Calculo Estocastico y Procesos de Markov

El Memo

Resumen

Notas a las notas de Le-Gall

1. Capıtulo 1

Lema 1 (Observacion a la pagina 6). Si X es un vector gaussiano con valoresen E (espacio euclıdeo real de dimension d), existe un unico vector mX ∈ Ey una unica forma cuadratica positiva qX sobre E tal que

E (〈u,X〉) = 〈u,mX〉var(〈u,X〉) = qX(u),

para todo u ∈ E. Existe ademas un unico endomorfismo simetrico positivoγX : E → E tal que

qX(u) = 〈u, γX(u)〉,

para todo u ∈ E.

Demostracion. Sea e = {e1, ..., ed} una base ortonormal de E. Definimos

mX =d∑

i=1

E (〈ei, X〉) ei.

Notamos que X =∑d

i=1〈ei, X〉ei es la descomposicion de X bajo la base

ortormal e. Sea u ∈ E y u =∑d

i=1〈u, ei〉ei la descomposicion de u bajo la

1

base ortonormal e. Tenemos

E (〈u,X〉) = E

(d∑

i=1

d∑j=1

〈ei, X〉〈ej, u〉〈ei, ej〉

)

=d∑

i=1

E (〈ei, X〉) 〈ei, u〉

= 〈u,mX〉.

Ahora consideremos la matrizQX = [cov(Xi, Xj)]di,j=1, dondeXi = 〈ei, X〉.

Definimos el endomorfismo γX(u) = QXu y la forma cuadratica

qX(u) = ut QX u para todo u ∈ E.

Si u =∑d

i=1 uiei donde ui = 〈ei, u〉, entonces

qX(u) =d∑

i=1

d∑j=1

uiujcov(Xi, Xj) = 〈u, γX(u)〉.

2

Po otro lado, para u ∈ E,

var(〈u,X〉) = E (〈u,X〉 − E (〈u,X〉))2

= E (〈u,X〉 − 〈u,mX〉)2

= E (〈u,X −mX〉)2

= E

⟨ d∑i=1

uiei ,

d∑j=1

(Xj − E (Xj))ej

⟩2

= E

(d∑

i=1

d∑j=1

ui(Xj − E(Xj))〈ei, ej〉

)2

= E

(d∑

i=1

ui(Xi − E (Xi))

)2

= E

(d∑

i=1

d∑j=1

uiuj(Xi − E (Xi))(Xj − E (Xj))

)

=d∑

i=1

d∑j=1

uiujE ((Xi − E (Xi))(Xj − E (Xj)))

=d∑

i=1

d∑j=1

uiujcov(Xi, Xj)

= qX(u).

El vector mX no depende de la eleccion de la base. Sea e′ = {e′1, ..., e′n}otra base ortonormal para E y sea m′

X =∑d

i=1 E (〈e′i, X〉) e′i. Entonces

〈u,mX〉 = E (〈u,X〉) = 〈u,m′X〉

para todo u ∈ E. En particular,

〈mX −m′X ,mX −m′

X〉 = 〈mX ,mX〉 − 〈mX ,m′X〉 − 〈m′

X ,mX〉+ 〈m′X ,m

′X〉

= E (〈mX , X〉)− E (〈mX , X〉)− E (〈m′

X , X〉) + E (〈m′X , X〉)

= 0.

De donde, mX = m′X .

3

La forma cuadratica qX y el endomorfismo γX no depende de la baseelegida. Si ahora X ′

i = 〈e′i, X〉, Q′X = [cov(X ′

i, X′j)]

di,j=1, γ

′X(u) = Q′

Xu yq′X(u) = 〈u, γ′X(u)〉, entonces

qX(u) = 〈u, γX(u)〉 = var(〈u,X〉) = 〈u, γ′X(u)〉 = q′X(u),

para todo u ∈ E. En particular,

〈γX(u)−γ′X(u), γX(u)−γ′X(u)〉 = qX(γX(u)−γ′X(u))−q′X(γX(u)−γ′X(u)) = 0,

de donde γX(u) = γ′X(u).

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