NOTAS PARA UN CURSO DE ANALISIS …NOTAS PARA UN CURSO DE ANALISIS MATEMATICO Resumen: Estas notas...

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NOTAS PARA UN CURSO DE ANALISIS MATEMATICO

Resumen: Estas notas comprenden la mayor parte de los temas que tradi-cionalmente se ensean en un primer curso de analisis matematico, tales comolımites, continuidad, diferenciacion y convergencia de sucesiones, solo que losteoremas, las proposiciones, etc., son probados usando las tecnicas no usuales;no es un tratado comparativo de los mismos resultados haciendo las demsotra-ciones de una manera (la usual) y de otra (la no usual) ni tampoco intentamosprobar las equivalencias entre una tecnica y la otra. Es, simplemente, unaversion no usual de un curso clasico de analisis.

Introduccion.Como lo menciono en el resumen, estas notas intentan ser una guia escrita

para impartir un primer curso de analisis, sin hacer demostraciones − δ , nihablar de cubiertas de conjuntos, a cambio, se hacen demostraciones usando in-finitesimos, monadas, numeros infinitamente grandes, etc. De hecho, el conceptode lımite es irrelevante en un tratado no usual, los conceptos de continuidad ydiferenciacion no requieren en absoluto de conocer el concepto de lımite.

Estas notas intentan ser autocontenidas, es decir, no se espera que el lectorconozca ciertos resultados de las tecnicas o este familiarizado con ellas; las defini-ciones que se necesitan estan dadas, los resultados (teoremas, proposiciones,etc.) estan presentados en secuencia progresiva, es decir, para sus demsotra-ciones solo se necesitan los conceptos o resultados previamente establecidos.Los ejemplos y contraejemplos aqui dados, son un complememto al desarrolloteorico. Lo que pueda tener de relevante este tratado o su inevitable com-paracion con la presentacion y demostraciones clasicas queda a lareflexionadaconsideracion de cada lector.

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CAPITULO I

ESTRUCTURAS NO USUALES.

El Axioma del Modelo es.

AXIOMA : Todo conjunto X esta contenido en un conjunto *X.Con las siguientes propiedades:

i) X = *X ⇔ X es un conjunto finito

ii) X ⊂ Y ⇒ *X ⊂ *Y iii) *(X ∪ Y ) = *X ∪ *Y

iv) *(X ∩ Y ) = *X ∩ *Y v) *(X Â Y ) = *X Â*Y

vi) *(X × Y ) = *X × *Y

y el

Principio de Transferencia PdeT

Si P es una proposicion admisible (propiedad), es decir, una formula bienformada donde cada variable esta en el alcance de un cuantificador (∀,∃) yademas es admisible, es decir, los cuantificadores aparecen en la siguiente forma:

(∀x)(x ∈ X)(P (x)) o (∃x)(x ∈ X)(P (x)) entonces

(∀x)(x ∈ X)(P (x)) ⇔ (∀x)(x ∈ ∗X)(P (x))

(∃x)(x ∈ X)(P (x))⇔ (∃x)(x ∈ ∗X)(P (x))es decir, 00si P se cumple para cada elemento de X (o para alguno) entonces

tambien se cumple para cada elemento de *X (o para alguno)00 y viceversa.

OBSERVACIONES: ∗φ = φ , X Ã*X ⇔ X es un conjunto infinito.,cada funcion f : X → Y vista como una relacion f ⊂ X × Y que cumplelas propiedades

P1 : (∀x)(x ∈ X)(∃y ∈ Y )((x, y) ∈ f) y

P2 : (∀x)(x ∈ X)(∀y)(y ∈ Y )((x, y) ∈ f z 6= y ⇒ (x, z) /∈ f),

tenemos que *f ⊂ *(X × Y ) = *X × ∗Y tambien cumple las propiedades

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P1 : (∀x)(x ∈*X)(∃y ∈*Y )((x, y) ∈*f) y

P2 : (∀x)(x ∈*X)(∀y)(y ∈*Y )((x, y) ∈*f , z 6= y ⇒ (x, z) /∈*f) ,es decir, *f es una funcion de *X en *YAdemas, como f ⊂*f , (x, y) ∈*f ∀(x, y) ∈ f , es decir, la funcion *f

se comporta igual que f en los elementos de X.En este sentido es que diremos que *f extiende a f.

PROPIEDADES DE *R donde R denota al campo ordenado de losnumeros reales:A los elementos de *R les seguire llamando numeros aunque no todos sean

reales ( Ax. i))Lo mismo hare para los elementos de *N (N el conjunto de numeros

naturales),*Z (Z los numeros enteros) y *Q (Q el conjunto de los numeros

racionales).

*Z = *N ∪ {0} ∪ *(− N)

*Q = {ab| a, b ∈ *Z, b 6= 0}

Las funciones suma + : R×R→ R y producto · : R×R→ R se extiendena+ :*R× *R→ *R y · :*R× *R→ *R . respectivamente.

Por el Principio de Transferencia estas operaciones en *R tienen las mis-mas propiedades que en R, es decir, estas operaciones (en *R) tambien sonconmutativas, asociativas, tienen neutros unicos (el cero para la suma y el unopara la multiplicacion), inversos aditivos, inversos multiplicativos para todoslos numeros distintos de cero (el cero sigue sin tener inverso multiplicativo), lamultiplicacion por cero es cero, etc.

Sabemos que en R se cumple que (∀x)(x ∈ R⇒ ∃ n ∈ N)(x < n) . Por el Pde T tendremos que en *R se cumple que (∀x)(x ∈ *R ⇒ ∃ n ∈ *N)(x < n).

En R se cumple que (∀x)(x ∈ R)(x > 0⇒ ∃ n ∈ N)( 1n < x).Por el P de T en *R se cumple(∀x)(x ∈*R)(x > 0⇒ ∃ n ∈*N)( 1n < x)

Por Axioma i) sabemos que existe p ∈*N tal que p /∈ N.Del hecho de que (∀n)(n ∈ N⇒ n ≥ 1) tenemos que 1 < p.

El ORDEN de *R

Si P es el conjunto de los numeros reales positivos entonces *P es elconjunto de los numeros positivos de *R. Como N ⊂ P, este ultimo conjuntoes infinito y por lo tanto P ( *P (Axioma i)

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Sabemos que[(∀x)(∀y)(x, y ∈ P ⇒ x+ y , xy ∈ P]Aplicando el PdeT tenemos:[(∀x)(∀y)(x, y ∈*P ⇒ x+ y , xy ∈*P , 1 ∈ P ( *P ,

Otras aplicaciones del P de T son

[(∀x)(∀y)(x, y ∈ R)(x < y ⇔ y − x ∈ P)] ⇒[(∀x)(∀y)(x, y ∈*R)(x < y ⇔ y − x ∈*P)][(∀x)(x ∈ R) ⇒ (x = 0 o x ∈ P o −x ∈ P)] ⇒[(∀x)(x ∈*R) ⇒ (x = 0 o x ∈*P o −x ∈*P)]Por el P de T podemos estar seguros que todas las propiedades que relacionan

al orden y al algebra en R se cumplen tambien en *R, por ejemplo:a < b y c ≤ d⇒ a+ c < b+ da < b y 0 < c⇒ ac < bca < b y c < 0⇒ ac > bc

La funcion valor absoluto de R, |.| : R→ [0,∞) se extiende a*|.| : *R→ *[0,∞):*|p| = p si p ≥ 0 , *|p| = −p si p < 0Por economıa de escritura pondremos solo |.| en lugar de *|.|.

Teorema 1 Para cualquier p ∈*NÂN , n < p ∀n ∈ N

demost.:Supongamos que algun n ∈ N es mayor que p.Por el principio del buen orden en N podemos escoger un natural m tal

que m− 1 < p < m.

