 redes de Bravais de los 7 sistemas cristalinos, sus

proyecciones generan 5 redes espaciales bidimensionales en 4 sistemas cristalinos.

a) Sistema oblicuo. Aquí tenemos la celda primitiva “p”, figura 40.

Figura 40. Celda primitiva bidimensional oblicua.

Esta celda oblicua se caracteriza porque su ángulo interaxial es 090 y la magnitud de

sus vectores es tal que a b .

130

b) Sistema rectangular. En este sistema se tienen dos celdas bidimensionales, la celda

unitaria primitiva “p” y la celda no primitiva “c” con un punto de red en el centro de la

misma, figura 41.

a)

b)

Figura 41. Celda rectangular. A) Celda primitiva “p”.

b) celda no primitiva “c”.

La celda unitaria rectangular tiene su ángulo interaxial 090 , y sus vectores base son

tales que a b . Para la celda no primitiva “c” el centro de red se coloca en la posición

1 1

2 2r a b .

c) Sistema cuadrado. En este sistema se tiene sólo la celda primitiva “p”, donde el ángulo

interaxial es 090 y los vectores base tienen magnitud a b . La figura 42 muestra la

geometría de esta celda cuadrada.

Figura 42. Celda primitiva cuadrada bidimensional.

131

d) Sistema hexagonal. Este sistema sólo tiene una celda primitiva “p” caracterizada por un

ángulo interaxial 0120 y vectores base con magnitud a b . La figura 43 muestra la

forma de la celda hexagonal.

Figura 43. Celda primitiva hexagonal bidimensional.

III.15 Grupos puntuales cristalográficos de cada sistema cristalino.

III.15.1 Triclínico

La operación de simetría en este sistema que define la celda unitaria es E ó i .

En este sistema se tienen dos grupos puntuales listados a continuación,

Notación de

Schoenflies

Notación Internacional

compacta


extendida

Elementos

de simetría

1C 1 1 E

2 ( )iS C 1 1 ,E i

Así, cualquier objeto que tenga como elementos de simetría ,E i pertenecerá al grupo

puntual 2 ( )iS C .

III.15.2 Monoclínico

Las operaciones de simetría son 2C ó ( )m . Los grupos que se generan son

Notación de

Schoenflies


compacta


extendida

Elementos

de simetría

2C 2 2 2,E C

1 ( )h SC C m m , hE

2hC 2 / m 2

m 2, , , hE C i

132

Breve descripción de cada grupo:

a) 2C : grupo que consiste de la identidad y de una rotación de 0180 , este eje puede estar en

c (primera elección) o en b (segunda elección).

b) 1hC ó

SC : grupo que consiste de la identidad y un plano de reflexión.

c) 2hC : grupo que consiste de la identidad, de una rotación

2C , un plano de reflexión

perpendicular al eje de rotación y un centro de inversión.

Este grupo se genera de 2 2h iC C C , en encontramos que 2hC i . Recordemos que

/n m siginifica un plano de reflexión perpendicular al eje de rotación nC y nm significa un

plano de reflexión que contiene a nC .

III.15.3 Ortorrómbico

Las operaciones de simetría son 2 ejes 2C o dos planos de reflexión

perpendiculares. Los grupos puntuales que se generan son

Notación

de

Schoenflies

Notación

Internacional

compacta

Notación

Internacional

extendida

Elementos

de simetría

2 ( )D V 222 222 2 2 2, , ,E C C C

2 ( )C V 2mm 2mm 2, , ,v vE C

2 ( )hD V mmm 2 2 2

m m m 2 2 2, , , , , , ,h v vE C C C i

Breve descripción de los grupos.

a) 2 ( )D V : este grupo consiste de la identidad y 3 ejes de rotación

2C mutuamente

perpendiculares y éstos se pueden designar como los ejes cartesianos ,X Y y Z , figura 44.

133

Figura 44. Elementos de simetría de la figura plana.

b) 2 ( )C V : este grupo consiste de la identidad y dos planos de reflexión verticales

v

perpendiculares cuya intersección define el eje 2C , figura 44. Este grupo de operaciones en

un plano, transforman un rectángulo en sí mismo.

c) 2 ( )hD V : este grupo consiste de las operaciones del grupo

2 ( )D V junto con tres planos de

reflexión , ,h v v , que se identifican con los planos ,x y y z y x z , figura 44. Este

grupo se genera como 2 2h iD C D , identificamos, además, que v v h i .

III.15.4 Tetragonal

Las operaciones de simetría son, un eje 4C ó 4 . Los grupos puntuales que se

generan son:

Notación

de

Schoenflies

Notación

Internacional

compacta

Notación

Internacional

extendida

Elementos

de simetría

4C 4 4 4 2,2 ,E C C

4S 4 4 4 2,2 ,E S C

4hC 4 / m 4 / m 4 2 4,2 , 4 / , ,2 , hE C C m i S

4D 442 442 4 2 2 2,2 , ,2 ,2E C C C C

4VC 4mm 4mm 4 2,2 , ,2 ,2v dE C C

2 ( )dD V 42m 42m 2 2 4, ,2 ,2 ,2dE C C S

134

4 ( )hD V 4/ mmm 4 2 2

m m m 4 2 2 2,2 , ,2 ,2 , ,E C C C C i

42 , ,2 ,2h v dS

Breve descripción

a) 4C : este grupo consiste de la identidad, y un eje de rotación

4C que lo identificamos con

el eje Z de la figura 45, que genera las operaciones 2 3

4 2 4,C C C .

