Notas del curso de Álgebra Moderna 4

del Dr. Hugo Rincóntranscritas por Alberto Alcalá

1 Producto tensorial.

1.1 Existencia, definición y propiedades básicas.

Antes de definir el producto tensorial de dos R-módulos, necesitamos dar unas definiciones y hacer algunasobservaciones.

Definición 1.1. Dados dos módulos MR,R N y un grupo abeliano G, se dice que una función ! : M !N "G es bilineal si #m,m1,m2 $ M #n, n1, n2 $ N #r $ R:

!(m1 +m2, n) = !(m1, n) + !(m2,n) ,

!(m,n1 + n2) = !(m,n1) + !(m,n2) ,

!(mr, n) = !(m, rn)

Ejemplo 1.2. El producto dentro de un anillo R!R :•%" R es bilineal por sus leyes asociativa y distribu-

tivas.

Ejemplo 1.3. El producto interno en un espacio vectorial sobre R , R!V :! , "%%" V , es también una función

bilineal: la linearidad en la primera variable se da por definición, y en la segunda, por simetría.

Observación 1.4. Para cada par de módulos MR,R N existe la categoría de formas bilineales con dominioM !N , que denotaremos por BilM#N , cuyos objetos y morfismos son:

(BilM#N )0 = {M !N!%" G | Ges abeliano y ! es bilineal}

(BilM#N )1 = {G h%" K | h es unmorfismo de grupos tal que el diagrama

M !N

"!!

! "" G

h##K

conmuta si!," $ (BilM#N )0}

La regla de composición para h, k $ (BilM#N )1 es la composición usual de funciones.

Definición 1.5. Un objeto inicial en una categoría C es un A $ C0 tal que para todo B $ C0 hay unúnico morfismo A

!%" B $ C1.

Observación 1.6. Los objetos iniciales de una categoría C son únicos salvo por isomorfismo.

1

Demostración. Sean A,B objetos iniciales de C . Por definición exisen únicos A!%" B,B

"%" A. Además," & ! = IdA,! & " = IdB puesto que IdA, IdB son los únicos morfismos de A en A y de B en B,respectivamente. ! A

!'="B.

Teorema 1.7. La categoría BilM#N tiene objeto inicial.

Demostración. Consideremos el grupo abeliano libre con base M !N , denotado por Z(M#N), y la función

# : M !N " Z(M#N)

(m,n) (" #m,n

donde#m,n : M !N " Z

#m,n((µ, $)) =

!"

#1 si µ = m, $ = n

0 si µ )= m o $ )= n

Sea Q el subgrupo de Z(M#N) generado por

{#m1+m2,n % #m1,n % #m2,n, #m,n1+n2 % #m,n1 % #m,n2 , #mr,n % #m,rn | m,m1,m2 $ M,n, n1, n2 $ N, r $ R}

Definimos ahora % := & & #, donde & es el epimorfismo natural u (" u=u+Q

M !N# ""

$$$

Z(M#N) % "" Z(M!N)

Q

La función % : M !N " Z(M!N)

Q es bilineal:

%(m1+m2, n) = #m1+m2,n = #m1+m2,n%#m1,n%#m2,n+#m1,n+#m2,n = 0+#m1,n+#m2,n = %(m1, n)+%(m2, n),

y análogamente %(m,n1 + n2) = %(m,n1) + %(m,n2) y %(mr, n) = %(m, rn).Ahora veamos que % es un objeto inicial en BilM#N :

Por la propiedad universal de los grupos libres, para cada ! : M ! N " G bilineal con G abeliano, hayun único morfismo de grupos ' : Z(M#N) " G tal que el diagrama M !N

bil

! ""

# %%

G

ZM#N

$!&

&& conmuta.

Notemos ahora que Q * Ker('), hecho que verificamos en los generadores:

'(#m1+m2,n% #m1,n% #m2,n) = !(m1+m2, n)%!(m1, n)%!(m2, n) = !(m1+m2, n)%!(m1+m2, n) = 0

pues ! bilineal y ' & # = !. Análogamente ocurre para los demás generadores. ! Q * Ker(').Así, por el teorema fundamental de homomorfismos, existe un único morfismo de grupos Z(M!N)

Q'%" G

2

tal que ( & & = ' . Así, tenemos el siguiente diagrama, donde ! = ' & # = ( & & & # = ( & % :

M !N

$

''# %%

!%%G

Q !"

("" Z(M#N)

%""

! &

((

Z(M!N)

Q

! '

&&

Ahora sólo nos hace falta verificar la unicidad del morfismo ( como extensión de ! : si hubiera unZ(M!N)

Q)%" G que hiciera conmutativo el diagrama anterior, como ( & & y ) & & extienden a ! , por la

propiedad universal de los grupos libres se tendría ( & & = ) & & y, como & es un epimorfismo, ( = ).! M !N

$%" Z(M!N)

Q es un objeto inicial de BilM#N .

Definición 1.8. Sean MR $ Mod–R,R N $ R–Mod. Un producto tensorial de M y N es un obje-to inicial en la categoría BilM#N . Al hablar de él, tendremos siempre en mente la construcción de lademostración del Teorema 1.7.

Notación. Escribiremos %(m,n)=m+n, y el producto tensorial de M y N lo denotaremos por M !N%%%"($)

Z(M!N)

Q =M + N = ,{m + n | m $ M,n $ N}-, donde ,{...}- es el grupo generado por {...}. Cuandoqueramos especificar el anillo sobre el cual estamos multiplicando, escribiremos M +

RN .

Observación 1.9. Al operar con el producto tensorial de M,N , #m,m1,m2 $ M,n, n1, n2 $ N, r $ R secumple lo siguiente :

(m1 +m2)+ n = m1 + n+m2 + n

m+ (n1 + n2) = m+ n1 +m+ n2

mr + n = m+ rn

m+ 0 = m+ (0 + 0) = m+ 0 +m+ 0 = 0

0+ n = 0

Además, #z $ Z :

z(m+ n) = zm+ n = m+ zn = m+ nz = mz + n = (m+ n)z

Entonces, cada x $ M +N puede escribirse como una suma finita de la forma$

mi + ni .

Ejemplo 1.10. Para cualquier R-módulo izquierdo M , tenemos que RM '= R +RM , pues el producto

R!M•%" M es bilineal, y si G es un grupo abeliano y R!M

!%" G una función bilineal, entonces podemosdar un único morfismo M

!%" G (definido en los generadores (1,m) de R ! M) que hace conmutativo el

diagrama siguiente: R!M !

(1,m) &'!(1,m) ""

(1,m) &'m

•

))

G

Mm &'!(1,m)

!

** ! RM '= R+RM .

También podemos ver al producto tensorial como un funtor entre la categoría Mod–R ! R–Mod y la

3

categoría Ab de los grupos abelianos, que asigna a cada pareja de módulos derecho, izquierdo (MR,R N)

su producto tensorial. Mostramos a continuación este hecho.

Proposición 1.11. Hay un funtor

+ : Mod–R!R–Mod " Ab

(M,N) (" M +N

Demostración. Falta definir + en los morfismos, que son parejas de la forma (!,") donde MR!%" VR y

RN"%"R W para algunos R-módulos. Observemos que, dado el par (!,"), hay una función bilineal natural

(M,N)*%" V +W

(m,n) (" !(m)+ "(n)

En efecto, * es bilineal:

*(m1+m2, n)=!(m1+m2)+"(n) = (!(m1)+!(m2))+"(n) = !(m1)+"(n)+!(m2)+"(n)=*(m1, n)+*(m2, n)

y lo mismo para *(m,n1 + n2) = *(m,n1) + *(m,n2) y *(mr, n) = *(m, rn).Entonces, por la propiedad universal del producto tensorial, existe un único morfismo M+N

!%" V +W

que denotaremos por !+ ", que hace conmutativo el diagrama siguiente:

(M,N) ! ""

(!,")

##

*

%%

M +N

$!!%"

##(V,W ) ! "" V +W

Además,

(!,") & (µ, $)=(! & µ," & $) %(" (! & µ)+ (" & $) = (!+ ") & (µ+ $)

puesto que m+ n ¨("!(µ(m))+ "($(n))

=(!+ ")(µ(m)+ $(n))

=((!+ ") & (µ+ $))(m+ n)

y claramente (1M , 1N ) (" 1M + 1N = 1M%N . ! + es un funtor.

Observación 1.12. Al producto tensorial de LR con el bimódulo RMS , puede dársele estructura de S-módulo derecho (o izquierdo), definiendo (l+m)s=l+ (ms) (o bien s(l+m)=l+ (ms) ). Simétricamente,si tensamos el bimódulo RMS con SN , obtenemos un R-módulo izquierdo (derecho) al definir r(m +n)=(rm)+ n ( =(m+ n)r ).

Teniendo en cuenta este hecho, mostramos que el funtor + es asociativo:

Proposición 1.13. Si LR,R MS ,S N , entonces (L+RM)+

SN '= L+

R(M +

SN).

4

Demostración. Definimos, de manera natural, el morfismo

(L+M)+N!%" L+ (M +N)

(l +m)+ n (" l + (m+ n)

Sólo hay que ver que ! está bien definido: para cada n $ N , tenemos el morfismo de R-módulosizquierdos

M%n%%%" M +N

m (" m+ n

Luego, al tensar con L, obtenemos el morfismo de grupos

L+M1L%( %n)%%%%%%%" L+ (M +N)

l +m (" l + (m+ n)

Entonces podemos definir

(L+M)!Nf%" L+ (M +N)

(l +m,n) (" (1L + ( + n))(l +m)

= l + (m+ n)

Notemos que f es bilineal: es aditiva en la primera variable pues 1L+ ( +n) es un morfismo de grupos,y en la segunda por la aditividad del producto tensorial en la segunda entrada; además, f((l +m)s, n) =

f(l + (ms), n) = l + ((ms)+ n) = l + (m+ (sn)) = f(l +m, sn). Entonces, por la propiedad universal deltensor, ! es el único morfismo de grupos tal que f = ! & +. Así, ! está bien definido.De forma simétrica se define !(1. ! (L+

RM)+

SN '= L+

R(M +

SN).

Ahora bien, dado que + es un funtor, podemos preguntarnos ¿cómo se comporta al actuar so-bre sucesiones exactas de R-módulos? Veamos que el tensar con un módulo izquierdo o derecho respetaepimorfismos.

Teorema 1.14. El funtor + es exacto derecho en cada variable.

Demostración. Sea MR un módulo. Primero veamos que M + es aditivo:En cada morfismo de R-módulos !:

Hom(RB,R C)M%%%%" Ab(M +B,M + C)

B!%" C (" M +B

1M%!%%%%" M + C

5

Así, si !," $ Hom(RB,R C),

!+ " (" 1M + (!+ ") = (1M + !) + (1M + ")

puesto que m+ b (" m+ (!(b) + "(b))

= m+ !(b) +m+ "(b)

! M es aditivo.Ahora, cosideremos la sucesión exacta 0 " A

!%" B"%" C " 0 . Mostraremos la exactitud de la sucesión

exacta corta M +A1M%!%%%%" M +B

1M%"%%%%" M + C " 0 :El morfismo 1M + " es suprayectivo ya que para todos los generadores m + c de M + C , m + c =

m+"(b) = (1M+")(m+b) para alguna b $ B . Por otro lado, (1M+")&(1M+!) = 1M+("&!) = 1M+0 = 0

, lo que muestra que Im(1M+!) . Ker(1M+") . Para verificar la otra contención, tomemos la composiciónde los morfismos M%B

Im(1M%!) " M%BKer(1M%")

'= Im(1M +") = M +C , dados por el teorema fundamental dehomomorfismos y el primer teorema de isomorfismo, y llamémosle ' . Observemos que Ker(') = Ker(1M%")

Im(1M%!)

. Entonces, para concluir que Im(1M +!) = Ker(1M +") , basta mostrar que ' es un monomorfismo. Paraesto, encontraremos un inverso para ' . Como M +C = Im(1M +") , podemos escribir a los generadoresde M + C como m+ "(b) . Definimos entonces

M + C'%" M +B

Im(1M + !)

m+ "(b) (" m+ b

El morfismo ( es claramente aditivo y está bien definido, pues si "(b) = "(b)) , entonces b % b) $Ker(") = Im(!) , m+ (b% b)) $ Im(1M +!) , 0 = m+ (b% b)) $ Ker(') y luego ((m+"(b)) = m+ b =

m+ b) = ((m+ "(b))) . Además, ' & ( = idM%C . Así, ' es un monomorfismo.! Im(1M + !) = Ker(1M + ") (pues Ker(') = 0) y M + es exacto derecho. (La exactitud para la

variable izquierda se prueba de forma simétrica.)

Hacemos notar ahora que tensar con un R-módulo no preserva monomorfismos, con un ejemplo:

Ejemplo 1.15. El funtor M + no es exacto izquierdo: al tensar la sucesión exacta corta 0 "Z Z +"Z Qcon ZZn , obtenemos la sucesión 0 " Zn + Z '=Zn " Zn +Q = 0 ya que #q $ Q 1+q = 1+nq

n = 1n+ qn =

0+ qn = 0 .

El resultado anterior y el hecho de que si RM , entonces R + M '= M (ejemplo 1.10), nos dan unamanera de conocer explícitamente el producto tensorial de M con cocientes sobre ideales de R, en términosde cocientes de M . Para ello, usaremos la propiedad universal del conúcleo de una sucesión exacta, y elconocido Lema de la Serpiente, que pueden revisarse en el apéndice.

Teorema 1.16. Si I * R es un ideal y RM , entonces RI +M '= M

IM .

Demostración. Consideremos la sucesión exacta 0 " I +" R " RI " 0 . Por la exactitud derecha de

+M , y como R+M '= M , tenemos la sucesión exacta corta I +M +" R+M " RI " 0 , y el diagrama

conmutativo siguiente, donde ( es el isomorfismo entre M y R + M , ' existe por la propiedad universal

6

del conúcleo, y # es el morfismo de conexión dado por el Lema de la Serpiente:

0

##

Ker(')" #

##

#

++

I +M ""

'####

R+M ""####

'####

RI +M ""

&####

0

0 "" IM !"

""

##

M "" ""

##

MIM

""

##

0

0 0 0

Tenemos así la sucesión exacta 0 " Ker(')#" 0 , lo que nos dice que Ker(') = 0. ! R

I +M '=&

MIM

Nos preguntamos ahora cómo se comporta el funtor tensor con los productos, sumas directas (coproduc-tos) y límites directos de módulos. Para contestar a lo primero, necesitamos desarrollar más herramientas(ver sección 3.2), pero podemos dar de inmediato una respuesta para las sumas y límites directos. Lasdefiniciones de producto y coproducto se encuentran en el apéndice, y la de límite directo la daremos enbreve.

Teorema 1.17. M + conmuta con /{ }. Es decir, M +/I{Ni} '= /

I{M +Ni} .

Demostración. Para obtener un morfismo M + /{Ni} " /{M + Ni} basta dar una función bilinealh : M ! /{Ni} " /{M + Ni} . Definimos, en los generadores (m, #ni

i ) de M ! /{Ni}, donde #nii (j) =!

"

#ni si j = i

0 si j )=i, la función h : M !/{Ni} " /{M +Ni} como h((m, #ni

i )) = #m%nii . h es bilineal:

h(m1 +m2, #nii )=#(m1+m2)%ni

i = #m1%ni+m2%nii = #m1%ni

i + #m2%nii =h(m1, #

nii ) + h(m2, #

nii )

h(m, #nii + #

nj

j )=#m%nii + #

m%nj

j =h(m, #nii ) + h(m, #

nj

j )

h(mr, #nii )=#mr%ni

i = #m%rnii =h(m, #rni

i ) = h(m, r#nii )

Entonces, por la propiedad universal del tensor, existe un único morfismo M +/{Ni}&%" /{M +Ni}

tal que el siguiente diagrama conmuta:

M +/{Ni}! &

m%#nii &'#

m"nii "" /{M +Ni}

M !/{Ni}

%(m,#nii ) &'m%#

nii

&&

(m,#nii ) &'#

m"nii

h,,

Ahora, definimos k : M +Ni " M + /{Ni} como k(m + ni) = m + #nii . Por la propiedad universal

7

del coproducto, hay un único /{M +Ni}'%" M +/{Ni} tal que el siguiente diagrama conmuta:

/{M +Ni}! '

#m"nii &'m%#

nii "" M +/{Ni}

M +Ni$!

m%ni &'#m"nii

&&

m%ni &'m%#nii

k,,

Además, observamos que ( & ' = Id . ! M +/I{Ni} '= /

I{M +Ni} . (Simétricamente, el teorema se

cumple para +M .)

Corolario 1.18. R+M (I) '= (R+M)(I) '= M (I) .

Demostración. Es inmediato del teorema anterior y el ejemplo 1.10 .

Ahora usamos este resultado para establecer un criterio que nos permite caracterizar las sumas nulasdentro del producto tensorial de dos R-módulos.