Sabemos que en N se cumple (∀n)(∀m)(n,m ∈ N ⇒ q(m− 1 < n < m)),donde q significa que lo que esta a continuacion es falso, es decir, no existeningun numero natural entre m − 1 y m para ningun m ∈ N. De donde,por el P de T tampoco existe ningun numero de *N entre m− 1 y m paraningun m ∈*N.Esta contradiccion al P de T nos dice que la suposicion que hicimos es

inconsistente con este modelo.

Corolario 1 Si p ∈*N \N entonces r < p ∀r ∈ R

demostr.: Para cada r ∈ R existe nr ∈ N tal que r < nr (propiedadarquimediana de R). Por Teo.1 nr < p, por lo tanto r < p.

Corolario 2 Si p ∈*NÂN entonces −p < r ∀r ∈ R

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Corolario 3 Si p ∈*NÂN entonces 0 < 1p < 1

n ∀n ∈ N

Corolario 4 Si p ∈*NÂN entonces −1n < −1

p < 0 ∀n ∈ N

Corolario 5 Si p ∈*NÂN y 0 < r ∈ R entonces 0 < 1p < r

demost.: Para cada r > 0 existe nr ∈ N tal que 1nr

< r.

Por el Cor.1 1p < 1

nr< r

Los anteriores corolarios nos dicen que los siguientes subconjuntos de *Rno son vacios:

J+ = {p ∈ *R | r < p ∀r ∈ R} *NÂN ( J+

J− = {q ∈ *R | q < r ∀ r ∈ R} = −J+ = {q = −p | p ∈ J+}J = J+ ∪ J− = {x ∈ *R | |x| > r ∀ r ∈ P}

*Z Â Z ( *QÂQ ( J

I+ = {δ ∈ *R 0 < δ < r ∀r ∈ P} = { 1p | p ∈ J+}I− = {β ∈ *R | − r < β < 0 ∀r ∈ P} = {1q | q ∈ J−}

I = I− ∪ {0} ∪ I+ = {x ∈ *R | |x| < r ∀ r ∈ P}Definicion 1 µ(0) = I

µ(x) = x+ I = {x+ α |α ∈ I}F = ∪{µ(x) |x ∈ R} {pq | p ∈ F , q ∈ *N Â N} ( I

Definicion 2 A los numeros del conjunto I se les llama infinitesimos.Al conjunto µ(x) se le llama la MONADA de x , x ∈ µ(x).

Note que el unico numero real que es infinitesimo es el 0I ∩R = {0}

Note tambien queR Ã F Ã *R I Ã F

J+ ∩ F = φ = J− ∩ F = φ = J ∩ F = J+ ∩ J− = φ = I ∩ J = J ∩R*R = F ∪ J

Proposicion 1 p ∈ µ(x) ⇔ ∀ r ∈ P, |p− x| < r

demost.⇒) Para x = 0 , es justamente la definicion de ISi x 6= 0 entonces x− p ∈ µ(0) y nos remitimos al caso anterior.

⇐) Para x = 0 es la definicion de I|p− x| < r ∀ r ∈ P ⇒ p− x ∈ µ(0) ⇒ p = x+ α ∈ µ(x)

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Nota 1 p ≈ x es otra manera de decir que p ∈ µ(x)

Definicion 3 A los numeros de p ∈ *R para los cuales existe x ∈ Ry r ∈ P con la propiedad de que |x−p| < r se les llama numeros finitos.

Lema 1 F esta contenido en el conjunto de numeros finitos.

demost.:Sea p ∈ F= ∪{µ(x) |x ∈ R}, es decir, ∃x ∈ R tal que p ∈ µ(x). De aquı,

∃α ∈ I tal que p = x+ α, en consecuencia, |p− x| = |α| < 1 ∈ R

Proposicion 2 a) Si 0 < β < α y si α ∈ I+ entonces β ∈ I+b) Si α < β < 0 y si α ∈ I− entonces β ∈ I−c) Si α < β < δ y si α, δ ∈ I entonces β ∈ I

demost.:a) Como para cualquier r ∈ P α < r, por la transitividad del orden 0 < β < r

b) Similar a a)

c) Si 0 < α no remitimos al inciso a), si δ < 0 nos remitimos al inciso b)

Si α < 0 < δ entonces nos fijamos en el signo de β

0 < β , aplica a), β < 0 , aplica b)

Proposicion 3 p ∈ *R es un numero finito si y solo si existen y, z ∈ Rtales que y < p < z

demost.: ⇒) Sean x ∈ R y r ∈ P tales que |x− p| < r|x− p| < r ⇒ y = x− r < p < x+ r = z, ( y, z ∈ R)⇐) y < p < z ⇒ |p− y| = p− y < r = z − y ∈ R

Proposicion 4 F es el conjunto de numeros finitos de *R.

demost.:Por el Lema 1 cada p ∈ F es un numero finito.

Por otro lado, si p ∈ *R es un numero finito, consideremos al siguienteconjunto de numeros reales

Ap = {z ∈ R | p < z} (1)

Ap ⊂ RPor la proposicion 1 Ap 6= φ y esta acotado inferiormente.Por lo tanto, existe x = inf Ap ∈ R (axioma del supremo para R)Afirmacion: p ∈ µ(x).

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Sea ε > 0 y sea z ∈ Ap tal que x ≤ z < x + ε , esto implica quep < x+ εPor otro lado, como x es el ınfimo de Ap, no xiste z ∈ R tal que

p < z < x, por lo tanto, x− ε < pLo anterior nos dice que |p− x| < ε . Como ε fue arbitrario, p ≈ x

Recordemos que F ∩R = R R ( F , I ( F, J ∩ F = φ

Si x ∈ R , µ(x) ∩ R = {x}

Proposicion 5

i) Si p, q ∈ *R, y ∃r ∈ P tal que p− q > r o q − p > r

entonces µ(p) ∩ µ(q) = φ

ii) Si x, y ∈ R , x 6= y ⇒ µ(x) ∩ µ(y) = φ

iii) p ∈ *RÂF ⇔ µ(p) ∩ F = φ

iv) p ∈ µ(x) ⇔ p− x ∈ I ⇔ µ(p) = µ(x)

v) p ∈ *RÂF ⇔ µ(p) ⊂ Jvi) p ∈ FÂR ⇔ ∃r ∈ R tal que − r < p < r

vii) p ∈ F ⇔ ∃x ∈ P tal que p− x ∈ I

demost.:i) Supongamos que existiera t ∈ µ(p) ∩ µ(q) y tomemos el casop− q > r ∈ R+0 < r < p− q = (p− t) + (t− q) ∈ I ya que p− t y t− q estan en I.Por la Propos.1, r ∈ I y por lo tanto r ∈ R ∩ IEsto es una contradiccion ya que el unico numero real en el conjunto R ∩ I

es el cero.

ii) Para demostrar este inciso aplicamos el inciso i) tomando p = x, q = y,

r = |x−y|2

iii) ⇒) Recordemos que (*RÂF) ∩ F = φ

Suponiendo que existiera q ∈ µ(p) ∩ F entonces existe x ∈ R tal queq ∈ µ(x) ⊂ F, de donde, µ(q) = µ(x). Como p ≈ q , µ(p) = µ(q). De aquip ∈ µ(x) y por tanto p estarıa en F

⇐) Como p ∈ µ(p) , p 6∈Fiv) Inmediato de las definicion de monada

v) Por iii) µ(p) ∩ F = φ de aqui, µ(p) ⊂ Fc = *RÂF = Jvi) p ∈ FÂR ⇒ ∃x ∈ R tal que p ∈ µ(x) y p 6= x. Es decir, ∃α ∈ I

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α 6= 0 tal que p = x+ α. Sea r = x+ 1 ∈ R, entonces −r < p < r

vii) Se sigue de las definiciones del conjunto F y de monada.

Definicion 4 Diremos que dos numeros p, q ∈ *R estan infinitamentecercanos (p ≈ q) si p− q ∈ IProposicion 6 i) p ≈ q ⇔ µ(p) = µ(q)

ii) p ≈ 0 ⇔ p ∈ I , I = µ(0)

iii) p ∈ F ⇔ ∃x ∈ R tal que p ≈ x

iv) Si x, y ∈ R, x 6= y ⇒ x À y

demost.:i) ⇒) Sea t ∈ µ(p), entonces t− p ∈ I, de aquı,t− q = (t− p) + (q − p) ∈ I+ I = IEsto ultimo nos dice que t ∈ µ(q) y por lo tanto µ(p) ⊂ µ(q).