Figura 45. Elementos de simetría de la figura.

b) 4S : este grupo consiste de la identidad, 3

4 4S , 2

2 4C y 3

4 4S , figura 45.

c) 4hC : este grupo consiste de la identidad, una rotación de

4C sobre el eje Z, un plano de

reflexión 2[001] 'h m C , un centro de inversión en el origen, además, 3

4 4S iC ,

3

4 4S iC , 2 [001] hiC m . Este grupo se genera como 4 4h iC C C , figura 45.

d) 4D : este grupo consiste de la identidad, un eje de rotación

4C a lo largo del eje Z.

Además, tenemos 4 ejes 2C , dos ejes a lo largo de x y y , etiquetados por

22C , y otros

dos en las diagonales (1) y (2) etiquetados por 22C , figura 45.

e) 4VC : este grupo consiste del grupo 4C además de cuatro planos de reflexión. Si

identificamos el eje z con el eje de rotación, entonces los planos de reflexión son el plano

y z y x z etiquetados por 2 v y los planos diagonales en (1) y (2) etiquetados por 2 d

, figura 45. Este es el grupo de operaciones que transforma un cuadrado en sí mismo.

f) 2 ( )dD V : este grupo consiste de la identidad, 3 ejes

2C mutuamente perpendiculares,

etiquetados por 2C y

22C , además de las operaciones 4S y 3

4S entorno de uno de los ejes

135

2C , y dos planos diagonales d en (1) y (2). El eje

2C es generado por la intersección de

los planos perpendiculares d donde 2

2 4C S . Identificamos el eje 2C con z , y los ejes

2C ’s con x y y , figura 45.

g) 4hD : este grupo es de orden 16, generado por 4 4h iD D C , y consiste de la identidad,

rotaciones 4C , 2

4 2C C , 3

4C , cuatro ejes 2C . Si identificamos a z con el eje

4C , en la

figura 45, entonces los ejes 2C ´s serán los ejes ,x y y los ejes diagonales (1) y (2) que

definen a los ejes 2C ´s. Además, se tiene un centro de inversión i ubicado en el origen

definido por la intersección de los ejes ( o planos), las operaciones 3

44 S , 3

44 S , un

plano horizontal h (plano x y ), dos planos verticales

v (planos ,x y y z ) y dos

planos diagonales d (1,2), todos los planos son mutuamente perpendiculares. Este grupo

transforma un sólido rectangular de base cuadrada en sí mismo.

III.15.5 Trigonal

La operación de simetría en este sistema es 3C o 3 . Los grupos puntuales que se

generan son

Notación de

Schoenflies Notación Internacional

compacta Notación Internacional

extendida Elementos

de simetría

3C 3 3 3, 2E C

6 3( )iS C 3 3 3 6,2 , ,2E C i S

3D 32 32 3 2,2 ,3E C C

3VC 3m 3m 3,2 ,3 VE C

3dD 3m 23

m 3 2 6,2 ,3 , ,2 ,E C C i S

3 V

Breve descripción.

a) 3C : grupo de orden 3, este grupo consiste de la identidad, una rotación

3C y 2

3C , Figura

46.

136

b) 6 3( )iS C : grupo de orden 6, este grupo consiste de la identidad, rotaciones

3C , 2

3C ; un

centro de inversión i , en el origen, 5

6 3S iC , 2

6 3S iC . Grupo generado a través de

Figura 46. Elementos de simetría del hexágono.

3 3i iC C C , figura 46.

c) 3D : grupo de orden 6, consiste de la identidad, rotaciones

3C , 2

3C y tres ejes 2C

etiquetados en la figura 46 por (1), (2) y (3) perpendiculares al eje 3C y haciendo un ángulo

de 0120 entre ellos.

d) 3VC : grupo de orden 6, es el grupo del triángulo equilátero en un plano, consiste de la

identidad. Consiste de la identidad, rotaciones 3C , 2

3C (en z ); 3 planos de reflexión d

haciendo un de 0120 entre ellos, su intersección define el eje 3C , las trazas de estos planos

son las líneas (1), (2) y (3) en la figura 46.

e) 3dD : grupo generado a través de 3 3d i VD C C . Este grupo tiene todas las operaciones

del grupo 3VC , además de un centro de inversión i en el origen, 3 ejes de rotación

2C

haciendo un ángulo de 0120 entre ellos etiquetados como 2C en (5), (6) y (4)

perpendiculares al eje 3C (en z ), figura 46. Además, los elementos de simetría 5

3 6iC S ,

2

3 6iC S .

137

III.15.6 Hexagonal.

