NOTAS DE CLASE-C2-ANTID-2015.pdf

1

INTEGRACIÓN

ANTIDERIVADAS E INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA

¿Cómo se puede emplear una tasa de inflación conocida para determinar precios futuros? ¿Cuál es la

velocidad de un objeto en movimiento rectilíneo con aceleración conocida? ¿Cómo se puede usar la tasa a

la cual cambia la población para predecir niveles futuros de población? En todas estas situaciones se conoce

la derivada (tasa de cambio) de una magnitud, y se quiere conocer esa magnitud. A continuación se presenta

la terminología que se usará en el proceso de obtención de una función a partir de su derivada.

Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea

3( ) 4f x x

Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que

4( )F x x ya que 4 34

dx x

dx

Esto permite definir lo siguiente.

Definición:

Una función F es una antiderivada (o una primitiva) de f en un intervalo I si '( ) ( )F x f x para

todo x en I .

Observación

Decimos que F es una antiderivada de f y no que es la antiderivada de f . La razón es que, por

ejemplo,

4 4 41 2 1( ) , ( ) 3 y ( ) 54F x x F x x F x x

son, todas ellas, antiderivadas de 3( ) 4f x x . De hecho, para cualquier valor de la constante C ,

4( )F x x C es antiderivada de f .

Definición: Antiderivada general

Si F es una antiderivada de f en un intervalo I , entonces la antiderivada general, G , de f en I

es de la forma

( ) ( )G x F x C , para todo x en I

donde C denota una constante.

Observación:

Resulta claro que el cálculo de antiderivadas o primitivas no determina una única función, sino

una familia dé funciones, que difieren entre sí en una constante.

El proceso de hallar todas las antiderivadas de ( )f x se denomina integración indefinida o antiderivación

y se denota por el símbolo , llamado signo de integración, la expresión ( )f x dx se lee la integral

indefinida de ( )f x con respecto a x .

INTEGRAL INDEFINIDA

Definición:

Si ( )F x es una antiderivada de ( )f x en un intervalo I , entonces a su antiderivada general

( ) ( )G x F x C se le denota por

( ) ( )f x dx F x C x I

Llamada la integral indefinida de ( )f x con respecto a x .

2

Propiedades

Sean ,f g funciones derivables y k constante, entonces:

a) ( ) ( )kf x dx k f x dx

b) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx

FÓRMULAS BÁSICAS DE INTEGRACIÓN

Sea ( )u u x una función diferenciable en

x , entonces:

1.

1

1

nn u

u du Cn

2. lndu

u Cu

3. u ue du e C

4. , 0 1ln

uu a

a du C a aa

5. 2 2

1arctan , 0

du uC a

a au a

6. 2 2

1ln 0

2

du u aC a

a u au a

7. 2 2

1ln 0

2

du u aC a

a u aa u

Integrales que contienen raíces cuadradas

8. 2 2

2 2ln 0

duu u a C a

u a

9. 2 2

2 2ln 0

duu u a C a

u a

10. 2 2

arcsin 0du u

C aaa u

11. 2 2

1arcsec 0

uduC a

a au u a

12.

22 2 2 2 2 2ln

2 2

u au a du u a u u a C

13.

22 2 2 2 2 2ln

2 2

u au a du u a u u a C

14.

22 2 2 2 arcsin

2 2

u a ua u du u a C

a

Integrales que contienen funciones

trigonométricas

15. sin cosudu u C

16. cos sinudu u C

17. tan ln cosudu u C

18. cot ln sinudu u C

19. sec ln sec tanudu u u C

20. csc ln csc cotudu u u C

21. csc ln csc cotudu u u C

22. 2sec tanudu u C

23. 2csc cotudu u C

24. sec tan secu udu u C

25. csc cot cscu udu u C

Integrales que contienen funciones hiperbólicas

26. sinh coshudu u C

27. cosh sinhudu u C

28. tanh ln coshudu u C

29. coth ln sinhudu u C

30. 2sech tanhudu u C

31. 2csch cothudu u C

32. sech tanh sechu udu u C

33. cosh coth cschu udu u C

3

Integrales que contienen funciones

trigonométricas inversas

34. 2arcsin arcsin 1udu u u u C

35. 2arccos arccos 1udu u u u C

36. 21

arctan arctan ln(1 )2

udu u u u C

37. 21

arccot arccot ln(1 )2

udu u u u C

38. 2arcsec arcsec ln 1udu u u u u C

39. 2arccsc arccsc ln 1udu u u u u C

Formulas útiles de integración

40.

11 ( )( )

1

nn ax b

ax b dx Ca n

41. 1ax b ax be dx e Ca

42. 1

lndx

ax b Cax b a

43. 1

sin( ) cos( )ax b dx ax b Ca

44. 1

cos( ) sin( )ax b dx ax b Ca

EJERCICIOS RESUELTOS

Halle las siguientes integrales

1) 2

3dx

x

Solución:

32 3

2 3

3 13 3

3

xdx x dx C x C C

x x

2) 33 2 5x x dx

Solución:

3 3 33 2 5 3 2 5 3 2 5x x dx x dx xdx dx x dx xdx dx

4 24 23

3 2 5 54 2 4

x xx C x x x C

3) (2sin 3cos )x x dx

Solución:

(2sin 3cos ) 2sin 3cos 2cos 3sinx x dx xdx xdx x x C

4) 2(2 tan )θ dθ

Solución:

2 2(2 tan ) 2 tan 2 secθ dθ dθ θdθ θ θ C

5)

2 3 2

2

x xdx

x

Solución:

2 2 13 21

2 2

x xx xdx dx x dx

x x

2

2

xxdx dx x C

4

6) 23 5 2x x dx

Solución:

2 23 5 2 3 5 2x x dx x dx xdx dx

3 3/22 1/23 5 2 3 5 2

3 3 / 2

x xx dx x dx dx x C

3 3/22 52

3x x x C

7) 4

5 te dtt

Solución:

4 4 15 5 4 5 4ln 5t t t te dt dt e dt dt e dt t e C

t t t

8) /21 5

3

xe dxx x

Solución:

/2 /2

1/2

1 5 1 1 15

3 3

x xe dx dx dx e dxx xx x

1/21/2 /2 /21 1 1

ln 5 ln 5 23 1/ 2 3 1/ 2

x xxx x dx e x e

1/2 /21ln 10 2

3

xx x e

9) 3 1

22

xx

Solución:

3 3/2

1/2

1 12 2

2 2x dx x dx

x x

5/23/2 1/2 1/21 1

2 22 5 / 2 2

xx dx x dx dx x dx dx

1/25/2 5/2 1/22 2 2 4

2 25 3 1/ 2 5 3

xx x C x x x C

10) 2/31

( 1)3

x x dx

Solución:

2/3 1/3 2/3 1/3 2/31 1 1 1( 1)

3 3 3 3x x dx x x dx x dx x dx

4/3 1/34/3 1/31 1 1

3 4 / 3 3 1/ 3 4

x xC x x C

5

11)

3

2sin3

xex dx

Solución:

3 331

2sin 2sin 2 sin3 3 3

x xxe e

x dx dx xdx e dx xdx

331 1

2cos 2cos3 3 9

xxe

x C e x C

12) 0.02 0.13 4t te e dt

Solución:

0.02 0.13 0.15 0.02 0.15 0.024 4 4t t t t t te e dt e e dx e dt e dt

0.15 0.020.02 0.1520

4 40.15 3 0.02

t tt te e

e dt e C

0.15 0.0220200

3

t te e C

13) 2tan 3cosx x dx

Solución:

2 2 2tan 3cos tan 3cos sec 1 3cosx x dx xdx xdx x dx xdx

2sec 3 cos tan 2sinxdx dx xdx x x x C

14) 2

2sin 2x dxx

Solución:

2 2 1

2sin 2 2sin 2 2 2 sin 2x dx dx x dx dx x dxx x x

cos(2 )2ln 2 2ln cos(2 )

2

xx C x x C

15)

23 2 3z zdz

z

Solución:

2 23 2 3 3 2 3 33 2

z z z zdz dz z dz

z z z z z

3 13 2 3 2 3zdz dz dz zdz dz dz

z z

232 3ln

2z z z C

16) 1/2 2 2t t t dt

Solución:

1/2 2 3/2 1/2 1/2 3/2 1/2 1/22 2 2t t t dt t t t dt t dt t dt t dt

5/2 3/2 1/21/2 5/2 3/22 2

2 25 / 2 3 / 2 5 3 1/ 2

t t tt dt t t C

5/2 3/2 1/22 24

5 3t t t C

6

17) 3 2 12 5x x dx

x

Solución:

3 2 2 3 2 3 212 5 5 2 10 5 11 2x x dx x x x x dt x x x dt

x

3 2 3 25 11 2 5 11 2x dx x dx xdx x dx x dx xdx

4 3 25 11

4 3x x x C

18)

4 2

3

10 25

5

z zdz

z z

Solución:

2

2 24 2 2

3 2

5 510 25 5

5 5

z zz z zdz dz dz dz

z z zz z z z

25 5 15

2

zz dz zdz dz dz

z z z

2

5ln2

zz C

19)

4 2

2

20 3 15

5

x x xdx

x

Solución:

4 2 4 22

2 2 2 2

20 3 15 20 3 15 3 34

55 5 5 5

x x x x x xdx dx x dx

xx x x x

2 33 3 4 3 14 3

5 3 5x dx dx dx x x dx

x x

34 33ln

3 5x x x C

20) 2 5

2

xdx

x

Solución:

2 5 2 4 1 2 4 1 2( 2) 1

2 2 2 2 2 2

x x x xdx dx dx dx

x x x x x x

1 12 2 2 ln 2

2 2dx dx dx x x C

x x

21) 1

2 1

xdx

x

Solución:

Primera forma:

2 2 1(2 2)

1 1 2 2 1 2 2 3 32 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1

xx

x x xdx dx dx dx dx

x x x x x

1 2 1 3 1 2 1 3 1 31

2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1

x xdx dx dx

x x x x

1 3 1 3 1 1 3

ln 2 1 ln 2 12 2 2 1 2 2 2 2 4

dxdx x x C x x C

x

7

Segunda forma:

Dividamos 1x entre 2 1x usando el método tradicional

1 2 1

1/ 2 1/ 2

3 / 2

x x

x

Recuerde que

D dD qd r

r q

Así

1 3 1 1 31 (2 1)

2 2 2 1 2 2(2 1)

xx x

x x

Entonces

1 1 3 1 3 1 3

2 1 2 2(2 1) 2 2(2 1) 2 2 2 1

x dxdx dx dx dx dx

x x x x

1 3 1 1 3

ln 2 1 ln 2 12 2 2 2 4

x x C x x C

22) 1

xdx

x

Solución:

1 1 1 1 11

1 1 1 1 1

x x xdx dx dx dx

x x x x x

1

ln 11

dx dx x x Cx

23) 2sinh 5cosh )x x dx

Solución:

2sinh 5cosh ) 2 sinh 5 cosh 2cosh 5sinhx x dx xdx xdx x x C

24) tan cot

sin

x xdx

x

Solución:

tan cot tan cotsec cot csc

sin sin sin

x x x xdx dx dx xdx x xdx

x x x

ln sec tan cscx x x C

25) 2

1 sin

cos

xdx

x

Solución:

2

2 2 2

1 sin 1 sin sin 1sec

cos coscos cos cos

x x xdx dx x dx

x xx x x

2 2sec tan sec sec tan secx x x dx xdx x xdx

tan secx x C

8

26)

2

2 2

xdx

x

Solución:

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 21

2 2 2 2 2

x x xdx dx dx dx

x x x x x

2 22

2 1 22 2 ln

2 2 2 22

dx xdx dx x x C

x xx

1 2ln

2 2

xx C

x

27) 2

2

(1 )

(1 )

xdx

x x

Solución:

2 2 2

2 2 2 2 2

(1 ) 2 1 1 2 1 2

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1

x x x x xdx dx dx dx

xx x x x x x x x x

2

12 ln 2arctan

1

dxdx x x C

x x

28)

2

2

3 1

1

xdx

x

Solución:

2 2

2 2 2 2 2

3 1 3 13

1 1 1 1 1

x x dx dxdx dx dx

x x x x x

23arctan ln 1x x x C

29) 2 2

2

( 2)dx

x x

Solución:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

( 2) ( 2) ( 2) ( 2)

x x x xdx dx dx

x x x x x x x x

2 2 2 2 22

1 1 1 1

2 2 2

dx dxdx dx

xx x x x x

1 1arctan

2 2

xC

x

30) 2

2 2

2

( 4)

xdx

x x

Solución:

Expresemos 2 2x de la siguiente forma: )4(

2

1

2

12 222 xxx

Reemplazando esta última expresión en la integral original, se tiene,

2 22 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1( 4)

2 1 1 ( 4)2 2

2 2( 4) ( 4) ( 4) ( 4)

x xx x x

dx dx dx dxx x x x x x x x

2

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 24 2

dx dx dxx dx

x x x

11 1 1 1 1arctan arctan

2 2 2 2 1 4 2 2

x x xC C

x

9

TÉCNICAS DE INTEGRACION

I. SUSTITUCIÓN ALGEBRAICA O CAMBIO DE VARIABLE.

En esta sección estudiaremos una técnica para integrar funciones compuestas, la cual es el cambio de

variable.

PRIMITIVA DE UNA FUNCION COMPUESTA

Sea g una función compuesta cuyo recorrido es un intervalo I , y sea f una función continua en I .

Si g es diferenciable en su dominio y F es una primitiva de f en I , entonces

( ) '( ) ( )f g x g x dx F g x C

Si ( )u g x , entonces '( )du g x dx y

( ) '( ) ( )f g x g x dx f u du F u C

ESTRATEGIA PARA EL CAMBIO DE VARIABLE

1. Elegir una sustitución ( )u g x . En general, conviene elegir la parte interna de alguna función

compuesta, tal como una cantidad elevada a una potencia.

2. Hallar '( )du g x dx .

3. Reescribir la integral dada en términos de u .

4. Hallar la resultante en u .

5. Sustituir u por ( )g x para obtener la primitiva en términos de x .

6. Verificar la respuesta por derivación (opcional).


1) Hallar 2sin 3 cos3x xdx

Solución:

En primer lugar, sea sin3u x . Su diferencial es 3cos3du xdx . Ahora, puesto que cos3xdx

es parte de la integral dada, podemos escribir

cos33

duxdx

Finalmente sustituyendo u y 3

du en la integral dada se obtiene

2 2sin 3 cos3 integral en términos de 3

dux xdx u u

21

3u du

31primitiva en términos de

3 3

uC u

31

9u C

31

sin39

x C

31sin 3 primitiva en términos de

9x C x

10

2) Hallar 1 xe dx

Solución:

En primer lugar, sea 1u x . Su diferencial es du dx . Ahora, puesto que dx es parte de la

integral dada, podemos escribir

dx du

Finalmente sustituyendo u y du en la integral dada se obtiene

1 integral en términos de x ue dx e du u

ue du

primitiva en términos de ue C u

1 primitiva en términos de xe C x

3) Hallar ( )nax b dx

Solución:

Hágase el siguiente cambio de variable,

1u ax b du adx dx du

a

Reemplazando en la integral dada, se tiene

1 11 1 1 1 ( )( )

1 1

n nn n n u ax b

ax b dx u du u du C Ca a a n a n

4) Hallar ( )

dx

ax b

Solución:



a


1 1 1 1 1ln ln

( )

dx dudu u C ax b C

ax b u a a u a a

5) Hallar ax be dx

Solución:



a


1 1 1 1ax b u u u ax be dx e du e du e C e Ca a a a

6) Hallar sin( )ax b dx

Solución:



a


1 1 1 1sin( ) sin sin cos cos( )ax b dx u du udu u C ax b C

a a a a

11

7) Hallar cos( )ax b dx

Solución:



a


1 1 1 1cos( ) cos cos sin sin( )ax b dx u du udu u C ax b C

a a a a

8) Hallar 5

2 5x dx

Solución:

Por el ejercicio 3) se tiene,

6 6

5 1 (2 5) (2 5)2 5

2 6 12

x xx dx C C

9) Hallar 2 1x dx

Solución:

Por el ejercicio 3) se tiene,

1/2 1 3/21/2 1 (3 1) 1 (3 1)

3 1 (3 1)3 1/ 2 1 3 3 / 2

x xx dx x dx C C

3/22

(3 1)9

x C

10) Hallar cos(7 3)x dx

Solución:

Por el ejercicio 7) se tiene: 1

cos(7 3) sin(7 3)7

x dx x C

11) Hallar 2 1x x dx

Solución:

En primer lugar, sea 2 1u x . Su diferencial es 2du dx , de aquí 2

dudx . Como el integrando

contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así

12 1

2

uu x x

Ahora sustituyendo, se obtiene

1/2 3/2 1/21 1 12 1 1

2 2 4 4

u dux x dx u u u du u u du

5/2 3/2 5/2 3/21 1 2 1 2

4 5 / 2 3 / 2 4 5 4 3

u u u uC C

5/2 3/21 1

2 1 2 110 6

x x C

12) Hallar

4

5

2

1

xdx

x

Solución:

En primer lugar, sea 5 1u x . Su diferencial es

45du x dx . Ahora, puesto que dx es parte de

la integral dada, podemos escribir

45

dudx

x

12


du

x en la integral dada se obtiene

4 4

5

5 4

2 2 2 2 2ln ln 1

5 5 51 5

x x du dudx u C x C

u ux x

13) Hallar

2

23 5

xdx

x

Solución:


23du x dx . Ahora, puesto que 2x dx es parte

de la integral dada, podemos escribir

2

3

dux dx



22 2

2 2 2 23 3

1 1 1 1

3 3 35 5

x du dudx x dx u du

u ux x

1

3

1 1 1 1 1

3 1 3 3 5

uC C C

u x

14) Hallar 3/4

2 3 1x x dx

Solución:


23du x dx . Ahora, puesto que 2x dx es parte

de la integral dada, podemos escribir

2

3

dux dx



3/4 3/4

2 3 3 2 3/4 3/411 1

3 3

dux x dx x x dx u u du

7/4 7/4

7/4 31 4 41

3 7 / 4 21 21

uC u C x C

15) Hallar 323 1 x xx e dx

Solución:

En primer lugar, sea 3u x x . Su diferencial es 23 1du x dx .