La otra contencion es analoga

⇐) p ∈ µ(p) = µ(q) ⇒ p ≈ q

ii) es un caso particular de i) con q = 0

iii) es simplemente otra reformulacion del conjunto F (ver pag.3)

iv) x 6= y ∈ R, x− y ∈ R ,|x− y| ∈ P y|x− y| ≮ |x− y|. Por lo tanto x ¿ y

PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE:

1.- I , I+, I−

1.1) α, β ∈ I+ ⇒ α+ β , αβ ∈ I+, − α ∈ I−, 1α ∈ I+

1.2) α, β ∈ I− ⇒ α+ β ∈ α, β ∈ I− , αβ ∈ I+, − α ∈ I+, 1α ∈ J−1.3) α, β ∈ I ⇒ α+ β , αβ , − α ∈ I, y 1

α ∈ J si α 6= 01.4) p ∈ F, α ∈ I ⇒ pα ∈ F

2.- J , J+, J−

2.1) p, q ∈ J+ ⇒ p+ q , pq ∈ J+ , 1p ∈ I+

2.2) p, q ∈ J− ⇒ p+ q ∈ J−, pq ∈ J+, 1p ∈ J−

2.3) p ∈ J+, q ∈ J− ⇒ pq ∈ J−2.4) p ∈ J+, q ∈ F ⇒ p+ q ∈ J+

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2.5) p ∈ J−, q ∈ F ⇒ p+ q ∈ J−2.6) p ∈ J y q ∈ FÂI ⇒ pq ∈ J

3.- F

3.1) p, q ∈ F ⇒ p+ q , pq ∈ F 3.2) p ∈ FÂI ⇒ 1p ∈ F

Teorema 2 Si a, b ∈ R , entoncesi) *[a, b] = {p ∈ *R | a ≤ p ≤ b} ( ∪{µ(x) |x ∈ [a, b]} ⊂ F

ii) ∗ (a, b) = {p ∈ ∗R | a < p < b}= ∪{µ(x) |x ∈ (a, b)} ∪ {p | a < p ∈ µ(a)} ∪ {p ∈ µ(b) | p < b}

iii) ∗ (a,∞) = {p ∈ ∗R | a < p}= {p | a < p ∈ µ(a)} ∪ (∪{µ(x) |x ∈ (a,∞)}) ∪ J+

iv) ∗ (−∞, b) = {p ∈ ∗R | p < b}= J− ∪ (∪{µ(x) |x ∈ (−∞, b)}) ∪ {p ∈ µ(b) | p < b}

demost.: En cada caso es aplicar el P de T.

Teorema 3 i) A ⊂ R es acotado ⇔ *A ⊂ Fii)A ⊂ R es compacto ⇔ *A ⊂ ∪{µ(a) | a ∈ A}

demost.:i) ⇒) Como A es acotado, existen c, d ∈ R tales que c < a < d ∀a ∈ A es

decir, A ⊂ [c, d], de aqui, *A ⊂ *[c, d] ⊂ F (Axioma ii) y Teor.2i )

entonces (∀p ∈ *A)(c < p < d). Por Prop.2 *A ⊂ F⇐) Supongamos que A no es acotado superiormente, es decir,

(∀n ∈ N)(∃an ∈ A)(n < an). Por el P de T

(∀n ∈ *N)(∃an ∈ *A)(n < an)

Sean N ∈ *NÂN y N < aN ∈ *A entonces aN ∈ *A ∩ J como F ∩ J = φ,lo anterior dice que *A * F contradiciendo a la hipotesis.

Una contradiccion analoga obtenemos si suponemos que A no es acotadoinferiormente.

ii) ⇒) Como A es compacto, es acotado, por i) *A ⊂ FSupongamos que existe x ∈ RÂA tal que existe p ∈ µ(x)∩*AEntonces, para cada r ∈ P la siguiente afirmacion en *R es cierta(∃y ∈ *A)(|y − x| < r) por el P de T (∃y ∈ A)(|y − x| < r)

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Haciendo esto para cada rn =1n , n ∈ N (∃yn ∈ A)(|yn − x| < rn).

Esto dice que la sucesion {yn} ⊂ A converge a x

Como A compacto tambien implica que es cerrado, entonces x ∈ A

Esta contradiccion nos dice que *A ⊂ ∪{µ(a) | a ∈ A}⇐) Como ∪{µ(a) | a ∈ A} ⊂ F , por i) A es acotado

Probemos que A es cerrado: Sea {an} ⊂ A tal que {an}→ x ∈ RPara cada k ∈ N existe ank ∈ A tal que |ank − x| < 1

k .

Por el P de T lo siguiente es cierto en *R :(∀k ∈ *N)(∃ank ∈*A)(|ank − x| < 1

k ).

Escogiendo una K ∈ *NÂN obtenemos que anK ∈ *A ∩ µ(x)La hipotesis nos dice que x ∈ A.

Corolario 6 A ⊂ R esta acotado superiormente (inferiormente) ⇔*A ∩ J+ = φ (*A ∩ J− = φ)

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CAPITULO 2

ESPACIOS METRICOS:

Sea (X, d) un espacio metrico. d : X ×X → [0,∞) es una funcion talque

(∀x)(x ∈ X ⇒ d(x, x) = 0) PdeT ⇒ (∀x)(x ∈ *X ⇒ *d(x, x) = 0)

(∀x ∈ X)(∀y ∈ X)(x 6= y ⇒ d(x, y) > 0) PdeT ⇒(∀x ∈ *X)(∀y ∈ *X)(x 6= y ⇒ *d(x, y) > 0)

(∀x ∈ X)(∀y ∈ X)(∀z ∈ X)(d(x, y) + d(y, z) ≤ d(x, z))

PdeT ⇒ (∀x ∈ *X)(∀y ∈ *X)(∀z ∈ *X)(*d(x, y) + *d(y, z) ≤ *d(x, z))donde *d : *(X × X) = *X× *X → *[0,∞) es la extension de d .

*[0,∞) = {0} ∪ I+ ∪ {µ(x) | x ∈ P} ∪ J+

Definicion 5 Diremos que dos elementos p, q ∈*X estan infinitamented−cercanos (p ≈ q) si *d(p, q) ≈ 0, es decir, si*d(p, q) ∈ {0} ∪ I+ ⊂ I = µ(0).

Lema 2 Propiedades de ≈ en *X :

p ≈ p ∀ p ∈ *X

p ≈ q ⇔ q ≈ p

p ≈ q y q ≈ w ⇒ p ≈ w

demost.: *d(p, p) = 0 ∈ I*d(p, q) ∈ I⇒. Como *d(p, q) =*d(q, p) *d(q, p) ∈ I⇒ q ≈ p

*d(p, q), *d(q, w) ∈ I⇒ *d(p, q)+*d(q, w) ∈ I y como 0 ≤*d(p,w) ≤*d(p, q)+*d(q, w),*d(p,w) ∈ I, es decir, p ≈ w.

Definicion 6 Para cada p ∈ *X, µ(p) = {q ∈ *X | *d(p, q) ≈ 0} (la monadade p)

MX = ∪{µ(x) |x ∈ X}Nota 2 Para x ∈ X y un numero real positivo r la bola con centro en xy radio r es

Br(x) = {z ∈ X | d(z, x) < r}Proposicion 7 Para cada r > 0 y xo ∈ X ,*Br(xo) = {x ∈*X | *d(x, xo) < r}

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demost.:Aplicar el P de T a Br(xo).