La operación de simetría de este grupo es 6C o 6 . Los grupos puntuales que se

generan son,

Notación de

Schoenflies


compacta


extendida

Elementos

de simetría

6C 6 6 6 3 2,2 ,2 ,E C C C

3hC 6 6 3, 3,2 ,2hE C S

6hC 6 / m 6

m 6 3 2,2 ,2 , , ,E C C C i

3 62 ,2 , hS S

6D 622 622 6 3 2,2 ,2 , ,E C C C

2 23 ,3C C

6VC 6mm 6mm 6 3 2,2 ,2 , ,E C C C

3 ,3V d

3hD 6 2m 6 2m 3 2,2 ,3 , ,hE C C

32 ,3 VS

6hD 6/ mmm 6 2 2

m m m 6 3 2,2 ,2 , ,E C C C

2 2 33 ,3 , ,2 ,C C i S

62 , ,3 ,3h V dS

138

Figura 47. Elementos de simetría del grupo

hexagonal.

Breve descripción.

a) 6C : grupo de orden, consiste de la identidad, rotaciones

6C sobre el eje en z , figura

47, 2

6 3C C , 3

6 2C C , 4 2

6 3C C y 5

6C .

b) 3hC : grupo generado a través de 3 3h SC C C , consiste de la identidad, rotaciones

3C a lo largo del eje z , 2

3C , plano de reflexión h (plano x y ),

3 3hS C , 1 2

3 3hS C ,

figura 47.

c) 6hC : grupo de orden 12, generado a través de 6 6h iC C C o 6 6h SC C C ;

consiste de la identidad, rotaciones 6C a lo largo del eje z , 2

6 3C C , 3

6 2C C , 4 2

6 3C C ,

5

6C , un plano de reflexión h (plano x y ),

6 6hS C , 3 3hS C , un centro de inversión

en el origen 2hi C , 1 2

3 3hS C y 5 5

6 6hS C , figura 47.

d) 6D : grupo de orden 12, consiste de la identidad, un eje de rotación

6C en z

perpendicular a 6 ejes 2C que hacen un ángulo de 060 entre ellos en un mismo plano,

figura 47. Los ejes 2C los identificamos con (1), (2), (3), (4), (5), (6). Las rotaciones

respecto a (1), (2) y (3) las identificamos con los ejes 2C y respecto de (4), (5) y (6) con

los ejes 2C .

e) 6VC : grupo de orden 12, este es el grupo del hexágono regular en el plano. Consiste de

la identidad, rotaciones 6C a lo largo de z , 2

6 3C C , 3

6 2C C , 4 2

6 3C C , 5

6C , 6

reflexiones en los planos que identificamos en la figura 47 con ( 1z ), ( 2z ) y ( 3z ) (planos

3 V ), y los planos 3 d identificados con ( 4z ), ( 5z ) y ( 6z ).

139

f) 3hD : grupo de orden 12, generado a través de 3 3h SD D C . Este grupo consiste de la

identidad, rotaciones 3C en z , un plano de reflexión

h (plano x y ), además, tiene 3

planos de reflexión V cuya intersección define la línea del eje

3C , estos planos los

identificamos como ( 1), ( 2)V Vz z y ( 3)V z , figura 47. También, contiene los tres ejes

2C que los identificamos en los ejes (1), (2) y (3), y las operaciones 3 3hS C , 1 2

3 3hS C

. Este es el grupo del prisma trigonal teniendo como base un triángulo equilátero.

g) 6hD : grupo del prisma hexagonal, generado a través de 6 6h iD D C . Contiene las

operaciones de la identidad, rotaciones 6C en z , 2

6 3C C , 3

6 2C C , 4 2

6 3C C , 5

6C , las

rotaciones 23C y

23C cuyos ejes los identificamos en (1), (2), (3), (4), (5) y (6) en la figura

47, el plano de reflexión h (plano x y ), un centro de inversión

2hi C , y las

operaciones 2

6 2 2 3 2 3,3 ,3 , , ,iC iC iC iC iC iC y 5

6iC , donde identificamos las operaciones

5

3 6iC S , 2

3 6iC S , 5

6 3iC S , 5

6 3iC S y 2 hiC . Las operaciones

23iC y 23iC se

identifican con 6 planos de reflexión de los cuales tenemos 3 V , planos ( 1z ), ( 2z ) y ( 3z ) ,

y 3 d , planos ( 4z ), ( 5z ) y ( 6z ).

III.15.7 Cúbico

La operación de simetría es 3C , con cuatro ejes de este orden a lo largo de las

direcciones 111 haciendo un ángulo de 0109 28 entre ellos. Los grupos que se generan

son,

Notación de

Schoenflies


compacta


extendida

Elementos

de simetría

T 23 23 3 2,8 ,3E C C

hT 3m 23

m 3 2 6,8 ,3 ,8 ,3 hE C iC S

O 432 432 3 2 2 4,8 ,3 ,6 ,6E C C C C

dT 43m 43m 3 2 4,8 ,3 ,6 ,6dE C C S

hO 3m m 4 23

m m 3 2 2 4,8 ,3 ,6 ,6 ,E C C C C

6 4,8 ,3 ,6 ,6h di S S

Breve descripción.

140

a) T : Grupo que consiste de todas las rotaciones propias para un tetrahedro. Este grupo

tiene la identidad, 8 rotaciones 3C y 3 rotaciones

2C , figura 48.