3 3 32 23 1 3 1x x x x u u x xx e dx e x dx e du e C e C

16) Hallar 3 2

3

6 5

xdx

x x

Solución:

En primer lugar, sea 2 6 5u x x . Su diferencial es 2 6 2 3du x dx x dx . Ahora,

puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir

13

2 3

dudx

x

Finalmente sustituyendo u y 2 3

du


1/3

3 33 2

3 3 1 1

2 3 2 26 5

x x du dudx u du

xu ux x

2/3 2/3

2/3 21 35 6 5

2 2 / 3 4

uC u C x x C

17) Hallar

2

2

3 3

2 6

xdx

x x

Solución:

En primer lugar, sea 2 2 6u x x . Su diferencial es 2 2 2 1du x dx x dx . Ahora,

puesto que dx es parte de la integral dada, podemos escribir

2 1

dudx

x

Finalmente sustituyendo u y 2 1

du


2

2 2 2 22 2

3 1 13 3 3 33

2 1 2 22 6 2 6

x xx du dudx dx u du

x uux x x x

1

2

3 3 1 3 1

4 1 4 4 2 6

uC C C

u x x

18) Hallar 3 4 3

xdx

x

Solución:

En primer lugar, sea 4 3u x , de donde 3du dx , de aquí 3

dudx . Como el integrando

contiene el factor x , hemos de expresar x en términos de u , así

44 3

3

uu x x


3 3 3 3

4

4 1 43

3 3 94 3 3

u

x du u du udx du

x u u u

2/3 5/3

1/3 1/3 2/31 1 14 4 4

9 9 9 2 / 3 5 / 3

u uu u du u u du C

5/3

2/3 5/32/31 1 3 2 16 4 3 4 3

9 9 5 3 15

uu C x x C

19) Hallar

1

1dx

x x

Solución:

En primer lugar, sea 1u x . Su diferencial es 2

dxdu

x . Ahora, puesto que dx es parte de la


14

2dx xdu

Finalmente sustituyendo u y xdu en la integral dada se obtiene

1 12 2 2ln 2ln 1

1

dudx xdu u C x C

ux ux x

20) Hallar

2

2

2 ln( 1)

1

x xdx

x

Solución:

En primer lugar, sea 2ln( 1)u x . Su diferencial es

2

2

1

xdxdu

x

.


2

22 2

2

2 2

12 ln( 1) 2ln( 1)

2 21 1

xx x x udx x dx udu C C

x x

21) Hallar

2/3

2

1 11 dx

xx

Solución:

En primer lugar, sea 1

1ux

. Su diferencial es 2

dxdu

x . Ahora, puesto que dx es parte de la


2dx x du

Finalmente sustituyendo u y 2x du en la integral dada se obtiene

2/3

2/3 2 2/3

2 2

1 1 11 dx u x du u du

xx x

5/3

5/3

13 1

5 / 3 5

u xC C

22) Hallar 1/2

3 24x x dx

Solución:

En primer lugar, sea 24u x , de donde 2du xdx , de aquí

2

dudx

x .


1/2 1/23 2 3 2 1/21

42 2

dux x dx x u x u du

x

Como el integrando contiene el factor 2x , debemos de expresar

2x en términos de u , así

2 24 4u x x u

Finalmente reemplazando 2x en la última integral, se tiene

1/2

3 2 2 1/2 1/2 1/21 1 14 4

2 2 2x x dx x u du u u du

1/2 3/21/2 3/21 1 2

4 82 1/ 2 3 / 2 2 3

u uC u u C

1/2 3/2

1/2 3/2 2 21 14 4 4 4

3 3u u C x x C

15

23) Hallar 3/2

1/3 2/3 1x x dx

Solución:

En primer lugar, sea 2/3 1u x , de donde

1/32

3du x dx , de aquí

1/33

2dx x du .


3/2 3/21/3 2/3 1/3 1/3 1/3 3/2 1/3 2/3 3/23 3 3

12 2 2

x x dx x u x du x u x du x u du

Como el integrando contiene el factor 2/3x , debemos de expresar

2/3x en términos de u , así

2/3 2/31 1u x x u

Finalmente reemplazando 2/3x en la última integral, se tiene

3/2

1/3 2/3 2/3 3/2 3/2 5/2 3/23 3 31 1

2 2 2x x dx x u du u u du u u du

7/2 5/27/2 5/23 3 2 2

2 7 / 2 5 / 2 2 7 5

u uC u u C

7/2 5/2

7/2 5/2 2/3 2/33 3 3 31 1

7 5 7 5u u C x x C

24) Hallar 2

2 1x xe e dx

Solución:

En primer lugar, sea 1xu e , de donde xdu e dx , de aquí

xdx e du .


2 22 2 21x x x x xe e dx e u e du e u du

Como el integrando contiene el factor

xe , debemos de expresar xe en términos de u , así

1 1x xu e e u

Finalmente reemplazando xe en la última integral, se tiene

2

2 2 2 3 21 1x x xe e dx e u du u u du u u du

4 3 4 31 1

1 14 3 4 3

x xu uC e e C

25) Hallar

2

1

x

x

edx

e

Solución:

En primer lugar, sea 1xu e , de donde xdu e dx , de aquí

xdx e du .


2 2

1

x x xx

x

e e edx e du du

u ue

Como el integrando contiene el factor xe , debemos de expresar

xe en términos de u , así

1 1x xu e e u

Finalmente reemplazando xe en la última integral, se tiene

2 1 11

1

x x

x

e e udx du du du

u u ue

ln 1 ln 1x xu u C e e C

16

26) Hallar 2

(2ln 1)

(ln ln )

xdx

x x x

Solución:

En primer lugar, sea 2ln lnu x x . Su diferencial es

2ln 1 2ln 1x xdu dx dx

x x x

.


2 2

(2ln 1) 1 (2ln 1) 1

(ln ln ) (ln ln )

x xdx dx du

x ux x x x x

CxxCu )lnln(lnln 2

27) Hallar 2

sin 2

1 cos

xdx

x

Solución:

En primer lugar, sea 21 cosu x . Su diferencial es 2cos sindu x xdx , de aquí

2cos sinx xdx du .


2 2 2

sin 2 2sin cos 12sin cos

1 cos 1 cos 1 cos

x x xdx dx x xdx

x x x

21 1ln ln 1 cosdu du u C x C

u u

28) Hallar sin cosxa xdx

Solución:

En primer lugar, sea sinu x . Su diferencial es cosdu xdx .


sinsin cos

ln ln

u xx u a a

a xdx a du C Ca a

29) Hallar 2

3 2( )

t dt

a bt

Solución:

En primer lugar, sea 3u a bt . Su diferencial es

23du bt dt , de aquí 2

3

dut dt

b .


du

b en la integral dada se obtiene

22 2

2 2 23 3

1 1 1

3 3( )

t dt dut dx u du

b bua bt a bt

1 11 31 1 1

3 1 3 3

uC u C a bt C

b b b

30) Hallar

arctan

21

xedx

x

Solución:

Hágase el siguiente cambio de variable: 2

arctan1

dxu x du

x


17

arctanarctan

21

xu u xe

dx e du e C e Cx

II. INTEGRACIÓN POR PARTES

En esta sección estudiaremos una técnica muy importante de integración, llamada integración por partes.

Esta técnica puede aplicarse a una amplia variedad de integrales y es particularmente eficaz para

integrandos donde aparecen productos de funciones algébricas y trascendentes. Por ejemplo, funciona

muy bien para resolver integrales como

2ln , , sinx xx xdx x e dx e xdx

La integración por partes se basa en la fórmula de la derivada de un producto

' 'd dv du

uv u v uv vudx dx dx

Donde u y v son funciones derivables de x . Si 'u y 'v son continuas, podemos integrar ambos lados

para llegar al resultado

' 'uv uv dx vu dx

udv vdu

Reescribiendo esta ecuación se obtiene el siguiente teorema.

TEOREMA:

Si u y v son funciones de x con derivadas continuas, entonces

udv uv vdu

Esta fórmula expresa la integral original en términos de otra integral. Dependiendo de la elección de u y

de dv , puede ocurrir que la segunda integral sea más fácil que la original. Como las elecciones de u y

de dv son críticas para la buena marcha del método, damos unas indicaciones sobre como proceder

ESTRATEGIA PARA INTEGRAR POR PARTES

1. Para el cálculo de la integral ( )f x dx , donde el integrando, ( )f x , es de la forma mostrada abajo,

se escoge u y dv como sigue:

a) Si ( ) ( ) ( );x xf x p x e u p x dv e dx

b) Si ( ) ( )ln( ) ln( ); ( )f x p x x u x dv p x dx

c) Si ( ) ( ) sin ,cos ( ); sin ,cosf x p x x x u p x dv x x dx

d) Si ( ) sin ,cos sin ,cos ;x xf x e x x u x x dv e dx

2. Intente tomar como dv la porción más complicada del integrando que se ajuste a una regla básica

de integración y como u el factor restante del integrando

3. Intente tomar como u la porción del integrando cuya derivada es una función más simple que u y

como dv el factor restante del integrando.

18


Calcular las siguientes integrales

1) xxe dx

Solución:

Según la estrategia 1. a), se elige u y dv como sigue

x xx

du dxu x

v e dx edv e dx

Se sabe que

udv uv vdu

Así

x x x x xxe dx xe e dx xe e C

2) 2 lnx xdx

Solución:

Según la estrategia 1. b), se elige u y dv como sigue

2 32

ln( )

3

dxdu

u x x

dv x dx xv x dx

Se sabe que

udv uv vdu

Así

3 3 3 3 32 21

ln ln( ) ln( ) ln( )3 3 3 3 3 9

x x dx x x xx xdx x x x dx x C

x

3) sinx xdx

Solución:

Según la estrategia 1. c), se elige u y dv como sigue

sin cossin

du dxu x

v xdx xdv xdx

Se sabe que

udv uv vdu

Así

sin cos cos cos cos cos sinx xdx x x xdx x x xdx x x x C

4) cosxe xdx

Solución:

Según la estrategia 1. d), se elige u y dv como sigue

sincos

x xx

du xdxu x

v e dx edv e dx

Se sabe que

udv uv vdu

19

Así

cos cos( ) ( sin ) cos( ) sinx x x x xe xdx x e e xdx x e e xdx

Para la segunda integral del lado derecho, apliquemos nuevamente integración por partes, así

haciendo

cossin

x xx

du xdxu x

v e dx edv e dx

Se tiene

cos cos( ) sin cos( ) sin( ) cosx x x x x xe xdx x e e xdx x e x e e xdx

por lo tanto

cos cos cos( ) sin( )x x x xe xdx e xdx x e x e

2 cos cos( ) sin( )x x xe xdx x e x e

cos( ) sin( )cos

2

x xx x e x e

e xdx C

5) Hallar (1 ln )xe x x

dxx

Solución:

En primer lugar separemos las integrales, es decir

(1 ln )ln

x xxe x x e

dx dx e xdxx x

Para la segunda integral del lado derecho apliquemos la técnica de integración por partes. Elijamos

u y dv como sigue

1ln

xx x

du dxu xx

dv e dxv e dx e

Así,

(1 ln ) 1ln ln( )

x x xx x xe x x e e

dx dx e xdx dx x e e dxx x x x

ln( )xe x C

6) ln(sin )cosx xdx

Solución:

Se elige u y dv como sigue

cosln(sin )

sincos

cos sin

xdu dxu x

xdv xdx

v xdx x

Se sabe que

udv uv vdu

Así

cosln(sin )cos ln(sin )sin sin ln(sin )sin cos

sin

xx xdx x x x dx x x xdx

x

sin ln(sin ) sinx x x C

20

7) 2 3(2 1) xx e dx

Solución:


2 32 3 2 3

22 1

2

xx x

du dxu x

edv e dx v e dx

Se sabe que

udv uv vdu

Así

2 3 2 3 2 32 3 2 3(2 1) (2 1) 2 (2 1)

2 2 2

x x xx xe e e

x e dx x dx x e dx

2 3 2 3

(2 1)2 2

x xe ex C

8) (3 2)ln(5 )x x dx

Solución:


2

ln(5 )

(3 2)(3 2) 3 2

2

dxdu

u x x

dv x dx xv x dx x

Se sabe que

udv uv vdu

Así

2 2

(3 2)ln(5 ) ln(5 ) 3 2 3 22 2

x x dxx x dx x x x

x

2

ln(5 ) 3 2 3 22 2

x xx x dx

2 23 3ln(5 ) 2 2

2 4

x xx x x C

9) ln(5 )x dx

Solución:


ln(5 )dx

duu xx

dv dxv dx x

Se sabe que

udv uv vdu

Así

ln(5 ) ln(5 ) ln(5 ) ln(5 )dx

x dx x x x x x dx x x x Cx

21

10) 2ln (5 )x dx

Solución:


2 2ln(5 )ln (5 )dx

du xu xx

dv dxv dx x

Se sabe que

udv uv vdu

Así

2 2 2ln (5 ) ln (5 ) 2ln(5) ln (5 ) 2 ln(5 )dx

x dx x x x x x x dxx

2ln (5 ) 2 ln(5 )x x x x x C

2ln (5 ) 2 ln(5 ) 2x x x x x C

11) 3(2 2 )ln( )x x x dx

Solución:


3 4 2 43 2

ln

(2 2 )(2 2 ) 2 2

4 2 2

dxdu

u x x

dv x x dx x x xv x x dx x

Así aplicando la fórmula de integración por partes, se tiene

4 43 2 2(2 2 )ln( ) ln

2 2

x x dxx x x dx x x x

x

4 32 ln

2 2

x xx x x dx

4 4 22 ln

2 8 2

x x xx x C

12) 2( 3 1)sin( )x x x dx

Solución:


2 (2 3)3 1

sin cossin

du x dxu x x

v xdx xdv xdx


2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)cos( ) ( cos )(2 3)x x x dx x x x x x dx

