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NDICEQU ONDA? (a modo de introduccin)

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4 5

AGUAS! (o sea, advertencias)

UNIDAD I

LOS NMEROS NATURALES Y LOS NMEROS ENTEROS I.1. El sistema de los nmeros naturales Introduccin I.1.1. El conjunto N de los nmeros naturales y las operaciones de adicin y multiplicacin I.1.2. El concepto de operacin binaria I.1.3. Propiedades bsicas de la adicin y de la multiplicacin I.1.4. Sistema decimal y sistema binario de numeracin I.1.5. Orden en N I.1.6. La resta y la divisin con naturales no estn bien definidas I.1.7. Definicin del sistema de los nmeros naturales Ejercicios y problemas de la seccin I.1 7 8 11 22 27 27 30 31 39 39 40 46 48 52 58 62 63 65 6 6

I.2. El sistema de los nmeros enteros Introduccin I.2.1. El conjunto de los nmeros enteros I.2.2. Adicin de nmeros enteros I.2.3. Propiedades de la adicin de nmeros enteros I.2.4. Resta de nmeros enteros I.2.5. Smbolos de agrupacin y reduccin de expresiones que los contengan I.2.6. Orden de los nmeros enteros I.2.7. Multiplicacin de nmeros enteros I.2.8. Propiedades de la multiplicacin

2 I.2.9. Smbolos de agrupacin y reduccin de expresiones que los contengan I.2.10. Divisibilidad I.2.11. El sistema de los nmeros enteros Ejercicios y problemas de la seccin I.2 66 67 74 75

UNIDAD II 87 87 88 88 98 107 109 114 116 118 131 133

FRACCIONES Y NMEROS REALES INTRODUCCIN

II.1 Fracciones y nmeros racionales II.1.1. Conjunto F de las fracciones II.1.2. Adicin y resta de fracciones II.1.3. Multiplicacin de fracciones II.1.4. Divisin de fracciones II.1.5. Combinacin de operaciones con fracciones II.1.6. Orden de las fracciones II.1.7. Fracciones y fracciones decimales II.1.8. Los nmeros racionales Ejercicios y problemas de la seccin II.1

II.2 Aritmtica de las proporciones Introduccin II.2.1. Razones y proporciones II.2.2. Proporcionalidad directa e inversa II.2.3. Regla de tres II.2.4. Porcentaje Ejercicios y problemas de la seccin II.2 145 145 147 153 155 158

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II.3 Nmeros reales II.3.1. Los nmeros irracionales II.3.2. El conjunto de los nmeros reales Ejercicios y problemas de la seccin II.3 171 177 178

UNIDAD III

INTRODUCCIN

A

LA

TERMINOLOGA

Y

A

LAS

OPERACIONES

ALGEBRAICAS BSICAS 180 180 181 184 186 188 189 197 202 202 204 206 208 211 214 219

III.1. Introduccin a la terminologa algebraica Introduccin III.1.1. Usos algebraicos de las letras III.1.2. Dominio de una letra III.1.3. Traduccin recproca entre la lengua materna y el lenguaje algebraico III.1.4. Vocabulario algebraico simple agrupacin Ejercicios y problemas de la seccin III.1

III.1.5. Trminos semejantes y manejo de expresiones que contienen smbolos de

III.2. Operaciones algebraicas bsicas III.2.1. Adicin y resta de polinomios III.2.2. Multiplicacin de potencias y de monomios III.2.3. Multiplicacin de polinomios III.2.4. Divisin de potencias de monomios III.2.5. Divisin de polinomios Ejercicios y problemas de la seccin III.2

BIBLIOGRAFA

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QU ONDA? (a modo de presentacin)Bueno, pues ya ests en la Uni, o con todas sus letras para que no haya confusin, en la Benemrita Universidad Autnoma de Puebla, lo que amerita una felicitacin porque es la ley en educacin media y media superior en los alrededores, anexos, conexos y similares (noms nos falt S.A. de C.V.). No creemos que sea buena idea tratar de explicar en una pgina, y menos si sta es la primera, qu es la matemtica, cul es su contenido, sus mtodos, su importancia social, los sesudos mandamientos didcticos requeridos para que est al alcance de todos ustedes y todo ese choro, tenemos un semestre para empezar a hablar de todo ello con ms detalle. Claro que siempre es conveniente tener un panorama del campo de trabajo para estar prevenidos ante los retos que nos esperan. Quiz los trminos, no ms exactos, pero s los que te resultan ms familiares para explicar lo que vas a encontrar en el libro son stos: aritmtica y los primeros temas de lgebra; as que no ests ante un desconocido y hasta intimidante material misterioso, por el contrario, ya has convivido y a veces hasta batallado a jalones y toda la cosa con esto; pero ello no quiere decir que sea ms pan con lo mismo, le damos su lugar a lo que ya has aprendido, como debe ser, pero avanzamos en detalles ms finos y de mayor fondo al respecto. En las secciones que lo consideramos necesario iniciamos con una breve introduccin acerca de los contenidos de la misma y los propsitos generales que se persiguen en ella. No hemos podido evitar que justo la primera unidad sea la que tiene una mayor dosis de eso que ustedes llaman teora (nunca falta la famosa pregunta: profe, en el examen van a venir noms ejercicios o tambin teora?); pero s hemos evitado presentarla en las formas con poco significado que se usan en muchos textos, no se trata de teorizar para complicar las cosas, sino de elaborar una buena herramienta intelectual para descifrar esta materia con fama de difcil: el libro consta de tres unidades; la nmero uno tiene dos secciones, en la primera aparece una buena dosis de teora, en la segunda aumenta un poco; sigue la unidad dos y los detalles tericos disminuyen; la recompensa del esfuerzo anterior es que de ah en adelante continan a la baja, permitindonos poner la atencin en otros aspectos, como el de las aplicaciones. Un detalle importante es que este es un libro de hule, en el sentido de que, dentro de ciertos lmites, se puede estirar o encoger tanto en extensin como en profundidad para adecuarse a la situacin particular de los grupos acadmicos, o de las diferentes ganas con que puede ser abordado por los estudiantes, algunos se quedarn con el mnimo posible, otros irn ms lejos. Con todo son pocos los pasajes de apreciable dificultad, aunque no se trata de darte la suave, neta, habr partes donde tendrs que esforzarte, la vida es dura, aunque afortunadamente las matemticas no lo son tanto, as que con algo de esfuerzo de los profes y de ustedes podrn tener un primer semestre chido, que son los propsitos de los que le echamos montn a la elaboracin de este material y seguramente tambin de los dems colegas. Miguel Prez Cabrera Coordinador del rolloP.D. A algunos profesores no les pareci muy sano el uso de un lenguaje poco acadmicoque aparece en algunas partes del libro, no se trata de molestar a nadie ni de sumarnos al maltrato que en muchos medios se le da a nuestro idioma, pero esto est entre lo que se nos pega de los estudiantes, bueno, de las y los estudiantes, y no es tan malo ponernos a traducir con ellos el lenguaje que usan.

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AGUAS! (o sea, advertencias)En realidad podramos quedarnos un buen rato en esto, pero nos limitaremos a unas pocas observaciones: Una de las caractersticas de este libro es el lenguaje usado, a algunas personas les preocupa que sea tan matemtico, se refieren al uso frecuente de trminos como postulado, definicin, teorema y algunos otros; no se vayan con la finta, slo son palabras usuales de nuestra materia que equivocadamente se han estado dejando de lado desde hace algn tiempo; esa tendencia tiene varios inconvenientes, entre ellos la situacin absurda de que les parezcan unas rarezas a los carnales y carnalas que llegan a carreras profesionales en las que se emplean las matemticas, por ejemplo las ingenieras o las de ciencias naturales. Ya hemos mencionado que el texto est hecho para que resulte posible estirarlo o encogerlo de acuerdo a las necesidades de cada grupo acadmico, notarn que hay partes en marcos punteados y con letra ms pequea, esas son optativas, pensamos que un curso, digamos normal, sera el que atienda todo excepto esas partes, pero se puede recortar an ms si se requiere; en casos graves, bueno, es un decir, el curso se puede reducir a unas pocas pginas de teora y una buena seleccin de ejercicios y problemas. A propsito de stos ltimos, son bastante abundantes, as que su uso requiere hacer una seleccin razonable de los que ustedes tienen que resolver. Por supuesto, sobre lo que hemos dicho en este prrafo, le corresponde al profe hacerte el paro. De hecho el manejo del texto ser ms sencillo si los profesores estamos al tiro en cuanto a hacer las indicaciones pertinentes, en los lugares pertinentes, en los momentos pertinentes, aunque suene impertinente tanta repeticin. Y basta de verbo, porque les espera una larga lectura. Sale?

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UNIDAD I

LOS NMEROS NATURALES Y LOS NMEROS ENTEROSI.1. EL SISTEMA DE LOS NMEROS NATURALESINTRODUCCIN Desde la secundaria realmente desde antes se conocen distintas clases de nmeros, ya saben, el choro de los nmeros naturales, los nmeros enteros y todo eso, cada una de estas tribus numricas tienen sus propias caractersticas, algunas de ellas las identificamos bien pero otras las confundimos; incluso si nos zambullimos en uno de esos montones de nmeros podemos mezclar unas cosas con otras (no es difcil encontrar a quien se le vaya el avin y quiera sumar con las reglas de la multiplicacin). Bueno, pues una forma de meter orden en este embrollo es estudiar cada uno de los tipos de nmeros mediante algo que se llama sistema numrico, uno de los propsitos de esta unidad es precisamente describir en qu consiste eso. En lenguaje gastronmico, diramos que el ingrediente principal del sistema numrico es otro algo que se llama operacin binaria. El lector ver que ya sabe con qu se come esto porque todas las operaciones usuales, suma, multiplicacin, etc. son ejemplos de esta cosa; ciertamente las operaciones bsicas son operaciones binarias muy importantes pero distan de ser las nicas; se ver que es posible inventar un gran nmero de operaciones, unas tiles y otras que para fines prcticos son perfectamente intiles, pero que, sin embargo, son valiosas para ilustrar ideas importantes. En esta unidad hablaremos de ciertos conjuntos, operaciones, propiedades de stas y otras ideas que ya son pan comido para el lector, en este sentido slo pretendemos hacer un recordatorio, pero tambin vamos a agregar detalles finos que resultarn nuevos. Finalmente, como para que el lector se divierta, bueno, hay que ser optimistas no?, aprovechamos esta unidad para que practique sus operaciones bsicas, para lo que le recetaremos algunos ejercicios y problemas. En seguida se presenta el temario de esta seccin, todo ello gira en torno a dos ideas y una actividad bsica: sistema numrico, operacin y manipulacin de operaciones bsicas, incluyendo el planteamiento y resolucin de problemas. TEMARIO DE I.1: I.1. I.1.1. I.1.2 I.1.3. I.1.4. I.1.5. I.1.6. I.1.7. El sistema de los nmeros naturales El conjunto N y las operaciones de adicin y multiplicacin El concepto de operacin binaria Propiedades bsicas de las operaciones de adicin y multiplicacin Sistema decimal y sistema binario de numeracin Orden en el conjunto N La resta y la divisin con naturales no estn bien definidas Definicin del sistema de los nmeros naturales Ejercicios y problemas de nmeros naturales

7 I.1.1. EL CONJUNTO DE LOS NMEROS NATURALES Y LAS OPERACIONES DE ADICIN Y MULTIPLICACIN Hay una diferencia clara entre un esqueleto y los huesos que lo constituyen colocados simplemente en un montn. Estamos pensando que en el primero se notan relaciones entre los huesos que no se perciben en el segundo (cul va unido con cul, de qu manera uno influye en el funcionamiento de otro, etc.); hay una diferencia parecida entre un sistema de nmeros y el simple conjunto de los mismos. En las prximas secciones nos proponemos hacer algunas observaciones acerca del montn de los nmeros naturales que hacen de ste un sistema de nmeros. En cuanto al conjunto mismo de los nmeros naturales (al montn de ellos):

N = {0,1, 2,3, 4,5, 6,7 ,8,9,10,11,12,...}supondremos que es de todos conocido en el aula y no trataremos de dar mayores explicaciones sobre ellos. Esta suposicin no es arbitraria, los lectores de estas notas manejan estos nmeros desde que eran chiquitos (los lectores, no los nmeros). Casi a la par que los alumnos se han familiarizado con los nmeros naturales, tambin lo han hecho con dos operaciones que se efectan con ellos (entre otras), la adicin y la multiplicacin, y tampoco abundaremos en explicaciones al respecto.