Proposicion 8 Para cada x ∈ Xµ(x) = ∩r>0*Br(x) = ∩n∈N*B 1

n(x)

Definicion 7 Diremos que un elemento de p ∈ *X es finito si existe x ∈ Xtal que *d(p, x) es un numero finito, es decir, *d(p, x) ∈ F

FX = {p ∈ *X | p es finito}

Lema 3 MX ⊂ FXdemost.:Sea p ∈MX , entonces existe x ∈ X tal que p ∈ µ(x) . De aqui,

*d(p, x) ∈ I ⊂ F , es decir, *d(p, x) es un numero finito.

Nota 3 A diferencia de lo que ocurre en *R, la igualdad entre MX

y FX no siempre ocurre:

Contraejemplo: Sea X = l∞ (las sucesiones acotadas de R).

Sea d({xn}, {yn}) = max{|xn − yn|}n∈NSea A = {an = {0, ..., 0, 1, 0, 0, ...}} n∈N 1 en el lugar n.

Claramente A es un subconjunto acotado de l∞ ya que

A ⊂ B1({0}) = {{xn} ∈ l∞ | d({xn}, {0}) ≤ 1}. Por el P de T*A = {an = {0, ..., 0, 1, 0, 0, ...}}n∈∗N ⊂ *B1(0) = {{xn} | d({xn}, {0}) ≤ 1}Esto nos dice que todas las sucesiones de *A son finitas, es decir, *A ⊂ FX .Sin embargo:Afirmacion: Para todo n ∈*N , an /∈MX .

Sea {xn} ∈ l∞, entonces, *d({xn}, an) = max{{|xn|}, 1} ≥ 1.Esto implica que an /∈ µ({xn}) y de aquı an /∈MX .

Teorema 4 Sean A ⊂ X,d , x ∈ X

i) x ∈ int(A) ⇔ µ(x) ⊂ *A

ii) x ∈ A0 ⇔ (µ(x)Â{x}) ∩ *A 6= φ

iii) x ∈ fr(A) ⇔ µ(x) ∩ *A 6= φ 6= µ(x) ∩ *(XÂA)

iv) A es abierto ⇔ ∪ {µ(x) | x ∈ A} ⊂ *Av) A es cerrado ⇔ [(∀x ∈ X)(µ(x) ∩ *A 6= φ ⇒ x ∈ A

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demost.: i) ⇒) Sea x ∈ int A y p ∈ µ(x). Por lo primero, existe r > 0 talque

Br(x) ⊂ A, es decir, (∀z ∈ X)(d(x, z) < r ⇒ z ∈ A)

Por el P de T(∀z ∈ *X)(*d(z, x) < r ⇒ z ∈ *A)Como p ≈ x , d(p, x) < r , de aqui, p ∈ *A y por tantoµ(x) ⊂ *A⇐) Si µ(x) ⊂ *A y r ∈ I+ , entonces la siguiente implicacion es

verdadera en *R

(∀z ∈ *X)(*d(z, x) < r ⇒ z ∈ *A)o, equivalentemente, el siguiente enunciado es verdadero en *R

(∃ r ∈ *R)(*d(z, x) < r ⇒ z ∈ *A)Por el PdeT, el siguiente enunciado es verdadero en X(∃ r ∈ R)(d(z.x) < r⇒ z ∈ A)

es decir, existe r ∈ R tal que Br(x) ⊂ A , de donde se concluye quex ∈ intA,

ii) ⇒) Sea x ∈ A0 , entonces, lo siguiente es verdadero en R(∀ r ∈ R)(r > 0 ⇒ (∃ a ∈ A)( a 6= x)(a ∈ Br(x))

Por el P de T, lo siguiente es verdadero en *R

(∀ r ∈ *R)(r > 0 ⇒ (∃ a ∈ *A)( a 6= x)(a ∈ *Br(x))

Tomando r ∈ I+ concluımos que (µ(x)Â{x})∩ *A 6= φ

⇐) Supongamos ahora que z ∈ (µ(x)Â{x})∩ *A y sea r > 0 unnumero real. Entonces(∃ z ∈ *X)(0 < *d(z, x) < r)(z ∈ *A)

Por el P de T(∃ z ∈ X)(0 < d(z, x) < r)(z ∈ A)

En otras palabras, existe z ∈ Br(x) ∩A , z 6= x.

Esto dice que x ∈ A0

iii) Demostracion analoga a la de ii)

iv) Consecuencia de i)

v) ⇒) Sea A cerrado. Entonces Ac es abierto. y sea x ∈ X tal quep ∈ µ(x)∩*A 6= φ

Si x no estuviera en A entonces x ∈ Ac. Por i) µ(x) ⊂ *(Ac) = (*A)c locual implica que p ∈ *A∩ (*A)c = φ . Esta contradiccion nos dice que x ∈ A.

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⇐) Probemos que Ac es abierto. Sea x ∈ Ac Si existiera p tal quep ∈ µ(x) ∩ (*(Ac))c = µ(x) ∩ *((Ac)c) = µ(x) ∩ *Aentonces x , por hipotesis, deberıa estar en A. Como x ∈ Ac, lo anterior

nos dice que µ(x) ⊂ *(Ac)

Corolario 7 A ⊂ X es abierto ⇔ µ(a) ⊂*A ∀ a ∈ A

Corolario 8 B ⊂ X es cerrado ⇔ ∀ p ∈*B y x ∈ X,

( p ≈ x ⇒ x ∈ B

Nota 4 Para todo Y ⊂ X , MY ⊂MX∩*Y

Proposicion 9 Y ⊂ X es cerrado ⇔ MY =MX∩*Y

demost.: ⇒) Sea p ∈ MX∩*Y . Entonces, p ∈ µ(x) y p ∈*Y , por ser Ycerrado, x ∈ Y , es decir, p ∈MY .

⇐) Sean p ∈*Y , x ∈ X tales que p ≈ x .

De aqui, p ∈ MX∩*Y = MY , es decir, x ∈ Y . Esto implica que Y escerrado.

Definicion 8 CX = {p ∈ *X | inf{r > 0 | ∃x ∈ X, *d(p, x) < r} = 0}

Para todo espacio metrico XMX ⊂ CX⊂ FX

Para todo Y ⊂ XCY ⊂ CX∩*Y

Ejemplo 1: Sea Y = {an = {0, ..., 0, 1, 0, 0, ...}} n∈N 1 en el lugar n.

Sea d({xn}, {yn}) = max{|xn − yn|}(Y, d) es completo (por ser un subconjunto cerrado de l∞, d) pero

CY & FY .

En este ejemplo FY = *Y .demost:Sea p ∈ *Y , p = {0, ..., 0, ..., 1, 0, 0, ...} , 1 en el lugar N ∈*NÂN*d(p, an) = 1 ∀ an ∈ Y

14


SUCESIONES Y CONVERGENCIA

Sea {xn}N ⊂ X una sucesion

Teorema 5 i) {xn}N → x ∈ X ⇔ (∀ n ∈ *NÂN xn ∈ µ(x))

ii) {xn}N es Cauchy ⇔ (∀ n,m ∈ *NÂN*d(xn, xm) ≈ 0)iii) x ∈ X es punto de acumulacion de {xn}N ⇔

(∃n ∈ *NÂN xn ∈ µ(x))

demost.:i) ⇒) Sea r > 0 (num. real). Por la convergencia de la sucesion, existe

N ∈ N tal que d(x, xn) < r ∀ n ≥ N.Es decir, la siguiente afirmacion es cierta en X

(∀n ∈ N)(n ≥ N ⇒ d(x, xn) < r)

Por el P de T tenemos que la siguiente afirmacion es cierta en *X(∀n ∈ *N)(n ≥ N ⇒ *d(x, xn) < r)

Como todo numero de *NÂN es mayor que N (Cor.1,Teo.1) tenemos que*d(x, xn) < r ∀ n ∈ *NÂNDado que el numero r fue arbitrario, *d(x, xn) ≈ 0 ∀n ∈ N \N, es decir,

{xn}∗NÂN ⊂ µ(x)

⇐)Se ε > 0 (num. real) y K ∈*NÂN .Por hipotesis, la siguiente afirmacion es cierta en *X

(∃K ∈ *N)(∀n ∈ *N)(n ≥ K ⇒ *d(x, xn) < ε)

entonces, por el P de T tenemos que en X es cierta la siguiente afirmacion(∃K ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ K ⇒ d(x, xn) < ε)

lo cual prueba que {xn}→ x

ii) y iii) se prueban analogamente

Sean (X, d1) y (Y, d2) dos espacios metricos y f : X → Y una funcion.

