Notas Efecto Hall Cuántico

F R O N T M A T T E R

Efecto Hall CuánticoJuan Diego Chi-Wen Chang Santizo

3 y 4 de diciembre de 2009 B O D Y

ResumenEn esta monografía del efecto Hall cuántico se trata de presentar las

bases para poder estudiar este fenómeno físico que es de mucho interéspara los Físicos de materia condensada y semiconductores. Este fenó-meno fue descubierto por el Físico alemán, Klaus von Klitzing en 1980(premio Nobel en 1985). El efecto Hall entero (IQHE) es aquel donde Óes un entero en la expresión que mostraremos de la conductividad.Experimentos realizados confirman estas predicciones con una precisiónde 10-8 . Sin embargo, en 1982, Tsui Störmer y Gossard descubrieronque en algunos sistemas, este parámetro toma números racionales, a estese le llama el efecto Hall fraccionado (FQHE). Estos aparecen cuando sevaría el campo magnético. Robert Laughlin, Tsui Störmer obtuvieron elNobel en 1998 por explicar teóricamente el efecto Hall cuántico fraccio-nado. Una manera de aplicarlo es en la metrología que busca medirestándares para la industria en la resistencia utilizando como base ÑÅÅÅÅÅÅq2 queestá expresado únicamente en términos de constantes físicas universales.

1 Efecto Hall Clásico

Si consideramos una cinta rectangular plana de ancho l por la cual fluye unacorriente i, tenemos que la dirección de la corriente es la convencional, i.e. laopuesta al movimiento de los electrones. A ésta se le induce un campo magnéticouniforme B perpendicular al plano en el que se encuentra la cinta. Las cargasexperimentan una fuerza de la siguiente forma:

(1)F = qvd ä B

y se mueven hacia la derecha de la cinta. Notemos que las cargas positivas quese mueven en la dirección de la cinta y las que se mueven en la dirección de iexperimentan una fuerza de desviación en la misma dirección.

Esta primera fuerza que desvía las cargas hacia la derecha produce un campoeléctrico en la cinta, lo cual constituye el efecto Hall. Esto quiere decir que existe

1

una diferencia de potencial al que llamamos voltaje de Hall, V = EÅÅÅÅÅl . El signo deeste voltaje nos da el signo de la carga y su magnitud nos da la densidad de carga.Supongamos que las cargas son electrones que se mueven a una velocidad dearrastre vd . Cuando los electrones se mueven, el campo magnético los desvía haciala derecha, lo que crea un campo eléctrico que actúa en el conductor hasta que llegaa un equilibrio y tenemos, por la fuerza de Lorentz:

(2)F = qE + qvd ä B = 0

es decir,

(3)E = -vd ä B

Notemos que en este caso, la velocidad y el campo magnético son ortogonales,por lo que tendríamos que,

(4)E = vd B

Ahora bien, si recordamos que vd = jÅÅÅÅÅÅÅnq donde j es la densidad de corriente ocorriente por unidad de área A en la cinta y n es la densidad de los electrones, y t esel espesor de la cinta, tenemos que A = lt , por lo que sustituyendo en la ecuación 4tenemos que,

(5)VÅÅÅÅÅÅÅl

=i

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅltnq

B

de donde se obtiene que,

(6)n =iB

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqtV

Si de aquí tenemos que,

(7)RH =VÅÅÅÅÅÅÅi

=1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqtn

que aunque no es una resistencia en sí, le llamamos resistencia de Hall.

Escuela de Invierno - QHE.nb

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2 Niveles de Landau

2.1 Planteamiento del problema clásico:

Consideremos una partícula de masa m y carga q en el plano x-y con un campomagnético uniforme B en el eje z. Consideremos entonces el potencial magnéticovectorial:

(8)B = “ ä A

como B está sólo en el eje z tenemos que,

(9)A =BÅÅÅÅÅÅ2

I- y i`

+ x j`M

Se recomienda que el lector verifique que el resultado anterior es cierto resolvi-endo la ecuación diferencial.