Teorema 1.19. Sean {yi}I un conjunto de generadores para RN y {xi}I . MR con xi = 0 salvo para unnúmero finito de índices. Entonces 0 =

$Ixi+yi $ M+N si y sólo si hay un conjunto finito {mj}J . M

y una matriz A $ M|J|#|I|(R) tales que (xi)I = (mj)JA y A(yi)tI = 0 , donde (yi)tI es el vector columnacon entrada i-ésima yi .

Demostración. (0) :$Ixi + yi =

$I($JmjAji) + yi =

$I

$J(mj + Ajiyi) =

$J

$I(mj + Ajiyi) =

$Jmj +

$IAjiyi =

$Jmj + 0 = 0 .

(1) : Como todo módulo es cociente de un módulo libre, tenemos la sucesión exacta0 " K

(+" R(I) %"

ei &'yi

N " 0 donde K = Ker(&) y ei es el generador de R(I) con j-ésima entrada

eij =

!"

#1 si j = i

0 si j )= i. Entonces tenemos la sucesión exacta corta

M +K1M%(%" M +R(I) 1M%%%" M +N " 0

%

J

mj + kj (%"%

I

xi + ei (%"%

I

xi + yi = 0

con kj =%

I

cjiei , cji = 0 para casi toda i ,%

J

mjcji = xi

pues%

I

xi + ei $ Ker(1M + &) = Im(1M + ,)

Sea ahora A = (cji) $ M|J|#|I|(R) . Entonces tenemos (xi)I = (mj)JA . Además,

K(%" R(I) %%" N

kj =%

I

cjiei ("%

I

cjiei (" 0 =%

I

cjiyi

$ Ker(&)

Es decir, A(yi)tI = 0 .

8

1.2 Los límites directos en R–mod y el producto tensorial.

Definición 1.20. Un conjunto parcialmente ordenado (abreviado, copo) (I,*) es dirigido o directo si#i, j $ I2k $ I tal que i, j * k . Si M es una categoría e I un conjunto dirigido, se dice que una pareja({Mi}I , {Mi

+ij%%" Mj}i*j) es un sistema directo, dirigido o compatible en M si cada Mi $ M0 ,#i(-ii = idMi) y #i * j * k(-ik = -jk & -ij). También puede pensarse en un sistema directo como unfuntor del copo dirigido I en la categoría M.

Ejemplo 1.21. Sea RM . Entonces el par ({N * M | N es finitamente generado (abreviado,N *f.g.

M)}, {K(K,L

+" L}) donde ,K,L es la inclusión, es un sistema dirigido, ya que, si K,L *f.g.

M , entonces

K,L +" K / L *f.g.

M .

Definición 1.22. Un cono desde el sistema dirigido ({Mi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) hacia un conjunto X es

una familia de morfismos {Mi!i%" X}I tal que si i * j entonces !i = !j &-ij . Es decir, si i * j , entonces

el diagrama Mi

!i--

+ij "" Mj

!j..

X

conmuta.

Ejemplo 1.23. Si ({Mi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) es un sistema dirigido de submódulos de RM y N * M tal

que 3IMi . N entonces las inclusiones Mi +" N forman un cono desde ({Mi}I , {Mi

+ij%%" Mj}i*j) .

Observación 1.24. Si ({Mi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) es un sistema dirigido, hay una categoría de conos desde

({Mi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) , donde los morfismos entre los conos hacia U, V son morfismos U

h##$ V tales

que el siguiente diagrama conmuta: Mi+ij ""

!i--

"i

//

Mj

!j..

"j

00

U

h##V

Definición 1.25. Un límite directo para ({Mi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) es un objeto inicial (si existe) en la

categoría de conos desde ({Mi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) . Es decir, el límite directo de un sistema es un cono

hacia un objeto, digamos L , tal que para cualquier otro cono hay un único morfismo que hace conmutativoel diagrama Mi

+ij ""

--

11

Mj

..

22

L

$ !##X

. Lo denotamos por lim'

{Mi} .

Ejemplo 1.26. El sistema dirigido ({N *f.g.

M}, {K(K,L

+" L}) del ejemplo 1.21 tiene límite directo. Más

aún, lim'

{N *f.g.

M} '= M . Sea K

!K 33

! " (K,L "" L

!L..RA

un cono para el sistema ({N *f.g.

M)}, {K(K,L

+" L}) .

9

Consideremos, para cada x $ M , el diagrama Rx

!Rx 33

! " (Rx,L "" L

!L..RA

. Definimos entonces h : M " A como

h(x) (" !Rx(x) , que está bien definido, pues si x $ N *f.g.

M , entonces Rx +" N , Rx

!Rx 33

! " (Rx,N "" N

!N44RA

conmuta y !Rx(x) = !N (x) . Además, resulta obvio que h es el único morfismo que hace conmutativo eldiagrama

K !" (K,L ""%&

(K --

!K

,,

L'(

(L..

!L

55

M

!h##A

! lim'

{N *f.g.

M} '= M .

Podemos reformular el resultado del ejemplo anterior en la siguiente proposición:

Proposición 1.27. Todo R-módulo es el límite directo de sus submódulos finitamente generados.

Los límites directos no existen en todas las categorías. Sin embargo, la categoría R–Mod sí es cerradabajo límites directos.

Teorema 1.28. Todo sistema dirigido de R-módulos tiene límite directo.

Demostración. Sea ({RMi}I , {Mi+ij%%" Mj}i*j) un sistema dirigido de R-módulos. Sea N el submódulo de

/{Mi} generado por {,j-ij(xi)% ,i(xi) | i * j, xi $ Mi} , donde ,i : Mi " /{Mi} es la inclusión canónica.

Consideremos +{Mi}N y el diagrama Mi

(i

66

+ij "")*

(i

!!

Mj+,(j

77

(j

88

/Mi

%####

+{Mi}N

, donde & es la proyección canónica y

,i = & & ,i. Este diagrama nos dice que hay un cono {Mi(i%" +{Mi}

N } . Veamos que es éste el límite directodel sistema:

Si {Mi!i%" A}I es otro cono desde {Mi

+ij%%" Mj}i*j , entonces, como cada m $ +{Mi}N es una su-

ma finita de la forma$

,i(xi) , podemos definir ! : +{Mi}N " A como !(

$,i(xi)) =

$!i(xi). Tenemos

10

así el diagrama conmutativo Mi+ij ""

)*

(i 99

!i

//

Mj+,

(j::

!j

00

+{Mi}N

!

##A

. El morfismo ! está bien definido, pues si m = n ,

entonces m%n $ N y luego m%n =$i*j

(,j-ij(xi)% ,i(xi)) para un número finito de índices i, j. Tenemos

entonces !(m% n) = !($i*j

(,j-ij(xi)% ,i(xi))) =$

!j(-ij(xi)) %$

!i(xi) =$

!i(xi) %$

!i(xi) = 0

, así que !(m) = !(n) . Además, por cómo lo definimos, es claro que ! es el único morfismo que haceconmutar el diagrama anterior.! el límite directo de {Mi

+ij%%" Mj}i*j existe y +{Mi}N

'= lim'

{Mi} .

Ahora establecemos la relación entre los límites directos de módulos y el producto tensorial.

Teorema 1.29. M + conmuta con lim'

{ }. Es decir, M + lim'

{Ni} '= lim'

{M +Ni} .

Demostración. Sean ({RNi}I , {Ni+ij%%" Nj}i*j) un sistema directo de R-módulos y {Ni

!i%" lim'

{Ni}} su

límite directo. Al tensar con MR obtenemos un nuevo sistema directo ({M + Ni}I , {M + Ni1M%+ij%%%%%"

M + Nj}i*j) , y un cono {M + Ni1M%!i%%%%%" M + lim

'{Ni}}I . Para ver que M + lim

'{Ni} tiene la

propiedad universal del límite directo, si {M + Ni,i%" X}I es otro cono, basta definir la función bili-

neal . : M ! lim'

{Ni} " X como .(m,ni) = .i(m + ni), pues por la propiedad universal del tensor,

hay un único M + lim'

{Ni}!%" X tal que ! & + = .. Así, tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

M +Ni1M%+ij ""

1M%!i ;;

,i

11

M +Nj

1M%!j<<

,j

22

M + lim'

{Ni}

!!

##X

! M + lim'

{Ni} '= {M +Ni} .

1.3 El producto tensorial y el funtor Hom.

Antes de continuar con las propiedades del producto tensorial, recordemos el funtor Hom( , ) : R–Mod!R–Mod " Set, que asocia a cada pareja (RM,R N) el conjunto de R-morfismos entre ellos HomR(M,N),y a cada par de morfismos de R-módulos izquierdos (A +%" B,C

,%" D), la función .& &- : HomR(B,C) "HomR(A,D), * (" . & * &- . Nuestro objetivo es mostrar que los funtores M +

Ry HomR(M, ) guardan

una relación muy especial: la de ser adjuntos uno del otro.

Definición 1.30. Dos funtores CF "" DG== son adjuntos si existe una transformación natural entre los

funtores D(F ( ), ) y C( , G( )), contravariantes en la primera y covariantes en la segunda entrada. Es

decir, si para cada C,C ) $ C0, D,D) $ D0 hay un isomorfismo D(F (C), D) "" ""$C,D "" "" C(C,G(D)) tal que

11

para todoC

f

##

D(F (C), D) "" ""$C,D "" "" C(C,G(D))

=

C ) D(F (C )), D)

,F (f)

&&

"" ""$C#,D

"" "" C(C ), G(D))

,f

&&

y para todoD

g

##

D(F (C), D)

g,##

"" ""$C,D "" "" C(C,G(D))

G(g),##

=

D) D(F (C), D)) "" ""$C,D#"" "" C(C,G(D)))

Decimos entonces que F es adjunto izquierdo de G y que G es adjunto derecho de F .

Teorema 1.31. Si SMR entonces M +R

: R–mod " S–mod es adjunto izquierdo de HomS(M, ) :

S–mod " R–mod.

Demostración. Sean RA y SB. Veremos que

HomS(SM +RA,S B)

( )%" HomR(RA,R HomS(SMR,S B))

! (" !

donde !(a) $ HomS(SMR,S B) está dada por !(a)(m)=!(m + a), es un isomorfismo. Primero, mos-tramos que ( ) es aditiva: ˆ(!+ ")(a)(m)=(! + ")(m + a) = !(m + a) + "(m + a)=!(a)(m) + "(a)(m).Así, ˆ(!+ ") = !+ ".

Ahora, veamos que A!%" Hom(M,B) es un R–morfismo:

!(a+ a))(m)=!(m+ (a+ a))) = !(m+ a+m+ a)) = !(m+ a) + !(m+ a))=!(a)(m) + !(a))(m)

Así, !(a+a)) = !(a)+!(a)). Por otro lado, !(ra)(m)=!(m+ra) = !(mr+a) = r!(m+a)=r!(a)(m),con lo cual !(ra) = r!(a).

Además, !(a) es un S–morfismo:

!(a)(m+m))=!((m+m))+ a) = !(m+ a+m) + a) = !(m+ a) + !(m) + a)=!(a)(m) + !(a)(m))

!(a)(sm)=!(sm+ a) = s!(m+ a) = s!(a)(m)

Ahora, para ver que ( ) es un isomorfismo, daremos su inverso, al que denotamos por ( ):

HomR(RA,R HomS(SMR,S B))( )%" HomS(SM +

RA,S B)

( (" (

donde ((m + a)=((a)(m), que es aditiva en m porque ((a) es aditiva, y en a porque ( es aditiva.Además, ((m+ ra)=((ra)(m) = r((a)(m) = ((a)(mr)=((mr+ a), y ( ) es un S–morfismo: ((s(m+ a)) =

((sm+ a)=((a)(sm) = s((a)(m)=s((m+ a).Ahora, verificamos que, en efecto, ¯! = ! y ˆ( = (:

12

¯!(m+ a)=!(a)(m)=!(m+ a)

ˆ((a)(m)=((m+ a)=((a)(m)

Sólo hace falta mostrar la naturalidad en A y en B. Tenemos los siguientes diagramas conmutativos,para A

f%" A), Bg%" B)

Hom(M +A,B)-,(1M%f) &'-,f

( ) "" Hom(A,Hom(M,B))

Hom(M +A), B)

,(1M%f)

&&

- &'-

( )"" Hom(A), Hom(M,B))

,f

&&Hom(M +A,B)

g,##

- &'-

( ) "" Hom(A,Hom(M,B))

(g, ),##

Hom(M +A,B))g,- &'!g,-

( ) "" Hom(A,Hom(M,B)))

Donde observamos que ( !/ & (1M + f))(a)(m)=/ & (1M + f)(m + a) = /(m + f(a))=(/ & f)(a)(m) y"g & /(a)(m)=g & /(m+ a) = g & /(a)(m)=(g & ) & /(a)(m), lo cual concluye la prueba.

A continuación presentamos algunas cosecuencias de este teorema.

Definición 1.32. Un módulo inyectivo RE es un cogenerador para R–mod si para todo RM hay unconjunto X y un morfismo M "" "" "" EX .

Lema 1.33. Son equivalentes, para RE inyectivo:

1. RE es un cogenerador en R–mod.

2. Hom(Rx,E) )= 0 para todo Rx )= .0 ,

Demostración. (1.=12.) Por hipótesis, si Rx )= .0 , hay un conjunto Y y un morfismo Rx "" ""! "" EY

no cero (por ser inyectivo). Aplicando la propiedad universal del producto, y como ! )= 0, hay un y $ Y

y un Rx "" E no cero para el cual se cumple el diagrama conmutativo Rx "" ""! -=0 ""

-=099

EY

py

##E

, donde

EYpy "" E es la y-ésima proyección. ! Hom(Rx,E) )= 0 si Rx )= .0 .

(2.=11.) Sean .0 )=R M y 0 )= x $ M . Por hipótesis, hay un morfismo Rx!x -=0%%%" E, y como E es

inyectivo, también un morfismo Mfx%" E tal que M

fx##

Rx-.

>>

!(x) -=0"" E

. Esto nos dice que fx(x) )= 0.

Así, tenemos la familia {fx}x.M\{0} que, por la propiedad universal del coproducto, induce un morfismo

M'%" E(M\{0}) tal que M

' ""

fx))

E(M\{0})

px

##E

conmuta. Ahora bien, para x )= 0 se tiene 0 )= fx(x) = px&((x),

con lo que ((x) )= 0 y ( es mono. ! RE es un cogenerador en R–mod.

Utilizamos esta caracterización de los cogenerados inyectivos en el siguiente ejemplo, pero antes recordamosque las categorías Ab y Z–mod son iguales y que los grupos abelianos divisibles son exactamente los gruposabelianos inyectivos.

13

Ejemplo 1.34. QZ es un cogenerador inyectivo para Z–mod.

Demostración. Sea Zx )= {0}. Como QZ es divisble, por el lema que hemos probado justo arriba, basta

probar que hay un morfismo Zx f -=0%%%" QZ . Si Zx es cíclico (e.d., si x es de orden infinito), entonces tenemos

Zx '= Z -=0%%" QZ

x (" 1 (" 1

2

Si Zx es cíclico, digamos de orden pm (con p un primo), entonces o(mx) = p y tenemos

Zx-=0

??Zmx

mx &' 1p

fx -=0 ""-.

>>

QZ

Teorema 1.35. HomZ(RR,QZ ) es un cogenerador inyectivo en R–mod.

Demostración. HomZ(RR,QZ ) toma la estructura de R-módulo derecho de RR para ser un R-módulo

izquierdo (haciendo (r!)(r))=!(r))r). Para ver que es inyectivo, probaremos un hecho equivalente: que para

todo ideal RI haya un epimorfismo Hom(R,Hom(R, QZ ))

,( "" "" Hom(I,Hom(R, QZ )) . Como Hom( , Q

Z )

es un funtor exacto derecho contravariante (pues QZ es inyectivo) y es adjunto derecho del producto tensorial,

tenemos

0 ""RI

! " ""RR

Hom(R, QZ )

"" ""

/=

Hom(I, QZ )

""

/=

0

Hom(R+R, QZ )

/=

Hom(R+ I, QZ )

/=

Hom(R,Hom(R, QZ ))

,( "" "" Hom(I,Hom(R, QZ ))

Así, RHom, (R, QZ ) es inyectivo. Por otro lado, para cada ideal Rx )= 0, HomR(Rx,R HomZ(RR,

QZ ))

'=HomZ(R+Rx, Q

Z )'= HomZ(Rx, Q

Z ) )= 0 ya que QZ es cogenerador inyectivo en Z–mod y entonces

Rx-=0

?? ??0 )= Zx

-=0""

/0

@@

QZ

Aplicando el último lema, concluimos que RHomZ(RR,QZ ) es un cogenerador inyectivo en R–mod.

14

Corolario 1.36. Todo módulo se sumerge en un módulo inyectivo.

Demostración. Por definición, para todo RM existen un conjunto X y un morfismo M "" "" "" HomZ(R, QZ )

X .

Es decir, todo R-módulo izquierdo se sumerge en un producto de tamaño | X | de copias de HomZ(R, QZ ),

que resulta inyectivo por ser producto de módulos inyectivos.

15

2 Módulos planos.

2.1 Definición, propiedades y caracterizaciones.

Definición 2.1. RM es plano si +RM es un funtor exacto. Es decir, si +

RM es exacto izquierdo.

