Notas de Clase I

“Biyectividad - Composicion - Inversa -

Maximo Dominio de Definicion - Funciones Reales -

Monotonicidad - Graficas de Funciones -

Simetrıas - Exponencial y Logaritmo”

(Problemas Propuestos y Sugerencias)

Felipe E. Pascual

2 de diciembre de 2020

1

Problema 1 PC4 Justifique la falsedad

Justifique la falsedad de las siguientes proposiciones.

(a) Sean las funciones f, g : R→ R. Si f · g = 0 entonces f = 0 o g = 0.

(b) La funcion determinante det :M3×3 → R es inyectiva.

(c) La funcion rango :M3×3 → N es inyectiva.

. (a) Contraejemplo:

f(x) =

0 , x < 0

1 , x ≥ 0, g(x) =

1 , x < 0

0 , x ≥ 0, (f · g)(x) =

0 , x < 0

0 , x ≥ 0

(b) Contraejemplo:

det

1 0 0

0 2 0

0 0 3

= det

1 0 0

0 3 0

0 0 2

= 6

(c) Contraejemplo:

rango

1 0 0

0 2 0

0 0 0

= rango

1 0 0

0 3 0

0 0 0

= 2

2

Problema 2 PC4 Justifique la falsedad

Justifique la falsedad de las siguientes proposiciones.

(a) La funcion f : ]−∞, 0]→ R definida por f(x) = x3 − 4x es inyectiva.

(b) Si la funcion f : R→ R cumple que f2 = 1, entonces f = 1 o f = −1.

(c) Suma de funciones monotonas es monotona.

. (a) Factorizando: f(x) = x(x− 2)(x+ 2). f es inyectiva, si

∀x, y ∈]−∞, 0], f(x) = f(y)→ x = y

Lo cual es falso, f(0) = f(−2) ∧ 0 6= −2

(b) Contraejemplo:

f(x) =

−1 , x < 0

1 , x ≥ 0entonces f2(x) =

1 , x < 0

1 , x ≥ 0= 1

de donde f2 = 1 pero f 6= 1 y f 6= −1.

(c) Contraejemplo:

f(x) =

x2 , x < 0

0 , x ≥ 0g(x) =

0 , x < 0

x2 , x ≥ 0

f y g son monotonas pero f + g no es monotona (justificar).

(f + g)(x) =

x2 , x < 0

x2 , x ≥ 0= x2

3

Problema 3 PC4 Demuestre

Demuestre las siguientes proposiciones.

(a) La funcion determinante det :M3×3 → R es sobreyectiva.

(b) Si f, g : R→ R son inyectivas entonces la composicion f ◦ g : R→ R es tambien inyectiva.

(c) Si f, g : R→ R son estrictamente decrecientes, entonces f ◦ g : R→ R es estrictamente creciente.

(d) Si f : A → R es estrictamente creciente, entonces f es inyectiva.

. (a) La funcion det es sobreyectiva, dado que

∀b ∈ R,∃A =

1 0 0

0 1 0

0 0 b

∈M3×3, [det(A) = b]

(b) Para todo x, y ∈ R,

(f ◦ g)(x) = (f ◦ g)(y)→ f(g(x)) = f(g(y))

→ g(x) = g(y) (f es inyectiva)

→ x = y (g es inyectiva)

Por lo tanto f ◦ g es tambien inyectiva.

(c) Para todo x, y ∈ R,

x < y → g(x) < g(y) (g es monotona estrictamente creciente)

→ f(g(x)) < f(g(y)) (f es monotona estrictamente creciente)

→ (f ◦ g)(x) < (f ◦ g)(y)

Por lo tanto f ◦ g es monotona estrictamente creciente.

(d) Definicion. Una funcion f : A→ B es inyectiva si

∀x, y ∈ A, [x 6= y → f(x) 6= f(y)] (contrapositiva)

∀x, y ∈]0,+∞[,

x 6= y → x < y ∨ x > y

→ f(x) < f(y) ∨ f(x) > f(y) (f es estrictamente creciente)

→ f(x) 6= f(y)

Por lo tanto f es inyectiva.

4

Problema 4 PC4 Maximo dominio de definicion

Dada la regla de correspondencia

f(x) =

√1

−x2 + 5x− 6

(a) Determine el maximo dominio de definicion de f .

(b) Determine el rango de f en su maximo dominio.

.

(a) El maximo dominio de definicion para la regla de correspondencia

f(x) =

√1

−x2 + 5x− 6

es el conjunto de todos los valores posibles x tales que la expresion f(x) tenga sentido. Entonces exigimos que

1

−x2 + 5x− 6≥ 0↔ x2 − 5x+ 6 < 0

↔ (x− 2)(x− 3) < 0

↔ x ∈ ]2, 3[

Por lo tanto maxdom(f) = ]2, 3[.

