Notas de apoyo para el curso Primera Edición,...

Derechos de autor: Dr. Oscar Valdemar De la Torre Torres. (Registro en trámite)

Microeconomía de la empresa

Notas de apoyo para el cursoPrimera Edición, junio de 2012

Dr. Oscar Valdemar De la Torre Torres

División de Estudios de PosgradoFacultad de Contaduría y Ciencias Administrativas

Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo(Cuna de héroes, crisol de pensadores…)

Microeconomía de la empresa: Notas del profesor para el alumnoPágina: 2


Uso de estas notas del profesor

Por favor, dese el tiempo de leer esto. Le tomará , a lo mucho, diez minutos.

El objetivo de las presentes es hacer que su aprendizaje sea ameno y simple y que no sienta usteduna presión psicológica tal que solo se enfoque en obtener una buena nota para su promedio o, en elpeor de los casos, simplemente aprobar la materia para continuar con s u licenciatura.

Como lo apreciará tanto en la clase introductoria al curso como en el plan de trabajo del mismopublicado en el sitio que previamente le indicaron, la finalidad del profesor y de las presentes es queusted enfoque sus energías a solamente aprender, estudiar, hacer el trabajo que le asignen yaprovechar el tiempo de clase. Por tanto, estos apuntes tienen un diseño simple pero que se buscasea pedagógico para usted. Adicional a lo ameno que se busca redactar, durante el contenido verádefiniciones que se resaltarán y que será su obligación aprender y memorizar. Tenga usted laconfianza de que no le será complicado recordarlos durante clase. Sin embargo, el conocer estosconceptos le garantizará tener una buena respuesta tanto en las pruebas de control como en lasevaluaciones parciales ya que dichas definiciones y conceptos serán preguntados en las mismas. Porejemplo:

“La Filosofía, como lo señalan los académicos de la Universidad de La Sapienza, se define como‘El conjunto de concepciones sobre los principios y las causas del ser de las cosas, del unive rso ydel hombre”, situación consistente con su origen etimológico ‘Philos’, que significa amigo y‘Sophia’ que significa sabiduría…”

Después del párrafo, usted verá algo así:

Filosofía: El conjunto de concepciones sobre los principios y las causas del ser de las cosas, deluniverso y del hombre.

También podrán venir definiciones, comentarios o fórmulas durante el contenido que no puedensepararse como una definición independiente pero q ue, sin embargo, usted nunca debe olvidar y quese señalan con un fondo gris ya que son clave para su aprendizaje:

Para la definición de contenidos:

“… Como se puede apreciar, gracias a la iniciativa de George Washington y Lafayette, Luis XVIapoyó la independencia de Estados Unidos y mandó a la ruina económica a Francia. Esta ruinageneró la revolución francesa que llevaría a Napoléon Bonaparte al poder. Es entonces que elasenso de Napoléon como emperador y su invasión a España, fue el princ ipal acontecimientohistórico europeo que motivó la independencia de México …”

Este concepto difícilmente lo olvidará al estar resaltado y, a su vez, será la respuesta de unapregunta de prueba de control en clase o examen del tipo:

Maestría en Administración: FCCA-UMSNH Página: 3


¿Cuál fue el principal acontecimiento histórico europeo, adicional a muchos otros suscitados en laNueva España, que motivó la independencia de México?

Usted ya sabe la respuesta (NOTA: la pregunta en un examen puede venir de diversas formas yredacciones, con respuestas de opción múltiple, completar, etc. Este es un simple ejemplo de lecturade las presentes notas)

Para la definición de fórmulas:

“Por tanto, con la derivación previamente empleada, el área de un círculo se define como:

Fórmula 1 área de un círculo:2A r

El Dr. De la Torre espera que estas notas sean de su provecho. No se deje impresionar si cree que esmucho material para estudiar. Ya verá usted que la carga de materia es amena y fácil de llevar.

Es importante señalar que las presentes son una parte fundamental de la materia pero en ningúnmomento se está afirmando que son la única fuente que debe usted estudiar y repasar. En muchasocasiones se revisarán temas y se harán comentarios que pueden no venir en estas líneas y qu e, sinembargo, pueden preguntarse en las pruebas de control o examen. Por tanto, se le sugiere llevar suspropias notas a mano en clase, asistir a la misma y poner atención a todos los comentarios eindicaciones hechos por el profesor para evitar omisione s.

Dr. Oscar De la Torre.



Contenido

Uso de estas notas del profesor ..................................................................................... 2

1 Introducción a la Teoría Económica, la Microeconomía, la macroeconomía y laEconomía de la empresa. ............................................................................................... 6

1.1 Los tres tipos de actividades económicas. ................................ ................................... 6

1.2 Las potenciales áreas de interés de la Microeconomía y su interrelación con las cienciasadministrativas. ................................................................ .................................................... 7

1.3 Definición de empresa y sus objetivos. ................................ ....................................... 8

1.4 Selección racional, utilidad, productividad y eficiencia ¿qué son?, ¿para qué sirven? . 131.4.1 El “homo economicus” y la selección racional ................................................................. ........... 131.4.2 Utilidad y productividad. ................................ ................................................................ ............ 141.4.3 Eficiencia................................. ................................................................ .................................... 14

2 Repaso de conceptos geométricos, matemáticos y estadísticos aplicados al análisismicroeconómico. ......................................................................................................... 17

2.1 Tipos de funciones por sus gráficas y su dimensión. .................................................. 19

2.2 Los elementos de una gráfica (vértices, límites, intersecciones). ................................ 21

2.3 Funciones lineales. ................................................................ ................................... 222.3.1 La pendiente de una función lineal. ................................................................ ........................... 232.3.2 Rectas paralelas y rectas perpendiculares................................. ................................................. 23

2.4 Funciones cuadráticas. ................................ ............................................................. 242.4.1 Propiedades de la función cuadrática ................................ ........................................................ 262.4.2 La forma cuadrática para resolver una función de este tipo en problemas de optimización. ... 27

2.5 Funciones exponenciales................................ .......................................................... 29

2.6 Condiciones que debe cumplir una función ............................................................... 302.6.1 ¿Cuándo se considera como “definida” una función?................................................................ 302.6.2 Unicidad................................ ................................................................ ...................................... 33

2.7 El concepto de continuidad. ................................................................ ..................... 33

2.8 Tipos de funciones comúnmente utilizadas en la Microeconomía y la Economía de laempresa. ................................................................ ............................................................ 34

2.9 Recordemos el concepto de pendiente, tomemos la autopista y vayamos directo alconcepto de derivada................................. ................................................................ ......... 40

2.9.1 Optimización de funciones univariadas................................. ..................................................... 46

2.10 Cálculo diferencial y optimización multivariados. ................................ ...................... 522.10.1 Derivadas parciales de orden superior................................................................. .................. 55

2.11 Optimización multivariada sin restricciones. ............................................................. 56



2.12 Optimización multivariada con restricciones. ............................................................ 582.12.1 Optimización multivariada con restricciones de igualdad. ................................ .................... 582.12.2 Optimización multivariada con el método de los multiplicadores de Lagrange. ................... 60

2.13 Elementos básicos de álgebra lineal para la resolución microeconómicos deoptimización con más de dos variables y restricciones de igualdad y desigualdad. ................ 63

2.13.1 Vectores y matrices (álgebra matricial)................................. ................................................. 64

2.14 Resolución de sistemas de ecuaciones con álgebra lineal. ................................ ......... 73

2.15 Manejo de las restricciones de desigualdad. ............................................................. 75

3 Retomando la selección racional de los agentes económicos. ................................ 78

3.1 La elección racionalmente limitada del consumidor. ................................................. 78

3.2 La elección limitadamente racional del productor ¿cómo debemos acostumbrarnos aelegir en nuestra empresa? ................................................................ ................................. 82

4 Las curvas de la oferta y la demanda en Microeconomía. ...................................... 85

4.1 Curva de demanda. ................................................................ .................................. 86

4.2 Curva de oferta. ................................ ....................................................................... 88

4.3 Estática comparativa y el equilibrio de mercado. ................................ ...................... 89

4.4 Derivación de la curva de la demanda................................. ...................................... 89

4.5 Ejercicio de la derivación de una curva de demanda (repaso del análisis de regresión).90

4.6 Paso dos: el análisis de regresión para nuestra función de d emanda. ........................ 91

4.7 Paso tres: obtener la curva de demanda dada la de la cantidad demandada. ........... 103

4.8 Elasticidad de la cantidad demandada. ................................ ................................... 1044.8.1 Elasticidad precio demanda................................. ................................................................ ..... 105



1 Introducción a la Teoría Económica, la Microeconomía, lamacroeconomía y la Economía de la empresa.

En el presente tema se le introducirá respecto a la definición de Economía, qué estudia, cómo sedivide y qué relación tiene con las ciencias administrativas a las que pertenecen, prioritariamente,la propia Administración, la contaduría y las finanzas como actividad específica de la empresa y lainformática como actividad y medio para procesar información y generan eficiencias en laoperación de la empresa.

En primera instancia se debe observar qué es la Economía.

Economía: Del griego “oikos” (οἶκος) que significa “casa” y “nemo” (νέμω) que significa “administrar”, es la ciencia social que estudia el comportamiento de los individuos a través de lasactividades de producción, intercambio y consumo de bienes y servicios que se consideran escasoso limitados en cuantía.

1.1 Los tres tipos de actividades económicas.

En la economía existen tres tipos que toman todas las acciones citadas en la definición de dichaciencia previamente expuesta:

1. Producción: se refiere a la generación de bienes y servicios que darán satisfacción de lasnecesidades de los agentes económicos como los consumidores. Estos agentes pueden serpersonas, empresas o el Estado ya que los individuos producen trabajo que satisface lasnecesidades de producción de la empresa y esta produce los bienes o servicios quesatisfacen a los primeros. Del resultado de la interacción de personas y empresas nace lanecesidad el Estado para coordinar su intercambio y actividad de consumo o productiva yeste (el Estado) produce las condiciones, infraestructura y medios que requieren losanteriores para hacer su labor.

2. Consumo: Se refiere prioritariamente a los individuos y describe los patrones que estossiguen para satisfacer sus necesidades en virtu d de su capacidad de compra y grado desatisfacción (grado de utilidad).

3. Inversión: Dados los excedentes de los consumidores, empresas y Estado o dadas susactividades económicas, los agentes realizan la inversión que no es más que destinarrecursos como son capital y trabajo con la finalidad de obtener una retribución que lespermita incrementar o al menos asegurar sus actividades de manera intertemporal.

Producción: Actividad económica orientada a la generación de bienes y servicios que daránsatisfacción a la necesidad de los agentes económicos como los consumidores.



Consumo: Actividad económica orientada a la adquisición de bienes y servicios de los individuosdados su nivel de satisfacción y de poder adquisitivo.

Inversión: Actividad económica orientada a destinar recursos, como son capital y trabajo, paraobtener una retribución que les permita incrementar o asegurar sus actividades de maneraintertemporal.

1.2 Las potenciales áreas de interés de la Microeconomía y suinterrelación con las ciencias administrativas.

Si usted tuvo oportunidad de leer las notas del profesor para la asignatura de Macreconomía,podrá observar que inician revisando los tres tipos de actividad económica fundamentales. Esto esasí porque, en dicha materia, se realiza el análisis de las mismas desde una perspectiva a nivelagregado en la sociedad; siendo el caso contrario en la presente en donde se revisa la ejecución delas mismas a nivel individual o nivel monoagente. Es decir, ya no se revisan las mismas midiendoel impacto que tienen en los niveles de producción, empleo e inflación, como un resultadonumérico producto de la selección de los individuos o agentes. Respecto a los supuestos que setomarán para aproximar o modelar el comportamiento o selección se hablará en breve. Baste demomento con observar que ahora se verán estas tres actividades tratando de formalizarcuantitativamente ¿cómo se dan las mismas?

Aunque se hará una revisión de la forma en que un consumidor procede, es imp ortante señalarque se dará un peso mayor a lo que concierne a la producción y, un poco menos a la inversión, alser estas dos actividades más propias de las actividades que se realizan en una empresa uorganización social (gobierno, ONG, A.C., S.C, etc.) y que son la materia toral de interés ya sea deuna asignatura de microeconomía o de modalidad y gestión empresarial en una facultad deEconomía o de un curso de posgrado administración en una facultad de Ciencias Administrativas oafines. Es entonces que, el enfoque que se dará a la propia materia será el correspondiente a unarama del conocimiento de la Teoría Económica llamada Economía de la empresa y algunasnociones introductorias de Economía Financiera. Antes de entrar a la definición de las mismas,será prudente contextualizar la microeconomía para poder, posteriormente, eslabonar elconcepto y definición de la materia de interés.

Ya hemos visto la definición de lo que se entiende por Economía y hemos reiterado que su estudiose puede dar a nivel mono agente (micro) o a nivel agregado (macro). Por tanto, tenemos dosdefiniciones iniciales de interés:



Tabla 1-1 La definición de Economía, su división en macro y microeconomía y las áreas de estudio de cada divisiónteórica.

Hasta este punto, se ha dado una concepción de la materia enfocada netamente a la luz de laTeoría económica. Es en este punto que podría usted preguntarse ¿qué relación tiene esto con laempresa y con el área terminal que me intere sa? Para ello, dejemos esta línea de revisión ypasemos ahora a ver lo que se conoce como empresa y los objetivos que esta busca. En concreto,sus acepciones desde la perspectiva de las Ciencias administrativas.

Antes, sin embargo, es necesario hacer un b reve paréntesis y especificar ¿qué se entiende comoproducción en términos económicos, ya que esta actividad tiene una acepción administrativa queno es conmensurable con la temática que interesa.

Producción: Se refiere a los beneficios (utilidades en términos contables) que la empresa uorganización genera como resultado de su actividad y resulta de restar los costos a los ingresos.

1.3 Definición de empresa y sus objetivos.

En este punto de las notas no se busca hacer una definición exhaustiva ni mucho meno s estableceruna tipología de objetivos ya que esto sale de la óptica de la materia y es propia de otrasasignaturas y líneas de investigación. Baste de momento tomar la definición de empresa.

Cierto es que una definición precisa y puntual es muy complej a. El propio Bueno Campos (BuenoCampos, 2006, p. 25) hace esa observación ya que, en sus propias palabras, “Es un concepto dedefinición compleja que contempla una serie de aspectos o perspectivas de donde puede serestudiado”. Sin embargo podremos hacer un intento elemental partiendo de las siguientesconcepciones generalmente aceptadas del término empresa:

1. “acción ardua y peligrosa que valerosamente se comienza.”2. “Obra o designio llevado a efecto en especial cuando intervienen varias personas.”3. “Entidad integrada por capital y trabajo como factores de producción dedicados a

actividades industriales, comerciales o de prestación de servicios con ánimo de lucro y bajosu responsabilidad.”

De estas tres, la que interesa es la última ya que es la que mejor se ajusta a las prácticas de interésde su curso. Si usted revisa detenidamente esa definición, podrá identificar los tres aspectos en los

Se encarga de estudiar la valuación y elección de losagentes (consumidores, productores oinversionistas) de manera individual o monoagente.Se encarga de estudiar la valuación y elección de losagentes (consumidores, productores oinversionistas) de manera agregada.

Ciencia social que estudia elcomportamiento de los individuos através de las actividades de producción,intercambio y consumo de bienes yservicios que se consideran escasos olimitados en cuantía.

Economía

Microeconomía

Macroeconomía



que la empresa tiene injerencia y que son consistentes con los presentados por e l propio BuenoCampos:

1. Aspecto técnico-productivo: Se asocia a su proceso productivo o de transformacióntécnica de valor.

2. Aspecto económico-financiero: En el mimo se destacan transacciones comerciales ymonetarias en el mercado.

3. Aspecto jurídico y social: Observa el empleo de las personas, los contratos y las relacionestanto internas como las externas (con la sociedad).

De los tres aspectos el que interesa a la microeconomía aplicada a través de la Economía de laempresa y de la Economía financiera es el económico financiero. Es en este en donde se toman lasdecisiones de qué producir, por qué, para quién y cómo hacerlo. Esto lleva a reflexionar que, sopena de ser muy parciales en un inicio, la Economía de la Empresa se encarga de aplicar el análisiseconómico a la empresa para el proceso de toma de decisiones e incluso para la implementación yejecución del proceso administrativo.

Para esbozar de manera propia el concepto de Economía de empresa, es necesario retomar el deEconomía previamente citado y amalgamarlo con el de Administración. Para ello se parte unadefinición planteada por Peter Drucker (1973):

“Es la disciplina de la organización y distribución de los recursos escasos de la em presa paraalcanzar sus objetivos deseados.”

Como puede usted apreciar, existe una convergencia, en especial en la asignación de recursosescasos, entre las dos ciencias. Por tanto, puede ser natural emplear la primera definiciónexistente de la Economía de empresa propuesta por el primer tratado en la materia publicado porDean (1951):

“El análisis económico en la formulación de las políticas de negocio.”

Esta definición y el objetivo tanto de dicha materia como de l presente curso parte de la necesidad,en palabras de Baumol (1961) de realizar una comunión entre los planteamientos del análisiseconómico en el proceso de implementación y ejecución de políticas en la empresa, de t al formaque esta logre sus principales objetivos, en específico los económicos.

Si bien es cierto que existen otros objetivos como el social, que deben ser objeto de cuidado en laempresa, el modelado de los mimos y su impacto en la producción o en la mercadotecnia esobjeto de áreas específicas de estudio que salen de la óptica de la asignatura. Dos buenosejemplos de esto puede ser el caso de la responsabilidad social en una empresa o la producciónsustentable, lo cual puede tener impactos en los nive les de producción (en su acepcióneconómica) o en el nivel de ingresos o posibilidades de acceder al financiamiento.



Por tanto, retomando la definición de administración y economía, veremos, a lo largo de lamateria, que seremos capaces de responder a cuestionamientos como pueden ser:

1. ¿Cuáles son las condiciones económicas en un mercado específico en el que estamoscompitiendo o podríamos competir? Esto nos llevará a preguntas más específicas:

a. ¿Cuál es la microestructura del mercado?b. ¿cuáles son las condiciones de oferta y demanda?c. ¿Cómo se da la entrada, generación y/o transferencia de tecnología y

conocimiento?d. ¿Qué papel juegan las regulaciones gubernamentales?e. ¿Qué factores macroeconómicos inciden en la empresa?

2. ¿Debe nuestra empresa estar realmente en el negocio?3. Si es así ¿Qué precio y qué niveles de producción debemos fijar con el fin de maximizar

nuestra utilidad económica o minimizar nuestras pérdidas en el corto plazo?4. ¿Cómo podemos invertir en nuestros recursos para tener una ventaja competiti va? Esto

lleva a otros cuestionamientos particulares:a. ¿Siendo líderes de costos?b. ¿Por diferenciación del producto?c. ¿Por subcontratación, alianza, fusiones, adquisiciones?d. ¿Qué enfoque territorial debemos tener?

5. ¿Qué riesgos tenemos por delante?

Algo que también se revisa con la ayuda de la microeconomía es determinar los procesos que seplantean para responder las preguntas planteadas. Es decir ¿qué procesos imperan para realizar laactividad económica de la empresa?

1. Proceso de mercado: Se emplean las fuerzas de la oferta y la demanda para resolver laspreguntas de qué, cómo y para quien producir.

2. Proceso de mandato: Se emplea al gobierno o autoridad para coordinar la actividadproductiva ya sea de manera directa o indirecta.

3. Proceso de tradiciones: Se utilizan las tradiciones o costumbres para fijar la actividadproductiva.

Para concretar la interacción entre las ciencias administrativas y la microeconomía, se tiene lasiguiente tabla en donde se opera la misma:

Maestría en Administración: FCCA -UMSNH Página: 11


Ilustración 1-1 Interacción de la Microeconomía y las Ciencias administrativas para articular tanto a la Economía de laEmpresa como a la Economía financiera en la actividad empresarial.

Note usted cómo se esquematizan, en la parte iz quierda los aspectos de análisis de las Cienciasadministrativas que son los propios presentados por Bueno Campos. Es decir, el técnico -productivo, el jurídico-social y el económico-financiero. Al ser la empresa un ente con ánimo delucro por definición, l a empresa buscará emplear de manera eficiente (en breve delimitaremos elconcepto) sus recursos de tal forma que incremente su beneficio económico vía la actividad

Fuente: Elaboración propia basado en Bueno Campos, E. (2006). Curso Básico de economía de la empresa. Un enfoque deorganización. (4a. ed.). Madrid, España: Ediciones Pirámide (Grupo Anaya S.A.); Marín, J. M. y Rubio, G. (2001). Economíafinanciera. Barcelona, España: Antoni Bosch, editor S.A. y Torre Enciso, M. I. (2006). Teoría de Carteras. Colección de notas ymaterial bibliográfico de apoyo para la Clase de Mercado de Capitales. Madrid, España: Universidad Autónoma de Madrid. Dela Torre, O. (2012). Administración de portafolios de inversión en emrcados financieros internacionales para la reserva técnicade la Dirección de Pensiones Civiles del Estado de Michoacán empleando modelos GARCH ortogonales. Tesis para obtener elgrado de Doctor en Ciencias en Negocios Internacionales. UMSNH,

CienciasAdministrativas

Aspectos operspectivas de análisis

Técnico productivo

Jurídico y Social

Económico-Financiero

Producción y creaciónde valor (enfoque

económico)

Interacción con losmercados financieros

para invertir osolicitar

financiamiento

Economía

Microeconomía Macroeconomía

Teoría delconsumidor

Teoría del Productor

Economía Financiera

Teoría de Portafolios

Solicitud definanciamiento

Inversión enMercados

Financieros

Estructura Capital-Deuda óptima y

valuación

Arbitraje yValoración

Equilibrio, selección deportafolios y valoración de

activos financieros.

Economía de laEmpresa

Dirección Financiera



productiva que le caracteriza y la operación de sus activos líquidos (dinero) o promoción de suspasivos (financiamiento) en los mercados financieros a través de la actividad de inversión.

Es en este punto que la actividad de inversión toma dos vertientes de interés:

Inversión fija o real: consistente en invertir capital y recursos (trabajo) en la actividadproductiva de la empresa.

Inversión en cartera o activos financieros: consistente en invertir en instrumentos a plazoo activos financieros que otorguen un ingreso vía el pago de una tasa de rentabilidad.

Dentro de la Economía financiera se contextualizan dos de las tres principales áreas primigenias ofundamentales de interés de la Microeconomía, las cuales se presentan a la derecha. Estas son laTeoría del consumidor y la Teoría del productor.

Teoría del consumidor: Teoría de la Microeconomía que modela el proceso de toma de decisionesdel individuo que busca adquirir o consumir bienes y servicios para satisfacer sus necesidades. Esdecir, para maximizar su satisfacción o utilidad.