Figura 48. Tetrahedro con vértices en (1,2,3,4).

El tetrahedro circunscrito en el cubo tiene los vértices en (1,2,3,4) los cuales coinciden con

cuatro vértices del mismo. Los ocho ejes 3C están a lo largo de (01), (02), (03), (04) que

forman los ejes 3(4 )C y en (05), (06), (07) y (08) que forman los ejes

3(4 )C , además, 3

ejes 2C ubicados en ( , , )x y z partiendo del origen “O” al punto medio de las caras del

cubo.

b) hT : grupo de orden 24, generado a través de h iT T C , con un centro de inversión

i y donde identificamos los planos 2iC , y las operaciones

5

3 6iC S , 5

3 6iC S ; los planos los identificamos con los planos xy , yz y xz , ver figura

49.

141

Figura 49. Ejes de rotación 2C ,

3C y 4C en el cubo.

c) dT : este es el grupo del tetrahedro y consiste de las operaciones del grupo T , además, de

6 operaciones 4S dadas por las rotaciones

4C en los ejes , ,x y z y las reflexiones en

sus planos perpendiculares respectivos ( , , )yz xz xy , esto es, 4( ) 2( )x yz xS C ,

4( ) 2( )y xz yS C , 4( ) 2( )z xy zS C . También, tenemos 6 reflexiones d en planos que

contienen los 6 bordes del tetrahedro de la figura 48. La figura 50 (a) muestra las trazas de

los planos xz , yz , xy y la figura 50 (b) y (c) las trazas de los planos diagonales

d que

contienen los bordes del tetrahedro.

a)

142

b)

c)

Figura 50. a) Planos bisectores del cubo , ,xz yz xy del cubo.

b) y c) Planos diagonales d del cubo.

d) O : grupo de orden 24 con las operaciones que dejan invariante al cubo, figura 51. Este

grupo consiste de la identidad, ocho ejes 3C a lo largo de (01), (02), (03), (04), (05), (06),

(07) y (08) como los muestra la figura 49. También, 3 ejes 2C en ( , , )x y z y 6

rotaciones 4C en los ejes , ,x y z ; 6 ejes

2C generados en los ejes

143

Figura 51. Operaciones de simetría del cubo.

( , , )x y z y 6 rotaciones 4C en los ejes , ,x y z ; 6 ejes

2C generados en los ejes

que parten del origen “O” a los puntos medios de los lados del cubo como se muestra en la

figura 51.

e) hO : grupo de orden 48 que es el grupo completo del cubo. Contiene 24 operaciones del

grupo O y 24 operaciones impropias a través de las inversiones en el centro del cubo. En

este grupo identificamos los planos de reflexión 2iC y

2 diC y las operaciones

3

4 4S iC donde las reflexiones es a través de los planos , ,xy yz xz y los planos

diagonales d son reflexiones a través de los planos que contienen los bordes del cubo

como lo muestra la figura 50 (b) y (c).

III.16 Estructuras simples de empaquetamiento compacto.

Si se consideran los átomos como esferas, en un sólido monoatómico, ajustándose a

un arreglo compacto a modo de llenar el mayor espacio posible, el número de átomos

vecinos más cercanos se llama el número de coordinación, éste se relaciona con la densidad

con la cual los átomos están distribuidos dentro del cristal. Se encuentra que el número más

grande de coordinación posible es 12. Las estructuras cristalinas donde el número de

átomos vecinos más cercanos es 12 se identifican como estructuras de empaquetamiento

compacto.

Hay, en general, dos configuraciones de empaquetamiento compacto:

a) Empaquetamiento hexagonal compacto (hcp).

b) Estructura cúbica centrada en la cara.

144

El arreglo se obtiene considerando una primera capa en donde cada esfera, con centros en

A, se rodea de 6 vecinos, figura 52. Cada esfera tiene seis espacios etiquetados con B y C

que identifican los intersticios inmediatos a ella.

Figura 52. Capas de esferas de empaquetamiento compacto

con centros en A.

Cuando se considera un arreglo de capas ABAB…, esta estructura tiene simetría hexagonal

(hcp), aquí la segunda capa coloca las esferas con centros que pasan en los sitios “B”; si

una tercera capa coloca las esferas con centros que pasan sobre los sitios “C”, capa C,

tenemos un arreglo ABCABC… y da como resultado una red cúbica centrada en las caras

(fcc), figura 53 (b).

a)

145

b)

Figura 53. Estructuras de empaquetamiento compacto,

(a) hexagonal (hcp) y (b) cúbica (fcc).

La estructura hexagonal de la figura 53 (a), en una sola capa de esferas, se puede

representar como un arreglo de una red bidimensional como lo muestra la figura 54, en

donde en (a) se muestran los vecinos inmediatos de la esfera con centro en A y los espacios

circunvecinos B y C, y en (b) la red bidimensional con los nodos representando los centros

A y las cruces y huecos los centros B y C.

a)

b)

Figura 54. Capa plan de esferas de igual radio, (a) vecinos inmediatos

de cada esfera y espacios circundantes, (b) arreglo en una

146

red bidimensional hexagonal.

