Guatemala, 1 y 2 de Diciembre de 2009

Instantones

Por Jonathan van der Henst Solís Clase 1

1. Introducción Para poder estudiar a los instantones en un nivel básico, necesitamos tener una idea de la mecánica cuántica y efectos propiamente cuánticos como el efecto túnel. Además, es útil la formulación de la mecánica cuántica debida a Feynman que hace uso de la integral de camino. Por eso, comenzaremos con este preámbulo para poder trabajar luego lo que son los instantones. Para cualquier sistema físico, podemos pensar en que la mecánica clásica y la mecánica cuántica nos proveen de ciertos esquemas bajo los cuales podemos trabajar. No vamos a obtener los mismos resultados, ya que ambos esquemas tienen fuertes diferencias, pero igual podemos aplicarlos. Para entender esto, hay que recordar que en mecánica clásica estamos trabajando con que el estado de un sistema está determinado por un punto en el espacio de fase, el cual se especifica con coordenadas de momentum y posición para cada partícula del sistema. En cambio, en mecánica cuántica, el estado de un sistema está especificado por un vector en un espacio de Hilbert. Este vector tiene asociada una interpretación de probabilidad. Algo interesante es que estos dos sistemas se relacionan de una manera muy específica, de esta forma se puede pasar de un sistema clásico a un sistema

cuántico. La manera en que se hace es que se promueve a las funciones del

espacio de fase a operadores actuando en el espacio de Hilbert. El mapa entre los dos sistemas está dado por la relación entre los brackets de Poisson y los conmutadores:

Esta es la prescripción conocida como cuantización canónica. Sin embargo, hay otra forma de pasar a un sistema cuántico, la cual es debida a Richard Feynman y hace uso de la integral de caminos.

2. Integral de caminos (Path integral) Vamos a tratar de entender la otra formulación de la mecánica cuántica. Para comenzar, tenemos la evolución temporal de un sistema cuántico a partir de la ecuación de Schrödinger:

Al resolver esta ecuación para un sistema dado, obtenemos el operador de evolución de tiempo, en donde se encuentra contenida toda la información del sistema cuántico, por medio de los elementos matriciales:

Es decir, el operador describe la evolución dinámica del sistema bajo la influencia

de un Hamiltoniano de un tiempo a un tiempo . La razón de la función escalón o Heaviside es para dejar implícita la causalidad que nos dice que el tiempo transcurre en una dirección. Introduciendo la base de coordenadas del espacio, tenemos que:

Donde

Que define los componentes en la base de posiciones del operador de evolución del tiempo. Estos elementos matriciales expresan la amplitud de probabilidad para una

partícula de propagarse entre los puntos y en el tiempo . Es por eso que se le conoce a este operador como el propagador de la teoría. La idea básica a partir de la cuál uno obtiene la integral de camino, es tratar de estudiar al propagador pero en tiempos infinitesimales. Al hacer esto y usando de ciertas propiedades y teoremas, se obtiene al final que el propagador se puede expresar de la siguiente manera: Formulación Hamiltoniana de la path integral:

La integración se extiende sobre todas las posibles rutas que el sistema puede pasar en el espacio de fase que empiezan y terminan sobre los mismos puntos de configuración qI y qF. La contribución de cada ruta es pesada por su acción Hamiltoniana. Esta es una integral de las que se denominan integrales funcionales, dado que se extienden sobre una medida de integración infinito dimensional. En aplicaciones físicas no hay mucho problema con la pregunta de cómo se define rigurosamente dicha integral, sino que basta una postura pragmática. Recordando de la mecánica clásica que las formulaciones Hamiltonianas y Lagrangianas son equivalentes y que se conectan simplemente por una

tranformada de Legendre ( , en este caso se puede realizar algo análogo para la integral de camino y obtener una formulación Lagrangiana siguiente. Formulación Lagrangiana de la path integral:

Donde representa el Lagrangiano clásico. Nótese que ahora la

integración se da sobre el espacio de configuraciones. En resumen, la amplitud de transición mecánico-cuántica puede ser expresada en términos de una integral de dimensión infinita que se extiende sobre todas las rutas del espacio de fase o el espacio de configuraciones. Todas las rutas empiezan

y terminan en las mismas coordenadas. Cada ruta es pesada o se le asigna un peso de su acción clásica.