Teoría del productor: Teoría de la Microeconomía que model a el proceso de toma de decisionesde la empresa que busca responder cuestionamientos como ¿qué producir?, ¿para quiénproducir? Y ¿cómo producir? Con la finalidad de incrementar su productividad o nivel debeneficios.

La interacción de ambas, en especial al del productor, es el objeto de estudio del análisiseconómico que usted debe aprender a realizar con la finalidad de planear su estrategia deempresa, elaborar su manual corporativo e implementar las políticas y procesos productivos quele permitirán maximizar sus beneficios.

Por otro lado entra la Economía Financiera que busca modelar la elección de la empresa oindividuo ya sea para asignar sus recursos monetarios en activos financieros o para adquirirfinanciamiento de tal forma que su utilidad (sat isfacción) o productividad se maximicen. Por tanto,podemos definir a la Economía Financiera de dos formas:

Economía financiera: “El estudio del comportamiento de los individuos en la asignaciónintertemporal de sus recursos en activos financieros en un e ntorno de riesgo.”

O en términos simples, es la conexión entre las finanzas y la Economía.

De momento, no nos meteremos a detalle en el marco conceptual de las mismas. Solo lasmencionaremos con la finalidad de establecer una interacción de las principal es teorías de laMicroeconomía con los aspectos de interés de las Ciencias Administrativas, de tal forma que usted



pueda contextualizar claramente qué relación existe entre las mismas y, más importante, para queusted pueda establecer claramente ¿por qué e s necesario que usted conozca, domine y aplique elanálisis económico (microeconómico) en la empresa? Por tanto, antes de entrar de lleno aretomar los conceptos de oferta y demanda de la Teoría Económica y la forma en que seoperacionalizan en la Economía de la empresa, será de necesidad revisar algunos conceptos comoson elección racional, productividad, utilidad y eficiencia para, posteriormente pasar a la revisiónde algunos elementos geométricos y matemáticos mínimos indispensable que se necesitan en l amateria, tales como el conocimiento del tipo de funciones, el concepto de optimización, elconcepto de matrices y vectores para resolver sistemas de ecuaciones y conceptos preliminares dederivación que nos ayudarán a resolver los problemas de selección racional.

1.4 Selección racional, utilidad, productividad y eficiencia ¿qué son?,¿para qué sirven?

1.4.1 El “homo economicus” y la selección racional .

A lo largo de la exposición previa se han tocado algunos conceptos que son de toral importanciaen esta asignatura y en el análisis económico. El primero de ellos se refiere a la selección racional.¿qué significa esto? Recuerde usted la revisión histórica que se hizo en la asignatura deMacroeconomía. Si usted no la curso o no tiene fresca la memoria a este respec to, se le sugierebajar dicha revisión de la siguiente liga:

http://www.oscardelatorretorres.com/downloads/materialclase/microeconomia/booklets/Bosquejo_teoria_economica.pdf

o consultarlas en sus notas del profesor para dicha materia. Retomando un poco de las propuestasdel mismo Aristóteles, que llegan a las aport aciones de Smith, el último observó que el individuorealiza su actividad económica y elige siguiendo su propio interés. Esto implicar que buscamaximizar su beneficio. En este sentido, el propio John Stuart Mill empleó el término para haceruna crítica a la política económica y establecer el concepto de la existencia del equilibrio y lo querevisaremos aquí como “competencia perfecta “. Su crítica va en el sentido de que los individuoseligen y proceden económicamente con la finalidad de beneficiarse y, co n las aportaciones deeconomistas del siglo XIX como fueron Walras, Jevons, Pareto o Edgeworth quienes buscaronmodelar la selección del individuo de manera matemática, es que se llega al concepto de individuoque realiza una selección racional.

¿Qué es ese homo economicus o individuo racional? La definición más estricta es una persona quetiene toda la información necesaria para poder decidir, así como una capacidad de procesamientoamplia, de tal forma que maximiza su beneficio el cuál lo modela a través de una funciónmatemática (¿?).



Ciertamente los individuos no tenemos una función matemática en el cerebro, la cual se maximizay mucho menos las empresas tienen una función de productividad a mano, de tal forma quedeterminen cuál es el nivel de produc ción y combinación de activos más apropiada para elindividuo. Mucho menos tienen toda la información disponible para decidir. Por lo tanto, esteconcepto de “hombre racional” es muy limitado en su aplicación práctica ya que no existe talpersona o computadora. Sin embargo, la suposición de una selección racional es la piedrafundamental del modelado económico y, por tanto, será de necesidad presuponer, como loplantean Simon (1955) y Smith (1962) (premios novel de Economía de 1978), que los agenteseconómicos, en especial individuos y empresas, son “limitadamente racionales” por lo que suproceso de selección quizá no sea tan numérico pero sí se aproxima mucho a la forma en que unindividuo racional, en su definición estricta, lo hace. Por tanto, el seguir suponiendo que laconducta del individuo se aproxima con una selección de tipo racional, es lo que nos permitiráemplear este tipo de herramientas, aunque haya otro tipo de formas de selección como son laTeoría prospectiva que incorpora algunas paradojas de la selección aproximadamente racional.

Por tanto, para no enredar las cosas, nos limitaremos a señalar que la selección racional que haceun consumidor, un productor o un inversionista, corresponde a un comportamiento en el que,dada una función objetivo (de utilidad o de producción) y una serie de restricciones materialescomo es el presupuesto con que se cuenta, se busca la maximización de la misma. Dicho esto, esnecesario dar una idea más clara de qué entender por utilidad, productividad y, muy importante,“eficiencia”.

1.4.2 Utilidad y productividad.

Cuando se hable de utilidad, se está pensando en satisfacción. Recuerde usted que esa satisfacciónes la que los individuos buscamos satisfacer y, para ello, nos aglomeramos en sociedades. Portanto, la medida de satisfacción para consumidores e inversionistas (sea individuos o empresas) sedenominará utilidad.

Por otro lado, la utilidad en una empresa tiene una clara connotaci ón contable por lo que elempleo de la misma podría prestarse a confusiones semánticas por lo que, en este caso, seutilizará la acepción de productividad para referirse a la satisfacción o generación de beneficioseconómicos (ingresos menos costos) por parte del productor o empresa.

1.4.3 Eficiencia.

Este concepto es, quizá, el de mayor cuidado en su definición e interpretación a la luz de la teoríaeconómica. Esto se debe a que las diferentes teorías de la microeconomía tienen interpretacioneso aplicaciones diferentes. Digamos que la semántica pasó al segundo plano cuando se acuñó.



En términos del productor o la empresa, que es el tipo de agente que más nos interesa, laeficiencia se refiere a la capacidad de generar beneficios. Es decir, la capacidad de i ncrementar losingresos manteniendo constantes los costos, de reducir los costos manteniendo los ingresos oaumentar los ingresos y reducir los costos. En pocas palabras, se refiere a la capacidad de laempresa para incrementar su productividad. Se dice que una empresa es más eficiente cuando esmás productiva en términos económicos. Por tanto, esta acepción es quizá la más común cuandose emplea el término.

Sin embargo, la eficiencia puede aplicarse también al consumidor. La eficiencia se observa en unapersona cuando esta puede incrementar su satisfacción gastando menos de su presupuesto, omanteniéndolo. Por ejemplo generará una mayor satisfacción un par de zapatos tenis de $100.00contra unos de $200.00 si ambos generan la misma comodidad, sensación de status social ycapacidad de realizar una actividad deportiva. Por tanto, aquí la eficiencia sí que tiene unaaplicación adicional poco común pero también observable.

Otra forma de hablar de eficiencia es ya no solo a nivel mono agente sino a nivel mercad o. ¿Qué esun mercado?

Mercado: Espacio físico o virtual donde interactúan oferentes y demandantes de bienes y serviciospara satisfacer sus necesidades vía el intercambio.

Cuando un oferente y demandante se juntan y realizan un intercambio de bienes o s ervicios. Porejemplo dinero a cambio de unos zapatos tenis, se aprecia que en este intercambio el demandanteo consumidor compra el bien maximizando su satisfacción dadas sus restricciones de presupuestoy teniendo mucha información que le dicen que ese a rtículo es el que le permite hacer unaselección eficiente. Es decir, que no hay otro zapato tenis que se ajuste a su presupuesto y que lede un mayor nivel de satisfacción. Por otro lado, el oferente o productor realiza la transacción deventa creyendo que este es el precio más justo con el que venderá su prenda, la cual fabricó dadasu restricción de presupuesto y observando que es el precio más alto el que puede colocarlapartiendo de las necesidades y presupuestos del consumidor.

Cuando esta condición de amplio conocimiento e información se presenta en los dos agentesestudiados, se dice que el mercado es eficiente o existe una eficiencia informacional, en dondeoferentes y demandantes tienen un beneficio mutuo y que ambos resultan ganadores. Estaconcepción, como nota cultural, se conoce como “equilibrio paretiano” y es un referente teórico.Sin embargo, es claro que ese grado de eficiencia no existe y más en los mercados financierosdonde mucha información relativa al activo finan ciero se desconoce. Por tanto, cuando se hablade eficiencia.

Otra forma de eficiencia se puede definir como el equilibrio simultáneo entre mercados. Ya no entérminos solo de un mercado de bienes y uno de mercado como se estudia en la Macroeconomía



sino en términos de mercados de bienes diferentes. Por ejemplo mercado de zapatos y mercadode manzanas. Si los mercados se encuentran en equilibrio, se dice que existe un cierto tipo deeficiencia en la asignación de los recursos ya que se produce lo que se ne cesida y se está enequilibrio.

Para incrementar la heterogeneidad, la Economía financiera no pudo quedarse atrás y dejar deincrementar la complicación ya que la definición de eficiencia cambia radicalmente al incorporarseel factor “riesgo” en la valuación de los activos financieros. C uando se habla de eficienciafinanciera, se habla de una mayor rentabilidad aparejada de una menor exposición al riesgo. Estoes muy útil al valuar activos financieros, sin embargo, cuando se hace un análisis a nivel mercado,surge de nuevo el concepto de eficiencia informacional que se estudió previamente solo que aquí,se presupone que todos los inversionistas y todos los oferentes comparten la misma información,que no existen datos nuevos y, por lo tanto, nadie puede hacer arbitrajes. Es decir, no se pu edeganar mayor rendimiento al mercado sin dejar exponerse al mismo riesgo que el resto delmercado.

Como las acepciones de eficiencia son amplias, nos limitaremos a rescatar solo dos de ellas para laselección raciónalo dentro de la empresa o en la inver sión: La primera de ellas es lacorrespondiente a eficiencia=productividad. Aquí nos limitaremos a pensar en eficiencia como esomayor producción (ingresos-costos), mayor eficiencia. La segunda de ellas se refiere a la eficienciafinanciera a nivel inversionista. Es decir, lograr la mayor rentabilidad en la inversión con unamenor exposición al riesgo.

¿Cómo determinaremos una mayor eficiencia en el productor o el inversionista? Simple,optimizando la función de producción en el primer caso o la de utilida d en el segundo dadas lasrestricciones de presupuesto o de índole diversa que el agente se pueda plantear.



2 Repaso de conceptos geométricos, matemáticos y estadísticosaplicados al análisis microeconómico.

Como se ha visto en el tema anterior, el modela do matemático de un fenómeno económico osocial se concreta en una ecuación o una función matemática.

Función matemática: Es una regla que se asigna a cada objeto de un conjunto llamado rangoexactamente un elemento de otro conjunto llamado dominio.

Dominio: Es el conjunto de valores que puede transformar una función.

Rango: Los valores que puede tomar el dominio de una función.

Para ilustrar la idea piense en X como el dominio e Y como el rango de la siguiente funciónilustrada:

Por tanto, usted puede pensar en una función como una regla que procesa los datos o cantidadesdel dominio y los transforma en los valores del rango:

Normalmente, una función se denota, de manera resumida, como ( )f x . Esto es, en virtud de sudominio. Por ejemplo: suponga que el dominio X se transforma con una función dada por

( ) 2 3( )f x x

Esto sería, en palabras, que la función del dominio X se da por 2 más tres veces el valor deldominio X. Un ejemplo de función matemática lograda en la Economía sería la regresión delmodelo Ingreso-Consumo estudiado en Macroeconomía. Esto es , dado el dominio Y que es todoslos niveles de PIB, se llega al valor del consumo C con la siguiente serie de pasos o función :



( ) 0.0012 0.18C f Y Y

Esto se interpretaría, en términos econométricos como “El nivel de consumo de México equivaleal 18% del PIB generado más un 0.12%” . Esto, claro está, si y solo si el modelo econométrico queestablecimos fuese correcto. Para determinar si dicho modelo econométrico es válido,revisaremos un breve sub apartado al respecto. Para ilustrar la idea del concepto de función ,piense en los siguientes niveles de PIB:

Gráfica 2-1 nivel de consumo dado el PIB

La gráfica de la función de consumo se daría por:

Ahora que hemos revisado el concepto de función será de interés plantearse ¿para qué esnecesario saberlo y ver todo este sub apartado?

¿Recuerda usted que en el tema anterior se habló de que presupondremos que los agenteseconómicos (productor, consumidor e inversionista) son limitadamente racionales y que buscaránmaximizar una función e producción o de utilidad que mide su grado de satisfacción? Bueno, puesesa función debe ser optimizada y es necesario recordar de qué se trata.

PIB C=0.00012+0.18(PIB)10,000.00$ 1,800.00$12,567.00$ 2,262.06$13,853.00$ 2,493.54$11,987.00$ 2,157.66$12,043.00$ 2,167.74$12,152.00$ 2,187.36$16,838.00$ 3,030.84$

$-

$500.00$1,000.00

$1,500.00

$2,000.00$2,500.00

$3,000.00

$3,500.00

$10,000.00

$11,000.00

$12,000.00

$13,000.00

$14,000.00

$15,000.00

$16,000.00

$17,000.00

$18,000.00

C=0.00012+0.18(PIB)



Ya que visitamos el concepto de función, es de necesidad observar que existen muchos tipos defunciones en la matemática. Sin embargo, no todas estas se aplican para resolver problemaseconómicos como los que estudiaremos así que solo hablaremos de las tres funciones máscomunes como son la línea, la cuadrática y la exponencial. Dejando otros casos de interés comoson las funciones logarítmicas y las recíprocas para su curiosidad personal. Por tanto, dicho esto yantes de entrar al concepto de derivada que es una técnica demasiado sencilla de comprender yaplicas una vez que usted comprenda el concepto de pendiente, será de necesidad distinguir lasdiferencias y similitudes entre una función li neal, una cuadrática y una exponencial .

2.1 Tipos de funciones por sus gráficas y su dimensión.

Para fines de modelado matemático, una gráfica es la representación geométrica de un conjuntode puntos que relacionan el rango con el conjunto de valores de su d ominio. Por ejemplo, lagráfica presentada para la función indefinida relaciona el dominio de los valores x y el rango quetoman los valores y.

La dimensión de una gráfica depende del número de variables que se involucran en el análisis.Como vio usted en metodología, hay variables dependientes, que en Economía corresponden alrango de una función, y variables independientes o causales que corresponden al dominio. En elcaso de los modelos que hemos visto hasta ahora, la dimensión del modelo, dada por la f unciónque lo determina es de dos. Es decir x e y.

Sin embargo, puede darse en caso de tener modelos tridimensionales cuya variable dependienteahora es función de otras dos. Esto sería: ( , )z f x y y se representa de la siguiente forma en elsiguiente ejemplo:

2 2( )( , ) x yz f x y x e



Gráfica 2-2 Función tridimensional.

Con lo anterior, baste a usted con saber cómo determinar la dimensión gráfica que genera unafunción.

Lo que aquí se q uiere presentar, junto con la definición de la dimensión de una función y de laecuación en cuestión, es que la gráfica, de ser factible hacerla, le ayudará a usted a comprendermejor el fenómeno económico o social estudiado, en especial el modelo microeco nómico. Lasgráficas pueden ser puntos, líneas (o rectas), superficies (o planos) y cuerpos (tienen volumen).Usted recordar las siguientes definiciones:

Punto: Es uno de los entes geométricos fundamentales junto con la recta o el plano (superficie) yes una figura geométrica adimensional (tiene dimensión cero ya que no tiene longitud, área ovolumen) que describa una posición en el espacio respecto un sistema de coordenadas.

Línea o recta: Es una sucesión de puntos de una sola dimensión. Es decir esta se puede formar deun conjunto de puntos uno después del otro y solo tiene una dimensión: longitud.

Superficie o plano: Es una sucesión infinita de puntos o rectas que tiene dos dimensiones: longitudy altura.

Cuerpo: Es una sucesión de puntos y rectas (y en ocasiones superficies) que tiene tresdimensiones: longitud, altura y fondo.

En los diferentes problemas económicos y sociales, usted se enfrentará a las gráficas delfenómeno descrito y, de las mismas, usted derivará conclusiones o establecerá la resolución deproblemas al revisarlas. En otras ocasiones, como puede ser una función que depende de cinco

-2-1

01

2

-2

-1

0

1

2-0.5

0

0.5

X

Función tridimensional X*exp(-X2-Y2)

Y

Z



variables (por ejemplo 2 3( , , , , ) 3 2 224zf x y z p q x y p q ), usted será incapaz de tener

una gráfica simple por lo que solo deberá hacer un análisis numérico o, al menos deberáoptimizarlo y resolverlo con la matemática.

2.2 Los elementos de una gráfica (vértices, límites, intersecciones).

Retomemos una gráfica de dos dimensiones:

Gráfica 2-3 Ejemplo de una gráfica con intersección al eje.

Gráfica 2-4 Ejemplo de una gráfica de una función que interseca a otra.

Observe la que la misma tiene señalad os el vértice, que es el punto donde se encuentra el máximovalor de un pico o un valle en una función. En este caso, es un “pico”. La intersección puede ser el

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

-100

-80

-60

-40

-20

0

X

Y

Vértice

Intersección

0 5 10 15 20 25 30 35 40-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800



punto que toca la función el eje x o aquél en que toca a otra función. Los dos casos se present aronen las gráficas anteriores.

2.3 Funciones lineales.

Es la función más simple, en muchas ocasiones la más socorrida y la que nos ayudará a sentar lasbases de la derivación, en específico con el concepto de pendiente de una recta. Una función lineales aquella que tiene una forma funcional dada por:

Fórmula 1 Forma funcional de una función lineal.

( )f x x

Esta, como se mencionó previamente, la intersección, se da por y la pendiente por . Laintersección no requiere definición ya que previamente se explicó de manera gráfica y su noción,para este caso, aplica solo para la intersección con el eje y.

Para dar una idea del concepto de intercepción y pendiente, recuerde usted la recta de regresión(ese tema lo verá en Estadística y Econometría).

Como puede observar, la gráfica, según lo plantea la ecuación de la regresión, interseca a Y enY=0.0012. Por tanto, dicha intersección (α) es el valor de y mencionado.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

4

Número de la observación

Val

or

del

resi

du

al

Residuals

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2

x 104

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8x 10

4

Ingreso (PIB)

Co

nsu

mo

(IN

EG

I)

Datos de Consumo e Ingreso

C = 0.001.2+0.18* YDatos

Regresión lineal



2.3.1 La pendiente de una función lineal.

La Pendiente de una función se da por la razón de cambio del valor de la función (Y) dado elcambio en el valor de X.

Fórmula 2 Fórmula de la pendiente.

( ) cambio en y( ) cambio en x

f xpendiente

x

Por ejemplo, vea usted la ecuación de la recta de regresión de la gráfica 2. Esta da un valor de0.18 . Esto significa que, por cada cambio (unitario o decimal) de x, y cambiará en 0.18. Esto

es:

( ) yy f xx

2.3.2 Rectas paralelas y rectas perpendiculares.

Antes de pasar a revisar el otro tipo de función, será necesario revisar cómo, a la luz de lapendiente, se puede definir una recta como paralela o perpendicular.Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales. Esto se denota como.

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )f x f x x x

La recta 1 ( 1 ( )f x ) será igual a la recta 2 ( 2( )f x ) si y solo si (que se denota como ) sus

pendientes, dadas por los valores βde cada caso , son iguales. Véase una gráfica de ejemplo ycómo la pendiente es la misma a pesar de la diferencia en las intersecciones.

Gráfica 2-5 Ejemplo de dos rectas paralelas.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0 5 10 15 20 25 30 35

Y1

Y2



Ahora, dos rectas son perpendiculares si estas tienen pendiente diferente y esta, en el punto enque se intersecan, forman un ángulo de 90°:

2.4 Funciones cuadráticas.

El otro tipo de función que se empleará será la cuadrática la cual se caracteriza por ser de segundogrado. Es decir, uno de sus términos está elevado al cuadrado. Por tanto, la forma general delpolinomio que caracteriza una función cuadrática es el siguiente:

Fórmula 3 Forma funcional de la fu nción cuadrática.2( )f x xa xb c

La gráfica de una función cuadrática se da de la siguiente forma:

Gráfica 2-6 La representación de una función cuadrática.

Aquí es importante señalar la influencia que tienen los coeficientes , ,a b c . El coeficiente adetermina la pendiente y grado de concavidad de dicha curva. Es decir qué tan amplia y hacia

10 5 5 10

10

5

5

10

y 7 x2

10



dónde (arriba o abajo) debe ser la apertura de la parábola en cuestión. En la plataforma Moodle sele dio acceso a una animación titulada “Animación del comportamiento de una función cuadráticaarchivo”. En la misma usted pude cambiar los valores de los coeficientes como usted pr efiera.

Para ilustrar esto el efecto de los coeficientes y la estrecha relación entre una función lineal y unacuadrática, así como el comportamiento de la función cuadrática, cambie los valores de lasiguiente manera:

Gráfica 2-7 La relación entre la función lineal y la cuadrática (vea tabla de valores de coeficientes a continuación).

Algunas consideraciones que debe tener presente son que la influencia conjunta de loscoeficientes b y c hacen que el vértice de la parábola se mueva de izquierda a derecha y haciaabajo teniendo como límite a c. Para ilustrar esto, parte de la parábola del centro en la gráfica 16 yreplique una parábola invertida (línea roja invertida que logrará seleccionando la opción “show”).Después, siga usted con la animación cambiando solo los valores de b (partiendo los valores de lasgráficas anteriores). Esto lleva a las siguientes formas y su respectiva tabla de resultados:

10 5 5 10

10

5

5

10

yx

10 2

a b c Resultado al que se llega Gráfica

2 0.5 0

Se llega a la forma funcional propia de unafunción lineal interceto-pendiente conintersección en el eje y de 2 y pendiente 0.5. Izquierda

2 0.5 0.5

Se llega a una función cuadrática con mismaintersección y pendiente anterior pero tambiéncon grado de concavidad de 0.5 (parábola abiertahacia arriba). Centro

2 0.5 -2

Se llega a una función cuadrática con misma laintersección y pendiente anterior pero tambiéncon grado de concavidad de -1 (parábola abiertahacia abajo). Derecha

10 5 5 10

10

5

5

10

y x2

2 x

102

10 5 5 10

10

5

5

10

y 2 x2 x10 2



Gráfica 2-8 Cambio de posición en el vértice de la parábola con diferentes valores de b y c.