Si estudiamos esto clásicamente, tenemos el siguiente hamiltoniano del sistema:

(10)H =p*2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

+ m0 B

donde m0 = qÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 mc A y como B = B z̀ , el hamiltoniano se vuelve:

(11)H =p*2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

donde p* = p + qÅÅÅÅc A que es el momentum conjugado en electromagnetismo,entonces,

(12)p*2 = p2 +qÅÅÅÅÅc

HA p + pAL +q2ÅÅÅÅÅÅÅÅc2 A2

de donde, se deduce que,

(13)

H = 1ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m Jp2 + qÅÅÅÅc HA p + pAL + q2ÅÅÅÅÅÅÅc2 A2N

= ‚i

1ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m Ipi + qÅÅÅÅc AiM2

= 1ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m BIpx + qÅÅÅÅc AxM2+ Ipy + qÅÅÅÅc AyM2F


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2.2 Planteamiento del problema cuántico

Ahora vamos a cuantizar el sistema volviendo el momentum, el potencialmagnético vectorial, la posición y el hamiltoniano operadores en un espacio deHilbert. Entonces, tenemos que,

(14)H =1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

Ä

Ç

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅKPx +

qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅc

YO2

+ KPy +qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅc

X O2É

Ö

ÑÑÑÑÑÑÑÑÑPropondremos entonces las siguientes sustituciones:

(15)Q =cPx +HqBY L ê2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

q ÿ B

y

(16)P =Py - qBXÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

2 c

Esta transformación es canónica, es decir que cumple con la relación

J wJ t = wdonde w=ikjjj

0 -

0y{zzzy J es la jacobiana de la transformación. Se sugiere

que el lector realice el ejercicio de verificar esta propiedad de la transformación. Eneste caso vamos a hacer la demostración.

Recordemos que,

(17)J =i

k

jjjjjjj

∑QÅÅÅÅÅÅÅÅ∑qi

∑QÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑pi

∑PÅÅÅÅÅÅÅÅ∑qi

∑PÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑pi

y

{

zzzzzzz =i

kjjjjjj

1ÅÅÅÅ2cÅÅÅÅÅÅÅÅqB

-qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c 1

y

{zzzzzz

entonces tenemos que,

(18)J wJ t =i

kjjjjjj

1ÅÅÅÅ2cÅÅÅÅÅÅÅÅqB

-qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c1ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c

y

{zzzzzz ikjjj

0 -

0y{zzz i

kjjjjjj

1ÅÅÅÅ2-qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c

cÅÅÅÅÅÅÅÅqB1ÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c

y

{zzzzzz =

ikjjj

0 -

0y{zzz

por lo que la transformación es canónica. Por lo tanto la sustitución nos deja laFísica invariante, i,e., las ecuaciones de Hamilton preservan su forma, y es válidoutilizar el formalismo estándar. En el hamiltoniano,

(19)H =P2

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

+q2 B2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 mc2 Q2

que es el hamiltoniano de un oscilador armónico cuántico donde tenemos que


4

(20)mw02 =

q2 B2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

mc2 de donde w0 =qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅmc

w0 es conocida como frecuencia de Larmor o sincrotrón.

2.3 Oscilador armónico:

Como tenemos el hamiltoniano del oscilador armónico cuántico, bajo transforma-ciones canónicas, es válido utilizar sus relaciones de conmutación y en especial susoperadores escalón que recordaremos cómo son.

En general, los operadores escalón son de la forma:

(21)a = aQ + i bP

at = aQ + i bP

donde a y b son constantes del sistema tales que los operadores escalón seanadimensionales y estén normalizados, entonces, para este caso:

(22)a = J mw0ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 Ñ

N1ÅÅÅÅ2

b = ikjj 1

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2mw0Ñ

y{zz

1ÅÅÅÅ2

2.3.1 Propiedades de los operadores escalón:

Es recomendable que estas propiedades se demuestren como ejercicio:

(23)@at, aD = -1

(24)@at, HD = at

(25)@a, HD = a

(26)a » n\ =è!!!n … n - 1]

(27)at » n\ =è!!!!!!!!!!!n + 1 … n + 1]

(28)a » 0\ = 0

Además se define a


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(29)N = at a

como el operador de número. Es recomendable entonces verificar que,

(30)H = KN +1ÅÅÅÅÅ2

O Ñw0

Por las ecuaciones (26) y (27), le llamamos a los operadores ay at operadores deaniquilación y creación ya que n se refiere a los niveles de energía.