Pero por las dudas recordaremos que a los nmeros se les suelen dar ciertos nombres segn la operacin en que participan: 17 + 4 = 21sumandos suma

(17) (4) = 68

factores

producto

No es raro que en el aula se discuta si 0 es o no un nmero natural, en trminos matemticos es casi cuestin de gustos; en nuestro caso tal vez habra que recurrir al hecho histrico y veramos que el conocimiento del 0 y su manejo no han sido tan desenvuelto como ha ocurrido con los otros elementos del conjunto N, en la mayora de las culturas su uso ha sido tardo o nunca lo llegaron a concebir; todo esto quiz le quite su carcter natural. No obstante nosotros lo incluimos en N por su importancia, no tanto como elemento de un conjunto, sino ms bien como parte de un sistema de nmeros.

8 I.1.2. EL CONCEPTO DE OPERACIN BINARIA La adicin y la multiplicacin son ejemplos de lo que se llama operacin binaria. En cada una de aqullas se puede ver que esta idea consiste en cierta correspondencia entre parejas de nmeros naturales, por un lado, y por otro, nmeros naturales que se dice son resultado de la operacin, por ejemplo: 47 + 5pareja de naturales

52

es decir

47 + 5 = 52

natural que se toma como resultado

(47) (5)pareja de naturales

235

es decir

(47) (5) = 235

natural que se toma como resultado

Esta misma idea se encuentra con otras operaciones, por ejemplo en la resta: 47 5pareja de naturales

42

es decir

47 5 = 42

natural que se toma como resultado

Si pensamos una vez ms en la idea de las correspondencias entre parejas de nmeros que participan en las operaciones usuales y sus resultados podemos hacer algunas precisiones: Si decimos a un grupo de personas sumen 2 y 4, puede ser que unos piensen en 2+4 y otros en 4+2, afortunadamente unos y otros llegarn al mismo resultado; pero si les decimos dividan 2 y 4 puede haber problemas, porque si unos piensan 24 hallarn un resultado diferente de los que piensen 42; para evitar tales situaciones confusas conviene adoptar algn acuerdo que permita saber de qu caso se habla, por ejemplo: escribir primero de izquierda a derecha el nmero que se mencione primero, cuando existe un acuerdo de este tipo se dice que las parejas de nmeros que se mencionen son parejas ordenadas. Una situacin parecida es la de los apellidos de una persona, ambos constituyen una pareja ordenada, no es as?. Imaginemos que en un supermercado compramos algo de $1000 y otra cosa de $1200, y que la caja registradora nos indicara que debemos o bien $2200 o bien $3000 porque las adiciones pudieran tener dos resultados, es decir, supongamos que ambos resultados fueran legtimos; o tambin imaginemos por un momento que la caja no marcara un resultado (si marcara 0 si habra un resultado) porque fuera igualmente legtimo que algunas adiciones no tuvieran resultado. Ambas situaciones seran desconcertantes, nuestra experiencia nos dice que es muy conveniente que las operaciones tengan exactamente un resultado, ni ms ni menos.

-

9 Podemos poner estas ideas brevemente en una definicin, qu es eso? Una definicin explica el significado de algo, como lo hace un diccionario

Al leer el siguiente cuadro imagine a C como algn conjunto de nmeros:

Definicin: Una operacin binaria sobre un conjunto C es un procedimiento que permite hacerle corresponder a cada pareja ordenada de elementos de C exactamente un elemento de C.

Notamos que el procedimiento exige lo siguiente (OB son las iniciales de operacin binaria, con frecuencia ocuparemos iniciales para bautizar resultados importantes): OB1) Que sea aplicable a parejas de nmeros, no a un nmero ni a tres ni a ms. OB2) Que se especifique el conjunto que se va a emplear (la clase de nmeros que se van a usar para hacer la operacin con ellos). OB3) Que se den las reglas (instrucciones) que permitan establecer las correspondencias entre cada pareja y su resultado. OB4) Indicar una forma de expresar la operacin; el smbolo que se use se llama operador binario. Para reforzar nuestra idea de operacin binaria, daremos algunos ejemplos. Ejemplo1. Supongamos que en una materia se acuerda que para evaluar cada periodo habr dos oportunidades, y que la calificacin definitiva ser la mayor de ambas. Esta situacin se puede expresar como una operacin: OB1) Se manejarn parejas de nmeros, las dos calificaciones. OB2) El conjunto C que se va a emplear es: C = {0 ,1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10} OB3) Si a y b representan dos elementos de C, expresaremos la operacin de elegir calificacin en la forma aMb; expresiones como stas se pueden leer de alguna manera particular, por ejemplo el mayor de los nmeros a y b . OB4) Regla (provisional): aMb significa elegir el mayor de los nmeros a y b. He aqu algunas muestras de aplicacin de la operacin. 2M7=7 8 M 10 = 10 7M6=7 ACTIVIDAD: Halla el elemento asociado a cada pareja, en las siguientes expresiones: i) 7 M 2 ii) 3 M 9 iii) 4 M 3 iv) 8 M 6

10 Es fcil observar que la regla no permite ciertas correspondencias, por ejemplo, 7 M 7 =?, as que hay parejas sin un resultado asociado, entonces se dice que la operacin no est bien definida. En nuestro ejemplo esto se corrige fcilmente ampliando la regla, cmo? (hay que efectuar la correccin porque ms adelante se usa nuevamente el ejemplo). Ejemplo: 2. OB2) Conjunto: P = {1, 3, 5, 7, 9, ...} OB4) Representacin: a#b, siendo a y b elementos de P. OB3) Regla: a cualquier pareja de elementos de P, se le hace corresponder un nuevo elemento, a saber, el que resulta de restar el segundo nmero del doble del primero, es decir: a#b = 2a b. Algunas muestras de esta operacin: 3 # 5 = 2(3) 5 =1 5 # 3 = 2(5) 3 = 7 ACTIVIDAD: Halla el elemento asociado en las siguientes expresiones u objeta la situacin: i) 11 # 15 ii) 20 # 18 iii) 1 # 3 iv) 1 # 2 Como se ve, nuevamente la regla no es satisfactoria. Slo para continuar ejemplificando la cambiaremos por a#b =2a + b. Se obtiene una operacin bien definida? Cul es el resultado de las siguientes operaciones, si lo tienen: 5 # 1, 1 # 5, 4 # 3. Ejemplo: 3. OB2) Conjunto: el formado por todos los nmeros naturales con excepcin de 0 y 1. OB4) Representacin: ab, siendo a, b nmeros naturales diferentes de 0 y 1. OB3) Regla: Multiplicar a por s mismo hasta completar b factores. As que: 53 = 555 = 125 24 = 2222 = 16 1 # 7 =2(1) 7 = ?

ACTIVIDAD: Halle el elemento asociado en las siguientes expresiones: i) 73, ii) 35, iii) 84 iv) Si incluimos 1 en el conjunto, sigue bien definida la operacin ? si no, qu se podra hacer para reparar el problema? Como podemos darnos cuenta, nuestro primer ejemplo puede ser til, el segundo (con la modificacin indicada) parece perfectamente intil y el tercero es una operacin muy conocida escrita de otro modo (la identificaste?); pero aqu slo importa que son tres situaciones que se apegan al concepto de operacin binaria.

11 I.1.3 PROPIEDADES BSICAS DE LA ADICIN Y DE LA MULTIPLICACIN DE NATURALES.

Estas dos operaciones tienen ciertas caractersticas que facilitan notablemente su manejo y el lector las ha usado tanto que le parecern sin inters alguno, sin embargo no es completamente seguro que se las haya comprendido del todo, como en matemticas son de gran importancia ms vale revisarlas con detalle; aprovechando lo habituales que estas propiedades resultan las presentaremos como postulados. Llamaremos postulados a las afirmaciones sobre las que tenemos razones suficientemente buenas como para aceptar sin ms que son correctas y que no provocarn errores si se usan escrupulosamente.

PROPIEDAD DE CERRADURA DE UN CONJUNTO DE NMEROS Esta propiedad puede ser omitida porque ya est incluida en la definicin de operacin binaria, pero tambin puede ser conveniente insistir en ella; hace referencia a que el resultado de la operacin sea de la misma clase que los nmeros operados; con mayor precisin, un conjunto es cerrado bajo una operacin, si los resultados invariablemente son elementos del mismo conjunto, ntese que sta es simplemente una de las caractersticas de una operacin bien definida.

Nota: Es correcto usar smbolos matemticos para escribir las cosas o es mejor decirlas en el lenguaje de todos los das? Que cada grupo acadmico agarre su patn, con frecuencia usaremos ambas y que en cada grupo se decida al respecto; dejaremos como opcional la versin simblica y se pondr con letra ms pequea y en un marco punteado. De cualquier manera nos limitaremos a unos pocos smbolos y slo les daremos un carcter taquigrfico, como para escribir con brevedad; el profesor que as lo decida abundar ms en lo que aqu mencionaremos brevemente. Cabe advertir que el uso propiamente matemtico de los smbolos es ms rico que sto, lo que nos proponemos es slo hacer una introduccin a esa simbolizacin. SmboloLetra mayscula

NombreUsualmente: conjunto Pertenencia Cuantificador universal Cuantificador existencial

Escritura A xA x x

Se leeConjunto A o simplemente A x pertenece a A Para cualquier elemento x Existe algn elemento x

12 Propiedad de Cerradura Para la adicin de nmeros naturales: A1. El conjunto N es cerrado bajo esta operacin, porque cualquier adicin de naturales tiene como resultado un nmero natural, o ms brevemente, la suma de dos naturales es otro natural. M1. Para la multiplicacin de nmeros naturales: El conjunto N es cerrado bajo esta operacin, porque cualquier multiplicacin de naturales tiene como resultado un nmero natural, o ms brevemente, el producto de dos naturales es otro natural.

Propiedad de cerradura: A1. N es cerrado bajo la adicin de naturales porque: a, b N ocurre que a + b N o simplemente: a, b N, a + b N M1. N es cerrado bajo la multiplicacin de naturales porque: a, b N, ocurre que ab N o simplemente: a, b N, ab N

Claramente hay operaciones con nmeros naturales para los que no se cumple esta propiedad, los casos de la resta o de la divisin son ilustrativos, el conjunto N no es cerrado bajo tales operaciones; esto equivale a decir que stas no estn bien definidas en el conjunto N:Unas veces Otras veces

8 4naturales

= 4natural

4 8

= 4

naturales

no es natural

Unas veces

Otras veces

8 4naturales

= 2natural

4 8naturales

= 0.5no es natural

ACTIVIDAD: En cules de las operaciones aMb, a#b (ya modificada) y ab, se tiene la propiedad de cerradura? Discute esto con tu profesor.

13 Tenemos que subrayar que, en general, en cualquier operacin nos podemos preguntar si tiene o no las propiedades bien conocidas que encontramos en la adicin y en la multiplicacin (u otras).