Ejemplo 2.2. RR es plano pues +RR = Id. (M +R '= MR).

Nuestro primer resultado es establecer que la planitud es compatible con sumas directas de módulos,hecho que resulta en la planitud de los módulos proyectivos y los libres.

Teorema 2.3. /I{Pi} es plano si y sólo si cada Pi es plano.

Demostración. Consideremos una sucesión exacta 0 "" N "" "" ! "" M . Tenemos el siguiente cuadrado

conmutativo: N + (/{Pi})!%1${Pi}"" M + (/{Pi})

/=

/{N + Pi}+{!%1Pi}""

/=

/{M + Pi}

(=1) Si /I{Pi} es plano, entonces N + (/{Pi})

!%1${P}i%%%%%%%" M + (/{Pi}) es mono y por el diagra-

ma anterior, también lo es /{N + Pi}+{!%1Pi}%%%%%%%" /{M + Pi}. Además, para cada i $ I el cuadrado

/{N + Pi}+g%1Pi"" /{M + Pi}

N + Pi

g%1Pi ""$!

&&

M + Pi$!

&&conmuta, así que cada !+ 1Pi es mono y cada Pi es plano.

(0=) Por la hipótesis, cada ! + 1Pi es mono, Es decir, para cada i, Ker(! + 1Pi) = 0, con lo cualKer(/{!+1Pi}) = 0. El primer cuadrado nos dice que entonces !+1%{Pi} es mono. ! /

I{Pi} es plano.

Corolario 2.4. Los módulos libres son planos.

Demostración. Sabemos que si RL es libre, entonces, para algún conjunto X, L '= R(X) '= /|X|

{R}, que es

plano porque R es plano.

Corolario 2.5. Los módulos proyectivos son planos.

Demostración. Sabemos que todo RP proyectivo es sumando directo de un módulo libre. Es decir, hay unconjunto X tal que P /M = R(X), que es plano por el corolario anterior. El teorema nos dice entoncesque P es plano.

Los recíprocos de estos corolarios no se cumplen en general:

Ejemplo 2.6. ZQ es plano (ver z-mod plano sii libre de torsión) pero no es libre ni proyectivo:

Demostración. ZQ no es libre: supongamos que ZQ es libre. Entonces hay un conjunto no vacío X tal queZQ '= Z(X). Sean x = p

q , y = p#

q# $ Q. Entonces hay una combinación lineal de x, y con escalares no cero quese anula: qp)x% q)py = 0. Es decir, cualesquiera x, y $ Q son linealmente dependientes. Entonces | X |= 1

y podemos suponer X = {pq } con (p, q) = 1. Pero 1

q+1 )$< {pq } >= Q pues habría algún z $ Z tal que

zp = qq+1 $ Z, lo cual no ocurre pues q )= 0. !Z Q no es libre.

16

ZQ no es proyectivo: consideremos el Z-módulo libre Z(N\{0}) y el morfismo ! : N \ {0} %" Q, n (" 1n .

Entonces, el morfismo inducido por la propiedad universal de los módulos libres, ! : Z(N\{0}) " Q,es un epimorfismo, ya que m

n = m!(n) = !(mn). Así, si ZQ fuera proyectivo, existiría un morfismop : Q " Z(N\{0}) tal que IdQ = ! & p. Podemos escribir p(1) =

$n.N\{0}

znn con casi todos los zn = 0. Sea

N=1 +&

| zn | y escribamos p( 1N ) =

$n.N\{0}

z)nn, donde también son cero casi todos los z)n. Entonces,$

znn = p(1) = Np( 1N ) =

$Nz)nn y luego

$(zn %Nz)n)n = 0 y como N \ {0} es una base, debe ocurrir,

zn = Nz)n para todo n. Pero esto quiere decir que entonces N divide a cada zn, lo cual es imposible puespara cada n, | N |>| zn |. !Z Q no puede ser proyectivo.

Ahora mostramos que la planitud se preserva al tomar límites directos.

Teorema 2.7. El límite directo de un sistema de módulos planos, es plano.

Demostración. Sean ({Pi}I , {Pi+ij%%" Pj}i*j) un sistema dirigido de R-módulos y 0 " L

!%" M exacta.Queremos mostrar que L+ lim

'{Pi}

!%Id%%%" M + lim'

{Pi} es mono. Como cada Pi es plano, para cada i se

tiene que L + Pi!%IdPi%%%%%" M + Pi es mono. Por otro lado, sabemos que L + lim

'{Pi} '= lim

'{L + Pi} y lo

mismo para M , así que tenemos el siguiente diagrama:

L+ Pi"" ""l%ai &'!(l)%ai""

l%ai &'l%ai

##

M + Pi

!(l)%ai &'!(l)%ai

##lım'

{L+ Pi} "" lım'

{M + Pi}

Si !(l)+ ai = 0 entonces, por la construcción del límite directo, !(l) + ai =$i*j

(,j-ij(xi) % ,i(xi))

$ /{M + Pi} para un número finito de índices. Proyectando sobre el i-ésimo sumando, !(l) + ai =

,i-ii(xi) % ,i(xi) = xi % xi = 0 y como ! + IdPi es mono, entonces l + ai=0 y luego l + ai = 0. Así,lim'

{L + Pi} " lim'

{M + Pi} es mono y también lo es L + lim'

{Pi} " L + lim'

{Pi}. ! lim'

{Pi} esplano.

Una condición necesaria para la planitud de un módulo es que sea libre de torsión:

Proposición 2.8. Si RP es plano, entonces es libre de torsión.

Demostración. Mostraremos que si a $ R no es un divisor de cero y ax = 0 para algún x $ F , entoncesx = 0. Es decir, veremos que el único elemento de torsión de P es su 0. Consideremos RR

a•" aRR. Notemos

que como a no es un divisor de cero, entonces también es inyectivo. Al tomar el producto tensorial con P ,tenemos

R "" ""1%x &'a%x""####1%x &'x####

aR####a%x &'xa####

P "" ""x &'ax "" aP

Entonces, si ax = 0, debe ocurrir x = 0.

17

Antes de dar el siguiente teorema, que relaciona la planitud de un módulo con la inyectividad de otroasociado a él (mediante el funtor Hom y un cogenerador inyectivo), recordemos que un R-módulo M esinyectivo si y sólo si Hom( ,M) es un funtor exacto. Es decir, si es exacto derecho (manda monos aepis).

Teorema 2.9. Si RE es un cogenerador inyectivo y RPS entonces PS es plano si y sólo si SHom(P,E)

es inyectivo.

Demostración. ( =1 ) Sea AR"" "" "" BR . Para ver que Hom(P,E) es un R-módulo inyectivo, mos-

traremos que Hom(B,Hom(P,E)) "" "" Hom(A,Hom(P,E)) . Sabemos que Hom(A,Hom(P,E)) '=Hom(A+P,E) e igualmente para BR. Por otro lado, las hipótesis nos dicen que Hom( , E) es exacto dere-cho (E es inyectivo) y que A+ P "" "" "" B + P (P plano), así que Hom(B + P,E) "" "" Hom(A+ P,E) .! Hom(P,E)R es inyectivo.

( 0= ) De nuevo, sea AR"" "" f "" BR . Veamos que también A+ P "" ""f%1P "" B + P : consideremos

la sucesión exacta 0 " Ker(f + 1P )(%" A + P

f%1P%%%%" B + P y supongamos que f + 1P no es mono. Esdecir, Ker(f + 1P ) )= 0. Por el lema 1.33 existe Ker(f + 1P )

! -=0%%%" E. Entonces, por ser RE inyectivo, hayun morfismo A + P

!#

%" E tal que ! = !) & ,. Ahora bien, por hipótesis y por lo demostrado en ( =1 ),

tenemos Hom(B + P,E),(f%1P )"" "" Hom(A+ P,E) , así que existe B + P

!##

%%" E tal que !) = !)) & (f + 1P ).Pero entonces ! = !)) & (f + 1P )+ , = !)) & 0 = 0, contradiciendo que ! )= 0. ! f + 1P es mono.

Tomando R = Z y E = QZ en el teorema anterior, obtenemos:

Corolario 2.10. PS es plano si y sólo si SHom(P, QZ ) es inyectivo.

Ahora establecemos otro criterio para la planitud, que recuerda al Lema de Baer para la inyectividad.

Teorema 2.11. RP es plano si y sólo si para todo ideal derecho I de R se tiene I + P "" ""i%x &'ix

"" R+ P '= P .

Demostración. ( =1 ) Es clara, pues por hipótesis, + P es exacto izquierdo.

( 0= ) Sea I !" ( "" R . I + P "" ""

i%x &'ix

1P%("" R+ P '= P implica

Hom( R+ P, QZ )

'= Hom(R,Hom(P, QZ ))

,("" "" Hom(I,Hom(P, QZ ))

'= Hom(I + P, QZ )

que es lo mismo que decir que para cada I!%" Hom(P, Q

Z ) existe R!#

%" Hom(P, QZ ) tal que ! = !) & ,.

Como por hipótesis lo anterior ocurre para cada ideal derecho del anillo, entonces, por el Criterio de Baer,Hom(P, Q

Z ) es inyectivo; y el teorema anterior, RP es plano.

Podemos mejorar el criterio anterior, restringiéndolo a ideales finitamente generados:

Teorema 2.12. RP es plano si y sólo si para todo ideal derecho JR finitamente generado se tieneJ + P "" ""

i%x &'ix"" P .

Demostración. ( =1 ) Como antes, es clara.

( 0= ) Sea I !" ( "" R . Por lo demostrado en 2.11, basta probar I + P "" ""

i%p &'ip

(•1P "" P . Sea x $ I + P .

Entonces x =n$

k=1jk + xk con jk $ I, xk $ P . Consideremos el ideal finitamente generado .J = . <

18

{j1, ... , jn} | !" ( "" R . Notemos que x $ J +P . Si x (•1P(" 0, entonces, por la hipótesis, x = 0. Esto prueba

I + P "" ""(•1P "" P . !R P es plano.

2.2 Módulos planos y sucesiones puras.

Definition 2.13. Una sucesión exacta 0 " K " L " M " 0 es pura si para todo R-módulo derechoAR, la sucesión 0 " A +K " A + L es exacta. Es decir, 0 " A +K " A + L " A +M " 0 es exacta(la exactitud a la derecha siempre se tiene).

Observación 2.14. Como todo R-módulo es límite directo de sus submódulos finitamente generados (1.27)y los límites directos preservan monomorfismos (2.7), para que una sucesión sea pura basta que la condiciónde la definición se cumpla para módulos finitamente generados. Más aún, basta verificarla con módulosfinitamente presentados, pues todo módulo finitamente generado es límite directo de sus submódulosfinitamente presentados.

Teorema 2.15. Son equivalentes, para RP :

1. RP_es plano.

2. Toda sucesión 0 " A " B " P " 0 es pura.

3. Hay una sucesión 0 " M " N " P " 0 pura con N plano.

Demostración. (1.=12.) Sea 0 " A " B " P " 0. Mediremos la pureza en módulos finitamentegenerados. Sea FR finitamente generado. Por definición, hay una sucesión exacta 0 " K " Rn " F " 0.Como P y Rn son planos y Rn +M '= Mn#M $ R–mod0, tenemos el siguiente diagrama:

0

##K +A

f &'d ""

f &'g

##

K +B

d &'c##

d &'e "" K + P ""

e &'00e=0##

0

0 "" Ang &'c0b=g0a=0

b &'c ""

b &'a##

Bn

c &'0##

c &'0 "" Pn ""

##

0

0 "" F +A "" ""a &'0

""

##

F +B

##

"" F + P ""

##

0

0 0 0

Queremos mostrar F +A "" "" "" F +B . Esto se ve haciendo la caza de elementos indicada en ordenalfabético.

(2.=13.) Todo módulo puede cubrirse con un libre, que es plano. Así, se tiene una sucesión exactadonde B = R(X) = N es plano.

19

(3.=11.) Aplicaremos 2.11. Consideremos 0 "" I !"

"" R "" "" RI "" 0 . Al tensar con la su-cesión de la hipótesis obtenemos:

0

##

0

##0 "" I +M

e &'f ""

e &'d##

I +Nf &'c0f=b0a=0

b &'c##

b &'a "" I + P ""####a &'0

##

0

0 "" Md &'c ""

d &'d##

N

c &'0##

c &'0 "" P ""

##

0

0 "" MIM d &'00d=0

""

##

NIN

##

"" PIP

""

##

0

0 0 0

pues R+ = IdR–mod y RI +A '= A

IM #A $ R–mod0. Ahora lo que buscamos es mostrar I + P "" "" "" P ,para lo cual hacemos una cacería de elementos simétrica a la de (1.=12.).

Definición 2.16. RM ) es puro en RM (denotado por M ) *pM) si 0 " M ) " M " M

M # " 0 es pura.

Teorema 2.17. M ) *pM si y sólo si toda ecuación de la forma Ax = y, con A $ Mn#m(R), y $ (M ))n

que tiene solución en Mm, también tiene solución en (M ))m.

Demostración. ( =1 ) Para cada A $ Mn#m(R) hay una sucesión exacta Rm A·%%%%"ei &'Ai

Rn " CR " 0,

donde C es el conúcleo y Ai denota la i–ésima columna de A. Es decir, cada A define un módulo finitamentepresentado. Si tensamos esta sucesión con una como la de la definición anterior y tomamos y $ (M ))n,obtenemos el siguiente diagrama, del cual se desprende la conclusión.

0

##(M ))m" #

##

z &'y

A· "" (M ))n" #

##

y &'c"" C +M )

c=0 1hip.

c &'0 1C%(

##

"" 0

Mm

x &'y (hip.)

(A· ) "" Mny &'0"" C +M "" 0

( 0= ) Por la observación 2.14, basta verificar la pureza en módulos finitamente presentados. Además,sabemos que cada Rm " Rn puede representarse como Rm A·%%" Rn, para alguna A $ Mn#m(R). Así,

20

para un módulo CR finitamente presentado, tenemos

0

##(M ))m" #

##

(hip.) x# &'y

(A· ) "" (M ))n" #

##

y &'c0c=0"" C +M )

c &'0 1C%(

##

"" 0

Mmx &'y

(A· ) "" Mny &'0

"" C +M "" 0

De este diagrama se deduce que M ) *pM ,

Corolario 2.18. Si RM es plano y hay una sucesión 0 " K +" F " M " 0 con F libre, entonces paratoda k = (k1, ... , kn) $ Kn hay un morfismo K

!4% F tal que !(ki) = ki para toda i.

Demostración. Sea k $ Kn. Entonces cada ki puede escribirse como una suma finita de la forma$jAijxj ,

donde F 40base

X 5 {x1, ... , xm} y éstos últimos son los necesarios para generar todas las ki. Obsérvese

que una manera de enfocar este hecho es decir que si A = (Aij), entonces Ax = k tiene solución en Fm.Ahora hacemos notar que como M es plano, entonces K *

pF ,(ver teorema 2.15). Así, el teorema que

apenas demostramos nos dice que hay otra solución, k), con valores en K; es decir, Ak) = k con k)i $ K. Yatenemos los candidatos perfectos para construir el morfismo que buscamos. Tomemos un morfismo F

!%" K

tal que

F!%" K

xi (" k)i

Nótese que podemos definirlo en la base {x1, ... , xm} como arriba y de cualquier otra forma en el resto dela base X de F . Por último, verificamos que la construcción anterior funciona:

!(ki) =%

j

Aij!(xj) =%

j

Aijk)i = ki

2.3 Planos y Proyectivos.

Comenzamos este compendio de resultados que relacionan la planitud y la proyectividad de R–móduloscon un corolario al último teorema de la sección 2.2.

Corolario 2.19. Un módulo finitamente presentado plano, es proyectivo.

Demostración. Tomemos una presentación finita de RM , Rm '%" Rn " M " 0, y consideremos la sucesión0 " K +" ((Rm) +" Rn " M " 0. Entonces, por el teorema anterior, hay un morfismo ! que escinde lasucesión: 0 " K .'

!""!

Rn '!""M " 0. Entonces M es sumando directo de Rn, que es libre. ! M es proyectivo.

Recordamos también el corolario 2.5: todo módulo proyectivo es plano.

21

Teorema 2.20. Si R es un subanillo de S, MR es plano finitamente generado y M +RS es un S–módulo

proyectivo, entonces MR es proyectivo.

Demostración. Como MR es finitamente generado, podemos tomar 0 " K +" F " M " 0 donde KR esel núcleo de F " M , y FR es un libre finitamente generado, digamos FR

'= Rn . Por el teorema 2.15 estasucesión es pura, así que al tensar con RS obtenemos 0 " K + S " F + S '= Sn " M + S " 0. Por lahipótesis, existe Sn %## M + S y la sucesión se escinde. Esto es, hay K + S & Sn, con lo cual K + S esfinitamente generado. Tomemos entonces un conjunto finito de índices, J , tal que {

$Iki+si}I2J +"

gen.K+S.