2( 3 1)cos( ) (2 3)cos (1)x x x x xdx

Para la segunda integral del lado derecho, (2 3)cosx xdx , apliquemos nuevamente integración

por partes, así haciendo

22 3

cos sincos

du dxu x

v xdx xdv xdx

22

y usando la fórmula de integración por partes, se tiene

(2 3)cos (2 3)sin sin (2 ) (2 3)sin 2 sinx xdx x x x dx x x xdx

(2 3)sin 2cos (2)x x x C

Reemplazando (2) en (1), resulta

2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)cos( ) (2 3)cosx x x dx x x x x xdx

2( 3 1)cos( ) (2 3)sin 2cosx x x x x x C

13) 2(2 3 2) xx x e dx

Solución:


2 (4 3)2 3 2x xx

du x dxu x x

v e dx edv e dx


2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) (1)x x xx x e dx x x e e x dx

Para la segunda integral del lado derecho, (4 3)xe x dx , apliquemos nuevamente integración por

partes, así haciendo

44 3

x xx

du dxu x

v e dx edv e dx


(4 3) (4 3) (4 ) (4 3) 4x x x x xe x dx x e e dx x e e dx

(4 3) 4 (2)x xx e e C


2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3)x x xx x e dx x x e e x dx

2(2 3 2) (4 3) 4x x xx x e x e e C

2(2 3 2) (4 3) 4x x xx x e x e e C

14) xe dx

Solución:

Aplique primero un cambio de variable, así haciendo

22mdm dx

m xm x

Se tiene

2 2x m me dx e mdm me dm

Aplique ahora integración por partes, así tomando u y dv como sigue

m mm

du dmu m

v e dx edv e dx


2 2 2 2 2 2x m m m m m x xe dx me dm me e dm me e C xe e C

23

15) 2ln( 1 )x x dx

Solución:


22ln( 1 )

1

dxdu

u x xx

dv dxv dx x


2 2

2ln( 1 ) ln 1 (1)

1

dxx x dx x x x x

x

Para la segunda integral del lado derecho, 21

xdx

x , apliquemos la técnica del cambio de variable,

así haciendo

2 2

2

2 21

1

udu xdx xdx uduu x

u x

se tiene

2

21 (2)

1

xdx ududu u C x C

ux


2 2

2ln( 1 ) ln 1

1

dxx x dx x x x x

x

2 2ln 1 1x x x x C

2 2ln 1 1x x x x C

16) arcsin xdx

Solución:


2arcsin1

dxduu x

xdv dx

v dx x


2arcsin (arcsin ) (1)

1

dxxdx x x x

x

Para la segunda integral del lado derecho, 21

xdx

x , apliquemos la técnica del cambio de variable,

así haciendo

2 2

2

2 21

1

udu xdx xdx uduu x

u x

se tiene

2

21 (2)

1

xdx ududu u C x C

ux

24


2

2arcsin (arcsin ) (arcsin ) 1

1

dxxdx x x x x x x C

x

2(arcsin ) 1x x x C

17) arctanx xdx

Solución:


2

2

arctan 1

2

dxdu

u x x

dv xdx xv xdx


2 2 2 2

2 2

1arctan (arctan ) (arctan )

2 2 2 21 1

x x dx x x dxx xdx x x

x x

2 2

2

1 1 1(arctan )

2 2 1

x xx dx

x

2 2

2 2

1 1 1(arctan )

2 2 1 1

x xx dx

x x

2

2

1 1(arctan ) 1

2 2 1

xx dx

x

2

2

1 1(arctan )

2 2 1

xx dx dx

x

2 1

(arctan ) arctan2 2

xx x x C

2 arctan(arctan )

2 2 2

x x xx C

18) arctan

2 3 2(1 )

xxedx

x

Solución:


2 3 22

arctanarctanarctan

22

(1 )1

11

xxx

x dxu du

xx

eev dx edv dx

xx


arctanarctan arctan

2 3 2 2 3 22(1)

(1 ) (1 )1

xx xxe x dx

dx e ex xx

Para la segunda integral del lado derecho, arctan

2 3 2(1 )

xedx

x , aplique nuevamente la técnica de

integración por partes, así haciendo

25

2 3 22

arctanarctanarctan

22

1

(1 )1

11

xxx

xdxu du

xx

eev dx edv dx

xx

se tiene

arctanarctan arctan

2 3 2 2 3 22

1

(1 ) (1 )1

xx xe xdx

dx e ex xx

arctan arctan

2 3 22

1(2)

(1 )1

x x xdxe e

xx


arctanarctan arctan

2 3 2 2 3 22(1 ) (1 )1

xx xxe x dx

dx e ex xx

arctan arctan arctan

2 3 22 2

1

(1 )1 1

x x xx xdxe e e

xx x

arctan arctan arctan

2 3 22 2

1

(1 )1 1

x x xx xdxe e e

xx x

por lo tanto

arctanarctan arctan

2 3 2 2 2

12

(1 ) 1 1

xx xxe x

dx e ex x x

arctanarctan arctan

2 3 2 2 2

1 1

2(1 ) 1 1

xx xxe x

dx e e Cx x x

19) 2

arctan

1

x xdx

x

Solución:


2

22

2

arctan1

111

dxduu x

xx

dv dx xv dx xx

x


2 2 2

22 2

arctan(arctan ) 1 1 (arctan ) 1

11 1

x x dx dxdx x x x x x

xx x

2 2(arctan ) 1 ln 1x x x x C

20) 2 3 2

arcsin

(1 )

xdx

x

Solución:


2arcsin 1

sin

dxdt

t x x

x t

Y reemplazando en la integral dada, se tiene

2

2 3 2 2 2 1 2 2 2

arcsin arcsinsec

(1 ) (1 ) (1 ) 1 sin cos

x x dx t tdx dt dt t t dt

x x x t t

26

Ahora intégrese por partes 2sect t dt , para ello elija u y dv como sigue

22 sec tansec

du dtu t

v t dt tdv tdt


2

2 3 2

arcsinsec tan tan tan ln sec

(1 )

xdx t t dt t t t dt t t x C

x

2 2

1arcsin ln

1 1

xx C

x x

21) 1 2

arcsin

(1 )

xdx

x

Solución:


2 2t x x t dx tdt

y reemplazando en la integral dada, se tiene

2 1/2 2 1/2

arcsin arcsin2 2

(1 ) (1 )

t t ttdt dt

t t

Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y dv como sigue

2

22 1/22 1/2

arcsin1

1(1 )(1 )

dtduu t

tt

dv dt tv dt tt

t


2 2

2 1/2 2 1/2 2

arcsin arcsin2 2 2 arcsin 1 1

(1 ) (1 ) 1

t t t dttdt dt t t t

t t t

2 22 1 arcsin 2 2 1 arcsin 2t t dt t t t C

2 1 arcsin 2x x x C

22)

2

2

arctan

1

x xdx

x

Solución:


2arctan 1

tan

dxdt

t x x

x t

Y reemplazando en la integral dada, se tiene

2

2 2

2

arctantan tan

1

x xdx t tdt t t dt

x

Ahora intégrese por partes 2tant t dt , para ello elija u y dv como sigue

22 tan tantan

du dtu t

v t dt t tdv tdt


22

2

arctantan (tan ) (tan )

1

x xdx t tdt t t t t t dt

x

27

22(tan ) tan tan ln sec

2

tt t t tdt tdt t t t t C

2

2 2 arctan(arctan ) arctan ln 1

2

xx x x x C

2

2arctanarctan ln 1

2

xx x x C

23) 3sec xdx

Solución:

Primero escriba la integral dada de la siguiente manera

3 2 2 2

2

sec sec sec (1 tan )sec sec tan sec

ln sec tan tan sec (1)

xdx x xdx x xdx xdx x xdx

x x x xdx

Ahora, intégrese por partes, 2tan secx xdx , para ello elija u y dv como sigue

2sectan

tan sec tan sec sec

du xdxu x

dv x xdx v x xdx x


2 2 3tan sec tan sec sec sec tan sec sec (2)x xdx x x x xdx x x xdx

Reemplazando (2) en (1), se tiene

3 2sec ln sec tan tan secxdx x x x xdx 3ln sec tan tan sec secx x x x xdx

por lo tanto

32 sec ln sec tan tan secxdx x x x x

3 1sec ln sec tan tan sec

2xdx x x x x C

24)

2

2cos sin

x dxdx

x x x

Solución:

Primero escriba la integral dada de la siguiente manera

2 2

2 2 2

sin sin

sincos sin sin cos sin cos sin

x dx x xdx x x xdx

xx x x x x x x x x x

Ahora, elija u y dv como sigue

2

2 2

sin cos

sin sin

sin sin 1

cos sincos sin cos sin

x x xxdu dxu

x x

x xdx x xdxdv v

x x xx x x x x x


2

2 2

1 1 sin cos

sin cos sin cos sin sincos sin

x dx x x x xdx

x x x x x x x xx x x

2

1 cos sin

sin cos sin sin cos sin

x x x xdx

x x x x x x x x

2

2

1 1 1csc

sin cos sin sin cos sinsin

x xdx xdx

x x x x x x x xx

cot

sin cos sin

xx C

x x x x

28

25) 2

cos sin 1

(sin )

x x xdx

x x

Solución:

Por trigonometría se sabe que

2 2sin cos 1x x

Así, reemplazando en la integral se tiene

2 2

2 2

cos sin 1 cos sin sin cos

(sin ) (sin )

x x x x x x x xdx dx

x x x x

2 2

2

cos cos sin sin

(sin )

x x x x xdx

x x

2

cos (1 cos ) sin ( sin )

(sin )

x x x x xdx

x x

2 2

cos (1 cos ) sin ( sin )

(sin ) (sin )

x x x x xdx dx

x x x x

2 2

cos (cos 1) sin (sin )

(sin ) (sin )

x x x x xdx dx

x x x x

2

cos (cos 1) sin(1)

(sin )(sin )

x x xdx dx

x xx x

Ahora, intégrese por partes 2

cos (cos 1)

(sin )

x xdx

x x

, para ello elija u y dv como sigue

2 2

cos sin

cos 1 cos 1 1

sin(sin ) (sin )

u x du xdx

x xdv dx v dx

x xx x x x

Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene

2

cos (cos 1) 1 1cos ( sin )

sin sin(sin )

x xdx x xdx

x x x xx x

cos sin(2)

sin sin

x xdx

x x x x


2 2

cos sin 1 cos (cos 1) sin

(sin )(sin ) (sin )

x x x x x xdx dx dx

x xx x x x

cos sin sin

sin sin (sin )

x x xdx dx

x x x x x x

cos sin sin

sin sin (sin )

x x xdx dx

x x x x x x

cos

sin

xC

x x

26) sin ln x dx

Solución:


ln t tt x x e dx e dt

y reemplazando en la integral dada, se tiene

sin ln sin (1)tx dx e tdt

Ahora intégrese esta última integral por partes, para ello elija u y dv como sigue

29

cossin

t tt

du t dtu t

v e dt edv e dt

Así aplicando la fórmula de integración por partes se tiene

sin sin( ) cost t te tdt t e e tdt

Para la segunda integral del lado derecho, aplíquese nuevamente integración por partes, así haciendo

sincos

t tt

du tdtu t

v e dt edv e dt

Se tiene

sin sin( ) cos sin( ) cos( ) sint t t t t te tdt t e e tdt t e t e e tdt

sin( ) cos( ) sint t tt e t e e tdt

así

1

sin sin( ) cos( ) (2)2

t t te tdt t e t e C

Reemplazando (2) en (1), se tiene

1

sin ln sin sin( ) cos( )2

t t tx dx e tdt t e t e C

ln ln1sin(ln ) cos(ln )

2

x xx e x e C

1

sin(ln ) cos(ln )2

x x x x C

sin(ln ) cos(ln )2

xx x C

METODO TABULAR

En problemas que exigen sucesivas integraciones por partes, conviene organizar el trabajo, como indica

el siguiente ejemplo. Este método funciona bien en integrales de los tipos ( ) ax bp x e dx

,

( )sin( )p x ax b dx y ( )cos( )p x ax b dx

Ejemplos:

Calcular las siguientes integrales

27) 2(2 3 2) xx x e dx

Solución:

Como de costumbre empiece haciendo 22 3 2u x x y

xdv e dx . A continuación elabore una

tabla de tres columnas como sigue.

Signos alternados u

y sus derivadas dv y sus

antiderivadas

22 3 2x x xe

4 3x xe

4 xe

0 xe

Derivar hasta obtener una derivada nula

La solución se obtiene multiplicando las expresiones según las líneas diagonales y sumando estos

productos siguiendo los signos alternados. Así

30

2 2(2 3 2) (2 3 2) (4 3) 4x x x xx x e dx x x e x e e C

2(2 1) xx x e C

NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 13 de esta sección, compare ambos

procedimientos.

28) 2( 3 1)sin( )x x x dx

Solución:

Como de costumbre empiece haciendo 2 3 1u x x y sindv xdx . A continuación elabore una


Signos alternados u


antiderivadas

2 3 1x x sin x

2 3x cos x

2 sin x

0 cos x




2 2( 3 1)sin( ) ( 3 1)( cos ) (2 3)( sin ) 2cosx x x dx x x x x x x C

2( 3 1)cos (2 3)sin 2cosx x x x x x C

NOTA: el ejercicio que se acaba de desarrollar, es el ejercicio 12 de esta sección, compare ambos

procedimientos.

29) 3(3 2 1)cos(2 )x x x dx

Solución:

Como de costumbre empiece haciendo 33 2 1u x x y cos2dv xdx . A continuación elabore

una tabla de tres columnas como sigue.

Signos alternados u


antiderivadas

33 2 1x x cos2x

29 2x sin 2

2

x

18x cos2

4

x

18 sin 2

8

x

0 cos2

16

x




31

3 3 2sin 2 cos2(3 2 1)cos(2 ) (3 2 1) (9 2)

2 4

x xx x x dx x x x

sin 2 cos218 18

8 16

x xx C

3 23 2 1 9 2 9 9sin 2 cos2 sin 2 cos2

2 4 4 8

x x x xx x x x C

30) 4 3 2(2 2 ) xx x e dx

Solución:

Como de costumbre empiece haciendo 42 2u x x y

3 2xdv e dx . A continuación elabore una


Signos alternados u


antiderivadas

42 2x x

3 2xe

38 2x 3 2

3

xe

224x 3 2

9

xe

48x 3 2

27

xe

48 3 2

81

xe

0

3 2

243

xe



3 2 3 2 3 24 3 2 4 3 2(2 2 ) (2 2 ) (8 2) 24

3 9 27

x x xx e e e

x x e dx x x x x

3 2 3 2

48 4881 243

x xe ex C

32

III. SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA

Ahora que sabemos cómo hallar integrales en las que aparecen potencias de las funciones trigonométricas,

podemos utilizar sustituciones trigonométricas para resolver integrales cuyos integrandos contengan los

radicales

2 2 2 2 2 2,a u a u y u a

El propósito de estas sustituciones (o cambio de variable trigonométrico) es eliminar los radicales. Eso se

consigue con las identidades pitagóricas

2 2 2 2 2 2cos 1 sin , sec 1 tan tan sec 1θ θ θ θ y θ θ

Por ejemplo, si 0a , hacemos sinu a θ , donde / 2 / 2π θ π . Entonces

2 2 2 2 2sina u a a θ

2 2(1 sin )a θ

2 2cosa θ

cosa θ

Ahora daremos un criterio para calcular estos tipos de integrales, para esto consideremos los siguientes

casos:

1. Primer caso: En integrales que contienen 2 2a u , hacer

sinu a θ

Así

2 2 cosa u a θ , donde

/ 2 / 2π θ π

2. Segundo caso: En integrales que contienen 2 2a u , hacer

tanu a θ

Así

2 2 seca u a θ , donde

/ 2 / 2π θ π

2 2u a , hacer 3. Tercer caso: En integrales que contienen

secu a θ

Así

2 2 tanu a a θ , donde

0 / 2θ π o / 2π θ π

Tomar el valor positivo si u a y el negativo si

u a

Nota: las restricciones sobre θ garantizan que la función que determina la sustitución es inyectiva. De

hecho, son los mismos intervalos sobre los que arcsin , arctan y arcsec están definidas

33


1) Hallar 2 29

dx

x x

Solución:

En primer lugar, observemos que no es aplicable ninguna de las reglas básicas de integración

expuestas anteriormente. Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que

2 2 29 3x x es de la forma 2 2a u . Por tanto, hacemos

la sustitución

sin 3sin sin3

xu a θ x θ θ

Utilizando derivación y el triángulo mostrado, obtenemos

3cosdx θdθ y 29 3cosx θ

Por lo tanto, la sustitución trigonométrica lleva al siguiente resultado

2 2 22 2

3cos cos 1

9(3sin ) (3cos ) 9sin cos sin9

dx θdθ θdθ dθ

θ θ θ θ θx x

221 1 1 9

csc cot9 9 9

xθdθ θ C C

x

29

9

xC

x

Nota: la

2adycente 9cot

opuesto

xθ

x

se obtuvo del triángulo dado arriba.