Proposicion 10 Las siguientes igualdades de conjuntos se cumplen ∀A ⊂ Xy ∀B ⊂ Y :i) *(f(A)) = *f(*A) , ii) *(f−1(B)) = *f−1(*B)

demost.:i) Por la definicion de f(A) sabemos que

[(y ∈ f(A))⇔ (∃x ∈ A)(y = f(x))].

Por el P de T tenemos que [(y ∈ *(f(A)) ⇔ (∃x ∈ *A)(y = *f(x))]describe al conjunto *(f(A)).

15


Esta ultima formula describe al conjunto imagen *f(*A).Por lo tanto *(f(A)) =*f(*A)

Teorema 6 Las siguientes afirmaciones son equivalentes:a) f es continua en xo

b) p ∈ µ(xo) ⇒ *f(p) ∈ µ(f(xo))

c) (∀B ⊂ Y )(µ(f(xo)) ⊂ *B ⇒ µ(xo) ⊂ *f−1(*B))

d) {xn}→ xo ⇒ {f(xn)}→ f(xo)

Teorema 7 f : X → Y es uniformemente continua si y solo si para todo parade puntos p, q ∈ *X

p ≈ q ⇒ *f(p) ≈ *f(q)

Corolario 9 i) Si f : X → Y es continua entonces *f(MX) ⊂MY

ii) Si f : X → Y es uniformemente continua entonces{xn} Cauchy ⇒ {f(xn)} Cauchy

demost.:i) Es consecuencia inmediata del Teorema 11

ii) Es consecuencia inmediarta del Teorema 12

Ejemplo 7: f : (0, 1] → R definida f(x) = 1x es continua pero no es

uniformemente continuademost.:Sea x ∈ (0.1] y sea p ≈ x. Entonces,

*f(p)− f(x) = 1p − 1

x =x−pxp ≈ 0 (propieds.3.2 y 1.4)

lo anterior prueba que f es continua en x .

Sea N ∈ *N ÂN.Entonces, 1

N − 1N+1 =

1N(N+1) ≈ 0.

Sin embargo,*f( 1

N+1)− *f( 1N ) = (N + 1)−N = 1 À 0

lo anterior prueba que f no es uniformemente continua.

COMPLETEZ Y EQUIVALENCIA DE METRICAS

Proposicion 11 Si (X, d) es completo MX = CX

demost.: Sea p ∈ CX . Entonces, para cada n ∈ N existe xn ∈ X tal que*d(p, xn) <

1n

16


d(xn, xm) ≤ *d(xn, p)+ *d(p, xm) < 1n +

1m . Esto nos dice que la sucesion

{xn} ⊂ X es de Cauchy

Por lo tanto (X completo) existe x ∈ X tal que {xn}→ x . Sea ε > 0 :

*d(p, x) ≤ *d(p, xn)+ d(xn, x) < 1n+ d(xn, x) < ε

2 +ε2 = ε si n es

suficientemente grande es decir, *d(p, x) < ε para todo real positivo ε.

De aqui, p ≈ x o p ∈ µ(x) ⊂MX

Corolario 10 Si (X, d) es completo y CX = FX entonces MX = FX

Ejemplo 8: Sea X = (a, b) ⊂ R con la metrica del valor absoluto. Xno es completo y MX Ã CX = FX = *X

Proposicion 12 MX = CX ⇒ (X, d) completo.

demost.:Sea {xn}N ⊂ X una sucesion de Cauchy. Sea ε cualquier numero real

positivo.

Sabemos que existe N ∈ N tal que(∀n ∈ N)(n ≥ N ⇒ d(xn, xN ) < ε).

Por el P de T:(∀n ∈ *N)(n ≥ N ⇒ ∗d(xn, xN ) < ε)

en particular, para toda n ∈ *NÂN *d(xn, xN ) < ε.

Esto dice que {xn |n ∈ *NÂN} ⊂ CX

Como por hipotesis MX = CX , tenemos que{xn |n ∈*NÂN} ⊂MX .Sea no ∈*NÂN. Entoncesexiste x ∈ X tal que xno ∈ µ(x). Por otro lado, por ser {xn}N de

Cauchy,∀ n, m ∈*NÂN xn ≈ xm.Por lo tanto, xn ≈ xno ≈ x ∀ n ∈ *NÂN . Es decir, {xn}N → x

Teorema 8 (X,d) es completo ⇔ MX = CX

demost.: Se sigue de las proposiciones 7 y 8.

Corolario 11 Sea (X,d) un espacio metrico completo y Y ⊂ X cerrado. En-tonces, (Y, d) es completo.

demost.: CY ⊂ CX∩*Y =MX∩*Y =MY ⊂ CYPor lo tanto MY = CY

Proposicion 13 Si la extension de toda sucesion de Cauchy en X esta con-tenida en MX entonces X es completo

17


demost:.Sea {xn}N ⊂ X es una sucesion de Cauchy.

Si {xn}∗NÂN ⊂ MX , escojamos una N ∈ *NÂN y sea x ∈ X tal quexN ≈ x, entonces x es un punto de acumulacion de la sucesion {xn} y porlo tanto es convergente.

Proposicion 14 Sea f : X → Y una funcion uniformemente continua entredos espacios metricos X, Y . Entonces *f(CX) ⊂ CYdemost.:Sea p ∈ CX y sea ε > 0.Por la continuidad uniforme de f existe δ > 0 tal que(∀x, x0 ∈ X)(d(x, x0) < δ ⇒ d(f(x), f(x0)) < ε)

por el P de T tenemos que(∀x, x0 ∈ *X)(*d(x, x0) < δ ⇒ *d(f(x), f(x0)) < ε)

Como p ∈ CX , para esta δ > 0 existe x ∈ X tal que *d(p, x) < δ.De aqui, *d(*f(p), f(x)) < ε

Es decir, existe y = f(x) ∈ Y tal que *d(*f(p), y) < ε , de donde,*f(p) ∈ CYProposicion 15 Si (X, d) es totalmente acotado entonces CX = *X

demost.:Sea p ∈ *X y sea ε > 0 . Por ser (X, d) totalmente acotado

existen x1, x2, ..., xm ∈ X tales que X = ∪mi=1Bε(xi) . Esto implica que*X = ∪mi=1*Bε(xi). De aqui, p ∈*Bε(xi). para alguna xi

Es decir, ∃xi ∈ X tal que ∗d(p, xi) < ε , por lo tanto,inf{r > 0 |∃x ∈ X , ∗d(p, x) < r} = 0 . Esto ultimo dice que p ∈ CX .

Teorema 9 Si CX = FX = *X entonces (X, d) es totalmente acotado.

demost.:Supongamos que existe r > 0 (numero real) tal que X no tiene una

r−red. Es decir, para cada subconjunto finito S ⊂ X, existexS ∈ XÂ ∪ {Br(x) |x ∈ S}.Sea PF = {S ⊂ X |S es finito } y definamos la siguiente relacion:R ={(S, t) ∈ PF ×X | t /∈ ∪{Br(x)|x ∈ S}}Afirmacion: R es una relacion concurrente:Sean (S1, t1), (S2, t2), ..., (Sm, tm) ∈ R.Sea S = ∪mk=1Sk ∈ PF y seaxS ∈ X Â ∪ {Br(x) |x ∈ S}Entonces (S1, xS), (S2, xS), ..., (Sm, xS) ∈ R .Por el principio de concurrencia existe p ∈ *X tal que

18


p ∈*X Â ∪ {Br(x) |x ∈ S} ∀ S ∈ PFEs decir, *d(p, x) ≥ r > 0 ∀ x ∈ X , lo cual implica quep /∈ CX = *XEsta contradiccion nos dice que X si tiene r−red y por lo tanto es

totalmente acotado.