CONMUTATIVIDAD Esta es una caracterstica de algunas operaciones que permite desechar la exigencia de que en una operacin binaria la pareja de nmeros que se van a operar sea ordenada, porque en esas operaciones el orden no modifica el resultado. Propiedad Conmutativa (a y b representan nmeros naturales) Para la adicin de nmeros naturales: A2. El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a Para la multiplicacin de nmeros naturales: M2. El orden de los factores no altera el producto: a b = b a

Propiedad Conmutativa: A2. Para la adicin: a, b N ocurre que: a + b = b + a o simplemente: a, b N, a + b = b + a M2. Para la multiplicacin: a, b N ocurre que ab = ba o simplemente: a, b N, a b = b a

Cabe insistir en la idea de conmutatividad, veamos los siguientes ejemplos:

3284 + 1420 47043412 75 17 0 6 0 2 388 4 2559 00

1420 + 3284 470475 3412 15 0 75 30 0 2 25 2 559 0 0

14 Aqu tenemos dos ejemplos, en cada uno se presentan dos procedimientos. En el caso de la suma, a simple vista no se notan diferencias, mientras que en la multiplicacin son totalmente diferentes excepto en el resultado, bien pensado, el hecho de que los procedimientos distintos conduzcan al mismo resultado es muy notable, slo nuestra larga experiencia al respecto lo hace parecer como una simpleza. ACTIVIDAD: Cules de las operaciones: M, #, , son conmutativas ( o al menos parecen serlo)? Justifica tus respuestas y disctelas con tu profesor. ASOCIATIVIDAD El carcter binario hace que una cadena de adiciones, como: 9+5+2 tenga que efectuarse por pasos, primero sumamos dos nmeros y al resultado lo sumamos con el que sigue, pero esto puede hacerse de ms de una forma. Esto se ilustra en los siguientes diagramas, en ellos se conectan los nmeros que se van a operar, en cada forma primero se hacen las operaciones de las conexiones ms bajas: 16Una forma

14 9 + 5 + 2 = 16Cada forma conduce al mismo resultado

Otra forma

7 16 Ahora bien, en general, no cualquier operacin se comporta en este aspecto tan bien como la suma , vamos a echarle un ojo a la resta: 2Una forma

4 952=?Cada forma conduce a un resultado distinto

Otra forma

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Cul es el resultado correcto?, se podra decir que el que va de izquierda a derecha, pero entonces se estar escogiendo un orden privilegiado para efectuar operaciones, lo que se har en ocasiones tomando algunas precauciones, pero eso es otro cantar, todos sabemos que nada as tenemos que hacer en cadenas de adiciones:

15 A3. Propiedad asociativa de la adicin de naturales La suma es asociativa porque el resultado no depende del orden en que se opere cuando se tiene que aplicar la operacin sucesivamente dos o ms veces.

ACTIVIDAD: Como ejercicio, ilustra al menos dos posibles caminos para hallar los resultados de las siguientes expresiones. i) 10+15+14+28 ii) 4+7+11+6+5 iii) 1+3+5+7+9+11 En los textos no encontraremos diagramas como los anteriores para indicar el orden de las operaciones. Cuando se trabaja con cadenas de dos o ms operaciones, por ejemplo, 2+3+6 23+6, donde se tiene que efectuar primero alguna operacin y despus otra, conviene tener una forma de indicar cul se efectuar antes, al respecto se usa la: Regla del Parntesis RP1. En una cadena de operaciones se indica el orden en que stas deben efectuarse encerrando entre parntesis la que se debe efectuar primero.

Por ejemplo, en el caso de 9 + 5 + 2 tenemos: (9 + 5) + 2 = 14 + 2 = 16 9 + (5 + 2 ) = 9 + 7 = 16 La asociatividad entonces radica en que:(9 + 5) + 2 un camino posible

=

9 + (5 +2)otro camino posible

ambos caminos conducen al mismo resultado

En cambio, para 9 5 2 vemos que: (9 5 ) 2 = 4 2 = 2 9 (5 2 ) = 9 3 = 6 as que

(9 5) 2 9 (5 2 )

La resta de naturales no es asociativa, con esto se quiere decir que si seguimos un orden para efectuar una cadena de restas, obtendremos un resultado diferente al que se obtiene si se sigue otro orden, excepto por uno que otro churro, en resumen:

A3. Propiedad asociativa de la adicin de naturales (a, b, c representan nmeros naturales cualesquiera). (a + b) + c = a + (b + c)

16 Claro, la multiplicacin de naturales tambin es asociativa, va un ejemplo que de paso permite completar la regla del parntesis (lase de los niveles bajos hacia los altos).120 24 6

(2) (3) (4) (5) = 1206 120 20

Con la regla del parntesis escribimos simplemente:((2 3) 4) 5 = (6 4) 5 = 120 en resumen ((2 3) 4) 5 = (2 3) (4 5) (2 3) (4 5) = 6 20 = 120

Como se ve, en el primer procedimiento unos parntesis estn dentro de otros; tambin se ve que primero se hace la operacin del que est ms adentro, esta observacin completa la regla del parntesis: RP2. Si unos parntesis estn dentro de otros, primero se atiende el ms interior.

Es pertinente subrayar dos aspectos importantes de la asociatividad, tanto para la adicin como para la multiplicacin: En una cadena de adiciones o de multiplicaciones estamos en libertad de cambiar de lugar a voluntad los parntesis. En las mismas operaciones, lo anterior tambin significa que estamos en libertad de quitar todos los parntesis, precisamente porque as posteriormente podemos ponerlos donde se quiera.

De hecho podemos escribir la asociatividad de ambas operaciones en la forma:

A3. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) M3. a b c = (a b) c = a (b c)

17 ACTIVIDAD: Es asociativa la divisin? Es asociativa cada una de las operaciones M, #, ? En cada caso justifica tu respuesta y comenta con tu profesor. Haciendo uso de la regla de los parntesis, efecta las siguientes operaciones: i) 7+19+10+2 ii) 25+15+3+8+17 iii) 8246 iv) 1351048

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE ELEMENTOS NEUTROS En la definicin de operacin no se dice que a cada par de nmeros se le asocia otro nmero, sino un nmero, porque este puede ser uno de los nmeros operados, por ejemplo: 5+0=5 0+3=3 41=4 1 879 = 879

Se puede escribir para la suma un ejemplo sin el 0, o en la multiplicacin algn ejemplo sin el 1? La respuesta es negativa, estas caractersticas son peculiares de los nmeros citados, en ese sentido son nicos, es decir: A4. 0 es el nico natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a: 0 + a = a y tambin a + 0 = a , a 0 se le llama neutro aditivo. M4. 1 es el nico natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a : 1a = a y tambin a1 = a , a 1 se le llama neutro multiplicativo. En este sentido, existe en N un elemento neutro para la resta? La respuesta es que no exactamente, tenemos que introducir un matiz, diramos que para la resta slo existe neutro por la derecha, por ejemplo: 3 0 = 3 mientras que 0 3 3 ACTIVIDAD: Existe neutro para cada una de las operaciones M, #, ? Justifica tu respuesta y comenta con tu profesor. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIN RESPECTO A LA ADICIN Cada una de las propiedades anteriores corresponden a una operacin, adicin o multiplicacin, la que sigue se refiere a combinaciones de ambas. Entre las combinaciones de adicin y multiplicacin hay dos especialmente importantes que podemos ilustrar en el siguiente ejemplo:

18 Supongamos que compramos tres camisas de cierto tipo, y dos ms de otro, pero todas ellas de un mismo precio, por ejemplo de $ 230.00.

Cmo calculamos el importe total de las cinco camisas? Usualmente de una de las formas siguientes: Primera forma: Primero sumamos 3 camisas + 2 camisas y luego multiplicamos $230.00 por el resultado; usando la regla del parntesis esto se hace en la forma: 230 (3 +2) = 230 5 = 1150 Segunda forma: Primero multiplicamos $230 por cada nmero de camisas y despus sumamos los resultados, es decir: (230 3) + (230 2) = 690 + 460 = 1150 Como esperbamos, los resultados coinciden, esto ilustra una relacin general entre la multiplicacin y la adicin que se puede indicar en la forma: DMA. a (b + c) = (a b) + (a c)primer procedimiento segundo procedimiento

ambos procedimientos conducen al mismos resultado

Esta es la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a la adicin: en una situacin dada se puede recurrir indistintamente a un procedimiento o al otro, porque conducen al mismo resultado. Ejemplo: Siempre podemos preguntarnos si un par de operaciones poseen una propiedad como sta, digamos: Ser distributiva M, respecto a ? Ensayemos con ejemplos numricos: 4M (2 3) = (4M2) (4M3)? La expresin de la izquierda da: 4M (2 3) = 4M8 = 8 La expresin de la derecha da: (4M2) (4M3) = 4 4 = 256 Los resultados no coinciden, as que no encontramos la propiedad en cuestin.

19 Ejemplo: Definamos otra operacin con naturales como sigue:a b = el menor de los nmeros a y b el mismo que a y b si son iguales

Ahora preguntamos: a M (b c) = (a M b) (a M c) ? Probemos algunos ejemplos numricos. Se obtiene en verdad la siguiente igualdad? 4 M (3 2) = (4 M 3) (4 M 2) Lado izquierdo: Lado derecho: 4M2=4 44=4

Conclusin, efectivamente se tiene la igualdad: 4 M (3 2) = (4 M 3) (4 M 2) Ser coincidencia? Otros ejemplos indican que no lo es, pero se requiere otro tipo de argumentos para lograr plena seguridad de que M es distributiva respecto a ? ACTIVIDAD: Usaremos las cuatro operaciones M, , # , , para hacer diferentes combinaciones que nos permitan ver si son distributivas unas respecto a otros; verifica en cada caso si son vlidas las igualdades o no: 4 M(6 #2) = (4M6) # (4M2) 4 # (5 8) = (4 # 5) (4 # 8) 7 (2 3) = (7 2) (7 3) JERARQUA DE OPERACIONES La propiedad distributiva plantea otra cuestin, para verla regresamos a la expresin

(a b ) + (a c )La regla del parntesis indica que primero debemos efectuar las multiplicaciones y despus la suma, esa instruccin es necesaria porque si quitamos los parntesis ocurren cosas como la que se ilustra en seguida, tomemos la expresin: 34 + 35 Si efectuamos operaciones en diferentes rdenes se pueden obtener varios resultados:

20 75 15 12 3 4 + 3 5 =? 7 21 105 Jerarqua de operaciones. Para economizar parntesis convendremos en que en una cadena de multiplicaciones y adiciones, efectuaremos primero las multiplicaciones y despus las adiciones, a menos, precisamente, que halla parntesis que indiquen otra cosa. Por esto se dice que la multiplicacin es una operacin de mayor nivel que la adicin.

multiplicacin adicin La operacin de mayor nivel se efecta antes que la otra

Ejemplo: Vamos a tomar dos expresiones idnticas, enseguida introduciremos parntesis en lugares diferentes y veremos qu pasa: 34+35 3 4 + 3 5 (3 4) + (3 5) = 12 +15 = 27 3 (4 + 3) 5 = 3 7 5 = 105

De acuerdo a la regla de jerarqua, la expresin 3 4 + 3 5 se manejar como en el primer caso, la operacin de mayor nivel se efecta antes que la otra. ACTIVIDAD: En las siguientes expresiones realiza las operaciones indicadas. i) 2 3 + 6 = ii) 3 + 3(4 + 2) = Nota: los siguientes ejemplos incluyen la resta, por lo pronto su jerarqua es la misma que la de la suma: iv) 4 3 + 18 9 1 = iii) 5 + 20 4 3 2 =

21 A continuacin daremos algunos ejemplos donde se utilizan propiedades para justificar algunas afirmaciones que permiten realizar operaciones en diferentes formas. 352 = 3(52), la igualdad se justifica por la propiedad asociativa de la multiplicacin. (587)(1) = 587, la igualdad se justifica por la propiedad del elemento neutro multiplicativo. 3+4+7 = (3+4)+7, la igualdad se justifica por la propiedad asociativa de la adicin. 3(2+7) = 32+37, la igualdad se justifica por la propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma. 34+42 = 42+34, la igualdad se justifica por la propiedad conmutativa de la adicin. 3527425343 = 4253433527, la igualdad se justifica por la propiedad conmutativa de la multiplicacin.