La figura 55 muestra la estructura hexagonal tridimensional formada por el arreglo

de capas ABA…., en la dirección [0001] donde en (a) identificamos los arreglos

triangulares de los centros B interpenetrados en la celda uniaria hexagonal. También, en

ella, inciso (b), se muestra la celda unitaria formada con los vectores ,a b y c con un punto

de red en su interior.

a)

b)

Figura 55. (a) Estructura (hcp) tridimensional con el arreglo

de capas ABA.., (b) Celda unitaria.

147

La estructura (hcp) es una red de Bravais simple dada por el apilamiento de dos

redes triangulares bidimensionales una sobre otra. La (hcp) consiste de 2 redes de Bravais

hexagonales simples interpenetradas desplazadas una de otra en el centro del hexágono por

el vector de posición 2 1 1

3 3 2r a b c , figura 56.

Figura 56. Estructura (hcp) donde la celda unitaria tiene

interpenetrado el plano hexagonal con centro

en 2 1 1

3 3 2r a b c .

Por otro lado, la figura 57 muestra la estructura de empaquetamiento compacto

cúbica generada del arreglo de capas ABC…, que da origen a una celda cúbica fcc a lo

largo de la dirección [111] que está sobre la diagonal de la celda.

148

Figura 57. Empaquetamiento cúbico denso de esferas que

da origen a la celda cúbica fcc.

Ejemplos representativos de metales que cristalizan en estructuras (hcp) se dan en la

tabla A.

Tabla A.

Elemento ( a b ) A Eje c ( A )

Be 2.286 3.583

Cr 2.722 4.427

Li 3.111 5.093

Mg 3.209 5.210

Na 3.767 6.154

Ejemplos representativos de metales que cristalizan con una estructura fcc, tabla B.

Tabla B.

Elementos ( a ) A

Ag 4.086

Al 4.049

Au 4.078

Fe 3.591

Cu 3.615

Ejemplos de metales que cristalizan con estructura bcc, tabla C.

Ejemplos de elementos que cristalizan con la estructura del diamante (dos celdas

cúbicas centradas en las caras desplazadas un de otra ¼ sobre la diagonal de la celda),

figura 58. Tabla D

Tabla C.

149

Elemento ( a ) A

Ba 5.025

K 5.225 ( 05 K )

5.247 ( 078 K )

Cs 6.045 ( 05 K )

6.067 ( 078 K )

Mo 3.147

Rb 5.585 ( 05 K )

5.605 ( 078 K )

a)

b)

Figura 58. (A) Estructura cristalina del diamante que muestra el enlace

Tetrahédrico. (b) Posiciones atómicas de la celda del diamante

proyectadas sobre la base del cubo. Los puntos ½ y 0 están sobre

la red fcc, aquéllos en ¼ y ¾ están sobre una red similar despla-

150

zada a lo largo de la diagonal por un cuarto de su longitud.

Tabla D

Elemento ( a ) A

C 3.5667 ( 020 C )

Si 5.4370 ( 025 C )

5.455 0 ( 01300 C )

Ge 5.65735 ( 020 C )

5.65695 ( 018 C )

Snα 6.4912

Ejemplos de compuestos que cristalizan en la estructura de la zincblenda

( misma estructura del diamante donde una fcc son átomos de un tipo y la otra celda de

átomos de otro tipo), tabla E.

Tabla E.

Elemento ( a ) A

InSb 6.96

InAs 6.04

GaAs 5.63

GaP 5.35

CdS 5.82

ZnS 5.41

De la figura 56 se observa que un átomo está rodeado de 12 vecinos más próximos

(6 átomos en su plano hexagonal y 6 restantes de la contribución de los planos superior e

inferior). En la estructura (hcp) se cumple la relación en las magnitudes de sus constantes

de la celda unitaria mediante la ecuación,

c a8

3. (34)

Una estructura con este factor c se le conoce como una estructura (hcp) ideal. En las redes

de Bravais, se define la fracción de empaquetamiento compacto (f.e.c.) (llenado de átomos

por celda unitaria) como:

f.e.c. = Volumen del No. de átomos en la c.u.

Volumen de la c.u.

151

Por ejemplo, consideremos la celda cúbica simple, en este caso consideramos los átomos

como esferas de radio 1

2R a , cuyo volumen es, 3 34

3 6esfera

πV πa a .

Para determinar el número de átomos en la celda, consideramos el empaquetamiento

compacto cuando los átomos se tocan a lo largo de los borde del cubo, figura 59.

El número de átomos por celda unitaria es 1

8 18

c.u.No.átomos

, y el volumen de la

celda unitaria tiene el valor 3

c.u.V a , por tanto

3

. .

3

. .

( . )( ) (1)(π / 6). . . 52%

c u esfera

c u

No átomos V af e c

V a . (35)

Se puede demostrar que para el caso de una fcc se obtiene que . . . 74%f e c que

corresponde a la celda de mayor llenado. Para el caso de una celda bcc se obtiene un

. . . 68%f e c .

Figura 59. Estructura de empaquetamiento compacto para

la celda cúbica simple, donde el radio de las es-

feras es 1

2R a .