2) Hallar 2 3/2(9 )

dx

x

Solución:

Observemos primero que

2 3/2 32 2(9 )

3

dx dx

xx

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 23 x es de la forma

2 2a u

. Por tanto, hacemos la sustitución

sin 3sin sin3

xu a θ x θ θ




2 3/2 3 3 3 22

3cos 3cos 1

9(9 ) (3cos ) 27cos cos9

dx dx θdθ θdθ dθ

x θ θ θx

2

2

1 1 1sec tan

9 9 9 9

xθdθ θ C C

x

29 9

xC

x

Nota: la 2

adycentetan

opuesto 9

xθ

x


34

3) Hallar 24 1

dx

x

Solución:


2 2 24 1 (2 ) 1

dx dx

x x

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2(2 ) 1x es de la forma

2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución

2tan 2 tan tan

1

xu a θ x θ θ


22 secdx θdθ y 2 2(2 ) 1 secx θ


212

2 2 2

sec 1sec

sec 24 1 (2 ) 1

θdx dxdθ θdθ

θx x

21 1

ln sec tan ln 4 1 22 2

θ θ C x x C

4) Hallar 2 1

dx

x x

Solución:



2 2 21 1x x es de la forma 2 2u a . Por tanto,

hacemos la sustitución

sec sec sec1

xu a θ x θ θ


sec tandx θ θdθ y 2tan 9θ x


2

sec tanarcsec

(sec )(tan )1

dx θ θdθdθ θ C x C

θ θx x

5) Hallar 2 25

xdx

x

Solución:

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2 225 5x x es de la

forma 2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución

35

sec 5sec sec5

xu a θ x θ θ


5sec tandx θ θdθ y 25tan 25θ x


2

2

5sec5sec tan 5 sec 5tan

5tan25

x θdx θ θdθ θdθ θ C

θx

2 25x C

6) Hallar

2 2u adu

u

Solución:

Hacemos la sustitución

sec secu

u a θ θa


sec tandu a θ θdθ y 2 2tana θ u a


2 22tan

sec tan tansec

u a a θdu a θ θdθ a θdθ

u a θ

2 2(sec 1) sec tana θ dθ a θdθ a dθ a θ aθ C

2 2 arcsecu

u a a Ca

7) Hallar 2 216 9

dx

x x

Solución:


2 2 2 2 216 9 4 (3 )

dx dx

x x x x

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 24 (3 )x es de la forma

2 2a u . Por tanto, hacemos la sustitución

3tan 3 4 tan tan

4

xu a θ x θ θ


23 4secdx θdθ y 2 24 (3 ) 4secx θ


243

242 2 2 2 23

sec

( tan ) (4sec )16 9 4 (3 )

θdx dxdθ

θ θx x x x

36

24 13 3

2 216 169 9

sec sec

tan (4sec ) tan

θ θdθ dθ

θ θ θ

2

2163

sec 3cot sec

16tan

θdθ θ θdθ

θ

2

2 2

3 cos 1 3 cos

16 cos 16sin sin

θ θdθ dθ

θθ θ

3 cos 1 3cot csc

16 sin sin 16

θdθ θ θdθ

θ θ

23 3 16 9csc

16 16 3

xθ C C

x

216 9

16

xC

x

Nota: la

2hipotenuza 16 9csc

opuesto 3

xθ

x


8) Hallar

2

2 1/2(16 )

xdx

x

Solución:


2 2

2 1/2 2 2(16 ) 4

x xdx dx

x x

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 24 x es de la forma

2 2a u

. Por tanto, hacemos la sustitución

tan 4 tan tan4

xu a θ x θ θ


24secdx θdθ y 2 24 4secx θ


2 2 22 2

2 1/2 2 2

(4 tan )4sec 16 tan sec

4sec(16 ) 4

x x θdx dx θdθ θ θdθ

θx x

2 316 (sec 1)sec 16 (sec sec )θ θdθ θ θ dθ

316 sec 16 secθdθ θdθ

116 tan sec ln tan sec 16ln tan sec

2θ θ θ θ θ θ C

8tan sec 8ln tan sec 16ln tan secθ θ θ θ θ θ C

8tan sec 8ln tan secθ θ θ θ C

2 216 168 8ln

4 4 4 4

x x x xC

37

2 216 168ln

2 4

x x x xC

9) Hallar 3 2 9

dx

x x

Solución:



2 2 29 3x x es de la forma 2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución

sec 3sec sec3

xu a θ x θ θ


3sec tandx θ θdθ y 23tan 9θ x


3 3 23 2

3sec tan sec 1

27(3sec ) (3tan ) 27sec sec9

dx θ θdθ θ dθdθ

θ θ θ θx x

21 1 1 cos 2 1

cos (1 cos 2 )27 27 2 54

θθdθ dθ θ dθ

1 1 1 sin 2

cos 254 54 54 2

θdθ θdθ θ C

arcsec1 1 13

sin 2 2sin cos54 108 54 108

x

θ θ C θ θ C

2arcsec1 9 33

54 54

x

xC

x x

2

2

arcsec93

54 18

x

xC

x

10) Hallar

2 2u adu

u

Solución:


tan tanu

u a θ θa


2secdu a θdθ y 2 2seca θ u a


2 22 2sec sec

sec (tan 1)tan tan

u a a θ θdu a θdθ a θ dθ

u a θ θ

38

1

sec cossec tan secsintan

cos

θ θa θ θdθ a dθ a θ a dθθθ

θ

cos 1sec sec

cos sin sin

θa θ a dθ a θ a dθ

θ θ θ

sec csc sec ln csc cota θ a θdθ a θ a θ θ C

2 22 2 ln

u a au a a C

u u

2 22 2 ln

u a au a a C

u

11) Hallar

2 1xdu

x

Solución:


2 2 21 1x xdu du

x x

Fíjese ahora que este ejercicio es un caso particular del ejercicio anterior, en donde

u x y 1a

Entonces para calcular la integral dada, haremos uso de la fórmula que se ha conseguido en el

ejercicio anterior, así

2 2 22 21 1 1

1 lnx x

du x Cx x

22 1 1

1 lnx

x Cx

12) Hallar

2

24

xdx

x

Solución:

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2 24 2x x es de la forma

2 2a u . Por tanto, hacemos la sustitución

sin 2sin sin2

xu a θ x θ θ


2cosdx θdθ y 22cos 4θ x


2 22

2

(2sin ) 1 cos 22cos 4sin 4

2cos 24

x θ θdx θdθ θdθ dθ

θx

sin 22 (1 cos 2 ) 2 2 cos 2 2 2

2

θθ dθ dθ θdθ θ C

22 sin 2 2 2sin cosθ θ C θ θ θ C

39

242arcsin 2

2 2 2

x x xC

242arcsin

2 2

x x xC

13) Hallar 2 2 5

xdx

x x

Solución:

Primero completemos cuadrados en la expresión del radicando, así

2 2 2 2 2 22 5 ( 1) 1 5 ( 1) 4 ( 1) 2x x x x x

Para usar una sustitución trigonométrica hay que advertir que 2 2 22 5 ( 1) 2x x x es

de la forma 2 2u a . Por tanto, hacemos la sustitución

1tan 1 2 tan tan

2

xu a θ x θ θ


22secdx θdθ y 2 22sec ( 1) 2θ x


2

2 2 2

2 tan 12sec

2sec2 5 ( 1) 2

x x θdx dx θdθ

θx x x

(2 tan 1)sec 2 tan sec secθ θdθ θ θdθ θdθ

2sec ln sec tanθ θ θ C

2 22 2 ( 1) 2 1

( 1) 2 ln2 2

x xx C

22 2 5 1

2 5 ln2

x x xx x C

14) Hallar

2 2

2

u adu

u

Solución:


tan tanu

u a θ θa


2secdu a θdθ y 2 2seca θ u a


2 22 2

2 2 2 2

sec secsec sec

( tan ) tan

u a a θ a θdu a θdθ a θdθ

u a θ a θ

40

2 2

2 2 2

sec secsec (tan 1)

tan tan

a θ θa θdθ θ dθ

a θ θ

2 2

2

1

sec cossec ln sec tantan sin

cos

θ θθdθ dθ θ θ dθθ θ

θ

2

2

cosln sec tan

cos sin

θθ θ dθ

θ θ

2

cosln sec tan

sin

θθ θ dθ

θ

cos 1ln sec tan

sin sin

θθ θ dθ

θ θ

ln sec tan cot cscθ θ θ θdθ

ln sec tan cscθ θ θ C

2 2 2 2

lnu a u u a

Ca a u

2 2 2 2

lnu a u u a

Ca u

15) Halle dxx

xx

22

2

)1(

Solución

Sea tanx ddx 2sec

Reemplazando en la integral se tiene:

ddx

x

xx 2

22

2

22

2

sec)1(tan

tantan

)1(

d2

22

2

sec)(sec

tantan

dd

22

2

sec

tan

sec

tan dd cossinsin 2

dd )2sin(2

1

2

)2cos(1c

4

)2cos(

4

)2sin(

2

c

2

sincos

2

cossin

2

22

Regresando a la variable inicial se tiene

cx

x

x

x

xxdx

x

xx

2

11

1

)1(22

arctan

)1(

22

222

2

cx

x

x

xxdx

x

xx

)1(2

1

)1(22

arctan

)1( 2

2

222

2

x

1

41

cx

xxxdx

x

xx

)1(2

1

2

arctan

)1( 2

2

22

2

42

IV. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES RACIONALES

Consideremos dos funciones polinómicas:

1

1 1 0( ) ...m mm mP x b x b x b x b

y 1

1 1 0( ) ...n nn nQ x a x a x a x a

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es decir:

( )

( )( )

P xR x

Q x

Esta técnica de integración se aplica en el cálculo de integrales de funciones racionales, es decir se

aplica para el cálculo de integrales de la forma,

( )

( )

P xdx

Q x

Para el cálculo de estos tipos de integrales existen dos casos y estos dependen de los grados de los

polinomios )(xP y )(xQ .

CASO 1: Grado( ( )) Grado( ( ))P x Q x

a) Cuando en la integral ( )

( )

P xdx

Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores todas

lineales y distintas, es decir:

1 2( ) ( )( ) ( )nQ x x b x b x b

A la función racional ( )

( )

P x

Q xse expresa como una suma de fracciones simples:

1 2

1 2 1 2

( ) ( ). . . .

( ) ( )( ). . . ( )

n

n n

AA AP x P x

Q x x b x b x b x b x b x b

Integrando en ambos lados se tiene

1 2

1 2

( ). . . .

( )

n

n

AA AP xdx dx

Q x x b x b x b

1 2

1 2

( )

( )

n

n

AA AP xdx dx dx dx

Q x x b x b x b

Donde: 1 2, ,..., nA A A son constantes que se van a determinar.

b) Cuando en la integral ( )

( )

P xdx

Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores

lineales algunas repetidas, suponiendo que x b es el factor lineal que se repite p veces, es decir:

1 1

veces

( ) ( )( )...( ) ( )...( ) ( ) ( )...( )pp n p n

p

Q x x b x b x b x b x b x b x b x b

43


( )

P x

Q xse expresa como una suma de funciones simples.

1

( ) ( )

( ) ( ) ( ). . . ( )pp n

P x P x

Q x x b x b x b

11 21 2

1

. . . .( ) ( ) ( )

p p n

pp n

A A AA A

x b x bx b x b x b


11 21 2

1

( ). . . .

( ) ( ) ( ) ( )

p p n

pp n

A A AA AP xdx dx

Q x x b x bx b x b x b

Donde: 1 2, ,..., nA A A son constantes que se van a determinar.

c) Cuando en la integral ( )

( )

P xdx

Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores lineales

y cuadráticos irreducibles y ninguno se repite, es decir:

2 2 21 1 1 2 2 2 1( ) ( )...( )p p p p nQ x a x b x c a x b x c a x b x c x b x b


( )

P x

Q xse expresa como una suma de funciones simples

2 2 21 1 1 2 2 2 1

( ) ( )

( ) ( ). . . ( )p p p p n

P x P x

Q x a x b x c a x b x c a x b x c x b x b

11 1 2 2

2 2 211 1 1 2 2 2

. . . .p p p n

p np p p

A x B A AA x B A x B

x b x ba x b x c a x b x c a x b x c


11 1 2 22 2 2

11 1 1 2 2 2

( ). . . .

( )

p p p n

p np p p

A x B A AA x B A x BP xdx dx

Q x x b x ba x b x c a x b x c a x b x c

1 1 2 22 2 2

1 1 1 2 2 2

( )

( )

p p

p p p

A x BA x B A x BP xdx dx dx dx

Q x a x b x c a x b x c a x b x c

1

1

p n

p n

A Adx dx

x b x b

Donde: 1 2 1 2, ,..., , , , ,n pA A A B B B son constantes que se van a determinar.

11 21 2

1

( )

( ) ( ) ( ) ( )

p p n

pp n

A A AA AP xdx dx dx dx dx dx

Q x x b x bx b x b x b

44

d) Cuando en la integral ( )

( )

P xdx

Q x , la función polinómica ( )Q x se descompone en factores

lineales y cuadráticos irreducibles repetidos, es decir:

2 2 21

veces

( ) ( )...( )p n

p

Q x ax bx c ax bx c ax bx c x b x b

2

1( )...( )p

p nax bx c x b x b


( )

P x

Q xse expresa como una suma de funciones simples

21

( ) ( )

( ) ( ). . . ( )p

p n

P x P x

Q x ax bx c x b x b

11 1 2 22 1 2 2 2

1

. . . .( ) ( ) ( )

p p p n

pp n

A x B A AA x B A x B

x b x bax bx c ax bx c ax bx c


dx

bxa

A

bxa

A

cbxax

BxA

cbxax

BxAdx

xQ

xP

nn

n

pp

p

p

pp 11

1

22

11

)()(

)(

1 1 2 22 2 2 2

( )

( ) ( ) ( )

p p

p

A x BA x B A x BP xdx dx dx dx

Q x ax bx c ax bx c ax bx c

1

1

p n

p n

A Adx dx

x b x b

Donde: 1 2 1 2, ,..., , , , ,n pA A A B B B son constantes que se van a determinar.

Nota: Hay 2 formas para calcular las constantes de la descomposición de la función racional,

, , ,A B C . Una es la que ya se ha visto en el ejercicios anterior, llamada método

de los coeficientes, la cual consiste en agrupar los términos que tengan el mismo grado,

comparar con la expresión del lado izquierdo y establecer un sistema de ecuaciones, dando

como solución de este sistema los valores de , yA B C .

La otra forma es más práctica y consiste en dar valores a la variable x tal que anule a cada

factor que se obtuvo después del proceso de factorización (es decir es conveniente tomar

1x b , donde 1b son raíces de ( )Q x ), este valor, se remplaza en la expresión que se

tenga, tanto en la parte izquierda como derecha, y esto dará de forma directa los valores de

, , ,A B C , o también asignar valores pequeños como 0, 1, 2,...,etc .

45

Ejemplo:

En el caso:

2

3 2

4 9 1

1 1 22 2

x x A B C

x x xx x x

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)

( 1)( 1)( 2)

A x x B x x C x x

x x x

Los valores de x se sustituyen en la ecuación:

24 9 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x A x x B x x C x x

Así,

Si 1 6 2 3x A A

Si 1 12 6 2x B B

Si 2 3 3 1x C C

Loa cuales son los mismos valores hallados en el ejercicio anterior con el método de los

coeficientes.

CASO 2: Grado( ( )) Grado( ( ))P x Q x

En este caso lo primero que se debe de hacer es realizar la división ( ) ( )P x Q x y esta división

transformará la expresión dada en otra equivalente en donde será posible aplicar el caso 1.