Note cómo cambios en b y c llevan a diferentes puntos sobre la parábola espejo (roja). Esto lleva aobservar que b indica el desplazamiento a la derecha o izquierda del vértice alrededor de unaparábola original y cómo c indica el punto más alto, en el eje y, al que puede llegar dicho vértice.

2.4.1 Propiedades de la función cuadrática

A continuación, dadas las características previamente vistas en la función cuadrática, se tienen lassiguientes propiedades:

El dominio de la función son todos los números reales ℝ. Si a>0, la parábola abre hacia arriba, si a<0, la parábola abre hacia abajo. El vértice de la parábola se puede determinar por:

,2 2b bfa a

El eje de simetría se da por:

2ba

Las intersecciones con el eje x se encuentran con la forma cuadrática próxima a exponer.

10 5 5 10

10

5

5

10

y2 x2 5 x335

y 3352 x2

y 5 x2

335

a b c Resultado al que se llega Gráfica

0.5 5 2Se llega a una función cuadrática cuyo vértice sedesplazó a la izquierda y hacia abajo. Izquierda

0.5 -5 2Se llega a una función cuadrática cuyo vértice sedesplazó a la derecha y hacia abajo. Centro

0.5 -5 0.5

El valor máximo al que puede aspirar el vértice dela función cuadrática si esta tienedesplazamientos dado el valor de b se da ahorapor 0.5 Derecha

10 5 5 10

10

5

5

10

y2 x 25 x335

y3352 x2 y

335

5 x2

10 5 5 10

10

5

5

10

y2 x25 x335

y 3352 x 2 y 33

55 x

2



2.4.2 La forma cuadrática para resolver una función de este tipo en problemas deoptimización.

Ahora ¿Cómo puede usted hacer para obtener los valores de x que levan a un nivel determinadoen y? como veremos más adelante, cuando usted resuelve un problema de optimización de unasola variable y utiliza derivación pa ra lograrlo, observará en algunas ocasiones que, al aplicar unaderivada a la función que gobierna el fenómeno económico a optimizar, esta le podría llevar a unaderivada dada por una forma funcional cuadrática:

2y ax bx cx

Veremos en optimización que el valor óptimo de una función se encuentra cuando el valor de laderivada es de cero:

2 0y ax bx cx

Para ilustrar obtener el valor de x, se emplea algo que se revisó en álgebra llamado fórmulacuadrática. Esta se da por:

Fórmula 4 Fórmula cuadrática para derivar valores de x en una función de segundo grado.

2 42

b b acxa

Para ilustrar esto, téngase la siguiente parábola que dad por:

22 4 2 0y x xx

10 5 5 10

10

5

5

10

y 2 x24 x2



Quizá aquí usted recordará la condición de unicidad y podría sentirse tentado a creer que este tipode función no cumple con la misma. Sin embargo, también recuerde que la unicidad aplica cuandose tienen dos valores de y para un solo valor de x y no al revés. Dos valores de x que llevan aunmismo valor de Y. Por tanto, esta función sí cumple con el criterio de unicidad.

Para obtener el objetivo logrado (es decir, determinar el valor de x que lleva a y=0) se aplica laforma cuadrática:

2( 4) 4 4 2 2 4 16 16 4 0 4 01

2 2 4 4 4x

Si se revisa la gráfica anterior, se aprecia que efectivamente x=1 lleva a y=0.

Ahora suponga usted que está modelando el impacto financiero que determina producirdeterminada cantidad de piezas de una computadora. Suponga que ese impacto s e da por la

siguiente expresión 22 4 2y x x . Aquí los valores negativos implican comprar las piezas enlugar de producirlas, lo que impacta en el costo final y el margen de beneficio.

Por tanto, usted observa que comprar determinada cantida d x de piezas le incrementa el beneficiodado por la fórmula anterior o producir dicha cantidad x o más también le incrementa el margen.¿Por qué es esto? Simple si usted compra mucho, tiene mejores costos. Si usted produce muchohay un punto donde tiene márgenes negativos pero, posterior a ello, sus costos fijos se prorrateany tiene márgenes de beneficio positivos. Por tanto usted quiere responder ¿Cuánto de debecomprar o se debe producir de determinada pieza para llegar a un margen de costos de cero? Esdecir, llegar al equilibrio financiero.

Para responder esto, simplemente utilice la formula cuadrática:

2( 4) 4 4 2 2 4 16 162 2 4

4 32 4 5.65654 4

9.6565 2.41424

1.6568 0.41424

x

x

x

x

Esto es y por redondeo, producir tres o más piezas le podría generar márgenes de equilibrio ycomprar una o más piezas le podría llevar al mismo resultado. La decisión final entre producir 3 o



más o comprar una o más dependerá de usted. Simplemente aquí se le dice ¿cuánto producir ocomprar en cada caso?

2.5 Funciones exponenciales

Las funciones exponenciales son aquellas que tienen una forma funcional dada por:

Fórmula 5 Forma funcional de una función exponencial.

( ) xf x b

En términos más sencillos, una función exponencial se da por:

Las tres partes de la misma son.( )( ) f xf x b

Y=f(x) es la función o valor de la variable dependiente. b es la base de la función. x es el exponente (número o función como se vio previamente).

La expresión anterior simplemente significa que una función exponencial es una base b que puedeelevarse a una potencia o exponente y este exponente puede ser un simple número o el resultadode una función. La gráfica de una fun ción exponencial puede ser como sigue:

Gráfica 2-9 Una función exponencial

Un ejemplo de este tipo de función es el crecimiento poblacional que puede modelarse con unacurva como la anterior.

0 20 40 60 80 100t0

200

400

600

800

1000Nt r 0.050, N010.0



Una función exponencial puede también ser creciente o decreciente. Es decir, el términoexponencial puede ser positivo o negativo, lo que tiene un impacto en el comportamiento dedicha función. Por ejemplo, un caso de exponente negativo se puede dar por:

Gráfica 2-10 Función exponencial decreciente.

La función exponencial, como veremos en breve, es la base de lo que se conoce comoprogresiones geométricas . Por tanto, el término función exponencial y función geométrica esprácticamente los mismo. Cuando usted lea “es una función geométrica” o “tiene uncomportamiento geométrico” se refiere simplemente a un comportamiento exponencial como elque se está revisando.

2.6 Condiciones que debe cumplir una función

2.6.1 ¿Cuándo se considera como “definida” una función?

En algunos momentos se tiene que observar que la función puede no existir o tener al menos unnúmero real como rango. Para poder completar esta afirmación, es necesario observar los dostipos de números o campos más empleados en la Economía:

Números reales: Se denotan con ℝy comprenden todos los números positivos y negativos contodos los decimales. Este tipo de números son todos aquellos con los que habitualmentetrabajamos como puede ser 1, 2.757394083, 9.1010, -1’029,756,922.0303083081308310823, etc.Algunos otros números que se encuentran en este conjunto son los números naturales ( ℕ), queson los que se utilizan para contar (1,2,3,4,etc.), los números racionales positivos y negativo s (quese denotan con ℚ) que se obtienen como cocientes o divisiones (ejemplo 1/3=3.3333333…), losnúmeros irracionales que son cocientes o divisiones solo de números enteros y el cero (0).

Números complejos: Se utilizan normalmente para resolver raíces cuadradas de números

negativos ( 1 ) y estos se utilizan solo en modelos económicos demasiado complejos.



Para ilustrar una idea genérica sobre la organización de los números reales se tiene la siguienteilustración:

Ilustración 2-1 Conceptualización aproximada de los números reales.

Otra forma de definir que una función existe, es que su rango o conjunto resultados lleve anúmeros definidos Es decir que sean números y no ∞. Por tanto, toda función que lleve a valoresdivididos entre cero es una función indefinida.

Ahora, la función puede no siempre ser definida y tampoco ser siempre indefinida. A veces, enEconomía usted se topará con funciones como esta:

21( )f xx

Gráfica 2-11 Ejemplo de función indefinida.

Observe usted cómo, cuando x=0, la función ( )y f x es indefinida.

Números complejos

Números Reales (hasta donde casi siempre llegamos en la Economía)

Números racionales

Números irracionales

cero

Números naturales ℕ

ℚℝ

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100ejemplo de función indefinida

X

Y



Sin embargo, en la vida real usted no trabajará con todos los número s reales existentes y enocasiones deberá trabajar con fragmentos de estos y aplicar una función, lo cual le permite haceroperaciones y análisis numérico como puede ser una derivada o una optimización.

Por tanto:

Función indefinida: Aquella que en un elemento o número del dominio tiene un valor real que noes infinito.

2.6.1.1 Determinación del dominio de una función.

Como se pudo ver con el ejercicio previo, por cuestiones matemáticas puede darse el caso de queuna función se divida entre cero o que esta de un resultado que no es un número real.

Por tanto, no siempre se dará la oportunidad de hacer análisis en toda la función y se debe definircon qué valores del dominio es apropiado trabajar. Por ejemplo, suponga usted que la gráfica 4 serefiere al nivel de “utilidad” o satisfacción que tiene una persona por solo consumir undeterminado alimento. Esto es, conforme más consume, tiene menor satisfacción.

Es lógico pensar que es solo de interés la parte derecha de la gráfica dado el problema económicoplanteado. Sin embargo, no podrá trabajar con el cero. Por tanto, el dominio de la función se dapor todos los valores arriba y abajo del cero o, si quiere apegarse más a su problema económico, alos valores arriba del cero.

2.6.1.2 Tipos de intervalos en el dominio.

Como tema natural a la afirmación anterior es de necesidad introducir el concepto de intervalo.Este no es más que fijar los límites (a y b) que puede o no tocar el dominio.

Los intervalos pueden ser de tres tipos:

Cerrados: Esto implica que los valores del dominio pueden contener todos los númerosreales entre a y b, incluyendo a los propios a y b. Estos se denotan como: [ , ]a b .

Abiertos: Esto implica que los valores del dominio pueden contener todos los númerosreales entre a y b, excluyendo a los propios a y b. Estos se denotan como: ( , )a b .

Semiabiertos: Esto implica que los valores del dominio pueden contener todos losnúmeros reales entre a y b, y ya sea solo a o solo b. Estos se denotan como: [ , )a b si se

incluye a todos los valores entre a y b pero no se incluye a b o ( , ]a b si se incluye a todoslos valores entre a y b pero no se incluye a a.



Para dar una representación de lo anterior, se tiene la siguiente ilustración:

Ilustración 2-2 Los tres tipos de intervalo en el dominio de una función.

2.6.2 Unicidad

Otro criterio que toda función debe cumplir es el denominado “unicidad”. Quizá en problemas deotras ciencias podrá ser aceptable. Sin embargo, en Economía, en especial cuando llegamos apuntos de optimización se debe tener siempre un mismo valor en el rango en la función para cadavalor en el dominio:

Gráfica 2-12 Criterio de la recta vertical

2.7 El concepto de continuidad.

El concepto de continuidad es de vital importancia en el modelado matemático y su presenciadetermina si una función determinada puede ser diferenciada. Es decir, si tiene derivada o no.Para ilustrar de manera gráfica el concepto se tiene la siguiente grá fica que sale de la animaciónde Mathematica presentada en su plataforma Moodle y que se titula “Grafica de existencia delímites y continuidad archivo”:



Gráfica 2-13 la gráfica de una función por partes y los intervalos en los que es continua y los valores de x donde no loes.

Por ejemplo, usted puede ver que, cuando 2c , la función no tiene valor ya que no hay ningunadefinida para ese punto específico (vea bien la función por par tes). Es entonces que la función esdiscontinua en ese punto. Ahora, observe usted cuando 0c . Aquí si existe un punto definido.Sin embargo, este es totalmente diferente en valor de la función cuando la sucesión se aproximapor la izquierda ( (2,0)ix ) y lo es también cuando se aproxima por la derecha ( (0,3)ix 0029).

Cuando el valor de la función cambia drásticamente. Es decir, hay un salto de un punto a otrodentro de la sucesión de valores en x, se dice que la función tampoco es continua.

2.8 Tipos de funciones comúnmente utilizadas en la Microeconomía y laEconomía de la empresa.

Una de las principales situaciones que se presentan cuando uno revisa de manera introductoria losconceptos de microeconomía es lo relativo a conceptos como las curvas de indiferencia o lascurvas de isocostos e isocuantas. En la mayoría de los libros de microeconomía y Economía deempresa se exponen descripciones intuitivas del concepto. Sin embargo, su grado de simplicida dllega al punto en el que no se logra hilar el concepto de optimización con la esencia de las mismas.Para exponer esto y en consistencia con el tema de funciones previamente descrito, se leexpondrán las gráficas de los principales tipos de función que r evisaremos en el presente curso yse harán interpretaciones, netamente intuitivas, de su significado.

fx2 x32 x 2log x 2 2 x 03 x 0

x21 0 x 3

cos x x 3

limx2

fxD.N.E

2.a6 4 2 2 4 6

x

3

2

1

1

2

3

y



En primera estancia se revisará el tipo más simple de función existente: la lineal. Recuerde usted laforma general de una función lineal univariada:

( )f x x

Ahora vea usted una función lineal multivariada en donde existen dos variables:

1 2( , )f x y x y

En la siguiente gráfica se le presenta una función de demanda para el caso univariado y para elcaso multivariado:

( ) 3 0.6f x x

( , ) 3 0.6 0.4f x y x y

Gráfica 2-14 Una función de demanda lineal univariada y el caso multivariado.

En la gráfica de la derecha usted puede observar lo que ha aprendido de otros cursos deEconomía, conforme el precio baja, la demanda del artículo (Q) se incremental Ahora, en la gráficade la derecha se le presenta el caso de dos artículos en donde se rel acionan las diferentescombinaciones de precio y cantidad demandada en los dos artículos. De esa gráfica, es necesariodestacar dos cosas. La primera de ellas es el plano en el eje x en donde se presenta en nivel deprecio que se relaciona con el nivel de artículos demandados. La segunda es el mapa de rectas demúltiples colores que se exponen en el plano x,y. Ese plano identifica los diferentes niveles de

0 1 2 3 4 5 6 70

1

2

3

4

5

6

7

QArtículo 1

Función lineal univariada -Demanda de un artículo- 3-(0.6*QArtículo 1)

Pre

cio

-6-4

-2 02

46

-6

-4

-2

0

2

4

6

-5

0

5

10

QArtículo 1

Función lineal multivariada -Demanda de dos artículos- 3-(0.6*QArtículo 1)-(0.4*QArtículo 2)

QArtículo 2

Pre

cio



demanda (artículos o de Q) que se logran tanto en el artículo 1 como en el 2, los cuales llevan almismo nivel de precio. Observe cómo opera ahora un código de colores. En donde, como undiagrama de temperatura, mientras más roja sea la línea, mayor será el precio y la combinación dela demanda conjunta (Q) de los artículos 1 y 2 se encontrará más a la izq uierda.

Esta concepción nos permitirá concebir de mejor m anera los conceptos de isocuantas y curvas deindiferencia que nos llevarán a la revisión gráfica y analítica de los siguientes temas.

Ahora revisemos otro caso muy común, el de una función cuadrát ica. Recuerde usted la formageneral de la misma:

2( )f x xa xb c

Ahora se le presenta usted el ejemplo de la función de utilidad o beneficio de un inversionista (enbreve revisaremos un poco más sobre el concepto) la cual se puede modelas con una funcióncuadrática. Para ello se le presentan los siguientes casos tanto univariado como multivariado:

2( ) 0.9 6 3f x x x 2 2( , ) 0.9 0.9 6 7 3f x y x y x y

Las mismas se grafican a continuación:

Gráfica 2-15 Una función de utilidad cuadrática univariada y el caso multivariado. El caso de una función de utilidad.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

QArtículo 1

Función cuadrática univariada -Utilidad del individuo- 3-(0.6*QArtículo 1)-(0.9*(x 2))

Pre

cio

-6-4

-20

24

6 -6

-4

-2

0

2

4

6

-150

-100

-50

0

50

QArtículo 2

Función cuadrática multivariada -Utilidad del individuo- 3-(0.6*x)-(0.4*y)-(0.9*(x2))-(0.9*(y2)

QArtículo 1

Pre

cio



En la parte izquierda se observa cómo la satisfacción o utilidad del agente se va incrementandohasta que llega al pu nto dado por:

6 3.333...2 2( 0.9)

x

x

ba

73.3889

2 2( 0.9)y

y

ba

Es decir, en la gráfica de la izquierda, se llega al máximo de la función cuando el agente consume3.333 unidades del bien en estudio. A su vez, en la gráfica de la derecha, se presenta la función deutilidad del mismo agente pero ahora debe de decidir cuá nto del artículo 1 y cuánto del 2 debe

adquirir para maximizar su utilidad o satisfacción. Según la resolución simple que se hizo

empleando las propiedades de la función cuadrática, se tiene que debe consumir 3.333 y 3.3889del artículo 1 y del 2 respectiv amente. Esto se puede apreciar a simple vista en la gráfica, en dondeel punto máximo (vértice de la campana o paraboloide) se encuentra en el centro de una serie de

elipses concéntricas en el plano x,y. Estas elipses tienen la misma interpretación de las curvas dedemanda previamente revisadas. El código de colores es el mismo. Mientras más rojas sean las

elipses, mayor será la utilidad o satisfación del individuo ante esa combinación de adquirir elartículo 1 y el 2. En el centro de todas esas elipses se ubica el lugar geométrico del máximo

buscado y el resto de elipses denotan todas las posibles combinaciones de artículo 1 y 2 que llevanal mismo nivel de satisfacción o utilidad. Por ejemplo, siguiendo la lógica presentada, usted podrá

apreciar que la el ipse color marrón presenta todas las posibles combinaciones de los dos artículosque llevan a un mismo nivel de utilidad, el cual es superior al de las combinaciones de artículo 1 y2

que se encuentran en la elipse amarilla o en las azules.

Estas elipses son lo que en visitas posteriores conoceremos como curvas de indiferencia, ya que le

será indeferente al agente elegir en eas posibles combinaciones de artículo 1 y 2, dado que le

presenta la misma satisfacción o beneficio. Usted verá las mismas en la mayoría de los libros de

microeconomía y en buena parte de este curso como sigue:



Gráfica 2-16 Mapa de curvas de indiferencia (cortes de nivel de la función de utilidad) para el caso multivariado de lafunción de utilidad.

Note cómo efectivamente el punto que maximiza la utilidad es el dado por (3.333…,3.3889) y de

ahí emanan múltiples curvas de indiferencia que reportan menor satisfacción. Esta concepción la

veremos a mayor detalle cuando estudiemos la elección racional del consumidor.

Por último, y haciendo a un lado la función exponencial que tiene interpretaciones gráficas

similares, veamos una función cúbica como puede ser el ejemplo de una función de producción o

generación de beneficios en una empresa:

3 2( ) 0.3 0.9 3f x x x 3 3 2 2( , ) 0.3 0.3 0.9 0.9 3f x y x x x y

x

yCurvas de indiferencia

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6



Gráfica 2-17 Una función de utilidad cúbica univariada y el caso multivariado. El caso de una función de producción.

En la parte izquierda de la gráfica se expone el caso univariado en donde el incremento en laproducción del artículo 1 merma los noveles de beneficios o producción de la empresa, hasta elpunto en que genera una reducción de su estructura de costos que le permitirá tener utilidadespositivas. Afortunadamente, el punto en donde se tienen pérdidas, para este ejemplo de función,es en los valores negativos, por lo que la producción máxima de la empresa se logra en 3.89.

En la parte derecha se puede apreciar el caso multivariado así como las múltiples curvas deisocuantas que se presentan en la siguiente gráfica:

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

QArtículo 1

Función cúbica univariada -Producción- 3-(0.6*QArtículo 1)-(0.9*(x2))

Pre

cio

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Función cúbica multivariada -Producción- 3-(0.6*x)-(0.4*y)-(0.9*(x2))-(0.9*(y2)

QArtículo 1

QArtículo 2

Pre

cio



Gráfica 2-18 Mapa de curvas de isocuantas (cortes de nivel de la función de producción) para el caso multivariado dela función de utilidad.

Dichas curvas de isocuantas, al igual que las curvas de indiferencia, representan las diferentescombinaciones de los artículos 1 y 2 que llevan al mismo grado de producción. En la misma seaprecia el punto donde se maximiza la producción con dichos artículos.

Una vez que visitamos las aplicaciones de conocer varios tipos de funciones en microeconomía,revisaremos ahora los conceptos de derivada que nos ayudará en dos cuestiones prácticas desuma importancia: calcular de una manera más directa el concepto de elasticidad y llevar a caboproblemas de optimización.

2.9 Recordemos el concepto de pendiente, tomemos la autopista yvayamos directo al concepto de derivada.

El concepto de derivada es más sencillo de lo que el nombre o, al menos, la creencia general lopresenta. Para conectarlo bien se debe de tener presente el concepto de pendiente como uncambio en el valor de la variable dependiente dado el cambio presentado en la variableindependiente. Esto es:

x

yCurvas de isocuanta

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6



yx

Ahora, recuerde usted que el valor de y no es más que el resultado de la función ( )f x y por loque a pendiente se puede expresar como sigue:

( )y f xx x

Posterior a esto, podemos definir el cambio en y o en la función como ( ) ( ) ( )f x f x x f x .Esto nos permite expresar la pendiente como 1:

( ) ( ) ( )y f x f x x f xx x x

Esto implica que la pendiente de la derivada se da en función de valores discretos de ( )f x x ,( )f x y x pero no siempre se conoce la magnitud de x o la de ( )f x x . Esto lleva a la

limitante de que no se pueden calcular pendientes cuando se desconocen estos puntos. Otroproblema puede también venir a relación. Imagine usted una función cúbica como la previamentevista. Cuando usted quiera calcular la pendiente en diferentes puntos de la misma observará que estacambia. Un ejemplo se da en la siguiente secuencia de gráficas:

1 Si usted observa detenidamente la expresión que se le da hasta la derecha, observará que coincide conalgo llamado “cociente incremental”, el cual es un concepto propio de los libros de análisis matemático ycálculo. Esto es así porque dicho cociente incre mental no es más que una pendiente. Es decir, es una formafuncional que se puede, a su vez, aplicar a funciones ( )f x , de tal forma que estas se transformen defunciones originales a funciones generales de pendiente, lo que es la esen cia de la derivada.