En el siguiente ejemplo damos una columna de expresiones, se afirma que cada una es igual a la de abajo; en medio de ambas se escribe la justificacin de la igualdad (cada propiedad no corresponde a una expresin o a la otra, es la que permite pasar de una a otra, afirmando que son iguales, por eso escribimos la propiedad entre ambas expresiones). 4+9(1)+3(4+2)= por elemento neutro multiplicativo 4+9+3(4+2)= por propiedad distributiva de la multiplicacin ante la adicin 4+9+34+32= por propiedad de cerradura de la multiplicacin 4+9+12+6= por propiedad asociativa de la adicin (4+9)+(12+6)= slo se obtuvieron las sumas 13+18= slo se obtuvo la suma 31 ACTIVIDAD: Justifica las siguientes igualdades, con el nombre de la propiedad utilizada. 345 = 3(45) (45)4 =4(45) 3241= 324 5(7+8) = 57+58 3(5+0)= 35 917=179 (45)4 = 4(54)

22 A continuacin te presentamos el desarrollo de una serie de operaciones para una expresin dada originalmente. Se afirma que sta es igual a la segunda, que sta a su vez es igual a la tercera, etc., entre una y otra expresin vas a colocar el nombre de la propiedad que justifica la correspondiente igualdad: (4+3)+2(1+2) = 1. _______________________________ (4+3)+21+22 = 2. _______________________________ (4+3)+2+4 = 3. _______________________________ (4+3)+(2+4) = 4. _______________________________ (4+3)+(4+2)= 5. slo se obtuvieron las sumas________ 7+6= 6. _______________________________ 13 Para los siguientes ejercicios, realiza las operaciones indicadas, justificando en cada afirmacin la propiedad utilizada. 4 + 7 + (0+3)5 = 5 + 2(4+0) + 3(2+1) =

I.1.4 SISTEMA DECIMAL Y SISTEMA BINARIO DE NUMERACIN. Hemos dicho que entre las caractersticas de los nmeros naturales est su aparicin histrica espontnea y temprana en diversas culturas, pero claro, una cosa es el concepto y otra su representacin. Como se sabe, hay una gran diversidad de representaciones de los naturales; seguramente en algunas civilizaciones su matemtica no lleg muy lejos porque no encontraron un buen sistema de numeracin (no confundir con lo que ms adelante llamaremos sistema numrico!), de hecho en muchos casos el problema fue que no lograron concebir el nmero 0, parece que es difcil ponerle nmero a la nada. Entre los diversos sistemas de numeracin sobresalen los posicionales, llamados as por el papel que la posicin en que se colocan los dgitos juega un papel importante, por ejemplo, el nmero 111 pudiera ser tres para los romanos, mientras que para los rabes es ciento once; claro, para los primeros cada 1 es uno, en cambio para los segundos el 1 de la derecha es uno, el que le sigue a la izquierda es diez y el otro es cien. Pero elaborar un sistema posicional es complicado, requiere tener una aritmtica bastantea avanzada, de hecho exige tener gran claridad sobre todo lo que hemos dicho hasta aqu; as que hay aqu un problema de ida y vuelta: un buen sistema de numeracin necesita una buena aritmtica y una aritmtica desarrollada requiere de un sistema de numeracin bastante elaborado. Vamos a ilustrar todo esto recordando con brevedad algo del sistema decimal de numeracin y agregando un par de palabras para el caso del sistema binario de numeracin.

23 Sistema decimal de numeracin Los sistemas posicionales de numeracin tienen entre sus cualidades versatilidad para efectuar con ellos operaciones y suponen una aritmtica muy eficaz, en particular suponen el conocimiento y manejo de las propiedades antes reseadas, por ejemplo, la representacin decimal de 31204 consiste en: 31204 = 3 10 4 + 1 10 3 + 2 10 2 + 0 10 + 4

Se recordar que las caractersticas de la representacin decimal de numeracin son: Se emplean diez dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Se introduce otro nmero que es la base del sistema, en nuestro caso, 10 Se emplean la adicin, la multiplicacin y una variante de sta, la potenciacin.

Se puede observar que la construccin de un sistema posicional requiere una aritmtica desarrollada, esto se nota con mayor detalle en los llamados algoritmos de las operaciones, digamos, los mecanismos que estn atrs de nuestras sencillas formas de hacer operaciones, por ejemplo veamos lo que hay atrs de la diminuta suma: 209 + 18 209 + 18 = (2102 +0101+9 )+(1101+8) = 2102 +0101+9 +1101+8 = 2102 +0101+1101 +9 +8 = 2102 +(0101+1101) +(9 +8) = 2102 +(0+1)101 +(9 +8) = 2102 +1101 + 17 = 2102 +1101 + 1101 + 7 = 2102 + (1+1) 101 +7 = 2102 + 2101 + 7 = 227 escritura decimal desarrollada propiedad asociativa de la adicin conmutativa de la adicin propiedad asociativa de la adicin propiedad distributiva slo se efectan sumas 17 se escribe en forma desarrollada propiedad distributiva slo se efectan sumas forma posicional

Examinando con lupa y con paciencia este procedimiento, podrn reconocerse los pasos de la forma usual de sumar, desde las formas de acomodar los sumandos (una columna de unidades, otra de decenas, etc), hasta sumar los primeros sumandos de derecha a izquierda, llevar 1 a la fila que sigue a la izquierda, etctera. Remacharemos el concepto del algoritmo de la adicin con otro ejemplo:

24 457+285 = (4102 +510+7)+(2102+810+5) = 4102 +510+7+2102+810+5 = 4102 +510+2102+7+810+5 = 4102 +2102+510+7+810+5 = 4102 +2102+510+810+7+5 = (4 +2)102+(5+8)10+(7+5) = 6102+1310+12 = 6102+(110+3)10+(110+2) = 6102+(11010+310)+110+2 = 6102+(1102 +310)+110+2 = 6102+1102+310+110 +2 = (6+1)102+(3+1)10 +2 = 7102+410+2 = 742 escritura decimal desarrollada prop. asociativa de la adicin prop. conmutativa de la adicin prop. conmutativa de la adicin prop. conmutativa de la adicin prop. distributiva prop. de cerradura de la adicin escritura desarrollada de13 y 12 prop. distributiva prop. de cerradura de la multiplicacin prop. asociativa de la adicin prop. distributiva prop. de cerradura de la adicin forma posicional

ACTIVIDAD: Para reforzar el algoritmo de la suma, realiza las siguientes sumas en forma desarrollada: 8+12 = 102+154 = 242+379 = Bien se sabe que las diversas civilizaciones crearon varios sistemas de numeracin. Dicen los que saben, que los egipcios tenan bsicamente un sistema decimal; que los babilonios usaban ms bien dos sistemas, uno decimal y otro sexagesimal, es decir, usaban como base el 60; mientras que los mayas preferan como base el 20. En fin, cualquier natural excepto 0 y 1 sirve como base para un sistema de numeracin, por ejemplo, una base muy actual por ser de uso persistente en la computacin es el 2, el correspondiente sistema se llama binario. Vamos a agregar unos prrafos al respecto para destacar las caractersticas de un sistema de numeracin posicional y la importancia que para esto tienen las propiedades de las operaciones: Dgitos: 0, 1. Slo stos deben aparecer en un nmero binario posicional. Base: 2. Aparece en la forma desarrollada pero no en la posicional. Se usa la adicin, la multiplicacin y la potenciacin.

Cuando los romanos escriban II y los rabes escriban 2 hablaban del mismo nmero, pero usaron smbolos diferentes para representarlo. Convengamos en llamar numerales a los smbolos usados para representar nmeros, II y 2 son dos numerales para el dos

Cmo se escriben en forma binaria desarrollada y posicional: 1, 2, 3, 4, 5, 9, 31?

25 En la tabla se muestran los resultados, los subndices indican la base, por lo tanto no era necesario escribrselo a los decimales, 510 es simplemente nuestro 5, en cambio 1002 no es nuestro 100, sino el 4 escrito en binario.

Nmero decimal 110 210 310 410 510 910 3110

Binario desarrollado 1 12 + 0 12 + 1 122 + 02 + 0 122 + 02 + 1 3 12 + 022 + 02 + 1 124 + 123 + 122 + 12 + 1

Binario posicional 12 102 112 1002 1012 10012 111112

A la inversa, averigemos qu nmero en sistema decimal es el binario101012: Ejemplo: 101012 = 124 + 023 + 122 + 02 + 1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110

De manera anloga a lo que hicimos con la adicin en el sistema decimal, y que nos permiti hacernos del algoritmo de la suma, mostraremos en forma desarrollada la adicin de numerales binarios. Esto puede permitir al alumno hacerse del algoritmo de la suma de nmeros binarios. En este ejemplo se nota la importancia de las propiedades estudiadas cuando an no se tiene un procedimiento abreviado para hacerlo. La tablita resaltada a la derecha es la tabla de sumar binaria (+2), y no es broma, consulta a tu profesor. 10112+11002 = (123 + 022 + 12 + 1) + (123 + 1 22 + 02 + 0) forma binaria desarrollada asociativa de la adicin = 123 + 022 + 12 + 1 + 123 + 1 22 + 02 + 0 = 123 + 022 + 12 + 123+ 1 + 1 22 + 02 + 0 conmutativa de la adicin +2 0 1 conmutativa de la adicin = 123 + 022 + 123+ 12 + 1 + 1 22 + 02 + 0 0 0 1 conmutativa de la adicin = 123 + 123+ 022 + 12 + 1 + 1 22 + 02 + 0 1 1 102 conmutativa de la adicin = 123 + 123+ 022 + 12 + 1 22 + 1 + 02 + 0 conmutativa de la adicin = 123 + 123+ 022 + 1 22 + 12 + 1 + 02 + 0 = 123 + 123+ 022 + 1 22 + 12 + 02 + 1 + 0 conmutativa de la adicin asociativa de la adicin = (123+123)+(022+122)+(12+02)+(1+0) distributiva = (1+1)23 + (0+1)22 + (1+0) 2 + (1+0) adicin de nmeros binarios = (10)23 + (1) 22 + (1)2 + 1 forma binaria desarrollada = (12 + 0)23 + 1 22 + 12 + 1 distributiva = 1223 + 023+ 1 22 + 12 + 1 = 124 + 023+ 1 22 + 12 + 1 definicin de exponente = 101112 de la forma desarrollada se pasa a la posicional

26

Va otro ejemplo, es un largo rollo slo para sumar 10112 + 1012, que en el sistema decimal y con nuestro benigno procedimiento usual es simplemente 11 + 5 = 16 (!).3 2 2 10112 + 1012 = ( 1 2 + 0 2 + 1 2 + 1 ) + ( 1 2 + 0 2 + 1 ) forma desarrollada = 1 23 + 0 22 + 1 2 + 1 + 1 22 + 0 2 + 1 asociativa 3 2 2 = 1 2 + 0 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 + 1 + 1 conmutativa 3 2 = 1 2 + (0 + 1) 2 + (1 + 0 ) 2 + (1 + 1) asociativa, distributiva = 1 2 3 + 1 2 2 + 1 2 + 102 se hacen sumas en binario con la tabla de sumar 3 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 se desarrolla 102 3 2 = 1 2 + 1 2 + (1 + 1) 2 + 0 distributiva 3 2 se hacen sumas en binario con la tabla = 1 2 + 1 2 + 10 2 2 + 0 3 2 = 1 2 + 1 2 + (1 2 + 0 ) 2 + 0 se desarrolla 102 3 2 2 = 1 2 + 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 distributiva 3 2 = 1 2 + (1 + 1) 2 + 0 2 + 0 distributiva 3 2 se suma en binario = 1 2 + 10 2 2 + 0 2 + 0 3 2 = 1 2 + (1 2 + 0 ) 2 + 0 2 + 0 se desarrolla 102 3 3 2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 distributiva 3 2 = (1 + 1) 2 + 0 2 + 0 2 + 0 distributiva

3 2 = 10 2 2 + 0 2 + 0 2 + 0

se suma en binario se desarrolla 102 distributiva notacin posicional

3 2 = (1 2 + 0 ) 2 + 0 2 + 0 2 + 0 4 3 2 = 1 2 + 0 2 + 0 2 + 0 2 + 0 = 10000 2

ACTIVIDAD: Convierte los siguientes numerales de base dos en numerales de base diez. i) 101012 ii) 110112 iii) 1100112 iv) 1111112 v) 11100012 Convierte los siguientes numerales de base diez en numerales de base dos. i) 35 ii) 59 iii) 128 iv) 306 v) 415