Es decir,

( ) ( )

( ) ( )

P x Q x

R x C x

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xC x

Q x Q x

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xdx C x dx

Q x Q x

( ) ( )( )

( ) ( )

P x R xdx C x dx dx

Q x Q x

Nota: La primera integral del lado derecho se calcula de forma directa ya que esta es un polinomio,

pero en la segunda integral es donde se debe de aplicar el caso 1 si es que esta no se puede

integrar de forma directa o usando un cambio de variable.

Ejemplo:

Halle

2

2

1

3 2

xI dx

x x

Solución:

Primero dividamos 2 2

2

0 1 3 2

3 2 1

3 1

x x x x

x x

x

2

2 2

1 3 21

3 2 3 2

x x

x x x x

Así

2

2 2 2

1 3 2 3 21

3 2 3 2 3 2

x x xI dx dx dx dx

x x x x x x

46

2

3 2(1)

3 2

xx dx

x x

Resolvamos la integral 2

3 2

3 2

xdx

x x

, usando fracciones parciales.

Separando en fracciones parciales el integrando, se tiene que

2

3 2 3 2 ( 1) ( 2)

( 2)( 1) 2 1 ( 2)( 1)3 2

x x A B A x B x

x x x x x xx x

Así, ara que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

3 2 ( 1) ( 2)x A x B x

3 2 2x Ax A Bx B

3 2 ( ) ( 2 )x A B x A B

De aquí, se tiene

3

2 2

A B

A B

Resolviendo, se tiene

4A y 1B

Por lo que

2

3 2 4 1

2 13 2

x

x xx x

Integrando en ambos lados, tenemos

2

3 2 4 1 4 1

2 1 2 13 2

xdx dx dx dx

x x x xx x

1 1

4 4ln 2 ln 12 1

dx dx x xx x

Reemplazando en (1), se tiene

2

2 2

1 3 24ln 2 ln 1

3 2 3 2

x xI dx x dx x x x C

x x x x


Aplique el método de fracciones parciales, para hallar las siguientes integrales:

1) 2 25

dxI

x

Solución:

Factoricemos la función polinómica del denominador 2 25 ( 5)( 5)x x x

Así, separando en fracciones parciales, se tiene que

2

1 1 ( 5) ( 5)

( 5)( 5) 5 5 ( 5)( 5)25

A B A x B x

x x x x x xx

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así

1 ( 5) ( 5)A x B x

1 5 5Ax A Bx B

0 1 ( ) (5 5 )x A B x A B

De aquí, se tiene

0

5 5 1

A B

A B


1/10A y 1/10B

47

Por lo que

2

1 1/10 1/10

5 525 x xx


2

1 1/10 1/10 1/10 1/10 1 1

5 5 5 5 10 5 10 525

dx dxdx dx dx dx

x x x x x xx

1 1

ln 5 ln 510 10

x x C

2) 264

dxI

x

Solución:

Factoricemos la función polinómica del denominador 264 (8 )(8 )x x x


2

1 1 (8 ) (8 )

(8 )(8 ) 8 8 (8 )(8 )64

A B A x B x

x x x x x xx


1 (8 ) (8 )A x B x

1 8 8A Ax B Bx

0 1 ( ) (8 8 )x A B x A B

De aquí, se tiene

0

8 8 1

A B

A B


1/16A y 1/16B

Por lo que

2

1 1/16 1/16

8 864 x xx


2

1 1/16 1/16 1/16 1/16 1 1

8 8 8 8 16 8 16 864

dx dxdx dx dx dx

x x x x x xx

1 1

ln 8 ln 816 16

x x C

3) 2

1

3 2

xI dx

x x

Solución:

Factoricemos la función polinómica del denominador 2 3 2 ( 1)( 2)x x x x


2

1 1 ( 2) ( 1)

( 1)( 2) 1 2 ( 1)( 2)3 2

x x A B A x B x

x x x x x xx x


1 ( 2) ( 1)x A x B x

1 2x Ax A Bx B

1 ( ) ( 2 )x A B x A B

De aquí, se tiene

48

1

2 1

A B

A B


2A y 3B

Por lo que

2

1 2 3

1 23 2 x xx x


2

1 2 3 2 32 3

1 2 1 2 1 23 2

dx dxdx dx dx dx

x x x x x xx x

2ln 1 3ln 2x x C

4) 2

2 4

( 1)

xI dx

x

Solución:

Separando en fracciones parciales, se tiene que

2 2 2

2 4 ( 1)

1( 1) ( 1) ( 1)

x A B A x B

xx x x


2 4 ( 1)x A x B

2 4x Ax A B

De aquí, se tiene

2

4

A

A B


2A y 2B

Por lo que

2 2

2 4 2 2

1( 1) ( 1)

x

xx x


2 2 2 2

2 4 2 2 2 32 3

1 1 1( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x dx dxdx dx dx dx

x x xx x x x

12 ( 1)

2ln 1 3 ( 1) 2ln 1 31

xx x dx C x C

32ln 1

( 1)x C

x

5) Halle

2

3 2

4 9 1

2 2

x xdx

x x x

Solución

Factoricemos la función polinómica del denominador 3 2( ) 2 2 ( 1)( 1)( 2)Q x x x x x x x


2 2

3 2

4 9 1 4 9 1(1)

( 1)( 1)( 2) 1 1 22 2

x x x x A B C

x x x x x xx x x

49

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)

( 1)( 1)( 2)

A x x B x x C x x

x x x

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así 24 9 1 ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 1)x x A x x B x x C x x

Ordenando y agrupando

2 24 9 1 ( ) ( 3 ) 2 2x x A B C x A B x A B C

De aquí, se tiene

4

3 9

2 2 1

A B C

A B

A B C


3A , 2B y 1C


2

3 2

4 9 1 3 2 1

1 1 22 2

x x

x x xx x x


2

3 2

4 9 1 3 2 1 3 2 1

1 1 2 1 1 212 2

x xdx dx dx dx dx

x x x x x xx x x

3ln 1 2ln 1 ln 2x x x c

3 2( 1) ( 1)ln

2

x xc

x

6) 2 2

4

( 1)( 2 3)

xI dx

x x x

Solución:


2 2

2 2 2 2 2 2

4 ( )( 2 3) ( )( 1)

( 1)( 2 3) 1 2 3 ( 1)( 2 3)

x Ax B Cx D Ax B x x Cx D x

x x x x x x x x x


3 2 2 3 24 2 2 2 3x Ax Ax Ax Bx Bx B Cx Cx Dx D

3 2 3 20 0 4 0 ( ) (2 ) (2 2 ) (3 )x x x A C x A B D x A B C x B D

De aquí, se tiene

0

2 0

2 2 4

3 0

A C

A B D

A B C

B D


1A , 1B , 1C y 3D

Por lo que

2 2 2 2

4 1 3

( 1)( 2 3) 1 2 3

x x x

x x x x x x


2 2 2 2 2 2

4 1 3 1 3

( 1)( 2 3) 1 2 3 1 2 3

x x x x xdx dx dx dx

x x x x x x x x x

50

2 2

1 3

1 2 3

x xdx dx

x x x

2 2 2

1 1 2

1 1 2 3

x xdx dx dx

x x x x

2

2 2

1 1 2ln 1 arctan

2 2 3 2 3

xx x dx dx

x x x x

2 2

2

1 1 2ln 1 arctan ln 2 3

2 2 ( 1) 1 3x x x x dx

x

2 2

22

1 1 2ln 1 arctan ln 2 3

2 2 ( 1) 2x x x x dx

x

2 21 1 1 1ln 1 arctan ln 2 3 arctan

2 2 2 2

xx x x x C

2 21 1 1 1ln 1 arctan ln 2 3 arctan

2 2 2 2

xx x x x C

7) 2 1

1

x xI dx

x

Solución:

Primero dividamos

2

2

1 1

1

x x x

x x x

2 1 1

1 1

x xx

x x

Así

2 21 1 1ln 1

1 1 1 2

x x xI dx x dx xdx dx x C

x x x

8) 2

2

( 1)

(2 1)( 1)

x xI dx

x x

Solución:


2 2

2 2 2

( 1) ( 1) ( )(2 1)

2 1(2 1)( 1) 1 (2 1)( 1)

x x A Bx C A x Bx C x

xx x x x x

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así 2 21 ( 1) ( )(2 1)x x A x Bx C x

2 2 21 2 2x x Ax A Bx Bx Cx C

2 21 ( 2 ) ( 2 ) ( )x x A B x B C x A C

De aquí, se tiene

2 1

2 1

1

A B

B C

A C


3

5A ,

1

5B y

2

5C

51

Por lo que

2

2 2

( 1) 3 / 5 1/ 5 2 / 5

2 1(2 1)( 1) 1

x x x

xx x x


2

2 2 2

( 1) 3 / 5 1/ 5 2 / 5 3 / 5 1/ 5 2 / 5

2 1 2 1(2 1)( 1) 1 1

x x x xdx dx dx dx

x xx x x x

2 2 2

3 1 1 2 3 1 2ln 2 1

5 2 1 5 5 51 1 1

x xdx dx x dx

x x x x

2 2

3 1 1 2ln 2 1

5 5 51 1

xx dx dx

x x

2

2

3 1 1 2 1ln 2 1 ln 1

5 5 2 5 1x x dx

x

23 1 2ln 2 1 ln 1 arctan

5 10 5x x x C

9) 2

3 2

9 25 10

4 5

x xI dx

x x x

Solución:


2 2

3 2

9 25 10 9 25 10(1)

( 5)( 1) 5 14 5

x x x x A B C

x x x x x xx x x

( 5)( 1) ( 1) ( 5)

( 5)( 1)

A x x Bx x Cx x

x x x

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales 29 25 10 ( 5)( 1) ( 1) ( 5)x x A x x Bx x Cx x

Así,

Si 25 9(0) 25(0) 10 (0 5)(0 1) (0)(0 1) (0)(0 5)x A B C

10 5 2A A

Si 21 9( 1) 25( 1) 10 ( 1 5)( 1 1) ( 1)( 1 1) ( 1)( 1 5)x A B C

24 6 4C C

Si 25 9(5) 25(5) 10 (5 5)(5 1) (5)(5 1) (5)(5 5)x A B C

90 30 3B B

Reemplazando en (1) se tiene

2

3 2

9 25 10 2 3 4

5 14 5

x x

x x xx x x


2

3 2

9 25 10 2 3 4 2 3 4

5 1 5 14 5

x xdx dx dx dx dx

x x x x x xx x x

2 3 45 1

dx dx dx

x x x

2ln 3ln 5 4ln 1x x x C

10) 2

2

2 25 33

( 1) ( 5)

x xI dx

x x

52

Solución:


2

2 2

2 25 33(1)

1 5( 1) ( 5) ( 1)

x x A B C

x xx x x

2

2

( 1)( 5) ( 5) ( 1)

( 1) ( 5)

A x x B x C x

x x

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, así 2 22 25 33 ( 1)( 5) ( 5) ( 1)x x A x x B x C x

Calculemos los valores de , yA B C

Si 2 21 2( 1) 25( 1) 33 ( 1 1)( 1 5) ( 1 5) ( 1 1)x A B C

Si

Si



11)

Solución



Calculemos los valores de

Si

Si

Si


6 6 1B B 2 25 2(5) 25(5) 33 (5 1)(5 5) (5 5) (5 1)x A B C

108 36 3C C 2 20 2(0) 25(0) 33 (0 1)(0 5) (0 5) (0 1)x A B C

33 5 5 3 6A A

2

2 2

2 25 33 6 1 3

1 5( 1) ( 5) ( 1)

x x

x xx x x

2

2 2 2

2 25 33 6 1 3 6 1 3

1 5 1 5( 1) ( 5) ( 1) ( 1)

x xdx dx dx dx dx

x x x xx x x x

26 ( 1) 31 5

dx dxx dx

x x

1( 1)6ln 1 3ln 5

1

xx x C

16ln 1 3ln 5

1x x C

x

2

(5 7)

( 3)( 2)

x dx

x x x

2

(5 7) (5 7)(1)

( 3)( 2)( 1) 3 2 1( 3)( 2)

x x A B C

x x x x x xx x x

( 2)( 1) ( 3)( 1) ( 3)( 2)

( 3)( 2)( 1)

A x x B x x C x x

x x x

5 7 ( 2)( 1) ( 3)( 1) ( 3)( 2)x A x x B x x C x x

, yA B C

1 5( 1) 7 ( 1 2)( 1 1) ( 1 3)( 1 1) ( 1 3)( 1 2)x A B C

12 12 1C C

2 5(2) 7 (2 2)(2 1) (2 3)(2 1) (2 3)(2 2)x A B C

3 3 1B B

3 5(3) 7 (3 2)(3 1) (3 3)(3 1) (3 3)(3 2)x A B C

8 4 2A A

2

(5 7) 2 1 1

3 2 1( 3)( 2)

x

x x xx x x

53


12)

Solución

Como , entonces la integral dada puede expresarse

como

Ahora calculamos las constantes

Igualando los numeradores se tiene

Ordenando y agrupando

Por identidad de polinomios se tiene:

Luego reemplazando los valores de en (1) se tiene

13)

Solución

Como: , entonces la

integral dada puede expresarse como

2

(5 7) 2 1 1 2 1 1

3 2 1 3 2 1( 3)( 2)

xdx dx dx dx dx

x x x x x xx x x

1 1 1

23 2 1

dx dx dxx x x

2ln 3 ln 2 ln 1x x x C

2( 3)ln

( 2)( 1)

xC

x x

3 26 7 3

dx

x x x

3 26 7 3 (2 3)(3 1)x x x x x x

3 2(1)

(2 3)(3 1) 2 3 3 16 7 3

dx dx A B Cdx

x x x x x xx x x

, yA B C

3 2

1 (2 3)(3 1) (3 1) (2 3)

2 3 3 1 (2 3)(3 1)6 7 3

A B C A x x Bx x Cx x

x x x x x xx x x

2 2 21 (6 7 3) (3 ) (2 3 )A x x B x x C x x

2 20 0 1 (6 3 2 ) ( 7 3 ) 3x x A B C x A B C x A

1

36 3 2 04

7 3 033

3 19

11

A

A B C

A B C B

A

C

, yA B C

3 2

1/ 3 4 / 33 9 /11 1 4 9

2 3 3 1 3 33 2 3 11 3 16 7 3

dx dx dx dxdx

x x x x x xx x x

1 2 3ln ln 3 3 ln 3 1

3 33 11x x x C

4 23 2

xdx

x x

4 2 2 23 2 ( 2)( 1) ( 2)( 2)( 1)( 1)x x x x x x x x

4 23 2 ( 2)( 2)( 1)( 1)

xdx xdx

x x x x x x

( ) (1)( 1) ( 1)( 2) ( 2)

A B C Ddx

x xx x

54

Ahora calculamos las constantes

Igualando los numeradores se tiene:

Por identidad de polinomios se tiene:

Luego reemplazando los valores de en (1), se tiene

14)

Solución

A la integral dada expresemos en la forma:

Ahora calculando las constantes

, , yA B C D

4 2 ( 1) ( 1)3 2 ( 2) ( 2)

x A B C D

x xx x x x

2 2 2 2( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1) ( 2)( 1)

( 2)( 2)( 1)( 1)

A x x B x x C x x D x x

x x x x

3 2 3 2 3 2 3 2( 2 2) ( 2 2) ( 2 2) ( 2 2)x A x x x B x x x C x x x D x x x

3 2( ) ( 2 2 ) ( 2 2 ) 2 2 2 2x A B C D x A B C D x A B C D x A B C D

01

2 2 0 2

2 2 1 1

22 2 2 2 0

A B C D

A BA B C D

A B C DC D

A B C D

, , yA B C D

4 2

1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2

( 1) ( 1)3 2 ( 2) 2

xdxdx dx dx dx

x xx x x x

1

2 ( 1) ( 1)( 2) 2

dx dx dx dx

x xx x

1ln 2 ln 2 ln 1 ln 1

2x x x x C

2

2

1 2ln

2 1

xC

x

2

2

(2 1)

( 1) ( 3)

x dx

x x

2

2 2

(2 1)(1)

1 3( 1) ( 3) ( 1)

x dx A B Cdx

x xx x x

, yA B C

2 2

2 2 2

(2 1) ( 1)( 3) ( 3) ( 1)

1 3( 1) ( 3) ( 1) ( 1) ( 3)

x A B C A x x B x C x

x xx x x x x

55

Igualando los numeradores se tiene:

Ordenando:

Ahora por identidad de polinomios se tiene:

Luego reemplazando los valores de en (1), se tiene

15) Use integración por fracciones parciales para calcular dxx

x

1

23

Solución

Factorizando el denominador y separando en fracciones parciales se tiene:

dxxx

CBxdx

x

Adx

xxx

xdx

x

x

11)1)(1(

2

1

2223

(1)

Calculemos las constantes A, B y C.