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 5.460

f0.731.547

f xx2 4 x5



Gráfica 2-19 Secuencia del cambio de la pendiente de una función ante diferentes valores de x.

Note usted cómo en diferentes puntos iniciales de x, en relación a un valor fijo de x (línea negra),la pendiente (cuyo valor se marca con una letra “k” roja) es diferente. En este caso específico, dadoque ya apreció que la pendiente de la función en diferentes valores de x cambia para esta función yen base al hecho de que usted puede no siempre conocer o definir con reglas claras el valor de xque debe utilizar, usted podría plantearse ¿Cómo puedo hacer para tener una forma de calcular lapendiente que parte de un punto x, independientemen te de la función ( )f x utilizada, el valor queadopte x y desconociendo en valor de x ?

La respuesta es muy sencilla: Se utiliza una derivada, la cual podemos definir de manera muysimple o intuitiva como sigue:

Derivada: Es una función o regla generas que se deriva de la función ( )f x original y que nosservirá para calcular la pendiente de una función en cualquier valor de x y partiendo de que x esinfinitamente pequeño.

Analicemos detenidamente esta definición: La derivada es una función que sale de la funciónoriginal ( )f x . Como podemos o no conocer el verdadero valor de x y queremos tener una reglageneral para calcular pendientes, lo que se hace es suponer que el valor de x se aproxima a cero(es decir 0x ). Es decir, tiene un valor infinitamente pequeño.

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 0.700 f 1.658.878

f xx2 4 x 5

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 3.280

f 3.646.310

f xx2 4 x 5



Para darse una idea de ¿qué tan pequeño? Diga usted ¿cuál es el número que sigue del cero?Ciertamente no es el 1 ya que 0.1 es más pequeño y está entre cero y 1 (se dice 0.1 [0,1] en donde es un símbolo que sign ifica “pertenece a”. En este caso pertenece al intervalo de númerosformado por el cero y el uno). ¿Entonces será 0.1 el que sigue? Pues tampoco ya que 0.01 seencuentra en la misma situación del 0.1 Usted puede seguir de manera infinita a valores como

5'000,000.001 10 y aún así no llegar a la respuesta. Entonces, aunque no conocemos el valorverdadero de ese número que sigue del cero, sabemos que existe (como nuestro hombre racional).Por lo tanto ese número recibe el nombre de infinitésima o mónada y se denota como x osimplemente dx (ya es a gusto de usted). Entonces, si decimos que x se adopta un valorinfinitamente pequeño, lo que estamos implicando es que 0 ox x x . Es decir, laderivada, a nuestros ojos no es más que una pendiente común y corriente en donde se cambia xpor x . Esto es:

( ) ( ) ( )y f x f x x f xx x x

Bien podría preguntarse ahora como no conocemos el verdadero valor de x , ¿qué podemos hacerentonces para calcular la pendiente ya que x va en el denominador. Para responder eso se aplicandos cosas que aquí no se revisarán pero que son muy sencillas de comprender y que se dejan para sulectura complementaria en la bibliografía de Tan (2005). Para usted será solo de interés trabajar conuna serie de formulitas generales que Newton, Leibniz y otros matemáticos han derivado que sellaman reglas de derivación. Para poder comprenderlas, metamos un poco más de notación. Hastaahora hemos dicho que la derivad a se da por la expresión anterior. Y Hemos dicho que elnumerador no es más que el cambio en y o el cambio en el valor de la función. Si se ha definido alcambio en x de manera infinita o infinitesimal, se puede hacer lo propio con el cambio en y:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )y f x f x x f x y f x f xx x x x x x

Si usted aprecia, lo que está hasta la derecha no es más que la notación general de cualquierderivada que puede usted leer en cualquier libro de cálculo, o en libros más técnicos de economía,econometría, Estadística o microeconomía, por citar algunos casos. Ya que se tiene la definición dederivada y su notación, esperando haya quedado claro el concepto, es necesario reafirmarlo demanera visual para comprender ¿por qué se dice que el valor de x es infinitamente pequeño (

0 ox x x )? Vea usted la siguiente gráfica:



Gráfica 2-20 La pendiente de una función al que el cambio de x se convertirá en un valor infinitamente pequeño(gráfica 1 de secuencia).

Entre el punto Q y el P hay una variación en x ( x ) que se denota en el eje de las x con una líneaverde que lleva la letra “h”. Note también que entre los dos puntos hay una recta café a la que, como

cualquier línea recta, se le puede calcular una pendiente (( ) ( )f x x f x

x

). El valor de la

misma se presenta con la anotación “secant slope” que, en español significa “pendiente de lasecante2”. También puede apreciar el valor de 2.328h x . ¿Qué pasa si hacemos más chico elvalor de h a 1h x ? Se tendría la siguiente línea:


2 SEcant= secante, slope=pendiente.

Q

P

P 4.328, 18.7316h 2.328

secant slope 6.328

h1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35tangent to y x2 at Q 2, 4

Q P

P 3, 9.h1

secant slope5.

h1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35

tangent to y x2 at Q 2, 4



Note cómo cambió la pendiente. Ahora si se pone este valor h x x , se llega a la siguietegráfica.


Usted podrá preguntarse ¿Y para qué tanto trabajo al hacer que h x x ? Muy simple, si ustedno conoce el valor de x o la función tiene pendientes cambiantes en todos los valores de x (comoen la secuencia de gráficas anterior), usted tendrá la seguridad de que, aunque el valor de x le seadesconocido, siempre es el mismo y para usted será const ante a la luz del cálculo diferencial. Por lotanto, como un valor x que puede ser conocido o desconocido y uno de x , le sirven paracalcular pendientes que es lo que nos interesa, podemos tomar a x y aplicar una regla generaleslogradas por los matemáticos previamente mencionados. Estas reglas se llaman reglas de derivadasy algunas de las más comunes son:

Regla del exponente (es la más útil):1n nd x n x

dx

Ejemplo: 2 2d

x xdx

.

Regla de la constante (La más simple):

0d cdx

Ejemplo: 3.1416 0ddx

.

Regla de la suma o de la resta:

[ ( ) ( )] ( ) ( )d d df x g x f x g xdx dx dx

Q

P

P2.00001, 4.00004h0.00001

secant slope4.00001

h1 2 3 4 5 6 7

5

10

15

20

25

30

35tangent to y x2 at Q 2, 4



Ejemplo:2 2( ) [ 3 2] 3 2

2 3 0 2 3

d d d d df x x x x x

dx dx dx dx dxx x

.

Regla del producto:

[ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )d d df x g x f x g x g x f xdx dx dx

Ejemplo:2 2 2

2 2

[2 3 ] 2 3 3 2

2 3 3 4 6 12

d d dx x x x x xdx dx dx

x x x x x

.

Regla del cociente o división:

2( ) ( ) '( ) ( ) '( )( ) ( )

d f x g x f x f x g xdx g x g x

Ejemplo:

2 22 2

2 2

2 3

2

3 2 2 (3 )2 3 4 2 3[ ]

3 (3 ) 3

12 6 2 43

d dx x x xd x x x x xdx dxdx x x x

x x xx

Estas son las reglas de derivación que más podrían presentársenos de momento a lo largo de laspresentes notas. Usted puede apreciar que prácticamente la dos reglas más utilizadas son la de laconstante o la del exponente y que reglas como la de la suma no son más que separar por partes otérminos la suma, resta, multiplicación o división y utilizar la del exponente y la constante (recuerde

que 1 1 1 01 1 1 1 1d dx x x xdx dx

).

Ya que se tiene claro el concepto de derivada como equivalente a una pendiente dond e la variaciónen x es infinitamente pequeña, se procede a revisar el concepto de optimización de funcionesunivariadas.

2.9.1 Optimización de funciones univariadas.

¿Recuerda usted que una de las razones que orilló a matemáticos como Newton y Leibnitz ainventar el concepto de derivada fue el hecho de que la pendiente de una función es cambiante endiferentes valores de x? Ya que cada claro el concepto de derivada como pendiente veamos el casoen donde 2( )f x x que, aplicando las reglas de la derivada (usted investigue cuál o cuáles), nos

da3 2'( ) 2f x x xx

. Si usted grafica primero la función original ( ( )f x ) en un plano

cartesiano y la derivada ( '( )f x ) en otro, llegará a la siguiente gráfica:

3 A partir de este punto se puede utilizar las siguientes notaciones como equivalentes:



Gráfica 2-23 Optimización de una función cuadrática (el caso de un valor de x que no es óptimo).

A la izquierda se presentan todos los valores de la función original ( 2( )f x x ), dados los valores

de x. A la derecha se presentan los valores de la derivada ( 2'( ) 2f x x xx

). Por ejemplo,

cuando x=5, 2 2( ) 5 25f x x y el valor de su derivada se da por '( 5) 2( 5) 10f .Estos se exponen y se marcan de manera respectiva. ¿qué pasa si ahora hacemos que x tome lossiguientes valores: 5, -2,2,0.5,-0.5,0?

La respuesta se presenta a continuación en la siguiente tabla y secuencia de gráficas:

Note usted cómo, cuando x=0, el valor de la pendiente o de la derivada es cero. Si usted graficaesto, llegaría al siguiente caso:

( ) ( ) '( )df x f x f xx dx

En donde al primer caso se le conoce como “notación de newton” y a '( )f x como notación de Lagrange dequien hablaremos un poco más en breve.

X f(x) f'(x)5 25 10

-2 4 -42 4 4

0.5 0.25 1-0.5 0.25 -1

0 0 0



Gráfica 2-24 Optimización de una función cuadrática (el caso del valor de x que es óptimo).

Como puede usted apreciar en la función original, el valor mínimo (u óptimo) se da cuando x=0. Esdecir, su la función de costos de su empresa fuera cuadrática ( 2( )f x x ), el punto de producciónóptimo de la misma sería cuando no produjera. Es decir x=0, ya que ahí no incurre en costos. Portanto, el óptimo que minimizaría sus costos se daría por x=0. Nota también cómo en el mismo elvalor de la primera derivada es cero. O sea '(0) 0m f . Cuando se llega a valores de cero en laderivada, los puntos que se dan como el caso de x=0 y f(x)=0 se denominan puntos de inflexión.Estos puntos de inflexión no siempre resultan ser el punto óptimo; son simplemente puntos decambio de comportamiento. Un ejemplo sería el siguiente caso en donde se llega a un punto dondela derivada es de cero pero aquí no se maximiza ni se minimiza la función como en la gráficaanterior:

Gráfica 2-25 El punto de inflexión de una función que no tiene óptimos.

Usted puede aprecias que el valor de la derivada, graficado a la derecha, es de cero pero este puntono es un óptimo (no minimiza ni maximiza la función). Por tanto, este punto, para fineseconómicos, no es de utilidad alguno.

Si regresamos a la premisa de una racionalidad limitada con la que trabajaremos como supuesto,podemos observar que lo que nosotros queremos hacer como consumidores es maximizar nuestrasatisfacción o, como empresarios o productores, maximizar nuestra producción (beneficios) y, sillegamos a un punto en donde puede seguirse maximizando la función, como es el caso del puntograficado, entonces ese punto no es el que cumplirá con la premisa de maximizar nuestra utilidad oproducción. Por tanto, ese punto no nos interesa.



¿Qué hacer entonces? Se apela al criterio de la segunda derivada. ¿Qué es la segunda derivada?Muy simple es la derivada de la derivada. Por ejemplo, en la función 2( )f x x se tienen lassiguientes primera y segunda derivadas -observe bien la notación f’(x) y f’’(x)-:

2

22

'( ) 2

''( ) 2 2

x f x xx

x f x xx x

La interpretación intuitiva de la segunda derivada es muy simple: si la derivada es la razón decambio de la función original ( )f x , entonces la segunda derivada es la razón de cambio de larazón de cambio. Es decir, dice cómo cambia l a pendiente.

Para ilustrar esto tenga usted la siguiente gráfica de la función de utilidad de un a persona que nosdice cuántas hamburguesas es bueno que comamos para maximizar nuestra satisfacción (

2( ) 4 5f x x x ):

Note cómo el punto donde se presenta el máximo (x=2) tiene una primera derivada de:

2

2

'( ) 4 5 2 4

'(2) (2 ) 4 0

f x x x xx

f

y una segunda derivada de:

22 4 5 ''( ) ( 2 4) 2

''(2) 2

x x f x xx x

f

2 2 4 6x

5

5

10

y

k 0.000f 2.009.000

f 2.000.000f 2.002.000

f xx2 4 x 5



La gráfica nos dice que el valor de x=2 es el óptimo de la función, que su derivada valuada en esepunto es de cero y su segunda derivada vale -2, es decir, el valor de la segunda derivada es diferentede cero. Por lo tanto, se puede llegar a la siguiente serie de pasos para obtener el óptimo de unafunción univariada:

1. Calcular la primera derivada de la función original '( )f x .2. Aplicar un poco de álgebra elemental al igualar la derivada a cero.3. Obtener el valor óptimo de ( *x ) al despejar el valor de x en la función planteada con el paso

anterior.4. Calcular la segunda derivada de la función original ''( )f x .5. Evaluar la segunda derivada con el valor óptimo dado por *x .a) Si el valor de la segunda derivada es diferente de cero, se llegó al óptimo.b) Si el valor de la segunda derivada es igual a cero, no se llegó al óptimo y, por lo tanto, el

problema de optimización no tiene solución.

Para dar idea de esto sigamos el ejemplo anterior en donde la función es 2'( ) 4 5f x x x .Sigamos los pasos como se expusieron anteriormente:

1. Se determina la primera derivada de la función original:2( ) '( ) 4 5 2 4f x f x x x x

x x

2. Se iguala la primera derivada a cero:2 4 0x

3. Se despeja x:2 4 0

42

2

x

x

4. Se calcula la segunda derivada de la función original:2

( ) ''( ) 2 4 2f x f x xx x

5. Se evalúa la segunda derivada con el valor de * 2x . Se puede apreciar que, como lasegunda derivada es una constante (2), el valor buscado se da por.

''(2) 2 0f 6. Como el valor de la segunda derivada es diferente de cero, se concluye que el valor de x=2

nos lleva a maximizar la satisfacción o utilidad del consumidor.

En términos del problema planteado, podemos observar que, si la función de utilidad2( ) 4 5f x x x nos modelaba la satisfacción percibida con la cantidad de hamburguesas que

comemos, podemos observar que dos hamburguesas nos podrí an llevar a la máxima satisfacción,observando que comer 3, ya no nos generaría la misma satisfacción que la primera y la segunda.

Esto es muy sencillo de corroborar. Si usted evalúa la satisfacción lograda al consumir 1,2 y 3hamburguesas, observaría los siguientes niveles de utilidad o satisfacción:



Ahora, aquí la primera derivada tiene otra aplicación adicional a ser un instrumento para derivar elnivel de hamburguesas que nos genera la máxima satisfacción: Nos indica el beneficio marginal(adicional ya sea positivo o negativo) que nos genera el comer una hamburguesa más de las queactualmente hemos consumido. Por ejemplo, sea la primera derivada de la función de satisfacción

por el consumo de hamburguesas ( ) 2 4f x xx

y si ya hemos consumido una hamburguesa

(x=1), entonces el beneficio adicional que obtendríamos por consumir una hamburguesa más sería:

( ) 2(1) 4 2f xx

Esto se puede apreciar en la tabla de utilidad o satisfacción anterior en donde comparamos lasutilidades generadas. El valor de 8 nos sugiere que, nuestro novel de satisfacción podríaincrementarse en 2 unidades. De entrada le podría brincar que los números no cuadren con la tablaanterior ya que comer de 1 a 2 hamburguesas nos incrementa la satisfacción en solo una unidad (de8 a 9). Sin embargo, recuerde que la derivada es una aproximación de la derivada original recuerdeno es lo mismo comer una hamburguesa más que un pedazo infinitamente pequeño de hamburguesaequivalente a ( x ). Sin embargo, la derivada es una buena aproximación de los anterior y nos llevaa las mismas conclusiones.

Ahora, si consumimos 2 hamburguesas y queremos saber ¿qué pasaría si comemos otra?, la primeraderivada nos dice:

( ) 2(4) 4 0f xx

O sea, que no tendríamos una utilidad mayor si comemos 3 por lo que, un consumidor “racional”diría “solo comeré 2 hamburguesas para maximizar mi satisfacción” ¿Qué pasa si decide comer 3 yno 2? Es decir, se vuelve irracional. Pues, como la tabla anterior sugie re, su satisfacción se reduciríade 9 a 8. Por ejemplo, podría ya no gustarle el sabor o indigestarse (lo que ya no es satisfactorio).

Por tanto, la primera derivada, aparte de ser una herramienta que nos ayudará a encontrar el nivel deconsumo o producción óptimo, nos indica la satisfacción, producción o costos marginales que setendrían ante diferentes niveles de estos, tal como vimos q ue, dado un nivel x de consumo de

hamburguesas, la utilidad marginal por comer otra se incrementaría en ( )f xx

.

Cuando hablemos de elasticidades, de costos marginales y de producción marginal, este conceptoquedará con mayor claridad. Baste de momento la interpretación de la primera derivada como unpotencial indicador de que el valor de *x es óptimo.

x U(x)1 82 93 8



2.10 Cálculo diferencial y optimización multivariados.

El algoritmo o serie de pasos de optimización previamente visto resulta muy sencillo ya que seresuelve con simplemente calcular la primera derivada de la función ( )f x original, igualarla a ceroy despejar la variable de interés. Una vez que se verifica que se llegó a un óptimo con el criterio dela segunda derivada, el problema está resuelto.

Sin embargo, la vida cotidiana nos presenta elecciones más amplias en el sentido de que no siemprese elige por la cantidad de un bien a consumir o producir, sino más bien debemos destinar nuestrosrecursos limitados a varios de ellos con la finalidad de lograr el mismo objetivo planteado:maximizar la utilidad (satisfacción) o la pro ducción (beneficios) o, en su caso, minimizar los costos.

Esto implica aplicar los criterios de primera y segunda derivada pero empleando elementos decálculo multivariado. Quizá usted recuerde el nombre en sus clases de matemáticas y le parece muycomplejo pero, en términos intuitivos, no lo es. Las reglas de derivación previamente vistas siguenteniendo aplicación. Lo único en donde usted debe tener cuidado es en el manejo que le da a otrasvariables cuando deriva. Para dar un ejemplo de esto, téngase la siguiente función:

2 2 2( , , )f x y z x y z

¿Recuerda usted que la derivada no es más que una pendiente y que una pendiente no es más que elcambio en el valor de la función ( )f x dado el cambio en la variable dependiente x al cualdefinimos como x al suponer que era tan pequeño como ese número teórico que sigue del cerollamado infinitésima?

Pues ahora apelaremos a un concepto llamado derivación parcial que, como su nombre lo dice, noes más que calcular la derivada o cambio del valor de la función ( , , )f x y z , dados los siguientesposibles cambios:

a) El cambio de ( , , )f x y z dado uno en x y suponiendo que el valor de las otras variables(z, y) permanece constante4.

b) El cambio de ( , , )f x y z dado uno en y y suponiendo que el valor de las otras variables(x, z) permanece constante.

c) El cambio de ( , , )f x y z dado uno en z y suponiendo que el valor de las otras variables(x, y) permanece constante.

Para ilustrar el concepto de derivada parcial téngase la siguiente gráfica que usted puede consultaren la plataforma moodle:

4 Respecto a esto hablaremos un poco más en términos de la interpretació económica de “ el valor de lasotras variables permanece constante”.



Gráfica 2-26 Las derivadas parciales de una función de dos variables f(x,y).

Observe usted la línea verde y a roja. El primer caso representa la derivada parcial de la función2 2( , ) 4f x y x y respecto de x. Véalo usted si representamos la función multivariada solo en

el plano x,z:

Gráfica 2-27 La noción intuitiva de la derivada parcial respecto a x de una función f(x,y).

Ahora se puede tener la derivada parcial respecto a y como sigue:



Gráfica 2-28 La noción intuitiva de la derivada parcial respecto a y de una función f(x,y).

Como puede ver por las gráficas previas, el concepto de derivada parcial es consistente con el dederivada simple que vimos previamente, por lo que las reglas de derivación siguen siendo lasmismas ¿qué es lo único que cambia? Que las otras variables respecto a las que no se deriva seinterpretarán como una constante o número más. Veamos el ejemplo planteado. Observando que laderivada parcial respecto a x se denota como ( , , )xf x y z y respecto a y como ( , , )yf x y z , se

pueden plantear las derivadas parciales respecto a x como:

2 2( , ) ( 4) 2 0 0xf x y x y xx

¿Qué pasó aquí? Simplemente al término 2y se le dio la interpretación de ser una constante máscomo fue el caso del 4. Recuerde usted que se está derivando respecto a x (por eso se le señaló conrojo el término x que indica que se está derivando la función original respecto a “x”). Por tanto, laderivada parcial respecto a x de la función que nos interesa es simplemente -2x.

Ahora veamos la derivada parcial respecto a y:

2 2( , ) ( 4) 0 2 0 2yf x y x y y yy

Usted puede apreciar que se aplicó la misma lógica que con la deriv ada respecto a x. Solo parareforzar la mecánica de la derivación parcial, una d las trampas en las que comúnmente se caecuando se deriva parcialmente es ignorar la multiplicación de variables en algún término. Porejemplo, sea la función multivariada com o sigue:

2 2 2 2( , ) 3 4f x y x y x y



Por favor centre su atención en el término 2 23x y . Una de las trampas más comunes es decir que laderivada respecto a x, y o z en ese término es o simplemente x, y o z o, peor aún, que es cero. Veausted bien el término y verá que de entrada al 3 se le debe dar su lugar como constante, al igual quea la y o a la x cuando se deriva respecto a x o y. Esto es:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

x

y

f x y x y x y x x y x xy

f x y x y x y y x y x x y

x

y

¿Aprecia usted la diferencia? Cuando se tiene un término otras variables diferentes a la que seemplea para derivar (x o y según sea el caso), esas variables se tratan como constantes o números y,por tanto se aplica la regla de la potencia a la parte que tiene la variable que se deriv a.