Supongamos que J = {1, ... ,m} y consideremos {ki + 1}J . Por el corolario 2.18 existe K!4% F tal que

!(ki) = ki para todo i $ J . Así, si k $ K, k+1 =m$1(ki+1)ci , ci $ S y (!+1S)(k+1) =

m$1(!(ki)+1)ci =

m$1(ki + 1)ci = k + 1. Como M,F son planos, entonces K es plano, y tenemos el monomorfismo

K +R '= K " K + S

k (" k + 1 = !(k)+ 1

!(k) (" !(k)+ 1

Así, !(k) = k, con lo cual ! es una escisión para 0 " K +" F " M " 0 y luego M es sumando directode F , que es libre. ! MR es proyectivo.

Hacemos notar que en la última parte de esta prueba, hicimos uso del siguiente hecho, cuya demostraciónse deja como ejercicio: en una sucesión exacta 0 " L " M " N " 0 con N plano, M es plano si y sólosi L lo es.

Corolario 2.21. Sea R un dominio entero con campo de fracciones K. Si MR es plano y finitamentegenerado, entonces MR es proyectivo.

Demostración. Por el teorema anterior, basta observar que (M+RK)K es proyectivo, pues es un K–espacio

vectorial.

22

3 Anillos regulares.

3.1 Anillos regulares y fuertemente regulares.

Definición 3.1. Un anillo R es regular (en el sentido de von Neumann) si para todo x $ R hay un y $ R

tal que x = xyx.

A continuación presentamos una caracterización de los anillos regulares.

Teorema 3.2. Son equivalentes, para un anillo R:

1. R es regular.

2. Todo ideal principal derecho está generado por un idempotente.

3. Todo ideal principal derecho finitamente generado está generado por un idempotente.

4. Todo R–módulo izquierdo es plano.

Demostración. (1. =1 2.) Sean x $ R y y tal que x = xyx. Entonces xy = (xy)2. Veamos que xR = (xy)R:la contención . se da pues x = xyx $ (xy)R, y la otra es obvia. ! xR = (xy)R y está generado por elidempotente xy.

(2. =1 1.) Consideremos xR = eR, donde e es un idempotente. Entonces x = er, e = xs para algunosr, s,$ R. Así, x = er = e2r = (xs)er = xsx y R es regular.

(1. 6 2. =1 3.) Tomemos I = x1R+ ... + xnR. Procederemos por inducción sobre n.La base inductiva queda establecida en (1. =1 2.), y por la hipótesis de inducción y el caso base, tenemos

que I = (x1R + ... + xn(1R) + xnR = eR + fR, donde e, f son elementos idempotentes de R. Notemosque podemos escribir eR+ fR = eR+(f % ef)R, pues como f = ef +(f % ef), se da la contención ., y laotra es obvia. Ahora bien, como R es regular, hay un z para el cual f % ef = (f % ef)z(f % ef). Definamosg = (f %ef)z, y notemos que es idempotente y que además eg = e(f %ef)z = e(1%e)fz = (e%e2)fz = 0.Más aún, eR+ fR = eR+ gR, ya que f = ef + g(f % ef) y g = e(%fz) + fz.

Veamos que xR + gR = (e + g % ge)R y que e + g % ge es idempotente, lo cual concluirá esta partede la prueba: como (e + g % ge)e = e2 + ge % ge2 = e y (e + g % ge)g = eg + g2 % geg = g, se tieneque eR + gR . (e + g % ge)R; además, la otra contención es obvia. Por otro lado, (e + g % ge)2 =

e2 + g2 + (ge)2 + eg % ege+ ge% g2e% ge2 % geg = e+ g + ge% ge% ge = e+ g % ge.(3. =1 4.) Sea RM . Mediremos la planitud en ideales finitamente generados (teorema 2.12). Tomamos

I. +"f.g.

R. Por hipótesis, I = eR, con e idempotente. Además, R = eR / (1 % e)R, pues si er = (1 % e)r),

se tiene er = e2r = e(1% e)r) = (e% e)r) = 0. Así, hay una escisión I &.'

R (la proyección sobre el primersumando). Entonces también I +M &

('R+M y M es plano.

(4. =1 1.) Sean I. +" R y .J +" R. Por hipótesis, R(RJ ) es plano, así que recordando 1.16 y 1.10,

tenemos I + RJ'= I

IJ"" "" "" R+ R

J'= R

J . Entonces, si x (" 0, x = 0 y x $ I 7 J . Por otro lado, siempreocurre que IJ . I 7 J , así que IJ = I 7 J . En particular, si tomamos I. = xR, J = Rx, se tienexRx = (xR)(Rx) 5 xR 7Rx 8 x, así que existe y tal que x = xyx. ! R es regular.

Para cualquier R–módulo M , sabemos que existe su anillo de endomorfismos, End(M), así que podemospreguntarnos cuándo es éste regular. Resulta que es suficiente que M sea semisimple. En estas notas noprobaremos esto, pero sí lo siguiente:

23

Teorema 3.3. Si R es un anillo semisimple, entonces End(R) es un anillo regular.

Demostración. Sea Rf%" R $ End(R). Como R es semisimple, resulta que tanto f(R) como Ker(f) son

sumandos directos de R. Esto es, hay R–submódulos A,B tales que R = A/Ker(f) = f(R)/B. Notemos

que Af|A'= f(R), lo cual nos permite definir h=(f|A)

(1 y luego g=h/ 0 : R " R. Tenemos entonces:

R = A/Ker(f)f%" R = f(R)/B

g%" Rf%" R

r = a+ k (" f(r) = f(a) (" h(f(a)) = a (" f(a) = f(r)

Así, hemos probado que existe g $ End(R) tal que f = fgf . ! End(R) es regular.

Ahora preparamos el terreno para definir un tipo particular de anillo regular.

Definición 3.4. R es reducido si su único elemento nilpotente es 0.

Lema 3.5. Si R = .I./ .J., entonces I = Re donde e es un idempotente central.

Demostración. Sean e $ I, f $ J tales que 1 = e + f . Entonces e = e2 + ef . Como e2 $ I, ef $ J

y la descomposición de los elementos de una suma directa es única, debe ocurrir e2 = e, ef = 0 y,simétricamente, f2 = f, fe = 0. Ahora bien, R 8 r = re + rf = er + fr, con lo cual re = er y e es unidempotente central.

Por otro lado, como e $ I, se tiene Re . I, y I 8 x = x·1 = xe+ xf , de modo que, por la unicidad dela descomposición en la suma directa, xe = x, xf = 0. ! I = Re.

Este lema nos premite establecer una condición necesaria de los idempotentes en un anillo reducido.

Lema 3.6. Si R es reducido y R 8 e es idempotente, entonces e es central.

Demostración. Si r $ R, el elemento er(1%e) es nilpotente, pues er(1%e)er(1%e) = er(e%e2)r(1%e) = 0.Así, por la hipótesis, er(1%e) = er%ere = 0 y er = ere. Simétricamente, (1%e)re es nilpotente y re = ere.! er = re.

Teorema 3.7. Son equivalentes para un anillo R:

1. R es regular reducido.

2. Todo ideal principal derecho de R está generado por un idempotente central.

3. R es regular y todo ideal derecho es bilateral.

4. Para cada r $ R existe x $ R tal que r = xr2.

Demostración. (1. =1 2.) Sea x $ R y consideremos xR. Por el teorema 3.2 xR = eR con e idempotente.Además, por el lema anterior, e es central.

(2. =1 3.) Por la hipótesis y el teorema3.2 sabemos que R es regular. Ahora, sea R 40 I. =$x.I

xR =$x.I

exR =$x.I

Rex, donde cada ex es un idempotente central. Así, vemos que I también es un ideal izquierdo.

(3. =1 4.) Sea R 8 r = rxr (R regular). Por la hipótesis, xrR es un ideal bilateral, así que rxr = xrs

para algún s. Entonces r = rxr = xrs = x(rxr)s = xr(rxr) = xr2.

24

(4. =1 1.) Primero mostramos que R es reducido: Supóngase xn = 0, x $ R,n > 1. Entonces x = yx2

para algún y $ R y luego xn(1 = yxn = 0, xn(2 = yxn(1 = 0, ... , x = yx2 = 0. ! R es reducido.Ahora bien, si R 8 x = yx2, tenemos: (x% xyx)(x% xyx) = x2 % x2yx% xyx2 + xyx2yx = x2 % x2yx%

x2 + x2yx = 0, de modo que x% xyx es nilpotente y por tanto igual a 0. Así, x = xyx y R es regular.

Definición 3.8. A un anillo que cumple con las condiciones equivalentes del teorema anterior se le llamafuertemente regular.

En este punto, damos algunos ejemplos:

Ejemplo 3.9. Un anillo semisimple (e.d., todos sus ideales son sumandos directos) es regular: si Rx +" R

entonces R = Rx/R) y, como en la demostración del lema 3.5, resulta que Rx = Re con e idempotente.

El siguiente da una condición para que un anillo sea semisimple, pero antes recordamos que un anillonoetheriano (por la izquierda) es aquél en el cual todo ideal (izquierdo) R es finitamente generado.

Ejemplo 3.10. Si R es regular y noetheriano, entonces es semisimple: .I +" R =1 .I +"f.g.

R y además

I = Re, e idempotente, así que R = I /R(1% e), con lo cual R es semisimple.

Terminamos con un ejemplo de anillo fuertemente regular:

Ejemplo 3.11. El producto de anillos con división es un anillo fuertemente regular: primero notemos quela división del anillo implica que es reducido. Por otro lado, si R =

&IKi 40 Rf , definimos

e(i)=

!"

#0 si f(i) = 0

1 si no

Entonces e es un idempotene central y además f = fe, así que Rf . Re. Pero también e = gf , dondeg(i) = (f(i))(1, con lo cual Rf 5 Re. Así, todo ideal principal (izquierdo) de R está generado por unidempotente central.

A continuación probamos un recíproco de nuestro último ejemplo, que nos da una condición necesariacuando un anillo es fuertemente regular:

Teorema 3.12. Todo anillo fuertemente regular es isomorfo a un subanillo de un producto de anillos condivisión.

Demostración. Sea {R!i}I una familia de ideales máximos de R. Por la hipótesis, cada !i es un idealbilateral, así que cada cociente R

!ies un anillo sin ideales propios, y por tanto es un anillo con división (el

1 está en cada ideal de R!i

). Recordemos ahora que, haciendo cociente con 7{!i}I , el radical de Jacobson,

tenemos R3{!i}I

"" "" ""&{ R!i}I . Así pues, basta que mostremos que 7{!i}I = 0:_si 0 )= x $ 7{!i}I ,

entonces Rx = Re . 7{!i}I , con 0 )= e un idempotente central, y luego, como e está en todos los idealesmáximos, 1% e no puede pertenecer a ninguno. Entonces R(1% e) = R y r(1% e) = 1 para algún r $ R,pero esto implica que r(e% e2) = 0 = e, una contradicción.

Concluimos esta sección con un ejemplo más:

25

Ejemplo 3.13. Un anillo booleano (x2 = x#x $ R) es fuertemente regular. Por el teorema 3.7 basta verque todo elemento del anillo es central (pues todos son también idempotentes). Sean a, b $ R. Entoncesa% b = (a% b)2 = a% ab% ba% b y %ab% ba = 0. Por otro lado, 1 + 1 = (1 + 1)2 = 4, así que 1 + 1 = 0 yluego 1 = %1. ! ab = ba.

3.2 Módulos y anillos coherentes.

La clase de los anillos coherentes comprende tanto a los anillos noetherianos como a los regulares. En estasección los caracterizamos y damos por fin una respuesta a nuestra pregunta del capítulo uno sobre laconmutatividad del producto tensorial y los productos directos.

Observación 3.14. Si {RNi}I ,MR, tenemos los siguientes morfismos:

'{Ni}I

pj" Nj

(ni)I (" nj

M +'

{Ni}I1%pj" M +Nj

m+ (ni)I (" m+ nj

Entonces, la propiedad universal del producto nos da un morfismo

M +'

{Ni}I "'

{M +Ni}I

m+ (ni)I (" (m+ ni)I

En particular, existe un morfismo

M +RI " M I

m+ (ri)I (" (mri)I

Teorema 3.15. Son equivalentes para MR:

1. MR es finitamente generado.

2. Para cualquier familia {RNi}I , M +&{Ni}I "

&{M +Ni}I es un epimorfismo.

3. Para cualquier conjunto I, M +RI " M I es un epimorfismo.

Demostración. (1. =1 2.) Por hipótesis, existe una sucesión exacta Rn " M " 0. Tomando el productotensorial con

&{Ni}I , y recordando que MR

'= M + R y que el producto tensorial conmuta con sumasdirectas, obtenemos:

Rn +&{Ni}I '= (

&{Ni}I)n "" "" "" ""

####

&{Nn

i }I '=&{Rn +Ni}I

####M +

&{Ni}I "" ""

&{M +Ni}I

Donde M +&{Ni}I "" ""

&{M +Ni}I es epi por la conmutatividad del diagrama.

26

(2. =1 3.) Es sólo un caso especial de la hipótesis, con Ni = R#i $ I.(3. =1 1.) Tomemos I = M en la hipótesis, y u = (x)x.M $ MM (el elemento cuya x–ésima coordenada

es x). Entonces, por la hipótesis y la observación anterior, hay una suma finita$

J fin.mj+(fj(x))x.M , donde

mj $ M, (fj(x))x.M $ RM , tal que:

M +RM "" "" MM

$Jmj + (fj(x))x.M

! "" ($Jmjfj(x))x.M = u = (x)x.M

Así, cada x $ M puede escribirse como x =$Jmjfj(x). ! MR es finitamente generado.

Teorema 3.16. Son equivalentes para MR:

1. MR es finitamente presentado.

2. Para cualquier familia {RNi}I , M +&{Ni}I '=

&{M +Ni}I .

3. Para cualquier conjunto I, M +RI '= M I .

Demostración. (1. =1 2.) Por hipótesis, existe Rn " Rm " M " 0 exacta. Tenemos entonces, conside-rando las observaciones del teorema anterior:

Rn +&{Ni}I "" ""

e &'d"" ""

e &'b#

##

&{Nn

i }I

d &'c

##Rm +

&{Ni}I "" ""

b &'c

b# &'c "" ""

b &'a 0b=b#

##

&{Nm

i }I

c &'0

##M +

&{Ni}I "" "" a &'0

"" ""

0a=0

##

&{M +Ni}I

##0 0

Donde M +&{Ni}I "" "" "" ""

&{M +Ni}I es mono por la cacería de elementos que se muestra en el

diagrama, y es epi por el teorema anterior, pues MR finitamente presentado implica que es finitamentegenerado.

(2. =1 3.) Como en el teorema anterior, es claro, tomando Ni = R#i $ I.(3. =1 1.) El teorema anterior nos dice que MR es finitamente generado, digamos por m elementos.

Consideramos entonces 0 " K +" Rm " M " 0 donde K es el núcleo del tercer morfismo, y mostramosque también es finitamente generado, para concluir que esta sucesión exacta es una presentación finita deMR. Tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

27

K +RI

e &'a#"" ""

e &'c

##

(K +R)I '= KI

####

a# &'b a &'b##Rm +RI '= (RI)m "" ""

c &'b

0a=a#"" ""

c &'d##

(Rm)I

b &'0##

M +RI "" ""d &'0

(hip.) "" ""

0d=0

##

M I

##0 0

Donde KI "" "" "" (Rm)I es mono pues R es plano, y la cacería de elementos muestra que K +RI "" "" KI

es epi. Entonces, tomando I = K y repitiendo el argumento de (3. =1 1.) del teorema anterior, podemosconcluir que K es finitamente generado, lo cual termina la prueba.

Definición 3.17. MR es coherente si es finitamente presentado y sus submódulos finitamente generadosson también finitamente presentados.

Para establecer la noción de anillo coherente, primero damos las siguientes equivalencias:

Teorema 3.18. Los siguientes enunciados son equivalentes:

1. El producto de módulos planos izquierdos es plano izquierdo.

2. Si M es plano e I es cualquier conjunto, M I es plano.

3. Todo MR finitamente presentado es coherente.

4. RR es coherente.

5. and(r) (el anulador derecho de r) es finitamente generado para todo r $ R y la intersección finita deideales derechos finitamente generados es finitamente generada.

Demostración. (1. =1 2.) 2. es un caso particular de 1.(2. =1 3.) Sean MR finitamente presentado y N * M finitamente generado. Por el teorema 3.16 basta

mostrar que N +RI '= N I para cualquier I, y para cualquier I tenemos que M +RI '= M I . Además, porla hipótesis, como R es plano, entonces para cualquier I, RI es también plano, así que tenemos

N +RI "" "" "" ""####

##

N I" #

##M +RI "" "" "" "" M I

Donde N +RI "" "" "" "" N I es epi por el teorema 3.15, y es mono por la conmutatividad del diagrama.(3. =1 5.) Primero notemos que cualquier anillo es finitamente presentado como módulo derecho, ya

que se tiene 0 " R1" R " 0. Entonces, por la hipótesis, para cada r $ R, rR es finitamente presentado,

y además, tenemos la sucesión exacta 0 " and(r) +" Rr·" rR " 0. Consideramos el siguiente diagrama

conmutativo:

28

Ker(&)1 2

AA

!