111

223

xx

CBx

x

A

x

x

)1)(1(

)1)(()1(

1

22

2

3

xxx

xCBxxxA

x

x

)1)(()1(2 2 xCBxxxAx

Asignando valores a la variable x se tiene:

3

1311 AAx

3

5

3

12

3

1220 CCCAx

)2)(3

5(

3

13)2)((31 BCBAx

3

1

3

10

3

132

3

102

3

13 BBB

2 2 22 1 ( 2 3) ( 3) ( 2 1)x A x x B x C x x

2 22 1 ( ) ( 2 2 ) 3 3x A C x A B C x A B C

13

1623

2 2 04

3 3 119

16

A

A C

A B C B

A B C

C

, yA B C

2

2 2 2

2 1 13 /16 3 / 4 19 /16 13 3 19

1 3 16 1 4 16 3( 1) ( 3) ( 1) ( 1)

x dx dx dx dxdx

x x x xx x x x

13 3 19ln 1 ln 3

16 4( 1) 16x x C

x

56

Luego en (1)

dxxx

x

dxx

dxx

x

1

3

5

3

1

1

3

1

1

223

dxxx

xdx

xdx

x

x

1

5

3

1

1

1

3

1

1

223

dxxx

xxdx

x

x

1

102

6

11ln

3

1

1

223

dxxx

xxdx

x

x

1

912

6

11ln

3

1

1

223

dxxx

dxxx

xxdx

x

x

1

9

6

1

1

12

6

11ln

3

1

1

2223

dx

x

xxxdxx

x

4

3

2

1

1

2

31ln

6

11ln

3

1

1

22

2

3

dx

x

xxxdxx

x

22

2

3

2

3

2

1

1

2

31ln

6

11ln

3

1

1

2

cxxxdxx

x

2

3

2

1x

Arctan

2

3

1

2

31ln

6

11ln

3

1

1

2 2

3

cx

xxxdxx

x

3

12Arctan

3

31ln

6

11ln

3

1

1

2 2

3

c

xxxxdx

x

x

3

12Arctan31ln

6

11ln

3

1

1

2 2

3

57

APLICACIONES DE LOS PROBEMAS CON VALOR INICIAL

1) Se ha determinado que la población ( )P t de una cierta colonia de bacterias, t horas después de

iniciar la observación, tiene un razón de cambio

0.1 0.03200 150t tdPe e

dt

Si la población era de 200000 bacterias cuando inició la observación, ¿cuál será la población 12 horas

después?

Solución:

La población ( )P t se encuentra antiderivando dP

dt como se muestra a continuación:

0.1 0.03( ) (200 150 )t tdPP t dt e e dt

dt

0.1 0.03200 150

0.1 0.03

t te ec

0.1 0.032000 5000t te e c

Como la población es de 200000 cuando 0t , se tiene que

0 0(0) 200000 2000 5000P e e c

200000 3000 c

203000c

Así,

0.1 0.03( ) 2000 5000 203000t tP t e e

Entonces, después de 12 horas, la población es

0.1(12) 0.03(12)(12) 2000 5000 203000

206152

P e e

2) Un minorista recibe un cargamento de 10000 kilogramos de arroz que se consumirán e un periodo

de 5 meses a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes. Si los costos de almacenamiento son 1

centavo por kilogramo al mes, ¿cuánto pagará el minorista en costos de almacenamiento durante los

próximos 5 meses?

Solución:

Sea ( )S t el costo total de almacenamiento (en dólares) durante t meses. Como el arroz se consume

a una tasa constante de 2000 kilogramos por mes, el número de kilogramos de arroz almacenado

después de t meses es de 10000 2000t . Por tanto, como los costos de almacenamiento son 1

centavo por kilogramo al mes, la tasa de cambio del costo de almacenamiento con respecto al tiempo

es

costo mensual número de0.01(10000 2000 )

por kilogramo kilogramos

dSt

dt

Se deduce que ( )S t es una antiderivada de

0.01(10000 2000 ) 100 20t t

Es decir,

2( ) (100 20 ) 100 10dS

S t dt t dt t t cdt

Para alguna constante c . Para determinar c , se usa el hecho de que cuando llega el cargamento

(cuando 0t ) no hay costo, por lo que

20 100(0) 10(0) 0c c

58

De aquí,

2( ) 100 10S t t t

Y el costo total de almacenamiento durante los próximos 5 meses será

2(5) 100(5) 10(5) $250S

3) Un automóvil viaja en línea recta a 45 millas por hora (66 pies por segundo) en el instante en el que

el conductor se ve forzado a aplicar los frenos para evitar un accidente. Si los frenos proporcionan

una desaceleración constante de 22 pies/s2, ¿qué distancia recorre el automóvil antes de detenerse por

completo?

Solución:

Sea ( )s t la distancia recorrida por el automóvil en t segundos después de aplicar los frenos. Como

el automóvil desacelera a 222pies/s , se tiene que ( ) 22a t ; es decir,

( ) 22dv

a tdt

Integrando, se encuentra que la velocidad en el momento t está dada por

1( ) 22 22v t dt t C

Para calcular 1C , observe que 66v cuando 0t , de modo que

1 166 (0) 22(0) 66v C C

Por lo que la velocidad en el momento t es ( ) 22 66v t t .

A continuación, para encontrar la distancia ( )s t , se inicia con el hecho de que

( ) 22 66ds

v t tdt

E integrando se tiene que

22( ) ( 22 66) 11 66s t t dt t t C

Como (0) 0s , se deduce que 2 0C y

2( ) 11 66s t t t

Finalmente, para encontrar la distancia a la que se detiene el automóvil, éste se detiene cuando

( ) 0v t , lo cual sucede cuando

( ) 22 66 0v t t

Resolviendo esta ecuación, se obtiene que el automóvil se detiene después de 3 segundos de

desaceleración, y en ese tiempo ha recorrido

2(3) 11(3) 66(3) 99piess

4) CRECIMIENTO DE LA POBLACIÓN. Se ha estimado que dentro de t meses la población ( )P t

de una cierta ciudad cambiará a razón de 2/3'( ) 4 5P t t personas por mes. Si la población actual

es de 10000, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?

Solución:

La población ( )P t se encuentra antiderivando dP

dt como se muestra a continuación:

5/32/3 5/3( ) (4 5 ) 4 5 4 3

5 / 3

dP tP t dt t dt t C t t C

dt

Como la población es de 10000 cuando 0t , se tiene que

5/3

(0) 10000 4 0 3 0P C 10000C

59

Así,

5/3( ) 4 3 10000P t t t

Entonces, después de 8 meses, la población es

5/3

(8) 4 8 3 8 10000 10128P

5) APRENDIZAJE. Tony toma una prueba de aprendizaje en la que se registra el tiempo que le toma

memorizar aspectos de una lista dada. Sea ( )M t el número de aspectos que puede memorizar en t

minutos. Su tasa de aprendizaje se determina como

2'( ) 0.4 0.005M t t t

a) ¿Cuántos aspectos puede memorizar Tony durante los primeros 10 minutos?

b) ¿Cuántos aspectos adicionales puede memorizar durante los siguientes 10 minutos (del tiempo

10t al 20t )?

Solución:

El número de aspectos ( )M t que puede memorizar Tony, se encuentra antiderivando dM

dt como se

muestra a continuación:

3 22( ) ( 0.005 0.4 ) 0.005 0.4

3 2

dM t tM t dt t t dt C

dt

3 20.005

0.23

t t C

Como ( )M t es 0 cuando 0t (pues al inicio de la prueba aún no ha memorizada ningún aspecto

de la lista dada), se tiene que

0 (0)M

3 20.005

0 0 0.2 03

C

0C

Así,

3 20.005( ) 0.2

3M t t t

a) Después de los primeros 10 minutos, el número de aspectos que ha memorizado es

3 20.005

(10) 10 0.2 10 18.333

M

b) El número de aspectos adicionales que puede memorizar en los siguientes 10 minutos es

Δ (20) (10)M M M

3 2 3 20.005 0.005

20 0.2 20 10 0.2 103 3

66.66 18.33 48.33

6) UTILIDAD MARGINAL. Un fabricante estima que el ingreso marginal será 1/2'( ) 200R q q

dólares por unidad cuando el nivel de producción sea de q unidades. Se ha determinado que el costo

marginal correspondiente es de 0.4q dólares por unidad. Suponga que la utilidad del fabricante es

$2000 cuando en nivel de producción es de 25 unidades. ¿Cuál es la utilidad del fabricante cuando

el nivel de producción sea de 36 unidades?

Solución:

Recuerde que

utilidad marginal ingreso marginal costo marginal

Así, si

60

'( ) utilidad marginalP q

'( ) ingreso marginalR q

'( ) costo marginalC q

Entonces

1/2'( ) '( ) '( ) 200 0.4P q R q C q q q

Por otro lado, recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad ( )P x . Entonces,

1/2200 0.4dP

q qdq

y por tanto, ( )P q debe ser la antiderivada de dP

dq, así

1/2 2

1/2( ) 200 0.4 200 0.41/ 2 2

dP q qP q q q dq k

dq

1/2 2400 0.2q q k

para alguna constante k .

El valor de k se determina por el hecho de que (25) 2000P . Así,

2000 (25)P

1/2 2

2000 400 25 0.2 25 k

125k

De aquí, la función utilidad es

1/2 2( ) 400 0.2 125P x q q

y la utilidad cuando el nivel de producción sea de 36 unidades es

1/2 2

(36) 400 36 0.2 36 125

$2265.8

P

7) TERAPIA CONTRA EL CANCER. Un nuevo procedimiento médico se aplica a un tumor

canceroso que tiene un volumen de 30 cm3, y t días después se determina que el volumen cambia a

la tasa

0.006 3'( ) 0.15 0.09 cm /díatV t e

a) Determine una fórmula del volumen del tumor después de t días.

b) ¿Cuál es el volumen luego de 60 días? ¿Cuál es después de 120 días?

c) A fin que el procedimiento sea exitoso, no deberán transcurrir más de 90 días para que el tumor

comience a disminuir. Con base en este criterio, ¿tiene éxito el procedimiento?

Solución:

El volumen ( )V t del tumor canceroso, se encuentra antiderivando dV

dt como se muestra a

continuación:

0.006 0.0060.09( ) (0.15 0.09 ) 0.15

0.006

t tdVV t dt e dt t e C

dt

0.0060.15 15 tt e C

Como el volumen del tumor es 330cmV cuando 0t , se tiene que

30 (0)V

0.006 030 0.15 0 15e C

45C

61

Así,

a) La fórmula del volumen del tumor es

0.006( ) 0.15 15 45tV t t e

b) El volumen del tumor luego de 60 días es

0.006 60(60) 0.15 60 15 45V e

332.5cm

El volumen del tumor luego de 120 días es

0.006 120(120) 0.15 120 15 45V e

332.18cm

c) El volumen del tumor luego de 90 días es

0.006 90(90) 0.15 90 15 45V e

332.75cm

Por lo tanto el procedimiento no es exitoso ya que el tumor no ha disminuido, más bien ha

aumentado 32.75cm con respecto al volumen inicial.

8) DESCONGELAMIENTO. Un trozo de carne se saca del refrigerador y se deja en el mostrador para

que se descongele. Cuando se sacó del congelador, la temperatura de la carne era de -4°C, y t horas

más tarde se incrementaba a una tasa de

0.35 o'( ) 7 C/htT t e

a) Determine una fórmula para la temperatura de la carne después de t horas.

b) ¿Cuál es la temperatura después de 2 horas?

c) Suponga que la carne está descongelada cuando su temperatura llega a 10°C. ¿Cuánto tiempo

transcurre hasta que se descongela la carne?

Solución:

La temperatura ( )T t de la carne en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando dT

dt como se

muestra a continuación:

0.35 0.357( ) (7 )

0.35

t tdTT t dt e dt e C

dt

0.3520 te C

Como la temperatura de la carne es o4 CT cuando 0t , se tiene que

4 (0)T

0.35 04 20e C

16C

Así,

a) La fórmula para la temperatura de la carne es

0.35( ) 20 16tT t e

b) La temperatura de la carne después de 2 horas es

0.35 2(2) 20 16 6.068T e C

c) Para encontrar el tiempo que tiene que transcurrir para que la carne se descongele, resolvamos

la siguiente ecuación

0.35( ) 20 16 10tT t e

0.3520 6te

0.35 3

10

te

62

0.35 3ln ln

10

te

30.35 ln ln

10t e

30.35 ln

10t

3ln

10

0.35t

3.4399hrst

9) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Un ecologista encuentra que cierto tipo de árbol crece de tal

forma que su altura ( )h t después de t años cambia a una razón de

2/3'( ) 0.2 pies/añoh t t t

Si cuando se plantó el árbol éste tenía una altura de 2 pies, ¿cuál será su altura dentro de 27 años?

Solución:

La altura ( )h t de un árbol en cualquier tiempo t , se encuentra antiderivando dh

dt como se muestra

a continuación:

5/3 3/22/3( ) (0.2 ) 0.2

5 / 3 3 / 2

dh t th t dt t t dt C

dt

5/3 3/22

0.123

t t C

Como la altura del árbol es 2h cuando 0t , se tiene que

2 (0)h

5/3 3/22

2 0.12 0 03

C

2C

De aquí,

5/3 3/22( ) 0.12 2

3h t t t

y la altura del árbol dentro de 27 años es

5/3 3/22

(27) 0.12 27 27 2 124.69m3

h

10) COSTO MARGINAL. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de

cierto bien es 2'( ) 3 24 48C q q q dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades

es de $5000, ¿cuál es el costo de producción de 30 unidades?

Solución:

Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total ( )C q . Entonces,

23 24 48dC

q qdq

y por tanto, ( )C q debe ser la antiderivada de dC

dq, así

2 3 224( ) (3 24 48) 48

2

dCC q q q dq q q q k

dq

3 212 48q q q k

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión

con la función del costo C )

El valor de k se determina por el hecho de que (10) 5000C . En particular,

63

5000 (10)C

3 2

5000 10 12 10 48 10 k

4720k

De aquí, la función del costo total es

3 2( ) 12 48 4720C q q q q

y el costo de producción de 30 unidades es

3 2

(30) 30 12 30 48 30 4720 $22360C

11) INGRESO MARGINAL. El ingreso marginal derivado de la producción de q unidades de cierto

artículo es 2'( ) 4 1.2R q q q dólares por unidad. Si el ingreso derivado de la producción de 20

unidades es de $30000, ¿cuál será el ingreso esperado por la producción de 40 unidades?

Solución:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función del ingreso ( )R q . Entonces,

24 1.2dR

q qdq

y por tanto, ( )R q debe ser la antiderivada de dR

dq, así

2 3 2 3 21.2 4( ) ( 1.2 4 ) 0.4 2

3 2

dRR q q q dq q q C q q C

dq

para alguna constante C .

El valor de C se determina por el hecho de que (20) 30000R . En particular,

30000 (20)R

3 2

30000 0.4 20 2 20 C 32400C

De aquí, el ingreso total es

3 2( ) 0.4 2 32400R q q q

y el ingreso por la producción de 40 unidades es

3 2

(40) 0.4 40 2 40 32400 $10000R

12) UTILIDAD MARGINAL. La utilidad marginal de un bien es '( ) 100 2P q q cuando se

producen q unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es de $700.

a) Determine la función utilidad.

b) ¿Qué nivel de producción q da como resultado la utilidad máxima? ¿cuál es la utilidad máxima?