(b) Completando cuadrados:

f(x) =

√1

14 −

(x− 5

2

)2

Determinemos el rango por construccion:

2 < x < 3→ −1

2< x− 5

2<

1

2

→ 0 ≤(x− 5

2

)2

<1

4

→ −1

4< −

(x− 5

2

)2

≤ 0

→ 0 <1

4−(x− 5

2

)2

≤ 1

4

→ 0 ≤ 4 ≤ 114 −

(x− 5

2

)2

→ 2 ≤√

114 −

(x− 5

2

)2

→ 2 ≤ f(x)

→ ran(f) = [2,+∞[

5

Problema 5 PC4 Maximo dominio de definicion

Sea b < 0, determine el maximo dominio de definicion de

f(x) =

√b

x2 − b2 + a2 − 2ax

. El maximo dominio de definicion para la regla de correspondencia

f(x) =

√b

x2 − b2 + a2 − 2ax

es el conjunto de todos los valores posibles x tales que la expresion f(x) tenga sentido. Entonces exigimos que

b

x2 − b2 + a2 − 2ax≥ 0↔ x2 − b2 + a2 − 2ax < 0

↔ x2 − 2ax+ (a2 − b2) < 0

x2 −2ax a2 − b2

x −(a− b)x −(a+ b)

↔ (x− a+ b)(x− a− b) < 0

a+ b a− b

+ − +

↔ x ∈ ]a+ b, a− b[

Por lo tanto maxdom(f) = ]a+ b, a− b[.

6

Problema 6 PC4 Maximo dominio de definicion

Determine el maximo dominio de definicion, de las siguiente regla de correspondencia

f(x) =ln(6 + x− x2)

18x2 − 2

. El maximo dominio de definicion para la regla de correspondencia

f(x) =ln(6 + x− x2)

18x2 − 2

es el conjunto de todos los valores posibles x tales que la expresion f(x) tenga sentido. Entonces exigimos que

6 + x− x2 > 0 ∧ 18x2 − 2 6= 0

maxdom(f) =]− 2, 3[−{− 1

3 ,13

}

7

Problema 7 PC4 Monotonicidad

Sea g : ]0,+∞[→ ]0,+∞[ una funcion estrictamente decreciente y f : ]−∞, 0[→ R una funcion definida por

f(x) =c

a− g(−bx2),

donde a, b, c < 0. Use la definicion para determinar el tipo de monotonıa que presenta f .

. Analicemos el tipo de monotonıa de f . ∀x, y ∈ ]−∞, 0[,

x < y → λx < λy

→ x2 > y2

→ −bx2 > −by2

→ g(−bx2) > g(−by2) ( g es estrictamente decreciente )

→ a− g(−bx2) < a− g(−by2)

→ 1

a− g(−bx2)<

1

a− g(−by2)

→ c

a− g(−bx2)>

c

a− g(−by2)

→ f(x) > f(y)

Por lo tanto f es estrictamente decreciente.

8

Problema 8 PC4 Monotonicidad

Determine el maximo dominio de definicion y determine los intervalos de monotonicidad, de la siguiente regla de correspon-

dencia.

f(x) =

√4x+ 8

x− 3.

. � El maximo dominio de definicion de la funcion f son los valores x tales que

4x+ 8

x− 3≥ 0↔ x+ 2

x− 3≥ 0

↔ x ∈]−∞,−2]∪]3,+∞[.

Por lo tanto el maximo dominio de definicion de la funcion f es ]−∞,−2]∪]3,+∞[.

� Expresemos f(x) =

√4x+ 8

x− 3=

√20

x− 3+ 4

� Analicemos la monotonıa de f en el intervalo ]3,+∞[ :

∀x, y ∈]3,+∞[,

x < y → 0 < x− 3 < y − 3

→ 1

x− 3>

1

y − 3

→ 20

x− 3>

20

y − 3

→ 20

x− 3+ 4 >

20

y − 3+ 4

→√

20

x− 3+ 4 <

√20

y − 3+ 4

→ f(x) > f(y)

Por lo tanto f es estrictamente decreciente en ]3,+∞[

� Analicemos la monotonıa de f en el intervalo ]−∞,−2] :

∀x, y ∈]−∞,−2],

x < y → x− 3 < y − 3 < 0

→ 1

x− 3>

1

y − 3

→ 20

x− 3>

20

y − 3

→ 20

x− 3+ 4 >

20

y − 3+ 4

→√

20

x− 3+ 4 <

√20

y − 3+ 4

→ f(x) > f(y)

Por lo tanto f es estrictamente decreciente en ]−∞,−2].

9

Problema 9 PC4 Monotonicidad

La ecuacion de la oferta para un bien esta dada por

p = 4q + 5

la inestabilidad del mercado hace que la demanda del mismo bien varıe en funcion del tiempo t > 0 de acuerdo a la ecuacion

p = 10−(

2 + 2t

1 + 2t

)q

pese a que la ecuacion de la oferta no varıa. Exprese el excedente del productor como funcion del tiempo y demuestre que es

una funcion estrictamente creciente.