Recordemos que (X, d) es totalmente acotado si y solo si toda sucesionde el tiene una subsucesion de Cauchy

Sabemos que si (X, d) es un espacio metrico, d0 = d1+d es una metrica en

X equivalente a d, es decir, d y d0 producen los mismos conjuntos abierto,tienen las mismas sucesiones convergente, las mismas sucesiones de Cauchy, etc.La diferencia es que con la metrica d0 , F(X,d0) =*X

Tambien: C(X,d) = C(X,d0) ⊂ F(X,d) ⊂ F(X,d0)

Corolario 12 Para todo conjunto A ⊂ X, *A ⊂ MX ⇒ A totalmenteacotado.

Definicion 9 Dadas dos metricas d1, d2 en X decimos que d1 es mas debilque d2 si para cada x ∈ X µd2(x) ⊂ µd1(x)

Lema 4 Si la metrica d1 es mas debil que la metrica d2 en X entoncestodo conjunto A ⊂ X que sea d1 − abierto tambien es d2 − abierto

demost.:A d1 − abierto ⇒ (∀x ∈ A)(µd1(x) ⊂ *A) ⇒ (∀x ∈ A)(µd2(x) ⊂ *A)

⇒ A d2 − abierto

Lema 5 Si todo A d1 − abierto es tambien d2 − abierto entonces lametrica d1 es mas debil que la d2

demost:La hipotesis nos dice que para cada x ∈ X y cada n ∈ N existe rn > 0

(que depende de x y de n) tal que Brn(x, d2) ⊂ B 1n(x, d1) de aquı:

µd2(x) ⊂ ∩rnBrn(x, d2) ⊂ ∩ 1nB 1

n(x, d1) = µd1(x)

Lema 6 Si d1 es mas debil que d2 entonces toda sucesion d2−convergentees tambien d1 − convergente

demost.:Sea {xn}→ x en la metrica d2. Esto dice que{xn}∗NÂN ⊂ µd2(x) ⊂ µd1(x) .Por lo tanto {xn}→ x en la metrica d1.

19


Definicion 10 Dos metricas en X son equivalentes si ∀x ∈ Xµd1(x) = µd2(x)

Corolario 13 Dos metricas en X son equivalentes si y solo si tienen losmismos conjuntos abiertos.

Corolario 14 Dos metricas en X son equivalentes si y solo si tienen lasmismas sucesiones convergentes.

Ejemplo 9: Para cada metrica d en X podemos definir la metrica

d0(x, y) = d(x,y)1+d(x,y)

Lema 7 Las metricas d y d0 son equivalentes.

demost.:Para toda x, y ∈ X d0(x, y) ≤ d(x, y).Esto nos dice que µd(x) ⊂ µd0(x) ∀x ∈ X

Sea ahora p ∈ µd0(x). Entonces

0 ≈ *d0(p, x) = *d(p,x)1+*d(p,x) =

11

*d(p,x)+1

Lo anterior implica que 1*d(p,x) + 1 ∈ J+ ⇒ 1

*d(p,x) ∈ J+ ⇒

*d(p, x) ∈ I+ ⇒ p ∈ µd(x)

Por lo tanto µd0(x) ⊂ µd(x)

20


CAPITULO 3

SEPARACION, ACOTACION y COMPACIDAD

Proposicion 16 Si x, y ∈ X entonces, x 6= y ⇔ µ(x) ∩ µ(y) = φ

demost.; ⇐) Inmediato⇒) Supongamos que existe z ∈ µ(x) ∩ µ(y). Entonces,*d(x, z) ≈ 0 ≈*d(y, z).De aquı:

0 ≤ d(x, y) ≤ *d(x, z) + *d(y, z) ∈ I ⇒ d(x, y) ∈ I ∩ R = {0} ⇒ x = y

Teorema 10 A es compacto ⇔ *A ⊂ ∪{µ(x) | x ∈ A}

demost.:⇒) Sea A ⊂ X compacto, entonces, es cerrado. Por i)

∪x∈Acµ(x) ⊂ *(Ac)Por compacidad, para numero real r > 0 existen a1, a2, ..., am ∈ A (que

dependen de r) tales que A ⊂ ∪mj=1Br(aj) de aqui, *A ⊂ ∪mj=1*Br(aj) .

Sea p ∈ *A. Lo anterior nos dice que para cada r > 0 existe a ∈ A talque *d(p, a) < r , es decir, p ∈ CA =MA

⇐) Si *A ⊂ ∪{µ(x) | x ∈ A} =MA , entonces, dado que

MA ⊂ CA ⊂ FA ⊂ *A tenemos que

MA = CA = FA = *A

Ahora aplicamos el Teor.4 y el Teor.7 que nos dicen que teniendo las igual-dades anteriores A es completo y totalmente acotado, es decir, compacto.

En espacios metricos en general, a diferencia de R , el concepto de acotacionde conjuntos no es equivalente a que los conjuntos esten contenidos en MX

En su lugar tenemos el siguiente resultado

Teorema 11 Si {Kλ}Λ es una familia de subconjuntos compactos de unespacio metrico (X, d) con la propiedad de que cualquier sufamilia finita deellos tiene interseccion no vacia (en particular, cada uno de ellos no es vacio),entonces∩λ∈ΛKλ 6= φ

demost.: Consideremos la relacionR = {(∩λ∈SKλ , x) |S ⊂ Λ finito y x ∈ ∩λ∈SKλ}

21


El dominio de esta relacioson todas las intersecciones finitas posibles de losKλ ’s.

Afirmacion: R es concurrente:

Sean ∩λ∈S1Kλ , ∩λ∈S2Kλ , ,∩λ∈SnKλ en el dominio de R y seaT = ∪nj=1Sj

S es un subconjunto finito de Λ, por lo tanto existe x ∈ ∩λ∈TKλ deaqui,(∩λ∈SjKλ , x) ∈ R ∀ j = 1, 2, ..., nPor el PdeC existe p ∈ *X tal que p ∈ *(∩λ∈SKλ) = ∩λ∈S*Kλ ∀ S ⊂ Λ

finito

Sea λ0 ∈ Λ. por la compacidad de Kλo existe xo ∈ Kλo tal que p ≈ xo,como cada Kλ es cerrado y p ∈ *Kλ, xo ∈ Kλ ∀ λ ∈ Λ, es decir,

xo ∈ ∩λ∈ΛKλ

Corolario 15 Si en (X, d) tenemos conjuntos compactos no vacios tales queK1 ⊃ K2 ⊃ K3 ⊃ ...entonces la interseccion de todos ellos no es vacia.

Teorema 12 Si A ⊂ K ⊂ X , A infinito y K compacto entonces A0 6= φ(A0 el conjunto de puntos de acumulacion de A)

demost: A infinito ⇒ ∃ p ∈ *A Â A .La compacidad de K implica que *K ⊂ ∪x∈Kµ(x) .Lo anterior nos dice que existe x ∈ K tal que p ≈ x , esto implica que

x ∈ A0 ya que p ∈ (µ(x)Â{x})∩ *A

Corolario 16 Si A ⊂ Rn es un conjunto infinito y acotado entonces A0 6= φ

demost.: A ⊂ A = K ⊂ Rn , K es compacto.

Proposicion 17 Sea A ⊂ X . Entonces, *A ⊂ FX ⇔ A es acotado.

demost.:⇒) Supongamos que A no fuera acotado. Sea xo ∈ X arbitrario pero

fijo.

Entonces, para cada n ∈ N existe an ∈ A tal que d(an, xo) > n

Por el P de T:Para cada n ∈*N existe an ∈ *A tal que d(an, xo) > n.