Solución:

a) Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad ( )P q . Entonces,

100 2dP

qdq

y por tanto, ( )P q debe ser la antiderivada de dP

dq, así

2 22( ) ( 2 100) 100 100

2

dPP q q dq q q C q q C

dq


El valor de C se determina por el hecho de que (10) 700P . En particular,

700 (10)P

2

700 10 100 10 C

64

200C


2( ) 100 200P q q q

b) Para determinar el nivel de producción q que proporciona la utilidad máxima, se debe de igualar

la utilidad marginal a cero y resolver la ecuación para q , es decir

'( ) 0 100 2 0 50P q q q

Para verificar si justamente el valor hallado proporciona la utilidad máxima se hace uso del

criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segundo derivada y reemplazar

50q en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces 50q sería el nivel de

producción que proporciona la máxima ganancia. En efecto

''( ) 2P q

Podemos notar que la segunda derivada es negativa para cualquier valor de q , e particular para

50q . Por lo tanto el nivel de producción que maximiza la utilidad es 50q y la utilidad

máxima es

2

(50) 50 100 50 200

2500 5000 200

$2300

P

13) La utilidad marginal por la venta de x cientos de artículos de un producto es 2'( ) 4 6 3P x x x

, y la “utilidad” cuando ningún artículo se vende es de -$40. Encuentra la función de utilidad.

Solución:

Recuerde que la utilidad marginal es la derivada de la función utilidad ( )P x . Entonces,

2 6 43dP

xdx

x

y por tanto, ( )P x debe ser la antiderivada de dP

dx, así

2 3 2 3 23 6( ) ( 4) 4 3 4

3 23 6

dPP x dx x x x C x x x C

dxx x


El valor de C se determina por el hecho de que (0) 40P . En particular,

40 (0)P

3 2

40 0 3 0 4 0 C

40C


3 2( ) 3 4 40P x x x x

14) Si el costo marginal mensual de un producto es '( ) 2 110 2800C x x x , Encuentre la función

del costo total, si el costo fijo es de $5000.

Solución:

Recuerde que el costo marginal es la derivada de la función del costo total ( )C q . Entonces,

2 110 2800dC

x xdx

y por tanto, ( )C x debe ser la antiderivada de dC

dx, así

65

32 2110

( ) ( ) 28003 2

110 2800dC x

C x dx x x kdx

x x

3255 2800

3

xx x k

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar confusión

con la función del costo C )

El valor de k se determina por el hecho de que Costo fijo (0) 5000C . En particular,

5000 (0)C

320

5000 55 0 2800 03

k

5000k

De aquí, la función del costo total es

32( ) 55 2800 5000

3

xC x x x

15) Si el ingreso marginal mensual por un producto es '( ) 1,5 30R x x , Encuentre la función del

ingreso total.

Solución:

Recuerde que el ingreso marginal es la derivada de la función ingreso ( )R x . Entonces,

1.5 30dR

xdx

y por tanto, ( )R x debe ser la antiderivada de dR

dx, así

2 21.5( ) ( 1.5 30) 30 0.75 30

2

dRR x x dx x x C x x C

dx


El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . En particular,

0 (0)R

2

0 0.75 0 30 0 C

0C

De aquí, la función del ingreso es

2( ) 0.75 30R x x x

16) La Dewitt Company ha encontrado que la razón de cambio de su costo promedio de su producto es

de 2

1 100'( )

4C x

x , donde x es el número de unidades y el costo se da en dólares. El costo promedio

de producir 20 unidades es de 40 dólares.

a) Encuentre la función de costo promedio del producto.

b) Encuentre el costo promedio de 100 unidades del producto.

Solución:

a) Recuerde que la razón de cambio del costo promedio es la derivada de la función del costo

promedio ( )C x . Entonces,

2

1 100

4

dC

dx x

66

y por tanto, ( )C x debe ser la antiderivada de dC

dx, así

2 2

1 100 1 100( )

4 4

dCC x dx dx dx

dq x x

121

100 1004 4 1

x xx x dx k

100

4

xk

x

para alguna constante k . (La letra k se empleó para denotar la constante a fin de evitar

confusión con la función del costo promedio C )

El valor de k se determina por el hecho de que (20) 40C . En particular,

40 (20)C

20 10040

4 20k

30k

De aquí, la función del costo promedio es

100( ) 30

4

xC x

x

b) El costo promedio de 100 unidades es

100 100(100) 30 $56

4 100C

17) Se estima que el precio p (dólares) de cada unidad de un cierto artículo cambia a una tasa de

2

135

9

dp x

dx x

Donde x (cientos) de unidades es la demanda del consumidor (el número de unidades compradas a

ese precio). Suponga que se demandan 400 unidades ( 4x ) cuando el precio es de $30 por unidad.

a) Determine la función de la demanda

b) ¿A qué precio se demandaran 300 unidades? ¿A qué precio no se demandara ninguna unidad?

c) ¿cuántas unidades se demandaran a un precio $20 por unidad?

Solución:

a) El precio por unidad demandada ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . Para

efectuar esta integración, se emplea la sustitución

2 19 , 2 ,

2u x du xdx xdx du ,

y se obtiene

1/21/2

1/22

135 135 1 135 135( )

2 2 2 1/ 29

x up x dx du u du C

ux

2135 9 x C

Como 30p cuando 4x , se tiene que

(4) 30p

2135 9 4 30C

30 135 25 705C

Por tanto

67

2( ) 135 9 705p x x

b) Cuando se demandan 300 unidades, 3x y el precio correspondiente es

2(3) 135 9 3 705 $132.24p por unidad

No se demanda ninguna unidad cuando 0x y el precio correspondiente es

2(0) 135 9 0 705 $300p por unidad

c) Para determinar el número de unidades demandadas a un precio unitario de $20 , se necesita

resolver la ecuación

2135 9 705 20x

2135 9 685x

2 6859

135x

29 25.75x

2 16.75x

4.09x

Es decir, se demandaran aproximadamente 409 unidades cuando el precio sea de $20 por

unidad.

18) CRECIMIENTO DE UN ARBOL. Se trasplantó un árbol y después de x años este crecía a una

tasa de

2

11

1x

metros por año. Después de 2 años el árbol alcanzó una altura de 5 metros. ¿Qué

altura tenía cuando se trasplantó?

Solución:

La altura del árbol, ( )h x , se determina integrando

2

1'( ) 1

1h x

x

con respecto a x . Así

2 2 2

1( ) '( ) 1

1 1 1

dx dxh x h x dx dx dx x

x x x

Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución (al segundo miembro del lado derecho)

1,u x du dx ,

y se obtiene

12

2 2( )

11

dx du uh x x x x u du x C

x u

1 1

1x C x C

u x

El valor de C se determina por el hecho de que (2) 5h . Así,

5 (2)h1

5 22 1

C

15 2

3C

55

3C

10

3C

De aquí,

1 10( )

1 3h x x

x

Por lo tanto, la atura del árbol cuando este se trasplantó es

1 10 10 7(0) 0 1

0 1 3 3 3h m

68

19) VENTAS AL MENUDEO. En cierta sección del país, se estima que dentro de t semanas, el precio

del pollo crecerá a una tasa de '( ) 3 1p t t centavos por kilogramo por semana. Si actualmente

el pollo cuesta $3 por kilogramo, ¿cuánto costará dentro de 8 semanas?

Solución:

El precio del pollo , ( )p x , se determina integrando '( ) 3 1p t t con respecto a t . Así

( ) '( ) 3 1p t p t dt t dt

Para efectuar esta integración, se emplea la sustitución

1 ,u t du dt

y se obtiene

3/21/2( ) 3 1 3 3 3

3 / 2

up t t dt u dt u du C

3/23/22 2 1u C t C

Por dato del problema, 300p (pues el precio está dado en centavos) cuando 0t , así se tiene

300 (0)p

3/2300 2 0 1 C 300 2 C 298C

De aquí,

3/2

( ) 2 1 298p t t

Por lo tanto, el precio del pollo después de 8 semanas es

3/2 3/2

(8) 2 8 1 298 2 9 298 2 27 298

352centavos $3.52

p

20) INGRESO. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será 20.01'( ) 50 3.5 xR x xe dólares por unidad, donde ( )R x es el ingreso en dólares.

a) Determine ( )R x , suponiendo que (0) 0R .

b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades?

Solución:

a) El ingreso ( )R x se determina integrando '( )R x con respecto a x . Así

2 20.01 0.01( ) '( ) 50 3.5 50 3.5x xR x R x dx xe dx dx xe dx

20.0150 3.5 xx xe dx

Para integrar el segundo miembro del lado derecho, se emplea la sustitución

20.01 , 0.020.02

duu x du xdx xdx ,

y se obtiene

2 2

2

0.01 0.01

0.01

( ) 50 3.5 50 3.5 50 3.50.02

3.550 50 175 50 175

0.02

x x u

u u x

duR x x xe dx x e xdx x e

x e du x e C x e C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . Así,

0 (0)R 2

0.01 00 50 0 175e C

0 175 C 175C

Por tanto 20.01( ) 50 175 175xR x x e

69

b) El ingreso por la venta de 1000 unidades es

2

0.01 1000(1000) 50 1000 175 175

$50175

R e

21) CONTAMINACION DEL AGUA. Un derrame de petróleo en el océano tiene una forma

aproximadamente circular, con radio ( )R t pies, t minutos después del inicio del derrame. E radio

crece a una tasa de

21'( ) pies/min

0.07 5R t

t

a) Determine una expresión para el radio ( )R t , suponiendo que 0R cuando 0t .

b) ¿Cuál es el área 2A πR del derrame después de 1 hora?

Solución:

a) El radio ( )R t se determina integrando '( )R t con respecto a t . Así

21( ) '( )

0.07 5R t R t dt dt

t

Para realizar a integración, se emplea la sustitución

0.07 5, 0.070.07

duu t du dt dt ,

y se obtiene

21 1 21( ) 21

0.07 5 0.07 0.07

300ln 300ln 0.07 5

du duR t dt

t u u

u C t C

El valor de C se determina por el hecho de que (0) 0R . Así,

0 (0)R 0 300ln 0.07 0 5 C 0 300ln 5 C 482.83C

Por tanto

( ) 300ln 0.07 5 482.83R t t

b) La función área es

22

( ) ( ) 300ln 0.07 5 482.83A t π R t π t

Así el área del derrame después de una hora (60 minutos) es

2

(60) 300ln 0.07 60 5 482.83A π

24144581.89 pies

22) CONCENTRACION DE UN MEDICAMENTO. La concentración ( )C t en miligramos por

centímetro cúbico (mg/cm3) de un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente es de

0.5mg/cm3 inmediatamente después de una inyección y t minutos más tarde disminuye a la tasa de

0.01

20.01

0.01'( )

1

t

t

eC t

e

mg/cm3 por minuto.

Se aplica una nueva inyección cuando la concentración es menor que 0.05 mg/cm3.

a) Determine una expresión para ( )C t .

b) ¿Cuál es la concentración después de 1 hora?

Solución:

a) El concentración ( )C t se determina integrando '( )C t con respecto a t . Así

70

0.01

20.01

0.01( ) '( )

1

t

t

eC t C t dt dt

e


0.01 0.01, 0.01t tu e du e dt ,

y se obtiene

0.010.01

2 2 20.01 0.01

12

0.01

0.01 1 1( ) 0.01

1 1

1 1

1 1

tt

t t

t

eC t dt e dt du

ue e

uu du C C C

u e

Por dato del problema, 0.5C cuando 0t , así se tiene

0.5 (0)R 0.01 0

10.5

1C

e

10.5

2C 0C

Por tanto

0.01

1( )

1tC t

e

b) La concentración después de una hora (60 minutos) es

3

0.01 60

1(60) 0.354 mg/cm

1C

e

23) VALOR DE LA TIERRA. Se estima que dentro de t años, el valor ( )V t de una hectárea de tierra

cultivable crecerá a una tasa de

3

4

0.4'( )

0.2 8000

tV t

t

dólares por año. Actualmente la tierra vale $500 por hectárea.

a) Determine ( )V t

b) ¿Cuánto valdrá la tierra dentro de 10 años?

Solución:

a) El valor ( )V t se determina integrando '( )V t con respecto a t . Así

3

4

0.4( ) '( )

0.2 8000

tV t V t dt dt

t


4 3 30.2 8000, 0.8 ,0.8

duu t du t dt t dt ,

y se obtiene

33

4 4

0.4 1 1( ) 0.4 0.4

0.80.2 8000 0.2 8000

t duV t dt t dt

ut t

1/21/2 1/20.4 1 1

0.8 2 2 1/ 2

du uu du C u C

u

40.2 8000t C

Por dato del problema, 500V cuando 0t , así se tiene

500 (0)V

4500 0.2 0 8000 C

500 8000 C 410.55C

71

Por tanto

4( ) 0.2 8000 410.55V t t

b) El valor de la tierra dentro de 10 años será

4

(10) 0.2 10 8000 410.55 $510.55V

24) CONTAMINACION DEL AIRE. En cierto suburbio de Lima, el nivel de ozono ( )L t a las 7:00

a.m. es de 0.25 partes por millón (ppm). Una predicción del clima anticipa que el nivel de ozono t

horas más tarde cambiará a una tasa de 2

0.24 0.03'( )

36 16

tL t

t t

partes por millón por hora (ppm/h).

a) Exprese el nivel de ozono ( )L t como una función de t .

b) ¿Cuándo ocurre el nivel máximo de ozono? ¿Cuál es el nivel máximo?

Solución:

a) El nivel de ozono ( )L t se determina integrando '( )L t con respecto a t . Así

2

0.24 0.03( ) '( )

36 16

tL t L t dt dt

t t


236 16 , 16 2 2(8 ) , (8 )2

duu t t du t dt t dt t dt ,

y se obtiene

2 2 2

0.24 0.03 0.03(8 ) 1( ) 0.03 8

36 16 36 16 36 16

t tL t dt dt t dt

t t t t t t

1/21/2 1/21 0.03 0.03

0.03 0.032 2 2 1/ 2

du uu du C u C

u

20.03 36 16t t C

Por dato del problema, 0.25L cuando 0t (pues las 7:00 a.m. es la hora de inicio), así se

tiene

0.25 (0)L

2

0.25 0.03 36 16 0 0 C

0.25 0.03 36 C

0.07C

Por tanto

2( ) 0.03 36 16 0.07L t t t

b) Para determinar cuando ocurre el nivel máximo de ozono, se debe de igualar la tasa de variación

de ozono a cero, es decir

2

0.24 0.03 0.24'( ) 0 0 0.24 0.03 0 8

0.0336 16

tL t t t

t t

Para verificar si justamente el valor hallado proporciona el nivel máximo de ozono, se hace uso

del criterio de la segunda derivada, así necesitamos calcular la segunda derivada de ( )L t y

reemplazar 8t en ella, si el valor de la segunda derivada es negativa entonces en 8t se

alcanza el nivel máximo de ozono y este nivel máximo se determina reemplazando 8t en

( )L t . En efecto

72

32

3''( )

16 36

L t

t t

Reemplazando 8t en ''( )L t , se tiene

3

2

3''(8) 0.003

8 16 8 36

L

Por lo tanto el nivel máximo de ozono ocurre cuando 8t , es decir a las 3 p.m. Así el nivel

máximo de ozono es

2

(8) 0.06 36 16 8 8 0.11 0.49 ppmL

25) OFERTA. El propietario de una cadena de comida rápida determina que si se ofertan x miles de

unidades de una nueva comida el precio marginal a ese nivel de oferta estará dado por

2

'( )3

xp x

x

dólares por unidad, donde ( )p x es el precio (en dólares) por unidad a la cual todas las x unidades

se venderán. Actualmente, se ofertan 5000 unidades a un precio de $2.20 por unidad.

a) Determine la función de oferta ( )p x (precio).

b) Si se ofertan 10000 alimentos a restaurantes en la cadena, ¿Qué precio unitario se deberá cobrar

para que se vendan todas las unidades?