Realiza las siguientes adiciones en aritmtica binaria. i) 1102 + 1112 ii) 1012 + 1102

iii) 1112 + 1002

27 I.1.5 ORDEN DE LOS NMEROS NATURALES

Si algo resulta fcil es comparar parejas de naturales y decir cul de ellos es el menor (o el mayor). Sabemos que 3 es menor que 7, podemos explicar por qu?, esto ya no es tan fcil. Lo ms probable es que haya varias opiniones; si nos ponemos de acuerdo en un criterio aplicable a cualquier pareja de naturales habremos definido un orden de los nmeros naturales; as como hay reglas para operar naturales, tambin la hay para ordenarlos, es decir, para tomar dos de ellos y determinar cul es el menor. De una buena vez recordemos que la forma simblica de expresar que a es menor que b es: a < b, y que tambin se admite escribirlo en la forma b > a (b mayor que a expresa la misma idea que a menor que b). Ahora pasemos a buscar la regla; la idea ms usual se basa en la suma y es la siguiente: dados dos naturales, el menor es al que debe sumrsele un natural para obtener el otro, es decir, por ejemplo: Tomemos 7 y 2: a 7 no podemos sumarle un natural para obtener 2, en cambio a 2 podemos sumarle 5 para obtener 7, es decir, 2 + 5 = 7, entonces decimos que 2 < 7. Hay que observar que 0 no puede entrar en el trato, porque como, por ejemplo, 2 + 0 = 2, tendramos que decir que 2 < 2, que no se lleva bien con nuestra experiencia. Ahora podemos poner esto en una definicin, por supuesto no nos ensea nada, slo nos permite explicar una cosa que ya sabemos hacer: Definicin: Si a y b representan dos naturales cualesquiera, la expresin a < b se lee a es menor que b, y significa que existe un natural c 0 tal que a + c = bDefinicin:

Si a, b N , a < b significa que c N, c 0, tal que a + c = b

I.1.6. LA RESTA Y LA DIVISIN CON NATURALES NO ESTN BIEN DEFINIDAS RESTA: La idea es que esta operacin sea la inversa de las suma en el siguiente sentido: dados los nmeros naturales a y b llamados sumandos, se les puede hacer corresponder un nmero c llamado suma: a+b = c

sumandos

suma

28 La resta ser una operacin en la que se da la suma y un sumando, hacindoles corresponder como resultado el otro sumando, es decir, representando la resta en la forma usual se tendra: ca = bsuma un sumando el otro sumando

del mismo modo

cb=a

De aqu que ensayemos la siguiente definicin; para que no te parezca rara piensa en la forma en que desde la primaria comprobabas las restas, slo aplicabas esta regla:

Sean a, b, c nmeros naturales relacionados como sigue: a b = c significa que b + c = a entonces c se llama diferencia de a menos b; a se llama minuendo y b se llama sustraendo

Ejemplos: 324 7 = 317 porque 7 324 = c ? 7 + 317 = 324.

no existe un natural c tal que 324 + c = 7

Verifica que: 5 (32) (53)2 porque 5(32) = 51 = 4 y (53)2= 22 = 0 As de rpido vemos que la operacin resta, no est bien definida para los naturales por que hay casos en los que no puede asignarse un resultado (un natural por supuesto). Como sabemos tambin se dice que el conjunto N no es cerrado bajo la operacin resta. Tambin est en duda que se cumplan las propiedades que hemos estado estudiando, cul no se cumple segn el ltimo ejercicio de arriba? ACTIVIDAD: Con base a los ejemplos anteriores, contesta lo siguiente: Si 3N y 6N, entonces 36 N. por qu? Justifica tu respuesta. 63 36, por qu? Justifica tu respuesta. 7(43) (74)3, por qu? Justifica tu respuesta.

29 DIVISIN Se procede como con la resta, la idea es definir esta operacin como inversa de la multiplicacin en el sentido de que el producto entre un factor, d el otro factor: Si a b = c, entoncesfactores producto

c a = b y tambin c b = a

Intentemos la definicin: Sean a, b, c nmeros naturales relacionados como sigue: a b = c significa que bc = a entonces c se llama cociente de a entre b, mientras que a se llama dividendo y b el divisor.

Ejemplos: 48 6 = 8 porque 68 = 48, en este caso se dice que 6 divide a 48.

6 48 = c (?) no hay un nmero natural c, tal que 48 c = 6 , ahora decimos que 48 no divide a 6. 15 3 = 5 porque 53=15, decimos que: 3 divide a 15. 9 2 = c (?), no existe un natural c, tal que 2c = 9, entonces 2 no divide a 9. La divisin no est bien definida en N, o lo que viene siendo lo mismo, N no es cerrado bajo la divisin. Observacin: Si existe al menos un elemento para los cuales una propiedad no se verifica, esto es suficiente para decir que la propiedad no se cumple. Dicho sea de paso, si hacemos algunos ensayos veremos que algunas de las propiedades vistas antes no se cumplen: 36 63, ya que 36 no da un natural y 63 = 2; la propiedad conmutativa no se aplica en la divisin de nmeros naturales. 6(32) (63) 2, ya que 6(3 2) no es un natural y (63) 2 = 22 = 1, lo que indica que la propiedad asociativa no se verifica en la divisin de los nmeros naturales.

30 ACTIVIDAD: Con base a los ejemplos, contesta lo siguiente: Si 17 y 9 son naturales, entonces 179 no es natural. Por qu? Justifica tu respuesta. 12 3 3 12 por qu? Justifica tu respuesta. 18 (6 3) (18 6) 3 por qu? Justifica tu respuesta. 35 7 = 5 por qu?

I.1.7. DEFINICIN DEL SISTEMA DE LOS NMEROS NATURALES Esta definicin resume los aspectos ms importantes de lo dicho desde el principio, por un lado proporciona un panorama de conjunto de ello; por otro lado, es un modelo de las cuatro etapas que tenemos que cubrir para construir otros sistemas numricos.

Definicin El sistema de los nmeros naturales, indicado en la forma (N, +, , 4 b) 2|n|, esto no limita la generalidad de lo que diremos: 1. Si m y n son del mismo signo, tomamos |m| + |n|, la suma m + n ser este nmero o su inverso (por qu?), en cualquier caso tenemos un entero. Si m y n son de signos contrarios, entonces se toma |m||n|, y m + n ser este nmero o bien su inverso (por qu?), en ambos casos tenemos un entero. 2. Si hay que sumar m y m, se hace la suma m + m y la suma buscada ser este nmero o su inverso (por qu?), en cualquier caso se tiene un entero. 3. Si m es un entero, m + 0 =m tambin lo es. 4. Para cualquier entero m, m + (m) = 0 es un entero As que en efecto siempre obtenemos un entero, como se quera probar.

A2. Conmutativa Si m y n son enteros cualesquiera, entonces:

m+n=n+m

A2.

Conmutativa: m, n Z, m + n = n + m

50Demostracin: Como en el caso anterior, se toma m y n; |m| y |n| son naturales supondremos que |m| > |n|. 1. Si m y n son del mismo signo, se toma |m| + |n| y la suma m+n ser este nmero o su inverso; mientras que n+m ser, respectivamente, |n| + |m| o su inverso (por qu?), pero |m|+|n| = |n|+|m|, as que en ambos casos obtenemos el mismo resultado. Si los enteros son de signos contrarios, entonces tanto para m+n como para n+m se toma |m|-|n|, en ambos casos con el signo de m, por lo tanto las dos sumas son iguales. Los tres casos restantes son inmediatos, escrbelos.

A3. Asociativa Para nmeros m, n, p enteros cualesquiera: m + n + p = (m + n) + p = m + (n + p)

A3. Asociativa: m, n, p Z, m + n + p = (m + n) + p = m + (n + p) Se recomienda omitir la demostracin.

A4. Existencia y unicidad de neutro aditivo:

n + 0 = 0 y tambin 0 + n = 0

La existencia se incluye en la definicin de suma. Puede resultar un poco desconcertante insistir en que se tiene que demostrar la unicidad, es decir, que no hay otro entero que se comporte como el 0 en la suma, pero ya hemos tenido oportunidad de notar la importancia de la unicidad. Nuestras dos primeras demostraciones se basan en la unicidad del inverso y algo as ocurre con frecuencia; de cualquier modo omitiremos la demostracin de la unicidad del elemento neutro aditivo.

A5. Existencia y unicidad de inverso aditivo. Es el postulado establecido al principio: cada entero tiene exactamente un aditivo, que tambin es un entero.

inverso

51 As que la adicin de enteros tiene una propiedad ms respecto a la de naturales, la A5. A continuacin daremos algunos ejemplos donde se muestra el uso de las propiedades de la adicin. i. ii. iii. iv. v. ACTIVIDAD: i) El conjunto de los nmeros enteros negativos (N ) es cerrado bajo la operacin adicin. Justifica tu respuesta. ii) El conjunto de los nmeros enteros negativos (N ) es cerrado bajo la operacin multiplicacin. Justifica tu respuesta. iii) Qu elemento de Z representa el neutro aditivo? iv) Qu elemento de Z representa el neutro multiplicativo? Como en el caso de los nmeros naturales, te presentamos el desarrollo de una serie de aplicaciones de operaciones; en cada afirmacin que se hace justifica colocando en los espacios el nombre de la propiedad utilizada v) 3 + 4 + 3 = 3 + 3 + 4 = (3 +3) + 4 = 0+4 = 4 vi) 3 + ( 7 ) + (3)= 3 + [ (7) + (3) ] = 3 + [ (3) + (7) ] = [ 3 + (3)] + (7) 1.__________________ 2.__________________ 3.__________________ 4. 1. _____________________ 2. _____________________ 3. _____________________ 0+(82) = 82, 3+5+9 = 3+(5+9) la igualdad esta justificada por la propiedad asociativa de la adicin. 16+4530=4530+16 se justifica por la propiedad conmutativa de la adicin. 48335+48335=0 se justifica por la propiedad del elemento inverso. 17+20=37 se justifica por la propiedad de cerradura. se justifica por la propiedad del elemento neutro.

52 = 0 + (7) = 7 I.2.4. RESTA DE NMEROS ENTEROS 4. _____________________ 5. _____________________

Nuevamente tenemos que definir una operacin binaria. Ahora estamos en la parte central de la seccin de los nmeros enteros. Como recordaremos, una de las limitaciones que habamos encontrado en el sistema de los nmeros naturales, era la imposibilidad de efectuar restas m n con naturales cuando m < n ya que en tal caso m n no es un nmero natural; esto es, el conjunto de los nmeros naturales no es cerrado respecto a la resta. Hasta ahora hemos resuelto el problema para un caso muy particular agregando los nmeros enteros negativos, las restas de la forma 0 n cuyo resultado es n, es decir: 0 n = n porque n + (n) = 0.