2.10.1 Derivadas parciales de orden superior.

Así como existen primeras, segundas o terceras derivadas para funciones de una sola variable,también existen segundas derivadas parciales o derivadas parciales de orden superior (tercera,cuarta, etc.). Siguiendo nuestro ejemplo, observamos que, a diferencia del caso univariado endonde a la primera derivada solo le corresponde una segunda derivada, se tienen dos segundasderivadas parciales para cada derivada parcial. Por ejemplo, la segunda derivada parcial qu e no esmás que la derivada parcial respecto a x o y de la derivada parcial de x se denotaría ya sea por

( , )fxx x y o por ( , )fxy x y y sería como sigue:

2 2 2 2 2 2

2 2

2

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

( , ) ( 2 6 ) 2 6

( , ) ( 2 6 ) 6 (2 ) 12

x

x

x

yx

f x y x y x y x x y x xy

f x y

x

x

y

x xy y

f x y x xy x y xy

Siguiendo la misma mecánica, las segundas derivadas parciales de la derivada percial de y sedarían por:

2 2 2 2 2 2

2

2 2

( , ) ( 3 4) 2 3 (2 ) 0 2 6

( , ) ( 2 6 ) 2 6 (2 ) 2 12

( , ) ( 2 6 ) 6

y

y

y

x

y

f x y x y x y y x y x x y

f x y x x y x y xy

f x y x x

y

x

xy

y



Ya que hemos visto el concepto de derivada parcial y que su mecánica es igual de simple que laderivada empleada en cálcul o univariado, ahora podemos proceder al tema de optimizaciónmultivariada que es el que motiva este repaso matemático. Antes de entrar al tema, es de necesidadobservar que los problemas de optimización que comúnmente resolvemos pueden o no tenerrestricciones. En la vida real siempre las tienen. Por ejemplo, en el ejemplo del consumo dehamburguesas, Usted tal vez maximice su satisfacción consumiendo 3 hamburguesas pero solotiene presupuesto para 2 a lo mucho o quizá su nutriólogo o entrenador la sugirier on comer a lomucho 1.5 hamburguesas, lo que representa otra restricción adicional a su presupuesto para solo doshamburguesas. Esto le implica que no maximice del todo su función de utilidad por lo que ustedllegara a un máximo restringido. En un primer caso, revisaremos la optimización multivariada conla ausencia de restricciones y luego visitaremos una técnica muy simple que nos ayudará aincorporar restricciones de manera simple y manejable con los conceptos de cálculo que hemosvisto.

2.11 Optimización multivariada sin restricciones.

Ahora que tenemos los elementos de cálculo multivariado necesarios para seguir con nuestramateria, recordemos los pasos para optimizar con una sola variable y replantiemos los pasos quehay que seguir con optimización multiv ariada, los cuales no son muy diferentes a lo que realmentese ocupa:

1. Calcular las derivadas parciales de la función.2. Igualar cada derivada parcial a cero.3. Emplear álgebra y despejar las variables de interés resolviendo el sistema de ecuaciones.4. Calcular las segundas derivadas parciales.5. Aplicar la siguiente fórmula para determinar si los valores que se obtuvieron en el paso

anterior son óptimos o puntos de inflexión:

( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))xx yy xy yxD x y f x y f x y f x y f x y

Esto implica que se deben sustituir los valores de *x e *y logrados en el paso 3 en lascuatro segundas derivadas parciales que se obtuvieron o sea,

( , ), ( , ), ( , ), ( , )xx xy yx yyf x y f x y f x y f x y y dichos valores sustituirlos en la función anterior.

a) Si el valor de ( , )D x y es mayor a cero ( ( , ) 0D x y ), entonces se tiene un punto óptimob) Si el valor de ( , )D x y es menor o igual a cero, entonces se tiene un punto de inflexión y no

se puede optimizar la función.

Hagamos sigamos con el ejemplo de la función 2 2( , ) 4f x y x y utilizada como ejemplo ydeterminemos los valores óptimos *x e *y que maximizan la misma:

1. Se tiene las siguientes primeras y segundas derivadas parciales previamente determinadas:



2 2

2 2

( , ) ( 4) 2

( , ) ( 2 ) 2

( , ) ( 2 ) 0

( , ) ( 4) 2

( , ) ( 2 ) 0

( , ) ( 2 ) 2

x

x

y

y

x

x

x

y

yy

f x y x y x

f x y x

f x y x

f x y x y y

f x y y

f x y

x

x

y

y

x

yy

2. Se igualan a cero todas las primeras derivadas parciales y se plantea el sistema deecuaciones a resolver:

( , ) 2 0

( , ) 2 0x

y

f x y x

f x y y

3. Se resuelve el sistema de ecuaciones y se llegan a los valores óptimos *x e *y buscados:

2 0

2 0

* 0

* 0

x

y

x

y

NOTA: En este punto se deberían explicar las técnicas de resolución de sistemas deecuaciones que usted vio en el tema de álgebra elemental en el contexto de su materia dematemáticas. Sin embargo, el ejemplo es muy sencillo, por un lado y nos brincaremos estaexplicación para problemas más completos ya que revisaremos un elemento fundam ental deálgebra lineal (álgebra matricial) que nos permitirá resolver sistemas de ecuacionessencillos como este o casos más grandes y complejos de una manera muy simple ymanejable.

4. Se sustituyen los valores óptimos logrados en las cuatro segundas deriv adas parciales y sedetermina el valor de ( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))xx yy xy yxD x y f x y f x y f x y f x y :

( *, *) (0,0) 2

( *, *) (0,0) 0

( *, *) (0,0) 0

( *, *) (0,0) 2

x x

x x

x x

y y

x x

y y

y y

y y

f x y f

f x y f

f x y f

f x y f



( , ) ( ( , ) ( , )) ( ( , ) ( , ))

( 2 2) (0 0)xx yy xy yxD x y f x y f x y f x y f x y

5. Se presenta la siguiente conclusión:

( , ) 4 0 * e * son óptimos.D x y x y

Como se puede observar en la gráfica y con los resultados de esta derivación numérica de losvalores óptimos, los valores de x=0 e y=0 maximizan la función de utilidad.

Este ejemplo que se ha presentado, como se dijo al inicio del ejercicio, no incorpora restricciones.Ahora veremos el caso en el que al agente económic o optimizador tiene restricciones depresupuesto y de índole diversa que no le permitirán, posiblemente, aspirar al valor máximo de lafunción de utilidad. A pesar de ello, el mismo buscará tener la mayor satisfacción posible dadasestas restricciones.

2.12 Optimización multivariada con restricciones.

2.12.1 Optimización multivariada con restricciones de igualdad.

Cuando tenemos la presencia de restricciones en e problema de optimización, tal es el caso de elegircuánto de dos productos consumir dada la restricció n del presupuesto con el que se cuenta, sepresentan dos tipos de restricciones. El primero de ellas es las restricciones de igualdad y, elsegundo, las de desigualdad.

En un primer caso veremos las restricciones de igualdad como es el caso de un problema dado porla siguiente minimización de una función multivariada del costo de producir dos bienes diferentes:

2 2Minimizar ( , ) 2f x y x y

Sujeto a:

* * 1x y

Esto se interpreta como que uno debe buscar las proporciones (tanto por 1, que multiplicadas por100 dan x%) que minimicen los costos forzando a que la proporción óptima del presupuestodestinada al bien 1 ( *x ) mas la proporción óptima destinada al dos ( *y ) sea 1.

Para ilustrar la idea se tiene la gráfica de la función (incorporando restricciones que en este primerángulo no se distinguen):



Gráfica 2-29 Representación tridimensional de la función de costos.

En la misma se señala el punto óptimo en donde * 0x y * 0y . En el mismo se minimiza la

función sin restricción alguna y se presenta un punto rojo en el nivel óptimo2 2* ( , )* 2( *) ( *)z f x y x y . Este se puede apreciar en un cambio de perspectiva o ángulo de

visualización. Es decir, viendo la gráfica desde abajo:

Gráfica 2-30 La misma función cuadrática de costo vista desde abajo.

En la misma gráfica se presentan una serie de cortes de nivel (una serie de líneas o círculos) quecorresponden a los diferentes niveles de función multivariada. A cada color le corresponde un nivel

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6-4

-20

24

60

20

40

60

80

100

120

x

x 2 2.0+y 2

y

-6

-4

-2

0

2

4

6-6

-4

-2

0

2

4

6

0

20

40

60

80

100

120

x

x 2 2.0+y 2

y



de ( , )f x y . Por ejemplo, los círculos azules corresponden a todos los puntos x e y en donde se

tiene el mismo valor de ( , )f x y .También se coloca un círculo verde que corresponde al mínimo

nivel de al ( , )f x y al que se puede aspirar si ahora se incorpora el efecto de la restricción dada por

* * 1x y . En el centro se dicha gráfica encuentra el punto óptimo *z que no incorpora larestricción en su valor (punto rojo). Sin embargo, se tiene la restricción previamente mencionada de

* * 1x y . Por lo tanto, en la siguiente gráfica, se presentan tanto el óptimo (mínimo) global

(punto rojo) al que se puede aspirar con la función da da sin incorporar la restricción planteada, asícomo al mínimo local o relativo al que se llega incorporando el efecto de la restricción (puntoverde). El mismo se da por valores de * 1/ 3 * 2 / 3x e y .

Gráfica 2-31 Representación en dos dimensiones de la función multivariada de costo. Es decir, presentando loscortes de nivel de f(x,y) en el plano x e y.

Las nociones gráficas que se han presentado permiten llegar a una resolución s imple del problemadescrito. Sin embargo, hay una forma numérica mucho más simple de utilizar y esta es el método delos multiplicadores de Lagrange (el de la notación '( )f x para la derivada).

2.12.2 Optimización multivariada con el método d e los multiplicadores de Lagrange.

La misma se resuelve con una función auxiliar conocida como función de Lagrange o funciónlagrangeana. Esta se expresa de la siguiente forma:

Fórmula 6 La función lagrangeana.

L( , , ) ( , ) ( , ) x y f x y g x y

En la función anterior ( , )f x y no requiere de mayor introducción. En nuestro ejemplo es2 2( , ) 2f x y x y . Sin embargo, es una variable más o variable “espejo” o “sombra”, llamada

x

y

x2 2.0+y 2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6



multiplicador lagrangeano que, como su nombre lo dice, multiplica la función dada por la (las)restricción (es) planteadas al problema de optimización y permite que esta sea manipulada. A suvez, ( , )g x y es la función dada por la restricción planteada e igualada a cero. Misma que seincorpora a la función a optimizar, mejor conocida como función objetivo.

Para exponer este sencillo método de resolución se sigue con el ejemplo planteado:

2 2Minimizar ( , ) 2f x y x y

Sujeto a:

* * 1x y

En la expresión anterior, se plantearían las siguientes dos definiciones:

2 2( , ) 2

( , ) 1

( , ) 1 0

f x y x y

g x y x yó

g x y x y

Por lo tanto se puede plantear la ecuación lagrangeana L( , , )x y como sigue:

2 2L( , , ) 2 ( 1) x y x y x y

Como se aprecia, gracias al multiplicador lagrangeano, ahora se pueden incorporar las funcionesde las restricciones dentro de la función original y con esto se logran los valores óptimos ex yque respetarán las restricciones impuestas. La forma de resolver esto es logrando las derivadasparciales respecto a las tres variables de interés ( , ,x y ) y resolviendo el sistema de ecuacionessimultáneas dado por las primeras derivadas parciales e n cada caso. Esto sería, para el ejemplo5:

2 2 2 2L( , , )2 ( 1) 2 4

x y d dx y x y x y x y x

x dx dx

2 2 2 2L( , , )2 ( 1) 2 2

x y d dx y x y x y x y y

y dx dx

5 Otra forma de denotar una derivada, en especial en derivación parcial, sería con la notación de Leibniz

como este caso de derivada parcial respecto a x:( , , , )f x y z

x



2 2 2 2L( , , )2 ( 1) 2 1

x y d dx y x y x y x y x y

dx dx

Con las derivadas parciales anteriores se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

L( , , ) 4

L( , , ) 2

L( , , )1

x y xx

x y yy

x yx y

Recordando que, para lograr los puntos óptimos en el caso de problemas univariados, se necesitaigualar a cero la primera derivada, se hará lo mismo en las tres ecuaciones y se planteará elsistema de la siguiente manera:

4 02 0

1 0

xy

x y

La resolución del mismo se hace con métodos revisados en el curso de álgebra. Dado que, enbreve, visitaremos un método mucho más sencillo de resolución de ecuaciones a través de álgebralineal (propiamente dicho álgebra matricial), a usted se le presentan solo los resultados de losvalores óptimos a los que el productor puede aspirar con la finalidad de minimizar sus costos dadala restricción impuesta:

1 4 4 1*4 3 12 31 4 4 2*2 3 6 3

x

y

2.12.2.1 Consideraciones adicionales a la optimización multivariada y al número derestricciones.

Hasta el momento se ha resuelto un problema multivariado relativamente sencillo al tener lafunción a optimizar dos variables y una restricción. Sin embargo, usted se puede topar conproblemas más amplios como este:

maximizar ( , , , )f x y z k



Sujeto a:

1

1

x y z k c

x y

Este llevaría a una ecuación lagrangeana del tipo:

1 1 2( , , , ) ( , , , ) ( ) ( 1)L x y z k f x y z k x y z k c x y

En la expresión anterior, se tienen ahora dos multiplicadores lagrangeanos ( 1y 2, uno por cada

restricción). Con esta lógica, usted puede plantear problemas más amplios complejos. Sinembargo, es importante observar que el problema se puede resolver por medio de losmultiplicadores lagrangeanos siempre y cuando la función a optimizar (en opt imización sedenomina la función objetivo) es continua o diferenciable (eso lo vimos antes). La única limitanteinicial es que usted deberá hacer derivadas r n parciales, en donde r es el número derestricciones (en el caso de este último ejemplo 2) impuestas al problema de optimización y n elnúmero de variables o bienes.

En este sentido es de necesidad observar que, cuanto más restricciones se impongan al problema,se corre el riesgo de no llegar a una solución factible o, peor aún, de malgastar energía en unmétodo de optimización cuando el resultado es un solo punto que se puede deducir explorando lafunción y las restricciones. Respecto a llegar o no a una solución óptima, dado el número derestricciones no se hablará mucho. Sin embargo, es de interés resaltar esta situación para queusted la tenga presente.

2.13 Elementos básicos de álgebra lineal para la resoluciónmicroeconómicos de optimización con más de dos variables yrestricciones de igualdad y desigualdad.

Hasta el momento, los ejemplos planteados han tenido solo dos bienes a consumir o producir yhan incorporado restricciones de igualdad como * * 1x y . Sin embargo ¿cómo sería laresolución del problema de optimización si estuviéramos haciendo la selección óptima de losniveles de consumo o de producción de, digamos 5 bienes? De entrada el método de losmultiplicadores lagrangeanos sería igual de potente solo que usted haría, suponiendo que solopone una restricción, 5 1 6 derivadas parciales mismas que igualaría a cero y plantearía comoun sistema de ecuaciones:

2 2 2 2Maximizar ( , , , ) 4 3f w x y z w x y z xy wz

Sujeto a:



* * * * 1w x y z

Esto nos lleva a la siguiente ecuación lagrangeana:

2 2 2 2Maximizar L( , , , ) 4 3 1w x y z w x y z xy wz w x y z

Resolviendo las derivadas parciales:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2

( , , , ) 4 3 1 2 3

( , , , )4 3 1 2 4

( , , , ) 4 3 1 2 4

( , , , )

f w x y z w x y z xy wz w x y z w zw w

f w x y zw x y z xy wz w x y z x y

x xf w x y z w x y z xy wz w x y z y x

y yf w x y z

wz z

2 2 2

2 2 2 2

4 3 1 2 3

( , , , ) 4 3 1 1

x y z xy wz w x y z z w

f w x y z w x y z xy wz w x y z w x y z

Cada derivada parcial se iguala a cero y se plantea como un sistema de ecuaciones:

2 3 0 2 3 02 4 0 2 4 0

2 4 0 2 4 02 3 0 2 3 0

1 0 1

w z w zx y x y

y x y xz w z w

w x y z w x y z

¿Cuál podría ser una forma sencilla de resolver esto, es decir, obtener los valores óptimos de w, x,y, z?

Para problemas más complejos con más variables recurrimos a álgebra lineal, en específico a una desus técnicas conocidas como álgebra matricial, la cual usted revisó en la materia de matemáticas yque repasaremos brevemente aquí.

2.13.1 Vectores y matrices (álgebra matricial).

2.13.1.1 El concepto de vector.

Un vector es un conjunto de números o variables (o escalares) ordenados en filas o columnas.Cuando se habla de un vector columna se habla de eso, de una columna y viceversa. Ahora, losvectores tienen dimensiones (como nuestras gráficas y problemas planteados) y cada número en



el vector, representa un valor de cada variable. Por ejemplo, suponga usted que t iene tresvariables x=14, y=20 y z=7. El vector renglón que formaría con el mismo sería de dimensión (1x3):

14 20 7x y z v

Aunque no haremos mucho uso de la representación gráfica de vectores y matrices, se le presenta acontinuación la posición geométrica de este vector:

Gráfica 2-32 Representación geométrica del vector renglón de 3 dimensiones.

Ahora, cuando se trabaja con vectores fila o vectores columna (como será nuestro caso) se dice queel vector, para el ejemplo que nos atañe, tiene una dimensión de (3x1)

14

207

x

yz

v

La representación gráfica del mismo es igual que la anterior. Por tanto, un vector columna o renglóntiene una dimensión dada por (número de renglones X número de columna s) o ( X )n m . Ahora,en términos de notación, es importante que usted observe algo de relevancia: los vectores (la letraque los identifica) se hacen diferentes de las variables por el hecho de que se denotan con letraslatinas minúsculas y en negrita. Las matrices, próximas a definir, se denotarán también con negritay letras mayúsculas. Note como, para el caso del vector del ejemplo, no es lo mismo decir v que v .La primera se lee como “la variable v” que no es más que un escalar. Es decir un solo número (ovector columna o renglón de dimensión 1x1). Lo segundo que se lee como “el vector” por tanto,cuando, a partir de ahora, hablemos de vectores y matrices, los denotaremos con negrita y letraslatinas y as variables seguirán siendo letras sin estar en negrita.

1313.5

1414.5

15

19

19.520

20.5

216

6.5

7

7.5

8

XY

Z



2.13.1.2 El concepto de matriz.

Ahora que se ha definido el concepto de vector, estamos en condiciones de estudiar el de matriz. Entérminos muy intuitivos, así como un vector es un conjunto de escalares o variables, una matriz esun conjunto de vectores. Por ejemplo, podemos juntar tres vectores fila que nos indiquen elconsumo de x=computadoras, y=Pads y z=reproductores de Mp3 de una compañía de computadorasen los últimos 4 años medidos en millones de unidades:

4 5 10

5 6 11

7 11 1710 17 20

V

Esta matriz V tiene, como se dijo previamente, varios vectores renglón que representan los nivelesde ventas de cada uno de los tres artículos en el año 1 al 4, ordenados de arriba hacia abajo. Por lotanto se dice que esta matriz tiene una dimensión de 4x3. Es decir, los cuatro años con lasobservaciones de tres variables o, dicho de otra forma, la unión de 4 vectores de (1x3). Larepresentación gráfica de esta matriz no es más que la representación de las observaciones de losniveles de ventas de los tres artículos du rante los cuatro años:

Gráfica 2-33 Representación geométrica de la matriz de 4x3.

Otra utilidad muy relacionada al objetivo principal de esta materia es utilizar matrices y vectorespara plantear el sistema de ecuaciones de un problema de optimización multivariada como el delejemplo anterior:


Sujeto a:

* * * * 1w x y z

4 5 6 7 8 9 10

5

10

15

20

10

12

14

16

18

20

X

Y

Z



Este nos llevó a un sistema de ecuaciones como este:

2 3 0 2 3 02 4 0 2 4 0

2 4 0 2 4 02 3 0 2 3 0

1 0 1

w z w zx y x y

y x y xz w z w

w x y z w x y z

Una de las bendiciones del álgebra matricial es que el mismo puede plantearse de manera matricialy hacer muy simple los pasos a seguir para la resolución de casos como este. Para ello, seránecesario hacer una breve revisión de las operaciones matriciales más comunes.

2.13.1.3 Transposición de matrices.

La transposición de matrices es una operación simple que consiste en simplemente “girar o rotarde vertical a horizontal (y viceversa) para cambiar de orden el vector o matriz original. Porejemplo, sea un vector de a dimensión n x m 6 , el vector transpuesto, que se denota como 'a ,sería ahora de dimensión n x m :

2' 2 7

7

a a

A su vez, sea una matriz B de dimensión n x m 7 , la matriz transpuesta, que se denota como 'B ,sería ahora de dimensión n x m :

8 98 14 2

' 14 79 7 3

2 3

B B

2.13.1.4 Suma-resta de vectores y/o matrices.

Ya que definimos el concepto de vector y de matriz podemos hacer operaciones con los mismos.La más simple de ellas (todas lo son) se llama suma o resta de vectores o matrices. A este respectoes importante señalar que solo se puede realizar dicha operación si las dimensiones de estosvectores o columnas son las mismas. Es decir, si tienen el mismo número de renglones y columnas .Operaciones como estas son permitidas:

6 A partir de ahora, para simplificar la explicación, siempre que se hable d e dimensiones de un vector o unamatriz, se denotará con n el número de renglones y con m el número de columnas. Siempre.7 A partir de ahora, para simplificar la explicación, siempre que se hable de dimens iones de un vector o unamatriz, se denotará con n el número de renglones y con m el número de columnas. Siempre.



89 27 , 54 36 89 54 27 36 143 63

2 8 2 8 2 8 103 , 4 3 4 3 4 7

6 3 6 3 6 3 9

1 5 2 2 1 5 2 27 2 , 0 8 7 2 0 8

9 3 7 4 9 3 7 4

g z g z

a b a b

A B A B1 2 5 2 2 77 0 2 8 7 10

9 7 3 4 16 7

1 5 9 2 2 21

7 2 10 , 0 8 259 3 15 7 4 37

1 5 9 2 2 21 1 2 5 2 9 21 3 7 30

7 2 10 0 8 25 7 0 2 8 10 25 79 3 15 7 4 37 9 7 3 4 15 37

C Y

C Y 10 3516 7 52

La peculiaridad de estas operaciones es que los vectores o matrices tienen la misma dimensión ypueden sumarse (o restarse en su defecto). Cuando la suma se puede realizar gracias a la dimensión,lo que procede es sumar cada entrada (numero) o escalar correspondiente. Por ejemplo, en el vectorg al que se le suma el z, el escalar 11g 8 se suma al escalar 11z se llega a la suma 89+54=143. Lo

propio sucede con los escalares 12g y 12z que dan la suma 27+36=63.

Esta misma serie de operaciones se realizan en todos los vectores o matrices. Por ejemplo en lasuma de matrices A+B, los escalares 23a y 23b llevan a la suma 2+8=10.