BB

0

#

44

##Rm + ""

&&&&

*

##

Rn % ""

,

##

rR "" 0

0 "" and(r)! " ""

####

Rr· ""

####

rR ""

##

0

Coker(*) "" "" "" "" Coker(.) "" 0

Aquí, Ker(&)! "" and(r) existe por la propiedad del núcleo, Rn , "" R porque Rn es proyectivo

y 0# "" Coker(*) por el lema de la serpiente. Además, Coker(*) "" "" "" "" Coker(.) es mono por el 0

de la esquina superior derecha, y es epi por el 0 de la esquina inferior derecha. Así, tenemos que Coker(.)

es cíclico (por ser cociente de un cíclico), y por tanto Coker(*) también lo es. Por último, como la clasede los módulos finitamente generados es cerrada bajo extensiones, concluimos que and(r) es finitamentegenerado.

Ahora sean IR, JR +" R finitamente generados. Entonces RI ,

RJ son finitamente presentados (son

cociente de un libre de rango finito, R, por un submódulo finitamente generado). Luego, por la hi-pótesis, R

I ,RJ son coherentes. Notemos que también R

I ! RJ lo es, ya que se tiene la sucesión exacta

0 " I ! J " R ! R " RI ! R

J " 0, donde I ! J es finitamente generado, con lo que RI ! R

J es finita-mente presentado. Notemos ahora que el morfismo R

q" R

I ! RJ , r (" (r, r), tiene núcleo I 7 J , así que

RI3J

'= Im(q) +" RI ! R

J y tenemos una sucesión exacta 0 " I 7 J " R " RI3J ' R

I ! RJ . Como R

I3J

es cíclico (por ser cociente de R), es finitamente generado, y por ser isomorfo a un submódulo de RI ! R

J ,resulta finitamente presentado. Entonces, por hipótesis, R

I3J es coherente y podemos repetir el diagramadel párrafo anterior para concluir que I 7 J es finitamente generado.

(5. =1 4.) Sea IR +" R finitamente generado. Probaremos que también es finitamente presentado,procediendo por inducción sobre su número de generadores:

Base: Supongamos que IR =| x1-R. Entonces IR '= x1R y se tiene la sucesión exacta 0 " and(x1) +"R " x1R " 0. Por hipótesis, and(x1) es finitamente generado, así que x1R '= IR es finitamente presentado.

Paso inductivo: Supongamos ahora que IR =| x1, ... , xn-R =| x1, ... , xn(1-R+ | xn-R. Sean J1 =|x1, ... , xn(1-R , J2 =| xn-R '= xnR. Notemos que por hipótesis, J1 7 xnR resulta finitamente generado,y por la hipótesis de inducción y el caso base, respectivamente, J1 y J2 son finitamente presentados.Recordemos además el morfismo canónico A/B " A+B, a/ b (" a% b, para cualesquiera dos módulosA,B. Entonces tenemos la sucesión exacta 0 " J1 7 xnR " J1 / xnR " J1 + xnR '= I " 0, de lacual concluimos que I es finitamente presentado, pues J1 7 xnR es finitamente generado y J1 / xnR esfinitamente presentado.

(4. =1 1.) Sea {RPi}I una familia de módulos planos. Para mostrar que&{Pi}I es plano, usaremos

el teorema 2.12. Tomemos JR +" RR finitamente generado. Entonces, por la hipótesis, J es tambiénfinitamente presentado, así que por 3.16 tenemos el siguiente diagrama conmutativo:

29

J +&{Pi}I "" "" ""####

####

&{Pi}I

&{J + Pi}I "" "" ""

&{Pi}I

donde&{ J + Pi}I "" "" ""

&{Pi}I es el monomorfismo natural definido por coordenadas, a partir

de los monomorfismos J + Pi ' Pi (cada Pi es plano); y&{ J + Pi}I "" "" ""

&{Pi}I se da por la

conmutatividad del diagrama. ! &{Pi}I es plano.

Definición 3.19. A un anillo que cumple las condiciones equivalentes del teorema anterior se le llamacoherente derecho.

A continuación damos algunos ejemplos de anillos coherentes:

Ejemplo 3.20. Los anillos noetherianos derechos (sus ideales son finitamente generados) son coherentes(cumplen la condición 5).

También lo son los regulares:

Ejemplo 3.21. Los anillos regulares (todo MR es plano) son coherentes, pues satisfacen la primera con-dición del teorema.

Por último, presentamos a los anillos semihereditarios (derechos), cuyos ideales finitamente generadosson proyectivos:

Ejemplo 3.22. Sea R semihereditario derecho e IR +" R finitamente generado. Entonces tenemos unasucesión exacta 0 " K " Rn " I " 0 que se escinde, de modo que se tiene K & Rn, con lo cual Kresulta finitamente generado, y en consecuencia I es finitamente presentado.

Concluimos esta sección con el siguiente resultado:

Proposición 3.23. Si R es coherente derecho, .I. * R y también I. * R finitamente generado, entoncesRI es coherente derecho.

Demostración. Primero hacemos la siguiente observación: con las hipótesis del enunciado, IR es finitamentepresentado, de modo que (RI )R resulta también finitamente presentado y por tanto coherente. Pero lo quequeremos mostrar aquí es que (RI )R

Ies coherente derecho. Tomamos primero IR +" JR con (JI )R

I+"

RI finitamente generado. Entonces J es también finitamente generado, pues la clase de los finitamentegenerados es cerrada bajo extensiones. Tenemos el siguiente diagrama:

In" #

##

*#"" I

CCCC

" #

##K !" fin. gen. ""

P.D. epi

##

Rn * "" ""

##

J ""

####

0

0 "" Ker(*) !"

""

##

Rn

In"" ""

##

JI

##C 0 0

30

Luego, *(In) = *(RnI) = JI . I. Aplicando el lema de la serpiente, como IR es finitamente generado,entonces C es finitamente generado, por ser cociente de I, y por lo tanto Ker(*) es también finitamentegenerado (es extensión de finitamente generados), así que J

I es finitamente presentado y (RI )RI

es coherente.

31

4 Módulos y anillos semiperfectos.

4.1 Definición, propiedades y caracterización.

Comenzamos recordando algunas definiciones:

Definition 4.1. Se dice que A * M es superfluo (en M), hecho que denotamos por A 9 M , si A+B = M

implica B = M . También decimos que B es suplemento (adco, en Kasch) de A en M si B es mínimocon la propiedad A+B = M , y esto lo denotamos por B ' A4.

Con lo anterior, definimos lo que es una cubierta proyectiva:

Definición 4.2. 0 " K " P%" M " 0 es una cubierta proyectiva si P es proyectivo y & es un

epimorfismo superfluo (Ker(&) 9 P ).

Lema 4.3. Son equivalentes, para A,B * M :

1. B es suplemento de A.

2. A+B = M y A 7B 9 B.

Demostración. (1. =1 2.) Sólo hace falta probar la segunda condición: supongamos que (A7B)+C = B,con C * B. Entonces M = A + ((A 7 B) + C) = A + C, así que la definición de suplemento implica queC = B. ! A 7B 9 B.

(2. =1 1.) Sea C * B tal que A + C = M . Entonces B = B 7 (A + C) = (A 7 B) + C (por la leymodular), de modo que C = B. ! B es suplemento de A.

Lema 4.4. Si A 9 Mf" N , entonces f(A) 9 N .

Demostración. Supongamos que f(A) + L = N . Entonces f(1(f(A)) = A + Ker(f) y A + Ker(f) +

f(1(L) = M = f(1(N). Luego, como A 9 M , se tiene M = Ker(f) + f(1(L). Entonces f(Ker(f) +

f(1(L)) = f(f(1(L)) = f(M), pero f(f(1(L)) = L y f(M) = N . ! L = N y f(A) 9 N .

Lema 4.5. Si 0 " K " P/" M " 0 es cubierta proyectiva y Q

%" M , con Q proyectivo, entoncesQ = P1 / P2 con P1

'= P , y P1%|P1" M es cubierta proyectiva.

Demostración. Como Q es proyectivo, existe un morfismo Q,%" P tal que 1&. = &. Así, 1(.(Q)) = M y por

el teorema de la correspondencia, hay un isomorfismo de retículas completas entre [K,P ] y [0,M ], con lo

cual P = K+.(Q) y como K 9 P , . es epi. Entonces, como P es proyectivo, existe un mono P0' Q tal que

.&2 = 1P y Q = 2(P )/Ker(.). Llamemos 2(P )=P1,Ker(.)=P2. Sólo falta ver que P1%|P1" M es cubierta

proyectiva: notemos primero que, en efecto, P1'= P y además, como & &2 = 1, &(P1) = 1(P ) = M , así que

&|P1es epi. Ahora, mostramos que Ker(&) 7 P1 = Ker(&|P1

) 9 P1. Aplicaremos el lema anterior, para locual basta demostrar que 2(K) = Ker(&) 7 P1: si x $ P y 2(x) $ Ker(&), entonces 0 = &(2(x)) = 1(x),así que x $ K y luego 2(x) $ 2(K). Por otro lado, si x $ K, como 0 = 1(x) = 1(.(2(x))) = &(2(x)),entonces 2(x) $ Ker(&) 7 P1. Con esto, podemos concluir que 2(K) = Ker(&) 7 P1 y por tanto 2(K) 92(P )=P1.

Lema 4.6. Si B ' A4 y C ' B4, entonces B ' C4.

32

Demostración. Por hipótesis, B+C = M . Sea ahora B) * B tal que B)+C = M . Entonces, si intersectamoscon B y usamos la modularidad, tenemos B) + B 7 C = B; luego A + B) + B 7 C = A + B = M (puesB ' A4). Intersectamos ahora con C, para obtener (A+B))7C+B7C = C. Entonces, como B7C 9 C

(condición equivalente para ser suplemento), se tiene (A + B)) 7 C = C y luego C . A + B), con lo cualM = B) + C . A+B) y por tanto A+B) = M y B * B). ! B ' C4.

Definición 4.7. MR es semiperfecto si todo cociente de M tiene cubierta proyectiva.

Lema 4.8.

1. La clase de los módulos semiperfectos es cerrada bajo cocientes.

2. La cubierta proyectiva de un módulo simple es semiperfecta.

3. La clase de los módulos suplementados (todo submódulo tiene suplemento) es cerrada bajo cocientes.

Demostración. 1. Es inmediato, pues un cociente de un cociente de MR vuelve a ser un cociente de MR.2. Sea 0 " K

5+" P " S " 0 una cubierta proyectiva con S simple. Entonces, como S '= P

K , se tieneK *

max.P . Además, si A # P , entonces A . K, pues si no, K + A = P y luego A = P , lo cual es una

contradicción. Así, si PA )= 0, entonces A * K 9 P y A 9 P (submódulos de superfluos son superfluos),

con lo que 0 " A5+" P " P

A " 0 es cubierta proyectiva de PA .

3. Sean M suplementado, K * M y A * K. Por el teorema de la correspondencia, tenemos

M% "" "" M

K

K !"

""3&

DD

A$!

&&

%|A "" "" AK

$!

&&

Sea ahora B 'M

A4. Mostraremos que K+BK '

MK

( AK )4: primero, vemos que K+A+B

K = A+BK = M

K . Por

otro lado, aplicando la ley modular, tenemos AK 7 K+B

K = A3B+KK y el siguiente diagrama conmutativo:

A 7B !" 5 ""

%|A%B

##

B !"

""

%|B

##

M

%####

A3B+KK

! " "" B+KK! " "" M

K

Como la imagen de un submódulo superfluo bajo un morfismo es superflua, tenemos A3B+KK 9 B+K

K ,así que K+B

K 'MK

( AK )4.

Teorema 4.9. Sea P/" M una cubierta proyectiva. Son equivalentes:

1. M es semiperfecto.

2. P es semiperfecto.

3. P es suplementado.

33

Demostración. (2. =1 1.) Se da pues la clase de los semiperfectos es cerrada bajo cocientes (lema anterior).

(1. =1 3.) Sea A * P . Consideramos P/" M

%" M/(A) , & & 1=3. Por el lema 4.5, P = P1 / P2

con P1

1|P1" M/(A) cubierta proyectiva. Afirmamos que P1 es suplemento de A en P . Como 3P1 es sobre,

por el teorema de la correspondencia tenemos que P = Ker(3) + P1. Por otro lado, Ker(3) = Ker(& &1) = 1(1(Ker(&)) = 1(1(1(A)) = Ker(1) + A, así que P = Ker(1) + A + P1 y luego A + P1 = P .Además, si tomamos B * P1 tal que P = A + B, entonces 3(P1) = 3(P ) = 3(A + B) = 3|P1

(B) yP1 = 3(1

|P1(3|P1

(P1)) = 3(1|P1

(3|P1(B)) = Ker(3|P1

) +B, con lo cual B = P1.(3. =1 2.) Sean A * P y B ' A4. Consideramos las sucesiones exactas

0 ""

33

A !"

"" P% "" "" P

A"" 0

A 7B !"

5"" B$!

&&

%|B

EE EE

donde A 7 B 9 B por el lema 4.3, y &|B es epi pues PA = &(P ) = &(A + B) = &(B). Para ver que

B%|B" P

A es cubierta proyectiva, basta demostrar que B es proyectivo. Para esto, mostraremos que B essumando directo de P (que es proyectivo por hipótesis):

Sea C ' B4. Entonces, por el lema 4.6, B ' C4, así que, por 4.3, B 7C 9 B,C. Ahora, consideremoslos epimorfismo naturales P

2" P = PB3C = B+C

B3C = BB3C / C

B3C =B / CpB" B. Como P es proyectivo,

existe P+%" B tal que $|B & - = pB & $. Por el teorema de la correspondencia, B 7 C + -(P ) = B

(pues $|B(B 7 C + -(P )) = $(-(P )) = pB($(P )) = B), así que -(P ) = B (B 7 C 9 B), y podemosrepetir este último argumento para establecer que B 7 C + -(B) = B y por tanto -(B) = B. Una vezmás, el teorema de la correspondencia nos dice que Ker(-) + B = P . Entonces, como C ' B4, tenemosque C * Ker(-). Notemos además que Ker(-) . Ker(pB & $) = $(1(Ker(pB)) = $(1(C) = C, demanera que Ker(-) = C = Ker(pB & $) = Ker($|B & -) = -(1(Ker($|B)) = -(1(B 7 C) y luego0 = -(C) = -(-(1(B 7 C)) = B 7 C. ! P = B / C (P = B + C pues C ' B4) y B es proyectivo.

Corolario 4.10. Todo R–módulo proyectivo artiniano es semiperfecto.

Demostración. Los módulos artinianos son suplementados.

4.2 Prerradicales, radicales, proyectivos y semiperfectos.

Definición 4.11. Un prerradical r en R–mod es un funtor R–mod " R–mod que es subfuntor de1R–mod; es decir, r +" 1R–mod es una transformación natural. Explícitamente: para todo N

f%" M se tieneun diagrama conmutativo

r(N) !" (N ""

r(f)=f|r(N)

##

N

f

##r(M) !

" (M "" M

Así, para todo Nf%" M , r(M) * M y f(r(N)) * r(M).

Decimos que un prerradical es un radical si r( Mr(M) ) = 0 para todo R–módulo M . Por último, definimos

el radical de Jacobson de M como Rad(M)=$

{K 9 M}.

Damos también una descripción alternativa de Rad(M):

34

Observación 4.12.$

{K 9 M} = 7{m *max

M}.

Demostración. ( . ) Si K 9 M y m *max

M , entonces K * m, pues si no, se tendría m+K = M (por la

maximalidad de m) y luego m = M (pues K 9 M), lo cual contradice el hecho de que m sea un submódulomáximo (los submódulos máximos son propios).

( 5 ) Sea 0 )= x $ 7{m *max

M}. Veamos que Rx 9 M : si no fuera así, habría algún L # M

tal queRx + L = M . Entonces, por el segundo teorema de isomorfismos, ML = Rx+L

L'= Rx

Rx3L , que escíclico y por lo tanto tiene un submódulo máximo (los finitamente generados tienen máximos). Es decir,existe m

L *max

ML , así que

MLmL

'= Mm (tercer teorema de isomorfismos) es simple y luego m *

maxM . Pero

x $ m =1 M = Rx+ L * Rx+m = m , con lo que llegamos a una contradicción.

Lema 4.13.

1. Rad( ) es un prerradical.

2. Rad( ) es un radical.

3. N * Rad(M) =1 Rad(MN ) = Rad(M)N .

Demostración. ( 1. ) Sea Nf%" M . Entonces, por definición, Rad(M) * M y f(Rad(N)) =

${f(K) |

K 9 N} * Rad(M) ya que los morfismos mandan superfluos en superfluos.( 2. ) Consideramos la proyección canónica M

%" MRad(M) . Por el teorema de la correspondencia, hay un

isomorfismo entre las retículas [Rad(M),M ] y [0, MRad(M) ], digamos &6. Así, si existe m *

maxM , entonces

Rad(M)+mRad(M) *

max

MRad(M) , ya que Rad(M) * m (por la observación anterior). De este modo, podemos

fijarnos sólo en los submódulos máximos de [Rad(M),M ] y de [0, MRad(M) ], con lo que 0 = &6(Rad(M)) =

&6(7{m *max

M}) = 7{n *max

MRad(M)} = Rad( M

Rad(M) ).