Afirmacion: Para cada n ∈*NÂN an /∈ FX

22


Sea x ∈ X, d(an, x) ≥ d(an, xo) − d(xo, x) > n − d(xo, x). Como esteultimo numero esta en J+(propiedad de 2.4 de J+), an no tiene distanciafinita a x . Como la x fue arbitraria, an /∈ FX .⇐) A acotado ⇒ existen xo ∈ X, r ∈ R+ tales que A ⊂ {x ∈ X | d(x, xo) <

r}. De aqui, *A ⊂*{x ∈*X | *d(x, xo) < r} ⊂ F

Lema 8 Para todo conjunto A ⊂ X,i)*A ⊂MX ⇒ *(A) ⊂MX , ii) *A ⊂ FX ⇒ *(A) ⊂ FX

demost.:i) Sea p ∈*(A) .Recordemos que x ∈ A⇔ ∀r ∈ P ∃a ∈ A tal qued(x, a) < r

Por el P de T sabemos que para toda r ∈ *P existe q ∈ *A tal que

*d(p, q) < r. Sea r ∈ I+ ⊂ *P entonces, la q ∈ * A correspondiente a esta rnos dice que p ≈ q.Por hipotesis *A ⊂ ∪{µ(x) |x ∈ X}, q ∈ *A⇒ ∃x ∈ X tal que q ≈ xDe aqui, p ≈ x, lo cual implica que p ∈ µ(x) ⊂MX

ii) Siguiendo exactamente la demostracion de i) llegamos a que existeq ∈ *A tal que p ≈ q ∈ FX ⇒ ∃x ∈ X y s ∈ P tal que *d(q, x) < s, de aqui*d(p, x) ≤ *d(p, q)+ *d(q, x) < r + s < 1 + s ∈ P ⊂ R⇒ p ∈ FX

Corolario 17 Todo conjunto totalmente acotado es acotado

Corolario 18 En R todo conjunto acotado es totalmente acotado

Proposicion 18 Para todo conjunto A ⊂ X cerrado y *A ⊂ MX ⇒ Acompacto

demost.:Sea p ∈ *A ⊂MX = ∪x∈Xµ(x) ⇒ p ∈ µ(x) para alguna x ∈ XComo A es cerrado, x ∈ A. Esto dice que *A ⊂ ∪x∈Aµ(x), es decir,A es compacto.

Corolario 19 A ⊂ X y *A ⊂MX ⇒ A compacto

demost.:Por el Lema 8 *(A) ⊂ MX y como A es cerrado, la Prop.13 dice que A es

compacto.

Corolario 20 Si A ⊂ X es cerrado y X es compacto entonces A escompacto.

23


demost.*A ⊂ *X = ∪x∈Xµ(x) =MX

(la primera de las igualdades anteriores es por la compacidad de X)

Corolario 21 A ⊂ R cerrado y acotado ⇒ A compacto

demost.:Aplicar Lema 8, Props.12 y 13 y Coro.10

Teorema 13 Si f : X → Y es continua y X es compacto entonces f esuniformemente continua.

demost.:X compacto ⇒ *X = ∪x∈Xµ(x) . Asi es que si p ≈ q en *X

entonces existe x ∈ X tal que p, q ∈ µ(x).Por la continuidad de f , *f(p) ≈ f(x) ≈ *f(q).

PRODUCTO CARTESIANO

Si {φ 6= Cj ⊂ Xj}J entonces el producto cartesiano ( ΠJCj ) de los subcon-juntos {Cj}j∈J se define formalmente como el conjunto de todas las funcionesc : J → S

J Cj satisfaciendo que para cada j ∈ J , c(j) ∈ Cj .

Dado cualquier producto cartesiano de conjuntos, se tiene, de manera nat-ural, una familia de funciones (una por cada conjunto) cuyo dominio es el pro-ducto cartesiano de ellos y sus codominios son, respectivamente, cada conjunto.

Mas concretamente, si {Cj}j∈J es una familia de conjuntos no vacios yΠJCj es su producto cartesiano, entonces, por cada j ∈ J tenemos una funcionpj : ΠJCj → Cj cuya regla de asociacion es: pj(c) = c(j) . A estas funcionesse les llaman las proyecciones del producto cartesiano.

Cada proyeccion es una funcion suprayectiva.

Por otro lado, si escogemos una particular funcion co ∈ ΠJCj podemosdefinir para cada j1 ∈ J una funcio ij1 : Cj1 → ΠJCj de la siguienteforma: ij1(x) es la funcion del producto cartesiano cuya regla de asociaciones ij1(x)(j) = co(j) si j 6= j1 e ij1(x)(j1) = x .

A la familia de funciones {ij}J se les llaman inclusiones; observemos, sinembargo, que en este caso tenemos una familia de inclusiones por cada funcionco que escojamos en el producto cartesiano.

Cada inclusion es una funcion inyectiva.

En el caso de espacios mtricos solo cuando J es numerable al productocartesiano de ellos le podemos dar una mtrica d (”minima”) con la cual todaslas inclusiones son homeomorfismos sobre su imagen, todas las proyecciones son

24


funciones continuas. En este caso, escogemos al conjunto J como el conjuntode numeros naturales (N) y a la metrica d se le conoce como ”la metrica delproducto”.

Mınima significa que el conjunto de abiertos que genera esta contenido enel conjunto de abiertos generados por cualquier otra metrica que cumpla laspropiedades anteriores. De una manera un poco mas precisa, de acuerdo ala definic.9, cualquier otra metrica d0 que satisfaga las condiciones del parrafoanterior cumple µd0(x) ⊂ µd(x) para toda x ∈ X .

Consideremos la familia {(Xn , dn)}N de espacios metricos y sea (X =ΠNXn , d) el producto cartesiano de ellos con la metrica d del parrafo anterior.

Por cada proyeccion pj tenemos una funcio *pj : *X → *Xn y de aquipodemos definir una funcion ψ:*X → ΠN*Xn , ψ(q)(n) =*pn(q) ∈*Xn . Estafuncion ψ resulta ser inyectiva, es decir, podemos pensar a *X como subconjuntode ΠN*Xn

Si x ∈ X , µd(x) ⊂*X y µd(x) = ΠNµdn(x(n)) ∈ ΠN*Xn

Teorema 14 Si cada φ 6= Cn ⊂ Xn es dn-compacto entonces C = ΠNCn ⊂ Xes d-compacto

demost.:Sea q ∈*C , entonces, *pn(q) ∈*Cn .Como cada Cn es compacto, existe cn ∈ Cn tal que *pn(q) ∈ µdn(cn) . Sea

c ∈ C tal que c(n) = cn

Como µd(c) = ΠNµdn(c(n)) tenemos que q ∈ µd(c)

Lo anterior prueba que *C ⊂ SC µd(c) (la caracterizacion no estandar decompacidad).

Definicion 11 (Relacion Concurrente) Se dice que la relacion RR ⊂ D×E (D y E conjuntos usuales) es concurrente si para cualquier

coleccion finita de elementos del dominio de R, d1, d2, ..., dm , existe e ∈ Etal que (d1, e), (d2, e), ..., (dm, e) ∈ R .

Ejemplos: (4) R = {(a, b) ∈ N×N / a|b},(5) R = {(a, b) ∈ N×N / a < b}(6) Sea X un conjunto infinito y seaR = {(S, x) ∈ Pfin(X)×X |x /∈ S}

PRINCIPIO DE CONCURRENCIA

Si R ⊂ D×E es una relacion de concurrencia con dominio, entonces existeq ∈*E tal que (*d, q) ∈ *R para toda d en el dominio de R.

25


Aplicacion del P de C:De los ejemplos del parrafo anterior podemos asegurar que

(1) Existe p ∈ *N tal que p|*a = a (p divide a a) ∀ a ∈ N(2) Existe p ∈ *N tal que *a = a < p ∀a ∈ N(3) Existe p ∈ *X tal que p /∈ *S = S ∀ S ∈ Pfin(X)

LA DERIVADA.