. Del enunciado

qe

pe

5

10

EP

q

p O : p = 4q + 5

D : p = 10−(2 + 2t

1 + 2t

)q

� Para determinar el punto de equilibrio igualamos las ecuaciones de la oferta y demanda

pe = 4qe + 5

pe = 10−(

2 + 2t

1 + 2t

)qe⇒ qe =

5 + 10t

6 + 10t

� Entonces

EP : ]0,+∞[→ ]0,+∞[

EP(t) =(pe − 5)qe

2=

(4qe)qe2

= 2q2e = 2

(5 + 10t

6 + 10t

)2

= 2

(5 + 10t

6 + 10t− 1 + 1

)2

= 2

(1− 1

6 + 10t

)2

� Demostremos que la funcion EP es estrictamente creciente, ∀t, s ∈ ]0,+∞[,

t < s→ 10t < 10s

→ 0 < 6 + 10t < 6 + 10s

→ 1

6 + 10t>

1

6 + 10s

→ − 1

6 + 10t< − 1

6 + 10s

→ 0 < 1− 1

6 + 10t< 1− 1

6 + 10s

→(

1− 1

6 + 10t

)2

<

(1− 1

6 + 10s

)2

→ 2

(1− 1

6 + 10t

)2

< 2

(1− 1

6 + 10s

)2

→ EP(t) < EP(s)

Por lo tanto EP es una funcion estrictamente creciente.

10

Problema 10 PC4 Funcion por tramos

La empresa “U.P. SAC”contrato a Valeria como promotora de ventas de un producto y le dieron a elegir entre dos modalidades

de sueldo:

� Primera modalidad: Una comision de S/ 3.20 por cada artıculo vendido.

� Segunda modalidad: Un sueldo fijo de S/ 860.00 mas comision de S/ 1.80 por cada unidad vendida que exceda las 50

unidades.

(a) Determine la funcion sueldo, en cada modalidad, en terminos de la cantidad de artıculos vendidos. Ademas, bosqueje las

graficas de cada una en un mismo plano.

(b) Determine la mınima cantidad de artıculos que debe vender Valeria para que la primera modalidad de sueldo sea mas

atractiva para ella.

. (a)

S1 : [0,+∞[→ R

S1(x) = 3, 2x

S2 : [0,+∞[→ R

S2(x) =

860 , 0 ≤ x ≤ 50

860 + 1, 8(x− 50) , 50 < x

50 550

860

x

y

S1(x)

S2(x)

(b) 551 artıculos (la grafica de la primera modalidad de sueldo sobrepasa la grafica de la segunda modalidad de sueldo)

11

Problema 11 PC4 Ingreso - Costo - Utilidad

En cierto mercado donde se oferta y demanda un bien se sabe que, para cantidades no mayores a doce unidades, por cada

sol que se incrementa el precio unitario se deja de consumir dos unidades y, para cantidades no menores a doce unidades, el

precio unitario es constante. Ademas, el consumidor esta dispuesto a gastar catorce soles por dos unidades y ochenta soles

por cuarenta unidades.

(a) Modele la funcion demanda.

(b) Considerando el item anterior y al ingreso como una funcion dependiente de la cantidad vendida, modele la funcion ingreso

y grafique dicha funcion.

(c) Determine el numero de unidades que se debe vender para que el ingreso sea treinta y dos soles.

. (a) Del enunciado:

mdemanda =∆p

∆q=

+1

−2(primer tramo 0 ≤ q ≤ 12)

p(2) = 7

p(40) = 2

p(q) =

{8− q

2, 0 ≤ q ≤ 12

2 , q ≥ 12

precio unitario

unidades

C

(b) I = p · q

I(q) =

8q − q2

2, 0 ≤ q ≤ 12

2q , q ≥ 12

−4 4 8 12 16 20 24

−8

8

16

24

32

40

48

56

64

q

I

(c) Del grafico del ingreso observamos que se deben vender 8 o 16 unidades.

12

Problema 12 PC4 Ingreso - Costo - Utilidad

La cadena de librerıas V& W adquiere de la editorial LIWRU los libros “Calculo Diferencial para Economistas” a un costo

de 20 soles por unidad. Actualmente, la librerıa V& W vende cada libro a 25 soles teniendo una demanda semanal de 55

ejemplares. Ademas se estima que, por cada sol que se reduce el precio del libro se venden 5 libros mas por semana.

(a) Denotemos por p es el precio de venta (unitario) de cada libro y por q el numero de libros. Modele la funcion demanda D(semanal) del libro en terminos de q.

(b) Modele la funcion utilidad U (semanal) en terminos de q (considere que el costo fijo es nulo).