III.17 INDICES DE MILLER

Dados los vectores base primitivos de la celda ,a b y c cualquier posición dentro

de la celda se obtiene mediante el vector

r ua vb wc , (36)

donde , ,u v w son números 1 . En general se denota la posición de un punto en el espacio

mediante la tríada “ uvw ”. Esta notación es útil para especificar las posiciones de los

átomos o puntos de interés en las celdas unitarias. Por ejemplo, la posición

152

1 1 1

2 2 2r a b c implica la tríada

1 1 1

2 2 2 que es suficiente para identificar esta posición

particular. Puntos sobre la diagonal se especifican por la tríada uuu , por ejemplo, 1 1 1

4 4 4,

etc.

Por otro lado, también las direcciones se pueden especificar a través de la tríada de

números , ,u v w , esto es , el vector r , ecuación (36), determina una dirección que la

podemos identificar mediante [ ]uvw donde para el caso de valores negativos usamos la

notación [ ]uvw . En el caso particular, cuando r ubica posiciones de puntos de la red la

tríada [ ]uvw corresponde a números enteros que determinan las líneas de dirección

pasando por puntos de red. En general, estas direcciones se pueden determinar por los

enteros más pequeños, por ejemplo, [100] indica una línea de dirección a lo largo de a ,

[010] a lo largo de b , [001] a lo largo de c , etc.

Para cualquier sistema cristalino, debido a las operaciones de simetría del grupo, las

direcciones se pueden agrupar de modo que cada dirección se relaciona una a otra a través

de las operaciones de simetría, resultando un conjunto de direcciones equivalentes

cristalográficamente ( dan la misma información sobre el cristal). Por ejemplo, en una red

cúbica simple las direcciones [100],[010],[001] y las opuestas a ellas, [100],[010],[001]

son todas equivalentes cristalográficamente ya que, por ejemplo, mediante una rotación

4[001]C genera las direcciones [010],[100],[010] al aplicarse a la dirección [100] . El

conjunto de direcciones equivalentes cristalográficamente se denota por uvw siendo

[ ]uvw un elemento particular de este conjunto.

Un plano de la red cristalina es un plano que pasa a través de puntos de red.

Cualquier plano de red se puede identificar indicando tres puntos de red en él. La

orientación del plano se determina a través de un vector normal a éste, figura 60.

Figura 60. Plano cristalino y sus intersecciones sobre

153

los ejes del cristal , ,xa yb zc .

De la figura 60 observamos que: b c es ' al plano b c ; c a es ' al plano

c a y a b es ' al plano a b . Ahora, si escribimos los vectores

1r yb xa , (37 a)

2r zc xa . (37 b)

Los ejes cristalinos están definidos por a en xa , por b en yb y por c en zc . El vector

1 2r r es normal al plano cristalino y se puede expresar como

1 2r r yb xa zc xa (38)

yzb c xyb a xza c

b c c a a b

xyzx y z

.

Como el plano contiene puntos de red, las razones , ,y z x

x y z son razones de números

enteros. Por ejemplo, veamos para el caso del plano a b la razón y

x, figura 61.

a)

154

b)

Figura 61. (a) Intersección del plano cristalino sobre

el plano a b , (b) Vectores sobre el plano

cristalino.

Sean los vectores 1 a br n a n b y 2 a br m a m b la posición de 2 puntos de red sobre la

línea recta de intersección en el plano a b , figura 61 (b). Sabemos que un punto

cualquiera sobre la recta es de la forma

2 1 2γ( )r r r r (39)

γ( ) γ( )a a a b b bm n m a m n m b ,

con γ un número real. Por tanto, la intersección a lo largo de a es: r xa por lo que

γ( ) 0b b bm n m de donde γ( )

b

b b

m

n m

, así obtenemos que

a b b b a a

b b

m n m m n mx

n m

. (40)

Por otro lado, la intersección a lo largo de b es: r yb lo cual exige que

γ( ) 0a a am n m de donde γ( )

a

a a

m

n m

, así, obtenemos que

b a a a b b

a a

m n m m n my

n m

, (41)

Con estos valores de x y y obtenemos la razón

b b

a a

n my

x n m

. (42)

Igual procedimiento se sigue para los otros cocientes, por tanto, podemos concluir

que

155

1 2 ( ) ( ( )r r A h b c k c a l a b

(43)

donde ( )hkl son enteros, A es un factor de modulación que no afecta la dirección del

vector normal al plano cristalino. A esta tríada de enteros que definen la dirección del

vector normal al plano se le llaman índices de Miller. Observemos que esta tríada ( )hkl

no define un plano en sí sino un vector normal al plano cristalino.

La ecuación (38) proporciona el mecanismo para calcular los índices de Miller, para

lo cual debemos hacer lo siguiente:

a) Coloque un origen en algún punto de red y construya ejes coordenados en la dirección de

los vectores base.

b) Exprese la intersección en cada eje en unidades del espaciamiento de red sobre el eje

correspondiente, esto es, obtenga , ,a b cm a m b m c .

c) Tome el recíproco de los enteros , ,a b cm m m , es decir, 1 1 1

, ,a b cm m m

.

d) Reduzca estas 3 cantidades a números enteros que tengan la misma razón, esto es,

obtenga la tríada más pequeña de la forma , ,a b c

N N Nh k l

m m m

, siendo N el entero

adecuado que produce la tríada de enteros hkl más pequeña. Esta tríada de enteros se

puede expresar también como 1 1 1

: : : :a b c

h k lm m m

.