En virtud de que la suma de vectores o matrices se realiza escalar por escalar, se debe tener demanera imperiosa que las matrices o vectores sumados sean de las mismas dimensiones por lo queoperaciones como estas son imposibles de hacer en álgebra lineal o en la matricial debido a que lasdimensiones de los vectores o las matrices no coinciden:

8 Esto es, el número que se encuentra en el renglón 1 y la columna 1, es decir el 89 que se encuentra en esaposición.



(?) (no se puede)

(no s

[89], 54 36 89 54 36

2 2 88

3 , 3 44

6 6

1

e puede)

(?)

(?)

(?) (no se puede)(

5 2 1 2 5

7 2 , 0 7 0 29 3 ?)7 9 7 3

1 5

g z

a b

A B

z

a b

C

g

A B

9 1 2 5 2 92 2

7 2 10 , 7 7 2 4 1

(?)

(?) (no se puede)(?) (?) (?)

07 4

9 3 15 9 3 15

C YY

2.13.1.5 Multiplicación de vectores o matrices por escalares.

Ahora se verá otra operación muy común que es la multiplicación de una matriz o un vector por unescalar k. La lógica de la misma es muy simple: Esta puede efectuarse en cualquier vector o matrizde cualquier dimensión. Lo único que aplica es que el escalar se multiplica por cada una de lasentradas o escalares del vector o matriz. Vea usted este ejemplo:

2 1 5 9

5, 3 , 7 2 10 ,6 9 3 15

2 2 2 5 105 3 3 5 3 5 15

6 6 6 5 30

1 5 9 1 5 9 1 5 5 5 9 55 7 2 10 7 2 10 5 7 5 2 5 10 5

9 3 15 9 3 15 9 5 3

k

k k

k k

a B

a a

B B5 25 45

35 10 50

5 15 5 45 15 75

Por tanto, la multiplicación de un escalar k por una matriz o un vector sí es factible.

2.13.1.6 Producto punto o interior: Multiplicación de vectores por matrices, vectores porvectores o matrices por vectores (el orden de los factores sí altera el producto).

La multiplicación entre vectores y matrices sí es factible. Sí es posible sí y solo sí se cumple estaregla de oro:

“Sean una matriz (o vector) A (a) de dimensión 1 1n x m y otra matriz (o vector) B (b) de 2 2m x n, la multiplicación se puede llevar a cabo si el número de columnas de A (a) es igual al número derenglones de B (b). Es decir si 1 2m m ”



Por ejemplo, sí es posible hacer estas multiplicaciones:

58 14 2

2 7 , , 89 7 3

12

8 14 22 7

9 7 3

2 8 7 9 2 14 7 7 2 2 7 3 26 30 15

58 14 2 8 5 14 8 2 12 176

89 7 3 9 5 7 8 3 15 137

12

a B c

a B

B c

8 9' ' 5 8 12 14 7 5 8 8 14 12 2 5 9 8 7 12 3 176 137

2 3

5 5 2 5 7 10 358 2 7 8 2 8 7 16 56

12 12 2 12 7 24 84

8 9 8 2 9 78 14 2 2

' ' 2 7 14 7 14 2 79 7 3 7

2 3

c B

c a

B a

79

7 722 2 3 7 25

Como usted puede apreciar, sí es posible realizar la multiplicación de matrices o vectores siempre ycuando las dimensiones interiores ( 1 2ym m ) son iguales. El hecho de que las dimensionesinteriores sean iguales es el que le da el nombre a la multiplicación de vectores y matrices de“producto punto” o “producto interior”.

2.13.1.7 La matriz de identidad y la inversión de matrices.

La inversión de matrices es una de las operaciones más útiles para efectos de optimización sinembargo, en muchas ocasiones, su interpretación es poco comprendida. En realidad esto dista deser así si lo vemos de la siguiente perspectiva: En aritmética y álgebra tradicional conocemos elescalar o número 1. Sin embargo, cuando decimos 1 en álgebra lineal decimos algo diferente. Deentrada decimos que se trata de una matr iz de dimensión 1x1 que tiene unos en las entradas.Ahora piense usted en un vector de 3x1 de unos. Esto sería:



11

1

1

A su vez piense en una matriz de 3x2 de unos:

1 11 1

1 1

1

Existe una matriz especial que equivale a decir “1” en álgebra lineal. Esta se llama matrizidentidad, denotada por I , que consiste en una matriz cuadrada de dimensión n x n que tieneunos en la diagonal9:

1 0 0 0

0 1 0 00 0 0

0 0 0 1

I

¿De qué nos sirve saber esto? Muy simple. Viajemos, de momento, de regreso al álgebratradicional y piense en la siguiente igualdad dada la variable a :

1 1aa

Ahora, como hemos dicho que el 1 solito en álgebra lineal se expresa con la matriz identidad ( I ),suponga ahora que no tenemos una variable a sino una matriz A cuadrada de dimensionesn x n . Esto nos lleva a expresar la igualdad anterior en términos matriciales como:

IA IA

Note que el términoIA

puede expresarse como 1A . Este se conoce como La inversa de la

matriz A . Que no es más que dividir a la matriz identidad I entre A . Cuando hablemos de lainversa de una matriz, simplemente se habla de hacer la división previamente mencionada.

9 La diagonal de una matriz no es más que los escalares (de izquierda a derecha) que tienen el número de filay de columna igual por ejemplo, el escalar que está en la fila 1 y la columna 1 ( 11i ) o el que está en la fila 2 y

la columna 2 ( 22i ) o el que está en la fila n y la columna n ( nni ).



Por ejemplo, téngase la siguiente matriz:

8 0 2

9 7 36 5 14

0.1239 0.0149 0.0209

0.1612 0.1493 0.0098 0 2

0.0045 0.0597 0.08369 7 3

6 5 14

-1

D

ID

Dado que este repaso matemático tiene el objetivo de reforzar los conocimientos enMicroeconomía y simplificar la exposición, nos enfocaremos solo a las nociones intuitivas, dejandola mecánica del cálculo de la inversa de una matriz para los libros especializados en Álgebra lineal,Álgebra matricial, Economía matemática o Matemática para economistas y administradores endonde podrá usted consultar la mecánica que se sigue para realizar la i nversión de una matriz 1A. Hay varios métodos, siendo el método Gauss -Jordan el más revisado aunque el autor de laspresentes líneas sugiere que mejor investigue un método llamado de cofactores el cuál leimplicará aplicar determinantes y es muy sencillo de comprender. Eso se le deja para investigaciónpersonal si así lo considera prudente y necesario. Si no, con que comprenda las intuiciones de lainversión de una matriz es suficiente ya que la computadora u ordenador harán el traba jo porusted.

2.13.1.8 La determinante de la matriz.

La determinante de una matriz consiste en simplemente realizar el producto siguiente (veamos elejemplo de una matriz de 2x2):

8 0det( ) det 8 7 0 9 56 0 56

9 7A

Es decir, se multiplican los elementos de la diagonal de izquierda a derecha y se les resta elproducto de la diagonal de izquierda a derecha. La determinante se puede calcular para matricesde dimensión mayor:



11 12

2

11 12 13 11 12 13

21 21 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33

11 22 33 12 23 13 31 22 1

1 22

31 32

31 21 32 13 12 23 331 21 12

det( ) det

8 0 2det 9 7 3

6 5 14

a a a a a aA

a aa a

a a

a

a a a a a a

a a a a a a

a a a a a a a a a a aa a aaa a

8 09 7

6

8 0 29 7 3

6 5 14

8 7 14 3 0 2 6 7 2 5 3 14

5

6 9 75 9 6 08 0

2.14 Resolución de sistemas de ecuaciones con álgebra lineal.

Ahora que vimos las principales nociones de álgebra matricial y lineal podremos regresar a laresolución de sistemas de ecuaciones como los que tenemos cuando resolvemos problemas deoptimización con restricciones de igualdad. Recordemos que tuvimos el siguiente pr oblema:


Sujeto a:

* * * * 1w x y z

Esto nos lleva a la siguiente ecuación lagrangeana:

2 2 2 2Maximizar L( , , , ) 4 3 1w x y z w x y z xy wz w x y z

A su vez, esta nos condujo al siguiente sistema de ecuaciones:

2 3 0 2 3 0

2 4 0 2 4 02 4 0 2 4 0

2 3 0 2 3 01 0 1

w z w z

x y x yy x y x

z w z ww x y z w x y z

Para ello, las agrupamos en diferentes columnas correspondientes a las diferentes variables:



2 0 0 3 0

0 2 4 0 00 4 2 0 0

3 0 0 2 0 00 1

w z

x yx y

w zw x y z

w x y z

Como vimos en el tema de la multiplicación de matrices por vectores, la matriz que formamos en laparte izquierda (números negros) puede f actorizarse como una multiplicación del tipo:

2 0 0 3 1 00 2 4 0 1 0

0 4 2 0 1 0

3 0 0 2 0 01 1 1 1 0 1

wz

x

y

Ahora démosle un nombre a la matriz y a los dos vectores:

2 0 0 3 1 00 2 4 0 1 0

0 4 2 0 1 03 0 0 2 0 0

1 1 1 1 0 1

wz

xy

A x = b

Lo que nos interesa es descubrir los valores de las variables que están en el vector x . Para ello,como hemos simplificado, de manera considerable, todo el sistema de ecuaciones en solo tressimples variables, podremos utilizar el álgebra tradicional para despejar x y obtener los valores delas variables dentro del mismo:

1

A x b

Ix b A bA

Ya que hicimos este despeje, ahora hacemos las operaciones matriciales correspondientes:



1

1* 2 0 0 3 1 0* 0 2 4 0 1 0

* 0 4 2 0 1 0* 3 0 0 2 0 0

1 1 1 1 0 1

* 0.200 0.1 0.1 0.4 0.2

* 0.25 0.0417 0.2083 0.25 0.25* 0.25 0.2083 0.0417 0.25 0.25

* 0

wz

xy

w

zx

y

x A b

0 0.2 0 0.1 0 0.1 0 0.4 0 0.2 1

0 0.25 0 0.0417 0 0.2083 0 0.25 0 0.25 10 0.25 0 0.2083 0 0.0417 0 0.25 0 0.25 1

.3 0.15 0.15 0.1 0.3 0 0.3 0 0.15 0 0.150.5 0.25 0.25 0.5 0.5 1

0 0.1 0 0.3 10.5 0 0.25 0 0.25 0 0.5 0 0.5 1

* 0.2* 0.25

* 0.25* 0.3

0.5

wz

xy

En base a esta simple operación matricial, se tienen los valores óptimos de las variables buscadascon * 0.2w , * 0.25z , * 0.25x y * 0.3y . Usted puede apreciar que estos valores ópt imosde las cuatro variables cumplen con la restricción planteada:

* * * * 10.2 0.25 0.25 0.3 1

w z x y

Si este problema hubiese sido la selección óptima del nivel de producción que debe dedicarse acuatro artículos diferentes ( , , ,w z x y ) de tal forma que se maximicen los beneficios, los nivelesóptimos de producción serían 20% en el producto w , 25% en el producto z , 25% en el x y 30%en el y .

2.15 Manejo de las restricciones de desigualdad.

Para ilustrar ¿Qué se hace con este tipo de restricciones y para qué sirven? Modifiquemos elejemplo anterior un poco:


Sujeto a:



* * * * 1w x y z *, *, *, * 0w x y z

Note usted la segunda restricción que pide que los valores óptimos de las variables buscadas seanmayores o iguales a cero. El signo > o <, así como los signos ,son signos de desigualdad. Paramanejar estas restricciones se sigue utilizando el multiplicador lagrangeano pero ahora de maneraiterativa. Ilustremos un poco planteando la ecuación lagrangeana de este nuevo problema. Notecómo solo se incorporan a la misma las restricciones de igualdad y la segu nda se deja fuera10.

2 2 2 2Maximizar L( , , , ) 2 4 6 1w x y z w x y z xy wz w x y z

A su vez, esta nos condujo a sus derivadas parciales y al siguiente sistema de ecuaciones:

( , , , ) 4 3

( , , , )2 4

( , , , ) 2 4

( , , , ) 2 6

( , , , )1

L w x y z w zw

L w x y zx y

xL w x y z y x

y

L w x y z z wz

L w x y zw x y z

4 3 0 2 3 0

2 4 0 2 4 02 4 0 2 4 0

2 6 0 2 6 01 0 1

w z w z

x y x yy x y x

z w z ww x y z w x y z

El mismo lleva a la siguiente resolución matricial:

10 Hay otra forma que contempla la incorporación de variables ficticias o dummy pero esta no será revisadaya que no siempre es efectiva y termina en un proceso iterativo similar a este.



4 0 0 3 1 0

0 2 4 0 1 00 4 2 0 1 0

6 0 0 2 0 01 1 1 1 0 1

w

zx

y

A x = b

1

1* 4 0 0 3 1 0 0.067* 0 2 4 0 1 0 0.4333* 0 4 2 0 1 0 0.4333* 6 0 0 2 0 0 0.2

1 1 1 1 0 1 0.8667

wzxy

x A b

Note cómo el valor óptimo del producto w es negativo, lo cual es una clara violación a larestricción *, *, *, * 0w x y z . ¿Qué se hace? Se iguala a cero “a raja tabla” el valor de w , seelimina de la función objetivo y se corre de nuevo todo el proceso. Si con el nuevo problema deoptimización se siguen teniendo niveles óptimos negativos, estos se i gualan a cero hasta llegar auna sola variable que concentrará el 100% de nivel de producción óptima; siendo niveles de ceroen las otras. Veamos ahora cómo se replantearía de nuevo el problema (para fines de exposiciónsolo plantearemos la función objetiv o y la solución matricial final observando que usted ya conocetodo el procedimiento):

2 2 2 2Maximizar ( , , , ) 0 4 3(0)f w x y z x y z xy z

Sujeto a:

* * * * 1w x y z *, *, *, * 0w x y z

2 2 2Maximizar L( , , , ) 4 1w x y z x y z xy x y z 1

1* 2 4 0 1 0 0.5* 4 2 0 1 0 0.5* 0 0 2 0 0 0

1 1 1 0 1 1

zxy

x A b

Si observamos que * 0w dado que forzamos su valor a cero en virtud de que violó la restricciónde no negatividad en el primer intento, con este resultado tendríamos los siguientes valores



óptimos: * 0, * 0.5 50%, * 0.5 50%, * 0w z x y . Y con esto tenemos un resultado que

cumple con las dos restricciones planteadas.

Ahora que se dominan los elementos matemáticos fundamentales para la optimización podremosrevisar, ya de manera sintética y más simple, los conceptos como elasticidades y la forma en que elconsumidor y el productor realizan la toma de decisiones pero, en específico, propondremos lasguías en cómo deberá usted tomar decisiones óptimas en su empresa u organismo a la luz de lamicroeconomía.

3 Retomando la selección racional de los agentes económicos.

3.1 La elección racionalmente limitada del consumidor.

Ahora regresaremos a la selección óptima de los agentes y revisaremos, brevemente, la manera encómo suponen los economistas teóricos que los individuos realizaríamos nuestro procesodecisorio (o de toma de de cisiones) si fuéramos personas racionales en los términos previamenterevisados. Para plantear la idea, supóngase que u na profesionista tiene una función de satisfaccióno de utilidad ( , )U x y en donde x e y son el nivel de consumo en alimentación y placer e y elnivel de inversión en su educación. Cierto es que los individuos debemos alimentarnos para saciarnuestras necesidades fisiológicas pero también debemos prepararnos y, sobre todo, cultivarnos 11

para ser mejores personas, tener más éxito material y personal y podamos generar mejore sempresas que generen más riqueza; no las empresas mediocres que tenemos en nuestra ciudadque hacen lo mismo que el de enfrente. Entonces, siendo nosotros como nuestra amiga racionalque quiere ser profesionista exitosa e independiente, preocupada por su futuro y el de suEconomía, debemos decidir cuánto destinar de nuestro presupuesto al rubro de educación y c alrubro de comida. ¿Con qué función modelamos esto? A diferencia de la función e ingresos, costosy producción, no la podemos derivar directament e de la experiencia. Es decir, aquí aprenderemosa derivar esas funciones a partir de la información que la economía o nuestro mercado objetivonos proporcione. Sin embargo, en el caso de los consumidores o inversionistas, el derivar unafunción de utilidad es algo más complicado por lo que los economistas hacen muchos supuestos yestablecen formas funcionales aproximadas.

El caso de este ejemplo no será la excepción por lo que plantearemos una función objetivo demanera discrecional dada por:

11 Albert Einstein siempre dijo que “La educación es eso que nos queda cuando se nos olvida lo queaprendimos cuando fuimos a la escuela” por lo que un servidor espera que usted no solo se “capacitetécnicamente” leyendo y estudiando sobre las materias de su curso sino también de otras cosas comomúsica clásica, popular o considerada de calidad; literatura, arte plástico, arte culinario, deportes ajenos alfútbol soccer y otras cosas más sustanciales que la T.V. o el cine comercial. Claro está, esto se le deja a surespetable consideración.



2 2( , ) 12.5 11.5U x y x y x y

La gráfica en tres dimensiones de la misma se daría por la siguiente:

Gráfica 3-1 Representación tridimensional de la función de utilidad de una consumidora racional.

Note que, en la parte inferior, se presentan las curvas de nivel que aquí tienen la interpretación deser las curvas de indiferencia, que, como se definieron previamente, corresponden a lasdiferentes combinaciones de gasto en educación y en comida -ocio que le dan a nuestra agente elmismo nivel de satisfacción.

A su vez, nótense los puntos rojos y verde en la superficie. El primero de ellos es la combinación decomida-ocio y educación que maximizaría la utilidad o satisfacción sin considerar la restricció n delpresupuesto.

Ahora, como en la vida cotidiana estamos sujetos a nuestro presupuesto para decidir, laprofesionista deberá imponer una restricción presupuestaria de los niveles de comida-ocio yeducación que debe adquirir así como niveles positivos e n estos ( , 0x y ). Por lo tanto, suproblema de selección óptima se reduce al siguiente planteamiento:

-5

0

5

-5

0

5

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

x

x (2.5e1/2.0)+y (2.3e1/2.0)-x2 2.0-y2

y



2 2Maximizar ( , ) 12.5 11.5U x y x y x y

Sujeto a:1

, 0x yx y

Al resolver el mismo llegamos al nivel de consumo óptimo representado con el punto verde en lagráfica 3-1. El mismo se obtiene con el algoritmo de optimización con restricciones de desigualdadpreviamente visto:

Paso 1: Plantear la ecuación lagrangeana incorporando solo las restricciones de igualdad.

2 2( , ) 12.5 11.5 1L x y x y x y x y

Paso 2: Se hacen las derivadas parciales y se plantea el sistema de ecuaciones.

2 2

2 2

2 2

( , )12.5 11.5 1 2 12.5

( , ) 12.5 11.5 1 2 11.5

( , ) 12.5 11.5 1 1

L x yx y x y x y x

xL x y x y x y x y y

y

L x y x y x y x y x y

2 0 12.5 00 2 11.5 0

1 1

2 0 1 12.5

0 2 1 11.51 1 0 1

xy

x y

x

y

A x = b

Paso 3: Se resuelven los niveles óptimos despejando x .

1

1* 2 0 1 12.5 0.75* 0 2 1 11.5 0.25

1 1 0 1 11

xy

x = A b



Como los niveles óptimos de x e y son positivos, no habrá necesidad de eliminar las variablesque tengan niveles de consumo negativos. Esto nos lleva a observar que hemos concluido nuestroproblema y que hemos encontrado los niveles de consumo óptimo dados por nivel de consumo encomida y placer de 25% (0.25) con nivel de consumo en ocio de 75% (0.75). Esto se aprecia en lassiguientes gráficas:

Gráfica 3-2 Representación tridimensional de la selección óptima de una consumidora racional .

En la gráfica inferior se aprecia el máximo no restringido (punto rojo), el cual corresponde al puntorojo de la función de utilidad, se aprecian diferentes curvas de indiferencia que irradian alrededordel punto óptimo sin restricciones y se aprecian tant o el punto verde como óptimo restringido y larecta negra inclinada que relaciona las diferentes combinaciones de x e y que cumplen con lallamada restricción presupuestaria. Note usted cómo los niveles de consumo óptimo de nuestraagente estudiada cumplen con las restricciones impuestas y maximizan su satisfacción. ¿Cómocomprobamos esto en términos gráficos? Note la curva de indiferencia verde que interseca a larecta presupuestal. Esa curva de indiferencia corresponde al máximo nivel de satisfacción o

-5

0

5

-5

0

5

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

100

x

x (2.5e1/2.0)+y (2.3e1/2.0)-x2 2.0-y2

y

x

y

x (2.5e1 /2.0)+y (2.3e1 /2.0)-x2 2.0-y2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6



utilidad asequible dado el presupuesto con que se cuenta para consumir. Por tanto, el puntodonde la curva de indiferencia y la recta presupuestal tocan, es el óptimo para nuestraconsumidora racional. El mismo lo derivamos matemáticamente y con facilidad a través delprocedimiento anterior.

A partir de este punto, usted comenzará a notar que la selección óptima de todos nuestrosagentes es muy similar. Al menos en su lógica. Términos como curva de indiferencia setransformarán en curvas de isocuantas o de i socostos en el caso de la Economía de la empresapero la lógica de selección óptima es la misma.

3.2 La elección limitadamente racional del productor ¿cómo debemosacostumbrarnos a elegir en nuestra empresa?

Ahora veremos el caso de un agente productor racional que busca ya sea maximizar sus ingresos,minimizar sus costos o maximizar sus beneficios o productividad. El principal de estos tresobjetivos será, por lo general y a la luz de la aplicación de la microeconomía en la Economía de laempresa, la maximización de los beneficios de la empresa. Si usted recuerd a, los beneficios secuantifican restando a los ingresos los costos, por lo que es de necesidad contar con funcionespara ambos casos, es decir, funciones de ingresos y funciones de costos. En breve hablaremos unpoco más sobre la función de ingresos, para exponer la selección racional del productor oempresario, nos limitaremos a realizar un ejercicio de optimización como el visto para ver cómodebe elegir este agente en el supuesto de un mercado de c ompetencia perfecta12.

Suponga usted que una productora de bebidas no alcohólicas debe elegir entre tres posiblesproductos que ya comercializa, de tal manera que maximice sus ganancias o producciónresolviendo el siguiente problema dada una función de pro ducción ( , , )P x y z :

2 2 2Maximizar P( , , ) 2 0.5 1.6 12.5 11.5 3.8x y z x y z xy yz xz

Sujeto a:1

, , 0

, , 0.25

x y zx y z

x y z

Note usted que ahora se incorpora una nueva restricción de desigualdad (la tercera) que seestableció el productor al querer evitar el concentrar en un solo producto más del 25%. Esto loestablece así dado que busca recuperar, aunque sea de largo plazo, la inversión en la capacidadinstalada de las tres líneas de producción (supondremos que tiene maquinaria y equipo para cadalínea).