(c) ¿Cuanto debe incrementar el precio de venta actual para obtener el maximo beneficio?

. (a) Del enunciado (55, 25) ∈ D y la pendiente de la demanda D es

pendD =∆p

∆q=−1

+5

entonces la ecuacion punto-pendiente de la demanda D es

p− 25 = −1

5(q − 55).

La funcion demanda p : [0,+∞[→ R esta definida por

p(q) = 25− 1

5(q − 55).

(b) La funcion ingreso I : [0,+∞[ → R, la funcion costo total C : [0,+∞[ → R y la funcion utilidad U : [0,+∞[ → R estan

definidas por

� p = 100− 1

4q (Ecuacion de la demanda)

� La funcion ingreso es I(q) = pq =(

36− q

5

)q

� La funcion costo es C(q) = Cuq = 20q

� La funcion utilidad es U(q) = I(q)− C(q) = 16q − q2

5

(c) Observamos que la grafica de la funcion utilidad U : [0,+∞[ → R representa una parabola. Apliquemos el proceso de

completacion de cuadrados

U − 320 = −1

5(q − 40)2

Entonces la utilidad maxima (semanal) es 320 soles, para un nivel de produccion de 40 libros, luego reemplazando en

la ecuacion de la demanda tenemos que el precio de venta es 28 soles. Por lo tanto la cadena de librerıas V& W debe

incrementar el precio del libro en 28− 25 = 3 soles para obtener el maximo beneficio.

13

Problema 13 PC4 Inyectividad

Sea f : R→ R una funcion con regla de correspondencia

f(x) =

x2 + 1 , x ≥ 0

2x+ k , x < 0

Determine el maximo valor de k para que la funcion sea inyectiva.

. f es inyectiva si y solo si cumple las siguientes condiciones

f1 es inyectiva

f2 es inyectiva

ran(f1) ∩ ran(f2) = ∅

f1 es inyectiva , x ≥ 0

f1(x) = f1(y)→ x2 + 1 = y2 + 1

→ x2 = y2

→ |x| = |y|

→ x = y

Calculemos el rango de f1

x ≥ 0→ x2 ≥ 0

→ x2 + 1 ≥ 1

→ ran(f1) = [1,+∞[

f2 es inyectiva , x < 0

f2(x) = f2(y)→ 2x+ k = 2y + k

→ 2x = 2y

→ x = y

Calculemos el rango de f2

x < 0→ 2x < 0

→ 2x+ k < k

→ ran(f2) = ]−∞, k[

Observamos que

]−∞, k[∩[1,+∞[= ∅ si y solo si k ≤ 1

Por lo tanto el maximo valor de k es 1.

14

Problema 14 PC4 Rango

Sea f : [2, 5]→ R una funcion con regla de correspondencia

f(x) = 2x2 − 12x+ 19

(a) Determine el rango de f por construccion.

(b) Determine el rango de f graficamente.

. (a) Completando cuadrados f(x) = 2(x− 3)2 + 1. Luego

2 ≤ x ≤ 5→ −1 ≤ x− 3 ≤ 2

→ 0 ≤ (x− 3)2 ≤ 4

→ 0 ≤ 2(x− 3)2 ≤ 8

→ 1 ≤ 2(x− 3)2 + 1 ≤ 9

→ ran(f) = [1, 9]

(b) Hacemos y = f(x) entonces

y − 1 = 2(x− 3)2,

el cual representa la ecuacion de una parabola. La grafica de f es parte de la grafica de la parabola, dado que x ∈ [2, 5].

El rango de f es la proyeccion de la grafica de f sobre el eje−y. Por lo tanto ran(f) = [1, 9].

−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

graf(f)

x

y

15

Problema 15 PC4 Rango

Grafique la funcion f : A→ R definida por

f(x) = 1−√

4x− x2

donde A es el maximo dominio de definicion de f .

. (a) maxdom(f) = [0, 4].

(b) Completando cuadrados f(x) = 1−√

4− (x− 2)2

(c) Sea y = f(x)

y = f(x)→ y = 1−√

4− (x− 2)2

≤0

(observar que y ≤ 1)

→ (y − 1)2 = 4− (x− 2)2

→ (x− 2)2 + (y − 1)2 = 4 (ecuacion de una circunferencia)

Identificamos la grafica de f , la cual es parte de la grafica de la circunferencia, dado que y ≤ 1 entonces su grafica se ubica

por debajo de la recta y = 1.

−1 1 2 3 4 5

−2

−1

1

2

3

4

graf(f) (2,1)

x

y

16

Problema 16 PC4 Rango

Demuestre que las siguientes proposiciones.

(a) Si f, g : A → R son monotonas estrictamente crecientes, entonces la suma f + g es tambien monotona estrictamente

creciente.