( 3. ) Si N * Rad(M), entonces para todo m *max

M se tiene N * m, así que hay una correspondencia

biyectiva entre los submódulos máximos de [N,M ] y los de [0, MN ], bajo la cual Rad(M) (" Rad(MN ) =

Rad(M)+NN = Rad(M)

N .

Recordamos algunas propiedades de radicales y prerradicales, que se desprenden de las definiciones.

Lema 4.14. Un prerradical r conmuta con sumas directas (ver Stenström) y .r(R). * R.

También damos otra descripción de Rad(R):

Proposición 4.15. Rad(R) = {x $ R | 1% rx invertible #r $ R}.

Demostración. ( . ) Si x $ Rad(R), entonces x $ m *max

R para todo m *max

R. Por el lema anterior, basta

ver que 1 % x es invertible, pues si x $ Rad(R), entonces Rx . Rad(R): consideremos el ideal R(1 % x).Si fuera propio en R, R(1 % x) . M *

maxR para algún M. Pero entonces 1 % x, x, 1 $ M = R, lo cual es

una contradicción. Entonces R(1% x) = R para toda x $ Rad(R). Esto nos dice que existe s $ R tal ques(1% x) = 1.

( 5 ) Si 1% rx es invertible, m *max

R, pero x )$ m, entonces R = Rx+ m y 1 = s+ rx con s $ m, así

que s = 1% rx es invertible, lo cual contradice la maximalidad de m. Así, debe ocurrir x $ Rad(R).

35

Para el siguiente resultado, debemos usaremos un corolario al siguiente lema, cuya demostración puedeencontrarse en el numeral 9.6.3 de Kasch, F., Modules and Rings, Academic Press, 1982.

Lema 4.16. Si 0 )= P es un módulo proyectivo, entonces Rad(P ) )= P . Dicho de otro modo, todo proyectivotiene algún submódulo máximo.

Corolario 4.17. Si P es proyectivo y P = P1 / P2 con P2 * Rad(P ), entonces P2 = 0.

Demostración. Sea Pp%" P2 la proyección natural. Entonces, como Rad( ) es un prerradical P2 * p(Rad(P )) *

Rad(P2), así que P2 = Rad(P2), de manera que por el lema anterior, P2 = 0, pues la clase de los proyectivoses cerrada bajo sumandos directos.

Teorema 4.18. Si M es semiperfecto, entonces

1. M es suplementado.

2. MRad(M) es semisimple.

3. Rad(M) 9 M .

Demostración. ( 1. ) Sea P/" M una cubierta proyectiva. Por el teorema 4.9, P es suplementado, y por

4.8, 3. , M es suplementado.( 2. ) Sea 0 )= A

Rad(M) * MRad(M) . Veamos que A

Rad(M) es sumando directo de MRad(M) (un módulo es

semisimple si y sólo si todo submódulo no nulo es sumando directo suyo): Por 1., sabemos que MRad(M) es

suplementado. Sea entonces BRad(M) '

ARad(M)4

. Entonces ARad(M)+

BRad(M) =

MRad(M) y A

Rad(M)7B

Rad(M) =A3B

Rad(M) 9 BRad(M) , así que también A3B

Rad(M) 9 MRad(M) y luego A3B

Rad(M) * Rad( MRad(M) ) = 0 (pues Rad( )

es un radical). ! MRad(M) =

ARad(M) /

BRad(M) .

( 3. ) Sea P/" M una cubierta proyectiva. Como Ker(1) 9 P , se tiene que 1(Rad(P )) = Rad(M)

(ver 9.1.5. de Kasch), y como la imagen de un submódulo superfluo bajo un morfismo es superflua, bastademostrar que Rad(P ) 9 P . Sea P

%" PRad(P ) el epimorfismo natural. Entonces, por 4.9 y 4.5, P = P1/P2

con P1 7 Rad(P ) 9 P1 y P2 * Rad(P ). Así, el corolario 4.17 implica que P2 = 0, con lo que P = P1 yRad(P ) = P 7Rad(P ) 9 P .

4.3 Levantamientos de sumas directas.

Definición 4.19. Sea Mf" N . Se dice que N = /

I{Ni} se levanta a M si existe una descomposición

M = /I{Mi} tal que f(Mi) = Ni para cada i $ I.

Teorema 4.20. Sean P/" M una cubierta proyectiva y M = /

I{Mi} tal que para cada i hay Pi

%i" Mi

con Pi proyectivo y Ker(&i) * Rad(Pi). Entonces M = /I{Mi} se levanta a P .

Demostración. Como la clase de los proyectivos es cerrada bajo sumas directas, existe 2 : /I{Pi} "

P tal que 1 & 2 = /I{&i}. Como /

I{&i} es epi, P = 1(1(M) = 1(1(Im(/

I{&i})) = 1(1(Im(1 & 2)) =

1(1(1(Im(2))) = Im(2) +Ker(1). Entonces Im(2) = P y como éste es proyectivo, existe µ : P " /I{Pi}

tal que 2 & µ = 1P y luego /I{Pi} = µ(P ) /Ker(2). Además, Ker(2) * Ker(/

I{&i}) = /

I{Ker(&i)} *

hip.

/I{Rad(Pi)} = Rad(/

I{Pi}) pues Rad( ) conmuta con sumas directas. Entonces, por 4.17, Ker(2) = 0 y

36

2 es un isomorfismo. Así, P = /I{2(Pi)}, y como 1 & 2(Pi) = &i(Pi) = Mi, se tiene el levantamiento de M

a P .

Corolario 4.21. Si RM es semiperfecto y P/" M es una cubierta proyectiva, entonces cualquier des-

composición de M como suma directa se levanta a una de P .

Demostración. Sea M = /I{Mi}. Entonces cada Mi tiene una cubierta proyectiva Pi

/i" Mi, donde

Ker(1i) 9 Pi y luego Ker(1i) * Rad(Pi).

Corolario 4.22. Si RP es semiperfecto y proyectivo, entonces cualquier descomposición de PRad(P ) se

levanta a P .

Demostración. Por 4.18 3. y 2. , se tiene la cubierta proyectiva Rad(P )5+" P " P

Rad(P ) y PRad(P ) es

semisimple. Ahora sólo aplicamos el corolario anterior.

Teorema 4.23. Son equivalentes, para RP proyectivo:

1. P es semiperfecto.

2. P es suplementado.

3.

(a) PRad(P ) es semisimple.

(b) Rad(P ) 9 P

(c) Cualquier sumando directo de PRad(P ) se levanta a uno de P .

Demostración. ( 1. 01 2. ) Ver 4.9.( 1. =1 3. ) Ver el corolario anterior.( 3. =1 2. ) Sea A * P . Entonces, por la hipótesis (a), A+Rad(P )

Rad(P ) es sumando directo de PRad(P ) . Luego,

por la hipótesis (c), existe B : Rad(P ) que es sumando directo de P (y por tanto es proyectivo) tal queA+Rad(P )Rad(P ) / B

Rad(P ) =P

Rad(P ) . Así, por la hipótesis (b) se tiene A+B = P . Además, (A+Rad(P )) 7B .Rad(P ). Pero aplicando la ley modular, tenemos (A + Rad(P )) 7 B = Rad(P ) + (A 7 B) . Rad(P ), asíque Rad(P ) + (A 7 B) = Rad(P ) y luego A 7 B . Rad(P ) 9 P . Así, A 7 B 9 P y como los morfismospreservan superfluos, se tiene A 7B 9 B (considerando P

pB" B la proyección canónica y el hecho de queA 7B . Rad(P ) . B). Aplicando 4.3, concluimos que B ' A4.

Lema 4.24. Para todo anillo R, Rad(R) 9 R.

Demostración. Supongamos que R = Rad(R)+I con I # R. Sea entonces I * M *max

R. Así, Rad(R)+I *

Rad(R) +M = M # R, lo cual es una contradicción.

Antes de dar el siguiente resultado, recordemos que en un anillo, los idempotentes ortogonales están encorrespondencia con los sumandos directos, puesto que si R = /

I{Ji} entonces existe un conjunto finito I0

de idempotentes ortogonales ei tales que Ji = Rei para todo i $ I0 y 1 =$I0

ei. Recíprocamente, si hay

e1, ... , en idempotentes ortogonales tales que 1 =n$1ei, entonces R =

n/1{Rei}. (ver 7.2.3. de Kasch)

37

Corolario 4.25. Son equivalentes para RR:

1. R es semiperfecto.

2. R es suplementado.

3.

(a) RRad(R) es semisimple.

(b) Cualquier idempotente 4 de RRad(R) se levanta a un idempotente e de R.

Demostración. Por el último teorema y el lema anterior, basta demostrar que sumandos directos deR= R

Rad(R) se levantan a sumandos directos de R si y sólo si idempotentes de R se levantan a idempo-tentes de R:

( 0= ) Sea A un sumando directo de R. Consideramos el epimorfismo natural R%" R = A / B =

R4/ R(1% 4) donde A = R4. Por hipótesis, R4 = &(Re), y luego R = Re/R(1% e).( =1 ) Sea 4 un idempotente en R = R4/ R(1% 4). Entonces, por hipótesis y la observación anterior

al teorema, hay una descomposición R = Re/R(1% e) con e idempotente, tal que R4 = Re y R(1% 4) =

R(1% e). Así, e = r4 = r44 = e4 y 1%e = s(1%4) = s(1%4)(1%4) = (1%e)(1%4) = 1%4%e+e4 = 1%4%e+e,con lo cual e = 4.

Notemos que las condiciones (a) y (b) del resultado anterior no tienen lado. Así, tenemos el siguientecorolario:

Corolario 4.26. RR es semiperfecto si y sólo si RR es semiperfecto.

Teorema 4.27. Sea {Pi}I una familia de módulos proyectivos semiperfectos. Entonces /I{Pi} es semiper-

fecto si y sólo si Rad(/I{Pi}) 9 /

I{Pi}.

Demostración. ( =1 ) Ver 4.23.( 0= ) Sea P =/

I{Pi}. Aplicaremos el teorema 4.23. Para ello nos basta probar 3.(a) y 3.(c) (3(b) está

dado por hipótesis):3.(a) : Como Rad( ) conmuta con /{ }, P

Rad(P ) = +{Pi}+{Rad(Pi)} = /{ Pi

Rad(Pi)} que es una suma directa

de módulos semisimples (cada Pi es semiperfecto) y por tanto es semisimple.

3.(c) : Primero mostramos que los cocientes simples de P tienen cubierta proyectiva: sea Pf -=0" S con

S simple. Entonces se tiene, para alguna j $ I:

P = /Pif -=0 "" "" S

Pj$!

(j

&&

-=0

@@ @@

Donde Pj " S es epi pues S es simple. Así, como cociente de un módulo semiperfecto, S tienecubierta proyectiva. Ahora, por la hipótesis, como una suma directa de módulos proyectivos es pro-yectiva, P " P

Rad(P ) es una cubierta proyectiva. Como PRad(P ) es semisimple, sea P

Rad(P ) = A / B =

(/IA{SA

i }) / (/IB{SB

i }) con SAi , SB

i simples. Entonces, como ya establecimos, cada SAi , SB

i tiene cubierta

38

proyectiva, digamos, respectivamente PAi

pAi" SA

i , PBi

pBi" SB

i . Así, tenemos, como en 4.20 un isomor-

fismo (/IA{PA

i })/ (/IB{PB

i }) "" ""0 "" "" P ; es decir, P = 2(/IA{PA

i }) / 2(/IB{PB

i }), con &(2(/IA{PA

i })) =

A , &(2(/IB{PB

i })) = B.

Corolario 4.28. Una suma directa finita de módulos semiperfectos es semiperfecta.

Demostración. Sean M1, ... ,Mn los módulos en cuestión y Pi/i" Mi , i = 1, ... n sus respectivas cubiertas

proyectivas. Por 4.9, cada Pi es semiperfecto. Entonces, para cada i, Rad(Pi) 9 Pi * P =n/1Pi, así que

Rad(Pi) 9 P . Ahora bien, Rad(P ) =n/1Rad(Pi), y como la suma finita de superfluos es superflua, el

teorema anterior nos dice que P es semiperfecto. Por último, basta notar quen/1Mi es un cociente de P y

por lo tanto es también semiperfecto.

Corolario 4.29. Si R es semiperfecto, entonces todo R–módulo finitamente generado es semiperfecto.

Demostración. Por el corolario anterior, todo módulo libre finitamente generado es semiperfecto, pues esisomorfo a una suma directa finita de copias de R. Entonces un módulo finitamente generado es semiper-fecto, pues es cociente de un libre finitamente generado.

Definición 4.30. Si todo submódulo propio de RM está contenido en un submódulo máximo, se dice queM es máx.

Teorema 4.31. Son equivalentes, para RP proyectivo:

1. RP es semiperfecto.

2.

(a) P es máx.

(b) Todo cociente simple de P tiene cubierta proyectiva.

Demostración. ( 1. =1 2. ) Para esta parte de la demostración no se necesita la hipótesis de que P seaproyectivo:

(a): Sea A * P . Entonces PA es semiperfecto y luego Rad(PA ) 9 P

A . En particular, esto quiere decirque Rad(PA ) # P

A . Entonces existe MA *

max.

PA , pues si no, Rad(PA ) = 7; = P

A . Así, el teorema de la

correspondencia implica que A * M *max.

P .

(b): Se da por definición de semiperfecto.( 2. =1 1. ) Usaremos la caracterización dada en 4.23.Rad(P ) 9 P : Supongamos Rad(P ) +N = P con N # P . Entonces, por hipótesis, existe M *

max.P tal

que N * M. Observemos que también se tiene, por definición, Rad(P ) * M. Así, Rad(P ) +N * M # P ,lo cual es una contradicción.

P = PRad(P ) es semisimple: mostraremos que Zoc(P ) = P . Supongamos lo contrario. Entonces, si P

%" P ,se tiene &(1(Zoc(P )) )= P . Por hipótesis, existe &(1(Zoc(P )) * M *

max.P y P

M tiene cubierta proyectiva,

así que por 4.5 P = P1 / P2 con P2 * M , P1 7M 9 P1. Entonces P = P1 +M y P1 7M * Rad(P ), loque implica P = &(P1) / &(M). Además, P

M'=

PRad(P )

MRad(P )

'= P%(M)

'= &(P1) resulta simple, así que &(P1) *

39

Zoc(P ) * &(M) (pues &(1(Zoc(P )) * M). Entonces &(P1) 7 &(M) = &(P1), pero esto contradice queP = &(P1)/ &(M).

Sumandos directos se levantan módulo Rad(P ): Sea P = /I{Si} con Si simple. Entonces, para cada

j $ I, Sj'= P

+i &=j

Si

'= P%'1( +

i &=jSi)

(por el tercer teorema de isomorfismos) y luego, por hipótesis, se tienen

cubiertas proyectivas Pi/i" Si , i $ I. Trivialmente, todo módulo simple con cubierta proyectiva resulta

semiperfecto, así que cada Si es semiperfecto, y por 4.9 también lo es cada Pi. Podemos aplicar ahora 4.20a la cubierta proyectiva P

%" P y a P = /I{Si}. Así, como en aquélla demostración, hay un isomorfismo

/I{Pi} "" ""

! "" "" P y luego P = /I{!(Pi)} es suma directa de módulos semiperfectos. Por último, como

Rad(P ) 9 P , por 4.27 concluimos que P es semiperfecto.

A continuación presentamos el resultado análogo para anillos:

Teorema 4.32. Son equivalentes para un anillo R:

1. R es semiperfecto.

2. Todo RS simple tiene cubierta proyectiva.

3. Todo RM finitamente generado tiene cubierta proyectiva.

Demostración. Recordemos que todo módulo simple es cociente del anillo por un ideal máximo. Entoncesla equivalencia entre 1. y 2. se tiene por el teorema anterior y el corolario 4.25, y la implicación ( 3. =12.) es clara.

( 2. =1 3.) Sea RM finitamente generado. Por 1. y 4.29, tenemos MRad(M) = S1 / ... / Sn con Si

simple. Luego, por hipótesis, existen cubiertas proyectivas Ki5+" Pi

/i" Si, para cada 1 * i * n. Así,

tenemos la cubierta proyectiva /{Ki}5+" /{Pi}

+{/i}" MRad(M) . Además, como /{Pi} es proyectivo, existe

/{Pi}0##$ M tal que & & 2 = /{1i}, donde M

%" MRad(M) es el epimorfismo natural. Por otro lado,

sabemos que si M es finitamente generado, entonces cualquier submódulos suyo está contenido en unsubmódulo máximo. Asi, Rad(M) 9 M y, como en la prueba de 4.20, 2 es un empimorfismo. Luego, para

que /{Pi}0" M sea una cubierta proyectiva, sólo nos resta ver que K=Ker(2) 9 /{Pi}. Pero esto ocurre

pues K . Ker(& & 2) = Ker(/{1i}) = /{Ki} 9 /{Pi}, con lo cual K 9 /{Pi}.