12 Concepto que revisaremos en breve.



Como usted puede obse rvar, fuera de la tercera restricción, la productora debe resolver unproblema geométrica y matemáticamente igual al del consumidor. Lo único que cambia realmenteson la interpretación y la nomenclatura. En un sub apartado posterior profundizaremos. Aquíresaltaremos solo el común denominador que existe en la metodología. Las curvas de corte denivel que se denominan “curvas de indiferencia” en la selección óptima del consumidor, aquí sedenominan “curvas de isocuantas” ya que determinan las diferentes combinaciones de niveles deproducción en diferentes bienes que generan el mismo nivel de productividad o ganancias en laempresa. A su vez, la recta presupuestaria propia del consumidor se denomina “recta deisocostos” ya que relaciona las diferentes combinaciones límite o restringidas permitidas quellevarán al a inversión del total de costos permitidos. Veamos la representación gráfica en tresdimensiones de la selección óptima del problema planteado si ignoramos z y la tercerarestricción, es decir, si suponiendo que solo tenemos dos líneas de producción. Esto es así debidoa que deberíamos representar en cuatro dimensiones el problema original:

Gráfica 3-3 Selección óptima de una productora racional.

-6 -4-2 0

24 6

-5

0

5

-150

-100

-50

0

50

x

x 5.0+y 3.0-x 2 2.0-y2 (1.0/2.0)

y

x

y

x 5.0+y 3.0-x2 2.0-y2 (1.0/2.0)

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6



Note usted cómo la maximización, al igual que en el problema del consumidor, se da en el puntodonde la recta de isocostos ase tangencia con una de las curvas de isocuantas, la cual lleva al nivelde productividad máxima permitida dada las restricciones planteadas.

¿Cómo derivamos la combinación óptima en las diferentes líneas de producción que maximizará laproductividad o ganancias dadas las restricciones planteadas? Regresemos a nuestro problemaoriginal a resolver:

2 2 2Maximizar P( , , ) 2 0.5 1.6 12.5 11.5 3.8x y z x y z xy yz xz

Sujeto a:1

, , 0, , 25%

x y z

x y zx y z

El primer paso para la resolución se logra planteando la ecuación lagrangeana incorporando sololas restricciones de igualdad . Recuerde que las de desigualdad se logran con el método iterativopreviamente planteado:

2 2 21 1Maximizar L( , , , ) 2 0.5 1.6 12.5 11.5 3.8 1x y z x y z xy yz xz x y z

Lo que sigue es obtener las derivadas parciales respecto a cada variable:

1

1

1

1

L( , , , ) 4 12.5 3.8

L( , , , )12.5 11.5

L( , , , )3.2 11.5 3.8

L( , , , ) 1

x y z x y zx

x y zy x z

yx y z

z y xz

x y z x y z

Ahora se plantea de manera matricial el sistema de ecuaciones igualado a cero para resolverlo:

1

1

1

4 12.5 3.8 012.5 11.5 0

3.8 11.5 3.2 00 1

x y zx y z

x y zx y z



1

4 12.5 3.8 1 0

12.5 1 11.5 1 03.8 11.5 3.2 1 0

1 1 1 0 1

x

yz

A x = b

Se resuelve el sistema de ecuaciones en forma matricial.

1

1

1

* 4 12.5 3.8 1 0 27.88%* 12.5 1 11.5 1 0 47.89%

* 3.8 11.5 3.2 1 0 24.23%* 1 1 1 0 1 5.7921

xy

z

x = A b

Como se puede apreciar, los valores óptimos cumplen con la segunda restricción ( , , 0x y z ). Sinembargo, los valores óptimos de x e y no cumplen con la tercera restricción ( , , 25%x y z ). Loque se hace en este caso es lo mismo que se hizo en el problema anterior con la restricción de nonegatividad: Se igualan al límite superior de 25% las variables que violan esta restricción y se correde nuevo el problema. Como se trata de tres variables y dos son las que incurren en la violación, elproblema termina aquí estableciendo los siguientes resultados:

* 25%* 25%

* 50%

xy

z

Como se destinó 25% al valor óptimo de x e y , el remanente de la recta presupuestaria:

* 100% ( * *) 100% (25% 25%)z x y

Se destina al bien z . Entonces, dada la función de producción ( , , )P x y z y las restricciones fijadaspor el productor, se observa que la combinación óptima de inversión de recursos en las líneas debienes estudiados se da por el vector previo.

4 Las curvas de la oferta y la demanda en Microeconomía.

Como está usted a punto de ver, seguiremos con la propuesta original de Adam Smith en relacióna la existencia de dos fuerzas que confluyen en la actividad económica: la oferta y la demanda.



Gráfica 4-1 Las curvas de la oferta y la demanda.

Recordemos que el punto de equilibrio entre estas dos fuerzas es el precio. De momento, nosenfocaremos a derivar las dos curvas por separado y a aplicar las fórmulas de la misma pararesponder preguntas como ¿Qué precio y qué niveles de producci ón debemos fijar con el fin demaximizar nuestra utilidad económica o minimizar nuestras pérdidas en el corto plazo? Tambiénnos ayudará a determinar nuestros niveles de costeos de tal forma que podamos generar unareducción de costos y podamos ser más com petitivos en términos de costos. Por ejemplo¿Debemos comprar nuestro equipo de cómputo o mejor lo arrendamos?, ¿Debemos contratarpersonal de seguridad o mejor contratamos agencias externas? Situaciones de este tipo puedenser resueltas conociendo los niveles de oferta y demanda que afectan mi bien o bienes que seproducen y/o comercializan.

4.1 Curva de demanda.

Por demanda se endiente:

Demanda: La cantidad de bienes que los agentes están dispuestos a comprar a distintos preciosdentro de un periodo, suponiendo otros factores constantes (céteris paribus).

La definición previa de demanda nos será de mucha utilidad al momento de derivar la curvacorrespondiente. De momento nos limitaremos a observar que, por demanda, se entiende a lacantidad de bienes adquiridos dado el precio de los mismos como un factor explicativo, y otroscomo pueden ser el nivel de ingreso nacional, medido por el PIB, el niv el de precios generales, elnivel de precios de otros bienes o servicios o factores como puede ser la temperatura, el nivel deprecipitación pluvial, la escolaridad de un grupo de personas, etc.

De sobra sabe usted que la curva de demanda se representa, c asi siempre como una recta o unalínea curva cuya pendiente es negativa. Es decir, que se traza de izquierda a derecha y de arribaabajo, tal es el caso de la curva azul de la gráfica 4 -1. En la misma se aprecia que, conforme se

Qe Cantidad

P e

Precio

Demanda y Oferta



incrementa el precio o el b ien del servicio ofertado (céteris páribus ) la cantidad de biendemandado se reduce y viceversa. Por los tanto, se dice que existe una relación inversa entre elprecio y la cantidad demandada.

Esta curva es la clave de nuestro análisis microeconómico y se rá una de las piezas fundamentalespara explicar el comportamiento de los mercados. De entrada, nos dará luz de cómo pronosticarnuestros ingresos ante cambios en otros factores como los mencionados y, muy importante, anteel precio de venta que decidamos ofrecer a nuestros consumidores. Por tanto, antes de hablarsobre cómo derivaremos dicha curva, es de necesidad de hacer mención de cuáles podrían ser losfactores que podrían influir en la misma.

1. Patrones de consumo: Este factor puede incluso ser cuantif icado de diferentes maneras ycon diferentes indicadores. Por ejemplo, los institutos de Estadística como el INEGI (oequivalentes en otros países) publican cuál ha sido el nivel de consumo de los individuosen una economía. Las casas encuestadoras o los m ercadólogos investigadores puedenrealizar estudios de mercado a través de encuestas u observación directa para conocer losparones de consumo. Es decir observar en qué gasta la gente partiendo de característicascomo pueden ser nivel de ingresos, nivel de gasto, escolaridad, entorno socio-cultural, etc.

2. Ingreso: El mismo puede ser cuantificado ya sea a través de una medida nacional como esel PIB o el Ingreso Nacional Bruto (revise, por favor, sus apuntes de Macroeconomía) opuede ser determinado a través de encuestas o estudios de mercado. Quizá esta sea delos factores más influyentes en la cuantificación de la demanda de nuestro bien o bienesproducidos.

3. Precios de bienes o servicios relacionados: Como veremos en breve existen dos tipos debienes relacionados al estudiado: complementarios y sustitutos. Por ejemplo, el precio dela azúcar se relaciona mucho con el del café o el precio de la gasolina con el de losbiocombustibles. En el primer caso hablamos de bienes complementarios y el alza de unorepercute en la baja del otro. Los otros dos son bienes sustitutos ya que el incremento enel precio de la gasolina repercute de manera contraria en el de los biocombustibles.

4. Expectativas futuras: Este factor es demasiado amplio y se puede manifestar de muchasmaneras. De entrada, el mismo puede cuantificarse de manera agregada a través deldenominado índice de confianza del consumidor del INEGI u organismos estadísticossimilares. Otro caso puede ser la expectativa de baja de precio de un insumo. Por ejemplo,si esperamos que el precio de la gasolina suba, lo que haremos es comprar muchoinventario para cubrirnos o, como veremos en el apartado de incertidumbre, comprar unacobertura o compra a plazo (forward) de la misma.

5. Profundidad del mercado: Este factor se r efiere a la cantidad de potenciales compradoresdel bien o servicio ofertado. También debe ser tomado en cuenta para evitar situacionescomo la saturación del mercado la que repercutirá, como veremos en un momento, ennuestros niveles de rentabilidad.



4.2 Curva de oferta.

De manera complementaria, se tiene la curva de la oferta de un bien o servicio que, opuesta a laanterior, tiene pendiente positiva y se representa con la curva roja de la gráfica 4 -1. De maneraconsistente podemos definir a la oferta como:

Oferta: La cantidad de un bien o servicio que la gente se encuentra dispuesta a vender a distintosprecios dentro de un cierto periodo su poniendo constante el comportamiento de otros factores(céteris paribus).

De manera contraria a la demanda, un incremento en el precio hace que la cantidad de bienofertada se incremente (céteris páribus). De manera análoga, se pueden revisar los principalesactores que se considera influyen en la misma:

1. Factor innovación (tecnología): Este factor es quizá el más importante a explotar junto conlos costos y el cambio climático. El factor costo es el que permitirá ya sea el incrementar oreducir nuestros márgenes de beneficio o, manteniendo el precio de venta constante oincluso reduciéndolo, hacernos de una partici pación de mercado para satisfaceradecuadamente un nivel de demanda mayor, de tal forma que los niveles de ingreso seincrementen. Mientras más tecnología o innovación se tenga en el proceso productivo,mayor será la mejora de los costos (factor a ver a co ntinuación) y mejores oportunidadesse tendrán en la empresa.

2. Factor costos: El buen manejo de costos va muy de la mano de la tecnología. Sin embargo,algunas reestructuras o el tomar estrategias de compra a proveedores vía volumenpermite, como en el fact or anterior, una adecuada reducción (prorrateo) de costos quepermitirá ya sea incrementar los márgenes o mantener los mismos al reducir el precio deventa.

3. Precios de otros bienes y servicios relacionados: En este punto el productor puede estarofreciendo varios bienes o servicios que incluso puedan ser ya sea complementarios osustitutos. Por ejemplo, una cadena de café puede vender diferentes tipos del mismo(arábiga para bebidas en público más exigente o robusta para mercados masivos –nescafépor ejemplo-). Estos pueden venderse junto con bienes complementarios como azúcar.Sin embargo, pueden existir bienes sustitutos como son el chocolate o incluso las bebidasalcohólicas que también se consumen de manera social. Por tanto el precio del café enrelación al de otros bienes sustitutos es algo a tomar en cuenta.

4. Expectativas futuras: Este factor tiene la misma implicación que en el caso de la demandapero su aplicación es contraria. Una expectativa de crecimiento económico y de elevaciónde márgenes de beneficio podría provocar que entre nuevos participantes en el mercado.Lo propio sucedería con el caso contrario, quizá muchos productores decidan reducir susniveles o incluso salir del negocio.



5. Condiciones climáticas: Estas influyen mucho en bienes agrí colas o en energéticos. Porejemplo, un clima más adecuado con buenos niveles de lluvia hará que las cosechas seanmuy productivas, de tal forma que la producción de productos agrícolas se incremente,situación que impactará en el precio de venta. Por otro lado, un clima adecuado podríafomentar que el consumo de electricidad y energéticos se reduzca de manera sustancial yaque el empleo de climas artificiales como calentadores o aires acondicionados seaninnecesarios.

4.3 Estática comparativa y el equilibrio de mercado.

Ahora estamos en posibilidades de introducir el elemento básico de toda la teoría económica,siendo el caso de interés el nivel microeconómico. Retomando las propuestas de Smith, el preciode un artículo se fija en el punto de equilibrio del m ercado, el cual se da en un nivel de oferta ( oQ )

que satisface un mismo nivel de demanda ( DQ ): ( ) ( ) ( )e eO D O DsiQ Q P P Q P Q P Q .

El término “equilibrio” se ha tomado, como recordará usted de la revisión teórico -histórica, demúltiples proponentes pero es Leon Walras quien lo hace más popular al sugerir los análisisgeométricos y matemáticos de estática comparativa como el de la gráfica 4 -1 en donde sepresenta esa condición de equilibrio.

Gráfica 4-2 Curvas de oferta y demanda ahora desde la perspectiva de la microeconomía.

Antes de derivar las curvas de oferta y demanda partiendo de datos estadísticos observados,hagamos algunos análisis de estática comparativa que nos ayudarán a iniciar con el análisismicroeconómico que el autor espera asimile como propio en su proceso de análisis y toma dedecisiones.

4.4 Derivación de la curva de la demanda.

Qe Cantidad

P e

Precio

Demanda y Oferta



La forma en que se deriva la curva de demanda parte de la presencia de datos reales observados.En concreto observando cómo múltiples factores (incluyendo el precio del bien o servicio) afectanla cantidad de bien adquirido o demandado (denotada por Q ). Esto es:

( , , )Q i iQ F p p f

En este punto es donde se llevan a la práctica sus conocimientos de análisis económico propios dela Macroeconomía y en donde pondremos en práctica tanto nuestros conocimientos de cálculo ylos de estadística (revisaremos en breve un paréntesis sobre el análisis de regresión). Para derivarla curva de demanda como la de la gráfica 4 -2 deberemos seguir los siguientes pasos sugeridos:

1. Determinar los potenciales factores económicos, financieros, sociales y de otra índole quepuedan cuantificarse para un análisis estadí stico y que nos permitan describir elcomportamiento de la demanda.

2. Hacer el análisis de regresión para determinar qué factores, de los previamentedelimitados, son los que realmente explican el comportamiento y los que nos ayudarán aformar una curva de d emanda. En este paso se le sugiere trabajar siempre con variacionesporcentuales tanto de la demanda ( Q ) domo de los precios y factores. Con este análisis

llegaremos a una función de demanda ( , , )Q i iQ F p p f .

3. Despejamos el precio del bien ( QP ) en la función de demanda y con esto tendremos una

nueva función del tipo.( , , )Q i ip F Q p f

¿De qué nos sirve esto? Como veremos en el siguiente ejemplo, el hacer esto nospermitirá ir armando nuestro modelo de selección óptima en la empresa para iniciar con ladeterminación de una curva de ingresos, de tal forma que podamos decir “Dado un precio

Qp ¿cuánto debemos producir ( Q ) del bien o servicio para maximizar nuestros ingresos

totales (IT) ?” Ahora pasemos a un ejercicio de lo que se puede hacer en la empresa conun ejemplo de una empresa minera.

4.5 Ejercicio de la derivación de una curva de demanda (repaso delanálisis de regresión).

Partamos del hecho de que usted es la (el) directora (or) de finanzas de Grupo minero MéxicoS.A.B. de C.V. la cual es una empresa multinacional mexicana que extrae y comercializa cobre.Supongamos, como inicio, que la cantidad de toneladas métricas demandadas ( cQ ) del metal

depende de los siguientes factores:



1. El precio unitario del cobre en pesos ( QP ) que se obtiene del precio internacional en el

New York Mercantile Exchange o NYMEX (hoy parte del Chicago Mercantile Exchange oCME) multiplicado por el tipo de cambio peso -dólar de EEUU (USDMXN).

2. La variación porcentual trimestral (expresada como anual) del PIB de México ( MEXPIB ).3. La variación porcentual trimestral (expresada como anual) del PIB de Estados Unidos (

EEUUPIB ).

4. La variación porcentual trimestral (expresada como anual) del PIB de la zona Euro (

EURPIB ).

5. La variación porcentual trimestral (expresada como anual) del PIB de CHINA ( CHNPIB ).6. La variación porcentual del propio precio del cobre pero expresado en dólares y que es el

original del precio que calculamos previamente ( $CMEC ).

7. La variación porcentual del tipo de cambio USDMXN.8. El índice en original el indicadores adelantados de México ( MEXIA ).

9. El índice en original el indicadores adelantados de Estados Unidos ( EEUUIA ).

Con esto, la función de cantidad demandada se presumiría como la siguiente:

1 2 3 4 5

6 7 8 9$Q MEX EEUU EUR CHN

CME MEX EEUU

Q p PIB PIB PIB PIB

C USDMXN IA IA

(1)

Una pregunta que podemos plantearnos sería ¿Cómo determinamos el valor de los coeficientes, , ,? Aunque el tema de Econometría nos da para mucho análisis en su teoría y su

aplicación, aquí utilizaremos la técnica de regresión multivariada que es de las técnicas deregresión más básicas y empleadas. Recuerde que se le sugiere, si trabaja con índices, sus valoresoriginales y, salvo el precio, todos los factores o variables explicativas (las de la derecha de laigualdad. También se les llama “independientes”) se recomienda sean variaciones porcentuales. Laexplicación estadísti ca es relativamente simple pero sale del alcance de la revisión de estosapuntes. Eso se deja para cursos avanzados de econometría.

Retomando el objetivo que nos interesa, ya realizamos el primer paso y presumimos que lafunción e cantidad de mandada dad a en (1) es correcta. Sin embargo, debemos probar que estosea válido. Es decir, hay variables que nos pueden sobrar o no explicar, contrario a lo que creemosde un punto de partida. Para hacer este procedimiento, haremos una revisión al análisis deregresión, sus supuestos y la forma de ejecutarlo para los fines que nos interesan.

4.6 Paso dos: el análisis de regresión para nuestra función de demanda.



En este punto realizaremos un paréntesis temático, como el que hicimos en cálculo y álgebramatricial, para exponer el análisis de regresión. En este punto nos podremos apoyar con muchasherramientas informáticas como son R, Stata, SAS, S -Plus, SPSS, Eviews o Excel. Para fines deexposición simple, utilizaremos la última ya que las otras son más útiles para anál isis estadísticosmás robustos y amplios.

Para poder trabajar con el ejemplo, se le proporcionó un archivo de Excel titulado “ Datos para elejercicio de derivación de la curva de ingres os de Grupo Minero México”. En el mismo sepresentan los datos de las variables económicas que previamente mencionamos en la hoja decálculo titulada “datos originales”. Para poder realizar el ejercicio deberá tener usted instalada laherramienta de análisis de datos en Excel. Una vez hecho esto, por favor seleccione la opci ón“datos” en Excel 2007 o 2010 y ejecute la herramienta análisis de datos ya instalada. Por favor,busque y seleccione la opción regresión y presione aceptar. Debe aparecerle un cuadrodesplegado como el que sigue:

Ilustración 4-1 Cuadro de Excel de la herramienta regresión.

¿Qué vamos a hacer con esta herramienta? Vamos a determinar el valor de los coeficientes y'i s de la función de cantidad demanda (1):

1 2 3 4 5


CME MEX EEUU

Q p PIB PIB PIB PIB

C USDMXN IA IA

(1)



¿Qué es el análisis de regresión? Es una herramienta estadística que busca relacionar elcomportamiento entre dos variables presuponiendo lo siguiente. Para ilustrar su comportamiento,tengamos la siguiente gráfica:

Gráfica 4-3 Gráficas del análisis de regresión exponiendo los experimentos de Galton. Fuente: Kido y de la Torre (2010,p. 30)

Para exponer el concepto de regresión y sus supuestos volveremos de manera reiterada a lagráfica 4-3. De momento, lo único que nos interesa es la gráfica superior. ¿Qué hay en ella? Elconcepto de análisis de regresión proviene de un científico inglés del siglo XIX llamado FrancisGalton que, dentro de sus múltiples experimentos, estudió el comportamiento de la descendenciade un grupo de chícharos. Lo primero que hizo fue pesar y medir el tamaño de los chícharos padre.Luego sembró a estos e hizo lo propio con los hijos. Era de es perarse que los padres grandestendrían hijos del mismo tamaño o mayores pero se llevó la sorpresa de que, en algunos casos, loshijos eran más pequeños. Esto le llevo a concluir que los padres y toda la población de chícharostienen un tamaño promedio y que la magnitud observada en la descendencia y en todos tiene unaconvergencia a la media. Es decir regresa a la media. A este efecto, en términos estadísticos, lellamó “regresión” por esa regresión a la media.

Es en este punto que debemos revisar ahora e l concepto de media, desviación estándar y, unomuy importante, el de media condicional.

Como punto de partida, en Estadística se tiene el concepto de variable aleatoria. Por ejemplo, elvalor de a variación porcentual del PIB o del tipo de cambio son con secuencia del procederhumano, pero nosotros, como meros observadores, no tenemos mucho poder para influir en su

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

8

10Experimento de Galton (1875)

Tamaño de los padres (x)

Tam

año

dela

des

cen

den

cia

observaciones padre-hijo en chícharoregresión correcta

regresion 1regresión 2

0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8Residuos de la regresión correcta

observación0 2 4 6 8 10

0

2

4

6

8

10Residuos de la regresión 1


-2

0

2

4

6


observación

10

100

200

300

regresión correctaregresión 1

regresión 2



valor13 por lo que, a nuestra óptica, el valor de estos y otros indicadores es aleatorio y, por tanto,estas variables recibirán el grado de “va riables aleatorias”.

Una variable aleatoria, como las de nuestra función de cantidad de demanda (1), tiene valoresinciertos que se modelan con probabilidades. Hay muchas formas y fórmulas matemáticas paracalcular probabilidades cuya revisión no es el ob jeto de estudio de esta materia. Sin embargo, lasvariables aleatorias pueden estimarse dadas las probabilidades de suceso que cada uno de susvalores puede adoptar.