Ejemplo. Considere el plano que intercepta los ejes en (4,1,2) , entonces los recíprocos son

1 1( ,1, )4 2

eligiendo el entero 4N como factor común que multiplica la tríada obtenemos

1 14( ,1, ) (1,4,2)

4 2 por tanto los índices de Miller son (142)hkl .

Encontramos los casos particulares cuando el plano intercepta los ejes en el “infinito”, en

este caso se elige el índice correspondiente como cero, esto es, “1

0

”. Si las

intersecciones son negativas, denotamos los índices como , ,h k l . Observemos que ( )hkl

puede denotar un solo plano o una familia de planos equivalentes, por ejemplo: (100)

equivale a los planos (200),(300),(100) , etc.

Los planos que se relacionan por las operaciones de simetría del grupo al cual

pertenece la celda cristalina, todos ellos son cristalográficamente equivalentes (dan la

misma información física del cristal) y se denotan por hkl siendo ( )hkl un elemento de

esta familia. Físicamente la familia de planos hkl presenta el mismo espaciamiento

156

interplanar y presentan la misma geometría en su arreglo de átomos distribuidos

espacialmente sobre cada plano.

En el caso particular del sistema hexagonal, se usan los vectores base ( , , , )a b a c

siendo a a b , figura 62, donde en el plano de la base de la celda unitaria los vectores

( , , )a b a determinan los índices de Miller ( )hki siendo éstos relacionados por la ecuación

0h k i ó ( )i h k . Para este sistema los índices de Miller completos son ( )hkil y

una dirección se especifica por hkil .

a)

b)

Figura 62. (a) Vectores base para el sistema hexagonal.

(b) Base de la celda unitaria hexagonal.

Por ejemplo, el plano (1010) intercepta al eje a lo largo de a en una unidad, es paralelo a

b , intercepta al eje en a en una unidad y es paralelo a c . Otro caso simple es para los

índices (0001) los cuales indican un plano paralelo a la base de la celda unitaria hexagonal

que intercepta al eje a lo largo de c en una unidad. Finalmente, en términos generales,

podemos expresar la intersección de los planos cristalinos ( , , )x y z con los ejes del sistema

cristalino en términos de los índices de Miller mediante la relación ( , , )n n n

x y zh k l

siendo n el entero común entre ellos.

157

Ejemplo. ¿Cuáles son los índices de Miller del plano que contiene los tres puntos de red

1r a b , 2 2r a c y 3 3r b c ?. Sean los vectores

1 3r r y 2 3r r los cuales están el

plano, por tanto, podemos expresar la ecuación general del plano como

3 1 3 2 3α( ) β( ) (α 2β) (3 4α 3β) (1 α)r r r r r r a b c con α,β R . Esta

ecuación tiene la forma general r xa yb zc . La intersección con el eje en a conduce

a que 0 3 4α 3βy y 0 1 αz de donde obtenemos α 1 , 1

β3

por tanto,

1α 2β

3x

. En la intersección con el eje en b , obtenemos que 0 α 2βx y

0 1 αz , por tanto, α 1 , 1

β2

, de donde obtenemos que 1

3 4α 3β2

y .

Finalmente, en la intersección con el eje en c , obtenemos que 0 α 2βx y

0 3 4α 3βy , de donde 6

α5

, 3

β5

por tanto, 1

1 α5

z . Tomando los

recíprocos: 1 1 1

3, 2, 5x y z , entonces los índices del plano son ( ) (325)hkl . Este

plano genera la familia de planos ( ) (325)h k l N con N el entero común de los índices.

III.18 DENSIDAD DE ÁTOMOS EN LOS PLANOS CRISTALINOS

Consideremos que en un material cristalino de peso atómico ( / )AM Kg mol la masa

de un átomo es Aa

A

Mm

N con

AN el número de Avogadro de valor

266.02 10 /AN átomos mol . Ahora, si en una celda unitaria de un cristal se tiene n

átomos, la masa total de los átomos en la celda unitaria será . .

Ac u

A

Mm n

N . Sea 3ρ( / )Kg m

la densidad volumétrica del material definida por ρm

V . Si

. .c um es la masa contenida en el

volumen de la celda unitaria . .c uV , entonces tenemos que

. . . .ρc u c um V . Así, podemos

expresar el volumen de la celda unitaria mediante las ecuaciones,

. .

ρ

Ac u

A

nMV

N . (44)

158

Ejemplo. Calcule la constante de red para un cristal de sal de roca, con densidad

volumétrica 3ρ 2.18 /g m , además, la celda unitaria del cristal es una cúbica centrada en

las caras con un peso atómico 58.5 /AM Kg mol .