2.4 De vuelta a los niveles de Landau

Ahora bien, veamos la siguiente sustitución:

(31)Q = Px +qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c

X

(32)P =cPx - qBÅÅÅÅÅÅÅÅ2 YÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

qB

Ésta no se le aplica el hamiltoniano a pesar de ser canónica. Se recomiendaverificar que la transformación es canónica. Esto refleja que hay una degeneracióninfinita en los niveles de energía del oscilador. Vamos a verificar a continuaciónesto en el nivel basal. A estos estados degenerados en el estado basal les llamamosLowest Landau Levels (LLL). Para ver esto vamos a estudiar el estado basal delsistema usando la siguiente ecuación, tal y como se hace en el problema del oscila-dor armónico cuántico:

(33)a » 0\ = 0

Recordemos que estamos en dos dimensiones, entonces se trabajará el problemaen el plano complejo con la coordenada z,

(34)z* = x - i y

z = x + i y

Entonces, la ecuación (33) se vuelve en este sistema de coordenadas,

(35)ikjj ∑

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ z*

+qB

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4 Ñc

zy{zz y0Hzz*L = 0

Vamos a proponer la siguiente solución:

(36)y0Hzz*L = expC-qB

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ4Ñc

zz*G uHz, z*L


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Sustituyendo, se obtiene que,

(37)∑u


expC-qB


zz*G -qB


zexpC-qB


zz*G u +qB


zexpC-qB


zz*G u = 0

Entonces, tenemos al final esta sencilla ecuación,

(38)∑u


= 0

Esta ecuación implica que es equivalente a las ecuaciones de Cauchy-Riemann,es una función analítica y puede ser escrita como una serie de potencias donde cadamonomio zm es un elemento de una base linealmente independiente, por lo que unestado puede escribirse como,

(39)y0,m = zmexpC-qB


zz*G

Nótese que m sólo tiene como restricción que m œ entonces la degeneraciónde los LLL es infinita.

Veamos las siguientes afirmaciones:è Para m grande, la partícula se encuentra en un radio de rm =

è!!!!!!!!2 m r0 donde r0 = "#######ÑcÅÅÅÅÅÅÅÅqB , a r0 se le llama longitud magnética.

è Si el sistema está acotado por un disco de radio R en lugar de ser infinito, la mayor cantidad N de m que puede estar en el sistema de LLL está dado por

(40)N =pR2 BÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

F0

donde F0 = pÑcÅÅÅÅÅÅÅÅÅq que es el cuanto de flujo magnético.

Este segundo es porque F0 = pR2 B . Para r0 tendríamos que,

(41)F = p cÑ

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅqB

B =pÑcÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

q= F0

Para lo que sigue, fijaremos a N, es decir que el campo y las dimensiones delsistema están fijos.


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3 Efecto Hall Cuántico

Aquí estudiamos un gas de electrones en dos dimensiones. Vamos a despreciar elefecto del spin ya que no contribuye significativamente en la dinámica del sistema.Asumimos también que la interacción de electrones y de algún potencial intrínsecoal sistema es menor que ÑqBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅmc por lo que se puede despreciar, a este regimen se lellama el régimen del efecto Hall cuántico. Entonces nos gustaría un problemasimplificado con un espacio de Hilbert restringido a los LLL. ¿Cómo se ve esteproblema?

Para esto utilizaremos un poco la idea de las integrales de Feynmann. Desprecia-mos la interacción entre los electrones para que cada uno se propague independiente-mente, entonces tenemos la siguiente acción con V Hx, yLun potencial externo:

(42)S = ‡Ä

ÇÅÅÅÅÅÅÅÅÅ

P2ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 m

- V Hx, yLÉ

ÖÑÑÑÑÑÑÑÑÑ d t

(43)S = ‡ C mÅÅÅÅÅÅ2

Ix° 2 + y° 2M +qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c

H- yx° + xy° L - V Hx, yLG d t

donde tenemos que los términos lineales en la velocidad están representados porqÅÅÅÅc v ÿ A en el lagrangiano para el gauge utilizado. Para estudiar las energías básicas,

no consideraremos los niveles de Landau en los niveles de energía más altos. Estospueden estudiarse despreciando la masa, entonces, tenemos que

(44)

SLLL = Ÿ A qBÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c H- yx° + xy° L - V Hx, yLE d t

= Ÿ A- qBÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c Hyx° - 2 xy° + x y° L - V Hx, yLE d t

= Ÿ qBÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c I dHxyLÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅdt M + qBÅÅÅÅÅÅÅÅc xy° - V Hx, yL d t

= qBÅÅÅÅÅÅÅÅ2 c x y + Ÿ qBÅÅÅÅÅÅÅÅc xy° - V Hx, yL d t

= Ÿ qBÅÅÅÅÅÅÅÅc x y° - V Hx, yL d t

Ahora recordemos que tenemos que,

(45)S = ‡ d t

entonces,

(46) =qBÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅc

xy° - V Hx, yL


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de donde, en el espacio de fases tenemos que si consideramos la coordenada y,su momentum conjugado es ∑ÅÅÅÅÅÅÅÅ∑y° = qBÅÅÅÅÅÅÅÅc xque definimos como xè entonces, podemosexpresar el potencial como V Hy, xèLque es el hamiltoniano del sistema, como hay unsolo momentum, podemos considerar que el problema de los LLL esunidimensional.