Si f : I → R , I un intervalo de R y x ∈ I

Definicion 12 Diremos que la funcion f es derivable en x si existe unnumero real m (que depende de x) tal que para todo p ∈ *I

p ≈ x ⇒ *f(p)−f(x)p−x ≈ m

A este numero m lo denotamos por f 0(x) para resaltar su dependenciade x.

Proposicion 19 Si f : I → R , I es derivable en x entonces f escontinua en x

demost.Sea p ≈ x .

*f(p)− f(x) =*f(p)− f(x)

p− x(p− x) ≈ m0 = 0 :

Lema 9 Si a, b, c, d ∈ F ⊂*R son tales que a ≈ c , b ≈ d , b 6= 0 6= dentonces

i)a

b≈ c

d

ii)a

b≈ c

d≈ a+ c

b+ dsi b 6= −d

iii)a

b≈ c

d≈ a− c

b− dsi b 6= d)

demost.: i)

a

b− c

d=

ad− bc

bd=

a(d− b) + b(a− c)

bd≈ 0

Porque a− c ≈ 0 ≈ b− d y a, b, 1bd ∈ F (propiedades 1.3, 1.4 y 3.2)

26


ii)

a

b− a+ c

b+ d=

a(b+ d)− b(a+ c)

b(b+ d)=

ad− bc

b(b+ d)≈ 0

iii) Analogo

En las demostraciones anteriores se usaron las propiedades 1.3, 1.4 y 3.2 dela pagina 7.

Corolario 22 Sean g, f : I → R continuas en x y p ≈ x ≈ q entonces,si *g(p) 6= 0 tenemos

*f(p)− ∗f(q)*g(p)− ∗g(q) ≈

*f(p)

*g(p)≈ ∗f(q)∗g(q) ≈

∗f(p) + ∗f(q)∗g(p) + ∗g(q)

demost.:Como f y g son continuas en x , *f(p) ≈ f(x) ≈*f(q) y *g(p) ≈

g(x) ≈*g(q).Ahora aplicamos el lema anterior

Corolario 23 Sean g y f derivables en xo , *g(p) 6= 0 ∀ p ≈ x (p 6= xo ) y

g0(x) 6= 0), entonces, ∀ p ≈ x (p 6= xo),f 0(xo)g0(xo)

≈ ∗f(p)∗g(p) .

LIMITES

limx→a

f(x) y limx→∞ f(x)

Definicion 13 En cada caso (p ∈ *(domf))i) limx→a f(x) = l si p ≈ a ⇒ *f(p) ≈ f(a)

ii) limx→a f(x) =∞ si p ≈ a ⇒ *f(p) ∈ J+iii) limx→∞ f(x) = l si p ∈ J+ ⇒ *f(p) ≈ l

iv) limx→∞ f(x) =∞ si p ∈ J+ ⇒ *f(p) ∈ J+

Los limites en o hacia menos infinito se definen analogamente, solo se cambiaJ+ por J−

Ejemplos: Una de las ventajas de usar las tecnicas no usuales al encon-trar limites, es que simultanemente estamos probando que tal o cual elemento(numero) es el limite o, en su caso, estaremos probando que el limite no existe

27


8.- Encontrar: limx→1 x2−1x−1 . Sea p ≈ 1 , es decir, p = 1 + α con

α ∈ I(1 + α)2 − 1(1 + α)− 1 =

1 + 2α+ α2 − 1α

= 2 + α ≈ 2

Por lo tanto, limx→1 x2−1x−1 = 2

9.- Encontrar limx→∞ x3+x−5x2+1 . Sea p ∈ J+

p3 + p− 5p2 + 1

= p− 5

p2 + 1∈ J+

ya que 5p2+1 ∈ I

Por lo tanto limx→∞ x3+x−5x2+1 =∞

10.- Encontrar limx→3 5(x−3)2 . Sea p ≈ 3 , es decir, p = 3 + α

conα ∈ I

5

((3 + α)− 3)2 =5

α2∈ J+

ya que α2 ∈ I

Por lo tanto limx→3 5(x−3)2 =∞

11.- Encontrar limx→0 1x . Sea α ≈ 0 . (α 6= 0). Como

1

α∈ J+ si α > 0 y

1

α∈ J− si α < 0

Por lo tanto este limite no existe.

12.- Encontrar limx→0 sinx . Sea α ≈ 0 .| sinα| ≤ |α| ≈ 0

Por lo tanto limx→0 sinx = 0

13.- Encontrar limx→−∞ ex . Sea q ∈ J− Sabemos que

(∀x, y ∈ R)(x < y ⇒ 0 < ex < ey)

Por el P de T tenemos que

(∀x, y ∈ *R)(x < y ⇒ 0 < ex < ey)

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Como q < y ∀ y ∈ R (ver pag.3), 0 < eq < ey para todo numero real y

Para cualquier numero real positivo r , sea y = ln r , r = ey

entonces 0 < eq < r

Esto ultimo nos dice que eq ∈ I+, es decir, eq ≈ 0 y por lo tanto

limx→−∞ ex = 0

14.- Probar que limx→0 sin 1x no existe. Sea N ∈ *NÂN y sean

α =1

πNy β =

2

(2N + 1)π

De aqui, α ≈ 0 ≈ β , sin embargo

sin1

α= sinπN = 0 y sin

1

β= sin(2N + 1)

π

2= ±1

Del hecho de que 0, 1, -1 son numeros reales distintos, dice que el limitede sin 1

x cuando x tiende a cero no existe.

El teorema de valor medio generalizado (tvmg) dice: Si f y g son funcionescontinuas reales, definidas en el intervalo cerrado [x, y] y derivables en el abierto

(x, y) entonces existe z ∈ (x, y) tal que f(y)−f(x)g(y)−g(x) =

f 0(z)g0(z)

En otras palabras, el teorema dice que si f y g son continuas en cierto in-tervalo [a, b] y derivables en (a, b) entonces la siguiente afirmacion es cierta

(∀x, y ∈ [a, b])(∃ z ∈ (x, y)) tal quef(y)− f(x)

g(y)− g(x)=

f 0(z)g0(z)

Aplicando el PdeT la siguiente afirmacion tambien es cierta

(∀x, y ∈*[a, b])(∃ z ∈*(x, y))(∗f(y)−∗f(x)∗g(y)−∗g(x) =∗f 0(z)∗g0(z)

Teorema 15 (Regla de L’hopital) Sean f y g derivables en (a, b) , g0(x) 6=0 ∀x ∈ (a, b). Si limx→a f(x) = 0 = limx→a g(x) y si limx→a

f 0(x)g0(x) = l

entonces limx→af(x)g(x) = l

demost.:Sea p ≈ x. Probaremos que ∗f(p)

∗g(p) ≈ l.

La ultima parte de la hipotesis dice que ∗f0(p)

∗g0(p) ≈ l

Por el corolario anterior, ∀ q ≈ x, ∗f(q)−∗f(p)∗g(q)−∗g(p) ≈ ∗f(p)∗g(p)

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El tvmg en su versio no usual, con x = p < y = p + α, α ∈ I+ , nos diceque z ∈ (p, p+ α) tal que

∗f(p+α)−∗f(p)∗g(p+α)−∗g(p) =

∗f 0(z)∗g0(z) de aqui,

∗f(p)∗g(p) ≈

∗f(q)− ∗f(p)∗g(q)− ∗g(p) =

∗f 0(z)∗g0(z) ≈ l

BIBLIOGRAFIA

Davis, M. ”Applied non-standard Analysis”. John Wiley and Sons.

Keisler, H.J. ”Elementary Calculus”. Prindle, Weber and Schmidt Inc.

Robert, A. ”Nonstandard Analysis”. John Wiley and Sons.

Robinson, A. ”Non Standard Analysis”. Princeton Landmarks.

Rudin, W. ”Principles of Mathematical Analysis”. McGraw-Hill

Simmons, G. ”Introduction to topology and modern analysis”. McGraw-Hill

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NOTAS PARA UN CURSO DE ANALISIS …NOTAS PARA UN CURSO DE ANALISIS MATEMATICO Resumen: Estas notas...

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