Como se ver, no hay necesidad de agregar ms nmeros, los agregados bastarn para efectuar cualquier resta. Empezaremos definiendo la resta, as que nuevamente tenemos que afrontar la labor de definir una operacin binaria, pero ahora lo haremos en una forma bien conocida: Definicin: Si m y n son dos enteros, entonces m n es la resta de m menos n y la diferencia es un entero r que sumado con n da m, es decir: m n = r significa que n + r = m Ejemplos: 9 12 = 3 porque 12 + (3) = 9 7 (2) = 5 porque 2 + (5) = 7 Acto seguido, establecemos un teorema de la mayor importancia que, entre otras cosas, nos proporciona otra forma de restar: Teorema de la resta (TR) Si m y n son enteros, entonces: m n = m + (n) Es decir, restarle un entero a otro es lo mismo que sumarle el inverso aditivo del que se va a restar al otro. Demostracin: De acuerdo con lo que hemos dicho que es la resta, slo tenemos que convencernos de que si le sumamos m + (n) a n obtenemos m. n + [ m + ( n )] = n + [( n ) + m ] = [ n + ( n )] + m (estamos usando la propiedad conmutativa) (ahora la asociativa)

53 =0+m (sta es la propiedad de los inversos) =m (y sta es la del neutro) As que, en efecto, m + (n) es el resultado de restar m n. An recuerda el lector las razones que nos pusieron a estudiar los enteros?, aqu nos interesa la imposibilidad de efectuar ciertas restas si nos limitamos a los nmeros naturales, ahora se ve que con los enteros es posible hacer cualquier resta, y con el teorema de la resta resulta ms fcil que con la definicin, por ejemplo: Las del estilo de 5 14, en efecto ahora sabemos que 5 14 = 5 + (14) = 9 O tambin: 8 5 = 8 + (5) = 3. Observa el siguiente ejemplo: 8 (7) = 8 + 7 = 15

En estos casos usualmente hay una confusin con las reglas de los signos para la multiplicacin: menos por menos da ms, pero aqu ni siquiera hay multiplicacin, es una resta. Tampoco se debe confundir con: (n) = n. Simplemente ese caso es un efecto del teorema de la resta. En general el TR da de inmediato: m (n) = m + n Y para hablar en trminos generales, observemos que cualquier suma de enteros es otro entero (cerradura), y por el TR cualquier resta se puede cambiar por una suma: m n = m + (n), por ello cualquier resta de enteros es otro entero, es decir:

Z es cerrado respecto a la resta Ya hemos alcanzado un propsito inicial (tenemos un conjunto de nmeros con los que resulta posible efectuar cualquier resta), tambin hemos avanzado en el otro, podemos contar en dos sentidos opuestos, particularmente en ciertas situaciones cotidianas, pero iremos mucho ms lejos que esto construyendo todo un aparato aritmtico para los nmeros enteros. ACTIVIDAD: Utilizando el teorema de la resta, muestra que: i) 15 13 = 2 ii) 571 358 = 213 Utiliza el teorema de la resta para realizar: iii) 95 76

54 iv) 13 (20) v) 11 16 vi) Es el conjunto de los nmeros enteros negativos (N ) cerrado bajo la operacin resta? vii) Es el conjunto de los nmeros enteros positivos (N+ ) cerrado bajo la operacin resta? viii) Es la resta, como operacin binaria, conmutativa? Utiliza un ejemplo numrico para justificar tu respuesta. ix) Es la resta, como operacin binaria, asociativa? Utiliza un ejemplo numrico para justificar su respuesta? x) Existe elemento neutro en Z para la operacin resta? SUMA ALGEBRAICA (SA) Este es un nombre usual pero ciertamente es un tanto engaoso, no se refiere a sumas de expresiones que contengan literales, sino, en palabras simples, a cadenas de restas o de sumas y restas que se van a efectuar con ciertas reglas que se vern en lo que sigue, pero desde ahora nos permitiremos llamarles a tales expresiones sumas algebraicas: Por ejemplo: 8 + 6 3 (5) 7 16(5)+(8)2 Con lo que tenemos hasta ahora es posible manejar esta clase de expresiones en varias formas diferentes, tomaremos la primera como ejemplo: La presencia de las restas nos dice que no es vlido aplicar aqu la propiedad asociativa, no estamos autorizados a efectuar las operaciones en cualquier orden porque obtendremos para cada uno un resultado diferente, con excepcin de algunas coincidencias, ante esto se toma un acuerdo: SA1. En las sumas algebraicas, las operaciones se efectan de izquierda a derecha As que una primera forma de manejar la expresin dada, consiste en efectuar en el orden dicho las adiciones y sustracciones. -7 0 -5 -2 8 + 6 3 (5) 7 = 7

55

Para manejar la expresin original, 8 + 6 3 (5) 7, en una segunda forma empezamos anotando otra regla: SA2. Conviene evitar los signos adjuntos, en particular sabemos que m ( n) = m + n

Entonces escribimos la expresin original en la forma: 8+63+57 Ahora escribimos la expresin slo con sumas, por medio del TR, y las efectuamos: 8 + 6 3 (5) 7 = 8 + 6 3 + 5 7 = 8 + 6 + (3) + 5 + (7) = 7

Una tercera forma de manipular la expresin dada es bastante incmoda: expresarla slo mediante restas, claro, con el TR, y efectuarlas una a una ya sea usando la definicin o el propio teorema: 8 + 6 3 (5) 7 = 8 + 6 3 + 5 7 = 8 (6) 3 (5) 7 = 7

Pero resulta que se puede agregar una forma ms de manipular la ya tediosa expresin, esta forma es realmente el caballito de batalla en la prctica y propiamente hablando es a lo que se llama suma algebraica. Enseguida veremos de qu se trata, opcionalmente se puede omitir lo que sigue, nicamente retomando las reglas SA3 y SA4 que se dan ms adelante. La idea es apoyarse en el teorema de la resta para obtener otras reglas un poco ms directas que las de la suma, aunque su inters es puramente operacional, veamos por ejemplo algunas etapas del procedimiento anteriormente efectuado para manejar la expresin: 8 + 6 3 + 5 7: Empezamos con esta regla:

SA3. Dada una suma algebraica, despus de aplicar SA2, obtendremos una expresin donde slo hay nmeros positivos, con la posible excepcin del primero de la izquierda, en cualquier caso nos referiremos a ellos como nmeros sin signo pero antecedidos por un signo + o , no diferenciaremos si el signo corresponde al nmero o indica una operacin.

56

En el caso del primer paso de las operaciones que estamos usando como ejemplo tenemos: 8 + 6 = 2 as que al 8 le antecede un y al 6 un +. Ahora haremos una serie de adaptaciones de las reglas de la definicin de suma, observe la suma de arriba, veremos como se efecta con la definicin de suma y haremos una adaptacin:Definicin de suma Sumandos de signos diferentes: al de mayor valor absoluto se le resta el menor, y se toma el resultado con el signo del sumando de mayor valor absoluto. Adaptacin Si a los nmeros, sin signo, les anteceden signos distintos, al mayor se le resta el menor, tomando el resultado con el signo que le antecede al mayor.

Pasamos al segundo paso de nuestras operaciones: 2 3 = 2 + (3)Lado derecho: definicin de suma Sumandos de signos iguales: se suman valores absolutos y el resultado se toma con el mismo signo de ellos. Lado izquierdo: adaptacin Si a los nmeros les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el mismo signo que les antecede.

Ahora el paso que sigue: 5 + 5 = 0Definicin de suma Si los sumandos son inversos aditivos la suma es 0. Adaptacin Si los nmeros son iguales y les anteceden signos contrarios su suma es 0.

Siguiendo as obtenemos las siguientes adaptaciones de la reglas de la suma:

Definicin: suma algebraica SA4. Una suma algebraica se efecta como sigue: a. Si a los nmeros les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el signo que les antecede. Si les anteceden signos diferentes, al mayor se le resta el menor y el resultado se toma con el signo que le antecede al mayor. b. Si los nmeros son iguales y les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el signo que les antecede. c. Si un nmero es cero, la suma es el otro con el signo que le antecede. d. Si los nmeros son iguales y les anteceden signos contrarios su suma es 0.

57

Las reglas SA1, SA2, SA3, SA4 definen la suma algebraica, mucho de ello rara vez es explicitado, por lo que hay mucha confusin al respecto. La suma algebraica tiene varias ventajas operacionales, una de ellas es una especie de asociatividad, en el sentido de que: Se pueden seguir varios caminos al operar y por todos ellos se obtiene el mismo resultado Por ejemplo, retomemos nuestra expresin anterior, avancemos por un camino distinto al de antes y corroboremos que llegamos al mismo resultado: -7 1 3 -2

8 + 6 3 + 5 7 Pero la suma algebraica tambin imita a la conmutatividad, en el sentido de que:

Si se cambian de lugar los nmeros junto con el signo que les antecede el resultado no cambia Sirve otra vez nuestro ejemplo: 8 + 6 3 + 5 7 = 5 8 7 + 6 3 = 7 ACTIVIDAD: Efectuar las operaciones indicadas como sumas algebraicas: i) 6+34+2 ii) 7 4 + 5 2 + 8 6 iii) 18 + 13 16 11 + 5 7 + 8

58

I.2.5.

SMBOLOS DE AGRUPACIN Y REDUCCIN DE EXPRESIONES QUE LOS CONTENGAN

Es cierto que los parntesis se usan con varios propsitos, por ejemplo para indicar multiplicacin, pero su uso realmente importante es indicar el orden en que debe efectuarse una serie de operaciones, y as los hemos estado usando, por ejemplo, consideremos el orden que se muestra en el siguiente diagrama para efectuar las sumas:

33 31 20 17 11

7 + 10 + 3 + 7 + 4 + 2 Recuerda que se debe procede por alturas, primero se atienden las conexiones ms bajas, despus las intermedias y as hasta llegar a la ms alta, esto mismo se indica con parntesis como sigue: {[(7 + 10) + 3] + (7 + 4)} + 2 Como se sabe, las reglas bsicas de jerarqua son:

RP1. Dar primaca a las operaciones que estn dentro de los parntesis RP2. Si unos de ellos estn metidos en otros, se atienden primero los ms interiores

Procediendo paso a paso tenemos lo siguiente (compara con el diagrama):7 +10 +3 +7 +4 +2 = {[(7 +10) +3 ] + (7 + 4) } +2 = {[ 17 +3] +11 } +2 = (20 + 11) + 2 = 31 +2 = 33

59 Ahora bien, se acostumbra ocupar adems de los parntesis otros smbolos de agrupacin, en general los ms usados son: Smbolos de agrupacin parntesis ( ) corchetes [ ] llaves { } Todos ellos tienen la misma funcin y con excepcin de reglas de uso locales que se les pueden asignar en un aula, su uso es indistinto. Por ejemplo, hay quienes dicen que los parntesis deben ir dentro de corchetes y, si es el caso, stos deben ir dentro de llaves, pero esto no pasa de ser preferencia de algunos profesores; lo nico cierto es que el uso de diferentes smbolos de agrupacin puede hacer ms fcil distinguir el orden en que hay que ir operando y sta es la razn de que se usen varios tipos de tales smbolos; por ejemplo, la ltima expresin se puede escribir como sigue (omitimos la expresin original): [{(7 +10) + 3} + (7 + 4)] + 2 = [{17 + 3} + 11] +2 = [20 +11] + 2 = 31 + 2 = 33 Cancelacin de smbolos de agrupacin. Las reglas vistas son suficientes para manejar expresiones que contengan smbolos de agrupacin mientras se trabaje slo con nmeros, sin embargo en el terreno del lgebra eso no siempre es posible, por ejemplo, es claro que nada se puede hacer con: [(a + b) c] (c b) porque no se pueden efectuar las operaciones dentro de los parntesis, ahora bien, tiene ciertas ventajas introducir aqu las reglas que sern usadas en lgebra, stas tienen como fin cancelar los smbolos de agrupacin para poder efectuar operaciones. Reglas para Cancelar Smbolos de Agrupacin. Aqu k, m, n, p representan nmeros enteros C1). + (m n + p) = (m n + p) = m n + p C2). k + (m n + p) = k + m n + p C3). (m n + p) = m + n p C4). k (m n + p) = k m + n p C5). Si unos smbolos de agrupacin estn dentro de otros, conviene empezar la cancelacin a partir de los ms interiores

Observaciones:

60 (C1) dice que si al smbolo de agrupacin le antecede un signo +, tranquilamente se pueden omitir ste y los parntesis, incluso el + puede no estar escrito, es slo un convenio de notacin. (C2) se le parece a (1), tambin le antecede un + a los smbolos de agrupacin y se omiten los parntesis, pero no se puede omitir el + porque aqu indica suma y no un simple signo antepuesto al parntesis, adems es un teorema. (C3) tampoco consiste en un simple signo antepuesto al parntesis, es el inverso aditivo de una suma algebraica, aunque slo se le conoce como la regla segn la cual, si al smbolo de agrupacin le antecede un signo , el smbolo de agrupacin se puede suprimir con la condicin de que se cambie por su opuesto el signo de cada nmero que est dentro de los smbolos de agrupacin. Es un teorema. (C4) se parece a (3) en cuanto a que a los smbolos de agrupacin les antecede un y al efecto de quitar el smbolo de agrupacin, pero no se refiere al inverso de una suma algebraica, sino a una resta, al nmero k se le est restando una suma algebraica. Tambin es un teorema.