En una imagen semiclásica, tenemos que las ecuaciones de Hamilton serían:

(47)y° =∑VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ xè

(48)xè°

=∑VÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ∑ y

Aquí sucede algo muy extraño: las variables que conmutan resultan siendoconjugadas. Esto no se da en mecánica cuántica. Aquí, ¿por qué sucede esto? Yaque sabemos que en general @X , PD = iÑ . La respuesta está en el hecho de que noestamos considerando todo el espacio de Hilbert para estudiar el problema sino quelo restringimos a los LLL. Si consideramos este caso, ejemplificaremos lo quesucede, tenemos que los siguientes operadores:

(49)W =i

k

jjjjjjjj

1 0 10 0 01 0 1

y

{

zzzzzzzz y L =i

k

jjjjjjjj

2 1 11 0 -11 -1 2

y

{

zzzzzzzz

conmutan ya que

(50)WL = LW =i

k

jjjjjjjj

3 0 30 0 03 0 3

y

{

zzzzzzzz

Si consideramos estos en un espacio de dos dimensiones, donde quitamos latercera fila y columna de los operadores, tenemos que,

(51)W2ä2 L2ä2 =ikjjj

2 10 0

y{zzz y L2ä2 W2ä2 =

ikjjj

0 00 0

y{zzz

Ahora consideremos un sistema finito de N electrones donde todos los LLL estánocupados (sólo hay uno ya que todos los spines están orientados hacia el mismolado y los electrones son fermiones).

Aquí nuestro estado basal se vuelve entonces,

(52)y = ‰i=1

N

‰j=1

i-1

Hzi - z jL expK-qB


‚ zi zi*O


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¿Es esta función de onda única? Dado que estamos en el estado basal, laspartículas están en el mar de Fermi y se pueden acomodar de manera única, es poresto que la función de onda es única. Esta es la función de onda que describen loselectrones en el efecto Hall cuántico.

Recordemos que, la densidad de corriente J, viene dada por,

(53)J = qP*

ÅÅÅÅÅÅÅÅÅm

o la carga por la velocidad, de donde tenemos que,

(54)XJ\ = -e

ÅÅÅÅÅÅÅm

Zy À P +qÅÅÅÅÅc

A À y^

Ahora bien, tenemos que, la corriente es,

(55)I = J pR2

Para un voltaje VH dado que llamamos voltaje de Hall, tenemos que,

(56)I = n q2ÅÅÅÅÅÅÅÅh

VH

Entonces, la resistencia de Hall se volvería,

(57)RH =VHÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅI

=1ÅÅÅÅÅn

h

ÅÅÅÅÅÅÅÅq2

La conductancia de Hall se ve como,

(58)sxy = n q2ÅÅÅÅÅÅÅÅh

donde n es un entero para el efecto Hall entero. Se nota aquí la cuantización de laconductancia.

4 Tarea:

Ver cómo se ve la función de onda del efecto Hall cuántico para un sistema detres partículas.


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A Referencias Bibliográficas1. S.M. Girvin, The Quantum Hall Effect: Novel Excitations and Broken Symme-

tries, arXiv.org, Estados Unidos, 1998.2. D. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey, 1999.3. D. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics, Prentice Hall, New Jersey,

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1999.5. A. Karlhede, S.A. Kivelson, S.L. Sondhi, The Quantum Hall Effect: The Article,

University of Illinois at Urbana-Champaign, Estados Unidos, 1992.6. K. Huang, Statistical Mechanics, John Wiley & Sons, Canada, 1987.7. A.H. MacDonald, Introduction to the Quantum Hall Regime, arXiv.org, Estados

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2001.9. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Springer, Estados Unidos, 1994.

10. S.T. Thornton, A. Rex, Modern Physics for Scientists and Engeneers, Thomson Learning, Estados Unidos, 2002.


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