3. Rotación de Wick Para continuar, es necesario introducir la noción de una rotación de Wick. En física, ésta se refiere a un método con el cuál se busca una solución a un problema en el espacio de Minkowski a partir de la solución de un problema similar en el espacio Euclideano. Recordando la métrica de Minkowski (usando la convención (-1,1,1,1) para el tensor métrico):

Y la métrica euclidiana cuatro-dimensional:

Se puede ver que son equivalentes si se permite que la coordenada t tome valores complejos. Así que la métrica de Minkowski se vuelve la Euclideana cuando t es restringida al eje imaginario, y viceversa. Esto equivale a decir que si se toma un problema expresado en el espacio

Minkowski con coordenadas y se sustituye:

Se obtiene un problema en las coordenadas reales euclidianas el cual puede ser más fácil de resolver. El ejemplo más fácil de ver es tomar la ecuación de Schrödinger y la ecuación de calor y ver que se relacionan por una rotación de Wick. Se le denomina rotación debido a que cuando se representan los números complejos en un plano, la multiplicación por el número complejo i es equivalente a la rotación del vector que representa ese número por un ángulo de con respecto al origen.

3.1 Ecuación de calor Es la ecuación diferencial parcial que describe la distribución del calor (o variación

en temperatura) para una región dada según el tiempo. Para una función de tres variables espaciales y una variable de tiempo, la ecuación de calor es:

Donde es una constante.

3.2 Ecuación de Schrödinger Para un sistema cuántico, la ecuación de Schrödinger viene dada por

Donde psi es la función de onda, que es la amplitud de probabilidad para diferentes

configuraciones del sistema y es el operador hamiltoniano. Si tomamos sistemas en donde solo hay energía cinética, entonces:

Por lo que la ecuación de Schrödinger

Entonces estudiemos la rotación de Wick. Por la definición:

Por lo que se tiene que

Para las derivadas y los diferenciales:

Dado que . Además, y .

Regresando a la ecuación de Schrödinger, al hacer la rotación de Wick nos queda la ecuación de calor. Por último, regresando a la formulación Lagrangiana de la path integral, al hacer la rotación de Wick tenemos que:

Este será el punto de partida para la clase siguiente. Clase 2

4. Efecto túnel Para comenzar, vamos a estudiar en qué consiste el efecto túnel. En mecánica clásica tenemos que las trayectorias que son permitidas por las partículas tienen que ser un extremo de la acción. Por lo que la restricción principal que se pone sobre una trayectoria tiene que ver por la conservación de la energía. Sin embargo, como ya vimos, en mecánica cuántica una de las relaciones de incertidumbre nos indica que:

Por lo que la conservación de la energía puede ser violada en ciertas escalas de tiempo en mecánica cuántica. Lo importante de esto es que una partícula con energía E, menor que el valor de un potencial, puede pasar por la barrera del potencial de tamaño en alguna especie de tunel. Para ver ello, recodemos la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo (para estados estacionarios):

Con un hamiltoniano de la forma y despejando

Si el potencial es constante, entonces al integrar obtenemos:

Lo que significa que si la energía es menor que la energía potencia, uno obtiene una función exponencial que decae. La amplitud de tunel asociada sería proporcional a:

Donde a y b son las fronteras desde donde ocurre el túnel. Lo importante a notar es que lo anterior no vale cero. Así que la probabilidad que ocurra el túnel existe en la mecánica cuántica y por eso se le denomina efecto túnel.

5. Aproximaciones de la path integral

Regresando a la expresión con que nos quedamos en la clase pasada:

Hay que empezar diciendo que para la mayoría de casos, esa integral no se puede resolver. Pero lo bueno de la path integral es que hay flexibilidad con que se pueden usar esquemas de aproximación. Unos de ellos son los denaminados

límites semi-clásicos de las teorías cuánticas, que se refieren a tomar , que es el caso donde se espera que la teoría sea governada mayormente por las estructuras clásicas, pero con fluctuaciones cuánticas sobrepuestas. Para hacer eso se utiliza la aproximación de fase estacionaria que consiste en seguir los siguientes pasos:

- Se encuentran los “puntos” de fase estacionaria, al minimizar el funcional (en este caso la acción).

- Se hace una expación del funcional alrededor de estos “puntos”. - Se separa la exponencial y se calcula.

- Si hay muchos “puntos” de fase estacionaria, se calcula y se suman individualmente.

6. Potencial de doble pozo

Ahora si vamos a estudiar el problema en cuál se obtienen a los instantones como solución. Éste consiste en un potencial de doble pozo como muestra la figura:

La idea es estudiar la amplitud de probabilidad de que se quede la partícula en el mismo mínimo o cambie de un mínimo a otro. Dado que la energía que posee la partícula se propone que es menor que el máximo del potencial en medio, esto sucederá por medio del efecto tunel.