Solución. En una celda cúbica centrada en las caras (fcc) se tienen 4 átomos contenidos en

ella, cuyo volumen es 3V a , con a la constante de red. De la ecuación (44) tenemos que

3

26 3 6 3

4 58.5 /

(6.02 10 / )(2.18 10 /(10 ))

Kg mola

mol Kg m

de donde 5.63a A .

Por otro lado, encontramos que de la ecuación (43) el vector

1 2 ( ) ( ( )r r

R h b c k c a l a bA

es un vector normal al plano cristalográfico con

índices de Miller ( )hkl . Ahora, si introducimos los vectores de red recíproca 2πb c

aV

,

2πc ab

V

,

2πa bc

V

con ( )V a b c , entonces

2π 2π 2π

2π

VR b ch c ak a bl

V V V

(45)

2π

Vha kb lc .

Si identificamos el vector

G ha kb lc (46)

Este es un vector de red recíproca con coeficientes ( )hkl que corresponden a los índices de

Miller, veamos que este vector es normal al plano cristalográfico con índices de Miller

( )hkl . En efecto, consideremos el plano que intercepta los ejes a lo largo de ,a b y c en

, ,N N N

x y zh k l

. Sean los vectores 1

Nr a

h ,

2

Nr b

k y

3

Nr c

l , con estos vectores

construimos el plano que contiene estos tres vectores cuya ecuación vectorial es de la forma

general

1 2 1 3 1( ) γ( )r r t r r r r , (47)

con ,γt R , este plano se ilustra en la figura 63. Consideremos el vector 1r r que está en

el plano ( )hkl , con él efectuemos el producto escalar con el vector G ,

159

Figura 63. Plano cristalino que intercepta los ejes a lo largo

de , ,a b c en , ,N N N

x y zh k l

.

1 2 1 3 1( ) ( ) γ( )G r r t r r r r ha kb lc (48)

γ γN N N N

t b t a c a ha kb lck h l h

,

Recordando la relación entre vectores de red real y recíproca dada por la ecuación

2πδi ija a , entonces al efectuar los productos escalares en (48) obtenemos que

1

2π 2π 2π γ( ) ( γ) 0

N Nt NG r r t h k l

h k k

, (49)

por lo que G es ' al plano ( )hkl . Este hecho nos permite calcular la distancia interplanar

entre los planos paralelos ( )hkl . En efecto, sea d la distancia del origen “O” al plano

( )hkl en dirección perpendicular (en “O” pasa otro plano paralelo ( )h k l ). Sea 1

Nr a

h el

vector del origen al plano cuya proyección sobre la dirección del vector unitario ˆG

uG

determina la distancia d , figura 64.

160

Figura 64. Distancia entre planos paralelos ( )hkl .

La distancia entre planos la podemos calcular mediante la relación

1

ˆ ( )N G N

d r u a a ha kb lch G h G

(50)

2π

NG

.

Si consideramos 1N (planos inmediatos), entonces la distancia interplanar es

2π

( )( )

d d hklG hkl

. (51)

Esta distancia depende de los índices de Miller ( )hkl y del tipo de red cristalina a través de

los vectores de red recíproca G característicos de cada sistema cristalino.

Calculemos, ahora, la densidad superficial de átomos distribuidos en los planos

cristalinos caracterizados por los índices ( )hkl . Considere que en un plano ( )hkl tenemos

el par de vectores primitivos ( , )a b que definen el área A a b y el tercer vector c

conectado con un punto de red en un plano adyacente a una distancia interplanar ( )d hkl ,

figura 65.

161

Figura 65. Volumen generado entre planos paralelos ( )hkl

adyacentes a una distancia ( )d hkl de separación.

Así, el volumen de la celda unitaria es ( )V d hkl A o también, ( )V c a b de donde

1 ( )d kkl

A V , si definimos

1 ( )d kkl

A V = densidad de puntos/área =

( )σ hkl, por tanto

( )

( )σhkl

hkl

d

V . (52)

Ejemplo. Considere el caso de una celda cúbica simple con vectores de red primitivos

â ai , ˆb aj y ˆc ak . Calcule la distancia interplanar y la densidad de puntos de red,

considere el caso de los planos (100) y (111) .

Solución. Los vectores de red recíproca son: 2π

a b cV

, 2π

b c aV

,

2πc a b

V

. 3( )V a b c a , 2 2ˆˆ ˆb c a j k a i , 2 2ˆ ˆc a a k i a j ;

2 2ˆ â b a j k a i , por tanto, 2π â ia

, 2π ˆb ja

, 2π ˆc ka

. Por otro lado, el vector

de red recíproca es 2π ˆˆ ˆ( )G ha kb lc hi kj lka

, por tanto

2 2

2 2 2 22π 2πˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )G G G hi kj lk hi kj lk h k la a

. Así, la distancia

interplanar es ( )2 2 2

2π

( )hkl

ad

G h k l

. La densidad de puntos de red en los planos

( )hkl es, ( ) 3 2 2 2 2 2 2 2

1 1σ

( ) ( )hkl

d a

V a h k l a h k l

. Para los planos (100) :

(100)d a , y (100) 2

1σ

a . Para los planos (111) : (111)

3

ad , y (111) 2

1σ

3a .

Notas Curso Fisica Moderna 2013

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