Como ejemplo ilustrativo veremos la demostracin de (C3): Demostracin: Finalmente la expresin (m n + p) es un nmero, y (m n + p) es su inverso, por lo que: (m n + p) + [ (m n + p)] = 0 (*) Por otro lado resulta que: (m n + p) + ( m + n p) = 0 (**) Nos convenceremos de esto ltimo: (m n + p) + ( m + n p) = (m +( n) + p) + [(m) + n + (p)] (teorema de la resta) = m + (n) + p + (m) + n + (p) (asociativa) = m + (m) + (n) + n + p + (p) (conmutativa) = [m + (m) ] + [(n) + n ] + [ p + (p)] (asociativa) =0+0+0 (propiedad de inversos aditivos) =0 (asociativa y propiedad del neutro aditivo) Ahora comparamos (*) y (**), tanto (m n + p) como m + n p aparecen como inversos aditivos de (m n + p) (porque las sumas son 0), como el postulado de los inversos prohbe que haya dos inversos, debe ocurrir que: (m n + p) = m + n p, como se quera demostrar

Si prefieres, en vez de la demostracin general de C3, puedes seguir el procedimiento con el ejemplo numrico siguiente: Deseamos demostrar que (3 4) = 3 + 4

61 Prueba: La expresin 3 4 es un nmero entero y (3 4) es su inverso aditivo. Luego: ( 3 4 ) + [ (3 4 )] = 0 por la propiedad de inversos aditivos. (1) Por otro lado, resulta que: (3 4 ) + [ 3 + 4 ] = 0 (2) En efecto: (3 4) + [ 3 + 4] = (3 + (4)) + [(3) + 4 =] teorema de la resta = 3 + (4) + (3) + 4 propiedad asociativa de la adicin = 3 + (3) + 4 + (4) propiedad conmutativa de la adicin. = [ 3 + (3)] + [ 4 + (4)] propiedad asociativa de la adicin = 0 + 0 propiedad de inversos aditivos = 0 propiedad del neutro aditivo. Ahora, comparando (1) y (2), tenemos que (3 + 4 ) y 3 +(4) seran inversos de 3 + 4, porque sumndole a esto cualquiera de las dos expresiones se obtiene 0, pero un entero no puede tener dos inversos, as que en realidad deben ser el mismo nmero, es decir: (3 + 4 ) = (3) + (4 ) Ejemplo: Efectuar las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del parntesis como mediante la cancelacin de smbolos de agrupacin: (7 + 4 { 1 (2 9)} [4 (10)]) 6 Primera forma: (7 + 4 { 1 (2 9)} [4 (10)]) 6 = (7 + 4 {1 (7)} [14]) 6 = (7 + 4 {8} 14) 6 = 31 Segunda forma: Nos limitaremos a cancelar los smbolos de agrupacin y al final efectuaremos la suma algebraica: (7 + 4 { 1 (2 9)} [4 (10)]) 6 = (7 + 4 {1 2 + 9} [4 + 10]) 6 = (7 + 4 1 + 2 9 4 10) 6 = 7 + 4 1 + 2 9 4 10 6 = 31 ACTIVIDAD: Efecta las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del parntesis como mediante la cancelacin de signos de agrupacin. i) 38 + [ 23 (13 + 10)]

62 ii) iii) 73 [ (18 14) (37 12)] 45 [ 34 + { 14 (13 11)}]

I.2.6. ORDEN DE LOS NMEROS ENTEROS Este apartado se destina a adoptar un acuerdo para decidir cundo un entero es menor que otro, y simplemente tomaremos el que estamos empleando desde el principio: Definicin: Sean dos enteros m y n, para indicar que m es menor que n escribiremos m < n, o tambin n > m, y se entender como sigue: m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n Es decir, como en el caso de los naturales, el nmero menor es al que se le puede sumar algo positivo para que iguale al otro. Notemos que la definicin de resta nos permite escribir el criterio del orden m + p = n en la forma n m = p, y sabemos que p es positivo, as que: m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n, pero esto significa que n m = p, es decir que la diferencia del nmero que se dice que es mayor menos la del que se dice menor, debe ser positiva; podemos anotar esto como otro criterio para ordenar enteros (la definicin lo hace mediante la suma, el siguiente teorema recurre a la resta):

Teorema (TO): m < n significa que n m es positivo Ejemplos: Definicin de orden 10 < 3 porque existe 13 tal que 10 + 13 = 3 45 < 5 porque existe 40 tal que 45 + 40 = 5 3 < 5 porque existe 2 tal que 3 + 2 = 5Teorema TO 10 ps Si

117

Cuidado con la forma de escribir esto!, digamos que el producto menor debe ser el que contiene al numerador de la fraccin menor. Adems, para comparar dos fracciones que no tengan sus denominadores positivos antes, hay que cambiarlas por otras equivalentes que tengan esa caracterstica (recurriendo al Postulado S). Ejemplos: En los siguientes ejemplos vamos a investigar qu fraccin es mayor o menor, de acuerdo al teorema: i)4 7 y 5 6 Solucin:

Como (4)(6) < (5)(7) entonces ii) Es cierto que Solucin:3 2 < 6 ?. 5

4 7 < 5 6

Vemos que (3)(5) no es menor que (2)(6), entonces tampoco es cierto que en otras palabras, lo que realmente ocurre es que iii)3 > 2 6 . 5

3 2

0 q

Para nuestros propsitos solamente en unas pocas ocasiones ser conveniente distinguir entre fraccin y nmero racional, e incluso no ser indispensable, puedes seguir trabajando sin esta complicacin, repetimos, de carcter terico; pero no sobra recordar que la distincin en cuestin se reduce a diferenciar entre fraccin y fraccin simplificada, cosa que se hace con el propsito de mantener el concepto original de sistema numrico. En particular, la frase fracciones equivalentes tiene un significado bien definido, mientras que racionales equivalentes no tiene sentido, no los hay.

133EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIN II.1

1. De la expresin que tiene en mente el Sr. Federico, conteste lo siguiente: a) Identifique el numerador y el denominador. b) Qu significa el numerador? 126 c) Qu significa el denominador? de queso d) Si invierte la posicin del numerador y del 168 denominador, qu ocurre? Explquelo.

FEDE RICO

2. Cules de las siguientes fracciones son equivalentes? 3 6 12 3 5 3 6 12 b) , c) , a) , , , 5 7 8 16 32 4 8 , 14

d)

5 10 1 15 , , , 10 15 2 , 30

3. CACEROLA DE ATN CON PAPAS ASTILLADASCantidad de cada ingrediente: 1 1 lata ( 10 oz. Se lee 10 onzas y media) 2 de crema de championes.3 de taza de leche. 6 1 lata ( 7 oz.) de atn. 8 de taza de papa cortada en astillas. 8 5 de taza cocida de arverjas verdes. 5 1 de papa cortada en astillas. 4

3.- Agregar la leche. 4.- Agregue el atn , 1 taza de papas astilladas y las arverjas a la mezcla de la sopa y la leche. Mezcle suavemente. 2 5.- Esparza de papas astilladas. 8Instrucciones de coccin y cmo saber cundo est listo el plato. 1 1 6.- Hornee de a hora , hasta que la sopa 3 2 hierva y el borde de la cacerola tome un color castao. Forma de servir. Puede servirse con una ensalada de espinacas, 4 galletas y de un vaso de leche. 8 Numero de porciones. 3 4 porciones.

Instrucciones para mezclar y combinar. 1.- Caliente el horno a 350 2.- Vace la sopa en un recipiente de aluminio o en un refractario.

134 4. Halle una fraccin equivalente a12 tal que : 36

a) El numerador sea 3 b) El denominador sea 5 veces el denominador original. c) El numerador valga la tercera parte del numerador original. 5. Considerando la receta Cacerola de Atn con papas astilladas : a) Identifica en la receta de la cacerola de atn todas las fracciones equivalentes. b) Cules de ellas representan la unidad? 6. Identifica el mensaje escondido en la pancarta, para ello ubique la fraccin equivalente y escriba la letra.2 16 1 2 2 7 4 8 1 5 2 58 12 12 4 8 5 13 3 75 12 24 4 14 3 6 5 12 5 60 5 13 16 32 1 29 6 16 32 80 12 60

8 18

W

K

A

O

L

P

J

C

Y

E

R

F

S

I

D

M

N

Q

B

U

T

G

H

V

2 2 4 20 12 8

8 2 20 7

5 9

7 1 1 3 11 29 12 3

24 3 30 4

2 6

3 8

42 2 60 3

4 4 20 7

1 8

3 75

5 13

3 2 21 9

2 8

6. Determina el valor de cada literal para que las equivalencias indicadas sean ciertas.a) 2 m = 7 21 k 8 = 8 k y 2 b) = 6 3 9 9 g) = 5 h c) x 4 = 25 5 12 95 = p 40 d) 10 100 = 3 j e) 4 w = 8 40 81 27 = y 2

f)

h)

i)

5 50 = 7 r

j)

7. Sombrea

5 de la grfica que se presenta: 8

135

8. Cul crculo tiene aproximadamente la misma fraccin sombreada que el rectngulo?

9. Convierte a fracciones comunes a las siguientes expresiones: 5 3 1 2 1 a) 9 b) 12 c) 8 d ) 11 e) 3 6 4 2 5 3 10. Obtn tres 1 3 a) b) 2 1 fracciones 2 c) 3 equivalentes para cada 5 5 3 d) e) f) 4 78 8

f)1

1 10

una de las fracciones 15 9 g) h) 7 9

dadas.

11. Dos nias y dos nios midieron la longitud del saln de clase contando el nmero de pasos que requeran para recorrerlo. La siguiente tabla muestra cules fueron sus observaciones: NOMBRE Araceli Snchez Estela Vzquez Jos Toxqui Arnulfo Analco NMERO DE PASOS 12 8 10 15a) Quin de ellos da los pasos ms largos?

b) Si entendemos que por cada 8 pasos que da Estela , Araceli da 12, Podra deducir cuntos pasos da Estela por cada 4 pasos de Araceli? c) Pensando en el problema, qu indican las expresiones

12 12 8 , , ? 10 15 10d) 30 pasos de Arnulfo a cuntos pasos de Jos equivalen? e) A cuntos pasos de Estela corresponden 96 pasos de Araceli?

12. Simplifica las siguientes fracciones a su mnima expresin.3 125 625 1050 3500

a)

6 18 15 18

b)

5 15 64 8

c)

18 9 0 22

d)

21 11 90 270

e)

f)

3 9 l) 64 200

g)

h)

i)

j)

k)

136 13. Efecta las siguientes sumas de fracciones:

1 6 + + 7 7 5 7 b) + + 9 9 12 3 c) + 65 65 7 2 + d) 18 18 a)

2 0 + = 7 7 3 = 9 8 19 5 + + + = 65 65 65 21 6 + + = 18 18

2 3 4 + + = 5 5 5 3 7 0 12 1 f) + + + + 11 11 11 11 11 e)

14. Efecta las siguientes sumas de fracciones:6 11 + 27 21 8 6 2 2 + + c) + 1 + 108 = 16 54 24 5 12 22 + + = e) 7 21 42 a) b) 3 d) f ) 1 1 +6 4 8 7 14 + 18 27 5 7 + 6 3 + 12 = 12 3 + 9 + 5 = 8 = 20

15. Una aleacin est compuesta por 24 partes de cobre, 4 de estao y 1 de zinc. Cuntos kilogramos de cada metal habr en 348 kg. de aleacin? 3 16. La distancia de una ciudad a otra es de 210 km. ; si el primer da Hugo recorre los de 7 2 7 y el tercero los , a qu distancia estar del punto esa distancia, el segundo da los 21 30 de llegada? 17. Una pecera con sus peces cost $480.00, sabiendo que el precio de los peces fue la tercera parte del costo total Cul es el precio de la pecera y cul el precio de los peces? 18. Un comerciante ha comprado 800 kg. de papas, 1201 3 kg. de trigo y 170 kg. de arroz, 9 4 cuntos kilogramos de mercanca ha comprado en total?