Al buscar la solución de fase estacionaria clásica, es difícil ver cuál es. Porque en mecánica clásica, no existe el efecto túnel. Es por ello que en lugar de trabajar con este problema, se realiza una rotación de Wick, es decir, consideramos tiempos complejos, y ahí si se pueden encontrar las soluciones clásicas. Antes de hacer esto, es bueno comentar que este modelo sí tiene aplicaciones interesantes en problemas de materia condensada con sólidos amorfos como vidrios. La ausencia de orden en los mismos implica que los enlaces individuales no tienen sus longitudes de enlace óptimos, por lo que, para enlaces que no están muy alargados, se tiene una formación de dos mínimos metaestables con casi la misma energía, como muestra la siguiente figura:

Así que las excitaciones energéticas mínimas para este sistema son transiciones entre dos mínimos casi degenerados de tal manera que pueden intercambiarse o darse una “vuelta”. Entonces un ejemplo de un modelo para este sistema sería un ensamble de potenciales de doble pozo de altura y ancho aleatorio, tal como se ha desarrollado por P.W. Anderson, B.I. Halperin y C.M. Varma, Phil. Mag. 25, 1 (1971). Regresando al problema, lo que querrémos calcular es:

Según vimos en la clase anterior, esto tiene la forma:

Entonces veamos el Lagrangiano del sistema

Pero como se hizo la rotación de Wick

Así que:

Por lo que:

Que es denominada la path integral euclidiana (Euclidean path integral).

Para ver las ecuaciones de la fase estacionaria, minimizamos la acción, es decir, usamos las ecuaciones de Euler-Lagrange:

El primer término:

El segundo término:

Así que:

Veamos qué significa esto. Si se recuerdan de la mecánica clásica:

Pero en este caso tenemos por lo que al hacer la rotación de Wick

lo que obtuvimos es que invertimos el potencial. Por lo que ahora si hay soluciones clásicas que conectan los puntos . Siendo más precisos, hay tres diferentes tipos de soluciones que satisfacen las

condiciones de estar en las coordenadas en los tiempos y/o : - La primera, ;

- La segunda, ; - Y la tercera, la más importante, que sale de , acelera por el mínimo en y

eventualmente llega a despues de un tiempo . Hay que tomar en cuenta las tres soluciones para calcular las amplitudes de transición. Sin embargo, la que nos interesa es la tercera, porque a esta solución es la que se le denomina solución de instantón (instanton solution). Para entender el nombre, estudiemos más a fondo esa solución.

7. Instantón Para comenzar, recordemos que encontramos que:

Así que multipliando por e integrando con respecto al tiempo:

Recordando que para tenemos que , entonces:

Con esto podemos calcular la acción para el instantón:

Ahora, exploremos la estructura del instantón como función del tiempo. Supongamos que el potencial tiene la forma:

Queda de tarea mostrar que para tiempos grandes la solución toma forma de:

Donde es la posición del instantón (el tiempo en que la velocidad es máxima y cambia de posición). Además mostrar que la acción para este caso es igual a

.

Recordando la forma de la función tangente hiperbólica, entonces:

Ahora ya queda claro el nombre. La solución de instantón nos indica la transición de la partícula en el potencial de un mínimo a otro, es decir, la excitación de esa partícula. A este tipo de excitaciones es las que se le conoce como partículas en teoría de campos. Es fácil pensar en las excitaciones como partículas, por ejemplo, una molécula cuando absorbe un fotón de luz es excitada, o cuando se relaja, emite un fotón; es decir, en la excitación está asociada la partícula. Lo mismo sucede aquí. Cuando cambia de mínimo del potencial se excita por medio del instantón. Como la excitación tiene que ver con el tiempo, es decir que sucede en un instante, por eso el nombre de instantón. Hay que notar que siguiendo la convención de partículas, también existe la antipartícula o anti-instantón, que es el instantón que recorre en la dirección opuesta. Y el aspecto de que se aniquilen es que simplemente no sucede nada si se dan los dos a la vez. El insante en que sucede la transición está relacionado con la frecuencia asociada al mínimo del potencial . Así que la extensión temporal del instantón está

determinada por las frecuencias de oscilador del potencial mínimo local y, en los casos en que sucede el efecto túnel en tiempos muy grandes en comparación, puede ser considerada corta. Esto que el instantón esté confinado a tiempos pequeños significa que deben de haber soluciones aproximadas de la ecuación estacionaria que involucra a pares de instantones y anti-instantones (físicamente significa que la partícula rebota de un lado al otro). Según la convención de la aproximación, tendríamos que sumar sobre cada una de estas soluciones. Esta sumatoria sobre multiples configuraciones de los instantones es conocida como gas instantón.

Por último, el hecho de considerar el efecto túnel, los estados energéticos del sistema cambian al mezclarse y ya no son los que tendrían los osciladores por separado, como muestra la figura. Es decir, el cálculo del instantón nos permite describir el espectro energético del sistema sin perturbar de los pozos, tomando en cuenta el efecto túnel.

8. Referencias

Altland, A. y B. Simons. 2006. Condensed Matter Field Theory. Cambridge University Press. Inglaterra. 624 pp.

de Wit, Bernard. 2008. Introduction to Quantum Field Theory. Utrecht University. 159 pp.