4.4 Anillos perfectos.

Observación 4.33. Toda matriz triangular superior estricta (su diagonal es nula) es nilpotente.

Hecho 4.34. Recordemos que si a $ R es nilpotente, entonces 1 % a resulta invertible: an = 0 =1(1% a)(1 + a+ ... + an(1) = 1.

Lema 4.35. Sean RF libre con base X = {xi}N+ , {ai}N+ . R, y considérese el sistema de ecuaciones dela forma yi = xi%aixi+1. Entonces G = ,{yi}N+ | es libre con base {yi}N+ (es decir, los yi son linealmenteindependientes), y además F = G si y sólo si para todo k $ N+ hay un n : k tal que akak+1 ... an = 0.

Demostración. Representamos el sistema de ecuaciones dado en forma matricial como y = Ax. Notemosque A es la matriz con Ai,i = 1#i, Ai,i+1 = %ai y todas las demás entradas nulas:

40

A =

(

))))))*

1 %a1 0 0 ...

0 1 %a2 0 ...

0 0 1 %a3 ...

0 0 0 1 ...

... ... ... ... ...

+

,,,,,,-

Supongamos quen$1riyi = 0. Entonces, sustituimos:

n$1riyi = rty = rtAx, así que, como los xi son

linealmente independientes, debe tenerse rtA = 0. Ahora bien, como A = Idn + A) con A) triangularsuperior estricta, por las observación anterior y el hecho 4.34 tenemos que A es invertible, con lo que r = 0;

es decir, los yi son linealmente idependientes. Notemos además que A(1 =

(

))))))*

1 a1 a1a2 a1a2a3 ...

0 1 a2 a2a3 ...

0 0 1 a3 ...

0 0 0 1 ...

... ... ... ... ...

+

,,,,,,-

(ver 4.34).Por otro lado, si F = G, existe B $ M|N|(R) con renglones casi nulos tal que x = By. Así, (BA%I|N|)x =

0 y luego, como los xi son l.i., BA% I|N| = 0. Así, BA = I|N|. Simétricamente, I|N| = AB. Entonces tienela forma de A(1, pero con renglones nulos salvo por un número finito de entradas, lo que nos da lacondición del enunciado. Para terminar, notemos que podemos argumentar en sentido contrario y concluirque F = G.

Lema 4.36. Con las hipótesis del lema anterior, si G es un sumando directo de F , entonces la sucesióna1R : a1a2R : ... se estaciona.

Demostración. Sea F = G /H. Por el lema anterior, tenemos un isomorfismo F '= G dado por xi (" yi.Definimos el endomorfismo

G/H!%" F

%aiyi + h ("

%aixi

Notemos que !(yi) = xi y para toda i, !(xi) =$jci,jxj para algunos cij . Luego, como y = Ax,

xn = !(yn) = !(xn % anxn+1) =%

j

cn,jxj % an%

j

cn+1,jxj =%

j

(cn,j % ancn+1,j)xj = #j,nxj

. Entonces

ancn+1,n = cn,n % 1

an(1ancn+1,n = an(1cn,n % an(1 = cn(1,n % an(1

an(2an(1ancn+1,n = an(2cn(1,n % an(2an(1 = cn(2,n % an(2an(1

...

a1...ancn+1,n = c1,n % a1...an(1

41

Si nos fijamos en la matriz (ci,j), vemos que para n suficientemente grande, c1,n = 0, así que a1...an(1 $a1...anR, con lo que a1...anR = a1...an(1R (siempre se da a1...anR * a1...an(1R). Así, la sucesión deideales principales del enunciado se estaciona.

Definición 4.37. RJ * R es T–nilpotente izquierdo o desvaneciente por la derecha si para todaa1, a2 ... $ J , la sucesión a1, a1a2, a1a2a3, ... es eventualmente 0.

Lema 4.38. Son equivalentes, para RJ * R:

1. J es T–nilpotente izquierdo.

2. JM )= M #RM )= 0.

3. JM 9 M #RM )= 0.

4. JF 9 F para F '= R(N).

Demostración. ( 1. =1 2. por contrapositiva) Supongamos JM = M con M )= 0. Entonces existena1 $ J, m1 $ M tales que a1M )= 0 y a1m1 )= 0, con m1 = a2m2 , a2 $ J , y podemos seguir eligiendoa3, a4, ... tales que 0 )= a1a2m2, ... , a1·...·akmk, de modo que ningún producto a1·...·an es cero.

( 2. =1 3.) Si JM + N = M , entonces J MN = JM+N

N = MN , así que por la hipótesis, M

N = 0 y luegoM = N .

( 3. =1 4.) es claro.

( 4. =1 1.) Sean a1, a2, ... $ J , {x1, x2, ... } +"base

F y y1, y2, ... tales que y =

(

))))))*

1 %a1 0 0 ...

0 1 %a2 0 ...

0 0 1 %a3 ...

0 0 0 1 ...

... ... ... ... ...

+

,,,,,,-x.

Sea G=,{y1, y2, ... } |* F . Como yi = xi % aixi+1, xi = yi + aixi+1 y luego F = G+ JF , así que G = F .Por 4.35, para todo k $ N hay un n : k tal que akak+1 ... an = 0.

Definición 4.39. .I * R es nilpotente si existe n $ N tal que In = 0, y es nil si todo elemento de I esnilpotente.

Observación 4.40. Si .I * R es nilpotente o T–nilpotente izquierdo, entonces también es nil.

Lema 4.41. Los elementos idempotentes se levantan módulo un nilideal.

Demostración. Sean .I * R nil, g $ RI un idempotente y R

%" RI el epimorfismo canónico. Entonces g%g2 $

I y podemos tomar el menor entero positivo n tal que (g%g2)n = 0. Como un elemento en un ideal conmuta

con sus potencias, aplicando la fórmula del binomio de Newton, tenemos 0 =n$0

.n

i

/gn(i(%g2)i =

n$0

.n

i

/gn+i(%1)i =

n

gn$0

.n

i

/gi(%1)i = gn(1 +

n$1

.n

i

/gi(%1)i) = gn(1 % g

n$1

.n

i

/gi(1(%1)i(1) =

gn % gn+1t, donde t =n$1

.n

i

/gi(1(%1)i(1) es un polinomio en g con coeficientes enteros, de modo

que conmuta con g. Entonces gn = gn+1t y gnt = gn+1t2 = ggnt2 = gn+2t3 , ... , gntn = gn+1tn+1 =

g(gn+1tn+1)t = gn+2tn+2 = ... = g2nt2n = (gntn)2. Así, e=gntn es idempotente. Además, como g = gn =

gn+1t = gn+1t = gt = gt, tenemos g = gn = (gt)n = e; es decir, g se levanta a e.

42

Lema 4.42. Sea .I. * Rad(R) y supóngase que los idempotentes pueden levantarse módulo I (por ejemplo,si I es nil). Entonces una sucesión de idempotentes ortogonales no nulos puede levantarse a R.

Demostración. Sean f1, ... , fn idempotentes ortogonales no nulos en RI y R

%" RI . Procedemos por in-

ducción sobre n: la base, la tenemos por hipótesis. Si ahora n > 1, sean e1, ... , en(1 $ R idempotentesortogonales tales &(ei) = ei = fi. Por hipótesis, sabemos que existe un idempotente g $ R tal queg = fn. Definimos e = e1 + ... + en(1, que resulta idempotente y tal que e es ortogonal a fn. Es decir,eg, ge $ I . Rad(R). Entonces 1%ge es invertible, por 4.15. Definimos ahora en = (1%e)(1%ge)(1g(1%e),para obtener en = fn. Más aún, en es idempotente y ortogonal a cada ei, pues 1 % e es ortogonal a cadaei.

Definición 4.43. R es perfecto izquierdo si todo RM tiene cubierta proyectiva.

Observación 4.44. Si R perfecto izquierdo, entonces es semiperfecto.

Definición 4.45. R es semilocal si RRad(R) es semisimple.

Lema 4.46. Si R es semilocal, entonces Rad(M) = Rad(R)M .

Demostración. Por la definición de radical, siempre se tiene Rad(R)M . Rad(M), pues

R·x "" M

Rad(R)$!

&&

·x "" Rad(M)$!

&&

conmuta.Por otro lado, como M

Rad(R)M es anulado por Rad(R), entonces es un RRad(R)–módulo. Luego, como

RRad(R) es semisimiple, entonces todo R

Rad(R)M es semisimple. Además, como en el Tercer Teorema de

Isomorfismo, se tiene MRad(R)M " M

Rad(M) . Entonces

&{Si}

%i

####Ker(fi)Rad(R)M

! " "" RRad(R)

( MRad(R)M ) '= /{Si}

$$ $$

$$

-=0 "" "" Si

con Si simples y Ki *max

M , por el Teorema de Correspondencia. Así, Ker(!) = 0 = 7{ KiRad(R)M } y luego

Rad(R)M = 7{Ki} 5 Rad(M).

El siguiente resultado, conocido como Teorema P de Bass, caracteriza los anillos semiperfectos.

Teorema 4.47. (Bass) Son equivalentes para un anillo R:

1. R es perfecto izquierdo.

2. R es semilocal y Rad(R) es T–nilpotente izquierdo.

3. R es semilocal y máx izquierdo (todo submódulo de cualquier RM está contenido en un submódulomáximo).

43

4. Todo RM plano es proyectivo.

5. R tiene condición de cadena descendente (CCD) en ideales principales derechos.

6. Todo MR )= 0 contiene un simple (R semiartiniano derecho) y no hay sucesiones infinitas de idem-potentes ortogonales.

Demostración. ( 1. =1 2.) Ya hemos visto que R perfecto izquierdo =1 R semiperfecto =1 R semilocal.Ahora, veamos que (Rad(R))R(N) 9 R(N) (ver 4.38). Como R es perfecto, podemos considerar un diagramacomo en 4.20:

K )" #

##/{Pi}

####

FFFF

FFFF

/{Si}####

####0 "" K "" P "" ( R

Rad(R) )(N) "" 0

donde P " ( RRad(R) )

(N) '= /I{Si} (con Si simples) y Pi " Si son cubierta proyectivas. Por otro lado, como

R(N) es libre (y por tanto proyectivo), tenemos, de nuevo como en 4.20:

(Rad(R))R(N) = (Rad(R))(N)" #

5##

R(N)

####

GGGG

GGGG0 "" K !" 5 "" P "" ( R

Rad(R) )(N) "" 0

( 2. =1 3. ) Sea N # M . Como Rad(MN ) = Rad(R)(MN ) # MN por el lema anterior y 4.38, entonces M

N

tiene un submódulo máximo KN con N * K *

maxM .

( 3. =1 2. ) Si M )= 0, entonces M tiene máximos y luego M $ Rad(M) = Rad(R)M (por el lemaanterior), así que Rad(R) es T–nilpotente izquierdo.

( 2. =1 1. ) Por las hipótesis, la observación 4.40 y el lema que le sigue, RRad(R) es semisimple y los

idempotentes se levantan módulo Rad(R), así que R es semiperfecto (por 4.25). Por 4.23, una suma directade módulos semiperfectos es semiperfecta si y sólo si tiene radical superfluo. Consideremos un módulo libreR(X). Por 4.38, Rad(R(X)) 9 R(X), así que se trata de un módulo semiperfecto. Luego, como todo móduloes cociente de un libre y la clase de los semiperfectos es cerrada bajo cocientes (4.8), R es perfecto.

( 1., 2., 3. =1 4. ) Sea RF plano. Por 2.15y 2.5, si K5+" P

/" F es una cubierta proyectiva, tenemos:

0 " Rad(R)+K " Rad(R)+ P " Rad(R)+ F " 0. Notemos que

Rad(R)+ F ' F '= R+ F

j + x (" jx

44

es un monomorfismo cuya imagen es Rad(R)F = Rad(F ) (porque R es semilocal), así que Rad(R)+ F '=Rad(F ), y similarmente Rad(R) + P '= Rad(P ). Entonces, de la sucesión exacta anterior, obtenemos

0 " Rad(P ) 7 K " Rad(P )/|" Rad(F ) " 0, pues un radical es un subfuntor de la identidad. Por otro

lado, el problema 37. de Stenström, Rings of Quotients, establece que es equivalente que en una sucesión0 " L " M " N " 0, N sea plano, y que para todo .I * R, IM 7 L = IL. Aplicamos este criterio yel hecho de que Rad(P ) =

${S 9 P}, para obtener K = Rad(P ) 7K = Rad(R)P 7K = Rad(R)K =

Rad(K). Luego, como Rad(R) es T–nilpotente izquierdo, K = 0, por 4.38. Así, 1 es un isomorfismo, y F

es proyectivo.

( 4. =1 5. ) Sean F libre con base numerable {x1, x2, ... }, a1, a2, ... $ R, y =

(

))))))*

1 %a1 0 0 ...

0 1 %a2 0 ...

0 0 1 %a3 ...

0 0 0 1 ...

... ... ... ... ...

+

,,,,,,-x;

es decir, yi = xi % aixi+1; y G=,{y1, y2, ... } |. Por 4.36, basta probar que G es un sumando directo deF . Para cada n $ N, sean Gn=,{y1, ... , yn, xn+1, xn+2, ... } | y Hn = ,{y1, ... yn} |. Entonces Gn = F

y Hn es sumando directo de Gn. Entonces la sucesión 0 " Hn " F " FHn

" 0 se escinde por laizquierda, lo que es equivalente a que F '= Hn / F

Hn. Entonces, por ser sumando directo de un módu-

lo libre, FHn

es proyectivo, y por 2.5, es plano. Ahora, veamos que FG = lím

'{ FHn

}N, para aplicar 2.7: Sin * m, entonces es claro que Hn . Hm . G, así que por el Tercer Teorema de Isomorfismo, tenemosepimorfismos F

Hn

%n,m" FHm

, FHn

%n" FG

%m& FHm

que además cumplen &n = &m & &n,m. Así, tenemos un cono

desde {{ FHn

}N, { FHn

%n,m" FHm

}N} hacia FG , que resulta ser límite directo pues los Hn forman una cadena y

G = 3{Hn}N. Así, FG es plano y, por hipótesis, proyectivo, con lo que la sucesión 0 " G " F " F

G " 0

se escinde y luego G es sumando directo de F , que es lo que queríamos mostrar.( 5. =1 6. ) Si e1, e2, ... fueran idempotentes ortogonales no nulos y todos distintos, entonces e1R +

e2R = (e1+e2)R, pues e1 = e1(e1+e2) , e2 = (e1+e2) implica e1R+e2R . (e1+e2)R, y la otra contenciónsiempre se da. También tenemos que (1% e1 % e2) # (1% e1)R: por un lado, 1% e1 % e2 = (1% e1)(1% e2),así que se da *. Por otro lado, si 1 % e1 $ (1 % e1 % e2)R, entonces también (1 % e1) % (1 % e1 % e2) =

e2 $ (1% e1 % e2)R, de modo que e2 = (1% e1 % e2)r. Pero 1% e1 % e2 también es idempotente. Entonces0 = (1% e1 % e2)e2 = (1% e1 % e2)r = e2, lo cual es una contradicción. Así, R tendría una cadena infinitade ideales propios, en contradicción con la hipótesis.

Ahora, mostraremos que todo MR )= 0 tiene zoclo no cero. Para ello, basta ver que todo cíclico no cerotiene zoclo no cero. Sea entonces 0 )= xR '= R

and(x). Sus submódulos son de la forma yR = yR

and(x). Como

R tiene CCD en ideales principales, y ésta es equivalente a la condición mínima en ideales principales,podemos tomar zR . R mínimo con la propiedad and(x) * zR. Así, zR

and(x)es un submódulo simple de

Rand(x)

y luego xR tiene simples.( 6. =1 2. ) Si Rad(R) no fuera T–nilpotente izquierdo, habría a1, a2, ... $ Rad(R) tales que a1· ... ·an )=

0 #n $ N. Por el lema de Zorn, hay un ideal m máximo con la propiedad de que #n(a1· ... ·an )$ m). Así, Rm )=

0 y , por la hipótesis, zoc(Rm ) )= 0, con lo que existe algún I. * R tal que ( Im )R sea simple. Entonces también

a1· ... ·ak $ I para alguna k, con lo que a1· ... ·akak+1 = 0, ya que Rad(R) anula a cualquier módulo simpleS cociente de R ( pues # 0 )= r , Rad(R) +" Ker(R

·r" S) *

maxR). Luego, a1· ... ·ak+1 $ m, contradiciendo

la elección de m. Así, Rad(R) es T–nilpotente. En particular, es nil. Entonces los idempotentes se levantanmódulo Rad(R) (lema 4.41). Entonces, por el lema 4.42, R

Rad(R) no tiene familias infinitas de idempotentesortogonales, pues R las tendría. Entonces R

Rad(R) tiene CCD en sumandos directos. Luego, RRad(R) tiene

45

un sumando directo inescindible, digamos I1, y otro sumando directo, J1, que también tiene CCD ensumandos directos. Procediendo por inducción, obtenemos R

Rad(R) = I1 / J1 = I1 / ... / In donde cadasumando es inescindible. Como Rad( R

Rad(R) ) = 0, entonces Rad(Ik) = 0, pues Rad( ) conmuta con sumasdirectas. Además, por hipótesis, para toda k hay un Sk . Ik simple, así que como Rad(Ik) = 0, hay unMk *

maxIk tal que Sk ). Mk, y en consecuencia Sk 7Mk = 0 y Sk /Mk = Ik. Pero Ik es indescindible, de

modo que Mk = 0 y luego Ik es simple, para toda 1 * k * n. Así, Rad(R) es semilocal.