3 2 1 19. Cuatro bultos pesan respectivamente 180 lbs, 150 lbs , 140 lbs 4 3 2 cuntas libras pesan entre los cuatro?

y 165 lbs

137 20. Para la receta del ponche se necesitan lima y18 1 tazas de jugo de naranja, 7 tazas de jugo de 4 3

5 tazas de jugo de limn. cuntas tazas en total de jugo se necesitarn para la 8 receta del ponche? 1 1 y 4 6

21. En la siguiente grfica seala la suma de

22. Halla dos fracciones con denominadores 7 y 9 respectivamente tales que su suma sea

73 633 10

23. Cada tres gramos de cereales contienen 10 caloras, este hecho podemos anotarlo como

a) Qu fraccin expresa el hecho de que cada 2 gramos de cerdo contienen 16 caloras? b) Suma las dos fracciones anteriores. c) Si una persona come 3 gramos de cereales y 4 gramos de cerdo, cuntas caloras habr consumido? 24. Pablo va al supermercado y hace algunas compras. Toma un carrito y deposita en l una caja 1 5 del espacio del carrito , un paquete de pan ocupa , una bolsa de huevos que ocupa 8 12 4 1 y 5 libras de panela cada una de ellas ocupa del espacio total. Qu de arroz grande 10 10 fraccin ocupa toda la mercanca adquirida?, ocupa la mercanca ms o menos espacio del que ocupa el carrito? 25. En un laboratorio se mezclan15 45 mililitros de una solucin A con mililitros de solucin 4 8 B .Cul es el volumen de la mezcla resultante?

26. Localiza en la recta numrica los siguientes nmeros racionales:1 3 6 6 0 2 , , , , , 4 4 4 4 4 4 1 7 0 3 2 10 , , , , , 5 5 5 5 5 5

a)

b)

138 27. En la recta numrica ubica los siguientes nmeros racionales.1 2 7 8 1 8 5 8 1 8

a) 1

b) 1

c) 1

d) -

e) -

-2

-1

0

1

2

28. Del ejercicio anterior: a) Identifica la fraccin mayor. Por qu?________________________________ b) Identifica la fraccin menor Por qu?________________________________ c) De las fracciones: 11 5 y 2 8

cul es mayor. Por qu? ________________

29. Representa en la recta numrica las siguientes fracciones equivalentes:

a) b) c) d) e)

3 , 5 1 , 2 0 , 1 1 , 1 2 , 6

3 , 5 1 , 2 0 , 1 2 , 2 2 , 6

6 , 10 2 , 4

6 , 10 3 , 6

12 , 20 3 6

24 40

2 , 4 0 , 3 20 , 20

0 , 2 1 , 1

0 0 , 2 100 100 10001 , 100 10001 1 600 , 3 1800

1 6 , , 3 18

139

30. Indica el nmero racional correspondiente a cada punto.A B C D

-3 A -1 A -5 -4 B

-2

-1 B 0 C

0 C

1

2 D 1 D

3

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

31. Grafica los siguientes nmeros racionalesa) 1 c) 2 1 2 1 , , ,1 3 3 3 3 1 3 4 ,1 , 1 , 4 4 4 b) d) 2 3 5 1 , , , 2, 4 4 4 4

3 5 6 7 1 , , , , 8 8 8 8 8

32. Determina cul es el nmero entero ms cercano al nmero dado.a) 5 3 8 b) 1 7 8 1 4 c) 1 3 5 6

d)1

1 5

e) 4

f)4

33. Escribe el inverso aditivo de las siguientes fracciones:a) 3 5 b) 4 9 c) 7 23 d) 4 5 e) 4 5 f) 0 7

34. Calcula el valor de las siguientes restas de fracciones:9 5 = 7 7 3 2 1 = 7 5 28 3 1 = 5 4 3 3 5 d) 2 = 4 6

a)

b)

c)

e) 94

8 = 36

140

35. Sobre la unidad que escojas sombrea: a) La tercera parte b) La quinta parte7 c) Lo que le falta a para ser la unidad 8 5 e) Lo que le falta a para ser la unidad 12

d) Lo que le falta a 60% para ser 100%

36. Martha Quintero prepara mantequilla para vender , midindola en onzas, (8 onzas equivalen a media libra.) a) Martha trae 32 onzas de mantequilla, cuntas libras son? b) Varias personas se acercan para comprar; la primera compra un cuarto de libra , la segunda seis y media onzas y la tercera un octavo de libra . cuntas libras le quedan a Martha por vender? c) Cuntas onzas aproximadamente vendi Martha y cuntas le quedan por vender? 37. Dado un cordel, Juan toma la mitad, de lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que queda Mara toma la mitad; de lo que queda Carmen toma dos de cinco partes y finalmente quedan 30 cms. cul era la longitud del cordel? 38. En un colegio el alumnado tiene su receso de un cuarto de hora. Si el descanso termina a las diez y media, a qu hora empieza el receso? Escribe la operacin que hiciste para resolver el problema. 39. Completa la serie de los siguientes nmeros , indicando cmo se obtiene cada nmero a partir del anterior.4 3 2 1 ? ? ? ? a) , , , , , , , 5 5 5 5 ? ? ? ? 1 1 0 1 1 ? ? ? ? b) , , , , , , , , 2 4 4 4 2 ? ? ? ? 7 3 5 ,3 ? ? ? c) , , ,1, , , , 4 2 4 4 ? ? ?

40. Chepe recorre en su silla de ruedas

2 de milla para llegar al mismo sitio. quin recorre una distancia mayor?, cunto ms? 5 41. Jaime vive a14 3 km. de la biblioteca. Si a km. del camino de su casa a la biblioteca se 3 4 encuentra un supermercado para comprar algunos comestibles. A qu distancia de la biblioteca se encuentra dicho supermercado?

3 de milla para llegar a su colegio. Amparo camina 5

42. Blanca Amrica asa un pollo para el almuerzo durante una y media horas. Antes de servirlo lo deja enfriar durante un tercio de hora . A qu hora debe asar el pollo si necesita servir el almuerzo a las 12:30 p.m.? 43. Eduardo compr doce y media libras de arroz para preparar la comida y gast una y media libras. cunto arroz le queda? Si cada da usa la misma cantidad, para cuntos das le alcanzar el arroz restante?

141

44. En una finca de 500 hectreas de superficie se cultivan 3 de cada 20 hectreas y se rentan una de cada diez hectreas. Si el terreno ocioso se vendiera a $5,000.00 la hectrea cul sera el importe de la venta? 45. Halla el inverso multiplicativo de cada una de las siguientes fracciones, si existe:a) 3 13 b) 6 1 c) 0 6 d) 7 10 e) 11 11 f ) 1

46. Halla el inverso multiplicativo o recproco de cada fraccin: 3 11 7 5 22 8 4 g) a) b) c)1 d)3 e) f) 4 12 10 8 9 9 7 47. Efecta las operaciones que se indican: 3 a )6 6 5 4 1 b) 5 3 4

h)

3 8

i)

2 5

3 11 7 c) 5 5 7 11

d)

8 1 0 15 2 2

48. Una de ocho partes de un cuarto de litro de helado contiene 145 caloras, cuntas caloras contiene1 32

de litro de helado? una fraccin equivale a dividirla entre dos, es cierto

1 49. Lzaro afirma que multiplicar por 2 esto? Explica dando ejemplos.

50. Si una libra de zanahorias corresponde a 12 zanahorias iguales, cuntas zanahorias habr en un tercio de libra? 51. Cada una de las secciones A, B, C y D , corresponde a un cuarto del estacionamiento.Los lugares para personas minusvlidas ocupan un medio de la seccin A. Qu parte del estacionamiento es para personas minusvlidas?

DB

C

A

52. Expresa cada divisin de fracciones como una multiplicacin sin resolverla.a) 3 2 4 5 b) 7 4 9 5 c) 6 8 5 3 d) 5 2 8 3 e) 3 4 4 3

142 53. Encuentra en cada caso el valor desconocido para que la igualdad sea cierta.

a)

m 4 =1 n 5

b)

t 9 9 = 4 s 4

c)

3 3 = 2 5 n

d)

3 4 15 = 2 y 8

54. Divide y reduce a su mnima expresin las siguientes fracciones:a) 3 1 = 5 5 b) 5 3 = 8 2 c) 13 7 = 20 10 d) 3 1 5 = 3 6 e) 5 2 3 1 = 3 4

55. Efecta las siguientes operaciones de fracciones.a) 5 3 + 4 3 7 6 = b) 3 8 + 9 8 4 3 = c) 7 4 + 5 16 4 15 = d) 10 7 3 4 3 6 6 13 14 9 =

e)

4 9

13 9

3 26

f)

5 12

17 12

3 34

g)

5 6

+

1 6

3 2

h)

7 8

+

56. Escribe el smbolo < , > a) 5 9 7 ; 12

= que corresponda en lugar de3 ; 5

. e) 5 7 . 10 8

b)

17 30

c)

3 5

7 ; 10

d)

6 5 8 6

57. Escribe en orden de mayor a menor. a)1 1 1 , , ; 5 3 4

b)

7 7 5 , , 4 8 7

c)

58. Escribe el smbolo < , > = en lugar de a)x 5 x ; 7

. La variable representa un entero positivo.2d ; 6

b)

y 24

y ; 12

c)

3d 6

59. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.5 5 5 5 5 5 5 5 , , , , , , , 6 8 3 2 9 5 12 4

60. Expresa como fracciones decimales los siguientes nmeros decimales:

3 6 5 , , 4 51 21d)5 a

.

3 a

143

a) 0.068 e) 0.000 096

b) 1.3 f) 1.007

c) 0.987 g) 100. 1

d) 36.1 h) 0.099

61. Expresa como nmeros racionales los siguientes decimales peridicos. a) 0.24 b)0. 235 c) 0. 0087 d) 0. 01287

62. El siguiente cuadro muestra los valores posicionales de los siguientes nmeros: 24.5 y 6.263. Escrbelos en forma decimal desarrollada.punto decimal

centsimas

1

1000

100

10 2

1 4 6

1

0

1

1 0

0

1 1 0 0 0

5 2

6

2( 6(

) + 4( ) + 2(

) + 5( ) + 6(

) = 24.5 ) +3( ) = 6.263

63. Suma las siguientes fracciones y en seguida comprueba efectuando la suma como nmeros decimales.3 5 , 10 100 3 5 5643 b) , , 100 1000 100000 35 12 9 1 , , , c) 1000 100 10 10000

a)

64. Encuentra un nmero racional entre 0 y 1.

milsimas 3

Centenas

docenas

dcimas

millares

unidad

144

65. Encuentra 5 nmeros racionales entre 0 y 66. Encuentra otros 5 nmeros racionales diferentes del problema 2 situados entre 0 y 67. Obtn un nmero racional que se encuentre entre:1 y1 2 15 y1 16 3 y1 4 31 y1 32 7 y1 8

a) d)

b) e)

c)

68. Considera el conjunto de todos los nmeros racionales mayores que 1. tiene este conjunto un elemento mnimo?, por qu? 69. Considera el conjunto de todos los nmeros racionales menores que 3. Tiene este conjunto un elemento mximo?, por qu? 70. Hay un entero positivo mnimo?, cul es? 71. Hay un nmero racional positivo mnimo?, cul es?

145

II.2 ARITMTICA DE LAS PROPORCIONESINTRODUCCIN Ahora estamos en uno de los temas de mayor uso cotidiano, incluso se emplea con frecuencia sin que se sepa que se trata de las proporciones; la lista de usos que se les da sera larga, por ejemplo, se relaciona: con lo que ha hecho cualquier persona que ha elaborado un diagrama o un dibujo que no se vea desproporcionado comparado con los con los objetos reales que se han representado; con lo que hacemos cuando se comparan los trabajos que hacen diferentes personas y sus salarios para ver si se corresponden o algunos estn desproporcionados; cuando calculamos cuntas horas ms tendramos que trabajar para terminar la tarea tantos das antes; etc. Particularmente reconocers aqu al caballito de batalla que es la regla de tres y al siempre presente porcentaje.

II.2.1. RAZONES Y PROPORCIONESHay dos operaciones que se prestan para comparar cantidades, la resta y la divisin, por ejemplo, consideremos dos segmentos AB y CD y las expresiones de la derecha:

A

B

AB CD = 6 3 , o sea : AB CD = 3

AB

C

D

CD

=

6 3

, es decir :

AB CD

=2

Qu significa la primera expresin, ya sea escrita como en el cuadro o en la forma AB = CD + 3 ? Que el segmento AB es 3 unidades mayor que el CD . Cmo se interpreta la segunda?, se ve ms claro si se escribe en la forma AB = 2CD , significa que el segmento AB es 2 veces el segmento CD . Estamos comparando cantidades de dos maneras diferentes, la que nos interesa