(b) Si f : A → R es estrictamente creciente, entonces f es inyectiva.

(c) La funcion g : ]0,+∞[→ R definida por

g(x) =1

x2+

1

x4

es inyectiva.

. (a) Para todo x, y ∈ A,

x < y → f(x) < f(y) y g(x) < g(y)

→ f(x) + g(x) < f(y) + g(y)

→ (f + g)(x) < (f + g)(y)

Por lo tanto la suma f + g es monotona estrictamente creciente.

(b) Definicion. Una funcion f : A→ B es inyectiva si

∀x, y ∈ A, [x 6= y → f(x) 6= f(y)] (contrapositiva)

∀x, y ∈]0,+∞[,

x 6= y → x < y ∨ x > y

→ f(x) < f(y) ∨ f(x) > f(y) (f es estrictamente creciente)

→ f(x) 6= f(y)

Por lo tanto f es inyectiva.

(c) Las funciones g(x) = 1x2 y h(x) = 1

x4 son monotonas estrictamente crecientes, entonces por el ıtem (a) la suma f es

tambien monotona estrictamente creciente, y por el ıtem (b) la funcion f es inyectiva.

17

Problema 17 PC4 Inversa

Dada la funcion f : [3,+∞[→ [−6,+∞[ con regla de correspondencia

f(x) = x2 − 4x− 3

(a) Determine el rango de f .

(b) Determine si f es sobreyectiva.

(c) Determine si f es inyectiva.

(d) Determine si f es biyectiva, en caso afirmativo determine su inversa.

. (a) Completando cuadrados f(x) = (x− 2)2 − 7 entonces

x ≥ 3⇒ x− 2 ≥ 1⇒ (x− 2)2 ≥ 1⇒ (x− 2)2 − 7 ≥ −6⇒ f(x) ∈ [−6,+∞[.

Por lo tanto el rango de f es [−6,+∞[.

(b) f es sobreyectiva.

(c) ∀x, y ∈ [3,+∞[,

f(x) = f(y)⇒ (x− 2)2 − 7 = (y − 2)2 − 7

⇒ |x− 2| = |y − 2|

⇒ x− 2 = y − 2

⇒ x = y

Por lo tanto f es inyectiva.

(d) f es biyectiva.

y = (x− 2)2 − 7⇒ y + 7 = (x− 2)2

⇒√y + 7 = |x− 2|

⇒√y + 7 = x− 2 (x ∈ [3,+∞[)

⇒ x = 2 +√y + 7

⇒ f−1(x) = 2 +√x+ 7

18

Problema 18 PC4 Inversa

Sea f : [−1, 0]→ [0, 1] una funcion con regla de correspondencia:

f(x) =

√1− x21 + x2

(a) Demuestre que f es sobreyectiva.

(b) Demuestre que f es inyectiva.

(c) Determine la funcion inversa f−1.

. (a) Re-escribiendo f :

f(x) =

√1− x21 + x2

=

√2

1 + x2− 1

Determinemos el rango por construccion:

−1 ≤ x ≤ 0→ 0 ≤ x2 ≤ 1

→ 1 ≤ 1 + x2 ≤ 2

→ 1

2≤ 1

1 + x2≤ 1

→ 1 ≤ 2

1 + x2≤ 2

→ 0 ≤√

2

1 + x2− 1 ≤ 1

→ 0 ≤ f(x) ≤ 1

→ ran(f) = [0, 1]

(b) Para todo x, y ∈ [−1, 0],

f(x) = f(y)→√

2

1 + x2− 1 =

√2

1 + y2− 1

→ 2

1 + x2− 1 =

2

1 + y2− 1

→ x2 = y2

→ |x| = |y|

→ −x = −y (x, y ∈ [−1, 0])

→ x = y

(c) f−1 : [0, 1]→ [−1, 0],

y = f(x)→ y =

√2

1 + x2− 1

→ y2 =2

1 + x2− 1

→ x2 =1− y21 + y2

→ |x| =√

1− y21 + y2

→ −x =

√1− y21 + y2

(x ∈ dom(f) = [−1, 0])

→ f−1(x) = −√

1− x21 + x2

19

Problema 19 PC4 Inversa

El tamano de una poblacion p en el instante t (medido en anos), esta dada por la funcion

p : [0,+∞[→ [50, 400[

p(t) = 400− 350

1 + 0, 1t2

(a) Demuestre que p es biyectiva.

(b) Demuestre que p es estrictamente creciente.

(c) Determine la funcion inversa, expresando a t como una funcion de p.

(d) ¿Dentro de cuantos anos el tamano de la poblacion sera de 300 habitantes?