46

5 Clases de torsión.

Recordamos la definición de prerradical, que ya abordamos en la sección 4.

Definición 5.1. Un prerradical es un subfuntor de la identidad en R–mod. Es decir, para todo RM yM

f%" N , r(M) * M y r(Mf%" N) = r(M)

f|r(M)%%%%" r(N).

Ejemplo 5.2. Son prerradicales: zoc( ), Rad( ), t( ) (la parte de torsión, si R = Z), div( ) (la partedivisible, si R = Z).

Definición 5.3. Si r es un prerradical, definimos su clase de pretorsión como Tr = {M | r(M) = M},y su clase libre de pretorsión como Fr = {M | r(M) = 0}.

Recordamos también el siguiente resultado:

Lema 5.4. Un prerradical que conmuta /.

Definición 5.5. Sea R–pre la clase de los prerradicales en R–mod. Definimos en ella un orden parcialcomo r * s<#RM (r(M) * r(N)).

Observación 5.6. Si r $ R–pre, entonces Tr es cerrada bajo sumas directas y cocientes.

Demostración. Sumas directas: Si {Mi}I . Tr, entonces, por el lema citado arriba, r(/{Mi}) = /{r(Mi)} =

/{Mi}. Así, /{Mi} $ Tr.

Cocientes: Si M $ Tr, y Mf" N , entonces N : r(N) : f(r(M)) = f(M) = N , y luego N $ Tr.

Definición 5.7. A una clase cerrada bajo sumas directas y cocientes la llamamos clase de pretorsión.

Observación 5.8. Fr es cerrada bajo submódulos y productos.

Demostración. Submódulos: Si B . C, entonces 0 = r(B) . r(C) = 0.Productos: r(

&{Mi})

%i |%%" r(Mi) = 0, donde &i es la proyección canónica y , & &i(r(&{Mi})) =

&i & ,(r(&{Mi})) para toda i. Entonces debe ocurrir r(

&{Mi}) = 0.

Observación 5.9. Si C $ Tr , D $ Fr, entonces Hom(C,D) = 0.

Demostración. Sea Cf%" D. Por la primera observación, r(Im(f)) = Im(f), pues C

f" Im(f) ; y por la

segunda, r(Im(f)) = 0, pues Im(f) +" D. Así, Im(f) = 0.

Notación 5.10. Si C es una clase de pretorsión, escribiremos C $ L#,+; si es una clase cerrada bajosubmódulos y productos, escribiremos C $ L*,

!.

Lema 5.11. Si C $ L#,+, entonces para todo RM existe un mayor N * M tal que N $ C.

Demostración. C 8 /{L * M | L $ C} " ${L * M | L $ C} $ C.

Definición 5.12. Para una clase de pretorsión C, sea rC(M) el mayor submódulo de M que está en C.

Observación 5.13. rC( ) es un prerradical.

Demostración. Por definición, rC(M) * M . Además, si Mf%" N , como C es cerrada bajo cocientes,

f(rC(M)) $ C. Luego, f(rC(M)) * rC(N).

47

Observación 5.14. rC( ) es idempotente: como rC(M) $ C, entonces rC(rC(M)) = rC(M).

Teorema 5.15. Hay una correspondencia biyectiva entre L#,+ , cuyos miembros son las clases de pre-torsión, y R–pid, la clase de los prerradicales idempotentes.

Demostración. Tenemos:

L#,+"" R–pid #%" L#,+

C (" rC (" TrC

y también

R–pid #%" L#,+"" R–pid

r (" Tr (" rTr

Veamos que ambas correspondencias son inversas:C . TrC : Si M $ C, por deifinición, rC(M) = M $ TrC .TrC . C: Si M $ TrC , entonces M = rC(M) $ C.Así, " & # = IdL!,$ .Por otro lado, si r $ R–pid, r(r(M)) = r(M) $ Tr y luego r(M) * rTr (M), por definición. Más aún,

como rTr $ Tr, se tiene M : rTr (M) = r(rTr (M)) * r(M), de modo que # &" = IdR–pid.

A continuación definimos algunas operaciones en R–pre:

Definición 5.16. Sean r, s prerradicales en R–mod.

(r 6 s)(M)=r(M) 7 s(M)

(r = s)(M)=r(M) + s(M)

(r & s)(M)=r(s(M))

(r : s)(M)

r(M)=s(

M

r(M))

De manera más general, si {ri}I es una familia de prerradicales, entonces

(6I{ri})(M)= 7

I{ri(M)}

(=I{ri})(M)=

%

I

{ri(M)}

Si r : r = r, decimos que r es un radical.

Observación 5.17. r es radical si y sólo si # RM ( Mr(M) $ Fr).

Teorema 5.18. Son equivalentes, para un prerradical r:

1. r es exacto izquierdo.

2. D . C =1 r(D) = r(C) 7D.

48

3. r es idempotente y Tr es cerrada bajo submódulos.

Demostración. ( 1. 01 2. ) Consideremos la sucesión exacta corta 0 " D +" C " CD " 0. Entonces

Ker(r(C) " r(CD )) = r(C) 7D. Así, si 0 " r(D) +" r(C) " r(CD ) es exacta, entonces r(D) = r(C) 7D,y viceversa.

( 2. =1 3. ) Por hipótesis, como r(C) . C, se tiene r(r(C)) = r(C). Además, si D . C $ Tr, entoncesr(D) = r(C) 7D = C 7D = D.

( 3. =1 2. ) Por la hipótesis, como r(C)7D . r(C) $ Tr, entonces r(r(C)7D) = r(C)7D . D. Así,r(r(D)) = r(D) = r(D) 7D . r(C) 7D . r(D).

Definición 5.19. A una clase de pretorsión cerrada bajo submódulos se le llama hereditaria.

Corolario 5.20. Hay una correspondencia biyectiva entre prerradicales exactos izquierdos y clases depretorsión hereditarias.

Lema 5.21. Si r es un radical, entonces r(M) es el menor submódulo K de M tal que MK $ Fr.

Demostración. Por la definición de radical, Mr(M) $ Fr. Si también M

K $ Fr, entonces, por el teorema de la

correspondencia, r(M)+KK = 0, ya que r(M) . M y r(M)

%|r(M)" r(MK ) = 0. Así, se tiene r(M) * K.

Lema 5.22. Si r es un radical y N * r(M), entonces r(MN ) = r(M)N .

Demostración. Sea M%" M

N . Entonces r(M)N = &(r(M)) . r(MN ). Por otro lado,

MN

r(M)N

'= Mr(M) $ Fr, así

que aplicando el lema anterior, obtenemos r(MN ) * r(M)N .

Proposición 5.23. Para todo r $ R–pre, hay un mayor prerradical idempotente menor que r, digamosr, y un menor radical mayor que r, al que denotaremos por r = r(1.

Demostración. Sea r(M)=rTr =$

{K * M | K $ Tr}. Está en Tr por ser cociente de /{K * M | K $Tr}. Además, claramente es el mayor submódulo de M contenido en Tr, y ya vimos que es un prerradicalidempotente ( ver 5.11). Ahora bien, por definición, r(r(M)) = r(M). Pero entonces tenemos el siguientecuadrado conmutativo:

r(M) !"

"" M

r(r(M)) = r(M) !"

""$!

&&

r(M)$!

&&

de donde r(M) * r(M) para cualquier RM ; es decir, r * r. Ahora, supongamos que hay un prerradicalidempotente s * r. Entonces s(M) = s(s(M)) * r(s(M)) * s(M), así que s(M) $ Tr, y luego s(M) *r(M), para todo RM . Con esto conluimos la primera parte de la demostración.

Ahora, sea P = {K * M | MK $ Fr}. Consideremos {M " M

K }K.P . Entonces, por la propiedaduniversal del producto, existe M

!%"&P{MK }. Luego también

&P{MK } $ Fr, y por el Primer Teorema

de Isomorfismo M3P"" "" ""

&Fr

{MK } , así que también tenemos M

3P $ Fr. Entonces 7P $ P , y además es

claramente el menor de P , así que podemos definir r(M) = menP . Ahora, veamos que r(M) * f(1(r(N)),

49

para lo cual consideramos el siguiente diagrama conmutativo:

f(1(r(N)) !"

""

f|

##

M "" ""

f

##

Mf'1(r(N))

f

##r(N) !

""" N "" "" N

r(N)

donde f está dada por la propiedad del conúcleo. Notemos que si f(x) = 0 entonces f(x) $ r(N) y luegox $ f(1(r(N)), así que x = 0. Es decir, f es mono. Entonces, como N

r(N) $ Fr, también Mf'1(r(N)) $ Fr.

Esto implica que r(M) * f(1(r(N)), y así r es un prerradical.A continuación, mostramos que r * r: Como M

r(M) $ Fr, r( Mr(M) ) = 0. Entonces, por el teorema de

la correspondencia, r(M)+r(M)r(M) = 0, así que r(M) * r(M) para cualquier RM . Notemos también que

r * r =1 Fr . Fr. Pero, además, si M '= M0 $ Fr, entonces r(M) * 0, y así Fr = Fr. En consecuencia,

vemos que r es un radical: Mr(M) $ Fr = Fr, así que r( M

r(M) ) = 0. Por último, supongamos que hay unradical t : r. Como r(M) * t(M), tenemos M

r(M) " Mt(M) $ Ft . Fr = Fr, así que r(M) * t(M), con lo

cual r * t.

Observación 5.24. Si r, s son radicales, entonces r = s si y sólo si Fr = Fs.

Demostración. Basta demostrar la suficiencia: si Mr(M) $ Fr = Fs, tenemos el siguiente cuadrado conmu-

tativo:M "" "" M

r(M)

s(M) ""$!

&&

s( Mr(M) ) = 0$!

&&

así que s(M)+r(M)r(M) = 0, de modo que s(M) * r(M). Simétricamente, obtenemos que r(M) * s(M).

Teorema 5.25. Hay una correspondencia biyectiva entre la clase de radicales en R–mod, R–rad, y lacolección de clases libres de pretorsión.

Demostración. Sea r $ R–rad. Como en la prueba anterior, podemos definir rC(M) = 7{K * M | MK $

C}, que resulta ser el menor radical mayor que r, y tenemos

L*,! $" R–rad %%" L*,

!

C (" rC (" FrC

También tenemos

R–rad %" L#,+$%" R–rad

r (" Fr (" rFr

Veremos que ambas asignaciones son mutuamente inversas:C = FrC : M $ FrC 01 rC(M) = 0 01 M

0'= M $ C. Entonces $ &% = IdL(,

! .

50

FrFr = Fr: M $ FrFr 01 rFr (M) = 0 01 M0

'= M $ Fr, así que por la observación anterior, r = rFr

y luego % & $ = IdR–rad.

Definición 5.26. Una teoría de torsión es una pareja (T,F) de clases de módulos tales que:

1. Hom(T, F ) = 0#T $ T, F $ F.

2. Hom(M,F ) = 0#F $ F =1 M $ T.

3. Hom(T,N) = 0#T $ T =1 N $ F.

Teorema 5.27. (T,F) es teoría de torsión si y sólo si

1. T es una clase de pretorsión cerrada bajo extensiones (es decir, es una clase de torsión)

2. F es una clase libre de pretorsión cerrada bajo extensiones.

3. T = {M | Hom(M,N) = 0 #N $ F}=L(F).

4. F = {N | Hom(M,N) = 0 #M $ T}=R(T).

Demostración. La suficiencia de la condición es obvia.( =1 ) Por otro lado, 3. y 4. son inmediatos de la definición.(1.) T cerrada bajo cocientes: Sean T 8 M

g" M ) y F $ F. Aplicamos el funtor Hom( .F ), que es

contravariante y exacto izquierdo, y obtenemos

Hom(M ), F ) "" ""g"" "" Hom(M,F ) = 0

así que Hom(M ), F ) = 0.T cerrada bajo sumas directas: Sean {Mi}I . L(F), F $ F. Entonces, por la propiedad universal del

coproducto, Hom(/{Mi}, F ) '= /{Hom(Mi, F )} = /0 = 0.T cerrada bajo extensiones: Sean A,C $ L(F), F $ F y 0 " A " B " C " 0 exacta. Enton-

ces, aplicando Hom( .F ), obtenemos 0 " 0 = Hom(C,F ) " Hom(B,F ) " Hom(A,F ) = 0 y luegoHom(B,F ) = 0.

(2,) F cerrada bajo submódulos: Sean A * B $ F, T $ T. Aplicamos ahora Hom(T, ), que escovariante y también exacto izquierdo. Obtenemos entonces 0 " Hom(T,A) " Hom(T,B) = 0 exacta,así que Hom(T,A) = 0.

F cerrada bajo productos: Si {Ni}I . F = R(T) y T $ T, entonces Hom(T,&{Ni}) '=

&{Hom(T,Ni)} =

0.F cerrada bajo extensiones: Sean A,C $ R(T), T $ T y 0 " A " B " C " 0 exacta. Entonces

0 " 0 = Hom(T,A) " Hom(T,B) " Hom(T,C) = 0, así que Hom(T,B) = 0.

Observación 5.28. En una teoría de torsión, cualquier elemento de la pareja determina al otro, puesT = L(F) y F = R(T).

Corolario 5.29. Hay una biyección entre L#,+,ext y L*,!

,ext, donde el subíndice ext quiere decir cerradobajo extensiones.

Observación 5.30. Un prerradical exacto izquierdo es idempotente:

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Demostración. Si 0 " r(A)(+" A

%" Ar(A) " 0 es exacta, entonces 0 " r(r(A))

(|+" r(A)

%|" r( Ar(A) ) es

exacta, así que r(A) = Ker(&|) = Im(,|) = r(r(A)).

También tenemos el siguiente resultado:

Teorema 5.31. Hay una correspondencia biyectiva entre la clase de prerradicales exactos izquierdos,R–pei y L#,*,+.

Demostración. Por la observación anterior, tenemos R–pei . R–pid que es biyectable con L#,+ 5L#,*,+. Recordemos que esta correspondencia está dada r (" Tr y C (" rC . Demostraremos que sir $ R–pei, entonces Tr $ L#,*,+, y que C $ L#,*,+ implica rC $ R–pei:

Sea r exacto izquierdo. Entonces Tr $ L#,+. Si A * B $ Tr, entonces tenemos la sucesión exacta0 " r(A)

(|+" r(B) = B

%|" r(BA ), con lo que r(A) = Im(,|) = Ker(&|) = A, y luego Tr $ L#,*,+.Ahora, si C $ L#,*,+ y 0 " A

(" B%" C " 0 exacta. Entonces tenemos 0 " rC(A)

(|" rC(B)%|" rC(C),

pues ,| es restricción de un monomorfismo. Veamos que esta sucesión es exacta en rC(B). Por un lado,rC(A) . rC(B), A así que rC(A) . rC(B)7A. Por otro, como rC es idempotente, entonces rC(B) $ TrC = C.Entonces, por ser cerrada bajo submódulos, C 8 rC(B) 7 A * rC(B). También, como rC(B) 7 A * A, ladefinición de rC nos dice que rC(B) 7 A * rC(A), así que Im(,|) = rC(A) = rC(B) 7 A = Ker(&|) y rC esexacto izquierdo.

Así, la biyección dada en 5.15 se restringe a una biyección entre R–pei y L#,*,+.

Por último, presentamos el siguiente lema, que se desprende de esta demostración.

Lema 5.32. Son equivalentes, para r prerradical:

1. r es exacto izquierdo.

2. r es idempotente y Tr es hereditaria.

3. Para todo A * B, r(A) = A 7 r(B).

Demostración. ( 1. 01 2. ) Se da por el teorema anterior.( 1. =1 3. ) Si 0 " A

(" B%" C " 0 es exacta, por hipótesis, 0 " r(A)

(|" r(B)%|" r(C) es exacta, así

que r(A) = Im(,|) = Ker(&|) = r(B) 7A.( 3. =1 2. ) Si r(A) * A, entonces r(r(A)) = r(A) 7 r(A) = r(A), y luego r es idempotente. Además,

si B $ Tr y A * B, entonces r(A) = A 7 r(B) = A 7B = A $ Tr.

Ejemplo 5.33.

1. zoc( ) es exacto izquierdo: Tzoc( ) es la clase de los semisimples, que es cerrada bajo submódulos.

2. Rad( ) no es exacto izquierdo: Rad(ZM) = M si y sólo si M no tiene máximos, lo cual ocurre si ysólo si M es divisible. Pero Q : Z que no es divisible, así que TRad( ) no es hereditaria.

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