Solución:

a) El precio ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . Así

2

( ) '( )3

xp x p x dx dx

x


3, ,u x du dx

y se obtiene

2 2

( )3

x xp x dx du

x u

Como el integrando contiene el factor x , debemos de expresar x en términos de u , así

3 3u x x u Finalmente reemplazando 3u en la última integral, se tiene

2

2 2 2

1

3 1 3 1 3( ) ln 3

3 3ln 3 ln ln 3

1 3

up x du du du du u u du

u uu u u

uu C u C x C

u x

Por dato del problema, 2.20p cuando 5x , así se tiene

2.20 (5)p 3

5 ln 5 35 3

C

3

5 ln 88

C 2.545C

Por tanto,

3

( ) ln 3 2.5453

p x xx

b) El precio que se debe cobrar par que se vendan 10000 ( 10x ) alimentos es

3

(10) ln 10 3 2.54510 3

p

34.5$

73

26) DEMANDA. El gerente de una zapatería determina que el precio p (dólares) por cada par de zapatos

deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de

3/2

2

300'( )

9

xp x

x

cuando los consumidores demandan x (miles) de pares. Cuando el precio es de $75 por par, son

demandados 4000 pares ( 4x ).

a) Determine la función de demanda ( )p x (precio).

b) ¿A qué precio se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué pecio no se demandarán

zapatos deportivos?

c) ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de $90 por par?

Solución:

a) El precio ( )p x se determina integrando '( )p x con respecto a x . Así

3/2

2

300( ) '( )

9

xp x p x dx dx

x


2 9, 2 ,2

duu x du xdx xdx

y se obtiene

3/2 3/2 3/2

2 2

1/23/2

2

300 1 1( ) 300 300

29 9

300 300150 150

1/ 2 9

x dup x dx xdx

ux x

uu du C C C

u x

Por dato del problema, 75p cuando 4x , así se tiene

75 (4)p

2

30075

4 9

C

30075

25C 15C

Por tanto

2

300( ) 15

9p x

x

b) Para que se demanden 500 pares de zapatos ( 0.5x ), el precio que se debe cobrar es

2

300(0.5) 15 $113.64

0.5 9

p

Para que ningún par de zapatos se demande ( 0x ), el precio que se debe cobrar es

2

300(0) 15 $115

0 9

p

c) Para encontrar la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a un precio de 90, resolvemos

la siguiente ecuación

)(90 xp 159

30090

2

x 9

30075

2

x 75

30092 x

22 9 4x 2 7x 7 2.646x

74

Por lo tanto, la cantidad de pares de zapatos que se demandaran a este precio será

aproximadamente 2646

27) Un fabricante de juegos de video determina que su nuevo juego se vende en el mercado con una tasa

de variación que se puede aproximar por la función xxexS 2.04000)(' juegos por semana, en

donde x es el número de semanas desde el lanzamiento del juego. Exprese las ventas totales, S, como

una función de x. ¿Cuántos juegos se venderán durante las primeras cuatro semanas?

Solución

La función de ventas se obtiene integrando la función de la variación de las ventas. Es decir:

dxxedxxedxxSxS xx 2.02.0 40004000)(')(

Utilizando la técnica de integración por partes se tiene:

dxduxu

x

xxx ev

edxevdxedv 2.0

2.02.02.0 5

2.0

Entonces se tiene:

vduvuxS 4000)(

dxexexS xx 2.02.0 554000)(

cexexS xx 2.02.0 2554000)(

La cantidad de juegos que se venden en las cuatro primeras semanas.

ceeceeSS )0(2.0)0(2.0)4(2.0)4(2.0 25)0(5400025)4(54000)0()4(

78.1912010000025204000)0()4( 8.08.0 ceeSS juguetes por semana

Por lo tanto, las ventas totales de juguetes en las cuatro primeras semanas es de 19121.

28) Una empresa tiene un costo marginal por unidad de su producto dado por

2)20(

)20ln(5000)('

x

xxC , en donde x es el nivel de producción. Si los costos fijos ascienden a $

2000, determine la función de costo.

Solución

La función costo se obtiene integrando la función costo marginal. Es decir:

dx

x

xdx

x

xdxxCxC

22 )20(

)20ln(5000

)20(

)20ln(5000)(')(


dxx

duxu20

1)20ln(

75

20

1

)20(

1

)20(

122

xvdx

xvdxe

xdv

Luego tenemos:

vduuvxC 5000)(

dx

xxx

xxC

)20(

1

)20(

1

20

)20ln(5000)(

dx

xx

xxC

2)20(

1

20

)20ln(5000)(

c

xx

xxC

20

1

20

)20ln(5000)(

Por dato, los costos fijos ascienden a $ 2000. Es decir, x=0 y C=2000

c

200

1

200

)200ln(50002000

6,0c

Por lo tanto, la función costo es:

6,0

20

1

20

)20ln(5000)(

xx

xxC

29) Durante el desarrollo de una epidemia a la razón de llegada de casos nuevos a cierto hospital

es igual a ttetC 1,05)(' , donde t está medido en días, t=0 es el inicio de la epidemia.

¿Cuántos casos ha tratado en total el hospital cuando t =5 y cuando t=10?

Solución

El número de casos se obtendrá integrando la función ttetC 1,05)(' , es decir:

dttedttCC t1,05)('


dtdutu

t

ttt e

edtevdtedv 1,0

1,01,01,0 10

1,0

Luego tenemos:

][5)( vduuvtC

]1010[5)( 1,01,0

dtetetC tt

76

]1,0

1010[5)(,01

1,0 ce

tetCt

t

cetetC tt 1,01,0 50050)(

Por dato se sabe que cuando t=0, la llegada de casos nuevos es cero.

Entonces reemplazando en la integral indefinida tenemos:

cee )0(1,0)0(1,0 500)0(500

500c

Entonces la función costo es:

50050050)( 1,01,0 tt etetC

Por lo tanto, el número de casos tratado en el hospital cuando t =5 y cuando t=10 son:

45500500)5(0)5( )5(1,0)5(1,0 eeC

132500500)5(50)5( )5(1,0)5(1,0 eeC

30) El ingreso marginal de una empresa por su producto es 20/)20(10)(' xexxI ; donde x es el

número de unidades producidas y vendidas. Determine la función de ingreso.

Solución

dxexdxxIxI x 20/)20(10)(')(


dxduxu 20

20/20/20/ 20 xxx edxevdxedv

Luego tenemos:

vduuvxI )(

dxeexxI xx )1)(20()20()( 20/20/

dxeexxI xx 20/20/ 20)20()(

ceexxI xx )20(20)20()( 20/20/

ceexxI xx 20/20/ 400)20()(

Para calcular la constante de integración se debe razonar de la siguiente forma. Si la cantidad

producida y vendida es cero, entonces el ingreso es cero. E decir: I(0)=0.

ceeI 20/020/0 400)020()0(

c 200

20c

Por lo tanto, la función ingreso es:

20400)20()( 20/20/ xx eexxI

20)420()( 20/ xexxI

31) La razón de cambio del ingreso en dólares por la venta de x unidades de calculadoras de escritorio es

2

1000'( )

25R x

x

. Encuentre el ingreso total por la venta de las primeras 20 calculadoras.

Solución:

La función ingreso, ( )R x , se halla integrando la razón de cambio del ingreso, '( )R x , así

77

2

1000( ) '( )

25R x R x dx dx

x

Para calcular esta integral, hay que aplicar un cambio de variable trigonométrico.

Hagamos

5tan tan5

xx θ θ


25secdx θdθ y 2 25sec 5θ x


2

2

1000 1000( ) 5sec 1000 sec

5sec25R x dx θdθ θdθ

θx

1000ln sec tanθ θ C

2 251000ln

5 5

x xC

Bien se sabe, que cuando no se vende ninguna calculadora, el ingreso es cero, así

(0) 0R 2 20 5 0

1000ln 05 5

C

1000ln 1 0C 0C

Por lo tanto, la función ingreso es

2 25( ) 1000ln

5 5

x xR x

Así, el ingreso por las 20 primeras calculadoras es

2 220 5 20( ) 1000ln 2.09

5 5R x

32) La razón (en horas por artículo) a la que un trabajador, en cierto trabajo, produce x ésimo artículos

es 2'( ) 16h x x . ¿Cuál es el número total de horas que tardará este trabajador en producir los

primeros 7 artículos?

Solución:

La expresión para el número de horas, ( )h x , en función al número de artículos producidos, se halla

integrando '( )h x , así

2( ) '( ) 16h x h x dx x dx


Hagamos

4 tan tan4

xx θ θ


24secdx θdθ y 2 24sec 4θ x


2 2 3( ) 16 (4sec )4sec 16 sech x x dx θ θdθ θdθ

78

116 sec tan ln sec tan

2θ θ θ θ C

8 sec tan ln sec tanθ θ θ θ C

2 2 2 24 48 ln

4 4 4 4

x x x xC

2 2 2 24 48 ln

16 4

x x x xC

Se sabe que cuando aún no se ha producido ningún artículo, no se ha empleado ningún tiempo, así

(0) 0h 2 2 2 20 0 4 0 4 0

8 ln 016 4

C

8ln 1 0C

0C

Por lo tanto, la expresión para el número de horas es

2 2 2 24 4( ) 8 ln

16 4

x x x xh x

Así, el número total de horas que tardará este trabajador en producir los primeros 7 artículos es

2 2 2 27 7 4 7 4 7( ) 8 ln 38.83hrs

16 4h x

33) La empresa dedicada a la extracción de minerales "Buenaventura", en Junta de Gerentes decidió

aumentar sus operaciones mineras, para de esta forma continuar con el incremento proyectado en la

demanda de países europeos de oro, plata, cobre, entre otros. Los planes contemplan el incremento

de la producción anual de estos (minerales) en:

216 x

Millones de toneladas métricas por año, durante los próximos 5 años. La producción anual actual es

de 15 millones de toneladas métricas.

En la Junta de Gerentes se pide determinar una función que describa la producción total de minerales

en la empresa al final de x años.

Solución:

La función que describe la producción total de minerales, ( )P x , se halla integrando 216 x , así

2( ) 16P x x dx


Hagamos

4sin sin4

xx θ θ




2 2( ) 16 (4cos )4cos 16 cosP x x dx θ θdθ θdθ

79

1 cos 2 1 cos 2

16 162 2 2

θ θdθ dθ

1 cos 2

16 16 8 8 cos 22 2

θdθ dθ dθ θdθ

sin 2 sin cos8 8 8 4

2 2

θ θ θθ C θ C

8 2sin cosθ θ θ C

2168arcsin 2

4 4 4

x x xC

2168arcsin

4 8

x x xC

Por dato del problema, la producción anual actual es de 15 millones de toneladas métricas, así

(0) 15P

20 0 16 08arcsin 15

4 8C

15C

Por lo tanto, la expresión para la producción total de minerales es

216( ) 8arcsin 15

4 8

x x xh x

34) Se estima que dentro de x años, el valor de un acre de tierra cultivable aumentará a razón de:

dólares por año. En la actualidad el acre de tierra cuesta US$500. ¿Cuánto

costará el acre de tierra en 10 años?

Solución:

Para calcular el costo de acre en función del número de años, hay que integrar con respecto

a , así

Para calcular esta última integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que

Calculemos ahora las constantes y

Si

Si

Reemplazando estos valores en (2), se tiene

Integrando en ambos lados, se tiene

2

2 1'( )

3 27

xV x

x

'( )V x

x

2 2 2

2 1 2 1 1 2 1( ) '( ) (1)

93 27 3( 9) 9

x x xV x V x dx dx dx dx

x x x

2

2 1 2 1(2)

( 3)( 3) 3 39

x x A B

x x x xx

( 3) ( 3)

( 3)( 3)

A x B x

x x

2 1 ( 3) ( 3)x A x B x

A B

53 5 6

6x B B

73 7 6

6x A A

2

2 1 7 / 6 5 / 6

3 39

x

x xx

80


Además, por dato del problema

Por lo tanto

Así, el costo del acre de tierra después de 10 años es,

dólares

35) Suponga que la función del costo marginal para el producto de un fabricante está dada por:

, donde C es el costo total en dólares cuando se producen q unidades.

Si los costos fijos son de 10 000 dólares, encuentre el costo total de producir 50 unidades.

Solución:

Para calcular el costo total, hay que integrar con respecto a , así

Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales. Como el grao del

numerador es igual al grado del denominador, entonces lo que primero que se debe de hacer es dividir

estos polinomios, así

Así

2

2 1 7 / 6 5 / 6 7 / 6 5 / 6 7 1 5 1

3 3 3 3 6 3 6 39

xdx dx dx dx dx dx

x x x x x xx

7 5ln 3 ln 3

6 6x x

2

1 2 1 1 7 5 7 5( ) ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

9 9 6 6 54 549

xV x dx x x C x x C

x

(0) 500V

7 5ln 0 3 ln 0 3 500

54 54C

7 5ln 3 ln 3 500

54 54C

499.7558C

7 5( ) ln 3 ln 3 499.7558

54 54V x x x

7 5(10) ln 10 3 ln 10 3 499.7558 500.245

54 54V

2

2

100 4998 50

50 1

dC q q

dq q q

dC

dqq

2

2

100 4998 50( )

50 1

dC q qC q dq dq

dq q q

2 2

2

100 4998 50 50 1

100 5000 100 100

2 50

q q q q

q q

q

2

2 2

100 4998 50 2 50100

50 1 50 1

q q q

q q q q

2

2 2 2

100 4998 50 2 50 2 50( ) 100 100

50 1 50 1 50 1

q q q qC q dq dq dq dq

q q q q q q

81

Para calcular esta última integral, usemos la técnica de cambio de variable.

Así haciendo

Por lo que

Reemplazando este resultado en (1), se tiene


Por lo tanto

Así, el costo total de producir 50 unidades es,

36) El propietario de la cadena de perros calientes estima que el precio en dólares de su nuevo producto,

salchichas, cambia a razón de: cuando se ofrecen x miles de salchicha por

compra. Si el precio actual es $ 2,25 por salchicha. ¿A qué precio se ofrecerá 4 000 salchichas

adicionales?

Solución:

Para calcular precio, hay que integrar con respecto a , así

Para calcular esta integral, hay que utilizar el método de fracciones parciales, así

Para que la igualdad se cumpla, los numeradores tienen que ser iguales, por lo que

Calculemos ahora las constantes y

Si

Si

Si

Reemplazando estos valores en (1), se tiene

Integrando en ambos lados, se tiene

2

2 50100 (1)

50 1

qq dq

q q

2 50 1 (2 50)u q q du q dq

2

2 2

2 50 1 1(2 50) ln ln 50 1

50 1 50 1

qdq q dq du u q q

uq q q q

2( ) 100 ln 50 1C q q q q C

(0) 10000C

2100(0) ln (0) 50(0) 1 10000C

10000C

2( ) 100 ln 50 1 10000C q q q q

2(50) 100(50) ln (50) 50(50) 1 10000 15000C

2

30'( )

( 1)( 3)

xP x

x x

'( )P x x

2

30( ) '( )

( 1)( 3)

xP x P x dx dx

x x

2 2

30(1)

1 3( 1)( 3) ( 3)

x A B C

x xx x x

2

2

( 3) ( 1)( 3) ( 1)

( 1)( 3)

A x B x x C x

x x

230 ( 3) ( 1)( 3) ( 1)x A x B x x C x

A B

3 90 2 45x C C

151 30 4

2x A A

15 150 0 9 3 0 9 3 45

2 2x A B C B B

2 2

30 15 / 2 15 / 2 45

1 3( 1)( 3) ( 3)

x

x xx x x

82

Así


Por lo tanto

Así, el precio a la que se ofertarán 4000 salchichas adicionales es

2 2 2

30 15 / 2 15 / 2 45 15 / 2 15 / 2 45

1 3 1 3( 1)( 3) ( 3) ( 3)

xdx dx dx dx dx

x x x xx x x x

215 1 15 145 ( 3)

2 1 2 3dx dx x dx

x x

115 15 ( 3)ln 1 ln 3 45

2 2 1

xx x C

15 15 45ln 1 ln 3

2 2 3x x C

x

15 15 45( ) ln 1 ln 3

2 2 3P x x x C

x

(0) 2.25P

15 15 45ln 0 1 ln 0 3 2.25

2 2 0 3C

15ln 3 15 2.25

2C

9.01C

15 15 45( ) ln 1 ln 3 9.01

2 2 3P x x x

x

15 15 45(4) ln 4 1 ln 4 3 9.01 $5.1

2 2 4 3P

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