Cuando tenemos una variable aleatoria como la variación porcentual del PIB mexicano o del tipode cambio, los valores de la misma se pueden resumir estadísticamente con el promedio o media () y la desviación estándar () cuya definición más simple es que la separación que, enpromedio, tiene cada dato o valor de la variable observada respecto a su promedio o media ( ).Esta medida se dice que es una medida de “variabilidad promedio” o de “dispersión”, siendo lamedia una “medida de tendencia central”.

Ya que presentam os la media y la desviación estándar, algo que debemos tener siempre en cuentaes que, para calcular su valor, debemos conocer todos los valores que han existido, existen yexistirán en, digamos como ejemplo, la variación porcentual del tipo de cambio. Es decir, conocerlos valores como 1.01%, 1.001%, 1.0001%,… 1.0002%,… 1.0003% y así sucesivamente. Imposiblede conocer todos los valores ¿no? Cuando tenemos (o suponemos que tenemos) todos los valoresque pueden existir en una variable aleatoria decimos que estamos trabajando con la población dedatos. Sin embargo, en la realidad, no tenemos todos los datos de la población sino una muestrade los mismos. Entonces solo tenemos un fragmento de la población.

Para ilustrar la idea, observe la siguiente gráfica:

13 Esto nos llevará al concepto de competencia perfecta y algunas conside raciones relativas al oligopolio quevisitaremos más adelante.



Gráfica 4-4 La función de probabilidad “gaussiana” o normal de una población de todos los valores de una variablealeatoria teórica comparada con la función de probabilidad de tres muestras diferentes.

No entraremos en detalles sobre la lógica matemática de la distribución de probabilidadgaussiana14 pero sí debemos destacar lo siguiente: observe la línea recta a la mitad de cadacampana o distribución de probabilidad. La roja corresponde a la probabilida d de suceso de todoslos datos de la población y las de otros colores a las medias y probabilidades de muestras como lasque conforman los datos de nuestras variables económicas.

Las tres muestras expuestas corresponden a una misma variable aleatoria: el peso que puedetener tres embarques diferentes de 30 aguacates. Note cómo la muestra es diferente la media opromedio y la distribución de probabilidad. Cuando trabajamos con datos muestrales, decimosque tenemos una media muestral ( x ), que calculamos como un promedio al igual que la mediapoblacional, y un error estándar que no es más que la desviación estándar de la muestra dividida

entre n ( /x n ).

Ahora, con el ejemplo dado que nos expone la media o valor promedio que tiene una variablealeatoria (como la variación porcentual del tipo de cambio), se observa que la media de la mismadepende del comportamiento aleatorio de sí misma. Sin embargo, como estamos estableciendoen nuestra función de cantidad demandada (1), el valor de la cantidad (y su valor promedio)depende del comportamiento de otras variables aleatorias por lo que la media de Q no es una

14 Para el lector interesado en profundizar con la estadística la bibliografía de Levin y Rubin (2004) o la de McClave, Benson y Sincich (2005) son excelentes opciones introductorias fáciles de comprender. A su vez,puede solicitar por escrito las notas de estadística II del profesor.

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Distribución de probabilidad de población y distribuciones de cada muestraP

rob

abili

dad

Peso de cada aguacate en la población o muestra

Distribución de probabilidad poblacional



media simple sino una media condicionada: | iy x . Regresemos a la parte superior de la gráfica 4-3:

Ya que introdujimos el concepto de media condicionada y el concepto de regresión, podemosapreciar una línea roja continua. Esta es la recta de regresión o recta que la media condicionada de

| tamaño promedio de la descendencia dad o el tamaño de los padres ( )i iy x x . Por ejemplo,

dado un peso de 1ix mg mg por parte del padre, se espera que en promedio la descendencia

pese | 2iy x mg . Si el padre pesa 9ix mg , se espera que la descendencia pese en promedio

| 2.5iy x mg . Eso es lo que nos dice la recta de regresión que no es más que la gráfica de una

simple función lineal (por eso a la regresión también se le llama “regresión lineal”). Por tanto, lafunción que modela la recta, para todos los valores de tamaño que pueden adoptar los padres ( ix )

se da por la siguiente función de la recta de regresión:

| i iy x x (2)

Usted recordará del tema de funciones lineales que no es más que la intersección de la funcióncon el eje y es la pendiente de la recta de regresión. Entonces, cuando calculamos unaregresión, para nuestro ejemplo económico, del valor promedio esperado de la cantidaddemandada de un bien ( Q ), dado su precio ( Qp ) podemos llegar a la siguiente regresión o media

condicional:

QQ p

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

2

4

6

8

10Experimento de Galton (1875)

Tamaño de los padres (x)

Tam

año

dela

des

cen

den

cia

observaciones padre-hijo en chícharoregresión correctaregresion 1

regresión 2

0 2 4 6 8 10-2

0

2

4

6

8Residuos de la regresión correcta


0

2

4

6

8



-2

0

2

4

6


observación

10

100

200

300

regresión correctaregresión 1

regresión 2



¿Qué pasa si al ejemplo de los chícharos le hubiéramos agregado otra variable, por ejemplo, elnivel de riego ir ? Entonces tendríamos una recta de regresión multivariada como esta:

1 2| i i iy x x r (3)

Su representación gráfica ya no sería una recta sino un plano con los diferentes niveles de mediaesperada dado el peso del padre por un lado y el nivel de riego que recibió el hijo por otro,suponiendo claro está, que el peso del padre es constante cuando se analiza la relación riego -tamaño del hijo ( 1) o que el nivel de riego es constante cuando se analiza la relación tamaño del

padre-tamaño del hijo ( 2 ). Su representación gráfica sería un plano como este:

Gráfica 4-5 plano de regresión del tamaño promedio esperado del hijo dado el tamaño del padre y nivel de riego.

Una recta de regresión como la que se tiene en (3) o en nuestro ejemplo (1) es una regresiónmultivariada que nos dice “cuál es el valor promedio esperado (por ejemplo para Grupo México)de la cantidad demandada de cobre dados los nueve factores incorporados”.

Para poder hacer un análisis de regresión podríamos incorporar todas las variables que se nosocurra como el PIB de Sri -Lanka, el número de meteoritos que caen en México cada trimestre o elnúmero de payasos promedio en las fiestas infantiles de cada trimestre. Ciertamente estasvariables no tienen mucha relación con la demanda de cobre de grupo México. Sin embargo, enocasiones y como veremos en nuest ro ejemplo, incorporamos variables que tienen una lógicaeconómica pero que, a pesar de esto, en términos estadísticos no tienen poder de explicación. Portanto, un modelo de regresión como el expuesto en (1) debe cumplir los siguientes supuestos paraser válido:

1 2 3 45 6 7 8 9 10

00.10.20.3

0.40.50.60.70.8

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Tamaño de los padres

Regresión multivariada

Nivel de riego

Tam

año

dela

des

cen

den

cia



1. Que las variables tengan cierto grado de dependencia o relación estadística.2. Que la influencia de la relación de dependencia que la variable x tiene con la y es ajena

a la relación que existe de z con y ¿recuerda usted el supuesto de céteris paribus quevimos en el tema de derivación parcial? aquí aplica . Es decir, la influencia que tiene x sobrey se da suponiendo como constante o ajena la influenci a de z sobre y.

3. Que los valores de los coeficientes y 'i s sen estadísticamente diferentes de cero.

¿Qué es exactamente esto? Hagamos una breve pausa aquí. Vea, por favor de cuentanueva la gráfica 4 -4.

En la misma usted puede apreciar que las medias muestrales son diferentes a lapoblacional y entre sí. Esto, como vimos previamente, es algo peligroso si las variacionesentre medias muestrales es muy grande 15. Al igual que la media muestral, los coeficientes y 'i s son resultado de análisis estadísticos que tienen como insumo datos

pertenecientes a una muestra, por lo tanto, nos exponemos al peligro de que si hoytomamos una muestra de datos económicos y, en un año, tomamos otra los valores dedichos coeficientes pueden ser diferentes, llevándonos a conclusiones diferentes respectoa la cantidad demandada. Si la variación no es mucha, el problema no es serio pero ¿quépasa si, en muchas muestras diferentes, lo s valores de dichos coeficientes son cero:

15 El grado de variabilidad entre medias se aproxima con el error estándar previamente d efinido

/x n .

40 60 80 100 120 140 160 180 200 220

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

Distribución de probabilidad de población y distribuciones de cada muestra

Pro

babi

lida

d

Peso de cada aguacate en la población o muestra

Distribución de probabilidad poblacional



0, ' 0i s ? Pues de nada nos serviría incluir esa variable económica dentro de la

ecuación de demanda ¿no lo cree usted así?

Dicho esto, es necesario observar como necesidad el determinar que la probabilidad deque los valores de los coeficientes y 'i s , en una infinidad de muestras diferentes,

sean estadísticamente diferentes de cero 16. Por lo general una probabilidad inferior al 5%es aceptable. En breve veremos cómo opera este requisito. Es muy simple.

4. De la mano del supuesto anterior, debemos suponer que las variables aleatorias delanálisis están gaussianamente distribuida s o al menos t-Student distribuidas. Para nocomplicar la cosa, simplemente nos quedaremos con que están “normal” ogaussianamente distribuidas. Es decir, si graficamos todos los posibles valores de lamuestra o la población de datos en el eje x y la probabilidad de suceso en el y, tendremosuna gráfica de campana como las vistas en la gráfica 4-4.

5. El modelo en su totalidad debe tener un grado de explicación alto medido con el

coeficiente 2R ajustado . Para exponer la idea vea detenidamente la siguiente gráfica:

Gráfica 4-6 Comparativo del ajuste de una regresión buena (izquierda) y una espuria o mala (derecha).

En la misma se corrió la regresión de la variación porcentual del tipo de cambio dado el delas exportaciones. Esto se hizo en dos escenarios. El primero de ellos en un caso en dondela regresión es muy buena dado que los datos tienen una evidente relación estadística. Esdecir, los puntos que representan los diferentes niveles de variación porcentual del T.C.

16 La forma de cálculo y la noción estadística del cálculo de esta probabilidad sale de la óptica de laspresentes notas pero el lector interesado puede consultar las referencias previamente citadas o el libro deKido y De la Torre (2010).

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Regresión con ajuste alto -variación de tipo de cambio v.s. variación del nivel de importaciones

Variación de exportaciones

Var

iaci

ón

de

T.C

.

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12-30

-20

-10

0

10

20

30Regresión con ajuste bajo -variación de tipo de cambio v.s. variación del nivel de importaciones

Variación de exportaciones

Var

iaci

ón

de

T.C

.



dado el de las exportaciones están más cercanos a la recta de regresión o recta de lamedia condicionada que el caso de la derecha. En el modelo bueno, el valor delcoeficiente 2R ajustado sería de alrededor de 0.8675; mientras que en el de la derecha

sería de 0.3432. Los valores del 2R ajustado son entre 0 y 1. (0% y 100%) que representael grado de explicación. Valores arriba de 0.6 pueden ser aceptables aunque, en muchasocasiones, esto no se cumpla. Podemos comparar un modelo como (1) con otro que sol otenga 2 variables explicativas y quizá podríamos toparnos con la grata sorpresa de que elmodelo más simple tiene un 2R ajustado más alto. Es decir, explica mejor elcomportamiento de la variable dependiente.

Entonces, aunque hay más pruebas que debemos hacerle al modelo de regresión, estas salen de laóptica de esta materia. Con observar, primero, que los coeficientes tienen una probabilidad bajade ser diferentes de cero a nivel poblacional y, segundo, iterar entre varios modelos de regresión

que cumplan con el criterio anterior pero que nos lleven a uno de ellos con el 2R ajustado másalto, es suficiente. Una buena referencia para profundizar en los diferentes tipos de prueba puedeser Gujarati (2005) o el primer capítulo de Kido y De la Torre (2010).

Ya que definomos lo que debemos hacer con el análisis de regresión, retomemos nuestro ejemplode Grupo minero México. Decíamos que cuando entra a Excel en el análisis d regresión dentro dela herramienta de análisis de datos, usted llegará a esta ventana:

Lo primero que le pide es el rango de entrada Y. Es decir, que seleccione todos los datos quecorresponden a Q . Por favor de clic en el cuadro con la flecha roja y seleccione todos los datosincluyendo el encabezado “Q”. En el rango X de entrada haga lo propio con los datos yencabezados de las variables explicativas. Posteriormente, seleccione la opción “rótulos” para



indicarle a Excel que la primera fila corresponde a los rótulos con los nombres de cada variable yseleccione el resto de opciones como se indica en la figura. Una vez hecho esto, por favor presioneaceptar para llegar a una nueva hoja de cálculo en donde se presenta, hasta abajo, el resultado dela regresión con los siguientes coeficientes:

Tabla 4-1 Resultado del primer modelo de regresión.

Usted podrá ver que el coeficiente 2R ajustado no es malo (0.672) pero muchos coeficientes de laecuación de regresión (marcados con amarillo) tienen probabilidades muy por encima de 5%.¿Qué hacemos? Eliminamos los casos con las probabilidades más altas (El indicador adelantado deEEUU o IA_US, la v ariación porcentual del precio internacional del cobre o C$_CME y el PIB deEEUU o PIB_US).También deberíamos eliminar la intercepción ( ) pero, como es un procesoiterativo, dejémosla. Si sigue dando problemas la quitamos. Esto no s obliga a copiar la hoja condatos originales y crear una nueva eliminando las tres mencionadas. Una vez hecho esto, corremosde nuevo el análisis de regresión para llegar a la siguiente tabla de regresión:

Tabla 4-2 Resultado del segundo modelo de regresión.

Note cómo ahora solo tres variables y la intercepción tienen probabilidades superiores a 5% ycómo se redujo en una medida aceptable el grado de explicación con un 2R ajustado de 0.6153.Sigue siendo no bueno pero aceptable. Entonces corra ahora de nuevo el modelo de regresión alcrear una nueva hoja de datos sin estos tres variables para llegar a esta nueva tabla de regresión:

Tabla 4-3 Resultado del tercer modelo de regresión.

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción -0.986198251 2.191702894 -0.449968951 0.655588756P_Q -0.016116761 0.006662505 -2.419024303 0.02106295PIB_MEX -0.014068044 0.011863851 -1.185790773 0.243926106PIB_US 0.007303891 0.023301418 0.313452625 0.755851766PIB_EURO 0.032990663 0.026285031 1.255112193 0.217996569PIB_CHN -0.09064315 0.033355883 -2.717456127 0.010274442C$_CME -0.001258759 0.003210548 -0.39206991 0.697453481USDMXN -0.003359597 0.00606755 -0.553699168 0.583408087IA_MEX 0.036403729 0.023314531 1.561417992 0.127686146IA_US -0.000373261 0.007706749 -0.048433011 0.961654545

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción -1.179511735 1.589473351 -0.742077075 0.462725643P_Q -0.016970486 0.004868732 -3.485606949 0.00128189PIB_MEX -0.013409737 0.009140063 -1.467138427 0.150787659PIB_EURO 0.03507288 0.022949812 1.528242618 0.134957113PIB_CHN -0.093029671 0.024878235 -3.739399992 0.00062285USDMXN -0.002861867 0.005755772 -0.497216852 0.621978052IA_MEX 0.038604046 0.016289458 2.369879164 0.02311984

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadIntercepción -1.153835098 1.555518031 -0.741769028 0.462560629P_Q -0.017138748 0.004691337 -3.653275948 0.000743392PIB_CHN -0.074469951 0.021074349 -3.533677424 0.001051032IA_MEX 0.036666114 0.015739115 2.3296172 0.024960109



El grado de explicación de este nuevo modelo casi no cambió al tener un de 0.6129. lo que sugiereun buen modelo salvo por una cosa: la probabilidad de la intercepción de ser diferente a cero anivel muestral es muy alta (arriba de 5%) por lo que debemos correr de nuevo el modelo sin lamisma. Aquí ya no tendrá que crear una hoja nueva de datos. Simplemente llame de nuevo lafunción de regresión y seleccione la opción “Constante igual a cero”. Con esto de saparecerá dela regresión. Esto nos lleva a la nueva regresión dada por los siguientes resultados:

Tabla 4-4 Resultado del cuarto y último modelo de regresión.

Note ahora dos cosas. Primero todos los coeficientes tienen probabilidades bajas de tener valores

de cero y el coeficiente 2R ajustado dio un salto de 0.6129 a 0.9338 que es excelente nivel deexplicación. Es decir, el modelo es bueno, válido o preciso en un 93.3%. Esto nos lleva a simplificaruna función que determina el nivel promedio esperado de la cantidad demandada Q de toneladasmétricas de cobre para la empresa de una forma funcional dada en (1) a una mejor dada en (3):

1 2 3 4 5


CME MEX EEUU

Q p PIB PIB PIB PIB

C USDMXN IA IA

(1)

1 2 3Q CHN MEXQ p PIB IA (3)

Ahora viene la pregunta natural ¿Qué paso? ¿Qué hicimos? Por qué se eliminaron las variablespara pasar de una expresión amplia como (1) a una más simple como (3). La respuesta económicaconsiste en observar que si bien es cierto que el PIB de México, EEUU , Europa, el tipo de cambio ylos demás factores influyen en el nivel de ventas, algunas de las variables no inciden directamenteen la demanda de cobre. Por ejemplo, la variación porcentual del precio del cobre y del tipo decambio vienen implícitas en Qp ya que este último es el resultado de multiplicar el precio del

cobre en el CME por el tipo de cambio vigente. Por ende, resulta repetitivo el incluir estas dosvariables en el modelo y el análisis de regresión nos lo demostró. El PIB de EEUU, México y Europaes muy influyente a nivel internacional al igual que sus indicadores adelantados. Sin embargo, apesar de que Grupo minero México es netamente exportador y su principal mercado actual no sonestos mercados sino China quien está en una fase de crecimiento y desarrollo de infraestructuramuy alta. Esto implica que su demanda de cobre para construir casas, instalaciones eléctricas yotro tipo de bienes duraderos o manufacturados es alta. Por ello la gran influencia del PIB chino.Ahora, los indicadores adelantados de México (que recordará usted de su clase de macroeconomía

Coeficientes Error típico Estadístico t ProbabilidadP_Q -0.013820204 0.001404165 -9.842295867 2.33479E-12PIB_CHN -0.079333401 0.019918312 -3.982937973 0.00027222IA_MEX 0.025087573 0.002005735 12.50792273 1.39995E-15



que nos dicen cuál será el rumbo de la economía en el futuro) tienen mucha influencia debido aque, si se perciben buenas perspectivas en el crecimiento mexicano, la construcción y el desarrollode proyectos eléctricos (principales consumidores de cobre) en el país (otro de sus principales mercados) será mayor. Ahora notemos los valores y los signos de los coeficientes:

1 2 3 0.01382 0.0793334 0.0250875Q CHN MEX Q CHN MEXQ p PIB IA p PIB IA (4)

De entrada la relación inversa con el precio se mantiene. El valor del coeficiente implica que, porcada incremento de $1.00 en el precio de la tonelada métrica de cobre, la demanda caerá en0.01382 miles de tm (13.82 tm si regresamos a la escala ogirinal)17. A su vez, aquí se tiene algo queteóricamente no debería suceder pero es así por cuestiones estadísticas: por cada incremento de1% del PIB chino, al demanda caerá en 0.07933 miles de tm o en 7.9 mil tm y, en caso contrario,por cada punto que se incrementen el ín dice de indicadores adelantados en México, la demandahará lo propio en 0.02508 miles de tm o en 2.5 mil tm.

Hasta aquí hemos realizado los dos primeros pasos:

1. Definir cuáles podrían ser las variables o factores que explican el nivel de demanda decobre.

2. Probar diferentes modelos de regresión hasta encontrar el más apropiado aunque nocumpla todos los criterios pedidos 18.

4.7 Paso tres: obtener la curva de demanda dada la de la cantidaddemandada.

Ahora procederemos al tercer y último paso: despejar el precio ( Qp ) y tener la función que nos

ayude a trazar la recta de demanda correspondiente. Para ello, apelaremos al criterio céterispáribus y tomarnos el valor de la variación porcentual del PIB chino y de los indicadoresadelantados como fijos y los sustituiremos en la ecuación (4):

17 Si observa detenidamente los datos, podrá apreciar que los mismos están expresados en miles para loscasos que aplica. Por ejemplo, un precio de MXN$130,000 de la tm de cobre se expone como $130 y 2,500tm de demanda se presenta como 2.5. Las variaciones porcentuales se expresaron 7.5% como 7.5. Esto sehizo así para fines de escala y mejor manejo de cifras. Lo propio se le sugiere hacer.18 Afortunadamente no fue el caso en nuestro ejemplo.



7.6 128.4

0.01382 0.0793334 0.02508

0.01382 0.0793334 7.6 25.0875 128.4

0.01382 602.9338 3,221.23

Q=2.6183 0.01382

:2.6183 Q

0.01382189.45

CHN MEX

Q CHN MEX

Q

Q

Q

Q

Q

siPIB yIA

Q p PIB IA

Q p

Q p

p

Despejando

p

p

-72.357 Q

Si graficamos la función anterior veremos l a relación existente entre el precio de la demanda y lacantidad demandada (miles de toneladas métricas de cobre) dada la funció n que obtuvimos conlos datos económicos y financieros y dado el nivel de ventas de la empresa.

Gráfica 4-7 Curva de la demanda para el ejemplo de Grupo México.

4.8 Elasticidad de la cantidad demandada.

1 1.5 2 2.50

20

40

60

80

100

120Curva de demanda

Q: cantidad (miles de toneladas métricas)

P:

pre

cio

(mil

es)



Ahora ya tenemos nuestra curva de demanda que, como veremos en breve, nos servirá paraderivar una función de ingresos totales (IT) en la empresa. Antes de ello, debemos hacer menciónde los diferentes tipos de elasticidades que existen en la microeconomía . Empezaremos con laelasticidad precio demanda.

4.8.1 Elasticidad precio demanda.

El concepto de elasticidad no es más que una pendiente o una razón de cambio de una funcióncomo la de la demanda de toneladas métricas de cobre, dado el cambio en el precio del mismo:

Q

Qelasticidad

p

Aunque el concepto de elasticidad aplica para otros casos como veremos en breve, con ladefinición genérica de elasticidad dada, podemos llegar al concepto de elasticidad precio -demanda que acabamos de proporcionar pero que presentaremos de manera formal:

Elasticidad precio-demanda: Cambio de la cantidad demandada de un bien, dado el cambio en suprecio.

¿Recuerda usted el concepto de derivada? Pues la primera derivada es la razón de cambio de lafunción que modela la cantidad demandada dado el nivel actual de precio del bien. Siguiendo elejemplo de Grupo minero México:

si Q=2.6183 0.01382 0.01382QQ

dQpdp

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Notas de apoyo para el curso Primera Edición,...

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