. (b) Para todo t, s ∈ [0,+∞[,

t < s→ t2 < s2

→ 0, 1t2 < 0, 1s2

→ 1 + 0, 1t2 < 1 + 0, 1s2

→ 1

1 + 0, 1s2<

1

1 + 0, 1t2

→ 350

1 + 0, 1s2<

350

1 + 0, 1t2

→ − 350

1 + 0, 1t2< − 350

1 + 0, 1s2

→ 400− 350

1 + 0, 1t2< 400− 350

1 + 0, 1s2

→ p(t) < p(s)

(c) p−1 : [50, 400[→ [0,+∞[,

p−1(t) =

√3500

400− p − 10

(d) p−1(300) = 5 (anos)

20

Problema 20 PC4 Inversa

Sea f : R− {0} → R− [−2, 2] una funcion con regla de correspondencia:

f(x) =

2 +x2

2, x > 0

−√x2 + 4 , x < 0

(a) Determine el rango de la funcion.

(b) Demuestre que f es sobreyectiva.

(c) Demuestre que f es inyectiva.

(d) Determine la funcion inversa f−1.

. Denotemos

f(x) =

f1(x) , x > 0

f2(x) , x < 0

� Determinemos el rango de f1 :

x > 0⇒ 2 +x2

2> 2⇒ ran(f1) =]2,+∞[

� Determinemos el rango de f2 :

x > 0⇒ −√x2 + 4 < −2⇒ ran(f2) =]−∞,−2[.

� Determinemos el rango de f :

ran(f) = ran(f1) ∪ ran(f2) = R− [−2, 2] entonces f es sobreyectiva.

� Probemos que f1 es inyectiva:

∀x, y > 0,

f1(x) = f1(y)⇒ 2 +x2

2= 2 +

y2

2⇒ x = y

� Probemos que f2 es inyectiva:

∀x, y < 0,

f2(x) = f2(y)⇒ −√x2 + 4 = −

√y2 + 4⇒ x = y

� Como f1 y f2 son inyectivas y ran(f1) ∩ ran(f2) = ∅ entonces f es inyectiva.

� Determinemos la inversa de f1

y = f1(x)⇒ y = 2 +x2

2⇒ x =

√2y − 4⇒ f−11 (x) =

√2x− 4

� Determinemos la inversa de f2

y = f2(x)⇒ y = −√x2 + 4⇒ x = −

√y2 − 4⇒ f−12 (x) = −

√x2 − 4

� Por lo tanto

f−1(x) =

f−11 (x) , x ∈ ran(f1)

f−12 (x) , x ∈ ran(f2)=

√2x− 4 , x > 2

−√x2 − 4 , x < −2

21

Problema 21 PC4 Graficas

Sea f : R− {0} → R− [−2, 2] una funcion con regla de correspondencia:

f(x) =

2 +x2

2, x > 0

−√x2 + 4 , x < 0

(a) Grafique f

−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10

−10

−8

−6

−4

−2

2

4

6

8

10

x

y

y = 2 + x2/2

y = −√x2 + 4

.

22

Problema 22 PC4 Composicion

Un vendedor tiene un sueldo base de 800 soles mensuales mas una primera comision del 10% de las ventas realizadas hasta

llegar a obtener un sueldo total (sueldo base mas comision) de 1300 soles. Para ventas superiores a 1300 soles, la segunda

comision sera de 20% sobre las ventas adicionales. Por otro lado, mensualmente decide ahorrar parte de su sueldo. Si su sueldo

no sobrepasa los 1000 soles, decide ahorrar el 10% y si su sueldo excede los 1000 soles decide ahorrar el 20%.

(a) Determine la funcion que exprese su sueldo mensual en terminos de sus ventas realizadas.

(b) ¿Para que nivel de ventas el sueldo del vendedor sera de 1500 soles?.

(c) Determine la funcion que exprese su ahorro mensual en terminos de su sueldo mensual.

(d) Determine la funcion que exprese su ahorro mensual en terminos de sus ventas realizadas.

(e) ¿Para que nivel de ventas el ahorro del vendedor sera de 220 soles?.

. Denotemos v : las ventas realizadas en unidades monetarias

Del enunciado 800 + 10%v = 1300⇒ v = 5000, entonces 0 ≤ v ≤ 5000 son las ventas realizadas para la primera comision.

(a) Definamos la funcion sueldo S en terminos de las ventas realizadas

S : [0,+∞[→ R

S(v) =

800 + 0, 1v , 0 ≤ v ≤ 5000

1300 + 0, 2(v − 5000) , v > 5000, S(v) =

800 + 0, 1v , 0 ≤ v ≤ 5000

0, 2v + 300 , v > 5000

(b) 1500 = 0, 2v + 300⇒ v = 6000 soles

(c) Definamos la funcion ahorro A en terminos del sueldo del vendedor

A : [800,+∞[→ R

A(S) =

0, 1S , 800 ≤ S ≤ 1000

0, 2S , S > 1000

23

Problema 22 PC4 Composicion

Un vendedor tiene un sueldo base de 800 soles mensuales mas una primera comision del 10% de las ventas realizadas hasta

llegar a obtener un sueldo total (sueldo base mas comision) de 1300 soles. Para ventas superiores a 1300 soles, la segunda

comision sera de 20% sobre las ventas adicionales. Por otro lado, mensualmente decide ahorrar parte de su sueldo. Si su sueldo

no sobrepasa los 1000 soles, decide ahorrar el 10% y si su sueldo excede los 1000 soles decide ahorrar el 20%.

(a) Determine la funcion que exprese su sueldo mensual en terminos de sus ventas realizadas.

(b) ¿Para que nivel de ventas el sueldo del vendedor sera de 1500 soles?.

(c) Determine la funcion que exprese su ahorro mensual en terminos de su sueldo mensual.

(d) Determine la funcion que exprese su ahorro mensual en terminos de sus ventas realizadas.

(e) ¿Para que nivel de ventas el ahorro del vendedor sera de 220 soles?.

. (d) El ahorro en terminos de las ventas es la composicion A ◦ S

A(S) =

0,1 S , 800 ≤ S ≤ 1000

0,2 S , S > 1000

, S(v) =

800 + 0, 1v , 0 ≤ v ≤ 5000

300 + 0, 2v , v > 5000

A(S) =

0,1 S , 800 ≤ S ≤ 1000

0,2 S , S > 1000

, S(v) =

800 + 0, 1v , 0 ≤ v ≤ 5000

300 + 0, 2v , v > 5000

(A ◦ S)(v) =

0, 1(800 + 0, 1v) , 800 ≤ 800 + 0, 1v ≤ 1000 ∧ 0 ≤ v ≤ 5000

0, 2(800 + 0, 1v) , 800 + 0, 1v > 1000 ∧ 0 ≤ v ≤ 5000

0, 1(300 + 0, 2v) , 800 ≤ 300 + 0, 2v ≤ 1000 ∧ v > 5000

0, 2(300 + 0, 2v) , 300 + 0, 2v > 1000 ∧ v > 5000

(A ◦ S)(v) =

80 + 0, 01v , 0 ≤ v ≤ 2000

160 + 0, 02v , 2000 < v ≤ 5000

60 + 0, 04v , v > 5000

(e) 220 = 160 + 0, 02v ⇒ v = 3000 soles

24

Problema 23 PC4 Composicion

El numero N de bacterias en un alimento refrigerado esta dado por

N : [2, 14]→ [420, 3300]

con regla de correspondencia

N(H) = 20H2 − 80H + 500,

donde H es la temperatura del alimento en grados celsius. Cuando el alimento se extrae de la refrigeradora, su temperatura

H : [0, 3]→ R

esta dada por la regla de correspondencia

H(t) = 4t+ 2,

donde t es el tiempo en horas. Determine (N ◦H).

. La composicion de dos funciones es de la siguiente forma:

N( H ) , H ∈ dom(N) , H(t) , t ∈ dom(H)

(N ◦H)(t) = N(H(t)) , H(t) ∈ dom(N) ∧ t ∈ dom(H)

dominio de N◦H

(N ◦H)(t) = 20(4t+ 2)2 − 80(4t+ 2) + 500 , 4t+ 2 ∈ [2, 14] ∧ t ∈ [0, 3]

dominio de N◦H

(N ◦H)(t) = 320t2 + 420 , 0 ≤ t ≤ 3

dominio de N◦H

(N ◦H) : [0, 3]→ [420, 3300]

(N ◦H)(t) = 320t2 + 420

25

Problema 24 PC4 Graficas

Dada la funcion f : R→ [−2, 2] definida por

f(x) = |x+ 1| − |x− 1|

(a) Grafique f .

(b) Determine el rango de la funcion.

(c) Determine si f es sobreyectiva.

. Una forma de graficar una funcion que contenga valor absoluto por ejemplo la funcion f(x) = |x + 1| − |x − 1|. lo primero

que hay que determinar son los puntos crıticos. Como la funcion f(x) = |x+ 1| − |x− 1| contiene valores absolutos, esto nos

dificulta para graficar, debemos eliminar el valor absoluto para poder graficar, entonces determinamos los puntos crıticos, esto

es, igualamos a cero cada valor absoluto:

|x− 1| = 0⇒ x = 1 , |x+ 1| = 0⇒ x = −1

entonces el dominio de f que es todo R lo dividimos en tres tramos:

x < −1 , −1 ≤ x ≤ 1 , x > 1

entonces expresamos la funcion f por tramos

f(x) =

|x+ 1| − |x− 1| , x < −1

|x+ 1| − |x− 1| , −1 ≤ x ≤ 1

|x+ 1| − |x− 1| , x > 1

f(x) =

−2 , x < −1

2x , −1 ≤ x ≤ 1

2 , x > 1

(a) Por lo tanto la grafica de f es

−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−3

−2

−1

1

2

3

x

yy = |x+ 1| − |x− 1|

(b) El rango de f lo podemos determinar graficamente, el cual es la proyeccion de la grafica de f sobre el eje-y

ran(f) = [−2, 2]

(c) Como ran(f) = [−2, 2], entonces f es sobreyectiva.

26

Problema 25 PC4 Graficas

Dada la funcion f : R→ R definida por f(x) = 2x+ |x− 1|

(a) Grafique la funcion f .

(b) Determine el rango de la funcion.

(c) Demuestre que f es sobreyectiva.

(d) Demuestre que f es inyectiva.

(e) Determine la funcion inversa f−1.

. Analizando los puntos crıticos |x− 1| = 0⇒ x = 1

f(x) =

x+ 1 , x < 1

3x− 1 , x ≥ 1, f−1(x) =

x− 1 , x < 2x+ 1

3, x ≥ 2

−8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

x

y

y = x+ 1y = 3x− 1

27

Problema 26 PC4 Graficas

A continuacion se presenta la grafica de una funcion f : A→ B biyectiva, que es parte de una hiperbola.

−1 31

5

graf(f)

x

y

(a) Determine el conjunto A.

(b) Determine el conjunto B.

(c) Determine la regla de correspondencia de f .

(d) Determine la inversa de f .

. (a) A =]−∞,−1[ ∪ B =]−∞, 2[.

(b) Observemos que la ecuacion de la hiperbola es

(x− 1)2

22− (y − 2)2

32= 1

luego despejamos la variable y:

y = 2± 3

√(x− 1)2

4− 1

y = 2 + 3

√(x− 1)2

4− 1

≥0

≥ 2 (la grafica esta por encima de la recta y = 2)

o

y = 2− 3

√(x− 1)2

4− 1

≥0

≤ 2 (la grafica esta por debajo de la recta y = 2)

Por lo tanto

f :]−∞,−1[→]−∞, 2[

f(x) = 2− 3

√(x− 1)2

4− 1

28

Problema 27 PC4 Transformaciones de coordenadas

Determine la grafica de la funcion f : R→ R definida por

g(x) =

∣∣∣∣∣∣∣|x− 1| − 2

∣∣∣− 3

∣∣∣∣

. Observamos que esta funcion se obtiene por transformaciones a partir de otra funcion mas simple, el cual es

f(x) = x

Consideremos la secuencia de transformaciones:

x 7→|x|7→|x− 1|7→|x− 1| − 2 7→||x− 1| − 2|7→||x− 1| − 2| − 37→|||x− 1| − 2| − 3|

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = |x|

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = |x− 1|

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = |x− 1| − 2

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = ||x− 1| − 2|

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = ||x− 1| − 2| − 3

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = |||x− 1| − 2| − 3|

x

y

29

Problema 28 PC4 Transformaciones de coordenadas

Determine la grafica de la funcion f : R→ R definida por

f(x) = |x2 − 8|x|+ 5|

. Observamos que esta funcion se obtiene por transformaciones a partir de otra funcion mas simple, el cual es

f(x) = x2

Consideremos la secuencia de transformaciones:

x2 7→(x− 3)2 7→(x− 3)2 − 6 7→(|x| − 3)2 − 67→∣∣∣(∣∣x∣∣− 3)2 − 6

∣∣∣ =∣∣∣x2 − 6

∣∣x∣∣+ 3

∣∣∣

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = x2

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = (x− 3)2

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = (x− 3)2 − 6

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = (|x| − 3)2 − 6

x

y

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

y = |(|x| − 3)2 − 6|

x

y

30

Problema 29 PC4 Transformaciones de coordenadas

Dada la grafica de la funcion f :

−12−11−10−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

graf(f)

Mediante el uso de transformaciones esboce los graficos de las siguientes funciones.

(a)1

2f(|x− 2|)− 3

(b) f(3− |x|)

(c) |f(|x|)|

(d) |2− f(|x− 2|)|

(e) f(4− 2x)

(f) −f(−x)

. Consideremos las siguientes transformaciones:

(a) f(x) 7→ f(|x|) 7→ f(|x− 2|) 7→ 0, 5f(|x− 2|) 7→ 0, 5f(|x− 2|)− 3

(b) f(x) 7→ f(3 + x) 7→ f(3− x) 7→ f(3− |x|)

(c) f(x) 7→ f(|x|) 7→ |f(|x|)|

(d) f(x) 7→ f(|x|) 7→ f(|x− 2|) 7→ −f(|x− 2|) 7→ 2− f(|x− 2|) 7→ |2− f(|x− 2|)|

(e) f(x) 7→ f(2x) 7→ f(−2x) 7→ f(−2(x− 2))

(f) f(x) 7→ f(−x) 7→ −f(−x)

31